nona lezione il punto sui campi elettrici e magnetici statici
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Nona Lezione
Il punto sui campi elettrici e magnetici statici
Riassunto della lezione precedente Forza di Lorentz in alcuni casi notevoli Forze su fili attraversati da correnti immersi in un
campo magnetico Campo magnetico prodotto da una corrente filiforme:
Formula di Laplace Caso particolare di corrente su filo lungo rettilineo:
legge di Biot-Savart Flusso di B Circuitazione di B: legge di Ampère Legge di Ampère in forma differenziale: il rotore
Due anni fa (parli del diavolo…)
ECCEZIONALE TEMPESTA ELETTROMAGNETCA Rischio blackout
Boulder (Colorado). La Noaa, il centro di Boulder nel Colorado che monitora i parametri geofisici della Terra, lancia l'allarme dopo aver registrato, domenica, una tempesta geomagnetica del massimo grado previsto, che potrebbe provocare seri ...
NOAA ISSUES SPACE WEATHER WARNING
May 15, 2005 — Forecasters at the NOAA Space Environment Center in Boulder, Colo., observed a geomagnetic storm on Sunday, May 15, which they classified as an extreme event, measuring G-5—the highest level—on the NOAA Space Weather Scales. (Click image for larger view of the sun from the SOHO spacecraft of the intense solar activity taken May 15, 2005, at 7:50 a.m. EDT. Click here to view high resolution version, which is a large file. Click here to view latest images. Please credit “SOHO.”)
"This event registered a 9 on the K-Index, which measures the maximum deviation of the Earth's magnetic field in a given three-hour period," said Gayle Nelson, lead operations specialist at NOAA Space Environment Center. "The scale ranges from 0 to 9, with 9 being the highest. This was a significant event."
Possible impacts from such a geomagnetic storm include widespread power system voltage control problems; some grid systems may experience complete collapse or blackouts. Transformers may experience damage. Spacecraft operations may experience extensive surface charging; problems with orientation; uplink/downlink and tracking satellites. Satellite navigation may be degraded for days, and low-frequency radio navigation can be out for hours. Reports received by the NOAA Space Environment Center indicate that such impacts have been observed in the United States.
NOAA forecasters said the probability of another major event of this type is unlikely, however, other minor level (G-1) geomagnetic storms are possible within the next 24 hours.
Teorema di StokesCalcoliamo il flusso del rotore di B su una superficie ortogonale a J e usiamo il th di Ampère in forma differenziale
IdSS
0 nB
Ma per il th di Ampère in forma integrale Id 0 lB
Quindi lBnB
ddSS
Riassumendo: campi STATICI
0 lE
d 0 E
D
QdsS
nDD
Id 0 lB
JB
0
0 S
ds nBB
0 B
Alcune proprietà degli operatoriVale l’identità 0 Rende conto del fatto che un campo a circuitazione
nulla può essere espresso come gradiente di un potenziale scalare
Vale l’identità 0 A
Come sappiamo, il campo elettrostatico soddisfa tale requisito; il campo magnetico (in generale) no
Il campo magnetico è solenoidale, quindi può essere espresso come rotore di un vettore, che si definisce potenziale vettore
Teorema di Helmholtz Un campo vettoriale è definito se ne assegnano
divergenza e rotore
La conseguenza è che un qualunque campo vettoriale L può essere scritto come
AL
Qualche considerazione sull’energia La densità di energia per un campo elettrico
è, in generale
ED
2
1
Ovvero per mezzi lineari isotropi, quando D=E
2
2
1E
Qualche considerazione sull’energia Dimostriamolo: se portiamo una carica q2 in prossimità di una carica q1
l’energia potenziale è12
2112 4 r
qqU
se portiamo una carica q3 in prossimità delle prime due spendiamo
23
32
13
3113 44 r
r
qqU
L’energia spesa in totale è la somma, che possiamo scrivere
jir
qqU
j ij
j
ii 42
1 Il fattore 1/2 è dovuto al fatto che ogni coppia appare 2 volte
In termini di potenziale
ii
iqU 2
1 Considerando una distribuzione continua di carica, in
cui dq=dVdVU
V
2
1
Qualche considerazione sull’energia Ma per il teorema di Gauss
Utilizzando un’identità vettoriale che abbiamo già usato
Sul primo termine a destra possiamo applicare il teorema della divergenza trasformandolo
Se la superficie è una sfera di raggio che tende all’infinito tale termine tende a zero. Infatti D decresce per una carica come r2 e il potenziale come r; per distribuzioni più complicate (es. dipolo) possono decrescere solo più rapidamente; la superficie della sfera cresce invece some r2 : l’integrando va a zero. Rimane quindi
V V
dVdVU EDD
2
1
2
1
dVdVUVV
D
2
1
2
1
dVdVdVVVV DDD
2
1
2
1
2
1
SV
dsdV nDD
CVD
Qualche considerazione sull’energia
Per il campo di induzione magnetica si potrebbe fare lo stesso (con elementi di corrente al posto delle cariche) ma la dimostrazione è molto più complicata
Il risultato generale (che verificheremo in qualche caso particolare) è che la densità di energia è
Così che l’energia è
Per mezzi lineari isotropi per cui è B=H sarà
V
B dVU2
2
1H
HB
2
1
V
B dVU HB
2
1
Ma cos’è H? Il campo H, intensità di campo magnetico, era stato definito nel vuoto come
000 HB
L’atomo, attraverso diversi contributi (spin elettronico, orbita elettronica e spin dei nuceloni) ha un momento di dipolo magnetico
L’orientamento casuale dei dipoli, in gran parte della materia ordinaria, fa si che l’effetto netto complessivo sia nullo; questo non accade nei materiali magnetici
Un campo magnetico esterno produce un momento torcente, ed in alcuni materiali i dipoli si orientano producendo un campo magnetico proprio che si sovrappone al campo magnetico esterno
MBBB
0 MH
00 Definiamo M Polarizzazione Magnetica
Ma cos’è H?
Nei materiali lineari M è proporzionale ad H: si definisce il fattore di proporzionalità suscettività magnetica
HM
m
Per cui in generale
r si definisce permeabilità magnetica relativa; è un numero adimensionale e nella maggioranza dei materiali vale circa 1
HHHB
rm 00 1
Qualche esercizio: 1Un filo rettilineo, indefinito, percorso da una corrente di intensità di 5 A è immerso in un mezzo omogeneo, isotropo ed indefinito di permeabilità relativa r=1.05. Si calcoli l’intensità H del campo magnetico, l’induzione magnetica e la densità di energia in un punto distante 6 cm dal filo
Legge di Biot-Savart: mAd
IH /26.13
2
26
0 /105.17 mWHB r
Densità di Energia: 34 /1016.12
1mJW HB
EsercizioTrovare H al centro di una spira di corrente quadrata di lato L in aria
y
Simmetria: ogni mezzo lato fornisce stesso H
Per il mezzo lato 0xL/2 formula di Laplace:
2/
024
1'
L
dr
IulH
2/
0 2
322 2/
2/
4
Lyxx
Lx
LxIdx uuu
2/
034
'L
dr
IRlH
2/
0 2
322 2/
2/
4
Lz
Lx
IdxL u
2/
0 2
322 2/
2/
48'8
Lz
Lx
IdxL uHH
zL
Iu
22
xR
EsercizioDue fili rettilinei, paralleli e percorsi da corrente, si attirano nel vuoto con una forza per unità di lunghezza Fo/l=4 10-3 N/m. Con quale forza per unità di lunghezza si attirerebbero se si trovassero in un mezzo di permeabilità relativa r=0.9?
Sappiamo che la forza è legata a B, e che B, rispetto a Bo nel vuoto, è tale che B=r Bo. Per cui la forza rispetto a quella nel vuoto sarà
mmNl
F
l
Fr /6.30
EsercizioNella regione 0<r<0.5 m, in coordinate cilindriche, la densità di corrente è 22 /5.4 mAe z
ruJ
e in qualsiasi altro punto è nulla. Trovare H con la legge di Ampère.
Scegliamo un percorso circolare per applicare il th di Ampère. Se il percorso ha raggio ro la corrente sarà data dal flusso attraverso la superficie del cerchio di raggio ro:
S
z
S
dSdSI uJnJ
rr
erdrd 2
0
2
0
5.40
Dove ricordate che rdrdè l’elemento di area in coord. cilindriche 5.421
200 2
02 rr ere
La corrente ha simmetria cilindrica (non dipende da ) e ci aspettiamo che H (come pure B) conservi tale simmetria
Esercizio (Continuo)
Ora, legge di Ampère sul percorso circolare di raggio ro :
rHdc
2lH
5.4212
00 20
2 rr ereI mAere
rrr /21
4
5.400 2
02
0uH
Che è la soluzione per r<0.5m
Per r da 0.5m in poi la corrente racchiusa rimane la stessa, e la si trova sostituendo tale valore ad ro: I=1.868A
mrmAr
5.0/2
868.1
uH
EsercizioTrovare H sull’ asse di una spira di corrente circolare di raggio a
Questo per il punto evidenziato.Simmetria: elementi di corrente diametralmente opposti generano componenti r che si elidono: H sull’asse è solo lungo z
2
0 2
322
2
4 ha
dIa zu
z
h R
I dl
zr ha uuR
RlH
dr
Id
34
2
3224 ha
hadIa zr
uuu
2
322
2
2 ha
Ia z
u
EsercizioSia assegnato il campo vettoriale
zx
x eyaxy uuA
)())cos((
Trovare il rotore di A nell’origine
zyx
xx
zyx
zyx
axe
eyaxy
uuu
uuu
A
)cos(
0)cos(
E nell’origine:zyx uuuA
EsercizioCalcolare in coordinate cartesiane il rotore dell’intensità H dovuta ad un filamento di corrente disposto lungo l’asse z, con la corrente nella direzione di z
z
y
x
y
x u
Per la legge di Biot-Savart uH
r
I
2
Ma vale la trasformazione di coordinate Cilindriche->Cartesiane:
yxyx
x
yx
yuuu
2222
Esercizio (Continuo)
Calcoliamo quindi il rotore come fatto nell’es. precedente:
0
0
2222
2222
zyxzyx
zyx
yx
y
yx
x
yx
x
yx
yu
uuu
H
Questo non è vero nell’origine (x=0,y=0), dove sappiamo per la legge di Ampère:
JH
Esercizio
z
y
q1
q2
Si calcoli l’espressione del potenziale generato da due cariche puntiformi q1 e q2. q1=10C ed è posta in (0,0.05,0.02) m, mentre q2=- 20C ed è posta in (0,0.05,-0.02) m. Nel piano y=0 c’è un piano perfettamente conduttore.
z
y
q1
q2
q1i
q2i
2211 iii qqqq
Applichiamo il principio delle immagini, rimpiazzando il conduttore con due cariche immagine q1i e q1i
Ricaviamo il potenziale
21210
2121
4
1)(
ii
qiqiqqV
rrrrrrrrr
Esercizio (continuo)
dove
0.02)(0,-0.05,-
.02)(0,-0.05,0
.02)(0,0.05,-0
02)(0,0.05,0.
),,(
2
1
2
1
i
i
zyx
r
r
r
r
r
Per cui 2/12221 02.005.0 zyxrr
Volendo calcolarsi E basterebbe valutare
2/12222 02.005.0 zyxrr Ecc.
)()( rrE V
EsercizioL’elettrodo sferico di un generatore di Van der Graaff ha un diametro d=2m e viene caricato con una corrente di intensità 10 A. Se l’elettrodo è inizialmente scarico, quanto tempo occorre perché l’intensità del campo elettrico nelle immediate vicinanze dell’elettrodo raggiunga il valore E=2.106 V/m ?
2
04 r
QEr V/m102
46
20
r
ti
s .222 s 1010
102146
620
t C 022 tiQ
EsercizioSia dato il campo x
zjkzjk zz eIeI uH
21
Determinare il rotore di H. Il campo può esprimersi come gradiente di un campo scalare?
yzjkzjk
zzz eIeIjk uH
21
Non può essere il gradiente di un campo scalare, visto che in tal caso il rotore sarebbe nullo
Esercizio
Sia dato il campo rr
ruD
1
52
Trovare la densità di carica in coordinate sferiche
A
rsinsinA
rsinAr
rrr
111 22
A
In coordinate sferiche l’operatore divergenza assume la forma
Per cui 22
2
1
35
r
rD