Обобщённые кванторы

Константин Соколов

Mathlingvo, СПбГУ

http://nlu-rg.ru

Санкт-Петербург, 2014

Тексты

• R. Montague. The Proper Treatment of Quantification inOrdinary English. 1971

• J. Barwise and R. Cooper. Generalized Quantifiers and NaturalLanguage. 1981

1

План

• История вопроса• Обобщённые кванторы по Мостовскому• Обобщённые кванторы в формальной семантике

2

История вопроса

3

История вопроса (1)

Г. Фреге, “Begriffsschrift”, 1879

• квантор всеобщности и квантор существования

• формализуют выражения естественного языка, такие какдля всех X, существует X, кто-то, что-то, все, любой и т.п.

• cоответствуют общим и частным предложениямаристотелевской силлогистики

• многие естественно-языковые конструкции нельзявыразить в логике первого порядка

• больше половины, бесконечно много, most

4

История вопроса (2)

Б. Рассел, А. Уайтхед, “Principia Mathematica”, 1910-1913

• оператор интенсиональной абстракции · с очевиднойтеоретико-множественной мотивацией

• если fx – символ неопределенного значения функции(т.е. f (x) ∈ Im(f )), то “f x” - это сама функция (т.е. f )

• выражение “(x).fx” имеет денотатом то же, что “f ”, т.е. тоже, что “f x”

• выражения “(x y).fxy ” и “f x y ” эквавалентны (ср. λx .λy .fxy)

• ср. с обозначением квантора всеобщности (x).fx и сη-конверсией в λ-исчислении (P = λx .Px)

5

История вопроса (3)

К. Айдукевич, “О синтаксической связности”, 1935

• “операторы” – это выражения, связывающие переменные

• ∀, ∃, Σ, Π,∫

• реализация идеи разделения связывания переменной иквантификации

• универсальный квантор заменяется универсальнымоператором U, параметризуемым выражением соператором абстракции: U((x).fx) = ∀x . fx

• отмечается существование многих универсальныхфункторов с различными категориями значения,зависящими от категории значений функтора, служащегодля них аргументом

6

История вопроса (4)

А. Чёрч, “A formulation of the simple theory of types”, 1940

• универсальный квантор: Πo(oα)[λxαAo ] ≡ ∀xαAo

• реализация идеи определения квантора с помощьюхарактеристической функции (типа α→ o).

7

Обобщённые кванторы по Мостовскому

8

Теория обобщённых кванторов

А. Мостовский, “On a Generalization of Quantifiers”, 1957

• построил исчисление предикатов с нестандартнымикванторами и показал его неполноту

• дал теоретико-модельное определение квантора

Tеория обобщённых кванторов – более двухсот работк началу 80-х годов

9

Определение (1)

• квантор задаёт подмножество множества присваиванийзначений переменных, отличающихся только значениемсвязанной этим квантором переменной

• напр., M |= ∀xψ(x , b1, . . . , bn)⇔ M |= ψ(a, b1, . . . , bn)для каждого a ∈ D, где D – домен интерпретации

• можно определить такое множество явным образом какψ(x , b1, . . . , bn)M,x = {a ∈ D | M |= ψ(a, b1, . . . , bn)}

10

Определение (2)

• обобщённый квантор Q – это отображение,сопоставляющее произвольному непустому множеству(связанных переменных) множество QD подмножествдомена интерпретации D такое, чтоM |= Qxφ(x , b1, . . . , bn)⇔ φ(x , b1, . . . , bn)M,x ∈ QD

• примеры кванторов:

• ∀, для которого ∀D = {D}

• ∃, для которого ∃D = {A ⊆ D | A 6= ∅}

• ∃≥5 со значением “существует не менее пяти”,для которого (∃≥5)D = {A ⊆ D | |A| ≥ 5}

11

Определение (3)

• можно определить кванторы, связывающие более однойпеременной в нескольких формулах (опр. опускаем)

• важные частные случаи:

• квантор типа 〈1〉 связывает переменную в одной формуле

• квантор типа 〈1, 1〉 связывает переменную в двух формулах

12

Обобщённые кванторы в формальной семантике

13

PTQ (1)

Р. Монтегю, “The Proper Treatment of Quantification in OrdinaryEnglish”, 1971

• анализ употребления слов some и every, именных группи имен собственных, в т.ч. в интенсиональных контекстах

• строится формализм второго порядка, но обобщённыекванторы в смысле Мостовского не используются

• именные группы, включая имена собственные,рассматриваются как кванторы

14

PTQ (2)

Как формализовать выражение Джон умен

• обычный подход: денотат слова Джон – индивид, признакизадают множества индивидов, т.е. Джон из числа умных

• подход PTQ: отдельные признаки – индивиды, имя –множество признаков или символ предиката,т.е. быть умным – один из признаков Джона

15

PTQ (3)

• универсальный квантор трактуется как пересечениеэксенсионалов, квантор существования – как объединениеэкстенсионалов (задаваемых характеристическойфункцией)

• every man: λP.∀x .[man(x)→ P(x)]

т.е. множество признаков, задаваемое характеристическойфункцией λx .man(x), есть подмножество множествапризнаков, задаваемого характеристической функциейλx .Px

16

Обобщённые кванторы в семантике (1)

J. Barwise and R. Cooper. Generalized Quantifiers and NaturalLanguage. 1981

• начало применения теории обобщённых кванторов кявлениям естественного языка

• необходимость расширения формальных средств попричине невыразимости многих выражений в логикепервого порядка

• потребность в улучшении соответствия синтаксисаформального языка синтаксису естественного языка

• анализ свойств обобщенных кванторов

17

Обобщённые кванторы в семантике (2)

• some или most – кванторы типа 〈1, 1〉

• именные группы вроде most students – кванторы типа 〈1〉

• образование именной группы посредством присоединениясуществительного к детерминативу соответствуеткаррированию квантора типа 〈1, 1〉

• такая трактовка именных групп отвечает принципукомпозициональности и синтаксической интуиции

• напр., Иван и трое студентов – квантор типа 〈1〉

18

Свойства кванторов (1)

• консервативность: для любого домена интерпретации D иA,B ⊆ D выполняется QD(A,B)⇔ QD(A,A ∩ B)

• большинство студентов курит =большинство студентов – курящие студенты

• симметричность: QD(A,B)⇔ QD(B,A)

• квантор некоторые симметричен, ср. некоторыеавтомобили – грузовики и некоторые грузовики –автомобили

• квантор большинство – нет, ср. большинство автомобилей– грузовики и большинство грузовиков – автомобили

19

Свойства кванторов (2)

• квантор Q типа 〈1, 1〉 называется возрастающим(убывающим) по правому аргументу (обозначается mon↑ иmon↓), если для любого домена интерпретации D иA,B,B ′ ⊆ D, B ⊆ B ′ (B ′ ⊆ B) выполняетсяQD(A,B)⇒ QD(A,B ′).

• возрастающий или убывающий квантор называетсямонотонным

20

Свойства кванторов (3)

• большинство несоставных именных групп в английскомязыке монотонны

• почти все детерминативы, т.е. кванторы типа 〈1, 1〉,монотонны по правому аргументу

• имена собственные возрастают• в выражениях с there is обычно употребляютсясимметричные кванторы, ср. there are at least five men inthe garden vs. ∗there are most men in the garden

21

Спасибо!