74 y de otras proposiciones matemticas yo deduzco el movimiento

de los planetas, los cometas, la luna y el mar.. Isaac Newton.

4. 1 Newton y el Clculo Infinitesimal. Ren Descartes (1596-1650), conocido por los matemticos como, el inventor de la geometra analtica, y por los filsofos como el iniciador del racionalismo, tambin contribuy a la solucin de algunos problemas en el clculo de tangentes. A diferencia de Fermat, su mtodo tuvo un carcter algebraico, mas no infinitesimal, utilizando una circunferencia centrada en el eje x, y con radio perpendicular a la tangente de la curva en un punto dado. Mencionamos este enfoque aqu, para resaltar la existencia de otra alternativa diferente al uso del clculo infinitesimal para la determinacin de tangentes. No es del caso entrar aqu en detalles sobre el mtodo de Descartes, pero su descripcin y ejemplos pueden verse en la obra de Edwards previamente citada. Lo importante en los enfoques de Newton y Leibniz es el hecho de haber englobado en una sola teora, una amplia variedad de problemas de cuadratura, de rectificacin de curvas y de clculo de tangentes, cosa que sus antecesores lo haban logrado en casos especiales, como lo hemos mostrado, y para funciones especficas. Newton y Leibniz, adems de crear mtodos de carcter general que resolvan problemas ms amplios que los planteados por sus antecesores, agregaron el recurso de una notacin cientfica que an conservamos y que permiti ampliar el espectro de las aplicaciones, ms all de la geometra y el anlisis, hasta la mecnica, la astronoma y la fsica en general. A lo anterior, hay que agregar la visin unificadora que Leibniz y Newton le imprimieron a los procesos del clculo de tangentes y de cuadratura de curvas, a travs del teorema fundamental del clculo, el cual los relaciona como procesos inversos. Es decir, la integracin (asociada a la cuadratura) reversa lo que la derivacin (asociada al clculo de tangentes) hace a una funcin con ciertas caractersticas. Igualmente la derivacin va a deshacer lo que la integracin le hace a una funcin integrable. Estos resultados que se constituyen en el ncleo central del clculo infinitesimal, son a no dudarlo, despus del teorema fundamental de la aritmtica, descubierto por los antiguos griegos, la mayor conquista de la mente humana en matemticas, lograda hasta el siglo XVIII. Isaac Newton (1642-1727) se form bajo la influencia de una escuela matemtica, que en su tiempo ya tena gran prestancia en Europa. Decamos que la Arithmetica Infinitorum de Wallis circulaba en el tiempo de Newton y que su orientador principal en cuestiones de matemticas fue, Isaac Barrow de la Universidad de Cambridge, uno de los precursores del clculo y quien antecedi a Newton en la Ctedra Lucasiana. Debemos recordar tambin que, para la poca en que vivieron Leibniz y Newton, Inglaterra atravesaba por una poca floreciente en las ciencias y en las artes. Las universidades de Oxford y Cambridge lideraban el proceso de creacin matemtica. Los logaritmos ya haban sido inventados por John Napier a comienzos del siglo XVII y su perfeccionamiento por Henry Briggs (1561-1630) se conoci en 1624 a travs de su obra Arithmetica Logarithmica. James Gregory (1638-1675), matemtico escocs, contribuy en este tiempo al desarrollo de funciones trigonomtricas y sus inversas usando series de potencias. Digamos adems que la Royal Society de Londres, ya se haba fundado y ejerca enorme influencia en el desarrollo de las matemticas en Inglaterra y en Europa. Por esta sabia institucin, pasaran figuras de tanto renombre como, Edmond Halley, Sir Christopher Wren,

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Robert Hooke (1635-1703) y tambin Newton. Es bueno recordar que los trabajos astronmicos de Kepler y las contribuciones del matemtico holands Christian Huygens (1629-1695), se conocan ya en Inglaterra y que Newton se nutri al menos de algunas de ellas. Newton tuvo la modestia de reconocer las contribuciones de sus antecesores al afirmar: Si he logrado mirar ms all que mis contemporneos es porque me he parado en hombros de gigantes, con lo que resaltaba el uso de teoras previamente expuestas por Barrow, Galileo, Kepler y Huygens, entre otros, para lograr configurar su obra magna: Philosophiae Naturalis Principia Mathematicae. No sobra mencionar aqu que, en el tiempo de Newton, lo que hoy entendemos por Fsica, llevaba por nombre filosofa natural, connotacin sta ms cercana al significado que la ciencia en ese entonces tena (y que aun sigue teniendo), como es: buscar las causas de los fenmenos fsicos, y, explicar estas causas en un lenguaje matemtico. El discurso cientfico, usando lenguaje matemtico ya haba sido inaugurado por Galileo, cuando afirmaba que las leyes naturales estn escritas en el lenguaje matemtico de los tringulos, los crculos y las figuras geomtricas. El terreno cientfico estaba suficientemente abonado para que la semilla del clculo infinitesimal hiciera eclosin. De no haber sido Newton o Leibniz, los que propiciaran su aparicin, otros matemticos habran llegado a su descubrimiento. Los descubrimientos cientficos dejan entrever un perodo de gestacin, largo a veces, como fue el caso del descubrimiento de las geometras no euclidianas, o del clculo infinitesimal, despus de ms de dos mil aos de existencia de las matemticas. O corto a veces, como fue el caso del descubrimiento del genoma humano, hace unos pocos aos, cuando la biologa y an la gentica no cumplen doscientos aos de figurar como ciencias. Esto contrasta con la creacin artstica en donde la obra de arte aparece por creacin individual, por ejemplo, La Mona Lisa (La Gioconda) est asociada a Leonardo Da Vinci, y La Quinta Sinfona a Ludwig van Beethoven. Ni la Gioconda, ni la quinta sinfona como tales, existiran jams, de no haber existido sus autores. Los prrafos anteriores tratan de explicar someramente, los antecedentes de la invencin del clculo y la atmsfera cientfica que rodearon a Newton y Leibniz, para que se diera la feliz coincidencia de que el trabajo de estos matemticos desembocara en el descubrimiento de esta rea de las matemticas y sus correspondientes aplicaciones. Newton fue nombrado en la ctedra lucasiana en 1669 y continu en la Universidad de Cambridge hasta 1696, cuando pas a desempear el cargo de jefe de la casa de moneda en Londres hasta su muerte en 1727. Su poca ms productiva fue la comprendida entre los aos 1664-1666, cuando se retir a sus propiedades de Lincolnshire, huyndole a la epidemia de clera que asolaba a Cambridge por esos aos. Se cree que durante esta poca adelant sus investigaciones alrededor de los tpicos que ms tarde lo haran famoso: el clculo infinitesimal, la teora de la naturaleza de la luz y la teora de la gravitacin universal. Su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematicae (Principios Matemticos de la Filosofa Natural, o acortando, Los Principia), como obra impresa, debe en parte, su paternidad a Edmond Halley, en dos aspectos bien importantes. El primero es que fue Halley quien pag los costos iniciales de la impresin de la obra, por cuanto la Royal Society, aunque haba aprobado los manuscritos para publicacin, adoleca por esa poca, de recursos para ordenar su impresin. El segundo aspecto tiene que ver con, la edicin y la correccin de las pruebas que estuvo a cargo del astrnomo britnico.

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Las publicaciones cientficas peridicas an no existan, y en razn a esto era difcil mostrar la prioridad en los descubrimientos. Usualmente los manuscritos circulaban entre los colegas o se trasmitan epistolarmente entre los cientficos sin buscar el reconocimiento o la prioridad en tal o cual invencin o descubrimiento. Esta es una de las razones que origin, la histrica polmica sobre la prioridad de la invencin del clculo infinitesimal entre Newton y Leibniz. El legado de Newton en material no publicado es enorme, a tal punto que el corpus total de esta obra excede a las cinco mil pginas manuscritas, las que seran publicadas pstumamente, apenas a partir de 1967 en ocho volmenes con la edicin de D. T. Whiteside. Tambin la correspondencia que Newton cruz con Leibniz ha sido publicada en varios volmenes y de all puede sacarse en claro que los dos matemticos llegaron a resultados semejantes por distintos mtodos y con distinta notacin. El trabajo matemtico de Newton aparece diseminado a lo largo de estas obras pstumas, las que permiten apreciar, en su verdadera dimensin, la magnitud de su genio. 4.2 Introduccin a la teora de las fluxiones.

Fig. 4.2.1. Cuando N se acerca a M a lo largo de la curva f(x, y) = 0, las secantes que determinan los puntos T y N se aproximan a la tangente, en el punto M, cuya pendiente es prxima al cociente a/e y/t. Este mtodo fue conocido por Isaac

Barrow, profesor de Newton en la Universidad de Cambridge. La tangente a una curva en un punto M, fue considerada por varios autores que antecedieron a Newton, como la recta lmite de las secantes MN, que cortan a la curva, cuando N se aproxima a M (Fig. 4.2.1). Entre estos, mencionemos a Isaac Barrow, quien toc el tema en sus clases de geometra, a las que supuestamente Newton asisti. Estas notas fueron luego publicadas como Geometrical Lectures en 1670. En esta obra Barrow trata problemas de clculo de tangentes y problemas de cuadratura usando mtodos previamente estudiados por Fermat. El matemtico francs, Gilles Personne de Roberval (1602-1675) consider una curva como el lugar geomtrico o la trayectoria, que traza un punto en movimiento; y la recta tangente a la curva, como la velocidad instantnea del punto en movimiento. La ley del paralelogramo para vectores, era ya conocida en el tiempo de Roberval, pero fue l, quien la aplic a la tangente como vector velocidad instantnea. Ms especficamente, si el movimiento de un punto se asume compuesto de dos movimientos simples, entonces el vector velocidad del movimiento ser la resultante de las dos componentes sumadas segn la regla del paralelogramo. La figura 4.2.2 muestra la situacin de la tangente a la parbola representada como la velocidad w con sus componentes u y v. Roberval consider varias curvas generadas por un radio vector, entre ellas la espiral de Arqumedes (Fig. 4.2.3) y la cicloide (Fig. 4.2.4), con el objeto de asociar a la tangente, el vector velocidad instantnea. Newton sigui el enfoque de Roberval con algunas modificaciones, lo que

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dara origen al llamado por l: mtodo de las fluxiones. La figura 4.2.6 muestra la curva f(x, y) = 0 y el vector velocidad instantnea como la tangente a la curva.

Fig. 4.2.2. La tangente a la parbola en el punto P, representada como la velocidad w con sus componentes u y v, segn la ley del paralelogramo. Aqu la parbola tiene su foco en F y la directriz es el eje y.

Fig. 4.2.3. La espiral de Arqumedes puede interpretarse como el lugar geomtrico de un punto que se desplaza uniformemente sobre una recta que gira en torno a O con una velocidad angular constante.

Fig. 4.2.4. La cicloide resulta de la traza que deja un punto fijo P en la circunferencia, cuando sta, rota sin deslizarse a lo largo del eje x.

El vector tangente se puede considerar como resultante de las acciones de los vectores xr y yr , que corresponden a las proyecciones de la tangente en las rectas x y y. (fig. 4.2.5). Estas proyecciones originadas por los puntos A y B cuando se desplazan en iguales intervalos de tiempo a lo largo de las rectas x y y, las llam Newton las velocidades fluxionales o las fluxiones

de los puntos A y B (Fig. 4.2.6). Las fluxiones x y

y , corresponden simplemente, a las

derivadas de x, y, y con respecto al tiempo t. Usando notacin de Leibniz, tendramos

y =dy/dt, y

x = dx/dt.

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Fig. 4.2.5. Fig. 4.2.6

En las grficas, *x=x , la fluxin de x, y, *y=

y , la fluxin de y.

Cuya razn es la derivada de y con respecto a x,

y /

x = dy/dx.

El primer problema a resolver por parte de Newton, es aquel de encontrar: la relacin entre las

fluxiones x , y,

y , dada la relacin f(x, y) = 0. Tratndose del polinomio de dos variables:

f(x, y) = ji

njiij yxa

, = 0,

Newton encuentra que: ji

njiij yxayyjxxi

+,

)//( = 0.

Podemos mostrar que esta ecuacin, para el caso de dos variables, se reduce a:yfy

xfx

+ = 0,

o lo que es lo mismo: xy&&

yfxf=

// .

Para demostrar la frmula general, Newton recurre al teorema del binomio, del cual ya tena conocimiento (de ah el nombre de: Binomio de Newton), e introduce el infinitesimal (la letra griega micron), el que se comporta como cero para ciertas cosas pero que no es cero para otras. Esta especie de inconsistencia fue criticada duramente por el filsofo y obispo, George Berkeley (1685-1753), en su obra El Analista. La frmula general le permite calcular la tangente a una curva algebraica dada por f(x, y) = 0, en

la forma del cociente fluxional, digamos, xy&&

como la pendiente de esta recta, usando las

fluxiones como las velocidades instantneas de x, y, y. En particular si y = x n , f(x, y) = y - x n = 0, aplicando la frmula para dos variables y las condiciones dadas, encontramos.

xy&&

= n x 1n .

Por definicin de las fluxiones de y, y, x, y = dy/dt,

x = dx/dt, tendramos las diferenciales de

x, y, y, siguiendo la notacin de Leibniz,

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xy&&

= (dy/dt )/( dx/dt ) = dy / dx = n x 1n ,

da la relacin de las diferenciales como: dy = n x 1n dx 4.3 El Teorema Fundamental del Clculo.

Teniendo xy&& = dy/dx, Newton se plante el problema de hallar y, en trminos de x. Cuando el

cociente ya es una funcin explicita de x, digamos: xy&& = (x), la situacin corresponde a un

problema de antiderivadas, es decir, hallar una funcin g tal que su derivada, sea (x).

Fig. 4.3.1. La funcin A(x) da el valor del rea bajo la curva para un x dado.

El caso general, F(x, xy&&

) = 0, da origen a una ecuacin diferencial, por cuanto que, una de las

incgnitas de la ecuacin es una derivada. Newton desde 1666 haba relacionado la antidiferenciacin con el clculo de reas; o como se deca entonces, con cuadratura de curvas. Es sta, histricamente hablando, la primera vez que se relaciona el problema de cuadraturas con el clculo de antiderivadas. Aqu aparece una aplicacin del teorema fundamental del clculo, que en forma simblica explcita, podra escribirse como:

ydx

xdA =)( .

Donde A(x) denota el rea bajo la curva y = f (x), sobre el intervalo [0, x], (Fig.4.3.1). Esta frmula dar un mtodo algortmico para calcular reas. En palabras: para calcular el rea bajo la curva, y = f(x), debemos buscar una funcin g tal que al derivarla con respecto a x nos reproduzca a f. Por ejemplo, si sabemos dg/dx =cos x, g ser sen x. El mrito en el trabajo de Newton est en la sistematizacin, en un solo proceso, de los mltiples casos de cuadraturas y de tangentes, proceso que, los matemticos anteriores, haban calculado separadamente. Mientras las tcnicas infinitesimales previas, se basaban en la determinacin del rea como el lmite de una suma de infinitesimales o indivisibles, Newton introduce aqu la tcnica de calcular la razn de cambio del rea bajo la curva (Fig. 4.3.1) con respecto a x, y entonces calcula el rea por antidiferenciacin. Combinando el enfoque de las fluxiones con la concepcin de las tangentes y la razn de cambio de las mismas, aparece claro, por vez primera, la naturaleza precisa de la relacin inversa entre el problema de las tangentes y los problemas de las reas (cuadraturas), y

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el hecho de que ambos tipos de clculos son aspectos alternos del mismo tpico matemtico, aquel, caracterizado por procesos algortmicos precisos y de aplicacin generalizada.

Supongamos que y mide el rea ABC bajo la curva q = f(x) en la figura 4.3.2. Supongamos tambin que el segmento BC barre el rea y cuando x se mueve entre d y e a una razn de

cambio x = dx/dt. = 1. Si p = 1, el rea del rectngulo es x. Newton encuentra obvio que el

cambio de y con respecto al tiempo es q = f(x), es decir: xy&&

)(xf= . Aqu, la parte crucial est en la escogencia que hace Newton de los incrementos del rea, de y a un valor y + , asociado al incremento de x a x + , durante un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeo.

Fig. 4.3.2. La variable y mide el rea bajo la curva, cuya razn de cambio es f(x).

Una aplicacin que Newton hace de este proceso es, hallar la pendiente de la tangente a la curva con ordenada x 1+n /(n+1), para la cual encuentra y = x n . Y recprocamente para el rea bajo la curva con ordenada igual a x n , halla un valor de x 1+n /(n+1). Aqu Newton asume sus ejemplos, suponiendo que la constante de integracin es cero.

4.4. Lo que deberamos saber para fundamentar el Clculo Infinitesimal.

La parte neurlgica del clculo infinitesimal reposa en el Teorema Fundamental del Clculo. Por lo tanto cabe preguntarse cules son las funciones f en las que este teorema se cumple. Es decir, las funciones que satisfacen la frmula:

f (b) - f (a) = dxxfb

a )( . ( * ) En esta frmula radica el ncleo central del clculo, por cuanto que en ella, se afirma que al integrar la derivada de una funcin, se logra informacin sobre el comportamiento de la funcin misma. La integracin es un proceso que involucra datos infinitesimales de la derivada, pero que su resultado nos da informacin global sobre la funcin f. La funcin f, no slo debe estar, definida en el intervalo [a, b], sino que adems, debe ser integrable para garantizar la existencia de la integral. Muchas funciones son continuas pero no son integrables y otras tienen derivada en todas partes pero tampoco son integrables. Por esto, el espectro de las funciones que satisfacen (*), se va a reducir a una clase de funciones que hoy se conoce como: funciones absolutamente continuas.1

1 Informacin sobre estas funciones y sus aplicaciones y generalizaciones puede leerse en: HEINONEN, J. Nonsmooth Calculus. Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 44, No. 2. April 2007.

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DEFINICIN. Una funcin continua f: [a, b] R, es absolutamente continua si, 0,0 >> , tal que: