nota ringkas addmath kertas
DESCRIPTION
Matematik Tambahan SPMTRANSCRIPT
MT Class of 2015 : Mr. Mohamad Esmandi
1234
68
1012
Set A Set B
Domain
Set A{1,2,3,4}
Kodomain
Set B{6,8,10,12}
Objek : 1, 2, 3 Imej : 6, 8, 10
4, Bukan Objek kerana tiada imej
12, Bukan imej kerana tiada objek Julat : {6, 8, 10}
Perhatikan perbezaancara penulisan
Rajah Anak Panah
1234
68
1012
Hubungan boleh diwakilidengan melukis(i) Rajah Anak Panah(ii) Pasangan Tertib(iii)Graf
{ (1,6) , (2,8) , (3,10) }
1 2 3 4
6
8
10
12
Pasangan Tertib
Graf
Raj
ah A
nak
Pan
ahPA
LIN
G
mu
dah
dif
aham
i
1 kepada 1
AB
ab T
oCK
2-2
4ABC
123
1 kepada banyak Banyak kepada 1 Banyak kepada banyak
Merupakan FUNGSI
Hubungan khas1 kepada 1
Banyak kepada 1
Objek MESTI hanyamempunyai SATU imejsahaja
Bukan FUNGSIHUBUNGAN
FUNGSI TUNGGAL
f (x) = 2x + 5
Objek ImejFungsi, f
Contoh :
f(3) =2(3) + 5= 6 + 5= 11
Objek 3mempunyaiimej 11 dibawah fungsi f.
Syarat FUNGSI
f :x 5x - 3
, x -3 0x 3
Contoh :
g :x 10x + 2
, x k
x + 2 = 0x = -2 k = -2
Penyebut tidak boleh SIFAR
Objek yang memetakan kepada dirinya sendiri
f (x) = 2x + 5f(x) = x
f (x) = x
Contoh : Diberi f (x) = 2x + 5, cari nilaix yang memetakan kepada dirinyasendiri.
2x + 5 = x2x - x = -5
x = -5
SEMAKf (x) = 2x + 5f(-5) = 2(-5) + 5
= -10 + 5= -5
f(-5) = -5
Fungsi songsang, f-1 Langkah :
(1) Tukar f(x) kepada y
(2) Ungkapkan x dalamsebutan y
(3) Tulis semula f-1
dalam sebutan x
Contoh :
Diberi f : x . Cari f-1x3 - x
(1) Tukar f(x) kepada y f(x)= yf(x)=
y =
x3 - x
x3 - x
(2) Ungkapkan x dalamsebutan y
y(3-x) = x3y - xy = xx + xy =3y
x(1 + y) = 3yx =
3y1 +y
(3) Tulis semula f-1
dalam sebutan x
f-1 (x) = 3x
1 + x
Fungsi Gubahan Gabungan 2 atau lebih fungsi
Contoh :Diberi f (x) = 3x - 4
g(x) = 2 -3x
(1) Cari fg(x)f[g(x)]
= 3[g(x)] - 4= 3(2 – 3x) - 4= 6 - 9x - 4= 2 - 9x
(2) Cari gf(x)g[f(x)]
= 2 - 3[f(x)]= 2 – 3(3x – 4)= 2 - 9x + 12= 14 - 9x
Fungsi f dengan objek g(x)
Ganti masuknilai g(x)
Fungsi g dengan objek f(x)
Ganti masuknilai f(x)
fg(x) = 2 – 9x gf(x) = 14 – 9x
Mencari fungsi tunggal daripada fungsi gubahan
Kes mudah (Bahagian dalam)
Contoh : Diberi f(x) = 2x + 8 dan fg(x) = 6x + 12, Cari fungsi g(x)
(1) Given (2) Do (3) Compare
(1)fg(x) = 6x + 12
(2)fg(x) = f[g(x)]
= 2g(x) +8
(3)Do = Given2g(x) +8 = 6x +122g(x) = 6x +12 – 82g(x) = 6x + 4
g(x) =
g(x) = 3x + 2
6x + 42
Mencari fungsi tunggal daripada fungsi gubahan
Kes sukar (Bahagian luar)
Contoh : Diberi f(x) = x – 5 dan gf(x) = 9x + 30, Cari g(x)
(1) Tukar f(x) kepada y(2) Ungkapkan x dalam sebutan y(3) Tulis semula gf(x) dalam sebutan y(4) Tukar g(y) kepada g(x)
(1)fx) = ygf(x) = g(y)g(y) = 9x + 30
(2)y = x - 5x = y + 5
(3)g(y) = 9x + 30g(y) =9(y + 5) + 30g(y) = 9y + 45 + 30g(y) = 9y + 75
(4)g(y) = 9y + 75
g(x) = 9x +75
Persamaan Kuadratik Bentuk amax2 + bx + c = 0x2 - (HTP)x + HDP = 0
Puncaadalah nilai-nilai x
Jenis Puncab2 – 4ac
2 punca nyatayang sama
2 punca nyatayang berbeza
Tiada puncanyata
b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac < 0
HTP = - ba
HDP = ca
Diberi dan 2 adalah punca-punca persamaankuadratik 2x2 = 3x + p . Carikan nilai bagi p, di manap adalah pemalar.
Contoh :
Langkah 1: Susun dalam bentuk am2x2 = 3x + p2x2 - 3x - p = 0
Langkah 2: Senaraikan nilai a, b dan c
2x2 - 3x - p = 0a= 2 , b = -3, c = -p
Langkah 3: Guna rumus HTP dan HDP
HTP = -b/a = -(-3/2) = 3/2HDP = c/a = -p/2
Langkah 4: Guna dan 2 untuk HTP dan HDP
HTP = + 2 = 3HDP = x 2 = 22
Langkah 5: Bandingkan HTP3 = 3/2 =1/2
Langkah 6: Bandingkan HdP22 = -p/22 x (1/2)2 = -p/22 x 1/4 = -p/21/2 = -p/2p = -1
Mencari Julat(1) Hanya simbol > atau <(2) Lakar lengkung
(3) Lorek bahagian > atau <(4) Tulis julat mengikut bahagian
yang dilorek.
Contoh : Graf y = nx2 + 4x +n - 3 tidakmenyentuh paksi-x. Cari julat nilai n
(1) Tidak menyentuh paksi-x = Tiadapunyab2 - 4ac < 0
(2) y = nx2 + 4x +n – 3a = n , b = 4 , c = n – 3
(4)2 – 4(n)(n – 3) < 016 – 4n2 + 12n < 04 – n2 +3n < 0
n2 – 3n – 4 >0(n – 4)(n + 1) > 0
Katakan (n – 4)(n + 1) = 0n = 4 , n = -1
-1 4
(3) (n – 4)(n + 1) > 0> 0 , Positif....lorek bahagian atas paksi
-1 4
n n
(4) Julat :n < -1 , n > 4
Lebih mudah n2 positif
Indeks dan Logaritma
Samakan asasPilih ASAS paling RENDAH
Contoh :
Selesaikan persamaan
5
5
412
142
)1(1)2(2
1010
10
1
10
1
10
1
100
1
1122
12
2
12
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
3
3
9643
6493
22
2
22
2
22
6493
6
493
6
2233
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
Indeks dan Logaritma Jika TIDAK DAPAT Samakan asasLog10 persamaan kiri dan kanan
Selesaikan 2x+1 = 5x
7565.0
5log2log
2log
2log5log2log
2log5log2log
5log2log12log
5log2log)1(
5log2log
52
1010
10
101010
101010
101010
1010
10
1
10
1
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
Guna Hukum Logaritma
yxy
x
yxy
x
aaa
aaa
log2loglog
logloglog
2
2
2
2
1log
1log2
1log2
1log2log
log2loglog
log1log
2
2
hy
hy
yh
yx
yxy
x
hxdany
x
a
a
a
aa
aaa
aa
JANJANG
Aritmetrik Geometri
Beza sepunya, d Nisbah sepunya, r
T = SebutanS = Hasil tambah
Persamaan LinearKebiasaan diberi persamaan tidak linear dan graflinearMenguji kemahiran murid menghubungkanpersamaan tidak linear dengan graf linear
Langkah 1 : Bandingkan persamaan yang diberi dengan graf
Graf ada log, persamaan tidak ada log
Wujudkan log pada persamaan
pxn
y
xn
py
xnpy
xnpy
xpy
xpy
pxy
ypx
n
n
n
n
101010
101010
101010
101010
2
101010
2
10
2
10
22
22
log2
1log
2
2log
log2
2log
2
1log
2
log2
2
loglog
log2loglog2
logloglog2
loglog
Wujudkan log pada persamaan Daripada graf
Guna Y = mX + C
Hitungkan kecerunan mm = 3
Nyatakan pintasan-y, CC = 1
Maka
1log3)(log 1010 xy
Langkah akhir : Bandingkan
4
26
2
23
n
n
n
10010
2log
21log
1log2
1
2
10
10
10
p
p
p
p
Penyempurnaan Kuasa Dua f(x) =a(x+p)2 + q
Mencari nilai maks/min yq
Persamaan paksi (x+p)=0 simetri X=-p
Mencari titik maks/min (X,Y) (-p,q)
f(x) =a(x+p)2 + q f(x) =a(x+p)2 + q f(x) =a(x+p)2 + q
CONTOHf(x) =2(x+5)2 - 7
a = 2 (minimum) sebab +veNilai minimum = -7
a = 2 (minimum) sebab +veTitik minimum = (-5 , -7)
Paksi simetrix =-5
q = nilai minimum Yq = 4
p = nilai X
nilai X
Guna titik (0,5) untuk mencarinilai p
g(x) =(x + p)2 + qg(x) =(x + p)2 + 4 ...............(0,5)5 =(0 + p)2 + 45 = p2 + 4p2 = 5 - 4p2 = 1p = 1
Soalan nilai maksimum atau minimum atau titik maksimum atau titik minimum
GUNA
0dx
dy
Pembezaan
qpxay
duaKuasaaanPenyempurn
2)(
MUDAH SUSAH
xdx
dp
xxP
2
145
4
145 2
90
245
02
145
0
x
x
x
dx
dp
2025
)90(4
1)90(45
4
145
2
2
P
P
xxP
90 Kotak lilinKeutungan = RM2025
Soalan nilai maksimum atau minimum atau titik maksimum atau titik minimum
620
1610
)169(
)13(
2
22
22
xdx
dy
xxy
xxxy
xxy
3.010
3
0620
0
x
x
dx
dy
1.010
1
110
36
10
310
10
3......1610
2
2
y
y
xxxy
Nota tambahan : Maka titik minimum = (0.3 , 0.1)
Sukatan Membulat (Bulatan)
Oj
j
A
B
s
2jbulatanLuasj2bulatanLilitan
jsLengkok,Panjang
sin2
1 2jSegitigaLuas
2
2
1jSektorLuas
= sudut dalam radianPantikan kalkulator dalam mode radian
Penukaran unit darjah ke radian atau sebaliknya
180o = radian180o = 3.142 radian
Maka 1o = 3.142 180 radian= 0.01746 radian
Contoh ; 50o = 0.8728 radian
radian
SektorLuas
4
3
68
6)4(2
1
2
1
2
2
j
86BerlorekKawasanLuas
40
OUVsektorluasOSTsektorluasBerlorekKawasanLuas
64
3)(
2
1 2
OS
08.11
67.122
67.122)(
4064
3)(
2
1
2
2
OS
OS
OS
Maka SU = 11.08 - 4=7.08 cm
VEKTOR (xi + yj)
Hukum SegitigaAC = AB + BCAB = AC + CBBA = BC + CABC = BA + ACCA = CB + BACB = CA + AB
A
B
CP
Q
6i + 8j
PQ = 6i + 8j
Magnitud, | r | Vektor unit, ř
10
8622
r
r
jir
jir
5
4
5
3ˆ
10
86ˆ
NOTAHati-hati dengan arah
vektor (+ atau -)
y
xjyix
11
5115 ji
Taburan Kebarangkalian
Z = skor piawai
Contoh ; Z = 0.473
= 3192 – 11= 3181Maka kebarangkalian untuk
Z = 0.473 ialah 0.3181
Taburan Kebarangkalian
Boleh juga menggunakan fungsi kalkulator
Contoh ; Z = 0.473
Langkah 1 : Cari mode SDLangkah 2 : Tekan Shift 3Langkah 3 : Pilih R (iaitu tekan 3)Langkah 4 : Masukkan nilai Z
: R(0.473): = 0.31811
SENTIASA PILIH R SAHAJA
R bermaksud lorekan sebelah kanan(RIGHT)
0.473
= 0.31811
KananKiri