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Sucessões

Definição: Uma sucessão de números reais é uma aplicação u

do conjunto dos números inteiros positivos, �, no conjunto dos

números reais, �.

A expressão un que associa a cada n � � a sua imagem

designa-se por termo geral da sucessão.

Representa-se a sucessão por �un�n��, �un�n, ou, apenas, �un�.

Casos Particulares:

1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a:

� os seus termos são a, a � r, a � 2r, �

� o seu termo geral é un � a � �n � 1�r.

2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a:

� os seus termos são a, ar, ar2, �

� o seu termo geral é un � arn�1.

Pode-se provar que:

� a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética,

�un�, de razão r e primeiro termo a, é dada por

Sn �a � un

2� n;

� a soma dos n primeiros termos de uma progressão

geométrica, com razão r � 1 e primeiro termo a, é dada por

Sn � a � 1 � rn

1 � r.

Ana Matos � Matemática Aplicada �29/09/2017� Suc. e séries � 1

Limite de uma sucessão

Os vários casos da definição de limite sucessões podem ser

vistos como casos particulares da definição de limite, segundo

Cauchy, para funções com domínio �, quando o argumento

tende para ��.

Definição: O número real a é limite da sucessão �un� se

para qualquer � � 0, existe M � 0 tal que, para qualquer n � �,

se n � M, então |un � a| � �.

Isto é,

��0�M�0�n�� : n � M � |un � a| � � .

Neste caso, diz-se que �un� converge para a ou que �un� tendepara a e escreve-se

n��lim un � a, limun � a ou un � a.

Uma sucessão �un� diz-se convergente se existir um número

real a tal que un � a; diz-se divergente caso contrário.

Definição: Diz-se que uma sucessão �un� tem limite maisinfinito (ou que tende para mais infinito) se,

para qualquer L � 0, existe M � 0 tal que, para qualquer n � �,

se n � M, então un � L.

Isto é,

�L�0�M�0�n�� : n � M � un � L.

Neste caso, diz-se que �un� é um infinitamente grande positivoe escreve-se

n��lim un � ��, limun � �� ou un � ��.


Diz-se que �un� tem limite menos infinito (ou que tende paramenos infinito) se, para qualquer N � 0, existe M � 0 tal que,

para qualquer n � �, se n � M, então un � N.

Isto é,

�N�0 �M�0 �n�� : n � M � un � N.

Neste caso, diz-se que �un� é um infinitamente grandenegativo e escreve-se

n��lim un � ��, limun � �� ou un � ��.

Diz-se que �un� tem limite infinito (ou que tende parainfinito) se |un | � ��.

Neste caso, diz-se que �un� é um infinitamente grande e

escreve-sen��lim un � �, limun � � ou un � �.

Diz-se que �un� tende para infinito sem sinal determinado,

se un tende para � e não tende nem para �� nem para ��.

Proposição: O limite de uma sucessão quando existe é único.

Oservação: Das definições, resulta imediatamente que:

sendo f uma função real de variável real, com � � D f,

e �an� a sucessão de termo geral an � f�n�,

se limx�� f�x� � L (finito ou infinito), então limn�� an.


Classificação de uma sucessão

Uma sucessão diz-se:

� convergente (se tem limite finito)

� divergente�

propriamente

divergente�

se tende para � �

ou para � �

oscilante �

se tende para infinito

sem sinal determinado

ou

se não tem limite

Limite da potência:

Sendo r um escalar real, tem-se que:

limrn �

�� , se r � 1 (é prop. divergente)

0 , se |r| � 1 (é convergente)

1 , se r � 1 (é convergente)

não existe , se r � �1 (é oscilante)

� , se r � �1 (é oscilante)


Subsucessões

Intuitivamente, uma subsucessão de �un� é uma sucessão

extraída de �un�, considerando certos índices, em número

infinito, por ordem crescente.

Por exemplo:

� u2, u4,� ,u2k,� (subsuc. dos termos de ordem par);

� u1, u3,� ,u2k�1,� (subsuc. dos termos de ordem ímpar);

� up�1,up�2,up�3� (subsuc. dos termos de ordem superior a p,

com p � �).

Proposição: Toda a subsucessão duma sucessão com limite tem

o mesmo limite.

Corolário: Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites

diferentes, a sucessão não tem limite.

Proposição: Se as subsucessões dos termos de ordem par e dos

termos de ordem ímpar de �un� têm o mesmo limite, então �un�tende para esse limite.

Definição: Chama-se limite superior de �un� ao maior dos

limites (finitos, �� ou ��) das subsucessões de �un� e

representa-se por

limun.

Chama-se limite inferior de �un� ao menor dos limites das

subsucessões de �un� e representa-se por limun.


Propriedades

Da definição, é imediato que:

� a convergência ou divergência de uma sucessão (e o valor do

limite) não é alterada se suprimirmos ou modificarmos um

número finito dos seus termos.

� uma sucessão com todos os termos iguais a uma certa

constante converge para essa constante.

Propriedades dos limites finitos

Proposição: Se �un� e �vn� são sucessões convergentes, tais

que, a partir de certa ordem, un � vn, então limun � limvn.

Proposição:

Se �an� e �bn� são sucessões tais que an � a e bn �b, com

a, b � �, então:

1. an � bn � a � b;

2. can � ca, sendo c � �;

3. anbn � ab;

4. an

bn� a

b, se bn � 0,�n�� e b � 0;

5. se p � �, então anp� ap;

6. se p � � e an 0,�n��, então p an � p a ;

7. se p � � e p é ímpar, então p an � p a ;

8. se an � a então |an | � |a|.


Definição: Uma sucessão diz-se um infinitésimo se tende para

zero.

Definição: Uma sucessão �an� diz-se limitada se for majorada e

minorada, ou seja, se

�m,M�� n�� : m � an � M .

Proposição: Se �an� é um infinitésimo e �bn� é uma sucessão

limitada, então �an.bn� é um infinitésimo.

Propriedades dos limites infinitos

Proposição: Sendo �un� e �vn� duas sucessões, tem-se que:

1. se un � �� e, a partir de certa ordem, un � vn, então

vn � ��;

2. se un � �� e, a partir de certa ordem, vn � un, então

vn � ��.

Para simplificar, frequentemente as propriedades algébricas dos

limites infinitos são escritas na seguinte forma (que é uma

mera notação abreviada):

�� ; �� ; � � a � �, se a � �;

��. �� ; ��. �� ; ��. �� ;

a� � 0, se a � �; �

0��; a

0� �, se a � 0 (finito ou infinito).


Os símbolos

�� ; �� ; � � �;

0. ��; 0. ��; 0.�;

00

; �� ;

00; 1�; ��0

designam-se por símbolos de indeterminação.

Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes,

o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende

das sucessões envolvidas (não resulta imediatamente de uma

propriedade das operações).

Limites notáveis

Número de Neper:

lim 1 � 1n

n� e.

Proposição (caso geral): Se un � � e k � �, então

lim 1 � kun

un

� ek .

Observação: Recordem-se os seguintes limites de funções:

x�0lim senx

x � 1;x��lim ex

x � ��;

x�0lim ex�1

x � 1;x��lim lnx

x � 0.

x�0lim

ln�x�1�x � 1;


Estes limites aplicam-se nas sucessões, tendo-se em conta que:

� sendo f uma função real de variável real e �xn� uma sucessão

de elementos de D f, diferentes de a,

sex�alim f�x� � L (finito ou infinito) e xn � a, então f�xn� � L.

Acetatos complementares (abordagem mais rigorosa daspropriedades algébricas dos limites infinitos)

Proposição (Propriedades da soma):

Sendo �un� e �vn� sucessões, tem-se que:

1. se un � �� e vn � �� então un � vn � ��;

2. se un � �� e vn � �� então un � vn � ��;

3. se un � � e vn � a, com a � �, então un � vn � �

[se o limite de �un� for �� ou ��, o limite da soma também o é].

Proposição (Propriedades do produto):

Sendo �un� e �vn� sucessões, tem-se que:

1. se un � � e vn � �, então un.vn � �

[caso �un� e �vn� tendam para �� ou para ��, podemos mesmo

saber se �un.vn� tende para �� ou para ��];

2. se un � � e vn � b � �\�0�, então un.vn � �

[caso �un� tenda para �� ou para ��, pelo sinal do produto,

sabemos se �un.vn� tende para �� ou ��].


Notação abreviada (exemplos):

As propriedades dadas são frequentemente escritas na forma

�� a � ��, se a � �

��. �� .� � �

Esta é uma mera notação abreviada, que deve ser interpretada

exactamente no sentido das propriedades correspondentes da

proposição anterior e não como se estivessemos realmente a

"somar ou multiplicar infinitos".

Os símbolos

��

0. �� 0. �� 0.�

são designados por símbolos de indeterminação.

Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes,

o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende

das sucessões envolvidas (não resulta imediatamente de uma

propriedade das operações).

Proposição: Sendo �un� uma sucessão de termos diferentes de

zero, tem-se que:

1. se un � �, então 1un

� 0

(o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo);

2. se un � 0, então 1un

� �

(o inverso de um infinitésimo é um infinitamente grande).


Nota: Seja �un� uma sucessão que tende para a � �.

Se, a partir de certa ordem, un � a, diz-se que �un� tende para a

por valores superiores e escreve-se un � a�.

Se, a partir de certa ordem, un � a, diz-se que �un� tende para a

por valores inferiores e escreve-se un � a�.

Caso un � 0, pelo seu sinal poderemos saber se a sucessão � 1un�

tende para �� ou ��:

� se un � 0�, então 1un

� ��;

� se un � 0�, então 1un

� ��.

Proposição: Sendo �un� e �vn� sucessões, com �vn� de termos

diferentes de zero, tem-se que:

1. se vn � � e �un� tem limite finito, então un

vn� 0;

2. se vn � 0 e �un� tem limite finito ou infinito e diferente de

zero, então un

vn� �

[neste caso, dependendo dos sinais de �un� e de �vn�, poderemos

averiguar se � un

vn� tende para �� ou ��].

Notação abreviada:

a� � 0 �

0� � a

0� �, se a � 0 (finito ou infinito)

Os seguintes casos são também símbolos de indeterminação:

00

��


Propriedades da exponenciação

Proposição: Sejam �un� e �vn� duas sucessões, com �un� de

termos positivos.

Se

un � a � �� e vn � b � �,

então

�un�vn � ab.

Na prática, em muitos dos restantes casos, o mais eficaz é

recorrer à transformação

�un�vn � evn�ln�un�

e aplicar as propriedades do produto e das funções exponencial e

logaritmo.

Símbolos de indeterminação associados à exponenciação:

00 1� ��0

Através da transformação indicada, estes casos podem reduzir-se

a indeterminações do tipo

0 � ��, � � 0 e 0 � ��,

respectivamente.


Séries numéricas

Definições básicas

� Chama-se série numérica a uma expressão do tipo

a1 � a2 �� an ��,

em geral representada por

n�1

��

an , n1

an ou an ,

onde �an� é uma sucessão de números reais.

� a1, a2, � � termos da série

� an � termo geral da série.

� Designam-se por somas parciais da série

S1 � a1 ,

S2 � a1 � a2 ,

S3 � a1 � a2 � a3 ,

�

� Chama-se soma parcial de ordem n da série n�1

��an a

Sn � i�1

n

ai

ou seja a

Sn � a1 � a2 �� an.

� A �Sn� chama-se sucessão das somas parciais da série.


Definição: Diz-se que n�1

��an é uma série convergente

se a sucessão das suas somas parciais, �Sn�, for convergente.

Neste caso, ao número real

S � limSn

chama-se soma da série.

Por abuso de notação, escreve-se também

S � n�1

��

an.

Uma série que não é convergente diz-se divergente.

Diz-se que duas séries têm a mesma natureza se forem ambas

convergentes ou ambas divergentes.

Observação:

Associadas à série n�1

��an temos duas sucessões:

� �an�, a sucessão a partir da qual definimos a série;

� �Sn�, a sucessão das suas somas parciais.

A natureza da série é determinada pela convergência ou não

da sucessão das suas somas parciais.

O facto de �an� ser convergente não garante que a série n�1

��an

seja convergente.


Exemplos:

1. A série n�1

��1 é divergente, pois

Sn � n

pelo que limSn � ��.

2. A série n�1

�� 1�n é divergente, pois

Sn ��1 se n é ímpar

0 se n é par,

pelo que �Sn� não tem limite.

3. Para a série n�1

�� 1

2n�1tem-se

an � 12

n�1

,

pelo que

Sn �

1

�a1

1 � 12

n

1 � 12

� 2 1 � 12

n

� 2.

Portanto, como sucessão �Sn� é convergente, a série é

convergente (e a sua soma é 2).


Séries importantes

Séries Geométricas

Definição: Chama-se série geométrica de razão r e primeirotermo a à série

n�1

��

arn�1 � a � ar � ar2 �� arn�1 �� ,

em que r e a são números reais não nulos.

Tem-se que

Sn �

a. 1�rn

1�r, se r � 1

a.n, se r � 1

,

pelo que

� se |r| � 1, a série é convergente e a sua soma é S � a1�r

;

� se |r| 1, a série é divergente.

Então,

a série geométrica é convergente sse |r| � 1;

neste caso, a sua soma é S � a1�r

.


Séries Redutíveis ou de Mengoli

Chamam-se séries redutíveis, séries de Mengoli ou sériestelescópicas às séries que se podem escrever na forma

n�1

��

�un � un�k�,

onde k é um número natural (fixo) e �un� é uma sucessão real.

Exemplos:

1. A série

n�1

��1

n�n � 1�

pode escrever-se na forma

n�1

��1n � 1

n � 1,

pelo que é uma série de Mengoli, com k � 1 e un � 1n .

2. A série

n�1

��

n � n � 2

é uma série de Mengoli, com k � 2 e un � n .


Convergência duma série de Mengoli:

1º Caso: se k � 1, a série escreve-se na forma

n�1

��

�un � un�1�,

pelo que

Sn � �u1 � u2� � �u2 � u3� �� un � un�1� � u1 � un�1.

Portanto:

a) se �un� é convergente, a série é convergente e a sua soma é

S � u1 � limun;

b) se �un� é divergente, a série é divergente.

2º Caso: se k � 1, então

Sn � u1 � u2 �� uk � un�1 � un�2 �� un�k.

Portanto:

a) se �un� é convergente, a série n�1

�� un � un�k� é convergente

e a sua soma é

S � u1 � u2 �� uk � k limun

(note-se que limun�1 � � � limun�k � limun�;

b) se �un� é divergente, nada se pode concluir sem estudar

directamente a sucessão �Sn�.


Propriedades gerais das séries

Comecemos por observar que a natureza de uma série não é

alterada se modificarmos ou suprimirmos um número finito dos

seus termos. No entanto a sua soma é, em geral, alterada.

Proposição:

Sejam an e bn duas séries convergentes, de somas S e

T, respectivamente, e c � �. Então:

1. �an � bn� é convergente, com soma S � T;

2. �an � bn� é convergente, com soma S � T;

3. �can� é convergente, com soma cS.

Observação: Da última alínea, resulta que não se altera a

natureza de uma série multiplicando o seu termo geral por uma

constante diferente de zero.

Questão: Diga o que pode concluir sobre a natureza da série se:

1. a série é a soma de uma série converge e uma série divergente;

2. a série é a soma de duas séries divergentes.

Proposição (condição necessária de convergência):

Se an é uma série convergente, então an � 0.

Ou seja:

se �an� não tende para zero, então an é divergente.


Nota: A afirmação recíproca é falsa:

se an � 0, nada se pode concluir sobre a natureza da série.

Critérios de convergência

Recordemos o seguinte:

Definição (integral impróprio de 1ª espécie):

Seja f uma função contínua no intervalo �a,��.

Chama-se integral impróprio da função f em �a,�� a

�a

��f�x�dx � lim

��

a

�f�x�dx.

O integral impróprio �a

��f�x�dx diz-se convergente se este

limite existe e é finito e diz-se divergente caso contrário.

Proposição (critério do integral):

Sejam f : �1,�� uma função positiva, contínua e

decrescente e

an � f�n�.

Então

a série n�1

��an é convergente

sse

o integral impróprio �1

��f�x�dx é convergente.


Defenição: Chama-se série de Dirichlet a uma série da forma

n�1

��1np , com p número real positivo (fixo).

Proposição: Para a série de Dirichlet

n�1

��1np

tem-se que:

� se p � 1, a série é convergente;

� se p � 1, a série é divergente.

Observação: Destaque-se o caso da série de Dirichlet com p � 1

(designada por série harmónica):

a série n�1

��1n é divergente.

Séries de termos não negativos

Definição: Diz-se que n�1

��an é uma série de termos não

negativos se an � 0, para qualquer n � �.

Observação: As propriedades já dadas permitem-nos tirar

conclusões sobre a natureza das séries só com um número finito

de termos negativos, com todos os termos negativos ou só com

um número finito de termos positivos, a partir da natureza de

séries de termos não negativos.


Proposição (1º critério de comparação):

Sejam n�1

��an e

n�1

��bn duas séries tais que, para qualquer

n � �,

0 � an � bn.

Então:

� se n�1

��bn é convergente,

n�1

��an é convergente;

� se n�1

��an é divergente,

n�1

��bn é divergente.

Observação: Da demonstração do primeiro caso resulta que, se

S e T são as somas das séries n�1

��an e

n�1

��bn,

respectivamente, então S � T.

Proposição (2º critério de comparação):

Sejam an uma série de termos não negativos e bn uma

série de termos positivos tais que

an

bn� L, com L � 0,��.

Então, as duas séries têm a mesma natureza.

Corolário: Sejam an uma série de termos não negativos e

bn uma série de termos positivos tais que an

bn� L :

� se L � 0 e bn é convergente, an é convergente;

� se L � �� e bn é divergente, an é divergente.


Proposição: (critério de Cauchy, ou da raiz)

Seja an uma série de termos não negativos tal que

n��lim n an � L (finito ou infinito).

Então:

� se L � 1, an é convergente;

� se L � 1, an é divergente;

� se L � 1, nada se pode concluir.

Proposição (critério de D’Alembert, ou da razão):

Seja an uma série de termos positivos tal quen��lim

an�1

an� L

(finito ou infinito).

Então:

� se L � 1, an é convergente;

� se L � 1, an é divergente;

� se L � 1, nada se pode concluir.

Observação: Pode-se provar que, sendo �an� uma sucessão de

termos positivos:

seun�1un

� a (com a finito ou infinito), então n un � a.

Assim, o critério da razão resulta do critério da raiz.


Séries de termos sem sinal fixo

Definição: Uma série diz-se de termos sem sinal fixo se possui

infinitos termos positivos e infinitos termos negativos.

Em particular, sendo �an� uma sucessão de termos positivos,

chama-se série alternada à série de de termos sem sinal fixo

n�1

��

��1�nan.

Exemplo:

A série n�1

�� 1�n 1n é alternada.

Proposição: Se a série n�1

��|an | é convergente, então a série

n�1

��an também é convergente.

Definição: Uma série n�1

��an diz-se:

� absolutamente convergente, se a série n�1

��|an | é

convergente;

� simplesmente convergente, se é convergente mas não é

absolutamente convergente.

Exemplos:

1. A série n�1

�� 1�n 1

n2é absolutamente convergente;

2. A série n�1

�� 1�n 1n é simplesmente convergente (não é

absolutamente convergente e pode-se provar que é convergente).


Estratégias para estudar a natureza de uma série

Segue-se um apanhado dos resultados apresentados a este

respeito.

� O termo geral da série converge para zero?

Se não, é divergente; se sim, nada se pode concluir.

� A série é de tipo particular - geométrica, de Dirichlet, de

Mengoli?

Se sim, aplicar o teste de convergência específico.

� A série é de termos não negativos e pode ser comparada com

alguma série de tipo especial?

� Pode ser aplicado o Critério de D’Alembert ou o Critério de

Cauchy?

Se L � 1, nada se pode concluir.

� A série é de termos positivos e pode ser aplicado o Critério

do integral?

� Se a série é de termos sem sinal fixo, será absolutamente

convergente?

Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir.


Séries de Potências

Definições básicas

As séries de potências são uma generalização da noção de

polinómio.

Definição: Sendo x uma variável e c � �, chama-se série depotências de x � c (série de potências centrada em c ou emtorno de c), a qualquer série da forma

n�0

��

an�x � c�n,

ou seja

a0 � a1�x � c� �� an�x � c�n ��

onde �an� é uma sucessão real (cujos termos se designam por

coeficientes da série de potências).

Em particular, chama-se série de potências de x (série depotências centrada em 0 ou em torno de 0) a qualquer série

da forma

n�0

��

anxn,

ou seja

a0 � a1x � a2x2 �� anxn ��

Ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série de

potências, originam uma série numérica convergente chama-se

domínio de convergência.

Observação: Uma série de potências é uma função, cujo

domínio é o domínio de convergência da série de potências.


Exemplo importante (série de potências geométrica):

O intervalo �1,1� é o domínio de convergência da série

n�0

��

xn � 1 � x � x2 �� xn ��

Mais, para qualquer x � �1,1�,

n�0

��

xn � 11 � x

.

A série n�0

��xn define a função 1

1�xem �1,1�

(e só neste intervalo, apesar de 11�x

estar definida em �\�1�).

Raio de convergência e intervalo de convergência

O domínio de convergência de uma série de potências de x � c

nunca é vazio. De facto,

n�0

��

an�c � c�n � a0 � 0 � 0 �� 0 �� a0.

Portanto, c pertence ao domínio de convergência da série.

Mais, como veremos de seguida, o domínio de uma série de

potências de x � c é sempre um intervalo centrado em c.


Proposição: Para uma série de potências de x � c, é satisfeita

exactamente uma das seguintes alternativas:

1. a série de potências é convergente apenas em c;

2. existe um número real R � 0 tal que a série de potências é

absolutamente convergente para os valores de x � � tais que

|x � c| � R e diverge para |x � c| � R;

3. a série é absolutamente convergente para todo o x � �.

A este valor R chama-se raio de convergência da série de

potências (considerando R � 0, no primeiro caso, e R � ��,

no terceiro caso).

Se R � 0, o intervalo c � R,c � R� designa-se por intervalo deconvergência da série.

Observação: Logo, se R � 0 e finito, a série é absolutamente

convergente no intervalo c � R,c � R� e divergente em

��, c � R� � c � R,��.

A proposição nada afirma sobre a convergência da série nos

extremos do intervalo de convergência. Para saber o que se

passa nos extremos do intervalo é necessário estudar as séries

numéricas correspondentes.

Proposição: Seja n�0

��an�x � c�n uma série de potências em

torno de c então

R � 1

lim n |an |

(com R � 0, se lim n |an | � �� e R � ��, se lim n |an | � 0).


Proposição: O raio de convergência de uma série de potências

n�0

��an�x � c�n, de coeficientes diferentes de zero, é igual a

liman

an�1,

desde que este limite exista.

Exemplo (série exponencial):

A série de potências

n�0

��xn

n!� 1 � x � x2

2!� x3

3!�� xn

n!��

é absolutamente convergente em �.

(Veremos que a soma desta série é ex, para qualquer x � �. �

Operações com séries de potência

Proposição: Sejam f�x� � n�0

��anxn e g�x� �

0

��bnxn

séries de potências de x, com raios de convergência não nulos,

e R o raio de convergência da primeira série.

Se � é um número real e N um número natural, então:

1. f��x� � n�0

��an�nxn, para |�x| � R;

2. f�xN� � n�0

��anxnN, para |xN | � R;

3. f�x� � g�x� � n�0

�� an � bn�xn, na intersecção dos

intervalos de convergência;

4. f�x� � g�x� � n�0

�� an � bn�xn, na intersecção dos

intervalos de convergência.


Observação 2: Resultados análogos são válidos para séries de

potências de x � c.

Derivação e integração de séries de potências

Proposição: A função definida por f�x� � n�0

�an�x � c�n,

com raio de convergência R � 0, é diferenciável e primitivável

no intervalo c � R,c � R� e tem-se que:

f �x� � n�1

��

nan�x � c�n�1

Pf�x� � n�0

��

an�x � c�n�1

n � 1� C,

tendo estas séries o mesmo raio de convergência.

Ou seja, uma função definida por uma série de potências de

x � c, com raio R � 0, é derivável e primitivável no intervalo

c � R,c � R� e as suas derivada e primitivas são dadas pelas

séries que se obtêm derivando-a e primitivando-a termo a termo

(as quais têm o mesmo raio de convergência).

Note-se que, se a série de patências tem raio de convergência

R � 0, as séries que se obtêm derivando-a e primitivando-a

termo a termo também têm raio de convergência R � 0.


Série de Taylor e série de Mac-Laurin

Definição: Seja f uma função com derivada de qualquer ordem

em c � �.

Chama-se série de Taylor de f no ponto c à série de

potências

n�0

�f�n��c�

n!�x � c�n

isto é a

f�c� � f �c��x � c� �f �c�

2!�x � c�2 ��

f�n��c�n!

�x � c�n ��

Chama série de Mac-Laurin de f à série de Taylor de f em

c � 0, isto é, a

n�0

�f�n��0�

n!xn

ou seja

f�0� � f �0�x �f �0�

2!x2 ��

f�n��0�n!

xn ��

Exemplos importantes:

1. A série de Mac-Laurin de ex é

n�0

��xn

n!� 1 � x � x2

2!� x3

3!�� xn

n!��


2. A série de Mac-Laurin de senx é

x � x3

3!� x5

5!�� 1�n x2n�1

�2n � 1�!��

isto é

n�0

��1�n

�2n � 1�!x2n�1

3. A série de Mac-Laurin de cosx é

1 � x2

2!� x4

4!�� 1�n x2n

�2n�!��

isto é

n�0

��1�n

�2n�!x2n

Observação: O facto de podermos escrever a série de Taylor de

uma função num ponto não garante que a função seja soma

dessa série, mesmo no intervalo de convergência da série.

Por exemplo, a função

f�x� �e� 1

x2 se x � 0

0 se x � 0.

tem derivada de qualquer ordem em �\�0�.

Pode-se provar que, em x � 0, as suas derivadas, de qualquer

ordem, existem e são 0.

A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma

da sua série de Mac-Laurin num intervalo centrado em 0.


Definição: Diz-se que uma função f é desenvolvível em sériede Taylor num ponto c se f é soma da sua série de Taylor em

algum intervalo centrado em c.

Proposição: Seja f uma função indefinidamente diferenciável

num intervalo aberto I, centrado em c, e Rn�x� o resto do seu

polinómio de Taylor de ordem n em c.

Então, f é soma da sua série de Taylor em c, no intervalo I,

sse

n��lim Rn�x� � 0, �x � I.

(Recorde-se a expressão do resto de Lagrange de ordem n:

Rn�x� �f�n�1��z��n � 1�!

�x � c�n�1, para algum z entre x e c. )

Exemplos importantes: Por esta proposição, conclui-se que as

funções senx, cosx e ex são, em �, soma das respectivas

séries de Mac-Laurin.

Isto é, para qualquer x � �,

senx � n�0

�� 1�n

�2n�1�!x2n�1 � x � x3

3!� x5

5!�� 1�n x2n�1

�2n�1�!��

cosx � n�0

�� 1�n

�2n�!x2n � 1 � x2

2!� x4

4!�� 1�n x2n

�2n�!��

ex � n�0

�� 1n!

xn � 1 � x � x2

2!� x3

3!�� xn

n!��

Em particular, e � n�0

�� 1n!

.


Teorema (unicidade do desenvolv. em série de potências):

Se f�x� � n�0

��an�x � c�n, num intervalo aberto centrado em

c, então

an �f�n��c�

n!, para qualquer n � �0.

Observação: Este Teorema garante que, caso uma função seja

soma de uma série de potências (num intevalo aberto), então

essa série coincide com a sua série de Taylor.

Para as funções do exemplo anterior foi necessário determinar a

série de Taylor e provar, pela condição suficiente de desenvol-

vimento, que a função é igual à soma da série de Taylor.

Tem-se agora um método que, por vezes, permite obter, de modo

mais simples, o desenvolvimento da função em série de Taylor:

1. mostra-se que a função é soma uma certa série de

pontências de x � c (num intervalo aberto centrado em c), a

partir de desenvolvimentos conhecidos e/ou dos resultados sobre

derivação e integração de séries;

2. aplica-se o teorema da unicidade do desenvolvimento em

série de potências para garantir que essa série é a série de

Taylor da função no ponto c.

Por exemplo, conclui-se, assim, que:

� o desenvolvimento em série de Mac-Laurin de 11�x

é

n�0

�

xn � 1 � x � x2 �� xn ��, �x � �1,1�.

� o desenvolvimento em série de Mac-Laurin de ln�x � 1� é

n�0

��

��1�n xn�1

n � 1, �x � �1,1�.


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