notas de aula mec flu i v7 - moodle ufsc

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO TECNOLOGICO

Notas de Aula para

EMC 5407 - Mecanica dos Fluidos

Prof. Amir Antonio Martins Oliveira Jr.

Departamento de Engenharia Mecanica - EMC

Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC

Florianopolis - SC

Versao: Marco/2017

Indice

1 Introducao 5

1.1 Dimensoes, magnitudes e escalas caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Teoria e empirismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Metodologia de solucao de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Escopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Revisao de fundamentos 19

2.1 Equilıbrio Termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 O estado gasoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Equacao de estado dos gases ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Mistura de gases ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Comportamento de gases nao-ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 O estado lıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.1 Equacao de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2 Equilıbrio lıquido-vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 O estado solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.1 Solidos cristalinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.2 Solidos amorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7 Na WEB: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Equilıbrio estatico em fluidos 45

3.1 Distribuicao de pressao em fluidos em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.1 Equacao da estatica dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3 Generalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Forcas e momentos em superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Distribuicao de pressao em um fluido estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.2 Forcas em superfıcies submersas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.4 Momentos em superfıcies submersas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.6 Generalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Flutuacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.1 Generalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3

4 INDICE

3.4 Fluido em movimento de corpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.1 Generalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Analise integral de escoamentos 89

4.1 Conservacao da massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.1 Campo de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.2 Vazao massica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.3 A conservacao da massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.4 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.1.5 Generalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Conservacao da quantidade de movimento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2.1 A quantidade de movimento linear para uma partıcula . . . . . . . . . . . . 1134.2.2 Escoamento de quantidade de movimento linear . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2.3 A conservacao da quantidade de movimento linear . . . . . . . . . . . . . . 1154.2.4 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2.5 Generalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.2.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.3 Conservacao da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.3.1 A conservacao da energia para uma partıcula de fluido . . . . . . . . . . . . 1374.3.2 A conservacao da energia para um volume de controle . . . . . . . . . . . . 1384.3.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3.4 Generalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.3.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5 Analise diferencial de escoamentos 149

5.1 Conservacao da massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.2 Cinematica da translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2.1 Trajetorias, linhas de corrente, linhas de tinta . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2.3 Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.3 Escoamento invıscido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.3.1 Equacao de Euler ao longo da linha de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.3.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.3.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.4 Fundamentos dos escoamentos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.4.1 Equacao de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.4.2 Rotacao e deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.4.3 Equacao de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.4.4 Fluidos nao newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.4.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.4.6 Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.5 Escoamento viscoso interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.5.1 Conservacao da massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.5.2 Conservacao da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.5.3 Conservacao da quantidade de movimento linear para o escoamento laminar

plenamente desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.5.4 Obtencao da equacao para a perda de energia por efeitos viscosos . . . . . . 1995.5.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

INDICE 5

6 Formulario 215

6 INDICE

Capıtulo 1

Introducao

“Science can amuse and fascinate us all, but it is engineering that changes the world.“

Isaac Asimov, Book of Science and Nature Quotations , 1988.

1.1 Dimensoes, magnitudes e escalas caracterısticas

Os sistemas naturais e construıdos pela engenharia apresentam grandes variacoes de escalas car-acterısticas de comprimento, tempo, massa e temperatura. Os fenomenos de transporte estaopresentes em diversas escalas, dependem de fenomenos fısicos e quımicos que ocorrem nas menoresescalas e sao descritos por modelos que relacionam os fenomenos que ocorrem nas menores comos fenomenos que ocorrem nas maiores escalas. O reconhecimento destas escalas caracterısticas

permite uma apreciacao da variedade de fenomenos que podem ser descritos pelo mesmo conjuntode princıpios , da flexibilidade necessaria aqueles interessados em entender os fenomenos de trans-porte que ocorrem na natureza e na engenharia, e permite antever a necessidade do uso de modelos

concentuais e tecnicas matematicas diferentes dependendo do objetivo do estudo.

Observe nas tabelas abaixo a grande variedade de escalas caracterısticas de comprimento, tempo,massa e temperatura observadas na natureza e na engenharia. Nestas tabelas, sao apresentadosos valores caracterısticos de varias grandezas nas unidades tradicionais ou de uso cotidiano e nasunidades no Sistema Internacional de Unidades (SI). Observe como os sistemas geologicos e domeio-ambiente, como a atmosfera, os oceanos, rios e lagos podem ter dimensoes entre dezenas demetros e milhares de quilometros. O estudo das correntes atmosfericas ou oceanicas, os escoamentosno manto terrestre e nos rios exige a necessidade de observar os movimentos de grandes massas defluidos, sujeitas a grandes forcas motoras dos movimentos observados. Existem tecnicas adequadaspara realizar essas observacoes, como a fotografia por aeornaves ou por satelites, a observacaopor radar, ou por baloes e boias de sondagem. No outro extremo dos sistemas naturais, nosorganismos biologicos existem escoamentos com dimensoes caracterısticas de micrometros, tıpicasde celulas, vasos capilares e bronquıolos pulmonares. Esses escoamentos estao na fronteira entre osescoamentos contınuos que estudaremos aqui e os escoamentos moleculares, estudados em outrasdisciplinas da fısica e da engenharia. Embora as tecnicas de solucao dos modelos de fenomenosde transporte possam ser diferentes, dependendo da tradicao e conveniencia da area aplicada, osmodelos fundamentais sao os mesmos. O mesmo grupo de 3 ou 4 equacoes fundamentais, ouprincıpios de conservacao, sao os mesmos e sao amplamente aplicados no estudo dos fenomenoscitados. Algumas das aplicacoes dos modelos que desenvolveremos sao citadas na proxima secao.

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8 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Comprimento:

Comprimento de Planck 10−35 m

Atomo tıpico 1 A 10−10 mMolecula pequena contendo carbono 10 nm 10−9 mPartıcula de fulıgem de motor diesel 50 nm 5× 10−8 mCaminho livre molecular medio do ar na superfıcie terrestre 6, 6× 10−8 mVırus 10−8 mBacterias 1 µm 10−6 mCelula animal, partıcula fina de poeira 10 µm 10−5 mVaso sanguıneo capilar 10−4 mSistemas micro-eletromecanicos (MEMS) 10−4 mAlveolo pulmonar 3× 10−4 mComponentes eletronicos, mini-sensores 1 mm 10−3 mComponentes de automoveis, eletrodomesticos 10 cm 10−1 mDiametro de tubulacao de agua domestica 1 polegada 2, 54× 10−2 mComponentes de edificacoes, veıculos 10 mBaleia azul (maior animal) 50 mGrandes embarcacoes, arvores mais altas 102 mFlorestas, montanhas 1 km 103 mEspessura da crosta terrestre (continental) 40 - 70 km 4 a 7× 104 mCelulas climaticas 105 mRaio da terra 6, 371× 106 mDistancia media Terra-Lua 3, 8× 108 mDiametro do sol 700.000 km 7× 108 mDistancia media Terra-Sol 1, 5× 1011 mDistancia ate a estrela mais proxima (Alpha centauri) 4, 3 ano-luz 4, 04× 1016 mDistancia ate o centro da Via Lactea 2, 2× 1020 mDistancia ate a borda do Universo 1026 m

1.1. DIMENSOES, MAGNITUDES E ESCALAS CARACTERISTICAS 9

Tempo:

Tempo de Planck 10−43 sLuz percorre a distancia de 1 nm 1 as 3, 3× 10−18 sPerıodo de orbita de um eletron de Bohr ao redor do nucleo atomico 3× 10−16 sRelaxacao de estruturas de transicao em reacoes quımicas 1 fs 10−15 sTempo medio entre colisoes de CH4 e O2 em uma chama 1 ps 10−12 sPerıodo de impressao de um ponto em impressora de jato de tinta 5 ms 5× 10−3 sPerıodo de movimento do pistao em um motor de combustao interna 20 ms 2× 10−2 sTempo de expansao de uma bolsa de ar de seguranca (”airbag”) 50 ms 5× 10−2 sPerıodo da respiracao de um adulto em repouso 2 sTempo para a luz emitida pelo sol atingir a terra 500 sPerıodo de rotacao da Terra 24 horas 8, 64× 104 sPerıodo de mudanca de estacoes 3 meses 7, 88× 106

Perıodo de translacao da terra ao redor do sol 1 ano 3, 15× 107 sIdade estimada da terra 4, 6× 109 anos 1, 45× 1017 sIdade estimada do Universo 20× 109 anos 6× 1017 s

Massa:

Massa do eletron 9, 11× 10−31 kgMassa do proton 1, 67× 10−27 kgMassa de agua em uma gota 500 mg 5× 10−4 kgMassa de ar em um mol de ar 29 g 29× 10−3 kgMassa de agua em 1 litro 1 kgMassa media de um ser humano adulto 70 kgCarro pequeno 2 ton 2× 103 kgBoeing 747 vazio 150 ton 1, 5× 105 kgPetroleo no tanque de um super-petroleiro 10 Gg 107 kgMassa da Terra 5, 98× 1024 kgMassa do sol 2× 1030 kg

Temperatura:

Zero absoluto 0 KMınima temperatura ja medida (ordem de) 10−5 KTemperatura residual (de fundo) do universo 2,3 KEbulicao do helio 4, 216 KEbulicao do hidrogenio 20, 28 KEbulicao do nitrogenio 77, 35 KFusao do gelo 0oC 273, 15 KEbulicao da agua 100oC 373, 15 KFusao do alumınio 933, 52 KTemperatura de uma chama adiabatica de metano e ar 2200 KCentro da terra 4000 KSuperfıcie do sol 5780 KPlasmas 104 a 107 KCentro do sol 2× 107 KFissao do uranio 235 5× 107 KFusao do deuterio (isotopo de hidrogenio) 4× 108 KTemperatura no momento do Big-Bang 1032 K


Nas tabelas anteriores, voce percebeu que alguns valores sao expressos de forma mais compactautilizando multiplos das respectivas variaveis. Por exemplo, a massa da terra e 5, 98 × 1024 kg.Esse valor corresponde ao numero 5,98 acompanhado de 24 zeros. Uma forma alternativa e maiscompacta de apresentar-se esse valor e obtida quando se usa um multiplo da unidade kg, porexemplo, atraves do prefixo zetta: 1 zetta = 1021. Assim, poderia-se expressar a massa da terracomo 5,98 Zg (le-se ”zettagrama”). A Tabela (1.b) no Apendice mostra os prefixos utilizados nosistema internacional de unidades (SI).

Exemplo:Segundo o Balanco Energetico Nacional, uma edicao anual da Empresa de Pesquisa Energetica(EPE), do Ministerio de Minas e Energia do Brasil (MME), na sua edicao de 2015, a ofertade energia no Brasil foi de 305589 mil tep. A unidade tep significa Tonelada Equivalente dePetroleo e equivale grosseiramente a energia contida em 1 tonelada (1000 kg) de petroleo. Aunidade tep e bastante util para expressar os valores de energia utilizados pelos paises nas suasdiversas formas, permitindo uma comparacao direta entre varias formas de producao e consumo. Aunidade equivalente internacional e o toe, ton of oil equivalent. Considerando a tabela de conversaofornecida abaixo, converta esse valor para o prefixo que permitiria uma expressao mais compactanas unidades cal, J e W-h.

1 tep = 10 Gcal = 11,63 MWh = 41,87 GJ

Solucao:Da tabela acima, 1 tep equivale a 41,87 GJ, ou seja, 41,87 ×109 J. Assim, a oferta interna deenergia no Brasil em 2014 na unidade J torna-se:

E[J] = E[tep]× 41, 87× 109

1

[J]

[tep]

= (305589× 1000) [tep]× 41, 87× 109

1

[J]

[tep]= 12, 80× 1018 J

Portanto, a oferta interna de energia no Brasil no ano de 2014 equivaleu a 12,80 ×1018 J, ou seja,12,80 EJ (le-se ”exajoule”).Para as outras unidades sugeridas, seguindo procedimento semelhante, a oferta interna de energiano Brasil no ano de 2014 pode ser expressa como:

305589 mil tep = 3,06 Ecal = 3,55 PWh = 12,80 EJ

Le-se ”petawatthora” para PWh e ”exacaloria” para Ecal.Comentario:

A unidade Wh expressa a energia gerada/consumida por uma maquina com potencia de 1 Woperando continuamente por 1 hora. Assim, 1 Wh = 1 W × 3600 s = 1 J/s × 3600 s = 3600 J.

Exemplo:Uma molecula de DNA (ou ADN, acido desoxirribonucleico) e um polımero formado pela repeticaode monomeros denominados nucleotıdeos. O nucleotıdeo e formado por uma base (adenina,tiamina, guanina ou citosina), ligada a uma molecula de pentose (C5H8O5) e um radical fos-fato (PO−3

4 ). Cada nucleotıdeo apresenta diametro aproximado de 3,3 angstroms (0,33 nm). Ascelulas humanas apresentam grande variacao em tamanho e forma, dependendo da sua funcao.As hemacias presentes no sangue estao entre as celulas mais abundantes e apresentam diametroaproximado de 8 µm. Considere uma indivıduo com estatura de 1,7 m. Estabeleca uma escala que

1.2. APLICACOES 11

facilite a compreencao das dimensoes mencionadas acima. Para isso, assuma que um nucleotıdeoseja ampliado ate atingir o diametro de uma bola de tenis de mesa, ou seja, 40 mm. Quais seriamos tamanhos da hemacia e do indivıduo humano?

Solucao:

Inicialmente, converteremos todas as dimensoes fornecidas para o m. Assim, tem-se

dnucelotıdeo [m] = 0, 33 [nm]× 1 [m]

109 [nm]= 3, 3× 10−10 m

dhemacia [m] = 8 [µm]× 1 [m]

106 [µm]= 8× 10−6 m

Lindivıduo [m] = 1, 70 m

Estabelecendo relacoes entre essas dimensoes, tem-se:

dhemaciadnucelotıdeo

=8× 10−6

3, 3× 10−10=

8

3, 3× 104 = 2, 4× 104 = 24.000

Lindivıduodnucelotıdeo

=1, 7

3, 3× 10−10=

1, 7

3, 3× 1010 = 5, 2× 109 = 5.200.000.000

Aplicando as relacoes sobre o diametro da bola de tenis de mesa, tem-se:

dhemacia,eq. = dnucelotıdeo,eq. × 2, 4× 104 = 40 mm× 2, 4× 104 = 96× 104 mm = 960 m

Lindivıduo,eq. = dnucelotıdeo,eq × 5, 2× 109 = 40 mm× 5, 2× 109 = 208× 109 mm = 208.000 km

Portanto, se um nucleotıdeo for ampliado ate o tamanho de uma bola de tenis, a hemacia seriaum disco com aproximadamente 960 m de diametro, ou seja, o equivalente a um predio de 300andares, e um indivıduo teria a altura de 208.000 km, ou seja, a metade da distancia entre a terrae a lua.

Comentario: Esse exemplo expressa a grande diferenca entre as escalas geometricas tıpicas dosproblemas na nanotecnologia quando comparados com os problemas na escala da percepcao hu-mana.

1.2 Aplicacoes

Alguns exemplos de sistemas e processos onde fenomenos de escoamento sao importantes:

Meio Ambiente AtmosfericosGeologicos Terrestres

MarinhosSubterraneos

Biologicos PlantasAnimais

Extraterrestres PlanetariosEstelares

Espalhamento e remediacao de poluentes


Conversao de Energia HidroeletricidadeGeracao a partir de de combustıvel fossil Petroleo

Gas naturalCarvao

Producao de combustıvel de biomassa AlcoolGaseificacao

Eletromagnetismo TermoeletricidadeMicroondasInducao

Mecanica UltrassomAtrito

SolarEolicaNuclear Fusao

Fissao

Sistemas Urbanos Edificacoes Condomınios

Saneamento e abastecimento Agua, esgotoCidades e aglomerados urbanosClimatizacao de ambientes

Transporte Veıculos rodoviarios, aereos, navaisRastreamento, navegacao e controle de aeronaves e naviosGerenciamento de vias pluviais

Alimentos Agricultura SolosIrrigacaoProcessamentoArmazenamento

Processamento (coccao, desidratacao etc.)

Saude Producao de medicamentosEquipamentos e dispositivos Hospitalares

CirurgicosTratamento intensivo

Tecnicas de examesGenetica e analise de DNA

1.3. TEORIA E EMPIRISMO 13

Manufatura Mecanica SoldagemUsinagemConformacaoFundicao

Materiais PlasmaLaserDeposicaoSinterizacaoTratameno superficialPirolise

Civil Producao de cimentoCura de concretoReparos de danosImpermeabilizacao de solosCanaisTubulacoesComportas

Equipamentos Eletro-eletronicos Eletronica de potencia Circuitos eletricosCircuitos integradosDissipadores

Transmissao TransformadoresLinhasSubestacoes

Geracao GeradoresMotores-geradoresEletroquımica

Sensores EletroquımicosEletrofısicosEletrooticos

Atuadores EletromecanicosEletrofluidodinamicosEletrotermicosMagnetotermicos

Eletrodomesticos

1.3 Teoria e empirismo

O projeto e otimizacao de sistemas requer o entendimento dos fenomenos atraves de modelos fısicose expressoes matematicas dessas descricoes fısicas. Os modelos matematicos permitem expressaros conceitos fısicos de forma objetiva e, atraves de deducoes logicas, permitem a previsao decomportamentos. Enquanto a Fısica exprime ideias e consequencias, a Matematica fornece umalinguagem e ferramentas convenientes para extrapolacoes logicas. A descricao fısica e estabelecidaatraves de modelos teoricos, ou teoria, os quais sao um conjunto de afirmacoes que interpretamas relacoes de causa e efeito para uma classe de fenomenos. Os fatos quantificados a partir deobservacoes constituem-se na motivacao e no teste dos modelos teoricos. As teorias sao capazesde reproduzir as relacoes de causa e efeito observadas, mesmo que estatisticamente, e permitem aextrapolacao para a previsao, mesmo que estatıstica, de eventos futuros. O empirismo e baseadona correlacao entre causas e efeitos obtidas a partir de observacoes em experimentos controladosou em modelos e prototipos. Embora sejam profundamente beneficiados pela existencia de ummodelo teorico, os modelos empıricos podem ser desenvolvidos mesmo na ausencia de um modelofısico.O desenvolvimento da ciencia e da engenharia nao foi um processo contınuo, mas marcado de in-


sucessos, becos sem saıda e perıodos de estagnacao. Os avancos empıricos obtidos na antiguidadena producao de alimentos, metais, abastecimento de agua, saneamento e construcao permitirama fixacao e crescimento das cidades. A ciencia nessa epoca, quando existiu momentaneamente,preocupava-se em determinar os mecanismos de funcinamento da vida e do universo sem se pre-ocupar de fato em observar a propria vida e o universo. No pensamento ocidental, uma grandequebra desse modelo ocorreu quando Kepler, seguindo desenvolvimentos de Compernico e TichoBrahe, documentou as primeiras observacoes quantitativas das trajetorias dos movimento dos plan-etas. Nesse momento, a ciencia deixou de ser uma atividade intelectual e contemplativa, para sebasear na quantiicacao de fenomenos, como forma objetiva de observar o universo. Um segundomomento marcante foi o trabalho de Galileu em correlacionar as medicoes das trajetorias dos plan-etas e aquelas realizadas em experimentos com o movimento dos corpos na forma de leis naturais,com o objetivo de ligar matematicamente causas e efeitos e permitir a previsao de comportamen-tos. Essa etapa se mostrou um divisor de aguas, pois sugeria que o trabalho dedicado de medicaoe correlacao permitiria conhecer e prever os movimentos no universo. Porem, o maior desen-volvimento ocorreu pioneiramente com Newton que, pela primeira vez, mostrou que, com algunspoucos conceitos fundamentais sobre a natureza do movimento, seria possıvel extrair conclusoesainda mais amplas, a partir do estabelecimento de teorias. A revolucao industrial se beneficiou doestabelecimento das bases da dinamica e da termodinamica classicas e alimentou essas ciencias aoprovoca-las com as novas necessidades e realizacaos de maquinas termicas, eletricas e mecanicas, asquais passaram a ser aplicadas em larga escala. O intenso desenvolvimento da fısica e da quımica apartir do seculo 19 passou a favorecer o modelamento teorico fundamentado em ideias, observacoese medicoes quantitativas, como a base do desenvolvimento de novos conceitos, processos e produ-tos. Atualmente, a construcao e teste de prototipos desenvolve-se em paralelo com a aplicacao dateoria, baseia-se no estado atual de conhecimento teorico sobre o assunto e visa obter comprovacaoqualitativa e quantitativa das previsoes baseadas em modelos conceituais. A busca de inovacaonao admite mais a dissociacao entre conhecimento tecnico teorico e pratica de engenharia.

Historicamente, a necessidade de entendimento e modelamento de fenomenos em diversas escalaslevou ao surgimento de descricoes fısicas desde as escalas atomicas ate descricoes do comportamentodas substancias como meios contınuos. A descricao formal em uma escala usualmente independedos argumentos usados em outras descricoes ou outras escalas. Porem, o entendimento fısico dosprocessos nao corre nenhum risco ao se beneficiar de conceitos provenientes de diversas descricoes.Esta disposicao em mudar os pontos de vista e referencias dinamicamente e uma atitude tecnica-mente saudavel e incentivada. Para nos, sera um habito e uma ferramenta.

Devemos lembrar tambem que o avanco tecnico e cientıfico nao segue uma linha contınua dedescobertas e melhorias em antigas teorias. Na realidade, os modelos que utilizamos atualmenteforam desenvolvidos algumas vezes em paralelo. Informacoes obtidas nas analises e experimentosserviram de inspiracao, sustentacao ou refutacao que deu origem a outras analises, que por suavez puderam modificar ou confirmar os conceitos nos quais foram baseadas. Assim, em algunscasos e normalmente difıcil estabelecer uma ordem de precedencia nos conceitos fısicos e e quasesempre impossıvel dissociar o conceito fısico da observacao objetiva da natureza. Por exemplo,a relacao entre temperatura de um gas e a sua energia interna nasceu da observacao, mas foisomente explicada de maneira satisfatoria com o desenvolvimento de um modelo molecular parao gas. Em face da aparente falta de continuidade linear entre conceitos, o que realmente importae a capacidade de entender as relacoes e limitacoes dos varios modelos e conceitos e daı extrair oconhecimento necessario.

1.4 Metodologia de solucao de problemas

A solucao de um problema comeca na formulacao de uma pergunta adequada. A pergunta adequadadeve possuir uma descricao adequada do problema a ser resolvido, deve apontar com precisao parao aspecto a ser elucidado, as caracterısticas esperadas e as limitacoes na aplicacao desta solucao.Portanto, a solucao comeca com a interpretacao e formulacao correta do que se tem e se desejaobter. Apos entender-se o problema, busca-se um modelo fısico que represente adequadamente a

1.5. ESCOPO 15

situacao de interesse e seja capaz de fornecer o que se espera a partir daquilo que se conhece ou sepode intuir. Este modelo fısico e, no princıpio, apenas uma ideia que pode ser expressa verbalmente.A partir da clareza do entendimento do problema fısico, esta ideia e expressa em termos de teoriasfısicas. Esta enfoca apenas nos apectos relevantes ao problema e busca-se simplificar ou eliminaraspectos acessorios atraves de hipoteses simplificativas . Em mecanica dos fluidos, este modelo fısiconormalmente se baseia em uma teoria de conservacao e transporte de alguma propriedade fısica eem relacoes para o comportamento das substancias. A seguir, o modelo fısico e expresso atraves deum modelo matematico, ou seja, o princıpio fısico e expresso pela linguagem da matematica. Estalinguagem traduz o modelo fısico em expressoes sinteticas e com um significado exato, desenvolvidasde forma logica e cujas solucoes e implicacoes fornecem os comportamentos para as diferentesfaces do fenomeno. A atividade de escrever um modelo matematico e equivalente a traduzir-se uma historia expressa na sua lıngua natal para outra lıngua, mais sintetica, porem logica eorganizada segundo regras que permitem avancar em deducoes e consequencias, temporariamenteesquecendo-se o texto inicial. Ao final do processo, volta-se a historia original e verifica-se seas conclusoes obtidas sao realmente pertinentes a natureza do problema. Esta e a atividade deverificar se a solucao obtida esta correta e satisfaz os objetivos iniciais. Inicia-se por conferir se oscalculos estao matematicamente corretos, se as unidades obtidas estao coerentes e se os resultadospossuem ordem de magnitude correspondente as nossas espectativas sobre a resposta. Caso estasespectativas nao sejam satisfeitas, e hora de rever o metodo de solucao, ou entao, rever as propriasespectativas com base no novo conhecimento adquirido. Frequentemente, perguntamos se o modelofısico foi adequado ou se as hipoteses simplificativas foram adequadas. Se tudo parece correto, faltaconferir se a solucao pode ser aceita como realidade. Na pratica, a teoria deve permanecer correta,ou precisaremos revisar a pratica, a teoria, ou ambas! Neste momento, projetos de produtosou processos usualmente requerem testes experimentais ou testes com modelos , em escala real,ou modificada (reduzida ou ampliada). Os testes experimentais podem tanto verificar aspectosespecıficos do problema, ou o proprio sistema analisado na sua integridade. Testes com modelossao utilizados quando a construcao de um prototipo apresenta custos proibitivos ou envolve umrisco inaceitavel, financeiro, tecnico ou de seguranca. Por exemplo, testes com modelos sao comunsna industria da mobilidade (automobilıstica, naval e aero-espacial). Caso os testes confirmem aspredicoes anteriores, o modelo e aceitavel. Senao, nova iteracao e iniciada ate atingir-se o objetivoformulado no inıcio (ou rever-se o proprio objetivo!). Em algum momento, os riscos tornam-seaceitaveis e a tomada de decisao e possıvel. O trabalho do engenheiro nao se encerra ainda, poisseguem-se as etapas de planejamento da manufatura, manufatura, acompanhamento, diagnostico,formulacao de melhorias, venda, pos-venda etc., completando a cadeia de lancamento e consolidacaode um produto. A menos de projetos com um escopo reduzido, dificilmente o mesmo engenheiroatuara de forma significativa em todas estas etapas.

Neste texto, enfoca-se os primeiros momentos do processo da engenharia: a definicao do problemae a analise na busca de solucoes. Alguns poucos exercıcios de sıntese serao possıveis, mas dentro deum escopo limitado. Outras disciplinas utilizarao os conceitos desenvolvidos na sıntese de sistemasmecanicos mais complexos.

1.5 Escopo

O objetivo dessas notas de aula e fornecer uma introducao a Mecanica dos Fluidos, com enfase nasaplicacoes e na interacao com as diversas areas da engenharia. Para este fim, serao explorados osconceitos fısicos e matematicos da disciplina, sua aplicacao na solucao de problemas de engenharia,os fundamentos da utilizacao de aproximacoes e empirismo e o uso inovativo destes conceitos eferramentas na busca de solucoes de problemas.

Os problemas de mecanica dos fluidos possuem como objetivos principais determinar as relacoesentre as forcas aplicadas, ou para prover a movimentacao de um fluido, ou como reacao ao movi-mento do fluido, e as aceleracoes e velocidades observadas. O fluido e um meio deformavel. Nointerior dos escoamentos, o fluido e comprimido, estendido, sofre cisalhamento, rotacao e translacao.As moleculas que formam a substancia em escoamento, em contınua agitacao termica, sao trans-


portadas e misturadas. Em um fluido formado por uma mistura de moleculas diferentes (imagineuma mistura de tintas azul e vermelha; ou agua salgada e agua potavel, ou fumaca de exaustaoe o ar ambiente), isento da acao de forcas de corpo, isso implica em homogenizacao da sua com-posicao. Em um fluido ja molecularmente homogeneo, as diferentes moleculas trocam de lugar e,embora cada molecula individualmente possa se deslocar a distancias muito grandes ao longo dotempo, principalmente quando em fase gasosa, a composicao local permanece constante ao longodo tempo. Para a analise de um problema dinamico do ponto de vista molecular, mesmo queestatico macroscopicamente, precisamos definir o nosso foco de analise, o objeto que identificamoscomo o foco da analise, por exemplo, pintando-o, e entao, precisamos acompanha-lo a medida queele sofre as suas transformacoes. Esse menor objeto de analise, o ponto de partida das analises, edenominado de partıcula de fluido. No proximo capıtulo, realizaremos uma descricao mais cuida-dosa das propriedades da partıcula de fluido. No momento, basta imagina-la como uma porcao defluido que pode ser identificada, rastreada e ter a sua posicao e forma determinada a cada instantede tempo e cujas forcas aplicadas sobre ela ou por ela, possam ser continuamente quantificaveis.A Figura 1.5 mostra uma partıcula de fluido com massa m = ρV , expressa na unidade kg (kg ≡kg/m3 × m3) sob a acao da forca resultante FR = F1 + F2 + F3, expressa na unidade Newtondo Sistema Internacional de Unididades, SI (1 N = 1 kg-m/s2). Como resultado da aplicacao daforca FR, a partıcula de fluido e acelerada com aceleracao a, expressa em (m/s2) e adquire umavelocidade instantanea v, expressa em (m/s).

F1

Partícula de fluido

(a) Forças aplicadas sobre a partícula

(b) Força resultante, aceleração e velocidade

FR

v

m = r V

a

F2

F3

Figura 1.1: Aceleracao a e velocidade v da partıcula de fluido que resulta da aplicacao da resultantede forcas externas FR = F1 + F2 + F3.

A segunda lei de Newton expressa uma relacao entre a forca resultante, a massa e a aceleracaoda partıcula de fluido. Observe que essa relacao envolve apenas tres unidades fundamentais: Umaunidade de massa,m, uma unidade de comprimento, L, e uma unidade de tempo, t. A temperatura,T, pode ser uma variavel importante nos problemas, por exemplo, nos quais a massa especıfica dofluido varia ao longo do escoamento. A unidade de massa, a qual expressa a inercia da partıcula defluido, pode ser substituıda pela unidade de forca como unidade fundamental, sem prejuızo paraas analises. Aqui, adotaremos a unidade de massa como fundamental. No Sistema Internacionalde Unidades, SI, as unidades fundamentais sao o quilograma (kg), o metro (m), o segundo (s) eo Kelvin (K). Essas quatro unidades fundamentais permitirao expressar as unidades de todas asvariaveis importantes para os escoamentos que encontraremos ao longo desse texto. A Tabela 1apresenta algumas variaveis e as suas respectivas unidades. Algumas dessas variaveis ainda naoforam apresentadas a voce, mas serao definidas no momento adequado.Por exemplo, para expressar uma forca usamos a unidade N que equivale a kg-m/s2. Para apressao, usamos Pa que equivale a N/m2, ou, kg/m-s2. Certamente, o produto de pressao poruma area produz uma forca, como as unidades indicam. Ainda, todo o problema tera valorescaracterısticos de massa, comprimento e tempo, os quais nos fornecerao os valores caracterıticos

1.5. ESCOPO 17

Tabela 1.1: Variaveis importantes e suas respectivas unidades.Variavel Sımbolo Unidade

Aceleracao a m/s2

Area A m2

Comprimento, diametro L, D mForca F N = kg-m/s2

Massa m kgMassa especıfica ρ kg/m3

Pressao p Pa = N/m2 = kg/m-s2

Velocidade v m/sViscosidade dinamica µ Pa.s = N-s/m2 = kg/m-sViscosidade cinematica ν m/s2

Volume V m3

Taxa de deformacao γ 1/sTemperatura T K

Tempo t sTensao τ Pa = N/m2 = kg/m-s2

Tensao interfacial σ J/m2 = N/m = kg/s2

das forcas, aceleracoes, velocidades etc.. Identificar esses valores caracterısticos para cada problemadepende de experiencia e habilidade, mas, quando possıvel, essa identificacao nos permite conhecercomo o escoamento respondera as variacoes nas suas condicoes, como por exemplo, como a forcaresponde as variacoes de velocidade ou vice-versa.Nessa parte, sao apresentados os conceitos fundamentais relacionados aos fluidos e ao seus escoa-mentos . Um fluido, em contraste com um solido, sera definido atraves do seu comportamentoquando submetido a uma forca de cisalhamento. Quando um solido e sujeito a um esforco cisal-hante, este apresenta uma deformacao finita ou se rompe, dependendo da magnitude do esforcoaplicado. Por outro lado, quando um fluido sofre um esforco de cisalhamento, ele se deforma con-tinuamente. A dinamica dos fluidos visa estabelecer relacoes entre velocidades, aceleracoes, forcase energias em um fluido em escoamento. Os princıpios fundamentais de conservacao da massa,energia e quantidade de movimento sao empregados para descrever os escoamentos e quantificar ainteracao do fluido com as superfıcies e ambiente que o envolve.O estudo dessa parte sera dividido nos seguintes capıtulos:

1. Equilıbrio estatico em fluidos: Nesse capıtulo abordamos o equilıbrio de forcas em fluidosestaticos. Essa abordagem e importante para algumas aplicacoes da mecanica dos fluidos,como os problemas de armazenamento e flutuacao, mas, principalmente, introduz o balancode forcas em fluidos e o metodo de obtencao de uma formulacao diferencial a partir de umbalanco integral. Esse metodo se tornara a base para os desenvolvimentos nos proximoscapıtulos.

2. Analise integral de escoamentos: A partir do movimento de translacao das partıculas defluido, definiremos o campo de velocidade e encontraremos as equacoes que descrevem otransporte das propriedades massa, energia e quantidade de movimento linear. As equacoesde conservacao, que descrevem o transporte dessas propriedades, serao formuladas na suaforma integral. Alguns escoamentos serao postulados e as formulacoes serao utilizadas paraexplorar a relacao entre as caracterısticas desses escoamentos e o que precisamos realizarpara gera-los e mante-los, assim como os seus efeitos sobre as superfıcies e ambiente que osenvolvem.

3. Analise dimensional: As caracterısticas gerais dos escoamentos originam-se das relacoes entreas suas proporiedades termo-fısicas moleculares e as suas propriedades transportadas. Emb-ora, em geral, seja um trabalho relativamente complexo expressar essas relacoes matematica-


mente, a analise dimensional permite definir, a priori, os grupos de variaveis que determinamas magnitudes da velocidade, aceleracao, forca e energia caracterısticas de um determinadoescoamento. Esses grupos de variaveis, ou, grupos adimensionais, podem ser utilizados paraprever e interpretar de uma forma generalizada as caracterısticas, ou regimes caracterısticos,dos escoamentos.

4. Escoamento invıscido: Ao inves de postular o padrao dos escoamentos, deseja-se preve-los apartir das condicoes que existem na sua origem e contornos. Nesse capıtulo, o movimento daspartıculas de fluido sao mapeadas em termos das suas trajetorias e o campo de velocidadecorrespondente e mapeado nas suas linhas de corrente. A partir da definicao do campode aceleracao de um fluido e da sua relacao com o balanco de forcas definido anteriormente,obtem-se as relacoes diferenciais que modelam o comportamento de escoamentos para os quaisos efeitos da viscosidade nao sao dominantes. Essas relacoes sao convertidas em equacoesaplicaveis na direcao ao longo e normal as linhas de corrente. Obtem-se a equacao de Bernoullie discute-se a sua relacao com a conservacao da energia em um escoamento. As solucoes dealguns escoamentos potenciais sao analisadas.

5. Escoamento viscoso: Nos escoamentos viscosos, os efeitos de viscosidade se tornam domi-nantes e as equacoes obtidas no capıtulo anterior devem ser estendidas de acordo. Inicia-seanalisando os movimentos de rotacao e deformacao a que sao sujeitas as partıculas de fluidodurante o escoamento. O campo de tensao e definido e sua relacao com o campo de taxade deformacao e postulado. Desenvolve-se o balanco de forca incluindo os efeitos viscosos ecompoe-se as equacoes gerais para a analise de escoamentos, ou equacoes de Navier-Stokes.Essas equacoes sao aplicadas na descricao de escoamentos simples que sao analisados emtermos das forcas resutlatnes e da conversao de energia mecanica. Analisa-se as causas ecaracterısticas da transicao e desenvolvimento do escoamento turbulento. Apresenta-se otratamento semi-empırico dos escoamentos internos e externos.

Os capıtulos a seguir visam cobrir os conteudos e conceitos de uma forma construtiva e indutiva.Embora a apresentacao dos capıtulos siga uma sequencia construtiva de teorias e modelos, cadacapıtulo e escrito em uma forma que visa minimizar sua dependencia dos anteriores. As con-strucoes matematicas mais elaboradas sao acrescentadas para maior complitude e formalismo, maspodem ser suprimidas sem prejuızo ao entendimento fısico dos fenomenos e solucao dos exemp-los de aplicacoes. Exemplos resolvidos e exercıcios com resposta sao incluıdos para encorajar oaprendizado independente e possibilitar a utilizacaoAs pricipais referencias, disponıveis em lıngua portuguesa e adequados para o ensino de graduacao,utilizadas na preparacao deste material estao indicadas abaixo. Encoraja-se a leitura de trechosextraıdos destas referencias para complementar o material aqui apresentado e permitir o contatocom os textos mais utilizados na area de fenomenos de transporte em geral. Acredita-se que estapratica estimulara o desenvolvimento de uma atitude de aprendizado independente e contınuo.

1.6 Referencias

Termofısica

1. Atkins, P., Fısico-Quımica - Fundamentos , 3a. Edicao, LTC Editora, 2003.

2. Kaviany, M., Fundamentals of Heat Transfer Physics , Cambridge, 2008.

3. Kittel, C., Thermal Physics , Wiley, 1989.

Ciencias Termicas:

1. Schmidt, F. W., Henderson, R. E. e Wolgemuth, C. H., Introducao as Ciencias Termicas ,Editora Edgard Blucher, 1996.

Termodinamica:

1.6. REFERENCIAS 19

1. Van Wyllen, G., Sonntag, R. E Borgnakke, C., Fundamentos da Termodinamica Classica,4a. Edicao, Editora Edgard Blucher Ltda, 1995.

2. Kondepudi, D. e Prigogine, I., Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative

Structures , Wiley, 1998.

3. Sandler, S. I., Chemical Engineering Thermodynamics , John Wiley, 1998.

Mecanica dos Fluidos:

1. Fox, R. W. e McDonald, A. T., Introducao a Mecanica dos Fluidos , 7a. Edicao, EditoraLTC, 2010.

2. Sabersky, R. H., Acosta, A. J. e Hauptmann, E. G., Fluid Flow: A First Course in Fluid

Mechanics , 3a. edicao, McMillan, 1989.

Transmissao de Calor:

1. Incropera, F. P. e De Witt, D. P., Fundamentos da Transferencia de Calor , 5a. Edicao,Livros Tecnicos e Cientıficos Editora, 2003.

2. Kaviany, M., Principles of Heat Transfer , Wiley, 2001.

Transporte de massa e reacao quımica:

1. Robert B. Bird, Edwin N. Lightfoot e Warren E. Stewart, Transport Phenomena, John-Wiley& Sons, 1960.

2. H. Scott Fogler, Elements of Chemical Reaction Engineering, Prentice-Hall, 1999.

3. Stephen R. Turns, Introducao a Combustao: Conceitos e Aplicacoes, McGraw Hill, 2013.

4. Chung K. Law, Combustion Physics, Cambridge University Press, 2006.

Capıtulo 2

Revisao de fundamentos

“ Zeroth: You must play the game. First: You can’t win. Second: You can’t break even. Third:You can’t quit the game.“

Charles Percy Snow, fısico ingles, sobre as Leis da Termodinamica.

O objetivo deste capıtulo e mostrar os modelos termodinamicos utilizados para a descricao das pro-priedades dos gases, lıquidos e solidos. A modelagem dos fenomenos de escoamento, transferenciade calor e transporte de massa requer relacoes matematicas para as propriedades termodinamicasdas substancias. Embora a descricao da energia potencial e cinetica nos atomos e moleculas forneceuma visao de como ocorrem e se mantem as ligacoes quımicas, estas relacoes somente ainda naopermitem prever o comportamento observado macroscopicamente na substancia quando esta es-coa, e aquecida, ou tem a sua pressao subtamente reduzida. Para o estudo destes processos (eoutros) precisa-se de relacoes que descrevem a influencia das energias potencial e cinetica, atomicaou molecular, nas propriedades observadas macroscopicamente, como a pressao, a temperatura eo volume ocupado por uma substancia. Ainda, precisa-se de um modelo consistente que relacioneas diferentes propriedades macroscopicas observadas. Este e o objetivo da termodinamica. Osmodelos descritos neste capıtulo sao modelos de equilıbrio e nos proximos serao descritos modelosde nao equilıbrio (transporte).A Termodinamica, classica e estatıstica, descreve as relacoes entre propriedades das substanciasem equilıbrio. A Termodinamica visa:

1. Encontrar relacoes gerais conectando a energia interna e outras propriedades internas de umsistema com as coordenadas termodinamicas e

2. Relacionar a mudanca do estado termodinamico de um sistema com as suas interacoes coma vizinhanca.

Para entendimento destes objetivos, algumas definicoes sao necessarias:Sistema termodinamico:

A porcao de materia, que pode ser descrita em termos de suas propriedades termodinamicas, esobre a qual enfocamos a analise. Os sistemas abertos, ou seja, que trocam massa com o seuexterior, serao denominados volumes de controle. Reservaremos a palavra sistema para aquelesfechados, ou seja, que nao trocam massa com o seu exterior.

Exemplo: A mistura ar-combustıvel no interior do cilindro de um motor de combustao internadurante o perıodo de combustao, apos o final da injecao e antes da abertura da valvula de exaustao,forma um sistema. O fluido que preenche esse sistema e uma mistura multicomponente de gasesque sofrem reacao quımica, liberando energia interna de ligacao quımica e aumentando a suaenergia interna sensıvel. O resultado observado e a destruicao de especies quımicas reagents,a formacao de especies quımicas produto de combustao, seguido do aumento da pressao e datemperatura na camara de combustao. Observa-se que a todo o instante a massa no interior do

21

22 CAPITULO 2. REVISAO DE FUNDAMENTOS

sistema permanece constante, apenas a composicao de mistura varia. A energia do sistema decrescedevido a transferancia de calor para o bloco do motor.

Vizinhanca:

Tudo que esta localizado fora do sistema, mas tem relacao com o seu comportamento.

Exemplo: Para o sistema formado pela mistura ar-combustıvel no interior do cilindro de um motorde combustao interna, sua vizinhanca e formada pelos ambientes nas camaras que precedem aentrada da valvula de admissao e que se seguem ao orifıcio de descarga, e pelas superfıcies docilindro, cabecote, pistao, vela e bico injetor (se existir injecao direta).

Estado termodinamico:

As caracterısticas do sistema, determinadas por configuracoes e interacoes microscopicas (de origematomica ou molecular), mas que manifestam-se macroscopicamente, podendo ser inferidas atravesde medicoes.

Exemplo: Para uma substancia pura, compressıvel (ar, por exemplo), a medicao da sua pressaop(Pa), temperatura T (K) e volume ocupado V (m3) determina o seu estado termodinamico.

Coordenadas termodinamicas:

Sao as variaveis macroscopicas que se relacionam (e determinam) o estado do sistema.

Exemplo: Uma substancia pura, compressıvel, descrita pela sua pressao p(Pa), volume V (m3) etemperatura T (K). A especificacao de duas destas coordenadas (p e T , por exemplo) determina ovalor da terceira (V , por exemplo) e o estado termodinamico do sistema, em especial, sua energiainterna U(J).

Interacoes com a vizinhanca:

Estas interacoes ocorrem atraves de fenomenos cujos efeitos cruzam as froteiras do sistema, comoos escoamentos (difusivos inclusive), o trabalho aplicado sobre o sistema pelas forcas externas ouaplicado pelo sistema atraves de forcas internas (a forca aplicada sobre a superfıcie de um pistaoem um motor de combustao interna), o trabalho originado pela acao de campos potenciais externos(a gravidade, por exemplo) e a transferencia de energia termica na forma de calor.Os princıpios fundamentais que relacionam estas coordenadas com as interacoes entre o sistemae a vizinhanca sao denominados Leis da Termodinamica. Estes pricıpios podem ser expressosmatematicamente e, portanto, podemos quantificar estes efeitos .

Exemplo: Alguns exemplos de sistemas termodinamicos sao:

1. Um vapor de uma substancia pura, como agua, que e o fluido de trabalho em uma centraltermeletrica de geracao de energia eletrica, cuja energia carregara as baterias de um veıculoeletrico.

2. Uma mistura reagente de gasolina e ar a ser injetada em um motor de combustao interna.

3. Um lıquido, como freon, evaporando, o qual e o fluido de trabalho em um sistema de refrig-eracao por compressao de vapor.

4. Os gases quentes de combustao expandindo na tubeira de um foguete ou para enchimento deum ”airbag”.

5. Uma barra de metal homogenea sendo deformada pela acao de uma forca externa.

6. A superfıcie de uma emulsao polimerica sendo expandida para ocupar o volume de umacavidade.

2.1. EQUILIBRIO TERMODINAMICO 23

7. Uma celula eletroquımica irrevesıvel (ou bateria) ou uma celula a combustıvel alimentadapor hidrogenio.

8. O elemento bimetalico (ou semicondutor) em um refrigerador em estado solido por efeitopeltier (termeletrico).

A descricao de todos estes processos tera em comum a identificacao do sistema, da vizinhanca, das

coordenadas apropriadas e das interacoes e seguira atraves da aplicacao dos princıpios basicos .

2.1 Equilıbrio Termodinamico

Sempre que uma ou mais coordenadas de um sistema mudam, ou espontaneamente ou como re-sultado de um efeito externo, diz-se que o sistema sofreu uma mudanca de estado (nao confundircom uma mudanca de fase, por exemplo, lıquido para vapor, que e um tipo particular de mudancade estado).

Exemplo: Uma substancia pura, compressıvel (ar, por exemplo), experimenta um processo deexpansao adiabatica. Os valores de pressao p(Pa) e volume V (m3) do gas ao longo do processopodem ser representados em um diagrama p− V conforme a figura a seguir. Note que o aumentode volume causa a reducao da pressao. Como o processo e adiabatico, durante a expansao, atemperatura tambem decresce.

1

2

p

V

Sistema

Figura 2.1: Processo de expansao em um cilindro, do estado 1 ao estado 2.

Um sistema sofre usualmente interacoes dos tipos:

• Mecanicas: por exemplo, por acao de uma forca aplicada na sua superfıcie.

• Termicas: por tranferencia de calor com uma fonte a temperatura diferente em contato coma fronteira do sistema.

• Quımica: por transferencia de massa com um corpo com composicao diferente em contatoatraves de uma membrana permeavel.

Quando o sistema, ao ser liberado, nao sofre mudanca de estado, ele estara em equilıbrio:

• Mecanico: quando nao existem forcas desbalanceadas nem internamente, nem externa-mente.


• Termico: quando nao existem diferencas de temperatura internamente ou entre este e suavizinhanca.

• Quımico: quando nao existe difusao de especies quımicas nem internamente, nem paradentro ou fora do sistema (isto e descrito pela propriedade denominada potencial quımico).

Quando o sistema encontra-se em equilıbrio termodinamico nem ele, nem a vizinhanca sofremmudanca de estado. A Termodinamica nao se preocupa com a taxa na qual os processos ocorrem,apenas com o ponto de partida, o caminho e o ponto de chegada de um processo. Em uma analisetermodinamica, assumimos que, em cada instante do processo, as propriedades do sistema saohomogeneas no seu interior. Isto requer que o sistema ou esteja ”bem misturado” ou entao que eleseja suficientemente pequeno para que variacoes nos valores das propriedades no seu interior sejamnegligenciaveis.

Exemplo: Uma barra metalica em cujo interior ocorre transferencia de calor por conducao.

T, oC

T1

T2

x, m

Ladoquente

Ladofrio

L

Distribuição detemperatura inicial

Sólido

Figura 2.2: Ausencia de equilıbrio local: Uma barra metalica e aquecida a temperatura T1 naextremidade x = 0 e resfriada a temperatura T2 na extremidade em x = L. A parte superiorda figura apresenta um grafico de temperatura T versus distancia x que mostra a distribuicao detemperatura ao longo da barra metalica.

Considere uma barra na qual existe uma variacao linear de temperatura, com temperatura T1 =100oC em uma extremidade e T2 = 20oC na outra. Esta barra e entao completamente isoladado ambiente e sofre um processo de equalizacao de temperatura na direcao do equilıbrio termico.Imaginemos dois cenarios possıveis. No primeiro cenario, a barra e feita de cobre puro, o qualpossue elevada condutividade termica. Neste caso, apos, digamos 10 s, as duas extremidades dabarra estarao respectivamente a T1 = 61oC e T2 = 59oC. A diferenca de temperatura sobre todaa barra e de apenas cerca de 2oC. Podemos entao obter a energia interna da barra, com boaaproximacao, somente como

U = U(t, T )

onde T = 60oC.

Neste segundo cenario, consideremos uma barra feita de aco carbono, o qual possui condutividadetermica cerca de 6 vezes menor que a do cobre puro. Apos, digamos 10 s, as duas extremidadesda barra estarao respectivamente a T1 = 90oC e T2 = 30oC. A diferenca de temperatura sobretoda a barra e de cerca de 70oC. Neste caso, nao podemos utilizar apenas uma unica temperaturapara caracterizar o estado termodinamico da barra (e calcular a energia interna). Porem, podemospensar que sobre pequenas regioes, onde as diferencas de temperatura nao sao maiores que cercade 1oC ou 2oC, a energia interna e termodinamicamente bem definida e para estas regioes podemosaproximar a energia interna por unidade de massa como

u = u(t, T (x))

2.2. O ESTADO GASOSO 25

onde T (x)(oC) e a temperatura ”local” na posicao x que identifica a regiao de analise. Neste caso,a energia interna total para a barra e

U =

∫

V

ρu(t, T (x))dV

A descricao das mudancas de estado de um sistema requer um modelo que defina a naturezaparticular da substancia e do sistema em analise. Este modelo expressara as diferencas importantesexistentes estre os gases, os lıquidos e os solidos.

2.2 O estado gasoso

A equacao de estado e uma relacao fısica entre as coordenadas termodinamicas de um sistema emequilıbrio que expressa uma limitacao na liberdade da variacao arbitraria destas coordenadas. Porexemplo, para um gas perfeito (ou ideal), pV = nRuT . Esta expressao descreve uma conexaoexistente entre as variaveis p, V e T para um gas perfeito em equilıbrio termodinamico. Dados apressao p na qual o gas existe em equilıbrio ocupando um volume V , havera apenas um valor detemperatura T para este gas em equilıbrio.Todo substancia possui uma equacao de estado caracterıstica. Frequentemente, estas nao saomatematicamente simples (ao contrario da equacao de estado para os gases perfeitos). Elas de-screvem as caracterısticas de p, V e T para cada substancia. Sao determinadas experimentalmenteou por simulacao molecular. Sao tao precisas quanto forem os dados usados para obte-las. Nota-seque as equacoes de estado nao sao consequencia do formalismo da termodinamica classica, masuma adicao a esta vinda de outras teorias, como por exemplo, da termodinamica estatıstica.

2.2.1 Equacao de estado dos gases ideais

Os efeitos da pressao e volume de um gas no seu estado aparente sao conhecidos desde longadata. Evidencia empırica mostra que a aparencia, cor, cheiro, ou qualquer outra sensacao sensorialdespertada por um gas, digamos ar, e a mesma quando este ocupa o mesmo volume e a mesmapressao. Pressao neste caso pode ser entendida de uma forma puramente mecanica e externa aogas, como por exemplo, a forca que um pistao com uma determinada area faz sobre o volume degas. Neste ponto, como hipotese, poder-se-ia dizer que as sensacoes causadas por um gas a umadada pressao e volume sao caracterizadas por uma unica variavel denominada temperatura.As relacoes entre a temperatura, conforme definida acima, pressao e volume foram definidas em-piricamente a muito tempo. Entre estes conceitos, postulados historicamente como leis, estao:

1. Boyle (1660): para uma dada massa e temperatura constante tem-se

pV = constante (2.1)

2. Charles (1787) e Gay-Lussac (1802): para uma dada massa e pressao constante, o volumeocupado pelo gas cresce linearmente com a temperatura:

V = Vo(1 + aT ) (2.2)

3. Para uma dada massa e volume constante, a pressao do gas cresce linearmente com a tem-peratura:

p = po(1 + bT ) (2.3)

4. Avogadro: Para qualquer gas perfeito, a constante dos gases possui o mesmo valor se a mesmaquantidade de moleculas do gas e considerada. Este valor e Ru = 8314 J/kmol-K.


5. Dalton: a pressao exercida por uma mistura de gases e equivalente a soma das pressoesexercidas por cada gas atuando sozinho. Para Ng gases, tem-se

p =

Ng∑

i=1

pi (2.4)

A partir destas evidencias empıricas, pode-se escrever uma equacao de estado para uma quantidadeequivalente a 1 kmol de substancia como

pV = RuT (2.5)

A partir da observacao de Dalton, estendendo para n moles de gas, tem-se

pV = nRuT (2.6)

Lembrando que a massa especıfica ρ(kg/m3) relaciona-se com o numero de moles n(kmol) por

ρ =m

V=Mgn

V(2.7)

onde Mg(kg/kmol) e a massa molar do gas, pode-se escrever

p = ρRu

MgT = ρRgT ; Rg =

Ru

Mg(2.8)

A Eq. (2.6) e chamada equacao de estado dos gases ideais . A Figura 2.2.1 mostra em formagrafica a superfıcie definida no diagrama p-V -T . Neste diagrama, os eixos horizontais representama temperatura T e o volume V e o eixo vertical representa a pressao p calculada pela equacao dosgases ideiais. Embora a equacao de estado estabeleca relacoes entre p, V e T , obtidas a partir deobservacoes experimentais, estes conceitos nao sugerem nenhuma relacao entre estas propriedadesmacroscopicas e propriedades mais fundamentais dos gases. A teoria cinetica dos gases e ummodelo para estas relacoes.

Teoria cinetica dos gases ideais

As primeiras ideias sobre a descricao dinamica estatıstica do comportamento de moleculas de gasessurgiu com Daniel Bernoulli (1700-82) em 1738. Porem, a teoria so foi desenvolvida por James C.Maxwell (1831-79) no final do seculo XIX.O desenvolvimento mais simplificado da teoria cinetica dos gases ideais assume que:

1. As moleculas do gas sao identicas e possuem massa m.

2. As moleculas tem dimensao negligenciavel (R → 0) e nao sofrem interacoes.

3. As forcas intermoleculares sao negligenciaveis (ou seja, x→ ∞).

4. As moleculas movimentam-se de forma aleatoria.

Nesse modelo, as moleculas comportam-se como pontos commassa diferente de zero. Assim, a unicaforma de energia que pode ser armazenada nas moleculas (ou seja, que as moleculas apresentam)e energia cinetica de translacao. Nesta descricao classica (em contraste com a descricao quantica)as moleculas do gas podem assumir qualquer valor de velocidade entre zero e infinito. A energiacinetica de uma unica molecula com velocidade c e mc2/2. Se denominarmos n1 o numero demoleculas por m3 com velocidade c1, n2 o numero de moleculas por m3 com velocidade c2, e assimpor diante, a energia cinetica media das moleculas do gas Ec(J) e dada por

Ec =1

2m〈c2〉 (2.9)


Figura 2.3: Superfıcie pVT para um gas ideal e as projecoes em dois planos: Pressao p versus Vol-ume V e Temperatura T versus Volume V (Fonte: ChemWiki - The Dynamic Chemistry Hypertext.

Section 6.2: Ideal Gas Model: The Basic Gas Laws).

onde a velocidade media quadratica das moleculas 〈c2〉 (m/s) e dada por

〈c2〉 = n1c21 + n2c

22 + ...

n1 + n2 + ...=

1∑

∞

i=1 ni

(

∞∑

i=1

nic2i

)

=1

n

∞∑

i=1

nic2i (2.10)

(Observe que nesta secao n e m sao definidos de forma diferente do que no restante do texto). Aexistencia de grupos de moleculas ni com velocidades entre ci e ci + dci, onde dci e tao pequenoquanto se queira, implica na existencia de uma distribuicao de probabilidade de velocidades. Estadistribuicao e denominada de distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann e nao sera desen-volvida explicitamente por enquanto. Por enquanto, basta que esta distribuicao exista e seja bemdefinida.Embora o modelo assuma que nao ha colisao mutua entre as moleculas do gas, sao as colisoes quegarantem que o sistema atingira uma configuracao de equilıbrio. Esta aparente contradicao naocausara um problema maior se assumirmos que nao e nosso interesse descrever o que acontece nomomento da colisao, mas apenas observar os resultados obtidos quando as moleculas do gas ja seencontram com uma distribuicao de velocidades definida estatisticamente. Em particular, mesmonegligenciando as colisoes entre moleculas, estas irao colidir de forma elastica com as paredes dorecipiente que as contem. A quantidade de movimento linear de uma partıcula e definida como oproduto mici. A velocidade ci tera componentes nas direcoes x, y, e z identificados por u, v e w.Durante uma colisao elastica, existe conservacao da quantidade de movimento do sistema formadopela molecula e pela parede. Se tentarmos manter a parede estacionaria durante a ocorrenciadeste impacto, deveremos aplicar uma forca nas suas costas equivalente a variacao da quantidadede movimento da molecula que chocou-se com ela. Esta forca que usamos para impedir que aparede se mova com este choque, dividida pela area da parede, e chamada de pressao, ou seja, apressao que o gas exerce sobre a parede. Observe que o valor desta pressao independe da orientacaoda parede, mas deve depender de parametros como a velocidade media das moleculas do gas e a


massa destas moleculas.Para obter uma relacao para a pressao, tomemos um cubo com lado l(m) que contenhaN moleculas.Para uma parede normal a direcao x, a variacao da quantidade de movimento linear quando umamolecula com massa m(kg) tem uma colisao elastica com esta parede e 2mui. Esta variacao eaplicada durante o tempo que demora para a molecula se deslocar ate a face do cubo e voltar. Estetempo e dado por 2l/ui. A pressao exercida por esta molecula sobre a parede com area l2(m2) eportanto

pi =momento linear transferido para a parede (kg-m2/s2)

tempo (s) × area da parede (m2)=mu2il3

(2.11)

Para todas as moleculas deste grupo, tem-se uma pressao resultante igual a Nipi onde Ni = nil3.

Assim, somando para todos os grupos de moleculas,

p = m

∞∑

i=1

Ni

l3u2i = m

∞∑

i=1

niu2i = mn〈u2〉 (2.12)

onde

〈u2〉 = 1

n

∞∑

i=1

niu2i (2.13)

Observa-se que a velocidade das moleculas possui direcao aleatoria e todas as direcoes sao igual-mente provaveis. Denotando v e w as velocidades moleculares nas direcoes y e z, respectivamente,pode-se assumir para um numero grande de moleculas que

〈u2〉 = 〈v2〉 = 〈w2〉 = 1

3〈c2〉 (2.14)

Portanto, tem-se

p =1

3nm〈c2〉 (2.15)

onde n e o numero total de moleculas por m3 ocupando um volume V = l3 e m e a massa deuma molecula. Esta expressao relaciona a pressao termodinamica exercida pelo gas com a energiacinetica media das moleculas do gas. Nota-se que pode-se escrever

p =2

3nEc (2.16)

Sendo N o numero total de moleculas de gas e n = N/V , pode-se escrever

pV =1

3Nm〈c2〉 (2.17)

Considerando uma quantidade de mistura equivalente a 1 mole, N = NA onde NA e a constantede Avogadro. Assim, pode-se escrever

pV =1

3NAm〈c2〉 (2.18)

Comparando esta equacao com a equacao de estado dos gases ideais para 1 mole de mostura,

pV = RuT (2.19)

pode-se concluir que

T =1

3

NAm〈c2〉Ru

(2.20)

Lembrando que a constante de Boltzmann e equivalente a constante universal dos gases pormolecula, Ru = kBNA, tem-se

T =1

3

m〈c2〉kB

=2

3

Ec

kB(2.21)


e

pV =2

3NAEc, (2.22)

ou seja, a temperatura do gas e proporcional a energia cinetica media das moleculas e o produtopV e proporcional a energia cinetica total das moleculas do gas. Observa-se que neste modelosimplificado nem a temperatura T nem o produto pV dependem diretamente da massa da moleculade gas, mas no produto m〈c2〉.Ainda, da Eq. (2.21), pode-se escrever

〈c2〉 = 3RuT

NAm=

3RuT

M⇒ c = 〈c2〉1/2 =

(

3RuT

M

)1/2

(2.23)

onde M = NAm e a massa molar do gas (kg/kmol) (em um modelo mais refinado substitui-se aconstante 3 por 8/π (Bird, 1960)).

A Tabela 2.1 apresenta valores calculados de velocidade media para alguns gases a T = 273 K.Observa-se os valores altos de velocidade media molecular atingidos pelas moleculas com menormassa molar.

Tabela 2.1: Velocidade media molecular para alguns gases a T = 273 K (Ru = 8314, 33 J/kmol-K).Gas M , kg/kmol c, m/sH2 2,016 1838He 4,002 1304O2 31,998 461Argonio 39,948 413vapor de benzeno (C6H6) 78,114 295vapor de mercurio (Hg) 200,59 184

Da Eq. (2.21) observa-se que a energia cinetica por molecula na temperatura de referencia 298K e da ordem de 10−21 J. A energia quantica para a primeira transicao eletronica do atomo deneonio e cerca de 5 eV (1 eletron-volt = 1, 602177 × 10−19 J), ou seja, da ordem de 10−18 J.Assim, percebe-se que a energia desenvolvida em choques frontais entre duas moleculas de neoniona temperatura ambiente e provavelmente muito pequena para promover transicoes eletronicas nosatomos. Tambem, a energia de ligacao covalente entre dois atomos de hidrogenio e da ordem de10−19 J. Assim, e tambem pouco provavel que haja uma consideravel dissociacao da molecula dehidrogenio a temperatura ambiente. Por isso, em temperaturas baixas e uma boa aproximacaotratar a molecula de um gas como uma esfera rıgida, que nao possui uma estrutura interna capazde absorver energia. Em temperaturas altas, aumenta a probabilidade de dissociacao da moleculae de transicao nos nıveis eletronicos, requerendo modelos mais completos. Estes modelos requeremuma descricao quantica, ao inves de uma descricao classica.

Caminho livre molecular medio

Uma consequencia da teoria cinetica dos gases e a definicao de caminho livre molecular medio.Trata-se da distancia media percorrida pelas moleculas do gas entre colisoes sucessivas. Para estecalculo, defini-se o diametro de colisao da molecula de gas dm, ou seja, considera-se que ocorrecolisao entre duas moleculas de um gas quando o centro de uma das moleculas passar a umadistancia igual ou menor que dm do centro da outra molecula. Quando uma molecula desloca-sepor uma distancia l = ct, esta varrera um volume lπd2m. Como existem n moleculas por unidadede volume, esta molecula sofrera nlπd2m colisoes durante o seu deslocamento. Assim, a distanciapercorrida entre colisoes sera

λm =l

nlπd2m=

1

nπd2m(2.24)


Este e o modelo mais simples possıvel, o qual considera que todas as outras moleculas estaoestacionarias quando a primeira se desloca. Ao levar em consideracao o movimento relativo entreas moleculas, obtem-se que a expressao acima e reduzida por um fator

√2. Assim, utilizando-se

tambem a equacao de estado dos gases ideais, obtem-se

λm =1

π√2

1

d2mn=

1

π√2

1

d2m

kBT

p(2.25)

Observa-se que o espacamento medio instantaneo entre moleculas e da ordem de

lm =

(

l3

N

)1/3

=

(

1

n

)1/3

=

(

kBT

p

)1/3

(2.26)

Na verdade, entao, o caminho livre molecular medio e maior que o espacamento medio entre asmoleculas do gas. Como exemplo, para o ar atmosferico (principalmente composto de N2 e O2)a p = 1 atm = 101325 Pa e T = 273 K, o diametro medio molecular e cerca de dm = 0, 35 nm eobtem-se lm = 3, 34 nm e λm = 68, 30 nm. Assim, o caminho livre molecular medio e cerca de 20vezes a distancia instantanea entre moleculas e e cerca de 200 vezes o diametro medio molecular.Estas escalas permanecem semelhantes para outros gases em pressao e temperatura proximas as doambiente. Observa-se tambem que a razao entre o caminho livre molecular medio e o espacamentomedio entre moleculas e da ordem de 1 para os lıquidos e e muito menor que 1 para os solidos.A Tabela 2.2 apresenta alguns valores de dm e λm para alguns gases para p = 1 atm e T = 300 K.Tambem, mostra-se a relacao entre o caminho livre molecular medio e o diametro da molecula.

Tabela 2.2: Valores de diametro molecular dm e caminho livre molecular medio λm para p = 1atm = 101325 Pa e T = 300 K (1 nm = 10 A = 10−9 m).

Gas dm, A λm, nm λm/dmH2 2,74 122,5 407N2 3,68 67,9 168H2O 4,60 43,5 86CO2 4,59 43,7 87O2 3,61 70,2 176CH4 4,14 53,7 118ar atmosferico padrao 3,50 75,1 195

Quando a menor dimensao de um sistema macroscopico L for muito maior que o caminho livre

molecular medio λm podemos tratar este sistema como formado por substancias que se comportamde maneira contınua, denominadas de meio contınuo. A relacao entre a dimensao caracterısticado sistema e o caminho livre molecular medio e chamada de numero de Knudsen,

Kn =λmL

(2.27)

Assim, a hipotese de meio contınuo e aplicavel quando Kn ≪ 1. Em caso contrario, devemosutilizar uma abordagem molecular na solucao dos problemas de transporte (Kaviany, 2010).Um questao que permanece e quanto a hipotese de ausencia de colisoes e de tamanho negligenciavelafeta as previsoes da teoria cinetica desenvolvida. A existencia de colisoes faz com que moleculaspertencentes a algum grupo de velocidade ni passem para outro grupo nj apos a colisao, alterandoa distribuicao de velocidades dos dois grupos. No entanto, ao mesmo tempo, moleculas de outrosgrupos tambem passarao para o grupo ni apos colisoes. Se o numero de moleculas e de colisoesfor alto, a variacao lıquida das moleculas de um grupo sera nula e a distribuicao de velocidadepermanecera a mesma. Assim, pode-se considerar que a distribuicao de velocidades na presencade colisoes se mantenha a mesma que a obtida quando considerados os grupos isoladamente, ea presenca de colisoes nao altera a teoria mais simples. Com relacao ao volume ocupado pelas


moleculas, e possıvel definir um volume efetivo livre para as moleculas que e igual ao volume totalsubtraıdo do volume ocupado pelas moleculas. Esta ideia sera desenvolvida na analise dos desviosde idealidade, quando desenvolveremos expressoes pas a equacao de estado para gases nao ideiais.Com relacao ao modelo de esferas rıgidas observa-se que a curva de energia potencial intermolecularsugere que a grandes distancias existem forcas de atracao, mesmo que pequenas, fazendo com quea trajetoria das moleculas seja alterada e aumentando o numero de colisoes que de fato ocorremquando comparado com o modelo de esferas rıgidas. Este efeito e particularmente importante embaixas temperaturas, nas quais as forcas de interacao sao significativas quando comparadas coma energia cinetica. Neste caso a secao transversal de colisao torna-se levemente maior. Por outrolado, o potencial de repulsao que existe em pequenas separacoes varia de forma mais suave doque o previsto pelo potencial de esferas rıgidas. Desta forma, em temperaturas altas, as moleculaspodem atingir distancias mais proximas sem que de fato ocorra uma colisao, resultando em umadiminuicao da secao transversal de colisao. Esta correcao pode ser modelada, atraves da constantede Sutherland, por exemplo, e levada em consideracao no calculo do diametro de colisao efetivo(Tabor, 1995).Por fim, no modelo de esferas rıgidas sao negligenciados os graus de liberdade internos (rotacao,vibracao e eletronico). Estes graus de liberdade absorvem ou devolvem parte da energia cineticadurante a colisao. Esta troca de energia entre mecanismos e fundamental para que todos osmecanismos de absorcao interna de energia permanecam em estado de equilıbrio termodinamicointerno antes e apos colisoes.

Velocidade do som

Ao contrario de solidos e lıquidos, os gases suportam apenas ondas longitudinais, ou seja, as ondasque se propagam como uma sucessao de rarefacoes e sobrepressoes. A velocidade de propagacaodas ondas longitudinais e

a2 =−Vρ

(

dp

dV

)

(2.28)

O valor de −V dp/dV e o modulo de elasticidade do gas que indica o aumento de pressao do gasquando seu volume e decrescido. Como mostrado acima, da equacao de estado dos gases ideiais,

pV =1

3Nm〈c2〉.

O som e uma onda longitudinal adiabatica. Assumindo no momento a propagacao de uma ondaisotermica, obtem-se,

V

(

dp

dV

)

T

= V

(−1

3

Nm〈c2〉V 2

)

=−1

3

Nm〈c2〉V

= −p (2.29)

Assim, para uma onda isotermica,

a2T =p

ρ=

(

1

3

Nm〈c2〉V

)

V

Nm=

1

3〈c2〉 = 〈u2〉 (2.30)

ou seja,aT = 〈u2〉1/2 (2.31)

Observa-se portanto, que a velocidade de uma onda longitudinal isotermica aT e igual a raizquadrada da velocidade quadratica media (velocidade rms) das moleculas do gas em uma direcao.O valor de 〈u2〉1/2 e muito proximo de u, o que implica que a velocidade de uma onda isotermicae aproximadamente a velocidade media molecular em uma direcao.Observa-se agora que o som e na verdade uma onda longitudinal adiabatica. Com a passagem daonda, o gas sofre transformacoes de estado que sao adiabaticas e reversıveis, portanto, isentropicas.Neste caso,

V

(

dp

dV

)

S

= −γp (2.32)


onde γ = cp/cv = 1 +Ru/cv.Assim, a velocidade do som as e

as =

(

γp

ρ

)1/2

=

(

γRu

MT

)1/2

(2.33)

Portanto, verifica-se que a velocidade do som e√γ maior que o valor calculado anteriormente. Para

o ar na temperatura ambiente, γ ≃ 1, 4 e√γ ≃ 1, 18. Portanto, independentemente do processo

que o gas esteja submetido, a velocidade de propagacao da onda e muito proxima da velocidademolecular. Esse fato indica que a molecula e o mensageiro (carrier) das informacoes em um gase esta caracterıstica tera uma importancia fundamental na analise das propriedades de transporteem fase gasosa.

2.2.2 Mistura de gases ideais

A pressao total de uma mistura de Ng gases ideiais corresponde a soma das pressoes parciais pidos componentes da mistura (Dalton), ou seja,

p =

Ng∑

i=1

pi (2.34)

Como cada componente e um gas ideal, pode-se expressar a pressao parcial do componete i por

pi = ρiRu

MiT (2.35)

onde a massa especıfica ρi relaciona a massa mi do componente i com o volume total da misturaV por

ρi =mi

V(2.36)

Substituindo a equacao de estado para os componentes na equacao para a pressao total tem-se

p = RuT

Ng∑

i=1

ρiMi

(2.37)

Como a mistura tambem possui comportamento de gas ideal,

p = ρRu

MT (2.38)

e obtem-se a massa molar da mistura M como

ρ

M=

Ng∑

i=1

ρiMi

(2.39)

Defini-se a fracao massica do componente i como

Yi =mi

m=ρiρ

(2.40)

Como a massa da mistura e a soma das massas dos componentes,

ρ =N∑

i=1

ρi (2.41)

tem-se a identidadeN∑

i=1

Yi = 1 (2.42)


Assim, pode-se tambem escrever

1

M=

N∑

i=1

YiMi

(2.43)

Pode-se espressar o numero de moles do componente i na mistura por ni. O numero de molesrelaciona-se com a massa atraves da massa molar por

mi = niMi (2.44)

Analogamente a massa especıfica, pode-se definir a concentracao molar ci por

ci =ni

V(2.45)

A fracao molar do componente i na mistura e entao definida como

Xi =ni

n=cic

(2.46)

A fracao molar pode tambem ser expressa nas unidades praticas conhecidas como ppm e ppb. Aunidade ppm significa partes-por-milhao e corresponde a

Xi(ppm) = Xi × 106 (2.47)

A unidade ppb significa partes-por-bilhao e corresponde a

Xi(ppb) = Xi × 109 (2.48)

Estas unidades praticas sao uteis para expressar concentracoes molares muito pequenas comuns,por exemplo, quando se descreve poluicao ambiental.Em propriedades molares, a equacao de estado dos gases perfeitos pode ser escrita para a misturacomo

p = cRuT (2.49)

e obtem-se a massa molar da mistura M como

M =

N∑

i=1

XiMi (2.50)

A relacao entre fracao molar e massica e

Yi =ρiρ

=mi

m=Mini

Mn=MiciMc

=Mi

MXi (2.51)

Um exemplo de mistura de gases ideiais e o ar seco nas condicoes da atmosfera ao nıvel do mar.O ar seco padrao possui a composicao aproximada mostrada na Tabela 2.3. Nota-se que alem dooxigenio e do nitrogenio, o argonio e o dioxido de carbono completam os componentes principais.

Tabela 2.3: Composicao aproximada do ar seco padrao Xi(ppm) e do ar seco padrao simplificadoXi, (kmol/kmol).

Especie quımica Xi(ppm) Mi, kg/kmol Xi, kmol/kmol Xi/XO2

O2 209500 31,998 0,2095 1N2 780900 28,012 0,7905 3,773Argonio 9300 38,948CO2 300 40,009Ar seco padrao 1000000 28,962 1,0000 4,773


No ar seco padrao simplificado mantem-se a composicao de 20,95 % em volume de O2 e adiciona-seao nitrogenio as fracoes molares dos outros componentes, obtendo-se uma composicao efetiva de79,05 % em volume. Desta forma, a massa molar do ar permanece a mesma (28,962 kg/kmol). Em calculos simplificados e comum arredondar-se as massas moleculares do O2 e do N2 paraMO2

= 32 kg/kmol e MN2= 28 kg/kmol e a composicao molar do ar para XO2

= 0, 21 eXN2

= 0, 79. A razao molar entre N2 e O2 e entao XN2/XO2

= nN2/nO2

= 3, 76 e a massa molardo ar torna-se 28,84 kg/kmol.

Exemplo: Uma sala com volume V = 200 m3 contem ar seco na temperatura T = 300 K e pressaop = 101325 Pa. Obtenha a massa de ar da sala considerando que o ar e uma mistura com 21% deoxigenio e 79% de nitrogenio (em volume).

Solucao: Assumindo que o ar comporta-se como gas perfeito,

p = ρRu

MT

onde

ρ =m

V

Tratando o ar seco padrao como uma mistura de gases perfeitos, obtem-se

M =

N∑

i=1

XiMi = 0, 21× 32 + 0, 79× 28 = 28, 8 kg / kmol

Assim,

ρ = p/

(

Ru

MT

)

= 101325/

(

8314

28, 8× 300

)

= 1, 17kg /m3

A massa de ar seco e portanto

m = ρV = 1, 17× 200 = 234kg

Exemplo: A mesma sala do exemplo anterior e agora preenchida com ar umido com umidaderelativa de 80%. Obtenha as massas de ar e agua no ambiente da sala. Assuma que as massasmoleculares do vapor e do ar seco sao Mv = 18 kg/kmol e Ma = 28, 8 kg/kmol, respectivamente.Assuma comportamento de gas perfeito para ambos o vapor e o ar seco.

Note que quando uma substancia pura na fase lıquida esta em equilıbrio termodinamico com oseu vapor, existe uma correspondencia unıvoca entre a temperatura e a pressao do sistema emequilıbrio. Esta condicao de equilıbrio e chamada de equilıbrio de fase. A equacao de Clapeyronfornece uma relacao entre a pressao e a temperatura de saturacao na forma (este aspecto seraexplorado com mais detalhe logo adiante)

dp

p∼ −d

(

1

T

)

a qual, integrando entre um estado de referencia a pref , Tref e outro a p, T , fornece

ln

(

p

pref

)

∼ −(

1

T− 1

Tref

)

O grafico da relacao entre a pressao de saturacao p = psat e a temperatura de saturacao T edenominado curva de saturacao da substancia. Ele expressa que, quando a substancia esta emequilıbrio com o seu vapor, um aumento de temperatura ocasionara um aumento da pressao e


vice-versa. Para as misturas de ar e vapor, a umidade relativa φ fornece a razao entre a pressaoparcial do vapor na mistura e a pressao de saturacao da agua na temperatura da mistura, ou seja,

φ =pv

psat(T )

Para a temperatura de 300 K, a pressao de saturacao da agua e psat = 3578 Pa.Solucao:

Para a temperatura de 300 K, sendo dada a pressao de saturacao para a agua, a pressao parcialde vapor d ’agua na sala e

pv = φpsat = 0, 8× 3578 = 2862, 4Pa

Assumindo que o vapor comporta-se como gas perfeito (a pressao de vapor e suficientemente baixapara que esta hipotese seja valida)

ρv = pv/

(

Ru

MvT

)

= 2862, 4/

(

8314

18× 300

)

= 0, 021kg /m3

A massa de vapor e portanto

mv = ρvV = 0, 021× 200 = 4, 2kg

A pressao parcial de ar seco e

pa = p− pv = 101325− 2862, 4 = 98462, 6Pa

Assumindo comportamento ideal para o ar seco,

ρa = pa/

(

Ru

MaT

)

= 98462, 6/

(

8314

28, 8× 300

)

= 1, 14kg /m3

A massa de ar seco e portanto

ma = ρaV = 1, 14× 200 = 228kg

Note que este valor e cerca de 6 kg menor que o valor calculado no exemplo anterior e estes 6 kgde ar seco foram substituıdos por 4,2 kg de vapor de agua.

2.2.3 Comportamento de gases nao-ideais

Com o aumento da pressao ou a reducao da temperatura, o comportamento dos gases afasta-se doprevisto pela equacao dos gases ideiais. Definindo o volume especıfico do gas v = V/m, a equacaode estado dos gases ideais pode ser escrita como

v =RgT

p(2.52)

onde Rg = Ru/M .Os desvios da idealidade podem ser explicados atraves do volume ocupado pelas moleculas e pelaexistencia de forcas intermoleculares. Estas forcas sao tambem responsaveis pela transicao aosestados lıquido e solido.A evidencia experimental mostra que a transicao do estado gasoso para o estado lıquido podeocorrer quando um gas a uma certa temperatura e comprimido. Por exemplo, o CO2 possui com-portamento que pode ser aproximado como de gas ideal para temperaturas acima de 50oC em umagrande variacao de pressao (a 50oC a aproximacao de gas ideal fornece valores com desvio menorque 10 % no calculo da massa especıfica, quando comparada com o valor considerando desvios da


idealidade, para pressoes ate 2480 kPa). A 21oC, no entanto, o desvio da idealidade aumenta ea compressao do CO2 causa a sua transicao de gas para lıquido quando a pressao, aumentando,atinge o valor aproximado de 5857 kPa. Na temperatura de 31,1oC, embora o comportamentodo gas afaste-se consideravelmente do comportamento de gas ideal, nao ha transicao para a faselıquida com o aumento de pressao. A uma temperatura levemente inferior, a 30,9oC, a transicaopara fase lıquida ocorre na pressao de 7357 kPa. Portanto, existe um valor limite de temperaturapara o qual nao ha transicao para a fase lıquida quando a pressao e aumentada. Esta temperaturalimite e denominada de temperatura crıtica Tc. Para temperaturas inferiores a temperatura crıtica,o aumento de pressao causa a transicao para a fase lıquida. Esta transicao ocorre exatamente auma determinada pressao caracterıstica. Para pressoes maiores que esta, a substancia esta noestado lıquido e para pressoes menores que esta, a substancia esta no estado gasoso. A temper-atura crıtica marca o limite deste comportamento. A pressao correspondente a esta temperatura,que marca o limite de presssao para a transicao lıquido-gas, e denominada de pressao crıtica pc.A partir da pressao e da temperatura crıtica pode-se calcular o volume especıfico crıtico vc. Asconstantes crıticas para o CO2 sao Tc = 31, 05oC, pc = 7376 kPa e vc = 4, 137 m3/kg (ρc = 0, 2417kg/m3). A Tabela 2.2.3 mostra as constantes crıticas para algumas substancias.

Tabela 2.4: Constantes crıticas para algumas substancias (Reid et al., 1986).Substancia M , kg/kmol Tc, K pc, MPa Vc, m

3/kmol Zc ωAr 39,948 150,8 4,874 0,0749 0,291 -0,004He (4) 4,002 5,3 2,26 69,3H2 2,016 33,2 1,297 0,065 0,305 -0,22N2 28,013 126,2 3,394 0,0895 0,290 0,040O2 31,999 154,8 5,046 0,0732 0,288 0,021CO2 44,010 304,2 7,376 0,0940 0,274 0,225CH4 16,043 190,6 4,600 0,099 0,288 0,008H2O 18,015 647,3 22,048 0,056 0,229 0,344NH3 17,031 405,6 11,28 0,0724 0,242 0,250ar (padrao) 28,97 132,5 37,2

A temperatura crıtica pode ser entendida se recordarmos a forma da energia potencial entre umpar de moleculas identicas. Para que as moleculas sejam separadas, a energia interna destas deveexceder o valor ∆Ep. A energia cinetica media e proporcional a kBT . Assim, por maior que seja apressao aplicada, a molecula sempre se afastara do seu par quando kBT > ∆Ep. Portanto, pode-serelacionar a temperatura crıtica como Tc ∼ ∆Ep/kB. Este resultado bastante simples permaneceessencialmente o mesmo se a interacao das outras moleculas vizinhas for levada em consideracao.

Equacao de estado de Van der Waals

A equacao de Van der Waals resulta de correcoes na equacao de estado dos gases ideais para mod-elar o comportamento nao ideal. Estas correcoes incluem uma correcao do volume ocupado pelasmoleculas e uma correcao da interacao entre as moleculas. Van der Waals (em 1873) argumentouque o volume do gas nao deve diminuir a zero quando a pressao torna-se muito elevada porqueas moleculas do gas, mesmo neste limite, devem ocupar algum volume especıfico b. Com estacorrecao, a equacao de estado dos gases ideais torna-se

v =RgT

p+ b (2.53)

ou,p(v − b) = RgT (2.54)

O valor do volume b pode ser estimado de diversas formas. Por exemplo, pode-se assumir quequando o diametro efetivo medio da molecula e dm, esta sofrera colisao com qualquer molecula


cujo centro passe por uma distancia dm do centro desta. Assim, cada molecula carrega um volumeexcluıdo com raio dm, o qual equivale a 4πd3m/3 = 8(πd3m/6) = 8vm. Assumindo somente colisoesentre pares de moleculas, isto implica que para cada duas moleculas exclui-se um volume 8vm.Portanto, para NA/M moleculas por unidade de massa, o volume excluıdo e b = 4NAvm/M .Gases nao ideais sao caracterizados por forcas de interacao entre moleculas. Estas forcas fazemcom que a pressao medida em uma superfıcie seja diferente da pressao existente no interior dogas longe da superfıcie. A razao desta diferenca e que na superfıcie o campo de forcas ao redordas moleculas encontra-se desbalanceado devido a ausencia de moleculas no lado da superfıcie.Para atingir a superfıcie, parte da energia cinetica da molecula e gasta para escapar da atracao dasmoleculas proximas a superfıcie. Desta forma, a energia cinetica da molecula ao atingir a superfıciee menor do que ela teria no interior do gas. Denominando esta perda equivalente de pressao por∆p, a pressao na parede e pid−∆p. Assim, escrevendo a equacao de estado para a pressao proximaa parede tem-se

(p+∆p)(v − b) = RgT (2.55)

A perda de pressao e proporcional a quantidade de moleculas colidindo com a parede e proporcionala quantidade de moleculas existentes no interior do gas. Assim, ∆p ∼ ρ2 = 1/v2. Assim, pode-seaproximar ∆p = a/v2 e a equacao de estado torna-se

(p+a

v2)(v − b) = RgT (2.56)

O termo a/v2 pode ser entendido como a energia de coesao das moleculas. Como nao ha nada nateoria que identifica o estado da substancia, esta equacao tambem pode ser aplicada para lıquidos.Para agua lıquida a T = 20oC e densidade ρ = 1000 kg/m3, a pressao resultante da energia cineticado lıquido e pid = 1312 atm, enquanto que a atracao interna resulta em ∆p = 1311 atm. Assim, apressao resultante na superfıcie e p = pid −∆p = 1312− 1311 = 1 atm.A equacao de van der Waals pode ser aplicada as condicoes no ponto crıtico e obtem-se uma relacaoentre os parametros da equacao e as condicoes no ponto crıtico,

vc = 3b; pc =a

27b2; Tc =

8a

27Rgb(2.57)

ou, pode-se escrever tambem

a =27R2

gT2c

64pc; b =

RgTc8pc

(2.58)

A Tabela 2.2.3 apresenta as constantes de van der Waals para algumas substancias.

Tabela 2.5: Constantes de van der Waals para algumas substancias (Sander, 1999).Substancia a, Pa m6/kmol2 b, m3/kmolHe (4) 0,00346×106 2,376×10−2

H2 0,0248×106 2,660×10−2

N2 0,1368×106 3,864×10−2

O2 0,1381×106 3,184×10−2

CO 0,1473×106 3,951×10−2

CO2 0,3658×106 4,286×10−2

CH4 0,2303×106 4,306×10−2

H2O 0,5542×106 3,051×10−2

NH3 0,4253×106 3,737×10−2

A equacao de van der Waals e denominada uma equacao de estado cubica porque esta reduz-se aum polinomio de terceiro grau no volume especıfico v. Ela serviu de modelo para outras equacoesque receberam termos adicionais com o intuito de melhor reproduzir valores medidos. Dentre estas,as mais utilizadas sao as equacoes de estado de Redlich-Kwong, de Soave e de Peng e Robinson.


Existe uma grande quantidade de dados disponıveis para o uso destas equacoes, como por exemplo,para a equacao de Peng e Robinson (Sander, 1999). Outras equacoes ainda mais completas saotambem disponıveis, como a equacao de Benedict, Webb e Rubin. Para uma analise do uso dasequacoes de estado e valores dos parametros, consultar Reid et al. (1986).

Fator de compressibilidade e estados correspondentes

O comportamento de gas perfeito e uma boa aproximacao para gases em baixa pressao. Paravalores elevados de pressao, o comportamento dos gases em geral apresentam desvios em relacaoao comportamento previsto pela equacao dos gases ideais. Uma forma de se quantificar estesdesvios e atraves do fator de compressibilidade Z, definido como

Z =pv

RgT(2.59)

A equacao de van der Waals pode ser reescrita em termos do fator de compressibilidade obtendo-se

Z3 + αZ2 + βZ + γ = 0 (2.60)

onde

α = −1− bp

RgT; β =

ap

(RgT )2; γ = − abp2

(RgT )3(2.61)

Outras equacoes de estado cubicas (como as citadas acima) podem ser escritas da mesma formageral, apenas os parametros α, β e γ terao valores diferentes. O fato de que diferentes equacoesquando aplicadas a diferentes substancias podem ser escritas da mesma forma geral sugere apossibilidade de uma generalizacao. Verificando a equacao de van der Waals aplicada ao pontocrıtico, obtem-se

Zc =pcvcRgTc

=3

8≃ 0, 375 (2.62)

Podemos entao escalonar as propriedades p, T e v usando os valores para o ponto crıtico, definindoas variaveis reduzidas

Tr =T

Tc; pr =

p

pc; vr =

v

vc(2.63)

Em termos das veriaveis reduzidas, a equacao de van der Waals torna-se

(

pr −3

v2r

)

(3vr − 1) = 8Tr (2.64)

Esta equacao sugere entao que todos os fluidos cujo comportamento pode ser modelado pelaequacao de van der Waals, podem ter o comportamento descrito em termos de variaveis reduzidaspor uma unica equacao somente, ou seja, pelo mesmo conjunto de curvas pr − vr − Tr. Do pontode vista molecular, isto implica em escolher parametros moleculares tıpicos que expressao as en-ergias potencial e cinetica media das moleculas como parametros de escalonamento. Por exemplo,a energia cinetica media e da ordem de kBT . A curva de energia potencial pode ser caracterizadaaproximadamente pelo valor do diametro molecular dm como parametro tıpico de comprimento ea energia no ponto de equilıbrio ∆Ep como parametro caracterıstico de energia potencial. Assim,pode-se escolher como escalas de pressao, temperatura e volume

p∗ =∆Ep

d3m; T ∗ =

∆Ep

kB; V ∗ =

NAd3m

M(2.65)

A escala T ∗ ja foi relacionada com a temperatura crıtica. Assim, as constantes crıticas reproduzemcaracterısticas moleculares tıpicas e portanto podem ser usadas na busca de um representacaogeneralizada. Esta representacao e denominada de modelo de estados correspondentes . Nota-seque os valores de ∆Ep e dm fixam a forma da curva de energia potencial desde que o potencialintermolecular para diferentes moleculas tenha a mesma natureza. Isto sugere que, embora o

2.3. O ESTADO LIQUIDO 39

modelo de estados correspondentes seja uma aproximacao interessante, ele dependera do tipo deinteracao entre moleculas e nao sera exatamente geral.

Observa-se que a equacao de van der Waals nao apresenta bons resultados para grande parte dassubstancias, Por exemplo, para o ponto crıtico van der Waals retorna Zc ≃ 0, 375 enquanto quepara a maioria das substancias este valor esta na faixa entre 0,23 a 0,31, como indica a Tabela5. Porem, a mesma forma de representacao em termos de propriedades reduzidas pode ser obtidacom equacoes de estado mais completas (Sander, 1999). A figura abaixo apresenta um diagramageneralizado para o fator de compressibilidade Z. Observa-se que Z → 1, ou seja, a substanciaaproxima-se do comportamento de gas ideal quando a pressao diminui e quando a temperaturaaumenta. Nas condicoes proximas a transicao para a fase lıquida o desvio do comportamento degas ideal amplia-se consideravelmente.

Observou-se, ao comparar com medicoes experimentais, que o valor de Zc varia para as substanciase que uma melhor generalizacao e possıvel quando este parametro e levado em consideracao. Assim,correlacoes na forma Z = Z(pr, Tr, Zc) tem sido obtido a partir de medicoes de pvT para variassubstancias e um comportamento medio generalizado tem sido observado. Outros parametrospodem tambem ser utilizados tambem alem de Zc. Um exemplo destes parametros e o fator de

acentricidade, definido como

ω = −1− log10

[

psat(Tr = 0, 7)

pc

]

(2.66)

onde psat(Tr = 0, 7) e a pressao de saturacao na temperatura reduzida Tr = 0, 7, a qual correspondeaproximadamente a temperatura de ebulicao a pressao atmosferica.

Com isto, a correlacao generalizada de estados correspondentes torna-se Z = Z(pr, Tr, ω). A Tabela5 mostra valores de ω para algumas substancias. Esta generalizacao procura levar em consideracaoas forcas intermoleculares nos estados correspondentes. Porem, mesmo estas generalizacoes naoresultam em bom desempenho para fluidos com moleculas polares, visto que a natureza dos dipolosou quadripolos ira modificar fortemente os valores das forcas intermoleculares, impedindo que umageneralizacao simples seja possıvel. Generalizacoes mais completas podem ser encontradas em Reidet al. (1986).

2.3 O estado lıquido

O estado lıquido apresenta uma certa estrutura, como nos solidos, e uma certa desordem, como nosgases. Pode ser considerado como um gas com menor mobilidade, e podemos tentar desenvolveruma equacao de estado para o lıquido. Ou entao, pode ser considerado como um solido com maiormobilidade. Ambas ideias conduzem a relacoes interessantes para a previsao do comportamentode lıquidos. Porem, as teorias mais exatas utilizam conceitos de ambos solidos e gases.

As posicoes medias das moleculas de um lıquido sao definidas em termos da funcao de distribuicao

radial . Esta funcao defini a probabilidade de se encontrar uma molecula a uma certa distancia rmedida a partir do centro de uma dada molecula. Os solidos cristalinos apresentam uma regulari-dade que se extende por bilhoes de moleculas (a menos de defeitos e flutuacoes de origem termica).Neste caso, diz que existe ordem de longo alcance. A funcao de distribuicao radial exibe picos bemdefinidos marcando a relativa certeza de encontrar atomos em posicoes bem definidas. Quando osolido se funde, a probabilidade de encontrar uma molecula a uma distancia grande da moleculaoriginal diminui, devido a maior mobilidade das moleculas. Porem, proximo a molecula original,alguma ordem ainda e mantida devido ao alcance de forcas intermoleculares. Neste caso, diz-se queexiste ordem de curto alcance. A agua, por exemplo, mantem uma ordem de curto alcance, devidoa formacao de pontes de hidrogenio, ate muito proximo a temperatura de ebulicao. Os movimen-tos exibidos na fase lıquida sao uma serie de deslocamentos curtos (uma fracao do diametro deuma molecula) em direcoes diferentes. Estes movimentos aleatorios sao tıpicos de difusao em faselıquida.


2.3.1 Equacao de estado

A compressibilidade isotermica e definida como

κ = − 1

V

(

∂V

∂p

)

T

(2.67)

Os lıquidos apresentam valores baixo de compressibilidade isotermica. Por exemplo, para a agua a1 atm, κ =4,6×10−10 Pa−1 e a variacao de volume da agua quando submetida a uma variacao depressao e muito pequena. Assim para as substancias nos estados solido e lıquido, quando submeti-dos a pressoes moderadas , usualmente assume-se que sua massa especıfica permanece constante.Desta forma, a equacao de estado pode ser simplificada para

ρ = constante (2.68)

Esta hipotese e equivalente a afirmar-se que a substancia e incompressıvel .Os lıquidos exibem energias superficiais que se manifestam macroscopicamente como a tensao

superficial .

Exemplo: Calcule a variacao percentual na massa especıfica da agua lıquida quando essa e sub-metida a uma variacao de pressao de 1 atm para 250 atm. Assuma que a compressibilidadeisotermica a 1 atm, κ =4,6×10−10 Pa−1, permanece constante.Solucao:

Da definicao de κ,dρ

ρ= κdp

Integrando de ρ = ρo a p = po = 1 atm ate ρ(p), assumindo κ =contante, tem-se∫ ρ

ρo

dρ

ρ= κ

∫ p

po

dp

ln

(

ρ

ρo

)

= κ(p− po)

ρ

ρo= exp[κ(p− po)]

Assumindo para efeito de estimativa que ρo = 1000 kg/m3, tem-se

ρ = 1000× exp[

4,6× 10−10(250− 1)101325]

= 1012kg /m3

Portanto, a massa especıfica apresenta uma variacao de apenas 1,2 %.

2.3.2 Equilıbrio lıquido-vapor

O equilıbrio lıquido vapor expressa as condicoes termodinamicas nas quais misturas de lıquido evapor da mesma substancia coexistem em equilıbrio.

Exemplo:A pressao de saturacao de substancias pode ser aproximada usando uma equacao de Antoine naforma (adaptado de Elliot e Lira, 2000),

ln [psat(Pa)] = a− b

T (K)− c

onde as constantes a,b e c sao ajustadas a fim de melhor reproduzir valores medidos. Para a aguae para o etanol, as constantes a,b e c sao dadas na tabela abaixo:

2.4. O ESTADO SOLIDO 41

a b cagua 23,4776 3984,923 39,724etanol 23,5718 3667,705 46,996

Mostre graficamente como a pressao de saturacao da agua e do etanol variam com a temperatura.Solucao:A figura abaixo mostra graficamente o valor da pressao de saturacao em kPa em funcao da tem-peratura apresentada em oC. Os valores de pressao sao apresentados em um eixo com escalalogaritmica.

Figura 2.4: Pressao de saturacao em kPa (1 kPa = 1000 Pa) em funcao da temperatura em oCpara agua e etanol utilizando a equacao de Antoine, representada em um grafico semi-log.

Observa-se que o etanol apresenta maior pressao de saturacao indicando o seu maior potencial deevaporacao em relacao a agua, quando colocado nas mesmas condicoes.

2.4 O estado solido

No estado solido as partıculas sao muito menos livres para se mover do que no estado gasoso.Podemos classificar os solidos em cristalinos e amorfos , dependendo da regularidade do arranjodos atomos.

2.4.1 Solidos cristalinos

As principais caracterısticas dos solidos com estrutura cristalina sao:

1. Existencia de ordem em distancias proximas e em distancias afastadas. As moleculas ouatomos estao arrumados em um arranjo regular que se repete ao longo do mesmo cristal.Estes arranjos sao chamados estruturas cristalinas. Existem varias estruturas, entre as quais:

• Cubica de corpo centrado (CCC), com numero de coordenacao r = 8, ou seja, existem8 vizinhos ligados em cada atomo, ex.: ferro, molibdenio, niobio, etc.;

• Cubica de face centrada (CFC), com numero de coordenacao r = 12, ex.: alumınio,cobre, ouro, prata, chumbo, etc.;

• Hexagonal compacto (HC), com numero de coordenacao r = 12, ex.: cadmium e zinco.

2. A energia e armazenada na forma de vibracoes dos atomos na rede cristalina. Quanto maiora temperatura, maior a amplitude de vibracao dos atomos. Se a energia entregue aos atomosfor maior que a energia da ligacao fısica com os vizinhos mais proximos, as ligacoes se rompeme o atomo e liberado da rede cristalina.


3. O calor latente de mudanca de fase tem relacao direta com a energia das ligacoes quımicas.Para a sublimacao de um solido, pode-se escrever

∆hsv =1

2NAr∆Ep (2.69)

onde o fator 2 ocorre para que cada ligacao nao seja tomada duas vezes. ∆hsv e o calorlatente de sublimacao por mol de substancia.

2.4.2 Solidos amorfos

Solidos amorfos nao apresentam ordem ao longo de distancias grandes. Eles se apresentam comouma estrutura lıquida super-resfriada. Existe pequena mobilidade dos atomos ou moleculas. Porexemplo, a viscosidade do vidro na temperatura ambiente e pode chegar a valores da ordem de1069 Pa-s. Solidos cristalinos podem sofrer transformacao de fase para amorfos com o aumento datemperatura, como no caso do polietileno e outros polımeros.

2.5 Referencias

1. Atkins, P., 2001, Fısico-Quımica - Fundamentos , 3a. edicao, LTC Editora.

2. Goodstein, D. L., 1985, States of matter , Dover Publications, New York.

3. Reid, R. C., Prausnitz, J. M. e Poling, B. E., 1986, The properties of gases and liquids , 4a.edicao, Mc-Graw-Hill, New York.

4. Sandler, S. I., 1999, Chemical and engineering thermodynamics , John Wiley, New York.

5. Tabor, D., 1995, Gases, liquids and solids and other states of matter , 3a. edicao, CambridgeUniversity Press, Cambridge.

6. Zemanski, M., 1968, Heat and Thermodynamics , McGraw-Hill.

2.6 Exercıcios

Ao final deste capıtulo, voce deve ser capaz de reponder as seguintes perguntas:

1. Como e armazenada a energia intena em moleculas nos estados gasoso, solido e lıquido?

2. Qual a relacao entre pressao, volume, temperatura e a energia cinetica media das moleculasde um gas ideal?

3. Como ocorre a propagacao de informacoes (perturbacoes em relacao ao equilıbrio) em umgas e em um solido?

1. Calcule a massa de gas oxigenio (O2) que ocupa um volume de 0,8 m3 na pressao de 20 atme temperatura 25oC?

2. Calcule o caminho livre molecular medio para o ar ambiente na pressao de 1 atm e temper-atura de 500 K. Voce poderia adotar hipoteses de meio contınuo para o escoamento do arnesta temperatura e pressao em uma fresta com 0,01 µm de espessura?

3. Calcule a velocidade media de moleculas de hidrogenio na temperatura de 1000 K e pressaode 0,01 atm.

2.7. NA WEB: 43

2.7 Na WEB:

1. Simulacao da distribuicao de Maxwell-Boltzmann: na teoria cinetica dos gases, desenvolve-sea distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann, a qual especifica a probabilidade de seencontrar uma molecula a uma dada velocidade.

Na pagina http://www.sas.upenn.edu/rappegroup/education/MB/mb.html, clique em ”Ap-plet ”, clique em ”Go”, especifique a temperatura do gas e o numero de moleculas utilizadona simulacao e clique ”Start”. Observe a distribuicao de velocidade e observe como a ve-locidade calculada para as moleculas (bolinhas) aproxima-se da previsao da distribuicao deMaxwell-Boltzmann.

Outra pagina: http://www.chm.davidson.edu/vce/kineticmoleculartheory/Maxwell.html

2. Outro programa, o qual voce pode instalar no seu computador, esta disponıvel aqui

http://www.physics.umd.edu/rgroups/ripe/perg/software/thermo.html

3. Biografias: Interessado na vida de Boltzmann e outros fısicos?

Acesse: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Boltzmann.html

2.8 Exercıcios

Problema 1: Unidades

Realize a conversao das unidades abaixo:

1000 cm3 m3

20 ft2 m2

80 km/h m/s

1 g/cm3 kg/m3

0,1 MPa Pa

25 atm Pa

Problema 2: Escalas

Dados da safra de cana de acucar de 2015 mostram que:

Area plantada 8995,5 mil hectaresProducao de cana de acucar 658,7 milhoes de toneladas

Producao de acucar 34,6 milhoes de toneladasProducao de etanol 29 bilhoes de litros

A energia contida em cada kg de etanol (o poder calorıfico) e 26, 95 MJ/kg e a sua densidade e789 kg/m3.

(a) Determine a energia total gerada em etanol no Brasil em mil tep no ano de 2014.

(b) Considerando que o consumo total de energia no setor de transporte em 2014 foi de 83312 miltep (Balanco Energetico Nacional, 2015), determine a fracao desse valor que foi consumidacomo etanol.

(c) Considere que o restante da energia consumida nos transportes deva ser gerada com etanol.Assuma que exista uma paridade de eficiencia energetica dos sistemas utilizados em trans-porte, seja com combustıvel fossil ou com etanol, e que o balanco energetico de producao dos


combustıveis seja igual. Assuma que quando a cana de acucar e utilizada integralmente paraproduzir etanol seja possıvel obter 80 litros de etanol por ton de cana de acucar. Determinea quantidade de area adicional em km2 que seria necessario para o plantio de cana de acucar.Mostre a dimensao desse valor em relacao a area do territorio do estado de Santa Catarina.

Use: 1 hectare = 10000 m2; 1 tep = 41,87 GJ; 1 milhao = 106; 1bilhao = 109.Respostas: (a) 14728 mil tep, (b) 18 % do total consumido em transporte.

Problema 3: Mecanica, integracao e unidades

Em um modelo de um corpo que se move em linha reta, assume-se que o corpo parte da posicaox = 0 no tempo t = 0 com uma velocidade inicial Vo = 1 m/s e que a sua velocidade sejaproporcional a distancia instantanea em relacao a linha de chegada que se situa na posicao L = 1m. Vamos denotar a posicao do corpo por X (m). A velocidade do corpo e dada por v = dX/dt(m/s). Como a velocidade e proporcional a L−X , podemos escrever:

dX

dt= Vo

(

1− X

L

)

Essa e uma equacao diferencial ordinaria, de primeira ordem, com coeficientes constantes. Assumaque o corpo tem massa m = 1 kg.

1. Integre a equacao da velocidade e encontre uma funcao para X(t), ou seja, a funcao quedescreve como a posicao do corpo varia com o tempo. Represente graficamente como secomporta a funcao X(t) (m). Em que instante de tempo o corpo atingira a posicao X = 1m?

2. A aceleracao do corpo e dada por a = dv/dt = d2X/dt2, ou seja, a derivada segunda daposicao em relacao ao tempo. Obtenha uma equacao para a aceleracao em funcao do tempoa(t). Represente graficamente como se comporta a funcao a(t). Qual a unidade de aceleracao?

3. Conforme descrito pela Segunda Lei de Newton, a reducao de velocidade observada ocorredevido ao somatorio de forcas aplicadas sobre o corpo. Considere que a forca resultanteaplicada sobre o corpo seja F = ma onde m (kg) e a massa do corpo. Obtenha uma equacaopara a forca aplicada sobre o corpo em funcao do tempo F (t). Qual e a direcao e sentidodessa forca? Represente graficamente como se comporta a funcao F (t). Qual a unidade deforca?

4. O trabalho executado sobre o corpo para ele realizar esse movimento entre x1 = 0 e x2 = Xe dado por

W =

∫ x2

x1

F dx. (2.70)

Obtenha uma equacao para o trabalho aplicado sobre o corpo em funcao do tempo W (t).Represente graficamente como se comporta a funcao W (t). Qual a unidade de trabalho?

5. A potencia gasta durante esse movimento e dada por P = dW/dt. Obtenha uma equacaopara a potencia em funcao do tempo P (t). Represente graficamente como se comporta afuncao P (t). Qual a unidade de potencia?

6. Realize a seguinte operacao:

I =

∫ 0.9

0

F v dt

O que representa o valor de I? Represente graficamente essa integral.

Problema 4:

Considere a seguinte afirmacao: ”Uma esfera de aco com 100 kg caindo de uma altura de 100 m,atinge o solo ao mesmo tempo que uma esfera de 1 kg caindo de uma altura de 1 m.” Ambas as

2.8. EXERCICIOS 45

esferas partem com velocidade nula e deslocam-se linearmente na direcao do solo sob a acao dagravidade.A fim de explicar essa afirmacao, poderıamos avancar, especulativamente, dois argumentos sobrea queda de corpos sob acao da gravidade:

• Proposicao 1: ”A velocidade do corpo em queda livre aumenta proporcionalmente a distanciapercorrida.”

• Proposicao 2: ”A velocidade do corpo em queda livre aumenta proporcionalmente ao tempodecorrido.”

(a) Estabeleca equacoes matematicas para a velocidade do corpo v a partir das proposicoes 1 e2.

(b) Relacione a velocidade v com o deslocamento x. Integre as equacoes e obtenha como a posicaodo corpo x varia com o tempo segundo as duas proposicoes.

(c) Utilize esses resultados para testar a afirmacao acima e verifique se ela e satisfeita por algumadas proposicoes. Discuta os seus resultados com base no seu conhecimento sobre a gravitacao.

Essa situacao foi de fato discutida por Galileo Galilei na sua obra ”Discursos e DemonstracoesMatematicas sobre Duas Novas Ciencias” de 1638. Nessa obra, escrita na forma de uma conversaentre tres personagens, que se passa durante um perıodo de 4 dias, Salviati defendia o ponto devista de Galileo, Simplicio defendia o ponto de vista Aristotelico e Sagredo julgava os argumentosde ambos. O debate acima ocorre no primeiro dia. Voce poderia identificar quais seriam os autoresdas proposicoes 1 e 2?

Problema 5:

Assista na internet o video ”Slow motion: crater formation by drop impact on sand” no endereco:https://www.youtube.com/watch?v=6swY05e2iT4Discuta: Qual a diferenca fundamental que distingue um fluido de um solido?

Capıtulo 3

Equilıbrio estatico em fluidos

“ Thought is subversive and revolutionary, destructive and terrible; thought is merciless toprivilege, established institutions, and comfortable habits. Thought is great and swift and free.“

Bertrand Russell, The basic writings of Bertrand Russel, 1961.

A estatica dos fluidos , que e o assunto deste capıtulo, trata da distribuicao de pressao em umfluido em repouso ou em movimento de corpo rıgido. Nesta situacao o fluido esta sujeito apenasas distribuicoes de tensoes normais como resultado das forcas de corpo e aceleracoes aplicadas. Oequilıbrio de forcas em um elemento diferencial do fluido fornece o que se denomina de equacao da

estatica dos fluidos .

3.1 Distribuicao de pressao em fluidos em repouso

Iniciaremos nosso estudo considerando uma situacao analisada originalmente por Pascal1 em umtrabalho publicado em 1663. Cada um dos recipientes mostrados na parte superior da Figura 3.1contem agua ate um nıvel h. No fundo de cada recipiente existe um orifıcio tampado por uma rolha.A experiencia conduzida por Pascal mostrou que, independentemente da forma do recipiente, aforca aplicada na rolha para manter o orifıcio fechado e a mesma para todos os recipientes. Emparticular, considere o recipiente mais a direita na figura. Este recipiente e formado por um tubomuito fino contendo um alargamento cilıdrico na base. Este alargamento e fechado por uma rolhade madeira que se encaixa com precisao no cilindro, de forma que uma folga uniforme existe entrea rolha e as paredes do cilindro, permitindo o deslizamento da rolha com baixo atrito, mas que epequena o suficiente para que nao haja um vazamento significativo atraves desta folga. Esta rolhae sustentada na direcao vertical por uma haste que passa internamente ao longo do recipiente e eligada a um dos bracos de uma balanca. No prato da balanca ligado ao braco oposto depositamosuma massa cujo peso deve contrabalancear exatamente a forca exercida pela agua contra a rolha.No experimento de Pascal, o recipiente foi preenchido com 0,4 kg de agua. Apos o repouso daagua, Pascal determinou que era necessario adicionar uma massa de 4,8 kg ao prato da balancapara manter a rolha em seu lugar. Entao, ele concluiu que a forca necessaria para manter a rolhano lugar nao e igual ao peso da massa de agua contida no reservatorio, pois, caso a massa de aguano reservatorio fosse congelada, mas nao ficasse aderida a parede do recipiente, permanecendocompletamente apoiada sobre a rolha, uma massa de 0,4 kg seria suficiente para manter a rolhaimovel sustentando o peso do bloco de gelo no interior do recipiente. Ainda, quando voltava aderreter, novamente uma massa de 4,8 kg era necessaria para manter a agua lıquida no interior dorecipiente. Pascal ainda notou que o mesmo permanecia verdadeiro nao importando a orientacaodo orifıcio, estivesse ele no fundo, ou nas laterais do recipiente proximo ao fundo. Veremos naanalise que segue, que a forca necessaria para manter a rolha no lugar e proporcional ao nıvel da

1Blaise Pascal (1623-1662), nascido em Clermont Ferrand no Auvergne, Franca, em 19 de junho de 1623. Em1663, Pascal publicou o livro intitulado Descricao do grande experimento relaconado ao equilıbrio de fluidos.

47

48 CAPITULO 3. EQUILIBRIO ESTATICO EM FLUIDOS

agua no recipiente. O nıvel da agua determina a pressao na superfıcie da rolha e esta determina aforca que o fluido exerce sobre a rolha.

Figura 3.1: Consideracoes de Pascal sobre hidrostatica (Blaise Pascal, Treatise on the Equilib-

rium of Liquids and Treatise on the Weight of the Mass of the Air , 1663). (Disponıvel em:http://www.iihr.uiowa.edu/about/iihr-archives/rare-book-collection/blaise-pascal/)

A fim de determinarmos a distribuicao de pressao em um fluido estatico e homogeneo, isolamosuma porcao de fluido, que denominaremos ume elemento macroscopico de fluido, e realizamos umbalanco das forcas aplicadas sobre ele. As forcas sao denominadas forcas de superfıcie quandosao aplicadas sobre as superfıcies do elemento e forcas de corpo quando aplicadas sobre a massade fluido no interior do elemento. A magnitude das forcas de superfıcie e proporcional a areasuperficial do elemento, enquanto que a magnitude das forcas de corpo, e proporcional a massa doelemento.A obtencao da equacao da estatica dos fluidos tambem e uma otima oportunidade de ilustrar-se aforma de se desenvolver balancos de forcas macroscopicos e a estrategia usada para se obter umaequacao microscopica a partir destes balancos. Esta mesma estrategia sera usada continuamentepara a obtencao das outras equacoes de conservacao. Uma vez que este desenvolvimento sejacompreendido, se tornara mais facil acompanhar as proximas derivacoes.

3.1.1 Equacao da estatica dos fluidos

Para um fluido em repouso, na ausencia de campos eletro-magneticos e longe de superfıcies, aSegunda Lei de Newton aplicada a um volume de controle no fluido reduz-se a um balanco entreforcas de superfıcie causadas pela pressao e a forca de corpo causada pela acao da gravidade, ouseja,

Forcas de pressao+ Forca de gravidade = 0. (3.1)

A expressao estabelece que existe um equilıbrio estatico de forcas de pressao e de gravidade apli-

3.1. DISTRIBUICAO DE PRESSAO EM FLUIDOS EM REPOUSO 49

cadas sobre o elemento de fluido. As forcas sao vetores e para fazermos o desenvolvimento dobalanco de forcas vale a pena representa-las em um diagrama de corpo livre.A Figura 3.1.1 mostra um copo contendo agua. Do interior da agua extraımos um elemento defluido que sera o foco da analise. Identificamos o elemento por uma linha tracejada e estabelecemosa orientacao dos eixos coordenados. A Figura 3.1.1 mostra uma secao bidimensional, paralela aoplano (x, z), de uma partıcula com forma cubica. O eixo z e escolhido como sendo paralelo ao vetoraceleracao da gravidade e apontado na direcao contraria. As dimensoes do elemento nas direcoes xe z sao, respectivamente, ∆x e ∆z. O eixo y entra na pagina e a espessura do elemento na direcaoy (nao mostrada) e ∆y. O volume do elemento de fluido e ∆V = ∆x∆y∆z. Aplicamos sobre oelemento as forcas com origem externa e, assim, obtemos o diagrama de corpo livre mostrado naFigura 3.1.1 .

g

Dz

Dx

x

z

Fp,3 Fp,4

Fp,1

Fp,2

Fg

Figura 3.2: Equilıbrio de forcas em um fluido em repouso.

A forca de gravidade, ou forca peso, atua na direcao do vetor aceleracao da gravidade e apresentamodulo

Fg = mg = ρg∆V = ρg∆x∆y∆z (3.2)

onde ρ e a massa especıfica media do fluido no elemento.As forcas de pressao atuam em cada face do elemento e apontam na direcao normal a face, de forapara dentro. Para cada uma das faces do volume de controle pode-se escrever

Fp,1 = p1∆x∆y

Fp,2 = p2∆x∆y

Fp,3 = p3∆y∆z

Fp,4 = p4∆y∆z (3.3)

Aplicando um balanco de forcas na direcao x, obtem-se

Fp,3 − Fp,4 = 0

p3∆y∆z − p4∆y∆z = 0, (3.4)

ou seja,p3 = p4. (3.5)

Esse resultado indica que a pressao e uniforme ao longo de uma superfıcie que e localmente normalao vetor aceleracao da gravidade, como e o caso da superfıce xy. Esse resultado bastante impor-tante explica porque a superfıcie livre de um fluido (na superfıcie da Terra) sempre adquire umaorientacao horizontal quando em repouso, excluindo os efeitos de tensao superficial.


Fazendo agora o balanco de forcas na direcao z obtem-se

Fp,1 − Fp,2 − Fg = 0

p1∆x∆y − p2∆x∆y − ρg∆x∆y∆z = 0, (3.6)

ou, ainda,

p1 = p2 + ρg∆z. (3.7)

Esse resultado indica que a pressao na face inferior da partıcula p1 e igual a pressao na face superiorp2 adicionada ao peso da partıcula Fg = ρg∆x∆y∆z dividido pela area ∆x∆y.Ainda, dividindo todos os termos da Eq. (5.72) por ∆V = ∆x∆y∆z, tem-se

−p2 − p1∆z

− ρg = 0 (3.8)

Esta equacao expressa um balanco macroscopico de forcas por unidade de volume. O primeirotermo, e o balanco entre forcas de pressao nas duas faces normais ao eixo z expresso por unidadede volume. O segundo termo, e a forca devido a acao da gravidade na direcao z, a forca peso,expressa por unidade de volume. O sinal negativo neste termo e resultado da escolha da orientacaodo eixo z em relacao a orientacao do vetor aceleracao da gravidade (g = −gk).Observa-se que existe uma certa dificuldade na obtencao da massa especıfica que aparece no balancomacroscopico. Esta deve ser um valor medio para o elemento de fluido, mas a obtencao de umvalor medio subentende que se conhece a sua variacao ao longo do elemento. Devemos ser capazesde calcula-la pelo menos em alguns pontos e para isto precisamos conhecer a pressao e a temper-atura nestes pontos. O balanco macroscopico nao permite calcular a pressao em todos os pontosno elemento, mas somente os valores medios nas suas superfıcies. Dependendo da dimensao doelemento, a massa especıfica pode variar fortemente e esta variacao pode nao ser linear.A fim de resolver este problema de indeterminacao do valor da pressao e, por consequencia, damassa especıfica local, e necessario buscar uma formulacao para o balanco de forcas que seja validaem cada ponto no fluido. Deseja-se obter um balanco microscopico, ou, diferencial . Para que istoseja possıvel, deve-se admitir:

1. O meio e contınuo, ou seja, a menor dimensao de analise de interesse deve conter um numerosuficientemente grande de moleculas, conforme discutido no capıtulo 2. Com isto, assume-seque o fluido deforma-se continuamente no espaco.

2. As variaveis de interesse sao funcoes de campo, ou seja, sao definidas em cada ponto (x, y, z)no tempo t. Pode-se indicar este comportamento por ρ = ρ(x, y, z, t) e p = p(x, y, z, t).

3. As variaveis sao funcoes contınuas, ou seja, os graficos das funcoes nao apresentam pontas ouburacos (a continuidade requerida, no sentido matematico, inclui ate a derivada segunda).

Para obter o balanco microscopico, torna-se a dimensao do elemento de fluido infinitesimal, ou seja,o elemento de fluido macroscopico e encolhido para se tornar um elemento de fluido microscopico.Para isso, determina-se o limite da equacao de balanco macroscopica quando ∆z tende a 0, ouseja,

− lim∆z→0

(

p2 − p1∆z

)

− lim∆z→0

(ρg) = 0 (3.9)

O primeiro termo, e a propria definicao de derivada, ou seja, tem-se a equivalencia de notacao

lim∆z→0

p2 − p1∆z

≡ ∂p

∂z(3.10)

O segundo termo, nao depende explicitamente do valor de ∆z e, assim,

lim∆z→0

(ρg) = ρg (3.11)


Portanto, com essa estrategia obtem-se

−∂p∂z

− ρg = 0 (3.12)

Esta expressao define um balanco de forcas em um elemento de fluido que e feita tao pequenaquanto se queira. O primeiro termo do lado esquerdo representa o balanco de forca de superfıciedevido a pressao, por unidade de volume do fluido, na direcao z e o segundo termo representa aforca de corpo devido a gravidade, por unidade de volume do fluido, na direcao z. Nota-se que estaestrategia de escrever a equacao de balanco por unidade de volume sera empregada constantemente.Analogamente, para as outras direcoes pode-se escrever

− ∂p

∂x= 0

−∂p∂y

= 0 (3.13)

Observa-se das equacoes acima que a pressao varia somente com a coordenada z, ou seja, p = p(z).Assim, o balanco de forcas na direcao z pode ser expresso por

−dpdz

− ρg = 0 (3.14)

A equacao (3.14) e normalmente conhecida como a equacao da estatica dos fluidos . Mais tardeuma notacao vetorial sera empregada para se expressar esta equacao de forma mais generica, emqualquer sistema de coordenadas ortogonal.

3.1.2 Aplicacoes

Integracao da equacao da estatica dos fluidos

Consideremos que um fluido possua pressao p(z = 0) = po e deseja-se conhecer a pressao p(z = h),conforme mostrado na Figura 3.1.2.

g

p

z

p(z = h) p(z = 0)

z = h

z = 0

Figura 3.3: Distribuicao de pressao em um fluido em repouso (estatico).

A integracao da equacao da estatica dos fluidos depende agora de como as variaveis ρ e g variam comz. Aqui, assumiremos que g seja essencialmente constante, o que se constitui em uma boa hipotesea menos de variacoes muito grandes de altitude. Com relacao a massa especıfica ρ, inicialmenteconsideraremos as seguintes situacoes gerais bastante comuns:

1. A densidade do fluido varia com a pressao: Este e o caso tıpico, por exemplo, quando o fluidoe um gas. Integrando equacao da estatica dos fluidos, obtem-se

∫ p

po

dp

ρ= −

∫ h

0

gdz


∫ p

po

dp

ρ= −gh (3.15)

onde a solucao da integral depende da equacao de estado ρ = ρ(p, T ) para o fluido.

2. A densidade do fluido e uma funcao da posicao z: Isto ocorre, por exemplo, quando existeestratificacao, ou seja, quando existe uma variacao de temperatura ou composicao do fluidovariando espacialmente a sua massa especıfica. Integrando equacao da estatica dos fluidos,obtem-se

∫ p

po

dp = −∫ h

0

ρgdz

p− po = −g∫ h

0

ρdz (3.16)

onde a solucao da integral depende da funcao que descreve a variacao de ρ com z.

Podemos ainda identificar dois casos particulares de importancia para nos:

1. O fluido e incompressıvel , ou seja, sua densidade nao varia com a pressao: Da Eq.(3.16),obtem-se

p = po − ρgh (3.17)

2. O fluido possui comportamento de gas ideal e encontra-se isotermico na temperatura T : Aequacao de estado para um gas ideal e p = ρRgT , onde Rg = Ru/Mg, e da Eq.(3.15) tem-se

p = po exp

( −gRgT

h

)

(3.18)

Este ultimo caso representa uma aproximacao para a pressao atmosferica sob a limitacao de tem-peratura uniforme. Na realidade, a atmosfera nao possui temperatura uniforme.Outras expressoes matematicas sao obtidas quando outras hipoteses sao assumidas acerca davariacao da massa especıfica ρ com a direcao z. Exemplos de estratificacao sao a variacao da massaespecıfica da agua dos oceanos como funcao da variacao de salinidade entre as regioes proximas asuperfıcie e proximas ao fundo e a variacao de massa especıfica em um fluido contendo um materialparticulado que sofre decantacao. Outro exemplo interessante sao as variacoes de massa especıficadevido a diferencas de temperatura no fluido, causando um escoamento com transferencia de calordenominado de conveccao natural ou conveccao livre.

Pressoes absoluta e manometrica - A pressao atmosferica

A invencao do barometro de mercurio e atribuıda a Evangelista Torricelli em 1643. Na sua formamais basica, um barometro pode ser construıdo com um recipiente contendo mercurio e um tubotransparente de secao transversal circular. O tubo e inicialmente preenchido ate transbordar porsua extremidade aberta superior. Em seguida esta extremidade e tapada e a outra extremidadedo tubo (ainda aberta) e emborcada dentro do recipiente que tambem contem mercurio, comoilustrado na figura ??.Esta coluna de mercurio se desloca para baixo originando uma regiao com vapor de mercurio, naextremidade superior fechada, com valor de pressao igual a pressao de saturacao do mercurio natemperatura do ambiente. Esta pressao e psat(T ) = 0, 173Pa na temperatura de 20C. Assumindoque o mercurio se comporte como um fluido incompressıvel (o que e uma excelente hipotese) commassa especıfica ρ, a aplicacao da equacao da estatica dos fluidos entre a superfıcie livre a pressaoatmosferica patm e a superfıcie do mercurio dentro do tubo a psat(T ) resulta em

p = po − ρgh⇒ psat = patm − ρgh (3.19)

Digamos que este experimento seja realizado ao nıvel do mar e que, apos a estabilizacao da altura dacoluna, obtenha-se h = 760 mm. Rearranjando a equacao e considerando que a massa especıfica do


h

fluido manométrico:mercúrio

d

patm

gpsat(T)

Figura 3.4: Barometro de Torricelli.

mercurio a 20oC e aproximadamente ρ = 13600 kg/m3 e que o modulo da aceleracao da gravidadeao nıvel do mar e g = 9, 81 m2/s, tem-se

patm = psat + ρ g h ≃ 0, 173 + 13600× 9, 81× 0, 76 = 101325 Pa

Portanto, nestas condicoes a pressao atmosferica teria o valor de 101325 Pa. Na realidade, o valorde fato medido depende da posicao na superfıcie da terra (latitude e longitude) e depende muitodas condicoes atmosfericas locais, podendo variar em milhares de Pa entre dias chuvosos e diasensolarados. No entanto, adota-se o valor 101325 Pa para a pressao atmosferica padrao ao nıvel

do mar (1 atm = 101325 Pa).Aparelhos como o barometro de Torricelli indicam a pressao absoluta em um determinado local. No

caso de se adotar uma outra escala, na qual a origem corresponda ao valor da pressao atmosfericalocal, a pressao indicada nesta nova escala e chamada de pressao manometrica. Como exemplo,considere a expressao para a pressao determinada para um fluido incompressıvel cuja pressao nonıvel z = zo e po,

p = po − ρgh

Quando po representa uma pressao absoluta, esta equacao fornece a pressao absoluta do flu-ido, ou seja, a pressao do fluido medida em relacao a condicao de vacuo absoluto. A pressao

manometrica e a pressao do fluido medida em relacao a pressao da atmosfera no local. Assim, apressao manometrica equivalente a pressao absoluta dada acima e

pman = p− patm = (po − ρgh)− patm = (po − patm)− ρgh (3.20)

Muitos equipamentos de medicao de pressao (como os manometros tipo Bourdon, por exemplo)indicam a pressao manometrica.

Variacao de pressao em tubos conectados

Existem diversos tipos de sistemas de medicao de pressao. Os tipos mais comuns de manometrossao o manometro de tubo em U, o manometro de bourdon e os transdutores de pressao diferencial ouabsoluta capacitivos, usando extensometros ou piezo-eletricos (estes ultimos usados para medicaode pressoes que variam com o tempo).De fabricacao extremamente simples, o manometro de tubo em U indica a diferenca de pressaoentre as duas extremidades do tubo. Quando uma extremidade e aberta a atmosfera, ele indica adiferenca de pressao em relacao a pressao barometrica local.Considere um manometro em U com uma das extremidades conectada a uma tubulacao trans-portando ar e a outra aberta para a atmosfera, conforme mostrado na Figura ??. Nesta figura


mostra-se uma possıvel montagem do manometro, munido de duas valvulas de bloqueio: umaseparando o manometro do fluido no interior da tubulacao e outra separando o manometro do aratmosferico.

h/2

h/2h

tubulação

d

a

nível de equilíbrioinicial

tubulação

fluido manométrico

d

válvulafechada

(a) (b)

deslocamento final dofluido manométrico

válvulaaberta

pApatm

pA

patm

gextremidadesabertas

válvulafechada

Figura 3.5: Aplicacao de manometros de tubo em U.

Na Figura 3.5(a), mostra-se a situacao inicial na qual o manometro esta conectado a tubulacao, masainda nao em contato com o fluido que escoa no interior dela. Nesta condicao, as extremidades domanometro estao abertas a atmosfera. Ambas as superfıcies do fluido manometrico encontram-sea mesma pressao e, portanto, estao em um mesmo nıvel. Esta posicao encontra-se a uma distanciaa(m) abaixo da linha de centro da tubulacao e e denominada de nıvel de equilıbrio de referencia.Agora a valvula que conecta a extremidade do lado esquerdo a atmosfera e fechada e a valvula queconecta com o fluido no interior da tubulacao e aberta. O fluido manometrico ira se deslocar e,apos um perıodo de escoamento, atingira a posicao de equilıbrio mostrada na Figura 3.5(b). Nestacondicao, o fluido manometrico esta estacionario e as duas superfıcies apresentam um desnıvelrelativo h(m), o qual e cuidadosamente medido. Neste caso, na extremidade do manometro abertaa atmosfera, a superfıcie do fluido manometrico encontra-se a pressao barometrica local. A outrasuperfıcie, porem, encontra-se a uma pressao diferente. Para relacionar a pressao no interior datubulacao com o desnıvel h(m) marcado pelo manometro, aplica-se a equacao da estatica dosfluidos.Nesta analise, assumiremos que, nas pressoes tıpicas do manometro, ambos os fluidos possam serconsiderados incompressıveis. Na figura 3.1.2 mostra-se novamente a situacao de equilıbrio finalpara a qual alguns pontos foram identificados por numeros de 1 a 5. Nesta analise, obteremosa pressao em cada um destes pontos atraves da aplicacao sucessiva da equacao da estatica dosfluidos.O fluido no interior da tubulacao possui massa especıfica ρ(kg/m3) e o fluido manometrico possuimassa especıfica ρm(kg/m3). A aceleracao da gravidade e g(m/s2) e a pressao atmosferica epatm(Pa). Da equacao da estatica dos fluidos obtem-se

p1 − p2 = 0

p2 − p3 = −ρg(a+ h/2)

p3 − p4 = 0

p4 − p5 = ρmgh

Somando-se algebricamente os lados esquerdo e direito do sistema de equacoes acima, obtem-se

p1 − p5 = −ρg(a+ h/2) + ρmgh


a

h/2

h/2h nível de equilíbriode referência

tubulação

fluido manométrico

d

pA

patm

g

3 4

5

1 2

Figura 3.6: Determinacao da pressao com manometro de tubo em U.

Nota-se que p1 = pA e p5 = patm. Assim, tem-se

pA = patm − ρg(a+ h/2) + ρmgh

Quando ρm ≫ ρ, e considerando que a nao e um valor muito grande, nota-se que o primeiro termoe muito menor que o segundo e poderia ser negligenciado. Nesse caso terıamos pA ≃ patm + ρmgh.Outra forma de se obter o mesmo resultado consiste em partir da constatacao de que p3 = p4.Formulando o valor de p3, atraves da aplicacao da equacao da estatica dos fluidos no lado esquerdodo manometro, tem-se

p3 = pA + ρg(a+ h/2)

Analogamente, formulando para p4 no lado direito do manometro tem-se

p4 = patm + ρmgh

Assim, sendo p3 = p4, obtem-se

p3 = pA + ρg(a+ h/2) ≡ p4 = patm + ρmgh

ou,

pA = patm − ρg(a+ h/2) + ρmgh

Ambas as formas de obter-se o resultado final podem ser aplicadas. Porem, quando voce sente quetem ainda pouca experiencia no assunto, sugere-se a primeira forma.Em sıntese, ao resolver probemas de obtencao da pressao em um ou mais fluidos incompressıveisdentro de tubos conectados, sugere-se:

1. Coloque um ponto de referencia em cada interface entre dois fluidos diferentes.

2. Formule as variacoes de pressao entre os pontos de referencia.

3. Some as variacoes de pressao.

Os exercıcios ao final do capıtulo visam praticar este tipo de aplicacao.As pressoes estaticas em um fluido em escoamento em uma tubulacao podem ser obtidas exatamentedesta forma, como sera visto mais tarde. Ainda, as distribuicoes de pressao assim determinadassao utilizadas para se obter distribuicoes de forcas sobre uma superfıcie e as forcas de flutuacao,que serao abordadas a seguir.


3.1.3 Generalizacao

Nesta secao, visa-se desenvolver uma equacao mais geral para o balanco de forcas em um fluidoestatico, utilizando o que se convenciona chamar de formulacao integral , ou, balanco macroscopico.Um fluido e considerado estatico na ausencia de taxa de deformacao. Para uma situacao ainda maisrestritiva, qual seja, a ausencia de movimento do fluido (vetor velocidade do fluido u(x, y, z, t) = 0),ausencia de interfaces e quando a unica forca de corpo e a forca gravitacional, a conservacao daquantidade de movimento linear do fluido em um volume de controle com volume V reduz-se a umbalanco entre forcas de superfıcie causadas pela pressao e a forca de corpo causada pela acao dagravidade, ou seja,

Forcas de pressao+ Forca de gravidade = 0.

Dito de outra forma, existe um equilıbrio de forcas de pressao e de gravidade no elemento macroscopico,ou volume de controle, de fluido. A pressao exerce uma forca de superfıcie no volume de controle,enquanto que a aceleracao da gravidade exerce uma forca de corpo. Matematicamente, escreve-se

−∫

A

pndA+

∫

V

ρgdV = 0 (3.21)

onde p e a pressao exercida sobre a superfıcie de controle com area superficial A, ou seja, estaapontada na direcao de fora para dentro do volume de controle, n e o vetor normal a area, apontadona direcao de dentro para fora do volume de controle, e g e o vetor aceleracao da gravidade nolocal. Observe que pressao×area e equivalente a forca. A integral da pressao na area fornece aforca causada pela pressao sobre a superfıcie do volume de controle. Esta forca possui a mesmaorientacao do vetor normal n. A integral de volume da densidade multiplicada pela aceleracao dagravidade fornece o peso do fluido dentro do volume de controle. Esta forca peso esta apontadana direcao do vetor g. A Eq. (3.21) e valida para um elemento qualquer de fluido, qualquer queseja a sua dimensao. Denominaremos esta equacao de formulacao integral .Agora, tomaremos a Eq.(3.21), dividiremos pelo volume do elemento de fluido ∆V e obteremos olimite quando este elemento torna-se muito pequeno, sem, no entanto, violar a hipotese do contınuo.Matematicamente,

− lim∆V→0

∫

ApndA

∆V= −∇p ; lim

∆V→0

∫

VρgdV

∆V= ρg (3.22)

Assim, pode-se escrever−∇p+ ρg = 0 (3.23)

Em coordenadas cartesianas, o vetor gradiente da pressao equivale a

∇p = ∂p

∂xi+

∂p

∂yj+

∂p

∂zk (3.24)

onde i, j e k sao os vetores unitarios nas direcoes x, y e z e ∂p/∂x e a derivada parcial da pressaocom a coordenada x, a qual retem o significado usual da derivada, ou seja,

∂p

∂x= lim

∆x→0

px+∆x − px∆x

(3.25)

A Eq.(3.23) e denominada formulacao diferencial . Note que esta, assim como a formulacao integral,e tambem uma equacao vetorial e tem, portanto, tres componentes. Para o caso tıpico onde x e yacompanham a superfıcie da terra e z aponta para cima, o vetor aceleracao da gravidade torna-seg = −gk, e as tres componentes da Eq.(3.23) tornam-se:

− ∂p

∂x= 0 (3.26)

−∂p∂y

= 0 (3.27)

−∂p∂z

− ρg = 0 (3.28)

Estas equacoes sao as mesmas obtidas anteriormente.


3.1.4 Exercıcios

Problema 1:Ao final desta secao, voce deve ser capaz de definir e expressar matematicamente:

1. Forca de superfıcie e forca de corpo;

2. Forca de superfıcie devido a pressao;

3. Forca de corpo devido a gravidade;

4. Fluido incompressıvel;

5. Pressao absoluta e pressao manometrica;

6. Equilıbrio de forca em um fluido estatico.

Problema 2:Considere o volume de controle bidimensional no plano x-y com lados a e b. Mostre que a igualdade

lim∆V→0

−∫

ApndA

∆V= −∇p

e correta. (Problema difıcil. Tente se voce quiser obter um conhecimento maior dos aspectosmatematicos envolvidos nas derivacoes).

Figura 3.7: Problema 2

Problema 3:Mostre que para um gas perfeito isotermico a pressao em uma altura h em relacao ao nıvel zero e

p = po exp

( −gRgT

h

)

onde po e a pressao em z = 0, T e a temperatura do gas, g e o modulo da aceleracao da gravidadee Rg = Ru/M e a constante universal para o gas com massa molar M .Problema 4:Obtenha a distribuicao da pressao em funcao da altura h para um gas perfeito cuja temperaturavaria com a altura z segundo

T = A+B z

onde A e B sao constantes diferentes de zero e z aponta na direcao contraria a aceleracao dagravidade.Problema 5:Um tubo em U tem as duas extermidades abertas para a atmosfera, conforme mostrado na figuraabaixo. O tubo e preenchido com agua (massa especıfica ρl = 1000 kg/m3) e com mercurio (massaespecıfica ρHg = 13500 kg/m3). Na situacao de equilıbrio estatico, determine a altura h2(m)quando h1 = 1 m.


d

h2

gpatm

h1

água

aberto à atmosfera

mercúrio

Figura 3.8: Problema 5.

Resposta Pr.5 : ρlh1 = ρHgh2 ⇒ h2 = ρl/ρHg.

Problema 6:Calcule a pressao manometrica na tubulacao A, pA, quando ∆h = 10 cm, h1 = 20 cm e h2 = 300cm. Assuma os fluidos incompressıveis com densidades ρa = 1, 5 kg/m3 (ar), ρl = 1000 kg/m3

(agua) e ρHg = 13500 kg/m3 (mercurio). O manometro esta aberto para a atmosfera.

Dh

tubulação

dh2

fluido manométrico(mercúrio)

pAar

g

patm

h1

água

aberto à atmosfera


Resposta Pr.6 :

pA = patm + (ρHg∆h− ρah2 − ρlh1) g.

Problema 7:Um tanque fechado e pressurizado no topo na pressao pA (Pa). O tanque contem oleo ate um nıvelh1 = 2 m. Um manometro e instalado na posicao mostrada, sendo h2 = 0,4 m, h3 = 1 m e h4 =


0,8 m. Assuma que a pressao atmosferica e patm = 101325 Pa, a aceleracao da gravidade apontapara baixo e tem modulo g = 9,8 m/s2 e que os fluidos sao incompressıveis com densidades ρo =850 kg/m3 (oleo) e ρa = 1000 kg/m3 (agua).

1. Calcule a pressao absoluta no topo do tanque pA (Pa).

2. Obtenha uma expressao para a distribuicao de pressao manometrica p(z) (man.) ao longoda parede vertical do lado esquerdo do tanque.

d

h2

óleo

g

patm

h1água

aberto à atmosfera

h4

h3

pA

p(z)ar


Resposta Pr.7 :

1. pA = patm + ρagh4 − ρog (h2 + h3) .

2. p(z) = pA + ρgz, 0 ≤ z ≤ h1.

Problema 8:

A figura abaixo mostra dois tubos transportando agua conectados atraves de um manometro em Ufeito com um tubo com diametro constante. Antes da conexao do manometro, o nıvel de equilıbrioestava a uma altura a = 1 m em relacao ao nıvel dos tubos. Para as situacoes mostradas abaixonas figuras (a) e (b), calcule a diferenca de pressao entre os tubos A e B se o desnıvel anotado eh = 20 cm. Utilize: ρℓ = 1000 kg/m3 (agua) e ρm = 13000 kg/m3 (mercurio). A aceleracao dagravidade e g = 9, 81 m/s2 e θ = 60o.

Resposta Pr.8 :

(a) : pA − pB = (ρm − ρl) gh

(b) : pA − pB = (ρm − ρl) ghsenθ

Problema 9:

Um tanque de aco inox com diametro D = 10 cm e munido de um visor de nıvel (externo) na formade um tubo de vidro com diametro d = 1 cm. Na situacao (a), este tanque e preenchido com aguaate um nıvel de equilıbrio de referencia, o qual e anotado na superfıcie do visor de nıvel. Entao, nasituacao (b), o tanque e alimentado lentamente com com uma certa massa de um oleo mineral comdensidade ρo = 800 kg/m3 (oleo). Apos atingir-se a nova situacao de equilıbrio, o nıvel final daagua no visor de nıvel esta a uma altura ∆h = 25 cm do nıvel de equilıbrio de referencia. Ambos otanque e o visor permanecem abertos a atmosfera e o oleo nao se mistura com a agua. Determinea massa de oleo adicionada ao tanque. Dados: ρa = 1000 kg/m3 (agua), g = 9, 81 m/s2(aceleracaoda gravidade), patm = 101325 Pa (pressao atmosferica).


h

tubulação

da

nível de equilíbriode referência

fluido manométrico


pA

g

pB

q

d

h/2

h/2h

tubulação

d

a


fluido manométricodeslocamento final dofluido manométrico

pA

g

pB

Situação (a) Situação (b)


Resposta Pr.9 :

mo = ρoπD2

4ho, ho =

ρm∆h

ρo

(

1 +d2

D2

)

Problema 10

A figura abaixo mostra um micromanometro feito com um reservatorio vertical com diametro d1= 40 mm conectado a um tubo inclinado em um angulo θ = 60o com diametro d2 = 16 mm. Essemanometro, que contem agua como fluido manometrico com massa especıfica ρm = 1000 kg/m3 ,e utilizado para medir a diferenca de pressao entre os pontos A e B em duas tubulacoes paralelas,nas quais escoa oleo com massa especıfica ρo = 800 kg/m3. A tubulacao do manometro acimado fluido manometrico e preenchida com oleo e nao ha a presenca de bolhas de ar. Quando omanometro esta aberto a atmosfera, o nıvel de referencia inicial situa-se a uma distancia a = 60cm do ponto A. Apos a conexao as tubulacoes, o manometro passa a acusar um deslocamento deL = 15 cm no tubo inclinado.

(a) Determine a diferenca de pressao entre os pontos A e B, ∆p = pA − pB (Pa).

(b) Definimos a sensibilidade do manometro como

S =dL

d∆p

Obtenha uma expressao para a sensibilidade S. Determine S para os valores fornecidos.

Utilize g = 9,8 m/s2 para a aceleracao da gravidade.Resposta Pr.10 :

(a)

∆p = pA − pB = (ρm − ρo) g

(

d22d21

+ senθ

)

L

Usando os valores fornecidos tem-se pA − pB = 52,47 Pa.

3.2. FORCAS E MOMENTOS EM SUPERFICIES 61

Dh

d

g

patm

água

aberto à atmosfera


d

água

aberto à atmosfera

D D

(a) Antes da adicão de óleo (b) Tanque com óleo

óleo

ar

ar


(b)

S =dL

d∆p=

1

(ρm − ρo) g

(

d22d21

+ senθ

)

A sensibilidade aumenta com a reducao de ρm − ρo, d2/d1 e θ. Usando os valores fornecidos, S =0,5 mm/Pa.

Problema 11:A figura abaixo mostra um micromanometro feito com um tubo vertical com diametro D = 3cm conectado a outro tubo inclinado em um angulo θ = 45o com diametro d = 9 mm. Estemanometro, que contem alcool como fluido manometrico com massa especıfica ρm = 850 kg/m3, eutilizado para medir a diferenca de pressao entre os pontos A e B da tubulacao inclinada, na qualescoa ar com massa especıfica ρa = 1,5 kg/m3. A tubulacao e inclinada em um angulo θ = 30o eos pontos A e B sao separados por uma distancia h = 20 cm. Quando o manometro esta abertoa atmosfera, o nıvel de referencia inicial situa-se a uma distancia a = 40 cm do ponto A. Aposa conexao a tubulacao, o manometro passa a acusar um deslocamento de L = 10 cm no tuboinclinado. Determine a diferenca de pressao entre os pontos A e B, pA − pB (Pa). Utilize g = 9,8m/s2 para a aceleracao da gravidade.Resposta Pr.11 :

pA − pB = ρgh+ (ρm − ρ) g

(

d2

D2+ senθ

)

L

3.2 Forcas e momentos em superfıcies

Frequentemente e importante calcular a forca que um fluido exerce sobre uma superfıcie em contatocom este. Em muitas aplicacoes o fluido se encontra em escoamento e as forcas desenvolvidas sobreuma superfıcie que atua como fronteira do escoamento determinam a magnitude e direcao dosesforcos que o fluido exerce e tambem, quando a superfıcie pode se movimentar, a resposta dasuperfıcie ao fluido em escoamento. Esta e a situacao, por exemplo, da superfıcie da asa de uma


L

tubulação

a


fluido manométrico


pA

g

pB

q

d1

d2

fluido presentena tubulação


aeronave, na qual a resultante das forcas aplicadas pelo fluido determinarao, entre outros aspectos,a magnitude da massa total que pode ser sustentada pela asa. Nesta secao, desenvolve-se umaaplicacao mais restrita deste tipo de calculo pois se considera que o fluido esteja em repouso.Neste caso, o campo de tensoes no fluido em contato com a superfıcie se resume a um campo depressao estatica. A forca resultante sera obtida atraves de uma integracao das forcas de pressaoexercidas sobre a area de contato entre o fluido e a superfıcie de interesse. O calculo desta forcapossui relevancia em aplicacoes de equilıbrio estatico em superfıcies submersas, como em barragense comportas, e na flutuacao e estabilidade de corpos flutuantes. O calculo destas forcas e umaaplicacao direta da equacao da estatica dos fluidos. Este calculo tambem ilustra a aplicacao docaso mais geral de integracao de um campo de tensoes ao longo de uma superfıcie.

3.2.1 Distribuicao de pressao em um fluido estatico

Inicialmente, integraremos novamente a equacao da estatica dos fluidos no sistema de coordenadasde interesse. Considere um fluido estatico com densidade ρ e definiremos um sistema de coorde-nadas cartesianas posicionado na superfıcie do fluido de forma que x e y acompanham a superfıciedo fluido e z aponta para baixo, na direcao do vetor aceleracao da gravidade g. Neste sistema,g =gk, e as tres componentes da equacao da estatica dos fluidos tornam-se:

− ∂p

∂x= 0 (3.29)

−∂p∂y

= 0 (3.30)

−∂p∂z

+ ρg = 0 (3.31)

A integracao das Eqs.(3.29) e (3.30) fornece

pe uniforme ao longo de x

pe uniforme ao longo de y

ou seja, para um fluido estatico a pressao nao varia em um plano que e normal ao vetor aceleracaoda gravidade.



Para a integracao da equacao na direcao z, considere que o fluido e incompressıvel , ou seja, suadensidade nao varia com a pressao, possui pressao po na coordenada z = 0 e deseja-se conhecer apressao p na coordenada z. Para este caso,

dp = ρgdz

∫ p

po

dp =

∫ z

0

ρgdz

p− po = gρ

∫ z

0

dz

p = po + ρgz (3.32)

Note que a pressao e uma funcao linear de z.

3.2.2 Forcas em superfıcies submersas planas

Considere a superfıcie com areaA imersa em um fluido conforme mostra a Figura 3.2.2. A superfıcietem a forma de um retangulo com largura w, altura h e faces alinhadas com os eixos y e z. Aaresta superior do retangulo esta posicionada em uma profundidade zo.Para o calculo da forca aplicada, a superfıcie e dividida em N elementos de area com largura w eespessura ∆z′. A distribuicao de pressao e linear com z′ e nao depende das coordenadas x e y. Apressao em cada elemento de area com centroide posicionado na posicao z′i sera aproximada comouniforme e com valor pi. A forca aplicada pelo fluido no elemento de area i torna-se

∆Fp,i = pi∆A = piw∆z′ (3.33)

A forca total aplicada pelo fluido e portanto

Fp,i−N =

N∑

i=1

∆Fp,i =

N∑

i=1

piw∆z′ (3.34)

Quando o numero de volumes de controle N torna-se muito grande (N → ∞) a espessura de cadavolume de controle torna-se muito pequena (∆z′ → 0). Assim, o limite para ∆z′ muito pequeno e


(b)

z

x

y

wh

g

Fp zo

(a)y

z

w

Dz

DFp 1

23

4

5

6

7

N = 8

Figura 3.15: (a) Superfıcie submersa e sistema de referencia utilizado. (b) Placa plana mostrandosistema de referencia local e divisao em N elementos de area.

a propria definicao de integracao, ou seja, o modulo da forca aplicada pelo fluido contra a superfıcietorna-se

Fp = lim∆z′

→0

(

N∑

i=1

piw∆z′

)

=

∫ h

0

pwdz′ (3.35)

Nota-se que esta forca e aplicada do fluido para a superfıcie na direcao normal a superfıcie.A seguir, desenvolve-se algumas aplicacoes do calculo de forca sobre superfıcies planas.

3.2.3 Aplicacoes

A solucao da integral de superfıcie da pressao depende da forma e orientacao da superfıcie. As-sumiremos que o fluido seja incompressıvel e consideraremos alguns exemplos a seguir. Na solucaodestes exemplos adotaremos um sistema de referencia (x, y, z) cujo eixo z e alinhado com a direcaodo vetor aceleracao da gravidade. Neste sistema, p = po no ponto z = 0 e a pressao nao variacom as coordenadas x e y. Em todos os exemplos, a superfıcie e plana com comprimento L(m)e largura w(m) (na direcao y saindo da pagina). Ainda, adotaremos um segundo sistema de re-ferencia (x′, y′, z′) com origem em um ponto na superfıcie e sendo o eixo z′ alinhado com a superfıcieplana de interesse. A Figura 3.2.3 mostra as configuracoes analisadas. Estas figuras apresentam aprojecao no plano x− z.

1. Superfıcie plana retangular com comprimento L e largura w alinhada com o plano horizontale posicionada a uma profundidade h no fluido [Figura 3.2.3(a)]. Neste caso, a distribuicaode pressao e uniforme na superfıcie e obtem-se

Fp =

∫

A

(po + ρgh)dA = (po + ρgh)

∫

A

dA = (po + ρgh)Lw (3.36)

Com a origem do eixo z posicionada na superfıcie do lıquido, po = patm. Assim,

Fp = (patm + ρgh)Lw (3.37)

Observa-se que esta solucao e simplesmente a pressao na profundidade h multiplicada pelaarea da superfıcie.

2. Superfıcie plana retangular com comprimento L e largura w, com origem na superfıcie, ealinhada com o eixo z [Figura 3.2.3(b)]. Neste caso, observa-se que z′ = z e assim

dA = w dz′ = w dz (3.38)


z

x

(a) g

zh

patm

L

x

g

L

patm

zo

z

g

zL

patm

g

L

patm

zo

z

q

x

z

x

h

(b)

(c) (d)

Figura 3.16: Diferentes configuracoes de uma placa plana submersa em um fluido.

Utilizando a Eq. (3.32)

Fp =

∫ L

0

(po + ρgz)wdz (3.39)

cuja solucao e

Fp = poLw +ρgL2w

2(3.40)

Com a origem do eixo z posicionada na superfıcie do lıquido, po = patm. Assim,

Fp = patmLw +ρgL2w

2(3.41)

Nessa expressao, observa-se o efeito de uma pressao constante aplicada sobre a superfıcie,patmLw, superposto ao efeito da pressao variavel com a profundidade (ρgL2w)/2. Nota-setambem que

ρgL2w

2≡(

ρgL

2

)

Lw (3.42)

ou seja, este termo e a pressao media na superfıcie (ρgL/2) multiplicada pela area desta(Lw).

3. Superfıcie plana retangular com comprimento L e largura w, com origem em uma profundi-dade zo, e alinhada com o eixo z [Figura 3.2.3(c)]. Este caso torna-se semelhante ao anteriorquando se observa que po = patm + ρgzo e uma constante. Assim,

Fp = (patm + ρgzo)Lw +ρgL2w

2(3.43)

Novamente, observa-se o efeito de uma pressao constante aplicada sobre a superfıcie, (patm+ρgzo)Lw, superposto ao efeito da pressao variavel com a profundidade.


4. Superfıcie plana retangular com comprimento L e largura w formando um angulo θ como plano horizontal [Figura 3.2.3(d)]. Neste caso, a coordenada z′ ao longo da superfıcierelaciona-se com z de acordo com a seguinte transformacao

z = z′ sen(θ) (3.44)

ComodA = w dz′ (3.45)

e utilizando a Eq. (3.32) tem-se

Fp =

∫ L

0

(po + ρgz)wdz′ =

∫ L

0

[po + ρgz′ sen(θ)]wdz′ (3.46)

cuja solucao e

Fp = poLw +ρgL2sen(θ)w

2(3.47)

Nesta configuracao, po = patm + ρgzo e, assim,

Fp = (patm + ρgzo)Lw +ρgL2sen(θ)w

2(3.48)

Novamente, observa-se o efeito de uma pressao constante aplicada sobre a placa, (patm +ρgzo)Lw, superposto ao efeito da pressao variavel com a profundidade que pode ser interpre-tado como

ρgL2sen(θ)w

2≡(

ρgLsen(θ)

2

)

Lw (3.49)

ou seja, novamente, a pressao media (ρgLsen(θ)/2) multiplicada pela area da superfıcie (Lw).

Inumeras outras configuracoes sao possıveis quando a superfıcie e curva e apresenta uma orientacaoqualquer. Nota-se tambem que a forca resultante na superfıcie e dada pelo somatorio de forcas nasuperfıcie. Se a pressao po atua por exemplo em ambos os lados da superfıcie seu efeito resultantee nulo (voce e capaz de mostrar isto?).

3.2.4 Momentos em superfıcies submersas planas

O momento e a acao que causa a rotacao de um corpo em torno de um eixo, posicionado em umponto de referencia. Uma forca aplicada a uma distancia do ponto de referencia e cuja linha deacao nao passa pelo ponto de referencia gera um momento em torno deste. Na Figura 3.2.4(a),mostra-se tres forcas aplicadas sobre um solido. Observa-se que das tres forcas apenas a forca F1

exerce um momento em relacao ao ponto O. Na Figura 3.2.4(b), mostra-se a aplicacao de umaforca F sobre uma superfıcie plana que gera um momento Mo em relacao ao ponto O. A distanciaentre a linha de acao da forca e o ponto de referencia O, medida perpendicularmente a linha deacao da forca, e o braco de alavanca r. Para este exemplo, r = L que e o proprio comprimentoda superfıcie na direcao x. O momento e um vetor cujo modulo e dado pelo produto entre a forcaaplicada e o braco de alavanca e cuja direcao e a direcao do eixo de rotacao, o qual e normal aoplano definido pela forca e pelo braco de alavanca. No diagrama de forcas da Figura 3.2.4(b),mostra-se o vetor distancia r e o vetor momento Mo. Observa-se que estes vetores tanto podemser definidos em relacao a um sistema de referencia (xyz) como a um sistema de referencia (x′y′z′)preso a superfıcie. A escolha depende apenas de conveniencia. Para o sistema (x′y′z′) tem-se

Mo = −Fr j′ (3.50)

onde F = |F| e r = |r|. O vetor unitario na direcao y′ e j′.O momento que um fluido exerce sobre uma superfıcie e calculado em relacao a um eixo de interesse,por exemplo, a aresta de engaste da superfıcie no seu suporte ou o eixo onde uma articulacao e


(a)

Mo

o

F1F3

F2

(b)

z

xy

o

r

FMo

oz

L

o

F

Mo

x

y

z

xy

Figura 3.17: (a) Exemplos de forcas que originammomento (F1) e forcas que nao originammomento(F2 e F3) em relacao ao ponto O, (b) Geracao de momento em relacao ao ponto O por uma forcaF e diagrama vetorial.

presa a superfıcie. Novamente, tomaremos uma superfıcie submersa e definiremos a posicao doeixo de rotacao como ponto O. A superfıcie e dividida em N elementos de area com largura w eespessura ∆z′, conforme mostrado na Figura 3.2.4.A distribuicao de pressao e linear com z e nao depende das coordenadas x e y. Sendo a dimensao∆z′ suficientemente pequena, a pressao em cada volume de controle com centroide posicionadona posicao z′i e admitida como uniforme e com valor pi = p(z′i). Cada uma destas fatias esta auma distancia z′i em relacao ao eixo O. Sendo a forca aplicada pelo fluido contra a superfıcie noelemento de area i dada por ∆Fp,i = pi∆A = piw ∆z′, o momento em relacao ao eixo O e dadopor

∆Mp,i = z′i ∆Fp,i = z′i pi∆A = z′i piw∆z′ (3.51)

O momento total aplicado pelo fluido e portanto

Mp,i−N =N∑

i=1

∆Mp,i =N∑

i=1

z′i piw∆z′ (3.52)

Quando o numero de volumes de controle N torna-se muito grande (N → ∞) a espessura de cadavolume de controle torna-se muito pequena (∆z′ → 0). Assim, o limite para ∆z′ muito pequenoe a propria definicao de integracao, ou seja, o modulo do momento aplicado pelo fluido contra a asuperfıcie torna-se

Mp = lim∆z→0

(

N∑

i=1

z′i piw∆z′

)

=

∫ h

0

z′ p w dz′ (3.53)

O vetor momento esta alinhado com o eixo y′ e o sentido pode ser obtido pela regra da mao direita.Observa-se que na equacao acima a pressao deve tambem ser expressa em termos de z′. Para isto,usa-se a transformacao

z = zo + z′ (3.54)

para escreverp = po + ρgz = po + ρg(zo + z′) = p′o + ρgz′ (3.55)


(b)

z

x

y

wh

g

Fp zo

(a) y

z

w

Dz

DFp 1

23

4

5

6

7

N = 8

o

o

Figura 3.18: Obtencao do momento exercido pelo fluido em relacao a um eixo passando pelo pontoO.

Assim,

Mp =

∫ h

0

z′ (p′o + ρgz′)w dz′ (3.56)

3.2.5 Aplicacoes

A solucao da integral de superfıcie da pressao depende da forma e orientacao da superfıcie. AFigura 3.2.5 apresenta alguns exemplos de configuracoes para uma superfıcie plana retangular comcomprimento L e largura w (saindo da pagina). Assumiremos que o fluido seja incompressıvel eresolveremos os exemplos listados.

1. Superfıcie plana retangular com altura L e largura w alinhada com o plano horizontal eposicionada a uma profundidade h no fluido. Neste caso, para a coordenada z′ ao longo dasuperfıcie com origem no eixo O, tem-se que

dA = w dz′ (3.57)

Como a distribuicao de pressao e uniforme na superfıcie, obtem-se

Mo =

∫ L

0

(po + ρgh)z′wdz′ (3.58)

cuja solucao e

Mo = (po + ρgh)L2w

2(3.59)

Esta expressao pode ser reescrita como

Mo = (po + ρgh)LwL

2(3.60)

ou seja, a forca de magnitude (po + ρgh)Lw aplica um momento com braco de alavanca L/2.Neste caso, po = patm.


z

x

(a) g

zh

patm

L

x

g

L

patm

zo

z

g

zL

patm

g

L

patm

zo

zq

x

z

x

h

(b)

(c) (d)

oo

o

o

zz

Figura 3.19: Configuracoes tıpicas para o calculo de momento em superfıcies planas submersas.

2. Superfıcie plana retangular com comprimento L e largura w alinhada com o eixo z sendo oeixo O posicionado em uma profundidade L. Neste caso

dA = w dz′ (3.61)


Mo =

∫ L

0

(po + ρgz)z′wdz′ (3.62)

A solucao da equacao depende da relacao entre z e z′. Quando o eixo O situa-se na extrem-idade da superfıcie a uma profundidade L em relacao a superfıcie do fluido, tem-se que

L = z + z′ (3.63)

e assim

Mo =

∫ L

0

[po + ρg(L− z′)]z′wdz′ (3.64)

cuja solucao e

Mo = (po + ρgL)L2w

2− ρgL3w

3(3.65)

ou,

Mo = poL2w

2+ρgL3w

6(3.66)

Neste caso, po = patm. Nota-se nessa expressao a contribuicao de duas parcelas. A primeiraparcela e uma forca uniforme poLw aplicada no centro da superfıcie exercendo um momentoatraves do braco de alvanca L/2. A segunda parcela, e um momento realizado por uma forcadistribuıda com resultante (ρgL/2)Lw aplicada em um braco de alvanca de L/3.


3. Superfıcie plana retangular com comprimento L e largura w alinhada com o eixo z sendo oeixo O posicionado em uma profundidade zo. Neste caso

dA = w dz′ (3.67)


Mo =

∫ L

0

(po + ρgz)z′wdz′ (3.68)

Nota-se que agora tornou-se mais interessante posicionar o eixo z em zo de forma que arelacao entre z e z′ torna-se

z = z′ (3.69)

Assim

Mo =

∫ L

0

[po + ρgz′]z′wdz′ (3.70)

cuja solucao e

Mo =poL

2w

2+ρgL3w

3(3.71)

Esta expressao e semelhante a anterior, porem, agora

po = patm + ρgzo (3.72)

4. Superfıcie plana retangular com comprimento L e largura w inclinada em um angulo θ sendoo eixo O posicionado em uma profundidade h+ zo. Neste caso

dA = w dz′ (3.73)


Mo =

∫ L

0

(po + ρgz)z′wdz′ (3.74)

Nota-se que agora e novamente mais interessante posicionar o eixo z em zo. Quando o eixo Ositua-se na extremidade da superfıcie a uma profundidade h = L sen(θ) em relacao a origemem zo, a relacao entre as coordenadas z′ ao longo da superfıcie e z torna-se

h = z + z′ sen(θ) (3.75)


Mo =

∫ L

0

[po + ρg (h− z′ sen(θ))] z′wdz′ (3.76)

cuja solucao e

Mo = (po + ρgh)L2w

2− ρgL3sen(θ)w

3(3.77)

e, considerando que h = L sen(θ),

Mo = poL2w

2+ρgL3sen(θ)w

6(3.78)

Esta expressao tambem apresenta uma primeira parcela que corresponde a um componenteconstante de forca de pressao realizando momento e uma segunda parcela que corresponde auma forca distribuıda com resultante [ρgL sen(θ)/2]Lw realizando momento atraves de umbraco de alavanca de L/3. Ainda, neste caso,

po = patm + ρgzo (3.79)

Inumeras outras configuracoes sao possıveis quando a superfıcie e curva e apresenta uma orientacaoqualquer. Nota-se tambem que o momento resultante na superfıcie e dado pelo somatorio demomentos na superfıcie. Se a pressao po atua por exemplo em ambos os lados da superfıcie seuefeito resultante e nulo.


3.2.6 Generalizacao

Esta secao e acrescentada com o objetivo de obter uma deducao mais rigorosa e generalizada. Sejaa superfıcie submersa apresentada na Figura ??. Deseja-se determinar a magnitude, direcao e linhade acao da forca atuante sobre a face superfior desta superfıcie e do momento em relacao a um eixopassando pelo ponto O. O sistema de coordenadas e escolhido de modo que o eixo y acompanhe aaresta superior da superfıcie y ≡ y′.

wh

g

Fp

zo

o

yz

q

L

z

x

y

(a) (b)

z

q z

zo

zo

h = L sen q

b = L cos q

w

Figura 3.20: Calculo de forcas e momentos sobre uma superficie submersa plana.

Forca

Definindo a normal unitaria a superfıcie apontada na direcao do fluido por n, a forca (um vetor)causada pela pressao em uma superfıcie submersa e dada por

Fp = −∫

A

p n dA (3.80)

O produto da pressao (um escalar) com a normal unitaria n (um vetor) indica que a forca causadapela pressao atua na direcao normal a area e o sinal negativo indica que esta e dirigida do fluidopara a superfıcie. O modulo da forca aplicada pelo fluido sobre a superfıcie e portanto dado por

Fp = |Fp| =∫

A

p dA. (3.81)

Esta e uma forca de superfıcie porque atua na interface do fluido em contato com a superfıcie.Pode-se expressar a pressao em termos da variavel z fixando a referencia em zo,

p = p(zo) +

∫ z

zo

ρ g dz (3.82)

onde p(zo) = patm+ ρgzo = p′o. Pode-se transformar z em z′ atraves de z = zo+ z′ sen(θ). Assim,

p = p′o +

∫ z′

0

ρ g sen(θ) dz′. (3.83)

Para um fluido incompressıvel,p = p′o + ρ g z′ sen(θ). (3.84)


Assim, a forca de superfıcie pode ser escrita como

Fp = −[

p′oA+ ρ g sen(θ)

∫

A

z′ dA

]

n (3.85)

Observa-se que a pressao uniforme p′o exerce uma forca com modulo equivalente ao produto p′oAna direcao da normal n. O segundo termo expressa a forca exercida pela pressao que varia ao longoda superfıcie. Define-se a coordenada do centroide da superfıcie como

z′c =1

A

∫

A

z′ dA (3.86)

ou seja, o produto z′cA representa o momento de area de primeira ordem. Assim, obtem-se:

Fp = − [p′oA+ ρ g sen(θ)z′cA] n (3.87)

O modulo da forca causada pelo fluido sobre a superfıcie e portanto

Fp = patmA+ ρ g [zo + z′csen(θ)]A (3.88)

Definindo zc = zo + z′csen(θ) e a pressao na coordenada zc como pe,c = ρ g zc, tem-se

Fp = (patm + pe,c) A (3.89)

Para o calculo da coordenado do centroide z′c, a geometria da superfıcie plana e expressa em termosdas coordenadas (z′, y′). Assumindo que a funcao W(z′) define a largura da superfıcie na direcaoy′, o elemento de area, dA, pode ser expresso como

dA = W(z′) dz′ (3.90)

Nota-se que a area da superfıcie pode ser obtida de

A =

∫

A

dA =

∫ L

0

W(z′) dz′ (3.91)

Assim, a coordenada do centroide torna-se

z′c =1

A

∫

A

z′ dA =1

A

∫ L

0

z′ W(z′) dz′ (3.92)

Quando a superfıcie e retangular, W(z′) = w e para este caso,

A =

∫

A

dA =

∫ L

0

wdz′ = wL (3.93)

z ′

c =1

A

∫ L

0

z′ w dz′ =1

wL

wL2

2=L

2(3.94)

Portanto, no caso particular de uma superfıcie plana e retangular, inclinada em um angulo θ esubmersa em uma profundidade zo,

Fp =

[

patm + ρ g

(

zo +L sen θ

2

)]

w L. (3.95)


Momento

Definindo a normal unitaria a superfıcie apontada na direcao do fluido por n, o momento (umvetor) causado pela pressao em uma superfıcie submersa em um fluido em relacao a um eixo O edado por

Mo = −∫

A

p r× n dA (3.96)

onde p e a pressao exercida sobre cada elemento de area superficial dA, r e o vetor posicao sobre asuperfıcie com origem no eixo O e o sinal × indica o produto vetorial. O produto vetorial do vetorposicao r com a forca de pressao normal a superfıcie −p n dA fornece o momento em uma direcaonormal a ambas as direcoes de n e r.Utilizando a distribuicao de pressao para um fluido incompressıvel,

p = p′o + ρ g z′sen(θ),

onde p′o = p(z′ = 0), tem-se

Mo =

∫

A

p′o r× (−n) dA+

∫

A

ρ g z′ senθ [r× (−n)] dA. (3.97)

Em coordenadas cartesianas, assumindo que os componentes do vetor posicao sejam (r1, r2, r3) edo vetor normal sejam (n1, n2, n3), tem-se

r× n = (r2n3 − r3n2) i− (r1n3 − r3n1) j+ (r1n2 − r2n1)k. (3.98)

Para a superfıcie alinhada com o plano x′-y′, r× (−n) = z′j e obtem-se,

Mo =

[∫

A

p′o z′ dA+

∫

A

ρ g senθ (z′)2 dA

]

j. (3.99)

Define-se o segundo momento de area como

Iyy =

∫

A

(z′)2 dA. (3.100)

Assim, usando a definicao de z′c, tem-se

Mo = [p′o A z′c + ρ g senθ Iyy] j. (3.101)

O modulo do momento aplicado pelo fluido sobre a superfıcie em relacao ao eixo O torna-se portanto

Mo = p′o A z′c + ρ g senθ Iyy . (3.102)

Assumindo que a funcao W(z′) define a largura da superfıcie na direcao y′, dA = W(z′) dz′ e

Iyy =

∫

A

(z′)2 dA =

∫ L

0

z′2 W(z′) dz′. (3.103)

Para a superfıcie retangular, W(z′) = w, z′c = L/2 e

Iyy =

∫ L

0

(z′)2 w dz′ =wL3

3. (3.104)

Entao,

Mo = p′ow L2

2+ ρ g senθ

wL3

3. (3.105)

ou,

Mo = (patm + ρ g zo)w L2

2+ ρ g senθ

wL3

3. (3.106)


Coordenada do ponto de aplicacao da forca resultante

O ponto de aplicacao da forca resultante e aquele no qual o momento da forca resultante e igual aomomento exercido pelo fluido sobre a superfıcie em relacao aum eixo de rotacao O. Assim, podemosescrever

rp × Fp = Mo =

∫

A

p r× (−n) dA. (3.107)

Para uma superfıcie plana inclinada em um angulo θ e posicionada em uma profundidade zo nofluido, determinou-se que

Fp = − [p′oA+ ρ g sen(θ)z′cA] i

Mo = [p′o A z′c + ρ g senθ Iyy] j.(3.108)

A posicao do ponto de aplicacao da forca resultante e rp = z′p,uk. O produto vetorial dos vetoresde base e k×−i = j, como esperado. Agora, separaremos a determinacao de z′p,u em duas partes.Primeiro, verificaremos o ponto de aplicacao da parcela uniforme da pressao e, a seguir, o pontode aplicacao da parcela variavel. Para a parcela uniforme, tem-se

z′p,u (p′

oA) = (p′o A z′c) (3.109)

o que resulta emz′p,u = z′c. (3.110)

Para a parcela variavel, tem-se

z′p,u [ρ g sen(θ)z′cA] = [ρ g senθ Iyy] (3.111)

o que resulta em

z′p,u =Iyyz′cA

. (3.112)

Esse resultado pode ser particularizado para a superfıcie plana retangular, inclinada em um anguloθ e submersa em uma proundidade zo. Para a parcela uniforme, obtem-se

z′p,u Fp,u = Mo,u

z′p,u (patm + ρ g zo) w L = (patm + ρ g zo)w L2

2.

(3.113)

Assim, resolvendo para z′p,u obtem-se,

z′p,u =L

2. (3.114)

Portanto, a parcela uniforme da pressao causa uma forca distribuıda uniforme cuja resultante eaplicada na coordenada z′ = L/2. Para a parcela variavel, tem-se

z′p,v Fp,v = Mo,v

z′p,v

(

L sen θ

2

)

w L = ρ g senθwL3

3

(3.115)

Assim, resolvendo para z′p,v obtem-se,

z′p,v =2

3L. (3.116)

Portanto, a parcela variavel da pressao causa uma forca distribuıda variavel cuja resultante eaplicada na coordenada z′ = 2L/3. Observe que, caso o eixo O estivesse posicionado na arestainferior da placa, obterıamos z′ = L/3. Voce e capaz de mostrar isso?


3.2.7 Exercıcios

Problema 1

Responda:

1. Quais sao as forcas que se manifestam em um fluido estatico? Explique a origem dessasforcas e como essas podem ser expressas para um elemento de fluido com forma cubica comarestas ∆x,∆y e ∆z.

2. Qual a diferenca entre um balanco de forcas macroscopico, ou integral, e um balanco deforcas microscopico, ou diferencial? Como o segundo pode ser obtido a partir do primeiro?

3. Qual a origem da forca causada por um fluido sobre uma superfıcie submersa? Em quedirecao essa forca se aplica? Do que depende a forca resultante sobre a superfıcie?

4. Qual a definicao do centro de pressao?

Problema 2

Considere uma superfıcie triangular equilatera com lados com dimensao a submersa verticalmenteem um fluido em repouso. Sendo po a pressao no apice do triangulo (ponta superior), mostre quea aplicacao da Eq. (3.81 ) fornece para a forca horizontal

Fy =a2√3

4

(

po +

√3

3ρga

)

(Dica: Use a simetria exibida pelo triangulo para definir a funcao W (z)).

x

y

z

pog

Fya


Problema 3

O tanque mostrado abaixo possui agua com densidade ρ(kg/m3) ate o nıvel indicado, sendo orestante preenchido por ar. Um manometro no topo do tanque indica uma pressao manometricapA(Pa). Obtenha expressoes para a forca resultante exercida: (a) no lado esquerdo, (b) no ladodireito, (c) na tampa e (d) no fundo do tanque. A pressao externa e atmosferica patm(Pa) e otanque esta hermeticamente vedado ao ambiente externo. Assuma que o ar no topo do tanque tempressao uniforme. O vetor aceleracao da gravidade, com modulo g(m2/s), aponta para baixo nadirecao vertical.Problema 4

Um reservatorio pressurizado possui uma tampa retangular com altura L(m) e largura w(m),inclinada em um angulo θ em relacao a horizontal. O fluido, com nıvel h(m) acima da tampa,possui densidade ρ(kg/m3). A pressao externa e atmosferica patm(Pa) e o topo do tanque contemar com pressao absoluta pA (Pa). O vetor aceleracao da gravidade, com modulo g(m2/s), apontapara baixo na direcao vertical. Para os tanques (a) e (b) mostrados abaixo, obtenha expressoespara (i) As componentes horizontal e vertical da forca resultante exercida pelo fluido sobre a tampa,


pA

patm

g

a

b

h


h

L

q

pA

patm

g

O

(a) (b)

h

L

q

pA

patm

g

O


e (ii) O momento resultante exercido em relacao ao ponto O. Que semelhancas voce observa entreas duas solucoes?

Resposta:

O modulo da forca resultante e o mesma nas partes (a) e (b):

FH = FR sen(θ), FV = FR cos(θ)

FR = (pA − patm + ρgh)wL+ρg sen(θ)wL2

2

Para o momento:

Parte (a)

Mo = (pA − patm + ρgh)wL2

2+ρg sen(θ)wL3

3

Parte (b)

Mo = (pA − patm + ρgh)wL2

2+ρg sen(θ)wL3

6

Problema 5

A comporta inclinada com comprimento L e largura w mostrada abaixo separa dois fluidos incom-pressıveis, um fluido com massa especıfica ρ2(kg/m

3) e outro com massa especıfica ρ1(kg/m3). A

comporta possui peso Fg (N) e densidade uniforme. Para a situacao mostrada na figura:

1. Admitindo que a resultante do momento na articulacao O seja nula para o instante mostradona figura, obtenha uma expressao para o peso da comporta em funcao da massa especıfica ρ2e nıvel h2 do fluido 2, massa especıfica ρ1 e nıvel h1 do fluido 1 e das dimensoes da comporta.


2. Calcule as componentes horizontal e vertical da resultante das forcas aplicadas na comporta(pelos fluidos e pelo peso da comporta). Note que mesmo sendo o momento nulo, estasresultantes podem nao ser nulas.

Lembre que o peso da comporta aplica um momento no ponto O igual ao produto entre o peso ea distancia do centro de gravidade ate o ponto O, que e igual a L/2.

comportag

patm

h1

q

h2

L

o


Resposta:

Fg = (ρ2h32 − ρ1h

31)

gw

3L cos(θ) sen2(θ)

FR = (ρ1h21 − ρ2h

22)

gw

2 sen(θ), FH = FR sen(θ), FV = FR cos(θ) + Fg

Problema 6

Calcule o valor da massaM(kg) do contrapeso necessaria para abrir a comporta quando o nıvel daagua no reservatorio atingir a cota h = 1 m. A comporta tem comprimento total L = 2 m, larguraw = 1 m e forma um angulo com a horizontal igual a θ = 60o. Desconsidere o peso da comportae assuma que a agua encontra-se estatica e possui densidade ρ = 1000 kg/m3. A aceleracao dagravidade aponta de cima para baixo com modulo g = 9,8 m/s2.

comportag

patm

hq

L

o

M


Resposta:

M =ρh3w

3 sen(θ) cos(θ)[L sen(θ)− h]

Problema 7

Uma comporta rıgida contendo uma articulacao (pino) no ponto O mantem a agua represadadentro de um reservatorio, conforme a figura abaixo. O topo da comporta e ligado a uma massaM(kg) atraves de uma roldana sem atrito. Negligencie a massa da comporta e determine o valordo nıvel h(m) de agua no reservatorio que faria a comporta abrir.


h

L

articulação

fundo fixo

água

o

comporta móvel

q

Massa M(kg)

g


Dados: ρ = 1000 kg/m3 (agua), g = 9, 8 m/s2, patm = 101325 Pa, L = 4 m, w = 1 m, θ = 60o.

Resposta:

M =ρwh3

6Lsen3θ

Problema 8

A figura abaixo mostra uma comporta rıgida com secao transversal em V presa a uma articulacaoO e separando dois reservatorios. A comporta possui massa negligenciavel e ambos os reservatoriospossuem agua com densidade ρ = 1000 kg/m3. O nıvel da agua no reservatorio 1 e h1 e o nıvelda agua no reservatorio 2 e h2. O lado em contato com o reservatorio 2 forma um angulo θ coma horizontal. Determine a relacao h2/h1 que faria a comporta girar para o lado do reservatorio 2.Assuma que a comporta possui largura w uniforme.

comportag

patm

h1

q

o

h2

Figura 3.27: Problemas 8 e 9.

Resposta:

h2 < h1sen2/3θ

Problema 9

A figura abaixo mostra uma comporta com secao transversal em V, com angulo interno θ = 60o,presa a uma articulacao A no fundo do reservatorio. A comporta possui massa negligenciavel e estaem contato com fluidos diferentes nos dois lados. O fluido 2 possui densidade ρ2 = 1000 kg/m3 enıvel h2 = 1 m. O fluido 1 possui densidade ρ1 = 1100 kg/m3.

1. Calcule o valor do nıvel h1 do fluido 1 para o qual o lado esquerdo da comporta permaneceriavertical, ou seja, para o qual nao haveria movimento de rotacao da comporta.

2. Como voce poderia utilizar esta comporta como detector de nıvel dos fluidos 1 e 2? Explique.


Resposta:

h2 = h1

(

ρ1sen2(θ)

ρ2

)1/3

Problema 10

Calcule o nıvel da agua h(m) que faria o bloco de concreto tombar para o lado direito (ou seja, quecausaria um momento negativo ao redor do ponto O). As dimensoes indicadas sao b = 40 cm, a = 2m; o fluido e incompressıvel com densidade ρ = 1000 kg/m3 (agua); o bloco possui densidade ρb =2100 kg/m3; assuma que a pressao atmosferica e patm = 101325 Pa e a aceleracao da gravidadeaponta para baixo e tem modulo g = 9,8 m/s2.

a

o

g

b

h

Bloco de concreto


Resposta:

h =

(

3ab2ρbρ

)1/3

Problema 11

A figura abaixo mostra uma comporta rıgida retangular com comprimento L(m) e largura w(m)presa a uma parede vertical fixa atraves de uma articulacao (dobradica) separando dois reser-vatorios. No reservatorio da esquerda, existe um fluido com ρ1(kg/m

3) e nıvel h1(m) em relacaoa dobradica. No reservatorio da direita, existe outro fluido com densidade ρ2 (kg/m3) e nıvel h2(m) em relacao a dobradica. A comporta possui massa M(kg) e o angulo de inclinacao com ahorizontal e θ. Obtenha uma expressao para a altura h1 mınima necessaria para que a comportapermaneca fechada (ou seja, uma expressao para h1 em funcao de h2 e das outras variaveis para asituacao de equilıbrio de momentos).

Parede fixa gpatm

h1

q

h2

L o

Comporta



Resposta:

h1 =ρ2ρ1h2 +

(

ρ2ρ1

− 1

)

2L senθ

3− M cos θ

ρ1LW

Problema 12

A figura abaixo mostra uma comporta rıgida retangular com comprimento L = 1, 2 m e larguraw = 0, 7 m presa a uma parede vertical fixa atraves de uma articulacao colocada na posicao L/2(ponto O) No interior do reservatorio existe agua suja com ρ1 = 1100 kg/m3 e nıvel h1 = 1, 5 mem relacao ao fundo do tanque coberta com uma camada de oleo pesado com ρ2 = 900 kg/m3

com espessura h2. A comporta forma um angulo θ = 60o em relacao a horizontal e possui umcontrapeso com massa M(kg) preso na extremidade. Estime a massa necessaria para o contrapesode forma que a comporta se abra quando a espessura da camada de oleo atingir exatamente h2 = 30cm. Negligencie a massa da comporta e utilize para a aceleracao da gravidade g = 9, 81 m/s2.

Parede fixa gpatm

h1

q

h2

L

o

Comporta

L/2

Contrapeso


Resposta:

M =1

4gL cos(θ)

[

poL2w +

ρ1g sen(θ)wL3

3

]

po = ρ2gh2 + ρ1g

(

h1 −L sen(θ)

2

)

Problema 13

A figura abaixo mostra uma comporta rıgida formada por duas placas de aco soldadas e articuladasno ponto O. A comporta e retangular e tem largura w (m) (normal a folha). (a) Encontre aequacao para o momento resultante no instante de abertura da comporta. (b) Determine o valordo momento resultante para as variaveis abaixo.Dados: a = 2 m, H = 5 m, w = 1 m, θ = 30o, ρ = 1000 kg/m3 (agua), g = 9, 8 m/s2,patm = 101325 Pa.Resposta:

(a) MR =ρgw

6

(

h3 − 3ha2 − 2a3senθ)

, h = H − a senθ

Problema 14

A figura abaixo mostra uma comporta movel presa a uma estrutura fixa atraves de uma articulacaono ponto O. A comporta possui largura w = 0,8 m, comprimento L = 2,0 m e esta apoiada nofundo do reservatorio formando um angulo θ = 60o com a horizontal. No interior do reservatorioexiste agua com massa especıfica ρ = 1000 kg/m3 e nıvel localizado na cota h = 3,0 m em relacaoao fundo do reservatorio. Uma massa M (kg) e presa por uma corrente de aco a ponta inferiorda comporta, como mostra a figura. Estime o valor da massa M necessaria para abrir a comportaquando a agua atingir exatamente a altura h mostrada. Assuma que a articulacao nao apresentaatrito. Utilize g = 9,8 m/s2 para a aceleracao da gravidade.


H a

q

o

g


h Larticulação

fundo fixo

água

O

comporta móvel

Massa M(kg)

q

g

estrutura fixa


Resposta:

M =ρwL

cos θ

(

h

2− L senθ

6

)

(3.117)

Problema 15

Determine qual densidade ρs (kg/m3) o material do bloco deve possuir para se manter estavelna posicao mostrada na figura abaixo. As dimensoes do bloco sao a(m) e b(m) e o fluido temdensidade ρ (kg/m3). O bloco tem largura w (m) na direcao normal a pagina. A aceleracao dagravidade e g (m/s2).

a

o

g

b


Resposta:ρsρ

=a2

3b2+ 1


3.3 Flutuacao

A forca de empuxo em um corpo em contato com um fluido resulta do campo de pressao aplicadopelo fluido na superfıcie do corpo. Como exemplo, considere um corpo na forma de um prismaretangular com altura a (m) e area da base b2 (m2), parcialmente submerso ate uma profundidadec (m) em um fluido incompressıvel, conforme mostra a Figura 3.3. Deseja-se obter uma expressaoque permita estimar o valor de c em funcao das massas especıficas do fluido ρ(kg/m3), do corpoρs(kg/m

3) e das demais dimensoes. A Figura 3.3. mostra tembem o diagrama de corpo livre. Asforcas na direcao x aplicadas nas superfıcies laterais por acao da pressao do fluido sobre o corpo(Fp,1 e Fp,2) se anulam mutuamente por agirem na mesma direcao (direcao x) mas em sentidosopostos.

águaa

c

corpo flutuandog

b

z

x

patm

Diagrama de corpo livre: Fp,o

Fgz

xFp,1 Fp,2

Fp,c

Figura 3.34: Corpo flutuando na superfıcie de um fluido.

O balanco de forcas na direcao z fornece

−Fp,c + Fp,o + Fg = 0. (3.118)

Assumindo que a atmosfera exerce uma pressao uniforme em toda a superfıcie do corpo e do fluido,a forca que age na superfıcie superior do corpo, que esta exposta a atmosfera, e dada por

Fp,o = (patm)b2. (3.119)

A forca que age na superfıcie inferior do corpo depende da pressao atmosferica e do efeito da colunade fluido com profundidade z = c, sendo dada por

Fp,c = (patm + ρgc)b2. (3.120)

Sendo conhecida a densidade media do material que compoe o corpo, a forca peso pode ser calculadapor

Fg = ρsgb2a. (3.121)

Assim, do balanco de forcas na direcao vertical obtem-se

−Fp,c + Fp,o + Fg = 0 ⇒ ρgb2c = ρsgb2a. (3.122)

3.3. FLUTUACAO 83

Este resultado, que pode ser expresso como ”o peso aparente do corpo quando submerso em umfluido e igual a diferenca entre o peso do corpo e o peso do fluido deslocado pelo corpo”, e conhecidocomo Princıpio de Arquimedes. O lado esquerdo da Eq. (3.122) e a forca de empuxo Fe (N), ouseja,

Fe = Fp,c − Fp,o = ρgb2c. (3.123)

Portanto a forca de empuxo e resultante do desbalanceamento da pressao aplicada pelo fluido nasduas faces horizontais. O modulo da forca de empuxo e igual ao peso do volume de fluido deslocadopelo corpo, a direcao da forca de empuxo e a direcao de g e o sentido e oposto ao de g .A partir do balanco de forcas na direcao vertical, verifica-se que o comprimento submerso do corpoe dado por

c =ρsρa (3.124)

Observa-se que o comprimento submerso e maximo quando o corpo e o fluido possuem a mesmamassa especıcifica. Se o corpo possuir massa especıfica maior que a do fluido, este ira submergirindefinidamente no fluido. Note que, no caso de uma embarcacao, apesar da densidade do aco sercerca de 11 vezes maior que a da agua, a embarcacao possui espacos internos preenchidos com arque diminuem consideravelmente a densidade aparente da embarcao como um todo, permitindoque esta flutue.

3.3.1 Generalizacao

O calculo da forca de empuxo pode ser generalizada conforme segue. A forca de empuxo causadapelo fluido sobre o corpo submerso e o resultado da forca resultante de pressao obtida de

Fe = −∫

A

p n dA. (3.125)

Usando o teorema de Gauss,∫

A

φ n dA =

∫

V

∇φ dV (3.126)

onde φ e uma funcao escalar e ∇ e o operador nabla, pode-se escrever

Fe = −∫

A

p n dA. = −∫

V

∇p dV. (3.127)

Da equacao da estatica,

∇p = ρg. (3.128)

Assim,

Fe = −∫

A

p n dA. = −∫

V

ρg dV = −g

∫

V

ρ dV = −mg. (3.129)

Portanto, a forca de empuxo e igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo submerso e aponta nadirecao contraria de g.

3.3.2 Exercıcios

Problema 1

Responda:

1. Defina a forca de empuxo. Como se calcula a forca de empuxo ? Explique qual o fundamentofısico do Princıpio de Arquimedes.

2. A forca de empuxo exercida por um fluido mudaria com a variacao da sua temperatura?Explique.


3. Um reservatorio contendo agua encontra-se acelerando em queda livre na atmosfera. Umaesfera com diametro D(m) encontra-se submersa no reservatorio. Qual a forca de empuxoexercida sobre a esfera? Explique.

Problema 2

A flutuacao de um corpo com massa especıfica conhecida pode ser utilizada para determinar-se a massa especıfica de um fluido desconhecido. Considere um corpo na forma de um prismatriangular parcialmente submerso em um fluido incompressıvel, conforme mostra a Figura 3.3. Ocorpo encontra-se parcialmente submerso ate um nıvel c. Obtenha uma expressao para a massaespecıfica do fluido ρ(kg/m3) em funcao da massa especıfica do corpo ρs(kg/m

3) (conhecida),da dimensao c(m) medida e das demais dimensoes. Explique como esse densımetro poderia serutilizado.

b

a

c


Resposta Pr.2 : ρs = ρc2/a2.

Problema 3

Uma garrafa contendo lama e posta a flutuar em agua. A agua possui massa especıfica ρa(kg/m3).

A garrafa possui diametro D (m) e massa mg (kg). Quando o nıvel da lama dentro da garrafaatinge a altura h (m), a garrafa submerge ate a profundidade L (m).

(a) Determine a massa especıfica ρm(kg/m3) da lama.

(b) Imagine que voce queira transformar a sua garrafa em um instrumento para medicao da massaespecıfica de lamas. Calcule a sensibilidade do seu instrumento como a variacao de L (mm) com amassa especıfica da lama ρm(kg/m3) (ou seja, obtenha dL/dρm ).

(c) Para aumentar a sensibilidade, quais as medidas que voce tomaria? Aumentaria o diametro dagarrafa? Aumentaria a sua massa? Discuta as possibilidades.

Dados: ρa =1000 kg/m3, D = 70 mm, mg = 0,650 kg, h = 50 mm, L = 230 mm.

água

lamaD

Lh


Respostas Pr. 3 :

(a) ρm = ρL

h− 4mg

hπD2

3.4. FLUIDO EM MOVIMENTO DE CORPO RIGIDO 85

(b) L =4mg

ρπD2+h

ρρm ⇒ dL

dρm=h

ρ. Logo, a sensibilidade aumenta com o aumento do h.

Problema 4

Um flutuador na forma de um cilindro com altura L (m) e diametro D (m) e utilizado comosuporte de instrumentos que devem ficar sobre a superfıcie de um reservatorio. Os instrumentos eo cilindro apresentam massa totalM (kg). A agua dentro e fora do cilindro possui massa especıficaρg (kg/m3) e o ar no interior do cilindro apresenta massa especıfica ρa (kg/m3).(a) Calcule o nıvel de agua h (m) que deve ser colocada dentro do cilindro para que esse permanecasubmerso a uma distancia H (m) abaixo do nıvel do reservatorio, conforme mostra a figura.(b) Considerando que o orifıcio no fundo do cilindro comunica a agua de dentro com a agua defora, determine a pressao necessaria ao ar na situacao mostrada na figura.(c) Voce teria alguma preocupacao quanto a estabilidade desse sistema? Discuta.Dados: ρg =1000 kg/m3, ρga =1,4 kg/m3, D = 100 mm, M = 1,5 kg, H = 700 mm, L = 1000mm.

água

D

L

h

água

ar pressurizado

H

instrumentos

orifício

flutuador

g


Respostas Pr. 4 :

(a) h = H − 4M

πD2ρ(b) pa = patm + ρg(H − h)

3.4 Fluido em movimento de corpo rıgido

Repetiremos a analise do elemento de fluido identificado na Figura 3.1.1, mas agora admitindo queo copo contendo agua sofra aceleracao. O eixo z e escolhido como sendo paralelo ao vetor aceleracaoda gravidade e apontado na direcao contraria. As dimensoes do elemento defluido nas direcoes x ez sao, respectivamente, ∆x e ∆z. O eixo y entra na pagina e a espessura do elemento na direcaoy (nao mostrada) e ∆y. O volume do elemento de fluido e ∆V = ∆x∆y∆z. Aplicamos sobre oelemento as forcas com origem externa e, assim, obtemos o diagrama de corpo livre mostrado naFigura 3.1.1. Aplicando a segunda Lei de Newton, obtem-se

ρa = −∇p+ ρg (3.130)

ou,0 = −∇p+ ρ (g − a) (3.131)

Os componentes no sistema de coordenadas (x, z) sao

∂p

∂x= ρ(gx − ax) (3.132)


∂p

∂z= ρ(gz − az) (3.133)

Como p = p(x, z),

dp =∂p

∂xdx+

∂p

∂zdz (3.134)

Sobre uma superfıcie isobarica, dp = 0. Dividindo por dx,

0 =∂p

∂x+∂p

∂z

dz

dx(3.135)

Entao,

0 = ρ(gx − ax) + ρ(gz − az)dz

dx(3.136)

oudz

dx= − (gx − ax)

(gz − az)(3.137)

Portanto, a inclinacao θ das linhas de pressao constante e obtida de

tan(θ) = − (gx − ax)

(gz − az)(3.138)

O vetor gravidade aparente pode ser escrito como

ga = g− a (3.139)

e nota-se que o vetor ga forma um angulo θ com a direcao horizontal x. Como a pressao e constanteao longo de superfıcies normais a direcao de ga, pode-se escrever uma equacao para a componentedo balanco de forca na direcao paralela a ga. Denominando essa direcao de n, tem-se

∂p

∂n= ρga (3.140)

onde o modulo da gravidade aparente ga = gan e

ga =√

(gx − ax)2 + (gz − az)2 (3.141)

Integrando de p = po em n = 0 ate p(n), obtem-se

p = po + ρgan (3.142)

Portanto, a pressao cresce ao longo de n e as superfıcies de pressao constante sao normais a n.

3.4.1 Generalizacao

Agora, analisaremos a natureza da aceleracao que e imposta ao elemento de fluido. Para que umfluido execute um movimento de corpo rıgido, em geral, ele precisa estar confinado por paredessolidas (como em um tanque de combustıvel) e acelerado por um tempo suficientemente longo,para que uma condicao de equilıbrio se estabeleca. A aceleracao sofrida por um corpo rıgico temcomponentes de aceleracao linear e aceleracao devido ao movimento rotacional. A velocidade v doponto P em um corpo rıgido que sofre translacao e rotacao com velocidade angular ω ao redor deum eixo que passa pelo ponto O pode ser escrita como

v = vo + ω × r (3.143)

onde vo e a velocidade do ponto O e r e o vetor posicao do ponto P em relacao ao ponto O(r = rP − ro). A acelaracao do corpo no ponto P e dado pela taxa de variacao da velocidade, ouseja,

a =dv

dt=dvo

dt+ ω × (ω × r) +

dω

dt× r (3.144)


O primeiro termo do lado direito e a aceleracao de translacao do eixo centrado no ponto O, osegundo termo e a aceleracao centrıpeta apontada do ponto P, em direcao normal, ao eixo quepassa em O e o terceiro termo e a aceleracao linear causada pela variacao da velocidade angularao redor de O. Um exemplo de atuacao do segundo termo da equacao ω× (ω× r) e a aceleracao deum elemento de fluido na superfıcie da terra causada pela velocidade angular de rotacao da terra.Para a rotacao terrestre, esse termo e menor que 0,03 % de g.

Portanto, a gravidade aparente no ponto P torna-se

ga = g− dvo

dt− ω × (ω × r)− dω

dt× r (3.145)

Para explorar a aplicacao desse conceito, considere um corpo com formato esferico imerso em umfluido, como mostra a Figura 3.4.1.

g g

a

Água Águaq

g g

a

Ar

q

(b) Balão com gás hélio flutuando em ar

Ar

(a) Esfera metálica imersa em água

Figura 3.38: Corpo imerso em um fluido contido em um reservatorio sob aceleracao linear.

Na situacao (a) o corpo e metalico, com densidade ρs, e se encontra imerso em agua, com densidadeρ. Quando o reservatorio esta em repouso, o corpo permanece suspenso na direcao vertical, ouseja, alinhado com a direcao do vetor aceleracao da gravidade g. Agora, o reservatorio e posto emmovimento retilınio e sofre uma aceleracao a constante. Qual o valor do agulo de deflexao θ docabo que sustenta o corpo? Qual a tensao T (N) no cabo?

Para responder essas perguntas, aplicaremos a segunda Lei de Newton para o corpo em movimentoaccelerado. A Figura 3.4.1 apresenta o diagrama de corpo livre aplicado sobre o corpo. A direcaodo vetor gravidade aparente ga e denominada n. Observe que as superfıcies de pressao constante(p1, p2, p3, ...) sao normais a direcao n.

Aplicando a segunda Lei de Newton para o corpo com massa m(kg) sujeito a gravidade g (m2/s)e acelerando com aceleracao a (m2/s) tem-se

ma = Fg + Fp +T (3.146)

onde Fg (N) e a forca peso, Fp (N) e a forca de empuxo e T (N) e a forca de tracao no cabo quesustenta o corpo.

A forca de gravidade e dada pela aceleracao da gravidade,

Fg = mg (3.147)


q

n

Fg

Fp

T

n

g

-a

g-a

q

p1p2 > p1

p3 > p1

Figura 3.39: Diagrama de corpo livre para o corpo imerso no fluido sob aceleracao.

Portanto, a tracao no cabo que suporta a massa e dada por

T = −m(g− a) − Fp (3.148)

Considerando que o corpo possui massa especıfica ρs e volume V , tem-se

T = −ρsV (g− a) − Fp = −ρsV ga − Fp (3.149)

onde ga = g − a e a gravidade aparente.A obtencao da tracao permitira determinar a orientacao do cabo e assim, o desvio do corpo emrelacao a posicao vertical inicial.A forca de empuxo depende da solucao do campo de pressao para o fluido. Da solucao acima,conforme mostrado na Figura 3.4.1, verificou-se que a pressao aumenta ao longo da direcao n.Sendo ga o modulo da aceleracao aparente na direcao n obteve-se p = po + ρgan. Aplicando essecampo de pressao na determinacao da forca de empuxo ao longo da direcao n, obtem-se

Fp = −ρV ga (3.150)

onde V e o volume do corpo, ou, vetorialmente,

Fp = −ρV ga (3.151)

Utilizando a expressao para a forca de empuxo empuxo no balanco de forca, tem-se

T = −ρsV ga + ρV ga = −(ρs − ρ)V ga (3.152)

Na direcao do vetor ga = gan, tem-se

Tn = −(ρs − ρ)V ga (3.153)

Observa-se que o sinal de Tn relaciona-se com a diferenca ρs − ρ. O corpo metalico com ρs > ρapresenta tensao apontada no sentido contrario de ga, como mostra a Figura 3.4.1. Por outro lado,para o balao de helio, ρs < ρ, e nesse caso Tn e apontado no mesmo sentido de n.

3.4.2 Exercıcios

Problema 1

Um corpo com massa especıfica ρs = 11000 kg/m3 esta suspenso por um cabo e completamenteimerso em agua com massa especıfica ρs = 1000 kg/m3 . (a) O reservatorio sofre uma aceleracaoa = 4 m/s2. Determine a deflexao do cabo em relacao a horizontal. (b) Determine a tensao nocabo. (c) Se a superfıcie do reservatorio esta na pressao patm = 101 kPa, determine a pressao emuma profundidade h = 2 m.

Problema 2 Um reservatorio cilındrico gira com velocidade angular ω = Ω k. O vetor posicaoem relacao ao eixo de rotacao e r = r i.


1. Mostre que ω × (ω × r) = −rΩ i.

2. Mostre que as equacoes para a variacao de pressao tornam-se

∂p

∂r= ρrΩ2

∂p

∂z= ρg

(3.154)

3. Mostre que a distribuicao de pressao torna-se

p = po − ρgz +1

2ρr2Ω2 (3.155)

onde po = p(r = 0, z = 0).

4. Mostre que o formato da superfıcie livre, para a qual p = patm, torna-se

z =po − patm

ρg+

Ω2

2gr2 (3.156)

Capıtulo 4

Analise integral de escoamentos

“ The most exciting phrase to hear in science, the one that heralds the most discoveries, is not’Eureka!’ (I found it!) but ’That’s funny...’ “

Isaac Asimov

A analise integral permite obter informacoes sobre o comportamento global do escoamento partindoapenas de informacoes nos seus contornos, sem a necessidade de se conhecer detalhes sobre oescoamento no interior do fluido.Nesse capıtulo, assume-se que o padrao geral do escoamento e conhecido. Parte-se da definicaode um volume de controle de interesse e prossegue-se na aplicacao dos princıpios de conservacaoda massa, quantidade de movimento linear e energia. Os resultados obtidos fornecerao relacoesentre as velocidades e forcas existentes nos contornos do escoamento e as variacoes de energiaexperimentadas pelo fluido.Para o desenvolvimento de formulacoes integrais, iniciaremos considerando situacoes undimension-ais com uma entrada e uma saida. O procedimento e de construcao das relacoes e analise dosresultados nas suas implicacoes fısicas. Ao final, tendo obtido o entendimento da aplicacao dosprincıpios de conservacao, as equacoes serao generalizadas para as suas formas matematicas maisgerais.

4.1 Conservacao da massa

A conservacao da massa descreve as relacoes entre o campo de velocidade e a variacao da massa noescoamento. Nosso estudo inicia-se com a definicao da relacao entre o movimento das partıculasde fluido e o campo de velocidade. A partir dessa relacao, definiremos a vazao.

4.1.1 Campo de velocidade

O vetor posicao rp identifica a posicao do centro de massa de uma partıcula de fluido em relacaoao sistema de coordenadas inercial, em cada instante de tempo t. A Figura 4.1.1 mostra umapartıcula de fluido em dois instantes de tempo subsequentes. No sistema cartesiano (x, y, z), comvetores de base i, j,k, o vetor posicao pode ser representado por

rp = xp i+ yp j+ zp k, (4.1)

onde xp(t), yp(t) e zp(t) sao os componentes do vetor posicao em cada instante de t. A fim deidentificar a partıcula, frente a todas as outras que formam o fluido, pode-se utilizar a posicao rp,oque ela ocupava no tempo to como um rotulo, ou seja, rp(rp,o, t).A velocidade da partıcula e dada por

vp =drpdt

= up i+ vp j+ wp k, (4.2)

91

92 CAPITULO 4. ANALISE INTEGRAL DE ESCOAMENTOS

rp(t)

vp(t)

z

x

rp(t+Dt)

Partícula de fluidono instante de tempo t

Trajetória

Partícula de fluidono instante de tempo t+Dt

Figura 4.1: Partıcula de fluido em um escoamento em dois instantes de tempo diferentes.

onde up(t), vp(t) e wp(t) sao os componentes do vetor velocidade em cada instante de tempo t.A derivada no tempo do vetor posicao e aplicada em cada componente individualmente. Assim,a evolucao no tempo da posicao da partıcula pode ser obtida da solucao do seguinte sistema deequacoes:

dxpdt

= up,

dypdt

= vp,

dzpdt

= wp,

(4.3)

com codicoes iniciais xp(t = 0) = xp,o, yp(t = 0) = yp,o e zp(t = 0) = zp,o.A descricao do movimento de todas as partıculas que formam o fluido, atraves da obtencao dasolucao para rp(t), certamente resultara na descricao do escoamento e de todas as suas carac-terısticas. Esse procedimento e chamado de Lagrangeano. O rastreamento das partıculas e es-pecificamente util quando desejamos conhecer o comportamento de partıculas com determinadaspropriedades, por exemplo, partıculas que carregam especies quımicas de interesse. Assim, essaestrategia, embora possıvel de ser aplicada em escoamentos em geral, pode se tornar onerosa enao justificavel. Geralmente, nos beneficiamos de solucoes que possam ser obtidas mais facilmenteatraves de um ponto de vista denominado de Euleriano. A abordagem Euleriana fundamenta-sena ideia de que o campo de velocidade v(x, y, z, t) descreve o valor da velocidade do escoamentoem todas as coordenadas (x, y, z) no mesmo instante de tempo t. Existe uma relacao direta entreo campo de velocidade e a velocidade das partıculas que formam o fluido. A velocidade na posicao(x, y, z) no tempo t corresponde a velocidade da partıcula que no tempo t ocupa a posicao (x, y, z),ou seja,

v [x = xp(t), y = yp(t), z = zp(t)] = vp(t) (4.4)

ou,u(xp, yp, zp, t) = up(t),

v(xp, yp, zp, t) = vp(t),

w(xp, yp, zp, t) = wp(t).

(4.5)

O campo de velocidade pode ser unidimensional, bidimensional ou tridimensional se dependeapenas de uma, duas ou tres coordenadas espaciais, respectivamente. Pode se desenvolver emregime transiente ou regime permanente, caso dependa ou nao do tempo, respectivamente.A partir do campo de velocidade podemos definir a calcular a vazao do escoamento atraves de umasuperfıcie. Para isso, partimos da observacao do movimento das partıculas que formam o fluido.

4.1. CONSERVACAO DA MASSA 93

4.1.2 Vazao massica

Consideraremos uma tubulacao formada por duas placas planas paralelas separadas por umadistancia h(m). Em uma dada posicao x, identificaremos uma superfıcie fictıcia cortando o es-coamento em direcao normal as paredes da tubulacao. Agora, consideraremos uma partıcula defluido que no tempo t = 0 encontre-se adjacente a essa superfıcie, conforme mostrado na Figura4.1.2(a). Apos um determinado tempo ∆t, a partıcula atravessou completamente a superfıciefictıcia e encontra-se exatamente do outro lado, conforme mostrado na Figura 4.1.2(b). Desejamosconhecer a taxa na qual a massa da partıcula atravessa a superfıcie selecionada. A massa dapartıcula e dada por

∆m = ρ∆V = ρ∆x∆y∆z. (4.6)

Dx

Dy

y

x

t = 0

u

(a)

Dx

Dy

y

x

t = Dt

u

(b)

Figura 4.2: Movimento de um partıcula de fluido atraves de uma superfıcie fictıcia em dois instantesde tempo diferentes.

A massa de fluido que atravessa a superfıcie na unidade de tempo e portanto

∆m

∆t=ρ∆x∆y∆z

∆t. (4.7)

O movimento observado restringe-se a direcao x. Assim, as coordenadas y (e z) permanecemconstantes. Para um fluido incompressıvel, a densidade ρ e constante. Observa-se que o centro demassa da partıcula deslocou-se uma distancia ∆x no intervalo de tempo ∆t. Assim, escreve-se

∆m

∆t= ρ

∆x

∆t∆y∆z. (4.8)

No limite em que ∆t→ 0 a razao ∆x/∆t tende para a velocidade instantanea u(x, y, z, t). Assim,pode-se escrever

∆m = lim∆t→0

(

∆m

∆t

)

= ρ

[

lim∆t→0

(

∆x

∆t

)]

∆y∆z = ρu∆y∆z (4.9)

onde ∆m e a vazao que cruza uma pequena regiao da superfıcie com area ∆y∆z.Agora, consideraremos que o escoamento seja dividido em um grande numero de partıculas queno tempo t = 0 se encontram adjacentes a superfıcie de interesse que corta a tubulacao transver-salmente, conforme mostra a Fig. 4.1.2(a). Mesmo em um escoamento unidimensional, cadapartıcula possui uma velocidade u(x, y, z, t) que pode ter modulo diferente, como representadopela magnitude dos vetores velocidade identificados na Fig. 4.1.2(a). Apos a passagem de uminstante de tempo ∆t, varias psrtıculas cruzaram a superfıcie, como mostrado na Fig. 4.1.2(b). Aspartıculas em contato com as paredes da tubulacao permaneceram estacionarias, mas as demaispartıculas movimentaram-se de acordo com as magnitudes das suas velocidades. Durante o perıodode tempo ∆t, mais partıculas seguiram as iniciais. A Fig. 4.1.2(b) mostra todas as partıculas queatravessaram a superfıcie durante esse tempo de observacao. A vazao massica total corresponde a


massa total das partıculas que atravessaram a superfıcie na unidade de tempo e pode, portanto,ser aproximada pela soma da massa de todas as partıculas que atravessaram a superfıcie em cadauma das regioes com area ∆y∆z, dividida pelo intervalo de tempo ∆t. Se todas as patıculas tema mesma massa, isso se torna simplesmente um exercıcio de contagem das partıculas mostradas naFig. 4.1.2(b).A fim de expressar essa contabilidade matematicamente, assumiremos que o escoamento da Fig.4.1.2 seja bidimensional, ou seja, nao ha variacao do campo de velocidade ao longo da direcao z(note que o campo de velocidade pode variar com x, mas a superfıcie de interesse localiza-se emuma dada posicao x). Assumindo que a dimensao da tubulacao na direcao z seja w e identificandocada partıcula em contato com a superfıcie com o subscrito i, tem-se

m =

N∑

i=1

(∆mi) =

N∑

i=1

(ρuw∆yi) (4.10)

y

x

t = 0

u

(a)

Dx

Dy(a)

hy

x

t = Dt

u

h

Figura 4.3: Movimento de um conjunto de partıculas de fluido atraves de uma superfıcie fictıciaem uma tubulacao formada por duas placas planas paralelas.

No limite em que ∆y → 0, a vazao total torna-se

m =

∫ h

0

ρuwdy (4.11)

onde y = 0 e y = h representam os limites que definem a superfıcie.A velocidade media na secao um e definida por

m = ρumA (4.12)

onde A e a area da secao transversal do escoamento.Assim, para a tubulacao formada pelas duas placas planas pode-se escrever

um =1

ρhw

∫ h

0

ρuwdy (4.13)

onde A = wh e a area da secao em analise.Em geral, a velocidade poderia variar ao longo de z tambem. Assim, em geral podemos escrever

m =

∫

A

ρudA (4.14)

onde dA = dydz representa um elemento de area sobre a superfıcie A.


A vazao volumetrica Q, util na descricao do escoamento de fluidos incompressıveis, e definida por

Q =m

ρ= umA. (4.15)

A partir da definicao da vazao massica m pode-se escrever a equacao da conservacao da massa.

4.1.3 A conservacao da massa

Um partıcula de fluido, por definicao, possui massa constante. Denotando por mp a massa dapartıcula, o princıpio da conservacao da massa para uma partıcula de fluido e expresso como

dmp

dt= 0. (4.16)

Agora, verificaremos o que acontece em uma regiao do escoamento envolvida por um volume decontrole. Definiremos o volume de controle como um volume conectado, ou seja, uma regiao doespaco que e continuamente delimitada por uma superfıcie de controle, aberto, ou seja, a superfıciede controle e permeavel as trocas de massa, constante, ou seja, sua dimensao e forma nao varia comtempo, e inercial, ou seja, estacionario ou se movendo com velocidade constante. Considerandoque a massa de um fluido nao pode ser nem criada nem destruıda, a massa contida em um volumede controle pode modificar-se apenas quando existe troca de massa com o exterior, ou seja, quandomassa entra nesse volume proveniente do seu exterior ou quando massa e entregue ao exterior.Portanto, o princıpio da conservacao da massa pode ser expresso para um volume de controlecomo:

Taxa de variacao damassa no interior

do VC

=

Quantidade de massaentrando no VC porunidade de tempo

−

Quantidade de massasaindo do VC porunidade de tempo

Matematicamente, podemos expressar esse princıpio como

∂m

∂t= (m)entra − (m)sai, (4.17)

ou,∂m

∂t− (m)entra + (m)sai = 0. (4.18)

onde m e a massa de fluido contida no volume de controle e m e a vazao instantanea que atravessaa superfıcie de controle nos locais onde ocorre entrada de massa, (m)entra, e nos locais onde ocorresaıda de massa, (m)sai. A diferenca entre as quantidades de massa saindo e entrando no volume decontrole na unidade de tempo (m)sai − (m)entra e a vazao massica lıquida que cruza a superfıciede controle para fora do volume de controle. Assim, pode-se tambem escrever

Taxa de variacao damassa no interior

do VC

+

Vazao massica lıquidasaindo do VC

= 0

A vazao massica lıquida saindo do VC representa um balanco instantaneo das quantidade de massatrocadas pelo volume de controle com o seu exterior. Quando o volume de controle e estacionario,o balanco de massa depende apenas do componente da velocidade do fluido normal a superfıcie decontrole.A fim de explorar a utilizacao desse princıpio, vamos aplica-lo em um escoamento com uma entradae uma saıda. Considere o volume de controle mostrado na figura (4.1.3). Nesta figura, um tanqueaberto para a atmosfera e preenchido por um lıquido ate um nıvel h (m). O tanque recebe lıquidopor uma tubulacao de entrada com area transversal A1(m

2) e entrega lıquido por uma tubulacao desaıda com area transversal A2(m

2). Na escolha do volume de controle, consideramos os seguintesfatores:


m1

m2

h

Figura 4.4: Conservacao da massa em um tanque com superfıcie aberta contendo uma entrada euma saıda.

• Por uma questao de objetividade, ele deve ser posicionado de forma a atravessar as secoes doescoamento nas quais conhecemos o valor da vazao e aquelas nas quais desejamos conheceros valores de vazao. Assim, o volume de controle acompanha as paredes do tanque, poissabemos que as velocidades normais sao nulas (nao ha vazamento atraves das paredes dotanque).

• Nas regioes onde ocorre escoamento, a fim de facilitar o calculo das vazoes, o volume decontrole e posicionado de forma a produzir areas de escoamento que sao normais ao vetorvelocidade nessas secoes. Assim, as superfıcies de controle com areas A1 e A2 cortam astubulacoes em direcao normal ao escoamento.

O tratamento da regiao da superfıcie livre merece maior cuidado. Embora possamos trabalharcom volumes de controle que se deformam com o tempo, uma forma bastante util de tratamentode interfaces, consideramos que o volume de controle utilizado tenha forma constante. Assim, porsimplicidade, por enquanto escolhemos negligenciar a existencia de escoamento de ar entrando ousaindo do volume de controle.A vazao massica entrando no volume de controle e m1(kg/s) enquanto que a vazao massica saindoe m2(kg/s). Como hipoteses adicionais neste exemplo, adotaremos que (1) nao existam outrasfontes ou sumidouros de massa (por exemplo, nao ha evaporacao da agua), (2) a temperatura daagua e constante e uniforme, (3) a massa especıfica da agua e constante e uniforme e (4) a massaespecıfica do ar e negligenciavel quando comparada com a da agua (ρar ≪ ρagua).Quando o nıvel h(m) nao varia com o tempo, considerando as hipoteses (1) e (2), pode-se intuirque a vazao de agua que entra e igual a vazao que sai do volume de controle. Isto pode ser expressocomo

m1 = m2 (4.19)

ou−m1 + m2 = 0 (4.20)

Quando se observa que o nıvel varia com o tempo, pode-se afirmar que a quantidade de aguapresente no interior do volume de controle, e portanto, sua massa m, varia com o tempo. Nestecaso, pode-se escrever que, em cada instante de tempo,

∂m

∂t= m1 − m2 (4.21)

Da hipotese (4), nota-se que nesta analise negligenciou-se a massa de ar que entra ou sai do volumede controle a medida que a agua e deslocada (esta hipotese sera removida mais tarde, obtendo-seessencialmente o mesmo resultado que e obtido a seguir).Da hipotese (3), ρ constante e uniforme implica que o fluido seja incompressıvel e nao se encontreestratificado. Sendo tambem a area transversal do tanque AT (m2) uniforme, podemos escreverm(t) = ρATh(t). Portanto, tem-se

∂h

∂t=m1 − m2

ρAT(4.22)


Esta equacao sugere que a variacao do nıvel de agua no tanque esta conectada, em cada instante detempo t, aos valores instantaneos das vazoes massicas m1 e m2. Quando se observa que ∂m/∂t = 0,diz-se que o escoamento se desenvolve em regime permanente ou estacionario. Em caso contrario, oescoamento se desenvolve em regime transiente. Observa-se que o regime permanente nao implicanecessariamente o equilıbrio mecanico, visto que podem haver aceleracoes presentes no interior dovolume de controle. Apenas afirma-se que a massa de partıculas entrando no tanque por unidadede tempo e igual a massa de partıculas saindo por unidade de tempo. Essa formulacao nadanos informa acerca dos padroes do escoamento no interior do tanque, como sobre a existenciade recirculacoes, jatos, ondas, quebra da superfıcie etc.. Na verdade, os detalhes do escoamentopodem ser bastante complicados. A unica informacao obtida aqui acerca do escoamento no volumede controle e de carater global, ou integral .

Nas tubulacoes de entrada e saıda, pode-se adquirir um nıvel adicional de detalhamento. Na figura(4.1.3) mostra-se um volume de controle posicionado na tubulacao de saıda do tanque. O volumede controle e posicionado em contato com as paredes da tubulacao e corta a secao transversal emdirecao normal ao escoamento. Utilizaremos as mesmas hipoteses listadas acima. Com relacao ahipotese (1), quando as paredes da tubulacao sao impermeaveis, nao ha escoamento atraves dasfaces laterais do volume de controle. Portanto, so ha escoamento nas faces verticais e denotamosas vazoes nestas faces por m1(kg/s) e m2(kg/s).

xy

m1 m2

Figura 4.5: Volume de controle posicionado na tubulacao de saıda do tanque.

O trecho de tubulacao em analise permanece constantemente preenchido por agua (neste caso, ahipotese (4) nao e necessaria). Assim, nao ha variacao com o tempo da massa no interior do volumede controle. Da conservacao da massa,

m1 = m2. (4.23)

Da definicao da velocidade media do escoamento, tem-se

m1 = ρum,1A1 = m2 = ρum,2A2 (4.24)

Para o fluido incompressıvel, tem-se

um,1A1 = um,2A2 (4.25)

Quando a area da secao transversal e igual na entrada e na saıda, A1 = A2, tem-se

um,1 = um,2 (4.26)

ou seja, a velocidade media e a mesma nas secoes de entrada e de saıda independentemente daforma da secao transversal e da complexidade do campo de velocidade, desde que a area e a massaespecıfica permanecam as mesmas. Novamente, a conservacao da massa na forma integral naogarante que todos os padroes de escoamento na entrada e na saıda sejam os mesmos, ou seja, naotemos informacoes sobre os detalhes do escoamento, apenas podemos afirmar que a velocidademedia, quaisquer que sejam os detalhes do escoamento, e a mesma.


4.1.4 Aplicacoes

Escoamento com multiplas entradas e saıdas

Para um volume de controle com multiplas entradas e saıdas, a extensao das ideias acima sugereque

∂m

∂t=

(

Ne∑

i=1

mi

)

entra

−(

Ns∑

i=1

mi

)

sai

(4.27)

onde Ne e o numero de entradas de fluido no volume de controle e Ns e o numero de saıdas defluido no volume de controle. Em regime permanente, ∂/∂t = 0, tem-se

(

Ne∑

i=1

mi

)

entra

=

(

Ns∑

i=1

mi

)

sai

(4.28)

Escoamento com interface

Na solucao para o escoamento no tanque adotamos a hipotese de que a massa especıfica do ar fossemuito menor que a massa especıfica da agua, ρa ≪ ρl, para que a variacao da massa de ar novolume de controle pudesse ser negligenciada. Na realidade, essa hipotese e desnecessaria. Pode-se tratar a agua como um sistema com volume variavel e obterıamos a mesma solucao anterior.Porem, podemos buscar uma formulacao mais geral entendendo que a superfıcie do fluido formauma interface entre o lıquido e o ar que se move com velocidade dh/dt.

h

m1

m2

m3

Superfície Camada de fluidoentre a superfície eo volume de controle

m3Volume decontrole

-dh/dt

Figura 4.6: Escoamento com interface.

Inicialmente, definiremos um volume de controle no interior do lıquido, como mostrado na figura4.1.4. A face superior do volume de controle toca a superfıcie do lıquido, porem, ainda estandoimersa no lado do lıquido. Para esse volume de controle, o escoamento ocorre em regime permanentee o lıquido remanescente acima da superfıcie do volume de controle penetra nesse com velocidadeinstantanea um,3. Assim, a equacao da conservacao da massa torna-se

−m1 + m2 − m3 = 0 (4.29)

Observa-se que quando a interface divide dois fluidos que nao se misturam (ou seja, o lıquido naoevapora e o gas nao sofre nem condensacao nem difusao no interior do lıquido), a velocidade dolıquido penetrando no volume de controle e a propria velocidade da interface, um,3 = −dh/dt.Assim, pode-se escrever

m3 = ρlum,3AT = −ρlATdh

dt(4.30)


e obtem-sedh

dt=

1

ρlAT(m1 − m2) (4.31)

Este resultado e rigoroso e conduz a solucao correta para o problema. Esse tratamento da interfacee estendido para o fluido no lado superior da interface quando ele e de interesse. Por exemplo,na figura 4.1.4, deseja-se conhecer a vazao de entrada do fluido 2 no volume de controle VC2,m4. Fluido 1 ocupa o volume sob a interface, identificado como VC1, enquanto que o fluido 2

Interface

Volume de controleaplicado na interface

-dh1/dt

h1

m1

m2

h2

VC2

VC1

VC3

Fluido 1

Fluido 2

m3,2

m3,1

m4

Figura 4.7: Escoamento com interface entre dois fluidos.

ocupa o volume sobre a interface, identificado como VC2. A interface e circundada por um volumeidentificado como VC3. Conforme acima, a velocidade da interface e um,3 = −dh1/dt. Assim, asvazoes dos fluidos 1 e 2 na regiao da interface sao dadas por

m3,1 = ρ1ATum,3 = −ρ1ATdh1dt

, m3,2 = ρ2ATum,3 = −ρ2ATdh1dt

(4.32)

onde m3,1 entra no VC1 e m3,2 deixa o VC2. A conservacao da massa aplicada ao fluido 1, damesma forma que acima, fornece,

−m1 − m3,1 + m2 = 0

−m1 −(

−ρ1ATdh1dt

)

+ m2 = 0

dh1dt

=1

ρ1AT(m1 − m2)

(4.33)

Para o fluido 2, tem-se−m4 + m3,2 = 0

m4 = −ρ2ATdh1dt

(4.34)

Entendendo que a face superior do VC2 acompanha a face superior do tanque e que a altura totaldo tanque h = h1 + h2 e constante, pode-se escrever

dh

dt=dh1dt

+dh2dt

= 0

dh2dt

= −dh1dt

(4.35)


Essa aplicacao introduz o que se denomina balanco de interface, ou, condicao de acoplamento em

uma interface. Os balancos de interface serao tambem utilizados em outras aplicacoes nos proximoscapıtulos.

Volume de controle com uma dimensao variavel

Frequentemente, a fim de avaliar a variacao da velocidade do escoamento ao longo de um volumede controle e interessante considerar uma formulacao onde a posicao de uma das faces do volume decontrole pode ser colocada livremente em qualquer posicao. Por exemplo, considere uma tubulacaovertical com secao transversal retangular com altura 2h (m) e largura (saindo da pagina) w (m),conforme mostra a figura 4.1.4.

y

x

v(x,y)um(x)

L

h h

m1

Figura 4.8: Escoamento em tubulacao com parede porosa.

A vazao massica na entrada e m1 (kg/s). A partir de uma certa posicao x = 0, a parede da direitase torna porosa ate uma posicao x = L e permite a saıda de escoamento com campo de velocidade

v = Vo

(

1− x

L

)

Deseja-se obter uma expressao algebrica para a velocidade media em qualquer secao transversalao longo da tubulacao um. Assumiremos regime permanente, que o fluido se comporte comoincompressıvel e que o escoamento seja invıscido. A conservacao da massa em um volume decontrole que se estende de x = 0 ate x fornece

−me + ms = 0 (4.36)

Considerando as estradas e saıdas de escoamento, tem-se

−m1 + m2 + m3 = 0 (4.37)

Na entrada, tem-se simplesmente me = m1. O escoamento deixa o volume de controle em duasregioes. No interior da tubulacao, tem-se

m2 = ρum,2A2

= ρum,22hw(4.38)

onde um,2 e a velocidade media na secao transversal da tubulacao.


Na saıda atraves da superfıcie porosa, tem-se

m3 =∫ x

0ρvdA

=∫ x

0ρVo

(

1− x

L

)

wdx

= ρVo

(

x− x2

2L

)

w

(4.39)

A equacao da conservacao da massa entao torna-se

m1 = ρum,22hw + ρVo

(

x− x2

2L

)

w (4.40)

ou,

um,2 =m1

ρ2hw− Vo

2h

(

x− x2

2L

)

= um,1 −Vo2h

(

x− x2

2L

) (4.41)

Portanto, obtem-se o resultado que um,2 depende da posicao x ao longo da tubulacao na qualposicionamos a superfıcie 2.Poderıamos agora perguntar: Qual deve ser o valor de Vo para que m2(L) = 0? Utilizando asolucao acima, obtem-se

Vo =2m1

ρhw

h

L

=2m1

ρLw.

(4.42)

ou seja, nessa condicao, a vazao massica atravessando a area wL deve ser igual a m1.

4.1.5 Generalizacao

Pode-se generalizar a aplicacao do princıpio da conservacao da massa em um volume de controlecom quaisquer superfıcies de entrada e saıda de escoamento. Para isto, defini-se uma forma maisrigorosa de calcular a vazao massica atravessando uma certa secao de escoamento.Tomando um elemento de area dA na secao de escoamento, o fluxo de massa dm atraves doelemento de area dA, cujo vetor normal unitario n aponta para fora da superfıcie de controle, edado por:

dm = ρ (v · n) dA (4.43)

O produto escalar (v · n) fornece o componente do vetor velocidade na direcao normal a area deescoamento. Este produto escalar pode ser interpretado da seguinte forma. Considere que o anguloformado entre os vetores v e n tem o valor θ em radianos. Da definicao do produto escalar,

v · n = |v| |n| cos(θ)= v n cos(θ) (4.44)

onde usa-se |v| = V para denotar o modulo do vetor velocidade v. Observa-se que, por definicao,|n| = n = 1. Assim,

v · n = V cos(θ) (4.45)

Observa-se que o sinal de cos(θ) depende do quadrante em que se encontra o angulo θ. Como anormal unitaria n aponta para fora do volume de controle, quando o componente da velocidadenormal a area de escoamento apontar para fora, tem-se que −π/2 < θ < π/2, e assim, cos(θ) > 0.Em caso contrario, quando π/2 < θ < 3π/2, cos(θ) < 0. Portanto, o produto escalar (v · n) serapositivo quando o componente da velocidade normal a area de escoamento apontar para fora da


superfıcie de controle, resultando em saıda de massa do volume de controle, e negativo em casocontrario.Assim, o fluxo lıquido de massa que cruza a superfıcie de controle, saindo do volume de controle,e dado por:


=

∫

A

dm =

∫

A

ρ (v · n) dA (4.46)

Note que o sinal e a magnitude do fluxo de massa em todos os pontos sobre a superfıcie de controlecom area A determinara quando o fluxo lıquido saindo do volume de controle sera positivo ounegativo.A quantidade de massa dm contida em uma regiao infinitesimal no interior do volume de controlee dada por

dm = ρ dV (4.47)

de tal forma que a massa total no interior do volume de controle e obtida de

m =

∫

V

ρdV (4.48)

A variacao com o tempo da massa no volume de controle e portanto

Variacao da massano interior do VC

=∂m

∂t=

∂

∂t

∫

V

ρ dV (4.49)

Substituindo-se as Equacoes (4.124) e (4.124) na Equacao (4.124), obtem-se a forma integral da

equacao da conservacao da massa,

∂

∂t

∫

V

ρ dV +

∫

A

ρ (v · n) dA = 0 (4.50)

Para um tubo com area transversal ao escoamento A(m2), a vazao massica m(kg/s) cruzando aarea A e dada por

m = ρmumA =

∫

A

ρ (v · n) dA (4.51)

onde um e a velocidade media normal a area A e ρm e a massa especıfica media do fluido atravesda area transversal A. Para o escoamento isocorico, ρm = ρ.O produto m” = ρv (kg/m2-s) e chamado de vetor fluxo de massa. A vazao volumetrica escoandona tubulacao dada por V = umA (m3/s), ou

V =m

ρm= umA =

1

ρm

∫

SC

ρ (v · n) dA (4.52)

Quando o escoamento e icocorico, ρm = ρ, e tem-se

V =m

ρ= umA =

∫

SC

(v · n) dA (4.53)

A aplicacao destas equacoes ao problema introduzido no inıcio da secao resulta nas equacoes obtidasanteriormente.

Escoamento em regime permanente

Em geral, o campo de velocidade e a massa especıfica do fluido podem variar espacialmente etemporalmente no volume de controle e atraves das superfıcies de controle. Quando a velocidade ea massa especıfica do fluido nao variam com o tempo, afirma-se que o escoamento se encontra emregime permanente. A hipotese de regime permanente implica que a massa especıfica e constante


no interior do volume de controle, nao necessariamente, precisando ser uniforme. Quando nao havariacao da massa no interior do volume de controle,


=∂

∂t

∫

V C

ρ dV = 0 (4.54)

Neste caso, a equacao da conservacao da massa na forma integral torna-se∫

SC

ρ (v · n) dA = 0 (4.55)

Como a massa especıfica pode ser variavel espacialmente (nao uniforme), ela permanece comovariavel na integracao ao longo da superfıcie de controle. Por exemplo, a massa especıfica podeser diferente na entrada e na saıda do volume de controle como resultado de variacoes de pressaoe temperatura. A velocidade tambem podera ser nao uniforme espacialmente, embora permaneca,em cada ponto, constante com o tempo. A dimensao do integrando e (kg/s-m2) e portanto, estaequacao expressa que a vazao massica lıquida saindo do volume de controle e nula.

Escoamento isocorico

E comum encontrar-se aplicacoes nas quais o fluido pode ser aproximado como tendo compor-tamento incompressıvel, ou, mais genericamente, quando o escoamento pode ser consideradoisocorico. Esta hipotese e satisfeita quando a massa especıfica do fluido nao variar significati-vamente com as variacoes de pressao e temperatura observadas ao longo do escoamento e ao longodo tempo. Nestes casos, a massa especıfica e uniforme na superfıcie de controle e o fluxo lıquidopode ser escrito como


=

∫

SC

ρ (v · n) dA = ρ

∫

SC

(v · n) dA (4.56)

Ainda, a massa especıfica e uniforme e constante no interior do volume de controle e assim


=∂

∂t

∫

V C

ρ dV =∂

∂tρ

∫

V C

dV =∂

∂tρV = 0 (4.57)

Assim, a equacao da conservacao da massa na forma integral torna-se∫

SC

(v · n) dA = 0 (4.58)

A dimensao do integrando da Equacao (4.124) e (m3/s-m2) e portanto, esta equacao expressa quea vazao volumetrica lıquida saindo do volume de controle e nula. Observa-se que esta equacao foidesenvolvida sem considerar que o campo de velocidade se encontra em regime permanente, apenas,considerou-se que a massa especıfica e uniforme e constante no volume de controle. Aplicacoesdesta equacao em escoamentos isotermicos ou com pequenas variacoes de temperatura incluem(1) o escoamento de fluidos homogeneos que podem ser considerados incompressıveis, como aagua em uma tubulacao ou o ar sujeito a pequenas variacoes de pressao, mesmo que o campode velocidade, e por consequencia o campo de pressao, estejam variando com o tempo, como nosescoamentos pulsantes, (2) escoamentos bifasicos de particulados solidos dispersos em um fluido,como partıculas solidas em suspensao em um meio lıquido ou poeira em suspensao em ar e (3)escoamentos bifasicos gas-lıquido, em regime de bolhas, com variacoes de pressao moderadas, comonas misturas de bolhas de ar em agua, quando a mistura for estatisticamente homogenea e naoestiver ocorrendo mudanca de fase ou difusao massica.

Escoamento isocorico na superfıcie de controle com massa total constante

Existem aplicacoes nas quais o escoamento na superfıcie de controle pode ser considerado isocorico,ou seja, com massa especıfica constante (com o tempo), embora, localmente, a massa especıfica


possa ser nao uniforme, o fluido possa ter comportamento compressıvel e possa haver variacoesde velocidade e massa especıfica com o tempo no interior do volume de controle. Nestes casos, amassa especıfica pode nao ser uniforme na superfıcie de controle. Porem, quando a massa total novolume de controle for constante, tem-se


=∂

∂t

∫

V C

ρ dV = 0 (4.59)

A equacao da conservacao da massa na forma integral torna-se

∫

SC

ρ (v · n) dA = 0 (4.60)

Esta equacao foi desenvolvida sem considerar que o campo de velocidade e massa especıfica seencontram em regime permanente e sejam uniformes, apenas, considerou-se que a massa total novolume de controle e constante. Aplicacoes desta equacao incluem escoamentos nos quais a massaespecıfica, embora constante com o tempo, apresente estratificacao ao longo do volume de controlecomo resultado de estratificacao de temperatura, pressao ou de concentracao de componentes namistura, o que inclui escoamentos bifasicos com partıculas solidas em suspensao estratificada, bol-has de gas, e camadas superpostas de fluidos diferentes, incluindo gas, e escoamentos de misturas ,como misturas de fluidos com solubilidade completa ou apresentando substancias dissolvidas, comoos escoamentos de agua com sal. Observa-se que neste caso se requer que a massa total no volumede controle permaneca constante, embora possa nao haver regime permanente do ponto de vistalocal dentro do volume de controle.


4.1.6 Exercıcios

Problema 1:O campo de velocidade de um escoamento pode ser representado no sistema cartesiano por umafuncao vetorial do tipo v = u i + v j + w k, na qual u, v e w sao os componentes do vetorvelocidade nas direcoes x, y e z, respectivamente. Indique se cada um dos campos de velocidadeabaixo e unidimensional, bidimensional ou tridimensional e se ele ocorre em regime permanenteou transiente. Nas equacoes a seguir, C1, C2 etc. representam constantes.

(1) v = C1 i+ C2 j

(2) v =(

C1y − C2y2)

i

(3) v = (C1xy) i

(4) v = (C1x+ C2) i+ (−C1y + C3) j

(5) v = (C1y) i+ (C1x) j

(6) v = (−C1y) i+ (C1x) j

(7) v =

(

C1y

x0.5

)

i+

(

C1y2

4x0.5

)

j

(8) v = (2C1xy) i+ (−C1yz) j+ C3 k

(9) v = (C1xyz) i

(10) v = [C1 cos(C2)] i+ [C1sen(C2)− C3t] j

Problema 2:Oleo escoa para baixo, numa fina camada com espessura h(m), sobre um plano inclinado, emregime permanente. Na secao mostrada na figura, o campo de velocidade e unidimensional comdistribuicao dada por v = u(y) i no qual o componente x do vetor velocidade vale

u = a

(

hy − y2

2

)

; (m/s)

sendo a = 104 (m-s)−1. Considere que a espessura do filme e h = 6 mm e a massa especıfica do oleoe ρ = 800 kg/m3. Para esse escoamento, determine: (a) a vazao massica, (b) a vazao volumetrica,(c) a velocidade media e (d) o modulo da velocidade maxima e a localizacao no eixo y onde elaocorre.

m

h

y

x

u(y)g

q

filme de óleo

plano inclinado

Figura 4.9: Pr. 2: Filme de fluido escoando sobre um plano inclinado.


Resposta:

(a) m =ρawh3

3; (b) V =

awh3

3; (c) um =

ah2

3; (d) umax =

ah2

2.

Problema 3:O tubo de venturi e um equipamento utilizado para a medicao de vazao. Nesse equipamentoa tubulacao com diametro D1 sofre uma reducao de diametro para o valor D2 e depois voltasuavemente ao diametro D3 = D1. Considere que a vazao volumetrica que escoa pela tubulacaovale Q (m3/s). Determine os valores da velocidade media do escoamento um nas secoes comdiametros D1, D2 e D3.

D3

D2

Q patm

ar

D1

Figura 4.10: Pr. 3: Tubo de Venturi.

Resposta:

um,1 =4Q

πD21

;um,2 =4Q

πD22

;um,3 =4Q

πD23

.

Problema 4:Um tanque com secao transversal circular com diametro D1 (m) aberto para a atmosfera sofre umvazamento atraves de uma fenda com secao transversal retangular com altura 2 h (m) e largura w(m), sendo w ≫ h. No instante mostrado, a taxa de variacao do nıvel no tanque e dL/dt (m/s). Ocampo de velocidade na fenda pode ser aproximado pelo comportamento unidimensional mostradona figura, no qual o componente x do vetor velocidade e dado por

u = C

[

1−(y

h

)2]

,

onde C e uma constante. (a) Obtenha a relacao entre C e a velocidade media do escoamento nafenda um (m/s). (b) Obtenha a relacao entre C e a taxa de variacao do nıvel no tanque dL/dt(m/s).

y

uh

h

m2

água

Superfície aberta para o ambiente, patm

L

D1g

y

uh

h

Gráfico do componente x da velocidadeno interior do duto

Figura 4.11: Pr. 4: Tanque com vazamento por uma fenda retangular.


Resposta:

(a) um =2C

3; (b) C =

3

16

πD21

wh

dL

dt.

Problema 5:Um trecho de tubulacao transportando agua contem uma camara de expansao cilındrica com umasuperfıcie livre com area 2 m2. As secoes de entrada e saıda tem ambas area de 0,1 m2. Num dadoinstante, a velocidade media na secao 1 e 3 m/s, para dentro da camara. A agua escoa para fora nasecao 2 a uma vazao volumetrica de 4 m3/s. Ambos os escoamentos estao em regime permanente.Determine:(a) A taxa de variacao do nıvel da superfıcie dh/dt (m/s).(b) Assumindo que em t = 0 o nıvel da agua se encontre no valor ho, encontre uma equacao parao nıvel instantaneo h em funcao do tempo.

h

DT

m1 m2

Figura 4.12: Pr. 5: Tanque de alıvio.

Resposta:

(a)dh

dt= −37

20; (b) h = ho −

37

20t.

Problema 6: (Para resolver no computador)Para o mesmo tanque do problema 5, considere que a velocidade media de entrada de agua nacamara de expansao permaneca constante em um,1 m/s, mas a velocidade media da agua que deixaa camara de expansao passa a ser descrita por

um,2 =√

Cgh

onde g e a aceleracao da gravidade, C e uma constante e h e o valor instantaneo da altura do nıvelde agua. Assumindo que o nıvel inicial seja ho(m):(a) Obtenha uma expressao para a taxa de variacao do nıvel da agua dh/dt.(b) Obtenha uma expressao para o nıvel instantaneo em funcao do tempo h(t).(c) Obtenha o valor final do nıvel h quando este atinge uma situacao de regime permanente.Explique fisicamente porque existe um regime permanente neste problema. Encontre o tempopara que o nıvel atinja 99 % do valor de regime permanente.(d) Arbitre valores para as constantes e faca graficos do nıvel de agua h e taxa de variacao dh/dtem funcao do tempo.(Dica: Esse problema e resolvido mais facilmente se voce usar algum programa computacional.)

Problema 7: A figura abaixo mostra um reservatorio sendo alimentado por um escoamentouniforme de agua com fluxo de massa G1 = m1/A (kg/m2-s). O reservatorio tem comprimento L(m) e largura W (m) (saindo do papel). A agua escoa para fora do reservatorio, devido a acaoda gravidade, atraves de uma tubulacao com diametro D2. A situacao abaixo mostra a condicaode regime permanente, ou seja, nao ha variacao no nıvel da agua dentro do reservatorio. Obtenhauma expressao para a velocidade media um na tubulacao de saıda.


D2

L

hm2

m1/A

Figura 4.13: Pr. 7: Reservatorio com fluxo uniforme na superfıcie.

Resposta:

um =4G1Lw

ρπD22

.

Problema 8:Um tanque cilındrico aberto para a atmosfera e alimentado com oleo na vazao massica m1 e comagua na vazao massica m2. Ao mesmo tempo, agua deixa o tanque na vazao massica m3. Assumaque as vazoes sejam constantes e encontre uma expressao para o nıvel do oleo em relacao ao fundodo tanque h = h1 + h2 como funcao do tempo h(t). Assuma que as massas especıficas do oleo eda agua sejam, respectivamente, ρo e ρl (kg/m

3).

h1

DT

m2

m1

m3

h2

CV1

CV2

Figura 4.14: Pr. 8: Reservatorio contendo dois fluidos.

Resposta:dh

dt=

1

AT

(

m1

ρo+m2 − m3

ρl

)

.

Problema 9:Um tanque admite agua na vazao volumetrica Ql = 0,01 m3/s e perde gasolina na vazao massicamg = 6 kg/s. Nessas condicoes, determine a velocidade media do ar no respiro circular comdiametro D3 = 20 mm e indique a direcao desse escoamento (se entrando ou deixando o tanque).Assuma que os fluidos apresentem comportamento incompressıvel e possuam massa especıfica ρa= 1,5 kg/m3 para o ar, ρg = 800 kg/m3 para a gasolina e ρl = 1000 kg/m3 para a agua. Assumaque o diametro do tanque e DT = 200 mm.


h1

DT

Ql

mg

h2

CV1

CV2

D3

vm,3

Ar

Gasolina

Água

Figura 4.15: Pr. 9: Tanque contendo um orifıcio de respiro de ar.

Resposta:

vm,3 =4

πD23

(

Ql −mg

ρg

)

.

Problema 10:

Dois tanques cilındricos abertos a atmosfera com diametros D1 e D2 estao conectados por umatubulacao com diametro D3. Assuma que a vazao atraves da tubulacao que conecta os dois tanquestenha velocidade media dada por

um,3 = C(h)0,5

para a qual C e uma constante positiva e h e a diferenca de nıvel entre os dois tanques. Assumaque a massa especıfica da agua seja ρ e encontre expressoes para os nıveis de agua nos tanques h1e h2 em funcao do tempo. Considere que os tanques partem com nıveis iniciais de agua h1,o e h2,o.Qual e a situacao de regime permanente?

h

CV1

CV2

patm

D1 D2

Água

g

h1

h2

D3

Figura 4.16: Pr. 10: Dois tanques abertos conectados.


Resposta:

h1 = h1,o − ρA3C

(

h1/2o t− ρA3C

2t2)

h2 = h2,o + ρA3C

(

h1/2o t− ρA3C

2t2)

Problema 11:Um tanque pressurizado com diametro D1 e conectado a um segundo tanque com diametro D2

que e aberto para a atmosfera. As vazoes volumetricas entre os tanques 1 e 2, Q3, e do tanque 2para o ambiente, Q4, sao respectivamente

Q3 = C1(p1 − p2

ρ)0,5, Q4 = C2(gh2)

0,5,

onde p1 e p2 sao, respectivamente, as pressoes estaticas no fundo dos tanques 1 e 2. Nessasequacoes, C1 e C2 sao constantes. Determine como a pressao pA no tanque 1 deva ser variada como tempo para manter a velocidade de saıda um4

constante. Considere que os tanques partem comnıveis iniciais de agua h1,o e h2,o.

CV1

CV2

D4um,4

patmpA

hÁgua

Ar

D1 D2

h1h2

Q3

p1 p2

Figura 4.17: Pr. 11: Dois tanques conectados.

Resposta:

h1 = h1,o −C2

A1

(gh2,o)0,5t ,

pA − patmρg

=

(

C2

C1

)2

h2,o − (h1,o − h2,o) +C2

A1

(gh2,o)0,5t.

Problema 12:Em um amortecedor hidraulico, um fluido hidraulico com massa especıfica ρ e pressionado nointerior de um orifıcio com diametro D1 por um pistao com diametro D2. Entre o pistao e aparede do orifıcio existe uma folga radial com espessura 2δ = D1−D2. Considere que a velocidadede deslocamento do pistao seja up constante.(a) Determine uma expressao para a variacao do comprimento do orifıcio L em funcao do tempo.(b) Determine uma expressao para a velocidade media do escoamento um na folga radial δ.


upD1D2

L(t)

F

Parede do orifícioPistão

Folga radial

Figura 4.18: Pr. 12: Amortecedor hidraulico.

Resposta:

L = Lo − upt , um =A2

A1 −A2

up.

Problema 13:Um fluido ocupa o espaco entre dois discos paralelos com diametro D2. A distancia entre os discose h. Para cada uma das situacoes descritas abaixo, determine uma expressao para a velocidademedia de saıda do escoamento um,2 na posicao r = R2 = D2/2.(a) Ambos os discos encontram-se estacionarios e a distancia que os separa e h constante. A vazaode entrada pela tubulacao com diametro D1 e m1 constante.(b) O disco inferior e estacionario, enquanto que o disco superior desloca-se para baixo com veloci-dade vp constante. A vazao de fluido que entra pela tubulacao com diametro D1 e nula, ou seja,m1 = 0.(c) O disco inferior e estacionario, enquanto que o disco superior desloca-se para baixo comveloci-dade vp constante e existe vazao m1 de fluido entrando pela tubulacao com diametro D1. Comoessa solucao se relaciona com as duas anteriores?

CV

D2

D1

h(t)

m1

vp

Disco superior

um,2

Disco inferior

Figura 4.19: Pr. 13: Difusor radial.

Resposta:

(c) um,2 =m1/ρ+ vpπD

22/4

πD2(ho − vpt).


Problema 14:Considere uma tubulacao vertical com secao transversal retangular com altura 2h (m) e largura(saindo da pagina) w (m). A partir de uma certa posicao x = 0, a parede da direita se tornaporosa ate uma posicao x = L. O campo de velocidade na posicao x = 0 e dado por

u = C

(

1− y2

h2

)

onde C > 0 e uma constante. A parede porosa permite a saıda de escoamento com campo develocidade

v = Vo

(

1− x

L

)

(a) Obtenha uma expressao algebrica para a velocidade media em qualquer secao transversal aolongo da tubulacao.(b) Determine o valor de Vo necessario para escoar pela parede porosa toda a vazao de agua queentra na tubulacao em x = 0.Dados: C = 6 m/s; h = 0, 1m; L = 1m; ρ = 1000 kg/m3; g = 9, 8 m/s2; p1 = 110 kPa (abs.).

y

x

v(x,y)u(x,y)

L

h h

p1

p2

g

Figura 4.20: Pr. 14: Escoamento em tubulacao com parede porosa.

Respostas :

(a) um =2

3C − Vo

2h

(

x− x2

2L

)

, (b) Vo =8

3Ch

L.

Problema 15:Determine a vazao volumetrica Q3 (m3/s) saindo do volume de controle atraves da superfıcie A-Cquando a velocidade uniforme de entrada na face a esquerda (superfıcie A-B) e U (m/s) e o campode velocidade na saıda a direita (superfıcie C-D) e

u =U

2

[

3y

δ−(y

δ

)3]

.

Assuma escoamento em regime permanente e que a largura do escoamento normal a pagina e w(m).


u

d

L

y

U U

y

x

y u

m3

A

B

C

D

Figura 4.21: Pr. 15: Escoamento em camada limite.

Respostas :

V3 =3

8wδU.

Problema 16:Uma tubulacao distribue ar em um ambiente atraves de uma grelha conforme mostrado na figuraabaixo. A grelha tem comprimento L (m) e larguraW (m). O ar deixa a grelha na direcao verticalcom velocidade uniforme e constante Vo (m/s). Na entrada da tubulacao, o campo de escoamentopode ser considerado unidimensional e em regime permanente com campo de velocidade dado por

u = U

[

1−(

2y

h

)2]

.

A densidade do ar e ρ (kg/m3) e o ar pode ser modelado como incompressıvel.(a) Determine uma equacao para a velocidade media do escoamento na entrada da tubulacao um(m/s).(b) Determine uma relacao entre o valor da velocidade U (m/s) e da velocidade Vo (m/s).(c) Determine uma equacao para a variacao com x da velocidade media um no interior da partechanfrada da tubulacao (sobre a grelha).

y

x

z

Vo

u

yh

L

W

u

U

y

-h/2

h/2

Figura 4.22: Pr. 16: Escoamento em uma grelha de distribuicao de ar.

Resposta:

(a) um =2

3U ; (b) Vo =

2

3

h

LU ; (c) um(x) =

2

3U (e constante com x).


Problema 17:Em um queimador, um tubo perfurado distribui a mistura ar-combustıvel com masssa especıficaρ ao longo de um comprimento L com velocidade constante Vo. O tubo possui area da secaotransversal circular e a vazao de saıda com velocidade Vo ocorre em metade do perımetro, A2 =πDL/2.(a) Determine a relacao entre a vazao volumetrica de entrada no queimador Q1 (m3/s) e a veloci-dade (uniforme) de saıda Vo (m/s).(b) Determine a distribuicao da velocidade media no tubo perfurado um (m/s) como funcao de x.

Vo

y

xA1

L

Q1

Figura 4.23: Pr. 17: Tubo perfurado.

Resposta:

(a) Vo =2Q1

πDL; (b) um(x) =

4Q1

πD2

(

1− x

L

)

.

Problema 18:Uma esteira se desloca para a direita em regime permanente, impulsionada pelos roletes com raioR (m) e velocidade angular ω (rad/s). Um alimentador descarrega um po sobre a esteira a umavelocidade constante vs (m/s). O po tem comportamento incompressıvel e tem massa especıfica ρs(kg/m3). (a) Determine a vazao de po na saıda da esteira, m2 (kg/s). (b) Determine uma equacaopara a variacao da espessura da camada de po h(x) (m) em funcao da distancia x (m). Assumaque a esteira tem largura saindo da pagina igual a W (m).

x

h(x) m2

Rw

rs, vs

L

Figura 4.24: Pr. 18: Esteira transportadora.

Resposta:

(a) m2 = ρsvsLW ; (b) h(x) =vsωR

x

4.2. CONSERVACAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR 115

4.2 Conservacao da quantidade de movimento linear

A equacao da conservacao da quantidade de movimento linear estabele relacoes entre a aceleracaoe as forcas que agem sobre o fluido. As forcas gravitacional e de pressao ja foram analisadasanteriormente no estudo da estatica dos fluidos. A existencia de escoamento proximo a superfıciessolidas cria forcas viscosas que contribuem para o balanco de forcas externas sobre o volume decontrole. As forcas viscosas na proximidade de superfıcies solidas, em geral, atuam na direcao davelocidade relativa vs−v, entre a velocidade da superfıcie solida vs e a do fluido v. A presenca dasforcas viscosas sera reconhecida, porem, estas ainda nao serao tratadas neste momento. A seguir,desenvolve-se as equacoes de conservacao da quantidade de movimento linear para uma partıculade fluido (um sistema) e para um volume de controle.

4.2.1 A quantidade de movimento linear para uma partıcula

O vetor quantidade de movimento linear de uma partıcula e o produto da sua massa pela suavelocidade, ou seja,

Pp = m vp (4.61)

E uma propriedade da partıcula, assim como a sua massa, composicao, ou energia.A Segunda Lei de Newton estabelece que a taxa de variacao da quantidade de movimento linearda partıcula e igual a resultante das forcas externas aplicadas sobre ela. Matematicamente, paraNf forcas externas, pode-se escrever

d

dt(mvp) =

Nf∑

i=1

Fi (4.62)

Como a partıcula, por definicao, possui massa constante, a segunda lei de Newton pode ser reescritacomo

Nf∑

i=1

Fi =d

dt(mvp) = m

dvp

dt= map (4.63)

onde

ap =dvp

dt(4.64)

Esta relacao expressa que a resultante das forcas aplicadas sobre uma partıcula causa uma acel-eracao, ou, inversamente, que uma variacao de quantidade de movimento de uma partıcula gera,como efeito, uma forca aplicada na direcao e sentido da variacao de quantidade de movimentoobservada. Esta variacao pode ser tanto de magnitude, como de direcao, conforme veremos nasaplicacoes.Tendo definido a quantidade de movimento linear como uma propriedade das partıculas do fluido,podemos determinar o que entendemos por escoamento de uma propriedade.

4.2.2 Escoamento de quantidade de movimento linear

Consideraremos uma tubulacao formada por duas placas planas paralelas separadas por umadistancia h(m), conforme mostrado na figura 4.2.2. Em uma dada posicao x, identificaremos umasuperfıcie fictıcia atraves da secao transversal da tubulacao. Agora, consideraremos uma partıculade fluido que no tempo t = 0 encontre-se adjacente a essa superfıcie (figura 4.2.2.a). Apos umtempo ∆t, a partıcula atravessou completamente a superfıcie fictıcia e encontra-se exatamentedo outro lado (figura 4.2.2.b). Novamente, conforme na secao anterior, o movimento observadorestringe-se a direcao x e, no limite em que ∆t → 0, a massa de fluido que escoa na unidade detempo pela area ∆y∆z e dada por

∆m = lim∆t→0

(

∆m

∆t

)

= (ρu)∆y∆z. (4.65)


y

x

t = 0

u

(c) (d)

h

Dx

Dy

y

x

t = 0

u

(a)

Dx

Dy

y

x

t = Dt

u

(b)

y

x

t = Dt

u

h

Figura 4.25: Escoamento entre duas placas planas paralelas - Definicao do escoamento de umapropriedade do fluido.

Agora, consideraremos que essa partıcula de fluido possua uma propriedade N , por exemplo,a massa de uma especie quımica, a energia interna, ou a quantidade de movimento linear. Apropriedade por unidade de massa e portanto η = N/m (propriedade/kg). Ao mover-se, a partıculacarrega em seu interior uma quantidade de propriedade igual a η∆m. Assim, a quantidade depropriedade que escoa na unidade de tempo pela area ∆y∆z e dada por

∆ (mη) = lim∆t→0

(

η∆m

∆t

)

= η (ρu)∆y∆z = η (ρu)∆A. (4.66)

No limite ∆A → 0, o escoamento total da propriedade η e dado pela integracao ao longo da area(figura 4.2.2), ou seja,

(mη)A =

∫

A

η (ρu)dA. (4.67)

onde, no exemplo da Fig. 4.2.2, dA = wdy e A = wh e a area da secao em analise.Quando a densidade da propriedade η (propriedade/kg) for uniforme ao longo da area, a integralse torna

(mη)A = η

∫

A

(ρu) dA = ηm. (4.68)

Portanto, o escoamento de uma propriedade N , (mη)A (propriedade/s), em uma determinada areade escoamento A (m2) e calculado de forma similar a vazao, ou seja, atraves da integracao do fluxodessa propriedade, ρuη [propriedade/(m2-s)], sobre a area de interesse.A quantidade de movimento linear P e uma propriedade do fluido, portanto, o escoamento dequantidde de movimento linear atraves de uma superfıcie pode ser calculado dessa forma. ComoP = mv, tem-se

(mv)A =

∫

A

v (ρu) dA. (4.69)


Essa e uma equacao vetorial. O vetor quantidade de movimento linear possui componentes mu,mv e mw. Assim, as propriedades por unidade de massa em cada direcao sao, respectivamente,ηx = u, ηy = v e ηz = w. Portanto, o escoamento atraves da area A, com fluxo de massa ρu(kg/m2-s), e responsavel pelo transporte dos 3 componentes da quantidade de movimento linear epara cada direcao, individualmente, pode-se escrever

Direcao x: (mu)A =∫

Au (ρu) dA,

Direcao y: (mv)A =∫

Av (ρu)dA,

Direcao z: (mw)A =∫

A w (ρu) dA.

(4.70)

Como mostraremos a seguir, o transporte de cada componente da quantidade de movimento linearestara relacionado a componente da resultante de forcas na mesma direcao.

4.2.3 A conservacao da quantidade de movimento linear

Pode-se estabelecer a conservacao da quantidade de movimento linear para um volume de controlecomo

Taxa de variacao daquantidade de movimentolinear no interior do VC

=

Quantidade de movimentolinear entrando no VCpor unidade de tempo

−

Quantidade de movimentolinear saindo do VCpor unidade de tempo

+

Resultante dasforcas externasagindo no VC


∂mv

∂t= (mv)entra − (mv)sai + F, (4.71)

ou,∂mv

∂t− (mv)entra + (mv)sai = F, (4.72)

onde mv e a quantidade de movimento linear contida no volume de controle e mv e a quantidadede movimento linear que atravessa a superfıcie de controle, por unidade de tempo, nos locais ondeocorre entrada de massa, (mv)entra, e nos locais onde ocorre saıda de massa, (mv)sai.A diferenca entre a quantidade de movimento linear saindo e entrando no volume de controle porunidade de tempo e igual ao balanco lıquido de quantidade de movimento linear saindo atraves dasuperfıcie de controle por unidade de tempo. Assim, pode-se escrever de forma equivalente


+

Quantidade de movimento linearlıquida saindo do VCpor unidade de tempo

=

Resultante dasforcas externasagindo no VC

A seguir, analisaremos duas aplicacoes em detalhe a fim de entender o tratamento de cada um dostermos da conservacao da quantidade de movimento linear.

4.2.4 Aplicacoes

Tubulacao reta com secao transversal uniforme

Inicialmente, consideraremos uma tubulacao reta com secao transversal uniforme, conforme mostraa figura 4.2.4. A tubulacao e formada por duas placas planas paralelas formando uma secaotransversal bidimensional. Assumiremos como hipoteses que (1) o fluido seja incompressıvel, (2)


o escoamento possa ser aproximado como tendo um campo de velocidade uniforme nas secoesde entrada e saıda com modulo da velocidade igual a U , (3) o escoamento ocorra em regimepermanente e (4) a gravidade aponte na direcao normal a linha de centro da tubulacao. O nossoobjetivo e obter equacoes para as forcas que o escoamento aplica sobre a tubulacao e, por meiodessas equacoes, buscar um entendimento sobre a interacao do escoamento de um fluido com asparedes que limitam esse escoamento.A conservacao da quantidade de movimento linear e uma equacao vetorial. Assim, iniciamos aanalise definindo:

• Um sistema de coordenadas que facilite a solucao do problema,

• Um volume de controle que envolva as variaveis conhecidas e aquelas desejadas.

O sistema de coordenadas deve ser aquele que possibilite a descricao matematica mais direta docampo de velocidade e das forcas envolvidas no problema. A tubulacao formada por placas planasparalelas limita um escoamento bidimensional para o qual um sistema de coordenadas cartesiano(x, y) e o mais adequado. Existem inumeras definicoes possıveis de volumes de controle para esseescoamento. Provavelmente, o unico aspecto em comum as varias definicoes seria a vantagemobtida no calculo da vazao quando posicionamos as faces do volume de controle em uma direcaonormal ao campo de velocidade que escoa no interior da tubulacao. Na analise que faremos,optaremos por posicionar o volume de controle inteiramente dentro da tubulacao, como mostraa figura 4.2.4. Nesse volume de controle, as propriedades nas superfıcies de entrada e saıda doescoamento receberao os subscritos 1 e 2 respectivamente. As superfıcies 3 e 4 estao no interior dofluido, mas acompanham as paredes da tubulacao. A largura do volume de controle na direcao ze considerada constante e igual a w.

(b) Diagrama de forças na direção x: (c) Diagrama de forças na direção y:

(a) Campo de velocidade e volume de controle:

xy

Fp,3

Fp,4A1 A2

Fm,1

VC

Fg Fm,2

A4

A3

xy

Fp,1 Fp,2

A1

A2Fm,4

VC

A4

A3Fm,3

xy

U U

A1A2

VC

m4 = 0

m3 = 0

m2m1

A3

A4

Figura 4.26: Balanco de forcas e quantidade de movimento em um volume de controle em umescoamento interno em uma tubulacao reta formada por placas planas paralelas.

A analise comeca pela aplicacao da conservacao da quantidade de movimento linear na direcao

x. O campo de velocidade pode ser representado genericamente como v = ui + vj. Assim, o


componente da velocidade na direcao x e representado por u. A massa contida no volume decontrole e m = ρV , onde V e o volume do volume de controle. Assim, a quantidade de movimentolinear na direcao x no interior do volume de controle e

(mu) =

∫

V

ρu dV. (4.73)

Portanto, a variacao da quantidade de movimento linear na direcao x no interior do VC torna-se

Taxa de variacao daquantidade de movimento

linear na direcao xno interior do VC

=∂

∂t(mu) .

Quando as paredes da tubulacao sao impermeaveis, nao ha escoamento atraves das superfıcieslaterais do volume de controle (m3 = m4 = 0). Portanto, so ha escoamento nas superfıcies 1 e 2 edenotaremos as vazoes nestas superfıcies por m1(kg/s) e m2(kg/s). As quantidades de movimentolinear por unidade de tempo entrando e saindo do volume de controle sao, respetivamente, (mu)1e (mu)2. Assim, o balanco de quantidade de movimento linear na direcao x torna-se

Quantidade de movimento linearna direcao x saindo do VCpor unidade de tempo

= −(mu)1 + (mu)2.

A variacao da quantidade de movimento linear e causada pela existencia de forca resultante atuandosobre o volume de controle. Denominaremos o componente na direcao x da resultante das forcasexternas atuando sobre o VC como FR,x,

Resultante dasforcas externasna direcao xagindo no VC

= FR,x.

Assim, a conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x para o volume de controlecom uma entrada (superfıcie A1) e uma saıda (superfıcie A2) e expressa como

∂

∂t(mu)− (mu)1 + (mu)2 = FR,x (4.74)

O diagrama de forcas na direcao x sobre o volume de controle e mostrado na figura 4.2.4(b).As forcas podem atuar sobre a superfıcie do volume de controle, sendo proporcionais a area dasuperfıcie de controle, ou sobre a massa contida no volume de controle, sendo proporcionais a estamassa. As primeiras sao denominadas de forcas de superfıcie e as segundas sao denominadas deforcas de corpo. Uma forca de corpo tıpica e a forca peso que resulta da acao da aceleracao dagravidade sobre a massa de fluido. A componente da forca peso na direcao x e

Fg,x = mgx, (4.75)

onde gx e o componente da aceleracao gravidade na direcao x.As forcas de superfıcie podem ser decompostas em componentes normal e tangencial sobre asuperfıcie de controle. A pressao do fluido exerce uma forca normal do lado de fora para o lado dedentro do volume de controle com modulo

Fp,x =

∫

A

p dA, (4.76)

onde A e a area da superfıcie de controle em contato com o fluido com distribuicao de pressao p(lembre dos desenvolvimentos no capıtulo sobre a Estatica dos Fluidos - eles permanecem validos


aqui). Para o volume de controle da figura 4.2.4(b), a forca de pressao aplicada na area A1 possuimodulo p1A1 e aponta na direcao positiva de x, enquanto que a forca de pressao aplicada na areaA2 possui modulo p2A2 e aponta na direcao negativa de x. As pressoes p1 e p2 sao entendidascomo as pressoes medias aplicadas sobre as superfıcies 1 e 2. Assim, para a tubulacao alinhadacom o eixo x, com area da secao transversal A = A1 = A2, tem-se

Fp,x = (p1 − p2)A. (4.77)

As tensoes de origem viscosa exercem forcas normais e tangenciais sobre a superfıcie de controle.As forcas na direcao x tem origem em tensoes viscosas normais nas faces verticais do volume decontrole e tensoes viscosas cisalhantes nas faces horizontais do volume de controle. As primeirassao usualmente pequenas quando comparadas com a forca normal de pressao e com a quantidadede movimento nesta area e serao negligenciadas, enquanto que as segundas serao agrupadas edenotaremos estas forcas simplesmente por Fµ,x = Fµ,3+Fµ,4 (aponta-se a forca viscosa na direcaopositiva de x apenas por comodidade - nao usaremos ainda uma argumentacao fısica para intuir adirecao dessa forca).Assim, a equacao da conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x torna-se

∂

∂t(mu)− (mu)1 + (mu)2 = mgx + (p1 − p2)A+ Fµ,x (4.78)

Conforme mostra a figura 4.2.4(a), o campo de escoamento adotado para esse exemplo e descritopor v = U i, ou seja, e uniforme e possui modulo U (U nao depende nem de x, nem y). Esse campode velocidade uniforme representa uma idealizacao, em geral muito util como primeira aproximacao,na qual negligenciamos o efeito da viscosidade nos detalhes do campo de velocidade1. Com o usodessa hipotese, a descricao do escoamento de um fluido incompressıvel, em uma tubulacao com

uma entrada e uma saıda (m1 = m2) e area da secao transversal uniforme (A1 = A2 = A), leva a(mu)1 = (mu)2

2. Assim, usando m = ρV , obtem-se

∂

∂t(ρV U) = ρV gx + (p1 − p2)A+ Fµ,x (4.79)

Em regime permanente ρU 6= f(t) e assumindo que o vetor aceleracao da gravidade possua com-ponente somente na direcao y, tem-se

Fµ,x = −(p1 − p2)A (4.80)

Este resultado expressa um equilıbrio de forcas na direcao xmostrando que uma variacao de pressaono fluido e observada como resultado da existencia de uma forca de origem viscosa tangencialaplicada pela parede da tubulacao sobre o fluido. Quando p1 > p2, a forca Fµ,x aplicada pelatubulacao sobre o fluido no interior do VC aponta na direcao negativa de x. Fisicamente, o fluidoaplica uma forca que tende a arrastar a tubulacao na direcao do escoamento (direcao positiva de x)e, assim, a forca aplicada pela parede para se manter estacionaria e apontada na direcao negativade x. O suporte mecanico da tubulacao deve resistir a essa forca viscosa gerada pelo escoamentodo fluido dada por Rx = −Fµ,x. Na completa ausencia de efeitos viscosos, tem-se p1 = p2 e Rx = 0para esse escoamento.A conservacao da quantidade de movimento linear na direcao y, usando os mesmos argumentosutilizados acima, resulta em

∂

∂t(mv)− (mv)1 + (mv)2 = FR,y (4.81)

1Isso nao implica que os efeitos viscosos foram negligenciados integralmente na descricao que buscamos, masapenas que a variacao da velocidade com y, e possivelmente x, tıpica dos escoamentos viscosos nao foi consideradaimportante para a nossa descricao.

2O mesmo resultado e obtido quando consideramos que o escoamento se encontra plenamente desenvolvido

fluidodinamicamente, porem, nao desejamos discutir essa hipotese no momento, pois sera abordada de forma maisconsistente no capıtulo apropriado.


Para esse escoamento, v = 0. Assim, a quantidade de movimento linear na direcao y no interior dovolume de controle e nula, (mv) = 0. O mesmo ocorre para as quantidades de movimento linearna direcao y entrando e saindo do volume de controle por unidade de tempo, (mv)1 = (mv)2 = 0.A conservacao da quantidade de movimento linear na direcao y entao se resume a um balanco deforcas de pressao, gravidade e viscosas. Considerando que A3 = A4 e colapsando as forcas viscosasem Fµ,y = Fµ,1 + Fµ,2, tem-se

0 = ρV gy + (p3 − p4)A3 + Fµ,y (4.82)

Em geral, as forcas viscosas nas superfıcies de entrada e saıda do escoamento sao negligenciaveisem relacao as forcas de pressao e a quantidade de movimento linear. Assim, Fµ,y = 0 e, lembrandoque gy = −g, tem-se

0 = −ρV g + (p3 − p4)A3 (4.83)

que e exatamente o balanco de forcas para o fluido estatico. Nota-se que V/A3 e exatamenteo espacamento h entre as placas paralelas. A forca sentida pelas paredes da tubulacao Ry eexatamente a resultante das pressoes aplicadas sobre elas, ou seja,

Ry = −(p3 − p4)A3 = −ρV g. (4.84)

Sendo p3 = p4 + ρgh, a forca aplicada pelo fluido sobre a parede e apontada na direcao negativade y e possui modulo igual ao peso do fluido contido no VC.

(b) Diagrama de forças na direção x: (c) Diagrama de forças na direção y:

(a) Campo de velocidade e volume de controle (VC2):

xy

Fp,1 Fp,2

A1

A2A4

A3

Fx,4

Fx,3 VC2

xy

A1 A2

Fm,1

VC

Fg Fm,2

A4

A3Fy,3

Fy,4

VC2

xy

U UA1

A2

m4 = 0

m2m1

A3

A4

VC2m3 = 0

Figura 4.27: Balanco de forcas e quantidade de movimento em um volume de controle em umescoamento interno em uma tubulacao reta formada por placas planas paralelas - Volume decontrole ao redor da tubulacao.

Os mesmos resultados obtidos acima para Rx e Ry podem ser calculados de forma mais diretacaso o volume de controle fosse posicionado ao redor da tubulacao, ao inves de no interior dessa,


conforme mostrado na 4.2.4. Do ponto de vista do escoamento, as mesmas conclusoes prevalecem,ou seja, (mu)1 = (mu)2 = mU e (mv)1 = (mv)2 = 0. Como as superfıcies horizontais (3 e 4)do volume de controle se localizam no lado de fora da tubulacao, as forcas viscosas e de pressaoexistentes no fluido dentro da tubulacao nao sao mais aplicadas nas superfıcies A3 e A4. A pressaonessas superfıcies e igual a pressao atmosferica externa, portanto, os efeitos da pressao atmosfericanas uperfıcies A3 e A4 anulam-se mutuamente. Porem, ao contrario do volume de controle anterior,esse volume de controle corta a parede da tubulacao e assim revela a presenca de tensoes internasque se manifestam como uma forca causada pelo restante da tubulacao sobre ela propria dentrodo volume de controle para se manter estacionaria. As forcas nas paredes da tubulacao na direcaox sao colapsadas em Fx = Fx,3 +Fx,4 e as forcas na direcao y sao colapsadas em Fy = Fy,3 +Fy,4.Assim, o balanco de forcas em regime permanente nas direcoes x e y tornam-se

Direcao x: 0 = (p1 − p2)A+ Fx,Direcao y: 0 = −ρV g + Fy,

(4.85)

ou,Direcao x: Fx = −(p1 − p2)A,Direcao y: Fy = ρV g.

(4.86)

Portanto, a forca exercida pelo fluido sobre a tubulacao na direcao x, Rx = −Fx, possui modulo(p1 − p2)A e e orientada na direcao positiva de x . Na direcao y, a forca que o fluido exerce sobrea tubulacao, Ry = −Fy, possui modulo ρV g e e orientada na direcao negativa de y.Esse problema mostra o efeito da forca viscosa no balanco de forcas integral em um volume decontrole e ressalta que uma escolha adequada do volume de controle pode levar a uma solucaomais direta para o problema. No proximo exemplo, avaliaremos o efeito de mudanca de direcao doescoamento.

Tubulacao curva com secao transversal uniforme

Agora, apliquemos a conservacao da quantidade de movimento linear para uma tubulacao queapresenta uma curva, conforme mostrado na figura 4.2.4. Ainda assumiremos as mesmas hipoteses,ou seja, que (1) o fluido seja incompressıvel, (2) o escoamento possa ser aproximado como tendoum campo de velocidade uniforme nas secoes de entrada e saıda com modulo da velocidade U ,(3) o escoamento ocorra em regime permanente e (4) a gravidade aponte na direcao vertical.Observa-se que a saıda da tubulacao e inclinada um angulo θ em relacao a horizontal. Assim,tanto a quantidade de movimento linear como a resultante das forcas na superfıcie de saıda A2

terao componentes nas direcoes x e y.A equacao da conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x para o volume decontrole com uma entrada (superfıcie 1) e uma saıda (superfıcie 2) e expressa como

∂

∂t(mu)− (mu)1 + (mu)2 = FR,x (4.87)

O campo de velocidade na superfıcie de entrada A1 e dado por v1 = U i. Assim, (mu)1 = mU .Na superfıcie de saıda A2, o campo de velocidade e v2 = U cos(θ) i+ Usen(θ) j. Assim, (mu)2 =mU cos(θ).Na configuracao mostrada na figura 4.2.4, tanto as forcas normais quanto as forcas tangenciaisaplicadas na superfıcie de saıda (A2) possuem componentes na direcao x. A contribuicao dasforcas viscosas na superfıcie de saıda, em geral, e negligenciavel quando comparada com a forcanormal de pressao e com a quantidade de movimento linear. As forcas normais se resumem, entao,as forcas de pressao. Mais importante nessa configuracao e observar que a pressao p1 aplicada naarea A1 sofre oposicao da pressao atmosferica aplicada na superfıcie oposta do volume de controle,da mesma forma que a pressao p2 tambem sofre oposicao da pressao atmosferica na superfıcieoposta. Essa situacao e esclarecida na figura 4.2.4. Nessa figura, as superfıcies A1 e A2 saoprojetadas no plano normal ao eixo x e subdivididas em tres regioes, identificadas como (1,1),(1,2), (2,1) e (2,2). Cada uma dessas regioes possui area que se relaciona com as areas A1 e A2:


xy

m2

U

U

A1

A2

q

m1

m4 = 0

m3 = 0

A4

A3

(b) Diagrama de forças:

(a) Campo de velocidade e volume de controle (VC2):

VC2Fp,1 A1

A2

q

A4

A3

Fp,2

Fm,1

Fg

Fm,2Fy

Fx

xy

Figura 4.28: Balanco de forcas e quantidade de movimento em um volume de controle em umescoamento interno em uma tubulacao curva.

A1 = A1,1 +A1,2 e, conforme mostra a figura 4.2.4(b), A2 cos(θ) = A2,1 +A2,2. Cada uma dessasregioes sofre o efeito de pressoes nos lados esquerdo (subscrito e) e direito (subscrito d). A pressaona superfıcie A1 causa uma forca normal que aponta na direcao x. Assim, Fp,1,x = Fp,1 = p1A1 =p1A1,1 + p2A1,2. A pressao na superfıcie A2 causa uma forca normal Fp,2 cuja componente nadirecao x e Fp,2,x = Fp,2 cos(θ) = p2A2 cos(θ) = p2A2,1 + p2A2,2. Portanto, conforme indicado nafigura 4.2.4(c), a forca resultante de pressao na direcao x torna-se

Fp,x = (Fe,1,1 + Fe,1,2 + Fe,2,2)− (Fd,1,1 + Fd,2,1 + F2,2)

= (p1A1,1 + p1A1,2 + patmA2,2)− (patmA1,1 + p2A2,1 + p2A2,2)

Rearranjando-se os termos acima, tem-se

Fp,x = (p1 − patm)A1,1 + p1A1,2 − p2A2,1 − (p2 − patm)A2,2

Adicionando e subtraindo patmA1,2, lembrando que A1,2 = A2,1, tem-se

Fp,x = (p1 − patm)A1,1 + (p1 − patm)A1,2 − (p2 − patm)A2,1 − (p2 − patm)A2,2

= (p1 − patm)(A1,1 +A1,2)− (p2 − patm)(A2,1 +A2,2)

Finalmente, A1,1 +A1,2 = A1 e A2,1 +A2,2 = A2 cos(θ), assim,

Fp,x = (p1 − patm)A1 − (p2 − patm)A2 cos(θ). (4.88)


(c) Forças de pressão na direção x:

(a) Diagrama de forças para o volume de controle (VC2):

A1,2

A1,1

A2,2

A2,1

A1,1

Fe,1,2

A2,2Fe,2,2

Fe,1,1 Fd,1,1

Fd,2,1

Fd,2,2

p1

p2patm

patm

q

Fp,1

Fp,2

VC2Fp,1

A1

A2

q

A4

A3

Fp,2

Fm,1

Fg

Fm,2Fy

Fx

xy

q

Fp,2

A2A2 cos(q)

(b) Projeção da área A2 :

Figura 4.29: Balanco de forcas e quantidade de movimento linear em um volume de controle emum escoamento interno em uma tubulacao curva.

Entao, admitindo regime permanente, a conservacao da quantidade de movimento linear na direcaox torna-se

−mU + mU cos(θ) = Fg,x + Fp,x + Fx. (4.89)

Usando as expressoes para a forca peso e a forca resultante de pressao na direcao x, tem-se

−mU + mU cos(θ) = mgx + (p1 − patm)A1 − (p2 − patm)A2 cos(θ) + Fx. (4.90)

Para A1 = A2 = A, m = ρUA. Admitindo que a aceleracao da gravidade possua apenas compo-nente na direcao y, tem-se

Fx = − [(p1 − patm)− (p2 − patm) cos(θ)]A− ρU2[1− cos(θ)]A (4.91)

Observa-se que a forca que a tubulacao aplica sobre o fluido Fx e proporcional a diferenca daforca de pressao e a variacao da quantidade de movimento linear na direcao x. A quantidade demovimento linear que entra e sai do volume de controle possui modulo constante, porem, varia emdirecao e esta variacao e expressa por 1− cos(θ). A Tabela 4.2.4 apresenta alguns casos especiaispara essa solucao. Quando θ = 0, 1 − cos(θ) = 0 e recupera-se a equacao para a tubulacao reta.Quando θ = π/2, 1 − cos(θ) = 1, existe a deflexao do escoamento em 90o, a pressao p2 naorealiza mais forca na direcao x e a deflexao completa do jato faz com que toda a quantidade demovimento linear na direcao x que entra no volume de controle, ρU2A, seja convertida em forcasobre a tubulacao. Quando θ = π, 1 − cos(θ) = 2, existe a deflexao do escoamento em 180o, e aforca atinge o valor maximo, tendo a contribuicao, tanto de p1 e p2, como de uma dupla deflexaoda quantidade de movimento linear na direcao x que entra no volume de controle, 2ρU2A.Uma analise semelhante para a direcao y, assumindo que gy = −g, fornece

Fy = ρV g + (p2 − patm)sen(θ)A + ρU2sen(θ)A. (4.92)

A Tabela 4.2.4 apresenta alguns casos especiais para essa solucao. Quando θ = 0, sen(θ) = 0 erecupera-se a equacao para a tubulacao reta. Quando θ = π/2, sen(θ) = 1, existe a deflexao doescoamento em 90o. A pressao p2 realiza forca na direcao y. A quantidade de movimento linear na


Tabela 4.1: Condicoes especiais para o escoamento em uma tubulacao curva com area uniforme,conforme mostrado na figura 4.2.4.

Solucao: Fx = − [(p1 − patm)− (p2 − patm) cos(θ)]A− ρU2[1− cos(θ)]A,

Fy = ρV g + (p2 − patm)sen(θ)A + ρU2sen(θ)A

θ Fx Fy

0 −(p1 − p2)A ρV g

90o −(p1 − patm)A− ρU2A ρV g + (p2 − patm)A+ ρU2A

180o −[(p1 − patm) + (p2 − patm)]A− 2ρU2A ρV g

direcao y, que era inexistente na entrada do volume de controle, torna-se ρUA e portanto, a geracaode quantidade de movimento linear na direcao y e causada pela forca que a tubulacao exerce sobreo escoamento. Essas parcelas contribuem para gerar uma forca da tubulacao sobre o fluido que eorientada para cima, na direcao positiva do eixo y. Finalmente, quando θ = π, sen(θ) = 0, existe adeflexao do escoamento em 180o, e a forca na direcao y torna-se identica aquela para a tubulacaoreta.As analises acima enfocaram dois escoamentos confinados e tiveram como finalidade explicitar otratamento dos termos de balanco de quantidade de movimento por unidade de tempo e da forcaresultante de pressao. Tambem, discutiu-se a importancia da escolha adequada do volume decontrole e da diferenca entre a forca aplicada pelo exterior sobre o fluido, a qual origina a forcaresultante responsavel pela criacao ou destruicao de quantidade de movimento linear no fluido, e aforca que o fluido aplica sobre o exterior, a qual e a reacao a primeira. A seguir, outras aplicacoesexplorarao outros aspectos dos problemas de interesse. Ao final, a formulacao sera generalizada.

Escoamento semi-confinado

Um jato de agua atinge uma superfıcie solida estacionaria cuja saıda forma um angulo θ com adirecao horizontal. Assumiremos como hipotese que (1) o fluido seja incompressıvel com massaespecıfica ρ, (2) o escoamento possa ser aproximado como tendo um campo de velocidade uniformenas secoes de entrada e saıda com modulo da velocidade U , (3) o escoamento ocorra em regime per-manente, (4) a gravidade tenha efeito negligenciavel e (5) as forcas viscosas sejam negligenciaveis.O jato deixa a tubulacao com velocidade uniforme com modulo V e area de escoamento A. Dese-jamos obter os valores das componentes x e y da forca que o escoamento causa sobre a superfıcie.A figura 4.2.4 mostra a situacao em analise.

h

Uq

jato de água

bocal

Superfíciecurva

Figura 4.30: Superfıcie solida curva e estacionaria que recebe um jato de agua com velocidade U .

O volume de controle selecionado envolve a superfıcie solida, cortando a haste de suporte. As


propriedades nas superfıcies de entrada e saıda do escoamento sao identificadas pelos subscritos 1e 2, respectivamente. Na regiao onde o volume de controle corta a haste que suporta a superfıcie,aparecem as componentes Fx e Fy da forca que a haste exerce sobre o volume de controle. A figura4.2.4 mostra o volume de controle adotado e outras caracterısticas do escoamento.

h

Uq

jato de água

bocal

Superfíciecurva

1 2

Campo de velocidadeuniforme

U

h

VC

Fx

Fy


U

hq

U cos q

Figura 4.31: Escolha de volume de controle e posicao das componentes Fx e Fy da forca que ahaste exerce sobre o volume de controle.

Em regime permanente (hipotese 2), a conservacao da massa para o volume de controle com umaentrada e uma saıda resulta em

−m1 + m2 = 0 (4.93)

ou seja, m1 = m2. A vazao na superfıcie de entrada (1) e dada e vale m1 = ρV A. Na ausencia degravidade e de efeitos viscosos (hipoteses 4 e 5), um,1 = um,2 = U . Assim, A1 = A2 = A.Nesse problema, a gravidade foi negligenciada (hipotese 4). A pressao que atua sobre toda asuperfıcie do volume de controle e patm e, portanto, nao ha forca resultante de pressao. Assim, aunica forca na direcao x e aquela que existe no interior da haste que suporta a superfıcie solida.Entao, a conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x fornece

−(mu)1 + (mu)2 = Fx (4.94)

Como as velocidades nas superfıcies 1 e 2 sao uniformes e iguais a V ,

−(ρUA)U + (ρUA)U cos θ = Fx (4.95)

A forca que o fluido exerce sobre a superfıcie e Rx = −Fx. Assim,

Rx = ρU2A(1 − cos θ). (4.96)

A conservacao da quantidade de movimento linear na direcao y fornecce

−(mv)1 + (mv)2 = Fy (4.97)

Na superfıcie 1, v1 = 0. A velocidade na superfıcie 2 e uniforme e igual a U , entao

(ρUA)Usenθ = Fy (4.98)

A forca que o fluido exerce sobre a superfıcie e Ry = −Fy. Assim,

Ry = ρU2A senθ. (4.99)


Nota-se que a forca em y cresce com o aumento de θ atingindo o valor maximo com θ = 90o.Pode-se verificar o angulo da forca resultante na haste com relacao ao eixo x. Sendo Fx e Fy ascomponentes nas direcoes x e y, tem-se

tan α =Fy

Fx=

(ρU2A)senθ

(ρU2A)(cos θ − 1)=

senθ

(cos θ − 1)=

senθ

− cos θ= −tan θ (4.100)

Logo, α = π − θ. Essa forca e exatamente a resultante do vetor escoamento de quantidade demovimento nas superfıcies de entrada e saıda do escoamento, FR = −(mv)1 + (mv)2.Percebe-se nesse problema a forca gerada pela variacao da direcao do escoamento de quantidadede movimento linear. O proximo exemplo mostra que o escoamento se ajusta internamente paragarantir que a quantidade de movimento linear seja conservada nas direcoes onde nao ha forcaresultante.Nessa aplicacao, vamos considerar um jato plano de agua atingindo uma placa plana inclinadaem um angulo θ. O jato, com espessura inicial h1, dividi-se em dois com espessuras h2 e h3.Assumiremos como hipotese que (1) o fluido seja incompressıvel com massa especıfica ρ, (2) oescoamento possa ser aproximado como tendo um campo de velocidade uniforme nas secoes deentrada e saıda com modulo da velocidade U , (3) o escoamento ocorra em regime permanente, (4)a gravidade tenha efeito negligenciavel e (5) as forcas viscosas sejam negligenciaveis. O jato deixa atubulacao com velocidade uniforme com modulo V e area de escoamento A1. Desejamos conheceras espessuras h2 e h3 dos jatos de saıda e o valor da forca normal aplicada sobre a superfıcie. Afigura 4.2.4 mostra a situacao em analise.

U

jato deágua

bocal

q

U

U

h1

Figura 4.32: Escoamento de um jato sobre uma superfıcie inclinada.

O volume de controle deve cortar as superfıcies com escoamento em direcao normal ao vetor veloci-dade e evidenciar a forca que se deseja calcular. A figura 4.2.4 mostra um volume de controle queenvolve a estrutura, dessa forma, eliminado forcas causadas pela pressao. O sistema de coordenadasacompanha a superfıcie.A conservacao da massa fornece

−m1 + m2 + m3 = 0

−ρUA1 + ρUA2 + ρUA3 = 0(4.101)

que fornece a relacao entre areas de escoamento

A1 = A2 +A3. (4.102)

A conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x fornece

−(ρUA1)u1 + (ρUA2)u2 + (ρUA3)u3 = Fx (4.103)


U

jato deágua

bocal

q

U

U

h1

h2

h3

x

y

Fy

Fx

Figura 4.33: Volume de controle e variaveis no escoamento de um jato sobre uma superfıcie incli-nada.

A velocidade em cada face e dada por

u1 = U cos θ

u2 = U

u3 = −U

(4.104)

Ao longo da direcao x, na ausencia de atrito viscoso e forca de gravidade, nao ha forca resultante.Assim,

−(ρUA1)U cos θ + (ρUA2)U − (ρUA3)U = 0

−A1 cos θ +A2 −A3 = 0(4.105)

Resolvendo para as equacoes 4.102 e 4.105 tem-se

A2 =A1

2(1 + cos θ)

A3 =A1

2(1− cos θ)

(4.106)

Observa-se que θ = 0 implica em h1 = h2 e h3 = 0, enquanto que θ = π/2, h2 = h3 = h1/2.A conservacao da quantidade de movimento linear na direcao y fornece

−(ρUA1)v1 + (ρUA2)v2 + (ρUA3)v3 = Fy (4.107)

A velocidade em cada face e dada por

v1 = −Usen θ

v2 = v3 = 0.(4.108)

A unica forca na direcao y e aquela provida pela haste para manter a placa estacionaria. Assim,

Fy = ρU2A1sen θ. (4.109)

A maxima forca em y e conseguida quando θ = π/2, quando toda a quantidade de movimentosendo transportada na direcao y e destruıda. A forca exercida pelo fluido sobre a placa e a reacaoa forca calculada acima, ou seja,

Ry = −Fy = −ρU2A1sen θ. (4.110)


Portanto, o fluido aplica uma forca na direcao negativa de y com modulo igual ao escoamento dequantidade de movimento na direcao y que e defletido.

Volume de controle movendo-se com velocidade constante

Vamos agora considerar que a superfıcie analisada acima e fixada sobre um carro que desliza sematrito sobre uma superfıcie horizontal. A figura 4.2.4 mostra a situacao em analise. Incialmente,colocaremos um cabo para prender o carro, de forma a permanecer estacionario.

h

Uq

jato de água

bocal

Superfíciecurva

carro

Figura 4.34: escoamento de um jato sobre uma superfıcie presa a um carro.

Podemos determinar a tensao que o cabo aplica sobre o carro utilizando o volume de controlemostrado na figura 4.2.4. O resultado e o mesmo obtido anteriormente, ou seja,

Fx = ρU2A(1 − cos θ). (4.111)

h

Uq

jato de água

bocal

Superfíciecurva

1 2


U

h

VC

Fx

carro


U

hq

U cos q

Figura 4.35: Volume de controle e variaveis no escoamento de um jato sobre uma superfıcie presaa um carro.

Agora, cortaremos o cabo. O carro acelerara e, mediante a aplicacao de uma forca de frenagem,atingira uma velocidade constante V . Desejamos obter o valor da forca de frenagem requeridapara manter a velocidade V constante. A aplicacao da conservacao da quantidade de movimentolinear na direcao x requer que se defina um sistema de coordenadas fixo no volume de controle,portanto, deslocando-se com velocidade V . Nesse caso, as equacoes da conservacao da massa e daquantidade de movimento linear sao formuladas em termos da velocidade relativa do escoamento,definida como

vrel = v−V. (4.112)


h

Uq

jato de água

bocal

Superfíciecurva

1 2


U

h

VC

Fx

carro


U

hq

U cos q

V

Figura 4.36: Volume de controle e variaveis no escoamento de um jato sobre uma superfıcie presaa um carro, sob freangem.

A aplicacao da conservacao da massa resulta em:

−m1 + m2 = 0 (4.113)

A partir da velocidade relativa na entrada, tem-se

m1 = ρ(U − V )A1. (4.114)

Assim, pode-se escreverm2 = m1 = ρ(U − V )A1. (4.115)

Verifica-se entao que a velocidade relativa na saıda do escoamento e U − V .A aplicacao da conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x tem-se

−(mu)1 + (mu)2 = −Fx (4.116)

Assim,− [ρ(U − V )A1] (U − V ) + [ρ(U − V )A1] (U − V ) cos θ = −Fx (4.117)

ou,Fx = ρ(U − V )2A1(1− cos θ). (4.118)

Observa-se que, quando V = 0, recupera-se a solucao anterior. Ainda, na ausencia de forca defrenagem, Fx = 0, a velocidade terminal do carro torna-se V = U .

4.2.5 Generalizacao

O escoamento total da propriedade η e dado pela integracao ao longo da area, ou seja,

(ηm) =

∫

A

η (ρv · n) dA. (4.119)

onde A = wh e a area da secao em analise.Quando a densidade de propriedade η for uniforme ao longo da area, a integral torna-se

(ηm) =

∫

A

η (ρv · n) dA = ηm. (4.120)

Assim, o escoamento de uma propriedade N pode ser calculado da mesma forma que a vazao defluido e calculada em uma area de escoamento.


A quantidade de movimento linear P e uma propriedade do fluido. O vetor quantidade de movi-mento linear possue componentes mu, mv e mw. Portanto, as propriedades por unidade de massasao, respectivamente, ηx = u, ηy = v e ηz = w. Assim, o escoamento atraves da area A eresponsavel pelo transporte dos 3 componentes da quantidade de movimento linear,

(mu) =∫

Au (ρv · n) dA,

(mv) =∫

A v (ρv · n) dA,

(mw) =∫

A w (ρv · n) dA.(4.121)

O transporte de cada componente estara relacionado a componente da resultante de forcas namesma direcao. A partir da definicao de escoamento de uma propriedade, pode-se estabeleceraformulacao de volume de controle para a conservacao da quantidade de movimento linear.A quantidade de movimento no interior do volume de controle e o produto da massa pelo vetorvelocidade. No entanto, a massa especıfica do fluido pode variar no interior do volume de controle.Assim, a taxa de variacao da quantidade de movimento no interior do volume de controle e dadapela integracao no volume do vetor quantidade de movimento local, ou seja,


=∂

∂t

∫

V C

ρv dV (4.122)

O fluxo lıquido de quantidade de movimento atraves da superfıcie de controle e o produto daquantidade de movimento pela vazao que atravessa a superfıcie de controle integrada em toda asuperfıcie de controle, ou seja,

Escoamento lıquido daquantidade de movimentolinear atraves da SC

=

∫

SC

ρv(v · n)dA (4.123)

Assim, a equacao da conservacao da quantidade de movimento linear para um volume de controleresulta em

∂

∂t

∫

V C

ρv dV +

∫

SC

ρv(v · n)dA =

N∑

i=1

F (4.124)

Esta e uma equacao vetorial, e possui portanto as seguintes componentes no sistema cartesiano:

∂

∂t

∫

V C

ρu dV +

∫

SC

ρu(v · n)dA =

N∑

i=1

Fx

∂

∂t

∫

V C

ρv dV +

∫

SC

ρv(v · n)dA =

N∑

i=1

Fy (4.125)

∂

∂t

∫

V C

ρwdV +

∫

SC

ρw(v · n)dA =N∑

i=1

Fz

Novamente, convenciona-se a direcao do vetor normal unitario como apontado para fora da su-perfıcie de controle. Assim, o produto escalar ρ(v · n)dA expressa a projecao do fluxo massico(kg/s-m2) na direcao do vetor normal, ou seja, o componente do vetor fluxo massico saindo do vol-ume de controle atraves da superfıcie de controle. Este componente de fluxo deixando o volume decontrole transporta quantidade de movimento nas tres direcoes, incluıdas nas respectivas equacoesde conservacao.Para um escoamento unidimensional na direcao x, quando A e normal a direcao x, tem-se

(mu) =

∫

SC

ρu(v · n)dA

=

∫

A

ρuudA =

∫

A

ρu2dA (4.126)


Para um campo de velocidade que varie ao longo da area A, em geral, o valor de (mu) e diferentede ρu2mA. Em geral, pode-se estabelecer que que

(mu) =

∫

A

ρu2dA = fumum = fuρu2mA (4.127)

onde

fu =1

ρu2mA

∫

A

ρu2dA. (4.128)

Para o escoamento em trechos retos de tubulacoes com velocidades suficientemente altas essacorrecao e usualmente proxima de 1. Esse aspecto sera analisado novamente no capıtulo sobre oescoamento interno.A forca de corpo devido a acao da aceleracao da gravidade e calculada por

Fb,g =

∫

V C

ρgdV (4.129)

As forcas de superfıcie possuem componente normal e tangencial. A componente normal e obtidaa partir da integracao do componente do tensor tensao normal a superfıcie de controle

Fs,n =

∫

SC

(T · n) dA =

∫

SC

−pndA+

∫

SC

(S · n) dA (4.130)

onde S e o tensor tensao viscoso.O primeiro termo e o componente que corresponde a forca exercida pela pressao e o segundo termocorresponde a forca normal exercida pelas tensoes viscosas normais. O componente tangencial eobtido da integracao do componente do tensor tensao tangencial a superfıcie de controle

Fs,t =

∫

SC

(T · t) dA =

∫

SC

(S · t) dA (4.131)

As equacoes apresentadas admitem que o sistema de referencia e inercial com velocidade de deslo-camento zero. A extensao para um volume de controle que se move com velocidade uniforme econstante (tambem inercial) e obtida verificando que a vazao que de fato atravessa a superfıcie decontrole e dada pela velocidade relativa do escoamento em relacao ao volume de controle v - w,onde w e a velocidade do volume de controle. Assim, tem-se

∂

∂t

∫

V C

ρv dV +

∫

SC

ρv[(v −w) · n]dA =

N∑

i=1

F (4.132)

A aplicacao para um volume de controle que apresenta aceleracao nao sera revista aqui, podendoser encontrada nas referencias.


4.2.6 Exercıcios

Problema 1:

Uma lamina de agua com espessura uniforme h (m) e velocidade V (m/s) na origem escoa ao redorde um pendulo formado por uma haste reta rigidamente presa a um cilindro com diametro D (m)e comprimento (na direcao normal a folha) w (m). (a) Determine o valor da forca na direcaohorizontal Fx (N) aplicada pela lamina de agua sobre o pendulo. (b) Determine o valor da forcana direcao vertical Fy (N) aplicada pela lamina de agua sobre o pendulo. (c) Se o atrito no pinoO for nulo, para que direcao se deslocara o cilindro? Nao esqueca de enunciar as suas hipotesessimplificativas.

Dados : V = 0, 5 m/s, ρ = 1000 kg/m3 (agua), g = 9, 8 m/s2, patm = 101325 Pa, h = 7 mm,w = 40 mm, D = 30 mm, θ = 45o.

q

h

V

O

Figura 4.37: Problema 1: Pa em forma de concha recebendo um jato de agua.

Resposta:

(a) Fx = ρV 2hw sen θ; (b) Fy = ρV 2hw(1 − cos θ).

Problema 2:

Um jato de agua plano, vertical, aberto para a atmosfera, com altura H(m), diametro d (m) evelocidade V (m/s) atinge uma placa circular com diametro D = 2R (m), que e presa rigidamentea uma haste que oscila livremente em um pino na origem O. A outra extremidade da haste aplicauma forca Ry (N) na direcao vertical, conforme mostra a figura abaixo. Assuma que nao ha atritona articulacao O e determine o valor da forca Ry (N). Nao esqueca de listar as suas hipoteses.

Ry

V

O

a b

H

R

d

Figura 4.38: Problema 2: Placa plana suspensa por um jato de agua.


Dados : V = 25 m/s; d = 0, 02 m; H = 0, 3 m; D = 0, 2 m; a = 0, 3 m; b = 0, 1 m; ρ = 1000 kg/m3;g = 9, 8 m/s2; patm = 101325 Pa.

Resposta:

Ry =

(

ρV 2πd2

4− ρ

πd2

4Hg

)

a

b.

Problema 3:

Um tanque pressurizado na pressao p1 (Pa) descarrega agua com velocidade V2 (m/s) sobre umanteparo na forma de um disco com o mesmo diametro do jato de saıda, D2 (m). O anteparo defleteapenas parcialmente a quantidade de movimento e o fluido deixa o anteparo como um jato plano naforma de sino. Na borda do anteparo, o jato de saıda forma um angulo θ com a vertical, conformemostra a figura. (a) Utilizando a equacao da conservacao da quantidade de movimento linear naforma integral, determine uma expressao para a velocidade V2 (m/s) de saıda do tanque em funcaode p1, patm, ρ, g e h. (b) Conhecendo o valor de V2 (m/s) e as demais variaveis do problema,determine uma expressao para a forca na direcao vertical Fy (N) que deve ser aplicada sobre oanteparo para mante-lo estacionario. Nao esqueca de enunciar as suas hipoteses simplificativas.

Fy

HV2

D1

p1

D2

q

patm

h

Figura 4.39: Problema 3: Jato de agua na saıda de um tanque.

Resposta:

(a) V2 =

(

p1 − patmρ

+ gh

)1/2

; (b) Fy = ρV2A2

(

V 22 + gH

)1/2(1 − cos θ).

Problema 4:

Um tunel de vento e utilizado para medir a forca de arraste causada pelo escoamento de ar sobreum cilindro com diametro D, como mostra a figura abaixo. Na entrada da secao de testes, oescoamento e uniforme e possui magnitude V1(m/s). Na saıda da secao de teste, as medicoesmostram que o escoamento e uniforme desde a parede ate a posicao y = b e depois cai lineramentea zero na linha de centro. Na parte em que ele e uniforme, a magnitude da velocidade e V2. (a)Obtenha o valor de V2 em funcao de V1 e das demais variaveis do problema. (b) Determine umaexpressao para a forca de arraste por metro de comprimento do cilindro Fx/w (N/m). Assumaque o ar se comporta como fluido incompressıvel e que o escoamento se comporte como invıscido.


b

b

h

h

V2

cilindroEntrada Saída

V1

Figura 4.40: Problema 4: Escoamento ao redor de um cilindro.

Resposta:

(a) V2 = V1

(

1− b

2h

)

−1

; (b)Fx

2w= ρV 2

1 h

[

(

1− 2b

3h

)(

1− b

2h

)

−2

− 1

]

.

Problema 5:Um bomba ejetora e mostrada na figura abaixo. Nessa bomba, agua na vazao volumetricaQ2(m

3/s)e ejetada pelo tubo ejetor com diametro D2(m) no interior da bomba, na regiao onde a pressaointerna e p2 (Pa). Como resultado, agua e succionada pelo tubo de succao com diametro (D1−D2)(m). A mistura dos dois escoamentos deixa a bomba com vazao volumetrica Q1 (m3/s) para oambiente com pressao patm(Pa). Obtenha uma expressao para a vazao volumetrica no tubo ejetorQ2 (m

3/s) requerida para obter uma dada vazaoQ1 (m3/s) na saıda em funcao das demais variaveis

do problema, ∆p = (patm − p1) (Pa), D1(m), D2(m), D3(m) e ρ (kg/m3). Enuncie as hipotesesque voce utilizar.

D1

D2

Q2

patmágua

Q1

p2

tubo ejetor

Figura 4.41: Problema 5: Bomba ejetora.

Resposta:

Cons. massa: V2A2 + V3A3 = V1A1

Cons. Q.M.L. em x: −V 22 A2 − V 2

3 A3 + V 21 A1 = −(∆p/ρ)A1

⇒ V2V1

= 1 +

(

∆p

ρV 21

A3

A2

)1/2

.

Problema 6:Um jato de agua plano, horizontal, aberto para a atmosfera, com altura h (m), largura w (m) evelocidade V (m/s) atinge o defletor de um vagao movel que desliza pendurado em um cabo.Na situacao (1) o vagao se desloca com velocidade constante U (m/s). Para essa situacao:(a) Obtenha a forca de atrito Fx (N) exercida pelo cabo sobre o vagao.

(b) Qual a velocidade maxima que o vagao pode atingir? Explique.


(c) Qual seria o valor do angulo θ que forneceria a maxima aceleracao do vagao quando esse partissedo repouso? Explique.Na situacao (2), ao final do curso, o vagao atinge um embolo, comprime o ar contido no interiorde um cilindro pneumatico com diametro D (m) e para completamente.(d) Se nessa situacao o jato de agua permanecer acionado, determine a pressao do ar no interiordo cilindro pneumatico.Nao esqueca de listar as suas hipoteses.Dados: U = 5 m/s, V = 25 m/s, h = 0, 02 m, w = 0, 1 m, D = 0, 03 m, θ = 30o, ρ = 1000 kg/m3,g = 9, 8 m/s2, patm = 101325 Pa.

h

Vq

U

jato de água

cabo

vagão suspensobocal

h

Vq

jato de água

cabo

vagão suspensobocal

pistão pneumático

ar

Figura 4.42: Problema 6: Carro deslizando em um cabo.

Respostas :(a) Fx = −ρ(V − U)2hw(1 − cos θ)(b) U = V(c) θ = π(d) p− patm = ρV 2hw(1 − cos θ)/(πD2/4)

Problema 7:A figura abaixo mostra duas configuracoes (a e b) de uma tubulacao com secao transversal circular.A primeira configuracao (a) possui diametro D1(m) em ambas as secoes horizontal e vertical. Asegunda configuracao (b), no entanto, apresenta diametro D2 = 2D1 na secao vertical. A pressaomedida no comeco da secao horizontal e p1(Pa) (absoluta) e no final da secao vertical e p2(Pa)(absoluta). Assuma que a vazao m(kg/s) que escoa nas duas configuracoes e a mesma e que asmassas de tubo mais fluido nas duas configuracoes, M(kg), tambem sao as mesmas. Compare aforca vertical Fy(N) obtida em cada uma das duas configuracoes e discuta o seu resultado. Utilizeos dados abaixo e enuncie as suas hipoteses simplificativas.Dados: Para ambas as configuracoes: ρ = 1000 kg/m3 (agua), g = 9, 8 m/s2, patm = 101325 Pa,m =200 kg/s, M=50 kg.Configuracao (a): D1 = 0,2 m, D2 = D1, p1 = 0, 5 MPa, p2 = 0, 60 MPa.Configuracao (b): D1 = 0,2 m, D2 = 2D1, p1 = 0, 5 MPa, p2 = 0, 62 MPa.Respostas :

Fy = Mg − (p2 − patm)A2 − ρV 22 A2,

Fx = −(p1 − patm)A1 − ρV 21 A1.

Problema 8:A figura abaixo mostra um filme de lıquido aberto para a atmosfera que escoa sobre uma paredecom velocidade V1 (m/s) e altura do nıvel do fluido igual a h1 (m). Esse filme recebe um jatodo mesmo fluido com velocidade V2 (m/s) e largura h2 (m). Determine a altura do nıvel do filmeh3 (m) e velocidade V3 (m/s) na secao de saıda do filme. Negligencie o efeito da aceleracao dagravidade e liste as demais hipoteses que voce utilizar.Dados : V1 = 0,5 m/s; h1 = 4 mm; V2 = 2 m/s; h2 = 1 mm, θ = 30o, w = 10 mm.


p1

p2

D1

D2

m

Problema 2(a)

p1

p2

D1

D2

m

Problema 2(b)

Figura 4.43: Problema 7: Tubulacoes descarregando um fluido.

q

V1V2V3h3

h1

h1

Figura 4.44: Problema 8: Filme recebendo um jato de fluido.

Respostas :

h3 =(V1h1 + V2h2)

2

V 21 h1 + V 2

2 h2 cos θ

V3 =V1h1 + V2h2

h3

Problema 9:

A figura abaixo mostra um jato de lıquido deixando um bocal e atingindo um anteparo. O bocalapresenta pressao p1 (Pa) na secao com diametro D1 (m). A secao de saıda tem diametro D2 (m) edescarrega o jato com velocidade V2 (m/s) no ambiente com pressao atmosferica patm (Pa). A saıdado bocal apresenta um angulo θ com a horizontal. O anteparo e na forma de um disco com diametroD (m) posicionado em posicao vertical. Obtenha expressoes para: (a) As componentes horizontale vertical da forca exercida pelo escoamento sobre o bocal, e (b) As componentes horizontal evertical da forca exercida pelo jato sobre o anteparo. Suas expressoes devem ficar em funcao de p1,patm, D1, D2, V2 e θ. Negligencie o efeito da aceleracao da gravidade e liste as demais hipotesesque voce utilizar.

Respostas :

(a) Fx = −ρV 22 A2 cos θ ; Fy = (p1 − patm)A1 + ρV 2

1 A1

(

1− A1

A2

senθ

)

(b) Fx = ρV 22 A2 cos θ ; Fy = 0.


jato de água

placa defletora

bocalV2

p1

D1

D2

q

Figura 4.45: Problema 9: Jato atingindo um anteparo na forma de disco.

Problema 10:O barco mostrado abaixo se movimenta por acao de uma helice instalada na popa. A helice captaar na parte frontal e descarrega na popa atraves de uma nacele na forma de um bocal com diametrode saıda D2 = 2 m. O barco experimenta uma forca de arraste total dada por FD = KρU2, ondeK = 10 m2. Utilize a massa especıfica do ar ρ = 1,15 kg/m3. Determine qual velocidade U (m/s) obarco desenvolveria em regime permanente quando a velocidade do jato em relacao ao barco fosseV = 15 m/s.

V

D2

U FD

Figura 4.46: Problema 10: Barco movido a helice.

Resposta:

U = V (A2/K)1/2

.

4.3. CONSERVACAO DA ENERGIA 139

4.3 Conservacao da energia

A equacao da conservacao da energia, ou Primeira Lei da Termodinamica, estabelece a relacao entrea variacao da energia e a transferencia de calor e trabalho para o fluido. Nessa secao desenvolve-see aplica-se a equacao para a conservacao da energia mecanica do fluido.

4.3.1 A conservacao da energia para uma partıcula de fluido

A conservacao da energia aplicada a uma partıcula de fluido (um sistema) estabelece que a energiada partıcula pode variar como resultado de transferencia de calor ou de realizacao de trabalho, ouseja,

dE

dt= Q+ W . (4.133)

A taxa de transferencia de calor Q e a transferencia de energia entre a partıcula e sua vizinhancacomo resultado de diferenca de temperatura. As outras formas de transferencia de energia entrea partıcula e a sua vizinhaca ocorrem na forma de trabalho W . A primeira lei da termodinamicaestabelece que e impossıvel construir um maquina que produza trabalho sem que haja uma absorcaoequivalente de calor ou sem que haja uma variacao equivalente de energia.Uma partıcula de fluido em escoamento pode transportar energia na forma de energia cinetica,potencial e interna,

E = Ec + Ep + Ei. (4.134)

A energia cinetica e proporcional ao quadrado do modulo da velocidade da partıcula de fluido,

Ec =mpU

2p

2. (4.135)

O modulo da velocidade da partıcula vp(x, y, z, t) e dado por

Up = |vp| =(

u2p + v2p + w2p

)1/2. (4.136)

A energia potencial e a energia que resulta da configuracao ou da posicao da partıcula em relacao aum campo potencial. A energia potencial gravitacional resulta da posicao da partıcula em relacaoao campo gravitacional, energia potencial eletrica, da posicao em um campo eletrico, e magnetica,da posicao em um campo magnetico. Energia potencal elastica deriva de deformacao elastica. Parao nosso tratamento, consideraremos somente a energia potencial gravitacional. Ela e calculada peloproduto da massa, do modulo da aceleracao da gravidade e da posicao da partıcula na direcao dovetor aceleracao da gravidade,

Ep = mpgz. (4.137)

A energia interna, ou termica, resulta de energia cinetica molecular e energia potencial de ligacaofısica ou quımica. A energia de ligacao fısica e aquela relacionada com a ligacao intermolecularque resulta em absorcao ou liberacao de energia quando uma substancia muda de fase, incluindoa associacao entre substancias formando misturas. A energia de ligacao quımica e a energia deligacao interatomica que resulta na absorcao ou liberacao de energia durante reacao quımica. Aenergia de ligacao atomica mantem o nucleo atomico unido e resulta na liberacao de energiaobservada no decaimento radioativo, na fissao e fusao nuclear. Para as substancias puras, naausencia de campo eletromagnetico, a energia interna Ei e proporcional a massa da partıculae depende de duas propriedades termodinamicas intensivas, por exemplo, da temperatura e dapressao, Ei = Ei(mp, T, p).

A energia por unidade de massa entao torna-se

e =E

m= ec + ep + ei =

U2p

2+ gz + ei. (4.138)


4.3.2 A conservacao da energia para um volume de controle

A energia por unidade de massa e transportada pelo escoamento da mesma forma que as outrasdas suas propriedades. Assim, pode-se expressar o princıpio da conservacao da energia para um

volume de controle como

Taxa de variacao daenergia no interior do VC

=

Escoamento de energiaentrando no VC

−

Escoamento de energiasaindo do VC

+

Taxa de transferenciade calor para o VC

+

Taxa de producao detrabalho sobre o VC


∂me

∂t= (me)entra − (me)sai + Q+ W , (4.139)

ou,∂me

∂t− (me)entra + (me)sai = Q+ W , (4.140)

onde me e a energia contida no volume de controle e me e a quantidade de energia que atravessa asuperfıcie de controle, por unidade de tempo, nos locais onde ocorre entrada de massa, (me)entra,e nos locais onde ocorre saıda de massa, (me)sai.

A diferenca entre a quantidade de energia saindo e entrando no volume de controle por unidade detempo e igual ao balanco lıquido de energia saindo atraves da superfıcie de controle por unidadede tempo. Assim, pode-se escrever de forma equivalente


+

Quantidade de energialıquida saindo do VCpor unidade de tempo

=

Taxa de transferenciade calor para o VC

+

Taxa de producao detrabalho sobre o VC

A seguir, analisaremos uma aplicacao em detalhe a fim de entender o tratamento de cada um dostermos da conservacao da energia.

Energia

A energia contida no escoamento possui parcelas de energia cinetica, potencial e interna,

E = Ec + Ep + Ei. (4.141)

Considerando que a energia potencial resulta apenas de campo gravitacional e que o fluido formauma substancia pura, a energia por unidade de massa torna-se

e =E

m= ec + ep + ei =

U2

2+ gz + ei. (4.142)

onde o modulo do vetor velocidade e dado por

U = |v| =(

u2 + v2 + w2)1/2

. (4.143)

Para as substancias puras, na ausencia de campo eletromagnetico, a energia interna Ei e propor-cional a massa no volume de controle e depende de duas propriedades termodinamicas intensivas,por exemplo, da temperatura e da pressao, Ei = Ei(m,T, p).


Trabalho e potencia

Forcas normais e tangenciais aplicadas na fronteira do volume de controle realizam trabalho sobreo fluido. A potencia aplicada por essas forcas e o produto da forca pela velocidade do escoamentona direcao da forca. Nas paredes solidas em contato com o fluido a velocidade e nula e assimnao ha aplicacao de potencia sobre o fluido nessas regioes. Nas demais regioes, duas situacoes saode interesse. Nas superfıcies solidas moveis em contato com o fluido existe a aplicacao de forcasnormais e tangenciais e o fluido escoa como resultado dessas forcas. A integracao de todo o trabalhorealizado nessas regioes e denominado de We, ou trabalho de eixo. Exemplos de superfıcies moveisem contato com o fluido sao os rotores de bombas, ventiladores, turbina hidraulicas ou eolicas. Nassuperfıcies em que ocorre escoamento, tanto a pressao como as forcas viscosas realizam trabalho,denominado de trabalho de pressao Wp e trabalho das forcas viscosas Wv. O trabalho de pressao erealizado pela pressao externa sobre o VC quando o fluido em escoamento deve abrir seu caminhopara escoar para o interior do VC, ou pela pressao interna sobre o ambiente externo quando o fluidoem escoamento deve abrir seu caminho sobre o ambiente externo para escoar para fora do VC. Emgeral, nas superfıcies com escoamento, o trabalho das forcas viscosas normais e tangenciais e muitomenor que o trabalho de pressao e assim, em geral, e negligenciado. Outras formas de realizacaode trabalho sao possıveis Wo, como o trabalho de forcas de interface e eletromagneticas, mas essesserao negligenciados no momento.

A seguir, desenvolve-se expressoes para as taxas de realizacao de trabalho.

Taxa de realizacao de trabalho de eixo Quando um eixo mecanico corta a superfıcie decontrole, ele carrega com ele trabalho mecanico, denominado de trabalho de eixo , We. Este trabalhose transmite na forma de um campo de tensoes mecanicas no interior do eixo. Ele e percebidoexternamente ao volume de controle como um torque que, ou e aplicado no eixo por algum tipo demaquina rotativa externa para mante-lo em rotacao, ou e absorvido por alguma maquina rotativaexterna, como no caso de um gerador. A potencia aplicada ou absorvida corresponde ao produtodo torque T (N-m) pela velocidade de rotacao do eixo ω (rad/s). Esta potencia e positiva quandoo eixo realiza trabalho sobre o fluido no VC, como no caso de bombas, ventiladores e compressores,e e negativa quando o fluido no interior do VC realiza trabalho sobre o eixo, como no caso dasturbinas e aerogeradores.

Taxa de realizacao de trabalho das forcas viscosas As tensoes viscosas produzem forcasviscosas normais Fv,n e tangenciais Fv,t. A taxa de realizacao de trabalho e igual ao produtoda forca pelo componente da velocidade na direcao da forca. Nas superfıcies onde o volume decontrole toca a superfıcie da tubulacao, v = 0 e, assim, nao ha taxa de realizacao de trabalho. Nassuperfıcies onde ocorre escoamento, v 6= 0, quando o campo de velocidade e normal a superfıcie dovolume de controle, as forcas tangenciais nao resultam em taxa de realizacao de trabalho, somenteas forcas normais. Porem, na ausencia de gradiente de velocidade na direcao normal, as forcasviscosas normais sao nulas. Ainda, em geral, em trechos retos de tubulacao, as forcas normaisde origem viscosa sao negligenciaveis quando comparadas com a pressao. Portanto, a taxa derealizacao de trabalho das forcas viscosas e negligenciavel.

Taxa de realizacao de trabalho de compressao Para que haja escoamento, o fluido realizatrabalho sobre a massa de fluido a sua frente de forma a abrir caminho para o seu escoamento.Considere o escoamento do fluido no interior da tubulacao como mostrado na figura (4.3.2).

Uma partıcula de fluido proxima a face direita do volume de controle escoa com velocidade uniformeu2. Assim, no intervalo de tempo ∆t essa partıcula de fluido desloca-se uma distancia ∆x = u2∆tcontra o campo de pressao que possui o valor medio ao longo deste deslocamento igual a p2. Assim,o trabalho que o fluido em escoamento realiza contra o campo de pressao externo e

Wp,2 = ∆Fp,2∆x = (p2∆A2)(u2∆t) = p2u2A2∆t (4.144)


Dx

Dy

y

x

t = 0

u

Dx

Dy

y

x

t = Dt

u FpFp

xy

p1

Fp,2

u1 u2

A1 A2m1.

VC

Fp,1

p2

(a) Volume de controle para um escoamento em uma tubulação reta

(b) Partícula de fluido no instante inicial (c) Partícula no instante t = Dt

Figura 4.47: Conservacao da energia no escoamento interno em uma tubulacao reta formada porplacas planas paralelas.

Portanto, a taxa de realizacao de trabalho de compressao Wp(W) e

Wp,2 = p2u2∆A2 (4.145)

Analogamente, na superfıcie de entrada, a forca de pressao realiza trabalho sobre o fluido dentrodo volume de controle com magnitude

Wp,1 = −p1u1∆A1 (4.146)

Para o escoamento com campo de velocidade uniforme, u1 = u2 = U . Integrando sobre as areasdas superfıcies de entrada e saıda, o trabalho de compressao lıquido torna-se

Wp = p2UA2 − p1UA1 =p2ρ(ρUA2)−

p1ρ(ρUA1) =

p2ρ(m2)−

p1ρ(m1) (4.147)

A seguir, analisaremos uma situacao unidimensional a fim de entender o tratamento de cada umdos termos da conservacao da energia.

4.3.3 Aplicacoes

Tubulacao reta com secao transversal uniforme

Consideraremos um volume de controle posicionado no interior de uma tubulacao reta com secaotransversal uniforme. A tubulacao e formada por duas placas planas paralelas formando umasecao transversal bidimensional. Assumiremos como hipoteses que (1) o fluido seja incompressıvel,(2) o escoamento possa ser aproximado como tendo um campo de velocidade uniforme nas secoesde entrada e saıda com modulo da velocidade igual a U , (3) o escoamento ocorra em regimepermanente e (4) a gravidade aponte na direcao normal a linha de centro da tubulacao. O volumede controle e posicionado em contato com as paredes da tubulacao e cortando a secao transversalde forma perpendicular ao escoamento, conforme mostra a figura 5.2.3. O nosso objetivo e obterequacoes relacionando o transporte de energia, a taxa de transferencia de calor e trabalho aplicadosobre o fluido.


(a) Campo de velocidade e volume de controle:

(b) Diagrama de forças: (c) Taxa de transferência de trabalho e calor externo:

xy

U

u=0

u=0

m1. .

m2U

m3 = 0

m4 = 0

A4

A2

A3

A1

VC

xy

m1. .

m2

.W

.Q

A4

A2

A3

A1

VC

u

xyU

u=0

u=0m1. .

m2

U

A4

A2

A3

A1

VC

Fp,2Fp,1

Fm,3

Fm,4

Figura 4.48: Escoamento, balanco de forcas, taxas de transferencia de calor e trabalho em umvolume de controle em um escoamento interno em uma tubulacao reta formada por placas planasparalelas.

A energia total por unidade de massa e representada por e (J/kg). Assim, a energia total nointerior do volume de controle e

(me) =

∫

V

ρe dV. (4.148)

Portanto, a variacao com o tempo da quantidade de energia contida no VC e


=∂

∂t(me). (4.149)

As paredes da tubulacao sao impermeaveis e, portanto, nao ha escoamento atraves das superfıcieslaterais do volume de controle (m3 = m4 = 0). Assim, so ha escoamento nas superfıcies verticaise denotaremos as vazoes nessas superfıcies por m1(kg/s) e m2(kg/s). A conservacao da massarequer que m1 = m2 = m. Como o fluido e incompressıvel e as areas de entrada e saıda sao iguais,a velocidade media do escoamento e a mesma nas faces de entrada e saıda, um,1 = um,2. Comoo fluido se desloca com campo de velocidade uniforme, u(x, y) = U . Os escoamentos de energiaentrando e saindo do volume de controle sao, respectivamente, (me)1 e (me)2,

Escoamento de energiaentrando no volume de controle

=∫

A eρudA = (me)1

Escoamento de energiasaindo do volume de controle

=∫

A eρudA = (me)2

(4.150)

Entao, o escoamento lıquido de energia saindo do volume de controle torna-se

Quantidade de energialıquida saindo do VCpor unidade de tempo

= −(me)1 + (me)1. (4.151)


Assim, a conservacao da energia torna-se

∂

∂t(me)− (me)1 + (me)2 = Q + W . (4.152)

Nesta equacao, o primeiro termo do lado esquerdo representa a variacao com o tempo da energiacontida no fluido no interior do volume de controle, o segundo e terceiro termos representam obalanco de energia saindo do volume de controle, carregada pelo escoamento que cruza a superfıciede controle. No lado direito, encontram-se a taxa de transferencia de calor e a potencia entrandono volume de controle.

Em regime permanente, pode-se escrever

−(me)1 + (me)2 = Q+ W . (4.153)

Uma interpretacao interessante dessa equacao e obtida quando a escrevemos na forma,

(me)2 = (me)1 + Q+ W . (4.154)

Nessa forma, observa-se que, em regime permanente, o escoamento de energia para fora do volumede controle (me)2 e igual ao escoamento de energia que entrou no volume de controle (me)1 somadoa quantidade de calor que entra pela superfıcie de controle Q e a quantidade de trabalho realizadosobre o fluido na superfıcie de controle W , na unidade de tempo. Portanto, a energia do escoamentoaumenta quando adiciona-se energia ao volume de controle nas formas de calor e trabalho.

A energia por unidade de massa e

e =E

m= ec + ep + ei =

U2

2+ gz + ei. (4.155)

A taxa de realizacao de trabalho de pressao e

Wp =p2ρ(m2)−

p1ρ(m1). (4.156)

Portanto, pode-se escrever a equacao da conservacao da energia como

∂

∂t(me)− (me)1 + (me)2 = Q+ We + Wp + Wv

= Q+ We +

[(

p

ρm

)

1

−(

p

ρm

)

2

]

+ Wv

(4.157)

ou,

∂

∂t(me)−

[

m

(

e+p

ρ

)]

1

+

[

m

(

e+p

ρ

)]

2

= Q+ We + Wv (4.158)

A propriedade h = ei + p/ρ e denominada entalpia. Assim, pode-se reescrever a equacao daconservacao da energia como

∂

∂t

[

m

(

U2

2+ gz + ei

)]

−[

m

(

U2

2+ gz + h

)]

1

+

[

m

(

U2

2+ gz + h

)]

2

= Q+ We + Wv

(4.159)A entalpia inclui a energia interna e o trabalho de escoamento. Essa forma da equacao e ade-quada para o tratamento da energia total dos escoamentos, especialmente util no tratamento deescoamentos compressıveis, reativos e multifasicos.

Aqui, procura-se uma formulacao que facilite o tratamento da conservacao da energia mecanica deescoamentos incompressıveis.


Para isso, reescreveremos a equacao da conservacao da energia em dois componentes:

∂

∂t

[

m

(

U2

2+ gz

)]

−[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

1

+

[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

2

− We − Wv =

−[

∂

∂t(mei)− (mei)1 + (mei)2 − Q

]

(4.160)

O lado direito da equacao corresponde as parcelas de energia termica. As forcas viscosas se manifes-tam no interior do volume de controle, nao apenas na superfıcie do volume de controle. Essas forcasnao aparecem diretamente na taxa de producao de trabalho na fronteira, mas sao responsaveis peladeformacao do fluido no interior do volume de controle. A taxa de deformacao do fluido resultaem conversao de energia mecanica do escoamento em energia termica. A energia termica geradapode resultar em variacao de temperatura do fluido, ou seja, variacao de energia interna entreas superfıcies 1 e 2, ou resultar em transferencia de calor para o ambiente externo. Esses doisefeitos sao quantificados pelo lado direito da equacao acima. Denominaremos a conversao de en-ergia mecanica em energia termica, tambem denominada de dissipacao viscosa por −Wµ. Agora,dividiremos a equacao da conservacao da energia (total) em duas partes. A primeira, resultara naconservacao da energia mecanica, enquanto que a segunda considerara a conservacao da energiatermica. O ponto de ligacao entre as duas equacoes sera o termo de dissipacao viscosa. Utilizandoessas estrategia, obtemos:Conservacao da energia mecanica:

∂

∂t

[

m

(

U2

2+ gz

)]

−[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

1

+

[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

2

= We + Wv − Wµ

(4.161)Conservacao da energia termica:

∂

∂t(mei)− (mei)1 + (mei)2 = Q+ Wµ (4.162)

A dissipacao viscosa Wµ e sempre positiva, ou seja, sempre causa a degradacao da energia mecanicaem energia termica. Portanto, e um fenomeno irreverssıvel, ou seja, sempre se desloca na direcaode dissipacao de energia mecanica ate atingir o equilıbrio estatico. Esse efeito e fundamental noentendimento da perda de energia no escoamento em tubulacoes e na dissipacao da turbulencia.Em situacoes de escoamentos em alta velocidade, como na reentrada de corpos na atmosfera, ou noescoamento de fluidos viscosos sob altas taxas de deformacao, como em mancais hidrodinamicos,o aumento da temperatura do fluido pode ser significativo, tornando-se um dos parametros impor-tantes no projeto de mancais e redutores de velocidade. A taxa de realizacao de trabalho pelasforcas viscosas na superfıcie de controle sera negligenciada Wv = 0. Assim, a conservacao daenergia mecanica sera escrita como,

∂

∂t

[

m

(

U2

2+ gz

)]

−[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

entra+

[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

sai= We − Wµ

(4.163)O trabalho de eixo e positivo quando entra no fluido, como no caso de bombas e ventiladores, enegativo quando sai, como no caso de turbinas. Em regime permanente, tem-se

−[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

entra+

[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

sai= We − Wµ (4.164)

Na ausencia de atrito viscoso, Wµ = 0 e o escoamento torna-se internamente reversıvel. Admitindoque haja apenas uma entrada e uma saıda, nao exista trabalho de eixo e o regime seja permanente,pode-se escrever

−[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

entra+

[

m

(

p

ρ+U2

2+ gz

)]

sai= 0 (4.165)


ou seja,(

p

ρ+U2

2+ gz

)

1

=

(

p

ρ+U2

2+ gz

)

2

. (4.166)

Essa equacao indica que a soma das energias cinetica e potencial com o trabalho de pressao econstante ao longo do escoamento em regime permanente, de um fluido incompressıvel, sem atritoviscos (invıscido), em uma tubulacao com uma entrada e uma saıda e na ausencia de potencia deeixo e outras formas de realizacao de trabalho. No proximo capıtulo obteremos a mesma equacao,denominada de equacao de Bernoulli, de uma outra maneira, a qual permitira aplica-la com maiorgeneralidade.

4.3.4 Generalizacao

Considerando as expressoes para o escoamento de uma propriedade do fluido e para o trabalho daforca de pressao na superfıcie de controle, a equacao da conservacao da energia pode ser escritapara um volume de controle estacionario como

∂

∂t

∫

V C

e ρ dV +

∫

SC

e ρ (v · n) dA = Q−∫

SC

p

ρ(ρv · n) dA− Wv − We − Wo (4.167)

Agrupando-se o termo da taxa de realizacao de trabalho de compressao com o termo de escoamentode energia, obtem-se

∂

∂t

∫

V C

e ρ dV +

∫

SC

(

e +p

ρ

)

ρ (v · n) dA = Q− Wv − We − Wo (4.168)

Lembrando que a enegia especıfica possui parcelas de energia cinetica, potencial e interna

e =U2

2+ gz + ei (4.169)

pode-se escrever

∂

∂t

∫

V C

ρ

(

U2

2+ gz + ei

)

dV +

∫

SC

(

U2

2+ gz + ei +

p

ρ

)

ρ (v · n) dA = Q−Wv−We−Wo (4.170)

Separando na conservacao das energias mecanica e termica tem-se

∂

∂t

∫

V C

ρ

(

U2

2+ gz

)

dV +

∫

SC

(

U2

2+ gz + ei +

p

ρ

)

ρ (v · n) dA = Q− Wv − We − Wo (4.171)

e∂

∂t

∫

V C

ρei dV +

∫

SC

ei (ρv · n) dA = Q+ Wµ (4.172)


4.3.5 Exercıcios

Problema 1:

Voce deve ser capaz de responder as seguintes perguntas:

1. Liste as formas de energia transportadas por um fluido em escoamento.

2. O que e energia interna? Quais as suas manifestacoes macroscopicas?

3. O que representa a potencia de eixo We? Quando esta sera positiva ou negativa?

4. O que representa a potencia relacionada as perdas por atrito viscoso Wµ? O que ocorre coma energia mecanica do escoamento que e dissipada pelo atrito viscoso?

5. Como voce define a eficiencia de uma turbina e a eficiencia de uma bomba?

Problema 2:

A saıda do tubo de succao de uma turbina hidreletrica esta a um nıvel h = 324 m abaixo do nıveldo reservatorio. A turbina e alimentada por uma vazao volumetrica V = 19 m3/s, a tomada deagua tem diametro D1 =1,5 m e o tubo de succao tem diametro de saıda D2 = 2,5 m. As perdaspor atrito viscoso da tomada d’agua ate a saıda do tubo de succao sao modeladas por:

Wµ = m

(

KV 22

2

)

onde V2 (m/s) e a velocidade na saıda do tubo de succao e K = 10 e o coeficiente de perda decarga. A densidade da agua e ρ = 1000 kg/m3 e a aceleracao da gravidade e g = 9,8 m/s2.

(a) Calcule a potencia disponıvel na turbina.

(b) Essa turbina foi testada e a potencia eletrica gerada foi 49 MW. Calcule a eficiencia da turbina.

(c) Em perıodos de baixo consumo de eletricidade, a turbina pode operar como bomba pararestabelecer o nıvel de agua no reservatorio. Calcule a potencia consumida na operacao comobomba. Assuma que as perdas viscosas permanecem modeladas pela mesma equacao e assuma quea eficiencia na operacao como bomba vale ηb = 0,8.

(d) Para a altura de queda h = 324 m, qual e a velocidade na saıda do tubo de succao que resultariana maxima potencia disponıvel na turbina?

h

D2

Barragem

Reservatório Conduto forçadoTomadad´água

Tubo de sucção

Casa de força Canal de fuga

Linha detransmissão

Gerador

Turbina

Trafo

Figura 4.49: Problema 2: Usina hidreletrica reversıvel.


Respostas :

(a) We,t = ρV

(

gh− V 2

2A22

−KV 2

2A22

)

(b) ηt =Wel,t

We,t

(c) Wel,b =1

ηb

[

ρV

(

gh+V 2

2A21

+KV 2

2A22

)]

(d) V2(We,t,max) =

[

2gh

3(1 +K)

]1/2

.

(4.173)

Problema 3:Uma bomba e utilizada para alimentar um reservatorio sobre uma estrutura que esta a uma alturah2 (m/s) em relacao a succao da bomba. A tubulacao utilizada possui diametro internoD = 50 mme o reservatorio inferior esta afastado uma distancia horizontal b = 30 m do reservatorio superior.O nıvel da agua no reservatorio inferior e h1 = 3 m e o nıvel da agua no reservatorio superior eh3 = 2 m. Deseja-se bombear agua na vazao volumetrica V = 0,0012 m3/s. A tubulacao apresentaperdas por atrito viscoso que podem ser aproximadas por:

Wµ = m

(

fL

D

V 22

2

)

onde L = b + h2 e o comprimento total da tubulacao e o coeficiente de atrito f = 0, 02 e umaconstante. Se a bomba consome potencia eletrica Wel = 320 W e apresenta eficiencia ηb = 0,8, quala maxima altura da estrutura h2 (m) na qual podera ser posicionado esse reservatorio? Negligencieoutras perdas por atritor viscoso, assuma fluido incompressıvel com massa especıfica ρ = 1000kg/m3 (agua a temperatura ambiente) e g = 9,8 m/s2.

Reservatóriosuperior

Reservatórioinferior

Bomba h2

b

h1

h3

patm

g

Estrutura

Figura 4.50: Problema 3: Bombeamento de agua.

Resposta:

Wel,b =1

ηb

ρV

[

g(h2 + h3 − h1) +V 22

2+ f

(b+ h2)

D

V 22

2

]

Problema 4:

Uma bomba movimenta agua com vazao m de um tanque aberto para a atmosfera (tanque A)para um segundo tanque selado (tanque B) que alimenta um equipamento. A agua no tanque Bencontra-se na pressao pB (Pa) que a medida por um manometro de tubo em U contendo mercuriocomo fluido manometrico que e instalado no fundo do tanque.


(a) Obtenha uma formulacao para a potencia eletrica necessaria a bomba considerando a existenciade perdas viscosas.(b) Negligencie as perdas viscosas e determine a potencia eletrica necessaria a bomba.Dados: h1 = 2, 5 m; h2 = 0, 8 m; h3 = 0, 5 m; D1 = 0, 25 m; D2 = 0, 1 m; m = 3 kg/s; ηb = 0, 8;ρ = 1000 kg/m3 (agua); ρ = 13000 kg/m3 (mercurio); g = 9, 8 m/s2; patm = 101325 Pa.

patm

D2D1

Bomba

h1

pB

L1

patm

g

h2

h3

água

mercúrio

Tanque B

Tanque A

Figura 4.51: Problema 4: Alimentacao de um equipamento.

Resposta (a):

Wel,b =1

ηb

ρV

[

pB − patmρ

− gh1 +V 22

2+ Wµ

]

pB = patm + ρmgh3 − ρg(h2 + h3).

Problema 5:Calcule a potencia eletrica Wel (W) necessaria para um ventilador utilizado no resfriamento deplacas de circuitos eletricos. O canal formado entre as placas possui secao transversal com alturah = 15 cm, largura w = 10 cm e comprimento L = 20 cm. Deseja-se uma velocidade media nessasecao V2 = 5 m/s. O ventilador com secao transversal a = b = 10 cm e instalado na parede da caixade circuitos. A saıda do escoamento da caixa e formada por uma grade com area de escoamentoA4 = ǫhw, onde ǫ = 0, 85. A conversao de energia por efeitos viscosos, incluindo o canal formadoentre as placas e a grade de saıda, e estimada por

Wµ = m

(

KV 23

2

)

onde V2 (m/s) e a velocidade media na regiao entre as placas de circuitos e K = 5 e o coeficientede perda de carga. Negligencie outras perdas por atrito viscoso, assuma fluido incompressıvelcom massa especıfica ρ = 1,23 kg/m3 (ar a temperatura e pressao ambiente) e eficiencia para oventilador de ηv = 0,70.


L

h

w

a

b

Ventilador

Caixa de circuitos

Figura 4.52: Problema 5: Ventilador.

Resposta:

Wel,v =1

ηv

[

ρV

(

V 24

2+K

V 23

2

)]

V3 =V

wh, V4 =

V

ǫwh.

Capıtulo 5

Analise diferencial de escoamentos

“ Navegadores antigos tinham uma frase gloriosa: ”Navegar e preciso; viver nao e preciso”.Quero para mim o espırito [d]esta frase, transformada a forma para a casar como eu sou: Viver

nao e necessario; o que e necessario e criar.“Fernando Pessoa, “Poesias“.

5.1 Conservacao da massa

Desejamos estabelecer uma equacao para a conservacao da massa do fluido que seja valida em todoo domınio de interesse, ponto a ponto. Essa equacao forneceria uma relacao entre a varacao damassa especıfica e o balanco de massa local no fluido em escoamento.Para obter essa equacao, partimos da aplicacao da equacao integral da conservacao da massa sobreum volume arbitrario no escoamento. A forma integral da conservacao da massa e

∂m

∂t− (m)entra + (m)sai = 0. (5.1)

Por simplicidade, escolheremos um volme de controle cubico com faces ∆x, ∆y e ∆z. Ainda, porsimplicidade, consideraremos um escoamento bidimensional ocorrendo no plano x, y mostrado nafigura 6.2. Assim, aplicando a conservacao da massa ao volume de controle da figura 6.2, tem-se

∂

∂t(ρ∆x∆y∆z)− ρu1∆y∆z + ρu2∆y∆z − ρv3∆x∆z + ρv4∆x∆z = 0. (5.2)

Rearranjando os termos e dividindo por ∆V = ∆x∆y∆z, tem-se

∂ρ

∂t+ρu2 − ρu1

∆x+ρv4 − ρv3

∆y= 0. (5.3)

Finalmente, extraindo o limite quando ∆V = ∆x∆y∆z → 0, tem-se

∂ρ

∂t+

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) = 0. (5.4)

Estendendo para um escoamento tri-dimensional, tem-se

∂ρ

∂t+

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) +

∂

∂z(ρw) = 0. (5.5)

Essa equacao retem o significado fısico da equacao integral que a originou. O primeiro termocorresponde a taxa de variacao da massa local e os demais termos correspondem aos balancosde massa locais nas direcoes x, y e z respectivamente. Se o balanco de massa for nulo, a massaespecıfica local tem variacao nula (∂ρ/∂t = 0). Essa e a situacao para um fluido incompressıvel.Para um fluido incompressıvel, ρ e eliminado de todos os termos, obtendo-se

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0. (5.6)

151

152 CAPITULO 5. ANALISE DIFERENCIAL DE ESCOAMENTOS

5.1.1 Exercıcios

Problema 1

O campo de velocidade bidimensional sobre uma superfıcie solida apresenta componente x do vetorvelocidade igual a

u =Uy

x1/2,

onde U (m/s) e constante. Assuma que o escoamento seja incompressıvel e determine o componentey do vetor velocidade.

Resposta: v =Uy2

4x3/2.

Problema 2

Encontre sob que condicao o campo de escoamento bidimensional dado por

u = V − ay

2π(x2 + y2), v =

bx

2π(x2 + y2),

poderia ser a descricao do escoamento de um fluido incompressıvel. Considere que a, b e V saoconstantes.Resposta: Quando b = a.

Problema 3

A equacao da conservacao da massa pode ser escrita em coordenadas polares (r, θ, z) como

∂ρ

∂t+

1

r

∂

∂r(rρvr) +

1

r

∂

∂θ(ρvθ) +

∂

∂z(ρvz) = 0.

(a) Simplifique a equacao para o escoamento bidimensional, no plano (r, θ), de um fluido incom-pressıvel.

(b) O componente r do escoamento invıscido, transversal, ao redor de um cilindro infinito comraio a e dado por

vr = U

(

1− a2

r2

)

cos θ,

onde U (m/s) e a velocidade de corrente livre (uma constante). Assuma que o fluido sejaincompressıvel e determine o componente θ do campo de velocidade.

Respost: vθ = −U(

1 +a2

r2

)

sen θ.

Problema 4

O componente θ do campo de velocidade para o escoamento incompressıvel, bidimensional no plano(r, θ) e dado por

vθ =Γ

2πr,

onde Γ e constante.

(a) Determine o componente r do campo de velocidade.

(b) Represente graficamente esse campo de velocidade e interprete fisicamente esse escoamento.

Resposta: Esse escoamento e conhecido como um vortice livre linear com circulacao Γ.

5.2. CINEMATICA DA TRANSLACAO 153

Problema 5

A superposicao de um vortice livre com circulacao Γ sobre o escoamento invıscido, transversal, aoredor de um cilindro infinito com raio a fornece uma aproximacao para o escoamento ao redor deum cilindro com rotacao. O componente θ desse escoamento e dado por

vθ = −U(

1 +a2

r2

)

sen θ − Γ

2πr,

onde U (m/s) e a velocidade de corrente livre (uma constante). Assuma que o fluido seja incom-pressıvel e determine o componente r do campo de velocidade.

Resposta: vr = U

(

1− a2

r2

)

cos θ.

5.2 Cinematica da translacao

Uma partıcula de fluido possui dimensoes infinitesimais, sendo associada a um ponto no fluido.Mas, mesmno muito pequena em relacao as dimensoes macroscopicas do escoamento, ela contemmassa e volume, relacionados atraves da massa especıfica ρ. Enquanto sua massa e constante,a partıcula pode sofrer deformacao durante o escoamento, ou seja, o volume da partıcula podeapresentar variacao de forma e sofrer expansao ou compressao. Qualquer que seja o escoamento,entende-se que a partıcula possa ser identificada, seu movimento possa ser rastreado e que elapossua propriedades que podem ser medidas e cujas transformacoes podem ser analisadas.A cinematica do escoamento descreve as relacoes entre posicao, velocidade e aceleracao de partıculasde fluido. E uma das etapas na aplicacao da segunda Lei de Newton, visando obter as equacoesque descrevem a dinamica do escoamento.Existem dois metodos fundamentais para a descricao da dinamica de um conjunto de partıculas.No metodo de Lagrange, as leis de Newton aplicam-se a cada partıcula individualmente. Nessemetodo, modela-se o fluido como um conjunto de partıculas que interagem por meio de forcas. Atrajetoria de cada partıcula e avaliada individualmente e o movimento do conjunto de partıculasreproduz o escoamento. No metodo de Euler, o escoamento e descrito com relacao a um sistema decoordenadas fixo espacilamente e as propriedades do fluido sao monitoradas como funcao do tempoa medida que o fluido escoa de passagem pelas posicoes fixas. Nessa descricao, o fluido e tratadocomo continuamente deformavel e o rastreamento de partıculas individuais nao e mais necessariopara a descricao do escoamento.Os dois tratamentos serao revisados mais adiante. No momento, a primeira parte do estudo dacinematica consiste em verificar como o escoamento pode ser entendido a partir do seu campo develocidade.

5.2.1 Trajetorias, linhas de corrente, linhas de tinta

Um escoamento pode se tornar visıvel atraves da injecao de tinta. O rastro formado pela tintarevela a direcao que o escoamento toma localmente e tambem revela informacoes sobre a sua transi-toriedade. Porem, observa-se que essa injecao pode proceder de diversas formas. Podemos injetara tinta continuamente a partir de uma unica posicao, ou podemos injetar a tinta intermitente-mente em intervalos de tempo constantes. Para o escoamento em regime permanente, ambas asformas levariam a mesma imagem e interpretacao final. No escoamento em regime transiente, noentanto, as imagens finais mostradas pelos tracos de tinta podem ser muito diferentes dependendodo instante em que foram injetadas (veja o filme NCFMF 5 - Eulerian Lagrangian Description,por John Lumley).Portanto, as varias formas de visualizar um escoamento tem diferentes significados e usos. Define-selinhas de corrente como linhas paralelas ao vetor velocidade em cada ponto no escoamento. Tra-

jetoria e o caminho percorrido por uma partıcula de fluido. Pode-se tracar esse caminho marcandouma partıcula de fluido em um certo ponto e instante de tempo e acompanhando essa partıculaa medida que ela se move. Linhas de tinta sao o rastro visıvel deixado por uma fonte contınua


de tinta posicionada no escoamento. Em regime permanente, todas estas descricoes resultam namesma imagem final. Em regime transiente, as linhas de corrente se tornam um fotografia in-stantanea do campo de velocidade. As trajetorias e linhas de tinta podem ser relacionadas aslinhas de corrente, porem, geralmente, nao de forma simples.Para o rastreamento da trajetoria, a posicao da partıcula e identificada pelo vetor posicao rp. Avelocidade da partıcula e obtida de

vp =drpdt. (5.7)

rp(t)

vp(t)

z

x

rp(t+Dt)


Trajetória


ap(t)


A trajetoria de uma partıcula de fluido e dada pelo mapa das posicoes ocupadas pela partıcula aolongo do seu deslocamento. Consideremos uma partıcula de fluido em um escoamento bidimensionale que parte da posicao (xp,o, yp,o) no tempo t = 0. As posicoes sucessivas ocupadas pela partıculasao obtidas da solucao do seguinte sistema de equacoes cinematicas:

dxpdt

= up

dypdt

= vp

(5.8)

com condicoes iniciais xp = xp,o e yp = yp,o em t = 0.A partir da solucao obtida, a funcao yp = yp[xp(t)] fornece a trajetoria da partıcula observada.Patindo de diferentes posicoes iniciais das diferentes partıculas, obtem-se o mapa das trajetoriasde todas as partıculas que formam o fluido, yp = yp[xp(xp,o)].

O campo de velocidade v(x, y, z, t) descreve o modulo, direcao e sentido do vetor velocidade v emcada posicao (x, y, z), em cada instante de tempo t. O vetor velocidade em (x, y, z, t) correspondediretamente a velocidade da partıcula que no tempo t ocupa a posicao (x, y, z). Formalmente,relaciona-se o campo de velocidade com a velocidade das partıculas de fluido por

v(x, y, z, t) = vp [x = xp(t), y = yp(t), z = zp(t)] (5.9)

Para o escoamento em regime permanente, as trajetorias das partıculas nao se modificam notempo, ou seja, sao fixas. Assim, a velocidade da partıcula em determinada posicao s ao longo datrajetoria e constante com o tempo. Portanto, em regime permanente, as trajetorias sao tangentesao vetor velocidade v. Consideremos novamente por simplicidade o escoamento bidimensional noplano (x, y) e denotemos ds como um deslocamento ao longo da trajetoria s. Sendo dx e dy oscomponentes de ds nos eixos x e y, ds = dx i + dy j, a condicao de paralelismo entre os vetoresds e v resulta em

dy

v=dx

u⇒ dy

dx=v

u. (5.10)


A solucao dessa equacao diferencial expressa na forma f(y, x) = C, onde C = f(xo, yo), fornece atrajetoria da partıcula que parte de (xo, yo) a partir do campo de velocidade v(x, y, t).Vamos agora reescrever a funcao que descreve a trajetoria como ψ(x, y) = f(x, y) = C, sendo Cuma constante. Sobre uma linha de ψ(x, y) constante,

dψ =∂ψ(x, y)

∂xdx+

∂ψ(x, y)

∂ydy = 0 (5.11)

ou seja,dy

dx=

−∂ψ(x, y)/∂x∂ψ(x, y)/∂y

. (5.12)

Assim, verifica-se que a definicao

u =∂ψ(x, y)

∂y, v = −∂ψ(x, y)

∂x(5.13)

e a condicao necessaria para que a funcao ψ(x, y) seja tangente ao vetor velocidade. A funcaoψ(x, y) e denominada de funcao linha de corrente. Em regime permanente, como vimos acima,a funcao linha de corrente coincide com as trajetorias das partıculas. Isso nao ocorre em regimetransiente, mas, mesmo em regime transiente, a funcao linha de corrente mantem a sua generalidadede ser sempre tangente ao vetor velocidade.Para o escoamento incompressıvel,

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0.

Substituindo a definicao de ψ obtem-se

∂

∂x

(

∂ψ(x, y)

∂y

)

+∂

∂y

(

−∂ψ(x, y)∂x

)

=

∂

∂x

(

∂ψ(x, y)

∂y

)

− ∂

∂x

(

∂ψ(x, y)

∂y

)

= 0.(5.14)

Portanto, a definicao da funcao linha de corrente satisfaz a conservacao da massa para um fluidoincompressıvel.O mapa de linhas de corrente e uma ferramenta importante de analise dos escoamentos, poispermite, em uma rapida olhada, perceber as caracterısticas principais dos campos de velocidade epressao em um escoamento.Podemos buscar uma interpretacao fısica do valor numerico associado as linhas de corrente secalcularmos a vazao em um escoamento incompressıvel utilizando as definicoes acima. Para mostraristo, retornemos ao escoamento de Couette discutido anteriormente. Inicialmente, vamos calculara vazao volumetrica que escoa entre a quaisquer posicoes y1 ≤ y ≤ y2 no escoamento. Da definicaode vazao volumetrica

V =m

ρ=

∫ y2

y1

u(y)lzdy.

Para o escoamento de Couette,

u(y) = Uy

h

e obtem-se

V =lzU

2h

(

y22 − y21)

. (5.15)

Agora, vamos obter as linhas de corrente do escoamento. Integrando a componente u da velocidade,tem-se

ψ =

∫

u dy + g(x). (5.16)


Para o escoamento de Couette obtem-se,

ψ =U

2hy2 + g(x). (5.17)

Integrando a componente v da velocidade, tem-se

ψ =

∫

v dx+ f(y). (5.18)

Como no escoamento de Couette v = 0, obtem-se

ψ = f(y). (5.19)

As duas equacoes sao satisfeitas simultaneamente se assumirmos que g(x) = ψo (uma constantequalquer). Assim, a solucao final torna-se

ψ =U

2hy2 + ψo. (5.20)

Comparando com a expressao para a vazao volumetrica, verifica-se que

V

lz= (ψ2 − ψ1) . (5.21)

Nessa relacao, ψ1 = ψ(x1, y1) e ψ2 = ψ(x2, y2). Verifica-se que a constante ψo foi naturalmenteeliminada dessa relacao.

Portanto, a diferenca entre o valor de duas linhas de corrente e a propria vazao volumetrica (porunidade de largura normal a pagina) de um fluido incompressıvel. Como o vetor velocidade etangente as linhas de corrente, pode-se concluir tambem que a vazao volumetrica entre duas linhasde corrente e a mesma em qualquer regiao entre as duas linhas em que ela seja avaliada. Asmesmas conclusoes se aplicam ao escoamento de um fluido compressıvel, apenas necessitando deuma definicao para a funcao linha de corrente que leve em consideracao a variacao da massaespecıfica do fluido.

Exemplo 1: Obter a trajetoria e as linhas de corrente para o escoamento incompressıvel definidopelo campo de velocidade bidimensional e transiente com componentes (Sabersky et al., 1989):

u = U,

v = V cos

[

2π

λ(x− Ut)

]

. (5.22)

Na figura 5.2.1, mostra-se este campo de velocidades para um determinado instante de tempo t.Utilizou-se uma representacao em vetores, de forma que cada vetor possui componentes u(x, y, t)e v(x, y, t) dadas pelas equacoes acima (a escala e arbitraria).

Solucao:

As linhas de corrente para este escoamento podem ser calculadas como anteriormente. Da compo-nente u, tem-se

ψ =

∫

u dy + g(x),

= Uy + g(x). (5.23)


Figura 5.2: Campo de velocidade para o escoamento em um determinado instante de tempo t. Ascores indicam o sentido do componente v. As escalas dos eixos x e y sao arbitrarias.

Substituindo esse resultado na expressao para a componente v, tem-se

v = −∂ψ∂x

V cos

[

2π

λ(x− Ut)

]

= − ∂

∂x(Uy + g)

V cos

[

2π

λ(x− Ut)

]

= −∂g∂x

g = −∫

V cos

[

2π

λ(x− Ut)

]

dx,

= −V λ2π

sen

[

2π

λ(x− Ut)

]

+ C. (5.24)

onde C e uma constante.Arbitrando ψ(x = 0, y = 0, t = 0) = 0, tem-se C = 0. Portanto,

ψ = Uy − V λ

2πsen

[

2π

λ(x− Ut)

]

. (5.25)

Na figura 5.2.1, mostra-se o grafico das linhas de corrente no plano (x, y) para um determinadoinstante de tempo (em unidades arbitrarias). Observa-se que estas sao tangentes aos vetoresvelocidade mostrados na figura 5.2.1.Para encontrar-se a trajetoria das partıculas de fluido que passam pelo ponto xp,o = xo, yp,o = yo noinstante de tempo to resolve-se simultaneamente as seguintes equacoes da cinematica da partıcula

dxpdt

= u(x = xp, y = yp, t),

dypdt

= v(x = xp, y = yp, t). (5.26)

Da componente u, tem-sedxpdt

= U, (5.27)

cuja solucao, sujeita a condicao inicial xp = xp,o em t = to, fornece

xp = xp,o + U(t− to). (5.28)


Figura 5.3: Linhas de corrente para o escoamento (escala arbitraria).

Da componente v, tem-sedypdt

= V cos

[

2π

λ(xp − Ut)

]

. (5.29)

No entanto,

xp − Ut = xp,o − Uto. (5.30)

Assim,dypdt

= V cos

[

2π

λ(xp,o − Uto)

]

, (5.31)

cuja solucao, sujeita a condicao inicial yp = yp,o em t = to, resulta em

yp = yp,o + V cos

[

2π

λ(xp,o − Uto)

]

(t− to) . (5.32)

Portanto, as trajetorias das partıculas que passam por xp,o, yp,o em to sao dadas pelos pares (xp, yp)

xp = xp,o + U(t− to),

yp = yp,o + V cos

[

2π

λ(xp,o − Uto)

]

(t− to) , (5.33)

para cada instante t (nota-se que to e mantido fixo e t ≥ to). Essas equacoes sao equacoesparametricas no tempo t. A variacao do tempo t permite mapear a posicao da partıcula dada por(xp, yp).Percebe-se que as trajetorias sao funcoes lineares do tempo. Isolando o tempo na equacao para xp,substituindo na equacao para yp e fazendo y = yp e x = xp, a fim de desenhar o grafico no plano(x, y), obtem-se

y = yo +V

Ucos

[

2π

λ(xo − Uto)

]

(x− xo) , (5.34)

onde xo = xp,o e yo = yp,o. Verifica-se que a funcao y = y(x) apresenta um comportamento linear,portanto, descrevendo o grafico de uma trajetoria linear.Na figura 5.2.1, mostra-se as trajetorias das partıculas que passam pelo ponto xp,o = yp,o = 0 notempo to > 0, ou seja, o grafico y = y(x). As diferentes curvas representam diferentes partıculasque passam pela origem em instantes de tempo to diferentes. Os pontos discretos unidos por linhaspontilhadas representam as posicoes das diferentes partıculas nos mesmos instantes de tempo t > to.


Figura 5.4: Trajetorias das partıculas que passam pelo ponto xo = yo = 0 no tempo t = to. Asdiferentes curvas representam diferentes partıculas que passam pela origem em instantes de tempoto diferentes (escala arbitraria). Os pontos discretos unidos por linhas pontilhadas representam asposicoes das diferentes partıculas nos mesmos instantes de tempo.

Observa-se que a primeira partıcula a passar pela origem (partıcula 1) atingiu uma distancia maiorno escoamento.

Usando o exemplo acima, pode-se ilustrar a obtencao das linhas de tinta. Para formar, em umdeterminado instante de tempo t, a linha de tinta emitida no ponto (xo, yo), deseja-se conheceronde estao todas as partıculas que passaram pelo ponto xo, yo em um instante de tempo to ≤ t. Asolucao e a mesma obtida para as trajetorias, somente precisamos expressa-la como

x(xo, yo, t) = xo + U(t− to)

y(xo, yo, t) = yo + V cos

[

2π

λ(xo − Uto)

]

(t− to) (5.35)

para cada instante to (nota-se que t e mantido fixo e to ≤ t).Na figura 5.2.1, mostra-se o grafico da linha de tinta no plano x, y em um instante de tempo t. Elerepresenta a posicao instantanea, no instante de tempo t, de todas as partıculas que passaram peloponto xo = yo = 0 em algum instante de tempo to > 0. A linha tracejada representa a trajetoriade uma partıcula que partiu do ponto xo = yo = 0 no tempo to > 0. Os triangulos representamas posicoes dessa partıcula em tres instantes de tempo distintos. Observa-se que a linha de tintase expande nas direcoes x e y como resultado da trajetoria linear de cada partıcula mostrada nafigura 5.2.1.Para este exemplo simples, as linhas de corrente, trajetoria e linhas de tinta foram calculadas ana-liticamente. Isto normalmente nao e possıvel em um escoamento complexo e formas discretizadasdas equacoes da funcao linha de corrente e da trajetoria das partıculas sao utilizadas. Para astrajetorias, admitindo-se uma variacao de tempo ∆t suficientemente pequena, o deslocamento deuma partıcula pode ser aproximado por

x1(xo, yo, to) ≃ xo + u(xo, yo, to)∆t

y1(xo, yo, to) ≃ yo + v(xo, yo, to)∆t (5.36)


Figura 5.5: Linha de tinta para as partıculas que passaram pelo ponto xo = yo = 0 no tempoto > 0 (escala arbitraria). A linha tracejada representa a trajetoria de uma partıcula que partiudo ponto xo = yo = 0 no tempo to > 0. Os triangulos representam as posicoes dessa partıcula emtres instantes de tempo distintos.

No instante de tempo seguinte t1 = to +∆t, tem-se

x2(xo, yo, to) ≃ x1 + u(x1, y1, t1)∆t

y2(xo, yo, to) ≃ y1 + v(x1, y1, t1)∆t (5.37)

e assim sucessivamente ate o tempo tN > to de interesse. A qualidade da aproximacao depen-dera da nao linearidade no tempo das componentes da velocidade e do valor utilizado para ∆t.Aproximacoes de ordem superior sao tambem possıveis e pode-se consultar outras referencias arespeito.


5.2.2 Exercıcios

Problema 1:Considere o campo de escoamento transiente de um fluido incompressıvel dado por

u = U

v = V cos

(

2πt

τ

)

,

onde U (m/s), V (m/s) e τ (s) sao constantes.

(a) Desenhe o campo de velocidade para t = 0 e t = τ/4.

(b) Obtenha a funcao linha de corrente e represente graficamente as linhas de corrente para t = 0e t = τ/4.

(c) Obtenha a trajetoria das partıculas passando por xp,o, yp,o, to e a linha de tinta das partıculasque passaram por xp,o, yp,o, to.

Resposta:

ψ(x, y, t) = Uy − V cos

(

2πt

τ

)

x

xp(xp,o, yp,o, to) = xp,o + U(t− to)

yp(xp,o, yp,o, to) = yp,o +τV

2π

[

sen

(

2πt

τ

)

− sen

(

2πtoτ

)]

Problema 2:Obtenha os campos de velocidade para os escoamentos de fluido incompressıvel descritos peloscampos de linhas de corrente bidimensionais (x, y) abaixo. Nessas equacoes, a, b, c, γ,Ω sao con-stantes.

1. Escoamento cisalhante simples:

ψ = γy2

2.

2. Escoamento ideal em um canto com angulo π/2:

ψ = axy.

3. Rotacao de corpo rıgido com velocidade angular Ω:

ψ = −Ω

2(x2 + y2).

4. Escoamento sobre uma placa oscilante na direcao x, com sopro na direcao y.

ψ = −x− e−y

2[sen(t− y) + cos(t− y)] .

Problema 3:Para os campos de velocidade listados abaixo, obtenha as linhas de corrente e represente algumaslinhas de corrente no plano (x, y). Nessas equacoes, a, b, c, γ,Ω, U, V sao constantes.

1. Escoamento cisalhante simples:u = γy, v = 0.


2. Escoamento ideal em um canto com angulo π/2:

u = ax, v = −ay.

3. Rotacao de corpo rıgido com velocidade angular Ω:

u = −Ωy, v = Ωx.

4. Superposicao de escoamento ideal em um canto (π/2) com rotacao de corpo rıgido:

u = ax− by, v = bx− ay.

5. Superposicao de escoamento ideal em um canto (π/2) com escoamento uniforme:

u = ax+ b, v = −ay + c.

6. Escoamento em camada limite:

u =Uy

x1/2, v =

Uy2

4x3/2.

7. Escoamento invıscido ao redor de um cilindro:

u = V − Gy

2π(x2 + y2), v =

Gx

2π(x2 + y2).

Problema 4: Dado o campo de velocidade bidimensional, em regime permanente,

u = ax+ b, v = −ay + c,

onde a, b, c sao constantes:

(a) Determine o valor da linha de corrente que passa pelo ponto (x, y) = (1, 10).

(a) Assumindo a = 10 m/s2, b = c = 0, determine a vazao volumetrica atraves da superfıcieentre (x2, y2) = (2, 2) e (x1, y1) = (1, 1).

Resposta: (a) ψ(1, 1) = a+ b− c.

Problema 5: Nesse e nos proximos problemas, utilize a formulacao das linhas de

corrente em coordenadas polares (r, θ):

vr =1

r

∂ψ

∂θ, vθ = −∂ψ

∂r

O campo bidimensional de linhas de corrente para o escoamento ideal em regime permanente emum canto com angulo π/n pode ser expresso em coordenadas polares (r, θ) como

ψ = Arn sen(nθ)

onde A, n sao constante. Determine os componentes do vetor velocidade no sistema (r, θ).

Resposta: vr = nArn−1 cos(nθ), vθ = −nArn−1 sen(nθ).

Problema 6:Escoamentos invıscidos (ideais) no plano fornecem aproximacoes para alguns problemas de engen-haria. Dentre os escoamentos fundamentais bidimensionais, estao o escoamento uniforme, a fontelinear, o vortice linear e o doublet. Obtenha os campos de velocidade para os escoamentos ideais defluido incompressıvel descritos pelos campos de linhas de corrente bidimensionais abaixo expressosem coordenadas polares (r, θ). Nessas equacoes, U, q,Γ, d sao constantes.


1. Escoamento uniforme com velocidade U na direcao x:

ψ = Ur sen θ.

2. Fonte (q > 0) ou sumidouro (q < 0) linear com vazao q (m3/s)/m:

ψ =q

2πθ.

3. Vortice linear com circulacao Γ:

ψ = − Γ

2πln r.

4. Fonte e sumidouro (doublet) com vazao q, separados por uma distancia 2d:

ψ = − qd

2π

sen θ

r.

Problema 7:A solucao para varios problemas envolvendo o escoamento invıscido (ideal) bidimensional podemser obtidas atraves da superposicao das solucoes para escoamentos ideiais fundamentais. Obtenhaos campos de velocidade para os escoamentos de fluido incompressıvel descritos pelos campos delinhas de corrente bidimensionais abaixo expressos em coordenadas polares (r, θ). Nessas equacoes,U, q,Γ, C sao constantes.

1. Escoamento uniforme com velocidade U na direcao x e fonte com vazao q:

ψ = Ur sen θ +q

2πθ.

2. Escoamento uniforme com velocidade U na direcao x e doublet com vazao q:

ψ = Ur sen θ − λsen θ

r.

Problema 8:O campo de velocidade para o escoamento invıscido, bidimensional, ao redor de um cilindro comraio R e descrito por

v =

[

Uo

(

1− R2

r2

)

cos θ

]

er −[

Uo

(

1 +R2

r2

)

sen θ

]

eθ

onde Uo (m/s) e a velocidade de corrente livre.(a) Verifique se esse campo de velocidade representa o escoamento de um fluido incompressıvel.(b) Determine a funcao linha de corrente ψ para esse escoamento. Faca um esboco das linhas decorrente.(c) Determine os valores das componentes da velocidade e o modulo do vetor velocidade para (i)longe do cilindro (r → ∞) e (ii) na superfıcie do cilindro (r = R).

5.2.3 Aceleracao

Durante escoamento, as partıculas de fluido sofrem translacao, rotacao e deformacao. A rotacao e adeformacao ocorrem como resultado da existencia de taxa de deformacao, um aspecto que dependeda existencia de viscosidade. Nessa secao, trataremos do escoamento na ausencia de viscosidade.Dessa forma, o movimento das partıculas de fluido se resumira a translacao.


Uo

x = r cos(q)y = r sen(q)

r

qR

y

x


rp(t)

vp(t)

z

x

rp(t+Dt)


Trajetória


ap(t)


Como visto na secao anterior, a posicao da partıcula e identificada pelo vetor posicao rp. Avelocidade da partıcula e obtida de

vp =drpdt. (5.38)

Por consequencia, a aceleracao da partıcula e obtida de

ap =dvp

dt. (5.39)

Pela segunda Lei de Newton, a aceleracao relaciona-se a resultante das forcas externas aplicadassobre a partıcula. O conjunto de equacoes dinamicas completa a descricao Lagrangeana do escoa-mento.

Do ponto de vista da descricao Euleriana, o campo de velocidade e formado pelo valor do vetorvelocidade em cada posicao (x, y, z) em cada instante de tempo t. O valor do vetor velocidade em(x, y, z, t) relaciona-se com a velocidade das partıculas de fluido por

v(x, y, z, t) = vp [x = xp(t), y = yp(t), z = zp(t)] (5.40)

Embora seja relativamente simples estabelecer a relacao entre a aceleracao e a velocidade dapartıcula de fluido, o campo de aceleracao nao se relaciona de forma simples com o campo develocidade. Em princıpio,

a =dv

dt, (5.41)

mas, nao e obvia a forma como essa derivada deva ser calculada.


Podemos iniciar aproximando a velocidade do escoamento v na posicao (x, y, z, t) em funcao davelocidade vo na posicao (xo, yo, zo, to) utilizando uma serie de Taylor,

v = vo +∂v

∂x(x− xo) +

∂v

∂y(y − yo) +

∂v

∂z(z − zo) +

∂v

∂t(t− to) + ...+O(2) (5.42)

A serie de Taylor foi truncada nos termos de ordem igual ou superior a 2. Essa aproximacao linear,em geral, e justificavel para os campos de velocidade de interesse. Reconhecendo que ∆v = v−vo

e assim sucessivamente para as variaveis independentes (x, y, z, t), tem-se

∆v =∂v

∂x∆x+

∂v

∂y∆y +

∂v

∂z∆z +

∂v

∂t∆t. (5.43)

O deslocamento da partıcula de fluido em cada direcao pode ser aproximado pela respectiva com-ponente de velocidade. Por exemplo, na direcao x tem-se ∆x = up∆t. Como u(x, y, z, t) = up[x =xp(t), y = yp(t), z = zp(t)] e assim por diante para as demais direcoes, pode-se escrever

∆v =∂v

∂xu∆t+

∂v

∂yv∆t+

∂v

∂zw∆t+

∂v

∂t∆t. (5.44)

Dividindo por ∆t, e tomando o limite quando ∆t→ 0, tem-se

dv

dt=∂v

∂xu+

∂v

∂yv +

∂v

∂zw +

∂v

∂t(5.45)

Essa expressao para dv/dt e formada por dois componentes. Os primeiros 3 termos do lado direitoavaliam a variacao da velocidade da partıcula com as tres direcoes espaciais mantendo o tempofixo. Esses tres termos sao denominados de aceleracao convectiva. O quarto termo avalia a variacaoda velocidade com o tempo para uma determinada posicao (x, y, z) fixa. Esse termo e denominadode aceleracao local. A derivada d( . )/dt e chamada de derivada material.Portanto, na descricao Euleriana do escoamento, o campo de aceleracao e dado pela derivadamaterial do campo de velocidade, ou seja,

a =dv

dt=∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z. (5.46)

A derivada material aparecera em todas as equacoes de conservacao. A equacao da conservacaoda quantidade de movimento linear para o escoamento invıscido, resultara na Equacao de Euler.

5.2.4 Exercıcios

Problema 1:Um tubo poroso e inserido verticalmente (direcao z) em um escoamento uniforme com velocidadeU = 10 m/s constante. O tubo injeta fluido na direcao radial com vazao constante e igual a q = 10m3/s (comprimento w = 1 m). Assuma que a massa especıfica do fluido e ρ = 1, 4 kg/m3. Ocampo de velocidade para esse escoamento bidimensional no plano (r, θ) e dado por

v(r, θ) =(

U cos θ +q

2πr

)

er − U sen θ eθ

(a) Obtenha o campo de linhas de corrente e apresente um esboco desse campo. Sobre o grafico,use setas para indicar a direcao do escoamento.(b) Obtenha a vazao volumetrica que escoa entre os pontos (r = 1, θ = π/4) e (r = 1, θ = 7π/4).Represente essa secao no esboco do item (a).(c) Obtenha as componentes do campo de aceleracao para este escoamento e calcule o modulo daaceleracao a (m/s2) no ponto [r = 1/(2π), θ = π].

Problema 2:


U

q

Tubulação de injeçãode fluido (fonte)

Escoamentouniforme

z

x

U

x

yr

q

Vista frontal: Vista superior:


O campo de velocidade para o escoamento invıscido, bidimensional, ao redor de um cilindro comraio R e descrito por

v =

[

Uo

(

1− R2

r2

)

cos θ

]

er −[

Uo

(

1 +R2

r2

)

sen θ

]

eθ

onde Uo (m/s) e a velocidade de corrente livre.Determine a aceleracao do fluido a para esse campo de escoamento.

Uo


r

qR

y

x


5.3 Escoamento invıscido

O escoamento invıscido e aquele que se comporta como se o fluido tivesse viscosidade nula. Umfluido com viscosidade nula e denominado de fluido ideal, uma idealizacao da realidade. Mesmoescoamentos que apresentam tensoes de cisalhamento significativas exibem regioes onde as forcasviscosas sao muito menores que a inercia do escoamento. Nessas regioes, os efeitos das forcasviscosas sao negligenciaveis e o escoamento se comporta como sendo invıscido. Um exemplo de umaregiao desse tipo e a regiao longe das paredes de um solido sujeito a um escoamento externo, comono escoamento sobre um veıculo ou sobre a asa de uma aeronave. Nessas condicoes, a descricao doescoamento se torna mais simples e existem tecnicas matematicas poderosas que permitem obtersolucoes analıticas e numericas que exibem grande precisao.

5.3.1 Equacao de Euler ao longo da linha de corrente

Verificamos na secao anterior que as linhas de corrente sao tangentes ao vetor velocidade. Setomarmos um conjunto de linhas de corrente envolvendo uma determinada regiao do fluido, obtemos

5.3. ESCOAMENTO INVISCIDO 167

um tubo de corrente. Como o vetor velocidade e paralelo as paredes do tubo de corrente, avazao volumetrica de um fluido incompressıvel que escoa no seu interior e a mesma ao longo dotubo. Consideremos entao um tubo de corrente para o qual as forcas com origem viscosa sejamnegligenciaveis. A figura (5.10) mostra um campo de linhas de corrente para um escoamentobidimensional no plano (x, z), em regime permanente, sobre o qual identifica-se uma partıcula defluido em dois instantes do seu deslocamento.

rp(Dx)rp(0)

z

x

partícula

vp(0)

Figura 5.10: Linhas de corrente no plano (x, z) para um escoamento. Uma partıcula de fluido emostrada em dois instantes do seu deslocamento.

Na ausencia de forcas viscosas, o escoamento se comporta como se fosse invıscido. Definiremosa coordenada s como uma coordenada curvilınea que acompanha a linha de centro do tubo decorrente. Posicionaremos um volume de controle cujas faces de entrada e saıda do escoamentosao normais ao eixo s e cujas faces laterais coincidem com as paredes do tubo de corrente. Afigura (5.11) mostra uma ampliacao da partıcula de fluido mostrada na figura (5.10). A partıculadesloca-se com velocida V na direcao do eixo s, ou seja, v = V es. Para o escoamento invıscido,a partıcula desloca-se sobre a acao de forcas de pressao Fp e gravidade Fg.Aplicaremos agora um balanco de forcas ao longo da direcao s. As faces de entrada e saıda doescoamento estao sujeitas as forcas de pressao, enquanto que a forca peso atua na direcao z. Assim,

ΣFs = p1A1 − p2A2 − ρ∆V gsen β (5.47)

Para um volume de controle com comprimento ∆s, A1 = A2 = ∆A e ∆V = ∆A∆s. Assim,

ΣFs = −(p2 − p1)∆A− (ρgsen β)∆A∆s. (5.48)

A aplicacao da segunda Lei de Newton para o deslocamento ao longo da coordenada s parte de

mas = ΣFs (5.49)

Lembrando que o vetor velocidade aponta na direcao s, a aceleracao torna-se

as =∂V

∂t+ V

∂V

∂s, (5.50)

onde V e o modulo do vetor velocidade.Usando a expressao para a aceleracao, a segunda Lei de Newton torna-se

ρ∆A∆s

(

∂V

∂t+ V

∂V

∂s

)

= −(p2 − p1)∆A− (ρgsen β)∆A∆s. (5.51)

Dividindo por ∆V e extraindo o limite quando ∆V = ∆A∆s → 0, tem-se

ρ

(

∂V

∂t+ V

∂V

∂s

)

= −∂p∂s

− ρgsen β. (5.52)


partículaz

x

Ds

z

x

sV

Dn

n

z

x

Fg

Fp,2

Fp,1

Figura 5.11: Partıcula de fluido posicionada sobre um eixo de coordenadas curvilıneo s que acom-panha as linhas de corrente. Para o escoamento invıscido, a partıcula desloca-se sobre a acao deforcas de pressao Fp e gravidade Fg.

Denominando dz como a projecao de ds no eixo z,

∂z

∂s= sen β. (5.53)

Assim, dividindo por ρ e reorganizando a expressao para a segunda Lei de Newton, tem-se

∂V

∂t+ V

∂V

∂s= −1

ρ

∂p

∂s− g

∂z

∂s. (5.54)

Essa equacao corresponde a aplicacao da segunda Lei de Newton na direcao s. O lado esquerdo daequacao representa a inercia do escoamento, enquanto que o lado direito representa o balanco deforcas de pressao e gravidade na direcao s. Essa e a equacao de Euler escrita para a coordenadade linha de corrente.Agora, admitiremos que o fluido e incompressıvel e colapsaremos os termos do lado direito no ladoesquerdo. Nesse caso,

∂V

∂t+ V

∂V

∂s+∂p

∂s+ g

∂z

∂s= 0. (5.55)

Observa-se que V ∂V/∂s = (1/2)∂V 2/∂s. Assim,

∂V

∂t+

∂

∂s

(

V 2

2+p

ρ+ gz

)

= 0. (5.56)

Essa expressao pode ser integrada ao longo da linha de corrente entre uma posicao 1 e uma posicao2 obtendo,

∫ 2

1

∂V

∂tds+

∫ 2

1

∂

∂s

(

V 2

2+p

ρ+ gz

)

ds = 0. (5.57)

Considerando que as posicoes de integracao nao se deslocam com o tempo, tem-se

∂

∂t

∫ 2

1

V ds+

(

V 2

2+p

ρ+ gz

)

2

−(

V 2

2+p

ρ+ gz

)

1

= 0. (5.58)


Em regime permanente,

(

V 2

2+p

ρ+ gz

)

2

=

(

V 2

2+p

ρ+ gz

)

1

= C, (5.59)

onde C e uma constante. Essa e a Equacao de Bernoulli.

Esse resultado e semelhante ao que seria obtido empregando a equacao da conservacao da energia.Nota-se, porem, que esse resultado tem origem na conservacao da quantidade de movimento linearcom as hipoteses de fluido incompressıvel, escoamento em regime permanente e, mais importante,ausencia de efeitos viscosos.

5.3.2 Aplicacoes

Pressoes estatica e dinamica

A fim de definir a pressao dinamica, considere um escoamento bidimensional ao redor de um cilindrosolido cujo eixo e normal ao vetor velocidade. O escoamento livre possui velocidade com moduloV1 e pressao p1 e negligenciaremos o efeito das forcas viscosas. As partıculas que se aproximamdo cilindro vindas do escoamento livre sofrem a acao do campo de pressao originado na parede docilindro e se desviam, ou escoando sobre a face superior, ou sobre a face inferior. Dessa forma,o campo de escoamento livre com vetor velocidade horizontal e apontado na direcao positiva dex contorna e se ajusta a forma do cilindro. Observa-se que nesse escoamento existira uma linhade corrente que, partindo de uma posicao (1) no escoamento livre longe do cilindro, atingira ocilindro em um ponto (2) localizado imediatamente na linha de centro do cilindro. Sendo o cilindroimpermeavel, a velocidde nesse ponto (2) e nula, ou seja, V2 = 0. Aplicando a equacao de Bernoullientre os pontos (1) e (2)obtem-se

p2 = p1 +ρV 2

1

2. (5.60)

Observa-se que a pressao que seria medida no ponto de estagnacao sobre o cilindro p2 pode sersignificativamente maior que a pressao do escoamento p1 caso a velocidade V1 seja elevada.

O ponto (2) para o qual V2 e nulo e denominado de ponto de estagnacao. Percebe-se que nesseponto toda a energia cinetica do escoamento livre foi transformada em trabalho de pressao.

Consideremos agora um ponto (1) no escoamento livre com velocidade V1 e apliquemos a equacaoacima a esse ponto. A pressao estatica e a pressao termodinamica que existe no ponto (1), ou seja,o proprio valor de p1. Denomina-se de pressao dinamica o incremento de pressao que seria obtidoem um ponto de estagnacao localizado nesse ponto, ou seja, ρV 2

1 /2. Finalmente, denomina-sede pressao de estagnacao (ou total) o valor da soma das pressoes estaticas e dinamica, ou seja,equivalente ao valor da pressao que seria medida por um sensor de pressao localizado no ponto deestagnacao.

p1,o = p1 + p1,d = p1 +ρV 2

1

2. (5.61)

Essa definicao resulta em simplificacoes e facilidade de interpretacao na modelagem do escoamentocompressıvel. Tambem permite que se projete um instrumento de medicao de velocidade do escoa-mento denominado tubo de Pitot-Prandtl.

Tubo de Pitot-Prandtl

O tubo de Pitot utiliza a medicao de pressao estatica e total em um escoamento com ponto deestagnacao para determinar a velocidade de corrente livre do escoamento.

Posiciona-se a linha de centro da tomada de pressao total do tubo de Pitot-Prandtl coincidentecom a linha de corrente, em cuja posicao se deseja medir a velocidade do escoamento. Admite-seque as distorcoes nas linhas de corrente proximas a entrada do tubo de Pitot e que as perdas deenergia por efeitos viscosos causadas pela presenca do tubo sejam negligenciaveis. Assim, aplicando


a equacao de Bernoulli entre o ponto (1) na corrente livre e o ponto (2) imediatamente dentro daarea de entrada do tubo de Pitot, tem-se

p2 = p1 +ρV 2

1

2(5.62)

A medicao das pressoes p1 existente na area de entrada do tubo que mede pressao estatica (paralelaa linha de corrente) e p2 existente na area de entrada do tubo que mede a pressao total (normal alinha de corrente) permite a determinacao do modulo da velocidade por

V1 =

[

2 (p2 − p1)

ρ

]1/2

(5.63)

Vamos entao conectar os dois tubos a um manometro em U contendo um fluido manometrico commassa especıfica ρm. Para o manometro tem-se,

p2 − p1 = (ρm − ρ) gh (5.64)

Assim,

V1 =

√

2gh

(

ρ

ρf− 1

)

(5.65)

A precisao das medidas efetuadas dependem, fundamentalmente, da precisao do posicioanmentodo tubo de Pitot-Prandtl no interior do escoamento, principalmente, do fato que as areas dastomadas de pressao total e pressao estatica sejam normais e paralelas, respectivamente, as linhasde corrente no ponto de medic ao.

Tubo de Venturi

O tubo de venturi utiliza a queda de pressao estatica atraves de uma restricao ao escoamento paradeterminar a vazao do escoamento.Aplicando-se a equacao de Bernoulli entre os pontos 1 antes e 2 apos a restricao, negligenciando-seefeitos viscosos, tem-se

p1ρ

+V 21

2=p2ρ

+V 22

2(5.66)

Da equacao da conservacao da massa

m = ρV1A1 = ρV2A2 ⇒ V2 =A1

A2

V1 =D2

1

D22

V1 (5.67)

Resolvendo para V1 tem-se

V1 =

√

2 (p1 − p2)

(A1/A2)2 − 1

(5.68)

Utilizando um manometro em U contendo um fluido manometrico com massa especıfica ρm paramedir a diferenca de pressao entre os pontos 1 e 2, tem-se

V1 =

√

2gh (ρm/ρ− 1)

(A1/A2)2 − 1

(5.69)

A vazao obtida pelo produto da velocidade expressa pela Equacao 5.69 pela area A1 representauma vazao ideal, tendo-se em vista as hipoteses simplificativas de escoamento ideal, embutidas nadeducao da equacao de Bernoulli. Efeitos causados pela aceleracao do escoamento e efeitos viscososresultam em uma diferenca entre a vazao valometrica ideal e a que de fato escoa no interior do


tubo de venturi. Todos os efeitos nao incluidos na equacao de Bernoulli sao concentrados em umcoeficiente de descarga, CD, definido como

CD =Vreal

Videal(5.70)

Assim, escreve-se

Vreal = CDA1

√

2gh (ρm/ρf − 1)

(A1/A2)2 − 1

(5.71)

Analises semelhantes sao realizadas para a placa de orifıcio e o bocal medidor de vazao.

EXEMPLO 1:

Um tubo de pitot e utilizado para medir a velocidade de um escoamento em uma tubulacao dear com diametro D1(m) que sofre uma constricao para um diametro D2(m). Um manometro deagua ligado ao tubo de pitot acusa um desnıvel h(mm). Na secao 3, com diametro D3 = D1, atubulacao e aberta para a atmosfera com pressao patm(Pa). Determine: (a) A vazao volumetricaQ(m3/s) que escoa pela tubulacao, (b) a pressao p2(Pa) (absoluta) na secao com diametro D2(m)e a (c) a pressao p1(Pa) (absoluta) na secao com diametro D1(m). Assuma regime permanente,que o fluido se comporta como incompressıvel e que o escoamento seja invıscido.Dados: D1 = 1 m; D2 = 0, 5 m; D3 = D1; h = 10 mm; g = 9, 8 m/s2; patm = 101325 Pa;ρ = 1, 17 kg/m3 (ar); ρm = 1000 kg/m3 (fluido manometrico).

D3

D2 patm

ar

patm

gh

D1

a

V.

Figura 5.12: Exemplo 1.

Solucao:(a) Aplicando a equacao da conservacao da massa, a vazao volumetrica e

Q = V1A1 = V2A2 = V3A3

Aplicando a conservacao da energia para o escoamento no tubo de venturi entre a garganta (2) ea saıda para a atmosfera (3), tem-se

E3 = E2 − Wµ

V 23

2+patmρ

=V 22

2+p2ρ

(5.72)

Aplicando a conservacao da energia para o tubo de pitot,

V 22

2+p2ρ

=p2,totalρ


ou seja, a pressao total na boca do tubo de pitot p2,total e igual a soma da pressao estatica p2 e dapressao dinamica p2,dinamica = ρV 2

2 /2.A pressao total na boca do tubo de pitot pressiona o lıquido manometrico. Do balanco de pressaono manometro ligado ao tubo de pitot,

p2,total + ρgh = patm + ρmgh

Assim, para o conjunto tubo de pitot+manometro,

V 22

2+p2ρ

=1

ρ[patm + (ρm − ρ)gh] (5.73)

Assim, igualando as Equacoes (5.72) e (5.73),

V 23

2+patmρ

=patmρ

+(ρm − ρ)gh

ρ

V3 =

√

2(ρm − ρ)gh

ρ

Aplicando os dados fornecidos tem-se V3 = 12, 94 m/s. Portanto, a vazao volumetrica e Q =10,13m3/s.(b) Da Equacao (5.72),

p2 = patm +ρ

2(V 2

3 − V 22 )

= patm +ρV 2

3

2

(

1− A23

A22

)

Usando os dados, obtem-se p2 = 99857 Pa. Como esperado, o venturi causa aceleracao do escoa-mento na garganta, aumentando a velocidade e reduzindo a pressao.(c) Ora, se o escoamento e invıscido e A1 = A3, logo, p1 = p3 = patm.


5.3.3 Exercıcios

Problema 1:

Voce deve ser capaz de responder as seguintes perguntas:1. O que sao as pressoes estatica, dinamica e de estagnacao (ou total)?2. Como o tubo de pitot e utilizado para medir a velocidade de um escoamento?3. Como o tubo de pitot pode ser utilizado para medir a velocidade de uma aeronave em voo ?4. Como o venturi e utilizado para medir a velocidade de um escoamento?5. O que e uma placa de orifıcio?6. O que e um bocal medidor de vazao?7. O que e o coeficiente de descarga?

Problema 2:

Agua com massa especıfica ρ(kg/m3) escoa em uma tubulacao horizontal com diametro D1 (m),que sofre uma reducao para um diametro D2 (m) e retorna a ter diametro D1 (m), como mostraa figura abaixo. Nas secoes 1 e 2 sao instalados tubos verticais abertos para a atmosfera que saousados para medir a pressao diferencial entre as regioes com diametros D1 e D2. O proprio fluidoem escoamento e utilizado como fluido manometrico. Em regime permanente, a diferenca entre osdeslocamentos do fluido no tubos verticais e h(m). Negligencie os efeitos viscosos, assuma que osfluidos sejam incompressıveis e que o escoamento ocorra em regime permanente.(a) Obtenha a vazao volumetrica do escoamento V (m3/s).(b) Caso a saıda da tubulacao seja aberta a atmosfera, obtenha a pressao absoluta na regiao comar no topo do manometro.Dados: ρ = 1000 kg/m3 (agua); g = 9,8 m/s2; D1 = 100 mm; D2 = 75 mm; h = 200 mm; patm= 101 kPa (absoluto).

h

D1D2

m

ar

água

patm

D1.


Problema 3:

A figura abaixo mostra uma tubulacao com diametro D1 (m) que termina em um estreitamentocom diametro D3 (m) e descarrega o fluido com densidade ρ (kg/m3) para a atmosfera na pressaopatm (Pa). A fim de medir a vazao do escoamento, um bocal com diametro de garganta D2 (m) einstalado no interior da tubulacao. Apos o escoamento atingir regime permanente, o desnıvel dofluido manometrico, com densidade ρm (kg/m3), atinge o valor h (m). Negligencie efeitos viscosose encontre expressoes para: (a) A vazao do escoamento V (m3/s). (b) A pressao estatica (absoluta)no ponto 1, p1 (Pa).Dados: D1, D2; D3, ρ, ρm, g, h, patm. Obtenha: V , p1.


D1 D2

h

g

D3

patm

V.


Problema 4:

Um tubo de pitot e utilizado para medir a velocidade de um escoamento em uma tubulacao dear com diametro D1(m) que sofre uma constricao para um diametro D2(m). Um manometro deagua ligado ao tubo de pitot acusa um desnıvel h(mm). Na secao 3, com diametro D3 = D1, atubulacao e aberta para a atmosfera com pressao patm(Pa). Determine: (a) A vazao volumetricaV (m3/s) que escoa pela tubulacao, (b) a pressao p2(Pa) (absoluta) na secao com diametro D2(m)e a (c) a pressao p1(Pa) (absoluta) na secao com diametro D1(m). Assuma regime permanente,que o fluido se comporta como incompressıvel e que o escoamento seja invıscido.

Dados: D1 = 1 m; D2 = 0, 5 m; D3 = D1; h = 10 mm; g = 9, 8 m/s2; patm = 101325 Pa;ρ = 1, 17 kg/m3 (ar); ρm = 1000 kg/m3 (fluido manometrico).

D3

D2 patm

ar

patm

gh

D1

a

V.


Problema 5:

Oleo com massa especıfica ρo(kg/m3) escoa internamente em uma tubulacao vertical com dametro

constante munida de um tubo de pitot, posicionado na linha de centro, como mostra a figuraabaixo. A tubulacao possui diametro D1(m) e o tubo de pitot possui diametro D2(m). O tubode pitot e ligado a um manometro em U contendo um lıquido manometrico com massa especıficaρm(kg/m3) que e conectado a tubulacao a uma distancia L(m) em relacao a ponta do tubo depitot. Em regime permanente, o lıquido manometrico apresenta um desnıvel h(m). (a) Obtenha avelocidade do escoamento na linha de centro da tubulacao. (b) Estime a vazao de fluido Q(m3/s)escoando pela tubulacao. Liste as hipoteses que voce usou para obter esta estimativa.

Dados: ρo = 800 kg/m3 (oleo), ρm = 1000 kg/m3 (agua), g = 9, 8 m/s2, D1 = 100 mm, D2 = 2


mm, H = 40 mm e h = 22 mm.

D1

D2

h

g

H

V.


Problema 7:

Agua com massa especıfica ρ(kg/m3) escoa para baixo em uma tubulacao vertical com dametroD1 (m), que sofre uma reducao para um diametro D3 (m), como mostra a figura abaixo. Na secaocom diametro D3 existe um tubo de pitot com diametro D2(m) posicionado na linha de centro.O tubo de pitot e ligado a um manometro em U contendo um lıquido manometrico com massaespecıfica ρm(kg/m3) que e conectado a tubulacao a uma distancia L1(m) em relacao a ponta dotubo de pitot. Em regime permanente, o lıquido manometrico apresenta um desnıvel h(m). (a)Obtenha a vazao volumetrica do escoamento. (b) Caso a pressao estatica no ponto 3 seja p3 (Pa)(absoluta), determine a pressao estatica no ponto 1, p1 (Pa) (absoluta).Dados: ρ = 1000 kg/m3 (agua), ρm = 13000 kg/m3 (mercurio, fluido manometrico), g = 9,8m/s2, D1 = 100 mm, D2 =2 mm, D3 = 50 mm; L1 = 2000 mm; L2 = 1000 mm; p3 = 101 kPa(absoluto); h = 80 mm.

D1

D2

h

g

D3

p1

L1

L2

p3

V.



Problema 8:

Um tanque contem agua com densidade ρa (kg/m3) na sua parte inferior ate um nıvel H (m) euma camada de oleo com densidade ρo (kg/m3) e espessura L (m), como mostra a figura abaixo.A parede lateral do tanque apresenta um orifıcio que forma um jato circular com diametro D2

(m) aberto para a atmosfera. Um tubo de pitot e instalado no jato e e preenchido por agua e porum fluido manometrico com densidade ρm (kg/m3). Negligencie os efeitos viscosos, assuma que osfluidos sejam incompressıveis e que DT ≫ D2.(a) Calcule V2 (m/s).(b) Calcule a deflexao h (m) que seria acusada no manometro ligado ao tubo de pitot.Dados: ρo = 800 kg/m3 (oleo); ρa = 1000 kg/m3 (agua); ρm = 1800 kg/m3 (fluido manometrico);g = 9,8 m/s2; D2 = 50 mm, H = 200 mm; L = 150 mm; a = 500 mm; patm = 101 kPa (absoluto).

h

H

L

DT

D2

aberto paraatmosfera

jato paraatmosfera

água

óleo

fluidomanométrico

a

patm


Problema 10:

Um tubo de venturi possui diametro de saıda D1(m) e diametro de garganta D2(m). Neste tubo,aberto para a atmosfera na saıda, escoa ar na vazao volumetrica Va(m

3/s). Na garganta do venturie instalado um tubo de succao com diametro D3(m) que aspira um lıquido com massa especıficaρℓ(kg/m

3) a partir de um reservatorio aberto para a atmosfera e com nıvel do lıquido situado auma distancia h(m) da linha de centro do tubo.(a) Determine a pressao (absoluta) p2(Pa) na garganta do venturi. Dica: Aplique a equacao deBernoulli para o escoamento de ar.(b) Estime a vazao de liquido Vℓ(m

3/s) que sera aspirada do reservatorio e a relacao entre a vazaomassica de ar e a vazao massica de liquido na saida do venturi. Liste as hipoteses que voce usoupara obter esta estimativa. Dica: Resolva os escoamentos de ar e agua separadamente, um de cadavez.(c) Porque o angulo de saida do venturi e muito mais suave (tipo 7o) do que o angulo de entradado venturi? Explique.Dados: ρℓ = 1000 kg/m3 (agua), ρa = 1, 4 kg/m3 (ar), g = 9, 8 m/s2, patm = 101325 Pa, h = 12mm, D1 = 10 mm, D2 = 8 mm, D3 = 0, 5 mm, Va = 10−3 m3/s.


D1

D2 patm

h

Líquido

ar

patmtubo desucção

gD3

ma.


Problema 11:

A figura abaixo mostra um canal com profundidade h1 (m) no qual escoa um fluido com massaespecıfica ρ (kg/m3). Em um certo local, coloca-se uma barreira apoiada no fundo do canal.A barreira tem altura h2 (m). Essa barreira represa parcialmente o canal. Apos a barreira, oescoamento no canal prossegue com profundidade h3 (m). A largura do canal vale w (m).(a) Se a vazao volumetrica no canal for V (m3/s), determine as velocidades medias do escoamentonas secoes com profundidades h1 (m) e h3 (m).(b) Determine o valor da energia mecanica na superfıcie das secoes com altura h1 (m) e h3 (m).Explique a diferenca observada entre os valores de energia.Dados: V = 2,73 m3/s; w = 2 m; h1 = 1,3 m; h2 = 0,48 m; h3 = 0,3 m; ρ = 1000 kg/m3; g = 9,8m/s2 (aceleracao da gravidade); patm = 101325 Pa (pressao atmosferica).

h1

h3

Fundo do canal

Barreira

h2

gV

.


Problema 12:

Um tubo poroso e inserido verticalmente (direcao z) em um escoamento uniforme com velocidadeU = 10 m/s constante. O tubo injeta fluido na direcao radial com vazao constante e igual a q = 10m3/s (comprimento w = 1 m). Assuma que a massa especıfica do fluido e ρ = 1, 4 kg/m3. Ocampo de velocidade para esse escoamento bidimensional no plano (r, θ) e dado por

v(r, θ) =(

U cos θ +q

2πr

)

er − U sen θ eθ

(a) Esse escoamento apresenta um ponto de estagnacao nas coordenadas [r = 1/(2π), θ = π].Obtenha o valor das velocidades vr e vθ nesse ponto. Interprete o seu resultado.


(b) Assuma que a pressao do escoamento em r → ∞ e pa = 100 kPa. Obtenha a pressao no ponto[r = 1/(2π), θ = π].

U

q

Tubulação de injeçãode fluido (fonte)

Escoamentouniforme

z

x

U

x

yr

q

Vista frontal: Vista superior:


Problema 13:

Em um sistema de combustao, ar e aspirado da atmosfera por um ventilador e insuflado em umambiente atraves de um bocal. A tubulacao de captacao de ar tem diametro D1 (m). Um bocalmedidor de vazao com diametro de garganta D2 (m) e instalado na captacao. O bocal de saıdatem diametro D3 (m) e e situado a uma altura H (m). O manometro diferencial no bocal medidorde vazao acusa um desnıvel h (m). (a) Determine a velocidade de saıda V3 (m/s). (b) Determinea pressao p1 (Pa) na saıda do ventilador.Dados: ρ = 1,4 kg/m3 (ar); ρm = 1000 kg/m3 (agua); D1 = 100 mm; D2 = 75 mm; D3 = 10mm; H = 2000 mm; h = 200 mm; g = 9,8 m/s2; patm = 101 kPa (absoluto).

D1D2

h

g

V.

D3 patm

patm

Ventilador

Bocal medidorde vazão H



Problema 14:

Uma tubulacao vertical tem secao transversal retangular com altura 2h (m) e largura (saindo dapagina) w (m). A partir de uma certa posicao x = 0, a parede se torna porosa ate uma posicaox = L. O campo de velocidade na posicao x = 0 e uniforme e dado por

u = Uo

onde Uo e constante. A parede porosa permite a saıda de escoamento com campo de velocidade

v = Vo

(

1− x

L

)

Assuma que o escoamento ocorra em regime permanente, que o fluido seja incompressıvel e neg-ligencie os efeitos viscosos. (a) Obtenha uma expressao para u(x) no interior da tubulacao. (b)Utilizando a equacao da conservacao da massa, obtenha uma expressao para v(x, y) no interior datubulacao. (c) A pressao na entrada da tubulacao (x = 0) e po(Pa). A pressao externa e ambientepatm. Obtenha a distribuicao de pressao p(x, y) ao longo do escoamento no interior da tubulacao.

y

x

v(x)

Uo

L

h h

po

g

Vo

u(x)

v(x,y)


Problema 15:

O campo de velocidade para o escoamento invıscido, bidimensional, ao redor de um cilindro comraio R e descrito por

v =

[

Uo

(

1− R2

r2

)

cos θ

]

er −[

Uo

(

1 +R2

r2

)

sen θ

]

eθ

onde Uo (m/s) e a velocidade de corrente livre.

(a) Determine o campo de pressao na superfıcie do cilindro (em r = R).

(b) Encontre o valor da forca causada pelo escoamento sobre o cilindro na direcao x.

(c) Encontre o gradiente de pressao na direcao r, ou seja, dp/dr, no ponto de estagnacao na frentedo cilindro (r = R, θ = π).


Uo


r

qR

y

x


(a)

tyx

toDy

Dx

y

x

h

U(b)

hD

Figura 5.25: (a) Esquema de formacao de escoamento de Couette entre duas superfıcies paralelas.(b) Volume de controle para analise com a identificacao das forcas na direcao x.

5.4 Fundamentos dos escoamentos viscosos

5.4.1 Equacao de Cauchy

Considere o escoamento bidimensional de um fluido incompressıvel entre duas placas planas par-alelas. Seleciona-se um volume de controle com dimensoes ∆x, ∆y e ∆z, conforme mostrado naFigura (5.25).Aplicando a equacao da conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x obtem-se

max =∑

Fx = Fp,x + Fg,x + Fµ,x. (5.74)

onde Fp,x, Fg,x and Fµ,x sao as forcas de pressao, gravidade e viscosas na direcao x.Para as forcas identificadas na Figura 5.25(b), tem-se

Fp,x = Fp,1 − Fp,2,Fµ,x = Fn,1 − Fn,2 + Ft,4 − Ft,3.

(5.75)

onde n e t significam forcas normais e tangenciais de origem viscosa respectivamente.

5.4. FUNDAMENTOS DOS ESCOAMENTOS VISCOSOS 181

As forcas de pressao e gravidade, como anteriormente, sao dadas por

Fp,x = Fp,1 − Fp,2,= − (p2 − p1)∆y∆z,

Fg,x = ρgx∆x∆y∆z.(5.76)

Para calcular as forcas viscosas, definimos as tensoes viscosas tais que

Fn = σ ∆An, Ft = τ ∆At (5.77)

onde σ indica uma tensao viscosa normal media na area ∆An e τ uma tensao viscosa tangencial,ou de cisalhamento, media sobre a area ∆At.Expresso em termos das tensoes viscosas, o balanco de forcas torna-se

Fµ,x = Fn,1 − Fn,2 + Ft,4 − Ft,3

= (σ1 − σ2)∆y∆z + (τ4 − τ3)∆x∆z.(5.78)

Divide-se a equacao da conservacao da quantidade de movimento linear por ∆V = ∆x∆y∆z eobtem-se

ρax = −(

p2 − p1∆x

)

+ ρgx +

(

σ1 − σ2∆x

)

+

(

τ4 − τ3∆y

)

. (5.79)

Extrai-se o limite quando ∆V → 0 e obtem-se

ρax = − ∂p

∂x+ ρgx +

∂σx∂x

+∂τx∂y

. (5.80)

O campo de tensoes viscosas e definido com maior rigor como

τij = lim∆Ai→0

(

Fj

∆Ai

)

(5.81)

onde o subscrito j indica a direcao da forca Fj , enquanto que o subscrito i indica a orientacao daarea ∆Ai. Observa-se que a orientacao da area e dada pela direcao do vetor normal ni. Dessaforma, considerando as direcoes das tensoes viscosas na Figura 1, a conservacao da quantidade demovimento linear torna-se

ρax = − ∂p

∂x+ ρgx +

∂σxx∂x

+∂τyx∂y

. (5.82)

Ressalta-se que σxx e a tensao viscosa normal na direcao x sobre a area cuja normal aponta nadirecao x, enquanto que τyx e a tensao viscosa de cisalhamento na direcao x sobre a area cujanormal aponta na direcao y. Essa equacao e denominada de Equacao de Cauchy1.O calculo das tensoes viscosas depende agora de uma formulacao para a relacao entre as tensoesviscosas e o campo de valocidades do escoamento. Essa relacao e denominada de relacao consti-

tutiva. Para um fluido newtoniano, as tensoes viscosas sao linearmente proporcionais a taxa de

deformacao.

5.4.2 Rotacao e deformacao

Considere uma partıcula de fluido que no tempo t = 0 tem a forma de um retangulo com lados ∆x

e ∆y conforme mostra a Figura (5.26).Essa partıcula sofre deformacao ao longo de sua trajetoria no escoamento. Fixaremos o sistema dereferencia sobre a partıcula a fim de eliminar a translacao e enfocar no estado de deformacao dapartıcula. Apos um tempo ∆t, a partıcula sofreu deformacao geral que resultou em um desloca-mento da face horizontal em um angulo θ1 na direcao antihoraria e da face vertical em um anguloθ2 na direcao horaria. Essa deformacao geral pode ser entendida como a soma de um movimento

1Augustin-Louis, Barao Cauchy, (1789-1857), matematico frances


Figura 5.26: (a) Partıcula de fluido Esquema de formacao de escoamento de Couette entre duassuperfıcies paralelas. (b) Volume de controle para analise com a identificacao das forcas na direcaox.

de rotacao em um angulo α na direcao antihoraria superposta a deformacao angular simples queresulta em um angulo β. Assim,

α+ β = θ1,−α+ β = θ2.

(5.83)

Resolvendo o sistema linear resulta em

α = 12(θ1 − θ2) ,

β = 12(θ1 + θ2) .

(5.84)

A partir do campo de velocidade,

tan θ1 =∆sy∆x

=v2 − v1∆x

∆t (5.85)

Para deslocamentos pequenos, tan θ1 → θ1. Extraindo o limite quando ∆x → 0 e ∆t → 0, o quejustifica a hipotese de pequenos deslocamentos, tem-se

θ1 =∂v

∂x, (5.86)

onde θ1 = ∂θ1/∂t e a taxa de variacao do angulo θ1.Analogamente, para a taxa de variacao do angulo θ2 tem-se

θ2 =∂u

∂y, (5.87)

onde θ2 = ∂θ2/∂t e a taxa de variacao do angulo θ2.Portanto, a taxa de variacao dos angulos θ1 e θ2 torna-se

α = 12

(

∂v

∂x− ∂u

∂y

)

,

β = 12

(

∂v

∂x+∂u

∂y

)

.

(5.88)

A taxa de rotacao, ou seja, a velocidade angular, e denominada ωz enquanto que a taxa de de-formacao e denominada de eyx, ou seja,

ωz = 12

(

∂v

∂x− ∂u

∂y

)

,

eyx = 12

(

∂v

∂x+∂u

∂y

)

.

(5.89)

O subındice z na velocidade de angular indica a direcao do eixo de rotacao, enquanto que osubındice yx indica a taxa de deformacao no plano yx.

Exemplo

O escoamento em um vortice invıscido e descrito pelo campo de velocidade (em coordanadascilındricas θ, r)

v =C

r


onde v e o componente da velocidade na direcao θ, r e a coordenada radial em relacao ao centrodo vortice e C e uma constante denominada a forca do vortice.A rotacao da partıcula na direcao z em relacao ao referencial estacionario (r, θ) para esse escoamentounidimensional e dada por

ωz =1

2r

∂

∂r(rv) =

1

2r

∂

∂r

(

rC

r

)

= 0

Portanto, o escoamento e irrotacional.Mostre fisicamente porque esse escoamento e irrotacional.

Solucao:Considere uma partıcula de fluido escoando conforme a figura abaixo.

Figura 5.27:

Define-se um sistema de coordenadas cilındrico (R,Θ) fixo na ponta da partıcula, como mostraa figura. Em relacao ao sistema de referencia (r, θ) fixo no laboratorio, o sistema (R,Θ) executaum movimento de translacao com velocidade v1 eθ onde v1 = C/r1. Assim, a velocidade angulardo deslocamento do sistema de referencia (R,Θ) e ω1 = v1/r1 = C/r21 (positiva, pela regra damao direita). Em relacao a esse sistema (R,Θ), a partıcula sofre deformacao, conforme mostradona figura, que resulta em um movimento de rotacao com velocidade angular -Ωo. Para que omovimento da partıcula seja irrotacional em relacao ao referencial estacionario (r, θ) temos quemostrar que o movimento com velocidade de rotacao -Ωo cancela o movimento com velocidade derotacao ω1, ou seja, que −Ωo = ω1.A velocidade pode ser expressa em relacao ao referencial (R,Θ) como

V = v-v1

onde v e velocidade expressa no sistema (r, θ) e v1 e a velocidade de translacao do sistema dereferencia (R,Θ). Assim,

V =C

r-C

r1= C

(

1

r-1

r1

)

Analogamente, o vetor posicao em relacao ao sistema de coordenadas (R,Θ) e dado por

R = r-r1

Assim,

V = C

(

1

R+ r1-1

r1

)

que e o campo de velocidade do fluido expresso no sistema (R,Θ) [note que nessa expressao, r1 econstante e identifica o local escolhido para posicionar o sistema (R,Θ)].Da rotacao em coordenadas cilındricas, agora aplicada ao sistema (R,Θ), tem-se

Ωz =1

2R

∂

∂R(RV ) =

1

2R

∂

∂R

[

C

(

1

R+ r1-1

r1

)]

= −C2

[

2r1 +R

r1(r1 +R)2

]

Aplicando no ponto de interesse no sistema (R,Θ), ou seja, em R = 0, tem-se finalmente

Ωo =−Cr21

como esperavamos.Uma forma alternativa de encontrar a rotacao da partıcula de fluido no sistema (R,Θ) consiste emaplicar a definicao de rotacao, ou seja,

Ωo = lim∆R→0

(

V2-V1∆R

)


onde ∆R = r2−r1 e a espessura do volume de controle na direcao R. Das definicoes das velocidadesnos sistema local

V2 − V1 = C

(

1

r1 +∆R-1

r1

)

Assim,

Ωo = lim∆R→0

C

∆R

(

1

r1 +∆R-1

r1

)

= lim∆R→0

−Cr1(r1 +∆R)

=−Cr21

.

Portanto, a partıcula de fluido executa uma rotacao com velocidade angular ω1 = C/r21 em relacaoao sistema (r, θ) que e compensada pela rotacao com velocidade angular Ωo = −C/r21, resultandoem uma rotacao final nula.

5.4.3 Equacao de Navier-Stokes

Para um fluido newtoniano a tensao viscosa e proporcional a taxa de deformacao e a constante deproporcionalidade e 2µ onde µ e a viscosidade dinamica (Pa.s). Assim, escreve-se

σxx = 2µexx

τyx = 2µeyx(5.90)

ou,

σxx = 2µ∂v

∂x

τyx = µ

(

∂v

∂x+∂u

∂y

)

.

(5.91)

Substituindo na equacao de Cauchy e utilizando a equacao da continuidade,

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (5.92)

tem-se

ρax = − ∂p

∂x+ ρgx + µ

(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

(5.93)

Esta e a componente x da Equacao de Navier-Stokes.Exemplo

Inicialmente, esta partıcula apresenta lados com comprimento ∆x e ∆y. Esta partıcula e entaosujeita a acao de uma forca tangencial uniforme e se deforma sob a acao desta forca. Apos umtempo ∆t de aplicacao da forca, como resultado da deformacao sofrida pela partıcula, os ladosverticais foram inclinados em um angulo de deformacao β. Neste exemplo o esforco tangencial edireciondo na direcao x e o campo de velocidade, que ocorre como resultado da aplicacao destaforca, possui apenas componente x e esta componente varia com y apenas. Assim, cada pontoao longo do lado do quadrado se desloca com uma velocidade u(y). Vamos definir a taxa de

deformacao por cisalhamento da partıcula como a media da variacao com o tempo do angulo dedeformacao 1/2(β/∆t) (veremos mais tarde porque aqui definimos desta forma). Considerandoo triangulo A-D-D’, nota-se que sen(β) = ∆s/∆y. Para pequenos valores do angulo β, pode-seaproximar β ∼ ∆s/∆y. Dado o campo de velocidade u(y), vamos denominar u(y = 0) = u1 eu(y = ∆y cos(β)) = u2. Portanto, o deslocamento do ponto A para A’ ocorre com velocidadeu1 enquanto que o deslocamento do ponto D para D’ ocorre com velocidade u2. Assim, pode-seescrever ∆s = (u2 − u1)∆t. Pode-se, entao, escrever

1

2

β

∆t=

1

2

∆s

∆y

1

∆t=

1

2

(u2 − u1)∆t

∆y

1

∆t=

1

2

(u2 − u1)

∆y(5.94)


Figura 5.28: Escoamento entre placas planas e paralelas sendo uma placa estacionaria e a outramovendo-se com velocidade constante (escoamento de Couette).JRGWMB0M.wmf

Figura 5.29: Relacao entre tensao de cisalhamento e taxa de deformacao para um fluido Newtoniano(definicao de viscosidade dinamica). JRGWMB0N.wmf

Tomando o limite quando ∆y tende a zero e expressando a taxa de deformacao por cisalhamento

por εyx tem-se

εyx = lim∆y→0

[

1

2

(u2 − u1)

∆y

]

=1

2

du

dy(5.95)

Os sub-ındices utilizados em εyx indicam que esta taxa de deformacao ocorre na direcao x em umplano que e normal ao eixo y.A forca tangencial ∆Fx e aplicada na direcao x, sobre o plano xz que intercepta o eixo y no pontoA. Defini-se a tensao de cisalhamento gerada pela forca de cisalhamento por

τyx = lim∆Ay→0

∆Fx

∆Ay= lim

∆x→0

∆Fx

lz∆x=

1

lz

dFx

dx(5.96)

Portanto, verifica-se que como resultado da aplicacao da tensao de cisalhamento τyx ocorreu ageracao de uma taxa de deformacao εyx. Pode-se expressar esta relacao de forma generica comoτyx = f(εyx). Neste ponto, ainda nao sabemos qual a magnitude de εyx quando uma determinadatensao τyx e aplicada. Apenas intuimos a existencia de uma relacao funcional entre τyx e εyx.A existencia de uma relacao deste tipo e comprovada por varios tipos de experimentos. Porexemplo, vamos analisar um experimento cujo comportamento e modelado adequadamente pelasrelacoes mostradas acima. Considere que um fluido e mantido entre duas placas planas e paralelas.A distancia de separacao entre as placas e h, a placa superior possui area superficial Ay e aplaca inferior possui area maior que Ay. A placa inferior e mantida estacionaria, enquanto quea placa superior e movida pela acao de uma forca constante Fx. Apos alguns segundos, a placasuperior passa a deslocar-se com uma velocidade uniforme U . Adicionando pontos de tinta aofluido entre as placas verifica-se que as partıculas de fluido em contato com as placas permanecemaderidas a estas superfıcies. Portanto, as partıculas de fluido em contato com a placa inferiorpermanecem estacionarias enquanto que as partıculas em contato com a placa superior movem-secom a velocidade desta. Nao e difıcil imaginar que o campo de velocidade no interior do fluidodesenvolve-se em uma distribuicao linear dada por

u(y) = Uy

h(5.97)

Portanto,

εyx =1

2

du

dy=

1

2

U

h(5.98)

A tensao de cisalhamento pode ser calculada por

τyx =Fx

Ay(5.99)

Pode-se variar o valor da forca aplicada e medir o valor da velocidade de escoamento, obtendo-seassim uma tabela de dados contendo pares τyx versus εyx. Quando estes pares sao apresentadosem um grafico obtem-se um comportamento linear.Quando o experimento e repetido utilizando o mesmo fluido, porem, com valores diferentes de areaAy e espacamento h, nota-se que a mesma reta e obtida, indicando que o coeficiente angular da retae uma caracterıstica do fluido. Portanto, o valor do coeficiente angular da reta e uma propriedade

termofısica do fluido. Esta propriedade, na verdade, a metade do valor do coeficiente angular da


Figura 5.30: Comportamento da tensao de cisalhamento versus (a) taxa de deformacao e (b) tempo,para uma taxa de deformacao constante, tıpicos de fluidos nao newtonianos. JRGWMB0O.wmf

reta, e denominada viscosidade dinamica e apresenta as unidades de Pa.s ou kg/m-s. Denotandoa viscosidade dinamica por µ pode-se entao estabelecer a relacao

τyx = 2µεyx = µdu

dy(5.100)

para este experimento.Resulta que esta expressao aplica-se a uma grande classe de experimentos e esta relacao e denomi-nada de Lei da viscosidade de Newton. Os fluidos cujo comportamento e modelado adequadamentepor esta expressao (em situacoes bi- e tri-dimensionais esta expressao e ampliada) sao entao denom-inados de fluidos newtonianos. A viscosidade cinematica do escoamento e definida como υ = µ/ρe tem unidade de m2/s.Observe agora que para o fluido newtoniano qualquer tensao cisalhante aplicada, por menor que

seja, causara necessariamente uma taxa de deformacao. Ou seja, o fluido newtoniano escoarasempre que uma forca de cisalhamento seja aplicada sobre ele, por menor que seja esta forca.Considere, por exemplo, um copo contendo agua. Se este copo for levemente entornado, a aguarespondera escoando na direcao do movimento do copo. Este escoamento resulta do desbalance-mento de forcas de pressao no interior do copo causadas pela aceleracao da gravidade. Mesmo queo desbalanceamento seja pequeno, a agua, inicialmente em repouso, acelerara e escoara de formaa anular o desbalancemanto imposto (isto sera analisado em maior detalhe no proximo capıtulo).Este aspecto da resposta do fluido newtoniano a uma forca aplicada e a propria definicao de fluido.

5.4.4 Fluidos nao newtonianos

Esta definicao, porem, nao e absoluta. Do ponto de vista mecanico, a viscosidade pode ser inter-pretada como a propriedade que expressa a resistencia que um fluido oferece a taxa de deformacao.Esta resistencia, no entanto, nem sempre se comporta de forma linear com a taxa de deformacao,como sugerido acima. Na realidade, apenas um pequeno grupo de fluidos como os gases, a agua, ooleo, e outros se comportam de forma linear. Uma parcela significativa exibe comportamentos naolineares entre a taxa de deformacao e a tensao de cisalhamento e estes sao os fluidos denominadosnao-newtonianos. A figura 2 apresenta alguns destes comportamentos.Os fluidos denominados dilatantes apresentam viscosidade que aumenta a medida que a taxa dedeformacao aumenta. Observe que o coeficiente angular da curva que expressa a relacao entretensao de cisalhamento e taxa de deformacao aumenta com o aumento da taxa de deformacao.Exemplos incluem as misturas concentradas de partıculas solidas submicrometricas de ceramicacom agua, alcools ou hidrocarbonetos lıquidos, solucoes concentradas de amido de milho e areiafina molhada. Por outro lado, os fluidos denominados pseudoplasticos apresentam viscosidade quediminui a medida que a taxa de deformacao aumenta (observe que o coeficiente angular diminui).Um exemplo de pseudoplastico e o vidro fundido sujeito a altas taxas de deformacao. Comoconsequencia e possıvel extira-lo na forma de fibras finas. Quando a variacao da viscosidade e muitoacentuada com a taxa de deformacao, estes fluidos sao denominados simplesmente plasticos. Osfluidos denominados plasticos de Bingham apresentam uma tensao mınima τc tal que o escoamentoso ocorre quando a tensao de cisalhamento aplicada excede o valor de τc. Neste valor de tensaocrıtica τc a estrutura molecular e rompida, as moleculas se realinham e o escoamento torna-sepossıvel. Para valores de tensao menores que τc a substancia se comporta como um solido enquantoque para valores de tensao maiores que este valor de tensao crıtica, o fluido pode se comportar deforma linear ou como dilatante ou pseudoplastico. Exemplos sao algumas tintas e fluidos organicos(massa de tomate, etc.). Outro comportamento tıpico em fluidos nao-newtonianos e a variacao daviscosidade com o tempo. Quando a tensao de cisalhamento decresce com o tempo, para um dadovalor fixo de taxa de deformacao, o fluido e chamado de tixotropico (ou, apresentando tixotropiapositiva). Do contrario, ele e chamado de reopetico (ou, apresentando tixotropia negativa). A


Figura 5.31: (a) Possıvel realizacao experimental do escoamento de Couette. (b) Diagramamostrando o equilıbrio de forcas de cisalhamento.JRGWMB0P.wmf

dimunuicao da viscosidade com o tempo e observada, por exemplo, em algumas tintas onde aaplicacao de movimentos sucessivos com o pincel diminui a viscosidade e possibilita uma melhorcobertura da superfıcie. Uma vez que o movimento cessa, a tinta, deixada sem aplicacao de esforcocisalhante, apresenta um aumento de viscosidade e nao volta a escorrer.Um exemplo tıpico de relacao tensao-taxa de deformacao utilizada para modelar o comportamentode fluidos nao newtonianos e dada por

τyx = 2κεnyx (5.101)

onde κ e n sao constantes para a substancia. Quando n = 1, κ = µ e o fluido possui compor-tamento newtoniano. Para n > 1, o comportamento e dilatante e para n < 1, o comportamentoe pseudoplastico. Observa-se que esta relacao nao e uma boa aproximacao proxima a origemεyx = 0, visto que o fluido dilatante teria derivada dτyx/dεyx zero e que o fluido pseudoplasticoteria derivada infinita.Uma forma aproximada de modelar a relacao tensao-taxa de deformacao para um plastico deBingham seria utilizar

τyx = τc + 2κεnyx (5.102)

A analise do escoamento de fluidos nao newtonianos torna-se adicionalmente complicada por estecarater de nao linearidade na relacao tensao-taxa de deformacao para estes fluidos.

5.4.5 Aplicacoes

Distribuicao de velocidade em escoamento unidimensional Na secao anterior analisamosum exemplo de deformacao como resultado de uma forca de cisalhamento aplicada na direcao x.Um exemplo deste tipo de escoamento e o escoamento entre placas planas paralelas, denominadode escoamento de Couette. A figura ?? apresenta um esquema deste escoamento.Pode-se realizar este escoamento posicionando-se dois aneis cilındricos de forma concentrica man-tendo um espacamento h entre as duas superfıcies. Enquanto um anel e mantido estacionario, ooutro gira com velocidade angular constante. Quando o espacamento h e muito menor que o raiodos aneis R, ou seja, h ≪ R, e quando a velocidade do anel e moderada, o escoamento entre osaneis se comporta como um escoamento entre duas placas planas paralelas. A figura 3 mostra estasituacao. Assumiremos que a placa superior se move com velocidade uniforme U , enquanto que aplaca inferior e estacionaria. O eixo y tem origem na placa inferior e assim a superfıcie superiorem contato com o fluido e posicionada em y = h. Vamos agora examinar o balanco de forcas emum volume de controle com espessura ∆y e comprimento lx posicionado no fluido. A unica forcaexperimentada pelo fluido no volume de controle na direcao x e a forca de cisalhamento impostapela placa na superfıcie inferior τo e imposta pelo fluido no lado de fora do volume de controle nasuperfıcie superior τyx. Como a placa se move com velocidade constante, nao ha aceleracao naspartıculas de fluido. O balanco de forcas na direcao x pode entao ser expresso como

τyx − τo = 0 (5.103)

Assumindo que o fluido seja newtoniano, podemos utilizar a Lei de Newton para expressar τyx comofuncao da taxa de deformacao. Como este escoamento apresenta exatamente o tipo de deformacaomostrado acima, pode-se escrever

τo = µdu

dy(5.104)

Admitindo que τo seja constante, integra-se a equacao acima obtendo-se

u =τoµy + C (5.105)


onde C e uma constante de integracao. Para a determinacao da constante de integracao, aplica-seuma condicao de contorno, ou seja, aplica-se o valor de u que e conhecido em uma dada posicaoy. Sendo a placa inferior estacionaria e como as partıculas de fluido em contato com uma su-perfıcie solida adquirem a velocidade desta superfıcie, o que denominamos de condicao de nao-

escorregamento da velocidade do escoamento, tem-se que u = 0 em y = 0. Assim, substituindo nadistribuicao de velocidade obtem-se C = 0. Portanto, a distribuicao de velocidade do escoamentode Couette e

u =τoµy (5.106)

Esta expressao talvez nao seja muito util, visto que nao conhecemos o valor de τo. No entanto,tambem sabemos que a velocidade do escoamento em y = h vale u = U . Substituindo na equacaoacima, tem-se

τo = µU

h(5.107)

e, portanto,

u = Uy

h(5.108)

Observa-se que do balanco de forcas, τyx = τo e isto permite escrever

τyx = µU

h; εyx =

1

2

U

h(5.109)

Com isto, completa-se a descricao do escoamento. Conhecemos as distribuicoes de velocidade,tensao de cisalhamento e taxa de deformacao. Observa-se que a distribuicao de velocidade e lineare as distribuicoes de tensao de cisalhamento e taxa de deformacao sao constantes. A figura ??(b)mostra o grafico de u em funcao de y e a figura ??(c) mostra os graficos de τyx em funcao de y ede εyx.Observa-se que o campo de velocidade deste escoamento tambem pode ser representado atraves deuma pequena manipulacao da equacao para u(y) obtendo

u

U=y

h(5.110)

Esta forma de expressar o campo de velocidade e bastante conveniente, visto que a variavel querepresenta a coordenada ao longo do escoamento y/h varia entre 0 e 1 para qualquer valor deh e a variavel que representa a velocidade do escoamento u/U tambem varia entre 0 e 1 paraqualquer valor da velocidade da placa U . Nota-se que quando o campo de velocidade e expressodesta forma, h(m) torna-se um valor de referencia, ou escala, para y(m) e U(m/s) torna-se umvalor de referencia, ou escala, para a velocidade. As variaveis u/U e y/h sao chamadas de variaveisadimensionais, visto que as dimensoes (unidades) sao eliminadas pelo quociente (y/h = [m]/[m] =[1], u/U = [m/s]/[m/s] = [1]). Este tipo de artifıcio denominado adimensionalizacao e umaferramenta bastante util na analise de escoamentos.Por fim, e comum na engenharia desejarmos conhecer a vazao de fluido que escoa entre as duasplacas. A vazao massica m(kg/s) e a quantidade de massa de fluido que escoa por unidade detempo. Sendo que a velocidade apresenta uma distribuicao com y, e admitindo que o comprimentodas placas na direcao z (normal a folha) seja lz, a vazao massica e calculada por

m =

∫ h

0

ρu(y)lzdy (5.111)

Utilizando a equacao para u(y), e admitindo que ρ seja uniforme em Ax, tem-se

m = ρlz

∫ h

0

Uy

hdy =

ρUlzh

∫ h

0

ydy =ρUlzh

h2

2= ρU

lzh

2(5.112)

A velocidade media um(m/s) do escoamento e definida como o valor de velocidade que multiplicadapela massa especıfica e pela area de escoamento resulta no valor da vazao massica, ou seja,

m = ρumAx (5.113)


Sendo Ax = lzh, a velocidade media para este escoamento e

um =U

2(5.114)

Observa-se que, sendo a massa especıfica constante, a velocidade media e o valor medio da funcaou(y),

um =m

ρAx=

1

ρAx

∫ h

0

ρu(y)lzdy =1

h

∫ h

0

u(y)dy (5.115)

Assim, pode-se tambem expressar o campo de velocidade como

u = 2umy

h(5.116)

Esta forma e frequentemente util visto que a velocidade media do escoamento fornece diretamentea vazao (pelo produto com a area e a massa especıfica) e e um parametro que pode ser utilizadocomo uma escala para a velocidade, bastante conveniente na analise de caracterısticas fısicas doescoamento.

O vetor quantidade de movimento linear e o produto da massa pela velocidade P = mv. Oescoamento possui uma quantidade de movimento por unidade de volume que e proporcional aoproduto da sua velocidade local pela massa especıfica. Este escoamento possui apenas velocidadena direcao x. Pode-se definir o fluxo de quantidade de movimento por unidade de massa e porunidade de area como sendo o produto do fluxo de massa local ρu pela quantidade de movimentolinear por unidade de massa u. A partir da distribuicao de velocidade, calcula-se a quantidade demovimento linear por unidade de massa cruzando a area Ax por

mPx

m=

∫ h

0

(ρu)ulzdy (5.117)

Da distribuicao de velocidade,

mPx

m=

∫ h

0

(ρ2umy

h)2um

y

hlzdy = ρ (2um)

2lz

∫ h

0

(y

h)2dy = ρu2m

4lzh

3=

4

3mum (5.118)

e nota-se que este valor e pouco maior que mum. Pode-se entao escrever

mPx

m= fP mum (5.119)

onde fP = 4/3 indica a razao entre o fluxo de quantidade de movimento por unidade de massa doescoamento e o fluxo de quantidade de movimento por unidade de massa avaliado com a velocidademedia do escoamento. O valor desta razao fP varia muito, dependendo do escoamento em analise.Observa-se tambem que este valor e uniforme com x para este escoamento.

A segunda Lei de Newton da dinamica estabelece que a quantidade de movimento linear e umavariavel conservada em um escoamento. Com a denominacao variavel conservada, deseja-se dizerque uma equacao de conservacao descreve como a quantidade de movimento linear varia em umescoamento. A quantidade de movimento linear varia devido a acao de forcas externas ao escoa-mento. Portnato, a equacao de conservacao da quantidade de movimento linera permitira escreveruma relacao entre a variacao da quantidade de movimento linear e as forcas aplicadas em umfluido, e esta sera bastante util na analise de escoamentos.

Pode-se inferir tambem o fluxo de energia que ocorre com o escoamento. Este assunto, porem, seradeixado para um capıtulo seguine. A seguir, volta-se a analisar a viscosidade, com um olhar maismicroscopico.


Figura 5.32: (a) Escoamento com velocidade u paralela ao plano Ay. (b) Modelo para a de-scricao molecular do transporte de quantidade de movimento entre camadas adjacentes do flu-ido.JRGWMB0Q.wmf

5.4.6 Viscosidade

O nosso senso comun entende a viscosidade de um fluido como sendo alguma propriedade rela-cionada com a facilidade com que este escoa, por exemplo, para fora de um copo, por um orifıcio ouentre os dedos. Podemos, por exemplo, colocar uma gota de fluido entre as superfıcies do polegare do indicador e, ao mover um dedo em relacao ao outro, aplicando uma leve pressao, podemosavaliar pelo tato a espessura do filme formado entre os dedos e a facilidade com que um dedodesliza sobre o outro. Isto nos da a sensacao de que um oleo lubrificante e mais viscoso que aagua, o que e uma sensacao basicamente correta. Embora este experimento simples seja facil derealizar com lıquidos, nao e facil sentir as diferencas de viscosidade entre os gases e, obviamento,nao podemos quantificar a viscosidade desta forma. Teorias foram desenvolvidas para explicar estae outras caracterısticas dos escoamentos relacionados a existencia de viscosidade e estes modelossao abordados a seguir.

Viscosidade de gases a baixa pressao

Pode-se desenvolver uma teoria para a viscosidade de gases a baixa pressao utilizando a teoria

cinetica dos gases. Esta teoria nos mostra de forma clara que a viscosidade cinematica e umapropriedade de transporte do fluido.

Vamos considerar um gas composto de moleculas que se comportam como esferas rıgidas escoandoem um escoamento de Couette conforme mostrado na figura 4 e analisado acima. Neste escoamento,a velocidade u(y) e paralela ao eixo x e e constante para cada posicao y. Considere um plano comarea Ay normal ao eixo y conforme mostra a figura 4.

As moleculas do gas possuem massa mi, estao presentes em uma concentracao de ni moleculaspor volume de fluido (moleculas/m3) e possuem velocidade ci relativa a velocidade do escoamentou. As velocidades ci possuem orientacao randomica e satisfazem a distribuicao de velocidades domodelo de Maxwell. Vamos assumir que: 1. A velocidade do escoamento u e muito menor que

a velocidade media molecular c =(

c2)1/2

. 2. As moleculas que atingem o plano Ay sao aquelas

que tiveram sua ultima colisao a uma distancia −λm e +λm do plano. Admiti-se tambem queas moleculas atingem equilıbrio durante as colisoes e adquirem a velocidade total do local ondetiveram a sua ultima colisao.

Da hipotese 1, verifica-se que cada molecula do gas apresenta uma probabilidade igual de deslocar-se em qualquer uma das direcoes ±x, ±y e ±z. Assim, o numero de moleculas atravessando oplano com area Ay por unidade de tempo N(moleculas/s) e

N =1

6nicAy (5.120)

Da hipotese 2, vamos supor que a velocidade em y − λm e u1 e em y + λm e u2. O fluxo dequantidade de movimento linear na direcao x por unidade de massa Px/m = u carregado pelasmoleculas na direcao positiva de y atravessando o plano Ay e

F+y = Nmiu1 =

(

1

6nicAymi

)

u1 (5.121)

e o fluxo na direcao negativa de y e

F−

y = Nmiu2 =

(

1

6nicAymi

)

u2 (5.122)


Admitindo que a distribuicao de velocidade seja linear sobre distancias muito maiores que λm,vamos aproximar as velocidades u1 e u2 por

u1 = u− ∆u

∆yλm; u2 = u+

∆u

∆yλm (5.123)

Existe portanto um fluxo lıquido na direcao positiva de y (∆Fy) de quantidade de movimento nadirecao x (Px/m = u) atravessando o plano Ay de

∆Fy = F+y − F−

y = −(

1

6nicmiAy

)

(u2 − u1) = −(

1

3nicmiλm

)

∆u

∆yAy (5.124)

No limite em que ∆y tende a zero,

dFy = −(

1

3nimicλm

)

du

dyAy (5.125)

Este fluxo lıquido de quantidade de movimento atraves do plano Ay resulta em uma forca decisalhamento resultante aplicada sobre o fluido. Assim, dFy = −τxyAy. Comparando com arelacao tensao-taxa de deformacao para um fluido newtoniano, identifica-se a viscosidade dinamica

µ(kg/m-s) do gas como

µ =1

3nimicλm (5.126)

Observa-se que a viscosidade relaciona-se com a transferencia de quantidade de movimento atravesdo plano Ay. Cada molecula em trajetoria na direcao de Ay carrega a quantidade de movimentomedia do escoamento na sua propria massa atraves do plano Ay. Assim, existe uma entidade (ocarrier neste caso e a molecula do fluido, uma partıcula) que existe a uma dada concentracaolocal (proporcional a ni), que carrega a propriedade transportada (a propria massa contem aquantidade de movimento linear), a uma velocidade de transporte (c/3), sobre uma distancia mediade transporte (λm). O caminho livre medio entre colisoes (λm) e a distancia de espalhamento dapropriedade transportada antes que esta atravesse a area Ay. A viscosidade diminui a medida queλm diminui porque as partıculas sao defletidas da sua rota antes que possam transferir quantidadede movimento atraves da area Ay. Esta estrutura para o transporte molecular de propriedadesmantem-se a mesma quando analisarmos a transferencia de calor e a transferencia de massa.Observa-se ainda que c/3 ≃ a (a e a velocidade do som definida anteriormente) confirmando quee a molecula o mensageiro (carrier) de impulsos no escoamento. Finalmente, nota-se que quandoa pressao e muito baixa e o caminho livre molecular torna-se da ordem do espacamento entre asduas placas no escoamento de Couette, esta equacao deixa de ser valida. Nesta condicao de gasmuito rarefeito, o modelo acima precisaria ser corrigido, levando em consideracao as moleculas queatingem o plano Ay sem que tenha havido colisao com outras moleculas.Notando que ρ = nimi, escreve-se

µ =1

3ρ(

c2)1/2

λm (5.127)

Substituindo na expressao acima as equacoes para(

c2)1/2

, λm e a equacao de estado para os gases

ideais, tem-se

µ =1

π√6

(

kBNA

)1/2(MT )

d2m

1/2

≃ 1, 968× 10−26 (MT )

d2m

1/2

(5.128)

para dm expresso em m (a constante torna-se 1, 968× 10−6 para dm expresso em A).Nota-se que nesta expressao a viscosidade cresce com

√T e e independente da pressao. A in-

fluencia da pressao nao e observada em experimentos ate pressoes de aproximadamente 10 atm.O crescimento com T e coerente, visto que ocorre um aumento de velocidade com o aumento detemperatura, assim, aumentando a transferencia de quantidade de movimento linear entre camadasadjacentes de fluido. Em gases nao ideias, porem, a existencia de energia potencial de interacao


entre as moleculas faz com que este aumento com a temperatura seja mais forte que o previstopor

√T . Para melhor prever o comportamento com a temperatura, o modelo deve ser melhorado,

atraves da substituicao do modelo de esferas rıgidas por outro modelo de energia potencial e melhoranalisando a questao do equilıbrio local durante colisoes.Na teoria denominada de modelo de Chapman-Enskog o modelo de potencial de Lennard-Jonesentre pares de moleculas e utilizado e a viscosidade dinamica µ(Pa.s) resulta em (Rosner, 2000;Bird, 1960)

µ =5

16√π

(

kBNA

)1/2(MT )

σ2LJΩµ

1/2

≃ 2, 6693× 10−26 (MT )

σ2LJΩµ

1/2

(5.129)

onde σLJ e a secao transversal de colisao do modelo de potencial de Lennard-Jones (m) e Ωµ e aintegral de colisao (adimensional) ( a constante torna-se 2, 6693× 10−6 quando σLJ e dado em A).A integral de colisao e funcao de T/(εLJ/kB), onde εLJ e a energia na separacao de equilıbrio nomodelo de potencial de Lennard-Jones. A integral de colisao tem o valor 1 para o modelo de esferarıgida e portanto representa o desvio do comportamento do gas em relacao ao modelo de esferasrıgidas. Para o modelo de Lennard-Jones, o valor de Ωµ pode ser obtido da tabela no apendice.O modelo e bastante adequado para gases com moleculas nao polares, mas, os resultados piorampara moleculas alongadas e polares, como H2O, NH3 CH3OH, etc..Uma aproximacao util para a integral de colisao para moleculas quase esfericas na faixa de 3 ≤kBT/εLJ ≤ 200 e (Rosner, 2000)

Ωµ ≃ 1, 22

(

kBT

εLJ

)

−0,16

(5.130)

Observa-se que quando esta aproximacao para Ωµ e inserida na Eq. para µ, observa-se que seobtem uma dependencia da temperatura de T 0,66. Portanto, esta simplificacao sugere que umaaproximacao pode ser obtida na forma de um modelo de lei de potencia. Assim, a aproximacaodesenvolvida por Maxwell e Rayleigh pode ser escrita como

µ

µo≃(

T

To

)n

(5.131)

onde µo e um valor de referencia a To e n e um expoente tıpico para cada gas a fim de melhorar oajuste a valores experimentais. Valores tıpicos de n sao mostrados na Tabela 2.Tabela 2: Valores para o modelo de lei de potencia para a viscosidade (adpatado de White, 1974).

Gas To, K µo, Pa.s n Faixa de Tempertaura, K Erro%

ar seco padrao 273 1,716×10−5 0,666 210-1900 ±4argonio 273 2,125×10−5 0,72 200-1500 ±3CO2 273 1,370×10−5 0,79 209-1700 ±5CO 273 1,657×10−5 0,71 230-1500 ±2N2 273 1,663×10−5 0,67 220-1500 ±3O2 273 1,919×10−5 0,69 230-2000 ±2H2 273 8,411×10−6 0,68 80-1100 ±2H2O 350 1,120×10−5 1,15 280-1500 ±3

Viscosidade de lıquidos

A teoria cinetica para os lıquidos fornece uma descricao dos mecanismos envolvidos no escoamentoem lıquidos e fornece tambem uma estimativa da viscosidade. Para a fase gasosa, a viscosidadee uma propriedade relacionada com a transferencia de quantidade de movimento entre camadasadjacentes de fludo quando moleculas com quantidade de movimento diferentes passam de umacamada para a outra. A camada com maior velocidade tende a ser retardada e a camada commenor velocidade tende a ser acelerada. Uma analogia interessante (Tabor, 1995) e a de doistrens em movimento com velocidades diferentes sobre trilhos paralelos. Quando alguem salta dotrem de menor velocidade para o de maior velocidade, ele carrega uma quantidade de movimento


Figura 5.33: Teoria cinetica de Eyring para os lıquidos.JRGWMB0R.wmf

por unidade de massa equivalente a velocidade do primeiro trem e portanto, para que o outrotrem mantenha a sua velocidade, precisa-se realizar maior trabalho sobre ele. Por outro lado,quando alguem salta do trem de maior velocidade para o trem com menor velocidade, este tendea acelerar e portanto precisa-se diminuir a quantidade de trabalho realizado sobre este para queele mantenha a sua velocidade original. Para os gases, existe grande liberdade de movimento deindivıduos de um trem para outro. No caso dos lıquidos, porem, esta mobilidade e muito maisrestrita. Quando uma molecula passa de uma camada adjacente para outra (ou seja, de um tremao outro) ela carrega a sua quantidade de movimento, mas, este efeito apenas e insuficiente paraexplicar a viscosidade observada em lıquidos. Um outro efeito e preponderante e este e resultadoda quantidade de trabalho que precisa ser executado sobre o lıquido para se arrancar uma moleculade uma camada e transferir para a outra. Um modelo para este efeito e mostrado a seguir.

A fase lıquida apresenta uma ordem de curto alcance (o que equivale a um modelo de quase-solido).Devido a proximidade das moleculas vizinhas a uma molecula na fase lıquida, os movimentos molec-ulares se resumem a vibracoes ao redor de um ponto de equilıbrio. Este ponto de equilıbrio podeser descrito como o espacamento correspondente ao valor mınimo de um vale na curva de poten-cial, com um potencial de equilıbrio equivalente a ∆Ea,o/NA (J/molecula) onde ∆Ea,o(J/kmol) euma energia de ativacao tıpica da barreira que circunda o ponto de mınimo. A Figura ?? apre-senta uma representacao do arranjo de moleculas em tres camadas adjacentes em uma fase lıquida.Tambem mostra-se a curva de potencial ao longo de uma camada para o lıquido estacionario (linhacontınua). O parametro a(m) e o espacamento medio entre moleculas na rede de curto alcancecaracterıstica do lıquido. Eventualmente, a energia termica de uma molecula e suficiente parasuperar a barreira ∆Ea,o/NA e a molecula se movimenta na direcao de ocupar um espaco vagoadjacente a uma distancia a(m). Note que trabalho precisa ser realizado sobre a molecula para queela alcance o alto da barreira e na sequencia a molecula devolve este trabalho na forma de calorquando desce a outra rampa que forma a barreira.

No modelo de Eyring (Bird, 1960; Tabor 1995), o numero de movimentos na direcao do sıtiodesocupado por unidade de tempo e proporcional a frequencia natural de vibracao da molecula,dada por kBT/h onde h e a constante de Planck (h = 6, 626 × 10−34 J-s). Porem, somenteuma fracao correspondente a exp (−∆Ea,o/RuT ) possui energia suficiente para vencer a barreirapotencial. Assim, a frequencia de movimentos que resultam em movimento molecular para o sıtiodesocupado k(numero de movimentos/s) e estimada por

k =kBT

hexp

(

−∆Ea,o

RuT

)

(5.132)

Em um lıquido estacionario, o movimento das moleculas e basicamente aleatorio e acontece comprobabilidade igual em todas as direcoes (linha contınua na curva de potencial). Quando se aplicauma tensao de cisalhamento sobre a linha de moleculas, porem, realiza-se trabalho sobre estasmoleculas e entao a probabilidade de movimento e alterada na direcao do escoamento. Isto e mod-elado como uma modificacao da altura da barreira potencial na direcao do escoamento. A alturada barreira torna-se menor na direcao do escoamento e maior na direcao contraria. Considerandoque o lıquido esteja sujeito a uma tensao de cisalhamento τxy unidimensional na direcao x, existeum trabalho por mol aplicado sobre a molecula para superar a barreira potencial. Este trabalhoe desenvolvido pela forca de cisalhamento τxyA, onde A e a area efetiva ocupada pela molecula,vezes a distancia na qual e realizado o trabalho que e igual a a/2. O volume molar ocupado pelamolecula e vM ≃ Aδ. Assim, o trabalho por mol e

τxyAa

2=a

δ

τxyAδ

2=a

δ

τxyvM

2(5.133)


A energia de ativacao para o deslocamento da molecula e entao modificada para

∆Ea,f = ∆Ea,o −a

δ

τxyvM

2; na direcao de τxy (5.134)

∆Ea,b = ∆Ea,o +a

δ

τxyvM

2; na direcao oposta a τxy (5.135)

onde v e o volume especıfico (m3/kg) e δ(m) e a distancia entre camadas adjacentes do fluido com

velocidade u1 e u2. O termo aδτxyvM

2e portanto, o trabalho por kmol realizado pelo esforco de

cisalhamento sobre as moleculas na direcao de superar a barreira potencialAssim, estima–se a taxa de movimento para frente kf e a taxa de movimento para tras kb por

kf =kBT

hexp

(

−∆Ea,o

RuT

)

exp

(

a

δ

τxyvM

2RuT

)

kb =kBT

hexp

(

−∆Ea,o

RuT

)

exp

(

−aδ

τxyvM

2RuT

)

(5.136)

A diferenca entre a velocidade de movimento das entre camadas adjacentes e entao dada pelafrequencia lıquida de movimento para frente vezes a distancia de cada movimento, ou seja,

u2 − u1 = a (kf − kb) (5.137)

Admitindo que a distribuicao de velocidade seja linear sobre distancias muito maiores que δ (ouseja, ∆y ≫ δ), vamos aproximar a velocidade u2 por

u2 = u1 +∆u

∆yδ (5.138)

Assim,∆u

∆y=a

δ(kf − kb) (5.139)

No limite quando ∆y tende a zerodu

dy=a

δ(kf − kb) (5.140)

A partir das equacoes para as taxas de movimento, obtem-se

du

dy=a

δ

kBT

hexp

(

−∆Ea,o

RuT

)

2 senh

(

a

δ

τxyvM

2RuT

)

(5.141)

Observa-se um comportamento nao linear tıpico de fluido nao-newtoniano. Porem, notando queo argumento da funcao senh e normalmente muito menor que 1, pode-se aproximar a funcao porlimz→0 [senh (z)] ≃ z. Assim

du

dy≃ a

δ

kBT

hexp

(

−∆Ea,o

RuT

)

a

δ

τxyvM

RuT(5.142)

ou

τxy ≃(

δ

a

)2hNA

vMexp

(

∆Ea,o

RuT

)

du

dy(5.143)

Assim, pode-se identificar a viscosidade dinamica µ(Pa.s) por

µ =

(

δ

a

)2hNA

vMexp

(

∆Ea,o

RuT

)

(5.144)

A energia de ativacao pode ser obtida atraves do ajuste do modelo a medicoes de viscosidade.Em geral assume-se δ/a ≃ 1 e obtem-se o valor de ∆Ea,o que melhor reproduza valores medidos.


A partir dos valores obtidos verifica–se que a energia de ativacao pode ser correlacionada, paramoleculas aproximadamente esfericas, com a energia interna na temperatura de saturacao a pressaode 1 atm na forma

∆Ea,o = 0, 408M ∆uo

onde ∆uo = ug(Tsat, 1 atm)− uℓ(Tsat, 1 atm) em J/kg.Esta correlacao sugere uma outra interpretacao para a barreira de movimento molecular. Pode-sesugerir que, antes que uma molecula possa se movimentar, um espaco vazio precisa ser criado narede molecular. A criacao deste espaco necessita portanto que a energia local kBT exceda o valorda energia de mudanca de fase.A energia interna de mudanca de fase pode tambem ser aproximada por

∆uo = ∆ho − Ru

MTsat ≃ 9, 4

Ru

MTsat (5.145)

Com estas aproximacoes, pode-se escrever

µ =hNA

vMexp

(

3, 8TsatT

)

(5.146)

onde hNA = 3, 990× 10−7 J-s/kmol.Esta expressao mostra que a viscosidade dos lıquidos decresce com o aumento da temperatura deforma exponencial.Os valores previstos podem, no entanto, apresentar desvios de mais de 30% em relacao a medicoes,especialmente para moleculas alongadas. Ainda, em metais lıquidos verifica-se que ∆Ea,o ≪0, 408 M ∆uo. Esta equacao fornece, porem, uma estimativa para a viscosidade de lıquidos naausencia de valores medidos.

Estados correspondentes

Uma forma rapida de obter uma estimativa da viscosidade de um fluido e dada pela observacaode que os valores experimentais quando plotados de forma relativa aos valores de viscosidade noponto crıtico µ/µc apresentam uma boa correlacao global com a temperatura e a pressao tambemescalonados pelos valores no ponto crıtico T/Tc e p/pc. A viscosidade no ponto crıtico e dificilmenteobtida por medicao direta. Assim, esta pode ser estimada a partir do conhecimento do valor daspropriedades no ponto crıtico por

µc = 3, 543× 10−5(

M1/2p2/3c T−1/6c

)

(5.147)

onde µc e dado em Pa.s para pc em Pa, Tc em K e M em kg/kmol.A Fig. 4 mostra valores de viscosidade reduzida em funcao da temperatura reduzida e da pressaoreduzida. No limite de baixa pressao, os gases se comportam de acordo com uma unica curva,que e o limite de baixa densidade. Observa-se tambem que a viscosidade dinamica cresce com atemperatura para os gases e decresce com a temperatura para os lıquidos. Na regiao bifasica, torna-se bastante difıcil definir uma unica viscosidade para a mistura, visto que esta possui parcelas devapor e lıquido misturadas em um arranjo geometrico bifasico complexo (por exemplo, formandobolhas, gotas, etc.).Com base em um modelo de estados correspondentes, os parametros do modelo de Lennard-Jonestambem podem ser estimados por (Rosner, 2000),

σLJ = 113, 75

(

Tcpc

)1/3

(5.148)

εLJ/kB = 0, 77 Tc (5.149)

onde σLJ retorna em A e εLJ/kB em K quando Tc e fornecido em K e pc e fornecido em Pa.


Viscosidade de misturas

A previsao da viscosidade de misturas nao e simples devido a possibilidade de que misturas degases e lıquidos apresentem caracterısticas nao ideais, devido a forte associacao pode existir entreas moleculas dos componentes da mistura. Na ausencia de valores mais precisos, a viscosidade demisturas pode ser estimada por regras de mistura como

µm =

∑Nc

i=1M1/2i Xiµi

∑Nc

i=1M1/2i Xi

(5.150)

onde Xi e a fracao molar da especie quımica i e Nc e o numero de especies quımicas na mistura.No modelo de Wilke (Bird, 1960), usa-se

µm =

Nc∑

i=1

Xiµi∑Nc

j=1XjΦi,j

(5.151)

onde

Φi,j =1√8

(

1 +Mi

Mj

)

−1/2[

1 +

(

µi

µj

)1/2 (Mj

Mi

)1/4]2

(5.152)

A variavel Φi,j e adimensional e quando i = j, Φi,j = 1.Um estimativa pode tambem ser obtida a partir de um valor de viscosidade reduzida para a mistura.Para isto, os valores dos parametros crıticos para a mistura sao aproximados por (Bird, Stewart eLightfoot, 1960)

pc,m =

Nc∑

i=1

Xipc,i ; Tc,m =

Nc∑

i=1

XiTc,i ; µc,m =

Nc∑

i=1

Xiµc,i (5.153)

Esta aproximacao e razoavel somente para misturas cujos componentes apresentam valores proximosde constantes crıticas.

5.5 Escoamento viscoso interno

Os escoamentos internos sao inteiramente limitados por superfıcies solidas, como e o caso dosescoamentos no interior de tubulacoes. No escoamento em canais, a forma do canal define aforma da secao transversal do escoamento e, dessa forma, os escoamentos em canais compartilhamalgumas caracterısticas de escoamentos internos.Os escoamentos internos apresentam variacoes de pressao ao longo da tubulacao como resultadode aceleracao e perdas viscosas. Os efeitos de aceleracao se manifestam, por exemplo, na regiao deentrada de tubulacoes e em tubulacoes que apresentam variacao na secao transversal. Os efeitosviscosos estao presentes ao longo de todo o escoamento.Em uma tubulacao horizontal com secao transversal uniforme, nas regioes do escoamento paraas quais nao existem efeitos de aceleracao, a existencia de perda de energia por efeitos viscosose evidenciada por um decrescimo contınuo da pressao estatica do escoamento. Essa reducao depressao, tambem chamada de perda de carga, implica em uma perda na capacidade do escoamentode realizar trabalho.A seguir, aplica-se a conservacao da massa, quantidade de movimento linear e energia para oescoamento interno. Busca-se determinar as caracterısticas do campo de velocidade e relacoespara quantificar a perda de energia por efeitos viscosos.

5.5.1 Conservacao da massa

A Figura (5.5.1) apresenta um trecho reto de uma tubulacao horizontal com diametro D e com-primento L. A tubulacao apresenta apenas uma entrada e uma saıda. Posiciona-se um volume de

5.5. ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO 197

controle com as superfıcies laterais proximas as paredes da tubulacao. A superfıcie de entrada doescoamento no volume de controle corresponde a superfıcie 1, enquanto que a superfıcie de saıdacorresponde a superfıcie 2. As superfıcies 1 e 2 sao posicionadas em direcao normal ao campo develocidade. A superfıcie 3 acompanha a superfıcie interna do tubo em contato com o fluido. Atubulacao tem secao transversal circular com A1 = A2 = πD2/4 e A3 = πDL. Dois medidores depressao acusam as pressoes p1 em x = 0 e p2 em x = L. Desejamos calcular a perda de energiapor efeitos viscosos no trecho com comprimento L. O escoamento ocorre em regime permanente.

p1 p2(a)

x

p1 p2

V1 V2

A1 A2

Ft,1m1. .

m2

L

L

Dm.

(b) A3

A1 A2A3

Figura 5.34: (a) Trecho reto de tubulacao com diametro D e comprimento L. Dois medidores depressao acusam as pressoes p1 em x = 0 e p2 em x = L. (b) Volume de controle com as superfıcieslaterais proximas as paredes da tubulacao e as superfıcies de entrada e saıda normais ao campo develocidade do escoamento.

A equacao da conservacao da massa aplicada ao volume de controle da Figura (5.5.1) fornece,

−m1 + m2 = 0, (5.154)

oum1 = m2. (5.155)

Reescrevendo em termos das velocidades e areas de escoamento e considerando ρ uniforme, obtem-se

ρV1A1 = ρV2A2, (5.156)

onde V e a velocidade media nas secoes de escoamento, obtida a partir das distribuicoes de veloci-dade.Para a tubulacao com secao transversal uniforme, A1 = A2, obtem-se

V1 = V2. (5.157)

Assim, a conservacao da massa estabelece uma condicao de V1 = V2, ou seja, que a velocidademedia do escoamento em x = 0 e igual a velocidade media em x = L, que nao depende, nem docomprimento da tubulacao L, nem das propriedades do fluido em escoamento. Apenas assumimosque a area de escoamento da tubulacao A e uniforme, ou seja, nao varia com x, e que a densidadeρ e constante, ou seja, assumimos que o fluido se comporte como incompressıvel.


5.5.2 Conservacao da energia

Para o escoamento em regime permanente, a equacao da conservacao da energia mecanica torna-se

−[

m

(

p

ρ+V 2

2+ gz

)]

entra+

[

m

(

p

ρ+V 2

2+ gz

)]

sai= Ws − Wµ. (5.158)

Aplicando a equacao da conservacao da energia mecanica ao volume de controle da Figura (5.5.1),verificando que Ws = 0, obtem-se,

−[

m

(

p

ρ+V 2

2+ gz

)]

1

+

[

m

(

p

ρ+V 2

2+ gz

)]

2

= −Wµ. (5.159)

Considerando que m1 = m2 = m, V1 = V2, z1 = z2 (a tubulacao e horizontal), pode-se escrever

p1 − p2ρ

=Wµ

m. (5.160)

Assim, verifica-se que a queda de pressao no fluido e proporcional a dissipacao de energia mecanicapor efeitos viscosos, ou de forma reversa, que e necessario aplicar um determinado acrescimo depressao a um escoamento (p1 − p2 > 0) para que ele venca os efeitos viscosos e escoe na vazao m.Este resultado permanece valido para situacoes mais gerais, conforme mostra o Exemplo 6.1.

EXEMPLO 6.1:

Considere o escoamento movido por energia potencial gravitacional a partir de um tanque coma superfıcie superior aberta para a atmosfera, conforme mostrado na Figura 5.5.2(a). O tanquetem secao transversal cilındrica com diametro D1 e contem agua ate um nıvel h em relacao a base.Subtamente, a saıda com diametro D2 e aberta formando um jato livre para a atmosfera com vazaom. A Figura 5.5.2(b) mostra o volume de controle com as superfıcies laterais proximas as paredesdo tanque e as superfıcies de entrada e saıda normais ao campo de velocidade do escoamento.Determine uma expressao para a velocidade de saıda do tanque nas condicoes (a) de escoamentoinvıscido e (b) do escoamento na presenca de efeitos viscosos.Solucao:

Aplicando a equacao da conservacao da energia mecanica ao volume de controle da Figura (5.5.2),verificando que Ws = 0, obtem-se,

−[

m

(

p

ρ+V 2

2+ gz

)]

1

+

[

m

(

p

ρ+V 2

2+ gz

)]

2

= −Wµ.

Observa-se que o tanque e aberto para a atmosfera e que o escoamento de saıda e um jato livretambem para a atmosfera. Assim, p1 = p2 = patm. Assumiremos que o diametro do tanque sejamuito maior que o diametro da tubulacao de saıda (D1 ≫ D2). Essa hipotese implica que que onıvel da agua h varia muito lentamente. Nessa condicao aproximada, a equacao da conservacao damassa fornece m1 = m2 = m e, sendo A1 ≫ A2, obtem-se V1 ≪ V2. Essa hipotese de que o tanquee muito grande e apenas assumida para tornar a analise mais simples matematicamente. Sendoz1 − z2 = h, , a equacao conservacao da energia mecanica torna-se

V 22

2= gh− Wµ

m.

Na hipotese de escoamento invıscido, Wµ = 0 e

V 2

2,ideal2

= gh.

A velocidade V2 calculada por essa expressao e chamada de ”ideal” para lembrar que foi calculadanegligenciando-se os efeitos viscoso. Essa e a solucao para o item (a).


h

D1

m.

A1

A2

A3

D2

Aberto para a atmosfera

Jato livrepara a atmosfera

(a)

(b)

h

m1

m2

p1=patm

po

p2=patm

D1

D2

Figura 5.35: (a) Tanque cilındrico com diametro D1, aberto para a atmosfera, contendo agua ateum nıvel h em relacao a base. (b) Volume de controle com as superfıcies laterais proximas as paredesdo tanque e as superfıcies de entrada e saıda normais ao campo de velocidade do escoamento.

Ainda, quando o tanque possui dimensoes suficientemente grandes, pode-se assumir que a dis-tribuicao de pressao ao longo da parede oposta a saıda e aproximadamente a distribuicao depressao hidrostatica. Assim, a diferenca de pressao entre a pressao na profundidade h, identificadana Figura 5.5.2(b) como po, e a pressao no jato livre, p2 = patm, e

po − patm = ρgh.

A velocidade de saıda ideal pode entao ser rescrita como

V 2

2,ideal2

=

(

po − patmρ

)

.

Podemos interpretar essa diferenca de pressao po − patm como o potencial de pressao necessariopara acelerar o escoamento do tanque, na velocidade V1 ≃ 0, para o interior da tubulacao de saıda,com velocidade V2, gerando a energia cinetica V 2

2,ideal/2 relacionada ao escoamento com vazao m.

Porem, no escoamento com efeitos viscosos, parte desse potencial e convertido pelos efeitos viscososem energa termica e, portanto, essa parte deixa de estar disponıvel para acelerar o escoamento.Assim, no escoamento com efeitos viscosos, a velocidade de fato obtida no escoamento e menorque a velocidade determinada na ausencia de efeitos viscosos.Voltando a equacao da conservacao da energia mecanica na presenca de efeitos viscosos, obtemosa solucao para o item (b) como

V 22

2= gh− Wµ

m,

verifica-se que parte da energia potencial aplicada sobre o fluido gh e convertida em energia termicapor efeitos viscosos Wµ/m e o restante e utilizado para acelerar o fluido ate a velocidade V2. Arelacao entre a velocidade media no escoamento e a velocidade do escoamento ideal pode, portanto,ser expressa como

V2V2,ideal

=

√

1− Wµ/m

gh< 1.


A seguir, desenvolve-se a equacao da conservacao da quantidade de movimento linear para o es-coamento no trecho reto da tubulacao.

5.5.3 Conservacao da quantidade de movimento linear para o escoa-

mento laminar plenamente desenvolvido

Vamos retornar ao escoamento na tubulacao com trecho reto representada na Figura (5.5.1). Ofluido e assumido incompressıvel, a tubulacao tem secao transversal circular uniforme, o escoamentoe dito laminar, permanente e plenamente desenvolvido. Nesse escoamento, as partıculas de fluidoexecutam um movimento paralelo as paredes da tubulacao. Nota-se que o escoamento e simetricoem relacao a linha de centro da tubulacao e, assim, assume-se que o eixo x acompanha a linha decentro da tubulacao. A equacao da conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x,para o escoamento em regime permanente, pode ser escrita como

0 = (mu)1 − (mu)2 + FR,x. (5.161)

Este escoamento ocorre em regime permanente e, como a area de escoamento e uniforme, A1 = A2,nao ha variacao da quantidade de movimento linear (mu)1 = (mu)2. Assim, a conservacao daquantidade de movimento linear na direcao x reduz-se a um balanco de forca na forma

0 = Fg,x + Fp,x + Fµ,x. (5.162)

Como a tubulacao e horizontal, Fg,x = 0. As pressoes sao uniformes nas secoes 1 e 2 e resultam emforcas de pressao atuando nas areas 1 e 2 do escoamento. A forca resultante de pressao torna-se

Fp,x = p1A1 − p2A2 = (p1 − p2)A1. (5.163)

Na area 3, atua a forca de origem viscosa devido ao cisalhamento das camadas de fluido emescoamento. Esta forca e uniforme com x e atua na mesma direcao do escoamento. Escreve-se aresultante da forca viscosa na direcao x como

Fµ,x = τwA3. (5.164)

onde τw e a tensao viscosa (N/m2) na camada de fluido em contato a parede.Assim, a equacao da conservacao da quantidade de movimento linear torna-se

0 = (p1 − p2)A1 + τwA3, (5.165)

ou,

p1 − p2 = −τwA3

A1

. (5.166)

Portanto, a conservacao da quantidade de movimento linear na direcao x expressa que a resultantedas forcas de pressao aplicada sobre o fluido equilibra exatamente a resultante das forcas viscosas.As forcas viscosas, como veremos a seguir, dependem do campo de velocidade e, nesse escoamento,aumentam linearmente com o aumento da velocidade media do escoamento. Portanto, o equilıbrioentre as forcas de pressao e forcas viscosas determina a velocidade do escoamento. Quando apressao e aumentada, a velocidade do escoamento aumenta ate que as forcas viscosas equilibremas forcas de pressao.Comparando a Eq. (5.166) com a Eq. (5.160), tem-se

p1 − p2 = −τwA3

A1

= ρWµ

m, (5.167)

ou,Wµ

m=

−τwρ

A3

A1

. (5.168)

Assim, a determinacao da tensao de cisalhamento τw permite a determinacao de Wµ. Como

Wµ > 0, a expressao acima sugere que τw < 0.

A seguir, determina-se expressoes para Wµ para alguns escoamentos tıpicos.


5.5.4 Obtencao da equacao para a perda de energia por efeitos viscosos

Escoamento laminar entre duas placas planas infinitas

Esse exemplo mostra a aplicacao para um escoamento unidimensional no plano x, y. Quando asduas placas sao estacionarias, o escoamento e simetrico em relacao a linha de centro. A tensao decisalhamento na area A3 e expressa como τyx. Assim, a conservacao da quantidade de movimentolinear na direcao x torna-se

0 = (p1 − p2)A1 + τyxA3 (5.169)

Para o escoamento entre as duas placas planas paralelas, A1 = 2yw e A3 = 2(y+w)L ≃ 2wL, poisw ≫ h. Assim, obtem-se

0 = (p1 − p2)2yw + τyx2wL (5.170)

Quando a superfıcie 3 do volume de controle e posicionada na parede do tubo, y = h, e obtem-se

0 = (p1 − p2)2hw + τw2wL (5.171)

onde τw e a tensao de cisalhamento no fluido em contato com as paredes do tubo.Dividindo-se uma expressao pela outra, obtem-se a relacao

τyx = τwy

h(5.172)

que mostra que a tensao de cisalhamento no fluido varia de forma proporcional a y, sendo maximaproxima a parede (y = h).Conhecendo-se uma expressao para a distribuicao da tensao cisalhante τyx, pode-se obter umaexpressao para a perda de energia por efeitos viscosos.No sistema de coordenadas cartesiano, o vetor velocidade pode ser representado como

~v = u~ex + v ~ey + w~ez (5.173)

onde u, v e w sao as componentes do vetor velocidade e ~ex, ~ey e ~ez sao os vetores unitarios nasdirecoes x, y e z. Para o escoamento laminar, em regime permanente e plenamente desenvolvido,o vetor velocidade e alinhado com o eixo x, ou seja, as componentes v e w sao nulas. Assim,

~v = u~ex (5.174)

Para os fluidos newtonianos, as tensoes sao linearmente proporcionais as taxas de deformacao.A lei de Newton estabelece esta relacao e define a viscosidade dinamica µ. Para o escoamentounidimensional entre duas placas planas, a tensao de cisalhamento na direcao x aplicada em umacamada de fluido normal a direcao y e dada por

τyx = µdu

dy(5.175)

onde u(y) e a distribuicao da componente x da velocidade ao longo de y.Substituindo-se a relacao (5.175) no balanco de forcas (5.191), tem-se

du

dy= −∆p

Lµy (5.176)

onde ∆p = p1 − p2. Integrando em y obtem-se

u = −∆p

Lµ

y2

2+ C (5.177)

onde a constante de integracao C e determinada conhecendo-se uma condicao de contorno doescoamento. A velocidade do fluido na parede do tubo e igual a velocidade da parede do tubo,


neste caso, igual a zero. Assim, em y = h tem-se que u = 0. Desta forma a constante de integracaoe determinada e obtem-se

u =∆p

2Lµ(h2 − y2) (5.178)

Verifica-se que a distribuicao de velocidade e parabolica, com o valor maximo na linha de centrodo escoamento e o valor zero nas paredes do tubo. O valor da velocidade maxima e

umax =∆ph2

2Lµ(5.179)

A vazao escoando pelo tubo e

m =

∫

A

ρu dA = 2

∫ h

0

ρuw dy =ρw∆p

Lµ

∫ h

0

(h2 − y2) dy =2

3

ρwh3∆p

Lµ(5.180)

A velocidade media do escoamento e

um =m

ρA=

m

ρ2hw=h2∆p

3Lµ(5.181)

Note que esta expressao pode ser reescrita explicitando-se a queda de pressao,

∆p =3Lµ

h2um (5.182)

ou, utilizando a Equacao (5.160),

Wµ

m=

3Lµ

ρh2um (5.183)

A expressao acima indica que a dissipacao de energia mecanica por efeitos viscosos e proporcionala viscosidade do fluido e a velocidade media do escoamento.Para maior generalizacao da expressao obtida acima, estabelece-se que a dimensao caractrıstica doescoamento e o diametro hidraulico definido como:

dh =4Au

Pku(5.184)

onde Au e area da secao transversal da tubulacao e Pku e o perımetro molhado, ou seja, o perımetroda secao transversal em contato com o fluido. Para o escoamento entre duas placas planas paralelas,

Au = 2hw, Pku = 2w, (5.185)

pois w ≫ h. Assim,

dh =8hw

2w= 4h. (5.186)

Atraves de um rearranjo na equacao (5.182) e expressando em funcao de dh, obtem-se

Wµ

m=

3Lµ

ρh2um =

6µ

ρumh

L

h

u2m2

=96µ

ρumdh

L

dh

u2m2

= fL

dh

u2m2

(5.187)

onde o fator de atrito de Darcy para o escoamento torna-se

f =96

Redh

(5.188)

e o numero de Reynolds expresso em funcao do diametro hidraulico e

Redh=ρumdhµ

=umdhν

(5.189)

onde a viscosidade cinematica e ν = µ/ρ.O fator de atrito de Darcy f para o escoamento laminar, em regime permanente, plenamentedesenvolvido, entre duas placas planas paralelas e infinitas e dado pela expressao simples mostradaacima. Observa-se que o fator de atrito decresce com o aumento do numero de Reynolds.Este escoamento laminar causado por uma diferenca de pressao e denominado escoamento de

Poiseuille.


Escoamento laminar em tubulacao com secao transversal circular

Esse escoamento e simetrico em relacao a linha de centro. O campo de velocidade pode ser maissimplesmente expresso no sistema de coordenadas cilıdrico x, r. A tensao de cisalhamento na areaA3 e expressa como τrx. Assim, a conservacao da quantidade de movimento linear na direcao xtorna-se

0 = (p1 − p2)A1 + τrxA3 (5.190)

Para o tubo com secao transversal circular, A1 = πr2 e A3 = 2πrL e obtem-se

0 = (p1 − p2)πr2 + τrx2πrL (5.191)

Quando a superfıcie 3 do volume de controle e posicionada na parede do tubo, r = R, e obtem-se

0 = (p1 − p2)πR2 + τw2πRL (5.192)

onde τw e a tensao de cisalhamento no fluido em contato com as paredes do tubo.Dividindo-se uma expressao pela outra, obtem-se a relacao

τrx = τwr

R(5.193)

que mostra que a tensao de cisalhamento no fluido varia de forma proporcional ao raio.Conhecendo-se uma expressao para a distribuicao da tensao cisalhante τrx, pode-se obter umaexpressao para a perda de energia por efeitos viscosos.No sistema de coordenadas cilındrico, o vetor velocidade pode ser representado como

~v = u~ex + v ~er + w~eθ (5.194)

onde u, v e w sao as componentes do vetor velocidade e ~ex, ~er e ~eθ sao os vetores unitarios nasdirecoes x, r e θ. Para o escoamento laminar, em regime permanente e plenamente desenvolvido,o vetor velocidade e alinhado com o eixo x, ou seja, as componentes v e w sao nulas. Assim,

~v = u~ex (5.195)

Para os fluidos newtonianos, as tensoes sao linearmente proporcionais as taxas de deformacao.A lei de Newton estabelece esta relacao e define a viscosidade dinamica µ. Para o escoamentounidimensional no tubo circular, a tensao de cisalhamento na direcao x aplicada em uma camadade fluido normal a direcao r e dada por

τrx = µdu

dr(5.196)

onde u(r) e a distribuicao da componente x da velocidade ao longo do raio do tubo r.Substituindo-se a relacao (5.196) no balanco de forcas (5.191), tem-se

du

dr= − ∆p

2Lµr (5.197)

onde ∆p = p1 − p2. Integrando em r obtem-se

u = − ∆p

2Lµ

r2

2+ C (5.198)

onde a constante de integracao C e determinada conhecendo-se uma condicao de contorno doescoamento. A velocidade do fluido na parede do tubo e igual a velocidade da parede do tubo,neste caso, igual a zero. Assim, em r = R tem-se que u = 0. Desta forma a constante de integracaoe determinada e obtem-se

u =∆p

4Lµ(R2 − r2) (5.199)


Verifica-se que a distribuicao de velocidade e parabolica, com o valor maximo na linha de centrodo escoamento e o valor zero nas paredes do tubo. O valor da velocidade maxima e

umax =∆pR2

4Lµ(5.200)

A vazao escoando pelo tubo e

m =

∫

A

ρu dA =

∫ R

0

ρu 2πr dr = ρ2π(∆p)µ4Lµ

∫ R

0

(R2 − r2)r dr =ρπR4∆p

8Lµ(5.201)

A velocidade media do escoamento e

um =m

ρA=

m

ρπR2=R2∆p

8Lµ(5.202)

Note que esta expressao pode ser reescrita explicitando-se a queda de pressao,

∆p =8Lµ

R2um (5.203)

ou, utilizando a Equacao (5.160),

Wµ

m=

8Lµ

ρR2um (5.204)

As expressoes acima indicam que a dissipacao de energia mecanica por efeito viscoso e proporcionala viscosidade do fluido e proporcioanal a velocidade media do escoamento. Para a tubulacao comsecao transversal circular, dh = D. Assim, atraves de um rearranjo na equacao (5.203) obtem-se

Wµ

m=

8Lµ

ρR2um =

32µ

ρumR

L

2R

u2m2

=64µ

ρumD

L

D

u2m2

= fL

D

u2m2

(5.205)

onde o fator de atritor de Darcy para esse escoamento torna-se

f =64

ReD(5.206)

e o numero de Reynolds e

ReD =ρumD

µ=umD

ν(5.207)

onde a viscosidade cinematica e ν = µ/ρ.Novamente, o fator de atrito decresce com o aumento do numero de Reynolds, porem, a perda depressao por efeitos viscosos aumenta com o aumento do numero de Reynolds.

Escoamento laminar em tubulacao com secao transversal arbitraria

Para tubos retos com secoes transversais nao circulares em escoamento laminar, plenamente de-senvolvido,de fluidos incompresıveis com propriedades constantes, o fator de atrito e obtido analiti-camente ou numericamente atraves da solucao das equacoes para o escoamento. A obtencao destesresultados esta alem do escopo deste texto introdutorio. A Tabela (5.5.4) apresenta os valores defator de atrito f multiplicado pelo numero de Reynolds Redh

, avaliado para o diametro hidraulicodh, para tubos retos com secoes transversais com geometria simples. A Tabela (5.5.4) fornece ovalor das constantes C1 e C2 nas relacoes

dh/a = C1, ou, dh = C1a

f Redh= C2, ou, f =

C2

Redh

.(5.208)


Tabela 5.1: Valores de area de escoamento, perımetro molhado, diametro hidraulico e fator deatrito para o escoamento laminar, plenamente desenvolvido, em algumas geometrias (Saberski etal., 1989).

b

a

b

a

b

a

Secao transversal Au/a2 Pku/a dh/a f Redh

Retangularb/a = 10 40 44 40/11 84,68b/a = 5 20 24 10/3 76,28b/a = 2 8 12 8/3 62,19b/a = 1 4 8 2 56,91Triangular isoscelesb/a = 10 10 22,10 1,81 50,17b/a = 2 2 6,47 1,24 53,28b/a = 1 1 4,83 0,83 52,61b/a = 0, 5 0,5 4,24 0,47 50,49b/a = 0, 1 0,1 4,01 0,10 48,31Elıpticab/a = 10 10π 4,06 30,95 77,26b/a = 5 5π 4,20 14,96 74,41b/a = 2 2π 4,84 5,19 67,29b/a = 1 π 2π 2 64,00

Escoamento turbulento plenamente desenvolvido

Com o aumento do numero de Reynolds acima de 2000 (aproximadamente), o escoamento sofretransicao do regime laminar para o regime turbulento. No escoamento turbulento, a trajetoria daspartıculas e transiente e caotica. No entanto, para o escoamento com vazao constante, a perdade energia por efeitos viscosos pode ser prevista em funcao do numero de Reynolds baseado nodiametro hidraulico e da dimensao media da rugosidade da superfıcie da tubulacao. A rugosidadeda tubulacao pode originar-se no processo de fabricacao ou causada durante operacao devidoa corrosao e deposicao de resıduos. Uma forma de caracterizar a superfıcie do tubo e atravesda definicao de uma dimensao caracterıstica da rugosidade interna e, a qual possui dimensaode comprimento. Um escala adequada para a rugosidade superficial e o diametro hidraulico datubulacao dh. Assim, em geral, podemos escrever

f = f(Redh, e/dh) (5.209)

Os escoamentos com numero de Reynolds acima de 10000 sao denominados de escoamentos ple-namente turbulentos. Os tubos com rugosidade muito pequena, ou tubos lisos , formam o limiteinferior para o fator de atrito. Para tubos lisos, as seguintes equacoes podem ser usadas pela suasimplicidade:

f =

0,316 (Redh)−1/4 ; 3× 103 ≤ Redh

≤ 2× 105

0,184 (Redh)−1/5 ; Redh

> 2× 105(5.210)

A primeira das equacoes acima foi proposta por Blasius (1913).Para valores muito altos do numero de Reynolds, o fator de atrito torna-se independente do numerode Reynolds e funcao somente da rugosidade relativa (e/D). Esta regiao e denominada de escoa-


mento em tubo completamente rugoso. Para essa regiao, pode-se utilizar (Rouse, 1943),

1√f= 1, 44− 2 log

( e

D

)

. (5.211)

A regiao para numero de Reynolds entre 2000 e 10000 e denominada de regiao de transicao.Na regiao de transicao entre o escoamento laminar e o escoamento turbulento, o fator de atritodependendo das condicoes locais e instantaneas do escoamento.Para tubos lisos, uma equacao que se aplica a toda a faixa de numeros de Reynolds Redh

< 1×106

e que e relativamente facil de usar e (Morrison, 2013)

f =64

Redh

+

0, 0304

(

3170

Redh

)0,165

1 +

(

3170

Redh

)0,70

. (5.212)

Essa equacao reproduz adequadamente os valores de fator de atrito medidos por Nikuradse (1933)para tubo lisos.Para tubulacoes rugosas, recomenda-se a utilizacao da equacao de Colebrook-White (Colebrook,1938; White, 2006),

1√f= −2, 0 log

(

e/D

3, 7+

2, 51

Redh

√f

)

. (5.213)

Porem, a equacao de Colebrook nao e explıcita em f . Uma equacao explıcita que fornece boaaproximacao e (Swamee and Jain, 1976)

f = 0, 25

[

log

(

e/D

3, 7+

5, 74

Re0,9dh

)]

−2

. (5.214)

Perda de carga em acessorios de tubulacoes

As tubulacoes normalmente possuem acessorios como joelhos, reducoes, valvulas etc.. A perda decarga nestes acessorios, ou perda de carga localizada, pode ser obtida de maneira similar a obtidapara os tubos retos atraves da definicao do fator de perda de carga K tal que

Wµ

m= K

u2m2

(5.215)

O fator K depende do tipo de acessorio e do numero de Reynolds do escoamento. A rugosidaderelativa nao e incluıda explicitamente na equacao acima.Uma forma melhorada de calculo da perda de carga localizada pode ser obtido atraves da definicaode comprimento efetivo Le, ou seja, o comprimento de um tubo reto com o mesmo diametro ematerial do acessorio que ocasionaria o mesmo valor de perda de carga. Desta forma, a perda decarga e calculada por

Wµ

m= f

Le

dh

u2m2

(5.216)

onde f = f(Redh, e/dh).

A Tabela (5.5.4) apresenta um resumo das equacoes desenvolvidas.

Exemplo 6.2:

A bomba mostrada na figura abaixo auxilia o bombeamento de agua do tanque superior, abertopara a atmosfera a patm(Pa), para o tanque inferior, cuja superfıcie do lıquido e pressurizada napressao p2(Pa). A vazao volumetrica que deve ser bombeada e Q(m3/s) e a tubulacao tem diametroD(m) e comprimento total L(m). Obtenha a potencia eletrica necessaria para a bomba. Assuma


Tabela 5.2: Resumo das equacoes para o tratamento das perdas de energia por efeitos viscosos.

Conversao de energia por efeitos viscosos, Wµ, W

Trechos retos de tubulacoes Wµ = m

(

fL

dh

u2m2

)

Acessorios Wµ = m

(

Ku2m2

)

Diametro hidraulico, dh, m dh =4Au

Pku

dh = D para secao cilındrica, dh = 2h para placas planas infinitas, outras geometrias: Tabela (5.5.4)

Numero de Reynolds, Redh, adimensional Redh

=ρdhumµ

Fator de atrito de Darcy, f , adimensional

Escoamento laminar Redh< 2000 f =

C

Redh

C = 64 para secao cilındrica, C = 96 para placas planas infinitas, outras geometrias: Tabela (5.5.4)

Escoamento turbulento em tubos lisos 2000 ≤ Redh< 20000 f =

0,316

Re1/4dh

Redh≥ 20000 f =

0,184

Re1/5dh

que os tanques possuem diametro muito grande, que o processo ocorre em regime permanente eque a tubulacao possue superfıcie lisa.Dados: Q = 0, 06 m3/s; p2 = 3 atm; patm = 101325 Pa; D = 0, 3 m; L = 100 m; H = 5 m; h1 = 3m; h2 = 2 m; Ke = 0, 6; Kj = 0, 3; ηb = 0, 8; ρ = 1000 kg/m3 (agua); µ = 0, 001 Pa.s, g = 9, 8m/s2.

Solucao:

A equacao da conservacao da energia entre os pontos 1 e 2 obtem-se

E2 = E1 + Ws − Wµ

[

p2 + ρgh2ρ

+V 22

2

]

=

[

patm + ρgh1ρ

+ g (h2 +H − h1)

]

+Ws

m− Wµ

m(

p2ρ

+V 22

2

)

=

(

patmρ

+ gH

)

+Ws

m− Wµ

m

Ws

m=p2 − patm

ρ− gH +

V 22

2+Wµ

m

Das expressoes para as perdas de carga,

Wµ

m=V 22

2

(

Ke + 2Kj + fL

D

)

Da vazao fornecida,

V2 =4Q

πD2=

4× 0, 06

π × 0, 32= 0, 85 m/s


Figura 5.36: Exemplo 6.2.

Re =ρV2D

µ=

1000× 0, 85× 0, 3

0, 001= 254648

Como Re > 2300, o escoamento e turbulento. Assim, da expressao de Blasius para tubos lisos,

f =0, 316

Re0,25= 0, 014

Calculando a perda de carga,Wµ = 101, 35 W

A potencia entregue ao fluido torna-se

Ws = 9342 W

A potencia eletrica e

Wel. =Ws

ηb= 11678 W

Comentario:

Outros valores calculados: m = 60 kg/s, A2 = 0, 07069 m2, p1 = 130725 Pa, p2 = 3 atm = 303975Pa, p3 = 323575 Pa, E1 = 10195, 5 W, E2 = 19436, 1 W, Wµ/m = 1, 689 J/kg, Ws/m = 155, 70J/kg.

5.5.5 Exercıcios

Problema 1:Voce deve ser capaz de responder as seguintes perguntas:

1. O que e a viscosidade dinamica de um fluido?

2. O que e um fluido newtoniano?

3. Qual a relacao entre a tensao de cisalhamento e a taxa de deformacao para um fluido new-toniano?

4. O que e o diametro hidraulico e o fator de atrito de Darcy-Weisbach?


Problema 2: Encontre o campo de velocidade u(y) para o escoamento plenamente desenvolvido,em regime laminar, de um fluido incompressıvel e newtoniano, com propriedades constantes, entreduas placas planas paralelas horizontais, sendo que a placa inferior, em y = 0, e estacionaria ea placa superior, em y = h, move-se com velocidade constante U . Esse escoamento e chamadode Escoamento de Couette. Para esse problema, a equacao da conservacao da quantidade demovimento linear na direcao x torna-se

0 =d

dy

(

µdu

dy

)

,

com as condicoes de contornoy = 0 , u = 0,y = h , u = U.

(a) Integre a equacao acima com as condicoes de contorno e encontre a solucao para u(y).(b) Obtenha a tensao de cisalhamento na parede superior, τ (N/m2) em y = h.(c) Se a placa superior tem area superficial As = wL, obtenha a forca de atrito viscoso Fµ,x (N)sentida pela placa superior.(d) Obtenha a potencia dissipada pelo atrito na placa superior Wµ. (Dica: A potencia e o trabalhorealizado por unidade de tempo, e o trabalho e a forca multiplicada pela distancia).

Resposta:

(a) u =U

hy, (b) τ = µ

U

h, (c) Fµ,x = µ

U

hwL, (d) Wµ = µ

U2

hwL.

Problema 3: Encontre o campo de velocidade u(y) para o escoamento plenamente desenvolvido,em regime laminar, de um fluido incompressıvel e newtoniano, com propriedades constantes, impul-sionado para cima por uma placas plana vertical, movendo-se com velocidade constante U , sendoa superfıcie do fluido aberta para a atmosfera. Para esse problema, a equacao da conservacao daquantidade de movimento linear na direcao x torna-se

0 =d

dy

(

µdu

dy

)

− ρg,

com as condicoes de contornoy = 0 , u = U,y = h , du

dy = 0.

(a) Integre a equacao acima com as condicoes de contorno e encontre a solucao para u(y).(b) Obtenha a tensao de cisalhamento na placa, τ (N/m2) em y = 0.(c) Se a placa tem area superficial As = wL, obtenha a forca de atrito viscoso Fµ,x (N) sentidapela placa.(d) Obtenha a potencia dissipada pelo atrito na placa Wµ. (Dica: A potencia e o trabalho realizadopor unidade de tempo, e o trabalho e a forca multiplicada pela distancia).(e) Obtenha a velocidade media desse escoamento, um (m/s).(f) Determine a condicao que deve ser satisfeita pela velocidade U (m/s) para que o escoamentotenha vazao ascendente, ou seja, o fluido seja carregado pela placa em movimento.

Resposta:

(a) u = U +ρgh2

2µ

(

y2

h2− 2y

h

)

, (b) τ = −ρgh, (c) Fµ,x = ρghwL, (d) Wµ = ρghwLU,

(e) um = U − ρgh2

3µ, (f) U >

ρgh2

3µ.

Problema 4: Para o escoamento plenamente desenvolvido, em regime laminar, de um fluido in-compressıvel e newtoniano, com propriedades constantes, movido por gradiente de pressao (dp/dx),


no interior de uma tubulacao com secao transversal circular com diametro D = 2R e comprimentoL, determinou-se que a perda de energia por efeitos viscosos e dada por

Wµ = m

(

8Lµ

ρR2um

)

.

Mostre como essa equacao pode ser transformada em

Wµ = m

(

fL

dh

u2m2

)

e determine a expressao para o fator de atrito de Darcy f para esse escoamento.

Resposta: Voce deve obter:

f =64

ReDonde ReD =

ρumD

µ.

Problema 5: Considere o escoamento plenamente desenvolvido, em regime laminar, de um flu-ido incompressıvel e newtoniano, com propriedades constantes, movido por gradiente de pressao(dp/dx), no interior de uma tubulacao com secao transversal circular com diametro D = 2R ecomprimento L.(a) Mostre que o numero de Reynolds pode ser escrito em funcao da vazao massica como

ReD =4m

πDµ.

(b) Mostre que o fator de atrito de Darcy pode ser escrito como funcao da vazao massica como

f =πC

4

Dµ

m,

onde C = 64.(c) Mostre que a perda de energia por efeitos viscosos pode ser escrito como funcao da vazaomassica como

Wµ =2C

π

L

D4

µm2

ρ2,

onde C = 64.

Problema 6: Obtenha o diametro hidraulico dh para as seguintes geometrias: (i) Secao circularcom diametro D, (ii) Secao retangular com lados a (um quadrado) e (iii) Secao triangular comlados com comprimento b (um triangulo equilatero).

Resposta: Para cada secao transversal, voce deve obter:

(i)dh = D, (ii)dh = a, (iii)dh = a/√3.

Problema 7: Considere o escoamento em 3 tubulacoes com mesmo comprimento L, porem, comsecoes transversais diferentes:(i) Secao circular com diametro D, (ii) Secao retangular com ladosa (um quadrado) e (iii) Secao triangular com lados com comprimento b (um triangulo equilatero).Admita que a vazao massica deva ser a mesma nas tres configuracoes e que D = a = b. Assumaescoamento plenamente desenvolvido, em regime laminar, de um fluido incompressıvel e newto-niano, com propriedades constantes, movido por gradiente de pressao (dp/dx), e determine qualconfiguracao apresentaria a menor perda por efeitos viscosos. (Dica: Escreva a equacao para aperda por efeitos viscosos em termos da vazao para cada configuracao. Lembre que os valores dedh, Au e fRedh

sao diferentes para cada secao transversal. Use as constantes fRedhlistadas no

texto.)


Resposta: Para cada secao transversal, voce deve obter:

(i) Wµ =2CC

π

L

D4

µm2

ρ2, (ii) Wµ =

CQ

2

L

a4µm2

ρ2, (iii) Wµ = 2

√3CT

L

b4µm2

ρ2.

onde CC = 64, CQ = 56, 91 e CT = 52, 61.

Problema 8: Assuma escoamento plenamente desenvolvido, em regime laminar, de um fluido in-compressıvel e newtoniano, com propriedades constantes, movido por gradiente de pressao (dp/dx).Considere duas tubulacoes com mesmo comprimento L, mas, com secoes transversais diferentes:(i) Secao circular com diametro D e (ii) Secao retangular com lados a (um quadrado). Admitaque a vazao massica deva ser a mesma nas duas configuracoes. Determine qual deve ser a relacaoentre D e a para que as perdas por efeitos viscosos sejam as mesmas nas duas tubulacoes. Discutao valor obtido.

Resposta:

D

a=

(

4

π

CC

CQ

)1/4

≃ 1, 094, onde CC = 64 e CQ = 56, 91.

Portanto, D deve ser aproximadamente 9,4 % maior que a.

Problema 9: A regiao de transicao do escoamento interno (2000 ≤ Redh≤ 10000) pode apresentar

escoamento essencialmente laminar ou turbulento dependendo das condicoes. Por exemplo, epossıvel prolongar a existencia de escoamento laminar em um tubo liso para numeros de Reynoldsbastante elevados. Considere o escoamento plenamente desenvolvido, de um fluido incompressıvele newtoniano, com propriedades constantes, movido por gradiente de pressao (dp/dx), em um tubocircular.

(a) Determine a relacao entre os fatores de atrito de Darcy f calculados para regime laminar flame para regime turbulento fturb.

(b) Assuma que a tubulacao e lisa, tem diametro D = 6 mm, o escoamento tem vazao massicam = 5 × 10−4 kg/s, e o fluido e ar com densidade ρ = 1, 18 kg/m3 e viscosidade dinamicaµ = 1, 85× 10−5 Pa.s. Calcule os fatores de atrito de Darcy para as duas hipoteses, flam e fturb.

(c) Calcule as perdas por atrito viscoso nas duas hipoteses assumindo que a tubulacao tenhacomprimento L = 20 m.

(d) Assuma que a tubulacao seja reta e horizontal e calcule a queda de pressao no escoamento nasduas condicoes. Discuta os valores de queda de pressao.

Resposta: Para as condicoes dadas, um = 15 m/s e ReD = 5748.

Laminar Turbulento(a) f , adim. 0,0111 0,0363

(b) Wµ, W 2,09 6,83(c) (p2 − p1), Pa 4931 16071

Comentarios: A queda de pressao aumenta mais de 3 vezes, atingindo um valor igual a 15,8 % dapressao atmosferica. O projeto dessa tubulacao nas condicoes dadas seria baseado no escoamentoem regime turbulento. Dados as pressoes envolvidas, essa vazao de ar deveria ser fornecida a partirde um tanque de ar comprimido.

Problema 10: Considere o escoamento plenamente desenvolvido, em regime laminar, de umfluido incompressıvel e newtoniano, com propriedades constantes, movido por gradiente de pressao(dp/dx), em uma tubulacao com secao transversal circular com diametroD = 0, 1 m e comprimentoL = 100 m. A tubulacao e feita de PVC e, apos 10 anos de uso, apresenta rugosidade relativae/D = 1 × 10−3. O fator de atrito para o escoamento turbulento em tubos rugosos pode ser


aproximado pela correlacao de Swamee e Jain (1976),

f = 0, 25

[

log

(

e/D

3, 7+

5, 74

Re0,9dh

)]

−2

.

Considere que a vazao massica e m = 10 kg/s, e o fluido e agua com densidade ρ = 1000 kg/m3 eviscosidade dinamica µ = 1× 10−3 Pa.s.(a) Determine o fator de atrito f .(b) Calcule a perda de energia por atrito viscoso Wµ (W).(c) Assuma que a tubulacao seja reta e horizontal e calcule a queda de pressao no escoamento∆p (Pa). Expresse a queda de pressao como uma altura de carga hl em mca (metros de colunad’agua).

Resposta:(a) f = 0,0219, (b) Wµ = 177,32 W, (c) ∆p = 17732 Pa.A queda de pressao equivale a 1,8 mca (metros de coluna d’ agua).

Problema 11:Uma bomba e utilizada para alimentar um reservatorio sobre uma estrutura que esta a uma alturah2 = 10 (m) em relacao a succao da bomba. A tubulacao utilizada possui diametro interno D = 50mm e o reservatorio inferior esta afastado uma distancia horizontal b = 30 m do reservatoriosuperior. O nıvel da agua no reservatorio inferior e h1 = 3 m e o nıvel da agua no reservatoriosuperior e h3 = 2 m. Deseja-se bombear agua na vazao volumetrica V = 0,0012 m3/s. A tubulacaoapresenta perdas por atrito viscoso nos trechos retos e nos acessorios (entrada e joelhos). Se abomba apresenta eficiencia ηb = 0,8, determine a potencia eletrica Wel W consumida pela bomba.Assuma operacao em regime permanente, fluido incompressıvel com massa especıfica ρ = 1000kg/m3 (agua a temperatura ambiente) e g = 9,8 m/s2.

Reservatóriosuperior

Reservatórioinferior

Bomba h2

b

h1

h3

patm

g

Estrutura


Resposta:

Wel,b =1

ηb

ρV

[

g(h2 + h3 − h1) +V 22

2+ f

(b+ h2)

D

V 22

2

]

Problema 12:

A bomba mostrada na figura abaixo descarrega agua para a atmosfera atraves de um bocal comdiametroD2 (m) instalado ao final de uma tubulacao com diametroD1 (m). O tanque que alimentaa bomba e aberto para a atmosfera e possui agua ate um nıvel h1 (m). A velocidade no bocal desaıda vale V2 (m/s). Assuma que o tanque de alimentacao possua diametro muito grande, o fluidoseja incompressıvel, o escoamento ocorra em regime permanente, as tubulacoes sejam lisas e use


as equacoes do formulario para estimar o fator de atrito de Darcy. Determine a potencia eletricarequerida para a bomba Welet (W).Dados: V2 =25 m/s; D1 = 0,0635 m; D2 = 0,0286 m; L1 = 5 m; L2 = 30 m; h1 = 3 m; ρ =1000 kg/m3; µ = 0,001 Pa.s; g = 9,8 m/s2; patm = 101325 Pa. Coeficientes de perda de cargalocalizada: KE = 2,0 (entrada); KB = 1,2 (bocal). Eficiencia da bomba: ηb = 0,85 .

Bombah1

L1

g

L2

patm

patm

D1 D1 D2

g


Respostas :V1 = 5,06 m/s; m = 16,03 kg/s; f = 0,0133; Wµ = 2160 W; Ws = 6699 W; Welet = 7881 W.

Problema 13:

A figura abaixo mostra uma bomba que desloca um fluido do tanque inferior para o tanque superiorseparados por uma distancia L (m), conforme mostra a figura. Ambos os tanques estao abertospara a atmosfera e apresentam nivel de agua ate a altura h1 (m) e h3 (m) respectivamente. Atubulacao que liga os tanques apresenta diametro D (m) e a vazao desejada e m (kg/s). O fluido eagua com densidade ρ (kg/m3). A tubulacao tem como acessorios 1 entrada, 1 joelho e 2 valvulas.Assuma que o fluido seja incompressıvel, que os tanques tenham diametro muito grande, que oescoamento ocorra em regime permanente e que existam perdas por efeitos viscosos.(a) Calcule a potencia eletrica necessaria a bomba Wel (W) para executar esse bombeamentoconsiderando que a eficiencia da bomba e ηb.(b) Se a distancia entre a bomba e o fundo do tanque inferior e L1, calcule a pressao pe (Pa)(absoluta) na entrada da bomba.(c) Explique em que condicoes poderia ocorrer cavitacao na entrada da bomba.Dados: D = 0,1 m, h1 = 1 m; h2 = 6 m; h3 = 1 m; L = 100 m; L1 = 3 m; m = 8 kg/s; KE =0,8; KJ = 0,6; KV = 2,5; ρ = 1000 kg/m3; µ = 0,001 Pa.s; ηb = 0,9; g = 9,8 m/s2; patm = 101kPa. (Note que 1 kPa = 1000 Pa).

Problema 14:Calcule a potencia eletrica Wel (W) necessaria para um ventilador utilizado no resfriamento deplacas de circuitos eletricos. O canal formado entre as placas possui secao transversal com alturah = 15 cm, largura w = 10 cm e comprimento L = 20 cm. Deseja-se uma velocidade media nessasecao V2 = 5 m/s. O ventilador com secao transversal a = b = 10 cm e instalado na parede da caixade circuitos. A saıda do escoamento da caixa e formada por uma grade com area de escoamentoA4 = ǫhw, onde ǫ = 0, 85. A conversao de energia por efeitos viscosos, incluindo o canal formadoentre as placas e a grade de saıda, e estimada por

Wµ = m

(

KV 23

2

)

onde V2 (m/s) e a velocidade media na regiao entre as placas de circuitos e K = 5 e o coeficientede perda de carga. Negligencie outras perdas por atrito viscoso, assuma fluido incompressıvel


m

águah1

superfície aberta para o ambiente, patm

gaberto para o ambiente, patm

h2

L

h3

Bomba

L1

pe

Válvula

D


com massa especıfica ρ = 1,23 kg/m3 (ar a temperatura e pressao ambiente) e eficiencia para oventilador de ηv = 0,70.

L

h

w

a

b

Ventilador

Caixa de circuitos


Resposta:

Wel,v =1

ηv

[

ρV

(

V 24

2+K

V 23

2

)]

V3 =V

wh, V4 =

V

ǫwh.

Problema 15:Um ventilador e submetido a um teste de desempenho em uma instalacao em um laboratorio. Paraisto, uma placa de orifıcio e instalada na tubulacao de succao do ventilador e manometros em Ude agua sao instalados na succao e descarga do ventilador. O manometro diferencial na placa deorifıcio acusa um desnıvel de 21 mm, o manometro na succao do ventilador acusa um desnıvel de65 mm e o manometro na descarga do ventilador acusa um desnıvel de 30 mm (veja a direcao dosdesvios na figura). Todos os manometros possuem nıvel de equilıbrio 40 cm abaixo da linha decentro da tubulacao. A tubulacao de succao do ventilador tem diametro 10 cm, a placa de orifıciotem diametro 4 cm e a tubulacao de descarga tem diametro 15 cm. Se o motor eletrico utilizadopara acionar o ventilador produz uma potencia de 25 W, obtenha o rendimento do ventilador.

5.6. REFERENCIAS 215

Utilize para a agua a massa especıfica de 1000 kg/m3, para o ar a massa especıfica de 1,4 kg/m3

e para a pressao atmosferica 101325 Pa. Negligencie as perdas por efeitos viscosos.

5.6 Referencias

Bird, R. B., Stewart, W. e Lightfoot, E., Transport Phenomena, 2a. Edicao, Wiley, New York,2002.Blasius, P. R. H., Das Aehnlichkeitsgesetz bei Reibungsvorgangen in Flus sigk eiten. Forschungsheft131, pp. 1-41, 1913.Colebrook, C., Turbulent Flow in Pipes, with Particular Reference to the Transition Region be-tween the Smooth and Rough Pipe Laws. Journal of the Institution of Civil Engineers, London,vol. 11, pp. 133–156, 1938.Denn, M. M., Process Fluid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1980.Fox, W., Pritchard, P., McDonald, A., Introduction to Fluid Meachanics, 7a. Edicao, Wiley, NewYork, 2010.Geankoplis, C. J., Transport Processes and Unit Operations, 4a Edicao, Prentice Hall, EnglewoodClifs, 2003.Haaland, S., Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent flow. Transactionsof ASME, Journal of Fluids Engineering, vol. 103, pp. 89–90, 1983.Joseph, D. D. and Yang, B. H., Friction factor correlations for laminar, transition and turbulentflow in smooth pipes, Physica D: Nonlinear Phenomena, Vol. 239, No. 14, pp. 1318–1328, 2010.Moody, L., Friction Factors for Pipe Flow. Transactions of the ASME, vol. 66, no. 8, pp. 671–684,1944.Morrison, F. A., An Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge, 2013.Nikuradse, J., ”Stromungsgesetze in Rauhen Rohren,” VDI Forschungsh, 361 (1933); English trans-lation, Naca Tech. Mem. 1292.Rouse, H., Evaluation of boundary roughness, Proceedings Second Hydraulics Conference, Univ.of Iowa Studies in Engrg., Bulletin No. 27, 1943.Swamee, P., Jain, A., Explicit equations for pipe-flow problems, Journal of the Hydraulics Division(ASCE), vol. 102, no. 5, pp. 657–664, 1976.White, F. M., Fluid Mechanics, 6a Edicao, McGraw-Hill, New York, 2006.

Capıtulo 6

Formulario

Vetor velocidade:Coordenadas cartesianas:

v = u i+ v j+ w k

Coordenadas cilındricas:v = vr er + vθ eθ + vz ez

Conservacao da massa para um volume de controle:

∂m

∂t− (m)entra + (m)sai = 0

m = ρumA =

∫

A

ρvndA; vn = v · n

Conservacao da quantidade de movimento linear para um volume de controle:

∂mu

∂t− (mu)entra + (mu)sai = ΣFx

∂mv

∂t− (mv)entra + (mv)sai = ΣFy

(mu) =

∫

A

u(ρvn)dA; vn = v · n

(mv) =

∫

A

v(ρvn)dA; vn = v · n

Conservacao da energia mecanica para um volume de controle:

∂

∂t

[

m

(

V 2

2+ gz

)]

−[

m

(

p

ρ+V 2

2+ gz

)]

entra

+

[

m

(

p

ρ+V 2

2+ gz

)]

sai

= Ws − Wµ

(

mV 2

2

)

=

∫

A

(

v2

2

)

(ρvn)dA; vn = v · n; v = |v|

Para as equacoes a seguir, o campo bidimensional de velocidade e expresso como

Coord. cartesianas , Coord. cilindricas

v(x, y, t) = u(x, y, t) i+ v(x, y, t) j , v(r, θ, t) = vr(r, θ, t) er + vθ(r, θ, t) eθ

Funcao linha de corrente:

u =∂ψ

∂y, v = −∂ψ

∂x; vr =

1

r

∂ψ

∂θ, vθ = −∂ψ

∂r

217

218 CAPITULO 6. FORMULARIO

Equacao da conservacao da massa:

∂ρ

∂t+

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) = 0 ;

∂ρ

∂t+

1

r

∂

∂r(rρvr) +

1

r

∂

∂θ(ρvθ) = 0

Aceleracao:

ax =∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y; ar =

∂vr∂t

+ vr∂vr∂r

+vθr

∂vr∂θ

− v2θr

ay =∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y; aθ =

∂vθ∂t

+ vr∂vθ∂r

+vθr

∂vθ∂θ

− vrvθr

Equacao de Euler:

ρax = − ∂p

∂x+ ρgx ; ρar = −∂p

∂r+ ρgr

ρay = −∂p∂y

+ ρgy ; ρaθ = −1

r

∂p

∂θ+ ρgθ

Equacao de Bernoulli para fluido incompressıvel, em regime permanente:

p

ρ+V 2

2+ gz = constante

Conversao de energia por atrito viscoso (Re = ρumD/µ):

Wµ

m= f

L

D

u2m2

;Wµ

m= K

u2m2

Fator de atrito de Darcy para tubo liso:

f =

64/Re ;Re < 23000, 316/Re0,25 ; Re ≥ 2300

Volume e area superficial do cilindro:

A = πR2; V = πR2L; As = 2πRL

Volume e area superficial da esfera:

V =4πR3

3; As = 4πR2

notas de aula mec flu i v7 - moodle ufsc

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