nenjutnovski fluidi.pdf

8/19/2019 Nenjutnovski fluidi.pdf

1/90

Универзитет у Новом Саду

Факултет техничких наука

Нењутновски флуиди

Нови Сад, 2008.


2/90

2

САДРЖАЈ УВОД ...............................................................................................................................................................4 1. КЛАСИФИКАЦИЈА ПОНАШАЊА ФЛУИДА ..........................................................................................5

1.1 Њутнов закон вискозности ....................................................................................................................5 1.2 Нењутновско понашање ........................................................................................................................6

2. СТРУЈАЊЕ ГЕНЕРАЛИСАНОГ НЕЊУТНОВСКОГ ФЛУИДА У ЦЕВИМА ....................................... 10 2.1 Опште дефиниције и релације ............................................................................................................. 10 2.2 Брзина деформације на зиду цеви ....................................................................................................... 12

2.3 Релације између генералисаног флуида и флуида степеног закона ................................................... 13 2.4 Пад притиска при ламинарном струјању у цевима ............................................................................ 15 2.5 Пад притиска при турбулентном струјању у цевима.......................................................................... 15

3. ОДРЕЂИВАЊЕ СТРУЈНИХ КАРАКТЕРИСТИКА ................................................................................. 18 3.1 Капиларни вискометар ........................................................................................................................ 18 3.2 Вискометар са концентричним цилиндрима ...................................................................................... 23

4. ЛАМИНАРНА СТРУЈАЊА ...................................................................................................................... 29 4.1 Опште законитости.............................................................................................................................. 29 4.2 Струјање Бингамове (Бингхам) пластике кроз цилиндричну цев ...................................................... 30 Приближна примена Бакингамове једначине ........................................................................................... 31 Тачна примена Бакингамове једначине .................................................................................................... 32 Хершли-Баклијев модел ............................................................................................................................ 33 Расподела брзине за флуид степеног закона при ламинарном струјању у цеви ..................................... 39 4.4 Ламинарно струјање између паралелних плоча ................................................................................. 40 Бингамова пластика .................................................................................................................................. 41

Хершел-Баклијев модел ..................................................................................................................... 42 Струјање између непокретне и покретне плоче - Куетово струјање......................................................... 43 4.5 Ламинарно струјање кроз прстенасте цеви ......................................................................................... 43

Бингамова пластика .............................................................................................................................. 43 4.6 Ламинарно струјање флуида степеног закона кроз цев правоугаоног попречног пресека................ 50 4.7 Опште законитости ламинарног струјања без преднапона ................................................................ 52

Релације зависности Q- p ...... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ..... ...... ....... ....... ....... ....... ...... ...... ... 52 Профили брзина у ламинарном струјању ............................................................................................. 53

4.8 Корекциони фактор кинетичке енергије и локални губици при ламинарном струјању.................... 54 Улазни губитак и неразвијена струја .................................................................................................... 54

Нагло проширење у цеви ....................................................................................................................... 56 Струјање кроз нагла сужења и цевну арматуру ................................................................................... 56

5. ТУРБУЛЕНТНО СТРУЈАЊЕ ................................................................................................................... 60 5.1 Аналитичко одређивање отпора при турбулентном струјању ............................................................ 60

Примена једначине (5.1-31) на флуиде који нису степеног закона ...................................................... 65 Приближна експлицитна једначина за коефицијент трења ..................................................................... 66

Други прилаз одређивању отпора при турбулентном струјању у цеви ............................................... 67 Трећи прилаз одређивања отпора при турбулентном струјању у глатким цевима ............................. 68

5.2 Релације за отпор турбулентном струјању у храпавим цевима .......................................................... 70 6. НЕИЗОТЕРМНО СТРУЈАЊЕ . .................................................................................................................. 72 7. СТРУЈАЊЕ ДВОФАЗНЕ МЕШАВИНЕ ГАСА И ТЕЧНОСТИ У ЦЕВИМА.......................................... 78

7.1 Струјни узорци за двофазно струјање ................................................................................................. 78

7.2 Процена пада притиска по Локхарт и Мартинелијевом методу (Lockhart, Martinelli) када су обефазе турбулентне ....................................................................................................................................... 78

8. ПОЛИМЕРИ .............................................................................................................................................. 81 8.1 Струјање полимера .............................................................................................................................. 81 8.2 Вискозност полимера ........................................................................................................................... 81 8.3 Еластични ефекти код полимера ......................................................................................................... 83 8.4 Пумпе за полимере (екструдери) ......................................................................................................... 84 8.5 Прорачун пужастих транспортера полимера ...................................................................................... 84

Анализа упрошћене геометрије ............................................................................................................. 86 Специфична енергија ............................................................................................................................ 87

Моделирање ............................................................................................................................................... 88


3/90

3

Закони сличности између модела и прототипа ......................................................................................... 89


4/90

4

УВОД

Прва етапа у развоју динамике флуида била је класична теорија која се бавила имагинарним идеалним

флуидом или савршеним флуидом, који је нестишљив и невискозан. Кретање оваквог флуида је без

трења, као да не постоје тангенцијални напони. Постоји изобиље математичких релација за идеалан

флуид, али је њихова примена на кретање стварног флуида била јако ограничена све до појаве

Прантлове теорије о граничном слоју.

Друга етапа била је у успостављању принципа динамике флуида за најпростију врсту реалних флуида,

тј. оних који имају линеарну зависност између тангенцијалног напона и брзине деформације - тзв.

њутновских флуида.

Трећа етапа у развоју динамике флуида одвија се у овом тренутку. Она је изазвана растућом потребом и

важношћу материјала чије се струјне особине не могу карактерисати њутновским релацијама. Данас има

велики број индустријских области у којима се срећу флуиди са нењутновским понашањем, као што су

индустрија гуме, пластике, синтетичких влакана, нафте, сапуна и детерџената, козметике,

фармацеутских производа, цемента, хране, пулпе за хартију, боја, биолошких флуида, чврстих ракетних

горива, припреме руда и штампарска индустрија. Даље, нењутновски проблеми јављају се код струјања

крви, у развоју нуклеарних реактора који употребљавају торијумске и уранијумске суспензије,убризгавање нењутновских флуида у гранични слој пловних објеката као што су бродови и подморнице,

или у нафтоводе, у циљу смањења отпора.


5/90

5

1. КЛАСИФИКАЦИЈА ПОНАШАЊА ФЛУИДА

Уопштено посматрано нењутновских флуида има више од њутновских флуида, а за праве њутновске

флуиде сматрају се ваздух и вода.

Наука која се бави класификацијом нењутновских флуида назива се реологија.

1.1 Њутнов закон вискозности

Разматрају се две паралелне плоче површине А на растојању d y дате на слици 1.1-1. Простор између

плоча испуњен је флуидом. Доња плоча се креће брзином v, а горња плоча брзином v-d v. Мала разлика у

брзини d v између плоча даје за резултат отпорну силу F која делује по површини А услед вискозних

ефеката у флуиду.

Слика 1.1-1 Градијент брзине између две плоче

Сила F везује се за доњу плочу да би се одржала разлика у брзинама d v између две плоче. Сила по

јединици површине F /А позната је као тангенцијални напон . Сила отпора не јавља се уколико не

постоји промена брзине флуида изнад плоче.

Како брзина v опада са порастом растојања y, градијент брзине пише се са негативним знаком - d v/d y.

Њутнов закон вискозности гласи: тангенцијални напон пропорционалан је градијенту брзине -d v/d y у

флуиду. Константа пропорционалности позната је као динамичка вискозност . Њутнов закон

вискозности може да се напише као

d

d

v

y (1.1-1)

Флуиди за које важи ова једначина називају се њутновски флуиди. Флуиди који се не повинују овој

једначини називају се нењутновски флуиди.

За хоризонталну брзину v x једначина (1.1-1) пише се у облику

d

d

x yx

v

y (1.1-2)

где први индекс y означава нормалу на раван у којој делује напон , а други индекс x, смер напона, или у радијалном правцу r у облику:

d

d

x

rx

v

r (1.1-3)

Њутнов закон вискозности важи за Њутновске флуиде при ламинарном струјању. За Њутновске флуиде

при ламинарном струјању, градијент брзине -d v/d y такође се често пише и као , тј. брзина деформације.Њутнов закон вискозности пише се у једном од следећа три облика:

,

или

(1.1-4)

(динамичка вискозност представља количник тангенцијалног напона и брзине деформације).


6/90

6

При ламинарном струјању флуида, молекули који се крећу већим брзинама дифундују у спору струју и

обрнуто, при чему се дешава промена количине кретања у правцу управном на правац струјања.

Једначина (1.1-2) такође може да се напише као

d

d

x yx

v

y (1.1-5)

где је = / , вискозна дифузивност или кинематска вискозност.

При турбулентном струјању, промена количине кретања дешава се приликом кретања ситних коначних

вртлога додатих на молекулско кретање. Тангенцијални напон за турбулентну струју дат је једначином

d

d

x

yx e

v

y (1.1-6)

где је е вискозна дифузивност вртлога (кинематска вискозност вртлога). У турбулентној струји,

вискозна дифунзивност ситних вртлога е, много је већа од молекулске вискозне дифунзивности .Према томе, у турбулентној струји постоје велики тангенцијални напони.

1.2 Нењутновско понашање

За њутновске флуиде, график тангенцијалног напона у функцији од брзине деформације у

Декартовим координатама дат је у виду праве линије са нагибом једнаким динамичкој вискозности ,

док за нењутновске флуиде ова зависност није права линија. Графици за у функцији од одређују се

вискозиметром. За различите парове и , њихов количник није исти, па се код нењутновских флуида

не може говорити о вискозности. Зато се за нењутновске флуиде дефинише привидна вискозност а

a

(1.2-1)

чија промена одређује врсту флуида.

Када привидна вискозност а опада са повећањем брзине деформације , као што је дато на слици 1.2-1,

флуид је псеудопластичан. Када а расте са порастом (слика 1.2-2), флуид је дилатантан. На слици

1.2-1 дата је промена тангенцијалног напона у функцији од брзине деформације за псеудопластични

флуид, а на слици 1.2-2 за дилатантни флуид.

Слика 1.2-1 Тангенцијални напон у функцији од

градијента брзине за псеудопластични флуид

Слика 1.2-2 Тангенцијални напон у функцији од

градијента брзине за дилатантан флуид

Следећи тип нењутновских флуида је Бингамова пластика. Његов дијаграм у функцији од дат је на

слици 1.2-3 у виду праве линије која креће од B на ординатној оси. Преднапон B је напон који се мора

достићи да би дошло до струјања. Флуид при мировању има тродимензионалну структуру са довољном


7/90

7

крутошћу да се одупре било ком напону мањем од преднапона. Када се овај напон пређе, систем се

понаша као њутновски флуид под тангенцијални напоном - B. За Бингамову пластику, нагиб праве -

B=B(d v/d y) одређен је са B и назива се коефицијент крутости.

Слика 1.2-3 Тангенцијални напон у функцији од градијента брзине за Бингамову пластику

Псеудопластични флуиди, дилатантни флуиди као и Бингамова пластика примери су временски

независних нењутновских флуида, тј. привидна вискозност зависи само од одговарајућих количника и

, који се не мењају са временом.

За извесне класе флуида привидна вискозност мења се током времена, па су то временско зависни

нењутновски флуиди. Флуиди који временом постају псеудопластичнији, при константном градијенту

брзине, називају се тиксотропни. Њихова структира ломи се прогресивно са временом при константном

градијенту брзине. Тиксотропија је реверзибилан процес. Могуће је да се достигне динамичка равнотежа

када се степен сламања структуре уравнотежи са симултаним степеном реформирања. Псеудопластични,

па чак и дилатантни флуиди показују тиксотропно понашање.

Већина тиксотропних флуида враћају своју почетну вискозност уколико се оставе довољно дуго времена.

Неки флуиди то постижу скоро одмах, док другима треба и по неколико часова.

Дијаграм тангенцијалног напона у функцији од градијента брзине за тиксотропaн флуид дат је на

слици (1.2-4а) која приказује ефекте хистерезиса (временски променљив градијент брзине за константно

). Крива добијена при повећавању градијента брзине не поклапа се са кривом која се добија при

опадању градијента брзине.

Слика 1.2-4а Тангенцијални напон у функцији од

градијента брзине за тиксотропан флуид

Слика 1-2-4б Тангенцијални напон у функцији од

градијента брзине за реопектан флуид

Флуиди који временом постају дилатантнији при константном градијенту брзине познати су као

реопектички флуиди (слика 1.2-4б ). Током времена долази привремено до очвршћавања. Изнад критичне

тачке јавља се прелом. Уколико је градијент брзине велик не долази до очвршћавања. У општем случају

привидна вискозност реопектичког флуида расте са временом до неке максималне вредности при


8/90

8

константном градијенту брзине. Ако се оставе извесно време, већина реопектичких флуида враћа

почетну вискозност.

Временско зависни нењутновски флуиди ретки су у пракси.

Још једна важна група нењутновских флуида су вискоеластични (полимери). Они показују и вискозна и

еластична својства. Код чисто еластичног крутог тела, напон одговара датој деформацији и не зависи од

времена, док код вискоеластичних материјала, напон временом дисипира. Када се вискоеластични

материјал пропусти кроз фине перфорације, попречни пресек струје може бити знатно већи од

перфорација кроз које пролази. Ово је резултат делимичног еластичног опоравка материјала.

За њутновске флуиде, брзина деформације линеарна је функција тангенцијалног напона ( = / ).

За нењутновске флуиде однос и много је комплекснији и за случај временски независног флуида

важи следеће

( ) f ;a

(1.2-2)

где је а привидна вискозност која се дефинише касније, тј.

d ( )

d

x

yx

v f

y и

d ( )

d

xrx

v f

r (1.2-3)

Горње једначине представљају опште једначине за временски независне флуиде код којих функционална

зависност тангенцијалног напона од градијента брзине није дефинисана.

Уобичајено је коришћење математичких модела који описују реолошко понашање нењутновских флуида.

Најједноставнија и најчешће коришћена релација је тзв. степени закон

( )nK (1.2-4)где се K назива конзистенција, а n струјни индекс. Флуиди који се понашају по наведеном закону,

називају се флуиди степеног закона.

За псеудопластичне флуиде n1. У случају њутновских флуида n=1, а K

постаје динамичка вискозност .

Постоје бројне критике на рачун коришћења степеног закона зато што нема теоријску основу и може се

показати да не важи за нестационарне системе. Међутим, емпиријски подаци многих флуида се врло

добро поклапају са степеним законом, што је довољно за инжењерску праксу.

У функцији од брзине v x, једначина (1.2-4) може да се напише као 1

d d

d d

n

x x yx

v vK

y y

(1.2-5)

или за осносиметрично струјање 1

d d

d d

n

x x

rx

v vK

r r

(1.2-5а)

Други математички модели који се користе за временски независне нењутновске флуиде су Ајрингов,

Елисов и Рајнер-Филипов модел.

Ајрингов модел је дво-параметарски модел и пише се у облику

d 1arcsin

d

x yx

v A h

B y

(1.2-6)

Елисов модел је тро-параметарски


9/90

9

1d

( )d

m x yx yx

v A B

y (1.2-7)

Рајнер-Филипов модел је такође тро-параметарски

2

d

d

1 ( )

yx x

yx

v

B A y A

c

(1.2-8)

Ови реолошки математички модели настали су из емпиријских кривих које одговарају једначинама.

Нису поуздани када се користе изван опсега постојећих података. Њихови параметри су, сваки понаособ,

функција температуре, притиска и других фактора.

1.3 Коефицијент трења и пад притиска у цеви

Пад притиска у цилиндричној цеви зависи од тангенцијалног напона 0 који делује по унутрашњој

површини цеви. Одређује се из равнотеже силе притиска pD2 /4 и силе трења 0 D L за цевну деоницудужине L

04 L p D

(1.3-1)

Ова једначина може да се напише и као 2

0

28

2

L v p

v D

(1.3-2)

где је израз у првој загради бездимензиони основни коефицијент трења f ј.

0

2 j f

v

(1.3-3)

Тако да једначина (1.3-2) може да се напише као 2

82

j

L v p f

D

(1.3-4)

Последња једначина важи без обзира на природу флуида.

Основни фактор трења f ј представља половину Фанинговог коефицијента трења f , па иста једначина

може да се напише као 2

42

L v p f D

(1.3-5)

Однос Фанинговог коефицијента трења f и коефицијента трења у Моодy- јевом дијаграму или у Дарсy -

Вајсбаховој једначини je

4 f те је

2

2

L v p

D

;

за ламинарно струјање

64

Re (1.3-6)

Из последње две једначине добија се Хаген-Поазејева једначина за стационарно ламинарно струјање

Њутновских флуида у цевима. 2

32

p Dv

L

(1.3-7)

која може да се напише се и у следећем облику

8

4

p v

L D D

(1.3-8)

где израз (8v/D) представља струјну карактеристику.

Последња једначина може да се комбинује са једначином (1.3-1), па се добија


10/90

10

08v

D

тј. 08v

D

(1.3-9)

где је v средња брзина у цеви. За њутновски флуид (8v/D) одговара брзини деформације на зиду цеви

при ламинарном струјању, те је

0 0

1.4 Струјна карактеристика у функцији од градијента брзине у цевима

Укупни запремински проток кроз цев кружног попречног пресека дат је изразом / 2

0

2 d D

xQ rv r (1.4-1)

Ова једначина може делимично да се интеграли.

Парцијална интеграција сложене функције zy своди се на:d( ) d d

d d

zy z y y z

zy z y y z

и

d d y z zy z y (1.4-2)

Ако се уведу смене: z= r 2

и y=v x, тада је d z=2 r d r , d y=d v x и d 2 d

x y z rv r .

Проток сада може да се напише као

/ 2 / 2

/ 22 2

00 0

d 2 d d

d

D D D

x

x x

vQ rv r r v r r

r

(1.4-3)

Пошто је на зиду цеви r = D/2, а линеарна брзина v x=0 (сматра се да нема клизања) следи

/ 2

2

00

D

xr v .

Запремински проток може да се напише у функцији брзине деформације (градијента брзине) -d v x/d r / 2

2

0

d d

d

D

xv

Q r r r

. (1.4-4)

Средња брзина у цеви v добија се из протока:

2 4

Qv

D (1.4-5)

Комбинацијом последње две релације добија се / 2

2

3

0

d 8 32d

d

D

xvv

r r D D r

(1.4-6)

где је (8v/D) струјна карактеристика. Последња једначина даје (8v/D) у функцији од градијента брзине и

цео пресек цеви.

2. СТРУЈАЊЕ ГЕНЕРАЛИСАНОГ НЕЊУТНОВСКОГ ФЛУИДА У

ЦЕВИМА

2.1 Опште дефиниције и релације

Разматрају се некомпресибилни и временски независни флуиди.

Уобичајено је да се реолошка својстава нењутновског флуида за струјање у цевима кружног попречног

пресека представљају као график тангенцијалног напона на зиду цеви 0 у функцији од струјне


11/90

11

карактеристике (8v/D). Подаци се цртају у Декартовим или у лог-лог координатама. Нагиб лог-лог криве

у свакој тачки је струјни индекс - индекс n који може да се напише као

0d ln

d ln(8 / )n

v D

или

d ln /(4 / )d ln(8 / )

p L Dn

v D

(2.1-1)

Слика 2.1-1 Тангенцијални напон на зиду цеви у функцији од струјне карактеристике за нењутновски

флуид

Слика 2.1-1 приказује график 0= p/(4 L/D) у функцији од (8v/D) за типичан временски независаннењутновски флуид који струји кроз цев. За ламинарно струјање овај график дат је једном линијом

независном од димензија цеви и за турбулентно струјање као поједине линије за сваку цев понаособ.

Почетак турбуленције изазива оштар пораст тангенцијалног напона 0.

Једначина (2.1-2) може да се напише као

8

4

n

D

p vK

L D D

(2.1-2)

или1

8 8

4

n

D

p v vK

L D D D

(2.1-3)

где су: -

DK - конзистенција флуида који струји кроз цев и мења се из тачке у тачку, а повезује тангенцијални

напон на зиду 0 и струјну карактеристику 8v/D

- n - струјни индекс који се такође мења из тачке у тачку.

Ознака (над K D и n) указује да је у питању генералисани флуид чија се својства мењају из тачке у тачку.Израз у угластој загради представља привидну вискозност за струјну карактеристику ( а) D.

По аналогији са једначином (1.3-8) за њутновске флуиде, следећа једначина може да се напише за

нењутновске флуиде:

08

4 a D

p v

L D D

(2.1-4)

где је привидна вискозност ( а) D дефинисана као однос тангенцијалног напона на зиду цеви и струјне

карактеристике, односно

1

0 88

4 /8

n

a D D

v p vK

L D Dv D D

. (2.1-5)

Рејнолдсов број за струјање генералисаних нењутновских флуида у цевима може да се дефинише као

a D

vD Re

(2.1-6)

тј.

1(8 )n D

vD Re

K v D

односно2

18

n n

n

D

v D Re

K

. (2.1-7)


12/90

12

Друге привидне вискозности за генералисане флуиде, а преко градијената брзина могу бити дефинисане

за зид цеви:

00

0

( )a

(2.1-8)

и средње вредности:

( ) sr a sr

sr

(2.1-9)

За њутновске флуиде струјна карактеристика у цеви 8v/D линеарна је функција тангенцијалног напона

на зиду цеви 0 и дата је једначином

08v

D

За генералисане временски независне нењутновске флуиде, веза између 8v/D и 0 је знатно комплекснија

и може се написати као

08v

D (2.1-10)

На слици 2.1-2 приказана је основна разлика између генералисаног флуида и флуида степеног закона.

Разлика је изражена правом линијом у лог-лог дијаграму 0= f (8v/D) за флуид степеног закона и глатком

кривом за генералисани временски независан флуид.

Слика 2.1-2 Генералисани флуид и флуид степног закона у лог- лог координатама

2.2 Брзина деформације на зиду цеви

За њутновске флуиде брзина деформације на зиду цеви 0 једнак је струјној карактеристици (8v/D).

За генералисане временски независне нењутновске флуиде, брзина деформације на зиду цеви 0 дата је

једначином

0

8 3 1

4

v n

D n

(2.2-1)

што се у наставку доказује.

Већ је показано да се струјна карактеристика (8v/D) односи према градијенту брзине у некој тачки на

радијусу (-d v x/d r ) према једначини (1.4-6); тј / 2

2

3

0

d 8 32d

d

D

xvv

r r D D r

За генералисани временски независан нењутновски флуид (8v/D) такође представља функцију

тангенцијалног напона на зиду 0 тј. 08 ( )v D . Познато је да је градијент брзине у тачки у цеви(d v x/d r ) функција тангенцијалног напона

d ( )

d

xrx

v f

r ,


13/90

13

а на зиду цеви она постаје

0 0

0

d ( )

d

xv

f r

(2.2-2)

што значи да за генералисани нењутновски флуид, градијент брзине на зиду цеви 0 није једнак струјној

карактеристици 8v/D.

Ако се претпостави да се задржавају пропорције које важе за њутновски флуид: р x: 0 =r :D/2, следи

02

rx D

r

, а 0

d

d 2

rx D

r

(2.2-3)

Заменом једначина (2.1-5), (1.2-3), (2.2-3) у (1.4-6) и након сређивања добија се 0

3 2

0 0

0

( ) 4 ( ) ( )d rx rx rx

f

(2.2-4)

Диференцирањем претходне једначине по 0 добија се 2 3 2

0 0 0 0 0 03 ( ) ( ) 4 ( ) f (2.2-5)а након сређивања гласи

0 0 0 04 ( ) 3 ( ) ( ) f (2.2-6)Претходна једначина може се написати и у развијеном облику

0 00 0 0 0

0 0

( )4 ( ) 3 ( ) d ( )

d ( )

f

(2.2-7)

Међутим,

00 0

0

( )d d ln ( )

( )

(2.2-8)

и

00 0

0

d d dln

(2.2-9)

Заменом једначина (2.2-8) и (2.2-9) у (2.2-7) добија се

00 0 0

0

d ln ( )4 ( ) 3 ( ) ( )

d ln f

(2.2-10)

Заменом једначине (2.2-2) у (2.2-10) добија се

0

0

8 dln(8 / )4 3

d ln

v v D

D

(2.2-11)

Ако се једначина (2.1-1) напише на следећи начин

0

1 dln(8 / )

d ln

v D

n

и замени у једначину (2.2-11) добија се

0

8 14 3

v

D n

(2.2-12)

или

0

8 3 1

4

v n

D n

Претходна једначина (2.2-1) је Мецнер и Ридова трансформација Рабиновичеве једначине и важи за све

генералисане временски независне нењутновске флуиде.

2.3 Релације између генералисаног флуида и флуида степеног закона

За њутновске флуиде важи:

0 0 0

d 8; ;

d 4

v pD v

y L D

где су:


14/90

14

- динамичка вискозност, =const.

0 - градијент брзине на зиду једнак је струјној карактеристици 8v/D.

Рејнолдсов број је

vD Re

Коефицијент трења за ламинарно струјање је

64

Re За генералисан нењутновски флуид важи:

nK

где је:

K - конзистенција за градијент брзине.

08 8

4

n

D a D

pD v vK

L D D

где су:

DK - конзистенција за струјну карактеристику цеви

( а) D - привидна вискозност за струјну карактеристику и једнака је

18 n

a D D

vK

D

.

Тангенцијални напон на зиду цеви може да се изрази као

0 00a

где је:

0 - градијент брзине на зиду цеви у функцији од струјне карактеристике дат изразом

0

8 3 1

4

v n

D n

.

Веза између привидне вискозности за струјну карактеристику и привидне вискозности на зиду цеви дата

је релацијом

0 3 14a a D n n

где је:

- 0a

- привидна вискозност на зиду цеви и дата је као

00

0

a

.

Средња привидна вискозност дата је једначином

sr a sr sr


18 n

vD Re

vK

D

.

Коефицијент трења за ламинарно струјање је

64

Re

За нењутновске флуиде степеног закона важе једначине:

00;n nK K

0

8

4

n

D

pD vK

L D


15/90

15

где су:

K - конзистенција за градијент брзине

K D - конзистенција за струјну карактеристику

Градијент брзине на зиду цеви0 у функцији од струјне карактеристике једнак је

0

8 3 1

4

v n

D n

.

Зависност између конзистенције K D за струјну карактеристику (8v/D) и конзистенцију за градијент

брзине (

) дата је изразом

3 1

4

n

D

nK K

n

.

Привидна вискозност за струјну карактеристику је

1

8 n

a D D

vK

D


18 na D D

vD vD Re

vK

D

2.4 Пад притиска при ламинарном струјању у цевима

За било који временски независан нењутновски флуид, график p/(4 L/D) у функцији од (8v/D) може седобити или помоћу капиларног вискозиметра или помоћу модела цевовода. Градијент притиска ( p/L) заодређени флуид при ламинарном струјању у цеви може се израчунати из одговарајућег дијаграма

p/(4 L/D) у функцији од (8v/D).

Вредност Рејнолдсовог броја Rе при одређеној струјној карактеристици (8v/D) може се израчунати из

једначине (2.1-7), ако су дати DK и n у одређеној тачки

' 1(8 )n D

vD Re

K v D

Вредност коефицијента трења за ламинарно струјање може да се израчуна из једначине

64

Re

(2.4-1)

Пад притиска за ламинарно струјање генералисаног временски независног нењутновског флуида

израчунава се на исти начин као и за њутновски флуид 2

2

L v p

D

где је =64/ Rе .

2.5 Пад притиска при турбулентном струјању у цевима

Теорија турбулентног струјања у цевима мање је развијена од теорије ламинарног струјања. Стога се падпритиска у турбулентној струји процењује с мањом тачношћу него за ламинарну струју.

За турбулентно струјање генералисаних временски независних нењутновских флуида у глатким

цилиндричним цевима, Доџ и Мецнер предложили су следећу једначину

4b

a

Re

( =4 f ) (2.5-1)

за израчунавање Фанинговог коефицијента трења, где су а и b функције индекса струјног понашања n' .

Вредности а и b за различите вредности n' дате су у табели (2.5-1):


16/90

16

За турбулентно струјање генералисаног временски независног

нењутновског флуида у глатким цилиндричним цевима, Доџ и

Мецнер су такође дали фон Карманову једначину у следећем општем

облику '

12

0,75 1,2

1 4 0,4log

( ') ( ')

n

Re f n n f

( f = /4) (2.5-2)

Једначина (2.5-2) своди се на њутновску форму Карманове једначине

за n' =1

1 14log 0,4 Re

f f

(2.5-3)

Пад притиска израчунава се на исти начин као за њутновске флуиде 2

2

L v p

D

Пример 2.5-1

Генералисан временски независан нењутновски флуид густине =961 kg/m3 струји стационарно са

средњом брзином v=1,523 m/s кроз цев дужине 3,048 m и унутрашњег пречника 0,0762 m. За горе

наведене услове, коефицијент конзистенција у цеви је D

K =1,48 (N/m2)s0,3, а индекс струјног понашања је

n =0,3. Израчунати вредност привидне вискозности и Рејнолдсов број за дату тачку, као и пад притиска у

цеви. Решење:

Привидна вискозност (2.1-5)

' 1

8 n

a D D

vK

D

Рејнолдсов број

a D

vD Re

струјна карактеристика

18 8 1,523 m/s 159,9 s0, 0762 m

v

D

0,3 1

1,48 159,9 0,04242 Pa sa D

961 1, 523 0, 0762 m

26290,04242

Re

>2300 струјање је турбулентно

Фанингов коефицијент трења

b

a f

Re

из табеле (2.5-1) за n' =0,3, а=0,0685 и b=0,325

0,325

0,06850,005302

2629 f

Ова вредност за f уноси се у десну страну једначине (2.5-2) и спроводи се итеративни поступак:

1. корак: f =0,005302

'

11 0 ,152

0,75 1,2 0,75 1,2

1 4 0,4 4 0,4log log 2629 0,005302 14,42

( ') ( ') 0,3 0,3

n

Re f n n f

1/ 2 0,0693317

0,004807

f

f

2. корак

0,005302 0,0048070,005054

2 f

Табела (2.5-1) Параметри а и b

у Доџ и Мецнеровој једначини

n' а b

0,2 0,0646 0,349

0,3 0,0685 0,325

0,4 0,0712 0,307

0,6 0,0740 0,281

0,8 0,0761 0,263

1,0 0,0779 0,2501,4 0,0804 0,231

2,0 0,0826 0,213


17/90

17

'

11 0,152

0,75 1,2 0,75 1,2

1 4 0,4 4 0,4log log 2629 0,005054 12,788

( ') ( ') 0,3 0,3

n

Re f n n f

f =0,00612

3. корак

0,005045 0,006120,005583

2 f

'

11 0 ,152

0,75 1,2 0,75 1,2

1 4 0,4 4 0,4log log 2629 0,005583 13,151

( ') ( ') 0,3 0,3

n

Re f

n n f

f =0,005782

4. корак

0,005583 0,0057820,0056825

2 f

'

11 0 ,152

0,75 1,2 0,75 1,2

1 4 0,4 4 0,4log log 2629 0,0056825 13,215

( ') ( ') 0,3 0,3

n

Re f n n f

f =0,005725

5. корак

0,0056825 0,0057250,005704

2 f

'1

1 0 ,1520,75 1,2 0,75 1,2

1 4 0,4 4 0,4log log 2629 0,005704 13,22

( ') ( ') 0,3 0,3

n

Re f n n f

f =0,00571

6. корак

0,005704 0,005710,005709

2 f

'

11 0 ,152

0,75 1,2 0,75 1,2

1 4 0,4 4 0,4log log 2629 0,005709 13,23

( ') ( ') 0,3 0,3

n

Re f n n f

f =0,00571

Коначно, f = 0,00571

пад притиска је 2

2

L v p

D

23, 048 961 1, 5234 0,00571 1018,46 Pa

0,0762 2 p


18/90

18

3. ОДРЕЂИВАЊЕ СТРУЈНИХ КАРАКТЕРИСТИКА

Мада постоји више типова вискозиметара многи од њих нису погодни за прикупљање научних или

инжењерских података. Конструктивне карактеристике таквих уређаја не омогућавају одређивање

тангенцијалног напона и брзине деформисања, те се не може нацртати струјна крива. Вискозиметри

којима се могу одредити зависност напона од брзине деформисања су:

капиларни

цилиндрични ротирајући

цилиндрични ротирајући са "бесконачним флуидом"

конусни и плочасти.

3.1 Капиларни вискометар

Основна могућност овог уређаја је мерење пада притиска при ламинарном струјању флуида кроз

капиларну цев. Струјна крива може се конструисати из неколико мерења при разним познатим

притисцима. Овај вискометар показан је на слици 3.1-1.

Слика 3.1-1 Вискометар са капиларном цеви

Одређивање струјне криве (d

,d

v

y )

За устаљено и развијено струјање кроз цев важи 2

04

D p DL

или

0( )4

rx r R

D p

L

(3.1-1)

Брзина деформисања на зиду цеви (градијент брзине на зиду) може се добити из Рабиновичеве

једначине, која се изводи на следећи начин:

d 2 d Q v r r где је v брзина на радијусу r.


19/90

19

Проток се одређује на већ приказан начин, уз коришћење парцијалне интеграције: 2

2

0 0 0

d 2 d d( )

Q R R

Q Q v r r v r 2

2 2

0

d R

Q vr r v 2

2

0d

R

Q r v (3.1-2)Струјање је ламинарно и устаљено, флуид временски независан и нема клизања на зиду:

d

d d d

rx rx

v f v f r

r

22 2

0 2

0 0

d d rxrx rx

r Rr R r

R

На основу претходна два израза може се написати:

0

d d rx rx

Rv f

0 0

0

2 2 32

2 30 00 0

d d rxrx rx rx rx rx

R R RQ f Q f

33

;2 8

D D

R R

0 2

3 3 00

8 1d

rx rx rx

Q f

D

(3.1-2а)

03 2

03 0

8d

rx rx rx

Q f

D

(3.1-2б) тј, диференцирањем по d 0 и заменом 0= D p/4 L добија се:

3

3

0

8d

8 d 3

4 d d

4

rx

Q

Q D p v D f

d p D L r

L

(3.1-3)

Ово је Рабиновичева једначина која даје брзину деформисања на зиду када је струјање устаљено и

ламинарно. Једначина може даље да се трансформише:

0

1 8 8d

4d 3 8 8 8 3 1 d ln(8 / )

d 4 4 4 d ln( /(4 ))d

4 4

v v

D Dv v v v v D

D p D pr D D D D p L

L L

или

0

0

d 8 3 1 3 ' 1 8

d 4 4 ' 4 '

v v n v

r D n n D

(3.1-4)

где је n струјни индекс генералисаног флуида:

d ln( 4 )d ln(8 / )

D p Lnv D

(3.1-5)

што је у сагласности са раније датим релацијама (2.1-1) и (2.2-1).

Из Поазејеве једначине за њутновски флуид следи: 2

0

8

4

D v p DL DL

D

тј.

2 2

8 32 Lv Lv p

R D


20/90

20

па овај израз може да се трансформише у облик:

8

4

D p v

L D

одакле је

8ln ln ln

4

8dln d ln +dln

4

D p v= +

L D

D p v=

L D

одакле је

d ln4

= =18

dln

D p

Ln

v

D

пошто је =const.

Ако се ова вредност унесе у једначину (3.1-4) следи да је за њутновски флуид:

0

0

d 8

d

v v

r D

Ово наравно не важи за нењутновски флуид, јер није константно. У најопштијем случају(генералисани флуид) n

' ће варирати са положајем на логаритамској кривој

8

4

D p v f

L D

.

Слика 3.1-2 Одређивање вредности n и K у тачки струјног поља генералисаног флуида у лог- лог

дијаграму

Мерења извршена на капиларном вискометру претварају се у лог-лог дијаграм 4 8 D p L f v D , а n' се налази као нагиб криве у некој тачки за одређену вредност тангенцијалног напона на зиду

( 0= D p/4 L), а одговарајућа вредност брзине деформисања (-d v/d r )0 на зиду налази се из једначине (3.1-4). Овај процес се понавља за различите вредности 0 да би се добила струјна крива (слика 3.1-2).

Из раније приказане и познате релације:

0

8( )

4

n

rx r R

D p vK

L D

где се у већини случајева K’ и n’ мењају са ( D p/4 L) у функцији од (8v/D), K’ представља одсечак наординати (8v/D)=1. Пошто једначина (3.1-4) важи за ламинарно струјање, јер се користи капиларна цев,

мора се утврдити да ли је исти струјни режим за цео опсег струјне карактериситке. Критеријум за ово је

генералисани Рејнолдсов број који треба да буде мањи од 2100. ' 2

12100

8

n n

n

D v Re

K


21/90

21

Корекције

Мерења извођена капиларним вискозиметром потребно је кориговати. Потребне су следеће четири

корекције:

1. за амбијентни притисак на излазу флуида

2. за кинетичку енергију

3. за улаз у капиларну цев

4. за евентуално клизање на зиду цеви (само за изузетне случајеве).

а) б)

Слика 3.1-3 Резервоар са капиларом на који се примењује Бернулијева једначина

Прве три корекције укључене су у Бернулијеву једначину за струјање од тачке 1 до тачке 2 (слика 3.1-3)2 2

1 21 2( )

2 2

gas ag

p pv vg L L gh

(3.1-6)

где је корекциони фактор за кинетичку енергију, а ghg сума свих губитака од тачке 1 до тачке 2.Брзина v1 је приближно нула, а губици су услед трења у развијеном струјању и улаза у капиларну цев:

2

2

2g ul

v pgh

Заменом губитака у једначину (3.1-6) добија се p

2

2 2

1( )

2 2

ul

gas a p p p g L L v

(3.1-7)

Код њутновских флуида за развијено ламинарно струјање =2, а за заобљен улаз у цев коефицијент

локалног губитка ul=0,23. Израз за њутновски флуид је 2

2121 v ,) L L(g p p p agas (3.1-8)

међутим за нењутновске флуиде зависи од њихових реолошких особина. До сада коефицијент улазноггубитка ul није чврсто установљени за нењутновске флуиде. Нека (ограничена) мерења показују да је

комбиновани ефект који потиче од и ul исти као и код њутновског флуида, па се зато једначина (3.1-8)

употребљава и за нењутновске флуиде.

Пример 3.1-1

Применити једначину (3.1-8) за мерења извршена при струјању одређеног нењутновског флуида кроз

капиларни вискометар коришћењем три различита пречника цеви. Температура флуида износи 15 C.Одреди параметре потребне за цртање криве тј. у функцији (d v/d r ). Проверити да ли подаци одговарајуламинарном струјању.


22/90

22

D

mm L

cm m

kg/h p

Pa 1,27 12,7 0,404 313

1,27 12,7 0,0583 117,8

2,54 25,4 1,56 235

2,54 25,4 0,29 88,3

3,8 38 3,72 130,5

3,8 38 0,5250 39

Решење:

Подаци се најпре морају припремити за дијаграм 0= f (8v/D).

3 3

8 32 32

3600

v Q m

D D D

s-1 и

04

D p

L

па за прву линију података добија се:

1

3

0 2

8 32 0,404500 s

3600 1095 (0, 00127)

0,00127 31,3 10000 W7800

4 0,127 m

v

D

остале вредности су наведене у табели:

D mm L cm 0 N/m2 8v/D s-1 симбол на цртежу

1,27 12,7 7800 500 x

1,27 12,7 2830 72 x

2,54 25,4 5880 240

2,54 25,4 2200 45

3,8 38 4880 170

3,8 38 1470 24

Слика 3.1-4 Лог- лог одијаграм за одређивање K

0 је нацртано у функцији од (8v/D) у логаритамским кординатама (слика 3.1-4). Крива није линеарна,

што показује да флуид није степеног закона у овој области тангенцијалног напона. Пошто подаци за све

три цеви леже на једној кривој (јединој), види се да је једначина (3.1-8) обухватила улазне губитке, и да

је флуид временски независан и не показује ефективно клизање на зиду цеви.

где су:

=1095 kg/m3

D - пречник цеви

L - дужина цеви

m - масени проток флуида

p - пад притиска услед трења


23/90

23

Употребљавајући стандардни метод за цртање тангенцијале, уцртавају се тангенцијале на криву у

различитим тачкама вредности (8v/D), да би добили одговарајућу вредност n (из нагиба тангенцијали) и

K (из тангенцијалног одсечка при (8v/D)=1.

Као пример узима се тангенцијала у (8v/D)=350 s-1

На основу овога се израчунава:

101 02

1 2

log( / ) log(1485/10391)0,408 s

log (8 / ) /(8 / ) log(10 /1000)n

v D v D

док је 630,957K

Пример 3.1-2

Користећи податке из претходног примера израчунати K' , n' и 0

d d v r из једначине (3.1-4), за следеће

вредности (8v/D) =30, 70, 160, 350 и проверити да ли је струјање увек ламинарно.

Решење:

Решење се своди на цртање логаритамског дијаграма 0= f (8v/D) и на основу овако добијене струјне

криве и тангенцијале на струјну криву одређују се вредности за n' и K' слично претходном примеру.

Провера да ли је струјање ламинарно врши се преко Рејнолдсовог броја: 2

12100

8

n n

n

D v Re

K

.

3.2 Вискометар са концентричним цилиндрима

Oвај инструмент конструисан је тако да је течан флуид смештен у прстенастом простору између два

цилиндра (саосна) од којих је један покретан а други стационаран. Показаће се да се једном серијом

мерења угаоне брзине обртног цилиндра и обртног момента примењеног на непокретан цилиндар може

нацртати струјна крива. Постоји много инструмената базираних на овом принципу чије су главне

карактеристике показане на слици 3.2-1.

Флуид је смештен у простор између цилиндара. Непокретан цилиндар обешен је торзионом жицом о

један фиксни држач. Очитава се брзина обртања спољног цилиндра и торзиони момент непокретног

цилиндра преко одговарајућег индикатора.

Слика 3.2-1 Вискометар са концентричним цилиндрима

Одређивање струјне криве d d yx f v y

Уравнотежење момента на површини непокретног цилиндра, при обртању покретног устаљеном

угаоном брзином, може се представити 2(2 ) 2

b b b b b R l R R l M где је М измерени торзиони момент, а Rb радијус непокретног цилиндра. Одавде следи:

22b

b

M

R l

(3.2-1)


24/90

24

b је тангенцијални напон на површини непокретног цилиндра. Једначина (3.2-1) занемарује ефекте

смицања на крају цилиндра. Корекција се врши увођењем ефективне дужине цилиндра lе. Израчунавање

брзине деформације на површини непокретног цилиндра прилично је компликовано. Крејгер и Марон

показали су да се (d v/d y)b може добити из бесконачних редова, који се ефективно могу представити са

следећа три члана кад је однос радијуса цилиндара S=Rc /Rb


25/90

25

....... ....... ........ ...... ...... ....... ......

4,00 0,894 0,791 0,689

Одређивање криве 08

4

D p v f

L D

добија се преуређењем једначине (3.1-2а):

0

2

3

0 0

8 4( )d

rx rx rx

v f

D

где је f (rx)=-(d v/d r )

Када струјна крива 0 8 f v D може да се представити аналитичким изразом (као што је случај сафлуидима степеног закона), горњи интеграл израчунава се аналитички. Ово ће се показати у наредним

поглављима. Када крива не може да се прикаже аналитички, одговарајуће вредности rx и (d v/d r ) могу сеузети из струјне криве и употребити да се једначина развије нумеричком методом, да би се на тај начин

обезбедиле тачке за криву8

4

D p v f

L D

за ламинарно струјање кроз цев.

Корекције

Ефекти струјања око крајева непокретног цилиндра могу се кориговати замењујући дужину l ефективном

дужином lе у једначину (3.2-1). Величина lе добија се калибрацијом инструмента са њутновским

флуидом познате вискозности и тада је:

2

1 12 (d / d )e

M l

R v r (3.2-7)

где је R1 непокретан цилиндар.

Као што је раније речено, модификацијом флуидних карактеристика у близини зида, може се доћи до

ефективне брзине клизања на зиду код неких флуида. Ова корекција може се остварити употребљавајући

три вредности S -односа. Предпоставимо да су узети S a, S b и S е у функцији радијуса R1, R2 и R3, где су

R1


26/90

26

Пример 3.2-1

Мерењем су утврђени, табеларно дати, подаци за два флуида (на 15 C) у цилиндричном вискометру, укоме су била употребљена три различита односа пречника. Њутновски флуид познате вискозности

=394 Poas употребљен је за калибрацију да би се добила ефективна дужина lе. Други је флуид

нењутновски за који се тражи струјна криваd

d rx

v f

y

. Такође одредити однос између

0

8и

4

D p v

L D

за ламинарно струјање овог флуида кроз цилиндричну цев. Стварна дужина

поринутог цилиндра износи l=4,75 cm у свим случајевима.

N

s-1 Rb

cm Rc

cm S М (њутнов.)

Nm М (нењут.)

Nm 0,05 1,0 1,15 1,15 0,00414 0,00398

0,08 1,0 1,15 1,15 0,00573 0,00589

0,10 1,0 1,15 1,15 0,00673 0,00704

0,30 1,0 1,15 1,15 0,01444 0,01765

0,50 1,0 1,15 1,15 0,0208 0,02698

0,095 1,15 1,4 1,217 ----- 0,00706

0,195 1,0 1,4 1,4 ------ 0,00706

Решење:Коефицијент клизања 2 за R2=1,15 cm одређује се тако што се употребљавају подаци из 3., 6. и 7. реда:

2 2 2 2

2 22 1 2 3

2 20,10 0,095 0,195 0

R R N N N

M M

што значи да флуид не испољава ефективно клизање. Из табеле се види да флуиди нису временски

зависни.

Слика 3.2-2 Лог- лог дијаграм криве М= f(N ) за њутновски флуид

Крива М= f ( N ) (њутновског флуида) у лог-лог координатама је линеарна као што се види са слике 3.2-2.

Нагиб је дат изразом

0,00414log

0,02080,7

0,05log

0,5

n n

Из табеле 3.2-1 следи C R=1,034, и ако се уврсте све вредности у једначину 3.2-3 добија се:

1

2

d 4 0,11,034 5,33 s

d 1 1,15b

v

r

где је N произвољно изабрано N =0,10 s-1. Заменом у једначину (3.2-7) добија се:

2 2 1

0,006730, 05 m

2 (d / d ) 2 0,01 394 10 5,33e

b b

M l

R v r

имајући у виду да је 1 Poas=0,1 Pas=0,1 Ns/m2.Разматрањем првих пет редова података за нењутновски флуид из табеле добија се дијаграм дат на

слици 3.2-3.


27/90

27

Слика 3.2-3 Лог- лог дијаграм М= f(N ) за нењутновски флуид

Из дијаграма следи нагиб n :

0,00398log

0,026980,831

0,05log

0,5

n

Константност n" значи да је израз

1d 1

d log

n

M

у једначини (3.2-2) једнак нули.

Брзина деформације добиће се из једначине (3.2-3) уз коришћење табеле 3.2-1. За први ред података

интерполацијом се добија C r =1,0103

1

2

d 4 (0,05) 1,01032, 61 s

d 1 (1,15)b

v

r

Из једначине (3.2-1) следи:

2

2 2

0,003983133 N/m

2 2 0,01 0,0475b

b

M

R l

Потпуни резултати дати су у следећој табели:

N

s-1 (d v/ d r)b

s-1 b

N/m2 0,05 2,61 133

0,08 4,18 197

0,10 5,23 236

0,30 15,69 592

0,50 26,15 904

Слика 3.2-4 Лог- лог дијаграм зависности b од d v/ d r


28/90

28

Последња два реда приказана су у лог-лог кординатама, а d d rx f v r представља струјну кривуприказану на слици 3.2-4.

Линеарност криве на овом цртежу показује да је флуид степеног закона, бар у области брзине

деформације 12,61 (d / d ) 26,15 sv r .

Нагиб струјне линије може се одредити из израза:

133

log 9040,83

2,61log

26,15

n

а одсечак на ординати за (d v/d r )=1 даје

K=60 N sn-2

/m, па следи да је

0,83d

60d

rx

v

r

.

У општем случају струјање нењутновског флуида степеног закона кроз цев биће

1/

d

d

n

rx

rx

v f

r K

замењујући ово у једначину

23 3

0

1 8 1 d 4

b

rx rx rx

b

Q v f R D

добија се

2 1/

3 1/

0

8 4d

b

n

rx rxn

b

v

D K

ако се интеграли и уврсте вредности за n и K следи:

1/ 1/ 0,83 1,205

01/ 1/0,83

8 4 1 4 0,83 10,00685

3 1 ( ) 3 0,83 1 60

n

b bn

v n

D n K

где је

4

b

D p

L

Ова једначина изражава везу између пада притиска и средње брзине за ламинарно струјање овог флуида

кроз цев пречника D и дужине L и захтева да је:

2100/(8 / )

b

Dv

v D


29/90

29

4. ЛАМИНАРНА СТРУЈАЊА

4.1 Опште законитости

Слика 4.1-1 Дијаграм тангенцијалног напона при струјању флуида кроз цев константног пресека

Примена једначине о промени количине кретања за опште срујање флуида кроз цев константног пресека

(слика 4.1-1) своди се на следећу познату релацију:

1 2 0

( ) A p p D L односно:

2

0 0или4 4 2

D D p R p p D L

L L

и пошто је промена тангенцијалног напона по цеви линеарна, напон на било ком месту је:

2rx

r p

L

или 0rx

r

R .

Општа једначина Q=f ( 0) за ламинарно стујање генералисаних временски независних флуида у цевима

кружног попречног пресека везана је за име Рабиновича и Мунија. Претпоставка је да је струјање

ламинарно и устаљено, да је флуид временски независан и да нема клизања на зиду. Раније изведени

општи израз Q=f ( 0) за генералисани нењутновски флуид овде се скраћено резимира:

d 2 d Q v r r ; 20 0

d 2 d Q R R

o

Q Q v r r vd r

Интеграцијом се добија2

2 2d

R

o

Q vr r v

Први члан отпада јер је v=0 на месту r=R. Из претпоставки да је струјање ламинарно и да је флуид

временски независан, следи:

d

d rx

v f

r

; тј. d d rxv f r

где је 2 2

20 2

00

односно ; d drxrx rx Rr R

r r R

Замењујући ове изразе у једначину за проток добија се: 0 2 2

2000

( ) d rx rx rx R R

Q f

или


30/90

30

0

2

3 30 0

1d rx rx rx

Q f

R

(4.1-1)

Овај израз може да се искористи да се оствари веза између протока Q и пада притис

nenjutnovski fluidi.pdf

Documents