números racionales -...

www.matesxronda.net Jos A. Jimnez Nieto

Matemticas 3o ESO Nmeros racionales 1

NMEROS RACIONALES 1. INTRODUCCIN: NMEROS ENTEROS Y OPERACIONES

Al principio, las cantidades slo se expresaban con palabras, se contaban cosas concretas. El smbolo para los nme-ros aparece mucho ms tarde con el nacimiento de la escritura. Los nmeros ms sencillos resultan de contar los indi-viduos que figuran en un grupo de personas, o los objetos que hay en una coleccin; a veces tambin, de expresar la cantidad o la dimensin de algo que hemos pesado o medido. Estos nmeros son los nmeros naturales que se repre-sentan por la letra N y son:

N = {0, 1, 2, 3, 4, }

Con ellos sumamos y multiplicamos sin dificultad. Siempre el resultado de estas operaciones es un nmero natural:

3 + 106 = 109 ; 8 32 = 256

Cuando slo se conocan estos nmeros, no haba manera de distinguir las ganancias de las prdidas, una temperatu-ra sobre 0 o bajo 0, etc. Adems, una operacin como esta resta, asustaba: 5 46 = ? Para subsanar estos problemas se inventaron los nmeros con signo, llamados nmeros enteros. stos se represen-tan con la letra Z y son:

Z = {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, }

Ya podemos sumar, multiplicar y restar siempre con la seguridad de que el resultado ser tambin un nmero entero:

4 + 12 = 8 ; 5 46 = 41 ; 5 (7) = 35

El ser humano no slo inventa los nmeros sino que los relaciona mediante las operaciones. Vamos a repasar las operaciones con nmeros enteros utilizando unos ejemplos.

Suma de dos enteros positivos: (+5) + (+6) = 5 + 6 = 11

Suma de dos enteros negativos: (3) + (7) = 10

Suma de dos enteros de distinto signo: (+9) + (5) = 4 ; (9) + (+5) = 4

Restar dos nmeros enteros es lo mismo que sumar al primero el opuesto del segundo. El opuesto de 5 es 5, 8 es el opuesto de 8. Ejemplo.- (6) (+5) = (6) + (5) = 11

(3) (2) = (3) + (+2) = 1

3 + 4 (7) = 3 + 4 + 7 = 3 + 11 = +8

Para multiplicar (o dividir) nmeros enteros has de tener en cuenta la regla de los signos.

+ + = + + = + = = +

Ejemplo.- (2) 3 = 6

4 : (2) = 2

(1) (3) = +3

3 (2) (5) = +30



Jerarqua de las operaciones

Cuando tenemos varias operaciones encadenadas es necesario primero suprimir los parntesis, luego rea-lizar los productos y cocientes, y despus las sumas y restas. Si hay unos parntesis dentro de otros se de-be ir de dentro hacia fuera.

Ejemplo.- 1 5 4 = 1 20 = 19

3 + 4 : 2 = 3 + 2 = 5

1 + 4 (3 + 2) = 1 + 4 5 = 1 + 20 = 21

5 4 (1 + 2) = 20 3 = 17

18 [(3 + 6 + 9) : (9 6)] = 18 [18 : 3] = 18 6 = 12

[(55 10) (3 6 9)] : (3) = [45 162] : (3) = (117) : (3) = 39

EJERCICIOS 1. Utiliza los nmeros enteros para expresar los siguientes apartados.

a) El crter de un volcn que se encuentra a 600 m bajo el mar. b) El stano segundo de un garaje. c) Un ingreso en la cuenta corriente de un banco de 4.000 euros.

2. Realiza las siguientes operaciones. a) 65 + 13 h) 7 + (4 5) (89) ) 13 (4 + 8) 3 54 b) 6 (23) i) 4 3 + 7 2 o) [21 : (7 3)] + 4 (5 1) c) 2 + (3) j) (3) (2) + 7 p) 7 7 [(2 3) : (3 2)] d) (12) (3) 5 k) 3 + 4 5 q) 3 2 [9 (5 4) (6)] e) 45 : (5) l) 8 : 4 1 r) 3 + 3 (5 (4)) f) 3 2 + 9 7 m) (1) 7 + (2 5) s) 11 5 6 11 g) 3 2 5 + 7 4 n) 4 : 2 (3 + 1)

2. FRACCIONES. NMEROS RACIONALES

Muchas veces es imposible expresar el resultado de una medida mediante un nmero entero, por lo que recurrimos a la divisin de la unidad de medida en partes iguales.

Por ejemplo, cuando partimos una tarta en 6 trozos iguales, cada unidad fraccionaria es .61

La unidad fraccionaria, n1

, es cada una de las partes que se obtienen al dividir la unidad en n partes

iguales.



Si la unidad fraccionaria es n1

y tomamos 2, 3, 4, , m unidades, el resultado se escribe as: nm

nnn...,,

4,

3,

2. Estas

expresiones numricas se llaman fracciones.

63

65

610

Una fraccin, nm

, es el cociente indicado de dos nmeros enteros, siendo el divisor distinto de cero. Se

interpreta as:

n indica el nmero de partes en que se ha dividido la unidad.

m indica el nmero de unidades fraccionarias elegidas.

El dividendo recibe el nombre de numerador, y el divisor, denominador.

Extensin del concepto de fraccin

La idea de fraccin se puede interpretar tambin como:

Funcin u operador. Por ejemplo, cuando decimos: los tres quintos de 100 euros, 6051003

100 de 53

=

= euros.

Proporcionalidad. Por ejemplo, cuando decimos: tres de cada cuatro, .43

Porcentaje. Por ejemplo, cuando decimos: el 20 % de 150 alumnos, alumnos. 03100

01520150 de

10020

=

=

EJERCICIOS

3. Halla los 32

de 12 y despus los 64

. Por qu se obtiene el mismo resultado?

4. En una caja, 2 de cada 5 bolas son azules. Hay 12 bolas azules en la caja. Cuntas bolas tiene la caja?

5. Interpreta las siguientes expresiones como multiplicaciones y calcula su valor.

a) Los 74

de 21 b) Los 53

de 70 c) Los 37

de 81 d) Los 32

de 65

2.1. Fracciones equivalentes. Fraccin irreducible

64

32

En la figura del margen los sectores coloreados son iguales. Estas fracciones de-terminan el mismo nmero: son fracciones iguales o equivalentes.

64

32

=

Observa que para dos fracciones equivalentes los productos cruzados son iguales:

436264

32

==



Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

cbdadc

ba

== (a y d son los extremos; b y c, los medios)

La siguiente regla permite obtener fracciones iguales o equivalentes a una dada.

Si se multiplican (o dividen) el numerador y el denominador de una fraccin por un mismo nmero distin-to de cero, se obtiene otra fraccin equivalente a la dada.

Simplificar una fraccin es encontrar otras fracciones equivalentes a la fraccin dada pero que tengan los trminos menores. La simplificacin termina cuando se llega a una fraccin cuyo numerador y denominador son nmeros primos entre s, y se llama fraccin irreducible. Para obtener la fraccin irreducible podemos proceder dos formas:

Dividiendo numerador y denominador por divisores comunes.

Dividiendo numerador y denominador por su mximo comn divisor.

Ejemplo.- Hallemos la fraccin irreducible de 9072

.

54

3:153:12

1512

3:453:36

4536

2:902:72

9072

======

Como m.c.d. (72, 90) = 2 32 = 18, entonces 54

18:9018:72

9072

==

Cuidado al simplificar fracciones!

Equivalentemente a lo anterior, tambin podemos simplificar si los trminos de la fraccin estn descompuestos en productos. Si los trminos estn descompuestos en sumandos no se puede simplificar.

S

32

3323

96

=//

=

NO

63

6333

96

=+/+/

=

Los nmeros determinados por fracciones se llaman nmeros racionales.

Un nmero racional queda determinado y simbolizado por una fraccin o cualquiera de sus equivalentes.

El conjunto de los nmeros racionales se representa por Q y est formado por cocientes indicados de n-meros enteros, en los cuales el denominador es distinto de cero.

= 0,,/ nnm

nm

ZQ

EJERCICIOS 6. Halla la fraccin irreducible de las siguientes fracciones.

a) 4540

b) 7260

c) 240200

d) 964.2

780

7. Simplifica descomponiendo en producto de factores.

a) 2745

b) 6024

c) 7264

d) 8464

++



2.2. Reduccin de fracciones a comn denominador. Comparacin de fracciones

Reducir varias fracciones a comn denominador es hallar otras fracciones, equivalentes a las primeras, que tengan el mismo denominador.

Para reducir fracciones a comn denominador seguiremos estos pasos:

1. Se toma como denominador comn de todas las fracciones el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

2. El nuevo numerador de cada fraccin se obtiene multiplicando el numerador antiguo por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fraccin.

Ejemplo. Para reducir las fracciones 65

y 43

a comn denominador, tomamos como denominador comn el

m.c.m. (6, 4) = 12 y se hallan las fracciones equivalentes a las dadas con denominador 12:

1210

2625

65

26:12 =

== 12

93433

43

34:12

=

=

=

Las fracciones 1210

y 12

9 son equivalentes a

65

y 43

respectivamente.

La reduccin a comn denominador permite comparar y ordenar las fracciones de menor a mayor, o al revs. Por

ejemplo, ordenemos las fracciones 32

y 74

.

Reducimos primeramente a comn denominador: m.c.m. (3, 7) = 21

2114

7372

32

73:21 =

== 2112

3734

74

37:21 =

==

Tenemos que 2112

2114

> y, por tanto, 74

32

> .

Dadas dos fracciones que tienen el mismo denominador, es menor () la que tiene menor o mayor numerador, respectivamente.

EJERCICIOS 8. Reduce a comn denominador y ordena las siguientes fracciones.

a) 85

y 73

b) 67

y 94

c) 21

, 43

y 65

d) 143

, 353

y 71

9. En el colegio, 1/3 de los alumnos estudian ingls y el 33 % francs. Cul es la lengua ms elegida?

10. Un coche recorre 50 km en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km en 27 minutos. Cul es ms rpido?

11. Un alumno dice: En una jornada de trabajo paso 1/3 del da durmiendo y los 3/8 en el colegio. Las horas de clase ocupan los 2/3 del tiempo que paso en el colegio. Qu fraccin del da ocupan las clases? Cuntas horas son?



3. OPERACIONES CON NMEROS RACIONALES

3.1. Suma y resta

La suma (o resta) de fracciones con el mismo denominador es otra fraccin cuyo numerador es la su-ma (o resta) de los numeradores y cuyo denominador es el de las fracciones dadas.

cba

cb

ca

=

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador se reducen previamente a comn denomi-nador y despus operamos segn se ha indicado anteriormente.

Ejemplo.- Calculemos 57

32

41

+

m.c.m. (4, 3, 5) = 60, con lo que 6059

60844015

6084

6040

6015

57

32

41

=+

=+=+

EJERCICIOS

12. Realiza las siguientes operaciones.

a) 152

61

54

+ b) 31

65

2 ++ c) 34

65

103

++

d) 15

792

125

++

e) 332

1 +

f)

+

25

27

51

43

3.2. Producto y divisin

El producto de dos o ms fracciones es otra fraccin que tiene por numerador el producto de los numera-dores y por denominador el producto de los denominadores.

dbca

dc

ba

=

Ejemplo.- 20

16:1206:6

amos)(simplific120

6564

2)3(152

63

41

=

==

=

=

Dividir un nmero por 2 equivale a multiplicar por el nmero inverso 1/2. Anlogamente, dividir un nmero por 2/3 equivale a multiplicar por el nmero inverso 3/2. Por tanto, para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

Ejemplo.- 821

2473

27

43

72

:43

=

==

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la inversa de la segunda, lo que es equivalente a multiplicar sus trminos en cruz. Por tanto, el cociente de dos fracciones es otra fraccin que tiene por numerador el producto de los extremos y por denominador el producto de los medios.

cbda

cd

ba

dc

ba

==: , con c 0



EJERCICIOS


a) 53

72

b) 96

75

32

c) 53

:72

d) 64

54

:72

e) )5(:

215

f)

+

25

:27

51

43

3.3. Propiedades y jerarqua de las operaciones

En el siguiente ejemplo aparecen operaciones sucesivas y la secuencia de su resolucin. En la prctica, algunos de estos pasos se hacen a la vez.

7 5 [(8 3) + (12 6)] + 5 + 42 : 8

Parntesis: 7 5 [5 + 6] + 5 + 42 : 8

Corchetes: 7 5 1 + 5 + 42 : 8

Potencias: 7 5 1 + 5 + 16 : 8

Productos: 35 1 + 5 + 16 : 8

Cocientes: 35 1 + 5 + 2

Sumas y restas: 34 + 5 + 2 = 41

1. En los clculos deben realizarse primero las operaciones que estn entre parntesis (corchetes, llaves). Los parnte-sis siempre van por parejas: uno abre la expresin y otro la cierra. Si hay parntesis anidados (unos dentro de otros) se opera desde las parejas interiores a las exteriores.

2. Cuando no hay parntesis, el orden o jerarqua de las operaciones es el siguiente: potenciacin y radicacin, multiplicacin y divisin, suma y resta.

3. A igualdad de jerarqua tiene preferencia la operacin que se encuentra ms a la izquierda.

4. Para operar correctamente hay que conocer y saber utilizar las propiedades de las operaciones. Las principales pro-piedades de la suma y del producto son:

Asociativa

Conmutativa

(a + b) + c = a + (b + c)

a + b = b + a

Asociativa

Conmutativa

(a b) c = a (b c)

a b = b a

Distributiva (factor comn) a (b + c) = a b + a c

Ejemplo.- 4 + [5 (3 + 8)] = 4 + (5 11) = 4 + (6) = 4 6 = 2

70151

7024175

3512

25

54

73

25

54

73

25

=

==

=



EJERCICIOS

14. Realiza las siguientes operaciones de dos formas distintas: directamente y sacando factor comn.

a) 65

32

51

32

+ b) 91

65

65

43

+ c) 11

356

41

113

15. Calcula las siguientes expresiones.

a)

+

21

:31

:351

41

21

31

43 b)

+

21

:31

:351

41

21

31

)43(

c)

++

+ 1

53

:43541

21

21

31

d)

+

+

+ 1

53

:43541

21

21

31

e)

+

+

53

21

310

21

43

95

:51

43

114

21

35

83

f)

+

+

+

+

61

32

34

:41

65

27

32

73

:43

31

34

54

32

:53

16. Una botella tiene 3/4 de litro de naranja, otra tiene 3/5 y una tercera tiene 5/6. Qu cantidad de naranja tienen entre las tres botellas? Cunta naranja tiene la primera ms que la segunda?

17. Entre la temperatura de un termmetro en la escala Celsius (C) y la temperatura en grados Fahrenheit (F) existe la

relacin siguiente: .3259

+= CF

a) Si la temperatura de un enfermo es 40 C, qu temperatura tendra en un termmetro Farenheit? b) El hierro funde a 1.535 C. Cul es su temperatura de fusin en grados Farenheit? c) Halla el valor de F para C = 20 y C = 50.

18. Una familia gasta 1/16 de su sueldo en el alquiler del piso, 1/64 en telfono y electricidad y 1/8 de su sueldo en transporte y en ropa. a) Qu fraccin del sueldo se gasta la familia en los conceptos anteriores? b) Qu fraccin del sueldo le queda para alimentacin y para el ahorro? c) Cmo se distribuyen sus gastos si sus ingresos mensuales son de 1.082 ? d) Qu dinero le queda para alimentacin y para el ahorro?

4. NMEROS RACIONALES Y NMEROS DECIMALES

4.1. Expresin decimal de los nmeros racionales

Como una fraccin es el cociente indicado de dos nmeros, podemos calcular estos cocientes sin ms que dividir numerador entre denominador.

Hallemos las expresiones decimales de las fracciones 6

11y

37

,47

:

7 4 7 3 11 6 30 175 10 2333 50 18333 20 10 20 0 10 20 20

con lo que dichas expresiones son las siguientes:

75'147

=

...3333'237

=

...83333'16

11=



Como vemos en los ejemplos anteriores, al dividir el numerador entre el denominador ocurrir uno de estos casos:

Que la divisin acabe porque es exacta, como ocurre con la primera fraccin. En este caso resulta una expre-sin decimal limitada, es decir, tiene un nmero limitado de cifras decimales. La expresin dada se dice que es un nmero decimal exacto.

Que la divisin no acabe porque no es exacta, como ocurre en la segunda y tercera fraccin. En estos casos resulta una expresin decimal ilimitada, es decir, el nmero de cifras decimales no acaba nunca, es ilimitado. En el segundo caso, diremos que se trata de un nmero decimal peridico puro y, en el tercer caso, de un nmero decimal peridico mixto. Se expresan as:

3'2...3333'2 = y 38'1...83333'1 =

En la expresin decimal del nmero racional 71856128718567187187112 '...' = se distinguen tres partes:

Parte entera Parte no peridica o anteperiodo Parte peridica o periodo 12 56 718

Lo expuesto anteriormente nos permita afirmar que:

Todo nmero racional se puede escribir como un nmero decimal exacto o peridico.

EJERCICIOS

19. Expresa en forma decimal las siguientes fracciones e indica, en cada caso, el tipo de decimal que resulta.

a) 43

b) 34

c) 53

d) 65

e) 157

f) 75

20. Escribe 12 decimales de los siguientes nmeros decimales peridicos. a) 246'3 b) 6'4 c) 2843'2 d) 4782'3

21. Expresa las siguientes fracciones en decimales. Observa en cada caso qu factores aparecen en los denominadores. Puedes sacar alguna consecuencia?

a) 2513

,2023

,57

,43

b) 21

132 ,

923

,73

,32

c) 223

,145

,1517

,67

4.2. Expresin fraccionaria de los nmeros decimales

Todo nmero decimal exacto o peridico se puede escribir como una fraccin, llamada fraccin genera-triz del nmero decimal.

En los siguientes ejemplos se indica el proceso para hallar la fraccin.

Decimal exacto: fraccin generatriz de x = 3631

Se multiplica por 1.000: 1.000x = 3.631, de donde hallamos despejando el valor de000.1631.3

=x

Decimal peridico puro: fraccin generatriz de ...757575'375'3 ==x

Se multiplica por 100: Se deja como est:

100x = 3757575 x = 37575

Se resta: 99x = 375 3

Por ltimo, despejamos el valor de x: 33

12499372

993375

==

=x



Decimal peridico mixto: fraccin generatriz de ...4787878'2784'2 ==x

Se multiplica por 1.000: Se multiplica por 10:

1.000x = 2.4787878 10x = 247878

Se resta: 990x = 2.478 24

Hallamos el valor de x: 165409

495227.1

990454.2

99024478.2

===

=x

Los dos primeros pasos se pueden expresar as:

Primer paso: se multiplica por 10, 100, 1.000, segn convenga para correr la coma hasta el comienzo del segundo bloque peridico.

Segundo paso: se multiplica por 10, 100, 1.000, segn convenga para correr la coma hasta el comienzo del primer bloque peridico.

De estos ejemplos se obtiene una frmula para escribir la fraccin generatriz de un nmero decimal x:

0909 EAEAP

x

=

E son las cifras de la parte entera A son las cifras del anteperiodo P son las cifras del periodo 99 son tantos nueves como cifras tiene el periodo 00 son tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo

Lo estudiado en este apartado nos proporciona la equivalencia entre los nmeros racionales y los nmeros decimales exactos y peridicos.

Q = {N decimales exactos} {N peridicos puros} {N peridicos mixtos} Ejemplo.- Hallemos la fraccin generatriz de los siguientes nmeros decimales.

4

11100275

75'2 == . Con la frmula: 4

11900475.2

900275750.2

075'275000'275'2 ==

===

322

966

9773

3'7333'7 ==

==

75

559900708.6

900745453.7

345'745333'7 ==

==

EJERCICIOS

22. Halla la fraccin generatriz de los siguientes nmeros decimales. a) 6'0 b) 8'0 c) 31'0 d) 32'1 e) 27'1 f) 183'1

23. Aplica la regla que corresponda para pasar a fraccin los siguientes decimales. a) 9'0 b) 9'5 c) 90'0 d) 95'12 Se puede obtener un decimal peridico en el que la parte peridica sea la cifra 9, mediante divisin?

24. Calcula las siguientes operaciones.

a) 5000 + 6999 b) ...4999'031

+ c) 0999 + 244999

d) 0555 + 0333 e) 2'02'03'12'3

++

f) 20'0

3'0215'0

32 +



5. APROXIMACIONES: REDONDEO

En determinados contextos es ms razonable trabajar con aproximaciones que con valores exactos. Lee los siguien-tes ejemplos.

El descubrimiento del nmero cero ocurri hacia el ao 400.

Por el siglo X, Crdoba tena una poblacin de 500.000 habitantes.

En el ao 2025 slo el 41 % de la poblacin vivir en zonas rurales.

En todos ellos se da una aproximacin de una cantidad desconocida. Llamamos estimaciones a este tipo de aproxi-maciones.

Fjate ahora en estos ejemplos:

Si un medio de comunicacin desea informar que los ingresos derivados del turismo ascienden a 235.467.342 , lo dara del siguiente modo: Los ingresos procedentes del turismo han alcanzado los 235 millones de euros.

Si del nmero13/6 = 21666 eliminamos todas las cifras decimales a partir de la segunda, obtenemos el nme-

ro 216. Este nmero no es exactamente 13/6, pero es un nmero cuyo valor es ligeramente inferior al valor de 13/6. An sabiendo que cometemos un pequeo error, se puede utilizar como su sustituto en determinados cl-culos.

Podemos decir que 216 es una aproximacin por defecto de 13/6, apreciando hasta las centsimas (dos cifras decimales exactas).

Si sustituimos 13/6 por 217 hemos hecho una aproximacin por exceso de 13/6 con una cifra decimal exacta.

El grado de aproximacin depende del objetivo que se persiga. Por ejemplo, si dos ciudades distan 101 km, decir que la distancia es 100 km, 1 km de error sera aceptable; en cambio, en los talleres de precisin, los trabajos de ajuste y pulido requieren medidas con un margen de error menor de 001 mm o de 0001 mm.

Un mtodo para aproximar un nmero es el redondeo. Para ello, hay que tener en cuenta el valor de la primera cifra que se quiere suprimir:

Si es cinco o mayor que cinco, aadimos 1 a la ltima cifra.

Si es menor que cinco, suprimimos sin ms la ltima cifra.

Ejemplo.- Redondeamos 325 a una cifra decimal (dcimas) y obtenemos 33.

Redondeamos 04444 a dos cifras decimales (centsimas) y obtenemos 044.

Redondeamos 17777 a dos cifras decimales (centsimas) y obtenemos 178.

EJERCICIOS

25. Cul es la aproximacin que se hace, en cada caso, tomando para 3/7 los siguientes nmeros? a) 04 b) 042 c) 0429 d) 042856

26. Calcula las expresiones decimales de las siguientes fracciones y redondea, despus, la cifra de las milsimas. a) 3/7 b) 4/3 c) 17/3 d) 2/7

27. Un segmento mide 34 metros con un error menor que una dcima. Qu significa?

28. Redondea los siguientes nmeros. a) 4500768 hasta las centsimas. b) 0987125 hasta las milsimas. c) 56 hasta las unidades.

29. Da algunas aproximaciones por exceso y por defecto de la longitud de una circunferencia de radio 2 cm.



Soluciones a los ejercicios propuestos 1. Utiliza los nmeros enteros para expresar los siguientes apartados.

a) El crter de un volcn que se encuentra a 600 m bajo el mar. 600 b) El stano segundo de un garaje. 2 c) Un ingreso en la cuenta corriente de un banco de 4.000 euros. 4.000

2. Realiza las siguientes operaciones. a) 65 + 13 = 52 h) 7 + (4 5) (89) = 95 ) 13 (4 + 8) 3 54 = 161 b) 6 (23) = 29 i) 4 3 + 7 2 = 6 o) [21 : (7 3)] + 4 (5 1) = 17 c) 2 + (3) = 5 j) (3) (2) + 7 = 13 p) 7 7 [(2 3) : (3 2)] = 1 d) (12) (3) 5 = 180 k) 3 + 4 5 = 23 q) 3 2 [9 (5 4) (6)] = 3 e) 45 : (5) = 9 l) 8 : 4 1 = 3 r) 3 + 3 (5 (4)) = 24 f) 3 2 + 9 7 = 3 m) (1) 7 + (2 5) = 10 s) 11 5 6 11 = 11 g) 3 2 5 + 7 4 = 21 n) 4 : 2 (3 + 1) = 2

3. Halla los 32

de 12 y despus los 64

. Por qu se obtiene el mismo resultado?

El resultado en ambos casos es 8 pues ambas fracciones son equivalentes.

4. En una caja, 2 de cada 5 bolas son azules. Hay 12 bolas azules en la caja. Cuntas bolas tiene la caja? 30 bolas.

5. Interpreta las siguientes expresiones como multiplicaciones y calcula su valor.

a) Los 74

de 21 = 12 b) Los 53

de 70 = 42 c) Los 37

de 81 = 189 d) Los 32

de 65

= 5/9

6. Halla la fraccin irreducible de las siguientes fracciones.

a) 4540

98

= b) 7260

65

= c) 240200

65

= d) 964.2

780195

=

7. Simplifica descomponiendo en producto de factores.

a) 2745

35

= b) 6024

52

= c) 7264

98

= d) 8464

++

65

=

8. Reduce a comn denominador y ordena las siguientes fracciones.

a) 85

y 73

b) 67

y 94

c) 21

, 43

y 65

d) 143

, 353

y 71

a) 73

85

5624

73

y 5635

85

>== c) 21

43

65

1210

65

y 129

43

,126

21

>>===

b) 94

67

188

94

y 1821

67

>== d) 353

71

143

7010

71

y 706

353

,7015

143

>>===

9. En el colegio, 1/3 de los alumnos estudian ingls y el 33 % francs. Cul es la lengua ms elegida? Ingls.

10. Un coche recorre 50 km en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km en 27 minutos. Cul es ms rpido? Segundo.

11. Un alumno dice: En una jornada de trabajo paso 1/3 del da durmiendo y los 3/8 en el colegio. Las horas de clase ocupan los 2/3 del tiempo que paso en el colegio. Qu fraccin del da ocupan las clases? Cuntas horas son? Las clases ocupan 1/4 del da, por tanto, 6 horas.


a) 152

61

54

+65

= b) 31

65

2 ++6

19= c)

34

65

103

++

1528

=

d) 15

792

125

++

180119

= e) 332

1 +

3

14= f)

+

25

27

51

43

2031

=




a) 53

72

356

= b) 96

75

32

6320

= c) 53

:72

2110

=

d) 64

54

:72

215

= e) )5(:2

15

23

= f)

+

25

:27

51

43

45

=

14. Realiza las siguientes operaciones de dos formas distintas: directamente y sacando factor comn.

a) 65

32

51

32

+4531

= b) 91

65

65

43

+216155

= c) 11

356

41

113

22057

=

15. Calcula las siguientes expresiones.

a)

+

21

:31

:351

41

21

31

4330487

= b)

+

21

:31

:351

41

21

31

)43(120

159.2=

c)

++

+ 1

53

:43541

21

21

31

24427

= d)

+

+

+ 1

53

:43541

21

21

31

2449

=

e)

+

+

53

21

310

21

43

95

:51

43

114

21

35

83

340171

=

f)

+

+

+

+

61

32

34

:41

65

27

32

73

:43

31

34

54

32

:53

120779

=

16. Una botella tiene 3/4 de litro de naranja, otra tiene 3/5 y una tercera tiene 5/6. Qu cantidad de naranja tienen entre las tres botellas? Cunta naranja tiene la primera ms que la segunda? Entre las tres botellas tienen 131/60 litros. La primera tiene 3/20 litros ms que la segunda.

17. Entre la temperatura de un termmetro en la escala Celsius (C) y la temperatura en grados Fahrenheit (F) existe la

relacin siguiente: .3259

+= CF

a) Si la temperatura de un enfermo es 40 C, qu temperatura tendra en un termmetro Farenheit? 104 F. b) El hierro funde a 1.535 C. Cul es su temperatura de fusin en grados Farenheit? 2.795 F. c) Halla el valor de F para C = 20 y C = 50. 68 F y 122 F, respectivamente.

18. Una familia gasta 1/16 de su sueldo en el alquiler del piso, 1/64 en telfono y electricidad y 1/8 de su sueldo en transporte y en ropa. a) Qu fraccin del sueldo se gasta la familia en los conceptos anteriores? b) Qu fraccin del sueldo le queda para alimentacin y para el ahorro? c) Cmo se distribuyen sus gastos si sus ingresos mensuales son de 1.082 ? d) Qu dinero le queda para alimentacin y para el ahorro? a) Gasta 13/64 del sueldo. b) Para alimentacin y ahorro le queda 51/64 del sueldo. c) Gasta 6763 en el alquiler del piso, 1691 en telfono y electricidad y 13525 en transporte y ropa. d) Para alimentacin y ahorro le queda 86221 euros.

19. Expresa en forma decimal las siguientes fracciones e indica, en cada caso, el tipo de decimal que resulta.

a) 43

b) 34

c) 53

d) 65

e) 157

f) 75

a) 75'0 exacto b) 3'13333'1 = peridico puro

c) 6'0 exacto d) 38'08333'0 = peridico mixto

e) 64'04666'0 = peridico mixto f) 714285'0857142857142'0 = peridico puro

20. Escribe 12 decimales de los siguientes nmeros decimales peridicos. a) 246'3 b) 6'4 c) 2843'2 d) 4782'3 a) 3246246246246 b) 4666666666666 c) 2432828282828 d) 3247847847847



21. Expresa las siguientes fracciones en decimales. Observa en cada caso qu factores aparecen en los denominadores. Puedes sacar alguna consecuencia?

a) 2513

,2023

,57

,43

b) 21

132 ,

923

,73

,32

c) 223

,145

,1517

,67

a) 52'02513

1'15,2023

1'4,57

0'75,43

====

b) 285714'6744

21132

,52'923

,4285710'73

,60'32

=====

c) 361'0223

,5714280'3145

,31'11517

,61'167

====

Observa que tenemos decimales exactos en a), peridicos puros en b) y peridicos mixtos en c).

Como consecuencias, se puede deducir que una fraccin irreducible ba

tiene una expresin decimal:

exacta si los nicos factores primos que tiene el denominador son 2 5; peridica pura si entre los factores primos del denominador no se encuentra ni el 2 ni el 5; peridica mixta si entre los factores primos del denominador se encuentra el 2 el 5 y algn otro.

22. Halla la fraccin generatriz de los siguientes nmeros decimales.

a) 6'053

= b) 8'098

= c) 31'0152

= d) 32'199

131= e) 27'1

100127

= f) 183'12229

=

23. Aplica la regla que corresponda para pasar a fraccin los siguientes decimales. a) 9'0 b) 9'5 c) 90'0 d) 95'12 Se puede obtener un decimal peridico en el que la parte peridica sea la cifra 9, mediante divisin? a) 9'0 1= (observa que tenemos un nmero entero) b) 9'5 6= (observa que tenemos un nmero entero)

c) 90'0101

= (observa que tenemos un decimal exacto, 1/10 = 01)

d) 95'125

63= (observa que tenemos un decimal exacto, 63/5 = 126)

Por tanto, mediante divisin NO se puede obtener nunca un decimal peridico (puro o mixto) en el que la parte peridica sea la cifra 9.

24. Calcula las siguientes operaciones.

a) 5000 + 6999 12= b) ...4999'031

+ 38'065

==

c) 0999 + 244999 45'32069

== d) 0555 + 0333 8'098

==

e) 2'02'03'12'3

++

105263157894736842'1019205

== f) 20'0

3'0215'0

32 +

45=

25. Cul es la aproximacin que se hace, en cada caso, tomando para 3/7 los siguientes nmeros? a) 04 b) 042 c) 0429 d) 042856

Obtenemos primeramente la expresin decimal, 428571'073

=

a) Aproximacin por defecto hasta las dcimas (una cifra decimal exacta). b) Aproximacin por defecto hasta las centsimas (dos cifras decimales exactas). c) Aproximacin por exceso hasta las milsimas (dos cifras decimales exactas). d) Aproximacin por defecto hasta las diezmilsimas (cuatro cifras decimales exactas).

26. Calcula las expresiones decimales de las siguientes fracciones y redondea, despus, la cifra de las milsimas.

a) 3/7 428571'0= redondeo 0426 b) 4/3 3333'13'1 == redondeo 1333

c) 17/3 6666'56'5 == redondeo 5667 d) 2/7 285714'0= redondeo 0286



27. Un segmento mide 34 metros con un error menor que una dcima. Qu significa? Que el verdadero valor del segmento oscila entre 33 y 35 metros.

28. Redondea los siguientes nmeros. a) 4500768 hasta las centsimas. 4501 b) 0987125 hasta las milsimas. 0987 c) 56 hasta las unidades. 6

29. Da algunas aproximaciones por exceso y por defecto de la longitud de una circunferencia de radio 2 cm. L = 2 r = 2 31416 2 = 125664 cm.

Unidades Dcimas Centsimas Milsimas Aproximaciones por defecto 12 125 1256 12566 Aproximaciones por exceso 13 126 1257 12567

números racionales -...

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