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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DOMEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
THIAGO DOURADO
Universidade Federal do ABC - UFABC
28 de marco de 2019
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
O Amigo dos Amigos
Paulo Ribenboim
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Por que primos e nao irmaos?
Teorema Fundamental da Aritmetica (Livro VII - Proposicao 32)Todo inteiro maior que 1 ou e um numero primo ou pode ser
escrito de forma unica como produto de primos. Isto e, se a > 1nao e um numero primo, existem unicos primos p1, . . . , pn tais
que
a =n∏
i=1pi.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Quantos primos existem?
Teorema de Euclides (Livro IX - Proposicao 20)Existem um infinidade de primos.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Prova de Euclides
DemonstracaoSuponha que p1, . . . , pn sejam todos os numeros primos, e seja
N =n∏
i=1pi + 1.
Assim, existe um k , 1 ≤ k ≤ n, tal que pk | N , e comopk |
∏ni=1 pi, temos
pk
∣
∣
∣
∣
∣
(
N −n∏
i=1pi
)
⇒ pk | 1.
Q.E.D.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Deserto de Primos
QuestaoPode haver espacos entre primos tao grande quanto se queira?
RespostaSIM. Com efeito, o deserto e dado por
(n + 1)! + 2, (n + 1) + 3, . . . , (n + 1)! + n + 1.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Deserto de Primos
QuestaoPode haver espacos entre primos tao grande quanto se queira?
RespostaSIM. Com efeito, o deserto e dado por
(n + 1)! + 2, (n + 1) + 3, . . . , (n + 1)! + n + 1.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros de Fermat
Conjectura de FermatFermat conjecturou que todo numero da forma
Fn = 22n + 1 (n ≥ 0)
e primo.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros de Fermat
Primeiros quatro numeros
F0 = 220 + 1 = 3,
F1 = 221 + 1 = 5,
F2 = 222 + 1 = 17,
F3 = 223 + 1 = 257,
F4 = 224 + 1 = 65537.
F5 nao e primo (Euler - 1732)F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros de Fermat
Primeiros quatro numeros
F0 = 220 + 1 = 3,
F1 = 221 + 1 = 5,
F2 = 222 + 1 = 17,
F3 = 223 + 1 = 257,
F4 = 224 + 1 = 65537.
F5 nao e primo (Euler - 1732)F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros de Fermat
Prova de EulerTem-se que
641 = 24 + 54 = 27 × 5 + 1,
de forma que:
27 · 5 ≡ −1 (mod641) ⇒ 228 · 54 ≡ 1 (mod641)⇒ −228 · 24 ≡ 1 (mod641)⇒ 232 ≡ −1 (mod641) .
Portanto641 | 225 + 1.
Q.E.D.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros de Fermat
Clausen (nao publicado 1855); Landry e Le Lasseur (1880)F6 = 264 + 1
= 18446744073709551617= 274177 × 67280421310721
Morrison e Brillhart (1970)
F7 = 2128 + 1= 340282366920938463463374607431768211457= 59649589127497217 × 5704689200685129054721
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Numeros de Fermat
Clausen (nao publicado 1855); Landry e Le Lasseur (1880)F6 = 264 + 1
= 18446744073709551617= 274177 × 67280421310721
Morrison e Brillhart (1970)
F7 = 2128 + 1= 340282366920938463463374607431768211457= 59649589127497217 × 5704689200685129054721
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Numeros de Fermat
Demonstracao de Goldbach da infinitude dos primos (1730)
mdc (Fn, Fm) = 1 ⇒ # {primos} = ∞.
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Conjectura de Goldbach
Conjectura (1742)Todo inteiro n > 5 e soma de tres numeros primos.
m
EulerTodo inteiro par 2n > 4 e a soma de dois numeros primos.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Conjectura de Goldbach
Conjectura Fraca (provada)Harald Andres Helfgott provou, em 2013, que todo inteiroIMPAR maior que 5 e a soma de tres numeros primos.
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Teorema de Dirichlet
Teorema [existencial]Sejam a e d inteiros ≥ 1 com mdc (a, d) = 1, entao aprogressao aritmetica
a + kd (k ∈ N)
contem infinitos numeros primos.
Outra prova do teorema de EuclidesSe a = 1 e d = 1 temos todos os ımpares ⇒ na infinitude dosnumeros primos.
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Teorema de Dirichlet
Teorema [existencial]Sejam a e d inteiros ≥ 1 com mdc (a, d) = 1, entao aprogressao aritmetica
a + kd (k ∈ N)
contem infinitos numeros primos.
Outra prova do teorema de EuclidesSe a = 1 e d = 1 temos todos os ımpares ⇒ na infinitude dosnumeros primos.
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Teorema de Dirichlet
Teorema de Green-TaoBen Green e Terence Tao provaram, em 2004, que a sequenciade numeros primos contem progressoes aritmeticasarbitrariamente longas, isto e, para cada numero natural k ,existe um progressao aritmetica formada por k numeros primos.
Exemplo (k = 3)
7, 13, 19
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Teorema de Dirichlet
Teorema de Green-TaoBen Green e Terence Tao provaram, em 2004, que a sequenciade numeros primos contem progressoes aritmeticasarbitrariamente longas, isto e, para cada numero natural k ,existe um progressao aritmetica formada por k numeros primos.
Exemplo (k = 3)
7, 13, 19
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema de Dirichlet
Maior exemplo do Teorema de Green-TaoEm 12 de abril de 2010, Benoat Perichon, encontrou umasequencia contendo 26 primos:
43142746595714191 + 23681770 · 223092870 · n,
n de 0 a 25.A constante 223092870 e o primonial de 23, isto e,
223092870 =∏
2≤p≤23p primo
p = 23#.
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Numeros Perfeitos
DefinicaoUm numero inteiro positivo e perfeito se e a soma de seusdivisores proprios.(Leva este nome porque todos os numeros perfeitos saotriangulares e hexagonais.)
Exemplos
6, 28, 496, 8128.
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Numeros Perfeitos
DefinicaoUm numero inteiro positivo e perfeito se e a soma de seusdivisores proprios.(Leva este nome porque todos os numeros perfeitos saotriangulares e hexagonais.)
Exemplos
6, 28, 496, 8128.
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Numeros Perfeitos
Teorema de Euclides (Livro IX - Proposicao 36)Se 2n − 1 e um numero primo, entao
2n−1 (2n − 1)
e um numero perfeito.
Teorema de Euler (1747)Todo numero perfeito par e da forma
2n−1 (2n − 1) .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros Perfeitos
Teorema de Euclides (Livro IX - Proposicao 36)Se 2n − 1 e um numero primo, entao
2n−1 (2n − 1)
e um numero perfeito.
Teorema de Euler (1747)Todo numero perfeito par e da forma
2n−1 (2n − 1) .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros Perfeitos
Numeros de MerseneSao os numeros da forma
2n − 1.
Maior primo conhecido (Patrick Laroche - Janeiro de 2019)
282589933 − 1,
com 24862048 dıgitos.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros Perfeitos
Numeros de MerseneSao os numeros da forma
2n − 1.
Maior primo conhecido (Patrick Laroche - Janeiro de 2019)
282589933 − 1,
com 24862048 dıgitos.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Numeros Perfeitos
Sucessao de LucasS0 = 4,
S1 = 42 − 2 = 14S2 = 142 − 2 = 194
...Sℓ = S2
ℓ−1 − 2
Teorema de Lucas (1878)2n − 1 e primo ⇔ 2n − 1 | Sn−2.
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Numeros Perfeitos
Sucessao de LucasS0 = 4,
S1 = 42 − 2 = 14S2 = 142 − 2 = 194
...Sℓ = S2
ℓ−1 − 2
Teorema de Lucas (1878)2n − 1 e primo ⇔ 2n − 1 | Sn−2.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Primos Gemeos
DefinicaoNumeros onde
p e p + 2sao ambos primos sao ditos primos gemeos.
ConjecturaExistem infinitos primos gemeos.
Maiores primos gemeos conhecidos (Chris Caldwell - Set/2018)
2996863034895 · 21290000 ± 1.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Primos Gemeos
DefinicaoNumeros onde
p e p + 2sao ambos primos sao ditos primos gemeos.
ConjecturaExistem infinitos primos gemeos.
Maiores primos gemeos conhecidos (Chris Caldwell - Set/2018)
2996863034895 · 21290000 ± 1.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Primos Gemeos
DefinicaoNumeros onde
p e p + 2sao ambos primos sao ditos primos gemeos.
ConjecturaExistem infinitos primos gemeos.
Maiores primos gemeos conhecidos (Chris Caldwell - Set/2018)
2996863034895 · 21290000 ± 1.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Primos Gemeos
Demonstracao de Euler da Infinitude dos Primos (1737)∑
p primo
1p
= ∞.
Teorema de Brun (1919)∑
p,p+2 primos
(1p
+ 1p + 2
)
= B ≈ 1, 902160583104.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Primos Gemeos
Demonstracao de Euler da Infinitude dos Primos (1737)∑
p primo
1p
= ∞.
Teorema de Brun (1919)∑
p,p+2 primos
(1p
+ 1p + 2
)
= B ≈ 1, 902160583104.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Primos Gemeos
Teorema de Goldston-Pintz-Yldirin (2005)
lim infn→∞
pn+1 − pn
log pn= 0.
Problema semelhante em aberto
limn→∞
(√pn+1 − √
pn
)
= 0.
Conjectura de Andrica (1986)
√pn+1 − √
pn < 1.
Verificada numericamente para 242 ≈ 4, 39 × 1012.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Primos Gemeos
Teorema de Goldston-Pintz-Yldirin (2005)
lim infn→∞
pn+1 − pn
log pn= 0.
Problema semelhante em aberto
limn→∞
(√pn+1 − √
pn
)
= 0.
Conjectura de Andrica (1986)
√pn+1 − √
pn < 1.
Verificada numericamente para 242 ≈ 4, 39 × 1012.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Primos Gemeos
Teorema de Goldston-Pintz-Yldirin (2005)
lim infn→∞
pn+1 − pn
log pn= 0.
Problema semelhante em aberto
limn→∞
(√pn+1 − √
pn
)
= 0.
Conjectura de Andrica (1986)
√pn+1 − √
pn < 1.
Verificada numericamente para 242 ≈ 4, 39 × 1012.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Funcao π (x)
π (x) = numero de primos ≤ x.
Teorema do Numero Primo
π (x) ∼ x
log x.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Funcao π (x)
π (x) = numero de primos ≤ x.
Teorema do Numero Primo
π (x) ∼ x
log x.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Grafico de π (x) e x/ log x [2, 10]
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Grafico de π (x) e x/ log x [2, 100]
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Grafico de π (x) e x/ log x [2, 1000]
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Grafico de π (x) e x/ log x [2, 1 × 1011]
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Valores numericos de π (x)/
xlog x
x = 1000 ⇒ π (x)
/
x
log x= 1, 160502886868999 . . .
x = 10000 ⇒ π (x)
/
x
log x= 1, 1319508317158729 . . .
x = 100000 ⇒ π (x)
/
x
log x= 1, 1043198105999443 . . .
x = 1000000 ⇒ π (x)
/
x
log x= 1, 0844899477790795 . . .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Postulado de Bertrand - 1845 (Tschebycheff - 1852)
Entre n e 2n sempre existe um numero primo.
Teorema de Rosser-Schoenfeld (1975)
π (2x) < 2π (x) .
Conjectura de Hardy-Littlewood (1923)
π (x + y) ≤ π (x) + π (y) .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Postulado de Bertrand - 1845 (Tschebycheff - 1852)
Entre n e 2n sempre existe um numero primo.
Teorema de Rosser-Schoenfeld (1975)
π (2x) < 2π (x) .
Conjectura de Hardy-Littlewood (1923)
π (x + y) ≤ π (x) + π (y) .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Postulado de Bertrand - 1845 (Tschebycheff - 1852)
Entre n e 2n sempre existe um numero primo.
Teorema de Rosser-Schoenfeld (1975)
π (2x) < 2π (x) .
Conjectura de Hardy-Littlewood (1923)
π (x + y) ≤ π (x) + π (y) .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
1896
Em 1896 Jacques Hadamard e Charles Jean de la ValleePoussin, independentemente, demonstraram o Teorema doNumero Primo.
Funcao Zeta de Riemann
ζ (s) =
∞∑
n=1
1
ns, s ∈ C.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
1896
Em 1896 Jacques Hadamard e Charles Jean de la ValleePoussin, independentemente, demonstraram o Teorema doNumero Primo.
Funcao Zeta de Riemann
ζ (s) =
∞∑
n=1
1
ns, s ∈ C.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Hipotese de Riemann (1859)
ζ (s) = 0 ⇔ Re s =1
2.
G.H. Hardy (1914)
Existem infinitos zeros na reta Re s = 12 .
Levinson (1974)
Ao menos um terco dos zeros da funcao zeta encontram-se nareta Re s = 1
2 .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Hipotese de Riemann (1859)
ζ (s) = 0 ⇔ Re s =1
2.
G.H. Hardy (1914)
Existem infinitos zeros na reta Re s = 12 .
Levinson (1974)
Ao menos um terco dos zeros da funcao zeta encontram-se nareta Re s = 1
2 .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Teorema do Numero Primo
Hipotese de Riemann (1859)
ζ (s) = 0 ⇔ Re s =1
2.
G.H. Hardy (1914)
Existem infinitos zeros na reta Re s = 12 .
Levinson (1974)
Ao menos um terco dos zeros da funcao zeta encontram-se nareta Re s = 1
2 .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Formula para Numeros Primos
Willians (1964)
pn = 1 +2n∑
m=1
n
√
n
1 + π (m).
Minac-Ribenboim (1988)
π (m) =m∑
j=2
⌊
(j − 1)! + 1
j−⌊
(j − 1)!
j
⌋⌋
.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Formula para Numeros Primos
Willians (1964)
pn = 1 +2n∑
m=1
n
√
n
1 + π (m).
Minac-Ribenboim (1988)
π (m) =m∑
j=2
⌊
(j − 1)! + 1
j−⌊
(j − 1)!
j
⌋⌋
.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Formula para Numeros Primos
Funcao de Mobius
µ (n) =
1 se n = 1,(−1)r se n e o produto de r primos distintos,
0 n tem um fator quadrado.
Forma equivalente da Hipotese de Riemann
limn→∞
∑nk=1 µ (k)
n = 0.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Formula para Numeros Primos
Funcao de Mobius
µ (n) =
1 se n = 1,(−1)r se n e o produto de r primos distintos,
0 n tem um fator quadrado.
Forma equivalente da Hipotese de Riemann
limn→∞
∑nk=1 µ (k)
n = 0.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Formula para Numeros Primos
Gandhi (1971)
pn =
1 − 1
log 2log
−1
2+
∑
d|p1p2···pn−1
µ (d)
2d − 1
.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Algumas Conjecturas em aberto
Conjectura de Artin (1927)
Se a e um inteiro, a 6= 0 que nao e quadrado, entao existe umainfinidade de numeros primos p tais que a e um raiz primitivamodulo p.(a e uma raiz primitiva modulo p se a gera o grupo (Z/nZ)×.)
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Algumas Conjecturas em aberto
Conjectura de Bateman-Selfridge-Wagstaff (1989)
Seja p um natural ımpar (nao necessariamente primo). Se duasdas condicoes abaixo e satisfeita, entao a terceira tambem serasatisfeita:
1 p e igual a 2k ± 1 ou a 4k ± 3 (para alguma k ≥ 1).
2 2p − 1 e primo.
32p+1
3 e um numero primo.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Algumas Conjecturas em aberto
Conjectura de Bouniakowsky (1857)
Seja f (X ) um polinomio irredutıvel, de coeficientes inteiros, decoeficiente lıder positivo e de grau, no mınimo, igual a dois.Supoe-se satisfeita a seguinte condicao:
(∗) Nao existem inteiros n > 1 que dividam todos os
valores f (k), para cada inteiro k .
Existe entao uma infinidade de numeros naturais m tais quef (m) e um numero primo.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Algumas Conjecturas em aberto
Conjectura de Opperman (1882)
π(
n2 + n)
> π(
n2)
> π(
n2 − n)
para n > 1.
Conjectura de Brocard (1904)
π(
p2n+1
)
− π(
p2n
)
≥ 4 para n ≥ 2.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Algumas Conjecturas em aberto
Conjectura de Opperman (1882)
π(
n2 + n)
> π(
n2)
> π(
n2 − n)
para n > 1.
Conjectura de Brocard (1904)
π(
p2n+1
)
− π(
p2n
)
≥ 4 para n ≥ 2.
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
Algumas Conjecturas em aberto
Conjectura de Polignac (1849)
Para todo numero natural par 2k , existe uma infinidade de paresde primos consecutivos pn e pn+1 tais que pn+1 − pn = 2k .
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NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS
O B R I G A D O ! ! ! ! !