Notación Einsteniana

La notación Einsteniana o la convención de suma de Einstein implica sumar respecto de un conjunto de términos referenciados a una fórmula. Como parte de las matemáticas esto es una subconjunto notacional del cálculo de Ricci, sin embargo es ampliamente aplicado en física.

De acuerdo con esta convención, cuando una variable índice aparece dos veces es un término simple y no es definida de otra manera, que implica la suma de términos sobre todos los valores índice, es decir:

Es simplificado por la convención

y = cixi

Los índices de la parte superior no son exponentes pero son índices de coordenadas, coeficientes o vectores. En general, los índices pueden tener rangos sobre algún conjunto de indexación. Esto no debería ser confundido con una convención similar usada para distinguir entre notación de tensor índice y la notación abstracta índice.

Esta notación puede ser aplicada en diferentes caminos. Típicamente, cada índice se produce un vez en una parte superior y una vez en la parte inferior en un término. Sin embargo la convención pude ser aplicada mas generalmente para cualquier índice repetido dentro de un término. Cuando tratamos con vectores de covariante y contravariante, donde la posición de un índice también indica el tipo de vector, el primer caso es aplicado; un vector covariante solo puede ser relacionado con un vector contravariante, correspondiente a la suma de productos de los coeficientes.

La contravarianza y la covarianza de vectores está dada por los índices superiores e inferiores, donde los índices superiores (superíndices) representan componentes de vectores contravariantes (vectores) y los índices inferiores (subíndices) representan componentes de vectores covariantes (covectores) . Así, tenemos las siguientes notaciones.

v es el vector y vi son sus componentes

w es el covector y wi son sus componentes.

Operaciones comunes

En la notación Einsteniana, la referencia del elemento habitual Amn para la fila m-esima y la columna n-esima de la matriz A se convierte en Am

n. Podemos escribir las siguientes operaciones con la notación.

Producto interno

Usando una base ortogonal, el producto interno es la suma de componentes multiplicados juntos

Producto Cruz

Igualmente se usa una base ortogonal el producto cruz involucra sumatorias de componentes

donde

Multiplicación de matriz

El producto matriz de dos matrices Aij y Bjk es

Producto externo

El producto externo del vector de columna ui seguido por el vector fila uj produce una matriz A m x n

Ya que i y j representan dos índices diferentes, no hay sumatoria y los índices no son eliminados por la multiplicación

Dado un tenso, uno puede subir o bajar un índice por la contracción del tenso con el tensor métrico. Por ejemplo, se toma el tensor Tα

β uno puede subir o bajar un índice de la siguiente manera

Bibliografía

https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation

http://w3.mecanica.upm.es/mmc-ig/Apuntes/indices.pdf