NOMBRE DE LA GUÍA:

CONTE-MONOS

GUÍA Nº: 98

DURACIÓN: 21 horas

MÓDULO: Ambiente Aprendizaje Cualificar AÑO: 2020

META DE APRENDIZAJE Nº33: Analizo situaciones de las ciencias físicas,

naturales y sociales y experimentos aleatorios, resuelvo algunos problemas que me permiten

desarrollar capacidades de exploración, indagación e investigación del contexto y asumir una

posición crítica frente a la información obtenida.

PREGUNTAS ESENCIALES:

Olvidaste la contraseña de tu celular, recuerdas

que eran 6 dígitos ¿Cuántas intentos tendrías que

hacer como máximo antes de adivinarla?

El profesor de deportes del colegio organizo un

campeonato de futbol ¿Cómo organizarías los

enfrentamientos entre equipos?

¿En qué situaciones de la vida cotidiana puedes

utilizar lo que has aprendido sobre combinación y

permutación?

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE:

Comparo diferentes situaciones de la vida cotidiana donde se aplica el principio

fundamental del conteo.

Diferencio y categorizo, situaciones problema del entorno que involucren la

combinación o la permutación.

Identifico y diferencio las características de las secuencias numéricas.

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2

ACTIVIDAD 3

¡RECARGANDO MI

MEMORIA!

¡CONSTRUYENDO

APRENDO!

¡RETANDO MI CEREBRO!

Materiales Requeridos

- Cuaderno de trabajo o bitácora

- Guía individual

- Regla (por cada estudiante).

- Cartuchera personal (colores, lápiz. Borrador, tajalápiz, esfero negro, esfero de otro

color, marcadores)

ACTIVIDAD 1: ¡RECARGANDO MI MEMORIA!

RECORDANDO-ANDO

Técnicas de conteo- Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles

resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el

número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con

la construcción del diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento,

el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de

maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las

posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama

de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten

nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del

siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número

de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma

de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Ejemplo: Si planeamos hacer un viaje de vacaciones y estamos indecisos de ir a Acapulco,

Huatulco, Cancún o Ixtapa, y no sabemos si ir en autobús, avión o automóvil, ¿de

cuantas maneras diferentes podríamos arreglar uno de los viajes?

En el diagrama de árbol nos damos cuenta de que existen 12 maneras diferentes de arreglar el

viaje. La respuesta que obtuvimos es de 4 x 3 = 12, específicamente, el producto del número

de lugares y números de transportes.

TOMADO DE: http://proba17.blogspot.com/2011/06/diagrama-de-arbol.html

Con estos apuntes recuerda como realizar la construcción de un

diagrama de árbol. No olvides registrar tus procesos y

resultados en tu cuaderno de trabajo.

RECORDANDO-ANDO

PRINCIPIO BASICO DE CONTEO

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles

resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y

vainilla.

El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El diagrama

de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de 6

resultados.

Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la

primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el

ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.

Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total

de resultados. TOMADO DE: http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm

Para dar inicio a este viaje en el mundo de las técnicas de conteo, comenzaras realizando una

pequeña parada, recordando los conceptos de conteo, esto lo realizaras mediante los siguientes

videos:

1) SEP 1S BI A1-9 PROBLEMAS DE CONTEO

https://www.youtube.com/watch?v=ldHOZmXu_do

2) TECNICAS DE CONTEO DIAGRAMA DE ARBOL

https://www.youtube.com/watch?v=QEGpuzVXHKY

Con estos videos recordaras los principales conceptos de técnicas de conteo y diagrama

de árbol. No olvides registrar tus procesos y resultados en tu cuaderno de trabajo.

Ahora aplica tus habilidades de conteo a la hora de solucionar las siguientes situaciones.

1. Un estudiante va a contestar un examen de matemáticas, en el cual hay cuatro preguntas de

verdadero o falso. ¿De cuantas formas puede contestar el examen?

2. Al llegar a una intersección de carreteras, un vehículo puede dar vuelta a la derecha (D), puede

dar vuelta a la izquierda (I), o puede seguir de frente (F). el experimento consiste en observar el

movimiento de tres vehículos al llegar al cruce.

a) Obtener el espacio muestral

b) Determinar los elementos del siguiente evento: por lo menos dos o más vehículos

siguen de frente en el cruce.

Será que … ¿hay algo más aparte del principio de conteo?... SIGAMOS RECORDANDO!!

RECORDANDO-ANDO

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de

las cosas es importante. En otras palabras:

“Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas”: no importa en que orden pusimos las frutas, podría ser “bananas, uvas y manzanas” o “uvas, manzanas y bananas”,

es la misma ensalada.

“La combinación de la cerradura es 472”: ahora si importa el orden. “724” no funcionaria, ni “247”. Tiene que ser 4-7-2

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa es una combinación.

Si el orden si importa es una permutación.

Que interesante esta información, nada mejor que unos videos para afianzarla mejor:

1) DIFERENCIA ENTRE PERMUTACION Y COMBINACION

https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM

2) EJEMPLO 1: PERMUTACION Y COMBINACION

https://www.youtube.com/watch?v=8-jeihxAQ14

Para estar seguro de que realizaste tu proceso de la mejor manera posible, realiza varios

ejemplos sobre una situación de tu entorno escolar aplicando los conceptos definidos hasta el

momento.

Con estos apuntes determina la comparación entre combinación

y permutación. No olvides registrar tus procesos y resultados

en tu cuaderno de trabajo.

ACTIVIDAD 2: CONSTRUYENDO APRENDO

Para continuar este viaje en el mundo del conteo, seguiràs realizando una pequeña parada,

recordando las clases de permutación y de combinación.

RECORDANDO-ANDO

PERMUTACIONES Son las diferentes maneras de organizar o agrupar los elementos de un conjunto teniendo

en cuenta el orden de su ubicación.

Usaremos la "función factorial" (símbolo: !) significa que se multiplican números

descendentes. Ejemplos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no

multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

NÚMERO DE PERMUTACIONES

La fórmula que permite calcular el número de permutaciones con “n” elementos

diferentes es .

Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de

colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones.

EJERCICIOS

1) ¿De cuantas maneras se pueden disponer 7 personas en una fila?

Si n=7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7 personas se pueden disponer en una fila de 5.040 maneras

2) ¿De cuantas formas pueden quedar clasificados 6 equipos de futbol que participan

en un torneo?

Si n= 6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 equipos de futbol que participan en un torneo pueden quedar clasificados de 720

formas.

TOMADO DE:http://matematicatranquila.blogspot.com/2015/07/permutaciones-sin-repeticion.html

PERMUTACION CON REPETICION

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las

permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la

segunda elección, y así.)

Por ejemplo en una cerradura hay 10 números para elegir (0, 1, … ,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)

PERMUTACIONES SIN REPETICION

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15

posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

( )

Otra forma más sencilla, es simplificar expresiones de la siguiente manera:

= 3.360

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

( )

Otra forma más sencilla, es simplificar expresiones de la siguiente manera:

= 10x9

= 90

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

COMBINACION SIN REPETICION

Son las diferentes maneras de organizar o agrupar los elementos de un conjunto sin

tener en cuenta el orden de su ubicación.

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el

orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis,

así:

Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Se tienen los 4 ases de una baraja y se quieren tomar al azar dos cartas. ¿Cuántas

y cuáles son las combinaciones que pueden resultar?

Determinamos que n = 4 y r = 2 entonces tenemos:

Pueden resultar 6 combinaciones posibles de 2 cartas con los 4 ases

T = Trébol

C = Corazón

D = Diamante

P = Pica

Formación de los grupos: (T , C) (T , D) (T , P)

(C , D) (C , P) (D , P)

Un alumno decide presentar 3 de las 5 evaluaciones (Aritmética, Español, Inglés,

Religión, Sociales) que tiene pendiente en su colegio.

¿De cuantas maneras diferentes puede elegir esas evaluaciones?

Determinamos:

n = 5 = Número de evaluaciones para escoger

r = 3 = Número de evaluaciones en cada combinación

entonces tenemos:

Hay 10 maneras posibles de elegir las 3 evaluaciones, entre las 5

A = Aritmética

E = Español

I = Inglés

R = Religión

S = Sociales

Formación de los grupos: (A, E, I) (A, E, R) (A, E, S) (A, I, R) (A, I, S)

(A, R, S) (E, I, R) (E, I, S) (E, R, S) (I, R, S)

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

TOMADO DE: http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

http://matematicatranquila.blogspot.com/2015/07/combinaciones-sin-repeticion.html

Continuando con nuestra travesía y teniendo en cuenta el tutorial anterior de permutaciones y

combinaciones, soluciona la siguiente actividad que te ayuda a pensar más y aclarar tus

habilidades ante la solución de una situación problema.

Basándote en los conceptos y ejemplos vistos; soluciona y registra tus

procesos y resultados en tu cuaderno de trabajo.

¡ME PONGO A PRUEBA! Analiza, determina y aplica en las siguientes

situaciones, si es permutación o es combinación para obtener la solución

adecuada y de esta forma mejoras tus habilidades ante la solución de una

situación problema

1) ¿De cuantas formas pueden quedar clasificados 8 equipos de baloncesto que participan en un

campeonato?

2) ¿De cuantas maneras se pueden disponer 15 personas en una fila?

3) ¿De cuantas maneras pueden quedar clasificados 6 corredores que intervienen en una

carrera?

4) ¿De cuantas formas pueden quedar clasificados 5 equipos de futbol que participan en un

torneo?

5) ¿De cuantas maneras se pueden disponer 14 estudiantes en una fila?

6) ¿De cuantas maneras se pueden disponer en una mesa 4 hermanas (Amalia, Daniela, Nora y

Pilar)?

7) ¿De cuantas formas pueden quedar clasificados 10 equipos de baloncesto que participan en un

campeonato?

8) ¿De cuantas se pueden disponer 12 personas en una fila?

9) ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas? Suponiendo

que cada persona no puede recibir más de un premio.

10) ¿Cuántas placas para autos se pueden hacer en nuestro país?

11) ¿Calcular cuántos números enteros diferentes de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos

2, 4, 6, 8 y 9? si los dígitos no pueden repetirse.

12) ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de baloncesto si el

equipo consta de 12 integrantes y estos pueden jugar en cualquier posición?

13) ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar si debe estar formada de

2 letras seguidas de cinco dígitos? Considere que las letras y los dígitos no pueden repetirse.

14) Una tarjeta de circuito impresa se puede comprar de entre 5 proveedores. ¿De cuántas

maneras puede elegirse 3 proveedores?

15) Un comité de 4 personas va a ser seleccionado de un grupo de 3 estudiantes de cuarto grado,

4 de tercero grado. Y 5 de segundo grado. Si dos estudiantes de tercero no son elegibles.

¿De cuántas maneras puede seleccionarse el comité con 2 estudiantes de segundo grado, 1 de

tercero grado Y 1 de cuarto grado?

16) Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los

sitios pares. ¿De cuántas maneras pueden sentarse?

17) ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?

a. Si los dígitos pueden repetirse.

b. Si los dígitos no pueden repetirse.

c. Si el último dígito debe ser 0

d. Los dígitos no pueden repetirse.

18) ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 personas en una fila de 5 butacas?

19) ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra JULIO?

20) ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar a partir de las letras de la palabra

OCTOGONO?

21) Una mano de Póker consta de 5 cartas, si el mazo posee 52 cartas ¿De cuántas formas se

puede recibir una mano?

22) Un amigo le quiere regalar a otro, 2 libros y los puede elegir de entre 15 opciones diferentes.

¿De cuántas formas puede hacerlo?

ACTIVIDAD 3: ¡RETANDO MI CEREBRO!

Para ir finalizando este viaje en el mundo del conteo, seguiràs realizando una pequeña parada,

recordando sucesiones matemáticas.

RECORDANDO-ANDO

S U C E S I O N E S D E N Ú M E R O S R E A L E S

Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan

numerar: primero, segundo, tercero, ....

Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con los

subíndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesión:

Por ejemplo, son sucesiones las

siguientes listas de números: 1, 2, 3, 4, 5, ... 2, 4, 8,

16, 32, ... -3, 3, -3, 3, -3, ...

En algunas ocasiones es posible expresar el término n-ésimo (término que ocupa el lugar n) en

función de n. Este término se llama término general de la sucesión, y se simboliza con .

Por ejemplo, en la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, ... cada término es el cuadrado del lugar que ocupa en la

sucesión, con lo que el término general .

Cuando se conoce el término general de una sucesión se puede encontrar cualquier término. Por

ejemplo, en la sucesión anterior, sabemos que el décimo término es 100, el que ocupa el lugar 20

es 20² = 400, el que ocupa el lugar 25 es 25² = 625, ...

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los anteriores y

se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente,

todos los anteriores.

Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente donde cada término se obtiene

sumando los dos anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …….

P R O G R E S I O N E S A R I T M É T I C A S

Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente sumando

una cantidad fija, llamada diferencia de la progresión (d).

El término general, , de una progresión aritmética cuyo primer término es y cuya diferencia

es d se obtiene así: ( )

Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética:

( )

La sucesión 2, 5, 8, 11, ... es una progresión aritmética de diferencia 3 (d=3) y .

El término general lo calcularemos así: ( )

La suma de los 15 primeros términos de la progresión se determina teniendo en cuenta los

siguientes valores, es:

y ( ) ;

;

( )

( )

La suma de los 15 primeros términos de la progresión 2, 5, 8, 11, ... es 345 y el termino general de

la progresión está dado por .

P R O G R E S I O N E S G E O M É T R I C A S

Una progresión geométrica es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente

multiplicando por una cantidad fija, llamada razón de la progresión (r).

La sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32, … es una progresión geométrica porque:

Es una progresión geométrica de razón r = 2.

El término general de una progresión geométrica es

Para el término general lo determinamos teniendo en cuenta que entonces

reemplazando nos quedaría

Suma de n términos en una progresión geométrica (si r≠1): La suma, , de n términos de una

progresión geométrica de razón r, es:

(

)

Calcula la suma de los diez primeros términos de la sucesión: -1, - 2, - 4, - 8, ...

Es una progresión geométrica de razón r = 2.

El término general de una progresión geométrica es

Para el término general lo determinamos teniendo en cuenta que entonces

reemplazando nos quedaría

La suma de los primeros 10 términos de la sucesión es:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

La suma de los 10 primeros términos de la sucesión -1, -2, -4, -8, ... es -1023 y el termino general

de la sucesión está dado por .

TOMADO DE:

https://www.edu.xunta.gal/centros/iesisaacdiazpardo/aulavirtual2/pluginfile.php/1178/mod_resource/content/1/TEMA2.%20SUCES

IONES.pdf

Qué tal si… concretas la información hasta ahora recopilada observando los siguientes videos:

1) SUCESIONES: CONCEPTOS BASICOS Y EJEMPLOS

https://www.youtube.com/watch?v=WIz9rnPml9U

2) SUCESIONES, ¿CUAL ES EL TERMINO QUE SIGUE? COMO ENFRENTARLAS

https://www.youtube.com/watch?v=yWa-xIz8apk

3) ¿QUE ES UNA SUCESION ARITMETICA? (COMO CALCULAR CUALQUIER

TERMINO)

https://www.youtube.com/watch?v=h3Che-Cr1Ck

No olvides registrar en tu cuaderno de trabajo el avance obtenido, escribe las ideas principales

de lo observado en los videos.

¡RECAPÍTULO Y ME PONGO A PRUEBA!

Usada de la mejor manera, esta información sobre técnicas de conteo

puede ayudarte a pensar más en lo que puedo hacer a la hora de solucionar

tus simulacros tipo prueba saber. Con suficiente práctica, tus habilidades

pronto parecerán más naturales que tomar una calculadora o hacer

operaciones matemáticas en papel. Las operaciones pueden ser básicas,

pero son la base de importantes resultados en nuestro entorno.

Analiza, determina y aplica en las siguientes progresiones o sucesiones para

obtener la solución adecuada. Sin olvidar registrar tus procesos y

resultados en tu cuaderno de trabajo.

1) Menciona el criterio por el que se forman las siguientes progresiones y añade cinco términos a

cada una:

a) 3, 8, 13, 18, 23, ...

b) 1, 8, 27, 64, 125, ...

c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, ...

d) 8; 4; 2; 1; 0,5; ...

e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...

f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, ...

g) 1, –2, 3, – 4, 5, – 6, ...

h) 20, 13, 6, –1, – 8, ...

2) En cada una de las sucesiones que se muestran a continuación expresa su razón y añade cinco

términos más:

a) 1, 3, 9, 27, 81, ...

b) 100; 50; 25; 12,5; ...

c) 12, 12, 12, 12, ...

d) 5, –5, 5, –5, 5, –5, ...

e) 90, –30, 10, –10/3, 10/9, ...

f) 1, 3, 9, 27, 81, …

g) 6, 12, 24, 48, 96, …

3) Halla el término general y la suma de los 10 primeros términos de las siguientes sucesiones:

a) 1, 3, 9, 27, 81, …

b) 2, 5, 10, 17, 26, ...

c) 10, 26, 50, 82, ...

d) 6, 12, 24, 48, 96, …

e) -2, 4, -8, 16, ...

4) Se deja caer una bola de goma desde la azotea de un edificio que tiene una altura de 243 m.

Cada vez que toca el suelo, rebota y recorre hacia arriba una distancia igual a las dos terceras

partes de la altura desde la que ha caído la última vez. ¿De qué altura ha caído la bola cuando ha

tocado el suelo por sexta vez?

5) Un concurso de televisión consiste en proponer al concursante una sucesión de preguntas hasta

que dé una respuesta incorrecta y quede eliminado. Los premios de cada respuesta se acumulan y

son de mil pesos por la primera, dos mil pesos por la segunda, tres mil por la tercera y así

sucesivamente.

a) Si se responden diez preguntas correctamente, ¿cuánto dinero se consigue?

b) ¿Cuál es el mínimo número de preguntas que hay que responder para conseguir 600.000 mil

pesos?

6) En un cine, la segunda fila de butacas está a 10 m de la pantalla y la séptima fila está a 16 m de

la pantalla. ¿En qué fila debe sentarse una persona que le guste ver la pantalla a una distancia de

28 m?

7) La dosis de un medicamento es 100mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes

días. El tratamiento dura 12 días.

a) ¿Cuántos miligramos tiene que tomar el paciente durante todo el tratamiento?

b) Determine una fórmula para calcular ¿cuánto medicamento toma en n-días?

8) Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. ¿cuántas bacterias

habrá después de 6 horas?