notas de aula de ee540: equações de maxwell (2o sem. 2014)
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
EE540 – TEORIA ELETROMAGNÉTICA
Equações de MaxwellProf. Lucas Heitzmann Gabrielli
Regimes estáticos
No regime eletrostático:
∇ × 𝓔 = 0 ∇ ⋅ 𝓓 = 𝜌
No regime magnetostático:
∇ × 𝓗 = 𝓙 ∇ ⋅ 𝓑 = 0
𝓔 [V/m] : campo elétrico𝓗 [A/m] : campo magnético𝓓 [C/m2] : densidade de fluxo elétrico ou campo de deslocamento elétrico𝓑 [T] : densidade de fluxo magnético ou campo de indução magnética𝓙 [A/m2] : densidade de corrente elétrica𝜌 [C/m3] : densidade volumétrica de carga
Relações constitutivas
Em um meio linear, isotrópico e não dispersivo:
𝓓 = 𝜀𝓔
𝓑 = 𝜇𝓗
𝓙 = 𝜎𝓔
𝜀 [F/m] : permissividade ou constante dielétrica (no vácuo: 𝜀0 = 8,854 × 10−12 F/m)𝜇 [H/m] : permeabilidade (no vácuo: 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7H/m)𝜎 [S/m] : condutividade elétrica
Lei de Faraday(Cheng 7-1, 7-2; Sadiku 9.1 a 9.3; Notaros 6)
Após a descoberta de que as correntes elétricas produzim campos magnéticos em 1820 porOersted, Michael Faraday demonstrou em 1831 que o oposto também era verdade: uma correnteelétrica é induzida em um circuito condutor quando o fluxo magnético através desse circuitovaria.
𝒱emf = −dΦd𝑡
= − dd𝑡
∬𝑆
𝓑 ⋅ d𝐒
O sinal negativo mostra que a corrente gerada pela força eletromotriz induzida terá direção talque o campo magnético por ela gerado será oposto à variação do fluxo magnético (lei de Lenz).
𝒱emf [V] : força eletromotrizΦ [Wb] : fluxo magnético
Circuito estacionário
A força sobre uma carga 𝑞 estática e a tensão resultante são dadas por:
𝐅s = 𝑞𝓔 ⇒ 𝒱 = ∫ 𝐅s𝑞
⋅ d𝐥 = ∫ 𝓔 ⋅ d𝐥
Assim, a força eletromotriz em um circuito fechado estacionário pode ser calculada como:
𝒱emf = ∮∂𝑆
𝓔 ⋅ d𝐥 = − ∬𝑆
∂𝓑∂𝑡
⋅ d𝐒
Aplicando o teorema de Stokes à equação da força eletromotriz, obtemos:
∇ × 𝓔 = −∂𝓑∂𝑡
Exemplo: espira
𝑥
𝑦
0 ℓ2− ℓ
2
ℓ2
− ℓ2
ℬ(𝑡)𝐚𝑧
𝑅
Exemplo: transformador
𝒱(𝑡) 𝑅
Campo estacionário
Uma carga 𝑞 com velocidade 𝐮 sob uma densidade de fluxo magnético 𝓑 experimenta uma força
𝐅m = 𝑞𝐮 × 𝓑
que é interpretada por um observador no referencial da carga como um campo elétrico deinduzido pelo movimento. A tensão definida por esse campo induzido será dada por:
𝒱 = ∫ 𝐮 × 𝓑 ⋅ d𝐥
Se o condutor for parte de um circuito fechado então a força eletromotriz resultante no circuitoserá:
𝒱emf = ∮∂𝑆
𝐮 × 𝓑 ⋅ d𝐥
Exemplo: barra deslizante
ℎ𝒱
𝓑
𝐮
Caso geral
Neste caso a força eletromotriz será composta por ambos os termos obtidos nas condiçõesanteriores:
𝒱emf = ∮∂𝑆
(𝓔 + 𝐮 × 𝓑) ⋅ d𝐥 = −dΦd𝑡
Observando que
dd𝑡
∬𝑆
𝓑 ⋅ d𝐒 = ∬𝑆
∂𝓑∂𝑡
⋅ d𝐒 − ∮∂𝑆
𝐮 × 𝓑 ⋅ d𝐥
obtemos novamente:
∇ × 𝓔 = −∂𝓑∂𝑡
que é o mesmo resultado anterior, obtido no caso estacionário.
Exemplo: circuito rotativo
𝒱
𝓑(𝑡) = 𝐵0 sin(𝜔𝑡)𝐚𝑦𝜔
𝑦
𝑧
𝑥
Área: 𝑆
Continuidade(Cheng 7-3; Sadiku 9.4, 9.5; Balanis 1.2)
A equação de continuidade, que reflete a conservação de cargas, é incompatível com situaçõesdinâmicas:
∇ ⋅ 𝓙 = −∂𝜌∂𝑡
≠ 0
Porém, da lei de Ampère eletrostática:
∇ × 𝓗 = 𝓙 ⇒ ∇ ⋅ 𝓙 = ∇ ⋅ (∇ × 𝓗) = 0
Maxwell então introduziu uma densidade de corrente de deslocamento à lei de Ampère paratorná-la consistente com a continuidade de carga:
∇ × 𝓗 = 𝓙 + ∂𝓓∂𝑡
Equações de Maxwell
Forma diferencial Forma integral
∇ × 𝓔 = −∂𝓑∂𝑡
∮∂𝑆
𝓔 ⋅ d𝐥 = − ∬𝑆
∂𝓑∂𝑡
⋅ d𝐒 Lei de Faraday
∇ × 𝓗 = 𝓙 + ∂𝓓∂𝑡
∮∂𝑆
𝓗 ⋅ d𝐥 = ∬𝑆
(𝓙 + ∂𝓓∂𝑡
) ⋅ d𝐒 Lei de Ampère
∇ ⋅ 𝓓 = 𝜌 ∯∂𝑉
𝓓 ⋅ d𝐒 = ∭𝑉
𝜌 d𝑉 Lei de Gauss
∇ ⋅ 𝓑 = 0 ∯𝑆
𝓑 ⋅ d𝐒 = 0 Lei de Gauss magnética
Relações constitutivas(Balanis 2)
Meio inomogêneo: 𝜀 ou 𝜇 dependem da posição no espaço. Em geral usaremos soluções parameios homogêneos por partes.
𝓓 = 𝜀(𝐫)𝓔
Meio dispersivo: a resposta do meio à excitação dos campos não é instantânea, ou, de maneiraequivalente, 𝜀 ou 𝜇 dependem da frequência dos campos. Dispersão está diretamente ligada aperdas no material de forma análoga a oscilações harmônicas amortecidas.
𝓓 = 𝜀 ∗ 𝓔 =∞
∫𝜏=−∞
𝜀(𝑡 − 𝜏)𝓔(𝜏) d𝜏, 𝜀(Δ𝑡) = 0 para Δ𝑡 < 0
Relações constitutivas
Os casos seguintes não serão abordados no curso, mas estão descritos a fim de completude.
Meio não linear: 𝜀 ou 𝜇 dependem da magnitude dos campos. A maior parte dos materiais podeser considerada linear para intensidades de campos até certos limites.
𝓓 = 𝜀(𝓔)𝓔 = 𝜀0𝓔 + 𝜀0 (𝜒(1)𝓔 + 𝜒(2)𝓔2 + 𝜒(3)𝓔3 + ⋯)
Meio anisotrópico: 𝜀 ou 𝜇 dependem da direção dos campos. Comum em cristais (uni- e biaxiais)e materiais magnéticos.
𝓓 = 𝜀𝓔 ⇔ ⎡⎢⎣
𝒟𝑥𝒟𝑦𝒟𝑧
⎤⎥⎦
= ⎡⎢⎣
𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑦𝑧𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧𝑧
⎤⎥⎦
⎡⎢⎣
ℰ𝑥ℰ𝑦ℰ𝑧
⎤⎥⎦
Meio bi-isotrópico: meios onde os campos elétrico e magnético acoplam-se.
𝓓 = 𝜀𝓔 + 𝜉𝓗 𝓑 = 𝜇𝓗 + 𝜁𝓔
Potenciais(Cheng 7-4; Sadiku 9.6)
Como ∇ ⋅ 𝓑 = 0 podemos descrever 𝓑 através de um potencial vetorial 𝓐:
𝓑 = ∇ × 𝓐
Usando a lei de Faraday:
∇ × (𝓔 + ∂𝓐∂𝑡
) = 0
Assim definimos o potencial escalar 𝒱 para descrever 𝓔 como:
𝓔 = −∇𝒱 − ∂𝓐∂𝑡
mantendo consistência com as definições utilizadas para campos eletrostáticos.
𝓐 [Tm] : potencial magnético vetorial𝒱 [V] : potencial elétrico escalar
Condição de Lorenz
Introduzindo os potenciais na lei de Ampère e assumindo um meio homogêneo:
∇ × ∇ × 𝓐 = ∇(∇ ⋅ 𝓐) − ∇2𝓐 = 𝜇𝓙 − ∇ (𝜇𝜀∂𝒱∂𝑡
) − 𝜇𝜀∂2𝓐∂𝑡2 ⇔
⇔ ∇2𝓐 − 𝜇𝜀∂2𝓐∂𝑡2 = −𝜇𝓙 + ∇ (∇ ⋅ 𝓐 + 𝜇𝜀∂𝒱
∂𝑡)
Escolhemos a condição (gauge) de Lorenz para fixar 𝓐:
∇ ⋅ 𝓐 + 𝜇𝜀∂𝒱∂𝑡
= 0
obtendo equação de onda inomogênea para o potencial vetor:
∇2𝓐 − 𝜇𝜀∂2𝓐∂𝑡2 = −𝜇𝓙
Equação para o potencial escalar
Resta apenas introduzirmos os potenciais na lei de Gauss:
∇ ⋅ (∇𝒱 + ∂𝓐∂𝑡
) = ∇2𝒱 + ∂∂𝑡
∇ ⋅ 𝓐 = −𝜌𝜀
Utilizando novamente a condição de Lorenz, estabelecemos a equação de onda inomogênea parao potencial escalar:
∇2𝒱 − 𝜇𝜀∂2𝒱∂𝑡2 = −𝜌
𝜀
Podemos assim descrever ou resolver um problema eletromagnético em meio homogêneo atravésdos potenciais 𝓐 e 𝒱 e, a partir destes, calcular os campos 𝓔, 𝓗, 𝓓, 𝓑.
Teorema de Poynting(Cheng 8-5; Sadiku 10.7; Balanis 1.6)
Partimos da identidade vetorial:
∇ ⋅ (𝓔 × 𝓗) = 𝓗 ⋅ (∇ × 𝓔) − 𝓔 ⋅ (∇ × 𝓗)
Aplicando as leis de Faraday e Ampère:
∇ ⋅ (𝓔 × 𝓗) = −𝓗 ⋅ ∂𝓑∂𝑡
− 𝓔 ⋅ ∂𝓓∂𝑡
− 𝓔 ⋅ 𝓙
Introduzimos as relações constitutivas assumindo um meio simples e invariante no tempo eintegramos em um volume de interesse:
∯∂𝑉
𝓔 × 𝓗 ⋅ d𝐒 = − ∂∂𝑡
∭𝑉
(12
𝜀|𝓔|2 + 12
𝜇|𝓗|2) d𝑉 − ∭𝑉
𝜎|𝓔|2 d𝑉
Vetor de PoyntingDefinimos o vetor de Poynting, que representa a densidade de potência transportada pelo campoeletromagnético a partir do termo no lado esquerdo da equação anterior.
Reconhecemos assim nos termos do lado direito as densidades volumétricas de energiaarmazenada nos campos e a potência ôhmica dissipada.
𝓟 = 𝓔 × 𝓗 [W/m2] : vetor de Poynting (densidade de potência transmitida)
12
𝜀|𝓔|2 [J/m3] : densidade de energia elétrica armazenada
12
𝜇|𝓗|2 [J/m3] : densidade de energia magnética armazenada
𝜎|𝓔|2 [W/m3] : densidade de potência ôhmica dissipada
Exemplo: fio condutor
𝐼
Campos harmônicos(Cheng 7-7; Sadiku 9.7; Balanis 1.7)
Até agora a dependência temporal das grandezas estudadas não estava especificada, podendotomar qualquer forma. Analisaremos o caso especial em que essas grandezas se comportamcom dependência senoidal no tempo, pois em problemas lineares é possível decompor oscampos e fontes utilizando séries ou transformadas de Fourier e resolver cada componenteindependentemente das demais (por superposição).
𝒮(𝑡) = 𝑆0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = ℜ{𝑆0𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜑)}
Definimos então o fasor 𝑆 = 𝑆0𝑒𝑖𝜑 para obtermos:
𝒮(𝑡) = ℜ{𝑆𝑒𝑖𝜔𝑡} = 12
(𝑆𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝑆 ∗𝑒−𝑖𝜔𝑡)
Note que para sermos definirmos uma representação fasorial é necessário fixar a dependênciatemporal.
Equações de Maxwell
As equações de Maxwell em termos das representações fasoriais (ou no domínio da frequência)ficam:
⎧{{{⎨{{{⎩
𝓔 = ℜ{𝐄𝑒𝑖𝜔𝑡}𝓗 = ℜ{𝐇𝑒𝑖𝜔𝑡}𝓓 = ℜ{𝐃𝑒𝑖𝜔𝑡}𝓑 = ℜ{𝐁𝑒𝑖𝜔𝑡}𝓙 = ℜ{𝐉𝑒𝑖𝜔𝑡}𝜌 = ℜ{𝜌𝑒𝑖𝜔𝑡}
⇒
⎧{{⎨{{⎩
∇ × 𝐄 = −𝑖𝜔𝐁∇ × 𝐇 = 𝐉 + 𝑖𝜔𝐃∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌∇ ⋅ 𝐁 = 0
Similarmente para os potenciais vetor e escalar obtemos:
{ 𝓐 = ℜ{𝐀𝑒𝑖𝜔𝑡}𝒱 = ℜ{𝑉 𝑒𝑖𝜔𝑡} ⇒ {
∇2𝐀 + 𝜔2𝜇𝜀𝐀 = −𝜇𝐉∇2𝑉 + 𝜔2𝜇𝜀𝑉 = −𝜌
𝜀
Relações constitutivas
Podemos olhar para a representação fasorial como a componente em uma dada frequência paraa transformada de Fourier da grandeza em questão. Assim, a convolução que existe nas relaçõesconstitutivas para meios dispersivos (com perdas) transforma-se em simples multiplicação nodomínio da frequência:
𝐃 = 𝜀(𝜔)𝐄 𝐁 = 𝜇(𝜔)𝐇
Vetor de PoyntingComo o vetor de Poynting envolve um produto entre os campos, perdemos a relação delinearidade, então um pouco mais de cuidado é necessário:
𝓟 = 𝓔 × 𝓗 = 𝐄𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐄∗𝑒−𝑖𝜔𝑡
2× 𝐇𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐇∗𝑒−𝑖𝜔𝑡
2= 1
2ℜ{𝐄 × 𝐇∗} + 1
2ℜ{𝐄 × 𝐇𝑒𝑖2𝜔𝑡}
Conhecendo a dependência temporal do vetor de Poynting podemos calcular seu valor médio:
𝐏𝑚 = 1𝑇
𝑇
∫0
𝓟 d𝑡 = 12
ℜ{𝐄 × 𝐇∗}, onde 𝑇 = 2𝜋𝜔
Definimos então o vetor de Poynting complexo:
𝐏 = 12
𝐄 × 𝐇∗
de modo que a densidade de potência média transmitida é 𝐏𝑚 = ℜ{𝐏}.
Teorema de Poynting
Com base no resultado anterior, utilizamos a seguinte identidade para deduzir o teorema dePoynting no domínio da frequência:
∇ ⋅ (𝐄 × 𝐇∗) = 𝐇∗ ⋅ (∇ × 𝐄) − 𝐄 ⋅ (∇ × 𝐇∗)
Seguindo os mesmo passos da derivação passada (e considerando 𝜀 e 𝜇 reais):
∇ ⋅ 𝐏 = 𝑖2𝜔 (14
𝜀|𝐄|2 − 14
𝜇|𝐇|2) − 12
𝜎|𝐄|2 ⇔
⇔ ∯∂𝑉
𝐏 ⋅ d𝐒 = 𝑖2𝜔 ∭𝑉
(14
𝜀|𝐄|2 − 14
𝜇|𝐇|2) d𝑉 − ∭𝑉
12
𝜎|𝐄|2 d𝑉
Exercícios sugeridos
Cheng:
• R.7-7
• R.7-27
• P.7-2
• P.7-5
• P.7-7
• P.7-10
• P.7-15
Sadiku:
• P 9.3
• P 9.11
• P 9.12
• P 9.22