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8/19/2019 Notas de Microeconomía 1 de Zambrano y Guerra.pdf

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Notas de Microeconomía IUniversidad del Rosario

Andrés Zambrano José Alberto Guerra Ángela Sánchez

September 18, 2006


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Contents

Introducción ix

I Teoría del Consumidor 1

1 Nociones Primitivas 31.1 Mercancías y precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Conjunto de consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Conjunto presupuestal (restricción presupuestaria ) . . . . . . . . 7

1.3.1 Numerario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Variaciones de la recta presupuestaria . . . . . . . . . . . 10

2 Preferencias y su Representación 15

2.1 Relaciones de preferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Axiomas de la teoría del consumidor . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Representación de las Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Utilidad Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Tasa Marginal de Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Elasticidad de Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Algunas funciones de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.1 Preferencias Homotéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2 Preferencias Cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.3 Preferencias que no cumplen supuestos tradicionales . . . 322.7 Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7.1 Preferencias especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Elección del Consumidor 37

3.1 Problema de Maximización de la Utilidad (PMU ) . . . . . . . . . 373.1.1 Planteamiento del problema y de su solución . . . . . . . 383.1.2 Propiedades de la demanda marshalliana (x( p; w)) . . . . 453.1.3 Propiedades de la Utilidad Indirecta (v( p; w)) . . . . . . . 47

3.2 Problema de Minimización del Gasto (PMG ) . . . . . . . . . . . 49

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iv CONTENTS

3.2.1 Planteamiento del problema y de su solución . . . . . . . 493.2.2 Propiedades de la Demanda Hicksiana . . . . . . . . . . . 53

3.2.3 Propiedades de la función de gasto . . . . . . . . . . . . . 543.3 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1 Función de Utilidad Indirecta y Función de Gasto Mínimo 57

3.3.2 Demanda Marshaliana y Demanda Hicksiana . . . . . . . 58

3.3.3 Demanda Hicksiana y Función de Gasto . . . . . . . . . . 593.3.4 Demanda Marshaliana y la Función de Utilidad Indirecta 59

3.4 Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.1 Efecto de los impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.2 Recuperación de las Preferencias . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Funciones de Demanda 63

4.1 Demandas individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.1 Demanda Marshaliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.2 Demanda Hicksiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.3 Ecuación de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.4 Medidas de bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Demanda Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Obtención de la demanda agregada . . . . . . . . . . . . . 934.2.3 Tipos de curva de demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.4 Desplazamientos de la curva de Demanda Agregada . . . 944.2.5 Bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Preferencia Revelada 995.1 El Axioma Débil de Preferencia Revelada . . . . . . . . . . . . . 99

5.1.1 Ley de demanda compensada . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1.2 Ecuación de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.3 Recuperación de preferencias a partir de la preferencia

revelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 El axioma fuerte de la preferencia revelada . . . . . . . . . . . . 1095.3 Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.1 Los números índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 Elección Intertemporal 1136.1 Restricción presupuestaria intertemporal . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.1 Construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.1.2 In‡ación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1.3 Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2 Preferencia por el consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . 1176.3 La solución y estática comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


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CONTENTS v

6.3.1 Preferencia revelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.2 Ecuación de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7 Elección bajo incertidumbre 121

7.1 Teoría de la Utilidad Esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.1 Preferencias entre loterias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.2 Discusión sobre la teoría de la utilidad esperada . . . . . 124

7.2 Loterias y Aversión al Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2.1 Cómo medir la aversión al riesgo . . . . . . . . . . . . . . 1287.2.2 Información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

II Teoría del Productor 131

8 Producción 133

8.1 Conjuntos de producción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.1.1 Propiedades de los conjuntos de producción . . . . . . . . 1358.1.2 De…niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9 Maximización de los bene…cios 143

9.1 El principio de Le Chatelier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2 Axioma débil de la maximización de bene…cio . . . . . . . . . . . 148

10 Problema de la minimización del costo 151

11 Maximización de bene…cios a partir de la producción 155

11.1 Competencia Perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.2 Competencia Imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

12 Dualidad Teoría del Productor 159

12.1 Recuperación de la Función de Producción. . . . . . . . . . . . . 16012.1.1 Enfoque grá…co de la Dualidad: . . . . . . . . . . . . . . . 162

13 La Geometría del Costo y de la Oferta en el caso de un soloproducto 163

13.1 Diferencia entre el Corto y Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . 16313.1.1 Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16313.1.2 Corto Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

13.2 Relación entre el corto y el largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . 169


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vi CONTENTS

III Equilibrio Parcial 175

14 Equilibrio Competitivo 17714.1 El equilibrio en el corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17914.2 El equilibrio en el largo plazo y con libre entrada . . . . . . . . . 18014.3 El control de los precios, los impuestos y cuotas de producción . 183

14.3.1 El control de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18314.3.2 Los impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185


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Prefacio

La economía, como ciencia social, estudia las distintas interrelaciones que ocur-ren entre los agentes de una sociedad en el contexto de un mercado. Quizá laparticularidad de esta ciencia, que la distingue de las otras ciencias sociales, sonlos instrumentos de los que se vale para lograr su objetivo: el uso formal de lasmatemáticas y la estadística. Sin embargo, esta ciencia no es autocontenida nitampoco logra describir perfectamente la complejidad de estas interrelaciones.Es por esto que es necesaria la interdisciplinariedad de la economía con otrasciencias sociales y con las ciencias exactas. Esta interdisciplinariedad ha sidoparticularmente importante en los últimos años, prueba de esto es que varios delos últimos premios Nobel de Economía han sido cientí…cos que han incursion-ado en esta ciencia a través de ciencias sociales como la psicología, o a travésde ciencias exactas como la matemática y la estadística.

Dentro de la Economía, la Microeconomía es cada vez más importante en eldesarrollo de la teoría. Lograr comprender el funcionamiento del mercado desdelos agentes es cada vez más necesario para comprender los distintos problemasque se formulan en el ámbito macroeconómico.

En el mercado se consiguen una gran variedad de libros de Microeconomía,cada uno de ellos di…eren en los enfoques, el nivel de profundización y en lostemas que abordan. Mientras existen unos con un nivel avanzado de matemáti-cas y son el texto guía de maestrías y doctorados con un buen nivel, existenotros que dan las nociones de la microeconomía de una manera básica y no muyformal, que están diseñados para el pregrado. El propósito de este libro es crearun texto con un nivel intermedio dedicado únicamente a los temas del consum-idor, productor y equilibrio parcial, temas que han sido reconocidos como losprimeros al momento de enseñar la microeconomía. En principio, este libro hasido diseñado como guía para los primeros cursos de Microeconomía en la Uni-versidad del Rosario. Esperamos que éste sea de ayuda, se difunda y pueda serusado por otras personas.

Ya que a lo largo del texto se quiere dar una formulación de la teoría con un

grado de formalidad considerable, el libro se destaca porque en el texto principalse seguirá la descripción de la teoría teniendo en cuenta las interpretaciones delos conceptos y en los pies de página se hará énfasis en la descripción matemáticade dichos conceptos y algunas demostraciones de los teoremas. Esto se hace conel …n de permitir hacer su lectura de acuerdo a las necesidades de quién lo utilice.De esta forma, se recomienda la lectura cuidadosa de los pies de página para

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Introducción

Las notas se componen de un resumen comprehensivo de los principales textosde Microeconomía seguidos por los programas de pregrado y posgrado de lasprincipales universidades en todo el mundo. Este libro se concentra principal-mente en la teoría neoclásica que es hasta ahora la más aceptada. Aunque estateoría ha sido largamente criticada,1 también es cierto que ha demostrado ciertasolidez a lo largo del desarrollo de la teoría económica.

La teoría económica se caracteriza por imponer bastante estructura a losmodelos, en otras palabras, se encarga de establecer un buen número de supuestos.Muchos de ellos no son ciertos en la realidad, sin embargo se hacen necesarioscuando queremos focalizar nuestra atención en una situación en particular. Sibien la exclusión de un supuesto irreal puede acercar más a la realidad el mod-elo, también es cierto que esta relajación del supuesto puede llevar a que estecomplique de forma innecesaria, es decir, puede que se lleguen a resultadossimilares pero utilizando herramientas mucho más so…sticadas, en este caso notiene sentido excluir dicho supuesto. El problema de los supuestos se da cuandola exclusión pueda llevar aconclusiones signi…cativamente distintas.Al respecto,

Friedman sugirió que lo importante no era que la teoría re‡ejará todos los pro-cesos que involucraba la elección; por el contrario, debería examinarse si losresultados que arroja la teoría son los mismos que suceden en la realidad. Porlo tanto, lo interesante será poder demostrar que el agente se comporta como si ("as if" ) cumpliera lo que dice la teoría.

Este libro continua con esta …losofía aunque desde una perspectiva crítica.Aquí se señalan las distintas críticas que se han hecho a la teoría y algunas de lasextensiones que se han hecho con el …n de corregir algunas de las diferencias entrela teoría y la realidad y volverla más útil. El texto se divide en tres secciones:teoría del consumidor, teoría del productor y equilibrio parcial. La primerasección estudia el comportamiento del consumidor y los procesos que lleva a cabopara realizar su elección. La segunda sección se centra en el comportamientode las …rmas y los distintos problemas que debe solucionar. La última sección

muestra cómo interáctuan el consumidor y el productor en el mercado desde laperspectiva del equilibrio parcial.

1 Ver por ejemplo corrientes heterodoxas como el institucionalismo y el evolucionismo.

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x INTRODUCCIÓN


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Part I

Teoría del Consumidor

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Chapter 1

Nociones Primitivas

"Often, you will notice we make certain assumptions purely for the sake of mathematical expediency. The justi…cation for proceeding this way is simple, and itis the same in every other branch science. These abstractions from "reality" allow us

to bring to bear powerful mathematical methods that, by the rigor of the logicaldiscipline they impose, help extend our insights into areas beyond the reach of our

intuition and experience" Jehle y Reny (2001)

(Resumen de: Cap. 1 Jehle y Reny, Cap. 2 MWG, Cap. 2 Varian,Economía Intermedia, Cap. 2 Debreu)

La teoría del consumidor neoclásica describe el comportamiento de los indi-viduos teniendo en cuenta que éste se encuentra en una economía de mercado, esdecir, en un escenario donde los bienes y servicios que un consumidor adquiere

están disponibles para la compra. De esta forma, el problema de un consum-idor puede resumirse como la elección de varios bienes y servicios que estándisponibles en el mercado. Es por eso que antes de comenzar debemos de…nirestos bienes y servicios, los cuales se llamarán mercancías, y a cada una de el-las le asociaremos un precio. La elección de varias mercancías la llamaremoscanasta.

Ahora bien, no todos tenemos acceso a toda clase de mercancías o inclusopodemos tener un acceso limitado solo a determinadas cantidades de estas.Teniendo en cuenta este hecho se de…nirá entonces el conjunto de consumo,de…nido este como la colección de canastas que la persona realmente puedealcanzar.1 Posteriormente introduciremos la noción de conjunto presupuestalcomo todas las canastas que la persona puede comprar dada su riqueza. Acontinuación, se hablará del conjunto de posibilidades de consumo que resulta deintersectar el conjunto de consumo con la restricción presupuestal. Las canastasque se encuentran en este conjunto serán nuestro centro de atención ya queel problema que debe resolver el consumidor, desde el punto de vista de lamicroeconomía, es escoger la canasta que se encuentre en este conjunto que más

1 Note que esto no tiene nada que ver con la riqueza del individuo.

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4 CHAPTER 1. NOCIONES PRIMITIVAS

le satisfaga. Por último, nos concentraremos en describir las posibles variacionesdel cojunto presupuestal debido a cambios en precios, ingreso o la existencia de

impuestos o subsidios.

1.1 Mercancías y precios

Para la de…nición de estos conceptos primero debemos de…nir un número …nitode intervalos de tiempo que deben estar numerados en orden cronológico de talforma que el presente sea el primer periodo. De una forma similar, el espaciodebe estar subdividido en un número …nito de regiones (lugares). Los bienesy servicios, distinguidos según sus características físicas, tiempo y lugar, sellamarán mercancías. Por ejemplo, una barca de madera en una costa es unamercancía distinta a una barca de madera en el desierto. Más aún, una bufandagris en Paris en verano es distinta a la bufanda gris en Paris en invierno.2

Por simplicidad se asumirá que el número de mercancías es …nita e igual a L,indexados según ` = 1;:::;L. La cantidad de una mercancía se expresa medianteun número real.3 Una canasta de mercancías (o acción) puede ser expresadamediante el vector x = (x1; x2;:::;xL) que pertenece a RL4 y será una lista delos montos de las distintas mercancías, donde xl es la cantidad del bien l quepiensa adquirir. A RL se le llamará espacio de mercancías.

Example 1 Suponga que en un mercado existe 4 mercancías: panes de la panadería del barrio hecho el día de hoy, panes de la panadería del barrio hechoayer en la tarde, balones de fútbol nuevos marca Golty y botellas de agua de 500 ml. De esta forma, el espacio de mercancías está representado por R4. Así,el punto x = (2; 2; 1; 0) 2 R4 indica una canasta que contiene dos panes de la

panadería del barrio hecho el día de hoy, dos panes de la panadería del barriohecho ayer en la tarde, un balón de fútbol nuevo marca Golty y ninguna botella de agua de 500 ml.

Por simplicidad y mejor entendimiento, usualmente el análisis se realizarápara dos bienes, i.e L = 2 (por tanto una canasta será un punto en el espacioR2). Aun cuando se pierde información, esto puede resultar útil cuando sequiere analizar el comportamiento de una mercancía ya que las demás se puedenagregar como una única mercancía. Por ejemplo, si se quiere analizar en detallela demanda de balones de fútbol nuevos marca Golty, vale la pena trabajar conesta mercancía y otra que agregue todas las otras mercancías que existan en elmercado.

2 Como lo sugiere Debreu "la descripción temporal y espacial es un tema central en

economía. El estudio de los cambios en las fechas lleva a las teorías del interés, ahorro,inversión y capital, conocido también como …nanzas. El estudio de los cambios en el espaciotiene que ver con las teorías espacial, de transporte, comercio internacional e intercambio".

3 Normalmente se asume que estas cantidades son no negativas. Sin embargo, en algunoscasos, es usual utilizar números negativos para denotar insumos.

4 Recuerde que R = fx : 1 < x < 1g, por tanto R2 = R R = f(x1; x2) : x1 2 R; x2 2Rg y RL = f(x1; x2;:::;xL) : x1 2 R; x2 2 R;:::;xL 2 Rg.


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1.2. CONJUNTO DE CONSUMO 5

Para cada mercancía, digamos h, se asocia un número real, su precio ph.Este puede ser interpretado como la cantidad pagada hoy por un agente por

cada unidad de la mercancía h que le será entregada. Así, un vector de precioses una l-tupla p = ( p1; p2;:::;pL), que también pertenece a RL.5 Estos preciospueden ser los normalmente conocidos pero también pueden ser salarios, rentas,etc. Note que un mismo bien puede tener distintos precios según el tiempo yel lugar donde esté de…nido. En el área de las …nanzas, el mercado de futurosmuestra el precio de distintos bienes que estarán disponibles en el futuro. Porejemplo, un saco de café puede tener un valor distinto si está disponible hoy osi está disponible en algún momento del futuro.

Los precios pueden ser positivos (mercancías escasas), nulos (mercancías li-bres como el aire) o negativos (mercancías nocivas conocidas también comomales, e.g basura). El hecho de que estos precios sean positivos, nulos o nega-tivos no es una propiedad intrínseca de la mercancía; depende del gusto de losagentes, de la tecnología, los recursos, etc. Por ejemplo, durante mucho tiempo,la materia fecal era considerada nociva y la gente pagaba para que esta fueraretirada (precio negativo); sin embargo, debido a nuevas tecnologías, esta puedeutilizarse como abono para plantas de tal forma que en algunas partes se pagaun precio positivo por esta.

El valor de una canasta es la cantidad de dinero que un individuo debe pagaren el mercado para adquirir dicha canasta. Dadas las anteriores de…niciones,podemos calcular el valor de una canasta mediante el producto interno p x, esdecir,

PLl=1 plxl.

Example 2 Continuando el ejemplo anterior, suponga que el vector de precios de este mercado es p = (2; 1; 5; 1). Note que el pan viejo vale la mitad que lo que vale el pan nuevo e igual que la botella de agua. Si el individuo quiere comparar la canasta antes mencionada, x = (2; 2; 1; 0), deberá pagar p x =2 2 + 1 2 + 5 1 + 1 0 = 11.

1.2 Conjunto de consumo

El conjunto de consumo de un individuo esta compuesto por todas las canastasque son posibles de adquirir en el mercado, de tal forma que puede estar limitadopor restricciones físicas. El ejemplo más simple es que a un consumidor le seríaimposible consumir cantidades negativas de pan o de agua. Así, el conjuntode consumo X puede de…nirse como un subconjunto del espacio de mercancías,X RL, siendo L el número de bienes en la economía. Sus elementos son lascanastas de consumo que un individuo puede consumir dadas las restriccionesfísicas impuestas por su ambiente. Por ejemplo, si L = 2, (véase 1.1, la siguiente grá…ca es tomada de MWG (1995)) siendo los bienes carne y ocio en un día,se tendría que ambos bienes deben ser positivos pero además que el consumode ocio en un día no puede superar las 24 horas (véase la siguiente …gura ). De

5 Es por esto que en economía matemática se dice que el espacio de precios es un espaciodual al espacio de mercancías.


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igual manera, el conjunto de consumo entre pan en Bogotá o pan en Cali serácomo se muestra en la grá…ca: existe una imposibilidad de comer un pan en Cali

mientras se está en Bogotá. La siguiente grá…ca plantea el problema cuando elconsumidor requiere un mínimo de consumo de agua y de pan para sobrevivir.La última de las grá…cas muestra cuando uno de los bienes es perfectamentedivisible (x2) y el otro (balones ) únicamente pude ser consumido en cantidadesenteras positivas.

1. 2.Horas de Pan en Ocio Bogotá

24

Carne Pan en Cali3. 4.

Litros de x 2 Agua

4

4 Tajadas de pan 1 2 3 Balones

X X

X

X

Figure 1.1: Conjuntos de consumo

Además de las restricciones físicas que pueden darse, existen algunas re-

stricciones que se deben a legislaciones, como por ejemplo una jornada laboralmáxima, u otras cuestiones.Por ahora, la única restricción que vamos a imponer es que las cantidades

sean no negativas, de esta forma se de…ne

X = RL+ =

x 2 RL : xl 0 para l = 1;:::;L

;

Este conjunto se caracteriza por tener las siguientes propiedades:

1. ; 6= X RL+

2. X es cerrado6

6 Existen varias de…niciones de un conjunto cerrado. Una de ellas es que A se dice cerradosi contiene sus puntos de acumulación. Usualmente el conjunto de puntos de acumulación esdenotado por A 0. Se dice que x 2 A0 si existe una sucesión fxng A tal que xn ! x. Esta

de…nición es equivalente a que si hacemos una bola de cualquier tamaño alrededor de x, enesa bola siempre existirán puntos de A .

Cuidado, que un conjunto no sea cerrado, no signi…ca que este sea abierto. Existen conjuntosque son cerrados y abiertos al mismo tiempo y conjuntos que no son cerrados ni abiertos.De hecho, los conjuntos que no tienen límites son abiertos y cerrados, por ejemplo R. Losconjuntos que tienen varios límites y algunos de estos hacen parte del conjunto mientras queotros no, no son abiertos ni cerrados, por ejemplo [5; 10).


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1.3. CONJUNTO PRESUPUESTAL ( RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA)7

3. X es convexo7

4. 0 2 X 8

La primera propiedad, que el conjunto sea no vacío, nos dice que el conjuntode consumo debe tener por lo menos una canasta. La siguiente propiedad exigeque el conjunto contenga sus límites, si los tiene. La tercera propiedad indicaque si dos canastas se encuentran en el conjunto, la combinación entre ellastambién va a estar allí. La última propiedad permite que el consumidor tomela decisión de no consumir nada.9

La grá…ca 1.1 y la grá…ca 1.3 son conjuntos convexos, mientras que la 1.2y la 1.4 no lo son. Si modi…caramos la grá…ca 1.1 al imponer la restricción deque es obligatorio tomar algo de ocio en el día de tal forma que no fuera posibleescoger un punto a lo largo del eje x donde las cantidades de ocio son cero,estaríamos frente a un conjunto de consumo abierto, pues no contendría dicho

límite.

1.3 Conjunto presupuestal (restricción presupues-taria )

Además de las restricciones físicas anteriormente mencionadas se encuentran lasrestricciones económicas del consumidor, su consumo está limitado por aquellascanastas de consumo que el individuo puede comprar. Se supone que los preciosde las L mercancías son conocidos por todos los agentes del mercado; de igualmanera se asumirá que el vector de precios es estrictamente positivo, esto es

p = ( p1;:::;pl) 0. También se supone que los consumidores no in‡uyen en

lo precios, es decir se comportan como precio aceptantes . Este supuesto esválido cuando la demanda del consumidor por cualquier bien representa sólouna pequeña fracción de la demanda total del bien.

De esta forma, una canasta de consumo depende de dos cosas: los preciosdel mercado p, y el nivel de riqueza del individuo w: Por lo tanto se de…neel conjunto presupuestal (o walrasiano) como Bp;w = fx 2 RL+ : p x wg.Esto signi…ca que la canasta se podrá comprar si su costo no excede su riqueza

7 Un conjunto X se dice convexo si para todo x; x0 2 X entonces x00 = ax + (1 a)x0 2 X para cualquier a 2 [0; 1]. En este caso, x00 se conoce como la combinación convexa entre x yx0.

Note que x00 representa a todos los puntos de la línea que une a x y x0. Entre más seacerque a a 1, más se acerca x00 a x; y entre más se acerque a 0, más se acerca a x0. Paraverlo claramente tome x = (8; 4) y x0 = (4; 8). Cuando a = 1, x00 = x. Si a = 0, x00 = x0.Cuando a = 1=2, x00 = (6; 6), justo en la mitad de los dos puntos. Si a = 1=4, x00 = (5; 7),

más cerca de x0. Y si a = 3=4, x00 = (7; 5), más cerca de x.Así, que un conjunto sea convexo implica que la línea que une a dos puntos cualesquiera de

ese conjunto, debe estar totalmente dentro dicho conjunto.8 Note que el cumplimiento de esta propiedad lleva a que el conjunto sea no vacío (primera

propiedad).9 Para que un conjunto sea de consumo no necesariamente debe cumplir las anteriores

propiedades. Como se vió, los conjuntos de consumo tienen formas diversas.


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(ingreso). Note que este conjunto también cumple las propiedades mencionadasanteriormente para el conjunto de consumo.

La intersección entre el conjunto de consumo y el conjunto presupuestalse denominará el conjunto de posibilidades de consumo. Este conjunto estarácompuesto por todas las canastas que el individuo encuentre disponibles en elmercado y que pueda comprar. Si suponemos que el conjunto de consumo es elortante positivo, como se de…nió antes, entonces el conjunto de posiblidades deconsumo es el mismo conjunto presupuestario. Así, el problema del consumidorpuede ser establecido como escoger una canasta de consumo x de Bp;w.10

Para el caso de dos bienes (el cual, como ya se mencionó anteriormente,demandará gran parte de nuestro curso por facilidad) si se observan los pre-cios ( p1; p2) y la cantidad de dinero que el consumidor tiene para gastar w, larestricción presupuestaria o conjunto presupuestario será

p1x1 + p2x2 w

siendo p1x1 la cantidad de dinero que el consumidor gasta en el bien 1, y p2x2 la cantidad de dinero que gasta en el bien 2, y por tanto la expresiónanterior nos está diciendo que lo que el consumidor gasta en el consumo de losdos bienes no puede superar su riqueza inicial. Por último se entenderá comorecta presupuestaria todas aquellas cestas que cuestan exactamente w:

p1x1 + p2x2 = w

La …gura 3 representa lo anterior.

x2recta presupuestaria

w/p2 p1 x1+p2 x2=w pendiente: -p1 /p2

Conjunto

presupuestario

B p,w

x1 w/p1

Figure 1.2: Recta presupuestaria

Esta ecuación puede reexpresarse como x2 = wp2 p1

p2x1, si el individuo

gastara toda su renta en el bien 1 su consumo sería x1 = wp1 , por tanto los

10 Cuidado, este problema puede no tener solución si dicha intersección entre el conjunto deconsumo y el conjunto presupuestal no existe.


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cortes con los ejes representa la cantidad de cada bien si el individuo decidieragastar todo su ingreso en comprar sólo uno de los bienes.

La pendiente de esta recta es p1=p2 lo que indica cuántas unidades delbien 2 necesita consumir el individuo para satisfacer exactamente la restricciónpresupuestal si reduce su consumo del bien 1 en una unidad, es decir, mide larelación en la que el mercado está dispuesto a sustituir el bien 2 por el bien 1.En términos matemáticos, para derivar esta relación hay que preguntarse si elconsumidor va a aumentar el consumo del bien 1 en 4x1 ¿en cuánto deberá mod-i…car el consumo del bien 2 (4x2) para satisfacer su restricción presupuestal?

Para resolverlo se toma la restricción presupuestal

p1x1 + p2x2 = w

luego se le suman las variaciones en el consumo de cada bien

p1(x1 + 4x1) + p2(x2 + 4x2) = w

luego se restan las ecuaciones anteriores y se tiene que

p1 4 x1 + p2 4 x2 = 0

Esto nos dice que el valor total de la variación de su consumo debe ser cero puesno hay un cambio en el ingreso. Después se halla la pendiente

4x2= 4 x1 = p1=p2

que es la relación a la que puede sutituirse el bien 2 por el 1 satisfaciendo almismo tiempo la restricción presupuestaria. La pendiente de la recta presupues-taria tiene signo negativo ya que si se desea consumir una mayor cantidad delbien 1 tiene que consumirse una cantidad menor del bien 2. Esto puede enten-derse como el costo de oportunidad de consumir el bien 1.

Example 3 Supongamos que solo tenemos pan viejo, cuyo precio es 1, y pan nuevo, cuyo precio es 2. Ahora suponga que el ingreso es de 10. De esta forma,todas las canastas de pan viejo y nuevo que puede comprar esta dada por la ecuación x1 + 2x2 10, donde x1 es pan viejo y x2 es pan nuevo. Así, lomáximo que puede comprar de pan viejo son 10 unidades, mientras la cantidad máxima que puede comprar de pan nuevo son 5 unidades.

1.3.1 Numerario

Teniendo en cuenta lo anterior, suponga que multiplicamos todos los precios y elingreso por la constante s = 1=p2. Así que la ecuación de la recta presupuestalla podemos ver como p1p2 x1 + x2 =

wp2

. Esto puede ser interpretado como que elprecio del segundo bien es uno mientras el precio del primer bien es p1=p211 y su

11 Esto puede ser interpretado como el precio relativo del primer bien con respecto al preciodel segundo bien.


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ingreso w=p2. Como se dijo anteriormente, esta será la misma recta presupues-taria a la que se tenía antes de multiplicar por la constante s. Esto signi…ca

que el consumidor solo se …jará en los precios relativos y uno en los absolutos.Este hecho permitirá que siempre podamos igualar el precio de un bien a unosin perder generalidad en el problema, esto puede llegar a ser útil porque desa-parece un precio y tendremos una variable menos de que preocuparnos. Cuandoel precio de determinado sea igualado a uno este bien se denominará numerario.

1.3.2 Variaciones de la recta presupuestaria

Como vimos, la recta presupuestal depende de los precios y de la riqueza del in-dividuo, y estos a su vez pueden estar afectados por la existencia de impuestos osubsidios. Si estos parámetros cambian entonces el conjunto presupuestal tam-bién debe ser modi…cado. En esta sección mostraremos las distintas variaciones

del conjunto presupuestal.

Variaciones de la renta

Supongamos primero que existe un incremento en la renta percibida del con-sumidor, w0 > w. Esto lleva a que exista un desplazamiento paralelo haciaafuera de la recta como se muestra en la …gura 1.3 e implica que el corte delos ejes sea más lejano al origen, w0=pi > w=pi para i = 1; 2. Este desplaza-miento hace que el nuevo conjunto presupuestal contenga el anterior conjuntopresupuestal, Bp;w Bp;w0 , es decir, el individuo podrá comprar las mismascanastas de antes e incluso unas con cantidades mayores.Si por el contrario ex-iste una disminución de la riqueza, la recta se desplazará paralelamenta haciaadentro. Note que los desplazamientos son paralelos porque la pendiente de la

recta presupuestal se mantiene constante ya que esta no depende de la riqueza,está depende únicamente de los precios y estos no han sido modi…cados.

x2

w’/p2

w/p2

x1

w/p1 w’/p1

Figure 1.3: Variación de la recta presupuestaria ante un aumento en el ingreso


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Variaciones del precio de un bien

Supongamos que el precio del bien 1 aumenta, p0

1 > p1, esto lleva a que existauna rotación de la recta hacia adentro como lo muestra la …gura 1.4. Estohace que el nuevo conjunto presupuestal este contenido en el anterior conjunto,Bp0;w Bp;w, es decir que el individuo ya no puede comprar algunas canastasque antes sí podía comprar. Note que cambia tanto el corte en el eje x1 porqueel precio del bien 2 no ha sido modi…cado, como la pendiente de la recta que sevuelve más acostada. El análisis es análogo si cambiara el precio del bien 2.

x2

w/p2

x1 w/p’ 1 w/p1

Figure 1.4: Variación de la recta presupuestaria ante un aumento de p1

Multiplicar ambos precios por una misma cantidad equivale a dividir la rentapor esa misma cantidad (si se multiplica tanto los precios como la renta por una constante t la recta presupuestaria no varía ).

tp1x1 + tp2x2 = w es lo mismo que p1x1 + p2x2 = w=t

Variaciones simultáneos de precios y renta

También es posible que existan cambios simultáneos en estas variables, puedepasar que cambien solo los precios o que haya un cambio de los precios y dela riqueza al mismo tiempo. En el caso en que cambien solo los precios si

p2 sube más que p1 se da que p1=p2 disminuye en valor absoluto y la rectapresupuestal se tornará más horizontal. En el caso contrario, la pendiente sevolverá más vertical. Si los dos precios cambian en la misma proporción, digamos, la pendiente permanecerá inmovil pero se provocará un desplazamiento dela recta hacia adentro si > 1, en cuyo caso equivale a una disminución del

ingreso, o hacia afuera si 0 < < 1, lo cual equivaldría a un aumento del ingreso.Para ver esto note que la nueva restricción presupuestaria puede escribirse comop1x1 + p2x2 = w, que es lo mismo que p1x1 + p2x2 = w=, donde w= < wsi > 1 o w= > w si 0 <


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En el caso en que w disminuye y p1 y p2 aumentan, disminuirán los puntosde corte en los ejes (ya que varían w=p1 y w=p2), entonces hay un desplaza-

miento hacia adentro de la recta. Note también que si los precios y el ingresoaumentan en la misma proporción la recta presupuestaria permanecerá igual yaque tendríamos que p1x1 + p2x2 = w que es lo mismo que p1x1 + p2x2 = w.La interpretación de esta hecho puede ser si existe una in‡ación perfectamenteequilibrada en la que todos los precios y todas las rentas varían en una mismatasa, el conjunto presupuestario de las personas no se verá alterado y por tantono puede afectar la decisión óptima de nadie.

Existencia de impuestos, subvenciones o racionamiento

Muchas veces la economía política necesita de la utilización de impuestos y sub-sidios para lograr algunos propósitos. La existencia de estos impuestos afectaalgunas variables económicas y una de estas es la restricción presupuestal. Ex-

isten distintos tipos de impuestos y subsidios:1. Impuesto de suma …ja: el Estado se lleva una cantidad …ja ( T ) de dinero

independientemente de la conducta que lleve el consumidor, la recta pre-supuestal se desplaza paralelamente hacia adentro ya que la renta seráw T , así que corresponde a una disminución del ingreso. En el caso deun subsidio de suma …ja el estado le entrega al individuo una suma …ja dedinero.

2. Impuesto sobre la cantidad: el consumidor tiene que pagar por cadaunidad que compra de ese bien. Este impuesto es exactamente lo mismoque un precio más alto. Supongamos que un impuesto t se cobrará so-bre cada unidad del bien 1, la nueva recta presupuestaria del individuoserá ( p1 + t)x1 + p2x2 = w lo que implica que su pendiente sea más in-

clinada. Así, el estado recaudará tx1. En el caso de una subvención osubsidio a la cantidad el Estado le da al consumidor una cantidad dedinero por cada unidad que compre del bien. Esto puede verse como unadisminución del precio de tal forma que la nueva recta presupuestal será( p1 s)x1 + p2x2 = w.

3. Impuesto sobre el valor o ad valorem: es un impuesto sobre el precio delbien y no sobre la cantidad que se compra de él (e.g IVA). Si el bien 1 tieneun precio de p1 y está sujeto a un impuesto sobre las ventas cuyo montoes 12 el precio real que tiene que pagar el consumidor será (1 + ) p1. ElEstado obtendrá p1. En el caso de un subsidio o subvención ad valorem elEstado da el subsidio según el precio del bien que se quiere subvencionar,(1 ) p1.

4. Racionamiento: consiste en establecer la cantidad máxima que puede con-sumir el individuo. Por ejemplo suponga que se impide el consumo dex1 mayor que un cierto nivel x01, la recta presupuestaria será como en la…gura 1.5

12 Note que este debe ser un porcentaje.


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x2

w/p2

x1 x’ 1 w/p1

Figure 1.5: Cambio en la recta presupuestaria ante racionamiento

Muchas veces el racionamiento puede utilizarse simultáneamente con im-puestos al consumo, por ejemplo cuando un consumidor sólo debe pagarun impuesto sobre el consumo del bien 1 si éste es superior a x01; y portanto la curva presupuestaria se torna más inclinada a la derecha de esepunto tal como se muestra en la …gura 1.6.

x2

w/p2 pendiente=-p1 /p2

pendiente=-(p1+t)/p2

x1 x’ 1 w/p1

Figure 1.6: Racionamiento con impuestos de consumo

Example 4 ( Tomado de MWG) En la vida real la restricción presupuestal de un individuo puede distar un poco de la forma simpli…cada anterior, por ejemplosi se está contemplando el intercambio de mercado entre un bien de consumo( x2) y el ocio ( x1) Asumiendo que el precio del bien de consumo es 1 ( p2 = 1) y que el consumidor gana un salario s13 por hora que trabaje durante las primeras

13 Note que la interpretación del salario es como el precio de consumir una hora adicional


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8 horas, y obtendrá un salario s0 por horas adicionales (donde s0 > s). De igual forma se enfrenta a una tasa de impuesto t por peso sobre el ingreso

laboral ganado arriba del monto M . Por tanto la restricción presupuestal de este individuo será como se muestra a continuación (…gura 1.7).

x2

w pendiente=-s’(1-t)

M

pendiente=-s’

pendiente=-s

x1 16 w/s

Figure 1.7: Una recta presupuestal más real

de ocio (recuerde que el ocio es visto como un bien)


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Chapter 2

Preferencias y su

Representación

(Resumen de: Cap. 1 MWG Cap. 3 Varian, Economía Intermedia,Cap. 3 Nicholson, )

Una parte importante de la economía es aquella que intenta modelar la ac-tividad económica como una interacción de los agentes individuales económicosque van trás un interés privado. Inicialmente se harán algunas consideracionespartiendo desde un esquema abstracto, el objetivo principal será el de desarrol-lar la teoría de la decisión. Esta teoría tiene dos enfoques: el enfoque basado enpreferencias y el enfoque basado en elección1 . El primero de ellos, y más tradi-

cional, asume que el individuo tiene relaciones de preferencia sobre el conjuntode posibles elecciones que satisfacen axiomas de racionalidad. El segundo giraen torno a las decisiones que el individuo ha tomado y así desarrollar la estruc-tura de elección de cada individuo2 . Como veremos después, ambos enfoquesnos llevarán a conclusiones similares. En este capítulo nos concentraremos en elprimer enfoque.

2.1 Relaciones de preferencia

2.1.1 Axiomas de la teoría del consumidor

En este enfoque (el enfoque basado en las preferencias) las relaciones de

preferencia se asumen como las características primitivas de los individuos. Lateoría se expone inicialmente suponiendo los axiomas de racionalidad acerca

1 Para una exposición más detallada de lo que a continuación se presentará véase Ritchr(1971) "Rational choice, -cap. 2 in preferences, utility and demand "

2 Este enfoque es más conocido como el enfoque de las preferencia revelada, posteriormente(en las sesiones 9 y 10 ) se profundizará en este tema

15


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16 CHAPTER 2. PREFERENCIAS Y SU REPRESENTACIÓN

de la elección de los consumidores y luego se analizan las consecuencias deestas preferencias para el comportamiento (las decisiones que ellos hacen). Este

enfoque es el más tradicional pero hace los supuestos sobre objetos que no sonobservables como lo son las preferencias.

El punto de partida es un conjunto de alternativas posibles, denotado porX . Este conjunto puede ser el mismo conjunto de consumo, que es el casoen el que nos concentraremos, pero también pueden ser decisiones como quécarrera estudiar. Los gustos del individuo están resumidos por una relación de preferencia que se denota por %. Esta es una relación binaria en el conjunto dealternativas X que permite la comparación de un par de alternativas x; y 2 X .Si se tiene x % y se leerá x es al menos tan bueno como y. Partiendo de esto sepueden establecer las siguientes relaciones

relación de preferencia estricta : x y , x % y pero no y % x; y se leex es estrictamente preferido a y

relación de indiferencia : x y , x % y y y % x; y se lee x es indiferente a y

En la teoría económica se asume que las preferencias de los individuos sonracionales

De…nition 5 La relación de preferencia % es racional si posee las siguientes dos propiedades:

completitud: para todo x; y 2 X se tiene x % y o y % x (o ambos). Dice que un individuo tiene una preferencia bien de…nida entre dos posibles alternativas.

transitividad: para todo x;y;z 2 X; si x % y y y % z entonces x % z.

Algunos autores incluyen otra propiedad llamada re‡exividad, esta supone

que cualquier cesta es al menos tan buena como ella misma x % x. Sin em-bargo no se menciona en la de…nición porque puede derivarse de la completitud.Todas estas propiedades han sido criticadas a lo largo del desarrollo de la micro-economía a través de la economía experimental principalmente.3 Sin embargo,también se ha mostrado que sin estos supuestos pueden llegarse a conclusiones

3 Por un lado, la completitud no siempre se cumple ya que dicho proceso de introspecciónrevela lo difícil que es evaluar alternativas que están lejos de la experiencia común. Porejemplo, ¿pre…ere usted el Guriltai Shul o el Khorkhog ? Ambos son platos tradicionales dela cocina mongola que nosotros, los autores, tampoco hemos probado. Solamente son citadospara demostrar la debilidad de la completitud. La re‡exividad también presenta problemasempíricos. Para la conducta de los adultos este supuesto puede parecer válido, sin embargose ha encontrado que el supuesto no puede mantenerse para la conducta de niños pequeños.

Por su parte, la segunda propiedad puede ser refutada por varias razones. Una de ellas esla de diferencias apenas perceptibles o no perceptibles . Por ejemplo, si se pone a un individuo

a escoger entre una taza de azúcar y otra con la misma cantidad de azúcar más un granoadicional muy probablemente a éste individuo le sea indiferente una taza o la otra, si así sesiguiese el ejercicio, enfrentando distintos pares de tazas cuya única diferencia radica en ungrano más, la relación que dominaría sería la de indiferencia. Pero, si al …nal se enfrenta laprimera taza con aquella que tiene mil granos más de azúcar, la diferencia será perceptible yla preferencia del individuo será estricta.

Otra inconsistencia puede surgir cuando un comportamiento intransitivo puede ser explicado


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2.1. RELACIONES DE PREFERENCIA 17

similares, por ejemplo mediante la preferencia revelada, lo que mostraría suvalidez.

Partiendo de la de…nición de racionalidad de % puede establecerse la sigu-iente proposición que obtiene propiedades para y .

Proposition 6 Si % es racional entonces

1. es irre‡exiva (x x nunca se mantiene ), y transitiva (si x y y y z;entonces x z)

2. es re‡exiva (x x se mantiene para todo x), transitiva (si x y y y z; entonces x z) y simétrica (si x y;entonces y x)

3. si x y % z entonces x z.4

De acuerdo a esto, algunas (no todas, ya veremos porqué) preferenciasracionales pueden representarse grá…camente mediante curvas de indiferen-cia. Así, dada la relación de preferencias % y una canasta de consumo x, puedende…nirse tres conjuntos de canastas de consumo (véase la …gura 2.1)

1. El conjunto de indiferencia (curva de indiferencia) : es el conjunto de todaslas canastas que son indiferenetes a x; fy 2 X : y xg

2. El conjunto contorno superior o conjunto preferido débilmente : es el conjunto de todas las cestas que son al menos tan buenas como x; fy 2 X : y % xg

3. El conjunto contorno inferior : es el conjunto de todas las cestas para lascuales x es al menos tan buenas como ellas mismas; fy 2 X : x % yg

como el resultado de varios comportamientos racionales. La paradoja de Condorcet es unejemplo de ello. Supongamos que se tienen tres alternativas fx;y ;zg y tres agentes cuyaspreferencias están dadas por

x 1 y 1 zy 2 z 2 xz 3 x 3 ysi se tomará la elección social de acuerdo al voto por mayoría se tendría que x y pero

a la vez que y z y también que z x, obteniendo x y z x:::Otro posible inconveniente de esta propiedad se da cuando la manera en que las alternativas

son presentadas importan a la hora de hacer la elección, esto es conocido como el problema de la proposición o del recuadro (Kahneman y Tversky, 1984). Algunas decisiones intransitivastambién pueden darse cuando existen cambios en los gustos de los individuos, este cambio en los gustos tienen importantes alcances en el análisis de conductas adictivas (Schelling, 1979).El punto de vista del cambio de gustos otorga una estructura muy bien de…nida para pensaren decisiones no racionales (Elster, 1979 y 2000).

4

Proposition 7 Proof. 1. Irre‡exividad: si x x =) x % x pero no x % x (violandocompletitud)

Transitividad: si x y =) x % y pero no y % x. Si y z =) y % z pero no z % y. Por lo tanto x % z pero no z % x =) x z

2. Ejercicio3. Ejercicio


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x2

x1

Contorno

superior

Curva de

indiferencia

Contorno

inferior

x

Figure 2.1: Conjuntos de canastas de consumo: conjunto de indiferencia, con-torno superior e inferior

Debe aclararse que las curvas de indiferencia que representan distin-tos niveles de preferencias no pueden cortarse. La demostración a loanterior es sencilla. Note que x z y que z y, por transitividad deberíacumplirse que x y lo cual obviamente se viola si estamos hablando de dos cur-vas de indiferencia que representan niveles distintos de preferencia (véase …gura2.2).

x2

x1

z

y

x

Figure 2.2: Las curvas de indiferneica no pueden cortarse

También se realizarán los supuestos de que las preferencias cumplen conunas propiedades de deseabilidad , estas son la monotonicidad y la no saciabilidadlocal. Para de…nir monotonicidad es necesario asumir que siempre es posibleconsumir mayores cantidades de un bien.

De…nition 8 Monotonicidad : la relación de preferencias % en X es monó-tona si x 2 X; y x5 implica y x. Es estrictamente monótona si y x y y 6= x implica que y x:

5 Signi…ca que y debe tener un número mayor de todos los bienes que x, es decir yl > xlpara todo l = 1; 2; L.


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2.1. RELACIONES DE PREFERENCIA 19

x2 x2

e

x

x1 x1

Figure 2.3: Insaciabilidad local

Este supuesto se aplica únicamente si las mercancías son "bienes" y no"males". Este supuesto parece su…ciente porque cualquier mal puede ser vistocomo un bien. Por ejemplo, la basura, visto como un mal, puede ser rede…nidacomo una mercancía llamada "ausencia de basura". ¿Qué otros ejemplos puededar? Este supuesto también asume que siempre se quiere más a menos. Noteque si las preferencias son estrictamente monótonas entonces las preferenciasson monótonas.

De…nition 9 Localmente no saciada : sostiene que para cualquier canasta x 2 RL+ y cualquier distancia arbitraria (llamaremos esta distancia " > 0),existe una canasta y 2 RL+ distanciada de x por " tal que y x:

6

Es decir, para cualquier canasta usted traza un círculo alrededor de ella, la

insaciabilidad local Esta propiedad sí permite la existencia de males; sin em-bargo, no permite que todas las mercancías sean males. Si esto fuera así nosenfrentaríamos a un problema trivial donde la solución óptima (punto de sa-ciedad) es x = 0. En general, la insaciabilidad local no permite puntos desaciedad. Otra de las implicaciones de la no saciabilidad local (y por tanto de la monotonicidad) es que se habla de curvas de indiferencias delgadas. La …gura2.3 muestra que, ante curvas de indiferencia gruesas, todas las canastas lo su…-cientemente cercanas a un punto del conjunto de indiferencia serian indiferentesviolando así la no saciabilidad local.

Otro supuesto central de las preferencias, que se encontrará muy a menudoen la economía, es el de convexidad . La convexidad de las preferencias explicalos intercambios que un consumidor quiere hacer entre los distintos bienes.

De…nition 10 Convexidad (de…nición 3.b.4 y 3.b.5): la relación de pref-6 Formalmente, una relación de preferencias es localmente no saciada si para todo x 2 X

y todo > 0;existe un y 2 X tal que ky xk " y y x (siendo esta la distancia euclidiana

kx yk =

" LXl=1

(xl yl)2

#1=2)


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erencias % en X es convexa si 8x 2 X el contorno superior es un conjunto con-vexo y estrictamente convexa si el contorno superior es estrictamente convexo.7

Como puede intuirse, las curvas de indiferencia relacionadas a preferenciasconvexas pueden tener segmentos rectilíneos mientras que las estrictamente con-vexas debe ser curvas de indiferencia que sean curvilíneas. Estas son suposi-ciones fuertes pero bastante importantes a la hora de modelar el comportamientodel consumidor. La convexidad puede verse como una expresión formal de lainclinación de los agentes económicos hacia la diversi…cación. Es decir, si x yentonces 12x+

12y (una mezcla por la mitad de estas dos cestas) no puede ser peor

que x o que y, en el caso de la convexidad, y debe ser estrictamente preferidaen le caso de la convexidad estricta.8

2.2 Representación de las Preferencias

Las preferencias del consumidor son centrales para analizar la elección, la util-idad es una manera de describirlas. Las funciones de utilidad son útiles parapropósitos analíticos. Si las preferencias se pueden resumir por una función deutilidad se pueden utilizar técnicas de programación matemática para resolverel problema del consumidor. Una función de utilidad u(x) es una función quele asigna un valor númerico a cada elemento en X formando así un escalafónentre las canastas de acuerdo a las preferencias individuales.

De…nition 11 Una función u : X ! R es una función de utilidad que repre-senta la relación % si para todo x; y 2 X

x % y , u(x) u(y)

Note que la función de utilidad que representa las preferencias no es única.Cualquier transformación monótona de u(:)9 es una nueva función de utilidadrepresentando las mismas preferencias que u(). Es decir, es sólo el escalafónde las alternativas lo que interesa. La propiedad de que las funciones de util-idad son invariantes a cualquier transformación estrictamente monótona se lellama ordinalidad ya que el énfasis radica en la ordenación de las cestas de bi-enes. Las propiedades cardinales son aquellas que no se mantienen ante talestransformaciones.

La posibilidad de representar las preferencias mediante una función de util-idad esta íntimamente relacionada con la racionalidad.

7 Esto es, una relación de preferencias es convexa si y % x y z % x entonces y +(1 )z % xpara cualquier 2 [0; 1]. Una relación de preferencias % en X se dice estrictamente convexasi para todo x, se tiene y % x; z % x y y 6= z implica que ay + (1 a)z x para todo a 2 (0; 1).

8 Este supuesto también tiene problemas. Por ejemplo, digamos Pepe es indiferente entrela canasta x, compuesta por un vaso de jugo de naranja y ninguno de leche, y y, un vaso deleche y ninguno de jugo de naranja. No obstante, muy probablemente preferirá las mercancíasseparadas que una combinación de medio vaso de jugo y medio de leche.

9 Una transformación monótona es una función v(x) = f (u(x)), donde f : R ! R es unafunción estrictamente creciente, es decir, x y , f (x) f (y). Ejemplos de transformacionesmonótonas puede ser: f (u) = 3u, f (u) = u + a, f (u) = u3, f (u) = ln(u)


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2.2. REPRESENTACIÓN DE LAS PREFERENCIAS 21

Proposition 12 una relación de preferencias % puede ser representada por una función de utilidad sólo si es racional. (ver prueba en MWG)

Sin embargo, existen algunas preferencias racionales que no pueden ser rep-resentables; por ejemplo, las preferencias lexicográ…cas. Este tipo de prefer-encias, llamadas así por su similitud con el orden de los diccionarios, indicanque la canasta preferida será la que tenga la mayor cantidad del primer bien;en el caso de que las dos canastas a comparar tengan la misma cantidad delprimer bien se procede a comparar la cantidad del segundo bien y así sucesiva-mente. Estas preferencias son completas, transitivas, estrictamente monótonasy estrictamente convexas.10 Sin embargo, no pueden ser representables ya quenunca dos canastas son indiferentes, esto implica que no sea posible asignarle unnúmero a cada canasta porque los números reales no alcanzarían. Para asegurarque siempre exista una representación para cada canasta debemos asegurar quelas preferencias sean continuas.

De…nition 13 Continuidad: la relación de preferencias se dice continua si,dado que x y, entonces una canasta parecida a x debe ser al menos tan buena como una canasta parecida a y .

La continuidad sostiene que las preferencias de los consumidores no exhibesaltos. Una forma equivalente de enunciar la continuidad es que los contornossuperior e inferior son cerrados; es decir, incluyen sus fronteras. Note que laspreferencias lexicográ…cas no cumplen esta propiedad.

Example 14 Suponga de nuevo el caso de Pilón, esta vez con preferencias lexicográ…cas que le dan prioridad a las hamburguesas. Suponga una canasta (2; 1) que es preferida a (1:99; 2). Sin embargo, la canasta (2; 2) se preferirá a (2; 1), aún cuando es una pequeña variación de (1:99; 2), esto muestra que este

tipo de preferencias no son continuas.Proposition 15 Si una relación de preferencias % es racional y continua en-tonces existe una función de utilidad continua 11 que la representa. (ver pruebaen MWG)

Usualmente trabajaremos con funciones de utilidad diferenciables para propósi-tos analíticos. Sin embargo, es posible que algunas preferencias no puedanrepresentarse con funciones diferenciables; por ejemplo, cuando los bienes seconsumen en proporciones …jas. Al imponer diferenciabilidad de las funcionesse está condicionando a que los conjuntos de indiferencia sean super…cies suavesde tal forma que la tasa a la que se sustituyan las mercancías dependan de losniveles de consumo. Las demás restricciones que hasta ahora hemos impuestosobre las preferencias se traducen en restricciones sobre la forma de la utilidad:

10 ¿Puede el lector corroborar esto?11 Intuitivamente una función f es continua en x si en cualquier punto x0 que sea muy cercano

a x , su imagen es una buena aproximación del valor de f en x. Si f es continua en todos lospuntos del dominio entonces podemos decir que la función es continua. Para una revisión másdetallada de esta de…nición véase (?). Ahora bien, si la derivada existe en cualquier puntoentonces la función es diferenciable y por tanto continua.


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1. La propiedad de monotonicidad 12 implica que la función de utilidad escreciente: u(x) > u(y) si x y:

2. La propiedad de preferencias convexas implican que u(:) es cuasicóncava .13

De igual forma, la convexidad estricta de las preferencias implican la cua-sicóncavidad estricta de u(:).

Estas propiedades sobre la función de utilidad son de carácter ordinal, mien-tras la continuidad es cardinal ya que las transformaciones monótonas no nece-sariamente deben ser continuas.

2.3 Utilidad Marginal

La utilidad marginal de…nirá cómo varía la utilidad del individuo cuando obtieneuna cantidad adicional de una mercancía. En términos matemáticos, la utilidad

marginal respecto al bien 1 será

U M g1 = @u@x1

La monotonicidad de las preferencias implica que la utilidad marginal seapositiva. Además, a menudo se supone que la utilidad marginal es decrecienteya que entre más consuma de un bien menor es la utilidad adicional que mereporta, esta noción fue introducida por Marshall. Por ejemplo, después dehacer ejercicio, el primer vaso de agua que nos tomamos nos brinda una enormesatisfacción. La satisfacción adicional que nos representa el segundo vaso esmenor a la que nos dio el primer vaso. De esta forma, si seguimos tomandoagua, el décimo vaso, si es que llegamos allá, nos brindará utilidad pero nodemasiada al compararla con la del primer vaso.

Sin embargo, esto impone la restricción de que la función de utilidad seacóncava,14 lo cual es más restrictivo que la cuasiconcavidad, donde no nece-sariamente se da que la utilidad marginal sea decreciente. Al respecto, Hickssugirió que lo que se debía tener en cuenta eran las cantidades relativas de lasmercancías ( x2x1 ) y cómo esta relación afectaba el deseo de intercambiar mer-cancías. Esto último es representado por la Tasa Marginal de Sustitución y elhecho de que esta sea decreciente, lo cual veremos a continuación.

2.4 Tasa Marginal de Sustitución

En la teoría económica, el intercambio que un individuo está dispuesto a dar en-tre dos bienes es conocido como relación o tasa marginal de sustitución (TMS).

12 Recuerde que si las preferencias son monótonas se conoce que si se traza una línea desdeel origen, esta sólo cortará las curvas de indiferencia una vez.

13 La función de utilidad es cuasicóncava si el conjunto

y 2 RL+ : u(y) u(x)

es convexopara todo x. Equivalentemente, u es cuasicóncava si, para todo x; y 2 X , u(ax + (1 a)y) Minfu(x); u(y)g

14 Recuerde que una función cóncava se caracteriza porque la segunda derivada con respectoal mismo argumento es negativa, lo que llevaría a una utilidad marginal decreciente.


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2.4. TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN 23

Grá…camente se re…ere a la pendiente de la curva de indiferencia en un determi-nado punto y será la relación en que el consumidor estará dispuesto a sustituir

el bien 1 por el bien 2. Supongamos una cesta de consumo x = (x1; x2) quepertenece a una curva de indiferencia. La TMS nos dirá cuánto está dispuestoa sacri…car el individuo de x1 (4x1) para consumir una unidad más de x2, detal forma que quede en la curva de indiferencia inicial. Esto puese entendersemejor con un ejemplo.

Example 16 Suponga que tenemos una economía con dos bienes: hamburgue-sas y gaseosas. Suponga que Pilón tiene dos hamburguesas y diez gaseosas. Si Pilón intercambia cuatro gaseosas por dos hamburguesas y se siente igual de bien (le resulta indiferente) que con la anterior canasta diremos que su TMS en ese punto es 2, es decir, por una hamburguesa está dispuesto a dar 2 gaseosas.

También podemos de…nir la TMS en términos de utilidades marginales. Para

formular matemáticamente este concepto debemos mantener constante la util-idad para asegurar que nos encontramos en la misma curva de indiferencia.Suponiendo que existen dos bienes, por lo tanto u = u(x1; x2), derivamos total-mente esta ecuación obteniendo:

du = 0 = @u@x1

dx1 + @u@x2

dx2, donde dxl es la variación en el consumo de unbien.

Despejando de allí dx2=dx1 se tendrá que

dx2dx1

= @u@x1@u@x2

Así, la pendiente de la curva de indiferencia o TMS será

T M S = UM g1UM g2

El signo de la TMS es negativo siempre y cuando las dos mercancías seandeseables o las dos mercancías no sean deseables. Esto es intuitivo ya que si seobtiene una cantidad mayor del bien 1 debería recibirse una cantidad menor delbien 2 para conservar el mismo nivel de utilidad. Por el contrario, si tengo unmal y un bien, la TMS será positiva.

El supuesto de convexidad de las preferencias implica que la TMS sea decre-ciente, esto es @ TM S

@ x2x1

0, ya que cuando el consumidor posee grandes cantidades

de uno de los bienes estará dispuesto a intercambiar una gran cantidad de éstepara obtener algo del otro bien que carece. De esta manera se re‡eja el interésdel individuo por diversi…car y tener una cantidad apropiada de todos los bienes,a esto se refería Hicks.

Example 17 Siguiendo con el ejemplo anterior, la convexidad implica que si ahora Pilón quiere hacer de nuevo un intercambio su TMS debe ser menor que la anterior; ahora por una hamburguesa debe dar menos de 2 gaseosas ya que notiene tantas como tenía antes. Esto quiere decir que a medida que vaya inter-cambiando un bien por otro y que quiera seguir intercambiándolo, las cantidades que estoy dispuesto a sacri…car deben ser menores


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2.5 Elasticidad de Sustitución

Suponga que tenemos una función y = f (x). La elasticidad de y con respectoa x nos indica la variación porcentual de y ante una variación porcentual dex. Formalmente "y;x =

dy=ydx=x

= dydx

xy

= d(ln y)d(ln x) .

15 Este concepto puede aplicarsetambién a la TMS. Así, mientras la TMS mide la pendiente de una curva de in-diferencia, la elasticidad de sustitución mide su curvatura. Más concretamente,la elasticidad de sustitución mide la variación porcentual del cociente entre lascantidades dividida por la variación porcentual de la TMS, manteniéndose …jala utilidad.

Si (x2=x1) es la variación del cociente entre las cantidades y T MS es lavariación de la tasa marginal de sustitución, entonces la elasticidad de sustitu-ción se de…nirá como:

=

(x2=x1)x2=x1TMS

TMSEsta elasticidad indica cómo varía el cociente entre las cantidades de mer-cancías cuando varía la pendiente de la curva de indiferencia. Utilizando derivadaspodemos expresar la elasticidad de sustitución de la siguiente forma:

= d(x2=x1)dTMS T MS (x2=x1)

= d(ln(x2=x1 )

d(lnT MS )

2.6 Algunas funciones de utilidad

En algunas aplicaciones (particularmente econométricas) es común centrarseen preferencias donde es posible deducir la relación de preferencia completa apartir de un solo conjunto de indiferencia, dos ejemplos son las preferenciashomotéticas y las preferencias cuasilineales. Este tipo de preferencias también

tienen implicaciones sobre las funciones de utilidad. Estas propiedades son decarácter cardinal ya que no se conservan ante transformaciones monótonas, loúnico que podemos asegurar es que existe al menos una función de utilidad condicha forma especí…ca.

Para obtener una curva de indiferencia de una función de utilidad debemosigualar la función a una constante u(x1; x2) = k , y luego despejar x2. De estaforma obtendremos todas las combinaciones entre x1 y x2 que producen la mismautilidad k . A continuación se mostrarán algunos ejemplos de funciones de utili-dad dadas las preferencias del individuo. Con el …n de visualizarlos se manejarándos mercancías. Vale la pena resaltar que las siguientes funciones de utilidadno son del todo realistas pero facilitan algunos procedimientos matemáticos.

2.6.1 Preferencias Homotéticas

De…nition 18 Una relación de preferencias monótona es homotética si todos los conjuntos de indiferencia están relacionados por su expansión proporcional

15 Esto es cierto ya que d(ln x) = dxx

.


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2.6. ALGUNAS FUNCIONES DE UTILIDAD 25

a través de rayos; esto es, si x y entonces x y, para todo > 0.16

En palabras, si tengo que dos canastas son indiferentes entonces al du-plicar ambas canastas estas seguirán siendo indiferentes. Este hecho puedeobservarse en la siguiente grá…ca 2.4.Si las preferencias son homotéticas ten-dremos que la TMS depende únicamente del cociente entre las cantidades delas dos mercancías. Es decir, si se tiene T M S (x1; x2) = (x1=x2) entoncesT MS (tx1; tx2) = (x1=x2). Esto quiere decir que la pendiente de todas las cur-vas de indiferencia son iguales si se evaluan en el punto donde se intersectan conun rayo que pase por el origen. Los ejemplos más comunes de estas preferenciasson los sustitutos perfectos, complementarios perfectos, la Cobb-Douglas y laCES, que es su forma generalizada.

x2

2x

x 2y

Figure 2.4: Homotéticas

Sustitutos perfectos

Dos bienes son sustitutos perfectos si el consumidor está dispuesto a sustituiruno por otro a una tasa constante. La característica esencial de estas mercancías

16 Una de…nición análoga es que una relación de preferencia continua en X es homotética siy solo si admite una función de utilidad homogénea de grado uno.

El grado de homogeneidad de una función puede encontrarse mediante dos métodos:

1. Multiplicador: se multiplica las cantidades por una misma constante y se observa cómovaría la utilidad, u(tx1; tx2) = tku(x1; x2). De esta forma el grado de homogeneidades igual a k .

2. Teorema de Euler: Si se tiene una función u(x1; x2) y se realiza @u(x1;x2)

@x1x1 +

@u(x1;x2)@x2

x2 = k u(x1; x2), el grado de homogeneidad de la función u() lo dará elvalor de k .

Si k = 0, la función de utilidad es homogénea de grado 0, es decir que si se aumenta elconsumo de ambos bienes en una misma proporción el nivel de utilidad no se verá afectado.Si 0 < k 1; quiere decir que a cambios (de igualproporción) en el nivel de consumo, el nivel de utilidad aumentará má s que proporcionalmente.


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es que la curva de indiferencia tiene una pendiente constante (TMS constante).Un ejemplo es la mantequilla y la margarina. Las preferencias pueden ser rep-

resentadas por una función de utilidad que en este caso sería

u(x1; x2) = ax1 + bx2

En donde a; b miden el valor que tienen los bienes 1, 2 para el consumidor.Esto quiere decir que el consumidor siempre estará dispuesto a intercambiar unaunidad del bien 1 por a=b unidades del bien 2. Es decir, la T MS = a=b(véasela …gura 2.6). Esta clase de preferencias son homotéticas, la función de utilidades homogénea de grado uno y la elasticidad de sustitución es igual a in…nito.

Figure 2.5: Función de utilidad, sustitutos perfectos

Complementarios perfectos

Se da cuando las mercancías se complementan en cierto sentido, e.g zapato delpie derecho y zapato del pie izquierdo. Al consumidor le gustan los zapatospero no le sirve de nada llevar uno solo o llevar dos del izquierdo y ninguno delderecho. Otro ejemplo es el café y el azúcar, mucha gente los consume siempreen proporciones …jas. Una cantidad adicional de una mercancía no tiene ningúnvalor para el individuo. La forma funcional de la utilidad (véase …gura 2.7) es

u(x1; x2) = M in fax1; bx2g

donde a; b indican las proporciones que se consumen de cada bien. Es decirque 1=a unidades del bien 1 deben ir acompañadas de 1=b unidades del bien 2.

La curva de indiferencia será como en la …gura 2.8


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Figure 2.6: Curva de indiferencias, sustitutos perfectos

Figure 2.7: Función de utilidad, complementarios perfectos


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Figure 2.8: Curva de indiferencia, complementarios perfectos

Esta función de utilidad también es homogénea de grado uno. La T M S =

f

1 cuando x2x1 > a

b

indefinida cuando x2x1

= ab

0 cuando x2x1

< ab

En todos los anteriores casos la elasticidad de sustitución es igual a cero,como su nombre lo indica.

Cobb-Douglas

La forma funcional de una Cobb-Douglas es u(x1; x2) = Ax1 x2 . Note que si

+ = 1 tendremos que la función es homogénea de grado uno. Aunque,como se ha visto, existen varias funciones que representan la misma relación depreferencia. La transformación monótona más usual es u(x1; x2) = ln x1 + ln x2. En ambos casos, y indican la importancia relativa de los dos bienespara el consumidor (más adelante se verá que representan, cuando el problemase restringe al ingreso, la proporción del ingreso que el individuo está dispuestoa gastar en cada bien).

Esta clase de preferencias son un caso intermedio a los sustitutos y a los

complementarios. Su T MS = ax2

bx1 , lo que implica que no sea constante y querepresente preferencias homotéticas. Su elasticidad de sustitución es 1. Unejemplo de esta función de utilidad se muestra en la siguiente …gura 2.6.1.


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Cobb-Douglas

Elasticidad de Sustitución Constante (CES, por sus siglas en inglés)

Esta función de utilidad es la más general de todas y de ella, bajo algunosvalores de los parámetros, se obtienen las demás formas funcionales. La formafuncional (véase la grá…ca en 3 dimensiones en 2.9) es

u(x1; x2) =

ax1 + (1 a)x2

1=

53.75

2.51.25

0

53.752.51.250

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

z

Figure 2.9: CES ( = 2)

Su T MS = a1a (x1x2

)(1+) y, como su nombre lo indica, la elasticidad desustitución es siempre igual, y su valor es 1=(1 ). Note que cuando = 0


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tenemos el caso de la Cobb-Douglas, cuando = 1 tenemos el caso de sustitutosperfectos y cuando = 1 el caso de complementarios perfectos.

2.6.2 Preferencias Cuasilineales

De…nition 19 Una relación de preferencias en X = (1; 1) R+ es cuasi-lineal con respecto a la mercancía 1 (el numerario) si:

1. Todos los conjuntos de indiferencia son desplazamientos paralelos de cada uno a lo largo del eje de la mercancía 1. Esto es, si x y, entonces (x + e1) (y + e1) para e1 = (1; 0) y cualquier > 0.

2. La mercancía 1 es deseable; esto es, x + e1 x para todo x y > 0.

Esto signi…ca que si tengo dos canastas indiferentes y le sumo alguna canti-dad del numerario a las dos canastas, las nuevas siguen indiferentes. Note que enla de…nición no se utiliza como espacio R2+ porque se asume que no existe límiteinferior para el numerario. Suponiendo que tenemos dos bienes, una relaciónde preferencia continua en X = (1; 1) R+ es cuasilineal con respecto a laprimera mercancía si y solo si admite una función de utilidad de la forma

u(x1; x2) = x1 + v(x2)

y se dice que la función de utilidad es lineal en x1. Note que las preferenciaspor sustitutos perfectos también es cuasilineal. Otro ejemplo concreto de estafunción de utilidad es u(x1; x2) = x1 + ln x2. La siguiente grá…ca muestra laforma de estas preferencias (ver …gura 2.10)

Figure 2.10: Función de utilidad cuasilineal

Y su curva de indiferencia es como muestra en la siguiente …gura 2.6.2


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En el caso de las preferencias cuasilineales note que la utilidad marginal delnumerario siempre es constante (e igual a uno) en cualquier punto. Luego, sicalculamos la T MS está solo dependerá de las otras mercancías. Esto implicaque el deseo de una persona de renunciar a una unidad de x2 para conseguiruna unidad más de x1 depende únicamente de la cantidad que tenga de x2.

Males

Un mal es una mercancía que no le gusta al consumidor, es decir que su funciónde utilidad se verá disminuída si existe consumo de ese bien. En general, lascurvas de indiferencia serán como las que se presentan en la …gura 2.6.2 si su

función de utilidad es expresada como u (x1; x2) = ax1

bx2.

17

Allí el individuoestará mejor entre más lejos se encuentre del eje que representa el mal. En estecaso la TMS tendrá pendiente positiva porque existe un bien que no es deseable.

17 Cuidado, este tipo de representación es cuasilineal; sin embargo, pueden existir otrasrepresentaciones de males que no sean cuasilineales.


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Neutrales

Un bien es neutral si al consumidor le da igual consumir el bien o no consumirlo,es decir que su función de utilidad no depende del consumo de ese bien. Por máscantidades que le den de ese bien su utilidad no se verá afectada. Este tipo depreferencias pueden asociarse a preferencias cuasilineales. La forma funcionalcuando el individuo es neutral al bien 2 es la siguiente

u(x1) = ax1

La curva de indiferencia se muestra en la …gura 2.11

x2

x1

Figure 2.11: Preferencias por un bien neutral (x2) y uno deseado.

2.6.3 Preferencias que no cumplen supuestos tradicionales

Existen otro tipo de funciones que no cumplen con los supuestos mencionadosanteriormente; sin embargo, pueden resultar útiles para el análisis de algunassituaciones.

Preferencias no convexas

En general, las preferencias no son convexas si el individuo pre…ere consumir losbienes por separado, de esta forma el individuo está dispuesto a pagar cada vezmás por las sucesivas unidades adicionales (la TMS no es decreciente). Comose dijo antes, un ejemplo de estas preferencias se da cuando la combinación dedos canastas resulta en una canasta menos apetecida (jugo de naranja y leche).Para observar esto más claro podría mirarse la …gura 2.12 y hacer la combinaciónconvexa de las cestas extremas, de este modo se intuye que la cesta media seencontraría en una curva de indiferencia menor que las cestas extremas.

un ejemplo de estas funciones de utilidad estaría compuesta por la siguienteforma funcional

u(x1; x2) = M ax fax1; bx2g

siendo las grá…cas de la función de utilidad (…gura 2.13) y de la curva deindiferencia (…gura 2.14)


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x2

x1

Cestamedia

Figure 2.12:

Figure 2.13: Función de utilidad de una Máximo

Figure 2.14: Curva de indiferencia de la Máximo


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*x

Preferencias con punto de saciedad

Existen funciones de utilidad donde existe un punto de saciedad y cualquierdesviación del punto representará una menor utilidad para el individuo. Lasiguiente grá…ca (…gura 2.6.3) muestra este caso, allí x representa el punto dondese alcanza la máxima utilidad.

2.7 Extensiones

2.7.1 Preferencias especiales

En algunos estudios la calidad suele ser determinante para el consumo de unartículo u otro. En algunos modelos se asume que bienes iguales de distintacalidad son, en sí, bienes distintos. Otros modelos suelen suponer que la calidad

es un bien por sí mismo. Por ejemplo puede pensarse una función u = u(q; Q)donde q es la cantidad consumida y Q es la calidad de ese consumo. Esta funcióntiene algunas di…cultades cuando la percepción de la calidad del bien dependede distintos atributos.

Otra forma (asumiendo que se consumen los bienes x; y) que tiene en cuentala calidad sería u(x; y) = u [Q(x; y); A(x; y)]18 donde Q es una función de lacalidad y A representa otros atributos de la canasta x; y. La calidad tambiénse ha modelado teniendo en cuenta que la calidad de un producto es incierta yesta se supone correlacionada al precio del mercado. De esta forma se tendríaque u(x; y) = u(x; px; y).19

También es posible que las decisiones tomadas en un período afecten lautilidad de períodos posteriores, este es el caso de la adicción y de los hábitos.20

Allí la utilidad podría modelarse como u = u(xt; yt; st), donde st =

1Xi=1

xt1 es

18 Véase Lancaster (1971), Consumer demand: a new approach 19 Véase Stiglitz (1987). "The causes and consequences of the dependece of quality on price".

JPoE 20 Véase Becker (1988) "A theory of rational addiction"


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2.7. EXTENSIONES 35

el parámetro que relaciona estos hechos.


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Chapter 3

Elección del Consumidor

(Resumen de: Cap 4 ( ?), Cap 5 y 8 Varian Intermedio, Cap 8 ( ?), Cap 3 ( ?),Cap 1 y 2 ( ?), Sección 2.5 Deaton & Muellbauer).

El problema de decisión al que se enfrentará el individuo puede enunciarsede dos maneras. El primero de ellos es escoger las canastas de tal forma queel individuo logre la mayor satisfacción posible, teniendo en cuenta que tieneuna cantidad limitada de ingreso y existen unos precios que hay que pagar poradquirir mercancías. El segundo de ellos consiste en …jar un nivel de utilidadque se quiere alcanzar y elegir las cantidades de mercancías que lleven al menorgasto posible logrando la utilidad requerida. Estos dos problemas son dos carasde una misma moneda que llevarán a soluciones similares.

En la primera sección se planteará el primer problema mencionado. Lasdemandas óptimas obtenidas se llamarán demandas marshalianas y la utilidadmáxima que se logra a través de ellas se llamará utilidad indirecta. Cada unade estas variables cumplirán unas propiedades útiles al momento de analizarlas decisiones del consumidor. En la segunda sección plantearemos el segundoproblemas, de nuevo hallando las demandas óptimas, que esta vez se llamaránhicksianas o compensadas, y con ellas la función de gasto mínimo. Estas tam-bién cumplirán algunas propiedades interesantes. Por último, observaremoscomo ambos problemas son duales, esto es, llegan a soluciones similares, ymostraremos cómo resolviendo un problema podemos llegar a las solucionesdel otro problema. Lo anterior se conoce como dualidad.

3.1 Problema de Maximización de la Utilidad

(PMU )De este modo, el problema será hallar una cesta que se encuentre en el conjuntode posibilidades de consumo que le permita alcanzar el mayor nivel de utilidadfactible. A lo largo de este capítulo se supondrá que la relación de preferenciasque caracteriza al consumidor es racional, continua, no saciada localmente y

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38 CHAPTER 3. ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR

convexa; en otras palabras, asumiremos que las preferencias son representablespor una función de utilidad continua y cuasicóncava.

Aun cuando algunos detractores de este enfoque a…rman que ninguna per-sona real podría hacer los cálculos rápidos necesarios para maximizar su utilidad,Friedman argumenta, re…riéndose al jugador de billar, que "éste tampoco puedehacer los cálculos rápidos necesarios para dar un golpe de acuerdo con las leyesde la física, pero esas leyes predicen su conducta. (...) el modelo de la max-imización de la utilidad predice muchos aspectos de la conducta, aún cuandonadie lleve una computadora con su función de utilidad programada" (?).

De esta manera, el supuesto de la maximización de la utilidad está diciendoque si un individuo es abordado a la salida de un supermercado, justo despuésque ha realizado su compra, y se le pregunta "Ud., teniendo exactamente lamisma cantidad de dinero, la misma variedad de productos y la misma informa-ción que tenía al momento de realizar su compra, ¿habría escogido una canastade consumo distinta a la que escogió?" la respuesta a esta pregunta por partedel individuo debería ser "No, absolutamente no" ya que de lo contrario, ¿porqué escogió esa canasta y no la otra?

3.1.1 Planteamiento del problema y de su solución

Suponiendo que el conjunto de consumo es X = RL+, que los precios son es-trictamente positivos ( p 0) y el nivel de riqueza del individuo es tambiénestrictamente positivo, w > 0. El Problema de Maximización de la Utilidad (PMU) será

Max u(x) (3.

notas de microeconomía 1 de zambrano y guerra.pdf

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