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7/25/2019 Noes de Clculo Diferencial_Livro Completo_Joo Carlos Vieira Sampaio_Guillermo Antonio Lobos Villagra

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Noes de Clculo Diferencial e Integral

para Tecnlogos

Joo Carlos Vieira Sampaio

Guillermo Antonio Lobos Villagra

9 de dezembro de 2011


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Sumrio

APRESENTAO 9

1 Funes e suas derivadas 11

1.1 Velocidade mdia e velocidade instantnea . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Uma breve reviso sobre intervalos da reta e funes . . . . . . . 161.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 A derivada de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Primeiras regras para calcular derivadas . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7 Outras regras para calcular derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Retas tangentes, derivao em cadeia, e

derivadas de funes implcitas 23

2.1 A derivada mede inclinaes de retas tangentes ao grfico . . . . 25

2.2 Derivao em cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Derivadas de funes dadas implicitamente . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Limites (clculo e significado) 33

3.1 Introduo intuitiva ao clculo de limite . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Limites infinitos; limites quandox . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Algumas interpretaes geomtricas de limites . . . . . . . . . . . 41

3.5 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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3.6 Continuidade, diferenciabilidade, e grficos . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Desenhando grficos de funes, por meio

de limites e derivadas 49

4.1 Crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Concavidades do grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5 Esboando grficos: um aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Funes exponenciais e logartmicas, onmero e 67

5.1 Pequena reviso de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 A funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Logaritmos e funes logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 O nmeroe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6 Derivando funes exponenciais e logartmicas . . . . . . . . . . . 745.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Funes trigonomtricas, regras de LHopital 77

6.1 Pequena reviso de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.1 Trigonometria geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.2 Trigonometria analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2 Derivando funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 Funes trigonomtricas inversas e suas derivadas . . . . . . . . . 84

6.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5 Limites indeterminados e as regras de LHopital . . . . . . . . . . . 88

6.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Integrais indefinidas 93

7.1 Antiderivadas ou integrais indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 95


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7.2 Integrais indefinidas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.3 Manipulaes elementares de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.4 Exemplos elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5 Integrao por mudana de varivel ou

integrao por substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.5.1 Uma tabela mais completa de integrais imediatas . . . . . . 99

7.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.7 O mtodo de integrao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.8 Uma estratgia para integrar por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 Integrais definidas e aplicaes 105

8.1 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.2 O teorema fundamental do clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.4 Aplicaes selecionadas da integral definida . . . . . . . . . . . . . 112

8.4.1 rea de uma regio plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4.2 Mdia ou valor mdio de uma funo . . . . . . . . . . . . . 114

8.4.3 Volume de um slido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.4.3.1 Volume de um slido de revoluo . . . . . . . . . 117

8.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

SOBRE OS AUTORES 123


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APRESENTAO

O clculo diferencial e integral assunto imprescindvel na formao ma-

temtica de estudantes universitrios de todas as cincias tecnolgicas.

Basicamente, o clculo diferencial e integral se ocupa de problemas en-

volvendo funes ou grandezas contnuas, modelando tambm fenmenos queenvolvem dinmicas dependendo de variveis contnuas, como a varivel tempo

por exemplo.

Conceituaes e quantificaes de objetos matemticos tais como veloci-

dade instantnea, taxa de variao instantnea, quadratura (rea) de uma re-

gio delimitada por curvas contnuas, valor mdio de uma varivel contnua etc.,

so todos pertencentes ao campo do clculo diferencial e integral.

Essas notas de clculo diferencial e integral foram escritas para alunos do

curso de Tecnologia Sucroalcooleira da UAB-UFSCar.

Tais anotaes fazem uma apresentao mnima dos conceitos fundamen-

tais do clculo, apresentando algumas de suas aplicaes.

nfase especial dada ao estudo de funes de uma varivel e seus com-

portamentos, mediante as ferramentas do clculo.

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UNIDADE 1

Funes e suas derivadas


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Caro estudante, o propsito da seo 1.1 rever um conceito de cinem-

tica que deu origem ao conceito de derivada, a ser apresentado na seo 1.4. O

propsito da seo 1.2 recapitular os conceitos de funo e domnio de uma

funo.

1.1 Velocidade mdia e velocidade instantnea

Suponhamos que um ponto mvel Mdesloca-se ao longo de uma linha

reta horizontal, a partir de um ponto O.

O

s

M

s = s ( t )

s = 0

0

1

s = s ( t )

0

s = s ( t + t )

0

s

O deslocamento ou posio s, do ponto M, em relao ao ponto O, a

distncia deMaO, quandoMest direita deO, e o negativo dessa distncia

quandoM est esquerda de O. Assim, s positivo ou negativo, conforme M

se encontre, respectivamente, direita ou esquerda de O (e s =0 no instante

em queMest exatamente na posio do ponto O).

Com essas convenes, a reta passa a ser orientada, e passa a ser chama-

da deeixo, sendoOsua origem.

A posios do ponto mvel Mdepende do instante de tempo t, ou seja,s

uma funo da varivelt, e escrevemos

s = s(t).Suponhamos que em um determinado instantet0, a posio de M s0 =

s(t0), e que em um instante posteriort1, a posio deM s1 =s(t1).Avelocidade mdiav(l-se vbarra) do pontoM, no intervalo de tempo

t0 t t1, dada porv =

s1 s0

t1 t0=

s(t1) s(t0)t1 t0

.

Podemos escrever t1 = t0 + t, sendo t = t1 t0, e tambm escrever

s =s(t1) s(t0) =s(t0+ t) s(t0)(l-se delta, t lido delta t, e s lido delta s).

Com isso, temos

v =variao de deslocamento

variao de tempo =

s

t =

s(t0+ t) s(t0)t

=s

t.

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Avelocidade instantneav(t0), do ponto M, no instante t0, o limitedasua velocidade mdia no intervalo det0a t0+ t, quandottende a zero(esta

uma ideia geralmente atribuda a Isaac Newton (16431727)), e escrevemos

v(t0) = limt0

s

t.

Observao 1.1 importante ter em mente que quando dizemos que umaquantia tende a zero, entendemos que ela se aproxima de zero arbitrariamente

sem jamais tornar-se igual a zero. Uma quantia com essa propriedade cha-

madainfinitsimo. Assim, devemos pensar no infinitsimo como um objeto me-

nor do que qualquer nmero (positivo) em que possamos pensar, mas que no

zero. Tanto quanto a ideia do infinito, isto , a de um objeto maior do que

qualquer nmero em que possamos pensar, o infinitsimo tambm no um

nmero. Arquimedes (287 a.C.212 a.C.) foi o primeiro a explorar a ideia de

infinitsimo em seu Mtodo de Exausto para calcular reas e volumes. Essen-cialmente, esse mtodo faz parte do que hoje chamamos de Clculo Diferencial

e Integral.

Exemplo 1.1 (Velocidade mdia no cotidiano)

Por exemplo, imaginemos que a linha reta a rodovia Washington Lus, e

que o ponto O o marco zero (que fica na cidade de So Paulo) (imaginando

que a rodovia se estenda at So Paulo, o que no acontece).

Suponhamos que o pontoM um fusca que se move ao longo da rodovia,

partindo de So Carlos, no quilmetro 235 (esta a sua posio s0 inicial), e

viaja at So Jos do Rio Preto, quilmetro 440 (esta a posio final s1).

Suponhamos que o fusca sai de So Carlos s 16:30 (16 horas e 30 minu-

tos), ou seja, t0 =16,5 h e chega a Rio Preto no mesmo dia, s 19:00, ou seja,

t1 =19 h.

Qual a sua velocidade mdiav ? A resposta dada por

v = variao de deslocamentovariao de tempo

= st

= 440 23519 16,5

= 2052,5

=82km/h.

A velocidade instantnea do fusca, em cada instante de sua viagem,

aquela que se l no velocmetro do carro.

Exemplo 1.2 (Velocidade instantnea)

Para exemplificar como calculada matematicamente a velocidade ins-

tantnea, vamos estudar agora o deslocamento de uma pedra em queda livre14


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no ar. Neste caso, o ponto mvel M a pedra (ou seu centro de massa) o eixo

de deslocamento (queda) vertical.

Segundo leis da fsica, o deslocamento da pedra no tempo t dado (apro-

ximadamente) pela equao s(t) = 5 t2, para t medido em segundos, e s emmetros.

Assim, no instantet = 0, a pedra est na posio s(0) =502 =0(no instantet =0a pedra comea a cair). No instante t =1 s, a pedra ter percorrido5 12 =5

metros, no instantet = 2 s, a pedra ter percorrido 5 22 =20metros, e assim por

diante. A equao funciona enquanto a pedra no encontrar obstculo. Na ver-

dade, estamos desconsiderando a resistncia do ar, e uma aproximao melhor

do deslocamento da pedra no vcuo serias = 4,9 t2.

Qual a velocidade instantnea da pedra em um determinado instante t0 ?

O procedimento para calcularmos isto o seguinte.

A partir do instantet0, considere uma variao de tempot (l-se delta,

tl-se delta t). Vamos chamar t1 =t0+ t. Temos

s(t1) = s(t0+ t) = 5(t0+ t)2 =5(t20+ 2t0 t + (t)2).A variao do deslocamento do ponto mvel, no intervalo de tempo de t0 a t1

ser

s = s

(t1

) s

(t0

)= 5t20+ 10t0 t + 5

(t

)2 5t20,

ou seja,

s =10t0 t + 5(t)2.A velocidade mdia da pedra, no intervalo de tempo de t0a t1, ser dada

por

v =s

t =

10t0 t + 5(t)2t

=10t0+ 5t.

J a velocidade instantnea v

(t0

) (uma novidade aqui) do ponto M, no

instante t0, o limite da velocidade mdia s

tquando ttende a0, isto , quando

tse aproxima mais e mais da variao nula (permanecendo diferente desta).

Dizemos quettorna-se um infinitsimo.

Observao 1.2 Somar um infinitsimo, ou um mltiplo deste, a qualquer quan-

tia deve provocar nessa quantia uma variao igualmente infinitesimal. Isto ,

a + bttende aa, quandottende a0. Expressamos essa ideia escrevendo

limt0

(a + bt

)= a + b 0 =a,

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mas importante deixar bem claro quetrealmente nunca igual a zero na

expresso(a + bt). Neste clculo, a eb representam quaisquer quantias queno dependem det.

De acordo com a observao anterior, podemos escrever

v(t0) = limt0 st = limt0(10t0+ 5t) = 10t0+ 5 0 = 10t0.Isso significa que, em cada instante t, a pedra em queda livre tem veloci-

dade instantneav(t) = 10tm/s.1.2 Uma breve reviso sobre intervalos da reta e funes

Uma funo f (ou funo f

(x

)) uma lei que associa cada valor xde um

certo conjuntoA(chamado domnio def), a um nico valory = f(x)de um certoconjunto B (chamado contra-domnio de f). Escrevemos y = f(x). Tambmescrevemos Dom(f) = A.

Os domnios de funes tratadas neste curso sero sempre intervalos de

R ou reunies de intervalos de R, sendo R o conjunto dos nmeros reais.

Os intervalos da reta (eixo) R so subconjuntos de R de uma das formas:

[a, b

]=

{x R

a x b

} (intervalofechadode extremosae b);

]a, b[ ={x R a < x


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1. f(x) = x(ou f(x) = x12) uma funo que tem como domnio o conjuntodos valores reais dexpara os quais

xexiste e um nmero real, ou seja,

x 0.

Assim, dizemos que o domniooucampo de definiode f o intervalo

Dom

(f

)=

[0, +

[. Essa funo associa cada nmero real no negativo x

ao nico nmero real no negativox.2. f(x) =1xdefine uma funo cujo domnio constitudo pelos valores reais

de xpara os quais 1xexiste e um nmero real, ou seja, pelos valoresreais dextais quex 0.

Assim, odomniode f o conjunto Dom(f) = R {0}, ou seja, Dom(f) =] , 0[ ]0, +[.3. f

(x

)=

2 x + 1

x

1

est definida para os valores reais de x para os quais

2 xe 1x1 existem e so nmeros reais, ou seja, parax 2 (2 x 0)ex > 1(x 1 > 0).

Assim, Dom(f) =]1, 2].4. f(x) = nx (ninteiro positivo), ouf(x) = x 1n .

Neste caso, Dom(f) ={xx 0}, se n par, e Dom(f) = R sen mpar.1.3 Problemas

1. Determine odomniode cada uma das seguintes funes. D a resposta

como um intervalo ou uma reunio de intervalos de R. No nosso contexto,

o domnio de uma funof o conjunto de todos os nmeros reais xpara

os quaisf(x) um nmero real.(a) f(x) = x3 5x + 3;(b) f

(x

)=

4 x;

(c) f(x) = 4 x2;(d) f(x) = x2 5x +4;(e) f(x) = 1

2x x2.

Respostas e sugestes

1. (a) R;

(b)

] , 4

];

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(c)[2, 2].Sugesto: usando a frmula a2 b2 =(a b)(a + b), temos que

4 x2 =(2 x)(2 + x).Lembre-se agora a regra de sinais: o produto(2 x)(2+ x) 0somente quando2 x 0e 2 + x 0, ou quando2 x 0e 2 + x 0.

(d)] , 1] [4, +[.Sugesto: fatorex2 5x +4 =(x 1)(x 4)e use a sugesto do itemanterior.

(e)]0, 2[. Sugesto: fatore x2 2x = x(x 2)e use a sugesto do itemanterior. Lembre-se que o denominador de uma frao no pode ser

zero.

1.4 A derivada de uma funoO conceito de derivada uma generalizao do conceito de velocidade

instantnea, definida na seo 1.1, trocando-se a varivel t (tempo) por uma

grandeza varivel x, e a funo deslocamento s(t)por uma funo f(x)qual-quer.

Dada uma funoy =f(x), consideramos, para cada x, uma certa variaox 0, e a variao correspondente de y = f

(x

),

y = f = f(x + x) f(x).A derivada def(x), denotada porf (x)(leia-seflinha dex) a funo definidacomo sendo o valor limite da razo

f

x =

f(x + x) f(x)x

,

quandoxse aproxima indefinidamente de0. Ou seja,

f

(x

)= lim

x0

f

x = lim

x0

f(x + x) f(x)x

.

1.5 Primeiras regras para calcular derivadas

O clculo prtico de derivadas feito por meio de vrias regras de deri-

vao, que nos poupam do clculo de limites. Faremos a partir de agora um

catlogo dessas regras. Tambm escrevemos dy

dx(leia-se deydex) para indi-

car a derivada de uma funo y = f(x).Como primeira e importante regra para o clculo de derivadas, temos:

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Regra 1 Sef(x) = xn, sendoninteiro positivo, entof (x) =nxn1.De maneira simplificada, escrevemos(xn) =nxn1.

Observao 1.3Esta regra continua vlida se o expoenten for inteiro ou fraci-

onrio, negativo ou positivo.

Exemplo 1.3 De acordo com a regra 1, temos

(x) =(x1) =1x11 =x0 =1, ou seja, sey =x, ento dydx

=1.

(x2) =2x21 =2x, ou seja, sey = x2, ento dydx

=2x.

(x3) =3x31 =3x2, ou seja, sey = x3, ento dydx

=3x2.

(x3) =3x31 =3x4.(

x

)=

(x12

)=

12

x121

= 12

x12 = 12

x.

( 3x2) =(x 23 ) = 23 x231 = 23 x 13 = 23x13 = 23 3x . importante lembrar quex

pq =

q

xp quandopeqso inteiros, eq > 0.

Regra 2 A derivada de uma funo constante 0, isto ,

sef(x) = c =constante, entof (x) =(c) =0.Regra 3 Sef

(x

) uma funo ec uma constante, ento

(c f(x)) =c f (x).Ou seja, a derivada deuma constante vezes uma funo a constante vezes a

derivada da funo.

Regra 4 Sendof(x)eg(x)duas funes, valem as seguintes igualdades

(f

(x

)+ g

(x

))=f

(x

)+ g

(x

),

e

(f(x) g(x)) =f (x) g (x).Ou seja, a derivada da soma de duas funes a soma das respectivas deri-

vadas, e a derivada da diferena de duas funes a diferena das respectivas

derivadas.

Exemplo 1.4 Calcular a derivada def

(x

)=2x3 3x5, em relao ax. Para tal,

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aplicamos as regras previamente estabelecidas:

f (x) =(2x3 3x5) =(2x3) (3x5) ((f g) =f g)=2

(x3

) 3

(x5

)

((cf

)=cf

)=2 3x2 3 5x4 ((xn) =nxn1)=6x2 15x4.

Exemplo 1.5 Sendoy = 3t6 + 21t2 98, calcular a derivada dy

dt.

Aplicando as regras estabelecidas anteriormente, temos que

dy

dt =(3t6 + 21t2 98) =18t5 +42t.

1.6 Problemas

1. Se um objeto lanado verticalmente para cima, com velocidade inicial

110 m/s, ento a sua alturah(t), acima do cho (h=0), apst segundos, dada (aproximadamente) por h(t) = 110t 5t2 metros. Quais so asvelocidades do objeto nos instantes t = 3 s e t = 4 s? Em que instante o

objeto atinge sua altura mxima?

2. Usando as regras de derivao estabelecidas at agora, calcule as deriva-das das seguintes funes.

(a) f(t) = 6t3 + 12t2 4t + 7;(b) f(t) =(3t + 5)2.

Sugesto: primeiro desenvolva o quadrado, usando a frmula(a + b)2 =a2 + 2ab + b2.Se quiser deduzir esta frmula, faa

(a + b

)2=

(a + b

)(a + b

),e de-

senvolva o produto.

(c) f(x) =(2x2 + 1)3.Sugesto: primeiro desenvolva o cubo.(a+b)3 =a3 +3a2b+3ab2 +b3.Essa frmula pode ser deduzida escrevendo-se

(a + b)3 =(a + b)2(a + b),e empregando-se a frmula para

(a + b

)2 do item anterior.

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(d) f(x) =(3x2 7x + 1)(x2 + x 1).Sugesto: Primeiro desenvolva o produto.

(e) f(x) = x3 x2 + 15

.

Respostas e novas sugestes

1. (A velocidade instantnea do objeto, no instante t, a derivada dhdt

)

80 m/s e70 m/s.

Em t = 11 s. Sugesto: no instante em que o objeto atinge sua altura

mxima, sua velocidade igual a zero (o objeto para instantaneamente).

2. (a) f (t) = 18t2 + 24t 4;(b) f

(t

)= 18t + 30;

(c) f (x) = 48x5 +48x3 12x;(d) f (x) = 12x3 12x2 18x + 8;(e) f (x) = 3x2 2x

5 .

1.7 Outras regras para calcular derivadas

Regra 5 (derivada de um produto)

(fg) =f g + fg.Regra 6 (derivada de um quociente)

fg = f g fg

g2 .

Regra 7 Sendog uma funo derivvel, ec uma constante, quandog 0, temos

c

g

=cg

g2

.

Exemplo 1.6 Calculary , sendoy =2

x3 + 1.

Soluo.Aplicando a regra 7, temos

y = 2x3 + 1 = 2(x3 + 1) (x3 + 1)2

=2 3x2)(

x3 + 1

)2 =

6x2

(x3 + 1

)2

.

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Ateno! Ao calcular derivadas de expresses fracionrias, desaconse-

lhvel desenvolver o quadrado do denominador ! Tal procedimento desne-

cessrio no clculo de derivadas e desaconselhvel quando fazemos uso de

derivadas (isso ser esclarecido nas notas mais adiante).

Exemplo 1.7 Calculary

, sendoy=

x3 1

x3 + 1 .

Soluo.Aplicando a frmula para a derivada de um quociente, temos

y =x3 1x3 + 1 = (x3 1) (x3 + 1) (x3 + 1) (x3 1)(x3 + 1)2

=3x2(x3 + 1) 3x2(x3 1)(x3 + 1)2 = 6x2(x3 + 1)2 .

1.8 Problemas

1. Utilizando regras de derivao previamente estabelecidas, calcule as deri-

vadas das seguintes funes.

(a) f(x) = 4x 53x + 2

;

(b) f(w) = 2ww3 7

;

(c) s

(t

)= t2 +

1

t2.

Respostas

1. (a) f (x) = 23(3x + 2)2 ;(b) f (w) = 4w3 14(w3 7)2;(c) s (t) = 2t 2

t3.

22


21/121

UNIDADE 2

Retas tangentes, derivao em cadeia, e

derivadas de funes implcitas


22/121


23/121

2.1 A derivada mede inclinaes de retas tangentes ao grfico

Veremos agora uma importante interpretao geomtrica da derivada, em

relao ao grfico da funo y = f(x).Fixado um valor x0, sendo definido f

(x0

), seja x 0um acrscimo (ou

decrscimo) dado ax0. Sendox1 =x0+ x, temos que a razo

y

x =

f(x0+ x) f(x0)x

=f(x1) f(x0)

x1 x0

ocoeficiente angular(ouinclinao, oudeclividade) da retar, secante ao gr-

fico da curvay = f(x), passando pelos pontosP0 =(x0, f(x0))e P =(x1, f(x1)).

x x

0

x

0

+

P

0

P

f ( )

x

y

r

t

0

x

y

xx

0

+

f ( ) x

0

Figura 2.1 Quando x tende a 0, o ponto P tem como posio limite o ponto P0, e a

reta secanteP0Pter como posio limite a reta t, que tangencia o grfico

defno pontoP0.

Observando os elementos geomtricos da Figura 2.1, temos que quando

xtende a 0, o ponto P tem como posio limite o ponto P0, e a reta secante

P0Pter como posio limite a reta t, que tangencia o grfico de f no ponto P0.

Assim, quandoxtende a0, a razo yx

tem como limite a declividade da reta t,

tangente ao grfico de fno pontoP0.

Assim, com este argumento geomtrico e intuitivo, interpretamos f (x0)como sendo o coeficiente angular (ou a inclinao, ou ainda, a declividade) da

retat, tangente ao grfico de fno pontoP0 =(x0, f(x0)).Da geometria analtica, temos que a equao de uma reta, de coeficiente

angularm, passando por um ponto P0 =(x0, y0), dada pory y0 =m

(x x0

).

25


24/121

Assim sendo, temos que a equao da retat, tangente curva y = f(x)nopontoP0 =(x0, y0) =(x0, f(x0)) dada por

y y0 =f(x0) (x x0) ou y =y0+ f (x0)(x x0).

Desse modo, a funo linear afim y = y0 +f (x0)(

xx0) uma aproximao

da funoy = f(x)quandoxest suficientemente prximo de x0.

1

1

-1

-1

x

y

P

t

Figura 2.2 Representao grfica da curva y = x2 e da reta t, tangente curva no

pontoP =

(1, 1

).

Exemplo 2.1 Qual a equao da retat, que tangencia a parbolay =x2, no

pontoP =(1, 1)?Soluo.Sendoy = x2, pela regra de derivao 1, temos

dy

dx =2x. EmP, temos

x = 1. O coeficiente angular da retat dado por

mt =

dy

dx x=1 =(2x)x=1 =2 (1) = 2Assim, a retat, tangente curvay = x2 no pontoP, tem equao

y 1 =(2)(x (1)),ou seja, y =2x 1. Assim, prximo ao pontoP =(1, 1), a retay =2x 1nosd uma boa aproximao linear afim da parbola y = x2. Confira isto pela Figura

2.2.26


25/121

Exemplo 2.2 Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da

parbolay = f(x) = 3 4x x2, no ponto de abscissa (primeira coordenada) 3.Determine a equao dessa reta. Em qual ponto do grfico a reta tangente ao

grfico horizontal?

Soluo. O coeficiente angular da reta tangente parbola y = 3 4x x2

, noponto de abscissa3, m= f (3). Comof (x) = 42x, temosm= 423 = 10.

O ponto do grfico, com abscissa 3, o ponto P =(3, f(3)) =(3, 18). Aequao da reta pedida y f(3) = f (3)(x 3), ou seja, y+ 18 = 10(x 3).Simplificando esta equao, ela fica y = 10x + 12.

No ponto(x, f(x))em que a reta tangente horizontal, temos m = 0, ouseja,f (x) = 0. Logo,x =2. Assim, o ponto procurado (2, f(2)) =(2, 7).2.2 Derivao em cadeia

A regra da cadeia uma regra de derivao que nos permite calcular a

derivada de uma composio (ou um encadeamento) de funes, tais como

f(g(x))ou f(g(h(x))), conhecendo-se as derivadas f (x),g (x)e h(x).Regra 8 (regra da derivao em cadeia, ou regra da cadeia)

Sey =f

(g

(x

)), fazemosy = f

(u

)eu= g

(x

), e ento

y =dy

dx =

dy

du

du

dx.

Outra forma da regra da cadeia a seguinte:

Sendoy =f(u), entoy =f (u) u, ou ainday =[f(g(x))] =f (g(x)) g(x).

Observao 2.1 (as diferentes formas da regra da cadeia so equivalentes)

Quandoy =f(u)eu=g(x)a regra da cadeia nos diz quedy

dx=

dy

du

du

dx=f (u) u =f (g(x)) g (x).

Exemplo 2.3 Calcular a derivada dey =(x3 + x 1)10. Para aplicar a regra dacadeia, primeiramente escrevemos

y =u10, u= x3 + x 1.27


26/121

Aplicando derivao em cadeia, temos

dy

dx =

dy

du

du

dx

=10u9 (3x2 + 1)=10

(x3 + x 1

)9

(3x2 + 1

).

Regra 9 (importante consequncia da derivao em cadeia)

Sey =[f(x)]n, entoy =n[f(x)]n1 f (x).

De modo mais simples, sey = un, sendouuma funo dex, obtemos

y =nun1 u.

Esta regra verdadeira se n inteiro ou fracionrio (nmero racional),

positivo ou negativo.

Justificativa: sendo y =[f(x)]n, podemos escrever y =un, sendo u=f(x).Pela regra da cadeia, obtemos

dy

dx =

dy

du

du

dx =nun1 u,

ou seja,([f(x)]n) =n[f(x)]n1 f (x).Exemplo 2.4 Calcular

dy

dx, sendoy =[(x2 + 1)10 + 1]8.

Soluo.Aplicando a Regra de derivao 9 vrias vezes, temos a soluo:

dy

dx =([(x2 + 1)10 + 1]8) =8

[(x2 + 1

)10 + 1

]81

[(x2 + 1

)10 + 1

]

=8[(x2 + 1)10 + 1]7 [(x2 + 1)10]=8[(x2 + 1)10 + 1]7 10(x2 + 1)9 (x2 + 1) =80[(x2 + 1)10 + 1]7(x2 + 1)9 2x=160x[(x2 + 1)10 + 1]7(x2 + 1)9.

Exemplo 2.5 Calcular a derivada def(x) = 33x2 + 3x + 5.Soluo.Temosf

(x

)=

(3x2 + 3x + 5

)13 .

28


27/121

Aplicando a Regra 9, temos

f (x) =[(3x2 + 3x + 5)13 ] =

1

3(3x2 + 3x + 5) 23 (3x2 + 3x + 5)

=1

3(3x2 + 3x + 5

)23

(6x + 3

)=(3x2 + 3x + 5)23 (2x + 1)=

2x + 1(3x2 + 3x + 5)23 = 2x + 13(3x2 + 3x + 5)2 .2.3 Problemas

1. Escreva a equao da reta tangente curva y = x3 3x2 x + 5no ponto

de abcissax = 3.

2. Aplicando derivao em cadeia (quando necessrio), calcule dy

dxnos se-

guintes casos:

(a) y =x33

+ 15 + x22

+ 14.(b) y =(x2 3x + 8)3.(c) y =

x(x2 1)4 .3. Calcule as derivadas das seguintes funes.

(a) f(x) = 38x3 + 27.(b) f(t) = 4(9t2 + 16)23 .

4. Em cada item, determine (i) a equao da reta tangente curva dada no

ponto P indicado, e (ii) os pontos da curva em que reta tangente a ela

horizontal.

(a) y =

(4x2 8x + 3

)4, P =

(2,81

).

(b) y =(2x 1)10, P =(1, 1).Respostas e sugestes

1. y 2 =8(x 3), ou y = 8x 22.2. (a)

dy

dx =5x2 x3

3 + 14 +4xx2

2 + 13,

(b) y =3

(x2 3x + 8

)2

(2x 3

),

29


28/121

(c) dy

dx =

(7x2 + 1)(x2 1)5 .3. (a) f (x) = 8x2(8x3 + 27)23 = 8x2

3(8x3 + 27)2 ,

(b) f

(t

)=

48t3

(9t2 + 16

)5

.

Sugesto: Primeiramente, faaf(t) = 4(9t2 + 16)23 =4(9t2 + 16)23.4. (a) (i)y 81 = 864(x 2), (ii)(1, 1),(12, 0)e(32, 0).

(b) (i)y 1 = 20(x 1), (ii)(12, 0).2.4 Derivadas de funes dadas implicitamente

Muitas vezes, duas variveisxe yso tais que ydepende de x, ou seja,y

uma funo da varivel x, mas em lugar de uma frmula y =f(x), temos umaequaoF(x, y) = c, inter-relacionando ambas as variveis, tal como no exemplo

x3 +y3 =x2y2 + x +y.

Nem sempre possvel resolver a equao dada em y, ou seja, isolar y

no primeiro membro da equao, expressando explicitamente ycomo funo de

x.

No entanto, (quase sempre) possvel obter a derivada

dy

dx , para x=

x0ey =y0, se o ponto(x0, y0)pertencer curva, isto , se ele satisfizer a equaodada.

Para isto, derivamos ambos os membros da equao F(x, y) =c, conside-randoycomo funo dex, e usamos as regras de derivao, bem como a regra

da cadeia quando necessrio. Depois disto, isolamosy no primeiro membro da

equao obtida.

Exemplo 2.6 Obter dy

dx, a partir da equaox3 +y3 =x2y2 + x +y, por derivao

implcita.

x3 +y3 =x2y2 + x +y,

(x3 +y3) =(x2y2 + x +y) ,3x2 + 3y2y =(x2y2) + 1 +y ,3x2 + 3y2y =(x2) y2 + x2(y2) + 1 +y ,3x2 + 3y2y =2xy2 + x2 2yy + 1 +y .

30


29/121

Daqui obtemosy , deixando no primeiro membro somente os termos comy :

3y2y 2x2yy y =1 + 2xy2 3x2,

(3y2 2x2y 1)y =1 + 2xy2 3x2,y =

1 + 2xy2 3x2

3y2 2x2y 1.

Exemplo 2.7 Obter a reta tangente curva x3 +y3 = x2y2 +x + y, no ponto

P =(1, 0)dessa curva.Note que o problema s faz sentido porque o ponto(1, 0)de fato pertence

curva:13 + 03 =12 02 + 1 + 0.

Primeiro obtemosdy

dx, por derivao implcita, a partir da equao da curva.

Isto j foi feito no exemplo anterior, em que calculamosy =1 + 2xy2 3x2

3y2 2x2y 1.

O coeficiente angular da reta tangente procurada dy

dx

x=1y=0

=1 + 2xy2 3x2

3y2 2x2y 1

x=1y=0

=1 3

1 =2.

Desse modo, a reta procurada tem equaoy 0 = 2(x 1), ou seja, y =2x 2.

Assim sendo, prximo ao pontoP =(1, 0), a curvax3 +y3 =x2y2 + x +ypodeser aproximada pela retay = 2x 2.

2.5 Problemas

1. Determiney sendoyuma funo dexdada implicitamente pela equao

(a) 2x3 + x2y +y3 =1;

(b) 1

x2 +

1

y2 =1.

2. Verifique primeiramente que o pontoPpertence curva dada (isto , satis-

faz a equao dada) e, usando derivao implcita, determine a equaoda reta tangente curva no pontoP.

(a) xy = 16, P =(2, 8);(b) 2x3 x2y +y3 1 = 0, P =(2, 3).

Respostas

1. (a) y =(6x2 + 2xy)

x2 + 3y2 ;

31


30/121

(b) y =y3

x3.

2. (a) 4x y + 16 = 0;

(b) y + 3 = 3623(x 2).

32


31/121

UNIDADE 3

Limites (clculo e significado)


32/121


33/121

Clculos de limites so importantes ferramentas auxiliares no estudo de

funes e seus grficos. A definio formal de limite matematicamente sofis-

ticada. O leitor interessado poder encontr-la em textos universitrios sobre

clculo. Faremos uma explorao intuitiva do conceito de limite e de suas pro-

priedades, apenas por meio de exemplos e interpretaes grficas.

3.1 Introduo intuitiva ao clculo de limite

Nesta seo, estudaremos os primeiros exemplos de limites.

Exemplo 3.1 Considere a funof(x) = 2x+3. Quandox assume uma infinidadede valores aproximando-se mais e mais de 0, o nmero 2x+ 3 assume uma

infinidade de valores, aproximando-se de2 0 + 3 = 3. Dizemos que o limite de

f(x), quandoxtende a0, igual a3, e escrevemoslimx0

f(x) = limx0(2x + 3) =2 0 + 3.

Exemplo 3.2 Aqui temos uma lista de outros exemplos intuitivos.

1. limxa

x =a (a R).2. lim

x

a

xn =an

(n N,a R

).

3. Sendop(x) =anxn + an1xn1 + + a1x + a0, com os coeficientesan, . . . , a0todos reais,

limxx0

p(x) = anxn0 + an1xn10 + + a1x0+ a0 =p(x0).4. lim

x2

x3 3

x2 + 1=

limx2(x3 3)

limx2(x2 + 1) = 23 324 + 1 = 8 34 + 1 =1.

Definio 3.1 Nos exemplos anteriores, de limites def(x), comxtendendo ax0, tivemos semprex0no domnio da funof(x)e lim

xx0f(x) =f(x0).

Quando isto ocorre, dizemos que a funof(x)contnua no ponto x0.No prximo exemplo, temos um limite em quex x0, mas x0no est no

domnio def.

Exemplo 3.3 Calcular limx2

x3 8

x 2.

35


34/121

Soluo. Note que, sendo f(x) = x38x2

, temos que 2 Dom(f). Quando x seaproxima de2,x3 se aproxima de 8. Um clculo direto nos d ento

limx2

x3 8

x 2 =

23 8

2 2 =

0

0.

Este resultado, 0

0, umsmbolo de indeterminao, ocorrendo em uma

tentativa de calcular um limite. A ocorrncia desta expresso significa que olimite ainda no foi calculado.

Para contornar o smbolo de indeterminao00, neste exemplo fazemosuso da frmula de fatoraox3 a3 =(x a)(x2 + ax + a2):

limx2

x3 8

x 2 =lim

x2

(x 2)(x2 + 2x +4)x 2

=limx2

(x 2)(x2 + 2x +4)x 2

(poisx 2 0)

=limx2(x2

+ 2x +4)=22 + 2 2 +4 =12.

Exemplo 3.4 (clculo de um limite com mudana de varivel) Calcular

limx0

3

x + 1 1

x .

Um clculo direto nos d00, umaindeterminao.Fazendoy = 3

x + 1, temosy3 =x + 1, e portantox =y3 1.

Quando x tende a 0, y tende a 1 (em smbolos: se x 0, ento y 1). E

a temos

limx0

3

x + 1 1

x =lim

y1

y 1

y3 1

=limy1

y 1(y 1)(y2 +y + 1) =limy1 1y2 +y + 1 = 13 .3.2 Limites infinitos; limites quandox

Consideremos agora a funo f(x) = 1x2

. Temos que o domnio de f o

conjunto dos nmeros reais diferentes de 0, isto , Dom(f) = R {0}.Observe a Tabela 3.1. Na primeira coluna da Tabela 3.1, temos valores de

xcada vez mais prximos de 0. Na segunda coluna, notamos que os valores

de x2 esto ainda mais prximos de zero do que os valores de x. Assim temos

limx0

x2 =0. Na ltima coluna, vemos que os valores correspondentes de f(x) =1

x2 tornam-se cada vez maiores.

36


35/121

Tabela 3.1 Valores de x cada vez mais prximos de 0, e correspondentes valores de

x2 e de f(x) = 1x2

.

x x2 f(x) = 1x2

1 1 1

0, 5 0, 25 4

0, 2 0, 04 25

0, 1 0, 01 100

0, 01 0, 0001 10000

0,001 0,000001 1000000

Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a 0 +infinito, e escreve-mos

limx0

f(x) = +ou seja, limx0

1

x2 =+ .

A interpretao geomtrica delimx0

1x2 =+ pode ser visualizada na Figura

3.1.

Tabela 3.2 Tabela de valores dexcada vez maiores, e correspondentes valores de x2

e de f(x) = 1x2 .x x2 f(x) = 1

x2

1 1 1

2 4 0,25

5 25 0,04

10 100 0,01

100 10000 0,0001

1000 1000000 0,000001

Agora observe a Tabela 3.2. Notamos agora que, medida que x cresce

indefinidamente, assumindo valores positivos cada vez maiores,f(x) = 1x2

torna-

se cada vez mais prximo de 0. Isto tambm sugerido pela Figura 3.1.37


36/121

2

1-1 x

y

2

8

16

4

-2 0

Figura 3.1 Grfico de f(x) =1

x2 . Temos limx01

x2 = +, ou seja, medida que x se

aproxima de 0, y = 1x2

torna-se cada vez maior. Tambm limx+

1

x2 = 0,

ou seja, medida que xcresce, tomando valores cada vez maiores, 1x2

aproxima-se de0. E ainda limx

1

x2 =0.

Neste caso, dizemos que o limite de f(x), quando xtende a +infinito, igual a0, e escrevemos lim

x+

1

x2 =0 .

Na segunda coluna da Tabela 3.2 tambm ilustramos: limx+x2=+.

Tambm visualizamos os fatos: limx

x2 =+ e limx

1

x2 =0.

Com estes exemplos simples damos incio nossalgebra de limites. Ao

calcular limites podemos fazer uso da seguinte tabuada:

(+) + (+) = +, () + () = ,

(

)2=+,

(+

)(

)= ,

(+)3 =+, ()3 =,()(inteiro positivo par) =+, ()(inteiro positivo mpar) =,1

=0,

+ + c = +(cconstante), + c =(cconstante),

c (+) =

+, sec > 0

, sec < 0, c () =

+, sec < 0

, sec > 0,

38


37/121

+

c=

+, sec > 0

, sec < 0,

c=

+, sec < 0

, sec > 0.

Mas ateno! Cautela com essa nova aritmtica! Os resultados

,

(+

)

(+

),

(

)+

(+

), e 0

(

),

so novossmbolos de indeterminao. Nada significam como valores de limi-

tes. Se chegarmos a algum deles no clculo de um limite, teremos que repensar

o procedimento de clculo.

Exemplo 3.5 Calcular limx+

3x2 2x 1

x3 +4 .

Soluo.Uma substituio direta nos d

limx+

3x2 2x 1

x3 +4=

+

(+

) 1

+ +4 .Para evitarmos os smbolos de indeterminao, quando x , coloca-

mos em evidncia as potncias de xde maior grau, no numerador e no denomi-

nador.

limx+

3x2 2x 1

x3 +4 = lim

x+

x2(3 2x

1x2)

x3(1 + 4x3) = limx+ 3

2x

1x2

x(1 + 4x3)

=

3 2+

1+

+

(1 + 4

+

) =

3 0

+

(1 + 0

) =

3

+=0.

Exemplo 3.6 Calcular limx(x5 x3).

Temos limx(x5 x3) =()5 ()3 =()() =()+(+),

portanto chegamos a um smbolo de indeterminao.

Podemos no entanto fazer

limx(x5 x3) = lim

xx5(1 1

x2) =()5 (1 0) = .

Nos limites da forma limx

p

(x

)q(x), em quep

(x

)e q

(x

)so polinmios em x,

prevalecem os termos de maior grau de ambos os polinmios, ou seja, se

p(x) =anxn + an1xn1 + + a1x + a0,e

q(x) = bmxm + bm1xm1 + + b1x + b0,ento

limx

p

(x

)= lim

xanx

n,39


38/121

e

limx

p(x)q(x) = limx anxnbmxm.

Por exemplo, nos exemplos que acabamos de estudar, bastaramos fazer

limx+

3x2 2x 1

x3 +4 = limx+

3x2

x3 = limx+

3x2

x x2 = limx+

3

x =3

+ =0,

limx(x5 x3) = lim

xx5 =()5 =.

Mas ateno. Isto s vale para limites envolvendo polinmios, e somente

quandox .

3.3 Problemas

1. Calcule os limites.

(a) limx2

x2 4

x 2; (b) lim

x1

x2 x

2x2 + 5x 7; (c) lim

h0

(x + h)3 x3h

;

(d) limx

2

(x2 + 3

)(x 4

); (e) lim

x

215; (f) lim

x2

x3 + 8

x4 16.

2. Calcule os limites.

(a) limx+

2x + 3

x + 3

x; (b) lim

x+

3

x2 + 1

x + 1 ;

(c) limx+

2x2 x + 3

x3 8x 5; (d) lim

x+

(2x + 3)3(2 3x)2x5 + 5

.


1. (a)4; (b)19.Sugesto: 2x2 + 5x 7 =(2x + 7)(x 1); (c)3x2;(d)5

2 20; (e)15; (f) 38.Sugesto: x3 + a3 =(x + a)(x2 ax + a2).2. (a) 2. Sugesto: 3

x = x13. No numerador e no denominador, coloque

em evidncia as potncias de xde maior grau; (b)0.Sugesto: 3

x2+1x+1

=

3

x2+1(x+1)3 ; (c)0; (d)72.

40


39/121

3.4 Algumas interpretaes geomtricas de limites

Na Figura 3.2 temos o esboo de um grfico de uma funo definida no

conjunto

R

{x0

}, ou seja, apenas para x x0, para a qual lim

xx0f

(x

)=ae lim

xx1f

(x

)=b =

f(x1).

a

b

y = f(x)y

x0 x0 x1

Figura 3.2 Para a funo f(x) aqui representada graficamente, limxx0

f(x) = a elimxx1

f(x) = b = f(x1).

Na Figura 3.3 temos o esboo de um grfico de uma funo definida em

todo o conjunto R, para a qual limx+

f(x) =ae limx

f(x) =b.

a

b

y = f(x)y

x0

Figura 3.3 Para esta funof(x), limx+

f(x) = ae limx

f(x) = b.Na Figura 3.4 temos o esboo de um grfico de uma funo definida em

R {a}, para a qual limxa

f(x) = +.Na Figura 3.5 ilustramos o esboo de um grfico de uma funo definida

em R

{a

}, para a qual lim

xaf

(x

)= , lim

xf

(x

)= be lim

x+f

(x

)= .

41


40/121

a

y = f(x)

y

x0

Figura 3.4 Para esta funof(x), limxa

f(x) = +.

a

y = f(x)

y

x0

b

Figura 3.5 Para esta funof(x), limxa

f(x) = e limx

f(x) = b.3.5 Limites laterais

Para cada nmero realx define-se omduloou valor absolutode x como

sendo

x = x sex 0,

x sex < 0.

Por exemplo,2 = 2,+ 3 =3,4 = 4,0 = 0.Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a funo

f(x) = x + xx .O domnio def

(x

) o conjunto R

{0

}.

42


41/121

Se x > 0,x = x e portanto f(x) = x+ 1. Se x < 0,x = x e portantof(x) = x 1. O grfico de f esboado na Figura 3.6.

1

1

-1 x

y

-1

2-2

-2

2

Figura 3.6 Esboo do grfico dey = x + xx .Se xtende a 0, mantendo-se positivo (>0), f(x)tende a 1. Se tende a 0,

mantendo-se negativo (x0

f(x),limxx

0f(x) significa limxx0x


42/121

1

1

-1 x

y

-1

2-2

-2

2

3

3

0

y=1/x

Figura 3.7 Grfico dey = 1

x.

No esboo do grfico de f, Figura 3.7, ilustramos a ocorrncia dos limites

laterais

limx0+

1

x =lim

x0x>0

1

x =+, lim

x0

1

x =lim

x0x 0quandoxest suficientemente prximo dex0.Dizemos que

limxx0

f(x) =0, se(i) lim

xx0f(x) = 0, e

(ii) f(x) < 0quandoxest suficientemente prximo dex0.Nossa lgebra de limites passa a contar agora com os seguintes novos

resultados:44


43/121

c

0+=

+ sec >0

sec 0

+ sec 0se e somente sex >2.

Assim sendo, sex > 2, temosx + 2 > 0e ento

x + 2

=x + 2.

Por outro lado, se x < 2, temosx + 2 < 0e entox + 2 = (x + 2).Assim sendo, temos

limx2+

x + 2x + 2 = limx2x>2

x + 2x + 2 = limx2x>2

x + 2

x + 2= lim

x21 = 1,

limx2

x + 2x + 2 = limx2x


44/121

3.6 Continuidade, diferenciabilidade, e grficos

Observao 3.3 (o grfico de uma funo contnua em[a, b])Vimos anteriormente que a funo f(x) =x + xxtem limites laterais diferentesno pontox0 =0, sendo lim

x

0+

f

(x

)=1e lim

x

0

f

(x

)=1. Assim, conforme podemos

visualizar na Figura 3.6, o grfico de fapresenta um salto no ponto 0.

Tambm a funof(x) = 1xtem um salto no ponto 0. Agora porm o salto infinito, sendo lim

x0+f(x) = +e lim

x0f(x) = .

Quando uma funo f(x) contnua nos pontos de um intervalo[a, b], acurvay = f(x),a x b, grfico de fno intervalo[a, b], no apresenta saltos.

Intuitivamente falando, quandof(x) contnua nos pontos de um intervalo

[a, b

], podemos traar o grfico, ligando o ponto inicial A =

(a, f

(a

))ao ponto

finalB =(b, f(b)), sem tirar o lpis do papel, tal como na Figura 3.8.

a x

y

b0

f(a)

f(b)

Figura 3.8 f contnua e diferencivel (derivvel) no intervalo[a, b].Observao 3.4 (uma funo contnua nem sempre tem derivada)

a x

y

b0

f(a)

f(b)

c d

Figura 3.9 f contnua no intervalo[a, b], mas no tem derivadas nos pontos ce d.Na Figura 3.9 temos o osboo do grfico de uma funo contnua no in-

tervalo

[a, b

]que, no entanto, no tem derivada em dois pontos (valores dex)

46


45/121

desse intervalo. Nos pontos correspondentes aced, os grficos formam bicos

e no se definem retas tangentes ao grfico def.

Quando a funo diferencivel no intervalo]a, b[, o seu grfico umacurva suave, tal como ilustrado na Figura 3.8.

3.7 Problemas

-1/2

-1

1 20 x

y

Figura 3.10 Grfico para o problema 1.

1. Na Figura 3.10 est esboado o grfico de uma funo y = f(x). Completeas igualdades:(a) lim

x1f(x) = (b) lim

x1+f(x) = (c) lim

x2f(x) =

(d) limx2+

f(x) = (e) limx0

f(x) = (f) limx0+

f(x) =(g) lim

x+f(x) = (h) lim

xf(x) =

2. Em que pontos a funo f do problema anterior definida? Em quais

pontos contnua?

3. Calcule os limites laterais

(a) limx

xx

; (b) limx+

xx

; (c) limx8

1

x 8;

(d) limx8+

1

x 8; (e) lim

x2+

x 2.

4. Para as funesf(x)abaixo, calcule os limites limx3+

f(x), limx3

f(x)e digase existe o limite lim

x3f

(x

). Diga tambm sef contnua no ponto 3.

47


46/121

(a)f(x) =

1

2 3x sex < 3

3

x + 2 sex 3

;

(b)f

(x

)=

9

x2 sex 3

34 + x sex > 3.


1. (a) ; (b) 12; (c) +; (d)0; (e) 1; (f)1; (g) 12;(h).

2. A funof definida em R {1}. contnua em R {1, 2}.3. (a) 1; (b)1; (c) ; (d) +; (e)0.

4. (a) limx3+

f(x) = limx3+

3

x + 2 = 1,

limx3

f(x) = limx3

123x

=111.No se define (no existe) o limite lim

x3f(x). Temos f(3) = 1, mas

como no existe limx3

f(x),fno contnua no ponto 3.(b) lim

x3+f(x) = 1, lim

x3f(x) = 1, lim

x3f(x) = 1.

Logo,f contnua no ponto 3pois limx3

f

(x

)=f

(3

).

48


47/121

UNIDADE 4

Desenhando grficos de funes, por meio

de limites e derivadas


48/121


49/121

As figuras so parte essencial desta unidade. Todas as definies e propri-

edades devem ser estudadas e confrontadas com as figuras que as interpretam.

4.1 Crescimento e decrescimento

Definio 4.1

1. Dizemos que a funof(x) crescente no intervaloI se, nesse intervalo,quandoxaumenta de valor,f(x)tambm aumenta de valor.

2. Dizemos que a funof(x) decrescente no intervaloI se, nesse intervalo,quandoxcresce em valor,f(x)decresce.

x

f(x)

x

y

quando x cresce

f(x) cresce

1 2xx

f(x )1

f(x )2

0

Figura 4.1 f crescente em um certo intervaloI.

x

f(x)

x

y

quando x cresce

f(x) decresce

f(x )1

f(x )2

1 2xx

y=f(x)

0

Figura 4.2 f decrescente em um certo intervalo I.

Teorema 4.1 Suponhamos quef contnua no intervalo fechado[a, b]e temderivada nos pontos do intervalo aberto]a, b[.

1. Sef (x) >0 nos pontos do intervalo aberto]a, b[, entof crescente nointervalo fechado

[a, b

].

51


50/121

2. Sef (x) < 0nos pontos do intervalo aberto]a, b[, entof decrescenteno intervalo fechado[a, b].

a b

Figura 4.3 Se a derivadaf (x)se mantm positiva quando a


51/121

crescente em[x0, b]. Veja a Figura 4.5.

a bx0

f(x )0

Figura 4.5 x0 um ponto de mnimo local. Se ftem derivada emx0entof (x0) = 0,pois a reta tangente ao grfico no ponto(x0, f(x0))deve ser horizontal.

Sef

(x

) f

(x0

), para todoxem

[a, b

],x0 umponto de mximo local de f.

Assim sendo, x0 ser um ponto de mximo local defcaso existam inter-valos[a, x0]e[x0, b]contidos em Dom(f) tais quef crescente em[a, x0]edecrescente em[x0, b]. Veja a Figura 4.6.

a bx0

f(x )0

Figura 4.6 x0 um ponto de mximo local. Seftem derivada emx0entof (x0) =0pois no ponto(x0, f(x0))a reta tangente ao grfico deve ser horizontal.

4.2 Derivadas de ordem superior

Sendo f uma funo, definimos f (l-se f duas linhas), a derivada se-

gunda ou segunda derivada de f, como sendo a derivada da derivada de f, ou

seja,

f (x) =(f (x)) .Outras maneiras diferentes de escrever a segunda derivada de y = f(x)

so:

f

(x

)= f(2)

(x

)=

d2y

dx2 =

d

dx

dy

dx

.

53


52/121

A notao d2y

dx2 lida de doisyde xdois.

Analogamente, define-se a terceira derivada de f(x):f (x) = f(3)(x) =(f (x)) = d3y

dx3 =

d

dxd2y

dx2 .

Para cada n 2, a derivada de ordem n, de f(x) definida e escrita dediferentes formas:

f(n)(x) =(f(n1)(x)) = dnydxn

=d

dxdn1y

dxn1 .

4.3 Concavidades do grfico

Definio 4.3

1. O grfico dey = f(x)cncavo para cima (ou tem concavidade voltadapara cima) no intervalo abertoIse, exceto pelos pontos de tangncia, a

curvay =f(x)est, nesse intervalo, sempre no semiplano acima de cadareta tangente a ela nesse intervalo (veja a Figura 4.7).

2. O grfico dey = f(x)cncavo para baixo (ou tem concavidade voltadapara baixo) no intervalo abertoIse, exceto pelos pontos de tangncia, a

curvay = f

(x

)est, nesse intervalo, sempre no semi-plano abaixo de cada

reta tangente a ela (veja a Figura 4.8).

x

y

Figura 4.7 Neste grfico a curva y = f(x) cncava para cima, para valores de xem um certo intervalo aberto I. Neste caso, a inclinao da reta tangente

ao grfico, no ponto(x, f(x)), aumenta medida que x cresce, ou seja, aderivadaf (x) crescente emI, e assim(f(x)) >0, ou seja,f (x) > 0.

54


53/121

x

y

Figura 4.8 Neste grfico a curvay =f(x) cncava para baixo, para valores de xemum certo intervalo aberto I. Neste caso, a inclinao da reta tangente ao

grfico diminui medida que xcresce, ou seja, a derivada f (x) decres-cente emI, e assim

(f

(x

)) 0 para todo x I, a curva y = f(x) cncava para cima no

intervaloI.

2. Se f (x) < 0para todo x I, a curvay = f(x) cncava para baixo nointervaloI.

Definio 4.4 (pontos de inflexo da curva y =f

(x

))

Um pontoP =(x0, f(x0)) umponto de inflexoda curvay =f(x)se, aomenos em um pequeno intervalo, esta curva cncava para cima antes dex0,

e cncava para baixo depois dex0, ou vice-versa. Alm disso a curva deve ter

reta tangente no pontoP.

Isto quer dizer que o ponto P =(x0, f(x0)) um ponto de mudana dosentido de concavidade do grfico def. Veja Figura 4.9.

xx0

P

y

Figura 4.9 P um ponto de inflexo do grfico de f. Nesta ilustrao, a curva y = f(x) cncava para baixo antes de x0, e cncava para cima depois dex0.

Tendo em vista o resultado do Teorema 4.2, se f (x) contnua, os candi-datos a pontos de inflexo so os pontos

(x, f

(x

))para os quais f

(x

)= 0.

55


54/121

Exemplo 4.1 Como primeiro exemplo, consideremos a funof(x) = x2 3x.Temosf (x) = 2x 3 e f (x) = 2. Assim, fe suas derivadas f e f so

todas contnuas em R.

Analisando a variao de sinal de f

(x

), deduzimos:

f (x) >0 2x 3 > 0 x > 32,onde o smbolo significa se, e somente se. Assim, f(x) crescente nointervalox 32, ou seja, no intervalo[32, +[.

Por outro lado,f(x) decrescente no intervalo] , 32].Desse modo, emx0 =32, temos um ponto mnimo local, que acontece ser

o ponto de mnimo de f(x). Note que f (32) = 0, pois se x0 um ponto demximo ou mnimo local, de uma funo derivvel, a reta tangente ao grfico

em(x0, f(x0))deve ser horizontal.Comof (x) =2 >0 para todo x, o grfico de f tem a concavidade sempre

voltada para cima.

Com os elementos deduzidos anteriormente, notando que f(32) = 94, eque0e 3so as razes de f(solues da equaof(x) = 0), temos o esboo dacurvay = x2 3xna Figura 4.10.

1 2 3

3/2

-9/4

-2

-1

0 x

y

Figura 4.10 Grfico da funo quadrticaf(x) = x2 3x.

Exemplo 4.2 Consideremos agora a funof(x) = x3 3x2.Temosf (x) =3x2 6xe f (x) =6x 6. Assim, f e suas derivadas f e f

so todas contnuas em R.56


55/121

Analisando a variao de sinal de f (x), deduzimos:f (x) = 3x(x 2) > 0 x < 0ou x > 2.

Faremos ento um diagrama de sinais da derivada. Neste diagrama indi-

camos os intervalos em que a derivada de f

(x

) positiva (+) ou negativa ()

e, simultaneamente, indicamos os intervalos nos quaisf(x) crescente (), eaqueles nos quaisf(x) decrescente (). Indicamos tambm pontos de mnimolocais e pontos de mximo locais def(x).

y' 2

xy = f(x)

+0+

ponto demximolocal de f

ponto demnimo

local de f

y' = 0y' = 0

Assim, f(x) crescente no intervalo] , 0] e tambm crescente nointervalo[2, +[, sendo decrescente no intervalo[0, 2]. Desse modo 0 pontode mximo local defe2 ponto de mnimo local. Repare que 0e2so razes de

f (x). Assim, nos pontos(0, f(0)) =(0, 0)e(2, f(2)) =(2, 4)as retas tangentesao grfico defso horizontais.

1 2 3

-2

-1

0

x

y

-4

Figura 4.11 Esboo da curvay = x3 3x2.

Analisando a variao de sinal de f (x), temosf

(x

)= 6x 6 > 0 x > 1.

57


56/121

Assim, a curvay = x3 3x2, grfico def, tem concavidade voltada para cima

quando x > 1, e para baixo quando x < 1. O ponto P =(1, f(1)) =(1, 2) umponto de inflexo do grfico.

Com os elementos deduzidos anteriormente, notando que 0 e 3 so as

razes de f(solues da equao f

(x

) = 0), temos o esboo da curva y = x3

3x2 na Figura 4.11, no qual levamos em conta tambm que limx+f(x) = +elim

xf(x) = .

4.4 Problemas

Cada uma das funes f(x)dadas a seguir tem como domnio todo o con-junto R. Para cada uma delas,

(a) Calcule f (x) e, analisando em um eixo os sinais de f (x), determine osintervalos em quef crescente e aqueles em que f decrescente.

(b) Determine os pontos de mximo locais e os pontos de mnimo locais de f,

bem como os valores de f(x)nesses pontos.(c) Calcule f (x)e, analisando em um eixo os sinais de f (x), determine os

intervalos em que a curvay =f(x) cncava para cima e aqueles em queela cncava para baixo.

(d) Determine os pontos de inflexo da curva y =f(x).(e) Calcule os limites lim

x+f(x)e lim

xf(x).

(f) A partir dos dados coletados acima, faa um esboo do grfico def.

1. f(x) =x2 + 2x + 1.2. f

(x

)=x3 6x2 + 9x.

3. f(x) = 4xx2 + 1 .Respostas e sugestes

1. (a)f (x) = 2x + 2. f ( crescente) em] , 1], e ( decrescente) em[1, +[.(b)1 ponto de mximo local de f. f(1) = 2.(c)f

(x

)= 2. A curvay = f

(x

) sempre cncava para baixo.

58


57/121

(d) A curvay =f(x)no tem pontos de inflexo.(e) lim

x+f(x) = , lim

xf(x) = .

2. (a)f (x) =3x2 12x + 9. f em] , 1], em[1, 3], e novamente em

[3, +

[.

(b)1 ponto de mximo local de f, e3 ponto de mnimo local. f(1) =4,f(3) = 0.(c)f (x) = 6x 12. A curvay = f(x) (cncava para baixo) em] , 2[e (cncava para cima) em]2, +[.(d)P =(2, 2) o nico ponto de inflexo do grfico de f.(e) lim

x+f(x) = +, lim

xf(x) = .

3. (a)f (x) = 4(1 x2

)(1 + x2)2 .f em] , 1], em[1, 1], e em[1, +[.(b) 1 ponto de mnimo local de f, e1 ponto de mximo local. f(1) = 2,f(1) = 2.(c)f (x) = 8x(x2 3)(1 + x2)3 .A curva y =f

(x

) em

] ,

3

[, em

]

3, 0

[, em

]0,

3

[e em

]3, +[.(d) Os pontos de inflexo do grfico so(3, 3),(0, 0)e(3,3).(e) lim

x+f(x) = 0, lim

xf(x) = 0.

Esboos dos grficos

1.

1 2 3-1 0 x

y

2

-2

2.

1 2 3

2

0 x

y

4

59


58/121

3.

0 1 2

2

x

y

3 4-1-2-3

-2

4.5 Esboando grficos: um aprofundamento

Aprenderemos agora como esboar grficos de funes que tem uma (ou

mais de uma) das seguintes peculiaridades:

(i) o denominador na frmula de f(x)se anula para um ou mais valores de x.(ii) f(x) contnua, mas na frmula def (x), ou na frmula de f (x), aparece

um denominador que se anula para um ou mais valores de x.

(iii) quandox +(ou quando x ), f

(x

)aproxima-se de uma constante

c, e assim a curvay = f(x)aproxima-se indefinidamente da reta horizontaly = c(chamadareta assntota horizontal da curvay = f(x)).

Exemplo 4.3 Esboar o grfico da funo dada porf(x) = 2x + 1x 2

, ou seja, es-

boar a curva de equaoy =2x + 1

x 2.

Detectando retas assntotas verticais.

Repare que Dom

(f

) = R

{2

}. O denominador de f

(x

)se anula quando

x = 2.

Agora,

limx2+

f(x) = limx2x>2

2x + 1

x 2 =

5

0+=+, lim

x2f(x) = lim

x2x


59/121

sobem no plano xy, aproximando-se indefinidamente dessa reta, e quando

x 2, os pontos do grfico descem no planoxy, tambm aproximando-se

indefinidamente da reta assntotax =2.

Crescimento e decrescimento.

Temos

f (x) = (2x + 1) (x 2) (x 2) (2x + 1)(x 2)2 = 2(x 2) (2x + 1)(x 2)2 .Portanto,

f (x) = 5(x 2)2 .Assim sendo f (x) < 0para todo x em Dom(f) = R {2}. Assim, f(x)

decrescente () antes e depois de x =2, e no pode ter mximos nem mnimos

locais.

Para simplificar o estudo da funo, fazemos um diagrama de sinais de f

e intervalos de crescimento e decrescimento de f. O smbolosignifica noexiste ou no se define.

f

f '

f ( 2 )

2

x

Concavidades do grfico.

Temos

f (x) = 5(x 2)2

=[5(x 2)2] =10(x 2)3 = 10(x 2)3 .Assim o seguinte diagrama de sinais def e direes de concavidades do

grfico def:

f '' 2

xy = f(x)

+

Como2Dom(f), o grfico no tem ponto de inflexo. Comportamento def

(x

), quandoxtende ao infinito.

61


60/121

Temos

limx+

f(x) = limx+

2x + 1

x 2 = lim

x+

2x

x =2e tambm lim

xf(x) = 2.

Assim, a reta y = 2 uma assntota horizontal direita e esquerda do

grfico def.

2

4

y = 2

-4

-2

0

-4 -2

862 4

8

6

x = 2

Figura 4.12 Esboo do grfico def, com base nos aspectos estudados anteriormente.

Exemplo 4.4 Esboar o grfico dey = 3x2 1.Neste caso, Dom(f) = R, e f contnua em todos os pontos de R.

Crescimento e decrescimento.

Para analisar crescimento e decrescimento da funo, calculamos

dy

dx =

( 3

x2 1

)=

(x23 1

)=

2

3x13 =

2

3x1

3 =

2

3 3

x

.

Assim, temosdy

dx >0

2

3 3

x>0 x >0.

Logo, temos o seguinte diagrama de sinais de f e intervalos de cresci-

mento e decrescimento def. Uma vez mais, lembramos que smbolosignificano existe ou no se define.

Concavidades do grfico.62


61/121

f0

x

+

f

' ( 0 )

p o n t o d e

m n i m o

l o c a l

d y

d x

_ _

Sendo dy

dx =

2

3x13, temos

d2y

dx2 =2

3x13 = 2

9x43 =

2

9x43 =

2

93

x4.

Logo, obtemos o seguinte diagrama de sinais def e direes de concavi-

dades do grfico de f:

f '' 0

xy = f(x)

Note que a funof(x) = 3x2 1 contnua, mas no temos f (x)quandox =0.

fcil ver que quando x ,f

(x

)=

3

x2 1vai para +.

Com base no estudo feito, o esboo do grfico da curva de equao y =3x2 1 mostrado na Figura 4.13.

x

y

(0,-1)

1-1

Figura 4.13 Esboo do grfico da curva de equaoy = 3

x2 1.

4.6 Problemas

Para cada uma das funes dadas a seguir,63


62/121

(a) Determine o domnio da funo e, havendo zeros no denominador de f(x),verifique se a curvay = f(x)tem retas assntotas verticais.

(b) Calculef (x)e determine os intervalos em que f crescente e aqueles emquef decrescente.

(c) Determine os pontos de mximo locais e os pontos de mnimo locais de f,bem como os valores de f(x)nesses pontos.

(d) Calculef (x)e determine os intervalos em que a curvay =f(x) cncavapara cima e aqueles em que ela cncava para baixo.

(e) Determine os pontos de inflexo da curva y =f(x).(f) Estude o comportamento de f(x)quandox +e quandox .(g) A partir dos dados coletados anteriormente, faa um esboo do grfico de

f.

1. f(x) = xx2 2

.

2. f(x) = x21 + x

.


Daremos como resposta apenas as derivadas primeira e segunda, e o es-

boo de cada grfico.

1. f (x) = x2 + 2(x2 2)2 , f (x) = 2x3 + 12x(x2 2)3.

2

2

0

x

y

64


63/121

2. f (x) = 2x + x2(1 + x)2 , f (x) = 2(1 + x)3 .

-1 0 x

y

(-2,-4)

65


64/121


65/121

UNIDADE 5

Funes exponenciais e logartmicas, o

nmeroe


66/121


67/121

Nesta unidade faremos uma pequena reviso das funesf(x) =ax (expo-nencial) eg(x) =loga x(logartmica), sendo a uma constante real,a >0e a 1.Faremos ainda uma apresentao do nmero e, uma constante importante na

matemtica universitria.

5.1 Pequena reviso de potncias

Sabemos que, sendo aum nmero real positivo,

a1n =

n

a e amn =

n

am.

se m, n Z, e n > 0. Assim define-se a potncia de baseae expoentep, ap

(l-se aelevado ap), para todo nmero racionalp.Sendoa R,a > 0, e sendoum nmero irracional, existe uma sequncia,

de nmeros racionais,1, 2, 3, . . ., que se aproxima indefinidamente de (isto

, com limn+

n =). Neste caso,a definido como o limite da sequncia

a1 , a2, a3 , a4 , . . .

Por exemplo,2

2

o limite da sequncia

21, 21,4, 21,41, 21,414, . . .

Uma calculadora nos fornece as aproximaes:

21 =2,

21,4 2, 6390,

21,41 2, 6574,

21,414 2, 6647,

21,4142 2, 6651.

No que diz respeito s potncias de base real positiva e expoente real,

temos as seguintes importantes propriedades, que aceitaremos sem demons-

trao:69


68/121

Sea R,a > 0, e x, y R, ento

ax ay =ax+y,

(ax)y =axy,ax =

1

ax, axy =

ax

ay, a0 =1,

ax bx =(ab)x, se tambmb > 0.5.2 A funo exponencial

Sendo aum nmero real, positivo, a 1, define-se a funo exponencial

de baseapor

f(x) = ax, para todox R.Tomamos a 1 pela simples razo de que 1x = 1 para todo x R (e a

funo constantef(x) = 1no classificada como funo exponencial).Alm disso, tomamos a > 0porque, se a < 0, ax no se define para uma

infinidade de valores reais de x. Por exemplo, se a = 4ento,(4)12 = 4no um nmero real.

Assumiremos que a funo exponencial,f(x) =ax, (0 < a 1) contnuaem R, isto ,

limx

x0

ax =ax0, para todox0 R.

Tambm assumiremos que se a > 1, a funo f(x) =ax crescente, comlim

x+ax =+, e se0


69/121

Sea > 1,a+ =+, a =1

a+=

1

+=0+ (=0).

Se0 < a < 1,a+ =0+ (=0), a = 1a+

=1

0+=+.

Por exemplo, como podemos intuir pelos grficos na Figura 5.1,

limx+

2x =2+ =+, limx

2x =2 =0,

limx+1

2x =1

2+ =0 e lim

x1

2x =1

2 =2+ =+.

5.3 Logaritmos e funes logartmicas

Se a >0,a 1, e x >0, ologaritmo dex na basea, denotado porloga x,

o expoente ao qual devemos elevar apara obtermosx, ou seja

loga x =y se e somente se ay=x.

Assim sendo,

aloga x =x.

Por exemplo,

log2 8 = 3, pois23=8;

log9 27 = 32

, pois932 =

93 =33 =27;

log21

4 =2, pois22 =14;

log2 5 2, 3219, pois22,3219

4,9999.

Listamos aqui, sem deduo, algumas propriedades elementares dos lo-

garitmos:

Sendoxe yreais positivos,zreal, e a > 0, a 1,

loga(xy) = loga x + logay,loga

x

y =loga x logay,

loga xz=z loga x,

loga x1z

=loga x

z (sez 0),

loga x =logb x

logb a (seb >0, b 1) (mudana de base).

71


70/121

Assim, por exemplo, a passagem dos logaritmos decimais (base 10) para

os logaritmos de base 2 dada por

log2 x =log10 x

log10 2 =

log x

log 2.

Sendo a funo f

(x

)= ax contnua e crescente quando a > 0, e decrescente

quando0 < a < 1, temos queloga x definida para todo x > 0.Alm disso, sea > 0,loga crescente, e se0 < a < 1,loga decrescente.

Na Figura 5.2, temos esboos dos grficos de f(x) =log2 xeg(x) = log12 x.Admitiremos quef(x) = loga x contnua no seu domnio]0, +[, ou seja,

sex0 >0ento limxx0

loga x = loga x0.

(a)

1

1

-1

x

y

1/2

2

2

-2

4

0

(b)

1

1

-1

x

y

1/2

2

2

-2

40

Figura 5.2 Grficos de (a)y = log2 x, (b)y = log12 x.

Alm disso, temos ainda (confira isto observando os grficos da Figura 5.2).

limx0+

loga x = loga(0+) =

sea > 0

+ se0 < a < 1,

bem como tambm (confira observando os grficos da Figura 5.2)

limx+

loga x =loga(+) = + sea > 0

se0 < a < 1.

5.4 O nmeroe

Na matemtica universitria, h duas constantes numricas muito impor-

tantes. So elas o nmeropi, 3,14159, e o nmeroe,e 2,71828.72


71/121

O nmeroe definido como sendo o limite

e = limn+1 + 1

nn .

Pode ser demonstrado que o nmero e irracional.

Observe a tabela de valores (aproximados) de1 + 1nn

, paran = 1,10,100,1000,10000,100000, dada a seguir.

Tabela 5.1 Valores de 1n

, 1 + 1n

, e1 + 1nn (aproximados), para n =1, 10, 100, 1000,

10000,100000.

n 1n 1 + 1n 1 + 1

nn

1 1 2 21 =2

10 0, 1 1, 1 (1, 1)10 2, 59374100 0, 01 1, 01 (1,01)100 2,70481

1000 0, 001 1, 001 (1, 001)1000 2,7169210000 0,0 001 1,0 001 (1,0001)10000 2, 71815

100000 0, 00001 1,00001 (1, 00001)100000 2, 71828

Note que limn+1 + 1

n = 1 + 1

+ =1.

Assim, podemos enganosamente concluir que, quandon muito grande,1 + 1nn 1n = 1(mesmo calculadoras de boa qualidade podem nos induzir a

este erro). Neste caso, nossa intuio falha, pois pode ser demonstrado que

quandon muito grande,

1 +

1

n

n

2,71828.

Assim sendo, temos um novo smbolo de indeterminao: 1 .

Vamos admitir, sem demonstrao, os seguintes limites envolvendo o n-

meroe.

limx+1 + 1

xx =e, lim

x1 + 1

xx =e,

limx0

(1 + x

)1x =e, lim

h0

eh 1

h =1.

73


72/121

Sex > 0, chama-selogaritmo naturaloulogaritmo neperianode xao loga-

ritmo

ln x =loge x.

Como e 2,71828 >1, a funo f(x) =ln x crescente e seu grfico tem,qualitativamente, a forma do grfico deg

(x

)= log2 x, Figura 5.2a.

A passagem dos logaritmos naturais para os logaritmos decimais (base 10)

dada por

log10 x =loge x

loge 10 =

ln x

ln 10.

5.5 Problemas

1. Calcule os seguintes limites. Lembre-se que1 um smbolo de indeter-

minao.

(a) limx+1 + 2

xx, (b) lim

x+ x

1+xx, (c) lim

x+3x+1

2x+3x.

2. Sendof(x) =2 1x , calcule os limites laterais limx0+

f(x)e limx0

f(x).Respostas e sugestes

1. (a)e2.Sugesto: Para contornar a indeterminao1+, faa1 +2

x =1 +

1

y,

(b)1e.Sugesto.Para contornar a indeterminao1+, faa x

1 + x =1+1

y ,(c)(32)+ =+.

2. +e 0, respectivamente.

5.6 Derivando funes exponenciais e logartmicas

Nesta seo estaremos apresentando as derivadas das funes f(x) =axeg

(x

)= loga x, sendoauma constante real, a > 0e a 1.

O que faz do nmero euma constante to especial ? A resposta est na

seguinte nova regra de derivao:

Regra 10

1. Sef(x) =ex, entof (x) =ex. Ou seja, a derivada da funo exponencialde baseecoincide com a prpria funo.

2. Sef

(x

)=ax

(a > 0,a 1

), entof

(x

)= ax ln a.

74


73/121

3. De um modo geral, pela regra da cadeia,(eu) =euu, e(au) =auu ln a.Para funes logartmicas, temos as regras de derivao a seguir:

Regra 11 Derivando em relao ax, temos

1.(ln x)

=

1

x . 2.(ln x)

=

1

x .3.(loga x) = 1x ln a . 4.(loga x) = 1x ln a .

De um modo geral,

5.(ln u) = 1u

u. 6.(loga u) = 1u ln a u.Uma consequncia do resultado anterior a regra de derivao:

Regra 12 Sendouma constante real, racional ou irracional, eu>0,

(u) =u1 u.Exemplo 5.1 (uma funo exponencial de base e expoente variveis)

Calcular a derivada de

f(x) =xx.Soluo.Sendo y =xx, aplicando a funo ln em ambos os membros da igual-

dade, temos

lny = ln xx =x ln x.

Derivando ambos os membros em relao a x, por derivao implcita,

temos

(lny) =(x ln x) ,1

yy =ln x + x (ln x) ,

y =y ln x + x 1x = xx(1 + ln x).

Portanto, (xx) =xx(1 + ln x).5.7 Problemas

1. Calcule as derivadas das seguintes funes.

(a)y = e3x, (b)y = e4x+5, (c)y = 3x2+2x,

(d)y = ex

(1 x2

), (e)y = e

x1

ex+1, (f)y = x1x.

75


74/121

2. Calcule as derivadas das seguintes funes. Lembre-se:(ln u) = uu

.

(a)y = ln ax + b, (b)y = loga(x2 + 1), (c)y = ln ex1+ex ,(d)y = ln 1+x

2

1x2, (e)y = ln x2 + 2x, (f)y =(ln x)3.

3. Calcule dy

dx, se y = f

(x

) definida implicitamente pela equao: (a)

3y x2

+ ln(xy) = 2, (b)x lny y ln x = 1.4. Determine a equao da reta tangente curvay = x2 + ln(2x 5)no ponto

dessa curva de abcissa x0 =3.

5. Esboce o grfico de y =ex2, analisando a funo f atravs de derivadas

e clculos de limites apropriados.

6. A posio sde um ponto mvel Psobre um eixo horizontal s dada por

s

(t

) = t2 4 ln

(1 + t

), t 0, sendo sdado em centmetros e tem segun-

dos. Determine a velocidade e a acelerao do ponto P em um instante t

qualquer.

Respostas e Sugestes

1. (a) 3e3x, (b)4e4x+5, (c)2(x + 1)3x2+2x ln 7, (d)ex(1 2x x2),(e)

2ex(ex + 1)2 , (f) x1x 1ln xx2 Sugesto: Primeiro aplique a funo lnnosdois membros da igualdade, e logo derive implicitamente, em relao a x.

2. (a) aax+b

, (b) 2x(x2+1) lna , (c) 11+ex

, (d) 4x1x4

, (e) 2x+1x2+x

, (f) 3(ln x)2

x .

3. (a) dydx =

(2x21)yx(3y+1), (b)

dydx =

y2xy lnyx2xy lnx

.

4. y = 8x 15.

5. v(t) = 2(t2+t2)t+1

,a(t) = 2 + 4(t+1)2 .6. Daremos como resposta apenas as duas primeiras derivadas e o grfico.

1-1 0

1

x

yy

=2xex2

,y =(4x2 2)ex2 .Dado numrico:e12 0,6.

76


75/121

UNIDADE 6

Funes trigonomtricas, regras de LHopital


76/121


77/121

Agora faremos uma pequena reviso de funes trigonomtricas e suas

derivadas. Estudaremos tambm um mtodo para calcular limites indetermina-

dos por meio de derivadas.

6.1 Pequena reviso de trigonometria

6.1.1 Trigonometria geomtrica

Consideremos os tringulos ABCe ABC da Figura 6.1. Os dois trin-

gulos so semelhantes, pois seus ngulos internos so iguais (congruentes).

Assim, temos

AB

AC =

AB

AC,

BC

AC =

B C

AC,

BC

AB =

BC

AB.

A

C

B

C'

B'

Figura 6.1 Os tringulosABCeA BC so semelhantes.

Assim, sendo ABCum tringulo retngulo, como na Figura 6.1 as razesAB

AC,

BC

ACe

BC

ABdependem somente da abertura = A.

Chamamos

cosseno de =cos =AB

AC =

cateto adjacente ao ngulo

hipotenusa ,

seno de =sen =BC

AC =

cateto oposto ao ngulohipotenusa

,

tangente de =tg =BC

AB =

cateto oposto ao ngulocateto adjacente ao ngulo

.

Deduz-se imediatamente quetg =sen

cos .

So bem conhecidos os valores79


78/121

cos sen tg

0 1 0 0

30

32 12 1345

2

2

2

2 1

60 12 32 390 0 1 no se define

SePQ um arco de um crculo de raio r, correspondente a um ngulocentral de abertura, o comprimentocdePQ dado por

c = r

(medida deem radianos

).

P

Q

c

r

O

Figura 6.2 O comprimentocdo arco circularPQ dado porc = r, sendoa medidado ngulo central em radianos.

Assim, o comprimentoc do arcoPQ diretamente proporcional a r e a .Quando=360, temos

c =comprimento da circunferncia =2 r.

Assim sendo,

360graus = 2radianos, ou seja, 180 =.

Se r = 1 =uma unidade de comprimento, o comprimento cdo arcoPQsimplesmente a medida deem radianos.

A rea do setor circular de ngulo central tambm proporcional a .

Quando=2, temos a rea de um crculo de raio r: A =r2. Assim, um setor

circular de abertura , tem reaA=

2 r2 (em radianos).

80


79/121

6.1.2 Trigonometria analtica

Para definir as funes trigonomtricas de varivel real, consideramos, em

um sistema cartesiano ortogonal, a circunferncia de equao x2 +y2 = 1(de

centro em

(0, 0

)e raio 1). Esta circunferncia o que chamaremos de crculo

trigonomtrico.

Dado um nmero real , tomamos A =(1, 0) e demarcamos, no crculotrigonomtrico, um ponto Ptal que a medida do percurso de Aa P, sobre o

crculo trigonomtrico, igual a(Figura 6.3).

A=(1,0)

P

x

y

O

(x ,y )

=

Figura 6.3 a medida algbrica do arco orientado AP, sendo A =(1, 0), e P =(x, y)um ponto do crculo trigonomtrico.O percurso

AP feito no sentidoanti-horriose >0, e feito no sentido

horriose


80/121

t=tg =tangente de.

Assim sendo,tg =sen

cos .

Se 0


81/121

A

P

x

y

O

'

'

tg

cos

sec

cotg

sencosec

1

y

x

Figura 6.5 Interpretao geomtrica das seis funes trigonomtricas de um arco

no primeiro quadrante.

1

- 1

0

/ 2

/ 2

3

2

-

x

y

y = s e n x

1

- 1

0

/ 2

/ 2

3

2

-

x

y

/ 2

y = c o s x

- 1

0

/ 2

/ 2

3

-

x

y

/ 2

1

/ 4

y = t g x

Figura 6.6 Esboos dos grficos das funes seno, cosseno e tangente.

83


82/121

3. sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a,sen(a b) = sen a cos b sen b cos a,cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b,cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b.

4. cos

(a

)= cos a, sen

(a

)= sen a,

tg(a) = sen(a)cos(a) = sen acos a = tg a.5. sen 2a = sen(a + a) = 2 sen a cos a,

cos 2a = cos(a + a) = cos2 a sen2 a.6. cos a = sen

2 a, sen a = cos

2 a.

6.2 Derivando funes trigonomtricas

Apresentamos agora as derivadas das funes trigonomtricas.

Regra 13 Derivando em relao ax, temos

(sen x) =cos x,(cos x) = sen x,(tg x) =sec2 x,(cotg x) = cosec2 x,(sec x)

=

sec xtg x,(cosec x) = cosec xcotg x.De um modo geral, pela regra da cadeia, obtemos

(senu) =(cosu) u, (cosu) =(senu) u, (tgu) =(sec2u) u etc.As derivadas das quatro ltimas funes trigonomtricas podem ser calcu-

ladas a partir das derivadas das funes seno e cosseno, fazendo-se uso das

relaes

tg x = sen xcos x

, cotg x = cos xsen x

sec x = 1cos x

, e cosec x = 1sen x

,

e aplicando-se a regra de derivao de quociente,uv = uv uv

v2 .

6.3 Funes trigonomtricas inversas e suas derivadas

A funo arco-seno Para cada nmero real a, 1 a 1, existe um nico

arco orientado,

2

2, tal quesen =a.

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