notas de aulas andr´e arbex hallack setembro/2006 · 2009. 8. 5. · bola aberta de mesmo centro,...
TRANSCRIPT
Analise no IRn
Notas de aulas
Andre Arbex Hallack
Setembro/2006
Indice
1 Nocoes Topologicas no IRn 1
1.1 O espaco vetorial IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Topologia usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Norma de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Aplicacoes Diferenciaveis 19
2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 A desigualdade do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 O Teorema da Aplicacao Inversa 51
3.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 O Teorema da Aplicacao Injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 O Teorema da Aplicacao Sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 O Teorema da Aplicacao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 O Teorema da Aplicacao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
i
3.6 As classes de diferenciabilidade Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7 Aplicacao: superfıcies regulares no IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.9 O Teorema do Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Integrais Multiplas 75
4.1 A definicao de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Caracterizacao das funcoes (Riemann-) integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Integrabilidade em domınios mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Referencias 89
Capıtulo 1
Nocoes Topologicas no IRn
1.1 O espaco vetorial IRn
Consideremos o conjunto IRn = (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR , i = 1, 2, . . . , n das n-uplas de
numeros reais.
Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:
x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
α.x = (αx1, αx2, . . . , αxn)
Estas operacoes fazem do IRn um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo IR dos
numeros reais.
Produto interno no espaco IRn:
Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , > : IRn × IRn → IR pondo:
< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn
Normas:
A partir do Produto Interno Canonico acima definido, construımos a NORMA(?)
EUCLI-
DIANA ‖ ‖e : IRn → IR pondo:
‖x‖e =√< x, x > ∀ x ∈ IRn
1
2 CAPITULO 1
Obs.: Outras duas normas(?)
se destacam no IRn:
A NORMA DO MAXIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por
‖x‖m = max |x1| , |x2| , . . . , |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn
A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por
‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn
E facil mostrar(?)
que estas duas normas nao provem de produto interno algum no IRn.
Para todo x ∈ IRn temos(?)
:
‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m
Metricas, bolas e conjuntos limitados:
A partir de qualquer norma ‖ ‖ no IRn podemos construir, de modo natural, uma metrica
d : IRn × IRn → IR (nocao de distancia), pondo:
d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ IRn
Seguem definicoes de certos lugares geometricos basicos:
Definicao 1.1. Consideremos uma norma ‖ ‖ no IRn. Dados um ponto a ∈ IRn e um
numero real r > 0, definimos:
(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ < r
(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ ≤ r
(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ = r
Obs.: E claro que os lugares geometricos acima definidos dependem da norma ‖ ‖considerada.
A seguir definimos uma relacao de equivalencia entre normas:
Definicao 1.2. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao ditas EQUIVALENTES quando,
sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, e possıvel obter uma
bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.
Nocoes Topologicas no IRn 3
A “equivalencia”, assim definida, alem de SIMETRICA (por definicao), e REFLEXIVA E
TRANSITIVA, sendo portanto uma RELACAO DE EQUIVALENCIA(?)
.
Proposicao 1.3.(?)
Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes se, e somente se,
existem constantes k, l > 0 tais que:
l. ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ k. ‖x‖2 ∀ x ∈ IRn
Ja vimos antes que ‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m , para todo x ∈ IRn.
Portanto as normas Euclidiana, do Maximo e da Soma sao EQUIVALENTES!
Definicao 1.4. Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (“em relacao a norma ‖ ‖”) quando existir
uma constante c > 0 tal que ‖x‖ ≤ c para todo x ∈ X.
E imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes entao um conjunto
X ⊂ IRn e limitado em relacao a norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e limitado em relacao a
norma ‖ ‖2.(?)
Proposicao 1.5.(?)
Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (em relacao a qualquer norma equi-
valente a Norma do Maximo) se, e somente se, todas as suas projecoes
X1 = π1(X), X2 = π2(X), . . . , Xn = πn(X)
sao conjuntos limitados em IR.
1.2 Sequencias
Definicao 1.6. Dizemos que uma sequencia (xk) no IRn converge para o limite a ∈ IRn
(“em relacao a norma ‖ ‖”) quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um ındice
k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ ‖xk − a‖ < ε. Neste caso escrevemos: a = lim xk ou xk → a.
De modo equivalente temos que, para cada ε > 0 , os termos xk estao na bola aberta
B(a; ε) (em relacao a norma considerada), para todo k suficientemente grande.
Uma consequencia importante da definicao acima e que, se duas normas no IRn sao
equivalentes, entao a convergencia de uma sequencia independe de qual das nor-
mas equivalentes e considerada(?)
.
4 CAPITULO 1
Consequencias imediatas:(?)
(i) limxk = a ⇔ lim ‖xk − a‖ = 0
(ii) Toda sequencia convergente e limitada.
(iii) Se lim xk = a entao toda subsequencia de (xk) converge para a.
(iv) O limite de uma sequencia convergente e unico.
Uma sequencia (xk) no IRn equivale a n sequencias de numeros reais, ou seja, para todo
k ∈ IN , xk =(x
(k)1 , x
(k)2 , . . . , x
(k)n
), onde x
(k)i = πi(xk) = i-esima coordenada de xk. Essas n
sequencias sao ditas as Sequencias DAS COORDENADAS de (xk).
Proposicao 1.7.(?)
Uma sequencia (xk) no IRn converge (em relacao a qualquer norma
equivalente a Norma do Maximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para
cada i = 1, 2, . . . , n tem-se limx(k)i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a
coordenada correspondente de a.
Corolario 1. Dadas as sequencias convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam
limxk = a, lim yk = b e limαk = α. Entao:
(i) lim(xk + yk) = a+ b
(ii) limαk.xk = α.a
(iii) lim < xk, yk > = < a, b >
A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensao finita:
Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass)(?)
Toda sequencia limitada (em relacao a qualquer
norma equivalente a Norma do Maximo) em IRn possui uma subsequencia convergente.
Prova: Exercıcio (Sugestao: use o mesmo resultado em IR para as sequencias das coorde-
nadas, juntamente com a proposicao anterior)
Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espaco IRn sao equivalentes.
Demonstracao:
Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por
‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn
e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.
Nocoes Topologicas no IRn 5
Temos:
(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, entao o teorema
estara demonstrado.
(ii) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela e equivalente a Norma
do Maximo.
Consideremos a Base Canonica β = e1, e2, . . . , en do IRn.
Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:
‖x‖ = ‖x1e1 + . . .+ xnen‖ ≤ |x1| . ‖e1‖+ . . . |xn| . ‖en‖ ≤ b.(|x1|+ . . .+ |xn|) = b. ‖x‖s
onde b = max ‖e1‖ , . . . , ‖en‖ (repare que este b esta bem definido, pois tomamos o
maximo em um conjunto finito de numeros reais).
Logo ‖x‖ ≤ b. ‖x‖s para todo x ∈ IRn. (1)
Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn.
De fato: se isto nao ocorrer temos que para todo k ∈ IN e possıvel obter um xk ∈ IRn
tal que ‖xk‖s > k. ‖xk‖ (pois k nao serviria como tal a > 0 ).
Tomemos, para cada k ∈ IN, uk =xk
‖xk‖s
(note que a sequencia (uk) esta bem definida,
pois ‖xk‖s > 0 ∀k )
Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e limitada em relacao a Norma
da Soma.
Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequencia (ukj) convergente (na
Norma da Soma) para um ponto u ∈ IRn.
Temos entao que∥∥ukj
∥∥s→ ‖u‖s. Logo ‖u‖s = 1 , o que significa que u 6= 0.
Agora, dado ε > 0, e possıvel obter kj0 tal que∥∥ukj0
− u∥∥
s<
ε
2be
1
kj0
<ε
2.
Logo
‖u‖ ≤∥∥ukj0
− u∥∥ +
∥∥ukj0
∥∥ ≤ b.∥∥ukj0
− u∥∥
s+
1
kj0
.∥∥ukj0
∥∥s< b.
ε
2b+
ε
2= ε .
Assim ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 (contradicao!)
Entao, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn. (2)
Por (1) e (2), ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, qualquer que seja a norma ‖ ‖ no IRn.
6 CAPITULO 1
Por transitividade, temos entao que duas normas quaisquer no IRn sao equivalentes.
Obs.: A luz deste ultimo teorema, temos tambem que os resultados anteriores sao
validos para qualquer norma considerada no IRn.
Proposicao 1.10. (IRn e Banach)(?)
Uma sequencia (xk) no IRn e convergente (em
relacao a qualquer norma ‖ ‖ considerada) se, e somente se, ela e uma Sequencia de Cauchy.
Prova: Exercıcio (Sugestao: use a norma do maximo, a proposicao 1.7 e o resultado ja
conhecido para sequencias de numeros reais)
Prove tambem o resultado acima sem usar o que ja foi provado para sequencias de numeros
reais(?)
.
1.3 Topologia usual
Conjuntos abertos:
Definicao 1.11. Um ponto a e dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X ⊂ IRn
quando existe ε > 0 tal que B(a; ε) ⊂ X. Se denotarmos por intX o conjunto dos pontos
interiores a X (INTERIOR de X), e imediato que intX ⊂ X. Se a ∈ intX entao X e dito
uma VIZINHANCA de a.
Um conjunto A ⊂ IRn e dito ser ABERTO (em IRn) quando A = intA.
Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto
aberto (em IRn) A tal que B = X ∩ A .
Consequencias imediatas:(?)
(i) φ e IRn sao abertos.
(ii) A intersecao A = A1 ∩ . . . ∩ Al de uma colecao FINITA de abertos e um aberto.
(iii) A reuniao A =⋃λ∈L
Aλ de uma colecao arbitraria Aλλ∈L de abertos e um aberto.
(iv) Toda bola aberta B(a; r) e um conjunto aberto.
(v) Para todo X ⊂ IRn tem-se: intX =⋃
A ⊂ X
A aberto
A
Nocoes Topologicas no IRn 7
Conjuntos fechados:
Definicao 1.12. Um ponto a e dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X ⊂ IRn
quando existe uma sequencia (xk) em X ( xk ∈ X ∀ k ) tal que xk → a . Se denotarmos por
clX o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X), e imediato que X ⊂ clX.
Um conjunto F ⊂ IRn e dito ser FECHADO (em IRn) quando F = clF .
Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto
fechado (em IRn) F tal que B = X ∩ F .
Dado X ⊂ IRn , definimos frX = clX ∩ cl (IRn\X) (FRONTEIRA de X).
Sejam Y ⊂ X ⊂ IRn . Dizemos que Y e DENSO em X quando X ⊂ clY (todo ponto
de X e limite de uma sequencia de pontos de Y ).
Consequencias imediatas:(?)
(i) a ∈ clX ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X.
(ii) F ⊂ IRn e fechado ⇔ A = IRn\F e aberto.
(iii) φ e IRn sao fechados.
(iv) A reuniao F = F1 ∪ . . . ∪ Fl de uma colecao FINITA de fechados e um fechado.
(v) A intersecao F =⋂λ∈L
Fλ de uma colecao arbitraria Fλλ∈L de fechados e um fechado.
(vi) Toda bola fechada B[a; r] e um conjunto fechado.
(vii) Toda esfera S[a; r] e um conjunto fechado.
(viii) Qn e denso no IRn.
(ix) Para todo X ⊂ IRn tem-se: clX =⋂
F ⊃ X
F fechado
F
Pontos de acumulacao:
Definicao 1.13. Um ponto a e dito um PONTO DE ACUMULACAO de um conjunto
X ⊂ IRn quando existe uma sequencia (xk) em X\ a ( xk ∈ X , xk 6= a ∀ k ) tal que
xk → a . Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.
Se a ∈ X nao e ponto de acumulacao de X, entao a e um PONTO ISOLADO de X.
Se todos os pontos de X sao isolados, X e chamado um conjunto DISCRETO.
8 CAPITULO 1
Consequencias imediatas:(?)
(i) a ∈ X ′ ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X\ a.
(ii) a ∈ X ′ ⇔ toda bola aberta B(a; r) possui uma infinidade de pontos de X.
(iii) Se X ′ 6= φ entao X e infinito.
(iv) O conjunto X ′ dos pontos de acumulacao de X e fechado.
(v) Se X ⊂ IRn e infinito e limitado, entao X ′ 6= φ (Bolzano-Weierstrass)
1.4 Limites e continuidade
Estudaremos agora nocoes de limites e continuidade para aplicacoes f : X → IRn ,
com X ⊂ IRm . Podemos sempre identificar aplicacoes como esta atraves de suas funcoes
coordenadas:
A cada aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n funcoes f1, f2, . . . , fn : X → IR
dadas por fi = πi f ( i = 1, . . . , n ), ditas as FUNCOES COORDENADAS da aplicacao f .
Para todo x ∈ X temos f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) .
Escrevemos f = (f1, f2, . . . , fn).
Limites:
Definicao 1.14. Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ (a e ponto de acumulacao de X).
Dizemos que b ∈ IRn e o LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos
b = limx→a
f(x)
quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que
x ∈ X, 0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− b‖ < ε
Proposicao 1.15.(?)
Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ .
A fim de que limx→a
f(x) = b ∈ IRn e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk)
em X\ a com xk → a se tenha f(xk) → b .
Proposicao 1.16.(?)
Seja a um ponto de acumulacao de X ⊂ IRm. Dada a aplicacao
f : X → IRn , cujas funcoes coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se
limx→a
f(x) = b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn se, e somente se, limx→a
fi(x) = bi ∀ i = 1, 2, . . . , n.
Nocoes Topologicas no IRn 9
Continuidade:
Definicao 1.17. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e CONTINUA NO PONTO a ∈ X
quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que
x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε
Se f como acima e contınua em todos os pontos do conjunto X, dizemos simplesmente que
f e uma aplicacao CONTINUA.
Proposicao 1.18.(?)
Seja f : X ⊂ IRm → IRn . A fim de que f seja contınua em a ∈ X
e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk) em X com xk → a se tenha
f(xk) → f(a) .
Proposicao 1.19.(?)
Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e contınua se, e somente se, para
cada A aberto do IRn (ou para cada F fechado do IRn ), sua imagem inversa f−1(A) e
um conjunto aberto em X (ou f−1(F ) e um conjunto fechado em X).
Proposicao 1.20.(?)
A composta de duas aplicacoes contınuas e contınua.
Proposicao 1.21.(?)
Seja a ∈ X ⊂ IRm. Dada a aplicacao f : X → IRn , cujas funcoes
coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se: f e contınua em a se, e somente se, cada
uma das suas funcoes coordenadas fi = πi f : X → IR e contınua no ponto a.
Corolario 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn dada
por h(x) = (f(x), g(x)) . Entao h e contınua se, e somente se, f e g sao ambas contınuas.
Uma consequencia deste corolario: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR sao contınuas
entao sao tambem contınuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,
(α.f) : X → IRn dada por (α.f)(x) = α(x).f(x) , < f, g > : X → IR dada por
< f, g > (x) = < f(x), g(x) >.
Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1, f2, . . . , fn) ),
para cada funcao coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto
x = (x1, . . . , xm) a operacoes definidas por funcoes contınuas, entao f e contınua.
Exemplos: f(x, y) = (( senx).y, x2y3, ex cos y) define uma funcao contınua f : IR2 → IR3.
A funcao determinante det : Mn(IR) → IR e contınua.
10 CAPITULO 1
Continuidade uniforme:
Ao estudarmos a continuidade de uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn num ponto do
domınio X, o δ obtido para cada ε (veja a definicao) depende, em geral, nao apenas do ε
dado, mas tambem depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f .
Quando, para cada ε dado, for possıvel obter um δ que dependa apenas de ε e portanto
sirva (como na definicao) para TODOS OS PONTOS DE X, temos um fenomeno conhecido
como Continuidade Uniforme:
Definicao 1.22. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita UNIFORMEMENTE CONTINUA
quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que
x, y ∈ X, ‖x− y‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε
Resultados relacionados com a continuidade uniforme:(?)
(i) Uma aplicacao f = (f1, . . . , fn) : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente
se, suas funcoes coordenadas f1, . . . , fn : X → IRn o sao.
(ii) Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente se, para todo
par de sequencias (xk), (yk) em X, com lim(xk − yk) = 0 tem-se lim[f(xk)− f(yk)] = 0 .
(iii) Se f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua entao, para todo a ∈ X ′ , existe o
limite limx→a
f(x) .
Uma fonte natural de aplicacoes uniformemente contınuas:
Definicao 1.23. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita LIPSCHITZIANA quando existe
uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f) tal que
‖f(x)− f(y)‖ ≤ k. ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X
Alguns resultados:
(i) Toda aplicacao lipschitziana e uniformemente contınua.(?)
(ii) Toda transformacao linear A : IRm → IRn e lipschitziana (mostre), logo uniformemente
contınua e portanto contınua.
(iii) Se ϕ : IRm× IRn → IRp e uma aplicacao bilinear (linear em cada componente) entao ϕ
e lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.
Portanto toda aplicacao bilinear e contınua.
Exemplos: multiplicacao de numeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canonico
( < x, y > = x1y1 + . . .+ xnyn ); multiplicacao de matrizes ( ϕ(A,B) = A.B )
Nocoes Topologicas no IRn 11
(iv) As projecoes πi : IRm → IR , dadas por πi(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm
( i = 1, 2, . . . ,m ), sao lineares, logo lipschitzianas e portanto contınuas.
Homeomorfismos:
Definicao 1.24. Dados os conjuntos X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , um HOMEOMORFISMO entre
X e Y e uma bijecao contınua f : X → Y cuja inversa f−1 : Y → X tambem e contınua.
Diz-se entao que X e Y sao conjuntos homeomorfos.
Resultados imediatos:
(i) O inverso de um homeomorfismo e um homeomorfismo.
(ii) A composta de dois homeomorfismos e um homeomorfismo.
(iii) Se dois conjuntos X e Y sao homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topologica,
ou seja, um homeomorfismo “leva” abertos de X em abertos de Y e seu inverso “leva”
abertos de Y em abertos de X.(?)
Exemplos:
1) Qualquer aplicacao linear invertıvel A : IRn → IRn e um homeomorfismo.
2) As translacoes Ta : IRm → IRm , onde Ta(x) = x+ a, a ∈ IRm (fixado).
3) As homotetias Hλ : IRm → IRm , onde Hλ(x) = λ.x, 0 6= λ ∈ IR (fixado).
4) Duas bolas abertas quaisquer no IRm sao homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas
bolas fechadas arbitrarias no IRm ou duas esferas no mesmo espaco.(?)
5) Toda bola aberta no IRm e homeomorfa ao espaco IRm.(?)
6) Seja f : X ⊂ IRm → IRn uma aplicacao contınua. Seu GRAFICO e o conjunto G ⊂IRm × IRn formado pelos pontos (x, f(x)) , com x ∈ X . O domınio X e o grafico G da
aplicacao contınua f sao homeomorfos.
12 CAPITULO 1
7) Sejam Sm =x ∈ IRm+1 ; < x, x > = 1
⊂ IRm+1 a esfera unitaria m-dimensional e
p = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Sm seu POLO NORTE.
A PROJECAO ESTEREOGRAFICA ϕ : Sm\ p → IRm e um homeomorfismo.
1.5 Compacidade
Definicao 1.25. Um conjunto K ⊂ IRn sera dito um conjunto COMPACTO quando for
limitado e fechado.
Buscaremos agora novas caracterizacoes para os compactos do IRn:
Teorema 1.26.(?)
Um subconjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda sequencia
(xk) ⊂ K possui uma subsequencia convergente para um ponto de K.
Teorema 1.27.(?)
(Propriedade de Cantor) Dada uma sequencia “decrescente” de conjuntos
compactos e nao-vazios K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . . , sua intersecao K =∞⋂i=1
Ki (limitada e
fechada) nao e vazia.
Lema 1.28.(?)
Todo conjunto X ⊂ IRn e separavel, isto e, possui um subconjunto enumeravel
E = x1, x2, . . . , xl, . . . ⊂ X, E denso em X.
Nocoes Topologicas no IRn 13
Lema 1.29. (Lindelof) Considere um conjunto arbitrario X ⊂ IRn . Toda cobertura aberta
X ⊂⋃
Aλ admite uma subcobertura enumeravel.
Chegamos entao ao resultado que nos interessa:
Teorema 1.30. Um conjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de
K admite uma subcobertura finita.
Demonstracao:
(⇐)(?)
(Sugestao: Faca como foi visto no curso de Analise na Reta).
(⇒) Borel-Lebesgue:
Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado).
Seja K ⊂⋃
Aλ uma cobertura aberta de K.
Pelo Lema de Lindelof, ela admite uma subcobertura enumeravel
K ⊂∞⋃i=1
Aλi= Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .
Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha
Ki = K⋂
(IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))
Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e limitado.
Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλie aberto ⇒ IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi
) e fechado. Como K e fechado, temos
entao que Ki e fechado.
Assim, para todo i ∈ IN, Ki e limitado e fechado.
Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . .
Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′(pois K ⊂
∞⋃i=1
Aλi) ⇒ x 6∈ Ki′
Logo∞⋂i=1
Ki = φ .
Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ e teremos
φ = Ki0 = K⋂ (
X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0))⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0
)
Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.
14 CAPITULO 1
Destacamos a seguir os principais resultados relativos a compacidade:
Teorema 1.31. Seja K ⊂ IRm um conjunto compacto. Se f : K → IRn e uma aplicacao
contınua, entao sua imagem f(K) e um conjunto compacto do IRn.
Corolario 1.(?)
(Weierstrass) Toda funcao real contınua f : K → IR definida num compacto
K ⊂ IRm atinge seu maximo e seu mınimo em K, isto e, existem pontos x1, x2 ∈ K tais que
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) para qualquer x ∈ K.
Corolario 2.(?)
Seja K ⊂ IRm compacto. Toda aplicacao contınua f : K → IRn e fechada,
ou seja, se F ⊂ K e fechado, entao f(F ) ⊂ IRn e fechado.
Corolario 3.(?)
A inversa de uma bijecao contınua definida num compacto e uma funcao
contınua, isto e, toda bijecao contınua definida num conjunto compacto e um homeomorfismo
sobre sua imagem.
Teorema 1.32.(?)
Toda aplicacao contınua f : K → IRn definida num conjunto compacto
K ⊂ IRm e uniformemente contınua.
1.6 Conexidade
Definicao 1.33. Uma CISAO de um conjunto X ⊂ IRn e uma decomposicao X = A ∪ B ,
onde A e B sao disjuntos ( A ∩B = φ ) e abertos em X.
Todo conjunto X ⊂ IRn admite a chamada CISAO TRIVIAL X = X ∪ φ .
Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO quando so admite a cisao trivial. Caso contrario
ele e dito DESCONEXO.
Nocoes Topologicas no IRn 15
Proposicao 1.34.(?)
Uma decomposicao X = A ∪ B e uma cisao de X se, e somente
se, nenhum dos conjuntos A, B contem um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos
clA ∩B = φ = A ∩ clB .
Destacamos a seguir o principal resultado relativo a conexidade:
Teorema 1.35. Seja X ⊂ IRm um conjunto conexo. Se f : X → IRn e uma aplicacao
contınua, entao sua imagem f(X) e um conjunto conexo do IRn.
Corolario 1.(?)
(Teorema do Valor Intermediario) Seja f : X → IR uma funcao real
contınua, definida num conjunto conexo X ⊂ IRm . Se existem a, b ∈ X e d ∈ IR tais que
f(a) < d < f(b) , entao existe c ∈ X tal que f(c) = d .
Veremos a seguir uma serie de resultados sobre conexidade:
Proposicao 1.36.(?)
(Teorema da Alfandega) Seja X ⊂ IRn . Se um conjunto conexo
C ⊂ IRn contem um ponto a ∈ X e um ponto b 6∈ X , entao C contem algum ponto da
fronteira de X.
Sugestao: use que IRn = intX ∪ frX ∪ int (IRn\X)
Lema 1.37.(?)
Seja X = A ∪ B uma cisao do conjunto X ⊂ IRn . Se Y ⊂ X e conexo e
nao-vazio entao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B .
Proposicao 1.38.(?)
Se X ⊂ IRn e conexo e X ⊂ Y ⊂ clX , entao Y e conexo.
16 CAPITULO 1
Corolario 1. Se X ⊂ IRn e conexo e Y e formado a partir de X adicionando-se alguns ou
todos os pontos de seu fecho, entao Y e conexo.
Teorema 1.39. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos com um ponto em comum e
um conjunto conexo.
Corolario 1.(?)
A fim de que X ⊂ IRn seja conexo e (necessario e) suficiente que, para
quaisquer a, b ∈ X , exista um conjunto conexo Cab com a, b ∈ Cab ⊂ X .
Corolario 2.(?)
Dados X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , o produto cartesiano X × Y ⊂ IRm+n e
conexo se, e somente se, X e Y sao conexos.
Definicao 1.40. (Componentes conexas) Seja X ⊂ IRn . Para cada ponto x ∈ X , definimos
a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reuniao Cx de todos os
subconjuntos conexos de X que contem o ponto x.
E imediato que Cx e o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que
contem o ponto x.
Segue tambem que, dados dois pontos x, y ∈ X , suas componentes conexas Cx, Cy em
X, ou coincidem ou sao disjuntas(?)
.
Assim, a relacao “x e y pertencem a mesma componente conexa em X” e uma relacao
de equivalencia em X(?)
e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de
equivalencia, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X.
Nocoes Topologicas no IRn 17
Proposicao 1.41.(?)
Seja h : X → Y um homeomorfismo. Se Cx e a componente conexa
do ponto x em X, entao Dy = h(Cx) e a componente conexa do ponto y = h(x) em Y .
Portanto, um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma bijecao entre as componentes
conexas de X e as componentes conexas de Y .(?)
(Exemplos)
Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e uma aplicacao contınua f : I → X definida
num intervalo I ⊂ IR.
Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X
quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f(I)
Por exemplo, se X e convexo entao cada dois pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um
caminho em X, a saber, o caminho retilıneo [a, b] = t.a+ (1− t).b ; t ∈ [0, 1] .
Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X entao existe um caminho
ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.(?)
Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos
a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.
Por exemplo: todo conjunto convexo e conexo por caminhos.
Teorema 1.42. Todo conjunto conexo por caminhos e conexo. (Exercıcio)
Obs.: Nem todo conjunto conexo e conexo por caminhos:
Exemplo: X = (x, sen 1/x) ; x ∈ (0,+∞) ∪ (0, 0) ⊂ IR2 e conexo mas nao e conexo
por caminhos.
Isto nao ocorre se o conjunto em questao for aberto:
Teorema 1.43. Se A ⊂ IRn e aberto e conexo entao A e conexo por caminhos.
Prova: Exercıcio.
18 CAPITULO 1
1.7 Norma de uma transformacao linear
Seja A : IRm → IRn uma transformacao linear.
Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , existe c > 0 tal que
‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm
Temos entao: ‖x‖m = 1 ⇒ ‖Ax‖n ≤ c e podemos definir ...
Definicao 1.44. Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , definimos
uma norma(?)
em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm pondo, para cada transformacao linear
A : IRm → IRn ∈ L(IRm; IRn) :
‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m = 1
Proposicao 1.45. Nas condicoes da definicao acima, temos:
‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m ≤ 1
= inf c > 0 ; ‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm
Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IRm e IRn, temos uma norma
em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm . De qualquer jeito, nao vamos esquecer que as normas
obtidas neste ultimo espaco sao todas equivalentes.
Proposicao 1.46.(?)
Nas mesmas condicoes da definicao anterior, temos:
‖Ax‖n ≤ ‖A‖ . ‖x‖m ∀ x ∈ IRm
‖AB‖ ≤ ‖A‖ . ‖B‖ se B ∈ L(IRp; IRm) e A ∈ L(IRm; IRn)
Obs.: Na segunda parte da proposicao acima, consideramos a mesma norma em IRm .
Capıtulo 2
Aplicacoes Diferenciaveis
2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao
Definicao 2.1. Uma aplicacao f : U → IRn , definida no aberto U ⊂ IRm diz-se diferenciavel
no ponto a ∈ U quando existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo
v ∈ IRm com a+ v ∈ U , temos
f(a+ v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma “boa aproximacao
linear”para f numa vizinhanca de a. Essa boa aproximacao de f(a+ v) por f(a)+T (v) numa
vizinhanca de a e expressa pela condicao limv→0
r(v)
‖v‖= 0.
Pondo ρ(v) =r(v)
‖v‖se v 6= 0 e ρ(0) = 0 , podemos exprimir a diferenciabilidade de f no
ponto a por:
f(a+ v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0
ρ(v) = 0
Alguns resultados imediatos:
Seja f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U .
Entao existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com
a+ v ∈ U :
f(a+ v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0
ρ(v) = 0
19
20 CAPITULO 2
(i) f e contınua em a
Antes do proximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional.
Seja f : U → IRn definida num aberto U ⊂ IRm.
A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ IRm e, por
definicao:∂f
∂v(a) = lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t∈ IRn quando existir tal limite
Se f = (f1, f2, . . . , fn) , onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de
f , entao∂f
∂v(a) =
(∂f1
∂v(a) , . . . ,
∂fn
∂v(a)
)
Quando v = ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm, escrevemos∂f
∂xj
(a).
(ii) T (v) =∂f
∂v(a) ∀ v ∈ IRm
Aplicacoes Diferenciaveis 21
Consequencias de (ii):
(A) A derivada direcional de f em a , se f e diferenciavel em a, depende linearmente
do vetor relativamente ao qual e considerada.
(B) A transformacao linear T : IRm → IRn que da a boa aproximacao para f perto de
a e unica e chamada a derivada de f no ponto a , que indicaremos por f ′(a) ou Df (a).
(C) Podemos obter a matriz que representa a transformacao linear f ′(a) em relacao as
bases canonicas de IRm e IRn, que sera uma n×m matriz chamada a matriz jacobiana de f
no ponto a e indicada por Jf(a). Sua j-esima coluna e dada por
f ′(a).ej = T (ej) =∂f
∂xj
(a) =
(∂f1
∂xj
(a) , . . . ,∂fn
∂xj
(a)
)∈ IRn
onde ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm (j = 1, 2, . . . ,m).
Entao:
Jf(a) = [f ′(a)] =
∂f1
∂x1
(a)∂f1
∂x2
(a) . . .∂f1
∂xm
(a)
∂f2
∂x1
(a)∂f2
∂x2
(a) . . .∂f2
∂xm
(a)
......
...
∂fn
∂x1
(a)∂fn
∂x2
(a) . . .∂fn
∂xm
(a)
(iii) Temos: f(a+ v) = f(a) + f ′(a)(v) + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
Se f = (f1, f2, . . . , fn) e r = (r1, r2, . . . , rn) , a condicao acima e equivalente a
fi(a+ v) = fi(a) +
[∂fi
∂x1
(a)∂fi
∂x2
(a) . . .∂fi
∂xm
(a)
]· v + ri(v) com lim
v→0
ri(v)
‖v‖= 0
para todo ∀ i = 1, 2, . . . , n.
Temos entao o ...
22 CAPITULO 2
Teorema 2.2. A aplicacao f : U → IRn e diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se,
cada uma das suas funcoes coordenadas f1, f2, . . . , fn : U → IR e diferenciavel em a.
Corolario 1. A aplicacao f = (g, h) : U → IRn × IRp , dada por f(x) = (g(x), h(x)) e
diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplicacoes g : U → IRn e
h : U → IRp e diferenciavel em a.
Em caso afirmativo, temos: f ′(a) = (g′(a), h′(a)) : IRm → IRn × IRp.
2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis
A) Aplicacoes constantes: Uma aplicacao constante e diferenciavel em todo ponto e sua
derivada em qualquer ponto e a transformacao linear nula O .
B) Transformacoes lineares: Qualquer transformacao linear T : IRm → IRn e diferen-
ciavel em todos os pontos a ∈ IRm e DT (a) = T ′(a) = T ∀ a ∈ IRm.
C) Aplicacoes bilineares: Qualquer aplicacao bilinear ϕ : IRm×IRn → IRp e diferenciavel
em cada ponto (a, b) ∈ IRm × IRn e ϕ′(a, b) = Dϕ(a, b) : IRm × IRn → IRp e a transformacao
linear dada por:
ϕ′(a, b) (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) ∀ (v, w) ∈ IRm × IRn
Aplicacoes Diferenciaveis 23
D) Aplicacoes k-lineares: Qualquer aplicacao k-linear µ : IRm1× IRm2× . . .× IRmk → IRp
e diferenciavel em cada ponto (a1, a2, . . . , ak) e
Dµ(a1, . . . , ak) (v1, . . . , vk) = µ(v1, a2, . . . , ak) + µ(a1, v2, a3, . . . , ak)+. . .+ µ(a1, . . . , ak−1, vk)
Exemplo: det : IRn2
= IRn × IRn × . . .× IRn → IR e n-linear e portanto e diferenciavel em
cada n× n matriz real A. Dada A = (A1, A2, . . . , An) , onde cada Ai = (ai1 ai2 . . . ain) e
a i-esima linha de A, temos que det′(A) : IRn2 → IR e a transformacao linear dada por
det′(A)(V ) =n∑
i=1
det(A1, . . . , Ai−1, Vi, Ai+1, . . . , An) ∀ n× n matriz real V
24 CAPITULO 2
E) A derivada da “analise na reta” :
Sejam f : U (aberto) ⊂ IR → IR e a ∈ U .
Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite
limt→0
f(a+ t)− f(a)
t= f ′(a) ∈ IR
Ja vimos que f e derivavel em a se, e somente se, existir uma constante c ∈ IR tal que,
para todo t ∈ IR onde a+ t ∈ U , tenhamos
f(a+ t) = f(a) + c · t + r(t) com limt→0
r(t)
t= 0
Em caso afirmativo, temos ainda que f ′(a) = c.
Se considerarmos a transformacao linear T : IR → IR dada por T (x) = c.x ∀x ∈ IR e
observarmos que limt→0
r(t)
t= 0 ⇔ lim
t→0
r(t)
|t|= 0 podemos entao concluir que
f e derivavel em a ⇔ f e diferenciavel em a
F) Caminhos diferenciaveis:
Um caminho em IRn e uma aplicacao f : I → IRn cujo domınio e um intervalo I ⊂ IR.
O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I → IRn em um ponto a ∈ int I e
definido por:
df
dt(a) = lim
t→0
f(a+ t)− f(a)
t∈ IRn desde que esse limite exista
Aplicacoes Diferenciaveis 25
Temos f = (f1, f2, . . . , fn) , fi : I → IR , i = 1, 2, . . . , n.
O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada fi for derivavel
(ou seja, diferenciavel) em a. Isto ocorrera portanto se, e somente se, f for diferenciavel em
a. (ver teorema 2.2).
Teremos, em caso afirmativo:
df
dt(a) =
df1
dt(a)
...
dfn
dt(a)
=
f ′1(a)
...
f ′n(a)
que pode ser “visto” tanto como um vetor em IRn (o vetor velocidadedf
dt(a) de f em a)
quanto como uma transformacao linear de IR em IRn (a derivada de f em a, dada por
f ′(a)(t) =df
dt(a) · t ).
Aplicacao: Dada uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn diferenciavel em a ∈ U ,
tentaremos obter, via caminhos, uma interpretacao para f ′(a)(v) , onde v ∈ IRm.
Dado v ∈ IRm, consideremos um caminho α : (−ε, ε) → U ⊂ IRm dado por
α(t) = a+ tv
Temos que ∃ dα
dt(0) = lim
t→0
α(0 + t)− α(0)
t= lim
t→0
a+ tv − a
t= v (v e o vetor veloci-
dade de α em t = 0)
Geometricamente, a imagem do caminho α e uma curva (neste caso um segmento de reta)
em U , passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a.
Vamos agora olhar para o caminho γ = f α : (−ε, ε) → f(U) ⊂ IRn , correspondente a
aplicacao de f ao caminho α (composicao).
Geometricamente, a imagem do caminho γ e uma curva em f(U) , passando por f(a).
Temos:
∃ dγ
dt(0) = lim
t→0
(f α)(t)− (f α)(0)
t= lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t=
∂f
∂v(a) = f ′(a)(v)
26 CAPITULO 2
Portanto, f ′(a)(v) e o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, e o vetor tangente
a imagem de γ, em f(a) ):
G) Funcoes de uma variavel complexa:
Seja f : U ⊂ C → C funcao de uma variavel complexa z definida num aberto U ⊂ C.
f e derivavel em z0 ∈ U quando existe o limite
limh→0
f(z0 + h)− f(z0)
h= f ′(z0)
Temos que f e derivavel em z0 se, e somente se, existe uma constante complexa
c = a+ ib tal que, se z0 + h ∈ U , temos
f(z0 + h) = f(z0) + c · h+ r(h) com limh→0
r(h)
h= 0
Em caso afirmativo, temos ainda f ′(z0) = c = a+ ib.
Seja f : U (aberto) ⊂ C → C derivavel em z0 ∈ U com f ′(z0) = a+ ib ∈ C.
Pela associacao C ↔ IR2 , que faz corresponder a cada complexo x+ iy o par (x, y) e
vice-versa, podemos enxergar f como uma aplicacao definida num aberto U ⊂ IR2 e tomando
valores em IR2: f : U ⊂ IR2 → IR2 , z0 = (x0, y0)
f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) ⇒ f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))
Consideremos a transformacao linear T : IR2 → IR2 correspondente a multiplicacao pelo
numero complexo c = a+ ib
Aplicacoes Diferenciaveis 27
Dado h ∈ IR2 tal que z0 + h ∈ U temos:
f(z0 + h) = f(z0) + T (h) + r(h) com limh→0
r(h)
‖h‖= 0
Portanto f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) vista como aplicacao f : U ⊂ IR2 → IR2 e diferen-
ciavel no ponto z0 = (x0, y0) e temos ainda:
H) Inversao de matrizes:
Seja U = GL(IRn) o conjunto das n× n matrizes invertıveis.
Temos que o conjunto U ⊂ IRn2
e aberto em IRn2
(espaco das n × n matrizes), pois
U = det−1 (IR \ 0) e det e uma funcao contınua.
Seja f : U → IRn2
dada por f(X) = X−1 (inversao da matriz X) ∀ X ∈ U .
Esta aplicacao f e diferenciavel em toda matriz A ∈ U e sua derivada em cada matriz
A ∈ U e a transformacao linear f ′(A) : IRn2 → IRn2
dada por:
f ′(A)(V ) = −A−1 · V · A−1
I) Funcoes reais de m variaveis:
Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao real de m variaveis definida num aberto U ⊂ IRm.
Temos: f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existe uma transformacao linear
T : IRm → IR (funcional linear) tal que, sempre que a+ v ∈ U , temos:
f(a+ v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
Em caso afirmativo, temos T = f ′(a) ∈ (IRm)∗ , derivada de f em a.
Equivalentemente, f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existirem constantes
A1, A2, . . . , Am tais que, para todo v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a+ v ∈ U , tem-se:
f(a+ v) = f(a) + A1v1 + A2v2 + . . .+ Amvm + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
28 CAPITULO 2
Como Jf(a) =
[∂f
∂x1
(a)∂f
∂x2
(a) . . .∂f
∂xm
(a)
], chegamos a outra definicao equivalente:
f e diferenciavel em a ∈ U se, e so se, existirem as derivadas parciais∂f
∂x1
(a), . . . ,∂f
∂xm
(a)
e, para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a+ v ∈ U tivermos
f(a+ v) = f(a) +∂f
∂x1
(a).v1 + . . .+∂f
∂xm
(a).vm + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
(i) A diferencial:
Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IR uma funcao diferenciavel em a ∈ U .
Sua derivada f ′(a) , em a, e uma transformacao linear f ′(a) : IRm → IR, ou seja, um
funcional linear sobre IRm, que denotaremos por df(a) e chamaremos a diferencial de f
no ponto a:
df(a) = f ′(a) : IRm → IR , df(a) ∈ (IRm)∗
Para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm, temos: df(a)(v) =∂f
∂v(a) =
m∑j=1
∂f
∂xj
(a).vj
Nosso interesse agora sera, uma vez que df(a) ∈ (IRm)∗, exprimir df(a) como combinacao
linear de funcionais que formem uma base de (IRm)∗. Para tal, utilizaremos a base dual da
base canonica de IRm:
Sejam B = e1, e2, . . . , em a base canonica do IRm e B∗ sua base dual, em (IRm)∗.
Temos B∗ = π1, π2, . . . , πm , onde πj : IRm → IR e dado por πj(x1, . . . , xm) = xj , para
todo j = 1, 2, . . . ,m (πj e a projecao na j-esima coordenada).
E comum denotarmos πj por xj . Logo B∗ = x1, x2, . . . , xm (aqui cada xj e um
funcional linear).
Para todo j = 1, . . . ,m temos que xj = πj : IRm → IR e uma transformacao linear, logo
diferenciavel em todos os pontos de IRm e sua derivada (diferencial) em cada ponto e a propria
transformacao linear xj .
Portanto: xj = dxj(x) ∀ x ∈ IRm, ∀ j = 1, . . . ,m. Logo escreveremos xj = dxj , para
todo j = 1, . . . ,m.
Assim, B∗ = dx1, dx2, . . . , dxm e a base dual da base canonica do IRm.
Para todo j = 1, . . . ,m temos: df(a)(ej) =∂f
∂xj
(a) e pela relacao entre B e B∗ , temos:
df(a) =∂f
∂x1
(a).dx1 +∂f
∂x2
(a).dx2 + . . . +∂f
∂xm
(a).dxm
Aplicacoes Diferenciaveis 29
Conseguimos portanto escrever df(a) como combinacao linear dos funcionais da base B∗
(que sao tambem diferenciais), dual da base canonica B de IRm.
(ii) Uma util condicao suficiente:
Teorema 2.3. Se uma funcao f : U (aberto) ⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos
os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e cada uma delas e contınua no ponto a ∈ U , entao
f e diferenciavel em a.
30 CAPITULO 2
(iii) Um exemplo interessante:
Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua definida num aberto U ⊂ IR2.
Considere o conjunto S = gr f = (x, y, f(x, y)); (x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f).
Seja g : U → S a aplicacao dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)).
Temos g = (g1, g2, g3) , sendo suas funcoes coordenadas dadas por:
g1(x, y) = x , g2(x, y) = y , g3(x, y) = f(x, y)
Ja vimos que g e um homeomorfismo de U em S, ou seja, S e topologicamente identico a
um “pedaco” U do plano (S e uma superfıcie).
Consideremos agora f diferenciavel em a ∈ U .
E imediato entao que g e diferenciavel em a (olhe para as funcoes coordenadas de g).
Fixemos v ∈ IR2.
O caminho α : (−ε, ε) → U dado por α(t) = a+ tv e geometricamente um segmento de
reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0)
Temos entao (veja Aplicacao do exemplo F) que g α : (−ε, ε) → S e um caminho cuja
imagem e uma curva em S, passando por g(a) e tendo neste ponto g′(a)(v) como vetor tan-
gente:
Aplicacoes Diferenciaveis 31
Procedendo desta forma para cada vetor v ∈ IR2, temos que g′(a)(v) fornece um vetor
tangente a uma curva na superfıcie S, no ponto g(a)
Vamos dar uma olhada para
Jg(a) = [g′(a)] =
∂g1
∂x(a)
∂g1
∂y(a)
∂g2
∂x(a)
∂g2
∂y(a)
∂g3
∂x(a)
∂g3
∂y(a)
=
1 0
0 1
∂f
∂x(a)
∂f
∂y(a)
(matriz de g′(a) em relacao as bases canonicas)
Temos que a dimensao da imagem de g′(a) e igual a 2 e portanto o conjunto dado por
Tg(a)(S) =g(a) + g′(a)(v), v ∈ IR2
e um plano (plano tangente ao grafico S de f em
g(a) = (a, f(a)) ).
32 CAPITULO 2
2.3 Exercıcios
1. (Derivadas direcionais) Sendo f ′(x)(h) = limt→0
f(x+ th)− f(x)
te admitindo a existencia
das derivadas em questao, calcule:
a) f ′(z)(h), com z = (4,−1), h = (1, 2) e f : IR2 → IR2 dada por f(x) = (x2 + y, x+ y2).
b) ϕ′(x)(v), onde x, v ∈ IRm sao vetores quaisquer e ϕ : IRm → IR e definida por
ϕ(x) = f(x).g(x), sendo f, g : IRm → IR funcionais lineares.
c) ξ′(x)(h), onde h ∈ IRm e um vetor arbitrario e ξ : U → IR e definida do seguinte modo
no aberto U ⊂ IRm : sao dadas f, g : U → IRp diferenciaveis e ξ(x) = < f(x), g(x) > , para
todo x ∈ U , e o produto interno dos vetores f(x) e g(x).
2. (Diferenciabilidade) Seja E o espaco das matrizes n× n (se achar conveniente, identifique
E com IRn2
). Defina f : E → E pondo f(X) = X3 para cada matriz X. Mostre que f e
diferenciavel em todos os pontos de E (use o metodo do exercıcio anterior para determinar o
candidato a f ′(X)).
3. (Diferenciabilidade) Sejam U ⊂ IRm e f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U ,
com f(a) = g(a). Mostre que f ′(a) = g′(a) se, e so se, limv→0
f(a+ v)− g(a+ v)
‖v‖= 0.
4. (Diferenciabilidade e matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR4 dada por
f(x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, zy)
a) Prove que f e diferenciavel em todos os pontos de IR3 e calcule sua matriz jacobiana.
b) Mostre que a derivada f ′(x, y, z) : IR3 → IR4 e uma transformacao linear injetora, exceto
no eixo Oz (isto e, para x = y = 0).
c) Determine a imagem de f ′(0, 0, z) : IR3 → IR4.
5. (Derivada) Seja f : U → IRn diferenciavel no aberto U ⊂ IRm. Se, para algum b ∈ IRn, o
conjunto f−1(b) possui um ponto de acumulacao a ∈ U entao f ′(a) : IRm → IRn nao e injetiva.
6. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR2 definida por f(x, y) = (ex cos y, ex sen y).
Considere a transformacao linear T = f ′(3, π/6) : IR2 → IR2, e os vetores h = (1, 0) e k = (1, 1).
Qual e o angulo formado pelos vetores T 100(h) e T 101(k) ?
7. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR3 dada por
f(x, y) = (x2, y2, (x+ y)2)
Mostre que f ′(x, y) : IR2 → IR3 tem posto 2, exceto na origem (isto e, f ′(x, y)(e1) e f ′(x, y)(e2)
sao linearmente independentes salvo quando x = y = 0).
Aplicacoes Diferenciaveis 33
8. (Derivada) Seja f : IRm → IRm diferenciavel, com f(0) = 0. Se a transformacao linear f ′(0)
nao tem valor proprio 1 entao existe uma vizinhanca V de 0 em IRm tal que f(x) 6= x para
todo x ∈ V − 0.
9. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 dada por
f(x, y, z) = (x+ y + z, x2 + y2 + z2, x3 + y3 + z3)
Mostre que f ′(x, y, z) : IR3 → IR3 e uma aplicacao biunıvoca, salvo se duas das coordenadas
x, y, z sao iguais.
10. (Derivada; matriz Jacobiana) Mostre que a derivada da aplicacao f : IR2 → IR2, dada por
f(x, y) = (ex + ey, ex + e−y) e uma transf. linear invertıvel f ′(x, y) : IR2 → IR2 para todos os
pontos z = (x, y) ∈ IR2. Diga se f , considerada como uma funcao complexa, e holomorfa.
11. (Diferenciabilidade) Seja E = IRn2
o espaco vetorial formado pelas matrizes n× n. Indi-
cando com X∗ a transposta de uma matriz X, considere a aplicacao f : E → E definida por
f(X) = XX∗. Descreva a derivada f ′(X) : E → E. Mostre que f ′(X)(H) e simetrica, para
cada H ∈ E e que se X e ortogonal (isto e, X∗ = X−1) entao, para toda matriz simetrica S,
existe pelo menos uma matriz H tal que f ′(X)(H) = S.
12. (Maximos e mınimos relativos interiores) Seja U ⊂ IRm aberto. Se f : U → IR atinge um
maximo (ou mınimo) relativo no ponto x ∈ U , e f e diferenciavel no ponto x, entao f ′(x) = 0
(transformacao linear nula).
13. (Condicoes necessarias, nao suficientes) Obtenha aplicacoes f : U(aberto)⊂ IRm → IRn
tais que:
a) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas nao existem todas as derivadas
direcionais (f nao e diferenciavel neste ponto).
b) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto
(f nao e diferenciavel neste ponto).
c) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto
(f nao e diferenciavel neste ponto).
d) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse
ponto, mas a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, nao depende
linearmente de v (f nao e diferenciavel neste ponto).
e) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse ponto,
a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, depende linearmente de v,
mas f nao e diferenciavel neste ponto.
34 CAPITULO 2
14. (Derivada do determinante) Seja E = IRn2
o espaco vetorial das matrizes n× n. Sabemos
que a funcao determinante det : E → IR e diferenciavel em toda matriz A ∈ E (ver exemplo
D nas notas de aula). Verifique, para as matrizes 4× 4, a validade da expressao
∂ det
∂xij
(A) = (−1)i+j detA[i,j], onde A[i,j] e a n−1×n−1 matriz obtida eliminando-se a i-esima
linha e a j-esima coluna da matriz A (a expressao foi obtida tambem no exemplo D), escolhendo
uma variavel xij.
15. (Caminhos diferenciaveis) Determine as equacoes parametricas das retas tangentes as
seguintes curvas em IR3 nos pontos especificados:
a) g : t→ (x, y, z) = (t, t2, t3) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.
b) f : t→ (x, y, z) = (t− 1, t2, 2) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.
c) h : t→ (x, y, z) = (2 cos t, 2 sen t, t) nos pontos correspondentes a t = π/2 e t = π.
16. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema de obter um caminho
y = y(t) : I ⊂ IR → IRp tal que:
y(n)(t) = F (t, y(t), y′(t), y′′(t), ..., y(n−1)(t))
y(0) = η1
y′(0) = η2
...
y(n−1)(0) = ηn
Sao dados
F : IRnp+1 → IRp
η1, η2, ..., ηn ∈ IRp
Mostre que podemos resolver este problema resolvendo um sistema de equacoes de primeira
ordem, que equivale ao problema da forma:
x′1(t) = f1(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
x′2(t) = f2(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
...
x′n(t) = fn(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
x1(0) = η1
x2(0) = η2
...
xn(0) = ηn
x1, x2, ..., xn : I ⊂ IR → IRp
Sao dados
f1, f2, ..., fn : IRnp+1 → IRp
η1, η2, ..., ηn ∈ IRp
Mostre agora que podemos reduzir o problema acima a um outro, na forma:
x′(t) = f(t, x(t))
x(0) = η0
x : I ⊂ IR → IRnp
Sao dados
f : IRnp+1 → IRnp
η0 ∈ IRnp
Aplicacoes Diferenciaveis 35
Finalmente, se quisermos, podemos ainda reduzir o problema acima a um outro, autonomo
(“independente” de t):w′(t) = g(w(t))
w(0) = ηw : I ⊂ IR → IRnp+1
Sao dados
g : IRnp+1 → IRnp+1
η ∈ IRnp+1
17. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Usando a ideia do exercıcio anterior, reduza cada pro-
blema abaixo a um formado por uma unica equacao de primeira ordem:
a) y′′ + y′2 = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR
b) (1− t2)y′′ − 2ty′ + 2y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR
c) y′′′ − 2y′′ + 3y′ − y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y′′(0) = c, y = y(t) : I ⊂ IR → IR
18. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema:x′(t) = f(t, x(t))
x(0) = x0
Sao dados
f : IRn+1 → IRn, contınua
x0 ∈ IRn
a) Mostre que x = x(t) : I ⊂ IR → IRn e solucao do problema acima se, e somente se:
x(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, x(s)) ds , para todo t ∈ I
b) Um importante resultado (Teorema de Picard) assegura que, se f e lipschitziana em relacao
a variavel x (existe uma constante k > 0 tal que ||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ k ||x− y||, para todos
(t, x), (t, y) ) numa vizinhanca de (0, x0) entao existe uma solucao para o problema acima,
definida numa vizinhanca de t = 0 de modo unico. Mais ainda, o Teorema de Picard fornece
uma sequencia de caminhos x1, x2, ... : I → IRn que converge para a solucao, sequencia esta
dada por:
x1(t) = x0 , x2(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, x1(s))ds , ..., xn+1(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, xn(s))ds ,...
Use a sequencia acima para obter a unica solucao x = x(t) : IR → IRn do problema:x′(t) = A(x(t)) (x′ = Ax)
x(0) = x0
A : IRn → IRn, linear, n× n matriz de coef. constantes
x0 ∈ IRn
OBS.: Boas justificativas para o estudo de sistemas lineares de coeficientes constantes
x′ = Ax se encontram nao so no fato de que uma serie de problemas sao desta natureza,
bem como em um outro resultado importante, o Teorema de Hartman, que de um certo modo
36 CAPITULO 2
diz que, dado um problema x′ = f(x), f ∈ C1 (note que f nao e necessariamente linear), se
x0 e ponto singular (f(x0) = 0) e os autovalores de Df(x0) tem todos parte real nao nula
(neste caso x0 e dito ser um ponto singular hiperbolico), entao o comportamento das solucoes
x = x(t) numa vizinhanca de x0 pode ser aproximado pelo comportamento das solucoes do
sistema linear x′ = Df(x0)x (repare que este e linear) numa vizinhanca de 0 (origem do IRn).
19. (Funcoes reais de m variaveis) Mostre que se uma funcao f : U(aberto)⊂ IRm → IR possui
derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e m−1 delas sao contınuas
no ponto a, entao f e diferenciavel em a.
20. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua
definida num aberto U ⊂ IR2. Tomando S = (x, y, f(x, y))|(x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f),
sabemos que g : U → S dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)) e um homeomorfismo entre U e S (de
uma olhada em (iii) do exemplo I nas notas de aula). Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ Uentao e imediato que g tambem e diferenciavel em a e sabemos que existe o Plano Tangente a
S (grafico de f) no ponto g(a): Tg(a)(S).
Seja f : IR2 → IR a funcao dada por f(x, y) = x2 + y2.
Faca um esboco de S (grafico de f).
Fixemos um ponto a ∈ IR2, digamos a = (2, 1). Dado um vetor v ∈ IR2, consideremos o
caminho γ = γ(t) : IR → IR2 dado por γ(t) = a + tv (geometricamente a imagem de γ e uma
reta em IR2, passando por a e tendo em a vetor tangente igual a v). Sabemos que (g γ)(IR)
e uma curva em S (lembremos que g(x, y) = (x, y, f(x, y)), conforme acima) e que o vetor
tangente a (g γ)(IR) no ponto g(a), dado por (g γ)′(0) = g′(a)(v), e um vetor tangente a S
em g(a) (g(a) + g′(a)(v) ∈ Tg(a)(S)).
Dados os vetores v1 = e1 = (1, 0), v2 = e2 = (0, 1), v3 = (2, 1), v4 = (1, 3), v5 = (3,−2)
em IR2, utilizando a Matriz Jacobiana de g em a = (2, 1), calcule g′(a)(vi), i = 1, ..., 5 (alguns
vetores tangentes a S em g(a) = (2, 1, 5)), faca um esboco considerando os vetores tangentes
g′(a)(v1) e g′(a)(v2) e finalmente verifique que todos esses cinco vetores tangentes a S em
g(a) = (2, 1, 5) sao coplanares, como era de se esperar.
21. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Com as mesmas consideracoes do exercıco ante-
rior para uma funcao f : U ⊂ IR2 → IR definida num aberto U ⊂ IR2, determine os Planos
Tangentes a S (grafico de f) nas situacoes abaixo (faca os esbocos):
a) f1(x, y) = x2 + y2. Determine T(0,0,f1(0,0))(S) e T(1,2,f1(1,2))(S).
b) f2(x, y) = x2 − y2. Determine T(0,0,f2(0,0))(S) e T(1,2,f2(1,2))(S).
c) f3(x, y) = (4− (x2 + y2))1/2
. Determine T(0,0,f3(0,0))(S) e T(1,1,f3(1,1))(S).
Aplicacoes Diferenciaveis 37
2.4 A Regra da Cadeia
Teorema 2.4. (Regra da Cadeia) Sejam U ⊂ IRm e V ⊂ IRn conjuntos abertos,
f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U , com f(U) ⊂ V e g : V → IRp
uma aplicacao diferenciavel no ponto b = f(a) ∈ V .
Entao a aplicacao composta g f : U → IRp e diferenciavel no ponto a e temos ainda que
(g f)′(a) = g′(b) f ′(a) : IRm → IRp
38 CAPITULO 2
Algumas consequencias:
(A) Interpretacao geometrica para f ′(a)(v):
Corolario 1. Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel em a ∈ U . Dado v ∈ IRm,
seja α : (−ε, ε) → U um caminho em U , diferenciavel em t = 0 (existe vetor velocidade em
t = 0), com α(0) = a e α′(0) = v.
Entao f ′(a)(v) e o vetor velocidade do caminho f α : (−ε, ε) → IRn em t = 0 (geometri-
camente e o vetor tangente a curva (f α) (−ε, ε) em f(a) ).
(B) Derivada da aplicacao inversa:
Corolario 2. Seja f : U → IRn diferenciavel em a ∈ U ⊂ IRm e suponha que f admite uma
inversa g = f−1 : V → IRm , V ⊂ IRn (f(U) = V, g(V ) = U, f g = idV e g f = idU)
que e diferenciavel no ponto b = f(a).
Entao f ′(a) : IRm → IRn e um isomorfismo cujo inverso e g′(b) : IRn → IRm e em particular
temos que m = n.
Aplicacoes Diferenciaveis 39
(C) Regra da Cadeia e derivadas parciais:
Corolario 3. No teorema anterior, suponha f = (f1, f2, . . . , fn) e g = (g1, g2, . . . , gp).
Entao para cada i = 1, . . . , p e j = 1, . . . ,m , temos:
∂(gi f)
∂xj
(a) =n∑
k=1
∂gi
∂yk
(b) · ∂fk
∂xj
(a)
(D) Regras de diferenciacao:
Corolario 4. Sejam f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U (aberto) ⊂ IRm e λ um
numero real. Entao:
f + g : U → IRn e diferenciavel em a , com (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)
λf : U → IRn e diferenciavel em a , com (λf)′(a) = λ · f ′(a)
Se ϕ : IRn × IRn → IRp e uma aplicacao bilinear entao a aplicacao ϕ(f, g) : U → IRp ,
definida por x 7→ ϕ(f(x), g(x)) e diferenciavel no ponto a , com
[ϕ(f, g)] ′(a)(v) = ϕ (f ′(a)(v), g(a)) + ϕ (f(a), g′(a)(v))
40 CAPITULO 2
Algumas aplicacoes:
(i) “Derivada do produto”: Sejam f, g : U ⊂ IR → IR diferenciaveis (derivaveis) em
a ∈ U . Entao fg : U → IR dada por fg(x) = f(x) · g(x) e derivavel em a com
(fg) ′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a)
(ii) Seja f : IRm → IR dada por f(x) = ‖x‖2 = < x, x > . Entao
f ′(a)(v) = 2 < v, a > ∀ v, a ∈ IRm
(iii) Seja n : IRm → IR dada por n(x) = ‖x‖ = < x, x >1/2 (norma proveniente de um
produto interno). Entao
n′(a)(v) =< v, a >
< a, a >1/2∀ v ∈ IRm, a 6= 0 ∈ IRm
Aplicacoes Diferenciaveis 41
2.5 A desigualdade do valor medio
Tentaremos agora generalizar o Teorema do Valor Medio de Lagrange, estudado no
curso de analise na reta.
Teorema 2.5. (Generalizacao do TVM de Lagrange da “Analise na Reta”)
Seja f : U ⊂ IRm → IR diferenciavel em todos os pontos do segmento de reta aberto
(a, a + v) = a+ tv , 0 < t < 1 ⊂ U e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado
[a, a+ v] ⊂ U seja contınua.
Entao existe t0 ∈ (0, 1) tal que f(a+ v)− f(a) = f ′(a+ t0v)(v)
OBS.: Apesar de conseguirmos acima generalizar o Teorema do Valor Medio de La-
grange para funcoes (contradomınio = IR), o mesmo nao pode ser feito para aplicacoes
f : U ⊂ IRm → IRn em geral, conforme ilustra o contra-exemplo abaixo.
Contra-Exemplo:
Seja f : IR → IR2 a aplicacao (caminho) dada por f(t) = (cos t, sen t) ∀ t ∈ IR
Para todo t ∈ IR , temos: f ′(t) = (− sen t, cos t) 6= (0, 0)
Agora f(2π)− f(0) = (0, 0) 6= f ′(t).2π ∀ t ∈ IR
OBS.: Conforme veremos a seguir, o teorema do valor medio, quando temos uma aplicacao
f : U ⊂ IRm → IRn , n > 1, aparece sob a forma de desigualdade.
Isto nao impede que dele seja extraıda uma serie de resultados significativos, conforme
veremos adiante.
42 CAPITULO 2
Teorema 2.6. (“Versao fraca” da Desigualdade do Valor Medio)
Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de
reta aberto (a, a+ v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a+ v] ⊂ U seja
contınua.
Entao existem uma constante real θ > 0 e um ponto ci0 ∈ (a, a+ v) tais que
‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖
Em particular, se ‖f ′(x)‖ ≤M para todo x ∈ (a, a+ v) , temos
‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ θ.M. ‖v‖ se ‖f ′(x)‖ ≤M
Aplicacoes Diferenciaveis 43
Teorema 2.7. (“Versao completa” da Desigualdade do Valor Medio)
Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de
reta aberto (a, a+ v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a+ v] ⊂ U seja
contınua.
Se ‖f ′(x)‖ ≤M para todo x ∈ (a, a+ v) entao ‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ M. ‖v‖.
Demonstracao: veja em Lima, E.L. - Analise no Espaco IRn - Capıtulo 5, Teorema 2, pag.
27 (1a Edicao).
OBS.: Se a norma considerada em IRn provem de um produto interno, entao podemos
garantir ainda que existe um ponto ci0 ∈ (a, a+ v) tal que
‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖
A demonstracao neste caso fica mais simples e pode ser encontrada em Bartle, R.G. - Ele-
mentos de Analise Real - Capıtulo 7 (Secao 40), pags. 329-330 (2a Edicao).
Algumas consequencias:
(A) Uma fonte natural de aplicacoes Lipschitzianas:
Corolario 1. Seja U ⊂ IRm aberto e convexo. Se f : U → IRn e diferenciavel, com
‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ U entao f e Lipschitziana, com ‖f(y)− f(x)‖ ≤ M. ‖y − x‖quaisquer que sejam x, y ∈ U .
OBS.: Para concluırmos que f e Lipschitziana basta a “Versao fraca”(Teo 2.6)
44 CAPITULO 2
(B) Generalizacao de um resultado canonico:
Corolario 2. Se f : U → IRn e diferenciavel no aberto e conexo U ⊂ IRm e f ′(x) = O
(transformacao linear nula) para todo x ∈ U entao f e constante.
(C) Um lema muito util:
Corolario 3. Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, a+ v] ⊂ U e f : U → IRn diferenciavel em cada
ponto do segmento aberto (a, a+ v) com f∣∣[a,a+v]
contınua.
Seja T : IRm → IRn uma transformacao linear.
Se ‖f ′(x)− T‖ ≤M ∀ x ∈ (a, a+ v) entao ‖f(a+ v)− f(a)− T (v)‖ ≤M. ‖v‖
Aplicacoes Diferenciaveis 45
(D) “Extensao” :
Corolario 4. Sejam U ⊂ IRm aberto e c ∈ U . Se a aplicacao contınua f : U → IRn e
diferenciavel em U\ c e existe o limx→c
f ′(x) = T ∈ L(IRm; IRn), entao f e diferenciavel no
ponto c, com f ′(c) = T .
2.6 Exercıcios
1. (O vetor gradiente) Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao definida num aberto U ⊂ IRm.
Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao existe um unico vetor ua ∈ IRm tal que
df(a)(v) = f ′(a)(v) =< ua, v > para todo v ∈ IRm (onde <,> e o produto interno canonico
em IRm). Justifique.
Tal vetor ua e chamado o vetor gradiente de f em a, sera denotado por grad f(a), ou ∇af e e
dado por:
gradf(a) =
(∂f
∂x1
(a),∂f
∂x2
(a), ...,∂f
∂xm
(a)
)
Consideremos o caso em que grad f(a) 6= 0 (vetor nulo).
Estudaremos agora o crescimento de f a partir do ponto a e do vetor gradiente de f em a.
46 CAPITULO 2
a) Mostre que o gradiente aponta para uma direcao segundo a qual a funcao f e crescente
(os vetores v que apontam para direcoes ao longo das quais a funcao f cresce sao aqueles tais
que∂f
∂v(a) =< grad f(a), v > e positivo, ou seja, sao aqueles que formam um angulo agudo
com grad f(a) ).
b) Mostre que, dentre todas as direcoes ao longo das quais a funcao f cresce, a direcao do
gradiente e a de crescimento mais rapido, ou seja, se v for um vetor tal que ‖v‖ = ‖ grad f(a)‖
entao∂f
∂v(a) ≤ ∂f
∂ grad f(a)(a).
2. (Gradiente) Para cada uma das funcoes f : U(aberto)⊂ IR2 → IR dadas abaixo, faca:
a) Um esboco do grafico de f .
b) Considerando um ponto a ∈ U dado, tente, a partir de seu esboco e sem calcular o grad f(a),
descobrir a direcao ao longo da qual f tem o crescimento mais rapido a partir do ponto a dado.
c) Calcule o gradiente de f no ponto a e verifique se sua tentativa na letra b) acima foi bem
sucedida.
i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto a = (1, 2).
ii) f2(x, y) = (4− x2)1/2
no ponto a = (1, 1).
iii) f3(x, y) = (9− (x2 + y2))1/2
no ponto a = (2, 2).
3. (Regra da Cadeia)
a) Se f(x, y) = x2 + y2 e g(t) = (3t+ 1, 2t− 3), seja F (t) = (f g)(t).Calcule F ′(t) diretamente e aplicando a Regra da Cadeia.
b) Se f(x, y, z) = xyz e g(s, t) = (3s+ st, s, t), seja F (s, t) = (f g)(s, t).
Calcule∂F
∂se∂F
∂tdiretamente e aplicando a Regra da Cadeia.
4. (Regra da Cadeia) Seja f = f(z) : A(aberto)⊂ C → C uma funcao complexa de uma
variavel complexa z = x + iy. Sabemos que f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde u, v : U → IR sao
as funcoes coordenadas de f (pela identificacao de C com IR2, dada por z = x+ iy → (x, y)).
Para que f seja derivavel em um ponto z0 = x0 + iy0 = (x0, y0) ∈ A, e necessario que as
Equacoes de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas em z0, isto e:
∂u
∂x(x0, y0) =
∂v
∂y(x0, y0) e
∂u
∂y(x0, y0) = −∂v
∂x(x0, y0)
Agora, se z0 6= 0 entao z0 = r0eiθ0 , de modo que z0 pode ser representado por suas coordenadas
polares (r0, θ0). Desse modo, cada ponto z = x + iy = (x, y) numa vizinhanca de z0 tambem
pode ser representado por suas coordenadas polares: z = reiθ. Temos entao x = r cos θ e
y = r sen θ.
Aplicacoes Diferenciaveis 47
Portanto (x, y) = m(r, θ) = (m1(r, θ),m2(r, θ)) = (r cos θ, r sen θ), onde m e a aplicacao de
mudanca de variaveis (de coordenadas polares para coordenadas retangulares).
Pondo U = u m e V = v m, temos:
u(x, y) = u(m(r, θ)) = (u m)(r, θ) = U(r, θ)
v(x, y) = v(m(r, θ)) = (v m)(r, θ) = V (r, θ)
Temos portanto f(z) = U(r, θ) + iV (r, θ) numa vizinhanca de (r0, θ0). Utilizando a Regra
da Cadeia, obtenha as Equacoes de Cauchy-Riemann em coordenadas polares (supondo f
derivavel em z0 = r0eiθ0 = (r0, θ0), z0 6= 0):
∂U
∂r(r0, θ0) =
1
r0
∂V
∂θ(r0, θ0) e
∂V
∂r(r0, θ0) = − 1
r0
∂U
∂θ(r0, θ0)
5. (Regra da Cadeia) Seja f : U → IRn\ 0 diferenciavel no aberto conexo U ⊂ IRm. A fim de
que seja ‖f(x)‖ =constante, e necessario e suficiente que f ′(x)(v) seja perpendicular a f(x),
para todo x ∈ U e todo v ∈ IRm (considere a norma euclidiana e o produto interno canonico).
6. (Regra da Cadeia) Sejam U(aberto)⊂ IRm e p ∈ IRm\U . Prove que a funcao f : U → IR
dada por f(x) = ‖x− p‖, para todo x ∈ U (funcao distancia a p) e diferenciavel em U e
obtenha df(a)(v) = f ′(a)(v), onde a ∈ U e v ∈ IRm.
7. (Regra da Cadeia: mudanca de coordenadas e EDPs) Suponhamos que se queira obter
solucoes para a equacao da onda :
∂2u
∂t2= c2
∂2u
∂x2, onde c ∈ IR, c 6= 0, e u = u(x, t) : U(aberto)⊂ IR2 → IR
Introduzindo a mudanca de variaveis (ξ, η) = m(x, t), onde
ξ = m1(x, t) = x+ ct
η = m2(x, t) = x− ct, temos:
(ξ, η) = (x+ ct, x− ct) = (m1(x, t),m2(x, t)) = m(x, t)
Fazendo v(ξ, η) = u(x, t), temos u = v m.
Impondo a equacao acima, mostre que chegamos a∂2v
∂ξ∂η= 0 .
Obtenha v = v(ξ, η), solucao geral desta ultima equacao, “volte” atraves da mudanca de
variaveis m para obter u = u(x, t), solucao da equacao inicial, e verifique algumas solucoes
particulares.
48 CAPITULO 2
8. (Pontos crıticos, valores regulares, etc.) Seja f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel
definida num aberto U ⊂ IRm.
Pontos crıticos de f : dizemos que um ponto a ∈ U e um ponto crıtico de f quando a
derivada f ′(a) : IRm → IRn nao e sobrejetiva. Neste caso dizemos que a imagem f(a) ∈ IRn do
um ponto crıtico a e um valor crıtico de f .
Valores regulares de f : um ponto c ∈ IRn que nao e um valor crıtico de f (ou seja, nao e
imagem por f de nenhum ponto crıtico de f) e dito um valor regular de f .
a) Se f : U ⊂ IRm → IR e uma funcao diferenciavel, entao caracterize seus pontos crıticos.
Um resultado importante (veremos mais tarde) nos garante que se f : U ⊂ IRm → IR e
uma funcao diferenciavel, f ∈ C1(U) (o que equivale a dizer que as derivadas parciais de f sao
contınuas) e c ∈ f(U) e um valor regular de f , entao o conjunto
M = f−1(c) = x ∈ U ; f(x) = c
e uma VARIEDADE DIFERENCIAVEL DE DIMENSAO m− 1, o que significara que:
• M e localmente homeomorfo ao espaco IRm−1
• M e “suave” (sera de classe C1)
Dois casos serao de nosso maior interesse:
i) m = 2 : neste caso temos f : U ⊂ IR2 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 1 : M sera uma
curva (de nıvel c)
ii) m = 3 : neste caso temos f : U ⊂ IR3 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 2 : M sera uma
superfıcie (de nıvel c)
Por enquanto nos restringiremos ao segundo caso (superfıcies).
b) Para cada uma das superfıciesM dadas abaixo, faca: um esboco deM , verifique as condicoes
para que o resultado acima enunciado possa ser valido e descreva qual a superfıcie dada.
i) f1(x, y, z) = x− 2y + 3z, M1 = f−11 (3)
ii) f2(x, y, z) = x2 + y2 + z2, M2 = f−12 (4)
iii) f3(x, y, z) = x2 + y2 + z, M3 = f−13 (−1)
iv) f4(x, y, z) = x2 + y2, M4 = f−14 (1)
c) Mostre agora que, nas condicoes do resultado apresentado anteriormente, o vetor gradiente
da funcao f no ponto a ∈ M = f−1(c) e perpendicular a variedade M em a, ou seja, para
todo caminho diferenciavel γ : (−ε, ε) → M em M (sua imagem e uma curva contida em M)
Aplicacoes Diferenciaveis 49
passando pelo ponto a ∈M , o vetor grad f(a) (gradiente de f em a) e perpendicular ao vetor
tangente a curva γ(−ε, ε) em a. Dizemos tambem que o gradiente e perpendicular ao espaco
tangente a M no ponto a (Ta(M), que tem a mesma dimensao de M).
(Sugestao: olhe para a composicao f γ e aplique a Regra da Cadeia)
d) Para cada uma das superfıcies M da letra b) escolha um ponto a ∈M e tente, sem calcular
o gradiente de f em a obter a direcao do gradiente (visualmente mesmo!). Agora calcule o
gradiente de f em a e verifique a validade da letra c) anterior.
9. (Mais superfıcies) Seja f : U(aberto)⊂ IR2 → IR diferenciavel e tal que f ∈ C1(U).
Ja fizemos uma serie de consideracoes a respeito de S = (x, y, f(x, y)) ; (x, y) ∈ U(grafico de f) (ver iii do exemplo I nas notas de aula).
a) Mostre, indo na direcao do resultado utilizado no exercıcio anterior, que S e a imagem
inversa de um valor regular c de uma funcao h = h(x, y, z) de classe C1.
Consequencia importante deste fato: o vetor gradiente de h em um ponto b = (a, f(a)) ∈ S
(obtenha gradh(b)) e o vetor normal ao plano tangente a S em b = (a, f(a)) (Tb(S)).
b) Obtenha as equacoes dos planos tangentes aos graficos das seguintes funcoes nos pontos
especificados abaixo (tente fazer um esboco):
i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto b1 = (−1, 3, 10)
ii) f2(x, y) = x2 − y2 no ponto b2 = (0, 2,−4)
iii) f3(x, y) = cos y no ponto b3 = (2, π,−1)
10. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm um aberto e f : U → IRn. Suponha que
U contem os pontos a, b e o segmento de reta [a, b] que os une, e que f e diferenciavel em
todo ponto de [a, b]. Mostre que existe uma transformacao linear L : IRm → IRn tal que
f(b)− f(a) = L(b− a).
11. (Desigualdade do valor medio) Sejam α > 1 e c ∈ IR. Se f : U → IRn, definida no aberto
U ⊂ IRm cumpre a condicao ‖f(x)− f(y)‖ ≤ c‖x− y‖α para quaisquer x, y ∈ U entao f e
constante em cada componente conexa de U .
12. (Desigualdade do valor medio) Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, b] ⊂ U, f : U → IRn contınua
em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Mostre que para cada y ∈ IRn existe cy ∈ (a, b) tal que
< f(b)− f(a), y > = < f ′(cy)(b− a), y >.
50 CAPITULO 2
13. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm convexo. Dada f : U → IRn diferenciavel,
considere as seguintes afirmacoes:
a) ‖f ′(x)‖ ≤ c para todo x ∈ U ;
b) ‖f(x)− f(y)‖ ≤ c ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ U ;
c) f e uniformemente contınua ;
d) Para todo x0 ∈ clU , existe limx→x0
f(x) ;
e) Se U e limitado entao f(U) e limitado.
Mostre que a ⇔ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e mas as demais implicacoes sao todas falsas.
14. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm aberto conexo. Se f : U → IRn e diferenciavel
e f ′(x) = T (constante) para todo x ∈ U entao existe a ∈ IRn tal que f(x) = T (x) + a.
Capıtulo 3
O Teorema da Aplicacao Inversa
Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.
A essencia do estudo de diferenciabilidade se traduz no fato de que podemos obter in-
formacoes significativas sobre o comportamento de f numa vizinhanca de um ponto a ∈ U
atraves de sua derivada f ′(a) neste ponto (lembremos que f ′(a) : IRm → IRn e uma
transformacao linear).
Por exemplo: sob certas condicoes, temos:
(i) f ′(a) injetiva(m≤n)
=⇒ existe uma vizinhanca V de a tal que f e injetiva em V .
(ii) f ′(a) sobrejetiva(m≥n)
=⇒ existe uma vizinhanca V de a que e “levada” (aplicada) por f
sobre uma vizinhanca W de f(a).
(iii) f ′(a) bijetiva(m=n)
=⇒ existe uma vizinhanca V de a que e “levada” biunivocamente
por f sobre uma vizinhanca W de f(a).
3.1 Preliminares
Lema 3.1. Se T : IRm → IRn e uma transformacao linear (T ∈ L(IRm; IRn) ) INJETIVA
entao existe r > 0 tal que
‖T (x)‖ ≥ r. ‖x‖ ∀ x ∈ IRm
Este e o Exercıcio 7.7 da pagina 70 do Curso de Analise, vol. 2 (Elon) - exercıcio 17 da
primeira lista de exercıcios do Capıtulo 1 (Nocoes Topologicas no IRn).
51
52 CAPITULO 3
A aplicacao derivada e a Classe C1 :
Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.
Definimos a APLICACAO DERIVADA DE f como a aplicacao
f ′ : U → L(IRm; IRn)
x 7→ f ′(x)
Agora questionamos: dado a ∈ U , quando a aplicacao derivada f ′ e contınua em a ?
Para cada x ∈ U vamos identificar f ′(x) com sua Matriz Jacobiana:
Jf(x) =
∂f1
∂x1
(x)∂f1
∂x2
(x) . . .∂f1
∂xm
(x)
∂f2
∂x1
(x)∂f2
∂x2
(x) . . .∂f2
∂xm
(x)
......
...
∂fn
∂x1
(x)∂fn
∂x2
(x) . . .∂fn
∂xm
(x)
onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de f : f = (f1, f2, . . . , fn).
Observamos entao que
∂fi
∂xj
: U → IR
x 7→ ∂fi
∂xj
(x)
i = 1, . . . , n
j = 1, . . . ,m
sao as funcoes coordenadas da aplicacao derivada (de f) f ′ : U → L(IRm; IRn).
Ora, sabemos que uma aplicacao e contınua em um ponto se, e somente se, suas funcoes
coordenadas sao contınuas nesse ponto.
Podemos entao concluir: a aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua em um
ponto a ∈ U se, e somente se, as funcoes∂fi
∂xj
: U → IR sao contınuas em a , para todos
i = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m.
Dizemos que f pertence a classe C1(U) se, e somente se, sua aplicacao derivada
f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua (em todos os pontos de U).
O Teorema da Aplicacao Inversa 53
Veremos agora mais um lema fundamental para os resultados que nos interessam:
Lema 3.2. (Lema de Aproximacao) Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao
diferenciavel e tal que sua aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua em a ∈ U .
Entao, dado ε > 0 , podemos obter δ > 0 tal que
x1, x2 ∈ B [a; δ] ⇒ x1, x2 ∈ U e ‖f(x1)− f(x2)− f ′(a)(x1 − x2)‖ ≤ ε. ‖x1 − x2‖
Prova:
3.2 O Teorema da Aplicacao Injetiva
Teorema 3.3. Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.
Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e uma transformacao linear INJETIVA (em
particular m ≤ n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existe um numero δ > 0
tal que a restricao de f a B[a; δ] e injetiva.
Mais ainda, podemos garantir que a inversa da restricao f∣∣B[a;δ]
e uma aplicacao contınua
de f (B[a; δ]) em B[a; δ].
Demonstracao:
54 CAPITULO 3
Obs.: Note que, apesar de termos um homeomorfismo entre B[a; δ] e f (B[a; δ]) , nao
podemos garantir que f (B[a; δ]) seja uma vizinhanca de f(a) .
Por esta razao nao podemos fazer nenhuma afirmacao sobre a diferenciabilidade da inversa
em f(a).
A seguir veremos um resultado que nos ajudara a ir nessa “direcao”.
3.3 O Teorema da Aplicacao Sobrejetiva
Teorema 3.4. Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.
Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e uma transformacao linear SOBREJETIVA
(em particular m ≥ n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existem numeros
c > 0 e α > 0 tais que, se y ∈ IRn e ‖y − f(a)‖ ≤ α/2c entao existe um x ∈ U tal que
‖x− a‖ ≤ α e f(x) = y , ou seja, f (B[a;α]) e uma vizinhanca de f(a).
O Teorema da Aplicacao Inversa 55
Demonstracao:
56 CAPITULO 3
Obs.: A sobrejetividade de f ′(a) (e a continuidade de f ′ em a) nos garante portanto que
f(a) e ponto interior de f (B[a;α]), sem garantir porem a injetividade de f numa vizinhanca
de a (como era garantido no Teorema da Aplicacao Injetiva).
O Teorema da Aplicacao Inversa 57
Antes de combinarmos estes dois importantes resultados (Teoremas das Aplicacoes In-
jetiva e Sobrejetiva) para obter o Teorema da Aplicacao Inversa, veremos uma importante
consequencia do Teorema da Aplicacao Sobrejetiva:
Corolario 1. (Teorema da Aplicacao Aberta) Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao
tal que f ∈ C1(U) , ou seja, f e diferenciavel e a aplicacao derivada f ′ e contınua (em todo
x ∈ U).
Se f ′(x) e sobrejetiva para todo x ∈ U entao f e uma aplicacao aberta, isto e, f(A) e
um conjunto aberto para todo A (aberto) ⊂ U .
Prova:
3.4 O Teorema da Aplicacao Inversa
O que faremos agora sera combinar os dois teoremas anteriores (Aplicacoes Injetiva e So-
brejetiva) para produzir o Teorema da Aplicacao Inversa.
Apresentaremos tal resultado em duas partes:
Teorema 3.5. Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.
Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e um ISOMORFISMO (transformacao linear
bijetiva - em particular m = n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existe um
numero δ > 0 tal que B[a; δ] e homeomorfa (“por f”) a f (B[a; δ]), f (B[a; δ]) e vizinhanca
de b = f(a) e f−1 = g : f (B[a; δ]) → B[a; δ] e diferenciavel em b = f(a) .
Em particular: g′(b) = [f ′(a)]−1.
58 CAPITULO 3
Demonstracao:
O Teorema da Aplicacao Inversa 59
Mais ainda, se f ∈ C1(U) (aplicacao derivada contınua em U) entao existem vizinhancas
abertas V de a e W de b = f(a) tais que f e um DIFEOMORFISMO entre os abertos V
e W e g = f−1 : W → V ∈ C1(W ).
(f : V → W difeomorfismo significa que e bijecao diferenciavel com inversa diferenciavel)
Demonstracao:
60 CAPITULO 3
3.5 O Teorema da Aplicacao Implıcita
Teorema 3.6. Sejam Ω (aberto) ⊂ IRm × IRn = IRm+n e (a, b) ∈ Ω , de forma que
a = (a1, a2, . . . , am) ∈ IRm e b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn. Seja f : Ω → IRn uma aplicacao,
f = f(x, y) = f(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) , tal que f ∈ C1(Ω) e f(a, b) = r ∈ IRn .
Se
det
[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (y1, y2, . . . , yn)(a, b)
]6= 0
(ou equivalentemente: se L : IRn → IRn dada por L(v) = f ′(a, b)(0, v) e um isomorfismo),
entao existe uma vizinhanca V de (a, b) em IRm × IRn tal que:
(x, y) ∈ V ∩ f−1(r) ⇔ y = ϕ(x) e x ∈ U ,
onde ϕ : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , U e vizinhanca de a, ϕ(a) = b , ϕ ∈ C1(U) e
ϕ′(x) = −[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (y1, y2, . . . , yn)(x, ϕ(x))
]−1
[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (x1, x2, . . . , xm)(x, ϕ(x))
]∀ x ∈ U .
“Descricao Esquematica”:
O Teorema da Aplicacao Inversa 61
Demonstracao:
62 CAPITULO 3
3.6 As classes de diferenciabilidade Ck
Definicao 3.7. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e dita ser de classe Ck
(k = 1, 2, . . .) no aberto U ⊂ IRm quando existem e sao contınuas em U todas as derivadas
parciais de ordem ≤ k das funcoes coordenadas de f . Notacao: f ∈ Ck(U) .
Dizemos que f e de classe C0 se f e contınua.
Dizemos que f e de classe C∞ em U quando f ∈ Ck(U) para todo k = 0, 1, 2, . . . .
Obs.: Dizer que f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, 3, . . .) equivale a dizer que f e diferenciavel e sua
aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e uma aplicacao de classe Ck−1 em U .
Mais tarde, ao estudarmos derivadas de ordem superior, veremos que a condicao acima
ainda e equivalente a dizer que f e k vezes diferenciavel e sua derivada de ordem k, f (k) , e
contınua em U .
O resultado a seguir e um corolario da Regra da Cadeia e fica como exercıcio:
Proposicao 3.8. A composta de duas aplicacoes de classe Ck e tambem de classe Ck.
Exercıcio: Usando o resultado acima, mostre que a inversao de matrizes:
i : GL(IRn) → GL(IRn)
A 7→ A−1
e uma aplicacao de classe C∞ em GL(IRn).
Consequencias importantes (MOSTRE COMO!) dos resultados acima:
Podemos obter, no Teorema da Aplicacao Inversa, f−1 ∈ Ck(W ) , desde que tenhamos
f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, . . .) .
Consequentemente, no Teorema da Aplicacao Implıcita, tambem obtemos ϕ ∈ Ck(U) se
f ∈ Ck(Ω) (k = 1, 2, . . .) .
O Teorema da Aplicacao Inversa 63
3.7 Aplicacao: superfıcies regulares no IR3
Definicao 3.9. Um subconjunto S ⊂ IR3 e uma SUPERFICIE REGULAR quando, para
cada ponto p ∈ S existem uma vizinhanca V de p em IR3 e uma aplicacao χ : U → V ∩ Sdefinida num aberto U ⊂ IR2 tal que:
(1) χ ∈ C∞(U) (χ e “suave”);
(2) χ e um homeomorfismo;
(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.
Obs.: Uma aplicacao χ como acima e dita uma PARAMETRIZACAO LOCAL de S em
(uma vizinhanca de) p. Temos χ = χ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) .
(u, v) ∈ U sao ditas COORDENADAS LOCAIS de S em (uma vizinhanca de) p.
Se p = χ(u0, v0) , χ(u0, v) e χ(u, v0) sao ditas CURVAS COORDENADAS por p.
Dado q ∈ U , temos: Jχ(q) =
∂x
∂u(q)
∂x
∂v(q)
∂y
∂u(q)
∂y
∂v(q)
∂z
∂u(q)
∂z
∂v(q)
Portanto χ′(q) tem posto 2 se, e somente se, χ′(q) e injetora e isto ocorre se, e somente
se, as colunas da matriz acima sao vetores L.I. no IR3 , ou equivalentemente, um dos deter-
minantes abaixo e nao-nulo em q :
det
[∂(x, y)
∂(u, v)
]=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , det
[∂(y, z)
∂(u, v)
], det
[∂(x, z)
∂(u, v)
]
64 CAPITULO 3
Exemplos:
(A) Todo plano π ⊂ IR3 e uma superfıcie regular.
(B) Esfera S2 ⊂ IR3. S2 =
(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 + z2 = 1.
O Teorema da Aplicacao Inversa 65
Obs.: Nao e possıvel obter uma unica parametrizacao para toda a esfera (global), pois
a esfera e um compacto do IR3 e a parametrizacao deve ser um homeomorfismo entre um
aberto U ⊂ IR2 e sua imagem.
Podemos, porem, mapear toda a esfera com apenas duas parametrizacoes:
66 CAPITULO 3
(C) Cilindro: C =
(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 = 1.
(D) Este exemplo vem sob a forma de proposicao (e um caso geral):
Proposicao 3.10. Seja f : U (aberto) ⊂ IR2 → IR uma funcao “suave”(C∞).
Entao o grafico de f : G = (u, v, f(u, v)) ; (u, v) ∈ U e uma superfıcie regular.
O Teorema da Aplicacao Inversa 67
(E) Finalmente relacionamos superfıcies regulares com o Teorema da Aplicacao Implıcita:
Proposicao 3.11. Seja f : Ω (aberto) ⊂ IR3 → IR uma funcao “suave”(C∞).
Se r ∈ IR e um VALOR REGULAR de f , ou seja, f−1(r) nao possui pontos crıticos de
f , entao o conjunto S = f−1(r) e uma superfıcie regular.
68 CAPITULO 3
3.8 Exercıcios
1. Nas condicoes do Teorema da Aplicacao Injetiva (Teorema 3.3), apesar de termos, pela f ,
um homeomorfismo entre B[a; δ] e f(B[a; δ]) , NAO PODEMOS GARANTIR que f leve
uma vizinhanca de a em uma vizinhanca de f(a). Ilustre isto atraves de um contra-exemplo.
2. Nas condicoes do Teorema da Aplicacao Sobrejetiva (Teorema 3.4), apesar de termos
f(B[a;α]) como vizinhanca de f(a) , NAO PODEMOS GARANTIR que f seja injetiva
numa vizinhanca de a. Ilustre isto atraves de um contra-exemplo.
3. Use a Teoria do Capıtulo 3 para mostrar que as projecoes πi : IRm → IR , dadas por
πi(x1, x2, . . . , xm) = xi sao aplicacoes abertas.
4. Se f : U → IR3 e de classe C1 e tem posto 3 em todos os pontos do aberto U ⊂ IR4
entao |f(x)| nao assume valor maximo para x ∈ U .
(Obs.: O posto de f em x e o posto de f ′(x) )
5. Seja f : U → C uma funcao holomorfa, de classe C1, no aberto U do plano complexo.
Se f ′(z0) 6= 0 entao z0 possui uma vizinhanca, restrita a qual f tem uma inversa derivavel
(como funcao complexa), de classe C1.
(Sugestao: “olhe” f como f : IR2 → IR2 e use o Teorema da Aplicacao Inversa)
6. Seja f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (x+ y, 2x+ ay) .
(a) Calcule Df (x, y) e mostre que Df (x, y) e invertıvel se, e somente se, a 6= 2 .
(b) Examine a imagem do quadrado unitario (x, y) ; x, y ∈ [0, 1) quando a = 1, 2, 3.
7. Seja f : IR2 → IR2 a aplicacao que leva o ponto (x, y) no ponto (u, v) dada por
u = x, v = xy .
A aplicacao e um-a-um (injetora) ? f e aplicada sobre todo o IR2 ?
Mostre que se x 6= 0 , entao f leva uma vizinhanca de (x, y) , de modo um-a-um, sobre uma
vizinhanca de (x, xy).
Em que regiao do plano uv a aplicacao f leva o retangulo (x, y) ; 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 ?
Que pontos do plano xy sao levados pela f no retangulo (u, v) ; 1 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 2 ?
8. Seja f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (y, x+ y2) .
Mostre que f ∈ C1(IR2) e que f e invertıvel em alguma vizinhanca de qualquer ponto do IR2.
Esboce a imagem, pela f , das retas x = 0, 1,−1, 2,−2 e y = 0, 1,−1, 2,−2.
Determine a inversa g = f−1 : IR2 → IR2 e verifique que Dg(f(x0, y0)) = [Df (x0, y0)]−1.
O Teorema da Aplicacao Inversa 69
9. Mostre que a composta de duas aplicacoes de classe Ck e tambem de classe Ck.
(Sugestao: INDUCAO, utilizando a observacao logo apos a definicao de classe Ck , alem da
Regra da Cadeia)
Utilizando o resultado acima e o fato de que a inversao de matrizes e uma aplicacao de
classe C∞ em GL(IRn) , conclua que no Teorema da Aplicacao Inversa (Teorema 3.5)
temos f−1 ∈ Ck(W ) , desde que tenhamos f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, . . .) . Conclua tambem
que, no Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 3.6), tambem obtemos ϕ ∈ Ck(U) se
f ∈ Ck(Ω) (k = 1, 2, . . .) .
10. Seja χ : U (aberto)⊂ IR2 → IR3 tal que:
(1) χ ∈ C1(U)
(2) χ : U → χ(U) e BIJECAO;
(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.
Use o Teorema da Aplicacao Inversa para mostrar que χ−1 : χ(U) → U e contınua (o que
implica em χ ser um homeomorfismo).
Sugestao: Para cada ponto p ∈ χ(U) , escolha uma projecao adequada π : IR3 → IR2 ,
use o Teorema da Aplicacao Inversa em π χ e conclua que χ−1 e contınua em p .
11. Uma IMERSAO do aberto U ⊂ IRm no IRp e uma aplicacao diferenciavel f : U → IRp
tal que, para cada x ∈ U , a derivada f ′(x) : IRm → IRp e uma transformacao linear injetiva
(em particular m ≤ p ⇒ p = m+ n ).
A inclusao i : IRm → IRm × IRn dada por i(x) = (x, 0) ∀ x ∈ IRm e o exemplo canonico
de imersao: i e imersao e i ∈ C∞ (verifique).
O objetivo deste exercıcio (dirigido) e mostrar que toda imersao de classe Ck (k ≥ 1) se
comporta localmente (de certa forma) como o exemplo canonico acima.
Seja f : U (aberto)⊂ IRm → IRm+n = IRm × IRn uma imersao de classe Ck (k ≥ 1) .
Dado a ∈ U vamos mostrar que existem abertos V1 3 a no IRm , V2 3 0 no IRn (de modo
que (a, 0) ∈ V1 × V2 (aberto)⊂ IRm × IRn ), W 3 f(a) no IRm+n e existe um difeomorfismo
h : W → V1 × V2 tais que h ∈ Ck(W ) e
(h f)(x) = (x, 0) ∀ x ∈ V1
1) Seja E = f ′(a)(IRm) (imagem de f ′(a) ) ⊂ IRm+n . Conclua que dimE = m e
portanto existe (pelo menos um) subespaco F ⊂ IRm+n com dimF = n e IRm+n = E ⊕ F .
Fixemos uma base β = v1, v2, . . . , vn , base ordenada de F .
70 CAPITULO 3
2) Considere ϕ : U × IRn → IRm+n dada por
ϕ(x, y) = ϕ(x, (y1, . . . , yn)) = f(x) + y1v1 + y2v2 + . . .+ ynvn
e mostre que ϕ ∈ Ck(U × IRn) e ϕ′(a, 0) : IRm+n → IRm+n e um ISOMORFISMO.
3) Use o Teorema da Aplicacao Inversa (Teo 3.5) para obter o difeo h : W → V1× V2 que
atenda as condicoes descritas anteriormente.
Obs.: Podemos obter um resultado mais flexıvel, ou seja, uma composicao que fornece
uma outra inclusao (imersao canonica). Basta considerar ξ : IRm+n → IRm+n dada por
ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm+n) e fazer h = ξ h : W → ξ(V1 × V2) . Assim teremos
(h f)(x) = ξ(x, 0) . ξ representa uma reordenacao na base canonica do IRm+n. Este tipo de
reordenacao sera muito util a frente.
12. De acordo com o enunciado do Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 3.6), obtenha a
expressao da derivada da aplicacao implıcita, ou seja, mostre que
ϕ′(x) = −[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (y1, y2, . . . , yn)(x, ϕ(x))
]−1
[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (x1, x2, . . . , xm)(x, ϕ(x))
]∀ x ∈ U
Sugestao: Use que f(x, ϕ(x)) = r (constante) se x ∈ U e aplique a Regra da Cadeia.
13. Seja F : IR5 → IR2 dada por F (u, v, w, x, y) = (uy + vx + w + x2, uvw + x + y + 1) .
Note que F (2, 1, 0,−1, 0) = (0, 0).
(a) Mostre que podemos resolver F (u, v, w, x, y) = (0, 0) e obter (x, y) = ϕ(u, v, w) para as
solucoes desta equacao, numa vizinhanca de (2, 1, 0) .
(b) Se (x, y) = ϕ(u, v, w) e a solucao na parte (a), obtenha a matriz jacobiana Jϕ(2, 1, 0) .
14. O objetivo agora e obter o Teorema da Aplicacao Implıcita no seu contexto mais geral.
Consideremos Ω (aberto)⊂ IRm+n , c ∈ Ω e f = f(z1, . . . , zm+n) : Ω → IRn uma aplicacao
tal que f ∈ Ck(Ω) (k ≥ 1) e f(c) = r ∈ IRn . Suponhamos ainda que
det
[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)
]6= 0
(observe que agora as variaveis zj1 , . . . , zjn nao sao necessariamente as ultimas)
Notacao: zl1 , . . . , zlm serao as outras variaveis (que nao zj1 , . . . , zjn ) em z = (z1, . . . , zm+n) .
Nosso objetivo e mostrar que existe uma vizinhanca aberta V de c em IRm+n tal que
z ∈ V ∩ f−1(r) ⇔ (zj1 , . . . , zjn) = ϕ(zl1 , . . . , zlm) e (zl1 , . . . , zlm) ∈ U ,
onde ϕ : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , (cl1 , . . . , clm) ∈ U , ϕ(cl1 , . . . , clm) = (cj1 , . . . , cjn) e
ϕ ∈ Ck(U).
O Teorema da Aplicacao Inversa 71
Roteiro:
1) Seja ξ : IRm+n → IRm+n dada por ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm , zj1 , . . . , zjn)
( ξ representa uma reordenacao na base canonica do IRm+n de modo que as ultimas variaveis
passam a ser zj1 , . . . , zjn )
Tomando η = ξ−1 , considere g = f η : ξ(Ω) ⊂ IRm+n → IRn .
Mostre que ξ(Ω) e aberto, g ∈ Ck(ξ(Ω)) e, se considerarmos (x, y) = (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn)
no IRm+n tem-se, para todo i, s = 1, . . . , n :
∂gi
∂ys
(ξ(c)) =∂fi
∂zjs
(c) (use a Regra da Cadeia em g = f η )
Portanto
det
[∂ (g1, g2, . . . , gn)
∂ (y1, y2, . . . , yn)(ξ(c))
]= det
[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)
]6= 0
2) Utilize entao o Teorema 3.6 considerando a aplicacao g = f η : ξ(Ω) → IRn , uma vez
que para g temos
det
[∂ (g1, g2, . . . , gn)
∂ (y1, y2, . . . , yn)(ξ(c))
]6= 0
3) Com o resultado a respeito de g obtido acima, “volte para f”, concluindo a demonstracao
do Teorema da Aplicacao Implıcita na sua forma mais geral.
Obs.: Descreva ainda a expressao para ϕ′(zl1 , . . . , zlm) , dado (zl1 , . . . , zlm) ∈ U .
15. Seja f : IR3 → IR2 dada por f(x, y, z) = (x+ y + z, x− y − 2xz)
(a) Mostre que podemos resolver f(x, y, z) = (0, 0) , obtendo (x, y) = ϕ(z) para as solucoes
desta equacao, numa vizinhanca de z = 0 .
(b) Mostre que Jϕ(0) =
[−1/2
−1/2
](c) Explicite a solucao de (x, y) = ϕ(z) e verifique o resultado da parte (b).
(d) Repita os procedimentos das letras (a), (b) e (c), so que agora obtendo (y, z) = ψ(x)
numa vizinhanca de x = 0 para as solucoes da equacao f(x, y, z) = (0, 0) .
16. Ao demonstrarmos o Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 3.6), utilizamos forte-
mente o Teorema da Aplicacao Inversa (Teorema 3.5). Mostre que ambos os resultados sao
EQUIVALENTES, demonstrando o Teorema da Aplicacao Inversa a partir do Teorema da
Aplicacao Implıcita.
72 CAPITULO 3
17. Uma SUBMERSAO do aberto U ⊂ IRq no IRn e uma aplicacao diferenciavel f : U → IRn
tal que, para cada x ∈ U , a derivada f ′(x) : IRq → IRn e uma transformacao linear sobrejetiva
(em particular q ≥ n ⇒ q = m+ n ).
Uma projecao s : IRm+n → IRn dada por s(z1, . . . , zm+n) = (zj1 , . . . , zjn) ∀ z ∈ IRm+n e
um exemplo canonico de submersao: s e submersao e s ∈ C∞ (verifique).
O objetivo deste exercıcio (dirigido) e mostrar que toda submersao de classe Ck (k ≥ 1)
se comporta localmente (de certa forma) como o exemplo canonico anteriormente descrito.
Seja f : Ω (aberto)⊂ IRm+n → IRn uma submersao de classe Ck (k ≥ 1) .
Dado c ∈ Ω vamos mostrar que existem abertos V 3 c e W do IRm+n e um
difeomorfismo G : W → V de classe Ck(W ) tais que
(f G)(z1, . . . , zm+n) = (zj1 , . . . , zjn) ∀ (z1, . . . , zm+n) ∈ W
1) Como f ′(c) : IRm+n → IRn e sobrejetora, entao Im f ′(c) = IRn . Considerando entao
z = (z1, . . . , zm+n) ∈ IRm+n , existem (mostre) variaveis zj1 , . . . , zjn tais que
det
[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)
]6= 0
Vamos separar a demonstracao em duas partes:
1a PARTE) Caso particular: js = m+s ∀ s = 1, . . . n , ou seja, as variaveis zj1 , . . . , zjn
representam as ultimas n coordenadas de z ∈ IRm+n = IRm × IRn :
2) Sendo c = (a, b) ∈ Ω ⊂ IRm × IRn , consideremos H : Ω → IRm × IRn dada por
H(x, y) = (x, f(x, y)) , H ∈ Ck(Ω) e H ′(c) e isomorfismo.
3) Exatamente como na demonstracao do Teorema da Aplicacao Implıcita (Teo 3.6),
obtenha o difeomorfismo G = H−1 : W → V conforme desejamos: (f G)(x, y) = y .
2a PARTE) Caso geral: as variaveis zj1 , . . . , zjn tais que det
[∂ (f1, f2, . . . , fn)
∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)
]6= 0
nao sao necessariamente as n ultimas:
4) Assim como no exercıcio 14 desta mesma lista, considere ξ : IRm+n → IRm+n dada por
ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm , zj1 , . . . , zjn) e, tomando η = ξ−1 , considere a aplicacao
g = f η : ξ(Ω) ⊂ IRm+n → IRn
5) Aplique a 1a parte a g (mostre antes, como o feito no exercıcio 14, que isto e possıvel) e
finalmente use novamente ξ e η para concluir a demonstracao - o aberto W a ser obtido sera
uma vizinhanca de (d1, . . . , dm+n) , sendo dlk = clk para todo k = 1, . . . ,m e djs = fjs(c)
para todo s = 1, . . . , n ).
O Teorema da Aplicacao Inversa 73
3.9 O Teorema do Posto
Teorema 3.12. (Teorema do Posto)
Seja f : U(aberto) ⊂ IRm+n → IRm+p uma aplicacao de classe Ck (k ≥ 1) que tem posto
m em cada ponto de U , ou seja: f ′(x)(IRm+n) tem dimensao m para cada x ∈ U .
Entao, para cada a ∈ U , existem difeomorfismos α e β , ambos de classe Ck , sendo
α de um aberto de IRm+n sobre uma vizinhanca de a e β de uma vizinhanca aberta de f(a)
sobre um aberto de IRm+p , tais que
β f α (x, y) = (x, 0) ∀ (x, y) ∈ IRm × IRn no domınio de α
Demonstracao:
74 CAPITULO 3
Capıtulo 4
Integrais Multiplas
4.1 A definicao de integral
Definicao 4.1. (Blocos) Um BLOCO m-DIMENSIONAL e um produto cartesiano
A =m∏
i=1
[ai, bi] = [a1, b1]× . . .× [am, bm] ⊂ IRm (ai < bi ∀ i)
de m intervalos compactos [ai, bi] , cada um dos quais se chama uma ARESTA do bloco A.
O VOLUME m-dimensional do bloco A =m∏
i=1
[ai, bi] e, por definicao,
vol. A =m∏
i=1
(bi − ai) .
Definicao 4.2. (Particoes) Uma PARTICAO do bloco A =m∏
i=1
[ai, bi] e um subconjunto
finito do tipo P = P1 × . . .× Pm , onde cada Pi e uma particao do intervalo [ai, bi] .
Uma particao P = P1 × . . . × Pm do bloco A determina uma decomposicao de A em
sub-blocos do tipo B = I1 × . . .× Im , onde cada Ii e um intervalo da particao Pi .
Cada um desses sub-blocos B e dito um BLOCO DA PARTICAO P e escreve-se B ∈ P .
Se P e uma particao de um bloco A, segue que o volume do bloco A e soma dos volumes
de todos os blocos em que a particao P decompoe A
vol. A =∑B∈P
vol. B .
A NORMA |P | de uma particao P =∏Pi e o maior comprimento de um subintervalo
de qualquer das particoes Pi, ou seja, e o maior comprimento das arestas dos blocos B ∈ P .
75
76 CAPITULO 4
Definicao 4.3. (Refinando particoes) Dadas P e Q, particoes do bloco A, dizemos que Q e
MAIS FINA do que P , ou equivalentemente, que Q REFINA P , quando P ⊂ Q .
Se P = P1 × . . . × Pm e Q = Q1 × . . . × Qm , temos P ⊂ Q se, e somente se,
P1 ⊂ Q1 , . . . , Pm ⊂ Qm .(?)
Neste caso ( P ⊂ Q ), cada bloco da particao Q esta contido num unico bloco da particao
P e cada bloco de P e a reuniao dos blocos de Q nele contidos.
Se P =∏Pi e Q =
∏Qi sao particoes do bloco A, a reuniao P ∪ Q NAO E, em
geral, uma particao de A.
Mas existe uma particao P +Q =∏
(Pi ∪Qi) que refina P e Q simultaneamente.
Definicao 4.4. (Somas inferiores e superiores)
Seja f : A→ IR uma funcao real limitada, definida num bloco A ⊂ IRm.
Dada uma particao P do bloco A, a cada bloco B ∈ P associaremos os numeros
mB = inf f(x) ; x ∈ B e MB = sup f(x) ; x ∈ B
com os quais definimos
s(f ;P ) =∑B∈P
mB · vol. B (SOMA INFERIOR de f relativamente a particao P )
S(f ;P ) =∑B∈P
MB · vol. B (SOMA SUPERIOR de f relativamente a particao P )
Dada qualquer particao P , e imediato que s(f ;P ) ≤ S(f ;P ) .
E imediato tambem que se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ A , entao
m · vol. A ≤ s(f ;P ) ≤ S(f ;P ) ≤ M · vol. A
qualquer que seja a particao P do bloco A.
Proposicao 4.5. Se P e Q sao particoes do bloco A ⊂ IRm com P ⊂ Q e f : A → IR e
uma funcao limitada, entao
s(f ;P ) ≤ s(f ;Q) ≤ S(f ;Q) ≤ S(f ;P )
Proposicao 4.6. Seja f : A→ IR limitada. Dadas particoes P e Q do bloco A, tem-se
s(f ;P ) ≤ S(f ;Q) .
Integrais Multiplas 77
Definicao 4.7. (Integral Inferior e Integral Superior)
Seja f : A→ IR uma funcao limitada no bloco A. Definimos:
−
∫A
f(x) dx = supP
s(f ;P ) (INTEGRAL INFERIOR de f )
−∫A
f(x) dx = infP
S(f ;P ) (INTEGRAL SUPERIOR de f )
E imediato dos resultados anteriores que se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ A entao
m · vol. A ≤−
∫A
f(x) dx ≤−∫A
f(x) dx ≤ M · vol. A
Definicao 4.8. (Funcoes (Riemann-)integraveis)
Uma funcao f : A→ IR , limitada no bloco A ⊂ IRm , e dita INTEGRAVEL quando sua
integral inferior e sua integral superior forem iguais.
Esse valor comum e chamado a INTEGRAL de f em A e denotado por∫A
f(x) dx
Teorema 4.9.(?)
A fim de que uma funcao limitada f : A → IR seja integravel no bloco
A ⊂ IRm e necessario e suficiente que, para cada ε > 0 dado, se possa obter uma particao P
do bloco A tal que S(f ;P )− s(f ;P ) < ε .
Definicao 4.10. (Oscilacao)
Se f : X → IR e limitada em X ⊂ IRm , definimos a OSCILACAO de f em X como
wX = w(f ;X) = sup |f(x)− f(y)| ; x, y ∈ X .
Se indicamos por mX e MX respectivamente o ınfimo e o supremo de f em X, temos
wX = MX −mX .
Teorema 4.11. Toda funcao contınua f : A→ IR e integravel.
78 CAPITULO 4
Teorema 4.12.(?)
Sejam f, g : A→ IR funcoes integraveis no bloco A ⊂ IRm . Entao
(a) A funcao f + g e integravel e∫A
[f(x) + g(x)] dx =
∫A
f(x) dx+
∫A
g(x) dx
(b) Para todo c ∈ IR , a funcao c · f e integravel e∫A
(c · f)(x) dx = c ·∫
A
f(x) dx
(c) Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ A entao
∫A
f(x) dx ≥ 0 .
(d) A funcao |f(x)| e integravel e∣∣∣∣∫A
f(x) dx
∣∣∣∣ ≤ ∫A
|f(x)| dx .
Em particular, se |f(x)| ≤ K para todo x ∈ A entao∣∣∣∣∫A
f(x) dx
∣∣∣∣ ≤ K · vol. A .
(e) (Valor medio para integrais) Se f e contınua, existe c ∈ A tal que∫A
f(x) dx = f(c) · vol. A .
Uma consequencia interessante do Teorema acima:
Toda funcao (limitada) f : A→ IR pode ser escrita como a diferenca f = f+ − f− entre
duas funcoes nao-negativas naturais:
f+ : A→ IR e chamada a PARTE POSITIVA de f ( f+(x) = max f(x), 0 ).
f− : A→ IR e chamada a PARTE NEGATIVA de f ( f+(x) = −min f(x), 0 ).
Temos:
f+(x) =|f(x)|+ f(x)
2, f−(x) =
|f(x)| − f(x)
2e f(x) = f+(x)− f−(x) ∀ x ∈ A .
Segue do Teorema acima que f e integravel se, e somente se, f+ e f− sao ambas
integraveis.
Integrais Multiplas 79
4.2 Caracterizacao das funcoes (Riemann-) integraveis
Embora ja tenhamos no Teorema 4.9 uma caracterizacao para as funcoes integraveis em
blocos, nos interessa ainda obter uma caracterizacao que “funcione melhor” no sentido de
fornecer condicoes (necessarias e suficientes) de integrabilidade que sejam mais simples de se
analisar.
Para tal, introduziremos os conceitos de oscilacao de uma funcao em um ponto e de con-
juntos de medida nula, com os quais iremos trabalhar nessa nova caracterizacao que estamos
buscando.
Oscilacao de uma funcao em um ponto:
Seja f : X ⊂ IRm → IR uma funcao limitada. Fixemos x ∈ X .
Para cada δ > 0 , consideremos
wf (x; δ) = wf [X ∩B(x; δ)] = w(f ;X ∩B(x; δ) )
(oscilacao de f no conjunto X ∩B(x; δ) )
Nos interessa fazer δ → 0 .
E claro que wf (x; δ) , como funcao de δ , e monotona (nao-decrescente).
E tambem obvio que 0 ≤ wf (x; δ) ≤ wf = wf (X) ∀ δ > 0 .
⇓
Existe o limite
wf (x) = limδ→0
wf (x; δ) = infδ>0
wf (x; δ) ,
que definimos como a OSCILACAO DE f NO PONTO x.
Algumas propriedades:
• wf (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X .
• wf (x) = 0 se, e somente se, f e contınua no ponto x.(?)
• Se x ∈ intY e Y ⊂ X , entao wf (x) ≤ wf (Y ) .(?)
80 CAPITULO 4
Conjuntos de medida nula:
Definicao 4.13. (Conjuntos de medida nula)
Dizemos que um conjunto X ⊂ IRm tem MEDIDA NULA quando, para cada ε > 0 ,
e possıvel obter uma cobertura (enumeravel) X ⊂⋃k∈IN
Ak de X por blocos m-dimensionais
abertos Ak tais que a soma de seus volumes e∑
k
vol. Ak < ε .
Observacoes:
- Um BLOCO m-DIMENSIONAL ABERTO e um produto cartesiano
A =m∏
i=1
(ai, bi) = (a1, b1)× . . .× (am, bm) ⊂ IRm (ai < bi ∀ i)
de m intervalos abertos e limitados (ai, bi) , e cujo volume e dado por vol. A =m∏
i=1
(bi−ai) .
- Na definicao de conjunto de medida nula podemos usar tambem blocos fechados.
- Todo conjunto finito tem medida nula.
- Todo conjunto enumeravel tem medida nula.
- O conjunto de Cantor K ⊂ IR (nao-enumeravel) tem medida nula.
Algumas propriedades:
• Todo subconjunto de um conjunto de medida nula tem tambem medida nula.
• Toda REUNIAO ENUMERAVEL de conjuntos de medida nula e ainda um conjunto
de medida nula.(?)
• Seja A ⊂ IRm um bloco m-dimensional.
Dada qualquer cobertura enumeravel A ⊂⋃k∈IN
Ak de X por blocos abertos Ak tem-se∑k
vol. Ak ≥ vol. A > 0 . Em particular, A nao tem medida nula.(?)
• Se X ⊂ IRm tem medida nula, entao intX = φ .(?)
Integrais Multiplas 81
Caracterizacao das funcoes integraveis (em blocos)
Teorema 4.14. (Lebesgue)
Uma funcao f : A→ IR , limitada no bloco m-dimensional A ⊂ IRm , e integravel (em A)
se, e somente se, o conjunto Df dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula.
Demonstracao:
(⇐) Suponhamos que Df = x ∈ A ; f e descontınua em x tenha medida nula.
Seja dado ε > 0 .
Se w = supf A − inff A e a oscilacao de f em A, temos que existe uma colecao
enumeravel Dk de blocos m-dimensionais abertos Dk tais que
Df ⊂⋃k
Dk e∑
k
vol. clDk <ε
2w.
Por outro lado, dado x ∈ A\Df (f e contınua em x), temos que existe δx > 0 tal que
wf [A ∩B(x; δx) ] <ε
2 vol. A.
Consideremos entao um blocom-dimensional aberto Cx tal que x ∈ Cx e clCx ⊂ B(x; δx).
E imediato que A ⊂⋃k
Dk ∪⋃
x 6∈Df
Cx e cobertura aberta do conjunto compacto A .
Essa cobertura admite portanto uma subcobertura finita
A ⊂ Dk1 ∪ . . . ∪Dkm ∪ Cx1 ∪ . . . ∪ Cxl
Consideremos agora a particao P do bloco A obtida “prolongando-se as faces dos blocos
da subcobertura acima”.
82 CAPITULO 4
Vamos denotar por Bα os blocos da particao P que estao contidos em algum clDk
original e por Bβ os demais blocos da particao P .
Temos entao:
S(f ;P )− s(f ;P ) =∑
i
wi · vol. Bi =∑
α
wα · vol. Bα +∑
β
wβ · vol. Bβ ≤
=∑
α
w · vol. Bα +∑
β
ε
2 vol. A· vol. Bβ =
= w ·∑
α
vol. Bα +ε
2 vol. A·∑
β
vol. Bβ <
= w ·∑
vol. clDk +ε
2 vol. A· vol. A <
< w · ε
2w+
ε
2 vol. A· vol. A = ε
Segue do Teorema 4.9 que f e integravel.
(⇒) Suponhamos agora que a funcao limitada f : A→ IR seja integravel.
Seja Df o conjunto dos pontos de descontinuidade de f .
Queremos mostrar que Df tem medida nula.
Para cada k ∈ IN , definimos: Dk =
x ∈ A ; wf (x) ≥
1
k
.
Temos entao:
Df =⋃k
Dk .
Se mostrarmos que cada Dk tem medida nula, e claro que Df tambem tera medida nula.
Fixemos portanto k ∈ IN .
Seja dado ε > 0 .
Como f e integravel, e possıvel obter uma particao P do bloco A tal que
∑B∈P
wB · vol. B <ε
2k.
Integrais Multiplas 83
Vamos denotar por Bα os blocos da particao P que tem algum ponto de Dk no seu
interior.
Consideremos tambem o conjunto F =⋃
B∈P
frB .
E claro que
Dk ⊂⋃α
Bα ∪ F .
O conjunto F =⋃
B∈P
frB tem medida nula(?)
(verifique) e portanto existe uma colecao
enumeravel Cβ de blocos m-dimensionais tais que
F ⊂⋃β
Cβ e∑
β
vol. Cβ <ε
2.
Para cada um dos blocos Bα , temos wBα ≥1
kpois cada um desses blocos tem um ponto
de Dk no seu interior.
Temos entao
1
k
∑α
vol. Bα ≤∑
α
wBα · vol. Bα ≤∑B∈P
wB · vol. B <ε
2k,
de onde tiramos: ∑α
vol. Bα <ε
2.
Juntando os resultados obtidos, obtemos finalmente:
Dk ⊂⋃α
Bα ∪⋃β
Cβ , com
∑α
vol. Bα +∑
β
vol. Cβ < ε .
Logo Dk tem medida nula (para todo k ∈ IN ) e podemos concluir portanto que
Df =⋃k
Dk tem medida nula.
84 CAPITULO 4
4.3 Integrabilidade em domınios mais gerais
Volume segundo Jordan (Conjuntos J-mensuraveis)
Definicao 4.15. (Funcoes caracterısticas)
A FUNCAO CARACTERISTICA do subconjunto X ⊂ Y e a funcao χX : Y → IR dada
por χX(x) =
1 se x ∈ X0 se x 6∈ X
Definicao 4.16. (Conjuntos J-mensuraveis e seus volumes)
Um conjunto limitado X ⊂ IRm e dito J-MENSURAVEL quando, tomando-se um bloco
m-dimensional A ⊂ IRm com X ⊂ A , a funcao caracterıstica χX : A→ IR; e integravel.
Neste caso (X J-mensuravel) definimos o VOLUME de X pondo
vol. X =
∫A
χX(x) dx
Teorema 4.17. Um conjunto limitado X ⊂ IRm e J-mensuravel se, e somente se, sua
fronteira frX tem medida nula.
Demonstracao:
Integrais Multiplas 85
Exemplos e observacoes:
• E imediato a partir do Teorema anterior que o fato de um conjunto X ⊂ IRm ser
J-mensuravel (bem como o valor de seu volume) independe do bloco A ⊃ X tomado na
definicao.
• Todo bloco m-dimensional A ⊂ IRm e J-mensuravel e seu volume segundo Jordan
coincide com o volume antes definido apenas para blocos m-dimensionais no IRm .(?)
• Considerando que toda variedade diferenciavel M ⊂ IRm de classe C1 e dimensao
< m tem medida nula (por exemplo, as superfıcies regulares que estudamos anteriormente,
sao variedades diferenciaveis de classe C∞ e dimensao 2 no IR3 ), podemos concluir:
Um conjunto limitado X ⊂ IRm cuja fronteira e uma reuniao enumeravel de variedades
diferenciaveis de classe C1 e dimensoes < m e J-mensuravel.
Em particular, toda bola (aberta ou fechada) no IRm e J-mensuravel, pois sua fronteira e
uma esfera de dimensao m− 1 .
• Se X ⊂ IRm e J-mensuravel, temos:
vol. X = 0 ⇔ X tem medida nula ⇔ intX = φ(?)
Em geral, X ⊂ IRm pode ter medida nula sem ser J-mensuravel.(?)
Em geral, X ⊂ IRm pode ter interior vazio sem ter medida nula.(?)
Teorema 4.18. Sejam X, Y subconjuntos J-mensuraveis do bloco A ⊂ IRm . Entao:
a) X ∪ Y , X ∩ Y e A\X sao J-mensuraveis;
b) vol. (X ∪ Y ) + vol. (X ∩ Y ) = vol. X + vol. Y .
Corolario 1. Se X e Y sao J-mensuraveis e int (X ∩ Y ) = φ entao
vol. (X ∪ Y ) = vol. X + vol. Y .
86 CAPITULO 4
Integracao em domınios J-mensuraveis
Definicao 4.19. (Integrabilidade em domınios J-mensuraveis)
Seja f : X → IR uma funcao limitada no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .
Consideremos um bloco A ⊂ IRm que contenha X e a extensao de f a uma funcao
f : A→ IR dada por f(x) =
f(x) se x ∈ X
0 se x ∈ A\X.
Dizemos que f : X → IR e INTEGRAVEL quando a funcao f : A→ IR dada acima for
integravel e definimos ∫X
f(x) dx =
∫A
f(x) dx
Teorema 4.20. (Caracterizacao das funcoes integraveis)
Seja X ⊂ IRm um conjunto J-mensuravel.
Uma funcao limitada f : X → IR e integravel se, e somente se, o conjunto Df de seus
pontos de descontinuidade tem medida nula.
Demonstracao:
Se f e descontınua em x ∈ X , entao f tambem e descontınua em x. Daı segue Df ⊂ Def .
Se f e descontınua em x, entao x ∈ Df ou x ∈ frX . Logo Def ⊂ Df ∪ frX .
Podemos escrever portanto
Df ⊂ Def ⊂ Df ∪ frX .
Como frX tem medida nula (X e J-mensuravel), temos que
Df tem medida nula ⇔ Def tem medida nula
e o resultado segue.
Note que, a partir da demonstracao acima, a integrabilidade de f nao depende do bloco
A ⊃ X tomado para a construcao da extensao f .
Mostra-se tambem que o valor da integral nao depende do bloco A ⊃ X tomado para a
construcao da extensao f .(?)
Integrais Multiplas 87
Teorema 4.21. Sejam f, g : X → IR integraveis no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .
Entao:
(a) A funcao f + g : X → IR e integravel e∫X
[f(x) + g(x)] dx =
∫X
f(x) dx+
∫X
g(x) dx
(b) Para todo c ∈ IR , a funcao c · f : X → IR e integravel e∫X
(c · f)(x) dx = c ·∫
X
f(x) dx
(c) Se f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ X entao
∫X
f(x) dx ≥∫
X
g(x) dx .
Em particular, se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ X entao
m · vol. X ≤∫
X
f(x) dx ≤ M · vol. X .
(d) A funcao |f(x)| e integravel e∣∣∣∣∫X
f(x) dx
∣∣∣∣ ≤ ∫X
|f(x)| dx .
Em particular, se |f(x)| ≤ K para todo x ∈ X entao∣∣∣∣∫X
f(x) dx
∣∣∣∣ ≤ K · vol. X .
(e) (Valor medio para integrais) Se f e contınua e X e conexo, entao existe c ∈ X tal que∫X
f(x) dx = f(c) · vol. X .
Teorema 4.22. Sejam X, Y ⊂ IRm conjuntos J-mensuraveis. Uma funcao f : X ∪ Y → IR
e integravel se, e somente se, suas restricoes a X e a Y sao integraveis. Em caso afirmativo,
temos ∫X∪Y
f(x) dx+
∫X∩Y
f(x) dx =
∫X
f(x) dx+
∫Y
f(x) dx
Corolario 1.(?)
Seja f : X → IR integravel no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .
Se Y ⊂ X e J-mensuravel e X\Y tem interior vazio, entao
∫X
f(x) dx =
∫Y
f(x) dx .
88 CAPITULO 4
4.4 Somas de Riemann
Definicao 4.23. (Decomposicoes pontilhadas)
Seja X ⊂ IRm um conjunto J-mensuravel.
Uma DECOMPOSICAO de X e uma colecao finita D = X1, X2, . . . , Xk de conjuntos
J-mensuraveis tais que X = X1 ∪ . . . ∪Xk e int (Xi ∩Xj) = φ se i 6= j .
A NORMA da decomposicao D e o numero ‖D‖ = maior diametro dos conjuntos Xi ∈ D .
Uma DECOMPOSICAO PONTILHADA de X e um par D∗ = (D, (ξi) ) , onde
D = X1 ∪X2 ∪ . . . ∪Xk e uma decomposicao de X ,
ξ1 ∈ X1 , ξ2 ∈ X2 , . . . , ξk ∈ Xk .
Definicao 4.24. (Somas de Riemann)
A SOMA DE RIEMANN de f relativamente a decomposicao pontilhada D∗ = (D, (ξi) )
e definida por ∑(f ;D∗) =
k∑i=1
f(ξi) · vol. Xi .
Teorema 4.25. (A integral como limite de somas de Riemann)
Seja f : X → IR uma funcao limitada no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .
A fim de que f seja integravel e necessario e suficiente que exista o limite I = lim‖D‖→0
∑(f ;D∗) .
No caso afirmativo, temos ∫X
f(x) dx = lim‖D‖→0
∑(f ;D∗) .
Demonstracao: (Ver Elon: Curso de Analise, vol. 2)
Obs.: A existencia do limite acima significa que, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter
δ > 0 tal que ∣∣∣∣ ∫X
f(x) dx −∑
(f ;D∗)
∣∣∣∣ < ε
seja qual for a decomposicao D de X com ‖D‖ < δ e seja qual for a maneira D∗ de pontilhar
essa decomposicao.
Referencias
[1] Bartle, Robert G., Elementos de Analise Real
[2] Lima, Elon L., Curso de Analise, vol. 2
[3] Lima, Elon L., Analise no Espaco IRn
89