Неравества и их свойства

Людмила Рождественская2004 г.

План темы

• Свойства неравеств• Линейные неравенства• Квадратичные неравенства• Решение неравенств высших степеней

методом интервалов• Дробно-рациональные неравенства• Неравенства с модулем• Иррациональные неравенства

Определение

Говорят, что число a больше числа b

и пишут a>b ,

если разность a-b  положительна.

Говорят, что число a меньше числа b

и пишут a< b ,

если разность a-b  отрицательна.

Строгие - нестрогие

a>b

a< b

Строгие

а ≥ b

а ≤ b

нестрогие

Свойство 1

a>b b >cи то а >c

abc

Запиши отношения неравенства

0-2 5

4-3 0

Свойство 2

a>b то а+с > в+c

Свойство 3a>b то ас > вcи с > 0

Свойство 3 (а)a>b то ас < вcи с < 0

Свойство 4

a>b с >dи то a+c >b+d

т. е. при сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака.

2 > 1 3 > -2и то 5 > -1

Свойство 5

а > b с > dи то ac >bd

т. е. при умножении неравенств одинакового знака, у которых

левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака.

Если а,c,b,d > 0

3 > 2 5 > 4и то 15 > 8

Свойство 6

то an >bn

т. е. При возведении обеих частей неравенства в одинаковую степень

знак неравенства не меняется

Если а > b ≥ 0 и n є N

3 > 2 то 9 > 4

3 > - 4 то 9 > 16

Свойство 7

то n√a > n√ b

т. е. При извлечении из обеих частей неравенства корня одной степени

знак неравенства не меняется

Если а > b ≥ 0 и n є N

3 > 2то9 > 4

Примеры

a2 >b2 то ?

a > b ?

| a | > | b | !

Примеры

х2 > 1 то ?

х > 1 ?

| х | > 1 !

х > ±1 ?

х > 1

х < -1

1-1

|x| = b x = + b b > 0

0b

b

b

-b

b-b

|x|<b -b<x<b при b>o нет решений при b<0

x < -b x > b

при b > 0

x-любое число, при b<0|x|<b

b-b 0

0x ( -b ; b )

x ( - ; -b ) x ( b ; )

Д/З §3.5

№ 385-391 (четные)

§3.6 № 398 - 400 (четные)

Линейное неравенство, содержащее одну переменную имеет вид

Ax+b ≥ 0

Линейное уравнение содной переменной

Линейное неравенство

Ax+b≤ 0

Ax+b >0

Ax+b <0