ni - springer978-3-322-83521-5/1.pdf · tabelle. natürlicher logarithmus ni o 1 2 3 1,0 0,0000...
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3,97
49
I 1,
4 4,
0552
4,
0960
4,
1371
4,
1787
4,
2207
4,
2631
4,
3060
4,
3492
4,
3929
I
1,5
4,48
17
4,52
67
4,57
22
4,61
82
6,66
46
4,71
15
4,75
88
4,80
66
4,85
50
1,6
4,95
30
5,00
28
5,05
31
5,10
39
5,15
52
5,20
70
5,25
93
5,31
22
5,36
56
1,7
5,47
39
5,52
90
5,58
45
5,64
07
5,69
73
5,75
46
5,81
24
5,87
09
5,92
99
1,8
6,04
96
6,11
04
6,17
19
6,23
39
6,29
65
6,35
98
6,42
37
6,48
83
6,55
35
1,9
6,68
59
6,75
31
6,82
10
6,88
95
6,95
88
7,02
87
7,09
93
7,17
07
7,24
27
2,0
7,38
91
7,46
33
7,53
83
7,61
41
7,69
06
7,76
79
7,84
60
7,92
48
8,00
45
2,1
8,16
62
8,24
82
8,33
11
8,41
49
8,49
94
8,58
49
8,67
11
8,75
83
8,84
63
2,2
9,02
50
9,11
57
9,20
73
9,29
99
9,39
33
9,48
77
9,58
31
9,67
94
9,77
67
2,3
9,97
42
10,0
74 I 1
0,17
6 10
,278
10
,381
10
,486
10
,591
10
,697
10
,805
2
,4
11,0
23
11,1
34
11,2
46
11,3
59
11,4
73
11,5
88
11,7
05
11,8
22
11,9
41
1,09
42
1,20
92
1,33
64
1,47
70
1,63
23
1,80
40
1,99
37
2,20
34
2,43
51 ~
2,69
12 ~
2,97
43 ~
3,28
71
CD
::;
3,63
28
4,01
49
4,43
71
4,90
37
5,41
95
5,98
95
6,61
94
7,31
55
8,08
49
8,93
52
9,87
49
10,9
13
"'l
12,0
61
0>
w
(For
tset
zung
) ~ ....
o 1
2 3
4 5
6 7
8 9
2,5
12,1
82
12,3
05
12,4
29
12,5
54
12,6
80
\12
,80
7
12,9
36
13,0
66
13,1
97
13,3
30
2,6
13,4
64
13,5
99
13,7
36
13,8
74
14,0
13
14,1
54
14,2
96
14,4
40
14,5
85
14,7
32
2,7
14,8
80
15,0
29
15,1
80
15,3
33
15,4
87
15,6
43
15,8
00
15,9
59
16,1
19
16,2
81
2,8
16,4
45
16,6
10
16,7
77
16,9
45
17,1
16
17,2
88
17,4
62
17,6
37
17,8
14
17,9
93
2,9
18,1
74
18,3
57
18,5
41
18,7
28
18,9
16
19,1
06
19,2
98
19,4
92
19,6
88
19,8
86
3,0
20,0
86
20,2
87
20,4
91
20,6
97
20,9
05
21,1
15
21,3
28
21,5
42
21,7
58
21,9
77
3,1
22,1
98
22,4
21
22,6
46
22,8
74
23,1
04
23,3
36
23,5
71
23,8
07
24,0
47
24,2
88
3,2
24,5
33
24,7
79
25,0
28
25,2
80
25,5
34
25,7
90
26,0
50
26,3
11
26,5
76
26,8
43
3,3
27,1
13
27,3
85
27,6
60
27,9
38
28,2
19
28,5
03
28,7
89
29,0
79
29,3
71
29,6
66
3,4
29,9
64
30,2
65
30,5
69
30,8
77
31,1
87
31,5
00
31,8
17
32,1
37
32,4
60
32,7
86
3,5
33,1
15
33,4
48
33,7
84
34,1
24
34,4
67
34,8
13
35,1
63
35,5
17
35,8
74
36,2
34
3,6
36,5
98
36,9
66
37,3
38
37,7
13
38,0
92
38,4
75
38,8
61
39,2
52
39,6
46
40,0
45
~ 2.- § 3,
7 40
,447
40
,854
41
,246
41
,679
42
,098
42
,521
42
,948
43
,380
43
,816
44
,256
3,
8 .
44,7
01
45,1
50
45,6
04
46,0
63
46,5
25
46,9
93
47,4
65
47,9
42
48,4
24
48,9
11
3,9
I 49
,402
49
,899
50
,400
50
,907
51
,419
51
,935
52
,457
52
,985
53
,517
54
,055
Tabellen 765
Tabelle. Unbestimmte Integrale
1. Funktionen, die eine ganzzahlige Potenz von a + bx enthalten
1) J~b = 1b In(a + bx) + O. a + x
J (a + bx)n+1
2) (a+bx)ndx= b(n+1) +0, n#--1.
J xdx 1
3) 1 + bx = 7Ji [a + bx ~ a In (a + bx)] --I- O.
4) J x2 dx = ~ [~ (a + bX)2 ~ 2a (a + bx) a + bx b3 2 ] + a2 In (a + bx) + o.
5)J dx =~~Ina+bx+O. x(a + bx) a x
6) J dx = ~...!... + !!.- In a + bx + O. x2(a + bx) ax a2 x
7) J (a ~d:X)2 = ;2 [ln(a + bx) + n -: bx] + o.
8) J (a X~db:)2 = ;3 [a + bx ~ 2a In (a + bx) ~ a ~2bX] + o.
9)J dx = 1 _~lna+bx+O. x(a + bX)2 a(a + bx) a2 x
10) J (a ~d;X)3 = ;2 [~ a: bx + 2(a; bX)2] + C.
2. Funktionen, die a2 + x 2 , a2 - x 2 , a + bx2 enthalten
11) J 1 ~x x2 = arctgx -I- O.
J dx 1 x 12) -2--2 = - arctg - + O.
a + x a a
. J dx 1 a + x 13) -.--2 = -2 In -- -I- O. a" -- x a a ~ x
J dx 1 x -I- a
14) -2--2 = -2 In -- -I- O. a-x a x-a
J dx 1 Vb 15) b • = ----= arctg x - + 0 a + X" Vab a
für a > 0 und b > o.
766 Tabellen
Wenn a und b negativ sind, so setzt man das Minuszeichen vor das Integral. Wenn a und b verschiedenes Vorzeichen haben, so verwendet man Nr. 16.
16) f dx 2 = 1 In Va +- x Vb +- 0. a-bx 2vab Va-xVb
17) f a~d:x2 = :b In (x2 +- ~) +0.
18) f x2 dx - ~ - !!:.... f dx a -I- bx2 - b b a + bx2 .
Für die weitere Integration s. Nr. 15 oder Nr. 16.
f dx 1 x2
19) x(a +- bx2) = 2a In a +- bx2 +- 0.
20) f dx - -~-~f~ x2(a +- bx2) - ax a a +- bx2 '
Für die weitere Integration s. Nr. 15 oder Nr. 16.
21)J dx - x +~J~ (a +- bX2)2 - 2a(a +- bx2) 2a a +- bx2 '
Für die weitere Integration s. Nr. 15 oder Nr. 16.
3. Funktionen, die va + bx enthalten
22) f Va +- bxdx = :b V(a +- bX)3 +- 0.
23) f xVa +- bxdx = - 2(2a - 3bt~br (a +- bX)3 +- 0.
24) f 2,j-+-b d = 2(8a2 - 12abx +- 15b2x2 ) V(a +- bX)3 +- ° x va x x 105b3 •
25) f xdx = - 2(2a - bx) V--b- ° Va +- bx 3b2 a +- x+-.
26) f x2 dx = 2 (8a2 - 4abx +- 3b2x2 ) V--b- ° Va +- bx 15b3 a +- x+-.
27) f dx = -.!.. In vi.i'"+'iiX - Va +- C für a > O. x Va +- bx Va Va +- bx +- Va
28) dx 2 t va +- bx ° -====--arcg -- +-x Va +- bx v=a -a
für a<O.
Tabellen 767
29) J dx = - Yii""+bx - ~J dx • x2 ya + bx ax 2a x ya + bx
Für die weitere Integration s. Nr. 27 oder Nr. 28.
30) J Yii""+bx dx = 2 ya + bx + a J dx . x xya + bx
Für die weitere Integration s. Nr. 27 oder Nr. 28.
4. Funktionen, die y x 2 + a2 enthalten
31) J yX2+(i2 dx = ; yx2 + a2 + ~2In (x + yx2 + a2) + O.
32) J Y (x2 + a2)3 dx = ~ (2x2 + 5a2) yx2 + a2
3a4 --+ """8 In (x + yx2 + a2) + o.
J Y (x2 + a2 )3 33) xyx2 +a2dx= 3 +0.
34) J x2 yx2 + a2 dx = ~ (2x2 + a2) yx2 + a2
a4 --- "8 In (x + yx2 + a2) + O.
35) J,t dx = In (x + yx2 + a2) + O. fX2 + a2
36) J dx = x + O. y(x2 + a2)3 a2 yx2 + a2
J xdx ,t-37) -= = f x 2 + a2 + O.
Yx2 + a2
38) -= = - yx2 + a2 - - In (x + yx2 + a2) + O. J x2dx x a2 --
yx2+ a2 2 2
J x2dx x (--) 39) Y = - ,t- + In x + yx2 + a2 + O.
(x2 + a2)3 fX2 + a2
40) J dx = -.!. In x + O. X yx2 + a2 a a + yx2 + a2
41) J dx = _ yx2;- a2 + O.
x2 yx2 + a2 a x
768 Tabellen
42) f dx V;;2 + a2 1 a + V~ , x3 Vx2 + a2 = - 2a2x2 + 2a3 In x -r C.
43) f V~dx = Vx2+ a2 - aln a + }I~ + C. X x
J VX2 + a2 dx Vx2 + a2
44) 2 = - --- + In (x + Vx2 + a2 ) + O. x x
5. Funktionen, die v' a2 - x2 enthalten
J dx . C 45) -;== = arcsIll x + . Vi - x2
J dx x 46) --= = arcsin - + C.
Va2 - x2 a
47) == +0. J dx x
V(a2 - X2 )3 a2 Va2 - x2
48) J x dx = - Va2 - :c2 +- C. Va2 - x2
49) J xdx = __ 1_ + C. V (a2 - X2 )3 Va2 - x2
50) i= = -- Va2 -x2 + - arcsin - + C. J X2 dx x -- a2 x
Va2 _ x2 2 2 a
51) J V~ dx = ~ Va2 - x2 + ~2 arcsin : + C.
52) J V(a2 - X2 )3 dx = ~ (5a2 - 2x2 ) Va2 - x2
3a4 x + - arcsin - + C. 8 a
53) J x Va2 - x2 dx = _ V (a2 ;; X2
)3 + C.
54) J x V (a2 -- X2 )3 dx = _ V (a2;; X2
)5 + C.
55) x2 Va2 - x2 dx = - (2x2 - a2) Va2 - x2 + - arcsin - + C. J -- x a4 x 8 8 a
56) = -== - arcsIll - + C. J X2 dx x . x
V (a2 - X2)3 Va2 -- x2 a
57) 0= - In + C. J dx 1 x
x Va2 -- xi a a + Va2 - x2
Tabellen
58) J dx Va2 - x2 --c===-= --- +0. x2 Va2 _ x2 a2x
J dx Va2 - x2 1 x 59) = - -2 2 2 + -2 3 In + O.
x 3 Va2 - x 2 a x a a + Va2 - x2
60) ~dx=Va2-x2-aIn a ,a -x +0. J"';-2--2 + 1/-2--2
x x
Jva2-x2 Va2-x2 . x
61) --- dx = ---- - arcsm - + O. x2 x a
6. Funktionen, die V x 2 - a2 enthalten
62) J dx = In (x + Vx2 - a2 ) + O. Vx2 - a2
63) J dx = - x + O. V (x2 - a2)3 a2 Vx2 - a2
64)J,jXdX =Vx2-a2 +O. fx 2 - a2
65) JV~dX= ~ -Vx2_a2- ~2In(x+-Vx2-a2)+0.
66) J V(x2 - a2)3 dx = ~ (2x2 - 5a2) Vx2 - a2
3a4 --+ 8 In (x + Vx2 - a2 ) + O.
J -V (x2 - a2 )3 67) x-V~dx = 3 + O.
68) J x V(x2 - a2)3 dx = -V (x2 ;; a2)' + O.
69) J x2 yx2 - a2 dx = ~ (2x2 - a2) Vx2 - a2
a4 --) -gln(x+ Vx2 -a2 +0.
J X2 dx x -- a2 --70) -= = -2 Vx2 - a2 + -2 In (x + yx2 - a2) + O.
Vx2 - a2
71) = --= + In (x + Vx2 - a2) + C. J x2dx x --
V (x2 - a2)3 Vx2 - a2
72) = arcsc x + O. J dx
xV x2 - 1
49 Wygodski II
769
770 Tabellen
J dx 1 x
73) , = - arcsc - + c. xVX2 - a2 a a
74) J dx = VX2=a2 + c. x2 Vx2 _ a2 a2x
J dx Vx2 - a2 1 x
75) ,r::::.--::2 = -2 2 2 + 2---a arcsc - + c. XI VX2 - a2 a x a a
76) = Vx2 - a2 - a arccos - + c. J VX2 - a2 dx --- a
x x
77) f~dX = _Vx2 -a2 +ln(x+ Vx2 -a2 ) +c. x x
7. Funktionen, die V2ax - x 2, V2ax + x 2 enthalten
Funktionen von V2ax - x2 integriert man mit Hilfe der Substitution t = x - a. Damit geht V2ax - x2 über in einen Ausdruck der Form Va2 - t2, und das resultierende Integral gehört zur Gruppe 5 dieser Tafel. Wenn es in der Tafel nicht enthalten ist, so versucht man, es auf eine Form zu bringen, die bereits tabelliert ist. Dasselbe gilt auch für Funktionen, die den Ausdruck V2ax + x2 enthalten. In diesem Fall führt die Substitution t = x + a auf ein Radikal der Form Vt 2 - a2 (Gruppe 6 dieser Tafel).
8. Funktionen, die a + bx + ex2 (e > 0) enthalten
r 2 t 2cx + b C -:17==;=;; arc g + , V4ac - b2 V4ac - b2
78) J dx _\ wenn b2 < 4ac. a + bx + cx2 - 1 2cx + b - V,b2 - 4ac
:;;:;;=:::::;== In + C, Vb2 - 4ac 2cx + b + Vb2 - 4ac!
wenn b2 > 4ac.
79) J, dx = ~ln(2cx+b+2VcVa+bx+cx2)+C. Va+bx+cx2 Vc
80) Jva + bx + cx2 dx = 2cx + b Va + bx + cx2 4c
b2 - 4ac ,I- ) - ,G In (2cx + b + 2 V c Va + bx + cx2 + C.
8 fC3 •
81) J x dx = Va + bx + cx2
Va + bx + cx2 C
- b _ln (2cx + b + 2 Vc Va + bx + cx2) + C. 2 Vc3
Tabellen 771
9. Funktionen, die a+ boo-eoo2 (e > 0) enthalten
82) J dx = 1 In Yb2 + 4ae + 2ex - b + G. a + bx - ex2 yb2 + 4ae yb2 + 4ae - 2cx + b
f dx 1. 2cx - b 83) = - arosm + G
ya + bx - cx2 Ve Yb2 +4ac .
J'1 2ex - b 84) va + bx - ex2 dx = ~ Va + bx - cx2
b2 + 4ae . 2ex - b + G + arosm . 8 (ci Yb2 + 4ac .
85) J x dx = _ ya + bx - ex2
ya + bx - cx2 C
b . 2ex - b + -- arosm + G. 2 (ci yb2 + 4ac
10. Weitere algebraische Funktionen
86) f V: ! x dx = V (a + x) (b + x) x + (a _ b) In (ya + x + Vb + x) + G.
87) f V: ~ : dx = y (a - x)(b + x) __
+ (a + b) arcsin V:! ~ + G.
88) J V: ~ : dx = - y (a + x) (b - x)
,jb=X - (a + b) arcsin V a + b + G.
89) f V~ ~ : dx = - Y 1 - x2 + arcsin x + G.
J dx . Vx=-ä 90) Y = 2 arcsm -b - + G. (x - a)(b - x) - a
11. Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen
J aX 91) axdx = lna + G.
J etn 93) eGXdx = a + G.
95) J cos x dx = sin x + G.
92) J exdx = eX + G.
94) f sin x dx = - oos x + G.
96) J tg x dx = -ln cos x + G.
772 Tabellen
97) J ctg x dx = In sin x + O.
98) f sc x dx = In (sc x + tg x) + 0 = In tg (: + ;) + O.
99) f cscxd:r: = In (cscx - ctgx) + 0 = In tg ; + O.
100) J sc2 X dx = tg x + O.
101) f esc2 xdx = -ctgx + O.
102) J sc x tg x dx = sc x + O.
103) J eBC x ctg x dx = - csc x + O.
104) fsin2xdx=; -! sin2x+O.
105) feos2xdx= ; +! sin2x+ O.
106) sin" x dx = - + -- sin"-2 X dx. J sin"-l x cos x n - 1 J n n
Diese Formel wendet man mehrmals an, solange bis sich ein Integral der Form J sin x dx oder J 8in2 x dx ergibt (je nachdem, ob n gerade oder lmgerade ist). Diese Integrale findet man unter Nr.94 und Xr.l04.
107) cos" x dx = + -- COS"-2 X dx f COS"-1 x sin x n - 1 f n n
(s. obige Bemerkung; Rückführung auf die Integrale in Nr. 95 oder Kr. 105).
108) f~ = __ 1_. ~ + n - 2f~ sin" x n - 1 sin"-1 x n - 1 sinn - 2 x·
Man wendet diese Beziehung solange an, bis man auf ein Integral
J dx (bei geradem 1/) oder ein Integral f ~x (bei ungeradem n) SIn x
kommt. Das letzte Integral findet man in Nr. 99.
109) f~ __ l_..L sinx +n-2f~ cos" x - n - 1 ' cos"-1 x n - 1 cosn-2 X
(s. obige Bemerkung; Rückführung auf ein Integral wie unter Nr. 98).
f COS"+l x 110) sin x eos" x dx = - ---1- + O. n+
f sin"+1 x 111) sin" x eos x dx = --1- + O. n+
Tabellen 773
112) cosm x sinn x dx = -------f COSm-l X sinm+1 x
m+n
+ : ~~ J cosm- 2 X sinn x dx.
Diese Beziehung wendet man solange an, bis der Grad des Faktors cos x entweder 0 (gerades n) oder 1 (ungerades 1/) wird. Im ersten Fall verfährt man weiter nach Nr. 106, im zweiten Fall nach Nr. 111. Diese Formel verwendet man nur für m < n. Bei 111 > n verwendet man besser die Formel:
113) f . sinn- 1 x C08m+1 X cosm x smnxdx = -------
m+n
+ n - 1 J cosm x sin"-2 x dx m+n
(s. obige Bemerkung; Rückführung auf Integrale wie unter Nr. 107 oder Nr. 110).
f .. sin (m + n) x 114) smmxsmnxdx = - 2(m + n)
sin (m - n) x C + ( ) + . 2m-n
f sin (m + n) x 115) cos mx cos nx dx = 2( m+n)
. sin (m - 11) X + 0 + 2(m-n) .
(m cj=n)
J . cos (m + n) ~; 116) sm mx cos nx dx = - 2 ( )
m+n
_ cos (m - n) x + C 2(m - n) .
117) J dx = --=2= arctg (l/a_-_b to.'::") + 0 a + b cos x ya2 _ b2 V Ct + b '" 2 '
118) J dx a+bcosx
119) f dx a+bsinx
wenn a> b.
1 Y b - a tg ~ -:- yb + a ---ln +0, Yb2 - a2 y-b ---a tg .::.. - y-b -+-a
2 wenna<b.
x 2 atg 2 +b
"arotg +0, Va2_b2 l'a2 -b2
wenna>b.
774 Tabellen
120)! dx 1 a tg ~ + b - Yb2 - a2
-=== In -------- + G, a+bsinx yb2 - a2 a tg !:. + b + Yb2 _ a2 2
121) f 9 2 ~ b2 . 2 = 1b arctg (b tg X) + G. acosx Sill X a a
122) fex sin X dx = eX (sin x 2- ws x) + G.
123) f . d etJX(a sin nx - n cos nx) + G eax Sill nx x = .
a2 + n2
1'lA) f d eX (sin x + cos x) + G "'* eXcosx x= 2 .
125) f tJX d = eax(n sin nx + a cos nx) + G e cos nx x a2 + n9 •
126) J xea:c dx = e; (ax - 1) + G.
J X"etJX n J 127) x"etJX dx = -a- - a x"-letJX dx.
wenn a < b.
Diese Formel wendet man solange an, bis der Grad von x gleich 1 wird. Dann liegt ein Integral wie unter Nr. 126 vor.
f xam:c amx
128) xam:c dx = -1- - -(1--)2 + G. m na m na
129) fX"am:c dx = am:cX" - _n_ f amxX"-1 dx. nlna mlna
Diese Formel wendet man solange an, bis der Grad von x gleich 1 wird. Dann liegt ein Integral wie unter Nr. 128 vor.
130) ea:c cos" x dx = --------:---,--:::--'------'-J ea:c cos"-1 x(a cos x + n sin x) , a2 + n 2
+ etJX cos,,-2 x dx. n(n -1) f a2 + n2
Diese Formel wendet man solange an, bis der Grad von cos x gleich 0 (bei geradem n) oder gleich 1 (bei ungeradem n) wird. Im zweiten Fall verfährt man weiter wie unter Nr. 122.
131) f sink x dx = cosh x + G.
132) f coshxdx = sinhx + G.
133) f tgh x d x = In cosh x + G.
Tabellen 775
134) J ctghxdx = ln sinh x + C.
135) J sech x dx = 2 arctg e'" + C.
136) J cosech x dx = In tgh; + C.
137) J sech2 x dx = tgh x + C.
138) J cosech2 x dx = -ctgh x + C.
139) J sechxtghxdx = sech x + C.
140) J cosech x ctgh x dx = - cosech x + C.
141) JSinh2 XdX= -; +~ sinh2x+C.
142) J cosh3 x dx = ; + ~ sinh2 2x + C.
12. Logarithmische Funktionen
Wir geben nur Funktionen, die den natürlichen Logarithmus enthalten. Falls man ein Integral einer Funktion benötigt, die den Logarithmus bei einer anderen Basis enthält, so formt man diese
Funktion vorerst mit Hilfe der Formel wendet dann die Tabelle.
lnx loga x = In a um und ver-
143) J In x dx = x In x - x + C.
J dx 144) -1- = In (ln x) + C.
x nx
145) Jxn In x dx = xn+1 [~ ___ 1 __ ] + C. n + 1 (n + 1)2
146) J Inn x dx = x Inn x - n JInn-l xdx.
Diese Formel wendet man solange an, bis sich das Integral Jln x dx ergibt, das aus Nr. 143 zu finden ist.
147) Jxm Inn x dx = xm+1 Inn x - _n_ J x m Inn-l x dx. m+l m+l
Diese Formel verwendet man solange, bis sich das Integral aus Nr. 145 ergibt.
Sachverzeichnis
AllEL, Theorem von 548 abgeschlossenes Intervall 262 abhängige Größe 258 Ableitung 285, 287 - dritter Ordnung 321 - erste 321 - erster Ordnung 321 - höherer Ordnung, partielle 614 - einer komplexen Funktion 570 -, logarithmische 306 - der linearen Funktion 290 -, partielle 597 - einer Potenzfunktion 290 -, totale 611 - der Umkehrfunktion 302 - einer Vektorfunktion 492 -, zweite 321 - zweiter Ordnung 321 - - -, partielle 614 - en, gemischte 615 -, reine 615 Abnahme einer Funktion 356 Abschnittsgleichung einer Ebene 175 - der Geraden 54 Abstand 28 - eines Punktes von einer Geraden 47 -, orientierter 48 - zwischen zwei Punkten 28 Abszisse 23, 143 Abszissenachse 22, 141 Achse 137 - der Ellipse, große 62 - - -, kleine 62 - - Hyperbel, imaginäre 70, 72 - n des Ellipsoids 219 Achsenabschnitte 58, 174 Achsendrehung 56 additiv 462 d'ALEMBERTsches Kriterium 518, 524
algebraische Flächen 217 - Gleichung 58, 217 - Kurve noten Grades 59 analytische Geometrie 27 Anfangsordinate 32 Anfangswert 669 Applikate 143 Applikatenachse 142 Äquator 220 Archimedische Spirale 124, 726 Areakosinus, hyperbolischer 558, 563 Areakotangens, hyperbolischer 558.
563 Areasinus, hyperbolischer 558, 563 Areatangens, hyperbolischer 558, 563 Argument 256 Astroide 745 Asymptot.e 371 -n der Hyperbel 71
Basisvektoren 142 Beschleunigung 322 -, mittlere 322 beschränkte Größe 272 Bildungsgesetz für die Glieder einer
Reihe 529 Binomialausdruck 422 Binomialreihe 557 Binormale 499 Bogendifferential 469 Bogenlänge 468 - einer Raumkurve 487 Brennpunkte der Ellipse 64 - - Hyperbel 67 Brennweite 64, 67 Bruch 256 -, einfacher 410 Büschel, einfaches 43 -, zentrales 43
Sachverzeichnis 777
Büschelachse 190 Büschelgleichung 44 Büschelparameter 44
CASSINIsche Linie 723 CAUOHY, Satz von 333 Charakteristik der Funktion 265 CLAIRAuTsche Gleichung 679
Definitionsbereich einer Funktion 261 Determinante 30, 165 -, Elemente 236 - dritter Ordnung 235 - zweiter Ordnung 235 Differential 291 -, drittes 324 -, erstes 324 -, partielles 600 -, totales 601, 660, 673 -, zweites 324 -e höherer Ordnung 323 - - -, totale 616 Differentialeigenschaften 296 Differentialgleichung 663 - erster Ordnung 677 -, gewöhnliche 663 -, homogene 674 -, partielle 663 - zweiter Ordnung 690, 692
- -, lineare 694 - - mit konstanten Koeffizienten, lineare 696 - - - - -, inhomogene liueare 700
Differentiation, logarithmische 305 - des Logarithmus 304 - von Potenzreihen 550 - eines Quotienten 300 - von unendlichen Reihen 542 differenzierbar 293 divergent 509 Division von unendlichen Reihen 528 - eines Vektors 136 - - - durch einen anderen 137 Doppelintegral 624, 627, 631, 635 Dreibein, begleitendes 499 Durchmesser der Ellipse 85 - einer Hyperbel 87 - eines Kegelschnitts 84 -, konjugierte 86, 87 - einer Parabel 89
Ebene, rektifizierende 499 EbenenbÜschel 190 Ebenengleichung, Normalform 181 Elemente der Determinante 236 Ellipse 62 Ellipsoid 218 elliptischer Zylinder 213 - -, imaginärer 233 elliptisches Paraboloid 227 Entwicklung einer Funktion in eine
Potenzreihe 553 Enveloppe 681 Epizykloide 739 Erzeugende 225 EULERsche Formel 572 - Transformation 424 Evolute 480, 737 Evolvente 483, 737 Exponentialfunktion 264, 306, 555 Extremum 356 Exzentrizität 81 - der Ellipse 66 - - Hyperbel 71
Faktor, integrierender 674 Faktorenzerlegung eines Polynoms 419 Fehlergrenze 310 Flächen, algebraische 217 - zweiten Grades 230 Flächenelement 625 Flächeninhalt 638 Fokalsehne 82 Folge 262 -, Grenzwert 266 Formel, EULERsche 572 -, GREENsche 658 - von MOIVRE 567 - - NEWTON-LEIBNIZ 441 -, SIMPsoNsche 458 -, TAYLORsche 340, 344, 346 -n von EULER-FoURIER FOURIER-Reihe - - fÜr unstetige Funktionen 586 Funktion 259 -. abnehmende 353 -. Definitionsbereich 261 -, differenzierbare 605 -. eindeutige 264 -. elementare 264 -, explizite 592 -. ganze rationale 408
778 Sachverzeichnis
Funktion, ganzzählige 262 -, gebrochene rationale 408 -, gerade 582 -, Grenzwert 268, 270 -, hyperbolische 556, 561 -, implizite 311, 592 -, mehrdeutige 264 - der oberen Grenze 438 -, periodische 573 - , rationale 408 - , skalare 491 -, stetige 280 -, trigonometrische 264, 307, 555 -, ungerade 582 -, zunehmende 353 -, zusammengesetzte 298, 609 -en von mehreren Argumenten, impli-
zite 612 - reellen Argumenten, komplexe 568 - zwei Variablen 590
Geometrie, analytische 27 -, LOBATSCHEWsKIsche 753 Gerade, Parameterdarstellung 197 Geradenbüschel 43 Geradengleichung 31 - , allgemeine 34 -, kanonische 194 Geradenpaar, linksgerichtetes 209 -, rechtsgerichtetes 209 gewöhnliche Differentialgleichung 663 gleichseitige Hyperbel 70, 116, 117 Gleichung, algebraische 58, 217 -. CLAIRA UTsche 679 - einer Ebene 175, 198 - der Ellipse, kanonische 63 - einer Fläche 211 - - Geraden 198 - - - durch zwei gegebene Punkte42 - der Hyperbel, kanonische 69 - einer Kurve 213 - der Parabel, kanonische 74 -en, Lösung 381, 384 GREENsche Formel 658 Grenze des absoluten Fehlers 310 - - relativen Fehlers 310 Grenzwert, endlicher 273 - einer Folge 266 - von Funktionen 268, 270, 594 - sin xix 276 - einer Summe 274
Halbperiode 573 Hauptachse, große 219 -, kleine 219 -, mittlere 219 Hauptdurchmesser 86 Hauptellipse 219 Hauptnormaie 491, 499 Hauptschnitte 222 Hodograph 491 Hyperbel 67 -, gleichseitige 70, 116, 117 - n, konjugierte 73 hyperbolisches Paraboloid 229 Hyperboloid, einschaliges 221 -, zweischaliges 222, 223 Hypozykloide 739
Imaginäre Achse der Hyperbel 70, 72 inkommensurabel 256 Integral, bestimmtes 426 -, dreifaches 641, 642, 645, 646 -, eigentliches 446 -, unbestimmtes 297, 392 -, uneigentliches 445, 446, 450 - e, iterierte 627 Integralbegriff 389 Integralkriteriumfür die Konvergenz 519 Integralkurve 665 Integrand 392, 625 Integration 392 - der Differentialgleichung 663 -, partielle 402 -, - bestimmte 443 - von Potenzreihen 550 - rationaler Methoden 413 - von unendlichen Reihen 539 Integrationsbereich 625 Integrationsgrenze 428 Integrationsintervall 428 Integrationskonstante 396 Integrationsvariable 392 Integrierbarkeit von Differentialglei-
chungen 682 integrierender Faktor 674 Interpolationsformel von NEWTON 455 Interpolationspolynom 453 Intervall, abgeschlossenes 262 Invarianten einer Gleichung zweite\)
Grades 106, 108 irrationale Zahlen 256 Isoklinen 668
Sachverzeichnis 779
kanonische Geradengleichnngen 194 Gleichnng der Ellipse 63
- - - Hyperbel 69 - - - Parabel 74 Kardioide 472, 619 Kartesisches Blatt 712 Kegel zweiter Ordnnng 225 - - -, imaginärer 233 Kegelfläehe 225 Kegelschnitte 83 Kehlellipse 222 Kettenlinie 753, 755 Kettenregel 133, 299 Kissoide 710 klein von derselben Ordnnng 278 - - höherer Ordnung 278 - - niederer Ordnung 278 Koeffizienten, konstante 707 Kollinearität von Vektoren 148 Komplemente, algebraische 236 komplexe Funktionen von reellen Ar-
gumenten 568 - Zahlen 567 Komponenten 145 Konchoide 715 konkave Kurve 368 konvergent 509 Konvergenz, gleichmäßige 533, 537 - , ungleichmäßige 533 Konvergenzbereich 531, 547 Konvergenzintervall 544 Konvergenzradius 544 konvexe Kurve 368 Konvexität ebener Kurven 368 Koordinaten 22, 143 - , laufende 27 -, rechtwinklige 143 Koordinatenachsen 141 Koordinatensystem, rechtwinkliges 23 -, kartesisches 25 - , schiefWinkliges 25 Koordinatentransformation 54, 210 Koordinatenursprung 22, 141 Kosinus, hyperbolischer 561, 567 Kotangens, hyperbolischer 561, 567 Kreiselvolvente 729 Kreisfunktion 265 Kriterium, D' ALEMBERTsches 518, 524 - von LEIBNIZ 521 Krümmung 474 Krümmungsachse 502
Krümmungskreis 476, 503 Krümmungsmittelpunkt 476 Krümmungsradius 476,502 Krümmungszentrum 502 Kugelfläche 217 Kugelkoordlnaten 645 Kurve, konkave 368 -, konvexe 368 - noten Grades, algebraische 59 - zweiter Ordnung, zentralsym-
metrische 114 -n gleicher Neigung 668 - zweiten Grades 90, 108
- -, nichtzentralsymmetrische 111 - -, zentralsymmetrische 111
Kurvenintegral 654, 656, 658 Kurvenschar 681
LAGRANGE, Mittelwertsatz von 329 Länge eines Vektors 147 Längsachse 222 LEIBNIZ, Kriterimn von 521 LEIBNlzsche Regel 327 Leitlinie 317 - einer Ellipse 79 - - Hyperbel 79, 80 - der Parabel 74 Lemniskate 725 Linie, CASSINlsche 723 Linksspirale 125 . Linkssystem 142, 155 LOBATSCHEWsKlsche Geometrie 753 logarithmische Ableitung 306 - Differentiation 305 - Spirale 731 Logarithmus, dekatischer 303 -, natürlicher 303 Logarithmusfunktion 264, 556 Lösung, allgemeine 665, 669, 692 - von Gleichungen 381, 384 -, partikuläre 665, 669, 692 -, singuläre 671, 673
MAc-LAURIN-Reihe 342 Maxima 621 Maximum 356, 363 Meridian 220 Minima 621 Minimum 356, 363 Mittelpunkt der Hyperbel 69
780 Sachverzeichnis
Mittelwertsatz der Integralrechnung436 - von LAGRANGE 329 MOIVRE, Formel von 567 Multiplikation eines Vektors 135
natürliche Zahlen 256 -r Logarithmus 303 NEWTON, Interpolationsformel von 455 Normale 320, 490 Normalebene 490 Normelenvektor 169 Normalform 707 - der Ebenengleichung 181 - - Ellipse 63 - - Geradengleichung 51 Null 256 Nullvektor 130
Operationen mit Potenzreihen 548 - - unendlichen Reihen 514 Ordinate 23, 143 Ordinatenachse 22, 142 Ordnung der Differentialgleichung 663 orthogonal 574 Orthogonalität von Vektoren 154 - zweier Ebenen 172 - - Geraden 38 Orthogonaltrajektorien 483
Parabel 73 parabolischer Zylinder" 213 Paraboloid, elliptisches 227 -, hyperbolisches 229 Parallelenbüschel 45 Parallelität von Ebenen 171 Parallelitätsbedingung 36 Parameter 313 - der Ellipse 82
- Geraden 49 - - Hyperbel 82 - - Parabel 82 Parameterdarstellung der Geraden 197 Parameterform 313 - gegebener Funktionen 315 Parametergleichungen 314 - der Raumkurve 484 - - Zykloide 317 Partialbruch 410 Partialsumme 508 partielle Differentialgleichungen 663 PAsoALsche Schnecke 619
Polarabstand der Ebene 179 - der Geraden 49 Polarachse 119 Polargleichung der Geraden 126 - eines Kegelschnitts 126 Polarkoordinaten 25, 119, 122, 610 Polarparameter 49 - der Ebene 179 Polarradius 120 Polarwinkel 120 - der Ebene 179 Polygonregel 133 Polynom, TAYLORSches 3(7 Potential 448 Potenzfunktion 264 Potenzieren mit komplexen Exponenten
571 Potenzreihe 543 Produkt, gemischtes 163 Projektion 138 - einer Kurve 214 - eines Vektors 140 Punktfunktion 591, 634
Quadrant 24 Querachse 222
rationale Zahlen 256 Rationalisierung 421 Rechtsspirale 125 Rechtssystem 142, 155 reelle Zahlen 256 Regel von DE L'HosPITAL 336 -, LEIBNIZsche 327 Regelfläche 233 Reihe, absolut konvergente 523 -, alteruierende 521 -, bedingt konvergente 523 -, divergente 509 -, harmoulsche 511 - mit konstanten Gliedern 530 -, konvergente 509 -, positive 515 -, reguläre 538 -, trigonometrische 573 -, unbestimmt divergente 510 -, unendliche 508 - mit veränderlichen Gliedern 530 Rest einer unendlichen Reihe 512 Richtkurve 212, 225 Richtungsfeld 665
Sachverzeichnis 781
Richtungskoeffizienten 187 Richtungsvektor 187 ROLLE, Satz von 328 Rotationsellipsoid 220 Rotationsfläche 472 Rotationshyperboloid, einschaliges 223 Rotationskörper 467
Satz von CAUCHY 333 - - ROLLE 328 Scharparameter 681 Scheitel 99
des dreiachsigen Ellipsoids 219 - der Hyperbel 70 - - Parabel 74 SChmiegebene 497 SChmiegkreis 503 Schnittpunkt dreier Ebenen 177 - von Geraden 37 Schraubenlinie 485 Sehnenmethode 382 Separation der Variablen 671 SIMPsoNsche Formel 458 Sinus, hyperbolischer 561, 567 Skalar 128 Skalarprodukt 149 Skalarquadrat eines Vektors 152 Spatprodukt 168 Spirale, Archimedische 726 -, logarithmibche 731 Stammfunktion 391 Stauchachse 62 Stauchkoeffizient 62 Stauchung 62 Steigung 32 stetig in einem abgeschlossenen Inter-
va1l282 - e Funktion 280 Stetigkeit 280 - von Funktionen mehrerer Variabler
597 Strophoide 708 Substitutionsmethode 400 -n bei der bestimmten Integration 444 Symmetriezentrum 111 Systeme von Differentialgleichungen 706
TabelIierung 259 Tangens, hyperbolischer 561, 567 Tangente 288, 488 Tangenteneinheitsvektor 488
Tangentenmethode 384 Tangentialebene 606 TAYLOR-Reihe 341, 552 TAYLORSche Formel 340, 344, 346 - - für Funktionen von mehreren
Variablen 619 -s Polynom 347 Teilung einer Strecke 149 Theorem von ABEL 548 Torsion 505 Torsionsradius 506 Trägheitsmoment 649 Traktrix 749, 755 Transformation, EULERsche 424 -, trigonometrische 407 Trapezformel 457 trigonometrische Funktion 264, 307
Umkehrfunktion 301 unabhängige Größe 258 unbeschränkte Größe 272 unbestimmter Ausdruck 335, 339 unendlich große Größe 271 - kleine Größe 270 Unterdeterminante 236 Ursprung 22
Variable 256 -, separierte 670 Variation der Konstanten 705 Vektor 128 -, Länge 147 - en, kollineare 129 Vektoraddition 132 Vektoralgebra 129 Vektorfunktion 491 -, Ableitung 492 Vektormultiplikation 135 Vektorprodukt 157 -, doppeltes 169 Vektorskalarprodukt 163 Vektorsubtraktion 134 Versiera der AGESI 714 Vertauschung, zyklische 156 Volumenelement in Kugelkoordinaten
647
Wendepunkt 368 Wert einer Funktion, größter 365 - - -, kleinster 365 Windungsabstand 486
782
Windungsradius 485 Windungsschnitt 486 Winkel zwischen Vektoren 154 - - zwei Geraden 39
Zahlen, imaginäre 256 -, irrationale 256 -, komplexe 256, 567 -, natürliche 256 -, negative 256 -, rationale 256 -, reelle 256
Sachregister
Zahlenfolge 262 Zahlengerade 256 Zentrum des Büschels 43 Zerfall einer Kurve zweiten Grades 102 Zunahme einer Funktion 356 Zuwachs 279 zyklische Vertauschung 156 Zykloide, 317, 734 Zylinder, elliptischer 213 -, imaginärer elliptischer 233 -, parabolischer 213 Zylinderfläche 212