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5/24/2018 Notas_de_Aulas_Resistencia1.pdf

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Centro Universitrio de Belo Horizonte

NOTAS DE AULA

RESISTNCIA DOS MATERIAIS

DEPARTAMENTO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - DCET

ENGENHARIA DE ALIMENTOS

Prof. Sinthya Gonalves Tavares


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Notas de Aulas Resistncia dos MateriaisCaptulo 1 Introduo Reviso de Esttica e Vigas Prismticas

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1. INTRODUO REVISO DE ESTTICA

1.1 I NTRODUO

Objetivo do estudo da mecnica dos materiais proporcionar ao futuro engenheiro os meiospara analisar e projetar vrias mquinas e estruturas de apoio de carga.

Tanto a anlise quanto o projeto de uma dada estrutura envolvem a determinao das tenses edeformaes.

Na construo mecnica, as peas componentes de uma determinada estrutura devem terdimenses e propores adequadas para suportarem esforos impostos sobre elas. Exemplos:

Figura 1.1 O eixo de transmisso de uma mquina deve ter dimenses adequadaspara resistir ao torque a ser aplicado; b) A asa de um avio deve suportar s cargas aerodinmicas

que aparecem durante o vo; c) As paredes de um reservatrio de pressodeve ter resistncia apropriada para suportar a presso interna, etc.

1.2 CLASSE DE SOLICITAES

Quando um sistema de foras atua sobre um corpo, o efeito produzido diferente segundo adireo e sentido e ponto de aplicao destas foras. Os efeitos provocados neste corpo podem

ser classificados em:


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esforos normais ou axiaisatuam no sentido do eixo de um corpo. Podem ser foras detrao, compresso eflexo.

esforos transversaisatuam na direo perpendicular ao eixo de um corpo. Podem ser decisalhamento e/outoro.

Quando as foras agem para fora do corpo, tendendo a along-lo no sentido da sua linha deaplicao, a solicitao chamada de TRAO; se as foras agem para dentro, tendendo a

encurt-lo no sentido da carga aplicada, a solicitao chamada de COMPRESSO.

Figura 1.2 Ps da mesa submetidos compresso; b) Cabo de sustentao submetido trao.

A FLEXO uma solicitao transversal em que o corpo sofre uma deformao que tende amodificar seu eixo longitudinal.

Figura 1.3 Viga submetida flexo;

A solicitao de CISALHAMENTO aquela que ocorre quando um corpo tende a resistir ao de duas foras agindo prxima e paralelamente, mas em sentidos contrrios.

Figura 1.4 Rebite submetido ao cisalhamento


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A TORO um tipo de solicitao que tende a girar as sees de um corpo, uma em relao outra.

Figura 1.5 Ponta de eixo submetida toro

Um corpo submetido a SOLICITAES COMPOSTASquando atuam sobre eles duas oumais solicitaes simples.

Figura 1.6 rvore de transmisso Flexo-toro

1.3 REVISO DE ESTTICA

Fora uma grandeza vetorial que necessita para sua definio, alm da intensidade, da direo,e do sentido, o ponto de aplicao.

Figura 1.7 Representao de um vetor de fora

As foras mais conhecidas so os pesos, que tem sempre sentido vertical para baixo, como porexemplo, o peso prprio de uma viga, ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga.


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As foras podem ser classificadas em concentradas e distribudas. No sistema internacional (SI) as foras concentradas so expressas em Newton [N]. As foras

distribudas ao longo de um comprimento so expressas com as unidades de fora pelo

comprimento [N/m], [N/cm], [N/mm],etc.

Duas ou mais foras constituem um sistema de foras, sendo que cada uma delas chamada decomponente. Todo sistema de foras pode ser substitudo por uma nica fora chamada

resultante, que produz o mesmo efeito das componentes.

Sendo dada uma fora F num plano xy, possvel decomp-la em duas outras foras F xe Fy,como no exemplo abaixo:

Figura 1.8 Foras atuando em um plano xy

onde: = F.cosFx e = F.senFy

Momento da fora a medida da eficincia de uma fora no que se refere tendncia de fazerum corpo girar em relao a um ponto fixo.

Seja F uma fora constante aplicada em um corpo, d a distncia entre o ponto de aplicao destafora e um ponto qualquer P. Por definio, o momento M realizado pela fora F em relaoao ponto P dado pelo seguinte produto vetorial:

Figura 1.9 Representao grfica do momento de uma fora

onde: = senF.d.MP


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Equilbrio esttico considera-se que um corpo est em equilbrio esttico quando o somatriodas foras atuantes e o somatrio dos momentos em relao a um ponto qualquer sejam nulos.

1.4 VIGAS PRISMTICAS Vigas elementos estruturais que suportam foras aplicadas em vrios pontos ao longo do

elemento.

Outra definio de vigas estrutura linear que trabalha em posio horizontal ou inclinada,assentada em um ou mais apoios e que tem a funo de suportar os carregamentos normais sua

direo (se a direo da viga horizontal, os carregamentos so verticais).

As cargas dispostas verticalmente resultam em esforos de cisalhamento e flexo. Quando cargasno verticais so aplicadas a estrutura, surgiro foras axiais, o que tornar mais complexa a

anlise estrutural.

Figura 1.10 Viga prismtica

Quanto ao carregamento, uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargasdistribudasou a combinao de ambas.

(a) (b)

(c)

Figura 1.11 Viga submetida (a) cargas concentradas (b) carga distribuda uniforme

(c) cargas distribudas no uniformes

As vigas so classificadas de acordo com a maneira como so vinculadas ou apoiadas.


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Apoios ou vnculos componentes ou partes de uma mesma pea que impedem o movimentoem uma ou mais direes. A Figura 1.12 mostra alguns tipos de vigas, classificadas de acordo

com o vnculo.

Figura 1.12 Tipos de apoios em vigas

As cargas externas aplicadas sobre as vigas exercem esforos sobre os apoios, que por sua vezproduzem reaes para que seja estabelecido o equilbrio do sistema. Portanto, estas reaes

devem ser iguais e de sentido oposto s cargas aplicadas.

J os apoios so classificados de acordo com o grau de liberdade, ou seja, os movimentos quepermitem. Desta forma temos:

Tabela 1.1 Graus de liberdade e reaes nos apoios de vigas


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Exerccios Captulo 1

1) A luminria de 80 kg suportada por duas hastes AB e BC como mostra a figura abaixo.Determinara a fora atuando em cada haste. Considere que o ngulo entre a haste BC e a

abscissa de um plano xy que tem a sua origem emB igual a 37o.

RESPOSTA: FAB= 644 N; FBC = 402,5 N

2) Determine as reaes nos apoios das vigas mostradas.(a) (b)

3) Para a viga e o carregamento mostrado nas figuras, determine as reaes nos apoios e momentofletor no ponto C.

(a) (b)

4) Para as vigas e carregamentos apresentados determine as reaes nos apoios e momento fletorque atua no ponto especificado para cada caso.


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(a) Momento fletor em x = a (ponto B)

RESPOSTA: RA= Pb/L;

RC= Pa/L;

MB= Pba/L

(b) Momento fletor em x = L/2

RESPOSTA: RA= wL/2;

RB= wL/2;

ML/2= wL2/8

(c) Momento fletor em x = L/2RESPOSTA: RA= w(L 2a);

RD= w(L 2a);

ML/2= w(L2/8 a2/2)

(d) Momento fletor em x = L/2

RESPOSTA: RA= wa;

RD= wa;

ML/2= wa2/2


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Notas de Aulas Resistncia dos MateriaisCaptulo 2 Foras e Tenses

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2. FORAS E TENSES

2.1 CONCEITO DE TENSO Os resultados obtidos no captulo anterior, embora necessrios a uma primeira anlise da

estrutura, no dizem se cada um dos componentes vai suportar a carga qual est submetido.

Tenso resultado da ao de cargas externas sobre uma unidade de rea da seo transversalanalisada na pea, componente mecnico ou estrutural submetido a solicitaes mecnicas, ou

seja:

A

P=

onde = tenso

P = carga axial qual a estrutura est submetida

A = rea da seo transversal do componente

Por conveno, ser utilizado sinal positivo para indicar uma tenso de trao e sinal negativopara indicar tenso de compresso.

A Unidade de tenso () no SI o Pascal (Pa). Porm, considerando-se que o Pascal um valorextremamente pequeno, na pratica devero ser usados mltiplos desta unidade. Lembramos que:

1 kPa = 103Pa = 103N/m2

1 MPa = 106Pa = 106N/m2

1 GPa = 109Pa = 109N/m2

Observao: em unidades inglesas, a carga P, geralmente, expressa em libras (lb) ou quilolibras(kip), e a rea da seo transversal A em polegadas quadradas (in2). A tenso () ser ento

expressa em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibras por polegada quadrada (ksi).

2.2 TENSO ADMISSVEL E TENSO LTIMA COEFICIENTE DE SEGURANA Em aplicaes de engenharia, a determinao das tenses utilizada pelos profissionais tanto na

avaliao de estruturas e mquinas j existentes, com o objetivo de prever seu comportamentoquando submetida determinada solicitao, quanto no projeto de estruturas e mquinas novas


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que executaro determinada funo. Tudo isto, levando-se sempre em considerao fatores de

economia e de segurana.

Seja em projetos novos, quanto na anlise de estruturas j existentes, um elemento importante aser levado em considerao como o material selecionado se comportar sob um carregamento.

Carga limite mxima fora que pode ser aplicada em um corpo de prova sem que o mesmo serompa ou apresente perda de resistncia, suportando foras menores.

Tenso ltimamxima tenso que pode ser aplicada em um corpo de prova sem que o mesmose rompa ou apresente perda de resistncia. Tambm conhecida como limite de resistncia.

expressa por:

A

P uu =

onde: u= Tenso ltima trao

Pu= carga axial limite

A = rea da seo transversal do corpo de prova

Qualquer elemento estrutural ou componente deve ser projetado de forma que a sua carga limiteseja sempre consideravelmente superior carga que este elemento ou componente estar sujeito

em condies normais de funcionamento.

Carga admissvel (carga de trabalho, carga de projeto) mxima carga que pode ser aplicadaem um elemento estrutural ou componente quando em funcionamento normal. sempre menor

que a carga limite.

Tenso admissvel mxima tenso que pode ser aplicada em um elemento estrutural oucomponente quando em funcionamento normal. sempre menor que a tenso ltima.

Coeficiente de segurana relao entre a carga limite (ou tenso ltima) e a carga admissvel(ou tenso admissvel).

admissvelcargalimitecarga

S.C =

admissveltenso

tlimatensoS.C =


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A seleo do coeficiente de segurana a ser usado para vrias aplicaes uma das maisimportantes tarefas da engenharia. Por isto deve sempre ser feito por profissionais com certa

experincia em projetos, levando-se em considerao fatores como: as variaes que podem

ocorrer nas propriedades do elemento, o nmero de cargas que podem ser esperadas durante avida da estrutura ou mquina, o tipo de carregamento planejado no projeto e provveis mudanas

futuras, o tipo de falha que pode ocorrer, a incerteza do mtodo de anlise, a deteriorao que

pode ocorrer durante a vida til do componente (incluindo falta de manuteno), a importncia

do elemento para a integridade de toda a estrutura, etc.

2.3 FORA AXIAL E TENSO NORMAL

Fora axial fora que atua ao longo do eixo da estrutura ou componente analisado. Quandoum componente est sujeito a uma fora axial, dizemos que est sob carga axial.

Tenso normaltenso resultante de uma fora axial atuando sob a rea da seo transversal deuma estrutura ou componente.

Figura 2.1 Fora axial e tenso normal

Apesar de sabermos que a tenso obtida em cada ponto da rea da seo transversal diferente,na prtica consideraremos que a distribuio das tenses normais em uma componente sob carga

axial uniforme (exceto nas vizinhanas imediatas dos pontos de aplicao das cargas).

Porm, importante ressaltar que uma distribuio uniforme da tenso possvel somente se alinha de ao das cargas concentradas passarem atravs do centride da seo considerada. Esse

tipo de carregamento chamado de carga centrada. Consideraremos que ele ocorre em todos os

elementos de barra retos encontrados em trelias e estruturas conectadas por pinos.


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Figura 2.2 Variao das tenses na seo transversal de uma barra

Figura 2.3 Carga centrada

Se um elemento de barra estiver carregado axialmente, mas excentricamente, percebemos, pelascondies de equilbrio, que as foras internas em uma dada seo devem ser equivalentes a uma

fora P aplicada no centride da seo e um conjugado M, cuja intensidade dada pelo

momento M = P.d. Neste caso, a distribuio das foras, bem como a distribuio

correspondente das tenses, no pode ser uniforme.

Figura 2.4 Elemento com carregamento excntrico


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2.4 TENSO DE CISALHAMENTO Fora de cisalhamento fora que atua transversalmente ao eixo da estrutura ou componente

analisado, onde a intensidade Pde sua resultante a fora cortantena seo.

Figura 2.5 Fora de cisalhamento

Tenso mdia de cisalhamento obtida dividindo-se a fora cortante Ppela rea Ada seotransversal.

A

Pmdia =

onde: = Tenso mdia de cisalhamentoP= fora cortante

A = rea da seo transversal

O valor obtido para a tenso de cisalhamento um valor mdio sobre a seo toda. Tenses de cisalhamento so encontradas comumente em parafusos, pinos e rebites, usados para

conectar componentes estruturais e de mquinas. Podem estar sujeitos a tenses de cisalhamento

simples ou duplo.

A

F

A

Pmdia ==

Figura 2.6 Parafuso submetido tenso de cisalhamento simples


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A2

F

A

F/2

A

Pmdia ===

Figura 2.7 Parafusos submetidos tenso de cisalhamento duplo

2.5 TENSO DE ESMAGAMENTO EM CONEXES Parafusos, pinos e rebites criam tenses nos componentes aos quais eles se conectam, ao longo

da superfcie de esmagamento.

d.t

P

A

Pe ==

Figura 2.8 Tenso de esmagamento em conexes

Tenso de esmagamento obtida dividindo-se a carga Ppela rea do retngulo que representa aprojeo do parafuso sobre a seo da placa


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Exerccios Captulo 2

1) O elemento mostrado abaixo est submetido a uma fora vertical de 3 kN. Determinar a posiox de aplicao da fora (distncia entre a aplicao

da fora e o ponto A) de modo que a tenso na

barra AB seja a mesma tenso sofrida pelo apoio C

(ou seja, AB= C). A haste tem uma seo

transversal de 400 mm2, e a rea de contato em C

de 650 mm2.

RESPOSTA: 124 mm

2) A barra rgida AB mostrada na figura abaixo suportada por um bloco de alumnio, que temrea da seo transversal de 1.800 m2, e por uma haste de ao AC que tem dimetro de 20 mm.

Os pinos de 18 mm em A e C esto submetidos a cisalhamento simples. Considerando a tenso

ltima do ao igual a: (u,ao = 680 MPa); a tenso ltima do

alumnio igual a: (u,al = 70 MPa) e a tenso de cisalhamento

ltima de cada pino igual a:(u, pinos= 900 MPa), determinar

a maior carga P que pode ser aplicada barra, se o fator de

segurana para todo o projeto for igual a 2.RESPOSTA: 168 kN

3) No suporte mostrado na figura, a parte superior do membro ABC tem 9,5 mm de espessura e aspartes inferiores tem 6,4 mm de espessura cada uma. usada

resina epxi para unir as partes superior e inferior em B. O pino

A tem 9,5 mm de dimetro e o pino usado em C tem 6,4 mm de

dimetro. Determine (a) a tenso de cisalhamento no pino A(b) a tenso de cisalhamento no pino C, (c) a maior tenso

normal no membro ABC, (d) a tenso de cisalhamento mdia

nas superfcies coladas em B, (e) a tenso de esmagamento no

membro em C.

RESPOSTA:(a) 47,2 MPa; (b) 52,0 MPa; (c) 17,2 MPa; d) 1,24 MPa; (e) 40,8 MPa


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4) So aplicadas duas foras ao suporte BCD mostrado na figura. (a) Sabendo que a barra decontrole AB deve ser feita de ao tendo um limite de tenso normal de 600 MPa, determine o

dimetro da barra para o qual o coeficiente de segurana com relao falha seja igual a 3,3.

(b) O pino em C deve ser feito de ao com um limitede tenso de cisalhamento 350 MPa. Determine o

dimetro do pino C para o qual o coeficiente de

segurana com relao ao cisalhamento seja tambm

igual a 3,3. (c) Determine a espessura necessria para

as barras de apoio em C sabendo que a tenso de

esmagamento admissvel do ao utilizado 300 MPa.

RESPOSTA:(a) 16,74 mm; (b) 22 mm; (c) 6 mm

5) A viga rgida BCD est presa por parafusos a uma barra de controle em B, a um cilindrohidrulico em C e a um suporte fixo em D. Os dimetros dos parafusos so: dB= dD= 9,5 mm,

dC= 12,7 mm. Cada parafuso age sob cisalhamento duplo e feito de um ao para o qual o

limite de tenso de cisalhamento u= 275 MPa. A barra de

controle AB tem um dimetro dA= 11 mm e feita de um

ao para o qual o limite da tenso de trao

u= 414MPa.Se o coeficiente de segurana mnimo deve ser 3,0 para toda

a estrutura, determine a maior fora ascendente que pode ser

aplicada pelo cilndrico hidrulico em C.

RESPOSTA: 22,75 kN

6) Duas barras cilndricas cheias AB e BC so soldadas uma outra em B e submetidas a umcarregamento conforme mostra a figura. Sabendo que d1 = 50 mm e

d2= 30 mm, calcule a tenso normal no ponto mdia da (a) barra AB, (b)

barra BC.

RESPOSTA: (a) 35,7 MPa; (b) 42,4 MPa


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7) Considerando a mesma barra do exerccio 6 e que a tenso normal mdia no pode exceder140 MPa em nenhuma das duas barras, determine os menores valores admissveis de d1 e d2.

RESPOSTA: d1 = 25,2 mm d2= 16,52 mm

8) Cada uma das quatro barras verticais da figura tem uma seo transversal uniforme e retangularde 8 x 36 mm e cada um dos pinos tm um dimetro de 16 mm.

Determine o valor mximo da tenso normal mdia nos vnculos

que conectam (a) os ponto B e D, (b) os pontos C e E.


9) Para a montagem e carregamento do exerccio 8 determine (a) a tenso de cisalhamento mdiano pino B, (b) a tenso de esmagamento mdia em B no componente BD, (c) a tenso de

esmagamento mdia em B no componente ABC, sabendo que essa componente tem uma seo

transversal retangular uniforme medindo 10 x 50 mm.

RESPOSTA: (a) 80,8 MPa; (b) 127,0 MPa; (c) 203 MPa

10)Duas foras horizontais de 22 kN so aplicadas ao pino B do conjunto mostrado na figura.Sabendo que usado um pino de 20 mm de dimetro em cada

conexo, determine o valor mximo da tenso normal mdia (a)

na barra AB, (b) na barra BC.


11)Os componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira compensadaque sero totalmente coladas s superfcies em contato. Como parte do projeto da juno, e

sabendo que a folga entre as extremidades das componentes deve ser de 6,4 mm, determine o

comprimento mnimo permitido para que a tenso de cisalhamento na cola no exceda 0,8 MPa.

RESPOSTA: 308 mm


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12)A fora axial na coluna que suporta a viga de madeira mostrada na figura P = 75 kN.Determine o menor comprimento L admissvel para a chapa

de contato para que a tenso de contato na madeira no exceda

3,0 MPa.

13)A barra AC feita de um ao com um limite de tenso normal igual a 450 MPa e tem um seotransversal retangular uniforme de 6,4 x 12,7 mm. Ela est conectada a um suporte em A e

componente BCD em C por pinos com dimetro de7,5 mm. A componente BCD est conectada a seu

suporte em B por um pino com dimetro de 8,5 mm.

Todos os pinos so feitos de um ao com um limite de

tenso de cisalhamento igual a 172 MPa e sofrem

cisalhamento simples. Sabendo que se deseja um

coeficiente de segurana de 2,8, determine a maior

carga P que pode ser aplicada em D.

14)Duas barras cilndricas cheias AB e BC so soldadas uma outra em B e submetidas a umcarregamento conforme mostra a figura.

Determine a tenso normal mdia no ponto

mdio da barra AB e da barra BC.


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Notas de Aulas Resistncia dos MateriaisCaptulo 3 Tenso e deformao Carregamento Axial

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3. TENSO E DEFORMAO CARREGAMENTO AXIAL

Outro aspecto importante da anlise e projeto de estruturas relaciona-se com as deformaesproduzidas pelas cargas aplicadas.

Nem sempre possvel determinar as foras nos componentes de uma estrutura aplicandosomente os princpios da esttica; isto porque a esttica baseada na hiptese de estruturas

rgidas e indeformveis.

Considerando as estruturas de engenharia deformveis e analisando as deformaes em seusvrios componentes, poderemos determinar as foras estaticamente indeterminadas.

3.1 DEFORMAO ESPECFICA NORMAL Vamos considerar a barra BC, de comprimento L e com seo transversal uniforme de rea A,

que est suspensa em B. Se aplicarmos, gradativamente, uma fora P extremidade C, a barra se

alonga. Com os dados deste ensaio, pode-se gerar o grfico da fora (P) pela deformao ().

Figura 3.1 Deformao em uma barra de seo transversal uniforme grfico P x

Embora o grfico P x mostrado na Figura 3.1 contenha informaes sobre a barra estudada, eleno pode ser utilizado para prever o comportamento de uma barra de mesmo material, mas de

dimetro diferente, conforme mostrado na Figura 3.2.

Porm, em todos os casos a relao entre deformao e comprimento da barra a mesma; ela igual a /L.

Deformao especfica normal a deformao por unidade de comprimento de uma barra sobcarregamento axial. Podemos escrever, ento:

L

=


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Figura 3.2 Deformao em barras de seo transversal uniforme

Exemplo 3.1: Considere uma barra de comprimento L = 0,600 m, com seo transversal uniforme,

que sofre uma deformao = 150 x 10-6m. Determine a deformao especfica correspondente.

Exemplo 3.2: Se usarmos unidades inglesas no exemplo 3.1, o comprimento da barra ser 23,6 pol

e a deformao 5,91 x 10-3pol. Determine a deformao especfica correspondente.

Construindo o grfico da tenso, = P/A em funo da deformao especfica, = /L, obtemosa curva caracterstica das propriedades do material, no dependente das dimenses do corpo de

prova utilizado. Esta curva chamada de diagrama tenso-deformao.

3.2 DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO Para se obter o diagrama tenso-deformao de um material, geralmente se executa um ensaio

de traoem um corpo de prova do material. A Figura 3.3 apresenta um tipo de corpo de prova

usado comumente.


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Figura 3.3 Corpo de prova tpico

A rea da seo transversal da parte central cilndrica foi determinada com preciso e foramfeiras duas marcas de referncia naquela parte, a uma distncia L0uma da outra (comprimento de

referncia do corpo de prova). O corpo de prova ento colocado em uma mquina de teste

usada para aplicar uma carga centrada P.

Figura 3.4 Mquina de prova

medida que a carga P aumenta, a distncia L entre as duas marcas de referncia tambmaumenta. Mede-se ento, com o extensmetro, o alongamento (= L L0)para cada valor de P.

Para cada par de leitura (P e ), calculada a tenso, , tendo como referncia a rea original daseo transversal do corpo de prova, A0. A deformao especfica, , obtida dividindo-se o

alongamento, , pela distncia original L0. Obtm-se, ento, o diagrama tenso-deformao.

A Figura 3.5 apresenta os principais pontos e reas representados em um diagrama tenso-deformao.


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Figura 3.5 Pontos importantes do diagrama tenso-deformao

Se as deformaes especficas provocadas em um corpo de prova pela aplicao de uma dadafora desaparecem quando a fora removida, dizemos que o material se comporta

elasticamente.

Limite elstico do material o maior valor da tenso para o qual o material se comportaelasticamente.

Se o limite de escoamento for atingido, quando a fora for removida, a tenso e a deformaodiminuem, porm o material no volta s condies iniciais (no retorna zero). Isto significa

que as deformaes no material foram permanentes, ou seja, o material sofreu deformao

plstica.

A parte da deformao plstica que no depende da tenso conhecida como escoamento. Oescoamento caracteriza-se por uma deformao permanente do material sem que haja aumento

de carga, mas com aumento da velocidade de deformao. Durante o escoamento a carga oscila

entre valores muito prximos uns dos outros.

Aps o escoamento ocorre o encruamento, que um endurecimento causado pela quebra dosgros que compem o material quando deformados a frio. O material resiste cada vez mais

trao externa, exigindo uma tenso cada vez maior para se deformar. Nessa fase, a tenso

recomea a subir, at atingir um valor mximo num ponto chamado de limite de resistncia.

Continuando a trao, chega-se ruptura do material, que ocorre num ponto chamado limite deruptura. Note que a tenso no limite de ruptura menor que no limite de resistncia, devido

diminuio da rea que ocorre no corpo de prova depois que se atinge a carga mxima.


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3.3 LEI DE HOOKE MDULO DE ELASTICIDADE Muitas estruturas de engenharia so projetadas para sofrer deformaes relativamente pequenas,

envolvendo somente a parte reta do diagrama tenso-deformao especfica. Para esta parte

inicial do diagrama, a tenso diretamente proporcional deformao especfica e podemos

escrever:

= .E Lei de Hooke

onde: E = mdulo de elasticidade do material envolvido Mdulo de Young

Como a deformao especfica, , uma quantidade adimensional, o mdulo de Young expresso nas mesmas unidades de tenso.

Tenso de proporcionalidadevalor mximo da tenso, abaixo do qual o material obedece a leide Hooke.

Para cada um dos materiais considerados at agora, a relao entre a tenso normal e deformaoespecfica normal, =E., independente da direo de carregamento. Isso porque as

propriedades mecnicas de cada material, incluindo o mdulo de Young, E, so independentes

da direo considerada.

Materiais isotrpicosmateriais cujas propriedades independem da direo considerada. Materiais anisotrpicosmateriais cujas propriedades dependem da direo considerada.3.4 CARREGAMENTOS REPETIDOS FADIGA Nas sees anteriores vimos que se a tenso mxima no corpo no exceder o limite elstico do

material, o corpo de prova retornar sua condio inicial quando a carga for removida.

Porm, quando a carga repetida milhares ou milhes de vezes poder ocorrer a ruptura domaterial a uma tenso muito mais baixa do que a resistncia ruptura esttica. Esse fenmeno

conhecido com fadiga.

A fadiga deve ser levada em conta no projeto de todos os componentes estruturais e de mquinasque esto submetidos a cargas repetidas ou flutuantes. Lembrando-se ainda que o nmero de

ciclos de carregamento que se pode esperar durante a vida til de um componente varia

grandemente.


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O numero de ciclos de carregamento necessrios para provocar a falha de um corpo de provaatravs da aplicao de cargas cclicas pode ser determinado experimentalmente para um dado

nvel de tenso mxima.

Como resultados destes ensaios obtm-se uma curva de tenso mxima, , pelo nmero deciclos, n, que a estrutura/material suporta.

Figura 3.6 Limite de resistncia fadiga

Limite de resistncia fadiga tenso para a qual no ocorre falha, mesma para um nmeroindefinidamente grande de ciclos de carregamento.

3.5 DEFORMAES DE COMPONENTES SOB CARREGAMENTO AXIAL Considere a barra homognea BC de comprimento Le seo transversal uniforme Asubmetida a

uma fora axial concentrada P.

Figura 3.7 Deformaes de componentes sob carregamento axial

Se a tenso resultante, =P/A, no ultrapassar o limite de proporcionalidade do material,podemos aplicara lei de Hooke e escrever:

= .E

da qual segue-se que:

AE

P

E=

=


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Lembrando que a deformao, , foi definida como = /L, temos:

L.=

Da:E.AL.P

=

Observao: a equao acima s pode ser usada se a barra for homognea, se tiver seouniforme de rea Ae se tiver fora aplicada em suas extremidades.

Para o caso de barras carregadas em outros pontos que no em suas extremidades ou se elaconsistir em diversas partes, com vrias sees transversais e/ou de diferentes materiais,

precisamos dividi-la em partes componentes que satisfaam individualmente s condies

necessrias para a aplicao da equao descrita acima. Nestes casos, a deformao da barra

inteira pode ser expressa como:

=i ii

ii

E.A

L.P

onde: Pi = fora interna correspondente parte i

Li = comprimento da parte i

Ai= rea da seo transversal da parte i

Ei= mdulo de elasticidade (mdulo de Young) da parte i

Exemplo 3.3: Determine a deformao da varra de ao mostrada abaixo, submetida s foras dadas.

O mdulo de Young do material igual a 200 GPa.


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3.6 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS Nos problemas considerados at agora, sempre podamos usar diagramas de corpo livre e

equaes de equilbrio para determinar as foras internas produzidas nas vrias partes de um

componente sob certas condies de carregamento.

No entanto, existem problemas em que as foras internas no podem ser determinadas apenaspor meio da esttica. Nestes casos as equaes de equilbrio devem ser complementadas por

relaes envolvendo as deformaes obtidas, considerando a geometria do problema. Dizemos

que os problemas deste tipo so estaticamente indeterminados.

Exemplo 3.4: Uma barra de comprimento L, seo transversal A1, e mdulo de elasticidade E1, foi

colocada dentro de um tubo do mesmo comprimento L, mas de seo transversal A2e mdulo de

elasticidade E2. Qual a deformao da barra e do tubo quando uma fora P aplicada em uma placa

lateral rgida como mostra a figura?

Uma estrutura estaticamente indeterminada se ela vinculada por mais suportes do que aquelesnecessrios para manter seu equilbrio. Isto resulta em mais reaes desconhecidas do que

equaes de equilbrio disponveis.

Muitas vezes conveniente designar uma das reaes como redundante e eliminar o suportecorrespondente. Porm, como as condies estabelecidas no problema no podem ser alteradas

arbitrariamente, a reao redundante deve ser mantida na soluo (mas tratada como fora

desconhecida).

Nestes casos, a soluo do problema obtida considerando-se separadamente as deformaesprovocadas pelas foras e pela reao redundante e somando ou

superpondo os resultados

obtidos.


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Exemplo 3.5: Seja a barra de ao presa em ambas as extremidades por apoios fixos, conforme a

figura abaixo, submetida ao carregamento indicado. Determine o valor das reaes nestes apoios.

3.7 PROBLEMAS ENVOLVENDO MUDANAS DE TEMPERATURA Consideremos uma barra homognea AB de seo transversal uniforme, que se apia livremente

em uma superfcie horizontal livre, submetida variao de temperatura T.

Figura 3.8 Barra sujeita a variao de temperatura

Se a temperatura da barra for aumentada de T, observamos que a barra se alonga de T, que proporcional variao de temperatura T e ao comprimento L da barra. Da temos:

LT)(T =

onde: = o coeficiente de dilatao trmica do material

A deformao especfica causada pela variao de temperatura, T, conhecida como adeformao especfica trmica, dada por:

T)(T =


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Consideremos a mesma barra homognea AB de seo transversal uniforme, porm agoracolocada entre dois apoios fixos a uma distncia L. Novamente a barra submetida variao de

temperatura T.

Figura 3.9 Barra engastada sujeita a variao de temperatura

Se a temperatura da barra for aumentada de T, a barra no pode se alongar devido s restriesimpostas nas extremidades; A deformao T ser, ento, igual a zero, assim como a sua

deformao especfica, T.

Por outro lado, os apoios exercero foras iguais e opostas P e Pna barra. Conclumos entoque criado um estado de tenso (sem a deformao correspondente) na barra.

Para resolver um problema deste tipo, consideramos um dos apoios como redundante,eliminando-o em um primeiro momento. Com isto, supomos que a barra pode alongar-se

livremente com a variao de temperatura T.

Figura 3.10 Soluo de problema envolvendo barra engastada sujeita a variao de temperatura

A deformao decorrente do aumento da temperatura ser, portanto:LT)(T =


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Aplicando-se agora extremidade B a fora P, representando a reao redundante, obtemos umasegunda deformao:

E.A

L.Pp =

Considerando que a deformao total, , deve ser zero, temos:

0A.EP.L

LT)(pT =+=+=

de onde conclumos que: )T(.E.AP =

A tenso na barra devido mudana de temperatura ser ento:

)T.(.EA

P==

Exemplo 3.6: Determine os valores da tenso nas partes AC e CB da barra de ao mostrada na

figura abaixo, quando a temperatura da barra de -45oC, sabendo que ambos os apoios rgidos esto

ajustados quando a temperatura de +20oC. Use os valores E = 200 GPa e = 12 x 10-6/oC para o

ao.


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Exerccios Captulo 3

1) A barra rgida BDE suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB de alumnio(E = 70 GPa) e tem um seo transversal com rea de

500 mm2; a barra CD de ao (E = 200 GPa) e tem uma

seo transversal com rea de 600 mm2. Para a fora de

30 kN mostrada na figura, determine os deslocamentos dos

pontos (a) B, (b) D, (c) E.

RESPOSTA: (a) 0,514 mm; (b) 0,300 mm ; (c) 1,928 mm

2)

Um fio de ao de 60 m de comprimento est submetido a uma fora de trao de 6 kN. Sabendoque E = 200 GPa e que o comprimento do fio deve aumentar, no mximo, 48 mm, determine

(a) o menor dimetro que pode ser selecionado para o fio, (b) a tenso normal correspondente.

RESPOSTA: (a) 6,91 mm; (b) 160 MPa

3) O cabo BC de 4 mm de dimetro feito de ao com E = 200 GPa. Sabendo que a mximatenso no cabo no pode exceder 190 MPa e que a deformao

do cabo no deve exceder 6 mm, determine a mxima fora Pque pode ser aplicada, conforme a figura.

RESPOSTA: 1,998 kN

4) Uma nica fora axial de intensidade P = 58 kN aplicada extremidade C da barra de latoABC. Sabendo que E = 105 GPa, determine o dimetro da parte

BC para o qual o deslocamento do ponto C ser de 3 mm.

RESPOSTA: 16,52 mm

5) Um bloco de 250 mm de comprimento e seo transversal de 50 x 40 mm deve suportar umafora de compresso centrada P. O material usado uma liga de bronze para o qual E = 95 GPa.

Determine a maior fora que pode ser aplicada, sabendo que a tenso normal no deve exceder

80 MPa e que a diminuio no comprimento do bloco dever ser, no mximo, 0,12% de seu

comprimento original.


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6) Para a trelia de ao (E = 200 GPa) e o carregamento mostrado, determine as deformaes doscomponentes AB e AD, sabendo que suas reas de

seo transversal so, respectivamente, 2600 mm2 e

1800 mm2

.

RESPOSTA: AB= 1,95 mm; AB= 2,03 mm

7) Os elementos ABC e DEF so unidos com barras de ao (E = 200 GPa). Cada barra feita deum par de chapas de 25 x 35 mm. Determine a variao no

comprimento do elemento BE e do elemento CF.

RESPOSTA: (a) 0,0302 mm; (b) 0,01783 mm

8) As barras CE de 12 mm de dimetro e DF de 20 mm de dimetro esto ligadas barra rgidaABCD conforme a figura. Sabendo que as barras so

feitas de alumnio e usando E = 70 GPa, determine, (a)

a fora em cada barra provocada pela fora mostradana figura, (b) o deslocamento do ponto A.

RESPOSTA: (a) 35,43 kN; 9,96 kN; (b) 1,16mm

9) Duas barras cilndricas slidas so unidas em B e carregadas conforme mostra a figura. A barraAB feita de ao (E = 200 GPa) e a barra BC, de lato(E = 105 GPa). Determine o deslocamento total da barra

composta ABC e o deslocamento do ponto B.


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10)A barra AB feita de ao cujo mdulo de Young (E) igual a 125 GPa, e tem seo transversaligual a 150 mm2. A barra CD feita de alumnio (E = 95 GPa) e tem seo transversal igual a

220 mm2. Sabendo que a fora P igual a 5 kPa, determine o deslocamento do ponto B e C.

11)A barra rgida CDE est ligada a um pino com apoio em E e apoiada sobre o cilindro BD delato, com 30 mm de dimetro. Uma barra de ao AC com

dimetro de 22 mm passa atravs de um furo na barra e est

presa por uma porca que est ajustada quando a temperatura

do conjunto todo de 20oC. A temperatura do cilindro de

lato ento elevada para 50oC enquanto a barra de ao

permanece a 20oC. Supondo que no havia tenses presentes

antes da variao de temperatura determine a tenso no

cilindro. (Barra AC: ao, E = 200 GPa, = 11,7 x 10-6/oC;

Barra BD: lato, E = 105 GPa, = 20,9 x 10-6/oC).

RESPOSTA: 44,8 MPa

12)O conjunto mostrado na figura consiste em um tubo de alumnio (Ealumnio= 70 GPa, lato= 23,6x 10-6/oC) totalmente preso a um ncleo de ao (Eao= 200 GPa, ao= 11,7 x 10

-6/oC) que est

livre de tenses a uma temperatura de 20oC.

Considerando somente deformaes axiais, determine

a tenso no tubo de alumnio quando a temperatura

atinge 180oC.

RESPOSTA: 47,0 MPa


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13)Uma barra consistindo em duas partes cilndricas AB e BC est impedida de se deformar emambas as extremidades. A parte AB feita de lato e a

parte BC feita de alumnio. Sabendo que a barra est

inicialmente livre de tenses, determine (a) as tensesnormais nas partes AB e BC provocadas por um aumento

de temperatura de 42oC,(b) o deslocamento do ponto B.

Considere: Elato = 105 GPa, lato = 20,9 x 10-6/oC,

Ealumnio= 72 GPa, aluminio= 23,9 x 10-6/oC.

RESPOSTA: (a) 44,4 MPa; 100,0 MPa; (b)0,500mm

14)Na temperatura ambiente (20oC) existe um espaamento de 0,5 mm entre as extremidades dasbarras mostradas na figura. Algum tempo depois,

quando a temperatura atingir 140oC, determine (a) a

tenso normal na barra de alumnio, (b) a variao

do comprimento da barra de alumnio.

RESPOSTA: (a) 116,2 MPa; (b) 0,363 mm

15)Um tubo de lato totalmente preso ao ncleo de ao. Determine o maior aumento permitido natemperatura se a tenso no ncleo de ao no deve

exceder 55 MPa.

lato= 20,9 x 10-6/oC

ao= 11,7x10-6/oC

RESPOSTA:77,71oC

notas_de_aulas_resistencia1.pdf

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