nombres complexes partie réelle et partie imaginaire ... · exercices 12 : déterminer un ensemble...

Partie réelle et partie imaginaire d’un complexe – Nombres complexes – Exercices corrigés

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1

Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : donner la partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe écrit sous forme algébrique

Exercice 2 : effectuer des opérations sur les complexes pour en préciser les parties réelle et imaginaire

Exercice 3 : déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme de termes ik selon k

Exercice 4 : comprendre les notions de nombre réel et de nombre imaginaire pur

Exercice 5 : montrer qu’un nombre complexe est un réel ou un imaginaire pur (plusieurs méthodes)

Exercice 6 : déterminer la valeur d’un paramètre pour qu’un complexe soit un réel ou un imaginaire pur

Exercice 7 : résoudre une équation dans l’ensemble des complexes en utilisant l’égalité de 2 nombres

Exercice 8 : utiliser une forme trigonométrique pour connaitre une partie réelle et une partie imaginaire

Exercice 9 : utiliser une forme exponentielle pour démontrer des formules trigonométriques

Exercice 10 : déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de la puissance d’un complexe

Exercice 11 : démontrer qu’un complexe est un réel

Exercices 12 : déterminer un ensemble de points M(z) tel que z² soit un réel ou un imaginaire pur

Exercice 13 : déterminer un ensemble de points M(z) en utilisant une fonction de z

Exercice 14 : exhiber les solutions d’une équation en utilisant deux méthodes (analytique, géométrique)

Exercice 15 : étudier le nombre complexe in selon la valeur de l’entier naturel n

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Nombres complexes – Partie réelle et partie imaginaire

Exercices corrigés

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2

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chaque nombre complexe suivant.

Rappel : Partie réelle et partie imaginaire d’un complexe écrit sous sa forme algébrique

Soit un nombre complexe tel que (avec et réels). Alors l’écriture est appelée forme

algébrique (ou écriture cartésienne) de ce complexe. Par ailleurs, on dit que :

est la partie réelle de et on la note

est la partie imaginaire de et on la note

Donc et

Donc et

Donc et

Remarque importante : On verra plus loin que, si la partie réelle d’un nombre complexe est nulle, alors ce

complexe est un imaginaire pur. Ici, est un imaginaire pur.

Donc et

Remarque importante : On verra plus loin que, si la partie imaginaire d’un nombre complexe est nulle, alors

ce complexe est un réel. Ici, est un réel.

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chaque nombre complexe suivant.

⏟

Donc et

Rappel : Opérations dans

L’ensemble est muni d’une addition et d’une multiplication (ainsi que d’une soustraction et d’une division),

qui possèdent les mêmes propriétés et règles de calcul que dans l’ensemble . Les identités remarquables

applicables dans le sont également dans . En outre, dans l’ensemble des complexes, .

(

)

Donc et

Remarque : Pour ne plus avoir de nombre imaginaire pur au dénominateur, on multiplie (ou on divise) le

numérateur et le dénominateur par .

(

)

Donc

et

Remarque : Pour ne plus avoir de nombre complexe au dénominateur, on multiplie le numérateur et le

dénominateur par le nombre complexe conjugué du dénominateur.

Rappel : Conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué du nombre complexe (avec et réels) est le nombre complexe noté défini par

. On a donc et .





4

Donc

et

Rappel : Produit d’un nombre complexe par son conjugué

Le produit d’un nombre complexe (avec et réels) par son conjugué est égal à

. On a donc .

Remarque importante : Autrement dit, le produit d’un nombre complexe par son conjugué est égal au

carré du module de , noté | |. On a donc | | .



5

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe tel que : ∑

On remarque que le nombre complexe est la somme des termes d’une suite géométrique de raison .

Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique

Soit une suite géométrique de raison . Alors la somme des termes consécutifs de cette suite est

donnée par la formule :

Autrement dit, avec où désigne le rang à partir duquel la suite est définie :

∑

∑

⏟

Donc et .

Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen




6

Parmi les nombres complexes suivants, certains sont des réels ou des imaginaires purs. Les préciser.

Rappel : Nombre réel et nombre imaginaire pur

Dans l’ensemble des complexes, un réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.

Autrement dit, un nombre complexe tel que (avec et réels) est un réel si et seulement

si . Les réels sont donc de la forme .

Dans l’ensemble des complexes, un imaginaire pur est un nombre complexe dont la partie réelle est

nulle. Autrement dit, un nombre complexe tel que (avec et réels) est un imaginaire

pur si et seulement . Les imaginaires purs sont donc de la forme .

Remarque : L'ensemble des imaginaires purs peut être noté .

donc n’est pas un imaginaire pur. De plus, comme

, n’est pas un réel.

Comme , est un imaginaire pur. En outre, comme , n’est pas un réel.

Comme , n’est pas un imaginaire pur. Mais, comme , est un réel.





7

Comme , est un imaginaire pur. De plus, comme , est un réel. En définitive, est

le nombre complexe nul.

Rappel : Le nombre complexe nul est le seul nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont

nulles.



8

Soient les nombres complexes et tels que et

.

1) Vérifier que est un nombre réel.

2) Vérifier que est un nombre imaginaire pur.

3) Que peut-on en déduire de et ?

Rappel : Nombre réel et nombre imaginaire pur

Pour montrer qu’un nombre complexe est un réel, on peut indifféremment montrer :

1) que sa partie imaginaire est nulle, c’est-à-dire que

2) qu’il est égal à son conjugué (ou que la différence entre ce nombre et son conjugué est nulle), c’est-à-

dire que

3) que ce nombre est non nul et qu’il admet un argument de la forme , c’est-à-dire que

Pour montrer qu’un nombre complexe est un imaginaire pur, on peut indifféremment montrer :

1) que sa partie réelle est nulle, c’est-à-dire que

2) qu’il est égal à l’opposé de son conjugué (ou que la somme entre ce nombre et son conjugué est nulle),

c’est-à-dire que

3) que ce nombre est non nul et qu’il admet un argument de la forme

, c’est-à-dire que

( )

1) Vérifions que est un nombre réel.

1ère

méthode : On effectue directement l’opération.

Comme , est un nombre réel.

Exercice 5 (3 questions) Niveau : facile




9

2e méthode : On écrit les complexes sous leur forme algébrique puis on effectue l’opération.

Comme , est un nombre réel.

3ème

méthode : On utilise le conjugué.

Rappel : Propriétés des conjugués de nombres complexes

Soient deux nombres complexes et et soit un entier naturel non nul.

Le conjugué d’une somme est égal à la somme des conjugués, c’est-à-dire :

Le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués, c’est-à-dire :

Le conjugué d’un quotient est égal au quotient des conjugués, c’est-à-dire : (

)

Le conjugué d’une puissance est égal à la puissance du conjugué, c’est-à-dire :

(

)

Rappel : Somme d’un complexe et de son conjugué

Soit un nombre complexe . Alors . Autrement dit, le nombre est un réel.

Il vient alors que . Par conséquent, est un nombre réel.

2) Vérifions que est un nombre imaginaire pur.

1ère

méthode : On effectue directement l’opération.

Comme , est un nombre imaginaire pur.



10

2e méthode : On écrit les complexes sous leur forme algébrique puis on effectue l’opération.

D’après la question précédente, on a :

(

)

Comme , est un nombre imaginaire pur.

3ème

méthode : On utilise le conjugué.

Rappel : Différence d’un complexe et de son conjugué

Soit un nombre complexe . Alors . Autrement dit, le nombre est un imaginaire pur.

On a vu que , d’où . Par conséquent, comme , est

un nombre imaginaire pur.

3) On déduit des résultats précédents que et sont des nombres complexes conjugués, ce que nous

avions d’emblée observé en proposant la 3ème

méthode.

Remarque : Outre les 3 méthodes abordées dans cet exercice, d’autres méthodes peuvent être utilisées, qui

seront appréhendées ci-après dans cette fiche.



11

Soit et soit tel que .

1) Déterminer la(les) valeur(s) du réel pour que soit un réel.

2) Déterminer la(les) valeur(s) du réel pour que soit un imaginaire pur.

Tout d’abord, observons que et .

1) Déterminons la(les) valeur(s) du réel pour que soit un réel.

Posons le discriminant du trinôme du second degré . Alors .

Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

Ainsi, est un réel si et seulement si ou .

2) Déterminons la(les) valeur(s) du réel pour que soit un imaginaire pur.

Posons le discriminant du trinôme du second degré . Alors .

Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

√

√

√

√

Ainsi, est un imaginaire pur si et seulement si √ ou √ .

Exercice 6 (2 questions) Niveau : facile




12

1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation .

2) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation .

Rappel : Egalité de nombres complexes – Nombres complexes égaux

Deux nombres complexes et sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et

même partie imaginaire, c’est-à-dire si et seulement si et .

Soit le nombre complexe où et .

Alors et .

1) Résolvons dans l’équation .

Pour tout ,

Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Par conséquent, comme , {

{

{

{

{

{

(

)

(

)

{

{

{

{

Posons le discriminant du trinôme du second degré . Alors . Comme

, le trinôme n’admet aucune racine réelle. Par conséquent, il vient que :

{

√

{

√

√

√

Exercice 7 (2 questions) Niveau : difficile




13

L’ensemble des solutions de l’équation est : {

√

√

}

2) Résolvons dans l’équation .

Pour tout ,


Par conséquent, {

{

Si , alors , c’est-à-dire .

Or, d’après , donc .

Posons . Alors, résoudre l’équation revient à résoudre l’équation

avec . En posant le discriminant du trinôme du second degré d’inconnue , il vient que

. Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

Mais comme , seule est à retenir la racine réelle positive , c’est-à-dire .

Ainsi, . Enfin, si , alors et si , alors

.

On vérifie alors aisément que les nombres complexes et sont solutions de l’équation donnée.

En effet, et ( )

En définitive, les solutions de l’équation sont les nombres complexes et .



14

Soient √ √

, et

trois nombres complexes.

1) Ecrire sous sa forme algébrique.

2) Déterminer le module et un argument de .

3) Déterminer le module et un argument de .

4) Ecrire sous forme trigonométrique.

5) En déduire les valeurs exactes de (

) et (

).

1) Ecrivons sous sa forme algébrique.

√ √

√ √

(√ √ )

√ √ √ √

√ √ (√ √ )

√ √

√ √

2) Déterminons le module puis un argument de .

Rappel : Module et argument d’un complexe

Soit un repère orthonormal direct du plan complexe et soit le point d’affixe (où et

désignent des réels non tous nuls).

Le module de est le nombre réel positif, noté | | ou , défini par :

| | √

Un argument de ( ), noté ou , est une mesure de

l’angle orienté ( ) , définie par : {

.

| | |√ √

| |

√

(

√

) | √(

√

)

( √

)

√

√

est défini par

{

√

√

√ √

√

√

√

√

donc

Exercice 8 (5 questions) Niveau : moyen




15

3) Déterminons le module puis un argument de .

| | | | | | √ √

est défini par {

√

√

√

√

donc

4) Ecrivons sous forme trigonométrique.

Rappel : Forme trigonométrique d’un complexe non nul

Soit un nombre complexe non nul de module | | et dont un argument est . Alors

l’écriture est une forme trigonométrique du complexe .

Remarques importantes :

Il existe plusieurs formes trigonométriques d’un même complexe non nul puisqu’il existe plusieurs

arguments de .

Le nombre complexe nul n’admet pas de forme trigonométrique puisqu’il n’a pas d’argument.

D’après la 2e question, | | √ et

. Donc √ ( (

) (

)). Il

s’agit ici d’une écriture trigonométrique du nombre complexe .

D’après la 3e question, | | √ et

. Donc √ ( (

) (

)). Il

s’agit ici d’une écriture trigonométrique du nombre complexe .

Ainsi, comme

, on obtient les résultats suivants :

| | |

| | |

| |

√

√

Rappel : Propriétés des modules de nombres complexes

Soient deux nombres complexes et et soit un entier naturel non nul.

Le module d’une somme est inférieur ou égal à la somme des modules, c’est-

à-dire :

| | | | | |

(inégalité triangulaire complexe)

Le module d’un produit est égal au produit des modules, c’est-à-dire : | | | || |

Le module d’un quotient est égal au quotient des modules, c’est-à-dire : |

|

| |

| |

Le module d’une puissance est égal à la puissance du module, c’est-à-dire : | | | |



16

(

)

(

)

Rappel : Propriétés des arguments de nombres complexes

Soient deux nombres complexes et non nuls et soit un entier naturel non nul.

Un argument d'un produit est égal à la somme des

arguments, c’est-à-dire : [ ]

Un argument d’un quotient est égal à la différence des

arguments, c’est-à-dire : (

) [ ]

Un argument d’une puissance est égal au produit de la

puissance par l’argument, c’est-à-dire : [ ]

Par conséquent, une écriture trigonométrique de est (

) (

).

5) Déduisons de ces résultats les valeurs exactes de (

) et (

).

On a montré respectivement à la 1ère

question et à la question précédente que :

√ √

⏟

√ √

⏟

(

)

⏟

(

)

⏟

Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire,

d’où les égalités suivantes :

(

)

√ √

(

)

√ √



17

Soient et deux réels. En utilisant la notation exponentielle d’un complexe, retrouver les quatre formules

suivantes :

1)

2)

3)

4)

Rappel : Forme exponentielle d’un complexe non nul

Soit un nombre complexe non nul de module | | et dont un argument est . Alors

l’écriture est une forme exponentielle du complexe .

Remarques importantes :

Il existe plusieurs formes exponentielles d’un même complexe non nul.

Le nombre complexe nul n’admet pas de forme exponentielle.

Soient et deux réels.

1) et 2) Montrons tout d’abord les deux premières égalités (formules d’addition).

Rappel : Propriétés des nombres complexes écrits sous forme exponentielle

Pour tout nombre réel , on a | | et ( ) [ ].

En outre, pour tous nombres réels et , on a :

Remarque importante : On a par ailleurs les valeurs remarquables suivantes :

D’une part, ( ) ⏟

( ( ))

⏟

( ( ))

.

D’autre part, ( )

⏟

( )

⏟

( )





18


Ainsi, ( ) {

( ( )) ( )

( ( )) ( ) {

3) et 4) Montrons enfin les deux dernières égalités (formules de duplication).

Rappel : Formule d’Abraham De Moivre

Pour tout réel et pour tout entier , ( ) , c’est-à-dire .

D’une part, ⏟ ( )

⏟ ( )

D’autre part, ( )

⏟

(( ) )

⏟

(( ) )


Ainsi, ( ) {

( ) (( ) )

( ) (( ) ) {

Remarque : On pouvait obtenir ces deux derniers résultats en utilisant les deux premiers. En effet, en

remplaçant par , on obtenait :



19

On donne le nombre complexe

√

. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres

complexes , et .

1) en utilisant la forme algébrique.

2) en utilisant une forme exponentielle.

1) 1ère

méthode : On utilise la forme algébrique.

(

√

)

(

)

√

(

√

)

√

√

Donc

et √

(

√

)

(

√

)

(

√

) (

√

)(

√

)

√

√

Donc et

(

√

)

((

√

)

)

(

√

)

(

√

) (

√

)

√

Donc ( )

et ( ) √

2) 2ère

méthode : On utilise la forme exponentielle.

√

(

) (

)

( )

Il vient alors que :

( )

(

) (

) (

)

√

Donc

et √

( )





20

Donc et

( )

( )

( )

(

√

)

√

Donc ( )

et ( ) √



21

Soient et deux nombres complexes de module 1 tels que .

Démontrer que

est un réel.

Pour montrer que est un réel, montrons que . Or, pour tous nombres complexes et de module

1 tels que , on a :

(

)

Or, | | et comme d’après l’énoncé | | , . De même, | |

et | | , d’où

. Il en résulte que :

Finalement, est un réel.





22

Soit . On donne un point du plan complexe dont par est un repère orthonormé direct.

1) A quel ensemble appartient le point pour que le nombre soit un réel ?

2) A quel ensemble appartient le point pour que le nombre soit un imaginaire pur ?

Soit le nombre complexe où et . Il vient alors que

Par conséquent, et .

1) Etudions à quel ensemble appartient pour que le nombre soit un réel.

L’ensemble recherché est donc la réunion

de l’axe des réels (d’équation ) et

de l’axe des imaginaires purs

(d’équation ).

L’ensemble des solutions est représenté ci-

contre en rouge.

2) Etudions à quel ensemble appartient pour que le nombre soit un imaginaire pur.

L’ensemble recherché est donc la réunion

de la première bissectrice (d’équation

) et de la deuxième bissectrice du

repère (d’équation ).

L’ensemble des solutions est représenté ci-

contre en rouge.





23

Soit et soit tel que . On donne un point du plan complexe repéré par

, orthonormé direct.

A quel ensemble appartient pour que le nombre soit un réel ?

Soit le nombre complexe où et .

Il vient alors que

Par conséquent, et .

Etudions à quel ensemble appartient pour que le nombre soit un réel.

est un réel si et seulement si le point appartient à la réunion de l’axe des imaginaires purs et de la

droite d’équation . L’ensemble des points solutions est représenté ci-dessous en rouge.





24

Démontrer, sans la résoudre, que les solutions de l’équation ont des parties réelle et

imaginaire égales.

Soit un nombre complexe solution de l’équation .

On en déduit que | | | | | | | | | | | |.

1ère

méthode : Méthode analytique

Utilisons la forme algébrique du nombre complexe en posant où et .

Alors, | | | | | | | | | | | | | | | |

| | | |

Les solutions de l’équation ont donc des parties réelle et imaginaire égales.

2ème

méthode : Méthode géométrique

Soient , et trois points du plan complexe dont un repère orthonormé direct est . Alors

| | | | | | | | | | | | .

Par conséquent, appartient à la médiatrice du segment [ ].

Or, une équation de la médiatrice de [ ] est .

Autrement dit, les solutions de l’équation donnée sont

les nombres complexes de la forme .

Ce qui revient à dire que les solutions de l’équation

ont une partie réelle égale à

leur partie imaginaire.





25

Soit un entier naturel . A quelle(s) condition(s) sur le nombre complexe est-il un réel ?

Pour tout entier naturel , (

)

.

Or, (

) (

)

.

Finalement, le nombre complexe est un réel si et seulement si est un entier naturel pair.

Remarque : On montre de même que le nombre complexe est un imaginaire pur si et seulement si est un

entier naturel impair.



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