NIZ – GRANIČNA VRIJEDNOST NIZA

POJAM NIZA

Pojam niza vezan je za pojam samog brojanja. Kada se broji ili niže po redu, recimo brojevi, 1,2,3,... dobijamo niz prirodnih brojeva.

1,2,3...,...

Shodno nizu prirodnih brojeva možemo posmatrati i nizove drugih predmeta.

Naprimjer kuće na jednoj strani ulice su numerisane tako da znamo koja je prva, druga, treća, itd... Prema tome one čine jedan niz.

Dani u sedmici čine jedan niz gdje se znada je ponedjeljak prvi, utorakj drugi,..... nedjelja sedmi.

Hemijski elementi u prirodnom sisitemu elemenata čine jedan niz.

KAKO NASTAJE NIZ?

Neka je zadan bilo kakav skup A, konačan ili beskonačan. Uspostavimo između elemenata skupa A i elemenata skupa prirodnih brojeva N, takvo pridruživanje da svakom prirodnom broju pridružimo tačno jedan element skupa A. Pri tome dopuštamo da različitim prirodnim brojevima bude pridružen isti element skupa A. Ako elemente skupa Akoji su pridruženi elementima 1,2,3,... skupa N označimo sa

a₁,a₂,...,an,...

onda su ti elementi time dobili numeraciju( zan se prvi, drugi,...) i čine niz.

Sada možemo navesti matematičku definiciju niza.

„Svaka funkcija a koja elemetima skupa prirodnih brojeva N, pridružuje elemente realnih brojeva R naziva se niz u R, a ovo kraće pišemo:

a : N→R ; a(n) =an.

A niz pišemo u obliku:

a₁,a₂,...ili (an).

a₁,a₂,a₃,... su članovi niza, a brojevi 1,2,3,... koji daju numeraciju članovima niza su indeksi članova niza. Element an je n-ti član niza koji se obično naziva opći član.

Primjer: Neka je a: N→R niz za koji vrijedi: za svaki nєN je a(n) =2n

Imamo:

a(1) = 2, a(2)=4, a(3)=6,... a(n) = 2n ili

a₁=2, a₂=4, a₃=6,... an = 2n → opći član niza

Primjer: Ako je b : N→R i b(n) = 1n onda je:

b(1) = 1 b(2) = 12

, b(3) =13

, b(n) = 1n

ili

b₁=1 b₂=12

, b₃=13

,... bn = 1n

opći član je bn = 1n

, niz (bn) glasi: 1, 12

,13

, ... , gdje primjećujemo da mjesto člana u nizu

određuje indeks člana.

GRANIČNA VRIJEDNOST NIZA

Jedan od temeljnjih pojmova matematičke analize je granica ( limes) niza. Da bi pravilno shvatili suštinu tog pojam, potrebno je da se upoznamo sa bitnim terminima koje ćemo koristiti u samoj definiciji limesa niza

ε - okolina tačke

okolina sa poluprečnikom ε(ε>0) neke tačke (broja) a na brojnoj osi jeste skup tačaka x za koje vrijedi

|x – a| < ε

Znači ε - okolina tačke a je otvoreni interval (a - ε, a + є) sa centrom u tački a i dužinom 2 ε kao na slici

2 ε

|x – a|

(a - ε) a (a + є) x

Primjer: Ako je ε = 1, 1 – okolina tačke 4 je otvoreni interval (4-1,4+1), tj. (3 , 5) kao na slici

2 · 1 = 2

0 1 2 3 4 5

Primjer: ako je ε = 12

, 12

- okolina tačke 0 je interval ( - 12

, 12

).

x

-1 12

0 12

1

Objasnimo sada pojam „gotovo svi članovi niza“

Posmatrajmo niz realnih brojeva:

1,12

,13

,14

, ... .

Primječujemo da je svaki sljedeći manji od predhodnog i svakako svi su pozitivni.

Predstavimo sada ovo grafički

a₄ a₃ a₂ a₁ x

−1401615141312

1

Uočimo 14

- okolinu tačke 0. To je otvoreni interval (- 14

, 14

).

Pitamo se : koliko se članova niza nalazi van okoline, a koliko se članova niza nalazi unutar te okoline? Van intervala se nalaze članovi a₁ , a₂, a₃,a₄ znači 4 člana, a svi ostali članovi niza čiji je indeks veći od 4 tj. a₅, a₆, a₇,..., nalaze se unutar intervala.

Tako da sada možemo odgovoriti na postavljeno pitanje: u 14

okolini tačke 0 nalaze se „gotovo

svi članovi niza“ izuzev 4 člana.

Općenito pod izrekom „gotovo svi članovi niza“ se nalaze u ε-okolini tačke a, podrazumjevamo sve članove niza sa najviše konačnim brojem izuzetaka. Ako je n₀ najveći indeks tih izuzetaka, onda su svi članovi niza sa indeksom n>n₀ tj.

an₀+1, an₀+2, an₀+3,...

sadržani u toj okolini.

TAČKA GOMILANJA NIZA

Realan broj a je tačka gomilanja niza (an) nєN, ako svaka ε-okolina ( ε>0 ) broja sadrži beskonačno mnogo članova niza

Primjer: Tačka gomilanja niza (1n

), an = 1n

, je broj 0. Ako je ε>0 onda ε-okolina nule je (-ε, ε ) i

ona sadrži beskonačno mnogo članova niza. Prema Arhimedovoj teoremi postoji n₀єN takav da je

n₀·ε >1 tj. 1n₀

< є

dakle za svaki n ≥ n₀ vrijedi 1n

< ε tj. Svi članovi niza (1n

) od an₀ nalaze se u zadanoj ε-okolina

broja 0.

Primjer: Tačka gomilanja niza (nn+1 ) je broj 1. Neka je zadana ε-okolina tačke 1, član an će biti u

okolini ε-okolini ako je njegova udaljenost od tačke 1 manja od ε tj.

|1-an | < ε

odnosno

|1 -nn+1|=|

n+1−nn+1 |=

1n+1 < ε

To će biti za one vrijednosti n za koje je n + 1 > 1ε

odnosno n > | 1ε

- 1|. Takvih prirodnih brojeva

ima beskonačno mnogo jer skup N nije omeđen odozgo.

Primjer: a) zadan je niz sa općim članom

an= 1+(−1) ⁿ

2 .

Tačke gomilanja ovog niza su 0 i 1. Zaista, članovi ovog niza su

0,1,0,1, ...

U svakoj ε-okolini broja 1 nalaze se svi članovi a2n , a u svakoj ε – okolini broja 0 nalaze se svi članovi a2n+1 tog niza.

Tačka gomilanja niza an = 3, nєN, je broj 3. Za taj niz kažemo da je konstantan, i članovi se gomilaju oko tačke 3.

Niz može i da nema tačku gomilanja, naprimjer niz prirodnih brojeva

1,2,3,...n,n+1,...

nema tačke gomilanja.

Nakon ovog objašnjenja tek sada možemo prijeći na definiciju limesa ( granične vrijednosti niza)

Definicija limesa niza

Realan broj a je limes niza an realnih brojeva ako se u svakoj ε-okolini tačke a nalaze gotovo svi članovi niza. Za niz kažemo da je konvergentan.

konačno mnogo konačno mnogo

beskonačno mnogočlanova niza

a2 a-ε a a+ε a1

Konvergenciju niza možemo formulisati i na drugi način. Znamo da izraz „gotovo svi članovi niza“ znači isto što i „ svi članovi niza nekog indeksa dalje u niz“. Ako izaberemo bilo koju ε-okolinu (ε>0), onda je moguće naći tako velik indeks n0 da iza tog indeksa, znači za svaki n>n0 svi članovi budu u toj okolilni tj. da vrijedi:

|a-an| < ε

Tako smo došli do definicije limesa niza:

Realan broj a je limes niza an realnih brojeva, ako za svaki, ma kako malen broj ε>0 postoji prirodan broj n0 = n0(ε) takav da za svaki n>n0 vrijedi

|an-a| < ε.

U tom sllučaju za niz an kažemo da je konvergentan. Niz koji nije konvergentan je divergentan.

Ako je broj a limes niza (an) onda pišemo:

limn→∞

an=a ili an→akada n→∞ .

Primjer: Pokazati da je niz 1n

konvergentan i da mu je limes jednak nuli.

Postupamo na sljedeći način odaberemo po volji malen broj ε>0 i napišemo nejednakost. Neka je ε=10-2 imamo:

|1n−0|=|

1n

|=1n

<10-2

Pitamo se za koje je prirodne brojeve ispunjena relacija 1n

<10-2? Onda je ispunjena za svaki

prirodan broj n>100 =n0

Dakle, udaljenost broja 0 od članova niza sa indeksima 101,102,103, je manja od 0,01.

Ako je ε=10-5 onda imamo:

|1n−0|<10-5 tj.

1n

<10-5

Ova nejednakost je ispunjena ako je n > 10-5, znači, svi članovi niza počevši od

a100001,a100002,a100003,a100004,...

nalaze se u 1

105 – okolini tačke 0.

Uopće, ako je ε>0 onda je |1n−0|=

1n

< ε za svaki

n > n0 = |1ε

|.

Primjer: Da li niz (an), an= nn+1 , konvergira? Ako konvergira odrediti mu limes.

Članovi niza su:12,23,34,45,56,….

Sada predstavimo niz geometrijski:

.0 .12 .23 .34 .45 .1 Geometrijska interpretacija niza(an)

Očigledno je broj 1 tačka gomilanja niza, jer se ε-okolini tačke 1 nalaze gotovo svi članovi niza,pa je limes niza broj 1 zaista po definiciji:

|nn+1

−1|<|n−n−1n+1

−1|=| −1n+1|< ε

Nejednakost nn+1 < ε je zadovoljena ako je n+1>

1ε

tj. n > 1ε -1. Ako uzmemo da je ε = 10-3,

onda za svaki n > 999, tj. članovi a10001,a10002, ... se nalaze u 10-3 okolini tačke 1. Ovim je pokazano da je limes niza broj 1, daklwe niz je konvergentan.

Iz dosada izloženog je jasno da je limes niza uvijek i tačka gomilanja niza, jer“gotovo svih članova“ ima svakako beskonačno mnogo.

Obrnuto ne vrijedi. U svakoj okolini neke tačke može biti beskonačno mnogo članova a da to nisu „gotovo svi članovi“ niza jer može biti i beskonačno mnogo izuzetaka. Naprimjer, u slučaju niza sa općim članom an = 3+(-1)n koji glasi:

2,4,2,4, ...

Svi članovi sa neparnim indeksom, dakle njih beskonačno mnogo nalaze se u okolini (32,52

),

tačke 2, ali su svi članovi sa parnim indeksom izvan te okoline, a ima ih također beskonačno mnogo.

Teorema:

Konvergentan niz ima samo jedan limes

Dokaz: predpostavimo da konvergentan niz (an), nєN, ima dva različita limesa a i b. Mogu se odrediti, jedna okolina tačke a i jedan okolina tačke b tako da te okoline budu disjunktne. To postižemo ako stavimo:

ε = 12∨a−b∨¿.

Sada, u okolini take b, kao limesu, nalaze se gotovo svi članovi niza (an), i ti bi članovi bili izvan okoline tačke a. To bi za okolinu tačke a bilo beskonačno mnogo izuzetaka, te tačka a ne bi mogla biti limes niza, stoje suprotno predpostavci.

NULA NIZ

Niz brojeva(an), nєN, je nula niz ako je limn→∞

an = 0, tj. ako se udaljenost an – 0 može učiniti po volji

malom. Kako je ta udaljenost apsolutna vrijednost članova niza, nula niz definišemo na sljedeći način:

Niz brojeva (an) nєN, je nula niz ako niz apsolutnih vrijednosti članova niza teži nuli. To zapisujemo:

limn→∞

an = 0 ¿>¿ lim

n→∞¿a

n| = 0.

Jedan od značajnih nula nizova je niz (1n

), nєN.

limn→∞

1n

❑

Pojam nula niza je važan, jer se svaki konvergentan niz može svesti na nula niz. Naime, ako niz (an), nєN, konvergira i ima graničnu vrijednosta onda po samoj definiciji limesa

|an - a|→0kadan→∞,

a to znači da je niz ( an – a) nula niz.

Ovo možemo formulisati i na drugačiji način:

Ako je niz (an), nєN, konvergentan i ima limes jednak broju a, onda vrijedi

limn→∞

an = a ¿>¿ an = a+εn

gdje je εn nula niz tj εn→0 kada n→∞

DIVERGENTNI NIZOVI

Već smo rekli da da niz koji nije konvergentan onda je divergentan. Kod realnih nizova razlikujemo divergenciju u užem i širem smislu. Niz je divergentan u užem smislu ako ima graničnu vrijednost + ∞ ili -∞.

za niz brojeva (an), nєN, kažemo da divergira prema +∞, ako za svaki, ma kako velik broj M, postoji broj n0 takav da je

an > M za svaki n≥ n0,

i pišemo

limn→∞

an = +∞.

Za niz (an) kažemo da divergira prema -∞, ako za svaki broj m > 0 postoji broj n0 takav da je

an < m za svaki n≥n0

i pišemo:

limn→∞

an = - ∞

TEOREME O LIMESIMA

Neka su (an) i (bn), nєN, konvergentni nizovi ii neka je

limn→∞

an= a, lim

n→∞b

n= b,

Tada vrijedi:

1. Limes zbira (razlike) jedan je zbiru (razlici) limesa tih nizova, tj.

limn→∞

¿¿n±bn)=limn→∞

an± limn→∞

bn= a±b,

2. Limes proizvoda nizova jednak je proizvodu limesa tih nizova tj.

limn→∞

¿¿n∙ bn)=limn→∞

an∙ limn→∞

bn= a ∙b,

3. Limes proizvoda konstante i niza jednak je proizvodu konstante i limesa niza tj.

limn→∞

¿¿n)=c ∙ limn→∞

an= c ∙a,

4. Limes količnika dvaju nizova jednak je količniku limesa tih nizova

limn→∞

(anbn

¿)¿=limn→∞

an

limn→∞

bn=ab

, (b≠0 ) .

5. Limes stepena niza jednak je stepenu limesa niza, tj.

limn→∞

(an )k=¿

6. Limes korijena niza jedank je korijenu limesa nizlimn→∞

k√an= k√ limn→∞

an=k√a

7. limn→∞

k an=k¿ n→∞li man

= k a

KONVERGENCIJA MONOTONIH NIZOVA

Kod mnogih se nizova limes često ne može izračunati ni uz primjenu teorema o limesima. S druge strane nekada je potrebno samo utvrditi da li uopće postoji limes nekog niza. Zato je potrebno utvrditi kriterije na osnovu kojih ćemo moći sigurno utvrditi da li neki zadani niz ima limes.

Ako je niz monoton i ograničen onda on konvergira.

Neka je monoton ograničen niz (an) recimo rastući. Tada postoji supremum a. Po definiciji supremuma u svakoj njegovoj okolini nalazi se barem jedan član niza. Neka je an0takav član za koji vrijedi:

|an0−an|<ε .

Za neki naprijed zadani broj ε > 0. Iskoristimo pretpostavku.

1. Niz je rastući pa je an0< an za svaki n > n0.2. Niz je ograničen sa gornjim ograničenjem a pa je an < a za svaki n.

Prema tome za svaki n>n0 člčanovi niza nalaze se između an0 i a❑ pa vrijedi|an−a|<|an0−a|<ε

Što pokazuje da je a limes niza ( an) tj. da je niz konvergentan.