Kinematica van mechanismen Ontwerpen van nokken Uitwerking m.b.v. Mathcad G. Cool 2 ONTWERPEN VAN NOKKEN Lijst van gebruikte afkortingen en symbolen verklaringsymbooleenheid Hefhoogtehmmm Doorlopen hoek u rad of Stijghoek u1 rad Openingshoek u2 rad Heffuncties(u)of h(u)mm Rotatiefrequentie e rad/sec Snelheidsfunctiev(u)m/sec Versnellingsfunctiea(u)m/sec Jerk- of stootfunctiej(u)m/sec Excentriciteitc of emm Drukhoek |( u) rad of Verdraaiing van de nok bij excentriciteit o rad of Kromtestraal of pitchrad of GrondstraalRgmm Primaire straalRpmm Straal van de rolvolgerRfmm Diameter van de rolvolger Dfmm Initile volger verplaatsingdmm Initile verplaatsingshoek (0) rad of Functie van de nok in poolcordinatenR(u)/ Functie van de nok in cartesiaanse cordinatenxs(u) ys(u)/ 3 Inleiding Eennokkenmechanismekomjetegenwoordigoveraltegen.Ditinzeeruiteenlopendematen envormen.Jekomtzeelkedagtegen,bijvoorbeeldaljedewasmachineaanzet,steljeeen nok in die zeer langzaam draait en die een wasprogramma afwerkt. Eennokkenmechanismeheeftalsdoeleenrotatieomtezettenineenrechtlijnigeheenen weergaande beweging of een heen en weergaande rotatie. Demeestgekendeenmeestvoorkomendetoepassingzalweldeautomotorzijn.Daarin worden de kleppen gestuurd door een nokkenas. In deze tekst wordt een korte technologische inleiding gegeven. Daarna wordt stap voor stap de wiskundige uitwerking gegeven voor het berekenen en ontwerpen van een radiale nok. Belangrijkomdeberekeningentekunnenvolgenistewetendatderotatiefrequentie(e) gedurendedezetekstgelijkisgesteldaan1rad/sec.Ditiszotenzijerexplicietanders vermeld staat. 1Indeling Erbestaanzeerveeluiteenlopendesoortennokken.Daaromzijnzeingedeeldintweegrote groepen. De axiale nokken: hierbij verplaatst de volger zich parallel aan de as of rotatie van de nok. Deze soort wordt hier niet besproken. Deradialenokken:dezekomenzeerveelvoor.Denaamzegthetzelf,devolger verplaatst zich in radiale richting ten opzichte van de nok. Dezelaatstegroepkunnenwenogeensindelenintweegroepen.Denokkenworden ingedeeld aan de hand van de soort radiale verplaatsing. Rotatie van de volger Translatie van de volger Hier is enkel de translatie van een volger besproken. Dit voor drie soorten volgers: Stiftvolger Plaatvolger Rolvolger 4 1.1De stiftvolger Een stiftvolger bestaat uit een relatief scherpe punt die op de nok rust. Dit wil dus zeggen dat het raakpunt van de volger en de nok altijd op hetzelfde punt van de volger blijft, en dus niet verschuift ten opzichte van de centerlijn van de volger. Ditheeftalsnadeeldaterwrijvingontstaattussendestiftende nok met als gevolg dat er slijtage optreedt bij zowel bij de nok als bij de volger. Deberekeningenvandezenokmetstiftvolgerwordenhierzeer uitgebreidbesprokenomdataldeberekeningenvannokkenmet andere volgers op deze berekeningen gebaseerd zijn.. 1.2De plaatvolger Opheteindevandevolgeriseenvlakkeplaatgemonteerd.Dit heeft als gevolg dat het raakpunt niet loodrecht onder de volger asblijft,maarverplaatstzichoverhetvlakvandeplaat.Dit maaktdeberekeningalietsingewikkelder.Ditiseen veelgebruikte volger omdat ze kleiner zijn dan de rolvolgers. Er is minder inbouwruimte nodig. Ook de wrijving is een voordeel van deze volger ten opzichte van de stiftvolger. Dezevolgerbegintnumeerenmeergebruikttewordenbij motorkleppen. 1.3De rolvolger Dit zijn volgers waarop het eind van de volgerstang een gelagerde cilinderisgemonteerd.Ditheeftalsgrootvoordeeldater praktischgeenwrijvingmeeroptreedt.Zewordenoverhet algemeen gebruikt bij productie machines. Deberekeningenvandezenokzijnnogeenstukingewikkelder omdat het contactpunt zich verplaatst op de omtrek van de volger, die cirkelvormig is. Figuur 1-1: nok met stiftvolger Figuur 1-2: nok met plaatvolger Figuur 1-3: nok met rolvolger 5 2Inleidende begrippen 2.1Soorten diagrammen Bijhetontwerpenvaneennokisermeestalgegevenwatdehefhoogtemoetzijnen gedurende welk tijdsinterval de volger hoog moet zijn. Opwelkemanierdevolgernaardithoogstepuntwordtgebracht,kanmeestalvrijgekozen worden. Alsvoorbeeld,omdesoortengrafiekenuitteleggen,wordtdemeesteenvoudige hefkrommendieerbestaatgebruikt.Dezehefkrommenwordenbekomendoordevolger lineair te laten stijgen naar het hoogste punt. Door middel van de andere grafieken: Snelheidsdiagram Versnellingsdiagram Jerk wordtergecontroleerdofdegekozenhefkrommetoegelatenis,endusgeenmechanische problemen oplevert. Hier zal dan ook blijken dat deze simpele hefkromme ontoelaatbaar is. 2.1.1Bewegingsdiagram Inditdiagramwordtdeafstanddiedevolgermoetafleggenuitgezetinfunctievande hoekverdraaiing van de nok. Dit is voor elke radiale nok hetzelfde, ongeacht het soort volger. Het hangt enkel af van de gewenste heffing in de machine. Uitleg van de gebruikte termen: TermOmschrijving HeffingshoogteDe totale hoogte die devolger moet stijgen vaneen logische 0-stand naar een logische 1-stand StijghoekDehoekverdraaiingvandenokwaarbijdevolgervande logische 0-stand naar de logische 1-stand overgaat. ExcentriciteitDe eventuele maat van de hartlijn van de volger naar de hartlijn van de nok Totale openingshoek Deduurvanhetbeginvandeheffingtotdevolgerteruginde logische 0-stand komt. Voorbeeld: heffingshoogte:hm 10 := Stijghoek :u1t4:= Eventuele excentriciteit:c 0 := Doorlopen hoek:u 0 0.01 , 2t .. := Totale openingshoek:u2 t := 6 su ( ) uhmu1 0 u s u1 s ifhm u1 u < u2 u1 s ifu hmu1 4 hm + u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:= 0 45 90 135 180 225 270 315 360510su ( )u180t Grafiek 2-1: lineaire heffing Er is een simpele hefkromme gekozen, de volger zal lineair stijgen van het laagste punt naar het hoogste punt. Uitdegrafiekkanafgeleidwordendatdevolgermoetstijgengedurendedeeerste45 hoekverdraaiing van de nok. De volger stijgt tot een hoogte hm=10mm en blijft op die hoogte tijdens de volgende 90 hoekverdraaiing van de nok. De volgende 45 hoekverdraaiing zal de volger terug dalen tot 0. Als deze hefkromme gebruikt wordt, zal de volger op de vlugste manier van het laagste punt naar het hoogste punt stijgen. Maar of dit mechanische problemen oplevert, kan aan de hand van deze grafiek niet achterhaald worden.2.1.2Snelheidsdiagram In dit diagram wordt de snelheid van de volger uitgezet in functie van de hoekverdraaiing van de nok. Dit wordt berekend door de eerste afgeleide te nemen van de hefkromme. stel: rotatiefrequentie =e 10radsec:= vu ( )usu ( ) e dd:= 7 0 45 90 135 180 225 270 315 360100100vu ( )u180t Grafiek 2-2: snelheid bij lineaire heffing Uit de grafiek kan worden afgeleid dat de volger een snelheid heeft in de eerste 45 en tussen 135en180.Ditkanlogischverklaardwordenomdatdevolgergedurendedeeerste45 gradenentussen135en180stijgtofdaalt.Omdatdezebeweginglineairverloopt,ishet logisch dat de snelheid van de volger constant is. Omdatdesnelheidvandevolgergedurendedeandereperiodesnulis,zalditwaarschijnlijk problemen opleveren bij de versnelling. 2.1.3Versnellingsdiagram In dit diagram wordt de versnelling van de volger uitgezet in functie van de hoekverdraaiing van de nok. Dit wordt berekend door de tweede afgeleide te nemen van de hefkromme. stel: rotatiefrequentie =e 10radsec:= a u ( )2usu ( ) e dd2:= 0 45 90 135 180 225 270 315 360au ( )u180t Grafiek 2-3: versnelling bij lineaire heffing + + 8 uit de grafiek: Bij het begin en einde van een beweging van de volger zal er een oneindig grote versnelling plaatsvinden.Ditislogischintezien,doordatdevolgeropeenoneindigkleintijdsinterval eenbepaaldesnelheidmoetbereiken.Doordetraagheidvandevolgerisditpraktischniet realiseerbaar en zal dit leiden tot zeer grote krachten. 2.1.4Jerk Jerkiseenanderebenamingvoorstoot.Ditisdederdeafgeleidevandehefhoogtenaarde tijd. Als er in het verloop van de jerk een sprong zit betekend dit dat er een stoot plaats vindt. Dit heeft voor gevolg dat er zeer grote krachten kunnen ontstaan op de volger en de veer van de volger. Alseennokslechtontworpenis,kunnenerzeergrotestotenvoorkomen.Omdateennok meestalmeteenvasttoerentalroteert,zalditmeteenbepaaldefrequentiegebeuren.Het gevaar bestaat dat deze frequentie overeenkomt met de eigenfrequentie van de machine. In dat geval,zullenerzeergrotetrillingenontstaan,wattotextraslijtagekanleideneninextreme gevallen tot breuk! Het is dus van groot belang dat de jerk beperkt wordt. stel: rotatiefrequentie =e 10radsec:= j u ( )3usu ( ) e dd3:= 0 45 90 135 180 225 270 315 3605050j u ( )u180t Grafiek 2-4: stootfactor bij lineaire heffing uit de grafiek: Opvierplaatsenisdejerkoneindiggroot.Ditwilzeggendaterzeergrotestotenworden uitgeoefend op de veer van de volger. Dit zal dus leiden tot te grote krachten op de volger en veer van de volger. Er kan besloten worden dat deze hefkromme ontoelaatbaar is. 2 2 2 +2 +9 2.2Besluit Dit gekozen voorbeeld is dus, zoals eerder vermeld, zeer slecht. We zien dat er vier maal een oneindig grote stoot voorkomt. Een mogelijkheid om deze oneindig grote versnelling en stoot weg te krijgen, is afrondingen aanbrengenaandehefkromme.Daardoorzaldestootveelkleinerworden.Erbestaaneen aantal soorten hefkrommes. Hieronder worden de voornaamste besproken. 2.3Soorten hefkrommes 2.3.1Een harmonische heffing Devolgerzalnuvaneenlogische0-standnaardelogische1-standgaandoorgebruikte maken van een cosinusfunctie. heffingshoogte:hm 10 := Stijghoek:u1t4:= Eventuele excentriciteit:c 0 := Doorlopen hoek:u 0 0.01 , 2t .. := Totale openingshoek:u2 t := su ( )hm2hm2cos tuu1|

\||. 0 u s u1 s ifhm u1 u < u2 u1 s ifhm2hm2cos tuu1|

\||. u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:= 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360510heffingsdiagram (harmonische heffing)s u ( )u 180 t Grafiek 2-5: harmonische heffing 10 Dezehefkrommezalwaarschijnlijkgeenontoelaatbareversnellingenveroorzaken.Of dit zo is, kan gecontroleerd worden door de andere grafieken te berekenen. de snelheid van de volger: V u ( )usu ( )dd:= 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 3602020Vu ( )u180t Grafiek 2-6: snelheid bij harmonische heffing de versnelling van de volger: a u ( )2usu ( )dd2:= 0 1 2 3 4 5 6 71005050100au ( )u Grafiek 2-7: versnelling bij harmonische heffing 11 de jerk van de volger: j u ( )3uhm2hm2cos tuu1|

\||. |

\||.dd30 u s u1 s if3uhmdd3u1 u < u2 u1 s if3uhm2hm2cos tuu1|

\||. |

\||.dd3u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:= 0 1 2 3 4 5 6 7400200200400j u ( )u Grafiek 2-8: stootfactor bij harmonische heffing 2.3.2Een parabolische hefkromme Hierwordtgetrachtdeversnellingconstanttehoudengedurendedeheffing.Voor het eerste deel van de heffing, wordt de volger met een constante versneld en voor het tweede deel, wordt de volger met een constante vertraagd. su ( )2 hm u12u2 0 u su12s ifhm 1 2 1uu1|

\||.2

((u12u < u1 s ifhm u1 u < u2 s ifs5u ( ) u2 u < u2u12+ s ifs3u ( ) u2u12+ u < u2 u1 + s if0 otherwise:= 12 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 36010heffingsdiagram (parabolische heffing)s u ( )u 180 t Grafiek 2-9: parabolische heffing de snelheid van de volger: V u ( )usu ( )dd:=0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360Vu ( )u180t Grafiek 2-10: snelheid bij parabolische heffing de versnelling van de volger: a u ( )2usu ( )dd2:= 0 1 2 3 4 5 6 770353570au ( )u Grafiek 2-11: versnelling bij parabolische heffing 13 de jerk van de volger: j u ( )3usu ( )dd3:= 0 1 2 3 4 5 6 711j u ( )u Grafiek 2-12: stootfactor bij parabolische heffing De parabolische heffing heeft niet zo een gunstig effect zoals verwacht werd: er wordt nu een sprongverkregenindeversnellingdietweemaalzogrootisalshetmaximum.Ditzaldus leidentotstoten,watalsgevolgzalhebbendatdekrachtenooktweemaalzogrootzullen zijn. 2.3.3De heffing door hogere- of scheve sinus Tenslottewordtdeheffingdooreenschevesinusbesproken.Ditheeftvoorgevolgdatde versnellingnietlangereensprongzalvertoneninhetverloop.Hierzullenerpraktischgeen stotenoptreden.Hetisduseenzeergunstigeheffingskromme.Dezeheffingwordtmeestal gebruikt in de praktijk voor het ontwerpen van een nok. heffingshoogte :hm 10 := Stijghoek :u1t4:= eventuele excentriciteitc 0 := Doorlopen hoek:u 0 0.01 , 2t .. := Totale openingshoek:u2 t := su ( )hmu1u hm2 t sin2 t u1u |

\||. |

\||.0 u s u1 s ifhm u1 u < u2 u1 s ifhmhmu1u u2 u1 + ( ) hm2 t sin2 t u1u u2 u1 + ( )

((

(( u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:= + +14 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360510heffingsdiagram (scheve sinus)s u ( )u 180 t Grafiek 2-13: heffing door scheve sinus de snelheid van de volger: vu ( )usu ( )dd:=0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 3602020vu ( )u180t Grafiek 2-14: snelheid bij scheve sinus heffing de versnelling van de volger: a u ( )2usu ( )dd2:=0 1 2 3 4 5 6 7100100au ( )u Grafiek 2-15: versnelling bij scheve sinus heffing 15 Jerk van de volger: j u ( )3uhmu1u hm2 t sin2 t u1u |

\||. |

\||.dd30 u s u1 s if3uhmdd3u1 u < u2 u1 s if3uhmhmu1u u2 u1 + ( ) hm2 t sin2 t u1u u2 u1 + ( )

((

((

((dd3u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:=0 1 2 3 4 5 6 710005005001000j u ( )u Grafiek 2-16: stootfactor bij scheve sinus heffing 16 3Principevandeconstructievaneennokvooreen gegeven hefkromme Zoalsbesloteninhetvorigepunt,wordthetbestdeheffingdooreenschevesinusgebruikt. Voor de vorm van de nok definitief bepaald kan worden, moeten eerst een paar eigenschappen vastgelegd worden. Devolledigehefkrommemoetgekendzijn.Daarbijmoetenvolgendeeigenschappen gekend zijn: -De hefhoogte -De gebruikte heffing -De openingshoek -De stijghoek Daarna moet bepaald worden welke volger er zal gebruikt worden. Daarbij zijn er drie mogelijke keuzes: -Stiftvolger -Plaatvolger -Rolvolger. Hetvolgendewatmoetgekendzijn,ishettoerentalwaarmeedenokroteert.Zoals eerder vermeld wordt in deze thesis de rotatiefrequentie gelijk aan 1 genomen. Eens deze eigenschappen bepaald zijn, kan daaruit de minimum grondcirkel bepaald worden. Eens de grondcirkel bepaald is, kunnen de cordinaten van de nok berekend worden. Deze berekeningen zijn volledig afhankelijk van de gekozen volger. Eerst wordt dit berekend voor een stiftvolger. Dit omdat de berekeningen van een nok met een andere soort volger op deze theorie steunt.3.1Bepalen van een nok met stiftvolger 3.1.1Stap 1: bepalen van de hefkromme met controle van de stootfactor heffingshoogte :hm 6 := Straal grondcirkel:D 16 := Stijghoek :u1t4:= Eventuele excentriciteit:a 4 := Doorlopen hoek:u 0 0.01 , 2t .. := Totale openingshoek:u2 t := 17 hu ( )hmu1u hm2 t sin2 t u1u |

\||. |

\||.0 u s u1 s ifhm u1 u < u2 u1 s ifhmhmu1u u2 u1 + ( ) hm2 t sin2 t u1u u2 u1 + ( )

((

(( u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:= 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360246heffingsdiagram (scheve sinus)hu ( )u 180 t Grafiek 3-1: hefkromme: scheve sinus Stel dat deze hefkromme gegeven is. Het is reeds gekend uit het voorgaande stuk dat bij het gebruikvaneenschevesinusvoordeheffing,ergeenproblemenmetdestoten,ofmette grote versnellingen zullen zijn. 3.1.2Stap 2: bepalen van de grondcirkel Bijhetbepalenvandegrondcirkelspelenverschillendefactoreneenrol.Eenpaarvandeze factoren zijn afhankelijk van de constructie waarin de nok zal geplaatst worden, of afhankelijk van de constructie van de nok. deze factoren zijn: Fabricageoverwegingen Noodzakelijke asdiameterBeschikbare ruimte Deze factoren zijn hier niet besproken omdat deze in elke toepassing anders kunnen zijn. Erzijnechternogtweefactorenwaarmeerekeningmoetgehoudenworden.Dezefactoren zijn: -De drukhoek -De kromtestraal 18 3.1.2.1 De drukhoek De drukhoek is de hoek, voor elke stand van de nok, gevormd tussen de aslijn van de volger en de normale van het oppervlak van de nok. De drukhoek is dus veranderlijk in functie van de doorlopen hoek. Alsdedrukhoek0is,zaldekrachtdiewerktopdevolgervolgensdeaslijnvandevolger liggen.Ditwilzeggendatdekrachtdiedanaanwezigisenkelwordtveroorzaaktdoorde drukveer.Diedrukveerzorgtervoordatercontactblijfttussendevolgerendenok.De volger zal dus enkel belast worden op druk. Wanneer de drukhoek groter wordt, zal de kracht die op de volger werkt, de som zijn van de veerkrachteneenkrachtdieveroorzaaktwordtdoordeheffingvannok.Devolgerzalnu stijgen of dalen. Dit wilzeggen dat de kracht niet langer volgens de aslijn van de volger zal liggen. De volger wordt nu belast op druk en op buiging.Volgens een vuistregel stelt men dat de drukhoek bij voorkeur maximum 30 mag bedragen. Dit om de volger niet te veel te belasten op buiging. Ook bestaat het gevaar er in dat bij groter wordende drukhoeken de volger zal klemmen in de geleider van de volger. De drukhoek is dus de hoek tussen de normaal van de nok, op elk moment, en de hardlijn van de volger.Dusdrukhoekbekomtzijngrootstewaardealsdehellingshoekhetgrootstis.Ditwildus zeggen, als de snelheid het grootst is. We berekenen de drukhoek als volgt:tg( )gR hv+=) () (uuu |Daaruitmoetdegrondstraal(Rg)gevondenworden,alsergegevenisdatdemaximale drukhoek30magzijn. Wekunnenmetbehulp vanMathcaddegrondcirkelaanpassentot een gewenste drukhoek bekomen wordt. Het minimum straal van de grondcirkel:Rg 26.5 := | u ( )v u ( )h u ( ) Rg +:= |max>30 0 50 100 150 200 250 300 35030151530|u ( )180tu180t Grafiek 3-2: drukhoek bij stiftvolger die centrisch is opgesteld 19 3.1.2.2 De kromtestraal Decontrolevandekromtestraalisnodigomzekertezijndatdevolgeropelkogenblikde juiste vorm volgt. Dit is enkel nodig wanneer men een nok ontwerpt waarbij men een rol- of plaatvolger gebruikt. Omdathetcontactpunttussendestiftvolgerendenokeenpuntis,isergeengevaardatde volger, door de kromming, geen contact kan maken met de nok. Dit wordt later nog verder verklaard, bij het ontwerpen van een nok met rolvolger. 3.1.3Stap 3: bepalen van de nok Bij het ontwerpen van een nok met stiftvolger is dit heel eenvoudig. Eens de grondcirkel en de hefkromme bepaald zijn, moeten enkel de som van de hefkromme en de grondstraal uitgezet in een polair diagram. De gegevens heffingshoogte :hm 6 := Stijghoek :u1t4:=Doorlopen hoek:u 0 0.01 , 2t .. := Totale openingshoek:u2 t := De hefkromme hu ( )hmu1u hm2 t sin2 t u1u |

\||. |

\||.0 u s u1 s ifhm u1 u < u2 u1 s ifhmhmu1u u2 u1 + ( ) hm2 t sin2 t u1u u2 u1 + ( )

((

(( u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:= Constructie van de nok: grondcirkel :Rg 26.5 := H u ( ) h u ( ) Rg + :=20 030609012015018021024027030033030 20 10 0Hu ( )u Grafiek 3-3: nok ontworpen voor een stiftvolger die centrisch is opgesteld 3.1.4Besluit Nuisgekendhoeeennokmeteenstiftvolgermoetontworpenworden.Ditisdemeest eenvoudige nok om te ontwerpen. Maar in praktijk wordt dit bijna niet gebruikt. Dit omwille vandeslijtage.Hetistochzinvolomdeberekeningendieachterdezenokzittentekennen omdat ze de basis vormen voor het ontwerpen van gelijk welke nok met andere volgers. Eriseennokberekendwaarbijdehardlijnvandevolgersamenvaltmetdehardlijnvanhet rotatiepunt van de nok. Het wordt iets ingewikkelder wanneer deze niet meer samenvallen, of men zegt als de volger excentrisch is opgesteld. 3.2Bepalenvaneennokmetstiftvolgerdieexcentrischis opgesteld 3.2.1Stap 1: bepalen van de hefkromme Deeerstestapblijftaltijdhetzelfde.Dehefkrommeisonafhankelijkvandesoortvolger.Er wordt dezelfde hefkromme als hierboven gebruikt. 21 3.2.2Stap 2: bepalen van de grondcirkel aan de hand van de drukhoek Steldatweeenexcentriciteitnemenvan5mm.Datwilzeggendatwedevolger5mm verschuiventenopzichtevandehardlijnvandenok.Dankunnenwededrukhoekalsvolgt berekenen:2 2) () () (e R he vg +=uuu | excentriciteit : e 5 := De grondstraal van de nok:Rg 36.5 := | u ( )vu ( ) e hu ( ) Rg2e2 +:= 0 50 100 150 200 250 300 3503020101020|u ( )180tu180t Grafiek 3-4: drukhoek bij stiftvolger die excentrisch is opgesteld We zien dat we de grondcirkel moeten groter maken als we de volger excentrisch opstellen. In ditvoorbeeldhebbenweenexcentriciteit(e)van5mmgenomen.Degrondcirkelisgroter geworden van 26,5mm naar 36,5mm. Nu de grondcirkel gekend is, kunnen we de nok gaan bepalen. 22 3.2.3Bepalen van de nok Ditgebeurtopdezelfdemanieralsbijeennokmetvolgerzonderexcentriciteit.Wemoeten dusterugdehefkrommesommerenmetdestraalvandegrondcirkelenditdanuitzettenin een polair diagram. Het enige verschil is dat de grafiek wordt verdraaid over een hoek o. Dit wordt gedaan omdat de hefkromme anders niet overeenstemt met de getekende grafiek. Dit is duidelijk te zien de grafiek8-5.Steldatdegrafieknietwasverdraaid,zoudevolgerbiju = 0aleenstukinde heffing staan. Constructie van de nok: grondcirkel :Rg 26.5 := H u ( ) h u ( ) Rg + := o asineRg|

\||.:=030609012015018021024027030033035 30 25 20 15 10 5 0Hu ( )u o + Grafiek 3-5: nok ontworpen voor een stiftvolger die excentrisch is opgesteld Volger 23 4Bepalen van een nok met rolvolger 4.1Bepalen van een nok met rolvolger die centrisch is opgesteld Hetprincipeblijfthetzelfdealsvanhetberekenenvaneennokmetstiftvolger.Hetenige verschilisdathetraakpuntnietmeeropdeaslijnvandevolgerblijftliggengedurendehet ronddraaien van de nok. 4.1.1Stap 1: bepalen van de hefkromme Zoals eerder gezegd, heeft de volger geen invloed op de gebruikte hefkromme. Er wordt terug dezelfdehefkrommealsindevorigevoorbeeldengebruikt.Deheffinggebeurtdusdooreen scheve sinus. heffingshoogte :hm 10 := Stijghoek :u1t4:= Doorlopen hoek:u 0 0.01 , 2t .. := Totale openingshoek:u2 t := su ( )hmu1u hm2 t sin2 t u1u |

\||. |

\||.0 u s u1 s ifhm u1 u < u2 u1 s ifhmhmu1u u2 u1 + ( ) hm2 t sin2 t u1u u2 u1 + ( )

((

(( u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:= 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 36010heffingsdiagram (scheve sinus)s u ( )u 180 t Grafiek 4-0: hefkromme: scheve sinus 24 4.1.2Stap 2: bepalen van de grondcirkel Bijhetberekenenvaneennokmetrolvolger,ishet belangrijk dat bij het bepalen van de grondcirkel, niet enkeldedrukhoekwordtgecontroleerdmaarookde kromtestraal.Ditmoetberekendwordenomte voorkomendatdevolgernietdevolledigeomtrek vandenokzouvolgen.Ditisduidelijktezienin figuur 9-1. 4.1.2.1 Bepalen aan de hand van de drukhoek Bij het bepalen vaneengrondcirkel van een nokmet rolvolger moet eerst de primairecirkel (prime circle) bepaald worden. De primaire cirkel is de cirkel waarop het middelpunt van de rol zich verplaatst als de heffing nulis.Dusdegrondcirkelkanmenbekomendoordeprimairecirkelteverminderenmetde straalvanderol.Dedrukhoekwordtopdezelfdewijzeberekendalsbijdenokmet stiftvolger. de drukhoek |: De te zoeken primaire cirkel: Rp 40 := De omtrekssnelheid van de nok:vu ( )usu ( )dd:= De drukhoek in functie van de hoek u:| u ( ) atanv u ( )su ( ) Rp +|

\||.:= Figuur4-1: te kleine kromtestraal voor de rolvolger 25 0 1 2 3 4 5 630151530|u ( )180tu Grafiek 4-1: drukhoek bij een rolvolger die centrisch is opgesteld Dediametervanderolwordtgelijkgesteldaan50mm.Erwordteengrondcirkelbekomen van: Diameter van de rol:d 50 := Rg Rpd2 := Rg 15 = Webekomenduseengrondcirkelmeteenminimumstraalvan15mm.Latenwenueens controleren of dit geen problemen zal opleveren met de kromtestraal. 26 4.1.2.2 Controle van de kromtestraal Deze figuur toont duidelijk weer wat het probleem is als de kromtestraal kleiner wordt dan de straalvandevolger.Alsnahetberekenenvandeminimumgrondcirkelblijktdatde minimumkromtestraalkleinerisdandegrondcirkel,moetendegrondcirkelgrotergemaakt worden.minRf >a u ( )2usu ( )dd2:= pitchu ( )Rp su ( ) + ( )2vu ( )2+

(32Rp su ( ) + ( )22vu ( )2+ a u ( ) Rp su ( ) + ( ) :=0 50 100 150 200 250 300 35040202040pitch u ( )u180t Grafiek 4-3: kromtestraal voor een nok met rolvolger Grafiek 4-2: controle van de kromtestraal 27 De minimum kromtestraal:min 16.829 := De minimum kromtestraal van de nok kleiner is dan de straal van de rolvolger (= 25mm). Dit wilzeggendatdegrondcirkelmoetgrotergemaaktworden.Ditzalzekergeenproblemen gevenmetdedrukhoek.Inditvoorbeeldishetdusdekromtestraaldiedeminimum grondcirkel van de nok bepaalt. De nieuwe primaire cirkel:Rp 54.4 := De diameter van de rolvolger:d 50 := De straal van de rolvolger:Rfd2:=

Rf 25 = a u ( )2usu ( )dd2:= pitchu ( )Rp su ( ) + ( )2vu ( )2+

(32Rp su ( ) + ( )22vu ( )2+ a u ( ) Rp su ( ) + ( ) := 0 50 100 150 200 250 300 3502512.512.52537.55062.575pitch u ( )u180t Grafiek 4-4: kromtestraal voor een nok met rolvolger (verbeterd) De minimum kromtestraal:min 25.087 := 28 Erwordteennieuweminimumprimairecirkelvan54,4mmbekomen.Daaruitkannude nieuwe minimum grondstraal bepaald worden: Rp 54.4 :=d 50 :=de ni euwe grondstraali s nu:Rg Rpd2 :=Rg 29.4 = Nudehefkrommeendegrondcirkelvastgelegdzijn,kunnendecordinatenvandenok uitgerekend worden. 29 4.1.3Stap 3: bepalen van de cordinaten van de nok Dit is echter niet zo eenvoudig te berekenen als bij de nok met stiftvolger. Het raakpunt tussen denokendevolger,zalnietmeerblijvenliggenopdeaslijnvandevolger.Hetzalzich verleggen op de omtrekvan de rolvolger. Dit isduidelijk te zien in figuur 9-6. Het raakpunt verlegt zich ten opzichte van de hardlijn van de volger. Deberekeningvandecordinatenvaneennokmetrolvolger,gebeurtnunogmaalsintwee stappen.Indeeerstestapwordendecordinatenuitgerekendvanmiddelpuntvande rolvolger. In de tweede stap worden de punten van het oppervlak van de nok berekend. 4.1.3.1 Stap3.1:bepalenvandecordinatenvanhetmiddelpuntvande volger Ditgebeurtopdezelfdewijzealsbijdenokmeteenstiftvolger.Hierwordtweldeprimaire cirkel gebruikt. Ook wordt het polair diagram omgezet in een cartesiaans assenstelsel. Dit om de volgende berekeningen gemakkelijker te kunnen maken. De primaire cirkel:Rp 54.4 := De diameter van de rolvolger:d 50 := De straal van de rolvolger:Rfd2:=

Rf 25 = Polaire cordinaten:R u ( ) Rp su ( ) + := Raakpunt Raakpunt Grafiek 4-5: bepalen van de raakpunten bij een nok met rolvolger 30 030609012015018021024027030033060 40 20 0Ru ( )u Grafiek 4-6: cordinaten van het middelpunt van een rolvolger (polair) Cartesiaanse cordinaten:xf u ( ) R u ( ) cosu ( ) :=yfu ( ) R u ( ) sin u ( ) := 70 42 14 14 42 70704214144270y f u ( )xfu ( ) Grafiek 4-7: cordinaten van het middelpunt van een rolvolger (cartesiaans) 31 4.1.3.2 Stap 3.2: bepalen van de cordinaten van het nokoppervlak In deze figuur wordt een nok met een rolvolger voorgesteld. Het te zoeken raakpunt is er op aangeduid. De drukhoek is per definitie de hoekdie gemaakt wordt tussen de normale en de doorlopen hoek u.

de cordi naten kunnen afgel ei d worden:xs xf xs2 ys xf ys2 met xs2 Rf cos u | u ( ) ( ) ys2 Rf sinu | u ( ) ( ) stelou ( ) u | u ( ) dan xs xf Rf cos ou ( ) ( ) ys yf Rf sinou ( ) ( ) cartesiaanse cordinaten van het middelpunt van de nok: xf u ( ) R u ( ) cosu ( ) := yfu ( ) R u ( ) sin u ( ) := Nok volger Rf | u| Xs2 Ys2 u Te zoeken raakpunt Figuur 4-9:bepalen van de cordinaten van het raakpunt 32 cartesiaanse cordinaten van het oppervlak van de nok: xs u ( ) xf u ( ) Rf cosu | u ( ) ( ) := ysu ( ) yf u ( ) Rf sin u | u ( ) ( ) := 70 42 14 14 42 70704214144270y f u ( )y s u ( )xfu ( ) xs u ( ) , Grafiek4-10:nokmetrolvolger(rodevollelijn)endecordinatenvanhetmiddelpuntvandevolger (blauwe streeplijn) De blauwe grafiek (streep lijn) toont de cordinaten van het middelpunt van de rolvolger. De rode grafiek (volle lijn) toont de cordinaten van het oppervlak van de nok. In dit voorbeeld is deverhoudingtussennokenvolgernietechtrealistisch.Denokisontworpenmeteen minimum grondcirkel. Deze verhouding is zo genomen om het effect van de drukhoek en de kromtestraal te kunnen aantonen. 33 4.2Bepalen van een nok met rolvolger die excentrisch is opgesteld Dehardlijnvanderolvolgerlooptnunietmeerdoorhetmiddelpuntvandenok.Ereen verschuiving c is opgetreden. Voorhetontwerpenvandenokheeftditgrotegevolgen.Deeerstestapblijft,zoalseerder vermeld, altijd gelijk. 4.2.1Stap 1: bepalen van de hefkromme heffingshoogte :hm 10 := Stijghoek :u1t4:= Doorlopen hoek:u 0 0.01 , 2t .. := Totale openingshoek:u2 t := su ( )hmu1u hm2 t sin2 t u1u |

\||. |

\||.0 u s u1 s ifhm u1 u < u2 u1 s ifhmhmu1u u2 u1 + ( ) hm2 t sin2 t u1u u2 u1 + ( )

((

(( u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:=Verschuiving c Figuur 4-11: nok met rolvolger die excentrisch opgesteld is 34 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 36010heffingsdiagram (scheve sinus)s u ( )u 180 t Grafiek 4-8: hefkromme (scheve sinus) 4.2.2Stap 2: bepalen van de grondcirkel 4.2.2.1 Bepalen aan de hand van de drukhoek De verschuiving heeft een grote invloed op de drukhoek en dus ook op de grondcirkel. Deze invloed is dezelfde als bij de stiftvolger. excentriciteit: c 5 :=de primaire cirkel: Rp 48.25 := de drukhoek: | u ( ) atanvu ( ) c su ( ) Rp2c2 +|

\||.:= 0 50 100 150 200 250 300 35030151530|u ( )180tu180t Grafiek 4-13: drukhoek voor een nok met rolvolger die excentrisch is opgesteld Degrafiektoontdatdedrukhoekverschuifttenopzichtevandex-as.Ditwilzeggendatde drukhoek negatiefgroter wordt. De primairecirkel moet dus grotergemaakt worden omeen maximum absolute waarde van de drukhoek te bekomen van maximum 30. 35 Hier wordt een minimum primaire cirkel bekomen van: Rp 48.25 := 4.2.2.2 Controle van de kromtestraal We moeten nu opnieuw controleren of de bekomen minimum primaire cirkel geen problemen zal opleveren met de kromtestraal en de straal van de rolvolger. Gegevens: excentriciteit:c 5 :=De primaire cirkel: Rp 48.25 :=De diameter van de rolvolger:Df 30 :=De straal van de rolvolger:RfDf2:= Rf 15 = berekenen van de kromtestraal: pitchu ( )Rp su ( ) + ( )2vu ( )2+

(32Rp su ( ) + ( )22vu ( )2+ a u ( ) Rp su ( ) + ( ) := 0 50 100 150 200 250 300 35020204060pitch u ( )u180t Grafiek 4-9: kromtestraal voor een nok met rolvolger die excentrisch is opgesteld met minRf > De minimum kromtestraal is: min 21.434 :=36 En de straal van de rol is: Rf 15 = De grootte van de prime cirkel is dus goed. Volgende gegevens zijn nu gekend: Straal van de primaire cirkel: Rp 48.25 = Straal van de grondcirkel: Rg Rp Rf := Rg 33.25 =4.2.3Stap3:bepalenvandecordinatenvanhetmiddelpuntvande volger Om de cordinaten van het middelpunt van de nok te kunnen bepalen, moeten eerst nog twee nieuwe constanten berekend worden. Deze zijn de initile volgerverplaatsing (d) en de initile verplaatsingshoek((0)).Deconstantenzijnduidelijktezieninfiguur9-4. 4.2.3.1 Bepalen van de initile volgerverplaatsing (d) De initile volgerverplaatsing wordt berekend met volgende formule: d Rp2c2 := Dit is een soort nieuwe primaire cirkel. Daarbij moet nu op elk moment de volgerverplaatsing s(u) bijgeteld worden om het nok oppervlak te bekomen. In dit voorbeeld wordt dit: Straal van de primaire cirkel: Rp 48.25 =excentriciteit:c 5 := d Rp2c2 := d 47.99 = Er wordt een nieuwe primaire straal bekomen van 47,99mm. Figuur 4-15: bepalen van de cordinaten van het middelpunt van de rolvolger 37 4.2.3.2 Bepalen van de initile verplaatsingshoek (0) De initile verplaatsingshoek wordt berekend met volgende formule: atancd|

\||.:= Dit is een constante hoek en is enkel belangrijk bij het tekenen van de grafiek. Deze constante hoek wordt niet verder gebruikt in de berekeningen. Het is n waarde van een functie die wel verder wordt gebruikt in de berekeningen. In het voorbeeld wordt volgende hoek bekomen: excentriciteit:c 5 :=initile volgerverplaatsing: d 47.99 = atancd|

\||.:= 5.948deg = Erwordteenhoekvan5,94gradenbekomen.Dezehoekmoetervoorzorgendatbijhet tekenen van de grafiek, de grafiek wordt verdraaid, zodanig dat de nok wordt getekend bij een hoeku =0.Alsdezehoeknietwordtopgeteldbiju,bekomenwedenokgetekendbijeen verdraaiing van . Dit zal duidelijk worden wanneer de nok wordt getekend. (zie grafiek 9-13) 4.2.3.3 Bepalen van het middelpunt De verplaatsingshoek in functie van de verdraaiing wordt berekend met volgende formule: u ( ) atancd su ( ) + ( )

((:= Deze formule is logisch te verklaren aan de hand van figuur 9-5. Figuur 4-16: bepalen van de verdraaiinghoek in functie van de doorlopen hoek 38 Omdecordinatenvanhetmiddelpuntvandevolgertekunnentekenenineencartesiaans assenstelsel,moetdeverplaatsingvoorelkehoekgekendzijn.Dehoekis(u)ende verplaatsing is R(u). De verplaatsing wordt gevonden door de stelling van Pythagoras toe te passen. R u ( ) d su ( ) + ( )2c2+ := In een polair diagram worden de cordinaten van het middelpunt van de nok verkregen: 030609012015018021024027030033060 40 20 0Ru ( )u 0 ( ) + Grafiek 4-10: cordinaten van het middelpunt van de volger (polair) Ditmoetterugomgezetwordennaareencartesiaansassenstelselomeenvoudigerde cordinaten van het nokoppervlak te vinden. De hoek kan ook zeer eenvoudig gevonden worden: u ( ) u ( ) u + := nu kunnen de cartesiaanse cordinaten gevonden worden door: xf u ( ) R u ( ) cos u ( ) ( ) :=yf u ( ) R u ( ) sin u ( ) ( ) := In een grafiek worden volgende cordinaten verkregen: 39 60 40 20 0 20 40 60604020204060y f u ( )xf u ( ) Grafiek 4-11: cordinaten van het middelpunt van de volger (cartesiaans) 4.2.4Stap 4: bepalen van de cordinaten van het nokoppervlak 4.2.4.1 Bepalen van de hoek o Omdecordinatenvanhetnokoppervlaktevinden,moetdehoektussendenormaleophet nokoppervlakendex-asgevondenworden.Daarnakunnenaandehandvan driehoeksmeetkunde de cordinaten gevonden worden. Figuur 4-19: bepalen van de hoek sigma o 40 Dehoeksigma(o(u))wordtgevondendoordedoorlopenhoekuteverminderenmetde drukhoek (|(u)): o u ( ) u | u ( ) := 4.2.4.2 Bepalen van de cordinaten Decordinatenvanhetnokoppervlakkunnennugevondenwordendoordex-eny- cordinaten van het middelpunt van de volger te verminderen met: Rf cos o u ( ) ( )Rf sin o u ( ) ( ) Ditwordtverkregendoordriehoeksmeetkunde.Uiteindelijkwordendetweevergelijkingen voor de cordinaten van het nokoppervlak bekomen: xs u ( ) xf u ( ) Rf coso u ( ) ( ) :=ysu ( ) yf u ( ) Rf sin o u ( ) ( ) := In een grafiek is dit als volgt: 60 40 20 0 20 40 60604020204060y s u ( )y f u ( )xsu ( ) xf u ( ) , Grafiek 4-20: cordinaten van de nok (rode volle lijn) en de cordinaten van het middelpunt van de volger (blauwe streep lijn) 41 De blauwe grafiek (streeplijn) zijn de cordinaten van het middelpunt van de volger. De rode grafiek(vollelijn)zijndecordinatenvanhetnokoppervlak.Hetkangecontroleerdworden of dit juist is door deze twee grafieken samen in n grafiek te tekenen. 5Bepalen van een nok met plaatvolger Ookhierblijfthetprincipeterughetzelfde.Erwordtnogaltijdopdetheorievanhet ontwerpenvaneennokmetstiftvolgergesteund.Hierzalhetraakpunttussennokenvolger zichookverplaatsentenopzichtevandehardlijnvandevolger.Maarzalzichverleggenop de lijn van de plaat. Figuur 5-1: nok met plaatvolger Ditmaaktdeberekeningeneenstukeenvoudigerdanbijeenrolvolger.Alsdevolgeraldan niet excentrisch is opgesteld, maakt niets uit voor de cordinaten van het nokoppervlak. Bijeenplaatvolgerkunnenerwelzeergrotemomentenoptreden.Wanneerhetraakpuntver verschovenligttenopzichtevandehardlijn,isdemomentarmgroot.Ditheeftvoorgevolg datereengrootbuigendmoment zaloptreden.Omditteverhinderen,moetdenok zoklein als mogelijk ontworpen worden.Als de volger excentrisch is opgesteld, heeft dit geen gevolg zoals eerder gezegd voor de nok. Ookdepiek-tot-piekwaardevanhetbuigendmomentzalnietveranderen.Welzalhet buigendmomentaaneenkantvandevolgernoggroterzijn,terwijlhetaandeanderekant van de volger kleiner zal worden. Indien mogelijk in de constructie,wordt de plaatvolger dus best centrisch opgesteld. 42 5.1Bepalen van een nok met plaatvolger die centrisch is opgesteld 5.1.1Stap 1: bepalen van de hefkromme heffingshoogte :hm 6 := Stijghoek :u1t4:= Doorlopen hoek:u 0 0.01 , 2t .. := Totale openingshoek:u2 t := su ( )hmu1u hm2 t sin2 t u1u |

\||. |

\||.0 u s u1 s ifhm u1 u < u2 u1 s ifhmhmu1u u2 u1 + ( ) hm2 t sin2 t u1u u2 u1 + ( )

((

(( u2 u1 u < u2 s if0 otherwise:= 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 3603.57heffingsdiagram (scheve sinus)s u ( )u 180 t Grafiek 5-1: hefkromme (scheve sinus) 5.1.2Stap 2: bepalen van de grondcirkel Zoalsgezegd,moetdenokzokleinmogelijkontworpenworden.Dekleinstestraalvande grondcirkelisafhankelijkvandekromtestraalvandenok.Aangezieneenvlakkevolger gebruikt wordt zou dit willen zeggen dat de minimum kromtestraal oneindig groot zou moeten zijn.Ditwilzeggendaterinhetoppervlakvandenokgeenconcave(eenhollegrafiek) gedeeltes mogen voorkomen. 43 Dit kan gecontroleerd door de kromtestraal te berekenen met volgende formule: u ( ) Rg su ( ) + a u ( ) + := Alsdekromtestraal(u)negatiefwordt,wilditzeggendatereenconcaafgedeelteinhet nokoppervlakvoorkomt.Degrondstraal(Rg)moetduszodaniggezochtwordenzodatde kromtestraal nergens negatief wordt, gedurende de doorlopen hoek (u). In de formule hebben volgende elementen een invloed op de kromtestraal: Versnelling: a u ( )2usu ( )dd2:=De hefkromme: s(u) In het voorbeeld wordt de kromtestraal nergens negatief bij volgende grondstraal: Het minimum grondcirkel:Rg 55.75 := 0 50 100 150 200 250 300 350 40050100150 u ( )u180t Grafiek 5-2: kromtestraal bij een nok met plaatvolger 5.1.3Stap 3: bepalen van de cordinaten van de nok Nudegrondstraalgekendis,kunnendecordinatenvandenokberekendworden.Deze cordinaten kunnen terug gevonden worden door de stelling van Pythagoras toe te passen. Dit is duidelijk te zien in figuur5-2. 44 Figuur 5-2: bepalen van de cordinaten van de nok bij een plaatvolger Decordinatenvanhetnokoppervlakinpoolcordinatenwordenmetvolgendeformule berekend: Ra u ( ) Rg su ( ) + ( )2x u ( ) ( )2+ := waarin x u ( ) v u ( ) := Alsdituitgetekendwordt,wordtnietdejuistenokbekomen.Ditomdatdezecordinatenin functievandedoorlopenhoekberekendworden.Omdejuistenoktebekomen,moetende cartesiaanse cordinaten bepaald worden. Daarvoor moet eerst de hoek oa(u) bepaald worden met volgende formule: oa u ( ) u atanx u ( )Rg su ( ) + ( )

((+ := nu kunnen de polaire cordinaten omgezet worden: xs u ( ) Ra u ( ) cos oa u ( ) ( ) :=ysu ( ) Ra u ( ) sin oa u ( ) ( ) := 45 we bekomen volgende nok: 60 40 20 0 20 40 60604020204060y s u ( )xs u ( ) Grafiek 5-3: cordinaten van een nok met plaatvolger Er komt nergens een concaaf gedeelte in het oppervlak voor.Als dit nu vergeleken wordt met een nok met stiftvolger, is het verschil heel duidelijk te zien. De cordinaten van het nokoppervlak met een stiftvolger: xs2 u ( ) su ( ) Rg + ( ) cosu ( ) :=ys2 u ( ) su ( ) Rg + ( ) sin u ( ) := 46 60 40 20 0 20 40 60604020204060y s u ( )y s2 u ( )xs u ( ) xs2u ( ) , Grafiek 5-4: vergelijking van nok met plaatvolger en stiftvolger In deze grafiek is een nok met plaatvolger in het rood (volle lijn) en de nok met stiftvolger in het blauw (streep lijn) te zien. Indegrafiekligthetverschiltussendetweenokkenophetmomentvaneenstijgingofeen daling van de volger. 6Algemeen besluitUitdittheoretischdeelkunnenvolgendregelsbeslotenwordenvoorhetontwerpenvaneen nok: -Als hefkromme wordt het best een scheve sinus gebruikt. -Bij het ontwerp van een nok met rolvolger moet er rekening gehouden worden met de drukhoek en de kromtestraal. Dit voor het vastleggen van de minimum grootte van de primaire cirkel. -Bij het ontwerp van een nok met plaatvolger moet er rekening gehouden worden met de kromtestraal. Er mogen geen concave gedeeltes voorkomen in het nokoppervlak. -De nok wordt bij gelijk welke volger het best zo klein mogelijk ontworpen, dit om de krachtwerking te minimaliseren.