社団法人 電子情報通信学会THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報TECHNICAL REPORT OF IEICE.

格子状に接続された自己組織化マップの非線形バネモデル松下 春奈† 西尾 芳文†

†徳島大学工学部 〒 770–8506徳島県徳島市南常三島 2–1E-mail: †{haruna,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp

あらまし 本研究では，格子状に接続された自己組織化マップ（Self-Organizing Map: SOM）の非線形バネモデルを提案する．提案モデルは長方形に配置された N × Mのニューロンで構成されており，それらは非線形バネで接続されている．2 × 2及び 5 × 5で接続されているモデルのカオス的振る舞いを調査する．キーワード カオス，非線形バネ，自己組織化マップ

Nonlinear Spring Model of Self-Organizing MapArranged in Rectangular Grid

Haruna MATSUSHITA† and Yoshifumi NISHIO†

† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University2–1 Minami-Josanjima, Tokushima 770-8506, JapanE-mail: †{haruna,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp

Abstract In this study, we propose a nonlinear spring model of Self-Organizing Map (SOM) arranged in 2-dimensional grid.The neurons of the proposed model consists of N ×M neurons located at a rectangular grid and are connected by the nonlinearspring. We investigate the chaotic behaviors of the model connected in 2 × 2 and 5 × 5.Key words chaos, nonlinear spring, self-organizing map

1. は じ め に

自己組織化マップ（Self-Organizing Map: SOM） [1]は教師なし学習型ニューラルネットワークのひとつであり，脳の自己組織化過程を簡略化したモデルである．しかしながら，SOM は脳のメカニズムを実現するにはまだ程遠く，より有力で柔軟なメカニズムを実現するためには，新しいメカニズムを提案し，それらの振る舞いを調査することが重要であるといえる．SOM の新しいモデルを実現する第一歩として，私たちは以

前の研究で，非線形バネで接続された１次元ニューロンモデルを提案した [2], [3]．また，入力ベクトルがモデルに周期的に与えられるとした仮定の下，それらの振る舞いを調査した．SOMのアプリケーションでは２次元状に配置された SOMが

最も利用されていることから，本研究では，非線形バネで接続された格子状 SOM モデルを提案する．SOM の学習アルゴリズムでは，より勝者ニューロン近くに接続されているニューロンほど大きく更新される．そこで，提案モデルにおいても勝者ニューロンとそれらの近傍ニューロン間の関係を表現することを考える．入力ベクトルはモデルの四隅に与えられ，最も入力に近いニューロンが勝者ニューロンとなり，入力ベクトルに引き寄せられる．他のニューロンは常に入力ベクトルからは直接

影響を受けず，近傍ニューロンからの非線形バネによる復元力のみの影響を受ける．2 × 2及び 5 × 5の格子状に接続されたモデルのカオス的振る舞いを調査する．

2. 格子状に配置されたSOMの非線形バネモデル

本研究では，ニューロンが N × M 長方形に配置された SOMの非線形バネモデルを提案する．モデルを図 1に示す．全ニューロンは同じ重さ mであり，それぞれは自然長 lの非線形バネで接続されていると仮定する．変数 xに反発する非線形バネの復元力 F は F = −bx3 と表される．ここで，bはバネ定数である．摩擦や空気抵抗を無視し，１行１列目に位置するニューロン

11 の位置を x 軸と y 軸の原点に固定する．状態変数はその他のニューロンの位置 xi j，yi j と，ニューロンの速度 vxi j，vyi j である．さらに，外部入力による SOMの学習過程をモデリングする．

SOMのアルゴリズムでは，最も入力ベクトルに近い重みベクトルを持つニューロンが勝者ニューロンとなり，勝者ニューロンとその近傍に位置するニューロンが入力ベクトルに引き寄せられる．本研究では，入力ベクトルがモデルの四隅に順に与えられることに専念する．よって，最も入力に近いニューロン，つまり，ニューロン 11，1M，N1，NM のどれかが勝者ニュー

— 1—

1Nxv1Nyvijy

lN )1( −

1ixv1iyv

li )1( −

21yv21xv

l2

0

11xv11yv

0

2Nxv2Nyv

NjxvNjyv

2ixv2iyv

ijxvijyv

22xv22yv

jxv2jyv

2

lj )1( −l2

12xv12yv jxv

1jyv

1

NMxvNMyv

iMyviMxv

Mxv2Myv

2

ijx

Mxv1Myv

1

lM )1( −

図 1 Nonlinear spring model of SOM with N × M rectangular shape.

ijx

)(ˆ tf

θcos)(ˆ tf

θsin)(ˆ tfθ

ijy

Winner

Input

図 2 Input vector and winner.

Input

Neuron 11 Neuron 1M

Neuron NMNeuron N1

Input

Neuron 11 Neuron 1M

Neuron NMNeuron N1

(a) (b)

図 3 Input patterns. (a) Rotation A; Neuron 11, 1M, NM and N1. (b) Ro-tation B; Neuron 11, 1M, N1 and NM.

ロンとなる（図 2）．ここで，勝者以外のニューロンは入力ベクトルからは直接影響を受けない．また，本研究では２種類の入力パターンを考える．ひとつは，図 3(a)のように，ニューロン 11，1M，NM，N1に近い順番にモデルの隅に入力が与えられるパターンで，もうひとつは，図 3(b) のように，ニューロン 11，1M，N1，NMに近い順番に与えられるパターンである．前者を Rotation A，後者を Rotation Bと呼ぶ．運動方程式は各ニューロンの位置に従って記述でき，Rotation Aの場合を次に示す．全ニューロンに対して：

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩xi j = vxi jyi j = vyi j .

(1)

四隅のニューロンに対して；ニューロン 11：

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩vx11 = −kvx11 + Fx11,12 + Fx11,21 − f (τ) cos θvy11 = −kvy11 + Fy11,12 + Fy11,21 − f (τ) sin θ,

(2)

ニューロン 1M：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

vx1M = −kvx1M − Fx1(M−1),1M + Fx1M,2m+ f (τ − π

2 ) cos θ

vy1M = −kvy1M − Fy1(M−1),1M + Fy1M,2m− f (τ − π

2 ) sin θ,

(3)

ニューロン NM：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

vxNM = −kvxNM − FxN(M−1),NM − Fx(N−1)M,NM+ f (τ − π) cos θ

vyNM = −kvyNM − FyN(M−1),NM − Fy(N−1)M,NM+ f (τ − π) sin θ,

(4)

ニューロン N1：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

vxN1 = −kvxN1 + FxN1,n2 − Fx(N−1)1,N1− f (τ − 3

2π) cos θ

vyN1 = −kvyN1 + FyN1,n2 − Fy(N−1)1,N1+ f (τ − 3

2π) sin θ.

(5)

下段に位置するニューロンに対して；⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩vx1 j = −kvx1 j − Fx1( j−1),1 j + Fx1 j,1( j+1) + Fx1 j,2 jvy1 j = −kvy1 j − Fy1( j−1),1 j + Fy1 j,1( j+1) + Fy1 j,2 j.

(6)

左列に位置するニューロンに対して；⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩vxi1 = −kvxi1 + Fxi1,i2 − Fx(i−1)1,i1 + Fxi1,(i+1)1vyi1 = −kvyi1 + Fyi1,i2 − Fy(i−1)1,i1 + Fyi1,(i+1)1.

(7)

右列に位置するニューロンに対して；⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩vxiM = −kvxiM − Fxi(N−1),iM − Fx(i−1)N,iM + FxiM,(i+1)NvyiM = −kvyiM − Fyi(N−1),iM − Fy(i−1)N,iM + FyiM,(i+1)N .

(8)

上段に位置するニューロンに対して；⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩vxN j = −kvxN j − FxN( j−1),N j + FxN j,N( j+1) − Fx(N−1) j,N jvyN j = −kvyN j − FyN( j−1),N j + FyN j,N( j+1) − Fy(N−1) j,N j.

(9)

どれにも当てはまらないその他のニューロンに対して；⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

vxi j = −kvxi j − Fxi j,i( j−1) + Fxi( j+1),i j− Fxi j,(i−1) j + Fx(i+1) j,i j

vyi j = −kvyi j − Fyi j,i( j−1) + Fyi( j+1),i j− Fyi j,(i−1) j + Fy(i+1) j,i j,

(10)

となる．ここで，(i = 1, 2, · · · ,N), ( j = 1, 2, · · · ,M)，x11 = 0,y11 = 0，θ = π/4とする．また，正規化には次のようなパラメータを用いる．aは摩擦係数である．

“ · ” = ddτ , vxi j =

√bm vxi j , vyi j =

√bm vyi j ,

t =√mb τ, k = a√

bm,

(11)

— 2 —

B

τ

)(τf

0 π π2 π32π 25π π423π 27π

図 4 Force by external input vector.

Fxi j,i j と Fyi j,i j は，ニューロン i jと i j間のバネ力の x成分と y成分である．

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Fxi j,i j =(√((xi j − xi j)2 + (yi j − yi j)2 − l

)3

× xi j−xi j√((xi j−xi j)2+(yi j−yi j)2

Fyi j,i j =(√((xi j − xi j)2 + (yi j − yi j)2 − l

)3

× yi j−yi j√((xi j−xi j)2+(yi j−yi j)2

.

(12)

f (τ) は外部入力による力で，次のように表される．ここで，t = 0は入力が与えられた時間とする．

f (τ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

B sin(2τ), 2nπ <= τ <=(2nπ + π2

)

(n = 0, 1, · · · )0, otherwise

(13)

式 (2)–(5) は Rotation A の場合に対するものであるため，他の入力パターンに対しては位相を書き換える必要がある．入力ベクトルは四隅に π/4の定角度で与えられるため，４つのニューロンの中の最も入力に近い一つが勝者とはり，入力に対して式 (13)の力で引き寄せられる．他のニューロンは常に入力ベクトルからは直接影響を受けず，近傍ニューロンからの非線形バネによる影響のみを受ける．f (τ)は図 4のような形で描かれる．

3. コンピュータシミュレーション結果

式 (1)-(10)に対してルンゲクッタ法を用いて解く，コンピュータシミュレーションを行う．タイムステップは δt = 2π/500，ポアンカレ断面は τ = 2nπと定義する．各ニューロンの初期配置は，xi j(0) = ( j − 1)l及び yi j(0) = (i − 1)lで表される 2-Dグリッド上の物理的な位置とする．速度の初期値は 0とする．3. 1 2 × 2配置モデルまず，２種類の入力パターンに対する 2 × 2（N = M = 2）配

置モデルを考える．両入力パターンに対する x12–vx12 平面上のアトラクタの軌道，及びポアンカレマップを図 5(A)，(B)にそれぞれ示す．図 5(A)では，２周期解 (1)が４周期解 (2)，カオス (3)へと分岐していることがわかる．また，k を減少させることにより，カオスはより複雑なものへと成長している．一方，図 5(B)に示される Rotation Bの場合においても，同じパラメータに対しては同じような現象が観測できる．これらの結果は，本来の SOMの，学習結果は入力ベクトルが与えられる順番にはほとんど影響を受けないという性質を表しているといえる．さらに，B = 15，l = 50に固定した時の，k を増加させた同

モデルの１パラメータ分岐図を計算した．図 6(a) 及び (b) は，入力パターン Rotation A，Rotation B の場合の結果をそれぞれ示している．図 6(a)において kを 0.3から 0.5に変化させた場

(a)

46 48 50 52 54−10

−5

0

5

46 48 50 52 54−10

−5

0

5

46 48 50 52 54−10

−5

0

5

(b)

48 49 50 51 52 53−6

−4

−2

0

2

48 49 50 51 52 53−6

−4

−2

0

2

48 49 50 51 52 53−6

−4

−2

0

2

(1) (2) (3)(A)

(a)

46 48 50 52 54−10

−5

0

5

46 48 50 52 54−10

−5

0

5

46 48 50 52 54−10

−5

0

5

(b)

48 49 50 51 52 53−6

−4

−2

0

2

48 49 50 51 52 53−6

−4

−2

0

2

48 49 50 51 52 53−6

−4

−2

0

2

(1) (2) (3)(B)

図 5 Projection of attractors onto x12–vx12 plane and their Poincare mapsof 2 × 2 model. B = 15. l = 50. (A) Rotation A. (B) RotationB. (a) Attractors. (b) Poincare maps. (1) k = 0.45. (2) k = 0.38.(3) k = 0.31.

0.3 0.35 0.4 0.45 0.548

48.5

49

49.5

50

50.5

51

51.5

52

k

x 12

(a)

0.3 0.4 0.548

48.5

49

49.5

50

50.5

51

51.5

52

k

x 12

(b)図 6 Bifurcation diagrams of model with 2 × 2 neurons for fixed B = 15

and l = 50 by changing k from 0.3 to 0.5. (a) Rotation A. (b) RotationB.

合を見ると，広いカオス領域が存在していることが確認できる．また，両パターンにおいて，k を増加させることでカオス的振る舞いが弱くなっていくことがわかる．また，0.3 < k < 0.335ではカオス領域及びいくつもの周期窓が，その後は図 5(A1)と(A2)に対応した周期倍分岐が観測できる．一方，Rotation Bの場合を示した図 6(b)では，やや違った分岐が観測できる．これらから，入力パターン Rotation Bを用いた方が，Rotation Aよりもより複雑なカオスが発生することがわかる．Rotation A及び Rotation Bに対するリアプノフ指数を図 7に

示す．両ケースにおいて，５つのリアプノフ指数が正である，つまり，ニューロンはカオス的に振動しているといえる．RotationA 及び Rotation B における最大リアプノフ指数は，それぞれλ1 = 0.020，0.229であることから，Rotation Bによる非線形バネモデルは Rotation Aよりもより複雑なカオスを生成しているといえる．

— 3—

(a)

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

(b)

4.2 4.4 4.6 4.8 5

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

4.2 4.4 4.6 4.8 5

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

4.2 4.4 4.6 4.8 5

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

4.2 4.4 4.6 4.8 5

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

4.2 4.4 4.6 4.8 5

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

4.2 4.4 4.6 4.8 5

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

4.2 4.4 4.6 4.8 5

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

図 9 Projection of attractors onto x53–vx53 plane and their Poincare maps of 5×5 model. Fixed param-eters are k = 0.15 and l = 2. Input vectors are given by Rotation B. (a) Attractors. (b) Poincaremaps. (1) B = 0.7. (2) B = 0.75. (3) B = 0.885. (4) B = 0.8864. (5) B = 0.887. (6) B = 0.888.(7) B = 0.89.

0 2000 4000 6000 8000 10000−1.5

−1

−0.5

0

0.5

(a)

0 2000 4000 6000 8000 10000−1.5

−1

−0.5

0

0.5

(b)図 7 Lyapunov exponents of 2 × 2 model. B = 15, l = 50, k = 0.36.

(a) Rotation A. (b) Rotation B.

3. 2 5 × 5 Model次に， 5 × 5 (N = M = 5) にニューロンを配置し，Rotation

A で入力ベクトルを与えたときの非線形バネモデルを考える．このとき，ニューロン間の関係に注目しつつ，モデルのカオス的振る舞いを調査する．図 8(a) は，ニューロン 33 の位置 x33を基準としたときの，各ニューロンの位置 xi j のアトラクタの軌道を示している．B = 0.6のときは（図 8(a1)），ニューロン33を中心として，全ニューロンがほぼ対称性をもって振動している．つまり，ニューロン 33の１近傍のアトラクタ，x33–x32，x33–x23，x33–x34 及び x33–x43 平面のアトラクタは，全て同じような形をしている．図 8(a2)，(a3)のように Bを増加させることで，各ニューロンは異なる振る舞いをするようになる．B = 0.9のとき，対称性は完全に崩壊し，全ニューロンがカオス的に振る舞っていることが観測できる．図 8(b)は，xi j–vxi j 平面上の各ニューロンのポアンカレマップ

である．２周期解 (b1)はトーラス (b2) へ分岐し，Bを増加させることでカオス (b3)が観測できる．トーラスからカオスへの成長過程を調査するために，Bを変

化させたときの振る舞いをより細かく観測する（図 9）．(1)及び (2) では，トーラスであることがわかる．B = 0.885 では８周期状態 (3)が出現し，(4)では折りたたまれたトーラスが出現している．より Bを増加させていくと，さらにトーラスは崩壊し，ポアンカレマップは１次元的ではなくなり，カオス (5)-(7)の発生が視覚的に確認できる．

4. Conclusions

本研究では，格子状に非線形バネで接続された自己組織化

(1)

4.726 4.7314

4.5

5

4.726 4.7314

4.5

5

4.726 4.7314

4.5

5

4.726 4.7314.5

5

5.5

4.726 4.7314.5

5

5.5

4.726 4.7314.35

4.4

4.45

4.726 4.7314.5

4.55

4.6

4.726 4.731

4.72

4.726 4.7314.85

4.9

4.95

4.726 4.7315

5.05

5.1

4.726 4.7314.4

4.45

4.5

4.726 4.731

4.58

4.726 4.731

4.73

4.726 4.731

4.88

4.726 4.7315.01

5.02

5.03

4.726 4.7314.3

4.35

4.4

4.726 4.731

4.5

4.726 4.7314.65

4.7

4.75

4.726 4.7314.85

4.9

4.95

4.726 4.7315.05

5.1

5.15

0 0.5 10

0.5

1

4.726 4.7314

4.5

5

4.726 4.731

5

4.726 4.7314.5

5

5.5

4.726 4.7315

5.5

6

0.2 0.3 0.4−0.3

−0.28

−0.26

2.4 2.6 2.80.1

0.15

0.2

4 4.5 5−0.2

−0.15

−0.1

6.8 6.85 6.90.18

0.19

0.2

9.3 9.4 9.5−0.08

−0.06

−0.04

0.38 0.4 0.420

0.01

0.02

2.5 2.6−0.01

0

0.01

4.715 4.72 4.7250

1

2x 10

−3

6.85 6.9 6.95−0.01

0

0.01

9.0475 9.048 9.04850

0.01

0.02

0.42 0.44−5

0

5x 10

−3

2.575 2.58−1

0

1x 10

−3

4.725 4.73 4.735−5

0

5x 10

−4

6.875 6.88 6.885−1

0

1x 10

−3

9.02 9.0205 9.021−5

0

5x 10

−3

0.36 0.365−0.05

0

0.05

2.4 2.6 2.8−5

0

5x 10

−3

4.7 4.75−0.01

0

0.01

6.85 6.9 6.95−2

0

2x 10

−3

9.05 9.1 9.150

0.01

0.02

0 0.5 10

0.5

1

2.3−0.115

−0.11

4.65 4.66 4.670.08

0.1

0.12

7.14 7.15 7.160.04

0.05

0.06

9.32 9.34 9.36−0.14

−0.135

(2)

4.72 4.743

4

5

4.72 4.744

4.5

5

4.72 4.744

4.5

5

4.72 4.744.5

5

5.5

4.72 4.744

5

6

4.72 4.74

4.5

4.72 4.74

4.5

4.72 4.744.7

4.75

4.72 4.744.85

4.9

4.95

4.72 4.745

4.72 4.744.4

4.45

4.72 4.744.57

4.575

4.58

4.72 4.744.7

4.75

4.8

4.72 4.744.88

4.9

4.72 4.745

5.05

5.1

4.72 4.74

4.5

4.72 4.74

4.5

4.72 4.744.7

4.75

4.8

4.72 4.744.9

4.95

5

4.72 4.745

0 0.5 10

0.5

1

4.72 4.744

4.5

5

4.72 4.744.5

5

4.72 4.744.5

5

5.5

4.72 4.744

5

6

0 0.2 0.4−0.4

−0.35

−0.3

2.4 2.6 2.80.1

0.15

0.2

4 4.5 5−0.2

0

0.2

70

0.1

0.2

9 9.5 10−0.2

0

0.2

0.35 0.40.01

0.015

0.02

2.4 2.6 2.8−0.01

0

0.01

4.7 4.75−0.01

0

0.01

6.85 6.9 6.95−0.01

−0.005

0

9 9.1 9.20

0.05

0.4 0.42 0.44−0.01

0

0.01

2.57 2.575 2.58−2

0

2x 10

−3

4.73 4.735 4.74−5

0

5x 10

−3

6.85 6.9 6.95−5

0

5x 10

−3

9.02 9.04 9.06−0.01

0

0.01

0.34 0.36 0.38−0.05

0

0.05

2.4 2.6 2.8−5

0

5x 10

−3

4.725 4.73 4.735−0.02

0

0.02

6.9 6.95−0.01

0

0.01

9.12 9.14 9.16−0.05

0

0.05

0 0.5 10

0.5

1

2.2 2.4−0.15

−0.1

4.65 4.7 4.750

0.1

0.2

7.15 7.2 7.250

0.1

0.2

9.2 9.3 9.4−0.2

−0.15

−0.1

(3)

4.75 4.8 4.854

4.5

5

4.75 4.8 4.854

5

6

4.75 4.8 4.854

5

6

4.75 4.8 4.854

5

6

4.75 4.8 4.854

5

6

4.75 4.8 4.854

4.5

5

4.75 4.8 4.85

4.5

4.75 4.8 4.85

5

4.75 4.8 4.85

5

4.75 4.8 4.854.5

5

5.5

4.75 4.8 4.85

4.5

4.75 4.8 4.854.6

4.65

4.7

4.75 4.8 4.854.75

4.8

4.85

4.75 4.8 4.85

5

4.75 4.8 4.855

4.75 4.8 4.854

4.5

5

4.75 4.8 4.854

4.5

5

4.75 4.8 4.85

5

4.75 4.8 4.854.5

5

5.5

4.75 4.8 4.855

5.5

0 0.5 10

0.5

1

4.75 4.8 4.854

4.5

5

4.75 4.8 4.854.5

5

4.75 4.8 4.854.5

5

5.5

4.75 4.8 4.854

5

6

−1 0 1−0.5

0

2 3 4−0.5

0

0.5

4 4.5 5−0.5

0

0.5

6.5 7 7.50

0.5

1

9 9.5 10−0.5

0

0.5

0 0.5 1−0.05

0

0.05

2.4 2.6 2.8−0.05

0

0.05

4.5 5−0.05

0

0.05

6.5 7 7.5−0.05

0

0.05

8.5 9 9.5−0.2

0

0.2

0 0.5 1−0.02

0

0.02

2.4 2.6 2.8−0.05

0

0.05

5−0.02

0

0.02

7−0.05

0

0.05

8.5 9 9.5−0.05

0

0.05

0 0.5 1−0.05

0

0.05

2.4 2.6 2.8−0.05

0

0.05

5−0.05

0

0.05

6.5 7 7.5−0.05

0

0.05

9 9.5−0.1

0

0.1

0 0.5 10

0.5

1

2 2.2 2.4−0.2

−0.1

0

4.5 50

0.1

0.2

7 7.5 8−0.2

0

0.2

9 9.5−0.3

−0.2

−0.1

(a) (b)

図 8 Attractors and Poincare maps of 2 × 2 model for k = 0.15 and l = 2.(a) Attractors onto x33 vs (xi j − ( j − 3)l). (b) Poincare maps ontoxi j–vxi j plane. (1) B = 0.6. (2) B = 0.7. (3) B = 0.9.

マップ（SOM）のモデルを提案した．2× 2配置モデルでは，異なる入力パターンにおいて，同じ振る舞いを得られた．さらに，5 × 5配置モデルを考え，ニューロン間の関係に注目しながら，カオス的振る舞いを調査した．

文 献[1] T. Kohonen, Self-organizing Maps, Berlin, Springer, 1995.[2] H. Matsushita and Y. Nishio, “Nonlinear Spring Model of Self-

Organizing Map and its Chaotic Behavior,” Proc. of ICCCAS’07,vol. 2, pp. 1099–1102, 2007.

[3] H. Matsushita and Y. Nishio, “Three-Neuron Nonlinear SpringModel of Self-Organizing Map,” Proc. of NCSP’08, pp. 315–318,2008.

[4] Y. Ueda, The Road to Chaos, Santa Cruz, Aerial Press, 1992.

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