Ứng dỤng tÍch phÂn · Ứng dỤng tÍch phÂn hƯỚng dẪn giẢi. dạng 1. diện tích...
TRANSCRIPT
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HƯỚNG DẪN GIẢI.
Dạng 1. Diện tích hình phẳng giới hạn
Bài 1:
1. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số: y x= − và đường thẳng y 2 x= − là
nghiệm của phương trình: x 2 x x x 2− = − = −
2 2
x 2 x 2x 4
x x 4x 4 x 5x 4 0
=
= − + − + =
Diện tích hình phẳng H giới hạn: ( )2 4
0 2
S xdx 2 x x dx= + − +
42 23 3
0 2
2 x 2 4 2 16 4 2 10x 2x x 2
3 2 3 3 3 3 3
= + − + = + − − =
2. Phương trình hoành độ giao điểm : ( ) ( )xe 1 x 1 e x+ = + ( )xx e e 0 − =
x
x 0 x 0
x 1e e
= =
==
Diện tích hình phẳng H giới hạn: ( ) ( ) ( )1 1
x x
0 0
S e 1 x 1 e xdx x e e dx = + − + = −
Với x 0;1 , ta luôn có: ( )xx e e 0−
Vậy, ( )1
x
0
S x e e dx = −
Đặt ( )x x
u x du dx
dv e e dx v ex e
= =
= − = −
( ) ( ) ( )
11 21
x x x
0 0 0
ex e eS x ex e ex e dx e e 1 1
2 2 2
= − − − = − − = − − − − = −
Bài 1:
1. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 35x x 9 x 9x+ = +
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2x x 9. 5 x 9 0 x 0,x 4 + − + = = =
Hơn nữa hàm số ( )2 3y 5x x 9 x 9x= + − + liên tục trên 4;0− , 0;4 , do đó
diện tích cần tính là:
( ) ( ) ( )4 0 4
2 3 2 3 2 3
4 4 0
S 5x x 9 x 9x dx 5x x 9 x 9x dx 5x x 9 x 9x dx− −
= + − + = + − + + + − +
( ) ( )0 4
2 3 2 3
4 0
82 82 1645x x 9 x 9x dx 5x x 9 x 9x dx
3 3 3−
= + − + + + − + = − + =
2.
( )
2
31
1S dx
x x 1=
+ , với
( )3
1x 1;2 0
x x 1
+
( )( )
( )
3 32 2 2 2
33 31 1 1
x 1 xdx 1 xS dx dx
x x 1x x 1 x x 1
+ − = = = −
++ +
( )3 22 223
3 311 1
x 1 '1 1 3x 1 1 1dx dx ln x ln x 1
x 3 x 3 3x 1 x 1
+ = − = − = − + + +
1 1ln 2 ln 9 ln 2 .
3 3
= − − −
Vậy, 4 1
S ln2 ln93 3
= −
3. Ta có phương trình : ( )
2
xln x 2 x 00
x 14 x
+ ==
= −−
. Suy ra hình phẳng cần tính
diện tích chính là hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )2
xln x 2y , y 0, x 1, x 0.
4 x
+= = = − =
−
Diện tích của hình phẳng là ( ) ( )0 0
2 21 1
xln x 2 xln x 2S dx dx.
4 x 4 x− −
+ − += =
− − .
Đặt ( )2
xu ln x 2 , dv dx
4 x
−= + =
−
. Khi đó 2dxdu , v 4 x
x 2= = −
+.
Theo công thức tích phân từng phần ta có
( )0 02 20
2
1 1 1
4 x 4 xS 4 x ln x 2 dx 2ln2 dx.
x 2 x 2− − −
− −= − + − = −
+ +
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt x 2sin t dx 2costdt= = . Khi x 1 t ;6
= − = − khi x 0 t 0.= =
( ) ( )
00 0 02 2
16
6 6
4 x 4cos tI dx dt 2 1 sin t dt 2 t cos t 2 3.
x 2 2sin t 2 3− −
− −
− = = = − = + = + −
+ +
4. Phương trình tiếp tuyến tại M : y 6x 9= −
Phương trình tuyng độ giao điểm: 2y 9y 36y y 18y 81
6
+= = + +
Vậy, 9
0
y 9S y dy
6
+= − . Với y 0;9 thì
y 9y 0
6
+− .
939 2
00
2 yy 9 y 9y 27 27 9S y dy 18
6 12 6 3 4 2 4
+ = − = + − = + − =
Bài 3:
1. Bảng xét dấu
x 0 1 3 y − +
( ) ( )1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − − + − + − + −
( ) ( )1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − − + − + − + −
1 33 3
2 2
0 1
x x 82x 3x 2x 3x
3 3 3
= − − + + + − + + =
.
Vậy 8
S3
= (đvdt).
2. Đặt ( ) ( )3 2 3 2h x x 11x 6 6x x 6x 11x 6= + − − = − + −
( )h x 0 x 1 x 2 x 3= = = = (loại).
Bảng xét dấu
x 0 1 2
( )h x − +
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ) ( )1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= − − + − + − + −
1 24 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 52x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
= − − + − + − + − =
.
Vậy 5
S2
= (đvdt).
3. Phương trình hoành độ giao điểm:
2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0− + = − + = = x 1t 1 x 1
t 3 x 3x 3
= = =
= = =
3 32 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx−
= − + = − +
( ) ( )1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx = − + + − +
1 33 3
2 2
0 1
x x 162 2x 3x 2x 3x
3 3 3
= − + + − + =
.
Vậy 16
S3
= (đvdt).
4. Phương trình hoành độ giao điểm:
2x 4x 3 x 3− + = + 2
2
x 3 0x 0
x 4x 3 x 3x 5
x 4x 3 x 3
+ = − + = + = − + = − −
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 5 2x 4x 3− + + 0 − 0 +
( ) ( ) ( )1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx = − + − + − + −
1 3 53 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 1096x
3 2 3 2 3 2 6
−= − + + − + − =
.
Vậy 109
S6
= (đvdt).
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
5. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành: x 0 x 0
xln x 0ln x 0 x 1
= ==
= =
Nhận xét: xlnx 0 , x 1;e
Gọi S là diện tích cần tìm : e e
1 1
S xln xdx xln xdx= =
Đặt: 2
dxdu
u ln x x
dv xdx xv
2
= =
= =
e e ee e2 2 22
11 11 1
x 1 x 1 e 1S xln xdx ln x xdx ln x x
2 2 2 4 4
+= = − = − = (đvdt)
6. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
2 2 x 1x 3x 2 x 1 x 4x 3 0
x 3
=− + = − − + =
=
Gọi S là diện tích cần tìm: ( ) ( )3 3
2 2
1 1
S x 3x 2 x 1 dx x 4x 3dx= − + − − = − +
Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ) 2 2x 3x 2 x 1 x 4x 3 0, x 1; 3− + − − +
( )3
3 42 2
1 1
x 4S x 4x 3 dx 2x 3x
4 3
= − + − = − + − =
(đvdt)
Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị )
( )3 3
3 3
1 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − + = − +
34
2
1
x 4 42x 3x
4 3 3
= − + = − =
7. Gọi S là diện tích cần tìm và e
1
ln xS dx
2 x=
Vì trên đoạn ln x ln x
1;e : ln x 02 x 2 x
= nên e
1
ln xS dx
2 x= .
Đặt
u ln x 1du dx
x1dv dx
v x2 x
= =
= =
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Khi đó ( )e ee
1 11
xS x ln x dx x ln x 2 x 2 e
x= − = − = − ( đvdt ).
8. Ta có ( ) ( )1 2f x f x 0 cosx sinx 0 x 0;4
− = − = =
Vậy diện tich cần tinh là 0
S cos x sin x dx
= −
( ) ( )4
0
4
cosx sin x dx cosx sin x dx
= − + −
( ) ( )40
4
sinx cosx sinx cosx 2 2
= − + − = .
9. PTHĐ giao điểm của hai đồ thị 3y x 3x= + và y x 5= − +
3 3 2x 3x x 5 x 4x 5 0 (x 1)(x x 5) 0+ = − + + − = − + + = x 1 = .
Diện tích cầ tính là: 1 1
3 3D
2 2
S x 4x 5 dx (5 4x x )dx− −
= + − = − −
14
2
2
x 995x 2x
4 4−
= − − =
(đvdt).
10. Xét PTHĐ giao điểm của hai đồ thị 2x
y 44
= − và 2x
y4 2
= :
2 2 2 42x x x x
4 4 x 8 x 2 24 4 324 2
− = − = = = .
Trên 2 2; 2 2 −
, ta có: 2 2x x
44 4 2
− nên diện tích cần tính là:
2 2 2 2 2 22 22 2
D0 02 2
x x 1S 4 dx 16 x dx x dx
4 4 2 2 2−
= − − = − −
Ta có:
2 22 2 32
0 0
x 16 2x dx
3 3= =
Đặt x 4sin t dx 4costdt= = . Khi đó:
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2 4 42 2
0 0 0
16 x dx 16 cos tdt 8 (1 cos 2x)dx 2 4
− = = + = +
Vậy: D4
S 23
= + .
11. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: x(e 1)x (1 e )x x 0;x 1+ = + = =
Diện tích cần tính là: 1 1 1
x xD
0 0 0
S |xe xe |dx e xdx xe dx= − = −
Ta có: 1
0
1xdx
2= .
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
= =
1 11x x x
00 0
xe dx xe e dx 1 = − =
De
S 12
= − (đvdt).
12. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho
2x x(2 tan x) x 0= + = và 2 2x(2 tan x) x x(1 tan x) 0 x 0;4
+ − = +
nên diện tích cần tính là: 4
2D
0
S x(1 tan x)dx
= +
Đặt 2
u x du dx
v tan xdv (1 tan x)dx
= =
== +
44 4
D 0 00
1S x tan x tan xdx ln|cosx| ln 2
4 4 2
= − = + = − .
Bài 4: Ta có: 2y' x 2mx 2= + − .
Do y'(0) 2 0; y'(2) 4m 2 0= − = + y' 0 = có đúng một nghiệm 0x (0;2)
Bảng biến thiên.
x 0 0x 2
y' − 0 +
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
y
Do 1 5 5
y(0) 2m 0; y(2) 2m 0 m 0; y 0 x (0; 2)3 3 6
= − − = −
23 2
D0
1 1 4m 10S x mx 2x 2m dx
3 3 3
+ = − − + + + =
D1
S 4 4m 10 12 m2
= + = = .
Bài 5: Đường thẳng đi qua A , hệ số góc k có phương trình :
y k(x 1) 4 kx k 4= − + = − + .
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và : 2 2x kx k 4 x kx k 4 0 (1)= − + − + − =
Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm 1 2x x . Khi đó, diện tích (H) là:
x22
x1
S (kx k 4 x )dx= − + −
x232
x1
k xx (4 k)x
2 3
= + − −
2 2 3 32 1 2 1 2 1
k 1(x x ) (4 k)(x x ) (x x )
2 3= − + − − − −
22 11 2 1 2 1 2
x x3k(x x ) 6(4 k) 2(x x ) 2x x
6
− = + + − − + +
22 1x x(k 4k 16)
6
−= − + .
Ta có: 2 2 22 1 2 1 1 2(x x ) (x x ) 4x x (k 2) 12 12− = + − = − +
2 3S .12 4 3
6 = . Đẳng thức xảy ra k 2 = .
Vậy k 2= là giá trị cần tìm
Dạng 2. Thể tích hình phẳng giới hạn Bài 1:
Phương trình hoành độ giao điểm: xlnx 0 x 1= = .
Vậy, ( )e e
2 2 2Ox 1
1 1
V xln x dx x ln xdx I= = =
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt: 2
322
2ln xdu dx
u ln x x
xdv x dx v x dx3
= =
= = =
ee3 3
2 21 2
11
x 2 e 2I ln x x lnxdx I
3 3 3 3
= − = −
với e
22
1
I x ln xdx=
Đặt: 32
dxduu ln x x
xdv x dxv
3
= =
= =
e ee3 3 3 3 3 3
22
11 1
x 1 e x e e 1 2e 1I lnx x dx
3 3 3 9 3 9 9 9
+= − = − = − − =
Vậy, ( )3
3 3
Ox
5e 2e 2 2e 1V .
3 3 9 27
− += − =
( đvtt ).
Bài 2:
1. Phương trình hoành độ giao điểm là x 1= .
Khi quay quanh trục Ox , hình phẳng giới hạn bởi y x= , trục Ox và x 1=
thì thể tích khối tròn sinh ra là: 1
10
V xdx2
= =
Khi quay quanh trục Ox , hình phẳng giới hạn bởi y 2 x= − , trục Ox và x 1=
thì thể tích khối tròn sinh ra là: ( )2
22
1
V 2 x dx3
= − = .
Vậy, thể tich khối tròn xoay cần tìm là 1 25
V V V6
= + = .
2. Phương trình hoành độ giao điểm: x sinx 0 x 0= = hoặc x =
( )2
2Ox
0 0 0
1 cos 2xV x sin x dx xsin xdx x dx
2
−
= = =
2 3
0 0 0
xxdx xcos2xdx I I
2 2 4 2 4 2
= − = − = −
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt: du dx
u x1
dv cos2xdx v sin2x2
= =
= =
0 00
x 1 1I sin2x sin2xdx 0 cos2x 0
2 2 4
= − = − =
Vậy, 3
OxV4
=
3. Phương trình hoành độ giao điểm: 25 x 3 x− = − 2x x 2 0 x 1 − − = = − hoặc x 2=
( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 4 2
Ox1 1
V 5 x 3 x dx 25 10x x 9 6x x dx− −
= − − − = − + − − +
24 2
1
x 11x 6x 16dx−
= − + + , với 4 2x 1; 2 , x 11x 6x 16 0 − − + +
( )2
2 5 34 2 2
Ox1 1
x 11xV x 11x 6x 16 dx 3x 16x
5 3− −
= − + + = − + +
32 88 1 11 15344 13
5 3 5 3 5
= − + − − + − =
4. Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là:
( )2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
V y dx xcosx sin x dx xcosxdx sin xdx
= = + = + .
Ta có: ( )2 2 22
00 0
1 1 1sin xdx 1 cos2x dx x sin 2x
2 2 2 4
= − = − =
.
Đặt u x du dx
dv cosxdx v sin x
= =
= =
2 220
0 0
xcosxdx xsin x sin xdx 12
= − = +
Vậy ( )3 4
V 12 4 4
+ = + + =
.
5 Thể tích khối tròn xoay cần tính là: 1
2 2x
0
V x e dx=
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt 2
2x2x
du 2xu x
1v edv e dx
2
= =
==
1 1212 2x 2x 2x
00 0
1 eV x e xe dx xe dx
2 2 = − = −
Đặt
2x2x
du dxu x1
v e dxdv e dx2
= =
== 11 1 2 2x 21
2x 2x 2x
00 0 0
1 1 e e e 1xe dx xe e dx
2 2 2 4 4
+ = − = − =
2 2 2e e 1 e 1V
2 4 4
+ − = − = .
6. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường ( )2y x ln 1 x= + và y 0= :
( )2x ln 1 x 0 x 0+ = = .
Thể tích cần tính: ( )1
2 2
0
V x ln 1 x dx= + .
Đặt ( )2
2
32
2xdu dx
u ln 1 x 1 x
xdv x dx v3
= = + +
= =
( ) ( )11 13 4
2 2 2
20 00
x 2 xx ln 1 x dx ln 1 x dx
3 3 1 x + = + −
+
11 13
2
2 20 00
ln2 2 1 ln2 2 x 2 dxx 1 dx x
3 3 3 3 3 31 x 1 x
= − − + = − − − + +
ln2 4 2 12ln2 16 6.
3 9 3 4 36
+ − = + − = (đvtt).
Bài 3:
1. Hoành độ giao điểm 2
2 2x4 x x 3 x 3
3− − = − = =
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( )3 4
2
3
xV 4 x dx
9−
= − − ( )3
3 53 4 3
0 0
2 2 x36 3x x dx 36x 3x
9 9 5
= − − = − −
.
Vậy 28 3
V5
= (đvtt).
2. Tung độ giao điểm: 2 y 1y 5 3 y
y 2
= −− + = −
=.
( ) ( ) ( )2 22 22 4 2
1 1
V y 5 3 y dy y 11y 6y 16 dy− −
= − + − − = − + +
25 3
2
1
y 11y 1533y 16y
5 3 5−
= − + + =
.
Vậy 153
V5
= (đvtt).
3. Gọi V là thể tích cần tìm: ( )2 22
x 2 2x
0 0
V xe dx x e dx= =
Đặt: 2
2x2x
du 2xdxu x
1v edv e dx
2
= =
==
2 2 22 2x2x 4 2x
0 00
x eV xe dx 2 e xe dx
2
= − = −
Đặt: 2x2x
du dxu x1
v edv e dx2
= =
==
22 22x4 2x 4 2x
0 00
xeV 2 e xe dx 2 e e dx
2 2
= − = − −
( ) ( )2
4 4 2x 4 4 4 4
0
2 e e e 2 e e e 1 5e 14 4 4
= − − = − + − = −
(đvtt).
4. Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi
các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ) ( )2
2 2 32 2 2
10 0 0
4x 32V 2x 4 dx 4x 16x 16 dx 8x 16x
3 3
= − = − + = − + =
Gọi V2
là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox
( ) ( )2
2 2 5 322 4 2
20 0 0
x 8x 256V x 4 dx x 8x 16 dx 16x
5 3 15
= − = − + = − + =
Gọi V là thể tích cần tìm:
2 1256 32 32
V V V15 3 5
= − = − = (đvtt)
Bài 4: Hoành độ giao điểm của hai đường 2y x 4x 3= − + và Ox là x 1= hoặc
x 3= .
Ta có: ( )22y x 4x 3 x 2 y 1 x 2 y 1= − + − = + = + với y 1 −
Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi 1x 2 y 1,= − + Oy, y 1,= −
y 0= sinh ra khối tròn xoay có thể tích là ( )0
21 1
1
V x dx−
=
Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi 2x 2 y 1,= + + Oy, y 1,= −
y 0= sinh ra khối tròn xoay có thể tích là ( )0
22 2
1
V x dx−
=
Vậy, thể tích cần tìm là 2 116
V V V3
= − = .