note de curs-fsi

7/28/2019 Note de Curs-FSI

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N u m e r i c a l a n a l y s i s i n u i d - s t r u c t u r e

i n t e r a c t i o n


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C H A P T E R 1

I n t r o d u c t i o n

L e t RN(N 3) b e a d o m a i n r e p r e s e n t i n g a r e g i o n o f t h e s p a c e . T h e d o m a i n w i l l b e a s s u m e d b o u n d e d a n d s u c i e n t l y s m o o t h ( r e g u l a r ) . T h e m o t i o n o f a n i n c o m p r e s s i b l e v i s c o u s h o m o g e n e o u s u i d i s d e s c r i b e d b y t h e N a v i e r - S t o k e s

e q u a t i o n s , w h e r e t h e u n k n o w n s a r e :

u = u(x, t)t h e E u l e r i a n v e l o c i t y o f t h e u i d

,

p = p(x, t) t h e p r e s s u r e o f t h e u i d ,

w i t h

x = (x1, , xN) a n d t R+ t h e i n s t a n t ( t i m e ) . T h e v e l o c i t y e l d i s a v e c t o r i a l f u n c t i o n

u = (u1, , uN) RN,w i t h

ui = ui(x1, , xN, t) a n d t h e p r e s s u r e p = p(x1, , xN, t) i s a s c a l a r f u n c - t i o n .

T h e c l a s s i c a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e :

(ut + (u )u) u + p = f i n R+,( 1 . 0 . 1 ) d i v

u = 0 i n R+,( 1 . 0 . 2 ) w h e r e

> 0 i s t h e d e n s i t y o f t h e u i d a n d i s c o n s i d e r e d t o b e a c o n s t a n t ( > 0) ; > 0 d e n o t e s t h e d y n a m i c v i s c o s i t y o f t h e u i d ( > 0). L e t u s r e m a r k t h a t , i n t h e l i t e r a t u r e , i n s t e a d o f t h e n o t a t i o n

c o u l d b e n d t h e n o t a t i o n

.

f = (f1, , fN) i s a d e n s i t y o f b o d y f o r c e s p e r u n i t m a s s ( f o r e x a m p l e ,t h e g r a v i t y ) .

T h e d i e r e n t o p e r a t o r s a p p e a r i n g i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e d e n e d

a s f o l l o w s :

=

x1, ,

xN

, (u )u =

Ni=1

uiu

xi RN,

u =N

i=1

2u

x2

i R

N,d i v u =

N

i=1

ui

xi R.

T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( 3 . 0 . 1 ) , ( 3 . 0 . 2 ) a r e c o m p l e t e d w i t h a D i r i c h l e t t y p e

b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e b o u n d a r y o f t h e d o m a i n d e n o t e d b y , t h a t i s ,

( 1 . 0 . 3 ) u(x, t) = g(x, t) f o r x , t > 0.I n t h e m o s t c a s e s , w e c h o o s e t h e n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n

u = 0 o n .

3


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4 1 . I N T R O D U C T I O N

M o r e o v e r , w e c o n s i d e r a n i n i t i a l c o n d i t i o n f o r t h e v e l o c i t y l e d :

( 1 . 0 . 4 )

u(x, 0) = u0(x) f o r x ,w h e r e u0 i s a g i v e n f u n c t i o n .

N o n - d i m e n s i o n a l i s a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i s t h e c o n v e r -

s i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s t o a f o r m w h i c h i s e a s i e r t o u s e b y r e d u c i n g t h e

n u m b e r o f p a r a m e t e r s i n t h e p r o b l e m t o b e s t u d i e d .

L e t u s c o n s i d e r

Lt h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h ( f o r e x a m p l e , t h e d i a m e t e r o f ) ,

U Rt h e c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y o f t h e s t u d i e d e l d ( f o r e x a m p l e , a

v e l o c i t y a s s o c i a t e d t o t h e n o n - h o m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n ) ,

= LU

t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e

a n d w e d e n o t e

( 1 . 0 . 5 )

x = xL

, t = t

= tL/U

, u(x, t) = u(x, t)U

, p(x, t) = p(x, t)U2

.

W i t h t h e s e n o t a t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s :

ut =u

t=

t

L/U

u(x, t)U

=

L

U2u

t(x, t) =

L

U2ut;

(u )u =N

i=1

uiu

xi=

Ni=1

ui(x, t)

U

xi

L

u(x, t)U

=

L

U2

Ni=1

uiu

xi

=L

U2(u )u;

u =

Ni=1

2

uix2i=

Ni=1

2

xi

L

2ui(x, t)U = L2

U

Ni=1

2

uix2i= L

2

U u;

p = p

x1,

p

x2, . . . ,

p

xN

=

x1

L

p(x, t)U2

,

x2

L

p(x, t)U2

, . . . ,

xN

L

p(x, t)U2

=L

U2

p

x1,

p

x2, . . . ,

p

xN

=

L

U2p;

d i v u =N

i=1

ui

xi=

N

i=1

xi

Lui(x, t)

U = L

U

N

i=1

ui

xi=

L

U

d i v u.

T h u s , w e g e t t h a t t h e n e w v e l o c i t y a n d p r e s s u r e e l d s u a n d p v e r i f y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s :

U2

Lut +

U2

L(u )u

U

L2u +

U2

Lp = f

i n

R+,U

Ld i v u = 0 i n R+.


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1 . I N T R O D U C T I O N 5

L e t u s n o t e t h a t t h e n e w d i e r e n t i a l o p e r a t o r s f r o m a b o v e

, a n d d i v a r e r e l a t e d

t o t h e n e w v a r i a b l e x.

D i v i d i n g b y

U2

Lt h e r s t e q u a t i o n f r o m a b o v e a n d b y

U

Lt h e s e c o n d o n e , w e

c a n w r i t e

ut + (u )u1

Reu + p = f

i n

R+,( 1 . 0 . 6 )

d i v

u = 0 i n R+,( 1 . 0 . 7 ) w h e r e

f = LU2

f,

Re = LU

i s t h e R e y n o l d s n u m b e r .

M o r e o v e r , w e d e n o t e

=

t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y .

F o r e x a m p l e , w e h a v e

= 0, 15 104 m 2 / s f o r t h e a i r , = 106

m

2/ s f o r t h e w a t e r ( b o t h a t

200C ) .

T h e f o l l o w i n g t a b l e s h o w s s o m e v a l u e s o f t h e R e y n o l d s n u m b e r :

U L Re = LU/c a r 1 0 0 k m / h 3 m 5 106a i r c r a f t ( a i r b u s A 3 3 0 ) 8 6 0 k m / h 6 0 m

109 s h ( s a l m o n ) 1 2 , 5 m / s 1 m 1, 25 107 s h ( h e r r i n g ) 1 , 6 7 m / s 3 0 c m 5 105p i g e o n 5 m / s 3 0 c m 105

b u t t e r y 1 m / s 5 c m 3 3 3 3

w a s p 2 c m / s 2 c m 2 6

p r o t o z o a n

101c m / s

102c m

101

b a c t e r i a ( i n w a t e r ) 1 0 0

m / s 0 , 1

m

105

T h e R e y n o l d s n u m b e r c h a r a c t e r i z e s t h e u i d o w t y p e . F r o m m a t h e m a t i c a l

p o i n t o f v i e w , i t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e v i s c o s i t y t e r m o f t h e L a p l a c i a n o f t h e

v e l o c i t y e l d .

T h e m a i n d i c u l t i e s t o s t u d y a n d s o l v e t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e , o n

o n e h a n d , t h e c o u p l i n g v e l o c i t y / p r e s s u r e a n d , o n t h e o t h e r h a n d , t h e p r e s e n c e o f

t h e n o n l i n e a r c o n v e c t i o n t e r m (u )u.

D e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e R e y n o l d s n u m b e r

Rei s l a r g e o r s m a l l , t h e N a v i e r -

S t o k e s e q u a t i o n s r e d u c e t o S t o k e s o r E u l e r e q u a t i o n s .

F o r

Re 1, t h e e e c t s d u e t o v i s c o s i t y a r e d o m i n a n t . I f w e c o n s i d e r

p = LU p = Re p,

f = Re f,

t h e e q u a t i o n ( 1 . 0 . 6 ) b e c o m e s

ut + (u )u1

Reu +

1

Rep = 1

Ref,


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6 1 . I N T R O D U C T I O N

t h a t i s ,

Re ut + Re (u )u u + p = f.T a k i n g

Re 0 , w e g e t t h e s t a t i o n a r y S t o k e s e q u a t i o n s ( w e o m i t

a n d

s y m b o l s ) :

u + p = f i n ,( 1 . 0 . 8 ) d i v u = 0 i n .( 1 . 0 . 9 )

F o r

Re 1 , t h e n o n l i n e a r c o n v e c t i o n t e r m (u )u i s d o m i n a n t . I n t h i s c a s e , w e t a k e

Re + i n e q u a t i o n s ( 1 . 0 . 6 ) ( 1 . 0 . 7 ) ( o r t a k e d i r e c t l y = 0 i n ( 3 . 0 . 1 ) ( 3 . 0 . 2 ) ) a n d w e g e t t h e E u l e r e q u a t i o n s ( w e o m i t

a n d

s y m b o l s ) :

ut + (u )u + p = f i n R+,( 1 . 0 . 1 0 ) d i v

u = 0i n

R+.( 1 . 0 . 1 1 )

O u r a i m i n t h i s c o u r s e i s t o s t u d y t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e i n c o m p r e s s -

i b l e v i s c o u s h o m o g e n e o u s u i d a n d a s t r u c t u r e . F o r s i m p l i c i t y o f a n a l y s i s ,

w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e e q u a t i o n s m o d e l i n g t h e m o t i o n o f a r i g i d b o d y i m m e r s e d

i n a u i d ( m a y b e w e h a v e e n o u g h t i m e t o s t u d y a d e f o r m a b l e b o d y w i t h a k n o w n

d e f o r m a t i o n a n d s o o n ) .

A s w e h a v e a l r e a d y s a i d , t h e m o t i o n o f t h e u i d i s d e s c r i b e d b y t h e c l a s s i c a l

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w h e r e a s t h e m o t i o n o f t h e r i g i d b o d y i s g o v e r n e d b y t h e

b a l a n c e e q u a t i o n s f o r l i n e a r a n d a n g u l a r m o m e n t u m ( i . e . N e w t o n ' s l a w ) . I n o t h e r

w o r d s , w e w i l l s t u d y a s y s t e m c o u p l i n g p a r t i a l d i e r e n t i a l a n d o r d i n a r y d i e r e n t i a l

e q u a t i o n s .

L e t u s c o n s i d e r

N = 2 a n d w e s u p p o s e t h a t t h e r i g i d s o l i d o c c u p i e s a t e a c h i n s t a n t

ta c l o s e c o n n e c t e d s u b s e t

B(t) . T h i s b o d y i s s u r r o u n d e d b y t h e u i d l l i n g t h e d o m a i n

(t) = \ B(t).T h e s y s t e m f o r m e d b y t h e c l a s s i c a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d t h e N e w t o n ' s

l a w i s t h e f o l l o w i n g :

f

ut + (u )u

u + p = ff i n (t) [0, T],( 1 . 0 . 1 2 )

d i v u = 0 i n (t) [0, T],( 1 . 0 . 1 3 ) u = 0 o n [0, T],( 1 . 0 . 1 4 )

u = (t) + (t)(x (t)), x B(t), t [0, T],( 1 . 0 . 1 5 )

( 1 . 0 . 1 6 )

m(t) =

B(t)

n d + s

B(t)

f(x, t)dx, t [0, T],

( 1 . 0 . 1 7 )

J(t) = B(t)

(x (t)) n d + s B(t)

(x (t)) f(x, t)dx, t [0, T].

T h e s y s t e m ( 1 . 0 . 1 2 ) ( 1 . 0 . 1 7 ) i s c o m p l e t e d t h e w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n s :

( 1 . 0 . 1 8 )

u(x, 0) = u0(x), x (0),

( 1 . 0 . 1 9 )

(0) = 0 R2, (0) = 1 R2, (0) = 0 R.I n t h e a b o v e s y s t e m , w e u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n s :


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1 . I N T R O D U C T I O N 7

u = u(x, t) i s t h e v e l o c i t y e l d o f t h e u i d , p = p(x, t) r e p r e s e n t s t h e p r e s s u r e o f t h e u i d , (t) d e n o t e s t h e p o s i t i o n o f m a s s c e n t e r o f t h e r i g i d b o d y , (t) d e n o t e s t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e r i g i d b o d y , f > 0 i s t h e d e n s i t y o f t h e u i d , s > 0 i s t h e d e n s i t y o f t h e s o l i d , m, J

d e n o t e s t h e m a s s a n d t h e m o m e n t u m o f i n e r t i a o f t h e s o l i d ,

> 0 d e n o t e s t h e d y n a m i c v i s c o s i t y o f t h e u i d , f = f(x, t) i s t h e a p p l i e d f o r c e p e r u n i t m a s s , = pId + 2D(u) d e n o t e s t h e C a u c h y s t r e s s t e n s o r , w i t h

Id t h e i d e n t i t y m a t r i x , D(u) g i v e n b y t h e f o r m u l a

D(u) = u +

uT

2 ,

w h e r e

uT m e a n s t h e t r a n s p o s e o f u, t h a t i s ,

(D(u))kl =1

2

ukxl

+ulxk

.

B(t) d e n o t e s t h e s o l i d a n d i s g i v e n b y B(t) =

(t) + R(t)y | y B(0)

,

w h e r e

(t) =t0

(s)ds,

R(t) i s t h e r o t a t i o n m a t r i x o f a n g l e (t).

B (t) d e n o t e s t h e b o u n d a r y o f t h e r i g i d b o d y a t i n s t a n t t , n = n(x, t) i s t h e u n i t n o r m a l t o B (t) a t t h e p o i n t x d i r e c t e d t o t h e

i n t e r i o r o f t h e r i g i d b o d y ,

x i s g i v e n b y t h e f o r m u l a x =

x2x1

f o r a l l

x =

x1x2

R2,

x y s t a n d s f o r t h e i n n e r p r o d u c t b e t w e e n x a n d y .

T h e m a i n d i c u l t i e s o f t h i s p r o b l e m a r e t h e f o l l o w i n g : t h e e q u a t i o n s o f t h e

u i d a r e c o u p l e d w i t h t h o s e o f t h e s o l i d a n d o n t h e o t h e r h a n d , t h e d o m a i n o f t h e

u i d i s v a r i a b l e (

(t)) a n d i s o n e o f t h e u n k n o w n s o f t h e p r o b l e m ( w e t h u s h a v e a

f r e e b o u n d a r y p r o b l e m ) .

F r o m a n u m e r i c a l p o i n t o f v i e w , t h e r e s o l u t i o n o f a u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n

p r o b l e m r e q u i r e s r s t s o l v i n g t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . I n a d d i t i o n , t h e N a v i e r -

S t o k e s e q u a t i o n s u s e m a n y m e t h o d s w h i c h s o l v e t h e i n t e r m e d i a t e S t o k e s p r o b l e m .

T h e S t o k e s p r o b l e m i s a c o u p l e d v e l o c i t y / p r e s s u r e p r o b l e m , b u t l i n e a r . F o r t h i s

r e a s o n , w e w i l l r s t s t u d y t h e S t o k e s p r o b l e m , t h e n w e d e v e l o p a n d a n a l y z e n u -

m e r i c a l s c h e m e s f o r t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w h i c h w i l l b e a s i g n i c a n t s t e p t o

p a s s a t s t u d y i n g n u m e r i c a l s c h e m e s f o r u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n p r o b l e m s .


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9/86

C H A P T E R 2

S t o k e s e q u a t i o n s

L e t RN(N = 2 o r 3) b e a b o u n d e d a n d s u c i e n t l y s m o o t h ( r e g u l a r ) d o m a i n . W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g S t o k e s p r o b l e m :

u + p = f i n ,( 2 . 0 . 1 ) d i v

u = 0i n

,( 2 . 0 . 2 )

u = 0o n

,( 2 . 0 . 3 )

w i t h

> 0 t h e d y n a m i c v i s c o s i t y .

1 . S o m e u s e f u l p r o p e r t i e s

L e t u s r s t r e c a l l s o m e u s e f u l p r o p e r t i e s .

G r e e n f o r m u l a : a ) F o r a l l s c a l a r s m o o t h e l d s

v,

w, w e h a v e

( 2 . 1 . 4 )

w v dx =

w v dx

w

nv d,

w h e r e n i s t h e u n i t a r y e x t e r i o r n o r m a l v e c t o r a t a n d

wn

=N

i=1

wxi

ni.

b ) F o r a l l v e c t o r i a l s m o o t h e l d s ( f u n c t i o n s )

v,

w, w e h a v e

( 2 . 1 . 5 )

w v dx =

w : v dx

w

n v d,

w i t h

w : v =N

i=1

wi vi =N

i=1

Nj=1

wixj

vixj

,

w

n v =N

i=1

Nj=1

wixj nj vi.

T h e d i v e r g e n c e f o r m u l a : F o r a n y v e c t o r i a l s m o o t h e l d

v, w e h a v e

( 2 . 1 . 6 )

d i v v dx =

v n d.

9


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1 0 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S

2 . T h e m i x e d v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e S t o k e s p r o b l e m

W e w i l l n d a m i x e d v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 0 . 1 )

( 2 . 0 . 3 ) . T o t h i s e n d , w e m u l t i p l y t h e e q u a t i o n ( 2 . 0 . 1 ) b y a t e s t f u n c t i o n v w h i c h

v a n i s h e s o n t h e b o u n d a r y

a n d w e i n t e g r a t e i n

:

u v dx +

p v dx =

f v dx.

U s i n g t h e G r e e n f o r m u l a ( 2 . 1 . 5 ) , i n t e g r a t i n g b y p a r t s t h e p r e s s u r e t e r m a n d t a k i n g

i n t o a c c o u n t t h a t t h e t e s t f u n c t i o n v v a n i s h e s o n t h e b o u n d a r y o f t h e d o m a i n , w e

g e t

u : v dx

pd i v

v dx =

f v dx.O n t h e o t h e r h a n d , w e m u l t i p l y t h e e q u a t i o n ( 2 . 0 . 2 ) b y a t e s t f u n c t i o n

qw h i c h

h a s a z e r o m e a n v a l u e o n

a n d w e i n t e g r a t e o n

, t h e n

(d i v u)q dx = 0.

I n o r d e r t o i n t r o d u c e t h e f u n c t i o n a l f r a m e w o r k o f o u r p r o b l e m , w e d e n e t h e

f o l l o w i n g s p a c e s :

L2() =

v : R | v m e a s u r a b l e a n d

|v(x)|2dx < +

,

H1() =

v L2() | v L2()N

,

H10 () =

v H1() | v = 0 o n

.

L e t u s a l s o t o i n t r o d u c e t h e s p a c e

( 2 . 2 . 7 )

L20() = q L2() |

q dx = 0

,

o f f u n c t i o n s i n L2() w h i c h h a v e z e r o m e a n v a l u e o v e r .T h u s , t h e m i x e d v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f S t o k e s p r o b l e m c a n b e w r i t t e n a s

f o l l o w s :

F i n d (u, p) H10 ()N L20() s u c h t h a t

u : v dx

pd i v

v dx =

f v dx v H10 ()N( 2 . 2 . 8 )

(d i v

u)q dx = 0 q L20().( 2 . 2 . 9 )

R e m a r k 2 . 1 . I n t h e i d e n t i t y ( 2 . 2 . 9 ) , i t i s e q u i v a l e n t t o t a k e t e s t f u n c t i o n i n

L2()( t h a t i s , n o t n e c e s s a r y o f z e r o m e a n v a l u e ) .

P r o o f .

I n f a c t , w e s u p p o s e t h a t ( 2 . 2 . 9 ) i s s a t i s e d . F o r

r L2(), w e d e n o t e r

i t s m e a n v a l u e , i . e . ,

r =1

||

r dxa n d w e h a v e

(d i v

u)r dx =

(d i v

u)(r r) dx + r

(d i v

u) dx

=

( d i v u)(r r) dx + r

u n dx.


11/86

2 . T H E M I X E D V A R I A T I O N A L F O R M U L A T I O N O F T H E S T O K E S P R O B L E M 1 1

W e h a v e

rr L20(), t h e n f o r u H10 ()N s a t i s f y i n g ( 2 . 2 . 9 ) , i n t h e a b o v e r e l a t i o n w e o b t a i n

( d i v u)r dx = 0.

L e t u s n o w i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g b i l i n e a r f o r m s :

( 2 . 2 . 1 0 )

a : H10 ()N H10 ()N R

a(u,v) =

u : v dx,

( 2 . 2 . 1 1 )

b : H10 ()N

L2()

R

b(u, q) =

(d i v u)q dx,

W i t h t h e a b o v e n o t a t i o n , t h e m i x e d v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f S t o k e s e q u a t i o n

i s w r i t t e n a s f o l l o w s :

F i n d (u, p) H10 ()N L20() s u c h t h a t

a(u,v) + b(v, p) = (f,v) v H10 ()N( 2 . 2 . 1 2 ) b(u, q) = 0 q L20(),( 2 . 2 . 1 3 )

w h e r e (, ) d e n o t e s t h e L2 - i n n e r p r o d u c t , t h a t i s ,

(f,v) =

f

vdx.

R e m a r k 2 . 2 . 1 ) I t i s i m p o r t a n t t o l o o k f o r t h e p r e s s u r e

pw i t h z e r o m e a n v a l u e . I n

f a c t , i f

pv e r i e s t h e S t o k e s e q u a t i o n ( 2 . 0 . 1 ) , t h e n

p + C s a t i s e s t h e s a m e e q u a t i o n , w h e r e

Ci s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t . A s w i l l b e s e e n , t h e s p a c e

L20() o f f u n c t i o n s w i t h z e r o m e a n v a l u e a s s u r e s t h e u n i q u e n e s s o f t h e p r e s s u r e .

2 ) T h e t e r m " m i x e d " r e f e r s t o t h e v e l o c i t y / p r e s s u r e f o r m u l a t i o n .

3 ) T h e r e i s a l s o p o s s i b l e a n o t h e r f u n c t i o n a l f r a m e w o r k f o r t h e S t o k e s p r o b l e m .

T o t h i s e n d , w e d e n o t e

V =u H10 ()N | d i v u = 0 i n

.

T h u s , t h e p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) w h i c h g i v e s u s t h e v e l o c i t y

ui s e q u i v a l e n t w i t h

t h e f o l l o w i n g p r o b l e m :

( 2 . 2 . 1 4 ) F i n d

u Vs u c h t h a t

a(u,v) = (f,v) v V.U s i n g L a x - M i l g r a m L e m m a , t h e p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 4 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n

u V( t h e b i l i n e a r f o r m

ai s c o n t i n u o u s a n d c o e r c i v e o n

V) . T h i s i s t h e m a n n e r t o p r o v e

t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f a s o l u t i o n o f t h e m i x e d p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) .


12/86


3 . T h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n

3 . 1 . A n a b s t r a c t r e s u l t f o r t h e m i x e d p r o b l e m . L e t

Xa n d

Yb e t w o

H i l b e r t s p a c e s a n d l e t c o n s i d e r t w o b i l i n e a r f o r m s

a : X X Rb : X Y R.

W e d e n o t e

X ( r e s p e c t i v e l y , Y ) t h e n o r m o n X ( r e s p e c t i v e l y o n Y ) . T h e b i l i n e a r f o r m s

aa n d

ba r e s u p p o s e d t o b e c o n t i n u o u s . F o r a g i v e n

f X(

X

r e p r e s e n t s t h e d u a l s p a c e o f

X) , w e l o o k f o r (u, p) X Y s u c h t h a t

a(u, v) + b(v, p) = < f, v >X,X v X( 2 . 3 . 1 5 ) b(u, q) = 0 q Y,( 2 . 3 . 1 6 )

w h e r e

< , >X,X r e p r e s e n t s t h e d u a l i t y p r o d u c t .

T h e o r e m 2 . 1 . L e t c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g h y p o t h e s i s :

( 1 ) T h e b i l i n e a r f o r m a i s c o e r c i v e o n X:

T h e r e e x i s t s

> 0 s u c h t h a t a(v, v) v2X v X.( 2 ) T h e b i l i n e a r f o r m

bs a t i s e s t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n :


> 0 s u c h t h a t supvX

v=0

b(v, q)

vX qY q Y.

T h e n t h e p r o b l e m ( 2 . 3 . 1 5 ) , ( 2 . 3 . 1 6 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n (u, p) X Y .R e m a r k 2 . 3 . T h e c o n d i t i o n ( 2 ) f r o m t h e a b o v e t h e o r e m i m p l i e s t h a t

infqY

q=0

sup

vXv=0

b(v, q)

v

X

q

Y

.

3 . 2 . T h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r t h e S t o k e s p r o b l e m . L e t u s n o w v e r i f y

t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 2 . 1 i n t h e c a s e o f S t o k e s p r o b l e m w i t h

X = [H10 ()]N

,

Y = L20() a n d t h e f o r m s a a n d b d e n e d b y ( 2 . 2 . 1 0 ) a n d ( 2 . 2 . 1 1 ) .

T h e f o r m

ai s c o n t i n u o u s a n d c o e r c i v e o n [H10 ()]

N [H10 ()]N. I n f a c t , f o r a l l u a n d v i n [H10 ()]

N, w e h a v e

a(u,v) =

u : v dx = N

i=1

ui vi dx.

B y u s i n g t h e H o l d e r i n e q u a l i t y , w e g e t

a(u,v) N

i=1

uiL2()NviL2()N

uL2()N2vL2()N2 uH1()NvH1()N u,v [H10 ()]N,

w h i c h g i v e s u s t h e c o n t i n u i t y o f

a. M o r e o v e r , t h e P o i n c a r i n e q u a l i t y

uH1()N CuL2()N2 u H10 ()N,


13/86

3 . T H E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 1 3

i m p l i e s t h e c o e r c i v i t y o f

ab e c a u s e

a(u,u) =

u

2L2()N2

C2

u

2H1()N

u

H10 ()

N.

T h e f o r m

bi s c o n t i n u o u s o n

[H10 ()]N L2()

:

b(v, q) =

(d i v

v)q dx vH1()NqL2() v H1()N, q L2().

T h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r

b. I n o r d e r t o p r o v e t h a t t h e b i l i n e a r f o r m

ba s s o c i a t e d

w i t h t h e S t o k e s p r o b l e m v e r i e s t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n , w e n e e d t h e f o l l o w i n g

r e s u l t :

L e m m a 2 . 1 . T h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C > 0 s u c h t h a t f o r a l l p L2() , t h e r e e x i s t s v [H1()]N s u c h t h a t

d i v

v = pa n d

v

H1()N

C

p

L2().

M o r e o v e r , i f

pv e r i e s

p dx = 0 , t h e n c a n t a k e v [H10 ()]N.

T o p r o v e t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r t h e S t o k e s p r o b l e m , l e t c o n s i d e r

q L20().U s i n g L e m m a 2 . 1 , t h e r e e x i s t s w [H10 ()]N s u c h t h a t q = d i v w a n d

wH1()N CqL2().T h e n , w e h a v e

b(w, q) =

(d i v

w)q dx =

|q|2 dx = q2L2()a n d , b y c o n s e q u e n c e ,

b(w, q)wH1()N

1C

b(w, q)qL2() =

1C

qL2().

T h e r e f o r e ,

bs a t i s e s t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n w i t h

= 1/C > 0, w h e r e

Ci s t h e

c o n s t a n t f r o m L e m m a 2 . 1 .

C o n c l u s i o n . T h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n (u, p) H10 ()

N L20().

R e m a r k 2 . 4 . I f u i s t h e s o l u t i o n o f S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) , t h e n i t

s a t i s e s

a(u,v) = (f,v) f o r a l l v V , w h i c h i s e q u i v a l e n t w i t h t h e p r o b l e m minvV

1

2a(v,v) (f,v).

T h e m i x e d f o r m u l a t i o n o f t h e S t o k e s p r o b l e m c o r r e s p o n d s t o t h e f o l l o w i n g s a d d l e

p o i n t p r o b l e m :

minvX

maxqY

1

2a(v,v) + b(v, q) (f,v).

T h u s , t h e p r e s s u r e c a n b e s e e n a s a L a g r a n g e m u l t i p l i e r o f t h e f r e e d i v e r g e n c e c o n -

s t r a i n t .


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4 . A p p r o x i m a t i o n b y n i t e e l e m e n t s a n d d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n

F r o m n o w o n , w e c o n s i d e r

N = 2( u n l e s s w e e x p l i c i t l y c o n s i d e r o t h e r c a s e ) a n d

w e u s e t r i a n g u l a r L a g r a n g e n i t e e l e m e n t .

W e s u p p o s e t h a t i s a p o l y g o n a l d o m a i n , t h e r e f o r e c a n b e a c c u r a t e l y t r i a n - g u l a t e d b y :

=

i

Ki,

w h e r e

Ki i s a t r i a n g l e 1

( c l o s e d ) s u c h t h a t

Ki Kj = o r 1 v e r t e x o r 1 e d g e 2 , f o r i = j

.

W e d e n o t e b y

{ai} t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s . T h e m e s h s i z e i s c h a r a c t e r i z e d b y

h = maxK

hK,

w h e r e

hK i s t h e s i z e o f t r i a n g l e K d e n e d b y

hK = maxai,ajK

|ai aj |.

E q u i v a l e n t l y ,

hK c a n b e d e n e d a s t h e d i a m e t e r o f t r i a n g l e K, i . e . t h e d i a m e t e r o f t h e c i r c u m c i r c l e o f t h e t r i a n g l e

K.

T h e n , w e d e n o t e Th t h e t r i a n g u l a t i o n m a d e b y t h e t r i a n g l e s {Ki}i .A s s u m e a l s o t h a t t h e d o m a i n

i s c o n v e x , a n d t h i s h y p o t h e s i s i s m a i n l y i m p o s e d

t o o b t a i n r e g u l a r i t y f o r t h e s o l u t i o n o f t h e e l l i p t i c p r o b l e m i n

.

M o r e o v e r ,

Pk, k 0, d e n o t e s s p a c e o f p o l y n o m i a l s w i t h N v a r i a b l e s a n d o f d e g r e e l e s s o r e q u a l t h a n

k.

4 . 1 . S o m e u s e f u l l p r o p e r t i e s o n n i t e e l e m e n t s . L e t u s r e c a l l s o m e i m -

p o r t a n t p r o p e r t i e s o n n i t e e l e m e n t s .

R e g u l a r t r i a n g u l a t i o n s . T h e t r i a n g u l a t i o n

Th o f i s c a l l e d r e g u l a r i f t h e r e e x i s t s

> 0 i n d e p e n d e n t o f h a n d K s u c h t h a t

K :=hKK

K Th,

w h e r e

K i s t h e r o u n d n e s s o f t h e t r i a n g l e K d e n e d b y

K = sup{ d i a m e t e r o f B | B b a l l c o n t a i n e d i n K}.T h e r a t i o

K m e a s u r e s t h e a t t e n i n g o f t h e t r i a n g l e K ( K =

3 f o r K a e q u i l a t e r a l t r i a n g l e ) . M o r e p r e c i s e l y , i f

hK d e n o t e s t h e l e n g t h o f t h e l o n g e s t s i d e o f t h e t r i a n g l e K

a n d i f

K i s t h e s m a l l e s t a n g l e o f K, t h e w e c a n s h o w t h a t

1 + sin K2

sin K hK

K 1

tan K2 .

T h e t r i a n g u l a t i o n

Th i s c a l l e d u n i f o r m l y r e g u l a r ( o r q u a s i - u n i f o r m ) i f t h e r e e x i s t > 0 a n d > 0 i n d e p e n d e n t o f h a n d K s u c h t h a t

h hK K K Th.1

a t e t r a h e d r o n i n t h e c a s e N = 32

f a c e o r e d g e i n d i m e n s i o n N = 3


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4 . A P P R O X I M A T I O N B Y F I N I T E E L E M E N T S A N D D I S C R E T E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 1 5

K

(0,0) (1,0)

(0,1)

KF

a1

2

3

K

a

a

F i g u r e 1 .

R e f e r e n c e t r i a n g l e - A n e m a p .

B a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s . T h e b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s o f a p o i n t

x R2w i t h

r e s p e c t t o t h e 3 v e r t i c e s a1, a2,a3 o f a t r i a n g l e K a r e t h e f u n c t i o n s i = i(x) s u c h t h a t

i P1, i(aj ) = ij f o r 1 i, j 3,w h e r e

ij d e n o t e s t h e K r o n e c k e r d e l t a , i . e .

ij =

0

i f

i = j,1 i f i = j.

T h e b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

3i=1

i = 1,

p =

3i=1

p(ai)i p P1.

I n t e g r a t i o n f o r m u l a . F o r a l l k1, k2, k3 0 ,

( 2 . 4 . 1 7 )

K

k11 k22

k33 dx = 2|K|

k1!k2!k3!

(2 + k1 + k2 + k3)!.

T h e r e f e r e n c e e l e m e n t . L e t

FK b e a n a n e m a p w h i c h t r a n s f o r m t h e r e f e r e n c e t r i a n g l e

Ki n t o a t r i a n g l e

K, i . e .

FK(K) = K ( s e e F i g u r e 1 ) .T h e m a p

FK i s d e n e d a s f o l l o w s :

FK(x) = BKx + bK

w i t h

BK = x2 x1 x3 x1y2

y1 y3

y1 , bK =

x1y1 ,

w h e r e (xi, yi) a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e v e r t i c e s ai . W e r e c a l l t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y :

2|K| = | d e t BK|,BK2 hK

K, B1K 2

hKK

.

D u e t o t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s i n t h e i n t e g r a l s a n d u s i n g t h e a b o v e p r o p e r t i e s , w e

c a n p r o v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t .


16/86


k=3k=2

F i g u r e 2 .

E x a m p l e s o f l a t t i c e s o f o r d e r 2 a n d 3 .

P r o p o s i t i o n 2 . 1 . F o r

m 0 e n t i r e , t h e m a p v v = v FK i s a n i s o m o r p h i s m f r o m

Hm(K) t o Hm(K) a n d t h e r e e x i s t t h e c o n s t a n t s C1, C2 > 0 i n d e p e n d e n t o f m

, s u c h t h a t

|v|m,K C1hKmK |v|m,K v H

m

(K),

|v|m,K C2hmKK

|v|m,K v Hm(K),

w h e r e

Hm(K) =

v L2(K) | Dv L2(K) s u c h t h a t || m

a n d

| |m,K d e n o t e s t h e s e m i n o r m i n Hm(K) , i . e .

|v|m,K =

||=m

Dv2L2(K)

1/2

.

I n v e r s e i n e q u a l i t i e s .

P r o p o s i t i o n 2 . 2 . W e s u p p o s e t h a t

Th i s a u n i f o r m l y r e g u l a r t r i a n g u l a t i o n . L e t K Th a n d P a n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e o f Hl(K) Hm(K) w i t h 0 m l .T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C > 0 i n d e p e n d e n t o f h a n d K s u c h t h a t

vHl(K) ChmlvHm(K) v P.

I n t e r p o l a t i o n . W e c a l l l a t t i c e o f o r d e r

ko f t h e t r i a n g l e

Ko f v e r t i c e s a1, a2, a3 ,

t h e s e t ( s e e F i g u r e 2 )

K = x =3

i=1

iai |3

i=1

i = 1; i 0,1

k,

2

k, , k 1

k, 1 .

L e t u s d e n o t e

Wh =

v C0() | v|K Pk, K Th

( 2 . 4 . 1 8 )

Xh = Wh H10 ()( 2 . 4 . 1 9 )


17/86


P r o p o s i t i o n 2 . 3 . W e a s s u m e t h a t

Th i s r e g u l a r a n d k 1 . T h e n , t h e r e e x i s t s a n o p e r a t o r

Ih L(

H

2

(); Wh) L(H2() H10 (); Xh)

d e n e d o n e a c h e l e m e n t

Ka s f o l l o w s :

( 2 . 4 . 2 0 )

Ihv|K Pk, Ihv(x) = v(x) x K,s u c h t h a t f o r

2 s k + 1:

v IhvL2() + h(v Ihv)L2() Chs|v|Hs() v Hs(),w h e r e

C > 0 i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f h a n d v .

T h e a b o v e r e s u l t i s a n i n t e r p o l a t i o n r e s u l t f o r r e g u l a r f u n c t i o n s ( p r e c i s e l y , f o r

c o n t i n u o u s f u n c t i o n s ) i n o r d e r t o g i v e a m e a n i n g t o ( 2 . 4 . 2 0 ) . T h e f u n c t i o n s

vf r o m

P r o p o s i t i o n 2 . 3 a r e c o n t i n u o u s b e c a u s e

H2() C0() f o r N 3 ( i . e . H2() i sc o m p a c t l y i n j e c t e d i n

C0() f o r N 3) . F o r n o n - r e g u l a r f u n c t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t :

P r o p o s i t i o n 2 . 4 . W e a s s u m e t h a t

Th i s r e g u l a r a n d k 1 . T h e n , t h e r e e x i s t s a n o p e r a t o r

Rh L(

H10 (); Xh)

a n d a c o n s t a n t

C > 0i n d e p e n d e n t o f

hs u c h t h a t

v RhvL2() + h(v Rhv)L2() Ch|v|H1() v H10 ().4 . 2 . T h e a p p r o x i m a t e d m i x e d f o r m u l a t i o n . I n o r d e r t o d i s c r e t i z e t h e

S t o k e s p r o b l e m b y u s i n g n i t e e l e m e n t s , w e w i l l u s e t h e m i x e d f o r m u l a t i o n b e c a u s e

i t i s g e n e r a l l y d i c u l t t o d i s c r e t i z e t h e s p a c e

V, i . e . , t o b u i l d a f r e e d i v e r g e n c e b a s e .

W e r e c a l l t h a t w e c h o o s e t h e d i m e n s i o n

N = 2. L e t

Xh

X = [H10 ()]

2

a n d

Yh Y = L20()t w o n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e s . T h e a p p r o x i m a t e d m i x e d f o r m u l a t i o n c a n b e

w r i t t e n a s f o l l o w s :

F i n d

uh Xh, ph Yh s u c h t h a t a(uh,vh) + b(vh, ph) = (fh,vh) vh Xh( 2 . 4 . 2 1 )

b(uh, qh) = 0 qh Yh.( 2 . 4 . 2 2 )

W e a s s u m e t h a t t h e s p a c e s

Xh a n d Yh a r e s u c h t h a t t h e b i l i n e a r f o r m b v e r i e s t h e f o l l o w i n g d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n o n

Xh Yh :

T h e r e e x i s t s > 0 i n d e p e n d e n t o f h s u c h t h a t qh Yh , vh Xh , vh = 0 s u c h t h a t

( 2 . 4 . 2 3 )

b(vh, qh) vhXqhY.

U n d e r t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) , t h e a p p r o x i m a t e d m i x e d f o r m u -

l a t i o n ( 2 . 4 . 2 1 ) , ( 2 . 4 . 2 2 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n (uh, ph) Xh Yh ( s e e T h e o r e m 2 . 1 ) .


18/86


0

0

0

0

0

0P

F i g u r e 3 .

E x a m p l e

P1/P1 : v e r r o u i l l a g e n u m r i q u e o f t h e v e l o c i t y .

W e n e e d t o c a r e f u l l y c h o o s e t h e a p p r o x i m a t e d s p a c e s

Xh a n d Yh f o r t h e v e - l o c i t y a n d p r e s s u r e e l d s . T h e y m u s t b e c h o s e n s u c h t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p "

c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s s a t i s e d . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e , w e c o n s i d e r t h e a p p r o x i -

m a t i o n

P1/P1

a n d w e s h o w t h a t t h e a s s o c i a t e d p r o b l e m i s i l l - p o s e d b e c a u s e o f t h e

l o c k i n g p h e n o m e n o n o n t h e v e l o c i t y e l d . W e a l s o s h o w t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p "

c o n d i t i o n i s n o t s a t i s e d f o r t h i s e x a m p l e .

E x a m p l e

P1/P1 ( c o u n t e r e x a m p l e ) .

W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t e d s p a c e s .

Wh = {vh C0() | vh|K P1, K Th},Xh = Wh Wh H10 ()2,Yh = Wh L20().

i ) N u m e r i c a l l o c k i n g . W e c a n s h o w i n t h i s e x a m p l e t h a t t h e p r o b l e m ( 2 . 4 . 2 1 ) ,

( 2 . 4 . 2 2 ) i s i l l - p o s e d . I n f a c t , w e c o n s i d e r

Vh = {vh Xh | ( d i v vh, qh) = 0, qh Yh}.T h e n , i n g e n e r a l , w e h a v e

Vh = {0} . F o r e x a m p l e , c h o o s e t h e d o m a i n a s i n t h e F i g u r e 3 w i t h t h e i n d i c a t e d t r i a n g u l a t i o n . L e t

h Wh s u c h t h a t

h(Q) =

1 i f Q = P,0 e l s e w h e r e .

E a c h vh Xh i s w r i t t e n a s vh(x) = vh(P)h(x) a n d w e h a v e d i v vh = vh(P)h .L e t n o w c o n s i d e r vh Vh . W e h a v e ( 2 . 4 . 2 4 ) 0 = (d i v vh, qh) = vh(P)

(h)qh dx.

W e c h o o s e

qh = x1 + x2 Wh . I n t e g r a t i n g b y p a r t s a n d u s i n g t h e f a c t t h a t h = 0o n

, w e g e t

( 2 . 4 . 2 5 )

(h)qh dx =

hqh dx =

11

dx = 0.

B y c o n s e q u e n c e , w i t h ( 2 . 4 . 2 4 ) a n d ( 2 . 4 . 2 5 ) , w e o b t a i n

vh(P) = 0 a n d t h e n vh 0 .T h i s i s t h e n u m e r i c a l l o c k i n g p h e n o m e n o n o f t h e v e l o c i t y e l d .

i i ) " I n f - s u p " c o n d i t i o n i s n o t s a t i s e d . I n t h i s e x a m p l e , w e c a n a l s o s h o w t h a t t h e r e

i s n o u n i q u e n e s s f o r t h e p r e s s u r e

ph . I n d e e d , a s s u m e f o r t h e m o m e n t t h e e x i s t e n c e


19/86


0

1

101 1

0

1

01

1

1

F i g u r e 4 .

E x a m p l e

P1/P1 : n o n u n i q u e n e s s o f t h e p r e s s u r e .

o f a f u n c t i o n

ph Yh s u c h t h a t ( 2 . 4 . 2 6 )

(d i v

vh, ph) = 0 vh Xh.

I n t h i s c a s e , w e h a v e

( d i v vh, qh + c ph) = ( d i v vh, qh) vh Xh, qh Yh, c R.

B y c o n s e q u e n c e , i f

ph i s s o l u t i o n , t h e n ph + c ph i s a l s o a s o l u t i o n . T h e n , w e d o n o t

h a v e u n i q u e n e s s o f t h e p r e s s u r e .

T o p r o v e t h a t t h e r e e x i s t s

ph Yh v e r i f y i n g ( 2 . 4 . 2 6 ) , w e t a k e t h e e x a m p l e w h e r e t h e d o m a i n

i s a s q u a r e w i t h a u n i f o r m t r i a n g u l a t i o n a s s h o w n i n t h e F i g u r e 4 . L e t

ph Wh b e t h e f u n c t i o n w h i c h i s a l t e r n a t i v e l y e q u a l t o 0, 1 a n d 1 o n t h e v e r t i c e s ;e a c h t r i a n g l e m u s t h a v e e x a c t l y t h e s e t h r e e v a l u e s t o t h e v e r t i c e s ( s e e F i g u r e 4 ) .

W e h a v e

ph Yh b e c a u s e

ph dx = 0. I n f a c t , w e h a v e

p

h dx

=

K

Kp

h dx

=

K |K

|3

3

i=1p

h(aK

i ),

w h e r e aKi d e n o t e s t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e K. H o w e v e r , b y c o n s t r u c t i o n o f ph ,

w e h a v e

3i=1

ph(aKi ) = 0,

t h e n w e g e t

ph dx = 0. I n a d d i t i o n ,

(d i v

vh, ph) =

K

K

(d i v

vh)ph dx =

K

(d i v

vh)|K

K

ph dx.

B y c o n s t r u c t i o n o f

ph

, i t f o l l o w s t h a t K

ph

dx = 0, t h e n ( d i v vh

, ph

) = 0. T h u s ,

t h e r e l a t i o n ( 2 . 4 . 2 6 ) i s s a t i s e d .

H e n c e , t h e e x i s t e n c e o f

ph v e r i f y i n g ( 2 . 4 . 2 6 ) s h o w s t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s n o t v e r i e d b y t h e e l e m e n t s

P1/P1 .

E x a m p l e

P1/P0 ( c o u n t e r e x a m p l e ) . I n a s i m i l a r w a y w e c a n s h o w t h a t t h e d i s -

c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n i s n o t s a t i s e d b y t h e e l e m e n t s

P1/P0 , w h e r e t h e a p p r o x - i m a t e d s p a c e

Xh o f t h e v e l o c i t y e l d i s t h e s a m e a s a b o v e a n d t h e a p p r o x i m a t e d


20/86


s p a c e f o r t h e p r e s s u r e i s g i v e n b y

Yh = {qh L20() | qh|K P0, K Th}.4 . 3 . F i n i t e e l e m e n t f o r t h e S t o k e s p r o b l e m .

i ) F i n i t e e l e m e n t

P1 - b u b b l e / P1 .

L e t

K1 , K2 ,

K3 b e t h e b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s w i t h r e s p e c t t o t h e t r i a n g l e K. W e

d e n o t e

Kt h e " b u b b l e " f u n c t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e t r i a n g l e

Ka n d d e n e d b y

( 2 . 4 . 2 7 )

K =

K1

K2

K3 o n K,

0 e l s e w h e r e .

W e h a v e

K|K P3 ( h e n c e t h e t e r m " b u b b l e " ) a n d K 0 o n t h e b o u n d a r y K.T h e " b u b b l e " f u n c t i o n

Ki s c o n t i n u o u s o n . L e t u s c o n s i d e r t h e s u b s p a c e Xh o f

[H10 ()]2

d e n e d b y

Xh =vh C0()2 | vh(x) =

3i=1

Ki Ki (x) + KK(x)

w i t h

Ki , Ki R2, x K, K Th a n d vh = 0 o n

.

T h e s p a c e

Xh c o n t a i n s c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n w h i c h a r e e q u a l t o z e r o o n t h e b o u n d a r y o f a n d w h i c h a r e t h e s u m a p i e c e w i s e a n e f u n c t i o n a n d a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f " b u b b l e s " f u n c t i o n s ( t h e f u n c t i o n

Ki s z e r o o u t s i d e o f

K) . W e

h a v e d i m

Xh = 2(Nv + Nt) , w h e r e Nv i s t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n a n d

Nt t h e n u m b e r o f t r i a n g l e s . F o r t h e p r e s s u r e , w e c h o o s e t h e f o l l o w i n g s p a c e :

Yh =

qh C0() | qh|K P1, K Th

L20().( 2 . 4 . 2 8 ) W e g e t t h a t d i m

Yh = Nv 1 .V e r i c a t i o n o f t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r

P1 - b u b b l e / P1 .

W e n e e d t o p r o v e t h a t t h e r e e x i s t s

> 0s u c h t h a t

qh Yh , uh Xh , uh = 0s u c h t h a t

( 2 . 4 . 2 9 )

b(uh, qh) uhH1()2qhL2().W e s u p p o s e t h a t t h e t r i a n g u l a t i o n

Th i s u n i f o r m l y r e g u l a r . L e t qh Yh b e x e d . S i n c e

Yh Y a n d b v e r i e s t h e c o n t i n u e " i n f - s u p " c o n d i t i o n o n X Y , t h e n t h e r e e x i s t s

u Y = [H10 ()]2 s u c h t h a t ( 2 . 4 . 3 0 )

b(u, qh) uH1()2qhL2(),w i t h

> 0 i n d e p e n d e n t o f qh ( o n t h e o t h e r h a n d u d e p e n d o n qh ) . T o e s t a b l i s h ( 2 . 4 . 2 9 ) , i t i s s u c i e n t t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f

uh Xh s u c h t h a t b(uh, qh) = b(u, qh),( 2 . 4 . 3 1 )

uhH1()2 CuH1()2 ,( 2 . 4 . 3 2 ) w h e r e

C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f qh a n d h. I n f a c t , i f ( 2 . 4 . 3 1 ) a n d ( 2 . 4 . 3 2 ) a r e s a t i s e d , t h e n w e o b t a i n ( 2 . 4 . 2 9 ) w i t h

= /C > 0 . M o r e o v e r , s i n c e Yh H1(),t h e r e l a t i o n ( 2 . 4 . 3 1 ) i s e q u i v a l e n t

uh qh dx =

u qh dx.


21/86


S i n c e

qh i s c o n s t a n t o n e a c h t r i a n g l e , t h e n i t i s e n o u g h t o n d uh Xh s u c h t h a t

K

uh dx = K

u dx

K

Th,( 2 . 4 . 3 3 )

uhH1()2 CuH1()2 ,( 2 . 4 . 3 4 ) w h e r e

C > 0i s i n d e p e n d e n t o f

h.

T h e r e f o r e , w e l o o k f o r

uh Xh v e r i f y i n g ( 2 . 4 . 3 3 ) , ( 2 . 4 . 3 4 ) . A l l f u n c t i o n vh Xh a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y :

i t s v a l u e s a t t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s w h i c h d o n o t b e l o n g t o t h e b o u n d -

a r y

( i . e . t h e v a l u e s vh(ai) , ai v e r t e x / ) a n d i t s m e a n v a l u e s Kvh dx o n t h e t r i a n g l e s K.

I n f a c t , f o r

vh Xh , f o r a l l K Th w e g e t :

vh(x) =3

i=1vh(a

Ki )i(x) +

KK(x) x K

a n d

Ki s g i v e n b y t h e r e l a t i o n

K

vh dx =3

i=1

vh(aKi )

K

Ki dx + K

K

K dx.

W e t h e n c h o o s e uh Xh s u c h t h a t uh(ai) = Rhu(ai) ai v e r t e x o f Th,( 2 . 4 . 3 5 )

K

uh dx =

K

u dx K Th,( 2 . 4 . 3 6 )

w h e r e

Rhu Xh a n d t h e o p e r a t o r Rh i s d e n e d i n P r o p o s i t i o n 2 . 4 . W e n e e d t h e p r o j e c t o r

Rh b e c a u s e u [H10 ()]2 i s n o t n e c e s s a r i l y c o n t i n u o u s a n d i t w o u l d n o t m a k e s e n s e t o t a l k a b o u t u(ai).

I t r e m a i n s t o p r o v e t h e e s t i m a t e ( 2 . 4 . 3 4 ) . W e h a v e

uh|K =3

i=1

Rhu(aKi )

Ki +

KK,

o r

( 2 . 4 . 3 7 )

uh|K = Rhu|K + KK.

T h e r e f o r e , w e h a v e

uh2H1()2 =

KTh

uh2H1(K)2

KTh (Rhu

H1(K)2 +

|K

|K

H1(K))

2

2

KTh

Rhu2H1(K)2 + |K|2K2H1(K)

= 2Rhu2H1()2 + 2

KTh

|K|2K2H1(K)

Cu2H1()2 + 2

KTh

|K|2K2H1(K) f r o m P r o p o s i t i o n ( 2 . 4 ) ,


22/86


w h e r e

C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f u a n d o f h . I n a d d i t i o n , f r o m ( 2 . 4 . 3 7 ) a n d ( 2 . 4 . 3 3 ) w e h a v e

Ku dx =

Kuh dx =

K Rhu dx +

KK

K

dx,w h e r e

( 2 . 4 . 3 8 )

K =

K

(u Rhu) dxK

K dx

.

U s i n g t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a ( 2 . 4 . 1 7 ) , w e o b t a i n

( 2 . 4 . 3 9 )

K

K dx =

K

K1 K2

K3 dx =

|K|60

.

D u e t o C a u c h y - S c h w a r z i n e q u a l i t y , t h e e x p r e s s i o n ( 2 . 4 . 3 8 ) o f

Ky i e l d s t o

|K

| 60u

Rhu

L2(K)2

|K|1/2 .W e h a v e

|K| 4

2K ( t h e a r e a o f a t r i a n g l e i s g r e a t e r t h a n t h e a r e a o f t h e i n s c r i b e d

c i r c l e ) a n d , b y c o n s e q u e n c e , w e h a v e

1

|K|1/2 C 1

K C 1

h

b e c a u s e t h e t r i a n g u l a t i o n i s a s s u m e d t o b e u n i f o r m l y r e g u l a r . H e n c e , w e o b t a i n

|K| Ch

u RhuL2(K)2 ,w h e r e

C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f h a n d K. M o r e o v e r , w e h a v e

K

H1(K)2

ChK +

hK

K

Ci n d e p e n d e n t o f

Ka n d

h.

T h u s , w e g e t

uh2H1()2 Cu2H1()2 +C

h2u Rhu2L2()2 .

U s i n g P r o p o s i t i o n 2 . 4 , w e c o n c l u d e t h a t

uh2H1()2 Cu2H1()2 .W e t h u s h a v e p r o v e d t h a t t h e e l e m e n t

P1 - b u b b l e / P1 v e r i e s t h e d i s c r e t e " i n f - s u p "

c o n d i t i o n .

R e m a r k 2 . 5 . W e c a n r e p l a c e " b u b b l e " b y a n u l l f u n c t i o n o n t h e b o u n d a r y

K,

w h i c h i s p i e c e w i s e a n e o n t h e 3 t r i a n g l e s o b t a i n e d b y c u t t i n g

Kb y i t s c e n t e r .

T h i s e l e m e n t a l s o v e r i e s t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n .

i i ) F i n i t e e l e m e n t

P2 / P1 .

W e c h o o s e

Xh =v C0()2 | v|K P22, K Th, v = 0 s u r

,

( 2 . 4 . 4 0 )

Yh =

q C0() | q|K P1, K Th

L20().( 2 . 4 . 4 1 )


23/86


T h e d e g r e e s o f f r e e d o m f o r t h e v e l o c i t y e l d a r e t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n

a n d t h e m i d p o i n t s o f t h e e d g e s o f t h e t r i a n g l e s o f Th ( w h i c h a r e n o t o n t h e b o u n d a r y ) . T h e d e g r e e s o f f r e e d o m o f t h e p r e s s u r e a r e t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n Th .

V e r i c a t i o n o f t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r

P2 / P1 .

W e s u p p o s e t h a t t h e t r i a n g u l a t i o n

Th i s u n i f o r m l y r e g u l a r . M o r e o v e r , l e t a s s u m e t h a t n o n e o f t h e t r i a n g l e s o f

Th h a s t w o s i d e s o n t h e b o u n d a r y , t h a t i s , e a c h t r i a n g l e h a s a t l e a s t o n e v e r t e x a t t h e i n t e r i o r o f .

W e w a n t t o p r o v e t h a t t h e r e e x i s t s

> 0 s u c h t h a t qh Yh , uh Xh ,uh = 0 s u c h t h a t

( 2 . 4 . 4 2 )

b(uh, qh) uhH1()2qhL2().T o t h i s e n d , l e t

qh Yh b e x e d . W e c h o o s e uh Xh s u c h t h a t uh = 0 a ta l l v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n Th a n d a t a l l m i d p o i n t s o f t h e b o u n d a r y . I na d d i t i o n , f o r a l l m i d p o i n t s

mes i t u a t e d a t t h e i n t e r i o r o f

, w e c h o o s e :

uh te(me) = qh te(me),( 2 . 4 . 4 3 ) uh e(me) = 0,( 2 . 4 . 4 4 )

w h e r e ( s e e F i g u r e 5 )

e d e n o t e s t h e u n i t a r y n o r m a l v e c t o r a t t r i a n g l e K w i t h me a m i d p o i n t o f o n e o f i t s e d g e s

te i s t h e c o r r e s p o n d i n g u n i t a r y t a n g e n t v e c t o r I t i s i m p o r t a n t t o o b s e r v e t h a t

qh te(me) h a s a m e a n i n g w h e n qh te i sc o n t i n u o u s t h r o u g h t h e e d g e

e. S i n c e

qh Yh H1(), w e h a v e

b(uh, qh) =

uh qh dx =K

K

uh qh dx.

S i n c e

qh i s c o n s t a n t o n K, t h e n b y t h e m i d p o i n t s i n t e g r a t i o n f o r m u l a ( e x a c t f o r t h e p o l y n o m i a l s

P2 ) , w e h a v e K

uh qh dx =

K

uh dx qh|K =|K|

3

meK

me /

uh(me) qh|K

=|K|

3

meK

me /

(uh te(me)) te(me) qh|K

=|K|

3 meK

me /

(qh te(me)) te(me) qh|K

a c c o r d i n g t o t h e e l e c t i o n ( 2 . 4 . 4 3 ) o f uh . W e t h u s g e t K

uh qh dx = |K|3

meK

me /

qh|K te(me)2 .


24/86


a

a

t

t

m

e1

j l

k

e2

e2

m

K

H

a

e2

e1

e1

K

F i g u r e 5 .

V e r i c a t i o n o f t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r t h e e l e m e n t

P2/P1

T h e p r e v i o u s s u m c o v e r s a t l e a s t t w o i n t e r n a l m i d p o i n t s u n d e r t h e a s s u m p t i o n

t h a t w a s m a d e o n t h e t r i a n g u l a t i o n , t h a t i s , e a c h t r i a n g l e h a s a t l e a s t o n e v e r t e x

i n s i d e o f . W e a s s u m e t h a t t h e s u m c o v e r s a t l e a s t t h e m i d p o i n t s me1 a n d me2a s s h o w n i n t h e F i g u r e 5 . T h e n , w e p r o v e t h a t t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t


Ka n d

hs u c h t h a t

( 2 . 4 . 4 5 )

meK

me /

qh|K te(me)2 C|qh|K|2.

W i t h t h e n o t a t i o n f r o m F i g u r e 5 , w e h a v e qh|K = 1e1+2e2. B y c o n s e q u e n c e ,w e o b t a i n

qh|K te1 = 2 e2 te1,

q

h|K t

e2=

1

e1 t

e2.

G i v e n t h e a s s u m p t i o n o n t h e t r i a n g u l a t i o n , i t f o l l o w s meK

me /

qh|K te(me)2 qh|K te1(me1)2 + qh|K te2(me2)2

= |2 cos(/2 + K)|2 + |1 cos(/2 + K)|2

=(|2|2 + |1|2) sin2(K),

w h e r e

K i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e e d g e s e1 a n d e2 ( s e e F i g u r e 5 ) . S i n c e

|qh|K|2 2(|1|2 + |2|2),w e d e d u c e t h a t

meK

me /

qh|K te(me)2 12 |qh|K|2 sin2(K).

I n a d d i t i o n , w e h a v e ( s e e F i g u r e 5 )

sin K =H

|ak al| ,


25/86


w h e r e

Hi s t h e h e i g h t o f t h e t r i a n g l e

Ka n d ak , al a r e t h e t w o v e r t i c e s , t h e e n d

p o i n t s o f t h e e d g e

e1 . W e c l e a r l y h a v e H > K a n d |ak al| hK. T h e n , w e d e d u c e t h a t

sin K KhK

1

,

b e c a u s e t h e t r i a n g u l a t i o n

Th i s s u p p o s e d t o b e r e g u l a r . T h u s , w e h a v e K

uh qh dx |K|62

|qh|K|2 =1

62

K

|qh|K|2 dx.

S u m m i n g o v e r t h e t r i a n g l e s

K, w e o b t a i n

( 2 . 4 . 4 6 )

b(uh, qh) Cqh2L2()2 ,w i t h

C = 1/(62) > 0 i n d e p e n d e n t o f h . W e d e n o t e Ki , f o r i = 1, 2, 3, t h r e e P2 - b a s i c f u n c t i o n s a s s o c i a t e d w i t h m i d p o i n t s mi . S i n c e uh i s z e r o o n t h e v e r t i c e s

o f t h e t r i a n g l e s , t h e n o n e a c h t r i a n g l e

Kw e h a v e :

uh|K =

3i=1

uh(mi)Ki .

W e d e d u c e t h a t

uh2L2()2 =

K

K

|uh|2 dx C

K

3i=1

|uh(mi)|2

K

|Ki |2 dx.

H o w e v e r , w e h a v e

K

|Ki |2 dx C|K| w h e r e C > 0 i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f K

a n d

h. W e t h u s o b t a i n t h a t

uh2L2()2 C

K

|K|3

i=1

|uh(mi)|2.

A c c o r d i n g t o t h e c o n s t r u c t i o n o f uh , w e h a v e

|uh(mi)| = | (uh tei(mi)) tei | = |uh tei(mi)|= |qh tei(mi)| |qh|K|

a n d t h e n

uh2L2()2 C

K

|K||qh|K|2 = Cqh2L2()2 .

T h e r e f o r e ,

( 2 . 4 . 4 7 )

uhL2()2 CqhL2()2 ,w h e r e

C > 0i s i n d e p e n d e n t o f

h. T h e i n e q u a l i t i e s ( 2 . 4 . 4 6 ) a n d ( 2 . 4 . 4 7 ) s h o w t h a t

( 2 . 4 . 4 8 )

b(uh, qh)

C

uh

L2()2

qh

L2()2 ,

w h e r e

C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f h. I t i s n o t e x a c t l y t h e c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 4 2 ) t h a t w e a r e l o o k i n g f o r . N e v e r t h e l e s s , s i n c e t h e t r i a n g u l a t i o n

Th i s a s s u m e d t o b e u n i f o r m l y r e g u l a r , w e h a v e t h e f o l l o w i n g i n v e r s e i n e q u a l i t y

uhH1()2 Ch1uhL2()2 .T h e n , t h e e s t i m a t e ( 2 . 4 . 4 8 ) b e c o m e s

( 2 . 4 . 4 9 )

b(uh, qh) ChuhH1()2qhL2()2 .


26/86


L e t

> 0 b e a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f K a n d h ( t o b e x e d l a t e r o n ) .

1 s t c a s e : I f

qh v e r i e s

( 2 . 4 . 5 0 )

qhL2() hqhL2()2 ,t h e n , u s i n g ( 2 . 4 . 4 9 ) , w e h a v e

b(uh, qh) C

huhH1()2qhL2(),

w h i c h p r o v e t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 4 2 ) f o r

qh v e r i f y i n g ( 2 . 4 . 5 0 ) w i t h > 0

g i v e n .

2 n d c a s e : I f

qh i s s u c h t h a t

( 2 . 4 . 5 1 )

qhL2() > hqhL2()2 ,t h e n , i n t h i s c a s e , w e u s e L e m m a 2 . 1 t o g e t t h e e x i s t e n c e o f w [H10 ()]2 s u c h t h a t d i v

w = qh a n d

( 2 . 4 . 5 2 )

wH1()2 CqhL2().M o r e o v e r , d u e t o P r o p o s i t i o n 2 . 4 , t h e r e e x i s t s

Rhw Xh s u c h t h a t w RhwL2()2 + h(w Rhw)L2()4 Ch|w|H1()2 .

W e h a v e

b(Rhw, qh) = (d i v Rhw, qh)

= (d i v w, qh) + ( d i v (Rhw w), qh)

= qh2

L2() (Rhww) qh dx qh2L2() RhwwL2()2qhL2()2 .

H o w e v e r , a c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 2 . 4 a n d t h e e s t i m a t e ( 2 . 4 . 5 2 ) , w e g e t

Rhw wL2()2 Ch|w|H1()2 ChqhL2().W e t h u s o b t a i n

b(Rhw, qh) qh2L2() ChqhL2()qhL2()2 (1 C/) qh2L2() d u e t o ( 2 . 4 . 5 1 ) .

F o r

s u c i e n t l y l a r g e , w e h a v e 1 C/ > 0 . I n a d d i t i o n ,

RhwH1()2 CwH1()2 CqhL2().T h e r e f o r e ,

b(Rhw, qh) 1C

(1 C/) RhwH1()2qhL2().I n c o n c l u s i o n , i f w e c h o o s e

> 0 s u c h t h a t 1 C/ > 0 , t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s s a t i s e d w i t h

= min

C

,

1

C(1 C/)

.


27/86


F i g u r e 6 .

D e g r e e s o f f r e e d o m f o r t h e v e l o c i t y a t t h e e l e m e n t

P1 -

I S O -

P2/P1 .

R e m a r k 2 . 6 . W e c a n r e p l a c e t h e e l e m e n t

P2/P1 w i t h t h e e l e m e n t P1 - I S O - P2/P1o b t a i n e d c o n s i d e r i n g

Xh =v C0()2| v|K P21 o n e a c h s u b - t r i a n g l e K o f K, K Th,v| = 0

.

E a c h t r i a n g l e

Ki s d i v i d e d i n t o 4 s u b - t r i a n g l e s

Kb y t h e m i d p o i n t s o f t h e e d g e s ( s e e

F i g u r e 6 ) .

4 . 4 . A l g e b r a i c f o r m . T h e a l g e b r a i c f o r m o f t h e a p p r o x i m a t e d p r o b l e m ( 2 . 4 . 2 1 ) ,

( 2 . 4 . 2 2 ) i s o b t a i n e d a s f o l l o w s . W e d e n o t e i | i = 1, . . . , N Xh

,

i | i = 1, . . . , N Yh

,

t h e b a s e s o f

Xh , r e s p e c t i v e l y o f Yh . W e s u b s t i t u t e i n t h e a p p r o x i m a t e d m i x e d f o r m u l a t i o n ( 2 . 4 . 2 1 ) , ( 2 . 4 . 2 2 ) t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s :

( 2 . 4 . 5 3 ) uh(x) =

NXh

i=1uii(x), ph(x) =

NYh

i=1pii(x)

a n d w e o b t a i n t h e l i n e a r s y s t e m

( 2 . 4 . 5 4 )

A BT

B 0

UP

=

F0

,

w h e r e t h e u n k n o w n s a r e

U = (u1, , uNXh )T RNXh ,P = (p1, , pNYh )T RNYh .

I n t h e l i n e a r s y s t e m ( 2 . 4 . 5 4 ) , w e c o n s i d e r

F RNXh , Fj = (f, j )A MNXhNXh , Aij = a(i, j )B

MNYhNXh

, Bij = b(i, j )

P r o p o s i t i o n 2 . 5 . T h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s s a t i s e d i f a n d o n l y

i f

ker BT = {0}. I n t h i s c a s e , t h e m a t r i x

A BT

B 0

i s i n v e r t i b l e .


28/86


5 . T h e c o n v e r g e n c e o f t h e a p p r o x i m a t i o n

5 . 1 . G e n e r a l r e s u l t s . W e d e n o t e

Xh

X

a n d

Yh

Y

t w o n i t e d i m e n s i o n a l

v e c t o r i a l s u b s p a c e s . W e s u p p o s e t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s

s a t i s e d b y t h e b i l i n e a r f o r m

bo n

Xh Yh . L e t

( 2 . 5 . 5 5 )

Vh =vh Xh | b(vh, qh) = 0, qh Yh

.

W e s t a t e a r s t r e s u l t o n t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e v e l o c i t y e l d i n

Vh . T h i s r e s u l t i s s i m i l a r t o C a L e m m a f o r e l l i p t i c p r o b l e m s .

P r o p o s i t i o n 2 . 6 . L e t (u, p) t h e s o l u t i o n o f t h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) a n d uh t h e a p p r o x i m a t i o n g i v e n b y ( 2 . 4 . 2 1 ) , ( 2 . 4 . 2 2 ) . T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C > 0 i n d e p e n d e n t o f h s u c h t h a t

( 2 . 5 . 5 6 )

u

u

hX C inf

vhVh u

v

hX+ inf

qhYh p

q

hY .

R e m a r k 2 . 7 . T h e P r o p o s i t i o n 2 . 6 i s t r u e w i t h o u t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n

a n d u s e s o n l y t h e c o n t i n u i t y o f t h e b i l i n e a r f o r m s

aa n d

ba n d t h e c o e r c i v i t y o f

a( w h i c h i s e n o u g h t o a s s u r e t h e e x i s t e n c e a n d t h e u n i q u e n e s s o f t h e a p p r o x i m a t i o n

uh Vh ) .


Xh X a n d Yh Y a r e s u c h t h a t t h e d i s - c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s s a t i s e d . T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t


hs u c h t h a t

( 2 . 5 . 5 7 ) infvhVh

u vhX C infwhXh

uwhX .

T h e f o l l o w i n g r e s u l t c o n c e r n s w i t h t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e p r e s s u r e .


Xh X a n d Yh Y a r e s u c h t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) h o l d s . T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C > 0 i n d e p e n d e n t o f

hs u c h t h a t

( 2 . 5 . 5 8 ) p phY C

u uhX + inf qhYh

p qhY

.

C o m b i n i n g P r o p o s i t i o n s 2 . 6 a n d 2 . 8 , w e g e t t h e f o l l o w i n g r e s u l t :

C o r o l l a r y 2 . 1 . W e a s s u m e t h a t

Xh X a n d Yh Y a r e s u c h t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) h o l d s . T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C > 0i n d e p e n d e n t

o f

hs u c h t h a t

( 2 . 5 . 5 9 )

u uhX + p phY C

infvhXh

u vhX + inf qhYh

p qhY

.


29/86

5 . T H E C O N V E R G E N C E O F T H E A P P R O X I M A T I O N 2 9

5 . 2 . E r r o r e s t i m a t e . W e d e n o t e

Wh [H1()]2 a n i t e d i m e n s i o n a l s u b - s p a c e . W e a s s u m e t h e f o l l o w i n g h y p o t h e s i s o n t h e a p p r o x i m a t i o n s p a c e s

Xh a n dY

h.

H y p o t h e s i s H 1 ( a p p r o x i m a t i o n p r o p e r t y o f

Xh )

T h e r e e x i s t s h L(

[H2()]2; Wh) L ([H2()]2 [H10 ()]2; Xh) s u c h t h a t

v hv[H1()]2 C1hv[H2()]2 v [H2()]2,w h e r e

C1 > 0 i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f h .

H y p o t h e s i s H 2 ( a p p r o x i m a t i o n p r o p e r t y o f

Yh )


Sh L(

H1() L20(); Yh)

s u c h t h a t

q ShqL2() C2hqH1() q H1(),w h e r e C2 > 0 i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f h .

U n d e r t h e p r e v i o u s a s s u m p t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g e r r o r e s t i m a t e :

T h e o r e m 2 . 2 . W e a s s u m e t h a t R2 i s a p o l y g o n a l b o u n d e d c o n v e x d o m a i n .W e a l s o s u p p o s e t h a t t h e h y p o t h e s e s

H 1

H 2

a n d t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n

( 2 . 4 . 2 3 ) h o l d . I f t h e s o l u t i o n (u, p) o f t h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) b e l o n g s t o [H2()]2 [H10 ()]2

(H1() L20()

), t h e n w e h a v e t h e f o l l o w i n g e r r o r e s t i m a t e :

( 2 . 5 . 6 0 )

u uh[H1()]2 + p phL2() Ch(u[H2()]2 + pH1()) ,

( 2 . 5 . 6 1 )

u uh[L2()]2 Ch2(u[H2()]2 + pH1()) ,

w h e r e

C, Ca r e p o s i t i v e c o n s t a n t s i n d e p e n d e n t o f

h.

P r o o f .

E s t i m a t e

H1. T h e e s t i m a t e ( 2 . 5 . 6 0 ) i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f C o r o l l a r y

( 2 . 1 ) .

E s t i m a t e

L2f o r t h e v e l o c i t y . W e u s e t h e A u b i n - N i t s c h e d u a l i t y a r g u m e n t . F o r e a c h

g [L2()]2, w e i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g d u a l p r o b l e m :

F i n d (g, g) X Y s u c h t h a t a(v, g) + b(v, g) = (g,v) v X,( 2 . 5 . 6 2 )

b(g, q) = 0 q Y.( 2 . 5 . 6 3 )

T h e n , w e h a v e t h e f o l l o w i n g i n t e r m e d i a t e r e s u l t :

L e m m a 2 . 2 . T h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C > 0 ( o n l y d e p e n d e n t o f t h e c o n t i n u i t y c o n s t a n t s o f

aa n d

b) s u c h t h a t

u uh[L2()]2 Cu uhX + p phY

supg[L2()]2

1

g[L2()]2

infvhXh

g vhX + inf qhYh

g qhY

.


30/86


L e t u s u s e t h i s r e s u l t t o c o n c l u d e t h e e s t i m a t e ( 2 . 5 . 6 1 ) . T h e p r o b l e m ( 2 . 5 . 6 2 ) ,

( 2 . 5 . 6 3 ) c o r r e s p o n d s t o t h e w e a k f o r m u l a t i o n o f t h e f o l l o w i n g S t o k e s p r o b l e m :

g + g = g i n ,d i v

g = 0 i n ,

g = 0 o n .

I f

R2i s a p o l y g o n a l b o u n d e d c o n v e x d o m a i n , t h e n w e p r o v e t h a t t h e s o l u t i o n

(g, g) o f ( 2 . 5 . 6 2 ) , ( 2 . 5 . 6 3 ) b e l o n g s t o [H2()]2 [H10 ()]2

(H1() L20()

)a n d

( 2 . 5 . 6 4 )

g[H2()]2 + gH1() Cg[L2()]2 ,w h e r e

C > 0i n i n d e p e n d e n t o f

ga n d

h.

T h e h y p o t h e s i s

H 1

a n d

H 2

i m p l y

infvhXh

g vhX + inf qhYh

g qhY max(C, C)hg[H2()]2 + gH1()

Ch

g

[L2()]2 d u e t o ( 2 . 5 . 6 4 ) .

P l u g g i n g t h i s e s t i m a t e i n t h e e s t i m a t e o f L e m m a 2 . 2 , w e g e t

u uh[L2()]2 Ch(u uh[H1()]2 + p phL2())

a n d w e t h u s c o n c l u d e t h e e s t i m a t e ( 2 . 5 . 6 1 ) o f T h e o r e m 2 . 2 .

E r r o r e s t i m a t e f o r t h e e l e m e n t s

P1 - b u b b l e / P1 a n d P2 / P1 .

F o r n i t e e l e m e n t s o f t y p e

P1 - b u b b l e / P1 a n d P2 / P1 t h e a b o v e r e s u l t b e c o m e s :

P r o p o s i t i o n 2 . 9 . L e t

R2a p o l y g o n a l b o u n d e d c o n v e x d o m a i n . W e a s s u m e

t h a t t h e t r i a n g u l a t i o n

Th i s u n i f o r m l y r e g u l a r . I f t h e s o l u t i o n (u, p) o f t h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) b e l o n g s t o

[H2()]2 [H10 ()]2 (H1() L20()), t h e n t h e a p p r o x i m a t i o n

(uh, ph)o f e l e m e n t

P1

- b u b b l e /

P1

s a t i s e s

( 2 . 5 . 6 5 )

u uh[L2()]2 + h(u uh)[L2()]2 + p phL2()

Ch2

u[H2()]2 + pH1()

,

w h e r e

C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f h.

M o r e o v e r , i f t h e t r i a n g u l a t i o n

Th i s s u c h t h a t n o t r i a n g l e h a s t w o s i d e s o n t h e b o u n d a r y

, t h e n t h e a p p r o x i m a t i o n (uh, ph) o f e l e m e n t P2 / P1 s a t i s f y t h e s a m e e s t i m a t e ( 2 . 5 . 6 5 ) .

P r o o f .

W e w a n t t o a p p l y T h e o r e m 2 . 2 . T o t h i s e n d , i t i s e n o u g h t o v e r i f y

t h e h y p o t h e s e s

H 1

a n d

H 2

b e c a u s e u n d e r t h e h y p o t h e s i s o n t h e t r i a n g u l a t i o n , t h e

d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n i s s a t i s e d b y t h e e l e m e n t s

P1 - b u b b l e / P1 a n d P2 / P1 .

T h e h y p o t h e s i s

H 1

i s s a t i s e d w i t h h = Ih = t h e L a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r f r o m P r o p o s i t i o n 2 . 3 . T h e h y p o t h e s i s

H 2

i s s a t i s e d w i t h

Sh = Rh = t h ep r o j e c t i o n o p e r a t o r ,

Rh : H1() L20() Yh d e n e d f o r v H1() L20() b y

( s e e P r o p o s i t i o n 2 . 4 )

(Rhv v) v dx = 0 v Yh.


31/86

C H A P T E R 3

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s

I n t h i s c h a p t e r , w e o n l y c o n s i d e r

N = 2 . L e t R2 b e a b o u n d e d a n d s u - c i e n t l y s m o o t h ( r e g u l a r ) d o m a i n . W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g N a v i e r - S t o k e s p r o b l e m :

ut + (u )u u + p = f i n R+,( 3 . 0 . 1 ) d i v u = 0 i n R+,( 3 . 0 . 2 )

u = 0o n

R+,

( 3 . 0 . 3 )

w i t h

> 0 t h e d y n a m i c v i s c o s i t y o f t h e u i d .

1 . I n t r o d u c t i o n

L e t

T > 0 b e x e d ( t h e n a l i n s t a n t ) . W e r e c a l l t h e d e n i t i o n o f f u n c t i o n s p a c e s w i t h v a l u e s i n a B a n a c h s p a c e

X. F o r

p 1 , w e d e n e

Lp(0, T; X) =

v : [0, T] X | v i s m e a s u r a b l e 1 a n d

T0

v(t)pX dt < +

.

T h i s s p a c e i s e n d o w e d w i t h t h e f o l l o w i n g n o r m

uLp(0,T;X) =

u(t)pX dt1/p

.

W e c o n s i d e r

X = [H10 ()]2,

Y = L20().

L e t

f L2(0, T; [L2()]2)a n d

u0 [L2()]2 . W e n o w i n t r o d u c e t h e m i x e d v a r i a - t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s :

F i n d u W(0, T) =v L2(0, T; X) | dv

dt L2(0, T; X)

,

p L2(0, T; Y)s u c h t h a t a . e .

t (0, T), w e h a v e :

( 3 . 1 . 4 ) du

dt(t),vX,X + a(u(t),v) + c(u(t),u(t),v)

+ b(v, p(t)) = (f(t),v) v X,b(u(t), q) = 0 q Y,( 3 . 1 . 5 )

u(0) = u0.( 3 . 1 . 6 )

1

T h e f u n c t i o n v i s m e a s u r a b l e i n t h e B o c h n e r s e n s e ( s t r o n g l y m e a s u r a b l e ) , t h a t i s , i t i s a l m o s t

e v e r y w h e r e t h e l i m i t o f a s e q u e n c e o f s i m p l e f u n c t i o n s i n

X: t h e r e e x i s t s

vk : [0, T] X, s i m p l e s u c h t h a t vk(t) v(t) i n X, a . e . t [0, T].

3 1


32/86

3 2 3 . N A V I E R - S T O K E S E Q U A T I O N S

I n t h e a b o v e f o r m u l a t i o n , w e h a v e d e n o t e d

c : X X X R t h e t r i l i n e a r f o r m d e n e d b y

( 3 . 1 . 7 )

c(w, z,v) =

[(w )z] v dx = N

i,j=1

wjzixj

vi dx.

L e t u s o b s e r v e t h a t t h e f o r m u l a t i o n ( 3 . 1 . 4 ) ( 3 . 1 . 6 ) i s w e l l - p o s e d . I n p a r t i c u l a r ,

i f

Hi s a H i l b e r t s p a c e s u c h t h a t

X H H X,w h e r e t h e i n j e c t i o n s a r e c o n t i n u o u s a n d c o m p a c t , t h e n w e h a v e

W(0, T) C0([0, T]; H)w i t h t h e i n j e c t i o n a c o n t i n u o u s f u n c t i o n a n d , b y c o n s e q u e n c e , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n

( 3 . 1 . 6 ) , i . e .

u(0) = u0 , i s w e l l c h o s e n i n t h e s p a c e H = [L2()]2

.

1 . 1 . S o m e p r o p e r t i e s o f t h e t r i l i n e a r f o r m

c.

U s i n g t h e H l d e r i n e q u a l i t y , w e h a v e

( 3 . 1 . 8 )

c(w, z,v) wL4()2zL2()4vL4()2 w, z,v [H1()]2,b e c a u s e

H1() L4()( t h i s i n j e c t i o n i s t r u e f o r

N 3) .

T h e n

( 3 . 1 . 9 )

c(w, z,v) CwH1()2 |z|H1()2vH1()2 w, z,v [H1()]2,w h e r e

| |H1 d e n o t e s t h e s e m i n o r m i n H1 .

W e r e c a l l t h e f o l l o w i n g i n t e r p o l a t i o n i n e q u a l i t y , v a l i d o n l y f o r

N = 2 ( f o r d e t a i l s , s e e [ 2 ] ) :

( 3 . 1 . 1 0 )

vL4() Cv1/2L2()v1/2L2()2 v H1().T h e e s t i m a t e ( 3 . 1 . 8 ) g i v e s u s :

w, z,v [H1()]2,

( 3 . 1 . 1 1 )

c(w, z,v) Cw1/2[L2()]2 |w|1/2[H1()]2 |z|[H1()]2v

1/2[L2()]2 |v|

1/2[H1()]2 .

F o r a l l

w, z,v [H10 ()]2 , w e h a v e

c(w, z,v) =i,j

wjzixj

vi dx

= i,j

xj(wj vi)zi dx b y i n t e g r a t i o n b y p a r t s

=

i,j

wjvixj

zi dxi,j

wjxj

vizi dx.

W e t h e n g e t

( 3 . 1 . 1 2 )

c(w, z,v) = c(w,v, z)

(v z)d i v

w dx w, z,v [H10 ()]2.


33/86

1 . I N T R O D U C T I O N 3 3

L e t

X = [H10 ()]2,

V = {v X | d i v v = 0 a . e . i n }.F r o m ( 3 . 1 . 1 2 ) w e d e d u c e t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s :

( 3 . 1 . 1 3 )

c(w, z, z) = 0 w V, z X,

( 3 . 1 . 1 4 )

c(w, z,v) = c(w,v, z) w V, v, z X.

1 . 2 . S o m e u s e f u l p r o p e r t i e s .

Y o u n g i n e q u a l i t y . F o r a l l

a, b R, w e h a v e

( 3 . 1 . 1 5 )

ab a2 + 14

b2, > 0.

G r o n w a l l L e m m a . L e t

Ib e a n i n t e r v a l f r o m

Ra n d

t0 I. W e c o n s i d e r t h e f u n c t i o n

f : I R p o s i t i v e a n d i n t e g r a b l e o n I. L e t a n d g b e t w o p o s i t i v e a n d c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n

I. I f

gi s i n c r e a s i n g a n d i f

(t) g(t) +t

t0

f(s)(s) ds t I,

t h e n

( 3 . 1 . 1 6 )

(t) g(t)expt

t0

f(s) ds

t I.

D i s c r e t e G r o n w a l l L e m m a . L e t

> 0a n d

{an}n0 , {bn}n0 b e t w o p o s i t i v e s e q u e n c e s s u c h t h a t

a0 a n d an +n1j=0

aj bj , n 1.

T h e n ,

( 3 . 1 . 1 7 )

an expn1

j=0

bj

, n 1.

1 . 3 . E n e r g y e s t i m a t e . W e t a k e

v = u(t)

X

a s t e s t f u n c t i o n i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( 3 . 1 . 4 ) . W e c a n p r o v e t h a t ( s e e [ 2 2 ] )du

dt,u

X,X

=1

2

d

dt(u,u) .

U s i n g r e l a t i o n ( 3 . 1 . 5 ) , w e o b t a i n

1

2

d

dtu(t)2[L2()]2 + u(t)2[L2()]4 + c(u,u,u) = (f(t),u(t)).


34/86


D u e t o r e l a t i o n ( 3 . 1 . 1 3 ) a n d t h e f a c t t h a t u(t) V , w e h a v e c(u,u,u) = 0 . T h u s ,t h e f o l l o w i n g e s t i m a t e h o l d s :

12

ddt

u(t)2[L2()]2 + u(t)2[L2()]4 f(t)[L2()]2u(t)[L2()]2

12f(t)2[L2()]2 +

1

2u(t)2[L2()]2 .

B y i n t e g r a t i n g f r o m 0 t o t, w e g e t

u(t)2[L2()]2 + 2t0

u(s)2[L2()]4 ds u(0)2[L2()]2 +t0

f(s)2[L2()]2 ds

+

t0

u(s)2[L2()]2 ds.

A p p l y i n g G r o n w a l l L e m m a ( s e e ( 3 . 1 . 1 6 ) ) , w e c o n c l u d e t h a t : f o r a n y

t [0, T] ,

( 3 . 1 . 1 8 )

u(t)

2

[L2

()]2 + 2t

0 u(s)

2

[L2

()]4 ds

u(0)2[L2()]2 +t0

f(s)2[L2()]2 ds

exp(t).

2 . C o m p l e t e d i s c r e t i s a t i o n i n t i m e a n d s p a c e v a r i a b l e s f o r t h e m i x e d

f o r m u l a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n

W e a s s u m e t h a t t h e d o m a i n R2 i s p o l y g o n a l a n d c o n v e x . W e c o n s i d e r Xh X a n d Yh Y t w o s u b s p a c e s o f n i t e d i m e n s i o n . I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t t w o n u m e r i c a l s c h e m e s ( w h i c h a r e s e m i - i m p l i c i t i n t i m e ) a n d w e w i l l s t u d y t h e i r

s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e .

D u e t o s t a b i l i t y r e a s o n s w h i c h w i l l a p p e a r l a t e r i n t h e a n a l y s i s , w e i n t r o d u c e a

n e w n o n l i n e a r t e r m c d e n e d b y :

( 3 . 2 . 1 9 )

c(w, z,v) =1

2[c(w, z,v) c(w,v, z)] .

T h i s n e w t e r m i s a n t i s y m m e t r i c , t h a t i s :

( 3 . 2 . 2 0 )

c(w, z,v) = c(w,v, z) w, z,v Xa n d , b y c o n s e q u e n c e , w e h a v e t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t p r o p e r t y :

( 3 . 2 . 2 1 )

c(w, z, z) = 0 w, z X.U s i n g r e l a t i o n ( 3 . 1 . 1 2 ) , w e h a v e

( 3 . 2 . 2 2 )

c(w, z,v) = c(w, z,v) +1

2

(v z) d i v w dx w, z,v X.

I n p a r t i c u l a r ,

( 3 . 2 . 2 3 )

c(w, z,v) = c(w, z,v) w V z,v X.

W e d e n o t e t > 0 t h e t i m e d i s c r e t i s a t i o n s t e p , d e n e d b y t = T /n, n Na n d w e c o n s i d e r t h e a p p r o x i m a t i o n

ukh(x) Xh o f u(x, tk), w i t h tk = kt , k 0a n d

pkh(x) Yh t h e a p p r o x i m a t i o n o f p(x, tk) . M o r e o v e r , i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e c o m p u t a t i o n , w e a s s u m e t h a t

fi s i n d e p e n d e n t o f t i m e .


35/86

2 . C O M P L E T E D I S C R E T I S A T I O N O F T H E N A V I E R - S T O K E S E Q U A T I O N S 3 5

2 . 1 . ( I ) . F i r s t s e m i - i m p l i c i t s c h e m e .

L e t

u0h

Xh b e g i v e n . F i n d (u

kh, p

kh) , k = 1, . . . , n s u c h t h a t

( 3 . 2 . 2 4 )

1

t(ukh uk1h ,vh) + a(ukh,vh) + c(uk1h ,uk1h ,vh)

+ b(vh, pkh) = (f,vh) vh Xh,

b(ukh, qh) = 0 qh Yh.( 3 . 2 . 2 5 )

W e s u p p o s e t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) f r o m C h a p t e r 2 h o l d s

f o r t h e s p a c e s

Xh a n d Yh . T h e n , f o r uk1h Xh g i v e n , t h e p r o b l e m ( 3 . 2 . 2 4 ) , ( 3 . 2 . 2 5 )

a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n (ukh, pkh) Xh Yh .

S T A B I L I T Y . T h e i n t r o d u c t i o n o f t h e m o d i e d n o n l i n e a r f o r m

ca l l o w s u s t o g e t

a s t a b l e s c h e m e . T h i s i m p o r t a n t r e s u l t i s s t a t e d i n t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .

P r o p o s i t i o n 3 . 1 ( S t a b i l i t y r e s u l t ) . W e s u p p o s e t h a t t h e t r i a n g u l a t i o n Th i su n i f o r m l y r e g u l a r a n d t h a t t h e i n i t i a l d a t a

u0h i s s u c h t h a t u0h[H1()]2 i s b o u n d e d i n d e p e n d e n t l y o f

ha n d

t.

T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t


ha n d

ts u c h t h a t f o r

t Ch2,t h e r s t s e m i - i m p l i c i t s c h e m e ( 3 . 2 . 2 4 ) , ( 3 . 2 . 2 5 ) i s s t a b l e , i . e . t h e r e e x i s t s


ha n d t s u c h t h a t

( 3 . 2 . 2 6 )

umh 2[L2()]2 + tm

k=1

ukh2

[L2()]4 C f o r m = 1, . . . , n .

T h e c o n s t a n t s

Ca n d

Ca r e d e p e n d e n t o f

u0h[H1()]2 , f[L2()]2 a n d .

R e m a r k 3 . 1 . L e t u s o b s e r v e t h a t :

T h e i n t r o d u c t i o n o f

ci n s t e a d o f

ca m o u n t s t o c o n s i d e r i n g t h e a d d i t i o n a l

t e r m

1

2u

d i v

ui n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . I n f a c t , t h e s c h e m e ( I ) i s

t h e f o l l o w i n g s e m i - d i s c r e t i s e d i n t i m e v a r i a b l e s c h e m e : f o r u0 g i v e n a n d

f o r

k 1 , w e c o m p u t e uk a n d pk a s f o l l o w s : uk uk1

t uk + (uk1 )uk1 + 1

2uk1

d i v

uk1 + pk = f i n ,d i v

uk = 0i n

,

uk = 0 o n .

T h e s c h e m e ( I ) i s s t a b l e u n d e r t h e c o n d i t i o n t h a t t h e f r a c t i o n

th2

i s s m a l l

e n o u g h . T h i s i s b e c a u s e t h e n o n l i n e a r t e r m o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ,

i . e . t h e t e r m (u )u, i s e x p l i c i t l y t i m e d i s c r e t i s e d .

W e c a n s h o w t h a t , u n d e r t h e h y p o t h e s i s o f P r o p o s i t i o n 3 . 1 , t h e s c h e m e ( I )

i s c o n v e r g e n t . W e a r e g o i n g t o s h o w t h i s f o r t h e s e c o n d s c h e m e ( I I ) b e l o w ,

w h i c h i s a l i t t l e b i t m o r e i m p l i c i t t h a t t h e p r e v i o u s o n e .


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2 . 2 . ( I I ) . T h e s e c o n d s e m i - i m p l i c i t s c h e m e .

L e t u0h

Xh b e g i v e n . F i n d (u

kh, p

kh) , k = 1, . . . , n s u c h t h a t

( 3 . 2 . 2 7 )

1

t(ukh uk1h ,vh) + a(ukh,vh) + c(uk1h ,ukh,vh)

+ b(vh, pkh) = (f,vh) vh Xh,

b(ukh, qh) = 0 qh Yh.( 3 . 2 . 2 8 )

W e s u p p o s e t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) f r o m C h a p t e r 2 i s

v e r i e d b y t h e s p a c e s

Xh a n d Yh . T h e n , f o r a g i v e n uk1h Xh , t h e p r o b l e m

( 3 . 2 . 2 7 ) , ( 3 . 2 . 2 8 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n

(ukh, pkh) Xh Yh . I n f a c t , t h e b i l i n e a r

f o r m

a : (u,v) 1t

(u,v) + a(u,v) + c(uk1h ,u,v) i s c o n t i n u o u s a n d c o e r c i v e o n

X X b e c a u s e a(u,u) =1

tu2

L2()2 + a(u,u).

S T A B I L I T Y . W e h a v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t :

P r o p o s i t i o n 3 . 2 ( S t a b i l i t y r e s u l t ) . T h e s e m i - i m p l i c i t s c h e m e ( 3 . 2 . 2 7 ) , ( 3 . 2 . 2 8 )

i s u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e , t h a t i s , f o r t h e i n i t i a l d a t a

u0h s u c h t h a t u0h[H1()]2 i sb o u n d e d i n d e p e n d e n t l y o f

ha n d

t, t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t


ha n d

ts u c h t h a t

( 3 . 2 . 2 9 )

umh 2[L2()]2 + tm

k=1

ukh2

[L2()]4 C f o r m = 1, . . . , n .

C O N V E R G E N C E . L e t u s s t a t e t h e c o n v e r g e n c e r e s u l t f o r t h e s e c o n d s e m i -

i m p l i c i t s c h e m e ( I I ) .

P r o p o s i t i o n 3 . 3 ( C o n v e r g e n c e r e s u l t ) . W e s u p p o s e t h a t t h e e x a c t s o l u t i o n

(u, p) o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( 3 . 1 . 4 ) ( 3 . 1 . 6 ) i s r e g u l a r , i . e .

u C0([0, T]; [W1,()]2 X) C1([0, T]; [H2()]2) H2(0, T; [L2()]2),

p H1(0, T; H1() Y).T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C > 0 i n d e p e n d e n t o f h, t a n d s u c h t h a t f o r t C a n d h C, w e h a v e

ukh u(tk)L2()2 Cu0h u(0)H1() + h2 + t

k 1,

w h e r e C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f h a n d t .

R e m a r k 3 . 2 . I n p r a c t i c e , t h e s c h e m e ( I I ) ( a n d i n a l o w e r s e n s e t h e s c h e m e ( I ) ) i s

u s e d f o r l a r g e e n o u g h v i s c o s i t i e s

a n d t h i s h a p p e n s d u e t o t h e c o n d i t i o n t h a t r e l a t e s

t a n d h w i t h .I n t h e c a s e o f l o w v i s c o s i t y ( i . e . h i g h R e y n o l d s n u m b e r s ) , t h e n o n l i n e a r c o n -

v e c t i o n t e r m (u )u c a n b e t r e a t e d b y u s i n g t h e u p w i n d s c h e m e o r t h e " S t r e a m l i n e D i u s i o n M e t h o d " ( S D M ) .


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3 . D E C O M P O S I T I O N M E T H O D S O F O P E R A T O R S 3 7

3 . D e c o m p o s i t i o n m e t h o d s o f o p e r a t o r s

3 . 1 . I n t r o d u c t i o n . T h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d s o f o p e r a t o r s f o c u s o n s o l v i n g

p r o b l e m s o f t y p e

(P)

d

dt+ A() = 0,

(0) = 0,

w h e r e

Ai s a n o p e r a t o r ( n o n l i n e a r ) s u c h t h a t

A = A1 + A2 , w i t h t h e o p e r a t o r s A1a n d

A2 s i m p l e r t h a n A.T h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d s o f o p e r a t o r s a r e b a s e d o n t h e d e c o m p o s i t i o n o f

o p e r a t o r

A, t h a t i s w e w a n t t o s u c c e s s i v e l y s o l v e s e v e r a l p r o b l e m s w h i c h a r e s i m p l e r

t h a n t h e o r i g i n a l p r o b l e m (P) .E x a m p l e s .

( 1 ) T h e Y a n e n k o s c h e m e .

n+1/2 nt

+ A1(n+1/2) = 0,

n+1 n+1/2t

+ A2(n+1) = 0.

I f

Ai s l i n e a r ( t h e n

A1 a n d A2 ) , w e h a v e n+1 n

t+An+1 = tA1A2n+1.

I n t h i s c a s e , t h e Y a n e n k o s c h e m e i s c o n s i s t e n t i n

O(t).( 2 ) T h e P e a c e m a n - R a c h f o r d s c h e m e .

n+1/2 nt/2

+ A1(n+1/2) + A2(

n) = 0,

n+1 n+1/2

t/2+ A1(

n+1/2) + A2(n+1) = 0.

T h i s s c h e m e i s c o n s i s t e n t i n O(t2).

3 . 2 . T h e p r o j e c t i o n m e t h o d . T h i s m e t h o d i s d u e t o T e m a m [ 2 1 ] a n d C h o r i n

[ 4 ] ( s e e a l s o [ 9 ] ) . W e d e c o m p o s e t h e N a v i e r - S t o k e s o p e r a t o r

Aa s f o l l o w s :

A = A1 + A2,

w h e r e

A1 i s t h e s u m o f t h e i n e r t i a l t e r m s a n d t h e v i s c o s i t y ; A2 t a k e i n t o a c c o u n t t h e p r e s s u r e t e r m a n d t h e i n c o m p r e s s i b i l i t y c o n d i -

t i o n .

T h e p r o j e c t i o n m e t h o d i s c o n s t r u c t e d u s i n g t h e s e m i - d i s c r e t i s e d s c h e m e a n d c o n -

s i d e r i n g t h e p r e v i o u s d e c o m p o s i t i o n . W e d e n e t w o v e c t o r s e q u e n c e s

{uk} a n d{uk+1/2}

,

k 0 , w i t h u0 g i v e n , a s f o l l o w s :( 1 ) F i n d

uk+1/2s u c h t h a t

uk+

note de curs-fsi

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