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  • NOTAS DE TRABAJO, 6

    ÁLGEBRA CONMUTATIVA

    Pascual Jara Martínez

    Departamento de Álgebra. Universidad de Granada

    Granada, 1997–2012

  • Primera redacción: 1997. Segunda redacción: Octubre 2007. Tercera redacción: Octubre 2008. Cuarta redacción: Octubre 2009. Quinta redacción: Agosto 2011. Sexta redacción: Septiembre 2012.

  • Introduction

    Este texto de Álgebra Conmutativa Básica es la continuación natural del de Álgebra Conmutativa Ele- mental. Mientras que en el primero exponíamos los rudimentos de la aritmética de los enteros y de los polinomios en una variable, y por ende de los Dominios de Ideales Principales, acabando con el estudio de la estructura de los módulos finitamente generados sobre un DIP, la intención primera de este texto es el estudio de los anillos de polinomios en varias indeterminadas con coeficientes en un cuerpo. Haremos un uso extensivo de las técnicas de computación que nos proporciona la división en estos ani- llos, lo que nos conducirá a la introducción de las bases de Groebner. Con esta herramienta estudiaremos las propiedades de los ideales sobre anillos de polinomios. Para el estudio de los conjuntos de puntos asociados a ideales, y obtener una buena relación entre idea- les radicales y conjuntos algebraicos necesitaremos que el cuerpo base sea algebraicamente cerrado: Teorema de los ceros de Hilbert. Probamos este resultado estableciendo previamente el Lema de norma- lización de Noether. Esta teoría se completa con el estudio de las cadenas de ideales primos y la noción de dimensión de Krull. De forma paralela, y un tanto marginal, introducimos los módulos sobre un anillo y caracterizamos éste mediante propiedades elementales de sus módulos.

  • .

  • Índice general

    Introduction I

    I Álgebra Conmutativa Básica 1

    Introducción 3

    I Anillos e ideales 5 1 Definición de anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Homomorfismos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Producto de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Ideales primos e ideales maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Radical de un ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6 Extensión y contracción de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7 Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    II Anillos de polinomios 57 9 Representación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10 Órdenes en Nn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 11 Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 12 Ideales monomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 13 Bases de Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 14 Aplicaciones de las Bases de Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 15 Aplicaciones de las Bases de Groebner, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 16 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    III Conjuntos algebraicos afines 105 17 Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 18 Conjuntos algebraicos afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 19 Ideales asociados a conjuntos de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 20 Anillos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 21 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    IV Módulos 133 22 Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 23 Homomorfismos de A–módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 24 Módulo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 25 Suma directa de A–módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 26 Módulos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 27 Módulos finitamente generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

  • 28 Módulos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 29 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    V Categorías y funtores 179 30 Categorías y funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 31 Funtores adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 32 Funtores Hom y producto tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 33 Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 34 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

    VI Dependencia entera 219 35 Extensiones enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 36 Lema de normalización de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 37 Teorema de los ceros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 38 Extensiones trascendentes (repaso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 39 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

    VII Espectro primo y localización 251 40 Localización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 41 Ideales primos en anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 42 Módulos de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 43 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

    VIII Dimensión 299 44 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 45 Anillos artinianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 46 Repaso sobre la dimensión de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 47 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

    IX Descomposición primaria 317 48 Descomposición primaria de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 49 Conjuntos algebraicos irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 50 Teorema de Lasker–Noether para anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 331 51 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

    X Dominios de Dedekind 341 52 Dominios de valoración discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 53 Ideales fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 54 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 55 Módulos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 56 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

    Bibliografía 373

    Índice alfabético 375

  • Parte I

    Álgebra Conmutativa Básica

    1

  • Introducción

    Este texto recoge las nociones básicas de Álgebra Conmutativa y los rudimentos de Geometría Algebrai- ca. Desde el primer momento en él hacemos hincapié en el maridaje existente entre nociones abstractas y nociones computacionales, tratando de profundizar en cada una de ellas, y centrándonos en el cálculo efectivo de los invariantes que vamos introduciendo. En cada capítulo hacemos primero un desarrollo de la teoría procurando incluir en el mismo un gran número de ejemplos que ilustren los conceptos introducidos, y lo cerramos con una sección dedicada a ejercicios; la gran mayoría de los cuales se exponen acompañados de una solución, que aparece en la última sección del capítulo.

  • Capítulo I

    Anillos e ideales

    1 Definición de anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Homomorfismos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Producto de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Ideales primos e ideales maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Radical de un ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6 Extensión y contracción de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7 Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    Introducción

    En este capítulo se introducen, entre otros, los conceptos de anillo y homomorfismo de anillos; y en particular aquellos que tienen relación con los ideales, Los anillos objeto de este estudio son anillos conmutativos abstractos, por lo que los ideales estudiados son ideales biláteros. Esto hace especialmente sencillo el estudio de su estructura a través de los ideales primos y maximales y los correspondientes radicales: el nilradical y el radical d