no slide title - kolegjiglobus.com iii/03... · statistik biznesore, 2009 mr.sc. sahit surdulli 13...

Statistik Biznesore, 2009

Mr.sc. Sahit SURDULLI 1

1-1

Mesataret algjebrike

QëllimetNë fund të orës së mësimit , ju duhet të jeni në gjendje që të :

Një

Llogaritni mesataren aritmetike të thjeshtë dhe të

ponderuar, mesataren harmonike dhe mesataren

gjeometrike.

Dy

Spjegoni karakteristikat, përdorimin , përparësitë dhe

të metat e çdo njërës mesatare.



Mesatatarja aritmetike - e thjeshtë

Mesatara aritmetike e thjeshtë është shuma e të gjitha vlerave e ndarë për

numrin e vlerave.

Ajo llogaritet për seritë e thjeshta statistikore kur numri i dendurive është i

njejtë ose është i barabartë me 1 dhe llogaritet me formulën vijuese:

/ X X n

3-2

1 2 3 ... nX X X XX

n



Mesatatarja aritmetike - e thjeshtë

prezanton simbolin për mesataren

aritmetike

N është numri total i vrojtimeve-

elementeve

X prezanton vlerat individuale.

prezanton shumën e përgjithshme të

vlerave.

X



Shembull 1

Nga vlerat vijuese: 3, 8, and 4 llogaritni:

a) mesataren aritmetike të thjeshtë dhe

b) vërtetoni vetinë se:

1

( ) 0

n

i

i

X X

3-3



Shembull 1, vazhdim

a)

b)

1 2 3 ... nX X X XX

n

1

( ) 3 5 8 5 4 5 2 3 1 0n

i

i

X X

3 8 4 155

3 3X



Mesatarja aritmetike e ponderuar

Llogaritet me formulën:

1 1 2 2 ) 1 2 )

1

1 1 1 2 2 3 3

1 2 3

1

( ... /( ...

....

....

n n n

n

i

i n n

n

ni

i

X f X f X f X f f f

f Xf x f x f x f x

Xf f f f

f



Shembull 2.

Një spital punëson 200 infermiere. Prej tyre

50 janë ndihmëse të motrave, 50 të tjera

janë në punë praktike dhe 100 të tjera janë

motra të përhershme. Të parat marrin 8$ në

ditë, të dytat 10$ kurse të tretat 14$ në ditë .

a) Sa është paga mesatare ditore?

b) Vërtetoni vetinë se:

1

( ) 0n

i

i

f X X



Shembull 2- vazhdim

Tab.nr.1. Pagat e infermiereve

Pagat ($)

(X)

Nr. i

infermiereve

(f)

(X)x(f) (X-11,5)

8 50 400 -3.5 -175

10 50 500 -1.5 -75

14 100 1400 2.5 250

Σ 200 2300 0

X X f X X

1

1

230011,5$

200

n

i i

i

n

i

i

X f

X

f



Shembull 2- vazhdim

1

1

230011,5$

200

n

i i

i

n

i

i

X f

X

f

11,5$X



Shembull 3

Distribucioni i mëposhtëm prezanton numrin e

ditëve të munguara për shkak të sëmundjes së

punëtorëve të një firme.

Brenda vitit, mesatarisht sa ditë kanë munguar

punëtorët e kësaj firme?Tab.nr.2. Ditët e munguara nga puna

Numri i ditëve të

munguara0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 Σ

Nr. i të punësuarëve 5 12 23 8 2 50



Shembull 3-vazhdim Tab.nr.2-vazhdim

Numri i ditëve të

munguara

(Grupet)

Nr. i të

punësuarëve

(f)

Mesi i intervalit

(X)

(X) x (f)

0-3 5 1,5 7.5

3-6 12 4,5 54

6-9 23 7,5 172,5

9-12 8 10,5 84

12-15 2 13,5 27

Σ 50 345



Shembull 3-vazhdim

1

1

3456,9 7

50

7

n

i i

i

n

i

i

X f

X

f

X



Vetitë e mesatares aritmetike

Çdo grumbull i të dhënave numerike ka mesatare.

Të gjitha vlerat përfshihen në llogaritjen e

mesatares aritmetike.

Një grumbull i të dhënave ka vetëm një mesatare.

Zakonisht mesataja është e ndikuar nga vlera

maksimale dhe minimale.

Mesatarja aritmetike është e vetmja mesatare në

të cilën shuma e devijimeve nga çdo vlerë është

gjithmonë e barabartë me zero:

1

( ) 0n

i

i

f X X



Mesatarja harmonike e thjeshtë

Shembull 4. Gjeni mesataren harmonike për numrat :

2, 4, 6, 5.

1 1 2 3

1 1 1 11.....

n

i n

n nH

x x x xx

4 4 43,58 3,6

1 1 1 1 0,5 0,25 0,166 0,2 1,116

2 4 6 5

3,6

H

H



Mesatarja harmonike e ponderuar

Shembull 5. Një çiklist 5 km e para i kalon me shpejtësi

10km/h; 3 km të tjera me shpejtësi 8km/h kurse 2 km e fundit me

shpejtësi 5km/h. Gjej shpejtësinë mesatare përgjatë krejt rrugës

dhe vërteto rezultatin.

1 2 3

1

31 2

1

....

...

ni

n

i

i i i i i

nni

i

ff f f f

Hf ff ff

x x x xx



Shembull 5.-vazhdim

5km ………….10km/h

3km……………8km/h

2km……………5km/h

Shpejtësia,

km/h (x)

Distanca

në km

(f)

Koha e

udhëtimit

(në minuta)

10 5km 30 (5/10) x60

8 3km 22,5 (3/8)x60

5 2km 24 (2/5)x60

Σ 10km 76,5 minuta



Shembull 5.-vazhdim

10 10 107,84

5 3 2 0,5 0,375 0,4 1.275

10 8 5

7,84min

H

H uta



Mesatarja e thjeshtë gjeometrike

Mesatarja gjeometrike (GM) e një grumbulli n të dhënave është rrënja n e prodhimit të n numrave.

Formula për mesataren e thjeshtë është:

Mesatarja gjeometrike përdoret për gjetjen e përqindjeve mesatare, indekseve mesatare dhe numrave të tjerë.

Shembull 6. Gjeni mesataren gjeometrike për numrat: 2, 4, 6, 5

3-4

GM X X X Xnn ( )( )( )...( )1 2 3



Shembull 6.-Vazhdim

1 2 3)( )( )....(nnG X X X X

4 42 4 6 5 240G x x x

4 240 / logG

1 1

log log240 2,38 0,544 4

G x

log 0,54 / log

3,89

G anti

G



Meatarja gjeometrike e ponderuar

Llogaritet sipas formulës:

31 2)( )( )....( / lognff f f fG X X X X

1 1 2 2 3 3

1log log log log .... logn nG f x f x f x f x

f



Meatarja gjeometrike e ponderuar

Shembull 7. Për të dhënat në vijim llogaritni mesataren

gjeometrike: x 2 4 5 3 Σ

f 5 2 6 4 17

31 2)( )( )....( nff f f fG X X X X

5 2 6 417 2 )(4 )(5 )(3 / logG

1

log 5log2 2log4 6log5 4log317

G



Shembull 7-vazhdim

1

log 5log2 2log4 6log5 4log317

G

1

log 5 0,30 2 0,60 6 0,699 4 0,4817

G x x x x

1

log 1,5 1,2 4,194 1.9217

G

1

log 8,81417

G

8,814

log 0,5185 / log17

G anti 3,2996 3,3G

3,3G



Mesatarja geometrike – Norma mesatare e zhvillimit

Shembull 8. Firma “Dardania” gjatë periudhës 2001-2005 ka

realizuar prodhimtari si në tabelën vijuese (prodhimi i shprehur në

tonelata)

Vitet Prodhimi/ton

2001 500

2002 700

2003 600

2004 500

2005 800

Sa është norma mesatare e shtimit për një vit?



Shembull 8-vazhdim

Së pari gjemë koeficientët zingjir k1, k2….

1

7001,4

500k

2

6000,85......

700k

Vitet Prodhimi/ton Koeficientët

zingjir (k)

2001 500 -

2002 700 1,4

2003 600 0,85

2004 500 0,833

2005 800 1,6

1 2 3)( )( )....(nnG k k k k

4 1,4)(0,85)(0,8333)(1,6G



Shembull 8-vazhdim

4 1,6 / logG

1

log log1,64

G

0,20412

log 0,051034

G

log 0,05103/ logG anti

1,125 100 112,5G x

112,5 100 12,5%Nmzh

12,5%Nmzh

4 1,4)(0,85)(0,8333)(1,6G



Shembull 8-vazhdim

Normën mesatare të shtimit mund ta gjejmë edhe përmes formulës

vijuese:

1

1

5 1

4

800

500

1,6 / log

nn

NNzh

N

Nzh

Nzh

4 1,6 / log

0,204120,05103 / log

4

1,125 100 112,5

112,5 100 12,5

12,5

Nzh

logNzh anti

Nzh x

Nzh

Nzh



Mesatarja gjeometrike – Norma mesatare e zhvillimit

Shembull 9. Në vitin 1950 në Organizatën e Kombeve të Bashkuara kanë qenë të antarësuara 50 shtete. Në vitin 1996 ky numër është rritur në 185 shtete. Sa është norma mesatare vjetore e rritjes së antarësimit për këtë periudhë.

Shembull 10. Më poshtë janë të listuara përqindjet e rritjes së shitjeve të një korporate për 5 vitet e fundit:

9,4%; 13,8%; 11,7%; 11,9%; 14,7%

Përcaktoni normën mesatare të rritjes së shitjeve për një vit

no slide title - kolegjiglobus.com iii/03... · statistik biznesore, 2009 mr.sc. sahit surdulli 13...

Documents