note su esperienza con il pendolo fisico “pasco”meddif/labmecmaterialedidattico_aa2010... · 2...
TRANSCRIPT
1
Note su esperienza con ilNote su esperienza con ilpendolo fisico pendolo fisico ““PASCOPASCO””
2
Pendolo Fisico Pendolo Fisico ““PASCOPASCO””… è composto da:
-- Asta rigidaAsta rigida che può essere fissata ad un pernopernotramite un piccolo bullone in 3 posizioni lungo l’asta:
o in una posizione centrale, o in una di altre due posizioni decentrate
e simmetriche rispetto al centro dell’asta.
-- Sull’asta rigida possono essere fissati uno o più pesi in ottonepesi in ottone allo scopo di modificare il momento di inerzia del pendolo.
-- Misuratore di rotazione PASCO Misuratore di rotazione PASCO (PS 2120)(PS 2120)collegato al collegato al perno sul quale è fissata l’asta rigida, a sua volta collegato al computer tramite la già usata unitunitàà ““PASCO 500 interfacePASCO 500 interface””.
3
4
Rotary MotionMeasures magnitude and direction of motionPS 2120PS 2120
4000 x 30 = 120 000 Hz(1/120kHz) ~ 8.3 μs)
360°/4000 = 0.09°
X (180° / π) = 0.09°
5
… possibile utilizzo delutilizzo delsensore rotativo PS 2120sensore rotativo PS 2120per la misura del momento misura del momento di inerziadi inerzia di un corpo rigido montato orizzontalmente (come nella foto).
… in questo caso l’asse di rotazioneasse di rotazione del sensore rotativo andrebbe posto verticalmente anziche’ orizzontalmente come invece nel caso del pendolo fisico.
6
Operazioni preliminariOperazioni preliminari:
a)a)Misurare le diverse parti del Misurare le diverse parti del pendolo compostopendolo composto:
- massamassa dell’asta rigida e dei pesi in ottone;
- dimensionidimensioni dell’asta rigida e dei pesi in ottone;
- distanzadistanza tra i fori sull’asta rigida;
- diametrodiametro del cerchietto di plastica usato per fissare l’asta rigida stessa.
7
b)b) Verificare lVerificare l’’orizzontalitorizzontalitàà delldell’’asse di rotazione.asse di rotazione.
… per ridurre l’errore sistematicoerrore sistematico sulla misura di “g” che tenderebbe a farci misurare un valore sottostimatosottostimato di “g”
c) Verifica della perpendicolaritc) Verifica della perpendicolaritàà tra tra asse di rotazione ed asta rigidaasse di rotazione ed asta rigida
ogni volta che questa viene rimontata per effettuare un cambiamento dellaconfigurazione di misura.… al fine di ridurre l’errore sistematicoerrore sistematico sul momento di inerzia “I” rispetto all’asse di rotazione che ci farebbe sovrastimare sovrastimare “I”… quindi tenderebbe a farci misurare un valore sovrastimatosovrastimato di “g”
8
d)d) Predisporre il sistema di acquisizione Predisporre il sistema di acquisizione ““DATA STUDIODATA STUDIO””
-- Selezionare Selezionare ““Crea esperimentoCrea esperimento””..-- Aggiungere Aggiungere ““Sensore Moto RotatorioSensore Moto Rotatorio””..- Selezionare
”Frequenza diFrequenza di campionamento a 20 Hzcampionamento a 20 Hz” 50ms- Selezionare “Alta RisoluzioneAlta Risoluzione” … 0.25°
… 1440 punti a giro (0.25°=360°/1440) 1440 x 20Hz = 28800Hz (34.7 μs)
- Definire (dal menu’ Proprieta’) il “numero di cifre significativenumero di cifre significative”
con cui verranno scritte le misure
9
Momento di inerziaMomento di inerzia di alcuni solidi omogenei, calcolato rispettoad un asseasse di simmetria passantepassante per il centro di massacentro di massa
10
ddθθ dm = dm = ρρ((rdrdθθ)(dr)()(dr)(dzdz))HH
RR
zz
22
4
)())()((
24
20
2
00
3
32
MRHRHR
MdzddrrI
dzdrdrrdmdIdzdrrddm
Hz
z
Rr
rzz
zz
===
==
=
∫∫∫=
=
=
=
=
=
ππ
ϑρ
ϑρ
ϑρ
πϑ
ϑ
V = V = ππRR22HH
Cilindro pienoCilindro pieno
11
ddθθ dm = dm = ρρ((rdrdθθ)(dr)()(dr)(dzdz))
2)(
24)(
)())()((
21
22
41
42
21
220
2
0
3
32
2
1
RRM
HRRHRR
MdzddrrI
dzdrdrrdmdIdzdrrddm
Hz
z
Rr
Rrzz
zz
+=
=−
−==
==
=
∫∫∫=
=
=
=
=
=
ππ
ϑρ
ϑρ
ϑρ
πϑ
ϑ
HH
RR11
zz
RR22
V = V = π[(π[(RR22))2 2 -- ((RR11))22]H]H
Cilindro cavo: Cilindro cavo: ““manicottomanicotto””
12
Sfera pienaSfera piena
RR
rr
zz
dzdz
( )
( ) ( )22
)(
""
22222
222
22
zRdzzRVM
rdmdI
dzzRVMdzr
VMdm
dischisferazRr
discozz
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
∝
−=
∑
π
ππ
MM: massa totale della sferaVV: volume della sferadmdm: massa infinitesima del disco infinitesimo di spessore dz
13
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
52
158
43
158
1510315
32
52
221
21
22)(
""
25
3
55
32
5
0
52244
0
222
0
222222
22222
MRRR
MI
RR
RRRRdzzRzRdzzR
dzzRVMdzzR
VMI
zRdzzRVM
rdmdI
dischisfera
sferazz
Rz
z
Rz
z
Rz
z
Rz
Rz
sferazz
discozz
==⇒
=−+
=
=−+=−+=−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
∝
∫∫
∫∫
∑
+=
=
+=
=
+=
=
+=
−=
ππ
ππ
π
Sfera pienaSfera piena
14
Momento di inerzia per unMomento di inerzia per un’’asta rigidaasta rigida rispetto ad un asse centrale (zz) o ad un asse diametrale (xx, yy)passante per il CM
2
2MRIzz =
z
y
xR
Asse diametrale yy
Asse diametrale xx
Asse centrale zz
12)(31
12
1242
2
22
22
MllRMl
MlMRII yyxx
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=+==
…… barra sottilebarra sottile
15
Momento di inerzia per unMomento di inerzia per un’’asta rigidaasta rigida rispetto ad un asse diametrale (xx) passante per il CM e rispetto ad un asse parallelo al primo (x’x’) e passante per un estremo (Teorema di Huygens-Steiner)
3412
)2
(
222
2''
MlMlMl
lMII xxxx
=+=
=+=
12
2MlIxx =x'
y
x
R
z
(l / 2)Asse diametrale xx
Asse x’x’ parallelo all’asse
diametrale xx
16
2
2MRIzz =
Momento di inerzia per un cilindro pienoMomento di inerzia per un cilindro pieno rispetto ad un asse centrale (zz) o ad un asse diametrale (xx, yy)passanti per il CM
12)3( 22 hRMII yyxx
+==
z
y
x
R
Asse diametrale yy
Asse diametrale xx
Asse centrale zz
17
Momento di inerzia per un cilindro cavoMomento di inerzia per un cilindro cavo rispetto ad un asse centrale (zz) o ad un asse diametrale (xx, yy)passanti per il CM
2)( 2
22
1 RRMIzz+
=
12))(3( 22
221 hRRM
II yyxx
++=
==
Asse diametrale yy
z
y
x
R R1
R2
Asse centrale zz
Asse diametrale xx
18
Momento di inerzia per un cilindro cavoMomento di inerzia per un cilindro cavo rispetto ad un asse diametrale (xx) passante per il CM e rispetto ad un asse parallelo al primo (x’x’) e che disti D da esso (Teorema di Huygens-Steiner)
12))(3( 22
221 hRRM
II yyxx
++=
==
2'' MDII xxxx +=
z
y
x
R R1
R2
D
X’
Asse x’x’ parallelo all’asse diametrale xx Asse diametrale xx
19
Pendolo fisico o pendolo compostoPendolo fisico o pendolo composto
θ
C.M.
OO
dd
C.M.
OO
θdd
..
yy
zzxx
r θ
MgMg
( )( )
))sin(;0;0(
0;;0
0);cos();sin(
ϑ
ϑϑ
dMgFr
MgF
ddr
=∧
=
=
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−==
2
2
;0;0dtdI
dtJd
zdtdI
dtdIJ
ϑ
ϑω
0)sin()(
)sin(
2
2
2
2
=+
=−
==∧
θθ
θθ
ω
IMgd
dtd
dtdIdMg
dtdI
dtJdFr
20
Approssimazione delle Approssimazione delle piccole ampiezze di oscillazionepiccole ampiezze di oscillazione
MdIl
gl
MgdIT
dtd
IMgd
dtd
IMgd
dtd
eq
eq
=⇒
===⇒
=+⇔=+⇒
=+
con semplice pendolo
222
00)(
0)sin()(
22
2
2
2
2
2
ππωπ
θωθθθ
θθ
21
Strategia di misura dell’accelerazione di gravità “g”con il pendolo composto “PASCO”: 11--ma configurazionema configurazione
d = distanza del CM dell’asta rigidadall’asse di rotazione
m = massa dell’asta rigidaI0 = momento d’inerzia dell’asta rigidaT0 = periodo delle piccole oscillazioni
Misure con:Calibro: d, L“PASCO”; T0
“g”
dCM
L
)12
(4
)12
(2
)12
(22
12
2
20
2
22
22
0
22
0
0
dd
lT
g
gd
dl
mgd
mdml
mgdI
T
mdmlI
+=⇒
+=
+==
+=
π
πππ
22
Strategia di misura dell’accelerazione di gravità “g”con il pendolo composto “PASCO”: 22--nda configurazionenda configurazione
dd = distanza del CM dell’asta rigidadall’asse di rotazione.
xx = distanza del CM del cilindro in ottonedall’asse di rotazione.
λλ = distanza del CM totaledall’asse di rotazione.
mm = massa dell’asta rigida.MM = massa del cilindro cavo in ottone.
IIastaasta = momento d’inerzia dell’asta rigida rispetto ad un asse passante per il suo CM e parallelo all’asse di rotazione.IIottoneottone = momento d’inerzia del cilindro in ottone rispetto ad un asse diametrale passante per il suo CM e parallelo alloasse di rotazione.TT00 = periodo delle piccole oscillazioni.
xx
λλ dd
MmMxmd
++
=λ
23
mdcMb
hRRMmdmla
bxcbxa
gMm
xMmdMm
xMhRRMmdml
gT
MmMxmd
gMmI
T
MxhRRMmdmlMxImdII ottoneasta
==
++++=
++
=
++
+
+++++=⇒
++
=+
=
+++++=+++=
))])(3(12
()12
[(
4
)(][][)(
][))])(3(12
()12
[(4
,)(
2
)))(3(12
()12
(
222
21
22
22222
22
12
2
22
0
0
2222
21
22
22
0
0
ππ
λλ
π
24
Strategia di misura dell’accelerazione di gravità “g”con il pendolo composto “PASCO”: 33--za configurazioneza configurazione
dd = 0 il CM dell’asta rigida coincide conl’asse di rotazione.
xx = distanza del CM del cilindro in ottonedall’asse di rotazione.
λλ = distanza del CM totaledall’asse di rotazione.
mm = massa dell’asta rigida.MM = massa del cilindro cavo in ottone.
IIastaasta = momento d’inerzia dell’asta rigida rispetto ad un asse passante per il suo CM e parallelo all’asse di rotazione.IIottoneottone = momento d’inerzia del cilindro in ottone rispetto ad un asse diametrale passante per il suo CM e parallelo alloasse di rotazione.TT00 = periodo delle piccole oscillazioni.
MmMxmd
++
=λ
xx λλ
25
BxxAx
gxMg
hRRMml
T
mdcMb
hRRMmdmla
bxcbxa
gMm
xMmdMm
xMhRRMmdml
gT
MmMxmd
gMmI
T
MxhRRMmdmlMxImdII ottoneasta
+=++++
=⇒
==
++++=
++
=
++
+
+++++=⇒
++
=+
=
+++++=+++=
222
22
1
2
220
222
21
22
22222
22
12
2
22
0
0
2222
21
22
22
41))])(3(12
()12
[(4
))])(3(12
()12
[(
4
)(][][)(
][))])(3(12
()12
[(4
,)(
2
)))(3(12
()12
(
0
0
ππ
ππ
λλ
π
26
gB
Mg
hRRMml
ba
gA
BxxAx
gxMg
hRRMml
T
2
222
21
2
22
222
22
1
2
220
4
))])(3(12
()12
[(44
41))])(3(12
()12
[(4
π
ππ
ππ
=
+++==
+=++++
=⇒
(T(T00))22 = (A / x) + B x= (A / x) + B x
…… allontanando il cilindro di ottone dallallontanando il cilindro di ottone dall’’asse di rotazione,asse di rotazione,il pendolo fisico si comporta sempre piil pendolo fisico si comporta sempre piùù come un pendolo come un pendolo semplice di lunghezza x in cui il peso semplice di lunghezza x in cui il peso èè assimilabile alassimilabile alpunto materiale attaccato allpunto materiale attaccato all’’estremitestremitàà del filo.del filo.
27
ContributoContributo IIxx al al momentomomento didi inerziainerzia del del pendolopendolo compostocomposto dovutodovuto al sistema formato da:
- asse di rotazione;
- parte mobile del sensore rotativo “PASCO PS 2120”, ancorato all’asse di rotazione;
- disco in plastica per il fissaggio dell’asta rigida.
…… assumiamoassumiamo:
- CMCM del sistema sull’asse di rotazione del pendolo fisico;
- massa complessiva MMxx e momento di inerzia IIx x incogniti;
- IIxx trascurabile rispetto agli altri contributi;… si vuole trovare solo una stimastima per Ix.
28
StimaStima del del momentomomento dd’’inerziainerzia IIxx con con unauna misuramisura ad hocad hoc
… fissare (come?come?) un corpo (qualequale??) di massa MM00 sul bordo del disco in plastica di raggio rr dove solitamente vienemontata l’asta rigida.
I = MI = M00 rr22 + I+ Ixx
M = MM = M00 + + MMxx
λλ = (M= (M00 r + r + MMxx 0) / (M0) / (M00 + + MMxx) = (M) = (M00 r) / (Mr) / (M00 + + MMxx) )
rr
MM00
MMxx
202
02
202
02
0
20
0
00
20
44
2
)()()(
22
rMrgMTIIrMrgMT
rgMIrM
MMrMgMM
IrMMg
IT
xx
x
xx
x
−=⇒+=⇒
+=
++
+==
ππ
ππλ
π
29
Dipendenza del periodo delle oscillazioni Dipendenza del periodo delle oscillazioni dalldall’’ampiezza massima dellampiezza massima dell’’oscillazione stessa:oscillazione stessa:
TT00 periodoperiodoper piccole per piccole oscillazionioscillazioni
Errore sistematico dellErrore sistematico dell’’ordine del % per ordine del % per θθ < 10< 10°°dovuto all’approssimazione di piccolo angolo sin(sin(θ)θ) ≈≈ θθ
Errore sistematico dellErrore sistematico dell’’ordine di 0.1% per ordine di 0.1% per θθ < 1< 1°°… “misure di grande precisione”grazie all’approssimazione di sin(sin(θ)θ) ≈≈ θ θ −− (θ(θ33) / 6) / 6
))2
(sin411(
)16
1()16
1(2
)16
1(2))2
(411(2...))
2(sin
649)
2(sin
411(2
020
20
0
20
20200402
θθθπ
θπθπθθπ
+=⇒+=+=⇒
+=+≈+++=
=
TTTMgd
IT
gl
gl
gl
T
MdIl
eqeqeq
eq
30
Strategia per fare unaStrategia per fare una misuramisura di grande precisione (di grande precisione (≈≈ 0.1 %) 0.1 %) delldell’’accelerazione di gravitaccelerazione di gravitàà ““gg””
- Mettersi nelle condizioni ottimaliMettersi nelle condizioni ottimali con il pendolo composto:
solo l’asta rigida montata in posizione simmetrica ... quindi senza alcun peso di ottone
- Misura Misura del periodo TT al variare l’angolo θθ00
- GraficoGrafico del periodo TT in funzione di sin2(θ0/2)... Mi aspetto un andamento lineare (fitfit linearelineare)
dal termine noto ricavo TT00 e da questo ottengo gg
2
2
0020
000
42)2
(sin4
)(MdT
IgMgd
ITTTT ππϑϑ =⇒=⇒+=