nonlinear control systemsresearch.iaun.ac.ir/pd/shojaei/pdfs/uploadfile_7888.pdf · nonlinear...

Nonlinear Control Systems: Course Syllabus: NONLINEAR CONTROL ANALYSIS:

● Ch 1: Introduction

● Ch 2: Phase Plane Analysis

● Ch 3: Fundamentals of Lyapunov Theory

● Ch 4: Advanced Stability Concepts

● Ch 5: Describing Function Analysis

NONLINEAR CONTROL DESIGN:

● Ch 6: Feedback Linearization

● Ch 7: Sliding-Mode Control

● Ch 8: Backstepping Control Strategy

● Further Discussions

References: [1] J. J. Slotine, and W. Li, Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall, NJ, 1991.

[2] H. K. Khalil, Nonlinear Systems, Prentice-Hall, 2nd Edition, NJ, 1996.

Grading: 1. Class Attendance and quizzes: 10%

2. Homework and simulation practices: 10 %

2. Mid-term exam (if possible): 20 %

3. Final exam: 60 %

چرا كنترل غير خطي؟

خوشنام شجاعي: مدرس

موجود كنترل هاي سيستم بهبود ●

سخت هاي غيرخطي تحليل امكان ●

سيستم هاي نامعيني بر كردن غلبه ●

كننده كنترل طراحي سهولت ●

قويتر پايداري هاي تحليل ●


برخي از رفتارهاي سيستم هاي غير خطي

چندگانه تعادل نقاط ● نقطه .باشند داشته تعادل نقطه چندين است ممكن خطي غير هاي سيستم خطي، هاي سيستم برخالف

.رسد مي سكون به آن در سيستم كه است حالتي تعادل

2x x x

( ) 0x f x eqx x

1 20, 1eq eqx x

(Limit Cycle) حدي سيكل ● سيكل كه دهند مي نشان خود از خارجي تحريك بدون ثابت دوره و دامنه با نوساناتي غيرخطي هاي سيستم از برخي .است كرده مطرح را پديده اين 1920 سال در پل در ون بالتازار هلندي برق مهندس .شوند مي ناميده حدي

22 ( 1) 0mx c x x kx

دمپر غير خطي دمپر با-فنر-سيستم جرم


(Bifurcation) شاخگي دو ● .كنند مي تغيير غيرخطي هاي سيستم از برخي در پارامترها تغيير با سيستم پايداري خواص

فنرغير خطي دمپر با-فنر-سيستم جرم

3 0mx cx x x

نقاط تعادل و دافينگدر معادله : مثالخواص پايداري با تغيير پارامتر آلفا تغيير

.مي كنند

(Chaos) آشوب ● در كه حالي در .شود مي ايجاد خروجي در كوچكي تغيير اوليه، شرايط در كوچكي تغيير با خطي هاي سيستم در

هاي سيستم اصلي ويژگي .است حساس اوليه شرايط به شدت به سيستم خروجي خطي، غير هاي سيستم از برخي مي بيني پيش قابل غير سيستم خروجي غيرخطي، سيستم از دقيق مدل يك حضور در حتي كه است اين آشوبناك

.باشد

50.1 6sinx x x t

:سيستم زير را در نظر بگيريد: مثال

(0) 2, (0) 3

(0) 2.01, (0) 3.01

x x

x x


تحليل سيستم هاي غير خطي

(Phase Plane Analysis) فاز صفحه تحليل ● دوم مرتبه خطي غير هاي سيستم مطالعه براي گرافيكي روش

(Lyapunov’s Theory) لياپانوف تئوري ● لياپانوف مستقيم غير و مستقيم روش اساس بر پايداري تحليل

(Describing Function) توصيفي تابع تحليل ● فركانس حوزه هاي تكنيك از استفاده و خطي مدل يك با خطي غير هاي سيستم در خطي غير عناصر تقريب


تحليل صفحه فاز هاي سيستم رفتار مطالعه براي گرافيكي روش يك

منظور، اين براي .است دوم مرتبه غيرخطي متناظر دوم مرتبه سيستم حركت هاي تراجكتوري

به موسوم اي صفحه در را مختلف اوليه شرايط با هاي ويژگي سپس و كنيم مي ترسيم فاز صفحه .كنيم مي بررسي را ها تراجكتوري اين كيفي

1 1 1 2

2 2 1 2

( , )

( , )

x f x x

x f x x

فاز صفحه در سيستم هاي تراجكتوري مجموعه به .گوييم مي فاز پرتره مختلف اوليه شرايط با متناظر

خواص توان مي سيستم يك فاز پرتره بررسي با جذب، ناحيه همگرايي، تكين، نقاط نظير پايداري دوم مرتبه سيستم يك براي را ... و حدي سيكل .كرد تعيين

در كه هستند دوم مرتبه سيستم تعادل نقاط تكين نقاط تراجكتوري چندين و است نامعين تراجكتوري شيب آنها

.كنند مي قطع را همديگر

تحليلي روش (الف) :ترسيم آيزوكالين روش (ب)


1 1 1 2

2 2 1 2

( , )

( , )

x f x x

x f x x

1 1 2 1 1 2

2 1 2 1 1 2

( , )

( , )

x ax bx g x x

x cx dx g x x

1 1 2

2 1 2

x ax bx

x cx dx

2 2

1 24 / 2, 4 / 2a a b a a b

:تحليل صفحه فاز سيستم هاي غير خطي در اطراف نقطه تعادل


تئوري لياپانوف

لياپانوف پايداري تئوري ها، سيستم پايداري تحليل هاي روش ترين معروف و ترين برجسته از يكي .است شده گذاري پايه ميالدي نوزدهم قرن در لياپانوف الكساندر روسي رياضيدان توسط كه است

( , , )x f x u t :بگيريد نظر در را روبرو خطي غير سيستم

مي زير بسته حلقه ديناميك به خطي غير سيستم در آن جايگذاري و كنترلي ورودي با :رسيم

( , )u g x t

( , ( , ), ) ( , )x f x g x t t f x t

غير در شود مي ناميده آتونوموس سيستم نباشد، وابسته زمان به صريحًا فوق خطي غير سيستم اگر .شود مي ناميده اتونوموس غير صورت اين

با برابر x كه يكبار اگر است، سيستم تعادل نقطه سيستم يك حالت :تعادل نقطه .بماند برابر با نيز بعدي هاي زمان همه در شد،

eqx( )x f xeqx

eqx

1

N

i

i

J

2 sinmL k mgL

0 :if 1 2

2 2 12sin

x x

k gx x x

mL L

),(0,0) تعادل نقاط: ,0),...eqx 1 20, 0x x


تغيير با زيرا .شوند مي مطرح مبدأ تعادل نقطه براي قضايا و تعاريف تمام راحتي براي :توجه .داد انتقال مبدأ به را تعادلي نقطه هر توان مي مختصات

eqy x x

پايدار

مجانبي پايدار ناپايدار

لياپانوف مفهوم به اواًل اگر است مجانبي پايدار سيستم تعادل نقطه :مجانبي پایداري تعریف .شود همگرا صفر به زمان گذشت با ثانيًا باشد، پايدار

( )x f x( )x t

(0) lim ( ) 0t

x x t

نقطه تعادل به مفهوم لياپانوف پايدار است اگر هر . سيستم را در نظر بگيريد :تعریف پایداري .تراجکتوري از سيستم از يک همسايگي در مبدأ شروع شود در اطراف مبدأ باقي بماند

( )x f x

0( )x t ( )x t 0 0:

مجانبي پايداري آن ازاي به که ي محدوده بزرگترين به مي گفته (Domain of Attraction) جذب حوزه باشيم، داشته .شود

0( )x t

نقطه تعادل مبدأ براي سيستم پايدار نمايي است اگر دو عدد و :تعریف پایداري نمایي وجود داشته باشند كه ( اعداد اكيدًا مثبت)

( )x f x

0: ( ) (0) tt x t x e

22

0(1 sin ( ))

(1 sin ) ( ) (0)e ( ) (0) t

tx d

x x x x t x x t x e

2 1, (0) 1 ( ) 0

1x x x x t

t

مجانبي پايداري

نمايي پايداري

مفهوم به اواًل اگر است (نمايي) مجانبي پايدار کلي طور به سيستم تعادل نقطه :کلي پایداري تعریف) .شود همگرا صفر به زمان گذشت با اوليه، شرايط تمام ازاي به ثانيًا باشد، پايدار لياپانوف )x t

.بهترين نوع پايداري، پايداري نمايي كلي است

) :بگيريد نظر در را زمان با ناپذير تغيير خطي غير سيستم :خطي غير هاي سيستم پایداري )x f x

مي خطي زير صورت به باالتر مرتبه جمالت از کردن نظر صرف و تيلور بسط گيري کار به با سيستم اين :شود

( )x A x t

1 1

1

1

( ) ( )

( ) ( )

n

n n

n

f x f x

x x

f x f x

x x

A

Teacher: Khoshnam Shojaei

2 32 3

2 3

0 0 0

. . ( )

( ) ( ) ( )( )

1 1

2! 3!x x x

h o tf x

f x f x f xx f x x x x

x x x

. .

, 0 , 0

( , ) ( , )( , ) ( , )h o t

x u x u

f x u f x ux f x u x u f x u

x u

x A x Bu , 0 , 0

( , ) ( , ),

x u x u

f x u f x uA B

x u

سيستم براي تعادل نقطه آنگاه باشد، منفي اكيدًا A ويژه مقادير کليه حقيقي قسمت اگر :الف .است پايدار مجانبي طور به غيرخطي

باشد، خطي غير سيستم خطي تقريب سيستم اگر :(لياپانوف سازي خطي روش) قضيه آنگاه

2 2

1 1 2 1 1 2

2 2

2 1 2 2 1 2

( )

( )

x x x x

x x x x

x x

x x

x A x( )x f x

براي تعادل نقطه آنگاه باشد، مثبت اكيدًا A ويژه مقادير از يكي حداقل حقيقي قسمت اگر :ب .است ناپايدار غيرخطي سيستم

تعادل نقطه پايداري مورد در آنگاه باشد، پايدار اي حاشيه صورت به شده خطي سيستم اگر :ج طور به پايدار، خطي غير سيستم است ممكن يعني، .گرفت اي نتيجه توان نمي خطي غير سيستم .باشد ناپايدار يا پايدار مجانبي

و كنيد سازي خطي تعادل نقطه حول را سيستم (ب) .آوريد بدست را زير سيستم تعادل نقطه (الف) :تمرین .كنيد تحليل را سيستم پايداري (ج)

او به . رياضي دان و فيزيک دان روسي بود الکساندر لياپانوفو نيز سهم سيستم هاي ديناميکي خاطر توسعه نظريه پايداري

شهرت فيزيک رياضي و نظريه احتماالت عمده اش در .در گذشته است ۱۹۱۸وي در سال . دارد

:(مستقيم روش) لياپانوف دوم روش آنگاه شود، تلف مستمرًا زمان گذشت با سيستم يك كل انرژي اگر كه است اين لياپانوف مستقيم روش فلسفه

مثبت تابع يك هميشه و ناميم مي لياپانوف تابع را كل انرژي اين .شود مي ساكن تعادل نقطه يك در نهايتًا سيستم .است (معين نيمه) معين

R شعاع به ناحيه يك در و V(0) = 0 اگر است معين مثبت محلي طور به V(x) اسکالر پيوسته تابع :تعریف


0 : ( ) 0x V x

.است معين مثبت كلي صورت به V(x) آنگاه كند، صدق حالت فضاي تمام در فوق تعريف اگر :توجه

0 .شود مي ناميده معين نيمه مثبت V(x) آنگاه ، اگر :توجه : ( ) 0x V x

Positive-definite function (pdf)

Positive semi-definite function (psdf)

باشد، داشته پيوسته جزيي مشتقات و باشد معين مثبت V(x) اسکالر تابع Rشعاع به اي ناحيه در اگر :تعریف تابع يك V(x) آنگاه باشد، معين نيمه منفي سيستم از حالت مسير هر امتداد در آن زماني مشتق اگر

.شود مي ناميده لياپانوف( ) 0V x

) .بگيريد نظر در را زمان با ناپذير تغيير خطي غير سيستم :قضيه )x f x

وجود V(x) اسکالر تابع اگر است مجانبي پايدار تعادلش نقطه نزديکي در سيستم اين :سازد برقرار را زير شرايط که باشد داشته

.باشد پيوسته جزئي مشتقات داراي و پيوسته مبدأ حول V(x) :الف

:باشيم داشته براي :ب

:باشيم داشته براي :ج

0x

0x

( ) 0V x (0) 0V

( ) 0V x

و


پيوسته اول مرتبه جزئي مشتقات با تابع ( ) شعاع به اي ناحيه در اگر :پایداري قضيه طور به و باشد معين مثبت در محلي صورت به كه باشد داشته وجود نحوي به

.است پايدار محلي طور به مبدأ تعادل نقطه آنگاه باشد، معين نيمه منفي در محلي

sin 0

0R0RB( )V x

( )V x0RB( )V x

0RB

21( ) 1 cos

2V x

2( ) sin 0V x .است پايدار سيستم

:کنيد بررسي را زير زمان با ناپذير تغيير خطي غير سيستم پايداري :یک مثال

2

1 1 2

3

2 1 2 2

2x x x

x x x x

2 2

1 2 1 2

1( , )

2V x x x x

:گيريم مي نظر در سيستم انرژي تابع عنوان به را زير لياپانوف تابع

:کنيم مي جايگذاري آن در را سيستم معادالت و گرفته مشتق لياپانوف تابع از

1 2 1 1 2 2

2 2 2 4

1 1 2 1 2 2

2 4

1 2

( , ) 2

2 (2 2 )

2 0

x x x x x

x x

V x x x x x x

x

است، مثبت انرژي چون و است کاهش حال در سيستم انرژي لذا است، منفي اکيدًا لياپانوف تابع مشتق چون پايدار سيستم و شود مي همگرا صفر سمت به نيز سيستم حاالت درنتيجه، .رود مي صفر سمت به سيستم انرژي

.بود خواهد مجانبي


.بگيريد نظر در را زمان با ناپذير تغيير خطي غير سيستم :کلي پایداري قضيه

x

V(x) اسکالر تابع اگر است کلي مجانبي پايدار تعادلش نقطه نزديکي در سيستم اين :سازد برقرار را زير شرايط که باشد داشته وجود

.باشد پيوسته جزئي مشتقات داراي و پيوسته مبدأ حول V(x) :الف

:باشيم داشته براي :ب

:باشيم داشته براي :ج

0x

0x

( ) 0V x (0) 0V

( ) 0V x

و

وقتي :د

( )x f x

( )V x :باشيم داشته

.نامند مي کران بي شعاعي بطور شرط را فوق شرط


.داشت نخواهيم كلي پايداري ديگر باشد، داشته تعادل نقطه يك از بيش سيستمي اگر :توجه

گسترش حالت فضاي تمام به جذب ناحيه بايد كلي مجانبي پايداري داشتن براي طبيعتًا، قضيه در كه است الزم ديگري اضافي شرط !نيست كافي ولي است الزم شرط اين .يابد :شود مي بيان زير

:کنيد بررسي را زير زمان با ناپذير تغيير خطي غير سيستم پايداري :دو مثال

2 2

1 1 2 1 1 2

2 2

2 1 2 2 1 2

( )

( )

x x x x

x x x x

x x

x x

.کنيد مقایسه بعدي اسالید حل راه با سپس و (دقيقه پانزده :زمان) کنيد حل را مسأله این


منحني كه كند مي تضمين شعاعي كراني بي شرط بسته اگر .باشند اي بسته هاي منحني كانتور هاي

از حالت هاي تراجكتوري كه است ممكن نباشند، .شوند منحرف تعادل نقطه

22122

1

( )1

xV x x

x

:کنيد بررسي را زير زمان با ناپذير تغيير خطي غير سيستم پايداري :دو مثال

2 2

1 1 2 1 1 2

2 2

2 1 2 2 1 2

( )

( )

x x x x

x x x x

x x

x x

2 2

1 2 1 2( , )V x x x x


:کنيم مي جايگذاري آن در را سيستم معادالت و گرفته مشتق لياپانوف تابع از

1 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 )

)

( , ) 2 2

2(

2 ( 1

x x x x

x x x x

V x x x x x x

:شود برآورده زير شرط اگر است منفي اکيدًا لياپانوف تابع مشتق2 2

1 2 )( 1 0x x 2 2

1 2 1x x

لياپانوف تئوري طبق بر سيستم گيرند، قرار واحد دايره داخل در اوليه شرايط اگر يعني .است مجانبي پايدار


:لياپانوف دوم روش با خطي هاي سيستم پایداري تحليل

) .بگيريد نظر در را زمان با ناپذير تغيير خطي سيستم )x A x t

) .بگيريد نظر در را لياپانوف تابع )T

V x x Px

( ) )(

( )

T T T T

T T T

V x x x Ax x Ax

x x

Px Px Px P

A P PA x Qx

.باشد داشته وجود معين مثبت Q ماتريس يک بايد باشد، منفي لياپانوف تابع مشتق اينکه براي مشخصًا،

مثبت Q يک معين مثبت P يک ازاي به شود، مي ناميده لياپانوف معادله که معادله در يعني سيستم که است ممکن ولي .باشد مجانبي پايدار خطي سيستم لياپانوف قضيه طبق تا باشد داشته وجود معين

Q يک که است آن معقول روش .نشود يافت معين مثبت Q يک معين، مثبت P يک ازاي به ولي باشد پايدار P اگر خير؟ يا هست معين مثبت P آيا که کنيم تعيين معادله از و کنيم انتخاب معين مثبت .بود خواهد مجانبي پايدار سيستم و است لياپانوف تابع يک V آنگاه بود، معين مثبت

TA P PA Q

TA P PA Q

TP :متقارن P


:کنيد بررسي را زير زمان با ناپذير تغيير خطي سيستم پايداري :سه مثال

1 1 2

2 1 23

2x x x

x x x

( ) TV x x Px


:کنيم مي حل را لياپانوف معادله

.باشند مثبت اش اصلي کهادهاي تمام اگر است معين مثبت ماتريس يک P ماتريس :توجه

T P Q IA PA

.است هماني ماتريس Q ماتريس ساده انتخاب يک

11 12 11 12

12 22 12 22

1 3 1 2 1 0

2 1 3 1 0 1

p p p p

p p p p

!...خير يا است معين مثبت P آيا که کنيد چک و (دقيقه ده) دهيد انجام را ها ماتريس اين ضرب


است؟ پايدار زير سيستم k از مقدار چه ازاي به :تمرین

1 2( ) ( )

2 1

kx t x t

k

دقيقه پانزده :زمان


:(Invariance Set Theorem) نامتغير مجموعه قضيه قضاياي اعمال .است كنترل هاي سيستم پايداري تحليل در مهم بسيار خاصيت يك مجانبي پايداري

لياپانوف تابع مشتق موارد اغلب در زيرا .است مشكل بسيار اغلب خاصيت اين اثبات در تعادل نقطه كه هستيم قادر نامتغير مجموعه قضاياي كمك به خوشبختانه اين، رغم علي .گردد مي معين نيمه منفي

.كنيم تعيين را سيستم مجانبي پايداري

سيستم تراجكتوري هر اگر است نامتغير مجموعه يك ديناميكي سيستم يك براي M مجموعه :تعریف .بماند باقي M در نيز آتي هاي زمان همه در شود، مي شروع M در اي نقطه از كه

(0) M ( ) M , 0if x x t t

... و حدي سيكل تعادل، نقطه يك جذب ناحيه تعادل، نقطه :مثال :نامتغير مجموعه قضيه كه كنيد فرض و بگيريد نظر در را زمان با ناپذير تغيير سيستم يك كه باشد (پيوسته اول مرتبه جزيي مشتقات با) اسكالر تابع يك

( )x f x( ) :V x 1C

: ( ) 0E x V x

( ) 0,V x x

:آنگاه باشد، E در نامتغير مجموعه زير ترين بزرگ M و

(0) ( ) M ,x x t as t

.شود مي تضمين مجانبي پايداري باشد، مبدأ شامل تنها M مجموعه اگر ● .شود مي تضمين كلي پايداري باشد، برقرار نيز بيكران شعاعي صورت به شرط اگر ●


:بگيريد نظر در را زير خطي غير سيستم :مثال

4 7 5 3 31 sin ( )x x x x x x

:كنيم مي بررسي را مبدأ تعادل نقطه پايداري زير لياپانوف تابع با

2 5 3 3

0

1( ) sin

2

x

V x x d

5 3 3

43 3 8 5 5 3 3

4 8

( ) sin

sin ( ) 1 sin

1 0

V x xx x x x x

xx x x x xx x x x x

x x

بزرگترين ولي .است x محور تمام يعني خط E مجموعه فاز صفحه در :اول حالت تمام و باشد مي افقي محور روي مبدأ از خارج زيرا است، مبدأ آن درM نامتغير مجموعه

.هستند همگرا مبدأ به ها تراجكتوري تمام پس .شوند مي خارج محور روي از ها تراجكتوري

4 8: ( ) 1 0E x V x x x :كنيم مي پيدا را E مجموعه حال

0x 3 3 5sin ( ) 0x x x x

0x x

x0

EM

0x

بزرگترين ولي .است خط E مجموعه فاز صفحه در :دوم حالت .ندارد وجودM نامتغير مجموعه

1x


:كنيد بررسي زير خطي غير سيستم پايداري :تمرین

7 4 2

1 2 1 1 2

3 5 4 2

2 1 2 1 2

2 10

3 2 10

x x x x x

x x x x x

2

4 2

1 22 10V x x

:كنيد بررسي را پايداري زير لياپانوف تابع با :راهنمایي

همان طور که مالحظه شد ،در حالت کلي روش مشخصي براي تعيين تابع لياپانوف وجود ندارد و اغلب مي بايست -آن را حدث زد،ولي در حالت خاص روش هايي براي پيشنهادتابع لياپانوف وجود داردکه در ادامه به برخي از آنها

.اشاره خواهد شد

:روش کراسوفسکي در اين روش يک شکل ساده براي تابع لياپانوف يک سيستم غير خطي به فرم ارائه ميشود که به شکل -

.زير ميباشد

:قضيه ي کراسوفسکي

فرض کنيد ماتريس . سيستم نا متغيير با زمان را در نظر بگيريد که نقطه ي تعادل آن مبدأ ميباشد.ژاکوبين سيستم باشد

اگر ماتريس در همسايگي منفي معيين باشد،آنگاه نقطه ي تعادل مبدأ براي سيستم فوق پايدار -.مجانبي خواهد بود وتابع تابع لياپانوفي براي سيستم مذکور ميباشد

( )x f x

( )x f x

TF A A


( ) ( ) ( )TV x f x f x

( )V x .باشدمثبت معين - گويند اگر معين منفي را ماتريس : نکته اگر تمام فضاي حالت باشد و به صورت شعاعي بي کران باشد آنگاه نقطه ي تعادل به صورت کلي -

.پايدار مجانبي خواهد بود ( )nR( )v x

FF

( )f xA

x

.پايداري نقطه ي تعادل مبدأ را براي سيستم زير بررسي نماييد: مثال

:حل

1 1 2

3

2 1 2 2

3x x x

x x x x

1 1

1 2

2

22 2

1 2

3 1( )

1 1 3

f f

x xA x

xf f

x x

3 1 3 1 6 2

1 1 1 1 2 2

TF A A

1 2, 0

3 1( )

1 1x xA x A


6 26 0,det( ) 8 0

2 2F F

بنابر اين چون مثبت معين است، منفي معين است وطبق قضيه ي کراسوفسکي مبدأ براي سيستم فوق پايدار - . مجانبي خواهد بود

1 2 2

1 2 1 2

2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Tf x

v x f x f x f x f x f x f xf x

2 3 2

1 2 1 2 2( ) ( 3 ) ( )v x x x x x x

.بنابر اين سيستم غير خطي فوق به صورت کلي پايدار مجانبي است -

lim ( )x

V x

: روش کراسوفسکي تعميم یافته

کنيد ماتريس فرض . با زمان را در نظر بگيريد که نقطه ي تعادل آن مبدأ ميباشدمتغير نا سيستم -شرط الزم و کافي براي اينکه مبدأ نقطه تعادل پايدار مجانبي اين سيستم باشد اين است که دو . باشدسيستم ژاکوبين

ماتريس مثبت معين و وجود داشته باشند که

:در همسايگي از مبدأ، منفي نيمه معين باشد آنگاه تابع لياپانوف پيشنهادي به فرم زير خواهد بود -

( )x f x( )f

A xx

QP

: روش خواص فيزیکي گاهي مي توان با استفاده از خواص فيزيکي .روش هايي که تا کنون بيان شد،روش هاي مبتني بر رياضيات هستند -

.سيستم مانند انرژي جنبشي وپتانسيل ميتوان تابع لياپانوف را براي سيستم هاي واقعي پيشنهاد کرد


( ) ( ) ( )TV x f x Pf x

0 0Tx F A P PA Q

nonlinear control systemsresearch.iaun.ac.ir/pd/shojaei/pdfs/uploadfile_7888.pdf · nonlinear...

Documents