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1
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones.
Método de Gauss
BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales II
Resuelve
Página 33
Ecuaciones e incógnitas
1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “da-tos distintos”? ¿No es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?
x yx y
2 54 2 10
+ =+ =
*
■ Represéntalas gráficamente y observa que se trata de la mis-ma recta.
Se trata de la misma recta. 2x + y = 5
4x + 2y = 10
1
1
■ Escribe otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en el que la segunda ecuación sea, en esencia, igual que la primera. Interprétalo gráficamente.
x yx y
13 3 3
+ =+ =
4 Gráficamente son la misma recta.
3x + 3y = 3
x + y = 11
1
2. Observa las ecuaciones siguientes: x yx yx y
2 51
2 4–+ =
=+ =
* La tercera ecuación se ha obtenido restando, miembro a miembro, las dos primeras:
(3.ª) = (1.ª) – (2.ª)
Por tanto, lo que dice la tercera ecuación se deduce de lo que dicen las otras dos: no aporta nada nuevo.
■ Represéntalas gráficamente y observa que las dos primeras rectas determinan un punto (con esos dos datos se responde a las dos preguntas: x = 2, y = 1). Comprueba que la tercera recta también pasa por ese punto. 2x + y = 5
x + 2y = 4 x – y = 1
1 2
(2, 1)1
■ Da otra ecuación que también sea “consecuencia” de las dos primeras.
Por ejemplo: 2 · (1.ª) + 3 · (2.ª)
Represéntala y observa que también pasa por x = 2, y = 1.
2 · 1.ª + 3 · 2.ª → 7x – y = 13
2x + y = 5
7x – y = 13
x + 2y = 4
x – y = 11 2
(2, 1)1
3. ¿Es posible que dos ecuaciones digan cosas contradictorias?
■ Escribe dos ecuaciones que se contradigan y representa las rectas correspondientes.
Sí es posible. Por ejemplo:x + y = 0x + y = 3
x + y = 3x + y = 0
2 4–4 –2
2
4
–2
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
2
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1 Sistemas de ecuaciones lineales
Página 35
1 ¿Verdadero o falso?
a) En un sistema de ecuaciones con dos incógnitas (x, y) la ecuación x + y = 4 tiene, entre otras, la solución (3, 1).
b) En un sistema con tres incógnitas (x, y, z) la ecuación x + y = 4 no tiene sentido.
c) En un sistema con tres incógnitas (x, y, z) la ecuación x + y = 4 sí tiene sentido. Representa un plano. Algunas soluciones suyas son (3, 1, 0), (3, 1, 7), (3, 1, – 4).
d) Si estamos en el plano (dos incógnitas, x, y) la ecuación y = 0 representa al eje X.
e) Si estamos en el espacio (tres incógnitas, x, y, z) la ecuación y = 0 representa al plano XZ.
a) Verdadero, porque 3 + 1 = 4 y hay más soluciones, como (4, 0).
b) Falso, (3, 1, 0) es solución de esa ecuación. Podemos poner cualquier valor en la tercera coordenada.
c) Verdadero.
d) Verdadero, porque los puntos del eje X son de la forma (a, 0).
e) Verdadero, porque los puntos del plano XZ son de la forma (a, 0, b ).
2 Sin resolverlos, explica por qué son equivalentes los siguientes pares de sistemas:
a) xx
yy2
57–
+ ==
( xx
y3
512
+ ==
)
b) xx
yy
z 57
–++
==
( x yz 2
7+==
*
c) xxx
yyy
z
z2 2
5712
–
–
+++
===
* x yz 2
7+==
*
d) xx
yy
zz2
117
––
++
==
( x y
yz 11
4–
–+ =
=)
a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que teníamos.
b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera.
c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El resto es igual que en b).
d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
3
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales
Página 37
1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) xxx
yyy
23 2
143
+++
===
*
b) x
x
yyy
zz
2
617
–+
+
+ ===
*
c) xxx
yy
zzz
600–
++
++
===
*
d) x y
yzzz
611
–+ + =
==
*
a)
8
8x yx yx y
y x
y x
2 13 2 4
3
2
2 2
1 2
3
–
–
+ =+ =+ =
=
=4 4 1 – 2x = 3 – x → x = –2, y = 3 – (–2) = 5
Veamos si cumple la 2.ª ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = – 6 + 10 = 4 Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).
b)
x y zy z
x y
61
2 7
22 –
+ + ==
+ =4 La 3.ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras; podemos prescindir de ella.
x y z
y zx z y z z zy z
61
6 6 1 5 21
– – – – – – –+ == +
= = == +4
Solución: x = 5 – 2λ, y = 1 + λ, z = λ. Son tres planos que se cortan en una recta.
c)
x y zx y zx z
600–
+ + =+ + =
=4 Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.
Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.
d)
x y zy z
z
zy zx y z
611
11 26 6 2 1 3
–– – – –
+ + ===
== + == = =
4 Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
4
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 a) Resuelve este sistema:
xx
yy
2 34–
+ ==
*
b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.
c) Añade una tercera ecuación de modo que el sistema sea incompatible.
d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.
a)
8 8x yx y x y
x y y y y y
x y
2 34 42 2
3 2 3 2 4 1 331
4 431
311–
– – – –
–
+ == = +
= = + = =
= + = =4 4
Solución: x = 311 , y =
31–
b) Por ejemplo: 2x + y = 7 (suma de las dos anteriores).
c) Por ejemplo: 2x + y = 9
d) En a) → Son dos rectas que se cortan en ,311
31–d n .
En b) → La nueva recta también pasa por ,311
31–d n .
En c) → La nueva recta no pasa por ,311
31–d n . No existe ningún punto común a las tres rectas.
Se cortan dos a dos.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
5
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Sistemas escalonados
Página 38
1 Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos:
a) xx y
32
75–
==
* b) xxx
y zz
2
53
674–
+ +===
*
c) xxx
y zz
t
t
2
53
2 674–
–+ +
+
===
* d) xxx
yzz
2
43
3 074
–++ =
==
*
a)
xx y
x
y xy3 7
2 537
25
34
2– – –– =
=
=
= =4
Solución: x = 37 , y =
34–
b)
xx y zx z
xx zx y z
xz xy x z
2 63 7
5 43
2 65 4
3 7
35 4 117 3 7 3 33 29–
– –– – – – –
=+ + =
=
==
+ + =
== == = =
4 4 Solución: x = 3, y = –29, z = 11
c)
x tx y zx z t
x tx z tx y z
x tz x t ty x z t
2 2 63 7
5 42
2 6 25 4
3 7
35 4 11 67 3 29 19
–
–– – –
– – – –
=+ + =
+ =
= +=
+ + =
= += + = += =
4 4 Soluciones: x = 3 + λ, y = –29 – 19λ, z = 11 + 6λ, t = λ
d)
x zx y zx
xx zx y z
xz x
y x z
2 3 03 7
4 4
4 42 3 0
3 7
1
32
32
37
916
––
– –
–
+ =+ =
=
=+ =
+ =
== =
= + =
4 4
Solución: x = 1, y = 916 , z =
32–
2 ¿Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos:
a) x
yyy
z
z
222 2
111+
+
+
===
* b) xx
y zz2
74–
+ + ==
*
c) xx
yy
z 32–
+ + ==
* d)
x
yzzzz
tt
t
32
2
2
3425–
–++
+
====
*a)
y =y zy
x y z
yy z
x y zz yx y z
2 12 12 2 1
2 2 12 12 1
21
1 2 01 2 0
–– –
+ ==
+ + =
=+ =
+ + == == =
4 4 Solución: x = 0, y =
21 , z = 0
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
6
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
x y zx z
x zx y z
x z
y z x z7
2 42 4
7
22
7 523– – – – –
+ + ==
= ++ =
= +
= =4 4
Soluciones: x = 2 + λ, y = 5 – 3λ, z = 2λ
c)
x y zx y
x yx z y
x yz y y y
32
23
23 2 1 2– – – – – –
+ + ==
= ++ =
= += =4 4
Soluciones: x = 2 + λ, y = λ, z = 1 – 2λ
d)
z ty z t
zx z t
zz t
y z tx z t
zt zy z tx z t
33 2 42 2
2 5
2 23
3 2 42 5
13 24 3 2 55 2 2
–
––
–
––
–
+ =+ =
=+ =
=+ =
+ =+ =
== == + == + =
4 4 Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2
Página 39
3 Transforma en escalonados y resuelve.
a) xx
yy
23
3 214
–+
==
* b) xxx
yyy
zzz2
3 426
–
–
–++
++
===
* c) xxx
yyy
zzz3
64
8– – –+
+
+
+
===
* d)
xxxx
yyyy
zzzz
www
3 223
35 7
32
032
1826
––
–
––
–
–+
+
+
+++
====
*a)
x yx y
2 3 213 43
– =+ =
4 (1.ª)
3 · (2.ª) + (1.ª) x yx
2 3 2111 33
– ==4
x
y x3
321 2 5
–– –
=
= =
Solución: x = 3, y = –5
b)
x y zx y zx y z
3 42
2 62 3
3
2– –
–
+ =+ + =+ =
4 (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
x y z
y zy z
3 42 2 63 4 10
2– –––
+ ===4
(1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª)
x y z
y zy z
3 43
3 4 10
– –––
+ ===4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (2.ª)
x y zy z
z
zy zx y z
3 431
13 2
4 3 133
– –––
–
– –
+ ===
== + == + =
4 Solución: x = 1, y = 2, z = –1
c)
x y zx y zx y z
64
3 8– – –+ + =
=+ + =
4 (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
x y z
y zy z
62 2 102 2 10
– – –– – –
+ + ===
4
Podemos prescindir de la 3.ª ecuación, pues es igual que la 2.ª.
(1.ª)
(2.ª) : (–2) x y z
y z65
+ + =+ =
4 → x y z
y zx z y z zy z
65
6 6 5 15
––
– – – ––
+ ==
= = + ==4
Soluciones: x = 1, y = 5 – λ, z = λ
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
d)
x y zx y z wx y z wx y z w
3 03 2 5 7 32
2 3 183 2 26
–– – –
–– –
+ =+ =
+ + =+ + =
4
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
x y zy z wy z wy z w
3 014 7 32
3 4 3 182 2 2 26
–– ––
– – –
+ =+ =+ =+ =
4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (2.ª)
(4.ª) + 2 · (2.ª)
x y zy z w
z wz w
3 014 7 3238 18 11430 16 90
–– –
–– –
+ =+ =
=+ =
4
(1.ª)
(2.ª)
(1/2) · (3.ª)
(1/2) · (4.ª)
x y zy z w
z wz w
3 014 7 3219 9 5715 8 45
–– –
–– –
+ =+ =
=+ =
4
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª)
19 · (4.ª) + 15 · (3.ª)
x y zy z w
z ww
3 014 7 3219 9 57
17 0
–– –
–
+ =+ =
==
4
w
z
y zx y z
0
1957 3
32 14 103 1
––
=
= =
= + == =
Solución: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Método de Gauss
Página 40
1 ¿Verdadero o falso?
a) Es posible que un sistema incompatible, al aplicar el método de Gauss, de lugar a un sistema escalonado compatible. O viceversa.
b) Al aplicar el método de Gauss, el sistema escalonado al que se llega finalmente es del mismo tipo que el sistema inicial, pues todos los pasos que se dan transforman cada sistema en otro equivalente a él.
a) Falso. Las soluciones de un sistema no dependen del método empleado para resolverlo.
b) Verdadero. Las soluciones de un sistema no dependen del método empleado para resolverlo.
Página 42
2 Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss:
a) xxx
yyy
zzz
32
22
242–
– –+
+
+
+
===
* b) xxx
yyy
zzz
325
43
2 125
––––
+++
===
* c) xxx
yyy
zz
22
23
5
344
––
–
–++
+===
*a)
xxx
yyy
zzz
32
22
242
––
–+
+
+
+
===4
132
121
112
242–
– –f p (1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) + 2 · (1.ª)
100
153
14
4
226
– – –f p
(1.ª)
(2.ª) · (–1)
(3.ª) · 5 + (2.ª) · 3
100
150
148
2224
f p x y
y
z
z
z
z
y z
x y z
5 42
2224
3
52 4 2
2 1
– –
– –
+ ++
===
=
= =
= =
4 Solución: x = 1, y = –2, z = 3
b)
xxx
yyy
zzz
325
43
2 125
–– –
–
+++
===4
325
431
211
125
––––
f p (1.ª) – 2 · (3.ª)
(2.ª) – (3.ª)
(3.ª)
775
221
001
935
––
–––
––f p
Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.
c)
xxx
yyy
zz
22
23
5
344
––
–
–++
=+ =
=4
122
231
015
344
––
–
–f p
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
100
215
015
32
10
––
–
––f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 5 · (2.ª)
100
210
010
320
––
––f p x y
y zx yz y
2 32
3 22
––
––
––+
==
= += +4
Soluciones: x = –3 + 2λ, y = λ, z = –2 + λ
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
9
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Resuelve mediante el método de Gauss.
a) xxx
yyy
zzz
32
5
237
––++
+++
===
* b)
xxxx
yyyy
zzz
w
ww
2
55
2
2 2
0000
–––– –
++
+
++
====
* c)
xxxx
yyyy
zzz
w
ww
2
55
2
2 2
911240
–––– –
++
+
++
====
*a)
xxx
yyy
zzz
32
5
237
–– +
+
+++
===4
111
131
215
237
––
f p (1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
122
233
255
–f p
x y
yzz
x y zy z
x z y
y z z223
25
2 22 5 3
2 2
25 3
25
23
– – ––
–– –
++
==
==
= +
= =4 4
x = 2 – 2z + z z25
23
29
27– –=
Soluciones: x = , ,l l ly z29 7
25 3 2– –= =
b)
xxxx
yyyy
zzz
w
ww
2
55
2
2 2
0000
–––– –
++
+ ==
+ =+ =
4
2155
1212
0111
1012
0000
–––– –
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – 2 · (1.ª)
2131
1200
0111
1000
0000
––
–
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (4.ª)
(4.ª)
2141
1200
0101
1000
0000
––
–
f p xxxx
yy z
z
w xzyw
2
42
0000
0000
––
–
++ =
===
====
4 Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0
c)
xxxx
yyyy
zzz
w
ww
2
55
2
2 2
911240
–––– –
++
+ ==
+ =+ =
4
2155
1212
0111
1012
911240
–––– –
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – 2 · (1.ª)
2131
1200
0111
1000
9111518
––
– –
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (4.ª)
(4.ª)
2141
1200
0101
1000
911318
––
–––
f p xxxx
yy z
z
w2
42
911
318
––
–––
++ =
===
4 x
43–= z = x + 18 =
469 y = x z
211
411–+ = w = 9 – 2x + y =
453
Solución: , , ,x y z w43
411
469
453–= = = =
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
10
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5 Discusión de sistemas de ecuaciones
Página 43
1 Discute, en función de k, estos sistemas de ecuaciones:
a) xx
kx
yyy
zz
k4 221
–+++ +
===
* b) xx
kx
yyy
zz
k4 220
–+++ +
===
*a)
xx
kx
yyy
zz
k4 221
–+++
==
+ =4
k
k41
211
011
21
–f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
k
k41
1
212
010
23
–+
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
k
k
k
41
3
210
010
23–
––
f p• Sik = 3, queda:
k4
10
210
010
20
–f p → 8xx
yy
z x z yx y x
y y4 2
23
24 3 2 4
3 243
2– – –
––
–++
==
== = =4 4
z = x – 2 + y = y
yy y
43 2
24
5 245
2–
–– –+ =
+= +
Sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = , ,l l ly z43 2
45– –= = +
• Sik ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
( ) ( )
xx
k x
yy
zk
k4
32
2
3–
–
–
++
===
4 x = k
k3
3–– = –1; y = k x k k
24
24 2
2– = + = +
z = x + y – 2 = –1 + 2 + k2
– 2 = –1 + k2
Solución: x = –1, y = 2 + k2
, z = –1 + k2
b)
xx
kx
yyy
zz
k4 220
–+++ +
===4
k
k41
211
011
20
–f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
k
k41
1
212
010
22
–+
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
k
k
k
41
3
210
010
22–
––
f p• Sik = 3, queda:
410
210
010
321
––
f p El sistema es incompatible.
• Sik ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
( ) ( )
xx
k x
yy
zk
k4
32
2
2–
–
–
++
===
4 x = k
k3
2–– ; y = k x
kk k
24
2 68–
––2
= +
z = x + y – 2 = ( )k
kk
k kk
k k3
22 3
8 22 6
5 8––
–– –
––2 2
+ + = +
Solución: , ,xk
k yk
k k zk
k k3
22 6
82 6
5 8––
––
––2 2
= = + = +
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
11
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Discute estos sistemas de ecuaciones en función de k :
a) kx
xx
yy
zzz k2
80
–++ +
+
===
* b) x
x
yyy
zkz
k2
11
+
+
++
===
*a)
kxxx
yy
zzz k2
80
–++
=+ =+ =
4 k
k12
110
111
80
–f p
(1.ª) – (2.ª)
(2.ª)
(3.ª)
k
k
112
010
211
80
– –f p
(1.ª) + 2 · (3.ª)
(2.ª)
(3.ª)
k k
k
312
010
011
8 20
+ +f p
• Sik = –3, queda:
012
010
011
203–
f p Sistema incompatible.
• Sik ≠ –3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
( )x
xx
y zz
k
k
k 3
2
8 20
++
=+ =+ =
+4
x = k
k3
8 2+
+
z = k – 2x = k
k k3
16– –2
+
y = –x – z = k
k k3
8– –2
++
Solución: x = k
k3
8 2+
+ , y = k
k k3
8– –2
++ , z =
kk k
316– –2
+
b)
x
x
yyy
zkz
k2
11
+
+
++
===4 k
k
101
112
1
0
11f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
kk
100
111
1
1
11
1– –f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
kk k
100
110
1
1
11
2– – –f p
• Sik = –1, queda:
100
110
110
113
––
f p Sistema incompatible.
• Sik ≠ –1, es compatible determinado. Lo resolvemos:
( )
x yy
zkz
k z k1
11
2– – –
+ + =+ =
=4
z = k
kkk
12
12
– –– –=
+
y + k 8kk y
kk k
kk k k
kk k
12 1 1
12
11 2
11– – – – –2 2 2
+= =
+=
++ + =
++d n
x = 1 – y – z = k
k kkk
kk k k k
kk k1
11
12
11 1 2
12 3– – – – – – – – –2 2 2
++
+=
++ + + =
++
Solución: x = k
k k1
2 3– – 2
++ , y =
kk k
11 – 2
++ , z =
kk
12 –
+
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
12
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 44
1. Método de Gauss
Hazlo tú. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) x y zx y z
y z
02 2 1
1
– ––
– –
+ =+ =
+ =* b)
x y z tx y tx z tx y z t
2 52 0
3 22 0
– – –– –
– –– –
+ + ==
+ =+ + =
*
a) 110
121
121
011
– –
––
–f p
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª)
100
111
111
011
– –
––
–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
100
110
110
010
– ––f p →
→ 8x y zx y
x y zy z
01 1
– ––
–+ ==
= += +
* *
Soluciones: (–1, 1 + λ, λ)
b)
1211
1101
1012
2131
5020
–
–
–
–
–––
–
–f p (1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
1000
1110
1223
2553
51075
–
–
–––
–––f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
(4.ª)
1000
1100
1203
2503
51035
–
–
– ––f p
La tercera ecuación no se puede cumplir nunca. El sistema no tiene solución.
Página 45
2. Discusión de sistemas aplicando el método de Gauss
Hazlo tú. Discute y resuelve, en función del parámetro, aplicando el método de Gauss.
a) xxx
myy
zzz
2 23
20
2
–
––
– –
+ ++
===
* b) xxx
yyy
zaz
z32
2053
+++
+++
===
*
a) m1
21
10
123
202
–
––
– –f p
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
m
121
01
321
202
–
––
– –f p
(3.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
m
100
01
34
4
24
4
––
––
––f p
(3.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
m
100
01
1
34
0
24
0
–––
––
––f p
• Sim ≠ 1, el sistema es compatible determinado.
( )
xy
m y
zz
1
34
240
––
–
––
––
===
4 Solución: x = –1, y = 0, z = 1
• Sim = 1, el sistema es compatible indeterminado.
x
yy
zz
0
34
240
––
––
––
===
4 Soluciones: x = 2 – 3λ, y = 4 – 4λ, z = λ
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
13
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b) a132
121
1
1
053
f p (1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
a100
111
13
1
053
––
––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
aa
100
110
13
2
052
– –– –
f p• Sia ≠ 2, el sistema es compatible determinado.
xxx
yyy
zazz
32
2053
+++
+++
===4 Solución: , ,x y
aa z
a3
23 4
22–
––
–= = =
Los tres planos se cortan en un punto.
• Sia = 2, la matriz queda:
100
110
110
052
– ––
f p El sistema es incompatible. Los planos se cortan dos a dos.
Página 46
3. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones
Hazlo tú. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) x y z
y z2 4
0–
–+ =
=* b)
x y zx y z
2 4 6 22 3 1
––
+ =+ =
*
a) Pasamos z al segundo miembro y hacemos z = λ (parámetro). Así el sistema tendrá tantas ecuaciones como incógnitas.
l
lll
8x y
y
xyz
2 42
– –==
===
* * Las soluciones del sistema son (2, λ, λ). Son dos planos que se cortan en una recta.
b) Las dos ecuaciones representan al mismo plano puesto que una es el doble de la otra. Nos quedamos solo con la segunda ecuación, pasamos y y z al segundo miembro y hacemos y = λ y z = μ.
Las soluciones del sistema son (1 + 2λ – 3μ, λ, μ). Son dos planos coincidentes.
4. Planteamiento y discusión de un problema
Hazlo tú. El dinero que tienen entre A, B y C es el 150 % del que tienen entre A y B, y es el doble del que tienen entre A y C. Si C tiene el doble que A, ¿podemos saber cuánto dinero tiene cada uno?
Llamemos x, y, z al dinero que tienen A, B y C, respectivamente.
( )x y z x y+ + = +
( ) 8x y z x zz x
x y z x yx y z x z
z x
100150
22
10 10 10 15 152 22
+ + = +=
+ + = ++ + = +
=
* * → 8x y zx y zx z
5 5 10 00
2 0
– –– –
–
+ =+ =
+ =*
→ x y zx y zx z
2 00
2 0
– –– –
–
+ =+ =
+ =* →
112
110
211
000
–––
––f p
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
100
122
233
000
– –––
f p
El sistema es compatible indeterminado, luego no podemos saber cuánto dinero tiene cada uno.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
14
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas guiados
Página 47
1. Añadir una ecuación a un sistema
Añadir una ecuación al sistema xx
yy
zz
2 2 13
––++ =
=* de modo que sea:
a) incompatible.
b) compatible determinado.
c) compatible indeterminado.
a) xx
yy z
z2 2 13
––++ =
=*
Hacemos 2 · (1.ª) + (2.ª) → 5x – y + 3z = 5
Cambiamos el término independiente → 5x – y + 3z = 0
El sistema:
xxx
yyy
zzz
2 2
3
13
5 0
––
–+
+
+
===
* es incompatible.
b) xx
yy z
z2 2 13
––++ =
=* → , ,l l lx y z
34
31
35
34–= = + =
Una solución es: , ,x y z1 3 1= = =
Añadimos la ecuación x + y + z = 5.
El sistema:
xxx
yyy
zzz
2 2 135
––++ =
==+ +
* es compatible determinado.
c) Hacemos 2 · (1.ª) + 3 · (2.ª) → 7x + y + z = 11
Ponemos esta nueva ecuación que es combinación lineal de las anteriores.
El sistema:
xxx
yyy
zzz
2 2 13
7 11
––+
+
+
+
===
* es compatible indeterminado.
2. Sistemas con infinitas solucionesSean S y S' dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas que difieren solo en los términos indepen-dientes. Si S es compatible indeterminado, ¿lo será también S'?
Si S es compatible indeterminado significa que la columna de términos independientes es linealmente dependiente de las columnas de los coeficientes.
Al cambiar los términos independientes, cambiamos la columna correspondiente y puede que sera linealmente indepen-diente con las anteriores, luego puede que el sistema resulte ser incompatible.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
15
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3. Sistema compatible
Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores de a y resolverlo en todos los casos que sea posible:
x y zx y zx y zx y az a
12 2 3
2 2
–
–
+ + =+ + =+ + =
+ =
*
a a
1121
1211
121
132
–
–
f p (1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + 2 · (1.ª)
(4.ª) + (1.ª)
a a
1000
1330
133
1
144
1
–
+ +
f p → a a
100
130
13
1
14
1
–
+ +f p
• Sia = –1, el sistema es compatible indeterminado:
: , ,l
ll l
x yy
Soluciones x y z1
3 4 3 31
34– –
––
+ ==
= = =4
• Sia ≠ –1, el sistema es compatible determinado:
( ) ( )
x y zy z
a z a
13 3 4
1 1
– + + =+ =
+ = +4 Solución: x =
31 , y =
31 , z = 1
4. Sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas
Estudiar para qué valores de m el siguiente sistema tiene solución y resolverlo cuando esta sea única:
x mymx ym 1 0
1 0–
–– + =
+ + =*
mm11
11–
– ––
e o (1.ª)
(2.ª) + m · (1.ª) mm m
10 1
11
––
–– –2e o
1 – m 2 = 0 → m = 1, m = –1
• Sim ≠ ±1, el sistema es compatible determinado:
( ) ( )
: ,óx my
m y mSoluci n x
my
m1
1 1 11
11– –
– ––
––
–2== +
= =4
• Sim = 1:
x y
y1
0 2– –
–==4 Sistema incompatible.
• Sim = –1, el sistema es compatible indeterminado:
: ,l lx y
ySoluciones x y
10 0
1–
– –+ =
== =4
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
16
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 48
Para practicar
Resolución e interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones lineales
1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
a) ( / )( /)
x yx yx y
2 02 5
3 2 3 03 2
––
–
+ =+ =
=* b)
xxx
yyy
32
2
4
510
–+
+
===
*
c) xxx
yyy
3 2 502
–
–+
===
* d) xxx
yyy2
2 103
+++
===
*
a) /
12
3 2
213
05
0
–
––f p
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª)
(2/3) · (3.ª)
101
252
050
–
––f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª)
100
250
050
––f p
x y
yx yy
2 05 5
2 21
––
––
+ ==
= ==4
Solución: (–2, –1)
Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto (–2, –1).
b) Si dividimos la 3.ª ecuación entre 2, obtenemos: x + 2y = 0. La 1.ª ecuación es x + 2y = 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.
La 1.ª y la 3.ª ecuación representan dos rectas paralelas; la 2.ª las corta.
c) 11
211
502
3 –
–f p
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
131
121
052
––
f p (1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
152
052
––
f p
(1.ª)
(2.ª) : 5
(3.ª) : 2
100
111
011
––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
100
110
010
–f p → x y
yx yy
01
11–
––
+ ==
= ==4
Solución: (1, –1)
Son tres rectas que se cortan en el punto (1, –1).
d) 112
211
103
f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
100
213
111
––
–f p La 2.ª y 3.ª filas son contradictorias. No tiene solución.
Son tres rectas que se cortan dos a dos.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
17
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Resuelve e interpreta geométricamente.
a)
xxxx
yyyy
3
52 2
2141
––
+
+
====
*
b) x yx yx y
2 12 35 8
––+ =
=+ =
*
a)
3152
1112
2141
––f p
(1.ª) – 3 · (2.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 5 · (2.ª)
(4.ª) – 2 · (2.ª)
0100
4144
1111
––
––
f p Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera. Quedaría: 4y = –1 → y =
41–
x – y = 1 → x = 1 + y = 1 – 41 =
43
Solución: ,43
41–d n
El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ,43
41–d n .
b) 125
211
138
––
f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
100
259
1513
––
–f p
De la 2.a ecuación, obtenemos y = –1; de la 3.a ecuación, obtenemos y = 913– .
Luego el sistema es incompatible. El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a las tres.
3 Resuelve e interpreta geométricamente estos sistemas:
a) xxx
y zy z
2
530
––++
===
*
b) xx
yyy
zzz
22
130
–––
++
===
*a) 8
xxx
y zy z
y zy z
x2
530
530
–– –
–+
+===
=+ =
=*4
La 2.a ecuación contradice la opuesta de la 1.a. No tiene solución. Geométricamente, se trata de tres planos que se cortan dos a dos.
b) La 1.a y la 2.a ecuación son contradictorias. No tiene solución. Geométricamente, se trata de dos planos paralelos que son cortados por un tercero.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
18
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Razona si estos sistemas tienen solución e interprétalos geométricamente:
a) xx
yy
zz2
24 2
31
––
++
==
*
b) ( / )xx
yy
zz2 3
32
64
32
–– –+ + =
=*
a)
xx
yy
zz2
24 2
31
––
++
==4 Si dividimos la 2.a ecuación entre 2, obtenemos:
x + 2y – z = 21 , que contradice la 1.a.
El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.
b)
( / )xx
yy
zz2 3
32
64
32
–– –+ + =
=4 Si multiplicamos por –
32 la 1.a ecuación, obtenemos:
x y z32 2 4 2– – –= , que contradice la 2.a ecuación.
El sisgtema es incompatible. Son dos planos paralelos.
5 Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
a) x y
yx2 7
23 6923
2–
––==
* b) x
y
y
zzz3
9123
–
–
+
+
===
*
c) x y
yz 2
5– + =
=* d)
x yy
zz
2 42
+ ++
==
*
a)
x yyx
y
xy
2 723 6923
2
3
27
2–
––
–==
=
=+
=4 4
Solución: (2, –3)
b)
x
y
y
zzz3
9123
–
–
+
+
===4 z =
92 y = z – 1 =
97– x =
y z3
332–+
=
Solución: , ,32
97
92–d n
c)
x yy
z yx z y z
25
52 7
–– –
+ ==
== + =
4
Soluciones: (7 – λ, 5, λ)
d)
x yy
zz
x y zy z
y z
xz y z z
2 42
2 42
2
24
24 2 1
––
–
– – – –+ +
+==
+ ==
=
= = + =4 4
Soluciones: (1, 2 – λ, λ)
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
19
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
6 Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
a) xxx
y zz
2 092
–––
+===
* b) xx
yyy
z23
3
2
001
––
+ ===
*
c) x y
yzzz
ttt2
431
––
++
+
+
===
* d) x y
yy
t
tzz
241
–
–
+
++
===
*a)
xxx
y zz
2 092
–––
+===4 x = 0 z = x – 2 = –2 y = 9 + z – x = 7
Solución: (0, 7, –2)
b)
xx
yyy
z23
3
2
001
––
+ ===4 y =
21 x =
y3 6
1= z = –2x + 3y = 67
Solución: , ,61
21
67d n
c)
x yy
zzz
ttt
x y z ty z t
z t2
431
431 2
––
– –
–
++
+
+
===
+ =+ = +
=4 4
z = 1 – 2t y = 3 + t – z = 2 + 3t x = 4 – t + z – y = 3 – 6t Soluciones: (3 – 6λ, 2 + 3λ, 1 – 2λ, λ)
d) ( )
( )
x yyy
t
tzz
y zt y z z z zx y t z z z
241
41 1 4 3 22 2 4 3 2 5 3
–
–
–– – – –– – – – –
+
++
===
== + = + = += + = + = +
4 Soluciones: (–5 + 3λ, 4 – λ, λ, –3 + 2λ)
Método de Gauss
7 Resuelve aplicando el método de Gauss.
a) x
x
yy z
z
123
–+
++
==
=* b)
xxx
yyy
zzz2
34
23
000
+++
+++
===
*
c) xxx
yyy
zzz
35
23 3
111
–+++
++
===
* d) x y zx y zx y z
3 4 36 6 2 16
2 6
2
6 6
–– –– –
+ =+ =+ =
*a)
x
x
yy z
z
123
–+
++
==
=4 1
01
110
011
123–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
111
011
122––f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
100
110
012
120–f p →
→ x y
y zz
12
2 0–
+ =+ =
=4 z = 0 y = –2 – z = –2 x = 1 – y = 3
Solución: (3, –2, 0)
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
20
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
xxx
yyy
zzz2
34
23
000
+++
+++
===4
112
134
123
000
f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
100
122
111
000
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
100
120
110
000
f p →
→ x y z
y zy z x y z z0
2 0 2 2– – – –
+ + =+ =
= = =4
Soluciones: , ,l l l2 2
– –d n
c)
xxx
yyy
zzz
35
23 3
111
–+++
++
===4
135
123
113
111
–f p
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
100
112
148
124
––
–––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
100
110
140
12
0–
––f p →
x y zy z
14 2
–– –
+ =+ =
4
y = 4z + 2 x = 1 – y + z = 1 – (4z + 2) + z = –1 – 3z z = λ Soluciones: (–1 – 3λ, 2 + 4λ, λ)
d)
x y zx y zx y z
3 4 36 6 2 16
2 6
2
6 6
–– –– –
+ =+ =+ =
4 361
461
122
3166
––
–––
f p (3.ª)
(2.ª) : 2
(1.ª)
133
134
211
68
3
––
–
––f p
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
100
107
257
61021
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª) : (–5)
(3.ª) : 7
100
101
211
623
–
–
––f p →
→ x y z
zy z
2 62
3
– ––
–
+ ===4
y = 3 + z = 3 – 2 = 1 x = – 6 + y – 2z = – 6 + 1 + 4 = –1
Solución: (–1, 1, –2)
8 Resuelve aplicando el método de Gauss.
a) x yx y zx z
z
y
2 5 163 2 2
4
222 5 2
– ––+ =
+ =+ =+
* b) xxx
yyy
zzz
35
23 3
130
+++
+++
===
*
c) xxx
y
y
zz2
220–
–+ =+ =
=* d)
xxx
yy z
z
2
3
314
–+
++
===
*a)
x yx y zx z
z
y
2 5 163 2 2
4
222 5 2
– ––+ =
+ =+ =+
4 211
530
021
1624
– –f p (1.ª)
(2.ª) + 2 · (3.ª)
(3.ª)
231
530
001
1664
f p
(1.ª)
(2.ª) : 3
(3.ª)
211
510
001
1624
f p (1.ª) – 5 · (2.ª)
(2.ª)
(3.ª)
311
010
001
624
–f p →
xx yx z
xy xz x
3 624
22 44 6
– –––
=+ =
+ =
== == =
4 Solución: (–2, 4, 6)
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
21
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
xxx
yyy
zzz
35
23 3
130
+++
+++
===4
351
231
131
130
f p (3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
153
132
131
031
f p
(1.ª)
(2.ª) – 5 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
100
121
122
031
––
––
f p (1.ª)
(2.ª)
–2 · (3.ª) + (2.ª)
100
120
122
031
– –f p →
→ x y z
y zz
02 2 3
2 1– –+ + =
==4 z =
21 y = z
23 2 2
––+ = x = –y – z =
23
Solución: , ,23 2
21–d n
c)
xxx
y
y
zz2
220–
–+ =+ =
=4 1
21
101
110
220
–
–f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
122
131
222
––
–––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
100
120
132
220
––
––f p
x y z
y zz
x y zy z
z
x yy
z
22 3 2
2 0
22 3 2
0
22 2
0
–– –
–
–– – – –
+ =+ =
=
+ =+ =
=
+ ===
4 4 4 z = 0 y = 1 x = 2 – y = 1
Solución: (1, 1, 0)
d)
xxx
yy z
z
2
3
314
–+
++
===4
Observamos que la 3.a ecuación es la suma de la 1.a y la 2.a: podemos prescindir de ella.
8x yx y z
x yx z y
xy
z y x yy y
2 31
2 31
23
1 12
321
23–
––
– ––
–
+ =+ =
=+ = +
=
= + = + = +*4 4
Tomamos y = 2λ.
Solución: , ,l l lx y z23 2
21 3– –= = = +d n
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
22
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
9 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:
a) x y zx y zx y z
2 910
2 5
22 2
2– – ––
+ + ==
+ =* b)
x y zx y z
2 32 12
2– –+ + =
+ =*
c) xxx
yyy
zzz
224 2
132
––
–+
+++
===
* d) xxx
yyy
z
z
234
3 000
––
–+
+ ===
*
a)
xxx
yyy
zzz2
2 910
5––
– –+ +
+
===
4 112
211
111
9105
––
– –f p (1.ª)
–(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
100
235
121
91913– – –
f p
(1.ª)
(2.ª)
(2.ª) + 2 · (3.ª)
100
237
120
9197– –
f p → x y
yy
zz
237
29197– –
+ + =+ =
=4 y = 1 z =
y2
19 38
–= x = 9 – 2y – z = –1
Solución: (–1, 1, 8)
b)
xx
yy
zz2
2 31– –
+ ++
==4 1
221
11
31– –
e o (1.ª)
–(2.ª) + 2 · (1.ª) 10
25
11
37
e o →
→ x y z
y z
y z
x z y z z z2 35 7
57
53 2 3
514
52
51
53
––
–
– – – – –
+ ==
=
= = + =4
Si tomamos z = 5λ, las soluciones son: , ,l l l51 3
57 5– –d n
c)
xxx
yyy
zzz
224 2
132
––
–+
+++
===4
121
24
1
121
132
––
–f p
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
121
14
2
121
231–
––
f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
100
16
3
100
213
– –f p (1.ª)
(2.ª) + 2 · (3.ª)
(3.ª)
100
103
100
253
f p La segunda ecuación es imposible: 0x + 0y + 0z = 5 El sistema es incompatible.
d)
xxx
yyy
z
z
234
3 000
––
–+
+ ===4
234
311
101
000
––
–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª)
236
312
100
000
–––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
230
310
100
000
––f p →
x y zx y
2 3 03 0
––
+ ==4 y = 3x z = –2x + 3y = –2x + 9x = 7x x = λ
Soluciones: ( λ, 3λ, 7λ)
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
23
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
10 Estudia y resuelve por el método de Gauss.
a) x y zx y zx y z
3 24 2 52 4 7 1
23
– –––
+ + =+ =+ =
* b) y z
x yx y z
xz
11
2 3 2
2 32 3
––
–
– + ==
+ + =+*
c) xxx
yyy
zzz
52
222
3
2
43
3– –
++
+++
===
* d) xxx
yyy
zzz
ttt
23
23
335
14
6
000
–––
–+++
++
===
*a)
xxx
yyy
zzz
42
24
3
7
251
–––
–+++
+ ===4
142
124
317
251
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª) + 4 · (1.ª)
(3.ª) + 2 · (1.ª)
100
166
3111
233
–
–
–––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
100
160
31112
230
–
–
––f p → Sistema compatible determinado.
Lo resolvemos:
x y
yzzz
y x y z63
1123
021 3 2
23
– –– –
+ ++
===
= = + + =4
Solución: , ,23
21 0–d n
b) x
x
yyy
z
z2 3
112
––
–+
+
+
===
_
`
a
bb
bb
011
112
103
112
––
–f p
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
101
112
013
112
–––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
113
013
113
–––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (2.ª)
100
110
010
110
––f p
Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
lx y
y z x y z y y1
1 1 1–
– – –=
+ = = + = =4
Soluciones: (1 + λ, λ, –1 – λ)
c)
xxx
yyy
zzz
52
222
3
2
433– –
++
+++
===4
521
222
312
433– –
f p (3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
125
222
213
334
– –f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
100
2612
237
3919
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª) : 3
(3.ª) – 2 · (2.ª)
100
220
211
331
–––
–f p
Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:
x y
yzzz
zyx y z
22
2 331
11
3 2 2 1
–––
– –
– –
+ ===
=== + =
4 Solución: (1, 1, –1)
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
24
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
d)
xxx
yyy
zzz
ttt
23
23
335
14
6
000
–––
–+++
++
===4
123
123
335
1416
000
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
100
100
334
142948
000
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª)
– 4 · (2.ª) + 3 · (3.ª)
100
100
330
142928
000
––
–f p
Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
x y z
zttt
33
142928
000
––
–++
===4 t = 0 z = 0 x = y y = λ
Soluciones: (λ, λ, 0, 0)
11 Clasifica los siguientes sistemas en compatibles o incompatibles:
a) xx
yy
zzz
330
–++
+ ===
* b) xxx
yyy
zzz
2321
––
+ +++
===
*a)
xx
yy
zzz
x yx y
z
330
330
–++
+ ===
+ =+ =
=4 4 Compatible indeterminado
b)
xxx
yyy
zzz
2321
––
+ +++
===4
121
111
111
321
––
f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
132
110
342
––
– ––
f p Compatible determinado
12 Estudia y resuelve por el método de Gauss:
a) x y zx y zx y z
22 3 5 11
5 6 29
2 3 6
2 –
+ + =+ + =
+ =* b)
xxx
yyy
zzz
2
4
32
000
–––
++
+ ===
*a)
x y zx y zx y z
22 3 5 11
5 6 29
2 3 6
2 –
+ + =+ + =
+ =4
121
135
156
21129–
f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
116
135
2727–
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 6 · (2.ª)
100
110
1323
2769
f p → x y z
y zz
zy zx y z
23 7
23 69
37 3 22 1
– –– –
+ + =+ =
=
== == =
4 El sistema es compatible determinado, con solución (1, –2, 3).
b)
xxx
yyy
zzz
2
4
32
000
–––
++
+ ===4
214
321
111
000
–––
f p (1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
236
312
100
000
–––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
230
310
100
000
––f p →
l
x y zx y
y xz x y x x xx
2 3 03 0
32 3 2 9 7
––
– –+ =
=
== + = + ==
4
El sistema es compatible indeterminado, con soluciones (λ, 3λ, 7λ).
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
25
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Página 49
Para resolver
Discusión de sistemas de ecuaciones
13 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:
a) x y
yy m
2
2
31
2–
+ ===
* b) x y
yy
zzz m
2
327
30
– +++
===
*
c) x y
yzz
mz2 8
131
––+
+===
* d) ( )
xx
yz
m z3
5
000
–
–+
===
*a)
x yyy m
2
2
31
2–
+ ===
4 m
100
212
31
2–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
m
100
210
31
4–f p
• Sim = 4 → Sistema compatible determinado.• Sim ≠ 4 → Sistema incompatible.
b)
x yyy
zzz m
2
327
30
– +++
===4
m
100
213
127
30
–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
m
100
210
121
30
–f p
Sistema compatible determinado para todo m.
c)
x yy
zz
mz2 8
131
––++
===4
m
100
120
18
131
––
f p •Sim = 0 → Sistema incompatible. •Sim ≠ 0 → Sistema compatible determinado.
d)
( )
xx
yz
m z3
5
000
–
–+
===4
m
130
100
01
5
000
–
–f p
•Sim = 5 → Sistema compatible indeterminado. •Sim ≠ 5 → Sistema compatible determinado con solución (0, 0, 0).
14 Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible:
a) /xxx
yyky
22
42
2
–– –+
+
===
* b) xxx
yyy
zzz m
2
525 2
13–
–
–+++
===
*a) ( / )
xxx
yyyk
22
42
2–
––+
+
===4 /
k
211
11 2
422
––
–f p (1.ª)
2 · (2.ª) + (1.ª)
2 · (3.ª) – (1.ª)
k
200
10
2 1
400
–
+f p
• Sik = – 21 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
2x – y = 4 → l
y xx
2 4–==
*
Soluciones: (λ, 2λ – 4)
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
26
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
• Sik ≠ – 21 → Sistema compatible determinado.
( )x y
yyxk
2 42 1 0
02
– =+ =
==
4
Solución: (2, 0)
b)
xxx
yyy
zzz m
2
525 2
13–
–
–+++
===4
m
215
125
112
13–
–
–f p
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
m
125
215
112
31
–
––f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
m
100
255
133
3515
–––
––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
m
100
250
130
3510
–– –
–f p
• Sim = 10 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
x y z z3 2 3 2 1– – –= + = + = +
y 1–= = +x y zy z
z z
z z2 35 3 5
55 3
53
56
5
–– –
–+ =
=
+4
Tomamos z = 5λ.
Soluciones: (1 + λ, –1 + 3λ, 5λ)
• Sim ≠ 10 → Sistema incompatible.
15 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas para los valores de m que lo hacen compatible:
a) xxx
yyy m
24
2
3
31–
+
+
===
* b)
xxxx
yy
y
zzzz m
23
2
23
5
213
– –+
+
+++
===
=
*a)
xxx
yyy m
24
2
3
31–
+
+
===4
m
124
213
31–f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 4 · (1.ª)
m
100
255
3512
––
––
f p
(1.ª)
(2.ª) : (–5)
(3.ª) – (2.ª)
m
100
210
31
7–f p
• Sim = 7 → Sistema compatible determinado.
x y
y2 3
1+ =
=4 x = 3 – 2y = 1
Solución: (1, 1)
• Sim ≠ 7 → Sistema incompatible.
b)
xxxx
yy
y
zzzz m
23
2
23
5
213
– –+
+
+++
====
_
`
a
bb
bb
m
1231
1102
2315
213
– –
f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
m
1000
1333
2777
233
2
– ––––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
(4.ª) – (2.ª)
m
1000
1300
2700
230
1
– ––
+
f p
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
27
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
• Sim = –1 → Sistema compatible indeterminado.
x y z z2 2 2 1 2 1– – –= + + = + =
y 1– –= =x y zy z
z z
z z2 2
3 7 33
3 737
37
3
– ––
– –=
+ =4
Tomamos z = 3λ.
Soluciones: (1 – λ, –1 – 7λ, 3λ)
• Sim ≠ –1 → Sistema incompatible.
16 Discute estos sistemas y resuélvelos cuando sea posible:
a) xxx
yky
y
zzz
2
5
3
23
000
–– –
–+
+ ===
* b) xxx
y
y
zz
kz
3
2
2
2
110
––
+
+ +
===
*a)
xxx
ykyy
zzz
2
5
3
23
000
–– –
–+
+ ===4 k
215
3
2
131
000
–– –
–f p
(1.ª)
2 · (2.ª) – (1.ª)
2 · (3.ª) – 5 · (1.ª)
k200
32 319
177
000
–– –
–+f p
(1.ª)
(2.ª) – (3.ª)
(3.ª)
k200
32 16
19
107
000
–– –
–f p → –2k – 16 = 0 → k = – 8
• Sik ≠ – 8 → el sistema es compatible determinado; como es un sistema homogéneo, solo tiene la solución trivial: (0, 0, 0).
• Sik = – 8 → el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 2.a ecuación y lo resolvemos en función de z = λ:
x y z
y z2 3
19 7– –=
=4 Soluciones: , ,l l l
191
197d n
b)
xxx
y
y
zz
kz
3
2
2
2
110
––
+
+ +
===4 Cambiamos el orden de las dos primeras ecuaciones:
k
132
022
11
110
––f p
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
k
100
022
12
2
122
–––+
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
k
100
020
12
12
0
––f p → k = 0
• Sik ≠ 0 → el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos:
x z
y zkz
zyx
12 2 2
0
01
1
–– –
=+ =
=
===
4• Sik = 0 → el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3.a ecuación para resolverlo:
x z
y zx zy z
12 2 2
11
–– – –
=+ =
= +=4
Soluciones: (1 + λ, –1 – λ, λ)
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
28
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
17 Discute los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) xxx
yyy
zz
kz
k
22 1
0
––
–
+++
===
* b) xxx
yy
ay
zzz3
34
000
–+++
++
===
*
c) x y z
mx y zx y z
m 2 11
3 4 2 3
22 2
––– –
+ =+ =+ =
* d) xxx
yyy
azzz
35
23 3
121–
+++
++
===
*a)
xxx
yyy
zz
kz
k
22 1
0
––
–
+++
===4
k
k112
111
12 1
0
––
–f p
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
k
kkk
100
103
13
21
2
– ––
–+f p
Sistema compatible determinado para todo k.
b)
xxx
yy
ay
zzz3
34
000
–+++
++
===4
a
113
13
114
000
–f p
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
a
100
12
3
127
000–
–f p
(1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª)
a
100
11
3
117
000–
–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 7 · (2.ª)
a
100
1110
110
000–
–f p
•Sia = 10 → Sistema compatible indeterminado. •Sia ≠ 10 → Sistema compatible determinado.
c)
x y zmx y z
x y z
m 2 11
3 4 2 3
22 2
––– –
+ =+ =+ =
4 m1
3
214
112
113
––– –
f p (1.ª)
(3.ª)
(2.ª)
m
13
241
121
131
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
m
15
1
201
100
112
–
––
+f p
Compatible determinado para todo m.
d)
xxx
yyy
azzz
35
23 3
121–
+++
++
===4
a351
231
31
121–
f p (3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
a
153
132
13
121
–f p
(1.ª)
(2.ª) – 5 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
a
100
121
18
3
132
––
–––+
f p (1.ª)
(2.ª)
–2 · (3.ª) + (2.ª)
a
100
120
18
2 2
131
––
––f p
2 – 2a = 0 → a = 1 •Sia = 1 → Sistema incompatible. •Sia ≠ 1 → Sistema compatible determinado.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
29
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
18 Discute y resuelve en función del parámetro:
a) x my zx y zx z
mmy
22 2 0
3 2
2––
– – ––
+ + =+ =
=* b)
xxx
yyy
zaz
z32
2053
+++
+++
===
*
a)
x my zx y zx z
mmy
22 2 0
3 2
2––
– – ––
+ + =+ =
=4
m121
10
123
202
–
––
– –f p
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
m
121
01
321
202
–
––
– –f p
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
m
100
01
34
4
24
4
––
––
––f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
m
100
01
1
34
0
24
0
–––
––
––f p
• Sim ≠ 1 → el sistema es compatible determinado.
( )
xy
m y
zz
1
34
24
0
––
–
––
––
===
4 Solución: (–1, 0, 1)
• Sim = 1 → el sistema es compatible indeterminado.
x
yy
zz
0
34
24
0
––
––
––
===
4 Soluciones: (2 – 3λ, 4 – 4λ, λ)
b)
xxx
yyy
zazz
32
2053
+++
+++
===4 a
132
121
1
1
053
f p (1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
a100
111
13
1
053
––
––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
aa
100
110
13
2
052
– –– –
f p
• Sia ≠ 2 → el sistema es compatible determinado.
( )( )
x yy
za z
a z3
2
05
2– –
– –
+ ++
===4 Solución: , ,
aa
a3
23 4
22–
––
–d n
• Sia = 2, la matriz queda:
100
110
110
052
– ––
f p
El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
30
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
19 Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones. Resuélvelos cuando sean compatibles e interpreta geométricamente las soluciones obtenidas.
a) xxx
yyy
zzz m
2
525 2
13–
–
–+++
===
* b) ( )x
mxx
yy
my
zm z
z m1
12–
+++
+++
===
*a)
xxx
yyy
zzz m
2
525 2
13–
–
–+++
===4
m
215
125
112
13–
–
–f p
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
m
125
215
112
31
–
––f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
m
100
255
133
3515
–––
––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
m
100
250
130
3510
–– –
–f p
• Sim = 10 → el sistema es compatible indeterminado.
x y z
y z
x y z z
y z2 35 3 5
2 35
5
53 5
–– –
–
–+ =
=
= + = +
=4
Tomamos z = 5λ.
Soluciones: (λ + 1, 3λ – 1, 5λ)
Son tres planos que se cortan en una recta.
• Sim ≠ 10 → el sistema es incompatible.
Son tres planos que se cortan dos a dos.
b)
( )x
mxx
yy
my
zm z
z m1
12–
+++
+++
===4 m
mm
m
1
1
11
11
1
12–f p
(1.ª)
(2.ª) – m · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
mm
mm
100
11
1
110
12
1––
– ––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
m m100
11
0
111
12
1– –
––f p
De la 3.ª ecuación se deduce que z = –1. El sistema quedaría así:
( )
x ym y m
21 1– –
+ ==
4• Sim = 1 → el sistema es compatible indeterminado.
x y
y2
0 0+ =
=4
Soluciones: (2 – λ, λ, –1)
Son tres planos que se cortan en una recta.
• Sim ≠ 1 → el sistema es compatible determinado.
( )
x ym y m
ymm x
21 1 1
1 1 2 1 1– – –
– –+ =
== = = =4
Solución: (1, 1, –1)
Son tres planos que se cortan en un punto.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
31
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
20 Discute los siguientes sistemas según los valores de α e interprétalos geométricamente:
a) a
a aa
ax yx y
12 1
–– –
==
* b) a
x yx y zx y z
z 12 3 5 16
0
2 2 5
2 5
–– ––
– =+ =+ =
*a)
aa aa
ax yx y
12 1
–– –
==
4 aa a11 1
2 1–– –
e o (1.ª)
(2.ª) · α – (1.ª) a
a a a01
11
2 1–– – –2 2e o
α ≠ 0• Siα = 1, queda:
10
10
10
–e o Sistema compatible indeterminado. Son dos rectas coincidentes.
• Siα = –1, queda:
10
10
12
– –e o Sistema incompatible. Son dos rectas paralelas.
• Siα ≠ 1 y α ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son dos rectas secantes.
b)
a
x yx y zx y z
z 12 3 5 16
0
2 2 5
2 5
–– ––
– =+ =+ =
4 a
121
13
051
1160
–––
–f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
a
100
15
1
051
1181
–––
––+
f p
(1.ª)
(2.ª)
5 · (3.ª) – (2.ª)
a
100
15
5
050
11813
–– –f p
• Siα ≠ 0 → Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto.• Siα = 0 → Sistema incompatible. Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto
común a los tres.
21 Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
xxx
yyy
zz
az25
36
4000
+++
+++
===
*a) Deduce para qué valores de a el sistema solo tiene la solución (0, 0, 0).
b) Resuelve el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
xxx
yyy
zz
az25
36
4000
+++
+++
===4
a
125
136
14
000
f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
a
100
111
12
5
000–
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
a
100
110
12
7
000–
f p
a) Como el sistema es homogéneo, si a ≠ 7 solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).b) Si a = 7 → el sistema es compatible indeterminado.
x y z
y z0
2 0+ + =
+ =4 z = λ y = –2λ x = λ
Soluciones: (λ, –2λ, λ)
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
32
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
22 Una tienda ha vendido 225 memorias USB de tres modelos diferentes, A, B, C, y ha ingresado un total de 10 500 €. La memoria A cuesta 50 €, y los modelos B y C son, respectivamente, un 10 % y un 40 % más baratos que el modelo A. La suma de las unidades vendidas de los modelos B y C es la mitad de las vendidas del modelo A. Calcula cuántas unidades se han vendido de cada modelo.
x = n.º de memorias vendidas del modelo A
y = n.º de memorias vendidas del modelo B
z = n.º de memorias vendidas del modelo C
, ,x y z
x y z
y z x
22550 0 9 50 0 6 50 10 500
2
· ·+ + =
+ + =
+ =4
x y zx y zx y z
22550 45 30 10 500
2 2 0– –
+ + =+ + =
=4
x y zx y zx y z
2252 2 0
10 9 6 2100–
+ + =+ + =+ + =
4
11
10
129
126
2250
2100–f p
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) – 10 · (1.ª)
100
131
134
225225150– – –
f p
(1.ª)
(2.ª)
3 · (3.ª) + (2.ª)
100
130
139
225225225– –
f p → x y z
y zz
2257525
+ + =+ =
=*
Se han vendido 150 memorias del modelo A, 50 del modelo B y 25 del modelo C.
23 Un barco transporta 400 vehículos (coches, camiones y motos). Por cada 2 motos hay 5 camio-nes. Los coches representan las 9/7 partes de los otros vehículos. ¿Cuántos vehículos de cada tipo transporta el barco?
x = n.º de coches
y = n.º de camiones
z = n.º de motos
( )
x y z
z y
x y z
x y zy z
x y z
400
2 5
79
4002 5 0
7 9 9 0–
– –
+ + =
=
= +
+ + ===
4 4 107
129
159
40000–
––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 7 · (1.ª)
100
1216
1516
4000
2 800––– –
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 8 · (2.ª)
100
120
1556
4000
2 800–– –
f p → x y z
y zz
4002 5 0
50–
+ + ===
*El barco transporta 225 coches, 125 camiones y 50 motos.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
33
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
24 a) Halla un número de tres cifras tal que la suma de las centenas y las unidades con el doble de las decenas es 23; la diferencia entre el doble de las centenas y la suma de las decenas más las unidades es 9 y la media de las centenas y decenas más el doble de las unidades es 15.
b) ¿Es posible encontrar un número de tres cifras si cambiamos la tercera condición por “el triple de las centenas más las decenas es 25”?
a) El número buscado es xyz. El sistema que expresa las condiciones del problema es:
( )x y zx y z
x yz
2 232 9
22 15
–+ + =
+ =+
+ =4
x y zx y zx y z
2 232 9
4 30
121
211
114
23930
– – – –+ + =
=+ + =
f p4 (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
251
133
23377
––
– –f p
(1.ª)
(2.ª)
5 · (3.ª) – (2.ª)
100
250
13
18
233772
– – –f p → x y z
y zz
2 235 3 37
4– – –+ + =
==
* El número es 954.b) El sistema resultante es:
( )x y zx y zx y
2 232 93 25
–+ + =
+ =+ =
4 x y zx y zx y
2 232 93 25
– –+ + =
=+ =
4 123
211
110
23925
– –f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
100
255
133
233744
––
––
––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
100
250
130
23377
– – ––
f p Este sistema no tiene solución, luego no hay ningún número que verifique esas condiciones.
Página 50
25 Las toneladas de combustible consumidas en una fábrica en el turno de mañana son igual a m veces las toneladas consumidas en el turno de tarde.
Además, se sabe que el turno de tarde consume m toneladas menos que el turno de mañana.
a) Plantea y discute el problema en función de m.
b) ¿Es posible que el turno de mañana consuma el doble de combustible que el de tarde?
c) Si se supone que m = 2, ¿cuánto consume el turno de tarde?
x = n.º de toneladas de combustible consumidas en el turno de mañana.y = n.º de toneladas de combustible consumidas en el turno de tarde.a)
x myy x m
x myx y m
0–
––
==
==
4 4 m
m11 1
0––
e o (1.ª)
(2.ª) – (1.ª) m
m m10 1
0–– +
e o
• Sim ≠ 1, se pueden despejar todas las incógnitas, luego el problema tiene solución única.
( )x my
m y mx
mm y
mm0
1 1 1–
– – –2=
+ == =4
Solución: ,mm
mm
1 1– –2e o
• Sim = 1, la segunda ecuación sería 0y = 1, que es una expresión imposible, luego el sistema no tiene solución.
b) Sí, porque x = 2y para m = 2.
c) Si m = 2 → y = m
m1 2 1
2 2– –
= = . El turno de tarde consume 2 toneladas de combustible.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
34
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
26 Una panadería utiliza tres ingredientes A, B y C para elaborar tres tipos de tarta.
La tarta T1 se hace con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C.
La tarta T2 lleva 4 unidades de A, 1 de B y 1 de C.
Y la T3, necesita 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C.
Los precios de venta al público son 7,50 € la T1; 6,50 € la T2 y 7 € la T3.
Sabiendo que el beneficio que se obtiene con la venta de cada tarta es de 2 €, calcula cuánto le cuesta a la panadería cada unidad de A, B y C.
x = precio por unidad de A
y = precio por unidad de B
z = precio por unidad de C
,,
,,
x y zx y zx y z
2 2 5 504 4 502 2 5
142
211
212
5 504 50
5
+ + =+ + =+ + =
f p4 (1.ª)
(2.ª) – 4 · (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
,,
100
273
272
5 5017 50
6––
––
––
f p
(1.ª)
(2.ª)
7 · (3.ª) – 3 · (2.ª)
,,,
100
270
277
5 5017 5010 5
– – –f p → ,
,,
x y zy z
z
2 2 5 507 7 17 50
1 50– – –+ + =
==
*La unidad de A cuesta 0,50 €, la unidad de B cuesta 1 € y la unidad de C cuesta 1,50 €.
27 Tres comerciantes invierten en la compra de ordenadores de los modelos A, B y C de la siguiente forma:
El primero invierte 50 000 € en los de tipo A, 25 000 € en los de tipo B y 25 000 € en los de tipo C.
El segundo dedica 12 500 € a los de tipo A, 25 000 € a los de tipo B y 12 500 € a los de tipo C.
Y el tercero, 10 000 €, 10 000 € y 20 000 €, respectivamente, en los modelos A, B y C.
Después de venderlos todos, la rentabilidad que obtiene el primero es el 15 %, el segundo el 12 % y el tercero el 10 %. Determina la rentabilidad de cada uno de los modelos vendidos.
x = rentabilidad del modelo A
y = rentabilidad del modelo B
z = rentabilidad del modelo C
, ·, ·, ·
, ,x y zx y zx y z
x y zx y zx y z
50 000 25 000 25 000 0 15 100 00012 500 25 000 12 500 0 12 50 00010 000 10 000 20 000 0 10 40 000
50 25 25 1512 5 25 12 5 6
10 10 20 4
+ + =+ + =+ + =
+ + =+ + =+ + =
4 4
, ,50
12 510
252510
2512 520
1564
f p (1.ª)
50 · (2.ª) – 12,5 · (1.ª)
5 · (3.ª) – (1.ª)
, , ,5000
25937 5
25
25312 5
75
15112 5
5f p
(1.ª)
(3.ª)
25 · (2.ª) – 937,5 · (3.ª)
5000
25250
2575
62 500
155
1875– –f p →
,
x y zy z
z
50 25 25 1525 75 5
0 03
+ + =+ =
=*
La rentabilidad del modelo A es del 23 %, la rentabilidad del modelo B es del 11 % y la rentabilidad del modelo C es del 3 %.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
35
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
28 La suma de las tres cifras de un número es 13. Si se intercambian la cifra de las unidades y la de las centenas, el número aumenta en 495. La cifra de las centenas excede en m unidades a la de las decenas.
a) Plantea un sistema de ecuaciones y razona para qué valores de m es compatible determinado.
b) ¿Qué valores puede tomar m para que el problema tenga solución? Calcula la solución para m = 4.
Número: xyz = 100x + 10y + z
Si intercambiamos unidades y centenas, el número es: zxy = 100z + 10y + x
a)
x y zz y x x y z
x y m
x y zx zx y m
x y zx zx y m
13100 10 100 10 495
1399 99 495
135–
––
–
+ + =+ + = + + +
= +
+ + =+ =
=
+ + =+ =
=4 4 4
m
111
101
110
135–
–f p
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
m
100
112
121
1318
13– – –f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 2 · (2.ª)
m
100
110
123
1318
23– +f p →
x y zy z
z m
132 183 23–
+ + =+ =
= +*
El sistema es siempre compatible determinado porque se pueden despejar todas las incógnitas.
La solución sería: x = , ,m y m z m3
83
8 23
23–+ = = +
b) Como las cifras tienen que ser números naturales entre 0 y 9, debe verificarse que m ≤ 4 para que y > 0. Por tanto, los posibles valores de m serán:
m = 1, se obtienen números naturales → x = 3, y = 2, z = 8
m = 2 o m = 3, no se obtienen números naturales. No sirven.
m = 4, se obtienen números naturales → x = 4, y = 0, z = 9
Si m = 4, el número buscado es 409.
29 Nos cobran 200 € por dos chaquetas y una blusa. Si compramos una chaqueta y un pantalón y devolvemos la blusa, nos cobran 100 €.
¿Cuánto nos cobrarán por cinco chaquetas, un pantalón y una blusa?
x = precio de una chaqueta
y = precio de una blusa
z = precio de un pantalón
( )( )
x yx z y
y xz x y
2 200100
12
200 2100–
––
+ =+ =
== +4
Sustituyendo (1) en (2), z = 100 – x + 200 – 2x → z = 300 – 3x
Por tanto:
5x + z + y = 5x + 300 – 3x + 200 – 2x = 500 euros
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
36
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
30 Un país importa 21 000 vehículos de tres marcas, A, B y C, al precio de 10 000, 15 000 y 20 000 euros. El total de la importación es de 322 millones de euros. Se sabe que hay 21 000 vehículos contando los de la marca B y k veces los de la A.
a) Plantea un sistema con las condiciones del problema en función del número de vehículos de cada marca.
b) Resuelve el sistema en el caso k = 3.
c) Comprueba que el sistema no tiene solución en el caso k = 2.
a) x = n.º de vehículos de la marca A
y = n.º de vehículos de la marca B
z = n.º de vehículos de la marca C
x y z
x y zkx y
2100010 000 15 000 20 000 322 000 000
21000
+ + =+ + =
+ =*
b) Si k = 3:
x y zx y zx y
210002 3 4 64 4003 21000
+ + =+ + =+ =
4 123
131
140
2100064 40021000
f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
100
112
123
2100022 40042 000– – –
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 2 · (2.ª)
100
110
121
2100022 4002 800
f p →
→ 8 88 8
zy z y yx y z x x
2 8002 22 400 22 400 5 600 16 800
21000 21000 16 800 2 800 1 400–
– –
=+ = = =+ + = = =
* Se importaron 1 400 vehículos de la marca A, 16 800 de la marca B y 2 800 de la marca C.
c) Si k = 2:
122
131
140
2100064 40021000
f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
100
111
122
2100022 40021000– – –
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
100
110
120
2100022 4001 400
f p Sistema incompatible.
Cuestiones teóricas
31 ¿Verdadero o falso? Justifica tus respuestas y pon ejemplos.
a) A un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas que es compatible indeterminado, podemos añadirle una ecuación que lo transforme en incompatible.
b) Si S y S' son dos sistemas equivalentes con solución única que tienen iguales los términos inde-pendientes, entonces los coeficientes de las incógnitas también son iguales.
c) El sistema x y z ax y z a
22 4 2 2 12 2–
–+ =+ = +
* es incompatible cualquiera que sea el valor de a.
d) El sistema xx
yy
ab
3 2–+ =
=* es compatible indeterminado para cualesquiera valores de a y b.
e) A un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que es compatible determinado podemos aña-dirle una ecuación que lo transforme en compatible indeterminado.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
37
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
a) Verdadero.
Tenemos el sistema:
x yx yz
22 2 4
––
==4 → Compatible indeterminado.
Le añadimos la ecuación: x – y = 3.
x yx yz
x y
22 2 4
3
––
–
==
=4 → Incompatible.
b) Falso. Los siguientes sistemas son equivalentes, tienen iguales los términos independientes y no tienen los mismos coeficientes en las incógnitas.
,8x yx y x y
31 2 1–
+ == = =4 ,8
yx x y
3 3
22 1
== =
1= 4
c) a
a12
24
12 2 1
–– +
e o (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª) a1
020
10 1–e o
Verdadero. La última fila indica que el sistema siempre es incompatible.
d) ab
31
21–
e o (1.ª) – 3 · (2.ª)
(2.ª) a b
b01
51
3–
–e o → y a b
x y b5 3–
–==
4 x = ,a b y a b52
53–+ =
Falso. En todos los casos el sistema es compatible determinado.
e) Falso. Si añadimos una ecuación más, puede pasar que la ecuación sea incompatible con las anterio-res o que no aporte más información. En el primer caso, el sistema se transforma en incompatible y en el segundo, sigue siendo compatible determinado.
32 ¿Es posible convertir este sistema en compatible indeterminado cambiando un signo?
x y zx y zx y z
111
––
+ + =+ =
+ =*
Sí. Si cambiamos la 2.a ecuación por x + y + z = 1, o bien, si cambiamos la 3.a ecuación por x + y + z = 1, el sistema resultante será compatible indeterminado.
33 Define cuándo dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes. Justifica si son equivalentes o no los siguientes sistemas:
xx
yy
zz
24–
++
+ ==
* xyz
21
1–
===
*
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando todas las soluciones del 1.er sistema lo son también del 2.°, y al revés.
Los dos sistemas dados no son equivalentes, puesto que el 1.° es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones) y el 2.° es determinado (solo tiene una solución).
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
38
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
34 Comprueba que la solución del sistema de ecuaciones
axx
yay
aa2 2
1––
++
==
* es (x, y) = ,aa
aa
12 1
12– –
+ ++c m si a ≠ ±1.
¿Podemos decir que el sistema es compatible indeterminado si a ≠ ±1?
Sustituimos la solución que nos dan en las ecuaciones:
a )
( ) ( ) ( )aa
aa
aa a a
aa
aa aa
12 1
12
12 2
12 1
12 1 1 2 2– – – – – – –
2 2
++
++ =
++ + =
+=
++ =
( ) ( )aa a
aa
aa a a
aa
aa a a
12 1
12
12 1 2
11
11 1 1– – – – – – –
2 2
+ ++ =
++ + =
+=
++ =+
No. El sistema es compatible determinado si a ≠ ±1.
Página 51
Para profundizar
35 ¿Para qué valor de a este sistema es incompatible?
( )
( )
xa x
x
y z
za z
12
32
0120
–
–
+ +
+
====
*• ¿Puedesercompatibleindeterminadoparaelvalora = 2?
•Resuélvelosia = 2.
• Sia ≠ 1 y a ≠ 2, ¿puede ser compatible determinado?
Para estudiar la compatibilidad de este sistema, nos fijamos en la última ecuación. Si a ≠ 2, entonces z = 0. Y, por tanto, de la tercera ecuación se obtiene que x = 2. Pero de la segunda ecuación se deduce
que x = a 1
1–
. Igualando obtenemos:
8a
a1
1 223
–= =
En resumen, si a ≠ 2 y a ≠ 23 , el sistema es incomaptible. Y si a ≠ 2 y a =
23 , el sistema es com-
patible determinado.
• Sia = 2, la última ecuación no da información, luego se puede suprimir. El sistema queda:
x y zxx z
2 01
3 2
+ + ==
+ =*
Es un sistema escalonado, por tanto, compatible determinado. No puede ser compatible indetermi-nado.
•Resolvemoselsistemaanteriorparaa = 2:
x = 1, y = – 53
, z = 31
• Sia ≠ 1 y a ≠ 2, como ya hemos visto al principio, es un sistema compatible determinado solo en
el caso de a = 23 .
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
39
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
36 Discute estos sistemas en función de a y resuélvelos en el caso en que sean compatibles inde-terminados.
a) x y z ax y az ax ay z
a aa
a
12
1
2
2
–+ + =+ + =+ + =
* b) ax
xx
yay
z
z2
021–
–++
+
===
*a)
x y z ax y az ax ay z
a aa
a
12
1
2
2
–+ + =+ + =+ + =
4 a
aa
a121
11
1
1
1
1
–f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
a
aaa
a
100
111
12
0
12
2––
––
––+f p
• Sia = 1, queda:
100
110
110
011
– –f p → Sistema incompatible.
• Sia = 2, queda:
100
111
100
100
–f p (1.ª)
(2.ª) + (3.ª)
(3.ª)
100
101
100
100
f p → Sistema compatible indeterminado.
Lo resolvemos en este caso:
8
l
x y zy
x z x zyz
10
1 10
–+ + ==
+ = ===
4 Soluciones: (1 – λ, 0, λ)• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → Sistema compatible determinado.
b)
axxx
yay
z
z2
021–
–++
+
===4
aa2
1
1
0
101
021–
–f p
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
a
a12
0
1
101
120
–
–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª)
a
a12
1
0
1
100
121
–
–f p
(1.ª)
(2.ª)
–a · (3.ª) + (2.ª)
a a
aa
12
2
0
0
100
12
2
–
– –2 + +f p
–a 2 + a + 2 = 0 → a = ± ±2
1 1 82
1 3–
– –+ = aa
12–=
=
• Sia = –1, queda:
120
010
100
123
––f p → Sistema incompatible.
• Sia = 2, queda:
120
020
100
120
–f p
(1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª)
l
x zx y
z xy xx
110
010
100
110
11
11
– ––
+ =+ =
= +==
f p 4
Sistema compatible indeterminado. Soluciones: (λ, 1 – λ, 1 + λ)• Sia ≠ –1 y a ≠ 2 → Sistema compatible determinado.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
40
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
37 Encuentra razonadamente dos valores del parámetro a para los cuales el siguiente sistema sea incompatible:
xax
xx
yy
zzz
az2
223
0123
+ ++ +
++
====
*x
axxx
yy
zzz
az2
223
0123
+ ++ +
++
====
4 a
a
1
12
1100
223
0123
f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª)
(4.ª)
a
a
11
12
1000
203
0123
–f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª) – 2 · (3.ª)
a
a
11
10
1000
203
6
0121
–
– –
f pSi a = 1 o a = 6, el sistema es incompatible.
38 Resuelve el siguiente sistema:
xxxx
yyy
y
zz
zz
t
ttt
wwww
1716151414
+++
++
++
+
+++
++++
=====
* Si sumas las cinco igualdades, obtendrás otra con la que se te pueden simplificar mucho los cálculos.
xxxx
yyy
y
zz
zz
t
ttt
wwww
1716151414
+++
++
++
+
+++
++++
=====
4 Sumando las cinco igualdades, obtenemos:
4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 76, es decir: 4(x + y + z + t + w) = 76, o bien: x + y + z + t + w = 19
Por tanto: (x + y + z + t) + w = 17 + w = 19 → w = 2
(x + y + z + w) + t = 16 + t = 19 → t = 3
(x + y + t + w) + z = 15 + z = 19 → z = 4
(x + z + t + w) + y = 14 + y = 19 → y = 5
(y + z + t + w) + x = 14 + x = 19 → x = 5
39 Una cuadrilla de cinco jardineros debía podar una plantación trabajando de lunes a viernes. Cada día, cuatro podaban y el otro les ayudaba.
Cada jardinero podó el mismo número de árboles cada día. Los resultados de la poda fueron:
— Lunes, 35 árboles podados. — Martes, 36.
— Miércoles, 38. — Jueves, 39
— Y el viernes no sabemos si fueron 36 o 38.
Calcula cuántos árboles diarios podó cada uno, sabiendo que fueron números enteros y que ninguno podó los cinco días.
Llamamos:w = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el lunes.t = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el martes.z = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el miércoles.y = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el jueves.x = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el viernes.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
41
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
x y z tx y z wx y t wx z t w
y z t w k
35363839
+ + + =+ + + =+ + + =
+ + + =+ + + =
4Sumando las cinco igualdades, obtenemos: 4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 148 + k, es decir: 4(x + y + z + t + w) = 148 + k, o bien:
x + y + z + t + w = 37 + k4
Si x, y, z, t, w son números enteros, su suma también lo será; luego, k debe ser múltiplo de 4. Como nos dicen que vale 36 o 38, tenemos que ha de ser k = 36 (pues 38 no es múltiplo de 4).Resolvemoselsistema,ahoraquesabemosquek = 36:La suma de las cinco igualdades dará lugar a:
x + y + z + t + w = 37 + 436 = 37 + 9 = 46
Por tanto: (x + y + z + t) + w = 35 + w = 46 → w = 11 (x + y + z + w) + t = 36 + t = 46 → t = 10 (x + y + t + w) + z = 38 + z = 46 → z = 8 (x + z + t + w) + y = 39 + y = 46 → y = 7 (y + z + t + w) + x = 36 + x = 46 → x = 10Así, el jardinero que descansa el lunes poda 11 árboles; el que descansa el martes, 10; el que descansa el miércoles, 8; el que descansa el jueves, 7, y el que descansa el viernes, 10.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
42
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Autoevaluación
Página 51
1 Resuelve e interpreta geométricamente estos sistemas:
a) xxx
yyy
23
623
011
0–
–
+
+
===
*
b) x y
y z2 5
3–
–==
*
a)
x yx yx y
2 6 03 2 11
3 0–
–
+ ==
+ =4 Sumando la 1.a fila con 3 veces la 2.a:
x yx y
2 6 09 6 33–
+ ==
11x = 33 → x = 3 → y = –1
Comprobamos en la 3.a ecuación:
–3 + 3(–1) ≠ 0
El sistema es incompatible. Son tres rectas que se cortan dos a dos.
b)
x yy z
2 53
––
==4 Hacemos y = λ:
l 8 l
l
x x
z
2 525
23–
= + = +
=*
El sistema es compatible indeterminado.
Solución: , ,l l l25
23–+ +d n
Representadosplanosquesecortanenunarecta.
2 La suma de las tres cifras de un número es 9. Si al número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198 y la suma de las cifras de las unidades y las centenas es el doble de las decenas. ¿Cuál es el número?
( )x y z
x y z z y xx z y
x y zx zx y z
x y zx zx y z
9100 10 100 10 198
2
999 99 198
2 0
92
2 0– –
––
–
+ + =+ + + + =
+ =
+ + ===
+ + ==
+ =+4 4 4
111
102
111
920–
–f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
113
120
979
––
– ––
f p → x y z
y zy
92 7
3 9– – –– –
+ + ===
*Sistema escalonado cuya solución es x = 4, y = 3, z = 2.
El número es el 432.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
43
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Discute este sistema y resuélvelo cuando sea posible:
x y zy z
x my zx m
2 32
3 7
33
+ + =+ =
+ + =+*
x y zy z
x my zx m
2 32
3 7
33
+ + =+ =
+ + =+ 4
m
10
21
113
3271
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
m
100
21
2
112
324–
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
m
100
21
4
110
320–
f p → ( )
x y zy z
m y
2 32
4 0–
+ + =+ =
=*
• Sim ≠ 4 → Sistema compatible determinado. Solución: (1, 0, 2)
• Sim = 4 → Sistema compatible indeterminado. Pasamos z al segundo miembro como parámetro:
ll
x yy
2 32
––
+ ==
*
Soluciones: (λ – 1, 2 – λ, λ)
4 Una persona ha obtenido 6 000 € de beneficio por invertir un total de 60 000 € en tres empresas: A, B y C. Lo invertido en A y B fue m veces lo invertido en C, y los beneficios fueron el 5 % en A, el 10 % en B y el 20 % en C.
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cada empresa.
b) Prueba que si m > 0, el sistema es compatible determinado, y resuélvelo para m = 5.
a) Sean x, y, z las cantidades invertidas en A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema:
, , , , , ,
xxx
yyy
z
zmz
xxx
yyy
zmz
z0 05 0 1 0 2
60 000
6 000 0 05 0 1 0 2
60 00006 000
–+++
+ ==
+ =
+++
+
+
===
4 4
b) , , ,
m11
0 05
11
0 1
1
0 2
60 0000
6 000–f p
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 0,05 · (1.ª)
, ,
m100
10
0 05
11
0 15
60 00060 0003 000
– – –f p• Sim = –1 → El sistema es incompatible.
• Sim ≠ –1 → El sistema es compatible determinado.
Por tanto, si m > 0, el sistema es compatible determinado.
Para m = 5 la solución es la siguiente: x = 20 000 €, y = 30 000 €, z = 10 000 €.
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
44
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5 Sean las ecuaciones: x y zx y z
3 2 52 3 4
–– –
+ =+ =
* .
a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.
b) Añade una ecuación para que sea compatible determinado.
c) Añade una ecuación para que sea compatible indeterminado.
Justifica en cada caso el procedimiento seguido.
a) Para que sea incompatible, la ecuación que añadamos ha de ser de la forma: a(3x – 2y + z) + b (2x – 3y + z) = k, con k ≠ 5a – 4b Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 0, k = 1, queda: 3x – 2y + z = 1 Añadiendo esta ecuación, el sistema sería incompatible.b) Por ejemplo, añadiendo y = 0, queda:
x y zx y z
y
x zx z
y
xyz
3 2 52 3 4
0
3 52 4
0
9022
–– – –
–
+ =+ =
=
+ =+ =
=
===
4 4 4 Compatible determinado
c) El sistema será compatible indeterminado si añadimos una ecuación proporcional a una de las exis-tentes. Por ejemplo, añadimos la 2.ª ecuación multiplicada por (–1):
x y zx y zx y z
3 2 52 3 42 3 4
–– –
– –
+ =+ =
+ =4
6 Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
( )
xxx
yay
a y
zzz2
2
2
336
123
+++
++
+ +
===
*a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible.
b) Discute si existe algún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado.
c) Resuelve el sistema para a = 0.
( )
xxx
yay
a y
zzz2
2
2
336
123
+++
++
+ +
===4
( )a
a
112
2
2
336
123+
f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
aa
100
222
300
111
––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
a100
22
0
300
110
–f p
a) Si a = 2, la 2.a ecuación no tiene solución: 0y = 1. El sistema es incompatible.b) No existe ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado, porque la 3.a ecuación
se puede suprimir (0x + 0y + 0z = 0) y el sistema queda con dos ecuaciones y tres incógnitas.c) Si a = 0, queda:
/
8l
x y zy
yx z x zz
2 3 12 1
1 21 3 1 2 3
–
–– –
+ + ==
=+ = =
=4
Soluciones: , ,l l2 321– –d n
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
45
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 Discute este sistema según los valores de a. Interprétalo geométricamente:
axxx
yy
ay
zzz
4 01 01 0–
–
–
++
+++
+===
*axxx
yy
ay
zzz
4 01 01 0–
–
–
++
+++
+===4
ax y zx y zx ay z
41
1–
–
+ + =+ + =
+ =4
a
a11
11
111
411––f p
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
aa
1
1
11
111
141–
–f p
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
aa
11
0
10
1
100
152
–– –
–f p
• Sia = 1, queda:
100
102
100
152–
–f p → Sistema incompatible.
Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.• Sia = –1, queda:
120
100
100
152
––
f p → Sistema incompatible.
Los dos últimos planos son paralelos y el primero los corta.• Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto.
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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Autoevaluación
Página 51
1 Resuelve e interpreta geométricamente estos sistemas:
a) xxx
yyy
23
623
011
0–
–
+
+
===
*
b) x y
y z2 5
3–
–==
*
a)
x yx yx y
2 6 03 2 11
3 0–
–
+ ==
+ =4 Sumando la 1.a fila con 3 veces la 2.a:
x yx y
2 6 09 6 33–
+ ==
11x = 33 → x = 3 → y = –1
Comprobamos en la 3.a ecuación:
–3 + 3(–1) ≠ 0
El sistema es incompatible. Son tres rectas que se cortan dos a dos.
b)
x yy z
2 53
––
==4 Hacemos y = λ:
l 8 l
l
x x
z
2 525
23–
= + = +
=*
El sistema es compatible indeterminado.
Solución: , ,l l l25
23–+ +d n
Representadosplanosquesecortanenunarecta.
2 La suma de las tres cifras de un número es 9. Si al número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198 y la suma de las cifras de las unidades y las centenas es el doble de las decenas. ¿Cuál es el número?
( )x y z
x y z z y xx z y
x y zx zx y z
x y zx zx y z
9100 10 100 10 198
2
999 99 198
2 0
92
2 0– –
––
–
+ + =+ + + + =
+ =
+ + ===
+ + ==
+ =+4 4 4
111
102
111
920–
–f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
113
120
979
––
– ––
f p → x y z
y zy
92 7
3 9– – –– –
+ + ===
*Sistema escalonado cuya solución es x = 4, y = 3, z = 2.
El número es el 432.
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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Discute este sistema y resuélvelo cuando sea posible:
x y zy z
x my zx m
2 32
3 7
33
+ + =+ =
+ + =+*
x y zy z
x my zx m
2 32
3 7
33
+ + =+ =
+ + =+ 4
m
10
21
113
3271
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
m
100
21
2
112
324–
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
m
100
21
4
110
320–
f p → ( )
x y zy z
m y
2 32
4 0–
+ + =+ =
=*
• Sim ≠ 4 → Sistema compatible determinado. Solución: (1, 0, 2)
• Sim = 4 → Sistema compatible indeterminado. Pasamos z al segundo miembro como parámetro:
ll
x yy
2 32
––
+ ==
*
Soluciones: (λ – 1, 2 – λ, λ)
4 Una persona ha obtenido 6 000 € de beneficio por invertir un total de 60 000 € en tres empresas: A, B y C. Lo invertido en A y B fue m veces lo invertido en C, y los beneficios fueron el 5 % en A, el 10 % en B y el 20 % en C.
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cada empresa.
b) Prueba que si m > 0, el sistema es compatible determinado, y resuélvelo para m = 5.
a) Sean x, y, z las cantidades invertidas en A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema:
, , , , , ,
xxx
yyy
z
zmz
xxx
yyy
zmz
z0 05 0 1 0 2
60 000
6 000 0 05 0 1 0 2
60 00006 000
–+++
+ ==
+ =
+++
+
+
===
4 4
b) , , ,
m11
0 05
11
0 1
1
0 2
60 0000
6 000–f p
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 0,05 · (1.ª)
, ,
m100
10
0 05
11
0 15
60 00060 0003 000
– – –f p• Sim = –1 → El sistema es incompatible.
• Sim ≠ –1 → El sistema es compatible determinado.
Por tanto, si m > 0, el sistema es compatible determinado.
Para m = 5 la solución es la siguiente: x = 20 000 €, y = 30 000 €, z = 10 000 €.
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5 Sean las ecuaciones: x y zx y z
3 2 52 3 4
–– –
+ =+ =
* .
a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.
b) Añade una ecuación para que sea compatible determinado.
c) Añade una ecuación para que sea compatible indeterminado.
Justifica en cada caso el procedimiento seguido.
a) Para que sea incompatible, la ecuación que añadamos ha de ser de la forma: a(3x – 2y + z) + b (2x – 3y + z) = k, con k ≠ 5a – 4b Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 0, k = 1, queda: 3x – 2y + z = 1 Añadiendo esta ecuación, el sistema sería incompatible.b) Por ejemplo, añadiendo y = 0, queda:
x y zx y z
y
x zx z
y
xyz
3 2 52 3 4
0
3 52 4
0
9022
–– – –
–
+ =+ =
=
+ =+ =
=
===
4 4 4 Compatible determinado
c) El sistema será compatible indeterminado si añadimos una ecuación proporcional a una de las exis-tentes. Por ejemplo, añadimos la 2.ª ecuación multiplicada por (–1):
x y zx y zx y z
3 2 52 3 42 3 4
–– –
– –
+ =+ =
+ =4
6 Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
( )
xxx
yay
a y
zzz2
2
2
336
123
+++
++
+ +
===
*a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible.
b) Discute si existe algún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado.
c) Resuelve el sistema para a = 0.
( )
xxx
yay
a y
zzz2
2
2
336
123
+++
++
+ +
===4
( )a
a
112
2
2
336
123+
f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
aa
100
222
300
111
––
f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
a100
22
0
300
110
–f p
a) Si a = 2, la 2.a ecuación no tiene solución: 0y = 1. El sistema es incompatible.b) No existe ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado, porque la 3.a ecuación
se puede suprimir (0x + 0y + 0z = 0) y el sistema queda con dos ecuaciones y tres incógnitas.c) Si a = 0, queda:
/
8l
x y zy
yx z x zz
2 3 12 1
1 21 3 1 2 3
–
–– –
+ + ==
=+ = =
=4
Soluciones: , ,l l2 321– –d n
BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
45
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 Discute este sistema según los valores de a. Interprétalo geométricamente:
axxx
yy
ay
zzz
4 01 01 0–
–
–
++
+++
+===
*axxx
yy
ay
zzz
4 01 01 0–
–
–
++
+++
+===4
ax y zx y zx ay z
41
1–
–
+ + =+ + =
+ =4
a
a11
11
111
411––f p
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
aa
1
1
11
111
141–
–f p
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
aa
11
0
10
1
100
152
–– –
–f p
• Sia = 1, queda:
100
102
100
152–
–f p → Sistema incompatible.
Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.• Sia = –1, queda:
120
100
100
152
––
f p → Sistema incompatible.
Los dos últimos planos son paralelos y el primero los corta.• Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto.