N G U Y Ễ N T H Ừ A H Ọ P

NGUYỄN THỪA HỢP

G I Ả I T Í C H

T ậ p I I I

(In lần thứ hai)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI NÓI DẦU

Quyền sách này là tập 3 trong bộ Giải tích của tác giả. Tập Ì gồm 7 chương:

Chương í: Tập hợp và ánh xạ. Chương 2: Giói hạn rủa dãy và hàm. Chương 3: Hàm liên tục và hàm sơ cấp. Chương ị: Dạo hàm. và vi phân. Chương 5: Các định lý cơ bàn cùa hàm khả vi. Chương 6: Hàm nhiều biển. Chương 7: Hệ hàm nhiều biến (Ánh xạ tù HI71 sang ĨR"1).

Tập 2 gồm 5 chương: Chương 8: Nguyên hàm. Chương 9: Tích phân. Chương 10: Tích phân suy rộng. Chương li: Chuỗi sỗ. Chương 12: Chuỗi hàm.

Tập 3 gồm. 4 chương: Chương 13 là chương "Tích phân phụ thuộc tham biến". Chương

này nói chung dành cho các sinh viên ngành Toán, gồm việc khảo sái các tính chất của tích phân phụ thuộc tham biến: tính liên tục, khả tích, khả vi của nó, tích phàn suy rộng phụ thuộc tham biến,....Những sinh viên ngành Vật lý, Kỹ thuật chì cần dùng những khái niệm cơ bắn thỉ chi cần xem tiết 9.5 cùa chương 9.

Phần đọc thêm của chương này trình bày gồm " Tích phân Phúc ri ê ". Nó là một tích phân suy rộng phụ thuộc tham biến. Những sinh viên dù thuộc ngành Vật lý, Kỹ thuật nếu cần tới các hàm Găm ma rịt), hàm Bê ta Bịp, q) và tích. phân Phua ri ê thỉ vần cằn đọc cẩn thận phần cơ bản ở trên của chương 13.

Chương lị là chuơng "Tích phân bội" gồm tích phân hai và ba lớp Theo kinh nghiệm thì các sinh viên khi mới học phần này thường hai lúng túng trước việc tính các cận của các tích phân lặp khi đối thứ ty

iv LỜI NÓI ĐẦU

các biến tích phân. Bài vậy tác giả dừng lại khá chi tiết các phương pháp thực hành đề tính các cận tích phân trong trường hợp kê <1CV" Hơn nữa thuờng khi làm các bài táp liên quan tới việc tinh tích phô-71 ^a

lớp trong các khối giới hạn bài các mặt cong thường gập (du so lữ c a c

mặt cong bậc hai) thì các sinh viên cũng không còn hình dung dược các mặt cong đó như thế nào. Vì vậy trong phan bài tập, có một trang nhác lại các hình dáng của các mặt cong bậc hai thường gặp.

Chuông 15 là chuông "Tích phân đường và tích phân mặt • Sinh viên mới học thuờng hay "sợ" tính ịoán nhũng tích phán mặt, nhát la tích phân mặt loại hai, không rõ cách định hướng các mặt cong. cách biểu diễn tham biến các mặt này. Vì vậy, tác giả đã cố gàng trinh bay chi tiết và rỗ ràng các vấn đề liên quan tới phần này.

Trong phần đọc thêm, tác giả đã đề cập tới nhùng điêu cơ bản của lý thuyết mặt cong, rất cần thiết cho các bạn đọc thuộc ngành Cơ.

Trong phần khác của phần đọc thêm, tác già trình bày sơ lược vé dạng vi phán trên mặt cong. Dĩ nhiên phần trình bày này không thế thay

thế một sụ trình bày đầy đủ và kỹ càng trong các tài liệu chuyên môn viết về ván đề này. Nó chi có mục đích giúp các bạn đọc các ngành Cơ, Vát lý hiểu được nội dung cơ bản của dạng vi phân, hoặc chính các bạn đọc ngành Toán, khi đọc ngay tài liệu chuyên môn có thể gập nhùng khái niệm khó hiểu, khó nhớ thì có thể đọc tr-uớc phần trình bày này đề

nắm được ý tưởng cơ bản của vấn đe, sau đó đọc các tài liệu chuyên sâu hơn thỉ dễ hiểu hơn.

Chuông 16 là chương đề cập về Giải tích véctơ, một chương quan trong đối với các bạn đọc ngành Vật lý, Kỹ thuật, trình bày các khái niệm về trường vô hướng, các khái niệm gracỉ u, các khái niệm về. trường

—> —* ~* véctơ, rót V, div V.

Cũng nhu tập Ì và tập 2, nội dung cùa từng chương trong tập 3 cũng đuơc chia làm hai phần: phần cơ bản dùng chung cho các sinh viên của nhóm ngành Toán, Lý, các ngành Kỷ thuật, Sư phạm, còn phần đ ọ c

thèm chi dành cho các sinh viên ngành Toán và các bạn đọc muôn tìm hiểu sâu hơn so với yêu cầu của chính ngành Toán. Cuối mồi chuông đêu có bài tập và hướng dẫn giải.

Dề sẻ dụng giáo trình này có hiệu quả, các bạn đọc sinh nên n Ể T ỉ

theo trình tự sau đẫy

Lời NÓI DẤU V Trước hết, đọc kỳ phần cơ bàn chung (không có phần đọc thèm) đề

hiểu được tất rá các khái niệm, quán triệt tất ai các định lý. Trong khi đọc, gặp các khái niệm mới, cần suy nghĩ, cân nhắc từng

câu chữ trong các định nghĩa để tránh, hiểu sai, nhất là các chương có tính lý thuyết (chương 13). Cần đặc biệt hiu ý không bả qua các thí dụ. vì chính nó sè giúp bạn hiểu rõ phần lý thuyết. Chì xem phần đọc thêm sau khi đả hiểu kỳ phần cơ bản và khi bạn thấy có yêu cầu đọc sâu thêm.. Cần cố gắng hiểu rõ phần lý thuyết trước khi làm bài tập. Phần tóm tắt à cuối mỗi chương giúp các bạn đọc thấy được những vấn đe quan trọng cần phải chú ý.

Bảng chỉ mục à phần cuối sách giúp các bạn tìm lại các định nqhĩa,

định lý. khái niệm cần thiết. Ký hiệu chẳng hạn 13.3.2.1 có nghĩa là

chuông 13, tiết 3, mục 2, tiều mục ỉ. Ký hiệu * như 13.1.2*3 dùng đề đánh số các định lý (định lý thứ ba cùa mục 13.1.2), ròn ký hiệu -nhu 13.3.1-1 đề đánh số các định nghĩa (định nghía thứ nhất. cùa mục 13.3.1). Cuối sách, trước phần chì mục, có hướng dẫn phiên âm theo tiếng Việt cách đọc các chủ Hy Lạp. Tên các tác giả nước ngoài được phiên ẵm. bằng tiếng Việt (dua theo nguồn gốc tiếng Pháp), đề sinh viên

có thể đọc đìtợc. Cũng như tập Ì và tập 2, giáo trình được viết không quá cô đọng,

được giải thích cặn kẽ, cốt phục-vụ cho việc tham khảo dê dàng và tự học.

Cũng như tập Ì và tập 2, cuốn sách này viết đề nhiều đói tuợng có thề tham khảo, nhu các sinh viên ngành Toán cơ bàn, các sinh viên ngành Vật lý, Cơ, Kỹ thuật, các giáo viên phổ thông muốn củng cố hoặc bổ túc thêm kiến thức ợủa mình. Các sinh viên ngành Toán cơ bản sè thấy đầy đủ các nội dung cần thiết trong chương trình của mình trong phần đọc thâm.

Các bạn đọc nào sù dụng cuốn sách đề dạy môn Giải tích th ì không nhất thiết phải dạy đầy đù mọi tiết, mục, mà cần lụa chọn các vấn đe sao cho phù hợp đối với các đối, tượng sinh viên của mình.

Chẳng hạn, đối với các sinh viên ngành Toán, cần chú trọng dạy những phần có lý luận chúng minh chặt chẽ, dạy cả một số phần đọc thêm nào có trong chương trinh, cồn đối với các sinh viên kỳ thuật thì có thể có những khái niệm , những định lý cần nêu mà không cần chứng

vi LỜI

minh miền là rác khái. niệm, định lý được đưa ra dỏ rần phải di"" thích cận kẻ. cằn ró thí dụ cụ thể.

Tác giá mong đợi sự Ị/óp Ị/ cún các hạn (lọc lù' mọi /iliưirni/ »" tác già xin tò lời cảm ơn trước.

l ác <jiỉi GS.TSKH. Nguyên Thừa Hợp

M Ụ C L Ụ C

Chương 13

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM BIẾN

13.1.Sự hội tụ đều của hàm F(x,y) khi y -> yo

13.1.1. Định nghĩa sự hội tụ đều Ì 13.1.2. Điên kiện hội tụ đều 5

13.1.3. Giói hạn lặp 8 13.1.4. Sự liên tục của hàm giới hạn 10 13.1.5. Tích phân qua giới hạn l i 13.1.6. Đạo hàm qua giới hạn 12

13.2. Tích phân phu thuộc tham biến

13.2.1. Khảo sát tính liên tục, khả vi, và khả tích cùa lự.).... 14 13.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham biến (PTTB)

13.3.1. Sự hội tụ đều cùa tích phân SUY rộng PTTIÌ 17 13.3.2. Sự liêu tục, khả tích, khả vi cùa tích phân suy rộng

PTTB 20 13.3.2.1. Qua giới hạn dưới dấu tích phân suy rộng PTTB. .20 13.3.2.2. Sự liên tục theo tham biến của tích phân suy rộng

PTTB 22 13.3.2.3. Tích phân dưới dấu tích phản suy rộng PTTB 22 13.3.2.4. Đạo hàm dưới dấu tích phân suy rộng PTTB 26 13.3.2.5. Thí dụ 27

13.3.3. Tích phân ơ le (Euler) 31 13.3.3.1. Tích phân ơ le loại Ì (hàm Bê ta) 31 13.3.3.2. Tích phân ơ le loại 2 (hàm Găm ma) 33

viii

13.4. Đọc thêm 13.4.1. Tích phân Phua ri ê (Fourier) ị 3 8

13.4.1.1. Tích phân Phua ri ê coi Tủm tnrờng hạp giới hạn cùa chuỗi Phua ri ê 38

13.4.1.2. Vài chú ý đầu tiên ... .ị... ,Ị, 40 13.4.1.3. Điều kiện đù 7. 4 2

13.4.1.4. Dạng phức cùa tích phân Phua ri ê 4 5

13.4.1.5. Biến đổi Phua ri ê 47 13.4.2. Vài tính chất của biến đổi Phua ri ê .: ® 13.4.3. Tích chập 1 51

Nội dung cần chú ý trong chương 13 56 Bài tập 6 8

Hướng dẫn, đáp số các bài tập chương 13 65

Chương lị

TÍCH PHÂN B Ộ I

14.1. Tích phân hai lớp

14.1.1. Định nghĩa tích phân hai lớp 71 14.1.2. Cách tính tích phàn hai lớp trong tọa độ Đe các 73

14.1.2.1. Trường hạp miền là hình chữ nhật [a;b\ X \c;d\ 73 14.1.2.2. Trường hợp miền là hình chữ nhật cong 77 14.1.2.3. Các trường hợp khác 82

14.1.3. Phép đổi biển số trong tích phân hai láp 85 14.1.3.1. Tích phân hai lớp trong tọa độ cực 85

14.1.3.1.1- Trường hạp V là một phần hình vành tròn-Ri < r < fí2, « < ũ < 0 ^

14.1.3.1.2. Trường hợp V là miền sao cho một tia phát xuất. tại o chỉ cắt biên của T> tại hai điềm sg

14 1.3.1.3. Trường hợp V là miền sao cho Rố< tọa độ nằm trên biên ( J 0

14 Ì 3 Ì 4 Trường hợp T> là miền chứa gốc tọa dọ ™ 14 13 2. Tích phân hai lớp trong tọa độ tổng quát ^

14 1.3.2.1. Cong thức đổi biến . 95