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Física de Semiconductores Curso 2007

Ing. Electrónica- P2002

Ing. Electrónica/Electricista P88

3er. Año, V cuat.

Trabajo Práctico Nro. 2: Bloque Estadística: Funciones de distribución de Maxwell-

Boltzmann y Fermi-Dirac.

Objetivos:

Estudiar la distribución de electrones en los estados electrónicos permitidos. Analizar y

discutir las semejanzas y diferencias entre las funciones de distribución clásica

(Maxwell-Boltzmann) y cuántica (Fermi-Dirac).

Introducción

El objetivo de la mecánica estadística es analizar el comportamiento de un gran número

de partículas1 o sistemas idénticos, en una forma estadística o probabilística

encontrando los valores más probables de las propiedades del conjunto sin examinar en

detalle los valores de estas propiedades para una partícula dada en un determinado

momento. Por ejemplo, las características eléctricas en un cristal pueden determinarse

por el comportamiento estadístico de un gran número de electrones. Como interesa

calcular las propiedades promedio del conjunto de partículas se necesita conocer la

forma en que dichas partículas se distribuyen respecto a la energía E. Este conocimiento

se logra a partir de la función de distribución f(E) que da la probabilidad de que un

estado con energía E se encuentre ocupado. Existen tres tipos de funciones de

distribución que determinan la distribución de partículas sobre estados de energía

permitidos.

Según la física clásica todas las partículas son distinguibles y pueden ocupar el mismo

estado. Esta consideración conduce a una distribución de ocupación conocida como

función de distribución de Maxwell-Boltzmann. El comportamiento de las moléculas de

un gas en un recipiente es un ejemplo de esta distribución.

En la mecánica cuántica existe una restricción que debe cumplir la partícula: el spin. El

spin tiene unidades de momento angular. Las partículas en la naturaleza pueden tener

spin entero (0, ħ, 2ħ,..) o spin mitad de entero ( ħ/2, 3ħ/2,..). Las partículas de spin cero

o entero obedecen a la distribución de Bose-Eistein y son denominadas bosones (ej.

fotones, fonones, mesones, etc.). Los bosones pueden compartir un mismo estado y son

partículas indistinguibles. Las partículas con spin mitad entero obedecen a la

distribución de Fermi-Dirac y son denominadas fermiones (ej. electrones, protones,

neutrones, etc.). Un estado de energía puede ser ocupado por un único fermión, es decir,

un electrón sólo puede situarse en un nivel electrónico dado. Pero como los electrones

pueden tener spin +ħ/2 ó - ħ/2, dos electrones pueden situarse en un nivel de energía

particular. Son también partículas indistinguibles si tienen el mismo spin y cumplen con

el principio de exclusión de Pauli (dos electrones no pueden ocupar el mismo estado

cuántico).

Para describir el comportamiento de los electrones en sistemas como los

semiconductores utilizaremos la estadística de Fermi-Dirac que puede ser aproximada

por la de Maxwell-Boltzmann bajo ciertas condiciones.

1 Se entiende por partícula cada una de las unidades definidas y estables que componen

un sistema físico determinado. Por ejemplo: electrones, átomos o moléculas

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Estas funciones de distribución pueden expresarse como:

Maxwell-Boltzmann (clásica)

C es una constante que depende del sistema y k es la constante de Boltzmann cuyo valor

es k= 8.62x10-5

[eV/ºK].

Fermi-Dirac

EF es el nivel de energía de Fermi cuya probabilidad de ser ocupado por un electrón a

cualquier temperatura es 0.5.

Para T= 0ºK:

• fFD(E) = + 1 cuando E < EF

• fFD(E) = 0 cuando E > EF

La función se muestra en la siguiente figura para T= 0ºK

La figura que sigue muestra una simulación en computadora de la función de

distribución de Fermi-Dirac para T ≠ 0 ºK, donde se ha tomado x= E - EF.

E/kT-e C (E)fMB =

kT

E - E

e 1

1 (E)f

FFD

+

=

fFD(E)

E

EF 0

1

El gráfico muestra que a 0ºK los electrones

están a su nivel más bajo de energía. La

probabilidad de que un estado cuántico esté

ocupado es uno para E < EF, y la probabilidad

de que esté ocupado es cero para E > EF.

Todos los electrones tienen energías por

debajo de la energía de Fermi a T= 0 ºK.

T= 100 ºK

T= 200 ºK

T= 300 ºK

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Como puede verse si E = EF resulta:

Por lo tanto, todas las curvas para T > 0 ºK pasan siempre por fFD(E=EF) = 1/2.

Para temperaturas mayores a T= 0 ºK hay una probabilidad no nula que algunos estados

de energía por encima de EF estén ocupados por electrones y, consecuentemente,

algunos estados por debajo de EF estarán vacíos.

Cuando E - EF >> kT el término exponencial es mucho mayor que uno y la distribución

de Fermi-Dirac puede ser expresada como:

Esta ecuación es conocida como aproximación de Maxwell-Boltzmann

Ejercicios propuestos:

1- Demostrar que la función de distribución de Fermi-Dirac tiene la propiedad que a

T> 0ºK, la probabilidad que un estado electrónico ∆E por encima del nivel de Fermi

EF esté ocupado es la misma que la probabilidad de que un estado ∆E por debajo de

EF esté vacío.

2- Calcular la probabilidad que un nivel de energía 3kT por encima de la energía de

Fermi esté ocupado por un electrón a T = 300 ºK.

3- El nivel de energía de Fermi para cierto material es de 6.25 eV a un temperatura de

300 ºK. Los electrones en el material siguen la distribución de Fermi-Dirac.

a) Encontrar la probabilidad que un nivel de energía de 6.5eV sea ocupado por un

electrón

b) Repetir para T= 950ºK suponiendo que EF permanece constante con T.

c) Calcular la temperatura a la cual hay un 1% de probabilidad que un estado de 0.3

eV debajo del nivel de Fermi esté vacío de electrones.

4- Calcular la energía en términos de kT y EF para la cual la diferencia entre la

aproximación de Botzmann y la función de Fermi-Dirac es 5% de la función de

Fermi. (Considerar C=1)

kT

)E - (E

e (E)f

F

FD

−≈

2

1

1 1

1

e 1

1 )E(Ef

0FFD =

+=

+==

6 4 2 0 2 4 6 0

0.5

1

Fermi- Dirac vs. Maxwell- Boltzmann 1.2

1

2

1

f FD

f MB

0 4.6

β x = E - E F

fFD

fMB

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5- a) ¿Cuál es la fracción de estados electrónicos ocupados electrones a una energía

E=EF+0.0455 eV a T=300ºK y T=450ºK?

b) Calcular el error cometido si se usa la aproximación de Boltzmann. Comparar y

analizar los resultados obtenidos.