Índex blo 1 e ll c e tfc - editorial teidenovetats.editorialteide.com/demo/9182.pdf˜el moviment...

Índex

2 El moviment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401. El moviment: conceptes bàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422. Relativitat del moviment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443. Magnituds cinemàtiques (I): temps, posició,

desplaçament i espai recorregut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464. Magnituds cinemàtiques (II): velocitat, rapidesa

i acceleració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485. Moviment rectilini uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506. Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) . . . . . . . . . . . . 527. Un exemple de MRUA vertical: la caiguda lliure . . . . . . . . . . . . . . . . 548. Moviment circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569. Cinemàtica i parcs d’atraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Forces i movimentsBLOC2

L'energiaBLOC36 Energia i treball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1. L’energia i les seves formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1582. Característiques de l’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603. Les fonts d’energia més importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624. Treball, potència i energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645. Energia cinètica i energia potencial gravitatòria . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666. Conservació i variació de l’energia mecànica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

1 El mètode científic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Magnituds i anàlisi dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Expressió del resultat d’un mesurament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. Els errors de mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174. Anàlisi dels resultats per mitjà de representacions gràfiques 225. El treball al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266. Projecte d’investigació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

El treball científicBLOC1

3 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721. Les forces: efectes i característiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742. Composició de forces concurrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773. Composició de forces no concurrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814. Forces fonamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845. Forces i equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866. Forces i moviment: la primera llei

i la segona llei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897. Forces i moviment: força centrípeta

i tercera llei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 Pressió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041. La pressió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062. Fluids i pressió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083. El principi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104. L’empenyiment dels fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125. La pressió atmosfèrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146. Pressió i meteorologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5 Astronomia i gravitació universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281. L’astronomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302. Models de l’Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333. Les lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354. Llei de la gravitació universal de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385. Què permet explicar la llei de la gravitació universal? . . . . . . . . . . 1416. Teories actuals sobre l’Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427. El lloc de la Terra a l’Univers actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

UNITAT

DE MOSTRA

Annexos . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 1. Laboratori i empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 2. Seguretat i gestió dels residus al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Annexos

3. Nanociència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

La matèria, propietats, estructura i canvisBLOC 49 Estructura de l'àtom i enllaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 1. Estructura interna de la matèria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 2. Sistema periòdic actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 3. Periodicitat en les propietats dels elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4. L’enllaç químic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 5. Estructures moleculars i estructures gegants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7 Energia i calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 1. Energia tèrmica, temperatura i calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 2. Mesura de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3. Calor i augment de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4. Altres efectes de la calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5. La calor i el treball mecànic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6. Propagació de la calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

L'energiaBLOC 38 Ones i energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 1. El moviment ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2. Les ones periòdiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3. Fenòmens ondulatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4. Ones sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5. Aplicacions dels fenòmens sonors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6. Naturalesa de les ones lluminoses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7. Característiques de les ones lluminoses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8. Aplicacions dels fenòmens lluminosos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

10 Formulació i nomenclatura dels compostos inorgànics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

1. Química inorgànica i els seus compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 2. Primeres nocions sobre nomenclatura i formulació . . . . . . . . . 276 3. Nomenclatura i formulació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4. Formulació i nomenclatura dels compostos binaris . . . . . . . . . 281 5. Formulació i nomenclatura dels compostos ternaris . . . . . . . . 286 6. Els compostos inorgànics en la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . 292 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

11 Iniciació a l’estructura dels compostos orgànics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 1. El carboni i els seus compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 2. Nomenclatura i formulació dels compostos de carboni . . . . . 308 3. Hidrocarburs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 4. Compostos de carboni amb oxigen, nitrogen i altres elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 5. Els compostos orgànics en l’ésser humà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 6. Macromolècules al nostre entorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

12 Les reaccions químiques i el seu llenguatge . . . 332 1. Les reaccions químiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 2. El mecanisme intern de les reaccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 3. Càlculs amb la reacció química . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 4. Àcids i bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Ciències aplicades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Treballem competències al laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Assolim competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Juga amb la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

UNITAT

DE MOSTRA

le

s f

or

ce

s i

el

s m

ov

ime

nt

sEl moviment no existeix fora de les coses, perquè tot el que canvia o ho fa en l’ordre de la substància, o en la quantitat, o en la qualitat, o en el lloc.

Aristòtil, filòsof grec (384-322 aC)

Sabies que estar en moviment o en repòs és sempre un concepte relatiu? I és que, encara que ens pugui semblar que estem en repòs, realment ho estem?, hi ha cap objecte completament immòbil a l’Univers? Per més que hi donis voltes, no en trobaràs cap. Des de l’estel o el meteorit més llunyà que puguis imaginar a l’Univers fins a la partícula subatòmica més petita, tota la matèria està en moviment continu.

Per tant, és important estudiar les característiques d’aquest fenomen físic, el moviment, analitzant-lo tant de manera qualitativa com quantitativa a partir de les expressions matemàtiques convenients.

2

UNITAT

DE MOSTRA

Un

itA

t

1. El moviment: conceptes bàsics

2. Relativitat del moviment

3. Magnituds cinemàtiques (I): temps, posició, desplaçament i espai recorregut

4. Magnituds cinemàtiques (II): velocitat, rapidesa i acceleració

5. Moviment rectilini uniforme (MRU)

6. Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)

7. Un exemple de MRUA vertical: la caiguda lliure

8. Moviment circular

9. Cinemàtica i parcs d’atraccions

El moviment

UNITAT

DE MOSTRA

El moviment U

NIT

AT

38


El moviment, entès com a canvi de posició d’un cos, és un dels fenòmens físics que més sovint experimentem els éssers humans, i, per això, la seva anàlisi és molt antiga. El seu estudi, al llarg de la història, ha possibilitat el desenvolupament de conceptes, mètodes i instruments bàsics per a la ciència. Destaquen, entre els científics que han fet una aportació clau en aquest estudi, Galileo Galilei (Galileu), Isaac Newton i Albert Einstein.

1.1. L’estudi del moviment

La part de la física que estudia exclusivament el moviment sense tenir en compte quines en són les causes ni les dimensions de l’objecte mòbil és la cinemàtica. En realitat, la cinemàtica, juntament amb la dinàmica, forma part de la mecànica, que estudia els moviments i n’analitza les causes i l’evolució.

1.2. Magnituds escalars i vectorials

Per estudiar la cinemàtica cal que coneguem i sapiguem treballar amb diverses magnituds físiques, que podem classificar en escalars i vectorials.

Magnituds escalars

Són les que es defineixen completament amb un nombre i una unitat.

Magnituds vectorials

Una magnitud vectorial, per estar completament definida, a més d’un valor numèric i una unitat, necessita la determinació d’una direcció i un sentit.

La major part de magnituds que fem servir per descriure el mo-viment són magnituds vectorials.

Aquestes magnituds es representen mitjançant vectors, que són fletxes entre dos punts. Del punt d’inici del vector en diem ori-gen, i del punt on acaba, extrem. origen extrem

En un vector distingim:

Mòdul: és la longitud del vector i és proporcional al valor de la magnitud que representa.

Direcció: és la recta que conté el vector.

Sentit: l’extrem del vector indica el sentit de la magnitud que representa. Per a cada direcció hi ha dos sentits possibles.


Mecànica

Part de la física que estudia el moviment dels cossos, l’evolució de la seva posició en el temps i l’acció de les forces com a causa del moviment.

Cinemàtica

Ciència que estudia la descripció del moviment dels cossos sense considerar les causes que el provoquen.

Dinàmica

Ciència que estudia les causes del moviment, les forces, sense descriure’l.

Magnituds vectorialsDesplaçamentEl nen canvia de po sició: es despla ça 10 m en una di rec ció i un sentit determinats.

VelocitatEls motoristes es mouen a una velocitat de 280 km/h en una direcció i un sentit concrets.

Magnituds escalarsTempsEl futbolista va marcar el gol de la victòria al minut 90 del partit, gol que va fer que l’equip es classifiqués per a la final de la Champions.

TemperaturaEl dia 10 d’agost de 2012 Sevilla va arribar als 50 ºC al sol.

Exemples

UNITAT

DE MOSTRA

39

Les forces i els moviments

Bl

oc


1.3. Posició, moviment i mòbil

En tot moviment hi ha una relació entre la posició, el moviment i el mòbil.

Posició

Anomenem posició el lloc exacte que ocupa un cos determinat.

Quan ens fixem en la distribució d’una habitació, podem identificar-hi exactament el lloc concret on és cada objecte: la finestra, davant del llit; la taula, al costat de l’armari; el despertador, damunt de la tauleta de nit.

Així doncs, en tots els casos, per determinar la posició ens calen altres objectes de referència: descrivim la posició de la finestra respecte del llit; per tant, el llit és el sistema de referència.

El punt o sistema de referència és el punt o conjunt de punts respecte dels quals determinem una posició concreta.

La posició d’un objecte sempre és relativa, ja que depèn del sistema de referència que escollim. D’aquesta manera, la finestra es troba davant del llit, però també és al costat de l’armari.

Moviment

Si canviem de lloc el despertador i el colloquem damunt de l’armari, n’haurem provocat el moviment.

Si un cos varia de posició, diem que el cos es troba en moviment.

Si la posició d’un cos no varia amb el temps, diem que el cos es troba en repòs.

Mòbil

Anomenem mòbil qualsevol cos que canvia de posició i, per tant, experimenta un moviment.

Representem un vector

Si un atleta corre a una velocitat de 8 m/s en direcció horitzontal i sentit cap a l’esquerra, en farem la representació següent:

Direcció: recta que conté el vector velocitat.

Exemple

Mòdul: longitud del vector; en aquest cas és proporcional a 8 m/s.

Sentit: punta de la fletxa que indica l’orientació de la velocitat.

Separació de dos monsA l’antiga Grècia, es dividia l’Univers en dos mons independents entre si: el món celestial i el món terrenal. El món celestial es descrivia com un món perfecte, sense canvis, on els objectes eren regulars, amb moviments sense pertorbacions. Els únics moviments permesos eren circulars, amb una velocitat de rotació constant. Hi pertanyien els estels i els planetes.

El món terrenal estava format per cossos compostos de quatre elements en diferents proporcions: aigua, terra, foc i aire. Segons aquesta proporció, a cada cos li corresponia un lloc natural on estar. Es considerava que els moviments naturals dels cossos terrenals eren causats per la tendència que tenien aquests cossos a recuperar la posició que els corresponia segons la seva composició. I es definia un moviment violent com el moviment que adquireix un cos per l’acció d’una força que l’allunya de la po si ció natural. Així, en el cas d’un fut bolista que xuta cap amunt una pilota, el moviment ascendent seria el moviment violent causat per una força, i el moviment descendent pos terior seria el moviment natural, que tendeix a portar l’objecte a la posició que li és pròpia.

?!

1. Quina és la diferència principal entre la cinemàtica i la dinàmica?

2. Indica quatre magnituds físiques escalars i quatre de vectorials, i justifica’n la resposta.

3. Dos cotxes que es mouen a 20 km/h, l’un en sentit nord i l’altre en sentit est, es troben en una cruïlla de carreteres. Representa mitjançant un dibuix tots dos cotxes en moviment i indica’n el vector velocitat.

Activitats

UNITAT

DE MOSTRA

El moviment U

NIT

AT

40 2. Relativitat del moviment


Si, tal com hem estudiat, la posició d’un cos sempre és relativa, l’estat de mo-viment o de repòs d’aquest cos també ho seran. Així doncs, deduïm que és de summa importància escollir de manera correcta el sistema de referència.

2.1. Sistema de referència

Ja hem vist que el sistema de referència és el sistema respecte del qual determi-nem la posició d’un cos.

El sistema de referència escollit pot estar format per un punt o per un cos. Si con-sisteix en un cos (un conjunt de punts), n’escollirem un punt, que anomenem punt zero, i hi situarem un sistema de coordenades.

Per a un mateix moviment, podem escollir diferents sistemes de referència. Se-gons les dimensions del moviment que vulguem considerar, tenim disponibles els sistemes que detallem a continuació.

Sistemes de referència

unidimensional bidimensional tridimensional

Serveix per descriure el moviment rectilini. Cal un sol eix de coordenades.

Serveix per descriure el moviment circular. Calen dos eixos de coordenades.

Serveix per descriure el moviment en tres dimensions. Calen tres eixos de coordenades.

En una marató, els atletes segueixen una recta.

Moviment d’una pilota de golf cap al green. La pilota es mou descrivint una paràbola en dues dimensions.

Moviment tridimensional d’un insecte, com el d’una mosca voltant davant d’un llum.

2.2. Trajectòria

Anomenem trajectòria la línia que uneix totes les posicions que ha ocupat un mòbil en el moviment que ha fet.

És a dir, la trajectòria és el camí que segueix el mòbil. Segons com sigui la trajec-tòria, podem classificar els moviments de la manera següent:

Moviment Trajectòria Exemples

moviment rectilini moviment rectilini La trajectòria és una línia recta. Deixem caure un objecte.

moviment curvilini

moviment circular La trajectòria és una circumferència. Moviment d’una roda de fira.

moviment parabòlic La trajectòria és una paràbola. El llançament de projectils.

moviment el·líptic La trajectòria és una el·lipse. Òrbita dels planetes al voltant del Sol.

moviment variat moviment variat La trajectòria és variada. Moviment que fa un cotxe en una carretera.

x0

0

y

y0

z

xx0

y

0

Respecte al punt 0 del sistema de referència, la barca que es veu al fons canvia de posició amb el temps: la barca està en moviment.El pescador assegut a la cadira no canvia de posició respecte al punt 0: està en repòs.

UNITAT

DE MOSTRA

41


Bl

oc


2.3. La relativitat del moviment

L’elecció d’un sistema de referència és totalment arbitrària, per la qual cosa, segons quin sistema escollim, el moviment descrit serà diferent, tant pel que fa a la condició del moviment com a les característiques de la trajectòria descrita; per exemple:

• Dos amics viatgen amb tren i estan còmodament asseguts. Una tercera persona que els observa asseguda davant seu (i que, per tant, actua com a sistema de referència) determinarà que estan en repòs.

Però una quarta persona que els veu passar des de l’andana de la via, i que su-posem que està en repòs, deduirà que els viatgers del tren es mouen. En canvi, una cinquena persona que observés des de la Lluna aquestes quatre persones veuria que totes es mouen juntament amb la Terra.

• Si deixéssim caure un objecte des d’un avió i n’observéssim la trajectòria que descriu des de l’avió mateix, conclouríem que segueix una trajectòria rectilínia. En canvi, una persona situada a la superfície terrestre de duiria que la trajectòria és parabòlica.

1 2 3 4

5

431 2

Trajectòria parabòlica del mateix objecte si s'observa des d'un

sistema de referència situat a la superfície terrestre.

Trajectòria rectilínia d'un objecte que es deixa caure des d'una avioneta en cas que el sistema de referència se situï a l’avió mateix.

4. Explica què entenem per sistema de referència.

5. En la cerimònia d’inauguració dels Jocs Olímpics de Barcelona 92, l’arquer paralímpic Antonio Rebollo va encendre el peveter, que era a 61 metres d’altura i a una distància de 70 metres respecte d’ell. Sabent que la fletxa va arribar a una altura màxima de 80 metres i que, tot seguit, va davallar fins a fer diana, representa amb un dibuix tot el moviment de la

fletxa, assenyalant-hi el tipus de moviment descrit, el tipus de trajectòria i el sistema de referència necessari per estudiar-lo.

6. Busca al teu voltant tres exemples de moviments rectilinis, tres de moviments circulars i tres més de moviments parabòlics.

7. Justifica l’afirmació següent: «El moviment o el repòs d’un objecte sempre és relatiu».

Activitats

El pèndol de FoucaultEl pèndol de Foucault és un pèndol format per una bola lligada a un fil molt llarg que es deixa oscillar lliurement. Sota el pèndol es colloca una plataforma circular amb uns testimonis (prismes que poden caure) que descriuen una circumferència. Al llarg del dia, el pèndol va tombant els diferents testimonis. Però... com pot fer-ho si, en realitat, el pèndol sempre oscilla en un mateix pla

La Terra gira i amb ella també ho fa la plataforma que hi ha sota el pèndol. Si, en estudiar-ne el moviment, situem el sistema de referència en un punt del pèndol, direm que el pla d’oscillació sempre és el mateix i que el pèndol descriu una trajectòria recta. En canvi, si l’observador se situa al costat de la plataforma circular, la trajectòria que veu és com la de la imatge:

El pèndol de Foucault el trobem a la majoria de museus de la ciència de tot el món. Per evitar que s’aturi com a conseqüència del fregament amb l’aire, el sistema consta d’un dispositiu amb un electroimant, que compensa l’energia perduda.

Ampliem

UNITAT

DE MOSTRA

42

El moviment U

NIT

AT


De les magnituds pròpies de la cinemàtica, imprescindibles per a l’estudi mate-màtic del moviment dels cossos, en diem magnituds cinemàtiques.

3.1. El temps

Per estudiar qualsevol moviment, assignem un temps inicial (t0), que generalment coincideix amb l’inici del moviment, i determinem l’increment de temps durant el qual volem estudiar el moviment del cos.

t tfinal t0

En la majoria de casos, considerem que t0 0 s, per la qual cosa t tfinal o, simplement, t t.

El temps és una magnitud escalar i la seva unitat en el sistema internacional (SI) és el segon (s). D’altra banda, sempre té signe positiu, perquè mai no pot tornar enrere.

3.2. Posició i equació del moviment

La posició d’un mòbil canvia amb el temps. Per saber la posició exacta d’un cos en cada instant, fem servir l’anomenada equació del moviment. És una funció que permet calcular la posició del cos substituint t a la fórmula per un temps con-cret; també es coneix com a equació posició.


Un cos es mou durant 4 segons seguint un moviment rectilini d’acord amb l’equació del moviment:

x (t ) 2 t 4

en què x s’expressa en metres, i t , en segons.

Cal que calculem quina posició ocupa per a t 0 s, t 1 s i t 4 s, i en determinem la posició final. Si introduïm a l’equació els valors corresponents de t , obtenim que:

• per a t 0 s: x (t 0) 2 0 4 4 m• per a t 1 s: x (t 1) 2 1 4 6 m• per a t 4 s: x (t 4) 2 4 4 12 m

Després hem de representar els resultats obtinguts en una gràfica x /t .

De la representació gràfica deduïm que, inicialment, el mòbil es troba a la posició 4 m respecte del sistema de referència. Per a t 1 s, el mòbil ha avançat fins a la posició 6 m. Al cap de 4 segons des de l’inici del moviment, la posició del cos és de 12 m respecte del sistema de referència.

Posició per a t 0 s



Exemple

t (s)

x (m

)

15

10

5

00 2 4 6

Viatges en el tempsÉs possible viatjar en el temps La majoria de científics afirmen que no es pot viatjar cap al passat, és a dir, cap a un temps negatiu, ja que això possibilitaria paradoxes com poder evitar que els nostres pares es coneguessin i, per tant, fer impossible el nostre naixement. Alhora, si no haguéssim nascut, tampoc no hauria estat possible tornar al passat per evitar que els pares es coneguessin.

Però molts científics pensen que sí que es podrà viatjar al futur. A. Einstein, en la teoria sobre la relativitat especial, va afirmar que l’espai i el temps són una mateixa magnitud. D’altra banda, en viatjar a la velocitat de la llum, el temps es dilata, és a dir, transcorre més lent per al mòbil que viatja que per a qui observa aquest viatge. Així, si poguéssim viatjar a velocitats pròximes a la de la llum, en tornar al lloc de partida seríem al futur, ja que per als qui s’han quedat el temps ha passat més ràpidament.

Ampliem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

UNITAT

DE MOSTRA

43


Bl

oc

3.3. El desplaçament

Quan un mòbil canvia de posició, diem que es desplaça.

Definim el desplaçament (x) d’un mòbil com la distància entre la posició final i la posició que ocupava inicialment. x xf x0

La unitat del SI que fem servir per al desplaçament és el metre (m).

En realitat, el desplaçament és una magnitud vectorial (x), que representem amb un vector que té com a extrem la posició final d’un mòbil i com a origen, la posició inicial. En l’exemple anterior, el vector desplaçament seria el següent:

Al llarg d’aquesta unitat, només treballarem amb el mòdul del vector desplaça-ment. Per indicar-ne el sentit, el considerarem:

• positiu si el mòbil es dirigeix cap a la part positiva de l’eix de coordenades,

• negatiu si el mòbil es dirigeix cap a la part negativa de l’eix de coordenades.


El desplaçament d’un mòbil en sentit negatiuQuin és el desplaçament d’un mòbil entre t 0 s i t 1 s si l’equació del moviment que segueix és x (t ) 3 t 4

• per a t 0 s: x (t 0) 3 0 4 4 m

• per a t 1 s: x (t 1) 3 1 4 1 m

Dades: x 0 4 m; x f 1 m; x x f x 0 1 4 23 m

El desplaçament del mòbil és de 3 m, ja que es dirigeix cap a la part negativa de l’eix d’abscisses (0x), que hem pres com a sistema de referència.

Exemple

Relació entre el desplaçament, la trajectòria i l’espai recorregutPer a un mateix desplaçament, hi ha diverses trajectòries. D’aquesta manera, per anar del punt A al punt B, podem seguir trajectòries diferents, més llargues o més curtes, però en tots els casos el desplaçament és el mateix.

Definim l’espai recorregut per un cos en moviment (s) com una magnitud escalar el valor de la qual coincideix amb la longitud de la trajectòria recorreguda per un mòbil que s’ha desplaçat en què no hi ha canvis de sentit.

El desplaçament d’un mòbil

Quin és el desplaçament del mòbil de l’exemple anterior entre t 0 s i t 4 s

Dades: x 0 4 m

x f 12 m

x x f x 0 12 4 8 m

El mòbil s’ha desplaçat 8 m.

Exemple

8. Quina serà la posició d’un mòbil per a t 2 s i per a t 4 s si segueix un moviment rectilini de manera que l’equació posició és x(t) 3 t 2?

9. Calcula el desplaçament entre t 2 s i t 4 s que fa el mòbil de l’activitat anterior.

10. En Pere surt de casa per anar al quiosc, situat al mateix carrer i a 200 m de casa seva en línia recta. Després va a la fleca, que es troba 100 m més enllà del quiosc, també en línia recta i al mateix carrer. Finalment, torna a casa. Calcula:

a) El desplaçament que ha fet en Pere entre casa seva i el quiosc.

b) El desplaçament que ha fet en tre el quiosc i la fleca.

c) El desplaçament que ha fet entre la fleca i casa seva.

d) El desplaçament total que ha fet.

e) L’espai total que ha recor regut.

11. Explica, a partir d’un exemple, la diferència entre l’espai reco r regut,el desplaçament fet i la trajectòria seguida per un cos en moviment.

Activitats

A

Bdesplaçament

trajectòria 3trajectòria 2

trajectòria 1

x0 xf

x� ��

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

� ��

x

x 0x f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

UNITAT

DE MOSTRA

44

El moviment U

NIT

AT



Entre les magnituds cinemàtiques, són de vital importància les que relacionen el temps amb el desplaçament o l’espai recorregut.

4.1. La velocitat

Definim la velocitat com una magnitud vectorial que relaciona el desplaçament fet per un mòbil amb el temps invertit en aquest desplaçament.

La unitat de velocitat en el SI és el metre per segon (m/s).

Al llarg d’aquesta unitat, només considerarem el mòdul del vector velocitat, i en determinarem el sentit tenint en compte que, si es dirigeix cap a la part positiva de l’eix de coordenades, la velocitat serà positiva, i si va en sentit contrari, la velocitat serà negativa.

Velocitat mitjana

La velocitat mitjana d’un mòbil és el resultat de dividir el desplaçament que ha fet pel temps que hi ha invertit.

v

xt

x xt tmf 0

f 0

Amb l’expressió anterior, calculem el valor del mòdul de la velocitat mitjana. Si volem considerar-ne el vector, caldrà que tinguem en compte que té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector desplaçament.

0

v > 0 m /s v < 0 m /s

El cotxe blau té una velocitat positiva, ja que es dirigeix cap a la part positiva de l’eix de coordenades, mentre que el cotxe vermell presenta una velocitat negativa.

punt A

punt B

trajectòria

velocitat mitjana

desplaçament

Un cos fa un moviment rectilini en diversos trams, tal com resumeix la figura següent. Calcula:

a) El desplaçament i la velocitat mitjana del cos a cada tram.

b) La velocitat mitjana del cos en tot el recorregut.

a) 1r tram

x x xx

t15 0 15 m

15

35 m/sf 0 mv= − = − = = = =

2n tram

x x xx

t50 15 35 m

35

142,5 m/sf 0 mv= − = − = = = =

3r tram

x x xx

t60 50 10 m

10

52 m/sf 0 mv= − = − = = = =

Exemple

A B

1r tram 2n tram 3r tram

0 m 15 m 50 m 60 m1r tramtemps 3 s

2n tramtemps 14 s

3r tramtemps 5 s

b)

x x x

t

x

t

60 0 60 m

3 14 5 22 s

60

222,7 m/s

f 0

total

mv

= − = − == + + =

= = =

Compte!Excés de velocitat

Per a molts conductors imprudents, és fàcil enganyar els radars, ja que es pot conduir amb excés de velocitat i abans d’arribar al radar frenar per reduir-la. Passat el radar, poden tornar a augmentar la velocitat instantània.

Però no oblidem que l’excés de velocitat no està castigat per multar, sinó per salvar vides.

Els radars de carreteraEls radars de carretera utilitzen microones per captar la velocitat instantània dels vehicles que passen. Les dades s'envien a la prefectura de trànsit corresponent, i si un conductor sobrepassa el límit de velocitat, és sancionat.

Actualment es comencen a utilitzar radars que calculen la velocitat mitjana a la qual circula un vehicle durant un tram llarg de carretera.

Ampliem

UNITAT

DE MOSTRA

45


Bl

oc


La velocitat instantània

Anomenem velocitat instantània la velocitat d’un mòbil en un instant determinat.

Podem calcular la velocitat instantània a partir d’una funció matemàtica, anomena-da equació velocitat, que relaciona aquesta magnitud amb el temps.

4.2. La rapidesa o celeritat

La celeritat és una magnitud escalar que quantifica el recorregut per unitat de temps d’un objecte en moviment.

Distingim la celeritat mitjana i la celeritat instantània:

• Entenem per celeritat mitjana el quocient entre l’espai recorregut per un mòbil i el temps invertit en el moviment. La podem calcular a partir de l’expressió següent:

=

st

celeritat mitjana

• Podem definir la celeritat instantània com el mòdul de la velocitat en un instant determinat.

4.3. Acceleració

L’acceleració és una magnitud vectorial que relaciona la variació de la velocitat d’un cos amb el temps invertit en aquesta variació.

La unitat del SI que fem servir per a l’acceleració és el metre per segon al qua-drat (m/s2).

D’aquesta manera, si un cos té una acceleració d’1,5 m/s2, això implica que la seva velocitat varia en 1,5 m/s cada segon.

Un cotxe es mou a una velocitat que podem expressar en funció del temps amb la fórmula següent: v(t ) 5 2 t. Calcula’n la velocitat instantània per a t 1 s, t 2 s i t 4 s. Quina n’és la velocitat inicial

t 1 s v (t 1) 5 2 1 7 m/s

t 2 s v (t 2) 5 2 2 9 m/s

t 4 s v (t 4) 5 2 4 13 m/s

Per a t 0 s, v (t 0) 5 2 0 5 m/s. Així, la velocitat inicial del cotxe és de 5 m/s.

Exemple

velocitat mitjana x / t

espai recorregut (s)

desplaçament (x)

celeritat mitjana (s /t )Diferència entre els conceptes de celeritat mitjana i velocitat mitjana.

Quan ens desplacem amb cotxe i accelerem amb l’objectiu d’augmentar la velocitat, el vector velocitat i el vector acceleració tenen el mateix sentit (en aquest cas, tots dos són positius).

Quan frenem per disminuir la velocitat, l’acceleració té sentit contrari a aquesta velocitat. En aquest cas, la velocitat és positiva, i l’acceleració, negativa.

Exemple

acceleracióvelocitat

acceleració velocitat

El velocímetre

Quan ens desplacem en un auto-mò bil i ens fixem en el velocímetre, collo quialment parlem de la velocitat instantània que marca en aquells moments. Però, en realitat, el que mesura el velocímetre és la celeritat o rapidesa instantània amb què s’està circulant. El velocímetre no ens indica la direcció ni el sentit de la velocitat.

Ampliem

UNITAT

DE MOSTRA

46

El moviment U

NIT

AT

Com en la velocitat, al llarg d’aquesta unitat només considerarem el mòdul del vec-tor acceleració. Utilitzarem el signe positiu per indicar que l’acceleració es dirigeix cap a la part positiva de l’eix de coordenades, i el signe negatiu en el cas contrari.

Com en la velocitat i en la rapidesa, també distingim l’acceleració mitjana de l’ac-celeració instantània.

• Definim l’acceleració mitjana d’un mòbil com el resultat de dividir la variació de la velocitat pel temps invertit a dur a terme aquesta variació.

= =−−

a

vt

v vt tmf 0

f 0

• L’acceleració instantània és l’acceleració que té un mòbil en un instant deter-minat.


Calculem l’acceleració mitjanaQuina serà l’acceleració mitjana que experimentarà una motocicleta si, circulant a 18 km/h, augmenta de velocitat uniformement fins a arribar als 54 km/h en 5 segons

Dades: v0 18 km/h; vf 54 km/h; v 5 s

v

v

av

t

v v

t t

18 km

h

1000 m

1 km

1 h

3600 s5 m/s

54 km

h

1000 m

1 km

1 h

3600 s15 m/s

15 m/s 5 m/s

5 s

10 m/s

5 s2 m/s

0

f

mf 0

f 0

2

= × × =

= × × =

= =−−

=−

= =

Exemple

12. Indica en cada cas si es tracta de velocitat mitjana o de velocitat instantània.

a) El ciclista va passar pel cim del port del Comte a una velocitat de 47 km/h.

b) Un excursionista va anar de Viladavall a Viladamunt a una velocitat de 5 km/h.

c) Un autobús circula per l’autovia Madrid-Barcelona a una velocitat de 100 km/h.

d) Quan vam passar pel pont sobre el Guadalquivir, el cotxe circulava a una velocitat de 84 km/h.

13. Calcula, per a t 0 s, t 1 s, t 2 s, t 3 s i t 4 s, la velocitat instantània a la qual es mou un mòbil que segueix una velocitat l’equació de la qual és v t 2. A partir dels resultats obtinguts, dedueix quin és el sentit en què viatja el mòbil en cada instant. Quina és la celeritat instantània en cada cas?

14. Una motocicleta surt del punt A, arriba al punt B i, tot seguit, fa un canvi de sentit i arriba al punt C. Recorre el tram AB en 5 minuts i el tram BC en 7 minuts. Calcula per a cada tram el desplaçament, l’espai recorregut, la velocitat mitjana i la rapidesa mitjana. Compara la velocitat mitjana entre A i C i la celeritat mitjana entre A i C. Expressa els resultats en m/s i en km/s.

15. Quina és l’acceleració mitjana d’un ciclista que, partint del repòs, arriba a una velocitat instantània de 32,4 km/h en 2 min? Fes un esquema amb els corresponents vectors de velocitat instantània i acceleració mitjana.

16. Un cotxe circula a una velocitat de 54 km/h. Calcula’n l’acceleració mitjana si frena de manera que, al cap de 10 segons, queda totalment en repòs.

Activitats

C

x (km)

A B

3 5 140

Velocitat positiva (v > 0 m/s)

v > 0 m/s

a > 0 m/s2

El cotxe avança cap a la dreta i el valor de la velocitat augmenta.

v > 0 m/s

a < 0 m/s2

El cotxe avança cap a la dreta i el valor de la velocitat disminueix (frena).

Velocitat negativa (v < 0 m/s)

v < 0 m/s

a > 0 m/s2

El cotxe avança cap a l'esquerra i el valor de la velocitat disminueix (frena).

v < 0 m/s

a < 0 m/s2

El cotxe avança cap a l'esquerra i el valor de la velocitat augmenta.

UNITAT

DE MOSTRA

47


Bl

oc



A partir d’aquí, analitzarem tres tipus de moviments, que constitueixen la base de la cinemàtica. Inicialment estudiarem dos tipus de moviments unidimensionals i, per tant, rectilinis. El primer és el moviment rectilini uniforme.

5.1. Característiques d’un MRU

Un moviment rectilini uniforme té les característiques següents: la trajectòria és una línia recta, la velocitat és constant i l’acceleració és nulla.

5.2. Càlcul de la posició

Per calcular la posició en què es troba un mòbil que segueix un MRU, farem servir l’expressió:

x x0 v t

en què x és la posició final i x0 és la posició inicial.

L'expressió anterior es dedueix de la fórmula de la velocitat mitjana, que, en el cas d'un MRU, coincideix amb la velocitat instantània:

v x x0 v · t → x x0 v · t

5.3. Representació gràfica posició-temps (x /t )En cinemàtica és important que analitzem la representació gràfica de magnituds com la posició, la velocitat i l’acceleració.

Vegem amb un exemple la representació de la posició (sempre a l’eix d’ordenades) en relació amb el temps (a l’eix d’abscisses) en el cas d’un MRU.

Calculem la posició finalCalculem la posició final d’un cargol, suposant que es desplaça durant 30 segons amb un moviment rectilini a una velocitat constant de 2 mm/s.

Situem el sistema de referència coincidint amb l’eix d’abscisses, de manera que el punt de sortida del cargol es trobi a x 0 m.

Dades: x0 0 m; v 2 mm/s 0,002 m/s; t 30 s; x

x x0 v t

x 0 0,002 30 0,06 m 6 cm

Exemple

v 2 mm/s

x0 0 m xf

És possible un MRU de manera natural?És molt difícil trobar exemples de MRU a la natura sense que la tec no logia humana no hi intervingui. Així, són mostres de MRU una cinta transportadora, un ascensor o un cot xe que circula amb una trajectòria completament rectilínia (és a dir, sense girar el volant i sense prémer ni l’accelerador ni el fre).

Quan en busquem exemples a la natura, sorgeix el problema de la fricció, que sempre fa disminuir la velocitat. Malgrat tot, no és impossible trobar-ne alguns exemples, com ara les ones sonores o bé la llum quan es transmeten en un medi completament homogeni.

?!

Pendent d’una recta i velocitat

Definim el pendent d’una recta, que se sol representar amb m, com la relació entre la diferència de la coordenada y de dos punts de la recta i la coordenada x dels mateixos punts.

= =−−

m

y

x

y y

x xf 0

f 0

El pendent de la recta en una gràfica posició-temps correspon a la velocitat del moviment.

Ampliem

(2,2)

m (6 2) / (5 2) 1,3

(5,6)

x (m)

t (s) t (s)

v (m / s)UNITAT

DE MOSTRA

48

El moviment U

nit

At


Representació gràfica x/t

Una bicicleta segueix un MRU a una velocitat constant de 5 m/s. Farem la gràfica x/t per als 15 primers segons del moviment, tenint en compte que la posició inicial és 0 m.

A partir de la fórmula de la posició, escrivim l’equació posició del moviment: x x0 v t x 0 5 t x 5 t i calculem la posició per a diferents valors de t.

Representem els valors a la gràfica posició-temps:

Exemple

0 m

v = 5 m /s

25

50

75

5 10 15 t (s)

x (m)

El resultat és una recta, per la qual cosa comprovem que en un MRU la posició varia linealment amb el temps.

Temps (s) Posició (m)

0 x 5 t 5 0 0

5 x 5 t 5 5 25

10 x 5 t 5 10 50

15 x 5 t 5 15 75

Com a conclusió de l’exemple, podem afirmar que:

La representació gràfica de la posició en relació amb el temps en un MRU sem-pre correspon a una línia recta, que serà ascendent (pendent positiu) si la velo-citat és positiva, i descendent (pendent negatiu) si la velocitat és negativa.

a) MRU amb velocitat positiva. b) MRU amb velocitat negativa.

5.4. Representació gràfica velocitat-temps (v/t )Per fer la gràfica v/t, representem la velocitat a l’eix d’ordenades i el temps a l’eix d’abscisses, com veiem a l’exemple de l’esquerra.

Així doncs, podem concloure:

La representació gràfica de la velocitat en relació amb el temps en un MRU sempre correspon a una línia recta horitzontal parallela a l’eix d’abscisses.

La línia recta resultant de la gràfica v/t se situarà per sobre de l’eix d’abscisses si la velocitat és positiva i per sota si és negativa.

a) Un mòbil es mou a 10 m/s. b) Un mòbil es mou a 10 m/s.

x (m)

t (s)

x (m)

t (s)

v (m/s)

t (s)

10

0

v > 0 v (m/s)

t (s)

10

0

–10 v < 0

Representació gràfica v /t

Fem la gràfica v / t per als 15 primers segons del moviment de la bicicleta de l’exemple anterior. En aquest cas, sigui quin sigui el temps, la velocitat sempre és de 5 m/s, ja que és constant.

t (s) 0 5 10 15

v (m/s) 5 5 5 5

Exemple

2,5

5

7,5

5 10 15t (s)

v (m/s)

Representació gràfica acceleració-temps (a/t )La representació gràfica de l’acceleració en relació amb el temps en un MRU no té gaire sentit, ja que l’acceleració sempre és 0.

Ampliem

2

4

6

2 4 6t (s)

a (m/s2)

UNITAT

DE MOSTRA

49


Bl

oc


5.5. Mòbils que es troben

Sovint intentem relacionar les característiques del moviment de dos mòbils que es desplacen de manera simultània i que s’acaben trobant en una mateixa posició. Vegem amb un exemple els passos que cal seguir per resoldre aquest tipus de problemes.

Dos jugadors de billar posen en moviment alhora dues boles separades per una distància de 2 m, de manera que totes dues segueixen un MRU. La primera es desplaça a una velocitat de 6 m/s, i la segona, a una velocitat de 2 m/s en la mateixa direcció que la primera, però en sentit contrari. Calculem a quina posició es trobaran i quant temps tardaran a fer-ho.

• La segona bola té una velocitat negativa, ja que va en sentit contrari a la primera.

• Situem el sistema de referència a la posició inicial que ocupa la primera bola.

Quan les dues boles es trobin, seran a la mateixa posició i haurà passat el mateix temps des que hagin començat a moure’s. Aquesta condició l’aprofitem per igualar les equacions posició de totes dues boles i calcular el temps transcorregut.

• Equació posició de la bola 1: x1 x01 v1 t; x1 0 6 t; x1 6 t

• Equació posició de la bola 2: x2 x02 v2 t; x2 2 2 t

• En l’instant en què es troben: x1 x2; 6 t 2 2 t; 8 t 2; =t2

8s ; t 0,25 s

Tot seguit calculem la posició en què es troben a partir d’una de les equacions posició: x1 6 t 6 0,25 1,5 m Si fem la substitució a la segona de les equacions, el resultat és el mateix: x2 2 2 t 2 2 0,25 1,5 mPer tant, les dues es troben al cap de 0,25 segons d’haver estat empeses, a 1,5 m respecte de la posició inicial de la bola 1.

Exemple

x02 2 mx01 0 m

bola 1: v1 6 m/s bola 2: v1 2 m/s

17. Quantes piscines de 50 m recorrerà un nedador en 3 minuts si suposem que segueix un MRU a una velocitat d’1,3 m/s?

18. En Joan comença a circular amb el seu patinet seguint un MRU en un punt situat a 2 m de casa seva, de manera que, al cap de 10 segons, es troba en una posició de 22 m. Escriu l’equació posició del moviment que segueix en Joan i elabora les gràfiques x/t i v/t per a un temps de 10 segons.

19. La Raquel surt de Lleida cap a Balaguer, dues pobla cions separades per 17 km, a una velocitat constant de 40 km/h. En el mateix instant, la Marta surt de Balaguer cap a Lleida a una velocitat de 20 km/h. A quina posició es trobaran totes dues al cap de 5 minuts? A quina posició i en quin temps es creuaran?

20. A partir de la gràfica x/t següent, escriu l’equació posició del mòbil i calcula’n la posició per a t 40 s:

21. Una canoa surt de la posició x 40 m seguint un MRU a una velocitat de 10 m/s. Quatre segons més tard, des de x 10 m, surt una segona canoa a una velocitat de 15 m/s, seguint també un MRU. Determina en quin temps i a quina posició es trobaran. Quin desplaçament ha fet cada canoa? Representa tots dos moviments en una mateixa gràfica x/t.

Activitats

t (s)

x (m

)

20

15

10

5

00 2 4 6

x01 = 0 m Madrid x02 = 17 kmGetafe

Raquel

v1 = 40 km/hMarta

v2 = 20 km/h

llanxa 2v2 = 15 m/s

llanxa 1v1 = 10 m/s

x = 0 m x02 = 10 m x01 = 40 m

UNITAT

DE MOSTRA

50

El moviment U

nit

At



Quan en un moviment rectilini la velocitat varia de manera uniforme, és a dir, l’acce-leració és constant, parlem de moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA).

6.1. Característiques d’un MRUA

Un moviment rectilini uniformement accelerat té les característiques següents:

• La trajectòria és una línia recta.

• La velocitat varia de manera uniforme.

• L’acceleració és constant i de valor diferent de zero.

6.2. Càlcul de la posició

Per calcular la posició d’un mòbil en un MRUA, fem servir l’expressió següent:

x x0 v0 t ½ a t2

En aquest cas, podem observar que la posició depèn del quadrat del temps, per la qual cosa la relació entre la posició i el temps no és lineal.

6.3. Càlcul de la velocitat

En un MRUA, calculem la velocitat a partir de l’expressió següent:

v v0 a t

L’expressió anterior es dedueix fàcilment de la fórmula de l’acceleració mitjana.

a (v v0)/t v v0 a t v v0 a t

Un mòbil segueix un MRUA amb una acceleració constant de 2 m/s2. Si parteix des d’una posició de 2 m respecte de l’origen de coordenades a una velocitat de 3 m/s, quina en serà la posició al cap de 5 segons

Dades: x0 2 m

v0 3 m/s

a 2 m/s2

t 5 s

x x0 v0 t 1/2 a t 2

x 2 3 5 1/2 52 42 m

Exemple

x f

v0 3 m/s

x 0 m x0 2 m

Calculem la velocitat

Un ciclista de muntanya que circula a una velocitat de 30 km/h frena i s’atura en un temps de 2 segons després de veure que hi ha un obstacle a 10 m de distància respecte del punt des del qual l’ha vist. Calculem l’acceleració amb què frena el ciclista. Podrà parar abans d’arribar a l’obstacle

Dades: x0 0 m v0 30 km/h vf 0 m/s a t 2 s x

× × =

= + ⋅ = + ⋅

=−

=−

v v a t a

a

30 km

h

1000 m

1 km

1 h

3 600 s8,3 m/s

; 0 8,3 m/s 2 s

8,3 m/s

2 s4,15 m/s

0

2

Calculem la posició final del ciclista:

x x0 v0 t ½ a t 2

x 0 8,3 2 ½ (4,15) 22 16,6 m 8,3 m 8,3 m

Per tant, la seva acceleració és de 4,15 m/s2 (negativa, ja que és de frenada), i sí que aconseguirà parar abans d’arribar a l’obstacle.

Exemple

UNITAT

DE MOSTRA

51


Bl

oc


6.4. Representació gràfica posició-temps (x / t )En un MRUA la representació gràfica de la posició en relació amb el temps no és cap recta, ja que en l’equació del moviment hi ha un temps elevat al quadrat.

Després d’haver fet aquesta representació, arribem a la conclusió següent:

La representació gràfica de la posició en relació amb el temps en un MRUA sempre és una paràbola.

6.5. Representació gràfica velocitat-temps (v / t)La relació entre la velocitat i el temps en un MRUA és lineal.

D’aquesta manera, podem afirmar que:

La representació gràfica de la velocitat en relació amb el temps en un MRUA sem-pre correspon a una línia recta, que serà ascendent (pendent positiu) si l’accele-ració és positiva i descendent (pendent negatiu) si l’acceleració és negativa.

Un mòbil en repòs comença a moure’s amb una acceleració de 3 m/s2. Elaborarem la gràfica x/t per als 4 primers segons de moviment.

Primer n’escrivim l’equació posició: x x0 v0 t ½ a t 2; x 0 0 t ½ 3 t 2; x 1,5 t 2

A partir d’aquí, calculem la posició del mòbil: Representem els valors a la gràfica posició-temps:

Temps (s) Posició (m)

0 x 1,5 t 2 1,5 02 0

1 x 1,5 t 2 1,5 12 1,5

2 x 1,5 t 2 1,5 22 6

3 x 1,5 t 2 1,5 32 13,5

4 x 1,5 t 2 1,5 42 24

Exemple

Fem la gràfica v/t per als 4 primers segons del moviment del mòbil de l’exemple anterior.

A partir de la fórmula de la velocitat, podem escriure l’equació velocitat:

v v0 a t → v

0 3 t → v 3 t

i calcular la posició per a diferents valors de t.

Representem els valors a la gràfica velocitat-temps.

Temps (s) Velocitat (m/s)

0 v 3 t 3 0 0

1 v 3 t 3 1 3

2 v 3 t 3 2 6

3 v 3 t 3 3 9

4 v 3 t 3 4 12

Exemple

3

6

9

1 2 3t (s)

v (m/s)

v (m/s)

t (s)

v (m/s)

t (s)

Compte!Ús de t i de tQuan fem servir les fórmules de cinemàtica, el fet d’utilitzar indistintament t i t ens pot confondre. En definir la magnitud temps, ja vam indicar que sempre es referia a un interval de temps, t, en el qual t t f t0. Però, com que en la majoria de casos considerem que t0 0 s, t t f, per la qual cosa, en lloc de referir-nos a t, indiquem simplement t.Per tant, utilitzarem t quan t0 sigui un valor diferent de 0 s.

5

0,5 1,510

15

10

2520

30

0 3,5 3,532 4,54po

sici

ó x

(m)

temps (s)

UNITAT

DE MOSTRA

52

El moviment U

nit

At


6.6. Representació gràfica acceleració-temps (a /t )Representem l’acceleració a l’eix d’ordenades i el temps al d’abscisses. Com que l’acceleració és constant, la representació gràfica que en fem tindrà un resultat equivalent al de v/t en un MRU.

Per tant, podem concloure que:

La representació gràfica de l’acceleració en relació amb el temps en un MRUA sempre correspon a una línia horitzontal parallela a l’eix d’abscisses.

Si l’acceleració és positiva, el resultat gràfic serà una recta per damunt de l’eix d’abscisses, i si és negativa, s’hi situarà per sota.

A partir de la gràfica següent, corresponent a un moviment rectilini, volem:

a) Calcular l’acceleració corresponent a cada tram i determinar de quin tipus de moviment es tracta en cada cas.

b) Calcular el desplaçament del mòbil a cada tram.

c) Calcular el desplaçament total que ha fet el mòbil.

d) Elaborar la gràfica a/t.

a) Observant la gràfica, deduïm que:

• Tram 1, MRUA:

a

v

t

v v

t t

10 m/s 0 m/s

4 s 0 s

10 m/s

4 s2,5 m/s1

f 0

f 0

2= =−−

=−−

= =

• Tram 2, MRUA:

a

v

t

v v

t t

15 m/s 10 m/s

9 s 4 s

5 m/s

5 s1 m/s2

f 0

f 0

2= =−−

=−−

= =

• Tram 3. Observem que es tracta d’un MRU, ja que la velocitat no varia i, per tant, l’acceleració és nulla. Si la intentem calcular, obtindrem:

a

v

t

v v

t t

15 m/s 15 m/s

14 s 9 s

0 m/s

5 s0 m/s3

f 0

f 0

2= =−−

=−−

= =

• Tram 4, MRUA. De la gràfica deduïm que l’acceleració serà negativa, ja que es tracta d’una recta amb pendent negatiu.

a

v

t

v v

t t

0 m/s 15 m/s

20 s 14 s

15 m/s

6 s2,5 m/s4

f 0

f 0

2= =−−

=−−

=−

=−

Exemple

10

15

4 9 14t (s)

v (m/s)

20

1

2

3

4

Fem la gràfica a/t per als 4 primers segons del moviment del mòbil de l’exemple anterior.

Com que l’acceleració és constant, sempre n’obtindrem el mateix valor:

Exemple

t (s) a (m/s)

0 3

1 3

2 3

3 3

4 3

1,5

3

4,5

1 2 3t (s)

a (m/s2)

Pendent d’una recta i acceleracióDe la mateixa manera que el pendent de la recta que obtenim a la gràfica x/t d’un MRU correspon al valor de la velocitat, el pendent de la recta que obtenim a la gràfica v/t d’un MRUA correspon al valor de l’acceleració del moviment.

m

y

x

y y

x x

10 1

6 0

9

61,5

f 0

f 0

= =−−

=

=−−= =

Ampliem

v (m/s)

t (s) t (s)

a (m/s2)10

1

6

6

1,5

UNITAT

DE MOSTRA

53


Bl

oc


b) • Tram 1 x1 x0 v0 (t f t0) ½ a (t f t0)

2; x1 x0 v0 (t f t0) ½ a (t f t0)2

x1 0 m/s (4 s 0 s) ½ 2,5 m/s2 (0 s 4 s)2 0 20 20 m

• Tram 2 x2 v0 (t f t0) ½ a (t f t0)

2

x2 10 m/s (9 s 4 s) ½ 1 m/s2 (9 s 4 s)2 52,5 m

• Tram 3 x3 v0 (t f t0) 15 m/s (14 s 9 s) 15 5 75 m

• Tram 4 x4 v0 (t f t0) ½ a (t f t0)

2

x4 15 m / s (20 s 14 s) ½ (2,5 m/s2) (20 s 14 s)2 90 7,5 82,5 m

c) xtotal x1 x2 x3 x4 20 52,5 75 82,5 230 m

d ) a (m/s2)

2

4

4 8t (s)

12

1

16 20

3

–1

–3

–2

22. Un cotxe que es mou a 75 km/h frena i necessita 6 s per aturar-se completament. Fes les gràfiques x / t, v / t i a / t del moviment. Situa el sistema de referència al punt on el cotxe comença a frenar.

23. La gràfica v / t d’un cos en moviment és la següent:

a) Indica el tipus de moviment que hi ha a cada tram. b) Indica quin és el tram amb acceleració negativa i

calcula l’acceleració màxima en valor absolut. c) A quin tram es produeix el desplaçament més gran? d ) Dibuixa la gràfica posició-temps.

24. Un avió ha d’arribar a una velocitat de 340 km/h per començar a enlairar-se. Si, partint del repòs, tarda 30 segons a arribar a aquesta velocitat, calcula:

a) L’acceleració que han de proporcionar-li els motors si suposem que el moviment és un MRUA.

b) Quina longitud de pista cal perquè l’avió pugui enlairar-se.

25. Indica, argumentant la resposta, el tipus de moviment que es representa a les següents gràfiques posició-temps. Tot seguit, justifica el signe de la velocitat i de l’acceleració en cada exemple.

a) b)

c) d )

Activitats

x

t

x

t

x

t

x

t

Una tercera fórmula per relacionar desplaçament i velocitat

A partir de la fórmula de la velocitat i la del moviment per a un MRUA, obtenim una tercera fórmula, independent del temps, que relaciona el desplaçament amb la velocitat del mòbil.

Obtenim aquesta equació aïllant el temps de l’equació de la velocitat i substituint-lo a l’equació del moviment, de la qual cosa resulta:

v 2 v02 2a x

Aquesta equació ens és útil quan no sabem el valor del temps. D’aquesta manera, si ens pregunten quina és la velocitat final d’un mòbil que, des del repòs, s’ha mogut amb una acceleració constant de 3 m/s2 i ha fet un desplaçament de 20 m, direm que:

v 2 v02 2a x

v 2 02 2 3 20 120

= =v 120 10,9 m/s

Ampliem

tram 2

tram 1

tram 3

10

4

3

v (m

/ s)

t (s)4 7 10

UNITAT

DE MOSTRA

54

El moviment U

nit

At



Fins ara hem estudiat moviments rectilinis en l’eix horitzontal. En aquest apartat analitzarem un moviment rectilini en l’eix vertical. En aquest tipus de moviment, caldrà que tinguem sempre en compte l’efecte de la força de la gravetat.

7.1. Caiguda lliure

Anomenem caiguda lliure el moviment que descriu un cos quan el deixem cau-re sense cap velocitat inicial, de manera que es mou únicament per l’acció de la gravetat, sense considerar la resistència que l’aire ofereix al moviment.

Quan un cos cau a causa de l’acció de la força d’atracció de la gravetat, aquesta hi provoca una acceleració determinada, que denominem acceleració de la gravetat i representem amb el símbol g. Aquesta acceleració és totalment independent de la massa del cos.

El valor mitjà de l’acceleració de la gravetat sobre la superfície terrestre és de 9,8 m/s2. La seva direcció és vertical i el seu sentit va dirigit cap avall, i pel fet que existeix aquesta acceleració, es genera un MRUA vertical.

Les equacions que ens permeten estudiar la caiguda lliure són les mateixes que les del MRUA, però hem de tenir en compte els aspectes següents:

• L’acceleració considerada sempre serà la de la gravetat.

• L’acceleració sempre serà negativa, ja que va dirigida cap avall.

• En lloc de simbolitzar la posició amb x, ho farem amb y, ja que es tracta d’un moviment vertical, a l’eix d’ordenades.

t t0 0 s t t t tf

y0

y = 0 m

v = v0 = 0 m/s

a = g = –9,8 m/s2

y0

y = 0 m

v = v m/s

a = g = –9,8 m/s2

y0

y = 0 mv = vf

y

La torre de Pisa i l’experiment de GalileuL’any 1585 Galileu defensava la teoria que sostenia que quan un cos cau ho fa amb una acceleració independent de la seva massa, en contra del que pensaven la resta de científics, que seguien la teoria aristotèlica (els cossos amb massa diferent cauen a velocitats diferents). Es diu que, per demostrar-ho, Galileu va llançar una bola de ferro i una bola de fusta de les mateixes dimensions des del capdamunt de la torre de Pisa, i totes dues van tardar el mateix temps a arribar a terra.

No sabem si aquest experiment, que durant un temps va ser considerat un dels més bonics de la ciència, es va dur a terme realment, ja que en l’obra mateixa de Galileu no es menciona. Però sí que s’hi comenten experiments que va dur a terme amb un rail inclinat pel qual deixava caure una bola, i així podia veure que l’acceleració era constant. Després va extrapolar els resultats d’aquests experiments al moviment de caiguda lliure.

Per comprovar tot això, caldria fer el buit, ja que d’aquesta manera la força de fricció de l’aire no podria provocar cap efecte sobre els cossos que ocupen més volum i, per tant, tenen més superfície en contacte amb l’aire.

Ampliem

Experiment de Galileu

Teoriaaristotèlica

bola de fustabola de ferro

bola pesantbola lleugera

La bola méspesant arribaprimer.

Dues boles de la mateixa mida, en caiguda lliure,arriben al mateixtemps.

Experiment de Galileu

Teoriaaristotèlica

bola de fustabola de ferro

bola pesantbola lleugera

La bola méspesant arribaprimer.

Dues boles de la mateixa mida, en caiguda lliure,arriben al mateixtemps.

L’acceleració de la gravetat Per comprovar que l’acceleració de la gravetat és independent de la massa de l’objecte que cau, pots connectar-te a l’adreça següent: http://qr.teide.eu/009H.

A la xarxaUNITAT

DE MOSTRA

55


Bl

oc


Equació posició per a la caiguda lliure

Tenint en compte les condicions anteriors, l’equació que ens permet calcular la posició en un moviment vertical s’expressa de la manera següent:

y y0 v0 t 1/2 (g) t2 o be y y0 v0 t 1/2 g t2

En el cas de la caiguda lliure, com que deixem caure l’objecte, v0 sempre és 0 m/s, i l’equació posició es redueix a:

y y0 1/2 g t2

Podem simplificar encara més l’expressió anterior si tenim en compte que:

y y0 v0 t 1/2 (g) t2

per la qual cosa

y y0 v0 t 1/2 g t2

Equació velocitat per a la caiguda lliure

Per determinar la velocitat d’un moviment vertical, fem servir la fórmula següent:

v v0 g t

En el cas de la caiguda lliure, v0 0 m/s, per la qual cosa:

v g t

Si substituïm g pel seu valor, obtenim:

v 9,8 t

Des del capdamunt d’un edifici de 30 m d’alçària deixem caure un objecte. A quina velocitat toparà contra terra si considerem negligible el fregament amb l’aire

Per determinar la velocitat a la qual l’objecte arriba a terra, abans cal que trobem el temps que tarda a arribar-hi. L’objecte hi toparà en el moment en què la posició (y) sigui 0 m. A partir de l’equació posició:

= − ⋅

= − ⋅

= =

= =±

y y t

t

t

t

4,9

0 30 4,9

30

4,96,1

6,1 2,47 s

02

2

2

D’aquest resultat, com que un temps negatiu no té sentit, només tindrem en compte el positiu.

Amb l’equació velocitat, determinarem la velocitat de l’objecte quan arriba a terra.

v 9,8 t

v 9,8 2,47

v 24,21 m/s

L’objecte arriba a terra a una velocitat de 24,21 m/s. El signe negatiu obtingut confirma que el sentit de la velocitat és cap avall.

Exemple

y = 0 m

y0 = 30 m

g = –9,8 m/s2v0 = 0 m/s

v = –9,8 · tv = ?

26. Deixem caure una bola de fusta de 10 cm3 de volum des d’una altura de 5 m. A quina velocitat arribarà a terra? Quin seria el resultat si la mateixa bola fos de ferro?

27. Des de quin pis ha caigut un test si ha tardat 3 segons a arribar a terra? Considera que cada pis té una alçària de 4 m. A quina velocitat hi ha arribat? Expressa el resultat en km/h.

Actividats

UNITAT D

E MOSTRA

56

El moviment U

nit

At


8. Moviment circularEl tercer tipus de moviment important en cinemàtica és el moviment circular, i el fet que la seva trajectòria sigui circular li dóna unes característiques especials.

8.1. Característiques del moviment circular

Definim el moviment circular com un moviment la trajectòria del qual descriu una circumferència.

Per estudiar-lo, cal fer servir unes magnituds noves, anomenades angulars, que tenen en compte l’angle que descriu una partícula amb moviment circular respecte a un radi inicial que prenem com a referència.

Posició en el moviment circular

Per determinar la posició, prenem com a sistema de referència el punt O, contingut en la trajectòria i unit al centre de la circumferència C pel radi r. Podem definir la posició d’un mòbil amb moviment circular de dues maneres:

Determinem la posició lineal a partir de la longitud d’arc que separa el mòbil del punt O del sistema de referència.

La posició lineal s’indica en metres (m).

La posició angular, en canvi, queda determinada per l’angle que forma el radi que uneix el mòbil amb el centre i el radi pres com a referència.

La posició angular s’expressa en radians (rad).

Desplaçament en el moviment circular

Si un mòbil surt del punt O i descriu una trajectòria circular per arribar al punt P (imaginem una partícula de pols damunt d’un disc de vinil que gira), per determinar el desplaçament que fa podem basar-nos en la definició següent:

El desplaçament lineal, s, és l’arc (porció de circumferència entre O i P) re-corregut.

Es mesura en metres (m). En realitat, s s1 s0.

El desplaçament angular, , és l’angle recorregut.

Es tracta de l’angle format pel radi que uneix C i O i pel que uneix C i P. Aquest angle es mesura en radians (rad). 1 0.

Per relacionar el desplaçament angular amb el lineal, utilitzem l’expressió següent:

s r

RecordemUn radian és el que mesura un angle amb una longitud d’arc exactament igual a la longitud del radi de la circunferència que el limita.

Quan multipliquem un radian per qualsevol unitat, obtenim com a resultat la segona unitat. D’aquesta manera, per exemple, rad m m.

1 rad r

s

r s

Compte!Desplaçament angularDe vegades el desplaçament angular es mesura amb el nombre de voltes recorregudes. Per passar-lo a radians, hem de tenir en compte que una volta són 2 π radians.

rs

C

P

r

0 0

1Os0 0

s

s1

Un mòbil al punt P de la figura es troba a la posició lineal s1, mentre que al punt O es troba a s0. Un mòbil situat al punt P té una posició angular de 1, mentre que a O té una posició angular de 0.

UNITAT D

E MOSTRA

57


Bl

oc


Velocitat

Tal com hem fet amb el desplaçament, definim dues velocitats:

La velocitat angular mesura la relació entre el desplaçament angular i el temps invertit en aquest desplaçament.

= =−−

t t tf 0

f 0

La unitat corresponent en el SI és el radian per segon (rad/s).

La velocitat lineal és el quocient entre l’arc recorregut i el temps necessari per recórrer-lo.

= =−−

v

st

s st t0 f

f 0

Mesurem la velocitat lineal en metres per segon (m/s), ja que l’arc s’indica en metres, i el temps, en segons.

Si ens fixem en la figura de la dreta, podem comprovar que, en realitat, la velocitat lineal és un vector tangent a la trajectòria, que va canviant de direcció i sentit.

Així mateix, podem relacionar fàcilment la velocitat lineal amb la velocitat angular a partir de l’expressió:

Si v s/t y s r, v r / t,

v r

Acceleració

Seguint el mateix esquema, definim dos tipus d’acceleració:

L’acceleració angular relaciona la variació de la velocitat angular amb el temps, i la mesurem en radians per segon al quadrat (rad/s2).

L’acceleració lineal, també anomenada acceleració tangencial (at), relaciona la variació de la velocitat lineal amb el temps, i la mesurem en metres per segon al quadrat (m/s2).

Tant l’acceleració angular com la tangencial són vectors amb la mateixa direcció que la velocitat, i en sentit igual o contrari, segons si són positives o negatives.

Un disc de vinil de 20 cm de radi gira a una velocitat angular de 33 rpm. Calcula la velocitat angular d’un punt situat a 10 cm del centre i la d’un segon punt situat a 15 cm. Quina és la velocitat lineal de tots dos punts

Primer cal que passem la velocitat angular a unitats del sistema internacional.

r

r33 rpm

33

min

2 rad

1

1 min

60 s1,1 3,5 rad/s

= = × × =

= =

La velocitat angular és la mateixa per a tots dos punts, ja que recorren el mateix angle en el mateix temps.

La velocitat lineal per a cada un és la següent:

v1 r1 3,5 rad/s 0,1 m 0,35 m/s

v2 r2 3,5 rad/s 0,15 m

0,15 m/s

Exemple

La velocitat és un vector tangent a la trajectòria.

atat

at

v2

v1

v3

at

at

atv3

v2 v1

L’acceleració tangencial en el mateix sentit que la velocitat en provoca un augment en el mòdul.

L’acceleració tangencial en sentit contrari a la velocitat en provoca una disminució.

Compte!Revolucions per minutEn molts casos, la velocitat angular està expressada en revolucions per minut (rpm), és a dir, el nombre de voltes que fa un mòbil per minut:

revolucions

voltes min min

Per passar de rpm a rad/s, hem de tenir en compte que una volta correspon a un angle de 360º, que equival a 2 rad.

Una volta 360o 2 rad

P2

r 0,2 m

r1 0,1 m

r2 0,15 m

P1

UNITAT D

E MOSTRA

58

El moviment U

nit

At


8.2. Moviment circular uniforme (MCU)

Un moviment circular uniforme té les característiques següents:• La trajectòria és una circumferència.• La velocitat angular (i, en conseqüència, la lineal) és constant.• L’acceleració angular (i, en conseqüència, la tangencial) és nulla.

Càlcul de la posició en un MCU

Per calcular la posició angular en la qual es troba un mòbil que segueix un MCU, fem servir l’expressió següent:

/ t; t 0; 0 t

en què és l’angle final expressat en radians.

De l’expressió anterior deduïm que podrem calcular el desplaçament angular, , a partir de:

0 t; t

Un cop sabem la posició angular, la podem passar a lineal simplement per mitjà de la fórmula:

s r

Acceleració normal

En un MCU no hi ha acceleració angular ni tangencial, ja que la velocitat es manté constant, és a dir, el mòdul del vector velocitat té sempre el mateix valor. Amb tot, hi ha una característica en el vector velocitat que sempre varia en un moviment circular. Es tracta de la direcció.

Hi ha d’haver, doncs, algun tipus d’acceleració que controli aquest canvi de direc-ció. En efecte, en tot moviment circular hi ha acceleració normal.

L’acceleració normal (an) s’ocupa de controlar el canvi de direcció que experi-menta el vector velocitat durant un moviment circular.

L’anomenem també acceleració radial (ar) o acceleració centrípeta (ac), perquè té direcció radial i sentit cap al centre de la circumferència.

En un MCU, l’acceleració normal sempre es manté constant, i en calculem el valor a partir de l’expressió:

avrn

2

=

La seva unitat en el SI és el metre per segon al quadrat (m/s2).

Discos de vinilEls llegendaris discos de vinil, de dot ze polzades i actualment en desús però revalorats perquè la qualitat del so que ofereixen és millor que la d’un disc compacte (CD), funcionaven a 33,3 rpm, i alguns, sobretot els de set polzades (els famosos singles), ho feien a 45 rpm. Durant un temps també es van comercialitzar discos que giraven a 16 rpm.

Els seus avantpassats, els discos de deu polzades, creats el 1890 i fabricats amb cautxú, funcionaven a una velocitat no estandarditzada, fins que el 1925 es va normalitzar la de 78 rpm.

Davant de tanta varietat de possibilitats, els gramòfons que es van vendre entre el 1950 i el 1970 podien fer girar els discos a 16, 33, 45 i 78 rpm.

Els CD actuals giren a velocitats com preses entre 400 i 1 000 rpm, segons les característiques de l’aparell lector.

?!

an an

an

vv

v

L’acceleració normal té direcció radial i sentit cap al centre de la circumferència.

Relació entre l’acceleració normal i la velocitat angularA partir de l’equació que hem definit abans per calcular l’acceleració normal, podem trobar-hi una relació amb la velocitat angular, que és útil perquè ens pot estalviar algun càlcul en algunes ocasions concretes.

Si tenim en compte que v r, podem fer:

= =⋅=

⋅a

vr

rr

rr

( )n

2 2 2 2

Simplificant-ho, deduïm que

an 2 r

Ampliem

UNITAT D

E MOSTRA

59


Bl

oc


Període de rotació i freqüència

Un MCU és un moviment periòdic, és a dir, un moviment que té unes característi-ques (posició, velocitat, etc.) que es repeteixen després d’un interval de temps de-terminat. N’és un exemple la minutera d’un rellotge, que sempre marca el 12 quan és l’hora en punt, i al cap de 60 minuts torna a situar-se a la mateixa posició.

En tots els moviments periòdics podem definir dues magnituds importants: el pe-ríode i la freqüència.

Definim el període de rotació (T) com el temps que inverteix un mòbil amb moviment circular uniforme a fer una volta sencera. El mesurem en segons (s).

Si tenim en compte la definició de velocitat angular i que en un MCU, quan el mòbil fa una volta, l’angle és de 2 radians i el temps invertit és el corresponent a un període, podem escriure la relació següent:

t T2

= = , per la qual cosa:

T

2=

Definim la freqüència (f ) com el nombre de voltes que fa un mòbil en un segon. La unitat del SI per a la freqüència és el hertz (s1 o Hz).

Es tracta, doncs, d’una magnitud inversa al període, per la qual cosa podem escriure:

=fT1

, o també =f2

Càlculs amb moviments circulars

Uns cavallets de fira de 2 m de radi giren seguint un MCU a una velocitat angular de 10 rpm. Volem calcular:

a) L’angle total recorregut pels cavallets després de tres minuts de funcionament. Calcularem també el nombre de voltes que han fet.

b) L’acceleració normal d’un cavallet situat a 1 m de l’eix de gir.

c) El període i la freqüència amb què gira l’atracció.

Dades: 10 rpm; r 2 m

a) t 180 s

t 1,05 rad/s 180 s

189 rad

189 rad1 volta

2 rad30 voltes= =

b) r 1 m

v r 1,05 1 1,05 m/s

= = =av

r

(1,05 m/s)

1 m1,1 m/sn

2 22

c) = = =

= = =

T

fT

2 2

1,05 rad/s6 s

1 2

6 s0,16 Hz

Exemple

Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

Un moviment uniformement accelerat es caracteritza pels aspectes següents:

• La trajectòria és una circumferència.

• La velocitat angular –i, com a conseqüència, la lineal– és variable.

• L’acceleració angular –i, com a conseqüència, la tangencial– és constant.

28. Una roda de fira gira a velocitat constant fent 15 voltes en 3 minuts.

a) Indica’n la velocitat angular en rad/s. b) Calcula’n la velocitat lineal, sabent que la roda té un

diàmetre de 40 m. c) Calcula’n la freqüència i el període de rotació.

29. Un tractor es desplaça amb moviment rectilini uniforme a una velocitat de 60 km/h. Sabent que el radi de la roda del darrere és de 110 cm, i el de la roda del

davant, de 75 cm, indica la velocitat angular i la velocitat lineal de totes dues rodes.

30. Calcula la velocitat de rotació d’un punt de l’equador terrestre sabent que el radi de la Terra és de 6 371 km. Expressa el resultat en km/h. Quin n’és el període?

31. Calcula la velocitat angular de les busques de les hores, dels minuts i dels segons d’un rellotge. Calcula també el període i la freqüència de cada una.

Actividats

UNITAT D

E MOSTRA

60 9. Cinemàtica i parcs d'atraccions

El moviment U

nit

At

9. Cinemàtica i parcs d’atraccionsEls parcs d’atraccions ofereixen la possibilitat d’observar els diferents tipus de moviments estudiats al llarg d’aquesta unitat de cinemàtica, com també l’evolució dels valors que prenen les magnituds que els determinen: desplaçament, velocitat, acceleració...

Moviment el·lípticObservem:• Trajectòria: una el·lipse.• Vector velocitat:

sempre tangent a la trajectòria (sigui el tipus de moviment que sigui).

• Vector acceleració normal: modifica la direcció del vector velocitat sense afectar-ne el mòdul. Sempre va dirigit cap al centre de gir.

v

an

xx0

xf

Moviment variatObservem:• Trajectòria:

variada.• Espai

recorregut (s): és la longitud de la trajectòria.

• Desplaçament (x): distància entre la posició inicial i la posició final.

x xf x0

Moviment rectilini uniformeObservem:• Trajectòria: línia recta.• Velocitat: constant. Un motor

fa moure les vagonetes i els proporciona sempre la mateixa velocitat

x x0 v t

Moviment rectilini uniformement acceleratObservem:• Trajectòria: línia recta.• Velocitat: variable. • Acceleració: constant; mentre

la vagoneta baixa, l’aigua permet que el fregament sigui mínim i que, per tant, l’acceleració no disminueixi.

x x0 v0 t ½ a t 2

v v0 a t

v v v0

vf

a

a

Moviment rectilini variatObservem:• Trajectòria: línia recta.• Velocitat: variable. • Acceleració: no és constant;

depèn del grau d’inclinació de cadascun dels diferents trams.

a1

a2

UNITAT D

E MOSTRA

619. Cinemàtica i parcs d'atraccions


Bl

oc

Moviment circular uniformeObservem:• Trajectòria: circular.• Desplaçament lineal

(s): arc recorregut per una cistella.

• Desplaçament angular (): angle recorregut per una cistella.

• Velocitat angular (): constant; mentre la roda gira, la velocitat és sempre la mateixa.

=

t

• Velocitat lineal (v): constant.

v r

• Acceleració normal (an): permet el canvi en la direcció de la velocitat (tant la lineal com l’angular).

Moviment circular uniformement acceleratObservem:• Velocitat angular: variada. • Acceleració tangencial:

permet l’augment del mòdul de la velocitat; aquesta acceleració la proporciona la força que es fa amb l’ajuda del volant.

• Acceleració normal: permet el canvi en la direcció de la velocitat; va dirigida sempre al centre de gir.

Caiguda lliureObservem:• Trajectòria: línia recta.• Velocitat: variable; la velocitat

inicial és nul·la.• Acceleració: constant i igual

a l’acceleració de la gravetat. a g 9,8 m / s2

v

v

an

s

an

a = gv0

vf

an

1

2

an

at

at

UNITAT D

E MOSTRA

Ciències aplicades62

El moviment U

nit

At

Ciències aplicades

Estudi de la caiguda d’una bola per un pla inclinat

Pràctica pensada per ser feta en grups de 3 o 4 persones.

Objectius• Estudiar les magnituds cinemàtiques que intervenen en el moviment de caiguda d’una bola per un pla inclinat.• Descriure el moviment mitjançant taules, gràfics i equacions.

Material• balança• llibres per fer de suport• pista metàl·lica en forma de V o U d’uns 2 m de longitud• dues boles metàl·liques o de vidre llises, de la mateixa mida, però de massa diferent• dau de fusta que càpiga dins de la pista• regle • retolador• cronòmetre

Procediment 1. Mesureu la massa de cadascuna de les boles amb la balança i anoteu-la a les taules de la qüestió a.

2. Amb l’ajuda del regle, feu marques amb el retolador en un lateral de la pista metàl·lica dividint-la en espais de 40 cm.

3. Col·loqueu la pista metàl·lica recolzant un dels extrems sobre una base de llibres, que faci de suport, i l’altre extrem sobre la taula. L’altura ver-tical de la base de llibres ha de ser d’uns 15 cm per donar inclinació a la pista. Potser caldrà que un del grup ajudi a fixar-la.

4. Col·loqueu dins la pista metàl·lica, a l’altura de la primera marca (40 cm), el dau de fusta, perquè faci de topall. Potser caldrà que un del grup l’aguanti.

5. Amb cura, deixeu caure la bola de massa més petita, sense donar-li im-puls, des del punt 0 m, alhora que poseu en marxa el cronòmetre. Me-sureu escrupolosament el temps, aturant el cronòmetre i anotant les dè-cimes de segon, que tarda la bola a arribar a la primera marca (40 cm), quan toca el dau de fusta. Repetiu l’experiència quatre cops més, fins a obtenir cinc mesures de temps per a aquesta posició. Aneu anotant els resultats a les taules de la qüestió a.

6. Repetiu el procediment descrit en els passos 3 i 4 per a cadascuna de les marques següents, com també per a la longitud total de la pista, desplaçant cada cop el dau de fusta a la marca corresponent, fins a arribar a col·locar-lo sobre la taula, de manera que faci de topall a l’extrem de la pista.

7. Torneu a fer l’experiment, amb la mateixa bola, augmentant la inclinació de la pista, de manera que l’altura vertical de la base de llibres que fa de suport sigui d’uns 30 cm.

8. Repetiu l’experiment, mantenint la darrera inclinació, però utilitzant la bola de més massa. UNIT

AT DE M

OSTRA


Bl

oc

Ciències aplicades 63


Bl

oc

Qüestionsa) Anota a les taules següents els valors de la posició i els temps de caiguda obtinguts en cada mesura. Calcula

i anota la mitjana del temps per a cada posició.

Altura: Massa:

x (m)t (s) tm (s) tm

2 (s2) a (m/s2)

t1 t2 t3 t4 t5

Altura: Massa:

x (cm)t (s) tm (s) tm

2 (s

2) a (m/s2)

t1 t2 t3 t4 t5

Altura: Massa:

x (cm)t (s) tm (s) tm

2 (s

2) a (m/s2)

t1 t2 t3 t4 t5

b) Dibuixa un parell d’esquemes que representin els experiments que has dut a terme.

c) Explica per què s’ha de repetir la mesura del temps per a cada posició. Es podrien haver fet més mesures? Creus que caldria, segons la teva experiència?

d) Calcula la velocitat mitjana de la bola durant els primers 80 cm i al llarg de tot el recorregut en totes tres experièn-cies. Quines conclusions pots extreure sobre el tipus de moviment?

e) Calcula l’acceleració per a cada posició omplint els valors de les dues últimes columnes de les taules. Quina fórmula has fet servir? De quin tipus de moviment es tracta?

f) Compara els resultats de l’acceleració en totes tres experiències. Influeix la inclinació de la pista o la massa de la bola en l’acceleració amb la qual baixa? Què passaria en una caiguda lliure?

g) Representa gràficament el moviment de les dues primeres experiències elaborant les gràfiques x/t, x/t2, v/t i a/t. Fes una taula amb els càlculs que et faltin i necessitis, i representa els dos moviments en els mateixos gràfics amb colors diferents. Com són les gràfiques i quines diferències hi ha entre les dels dos moviments?UNIT

AT DE M

OSTRA

64

El moviment U

nit

At

Mapa conceptual

Mapa conceptual

estudiat per

mitjançant

Moviment

la cinemàtica

moviment rectilini

magnituds sistema de referència trajectòria

bidimensionalsunidimensionals tridimensionals

moviment curvilini

moviment variat

MRU MRUA MCU MCUA

circular parabòlic el·líptic

vectorials escalars

lineals angulars

posició desplaçament celeritat

x x xf – x0vm x

tam

v

t t s

mitjana

velocitat

mitjana instantània

acceleració posició angular

velocitat angular

acceleració angular

temps espai

instantàniaUNITAT D

E MOSTRA

65


Bl

oc

Treballem competències al laboratori

Treballem competències al laboratori

Estudi experimental del moviment rectilini uniforme

Objectiu

Estudiar el moviment rectilini uniforme observant com avança un punt d’ignició sobre una tira de paper.

Procediment

1. Traça una línia de 25 cm pel centre d’un full de paper i marca-hi els punts que coincideixen amb la posició 1 cm, 2 cm..., fins a arribar al 25. Procura que el punt inicial de la línia no coincideixi amb l’extrem del full.

2. Impregna la línia dibuixada amb una dissolució saturada de nitrat de potassi fent servir el pinzell. És important que la impregnació sigui ampla i que quedi estesa tan uniformement com sigui possible. Deixa assecar la dissolució un mínim de 24 hores.

3. Doblega un altre full de paper fent que agafi forma de U i col?loca’l damunt del full que abans has impregnat amb la dissolució de nitrat de potassi. Disposant els fulls d’aquesta manera, permetem que l’aire circuli per l’interior del tub i, així, impedim que s’interrompi la ignició del paper.

4. Amb molt de compte, encén una metxa i apropa-la a la vora del full més pròxima al 0, amb la qual cosa la vora del full començarà a cremar lentament.

5. Quan la combustió arribi al 0, posa en marxa el cronòmetre i vés anotant els temps a mesura que la ignició arribi als punts marcats.

6. Copia la taula següent a la llibreta i completa-la amb les dades obtingudes:

Espai (cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Temps (s)

Espai (cm) 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Temps (s)

Espai (cm) 18 19 20 21 22 23 24 25

Temps (s)

7. Representa la gràfica espaciotemporal a la llibreta.

Qüestionsa) De quin tipus de moviment es tracta?

b) Quin valor té la velocitat?

c) Escriu l’equació de moviment per a la gràfica obtinguda experimentalment.

d) Dibuixa la gràfica velocitat-temps.

Material

• cronòmetre

• dissolució saturada de nitrat de potassi

• fulls de paper

• pinzell

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

UNITAT D

E MOSTRA

••••••

66

El moviment U

nit

At

Activitats finals

Activitats finals

6. En Joan circula amb cotxe a una velocitat de 70 km/h i, en frenar, inverteix 3,5 s per aturar-se. Calcula l’acceleració mitjana del cotxe durant la frenada.

Moviment rectilini uniforme (MRU)

7. Els 50 km de marxa són la prova més llarga entre les di-ferents modalitats d’atletisme. El rècord mundial es troba en 3 h 34 min i 14 s. Si suposem que el corredor que va establir aquest rècord va fer tota la cursa a una velocitat constant, calcula’n el valor. Expressa el resultat en m/s i en km/h.

8. Un peix neda seguint un MRU en què inicialment es troba a 5 m de la costa i, al cap de 100 segons, a 205 m de la costa. Calcula l’equació posició del peix i dibuixa les gràfi-ques x/t i v/t per als 10 primers segons del moviment.

9. En Marcel surt de Ginebra cap a Lausana, que es troba a 30 km, a una velocitat constant de 100 km/h. Alhora, la Sílvia surt de Lausana cap a Ginebra amb una celeri-tat constant de 70 km/h.

a) On i quan es creuaran? b) Si, al cap de 10 minuts d’haver sortit, en Marcel es

quedés sense gasolina, quant temps hauria d’esperar perquè la seva amiga Sílvia l’atrapés?

Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)

10. Un kart parteix del repòs i accelera durant 5 segons, de manera que arriba a una velocitat de 10 m/s. Tot seguit manté aquesta velocitat constant durant 30 segons. Final-ment, redueix la velocitat fins que s’atura en 10 segons.

a) Elabora la gràfica v/t i indica el tipus de moviment de cada etapa.

b) Calcula el desplaçament fet en cada etapa i el des-plaçament total.

c) Quina ha estat la velocitat mitjana a la qual ha circulat el kart?

d) Fes la gràfica a/t.

11. Un iot que es troba estacionat a la posició inicial x0 20 m comença a moure’s amb una acceleració constant de 2,5 m/s2. On serà i a quina velocitat nave-garà al cap de 8 segons?

12. Un patinador sobre gel accelera des del repòs fins a arri-bar als 10 m/s en 6 s. Si tot seguit aconsegueix mantenir la velocitat constant durant 45 s, calcula la distància total que ha recorregut.

El moviment: conceptes bàsics

1. Representa amb l’ajut de vectors: a) Dos mòbils que es mouen en la mateixa direcció però

en sentit contrari, i la velocitat d’un d’ells és el doble que la de l’altre.

b) Dos mòbils que presenten moviments amb velocitats perpendiculars.

Relativitat del moviment

2. Segons la trajectòria que descriu, quin moviment fa una roda de fira? Dibuixa’n la trajectòria a la llibreta i indica com ha de ser un sistema de referència adequat per estu-diar-la.

Magnituds cinemàtiques (I): temps, posició, desplaçament i espai recorregut

3. Dos mòbils es desplacen segons les equacions del movi-ment següents:

x1(t ) 4 t 3 x2(t ) 2 t2 4

a) Calcula per a cada moviment la posició inicial i les po-sicions per a t 1 s i per a t 3 s.

b) Calcula el desplaçament en tots dos casos entre t 1 i t 3 i indica’n el sentit.

4. Un ciclista es mou en tres etapes: en la primera fa un desplaçament de 20 km; en la segona, un de 25 km, i en la tercera, un de 30 km. Indica quina és la seva posi-ció després de cada etapa, així com la posició final si ha sortit d’un lloc situat a 5 km a la dreta de Vilaverda. Quin és el desplaçament total que ha fet? Quin és l’espai que ha recorregut? A partir de l’esquema següent, descriu el recorregut que ha seguit.

x 0 km x 5 km x 25 km x 30 km Vilaverda Bonafont Port d’Amunt Vallarga

Magnituds cinemàtiques (II): velocitat, rapidesa i acceleració

5. Explica, amb ajut d’exemples, les diferències que hi ha entre els parells de magnituds següents:

a) celeritat i velocitat b) espai recorregut i desplaçament c) velocitat instantània i velocitat mitjana

•

••

••

••

••

••

•

••

•••

•••

••

••UNITAT D

E MOSTRA

••• •••

67


Bl

oc

Activitats finals

Cinemàtica i parcs d’atraccions

17. La part més alta d’unes muntanyes russes té una alçària de 80 m. Per tal de pujar les vagonetes fins a aquesta altu-ra, un mecanisme les hi eleva amb una velocitat constant.

a) Si la longitud del tram rectilini que serveix per fer pujar les vagonetes és de 80 m i tarden 60 s a arribar a la part superior, quina és la velocitat amb la qual es fan pujar?

b) Un cop les vagonetes estan en repòs a la part més alta de l’atracció, el mecanisme les deixa anar, i les vagone-tes davallen per un pendent, de manera que al cap de 4 segons arriben a una velocitat de 105 km/h. Quina acceleració tenen, suposant que aquesta és constant? Quina longitud té el tram de baixada?

c) Compara l’acceleració obtinguda amb l’acceleració de la gravetat (g). Justifica per què no tenen el mateix valor.

18. El London Eye és una roda de fira gegant, situada al cos-tat del riu Tàmesi, a Londres, que ofereix als passatgers una vista espectacular de tota la ciutat. Té un diàmetre de 120 metres i gira de manera que fa una volta sencera cada 30 minuts. Calcula:

a) La velocitat angular de la roda en rad/s. b) La velocitat lineal d’una cabina. Expressa’n el resultat

en km/h. c) L’acceleració normal d’una cabina. d) El període i la freqüència de la roda. e) Les persones que volen pujar-hi ho fan amb la roda en

funcionament, que només s’atura en el cas que hi vul-gui accedir alguna persona amb poca mobilitat. Creus que és possible pujar-hi si la roda es mou? Justifica la resposta.

Activitats globals

19. Comença un glossari (una llista de paraules ordenades al-fabèticament amb una definició o una explicació de cada una) amb aquests termes: moviment, mecànica, cinemàti-ca, dinàmica, posició, mòbil, sistema de referència, trajec-tòria, desplaçament, espai recorregut, velocitat, rapidesa, acceleració, MRU, MRUA, MCU, MCUA.

Vés confeccionant aquest glossari a mesura que vagis es-tudiant el llibre i vés incloent-hi les noves paraules propo-sades seguint l’ordre alfabètic. Per fer-ho, és recomanable que utilitzis un processador de textos que permeti ordenar alfabèticament i automàticament els termes proposats. Fins i tot hi pots afegir les paraules que tu consideris que són necessàries.

Un exemple de MRUA vertical: la caiguda lliure

13. A un turista que es troba al capdamunt de la torre Eiffel de París (300 m d’alçària), li cau la bossa de mà, d’1 kg de massa. Calcula:

y0 300 mv0 0 m/sg 29,8 m/s2

y 0 m

a) La velocitat amb la qual la bossa toparà contra terra. Expressa el resultat en km/h.

b) La velocitat amb la qual la bossa passarà per la meitat de la torre.

c) La velocitat amb la qual la bossa toparia contra terra si tingués el doble de massa.

Moviment circular

14. Un CD de 12 cm de diàmetre gira a una velocitat angular de 500 rpm. Calcula:

a) La velocitat angular i la velocitat lineal dels punts situats a la perifèria del CD i dels que se situen en una posició intermèdia, a 3 cm del centre.

b) L’acceleració normal d’un punt de la perifèria. c) El període de rotació i la freqüència.

15. El rotor d’un aerogenerador té tres pales de 15 m de llarg, que giren a una velocitat constant de 20 revolucions per minut. Per a un punt situat a l’extrem d’una de les pales, calcula:

a) La velocitat angular i la velocitat lineal. b) L’acceleració normal. c) El nombre de voltes que fa en un dia, suposant que

durant tot el temps funciona a la mateixa velocitat. d) El període i la freqüència.

16. El tambor d’una rentadora, de 40 cm de diàmetre, quan centrifuga gira a una velocitat constant de 700 rpm durant 2 minuts. Indica si les afirmacions següents són certes o falses, i justifica la resposta:

a) Tota la roba que hi ha a l’interior gira a una velocitat angular de 73,3 rad/s.

b) Tota la roba que hi ha a l’interior del tambor gira a una velocitat lineal de 14,66 m/s.

c) La freqüència amb la qual gira el tambor és d’11,66 Hz. d) L’acceleració normal quan t 5 s d’un punt situat a la

mateixa paret del tambor és de: an 1074,6 rad/s2.

•••••

Considera nul el fregament de l’objecte amb l’aire.

••

••

••

••

•

UNITAT D

E MOSTRA

El moviment U

nit

At

68 Assolim competències

Llançaments verticals

Prop de la superfície terrestre, si la resistència de l’aire és nul·la, un cos cau verticalment per l’efecte de la força de la gravetat. Aquesta força li provoca una acceleració constant, l’acceleració de la gravetat, anomenada g, de –9,8 m/s2, i es produeix un MRUA vertical.

Entre els moviments rectilinis verticals, es defineix, d’una banda, el moviment de caiguda lliure com aquell en el qual un cos cau sense cap velocitat inicial. D’una altra, quan el cos presenta una velocitat inicial, es tracta d’un llança-ment vertical.

Llançament vertical cap avallSi, en lloc de deixar caure un objecte, hi donem una velocitat inicial amb sen-tit cap avall, ja no parlem de caiguda lliure, sinó d’un llançament vertical cap avall. Com que partim d’una velocitat inicial, els resultats referents al temps de caiguda i la velocitat a la qual l’objecte arribi a terra seran diferents.

Llançament vertical cap amuntSi llancem un objecte cap amunt a una velocitat inicial positiva, aquesta velocitat anirà disminuint amb el temps per l’efecte de l’acceleració de la gravetat, que actua en sentit contrari al de la ve locitat de llançament. En el punt en què l’objecte arriba a l’altura màxima, la velocitat és nul·la (v 0 m/s). Aleshores l’objecte inicia un moviment de caiguda lliure.

a) Tenint en compte l’equació posició per a un MRUA vertical, dedueix i escriu l’equació posició per a un llançament vertical cap avall.

b) Tenint en compte l’equació velocitat per a un MRUA vertical, dedueix i escriu l’equació velocitat per a un llançament vertical cap avall.

c) Dedueix i escriu l’equació posició i l’equació velocitat per a un llançament vertical cap amunt.

d) Amb les fórmules deduïdes anteriorment, completa el quadre següent:

Tipus de MRUA vertical Velocitat inicial Equació posició Equació velocitat

caiguda lliure

llançament vertical cap avall

llançament vertical cap amunt

e) Des del capdamunt d’un edifici de 30 m d’alçària llancem una pilota cap avall amb una velocitat de 5 m/s. Dibuixa un esquema que ho representi i inclou amb colors diferents els vectors velocitat i acceleració. A quina velocitat toparà contra terra? Considera nul el fregament amb l’aire i justifica els càlculs que fas.

f ) Des del capdamunt d’un edifici de 30 m d’alçària llancem una pilota cap amunt amb una velocitat de 5 m/s. Dibuixa un esquema que ho representi i inclou amb colors diferents els vectors velocitat i acceleració. A quina velocitat toparà contra terra? Quina serà l’altura màxima a la qual arribarà? Quin és el desplaçament de la pilota en el moviment de pujada? Considera nul el fregament amb l’aire i justifica els càlculs que fas.

g) Explica amb detall què li succeeix a un mòbil durant un llançament vertical. Quins passos s’han de seguir per calcular la velocitat a què un objecte llançat verticalment arribarà a terra i l’altura màxima que aconseguirà?

h) Des de terra llancem verticalment cap amunt un cos a una velocitat inicial de 20 m/s. Elabora les gràfiques y/t i v/t. Considera que l’acceleració de la gravetat terrestre té un valor de 10 m/s2.UNIT

AT DE M

OSTRA


Bl

oc

69

Assoli

m

Com

petències

Assolim competències

PETER CAIRNEY (prova PISA)

Les quatre preguntes següents formen part d'una unitat amb un estímul que és un fragment sobre Peter Cairney, que treballa per a l'Australian Road Research Board (Consell Australià d'Investigació Viària).

A continuació es presenta l'estímul:

…Una altra manera que té en Peter d'obtenir informació per millorar la seguretat de les carreteres és l'ús d'una càmera de televisió col·locada sobre un pal de 13 metres per filmar el trànsit d'una carretera estreta. Les imatges mostren als investigadors coses com ara la velocitat del trànsit, la distància entre els cotxes i quina part de la carretera utilitzen. Després d'algun temps es pinten línies divisòries a la carretera. Els investigadors poden utilitzar la càmera de televisió per observar si el trànsit és ara diferent. És el trànsit ara més ràpid o més lent? Van els cotxes més o menys distanciats entre si que abans? Els automobilistes circulen més a prop del marge de la carretera o més a prop del centre ara que hi ha línies? Quan en Peter conegui tot això podrà recomanar sobre si cal pintar o no pintar línies en carreteres estretes.

1. Si en Peter vol estar segur que està recomanant allò que és correcte, potser ha d'obtenir més informació a més de les se-ves filmacions. De les afirmacions següents, quina o quines l'ajudarien a estar més segur de la seva recomanació sobre els efectes de pintar línies en carreteres estretes?

a) Fer el mateix en altres carreteres estretes.

b) Fer el mateix en altres carreteres amples.

c) Comprovar el nombre d'accidents un temps abans i després de pintar les línies.

d) Comprovar el nombre de cotxes que utilitzen la carretera abans y després de pintar les línies.

2. Supsa que en Peter s'adona que, després d'haver pintat línies divisòries en un cert tram de carretera estreta, el trànsit canvia tal com s'indica a continuació:

• Velocitat: el trànsit va més ràpid.

• Posició: el trànsit es manté més a prop dels marges de la carretera.

• Distància de separació: cap canvi.

En vista d'aquests resultats es va decidir que s'haurien de pintar línies a totes les carreteres estretes. Penses que aquesta va ser la millor decisió? Escriu a a llibreta les teves raons per estar-hi a favor o en contra.

3. S'aconsella als conductors que deixin més espai entre el seu vehicle i el del davant quan viatgen a més velocitat que quan viatgen a menys velocitat, perquè els cotxes que van més ràpid necessiten més temps per frenar. Explica per què un cotxe que va més ràpid necessita més distància per aturar-se que un cotxe que va més lent.

4. Per televisió, en Peter veu un cotxe (A) que va a 45 km/h que es avançat per un altre cotxe (B) que va a 60 km/h. A quina velocitat li sembla que va el cotxe B a algú que viatja al cotxe A?

a) 0 km/h

b) 15 km/h

c) 45 km/h

d) 60 km/h

e) 105 km/hUNIT

AT DE M

OSTRA

El moviment U

nit

At

70

Juga amb la ciència

Juga amb la ciència

1 Comprova l’experiment de GalileuPer comprovar l’experiment de Galileu sobre l’acceleració de la gravetat, necessites una pilota o un altre objecte semblant i un full de paper.

1. Agafa la pilota amb la mà dreta i el full de paper amb l’esquerra. Estén els braços i deixa caure els dos objectes alhora. Quin dels dos objectes arriba primer a terra? Fes una hipòtesi sobre la possible causa que provoca que un dels objectes caigui més de pressa que l’altre.

2. Agafa la pilota amb la mà dreta i el full de paper amb l’esquerra. Estén els braços i deixa caure els dos objectes alhora. Quin dels dos objectes arriba primer a terra? Fes una hipòtesi sobre la possible causa que provoca que un dels objectes caigui més de pressa que l’altre.

• Coincideixen les hipòtesis de les dues situacions? En cas negatiu, redacta la conclusió a què has arribat com si es tractés d’un postulat.

Viatjar sense bellugar-se de llocImagina que estàs aturat o aturada a l’andana d’una estació d’autobusos. En un moment determinat passa un tren en sentit cap a l’est a una velocitat de 75 km/h respecte de tu.

a) A quina velocitat es mou el tren respecte de l’Albert, un científic que és dins del tren, assegut tranquil·lament al costat de la finestra?

b) A quina velocitat es mou el tren respecte de tu, que ets a l’andana sense moure’t?

c) En Sergi, un altre científic que estava assegut davant de l’Albert, s’aixeca del seient i comença a caminar en el mateix sentit que el tren a una velocitat de 4 km/h. A quina velocitat es mou en Sergi respecte de l’Albert?

d) A quina velocitat es mou en Sergi respecte de tu, que encara ets a l’andana sense bellugar-te?

e) L’Anna, que seu al costat d’en Sergi, s’aixeca i comença a caminar en sentit contrari al tren, és a dir, cap a l’oest, a una velocitat de 6 km/h. A quina velocitat es mou l’Anna respecte de l’Albert?

f ) A quina velocitat es mou l’Anna respecte de tu, que ets a l’andana?

g) A quina velocitat es mou l’Anna respecte d’en Sergi?

h) Si l’Anna, que està caminant en sentit oest, es treu una pilota de la butxaca i la llança cap a la dreta a una velocitat de 21 km/h, quina será la velocitat de la pilota respecte de tu, que ets a l’andana?

i) A quina velocitat et mous tu respecte d’en Sergi?

j) A quina velocitat et mous tu respecte de l’Anna?

k) A quina velocitat et mous tu respecte de la pilota?

l) L’Albert, que fins ara estava molt tranquil, decideix calcular a quina velocitat et mous tu (que encara ets a l’andana sense bellugar-te) respecte d’ell mateix. Quin és el resultat?

• Acabes d’experimentar el concepte de la relativitat! Sense moure’t de lloc has assolit una velocitat de 90 km/h!

2

UNITAT D

E MOSTRA


Bl

oc

71Juga amb la ciència

Troba la trajectòria correctaQuè va inventar Galileu? Descobreix la resposta prenent el camí correcte segons si l’afirmació és certa o falsa.

INICILa cinemàtica és la part de

la mecànica que estudia les diferents característiques

dels moviments.

% & (

El microscopi. El telescopi. El telèfon.

certafalsa

1 2 3

La velocitat és una magnitud escalar.

En un moviment rectilini, si no hi ha

variació de la velocitat, l’acceleració és 0.

Un radian és el que mesura un angle en el qual el radi i l’arc

de gir tenen la mateixa longitud.

4 5 6

El temps és una magnitud escalar.

En el moviment circular uniforme

l’acceleració és 0.

Un gir de 360º equival a rad.

7 8 9

En representar x / t en un MRUA obtenim

una línea recta.

En representar a / t en un MRUA, obtenim una línea horitzontal

paral·lela a l’eix d’abscisses.

En representar v / t en un MRU obtenim una línia recta inclinada.

! # $

La velocitat inicial en un moviment de

caiguda lliure és nul·la.

La velocitat angular es mesura en m/s.

En un moviment rectilini la longitud de

la trajectòria coincideix amb el desplaçament.

3

UNITAT D

E MOSTRA

Índex blo 1 e ll c e tfc - editorial teidenovetats.editorialteide.com/demo/9182.pdf˜el moviment...

Documents