novo enem iv
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CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (IV)
•Conhecimentos algébricos: gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações ; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES
1. Plano Cartesiano Esquema gráfico que divide o espaço em
quatro espaços, denominados quadrantes, através de dois eixos: um vertical, o eixo das ordenadas ou eixo dos y e um horizontal, o eixo das abscissas ou eixo dos x.
Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões, que são denominadas Quadrantes. Temos então o seguinte quadro resumo:
QUADRANTE ABSCISSA ORDENADA
1º quadrante + +
2º quadrante - +
3º quadrante - -
4º quadrante + -
Obs: 1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0. 2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz do primeiro quadrante. 3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz do segundo quadrante
2. Par Ordenado
É o conjunto especial formado por dois elementos que não podem alterar suas posições dentro dele, isso explica o nome par ordenado, diferente daquilo que ocorre nos outros conjuntos.
Nos conjuntos: {a,b} = {b,a}
No par ordenado: (a,b) (b,a), se a b
Cada PAR ORDENADO determina, no plano cartesiano, um único PONTO; onde o primeiro elemento do par determina o valor de x e o segundo valor determina o valor de y.
3. Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, não vazios,
designa-se A X B (lê-se A cartesiano B), o conjunto formado por todos os pares ordenados onde o primeiro elemento (x) pertença ao conjunto A e o segundo elemento (y) pertença ao conjunto B.
; / e A B x y x A y B
. n A B n A n B ,
onde n A é o número de elementos de um
conjunto A.
RELAÇÃO BINÁRIA
4. Definição
Considerando dois conjuntos A e B , não vazios, chamamos de relação binária de A em
B : R A B qualquer subconjunto do produto
cartesiano A B . Podemos representar uma relação R por um diagrama de flechas. O conjunto de elementos de x (de onde saem as flechas) é chamado de DOMÍNIO e o conjuntos dos elementos de y (onde chegam as flechas) é chamado de CONTRADOMÍNIO. Os elementos do contradomínio que são ligados a algum elemento do domínio é chamado de CONJUNTO-IMAGEM.
OBSERVAÇÃO
Observe que sempre o conjunto imagem é
um subconjunto do contradomínio Im CD .
FUNÇÃO
5. Definição Toda função é uma relação onde cada
elemento do Domínio possui uma única imagem no Contradomínio. Assim uma função seria uma Relação Perfeita do lado do Domínio, de onde deve partir uma única flecha de cada elemento.
Assim seriam funções os exemplos a seguir:
As definições de Domínio, Contradomínio e de Imagem são as mesmas que utilizamos em Relações.
As funções são ditas de A em B : f A B
quando associam valores de x que pertencem ao conjunto A com valores de y que pertencem ao
conjunto B .
6. Lei de formação e valor numérico de uma função
Cada função possui uma “lei de formação”, ou seja, uma relação entre os valores de x e de y que torna possível encontrar os pares ordenados que fazem parte da função.
O valor numérico de uma função seria o valor que a função assume quando substituímos x por um determinado valor.
7. Gráfico de uma função O gráfico de uma função é o conjunto de
pares ordenados yx; que satisfazem à lei de
formação da função. Por enquanto, iremos nos ater a apenas interpretar os gráficos das funções, ainda não nos preocupando em como construí-los.
Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que:
a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função . b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função . c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
Por exemplo:
8. Raízes ou zeros de uma função
As raízes de uma função xf são os
valores de “ x ” que tornam 0xf . Ou seja, se
um valor “ a ” é raiz de uma função xf ,
podemos dizer que 0af .
Graficamente podemos dizer que as raízes são os pontos do gráfico que estão sobre o eixo das abscissas.
9. Função Crescente e Decrescente
a) Função Crescente
Uma função é dita crescente em um intervalo
;a b quando aumentamos o valor de x dentro
desse intervalo e a função aumenta seu valor.
b) Função Decrescente Uma função é dita decrescente em um
intervalo ;a b quando aumentamos o valor de x
dentro desse intervalo e a função diminui seu valor.
ATIVIDADES (REVISÃO)
Texto para as questões 1 e 2.
(ENEM) No quadro abaixo estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m
3) e de
eletricidade (em kwh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.
01. Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de:
a) R$ 55,20. b) R$ 106,46. c) R$ 802,00. d) R$ 100,00. e) R$ 22,90.
02. Suponha agora que dobre o consumo d’água. O novo valor da conta será de:
a) R$ 22,90. b) R$ 106,46. c) R$ 43,82. d) R$ 17,40. e) R$ 22,52.
03. (ENEM) A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes e depois da redução da tarifa de energia no estado de Pernambuco.
Diário de Pernambuco. 28 abr. 2010 (adaptado).
Considere dois consumidores: um que é de baixa renda e gastou 100 kWh e outro do tipo residencial que gastou 185 kWh. A diferença entre o gasto desses consumidores com 1 kWh, depois da redução da tarifa de energia, mais aproximada, é de
a) R$ 0,27. b) R$ 0,29. c) R$ 0,32. d) R$ 0,34. e) R$ 0,61.
04. (ENEM) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4300 vagas no setor, totalizando 880605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses,
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é
a) y = 4 300x b) y = 884905x c) y = 872 005 + 4 300x d) y = 876 305 + 4 300x e) y = 880 605 + 4 300x
05. (ENEM) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos édado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
06. (ENEM) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150 b) 100n + 150 = 120n + 350 c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000) e) 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000)
07. Uma fecularia (empresa que produz farinha de milho, mandioca etc.) compõe os seus preços por duas funções: a primeira, dos custos e manipulação da matéria-prima, dada por f(x) = 3x - 1, onde x é a quantidade de produto; a segunda,
g(x) = 2x + 2, que diz respeito ao processamento, embalagem e entrega às revendas. Ou seja, o custo total é composto pelos custos e manipulação da matéria-prima. Nessas condições, qual o preço de venda de uma unidade?
a) R$ 5,00 b) R$ 6,00 c) R$ 7,00 d) R$ 8,00 e) R$ 9,00
08. (ENEM) Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente. O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é
a)
b)
c)
d)
e)
09. (ENEM) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado).
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de
a) 1998 e 2001. b) 2001 e 2003. c) 2003 e 2006. d) 2003 e 2007. e) 2003 e 2008.
10. (ENEM) Para conseguir chegar a um número recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas brasileiras começam a se planejar para esse período com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no período de 2005 a 2009.
Revista Veja, São Paulo: Abril, ed. 2107, nº14,
ano 42.
De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior produção acumulada foi
a) 2004-2005. b) 2005-2006. c) 2006-2007. d) 2007-2008. e) 2008-2009.
11. Um laboratório testou a ação de uma droga em amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada
pela relação battv 2)( , onde v(t) é o número
de elementos vivos no tempo t(meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t = 12 meses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10º mês é
a) 80 b) 100 c) 120
d) 220 e) 300
12. (UCSal-BA) Um restaurante cobra de seus clientes um preço fixo por pessoa: R$ 15,00 no almoço e R$ 12,00 no jantar. Certo dia, dos 120 clientes que compareceram a esse restaurante, x foram atendidos no jantar. Se foram gastos R$ 6,00 no preparo de cada refeição, a expressão que define o lucro L, em reais, obtido nesse dia, em função de x é:
a) L(x) = 120x - 720 b) L(x) = 1440x - 720 c) L(x) =- 6x + 1440 d) L(x) =- 4x + 720 e) L(x) =- 3x + 1080
13. (ENEM) Existem muitas diferenças entre as culturas crista e islâmica. Uma das principais diz respeito ao Calendário. Enquanto o Calendário Cristão (Gregoriano) considera um ano como o período correspondente ao movimento de translação da Terra em torno do Sol - aproximadamente 365 dias, o Calendário Muçulmano se baseia nos movimentos de translação da Lua em torno da Terra -aproximadamente 12 por ano, o que corresponde a anos intercalados de 254 e 255 dias. Considerando que o Calendário Muçulmano teve inicio em 622 da era crista e que cada 33 anos muçulmanos correspondem a 32 anos cristãos, é possível estabelecer uma correspondência aproximada de anos entre os dois calendários, dada por: (C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmanos)
a)
33622
MMC .
b)
32
622622 CMC .
c)
33622
MMC .
d)
33
622622 CMC .
e)
32622
MMC .
14. Em um jornal de circulação nacional foi publicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com os percentuais, em função do ano, de famílias
compostas por pai, mãe e filhos, chamadas famílias nucleares, e de famílias resultantes de processos de separação ou divórcio, chamadas novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo representam, a partir de 1987, a variação percentual desses dois tipos de família, com suas respectivas projeções para anos futuros, é correto afirmar:
a) No ano 2030, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares.
b) No ano 2030, o número de novas famílias será menor do que o de famílias nucleares.
c) No ano 2030, o número de novas famílias será maior do que o de famílias nucleares.
d) No ano 2015, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares.
e) No ano 2012, o número de famílias nucleares será menor do que a de novas famílias.
15. “Receita bate novo recorde e acumula alta de quase 10%.” Esta foi a manchete dos jornalistas Fabio Graner e Gustavo Freire para O Estado de S. Paulo de 19 de outubro de 2007. O corpo da matéria, ilustrada pelo gráfico abaixo, informava que “a arrecadação da Receita Federal em setembro totalizou R$ 48,48 bilhões, um recorde para o mês. De janeiro a setembro ficou em R$ 429,97 bilhões que, corrigidos pela inflação, somam R$ 435,01 bilhões, com crescimento de 9,94% ante o mesmo período de 2006. O secretário adjunto da Receita Federal destacou que, de janeiro a setembro, a expansão das receitas,na comparação com igual período de 2006, foi de 11,14%”.
Pode-se concluir, então, que:
a) A arrecadação da Receita Federal, de janeiro asetembro de 2007, foi crescente.
b) Em setembro de 2007, a Receita Federal arrecadou 10% a mais do que foi arrecadado em setembro de 2006.
c) A arrecadação de setembro de 2007 foi 11,14% maior que a de janeiro de 2007.
d) Em 2007, a arrecadação foi crescente nos períodos de fevereiro a abril, e de maio a agosto.
e) No período de julho a setembro de 2007, a arrecadação da Receita Federal foi decrescente.
16. A tabela abaixo mostra a evolução da área plantada e a produção de cana-de-açúcar no estado de Goiás, nas safras de 2001/2002 a 2008/2009.
Evolução da cana de açúcar no Estado de Goiás
Safra Área plantada (ha)
Produção (ton.)
01/02 129.921 10.253.497
02/03 203.865 11.674.140
03/04 168.007 12.907.592
04/05 176.328 14.001.079
05/06 200.048 15.642.125
06/07 237.547 19.049.550
07/08 281.800 20.800.000
08/09 339.200 33.100.000*
* estimativa Fonte:IBGE.<www.igbe.gov.br>.
Analisando os dados apresentados, pode-se concluir que o gráfico que representa a produtividade média por hectare de cana-de-açúcar no período considerado é:
a)
b)
c)
d)
e)
17. (ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias
depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.
Analisando os gráficos, pode-se concluir que:
a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto.
d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.
18. (Uepa) No processo de geração de um sinal de vídeo por meio dos sensores CCD/CMOS, quanto maior a quantidade de luz recebida por um determinado pixel, mais intensa a corrente elétrica gerada (efeito fotoelétrico na superfície fotossensível do pixel) e, portanto, maior a carga concentrada nos acumuladores individuais associados a cada pixel. Em outras palavras, quanto maior a luminosidade maior será a corrente gerada. Essa relação no sensor é sempre diretamente proporcional. O gráfico abaixo que melhor representa a relação da luminosidade com a voltagem é:
Fonte: Texto adaptado de www.fazendovideo.com.br/vtsin3.asp
a)
b)
c)
d)
e)
19. A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. O gráfico ao lado mostra como varia a espessura da camada hidratada, em
mícrons (1 mícron = 1 milésimo de milímetro) em função da idade da obsidiana.
Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana.
a) é diretamente proporcional à sua idade. b) dobra a cada 10 000 anos. c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é
mais jovem. d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é
mais velha. e) a partir de 100 000 anos não aumenta mais.
20. Os raios ultravioleta B, abreviados por UVB, atingem camadas mais profundas da pele e causam, além da vermelhidão, a inibição da síntese de proteínas, das mitoses e várias outras alterações celulares. Esses raios são parcialmente bloqueados pela camada de ozônio; no entanto, com a diminuição dessa camada, a penetração dos raios UVB tem aumentado, o que gera uma elevação potencial da incidência de câncer de pele.
O tempo que se pode ficar exposto ao Sol sem sofrer queimaduras causadas por radiação ultravioleta pode ser calculado com base no fator de proteção solar (FPS), que é utilizado para a classificação dos filtros solares.
O coeficiente de eficiência )(xE de um creme
protetor é dado porx
xE1
1)( , sendo x o fator
de proteção solar (FPS) do creme. Camila quer um creme protetor cujo coeficiente de eficiência seja 12% maior do que o de um creme com FPS igual a 8. Ela deve, portanto, adquirir um creme protetor com FPS igual a
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
21. (ENEM) Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas.
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade?
a)
b)
c)
d)
e)
22. (ENEM) Embora o Índice de massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
ARAUJO, C.G.S.: RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um QuestionamentoCientífico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia,
volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a
a) 0,4 cm/kg1/3
. b) 2,5 cm/kg
1/3.
c) 8 cm/kg1/3
. d) 20 cm/kg
1/3.
e) 40 cm/kg1/3
.
23. O valor de uma encadernação, em geral, depende do número de páginas do material a ser encadernado. Para indicar aos seus usuários o valor de uma encadernação simples em função do número de páginas (no máximo1 000 páginas), uma determinada papelaria fixou num painel a seguinte representação gráfica:
Paula vai encadernar 4 apostilas nessa papelaria: a primeira com 180 páginas, a segunda com 212, a terceira com 390 e a quarta com 750. Com base nos valores em reais, fixados no painel, Paula vai gastar, para encadernar as 4 apostilas:
a) R$ 15,50 b) R$ 15,00 c) R$ 14,00 d) R$ 12,00 e) R$ 11,50
GABARITO
01-B 07-B 13-A 19-C
02-C 08-D 14-C 20-E
03-B 09-C 15-E 21-A
04-C 10-E 16-C 22-E
05-D 11-D 17-D 23-B
06-A 12-E 18-C
FUNÇÃO CONSTANTE
1. Definição
A função constante tem a forma f x k , onde
Rk . EXEMPLO:
3f x
( ) 2 f x
2. Gráfico
O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal.
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 1. Definição
A função do 1º grau tem a forma y ax b ou
f x ax b , com 0a .
EXEMPLO: 2 20 y x
1( ) 2
3 f x x
OBSERVAÇÃO
coeficiente angular
coeficiente linear
a
b
2. Tipos de Função do 1º grau a) Afim: é outro nome para a função de 1º grau.
A função afim também tem a forma
f x ax bcom 0a .
b) Linear: tem a forma f x ax , com 0a , ou
seja, 0b . Toda função linear passa pela
origem, o ponto 0;0 .
c) Identidade: é uma função linear especial que
associa o x ao próprio x. É a função f x x .
A função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares.
3. Gráfico
3.1. Construção do gráfico de uma função do 1º grau
Para construirmos o gráfico de uma função do 1º grau basta sabermos dois pontos (pares ordenados) que fazem parte da função. Para isso, atribuímos valores aleatórios à x e encontramos o valor de y associado.
OBSERVAÇÕES
0 função crescente
0 função decrescente
af x ax b
a.
Função decrescente Função crescente
3.2. Determinação da função através do seu
gráfico
EXEMPLO: 01) Encontre a função que determina o gráfico
abaixo:
02) Encontre a função que passa pelos pontos
1;2 e 2;8 .
3.3. Ponto de intersecção de gráficos Para calcular o ponto de encontro entre os
gráficos de duas funções f x e g x quaisquer,
basta resolver a equação f x g x .
OBSERVAÇÕES
Se as retas forem paralelas coincidentes (mesmos coeficientes angular e linear), todo ponto que pertence à primeira também
pertencerá à segunda. Já se as retas forem paralelas distintas (apenas mesmo coeficiente angular) não existirá ponto de encontro entre elas duas.
Para calcular o ponto de encontro do gráfico de qualquer função com os eixos coordenados, basta tornar 0x (para
encontrar o ponto do eixo y ) ou 0y (para
encontrar o ponto do eixo x ).
3. Inequações de 1º grau
Resolver uma inequação de 1º grau é extremamente similar à resolver uma equação de 1º grau, porém devemos tomar o cuidado de que, ao multiplicarmos uma inequação por –1 devemos inverter o sinal da desigualdade.
Exercício de Aula 03) Resolva as inequações:
a) 3283 xx
b) 482 xx
4. Sistema de Inequações de 1º grau Um sistema de inequações é formado por duas
ou mais inequações. Exercício de Aula 04) Resolva o sistema de inequações
4433
3214
xx
xx.
5. Inequações Simultâneas
Dizemos que uma inequação é simultânea quando existe mais de um sinal de desigualdade nela.
Exercício de Aula
05) Resolva xx 321 .
OBSERVAÇÃO
Inequações do tipo dbaxc podem ser
resolvidas de uma maneira mais rápida.
Exercício de Aula
06) Resolva 8123 x .
6. Inequação Produto
Devemos esboçar o sinal de cada um dos fatores multiplicantes e, ao final, fazer o produto dos sinais obtidos através de um quadro de sinais.
Exercício de Aula
07) Resolva a inequação 0422 xx .
7. Inequação Quociente O procedimento é análogo ao da inequação
produto, lembrando que devemos excluir os valores de x que anulam o denominador.
Exercício de Aula
08) Resolva a inequação
032
421
x
xx.
8. Inequações com termos do tipo (ax + b)
n
Devemos observar que, aparecendo
inequações produto ou quociente com números naturais elevados devemos fazer um raciocínio análogo ao anterior, porém devemos lembrar que:
Todo número elevado à expoente par se torna positivo.
Todo número elevado à expoente ímpar não muda seu sinal.
Exercício de Aula
09) Resolva a inequação
0
12
32100
54
x
xx
ATIVIDADES
01. A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então
a) M(x) = 500 + 0,4x. b) M(x) = 500 + 10x. c) M(x) = 510 + 0,4x. d) M(x) = 510 + 40x. e) M(x) = 500 + 10,4x.
02. Newton quer imprimir folhetos com a propaganda de sua empresa. Na gráfica A, o custo para a montagem deste folheto é de R$ 120,00 e o valor da impressão por unidade é R$ 0,20. A gráfica B cobra R$ 80,00 para a montagem e R$ 0,25 para impressão de cada unidade. Após análise cuidadosa, Newton concluiu que:
a) é vantagem fazer a encomenda na gráfica B para qualquer quantidade de folhetos.
b) a gráfica A oferece um custo menor que a B para um número de folhetos menor que 800.
c) se encomendar 1.000 folhetos da gráfica B, irá gastar R$ 320,00.
d) se desejar 1.000 folhetos gastará menos se encomendar da empresa A.
e) para a quantidade de 800 folhetos, o custo de qualquer das empresas é igual a R$ 290,00.
03. (ENEM) Uma empresa produz jogos pedagógicos para jogadores, com custos fixos de R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total para x jogos produzidos é dado por C(x) =1 + 0,1x (em R$ 1.000,00). A gerência de empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos é dada por R(x) = 0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença entre receita bruta e os custos totais. O gráfico abaixo que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos, é
a)
b)
c)
d)
e)
04- (ENEM) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem
selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
a) 476 b) 675 c) 923 d) 965 e) 1538
05. O gráfico modela a distância percorrida, em km, por uma pessoa em certo período de tempo. A escala de tempo a ser adotada para o eixo das abscissas depende da maneira como essa pessoa se desloca. Qual é a opção que apresenta a melhor associação entre meio ou forma de locomoção e unidade de tempo, quando são percorridos 10 km?
a) carroça – semana b) carro – dia c) caminhada – hora d) bicicleta – minuto e) avião – segundo
06. (ENEM) Diante de um sanduíche e de uma porção de batatas fritas, um garoto, muito interessado na quantidade de calorias que pode ingerir em cada refeição, analisa os dados de que dispõe. Ele sabe que a porção de batatas tem 200 g, o que equivale a 560 calorias, e que o sanduíche tem 250 g e 500 calorias. Como ele deseja comer um pouco do sanduíche e um pouco das batatas, ele se vê diante de uma questão: "quantos gramas de sanduíche e quantos gramas de batata eu posso comer para ingerir apenas as 462 calorias permitidas para esta refeição?"
Considerando que x e y representam, respectivamente, em gramas, as quantidades do sanduíche e das batatas que o garoto pode ingerir, assinale a alternativa correspondente à expressão algébrica que relaciona corretamente essas quantidades.
a) 2x + 2,8y = 462
b) 2,8x + 2y =462 c) 1,8x + 2,3y = 1.060 d) (1/2)x + 0,4y = 462 e) 0,4x –(1/2)y = 462
07. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de
a) R$ 90,00. b) R$ 110,00. c) R$ 130,00. d) R$ 150,00. e) R$ 170,00.
08. Uma empresa fabrica componentes eletrônicos; quando são produzidas 1000 unidades por mês, o custo de produção é R$ 35000,00. Quando são fabricadas 2000 unidades por mês, o custo é R$65000,00. Admitindo que o custo mensal seja uma função polinomial de 1º grau em termo do número de unidades produzidas, podemos afirmar que o custo (em reais) de produção de 0 (zero) unidade é:
a) 1000 b) 2000 c) 5000 d) 3000 e) 4000
09. Com duas torneiras A e B, abertas simultaneamente, consegue-se encher um tanque de água em 6 minutos. Encher esse tanque com a torneira A aberta e a torneira B fechada demora 5 minutos a mais do que com a torneira A fechada e a torneira B aberta. O tempo necessário para encher o tanque abrindo apenas a torneira A é:
a) 15 minutos b) 15 minutos e 30 segundos c) 16 minutos d) 16 minutos e 30 segundos e) 18 minutos
10. Um camponês adquire um moinho ao preço de R$ 860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar:
a) Em três anos, o moinho valerá 50% do preço de compra.
b) Em nove anos, o preço do moinho será um múltiplo de nove.
c) É necessário um investimento maior que R$ 450,00 para comprar esse equipamento após sete anos.
d) Serão necessários 10 anos para que o valor desse equipamento seja inferior a R$ 200,00.
e) O moinho terá valor de venda ainda que tenha decorrido 13 anos.
11. Uma das regras existentes para o cálculo da dosagem de medicação em crianças de até 12 anos, conhecida a dosagem média para adultos, é
a regra de Young, dada por Dx
xd
12, em
que d indica a dosagem para a criança, D indica a dose média para adulto e x, a idade da criança, em anos. Um pediatra aplicou a regra de Young para obter a dosagem de um medicamento a uma criança atendida em seu consultório e obteve-se a dosagem exata de 6 mg. Sabendo-se que, para adultos, a dosagem média desse medicamento é de 30 mg, a idade (em anos) dessa criança é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 12. Numa farmácia de manipulação, fez-se uma mistura de x mg de um produto P e 40 mg de um outro produto. Com essa mistura, obteve-se uma quantidade, em mg, maior que o triplo da quantidade usada do produto P. Com base nessas
informações, pode-se concluir que, em mg,
a) 0 < x < 20 b) x = 20 c) 20 < x < 40 d) 40 < x < 120 e) x > 120
13. O anúncio colocado em uma placa informa que, durante as férias, as bicicletas serão alugadas mediante o pagamento de uma taxa fixa de R$ 3,50, acrescida de R$ 1,25 por hora de aluguel. A fim de determinar por quanto tempo(t) uma pessoa pode alugar uma bicicleta, dispondo de R$ 20,00, pode-se recorrer à equação:
a) 1,25 + 3,50 t = 20,00 b) 1,25 t – 16,50 = 0 c) 4,75 t – 20,00 = 0 d) 1,25 t = 18,75 e) 3,50 t = 16,50
14. Paulo é fabricante de brinquedos e produzdeterminado tipo de carrinho. A figura abaixo mostra os gráficos das funções custo total e receita, considerando a produção e venda de x
carrinhos fabricados na empresa de Paulo.
Existem custos tais como: aluguel, folha de pagamentodos empregados e outros, cuja soma denominamos custo fixo, que não depende da quantidade produzida, enquanto a parcela do custo que depende da quantidade produzida, chamamos de custo variável. A função custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. Na empresa de Paulo, o custo fixo de produção de carrinhos é:
a) R$ 2.600,00 b) R$ 2.800,00 c) R$ 2.400,00 d) R$ 1.800,00 e) R$ 1.000,00
15. O preço total cobrado por um eletricista A inclui uma parte fixa, referente à visita, e outra que depende da quantidade de metros de fio utilizada no serviço. O gráfico abaixo apresenta o valor do
serviço efetuado pelo eletricista A em função do número de metros de fio utilizados. O preço cobrado por um outro eletricista B depende unicamente do número de metros de fio utilizado, não sendo cobrada a visita.
O preço do serviço é de R$ 3,50 por metro de fio utilizado.
Com base no exposto, está correta a afirmação da alternativa:
a) Se forem utilizados 40 metros de fio, o preço cobrado pelos eletricistas A e B será o mesmo.
b) O eletricista A cobra R$ 2,50 por metro de fio utilizado.
c) A parte fixa cobrada pelo eletricista A é de R$ 30,00.
d) Por 50 m de fio, o eletricista A cobrará R$ 190,00.
e) Sendo necessários 60 metros de fio, convém contratar o eletricista B.
16. Paulo comprou um automóvel flex que pode ser abastecido com álcool ou com gasolina. O manual da montadora informa que o consumo médio do veículo é de 8 km por litro de álcool ou 12 km por litro de gasolina e recomenda que, em hipótese alguma, o usuário utilize uma mistura dos dois combustíveis, sob pena de suspender a garantia.
Considerando que Paulo respeite a recomendação do fabricante e que os preços por litro de álcool e de gasolina sejam, respectivamente, x e y reais, autilização de gasolina será economicamente mais vantajosa quando:
a) x
1y
b) x
0,5y
c) y
1,5x
d) y
1,6x
e) x
0,6y
17. Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%. Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada. Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse carro percorrerá um total de
a) 11,20 km. b) 11,35 km. c) 11,50 km. d) 11,60 km. e) 11,65 km.
18- (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre
a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7 ,0 m e 8,0 m. d) 8,0 m e 9,0 m.
GABARITO
01-C 07-A 13-B
02-D 08-C 14-C
03-B 09-A 15-A
04-C 10-E 16-C
05-C 11-B 17-A
06-A 12-A 18-D
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 9. Definição
A função do 2º grau tem a forma
cbxaxy 2 ou cbxaxxf 2
, com
0a .
Exemplos
32 2 xxy
152 xxxf
10. Características
A função de 2º grau não é injetora, nem sobrejetora.
O domínio é o conjunto dos números reais (R).
O gráfico da função de 2º grau é uma parábola. 11. Zeros da função
Para calcular as raízes ou zeros de uma função
de 2º grau cbxaxxf 2 usamos a fórmula:
0a 0a
0
0
0
a
bx
2
, onde acb 42
OBSERVAÇÕES
Soma das raízes: a
bxxS
221
Produto das raízes a
cxxP 21.
12. Análise do Discriminante (Delta)
reais raízes possui Não:0
iguais reais raízes Duas:0
distintas reais raízes Duas:0
13. Gráfico
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada
pelo coeficiente de 2x .
Observe que a concavidade da parábola depende do valor de a , na expressão
cbxaxxf 2.
0 : a função tem duas raízes reais distintas
e o
gráfico tocará o eixo x em dois pontos distintos (corta o eixo).
0 : a função tem duas raízes reais iguais e o
gráfico tocará no eixo x em um único ponto (tangencia o eixo).
0 : a função não tem raízes reais e o gráfico
não tocará o eixo x em nenhum ponto.
OBSERVAÇÕES
O gráfico da função de 2º grau toca o eixo y no
ponto c;0 . Obviamente se 0c , o gráfico
tocará o eixo y no ponto 0;0 , ou seja, passará
pela origem.
Para calcular a função quadrática sabendo as
suas raízes: 21 xxxxaxf , onde a
é o coeficiente de 2x , e 1x e 2x são as raízes
de xf .
14. Vértice da parábola
Vértice: do latim vertice s.m., cume; ápice;
cimo; culminância onde se reúnem as duas linhas de um ângulo. 6.1. Coordenadas do Vértice As coordenadas do vértice serão:
a
bxv
2
A ordenada (y) do vértice é encontrada substituindo
o vx na forma geral cbxaxxf 2 e
encontramos:
ayv
4
Assim o vértice será o ponto:
;2 4
bV
a a
6.2. Valor Máximo e Valor Mínimo
Nesse primeiro caso, em que a concavidade
da parábola é voltada para cima 0a , observe
que o vértice é o ponto mais inferior da parábola e, o menor valor que a parábola assume (seu valor mínimo) será dado por:
ayV Vmín
4
Já no segundo caso, em que a concavidade
da parábola é voltada para baixo 0a , observe
que o vértice é o ponto mais superior da parábola e, o maior valor que a parábola assume (valor máximo) será dado por:
ayV Vmáx
4
6.3. Imagem da função quadrática
A imagem de uma função é um conjunto que contém todos os valores possíveis que esta função pode assumir. Graficamente ele representa a “sombra” do seu gráfico projetado no eixo y. Assim observe as figuras:
Nesse primeiro caso, observamos que a
função assume qualquer valor maior que o Vy , que
é seu valor mínimo.
Já no segundo caso, observamos que a função
assume qualquer valor menor que o Vy , que é seu
valor máximo. Assim teremos:
Se 0a
a
yy4
/RIm
Se 0a
a
yy4
/RIm
6.4. Eixo de Simetria
Traçando-se uma reta vertical que passe pelo vértice dividimos o gráfico em duas partes simétricas. Observe a imagem:
Perceba que independentemente se 0a
ou 0a , o eixo de simetria sempre será a reta
vertical vxx ou a
bx
2
.
6.5. Crescimento e decrescimento da função
quadrática
A função de 2º Grau, ao contrário da de 1º Grau não é monotônica. Ela apresenta um intervalo onde é crescente e um intervalo onde é decrescente. Distinguimos dois tipos:
Nesse primeiro caso 0a , a função é
crescente para valores de x maiores que Vx e é
decrescente para valores de x menores que Vx .
Já nesse segundo caso 0a , a função é
crescente para valores de x menores que Vx e é
decrescente para valores de x maiores que Vx .
Resumindo:
a
bx
a
bx
a
a
bx
a
bx
a
2:eDecrescent
2:Crescente
0 Se
2:eDecrescent
2:Crescente
0 Se
Exercício de Aula 10) Calcule as coordenadas do vértice, determine o
valor máximo/mínimo, a imagem, o eixo de simetria e os intervalos de crescimento /
decrescimento de 652 xxxf .
15. Sinais da função (esboço do gráfico)
Devemos tentar extrair as raízes e observar qual dos casos a função se encaixa.
Após isso a parte do gráfico acima do eixo x é positiva e abaixo do eixo é negativa.
16. Inequação de 2º grau
O primeiro a fazer é tirar as raízes, igualando a zero. Depois fazemos o esboço do gráfico e observamos o(s) intervalo(s) onde se satisfaz a desigualdade. Exercício de Aula 11) Resolva as inequações:
a) 0652 xx
b) 0322 xx
c) 0822 xx
d) 0543 2 xx
17. Sistema de inequações
Resolvem-se as duas ou mais inequações que existirem no sistema, tiram-se os intervalos resultantes de cada inequação separadamente e a solução far-se-á com a intersecção de todos os intervalos que foram obtidos. 18. Inequação produto e Inequação quociente
Resolvemos de maneira idêntica às de termos
em 1º grau, porém devemos ter o cuidado de observar cuidadosamente os esboços e fazer o quadro de sinal correto. Também devemos lembrar de excluir da solução final os valores de “x” que tornem nulo o denominador.
Exercício de Aula 12) Resolva as seguintes inequações:
a) 0232 2 xxx
b)
0
32
1232
2
xx
xxx
ATIVIDADES
01-Cissa tem 20 cédulas em sua carteira: algumas de 5 reais e as demais de 10 reais. Se o quadrado do número de cédulas de 5 reais, acrescido de 5 unidades, é menor que o dobro do número de cédulas de 10 reais, então a quantia que ela pode ter na carteira deve ser no mínimo igual a;
a) R$ 160,00
b) R$ 165,00
c) R$ 170,00
d) R$ 175,00
e) R$ 180,00
02-Sabe-se que o polinômio P(x) = -2x3 - x
2 + 4x +
2 pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1) (-x
2 + 2). Representando as
funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = - x2 + 2, num
mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se o gráfico abaixo:
22 .. .-1
2
y
f
x
Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a inequação -2x
3 - x
2 + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação estão indicados na seguinte alternativa:
a) 1/2ou x 2x
b) 2ou x 2x
c) 2 x1/2-ou 2x
d) 2ou x 1/2- x 2-
03-As figuras abaixo mostram as funções f(x) e g(x), representadas pelos seus gráficos
cartesianos. A solução da inequação 0)x(g
)x(f
é:
31x
y
f
figur
a Ifu
nção
f(x)
2x
y
figur
a II
funç
ão g
(x)
a) x 1 ou 2 < x 3
b) 1 x < 2 ou x 3
c) x < 2 ou x 3
d) 1 x 3 e x 2
e) x 1 e x 2
04-Por uma mensagem dos Estados Unidos para o Brasil, via fax, a Empresa de Correio e Telégrafos (ECT) cobra R$ 1,37 pela primeira página e R$ 0,67 por página que se segue, completa ou não. Qual número mínimo de páginas de uma dessas mensagens para que sue preço ultrapasse o valor de R$ 10,00
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
05-Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a receita financeira dada pela
função 3020x 2x² R(x) e o custo de produção
dada pela função 30 12x 3x C(x) 2 , em que a
variável x representa o número de componentes fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela receita financeira menos o custo de produção, o número de componentes que deve ser fabricado e vendido para que o lucro seja máximo é:
a) 32
b) 96
c) 230
d) 16
e) 30
06-A figura ilustra recomendações dos especialistas em visão para o posicionamento correto de um indivíduo diante da tela do computador:
Seguindo-se tais recomendações e admitindo-se cos 10º = k, todos os comprimentos possíveis da linha de visada (v), em cm, estão no intervalo
a) 1k2
65v
k
602
b) 2k2
65v
k
60
c) k
60v
k2
65
d) 2k
65v
k
60
e) k2
65v
k
30
07-Para comemorar sua formatura, uma turma de alunos da Universidade de Fortaleza pretende realizar uma viagem e, para tal, fretar um avião com 100 lugares. A empresa locadora estipulou que cada aluno participante deverá pagar R$ 400,00 acrescidos de um adicional de R$ 25,00 por cada lugar vago. Para que, com esse fretamento, a receita da empresa seja a maior possível, quantos alunos deverão participar da viagem?
a) 55
b) 58
c) 70
d) 88
e) 100
08-Chama-se Lucro (L), associado à produção e venda de um certo produto, a diferença entre a Receita (R) referente à sua venda e o Custo (C) de sua produção. Para determinado produto, uma empresa associa o Custo e a Receita à quantidade produzida q pelas equações:
R = 8q – 5
q2
e C = 12 + 5
q8, onde 0 q 40
É incorreto afirmar que:
a) o Lucro máximo ocorre quando q = 16 e é igual a R$39,20;
b) para 20 < q < 30 o Lucro é negativo, isto é, há prejuízo;
c) o Lucro é nulo para q = 2 e q = 30;
d) o Lucro é crescente para 3 < q < 12;
e) o Lucro é decrescente para q > 18.
09-Observe esta figura:
x
y
Nessa figura, estão representados os gráficos das funções:
2x2
)x(f e g(x) = 3x – 5
Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é:
a) 21
b) 43
c) 1
d) 45
10-Um jogador de futebol se encontra a uma distância de 20 m da trave do gol adversário, quando chuta uma bola que vai bater exatamente sobre essa trave, de atura 2 m. Se a equação da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado na figura é y = ax² + (1 – 2a)x, a altura máxima atingida pela bola é:
y
x
P(20,2)2
20
a) 6,00 m
b) 6,01 m
c) 6,05 m
d) 6,10 m
e) 6,50 m
11-Um aluno que se preparava para o vestibular 2.000 resolveu adotar a função f(t) = -t
2 + 14t –
33, 3 t 11, para determinar o número de horas por dia que ele deveria estudar no t-ésimo
mês do ano. Em vista disso, é correto afirmar que
a) ele iniciou sua preparação estudando duas horas por dia
b) o número máximo de horas estudadas por dia ocorreu no mês de julho
c) o número máximo de horas estudadas por dia nunca ultrapassou 7h
d) o número de horas/dia estudadas em outubro foi maior que em setembro
e) o número máximo de horas estudadas por dia ocorreu no mês de setembro
12-Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular, de modo que ocupe totalmente a área do terreno. O retângulo onde a casa será construída tem 80m de perímetro. Sabendo que a área da casa deve ser a maior possível, podemos afirmar que a casa será:
a) retangular, com 80m2 de área.
b) quadrada, com 100m2 de área.
c) retangular, com dimensões 30m x 10m.
d) quadrada, com 20m de lado.
e) retangular, com 256m2 de área.
13-Num certo instante, uma pedra é lançada de uma altura de 10 m em relação ao solo e atinge o chão após 60 segundos. A altura da pedra em relação ao solo, em função do tempo, pode ser representada por uma função do segundo grau, cujo gráfico está representado abaixo.
10
25 60
h
0 tempo, emsegundos
altura, em metros
A
B
A altura máxima h, atingida pela pedra, é de aproximadamente
a) 20,4 m
b) 21 m
c) 21,5 m
d) 22 m
e) 22,4 m
14-Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de combustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidades constantes, uma distância de 100 km em estrada plana, cada vês a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidades entre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o gráfico seguinte.
Consumo (litros)
20 60 100 120
10
8
Velocidade (km/h)
Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à velocidade de 120 km/h?
a) 20
b) 22
c) 24
d) 12,5
e) 28
15-Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador “Chorão” chutou a bola em direção ao gol, de 2,30 m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de “Chorão”, nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento.
A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir:
A equação da parábola era do tipo:
C36
XY
2
O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
a) na baliza
b) atrás do gol
c) dentro do gol
d) antes da linha do gol
16-A figura a seguir representa a trajetória parabólica de um projétil, disparado para cima, a partir do solo, com uma certa inclinação. O valor aproximado da altura máxima, em metros, atingida pelo projétil é:
20
Altura(m)
Alcance (m)10 solo 1000
a) 550
b) 535
c) 510
d) 505
e) 500
17-Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula m = -3
2t – 3
t + 1 +
108. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente é:
a) inferior a 15 minutos
b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos
c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos
d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos
e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos
18-Um projétil é lançado do alto de um morro e cai
numa praia, conforme mostra a figura abaixo.
h
morro
praiad0
Sabendo-se que sua trajetória é descrita por h = -d
2 + 200d + 404, onde h é a sua altitude
(em m) e d é o seu alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a altitude máxima alcançada são, respectivamente:
a) superior a 400m e superior a 10 km
b) superior a 400m e igual a 10 km
c) superior a 400m e inferior a 10 km
d) inferior a 400m e superior a 10 km
e) maior que 120
19-O lucro de uma microempresa, em função do número de funcionários que nela trabalham, é dado, em milhares de reais, pela fórmula
2n3n36)n(L . Com base nessas informações,
pode-se afirmar que o lucro dessa microempresa é máximo quando nela trabalham:
a) 6 funcionários
b) 8 funcionários
c) 10 funcionários
d) 12 funcionários
20-Um engenheiro, estudando a resistência de uma viga de certo material, obteve os seguintes dados:
O engenheiro suspeita que a deformação D pode ser dada em função do peso x por uma expressão do tipo D(x) = ax
2 + bx + c. Usando
os dados da tabela, ele escreve um sistema de equações lineares e determina os valores dos coeficientes a, b, c. O valor de a é:
a) 9
b) 3
c) 3
1
d) 12
1
e) 36
1
21-O imposto de renda é calculado pela fórmula: i = r x a – p. Se um contribuinte teve uma renda líquida r de R$ 19.100,00 no ano de 2002 e nesse ano a alíquota a, para essa faixa de renda, foi estipulada em 25% sendo a parcela a deduzir p de R$ 3.560,00. Qual é o valor do imposto a ser pago por este contribuinte á receita federal?
a) R$ 1.600,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 1.200,00
d) R$ 1.215,00
e) R$ 980,00
22-Os cintos de segurança dos automóveis são postos a teste através de impactos de colisão (energia cinética). Esse impacto de colisão é calculado pela fórmula I = kmv
2, onde m é a
massa, v é a velocidade e k uma constante. Se um carro de 1000 kg tem sua velocidade triplicada, o que acontece com o impacto de colisão?
a) é multiplicado por 3
b) é multiplicado por 9
c) é dividido por 3
d) anula-se
e) duplica
23-O lucro mensal de uma fábrica é dado por
L(x) = –x2 + 60x – 10 onde x é a quantidade
mensal de unidades fabricadas e vendidas de um certo bem, produzido por esta empresa e L é
expresso em Reais (Obs.: Real unidade monetária).
O maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter é dado por:
a) R$ 890,00
b) R$ 910,00
c) R$ 980,00
d) R$ 1.080,00
e) R$ 1.180,00
24-Um setor de uma metalúrgica produz uma quantidade N de peças dada pela função
10x x N(x) 2 , x horas após iniciar suas atividades
diárias. Iniciando suas atividades às 6 horas, o número de peças produzidas no intervalo de tempo entre as 7 e as 9 horas, será igual a:
a) 39
b) 50
c) 25
d) 16
e) 28
25-Considere que o material usado na confecção de um certo tipo de tapete tem um custo de R$ 40,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por x reais e, assim, conseguir vender
x) (100 tapetes por mês. Nessas condições, para
que, mensalmente, seja obtido um lucro máximo, cada tapete deverá ser vendido por
a) R$ 55,00
b) R$ 60,00
c) R$ 70,00
d) R$ 75,00
e) R$ 80,00
26-Um agricultor precisa cercar um espaço reservado a uma horta com formato retangular. A cerca para três lados da horta custa R$ 40,00 o metro e a cerca para o quarto lado custa R$ 60,00 o metro. O agricultor dispõe de R$ 720,00 para gastar na cerca. Que dimensões ele deve dar a esse espaço para maximizar a sua área?
a) 4,5m x 3m
b) 5,4m x 3m
c) 4,5m x 3,6m
d) 5,4m x 3,6m
e) 6,1m x 3,2m
27-A função )x2L(x)x(A representa a área de
um jardim retangular a ser construído, rente a um muro, onde L é o comprimento do aramado de que disponho para cercar os três lados restantes. Sabendo-se que x = 5 dá uma área de 110, o outro valor de x que dá esta mesma área é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
28-Duas empresas dispõem de ônibus com 60 lugares. Para uma excursão, a Águia Dourada cobra uma taxa fixa de R$ 400,00 mais R$ 25,00 por passageiro, enquanto a Cisne Branco cobra uma taxa fixa de R$ 250,00 mais R$ 29,00 por passageiro. O número mínimo de excursionistas para que o contrato com a Águia Dourada fique mais barato que o contrato com a Cisne Branco é:
a) 37
b) 41
c) 38
d) 39
e) 40
29-Considere a situação: um canhão de irrigação está localizado no ponto (0, 0) de um sistema de eixos cartesianos. O canhão lança água formando uma chuva que, em sua superfície mais alta, segue uma trajetória parabólica dada pela função
10x x f(x) 2 , em que a unidade considerada é
o metro. O canhão também realiza um movimento de rotação em torno do eixo y. A área irrigada é de
a) 1002 m
2
b) 50 m2
c) 2m210
d) 2m2100
e) 100 m2
30-Por ocasião da inauguração de um edifício, um promotor de eventos decidiu fazer uso simultâneo das projeções de um jato de água e de um canhão de luz efetuadas a partir de um pequeno prédio vizinho, localizado a 18 metros do edifício novo. O jato será lançado a partir do teto do pequeno prédio (a 9 metros de altura) e, após executar sua trajetória parabólica, atingirá a base do prédio novo. O canhão de luz, por sua vez, será disparado a partir do chão, da base do pequeno prédio. Seu feixe de luz atravessará exatamente o vértice da “parábola de água” e atingirá o topo do novo edifício, que se encontra a 36 metros de altura (conforme a figura abaixo). O jato de água e o feixe de luz se encontrarão, a partir do solo, à altura de
a) 11 metros.
b) 12 metros.
c) 13 metros.
d) 14 metros.
e) 15 metros.
31-Na gravura abaixo, é possível observar as trajetórias parabólicas descritas pela água jogada por meio de duas bombas. Considere que as bombas e os pontos de alcance atingidos pela
água sejam colineares, que a primeira bomba esteja localizada na origem de um sistema cartesiano e que o ponto mais alto da curva formada pelo jato dessa bomba tenha coordenadas (1, 2).
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que a função que determina a parábola representada no jato d’água e o ponto no qual esse jato chega ao solo são, respectivamente,
a) f(x) = 2x2 4x; P(2, 0)
b) f(x) = 2x2 4x; P(2, 0)
c) f(x) = +2x2 + 4x; P(2, 0)
d) f(x) = 2x2 4x; P(2, 0)
e) f(x) = 2x2 + 4x; P(2, 0)
f) I.R.
32-Sejam as funções f e g definidas em R por
2( )f x x x e 2( )g x x x , em que
e são números reais. Considere que estas
funções são tais que
Então, a soma de todos os valores de x para
os quais o 0f g x é igual a:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
GABARITO
01-E 09-D 17-E 25-C
02-D 10-C 18-A 26-C
03-A 11-B 19-A 27-B
04-D 12-D 20-D 28-C
05-D 13-A 21-D 29-E
06-A 14-D 22-B 30-B
07-B 15-C 23-A 31-E
08-B 16-D 24-E 32-D
FUNÇÃO EXPONENCIAL 1. Equações Exponenciais
É toda equação que tenha a variável no expoente. Para resolvermos uma equação exponencial devemos transformar a equação dada em igualdade de mesma base, ou seja, devemos obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação; para isso, aplicaremos as definições e propriedades revistas da potenciação.
2121 xxaa
xx
Exercícios de Aula
13) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 642 x
b) 27
192 x
c)
1
5
32
12
x
x
d) 25124 xx
e) 8
27
3
21
x
f) 001,010 41 x
14) Determine qual o par yx; que é solução do sistema
327.9
4
18.4
2 yx
yx
.
2. Inequações exponenciais
É toda inequação que tenha a variável no expoente. Para resolvermos uma inequação exponencial devemos transformar a inequação dada em igualdade de mesma base, de maneira análoga à solução das equações exponenciais; para isso, aplicaremos as definições e propriedades da potenciação.
Existem dois casos básicos de inequação exponencial:
1º caso) A base a em questão é tal que 1a . Assim
teremos que:
21
21
21
21
xxaa
xxaa
xx
xx
Isso se deve ao fato de que, se 1a a função é
crescente, logo, aumentando o valor de x , também se
aumenta o valor de xa ; e diminuindo o valor de x , também
se diminui o valor de xa .
“Se 1a , conservamos o sinal da desigualdade na
inequação exponencial.”
2º caso) A base a em questão é tal que 10 a .
Assim teremos que:
21
21
21
21
xxaa
xxaa
xx
xx
Isso se deve ao fato de que, se 10 a a função é
decrescente, logo, aumentando o valor de x , o valor de xa
diminuirá; e diminuindo o valor de x , o valor de xa
aumentará.
“Se 10 a , invertemos o sinal da desigualdade na
inequação exponencial.”
Exercícios de Aula
15) Resolva as seguintes inequações exponenciais:
a) 112 82 xx
b) 82151,01,0
xx
3. Função Exponencial
Chamamos de função exponencial (ou exponencial
clássica) toda função do tipo xaxf , definida para todo
x real, com 0a e 1a .
Gráfico da função exponencial
*R)Im(
RD
f
f
Função crescente (a > 1)
Função decrescente (0 < a < 1)
Compare os dois tipos de funções
Função Crescente / Função Decrescente OBS:Já sabemos que para uma função exponencial da forma
xaxf a função é crescente, se 1a e decrescente,
se 10 a . Analisaremos agora quando uma função
exponencial de outras formas é crescente ou decrescente.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1. Definição
baxb x
a log
Onde
logaritmo :
dologaritman :
base :
x
b
a
Exercício de Aula 16) Calcule os seguintes logaritmos:
a) 8log2
b) 81log3
c) 5log5
d) 32log2
1
2. Condições de existência
Para que o balog exista é necessário que:
0
1 e 0
b
aa
Exercício de Aula
17) Determine o domínio das seguintes funções:
a) 3log2 xxf
b) 10log 5 xxf
c) 12log 3 xxf x
3. Conseqüências da definição
• 01log a
• 1log aa
• nan
a log
• baba
log
• cbcb aa loglog
Exercício de Aula
18) Calcule o valor das seguintes expressões:
a) 5log.10log 252
b) 3log1 22
4. Propriedades operatórias
• cbcb aaa loglog.log
• cbc
baaa logloglog
• bnb a
n
a log.log
• bn
b aan log.1
log
• a
bb
alog
1log
Exercícios de Aula
19) Desenvolva o logaritmo simplificando as operações em
3
logc
ba.
20) Considerando 31,02log e 48,03log . Calcule:
a) 6log
b) 72log
21) Considerando 30,02log e 48,03log , resolva
as seguintes equações exponenciais:
a) 26 1 x
b) 53 x
5. Mudança de base
Podemos efetuar uma mudança na base do logaritmo da seguinte forma:
a
bb
c
ca
log
loglog
Exercício de Aula
22) Calcule o valor das expressões:
a) 81log.5log 253
b) 289log
17log
81
27
6. Equações logarítmicas
São equações que envolvem logaritmos. Existem dois tipos básicos; aqueles que são resolvidas aplicando-se a definição e aquelas que são resolvidas igualando-se as bases e, consequentemente, os logaritmandos.
Em ambos os casos, devemos verificar se as soluções encontradas satisfazem as condições de existência do logaritmo em questão.
São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando ou na base do logaritmo.
Exercícios de Aula
23) Resolva as seguintes equações logarítmicas:
a) 54log32log 33 xx
b) xxx 22log103log 51
2
51
8. Inequações logarítmicas
Existem dois casos básicos de inequação logarítmica:
1º caso) A base a em questão é tal que 1a .
Assim teremos que:
2121
2121
loglog
loglog
xxxx
xxxx
aa
aa
Isso se deve ao fato de que, se 1a a função é
crescente, logo, aumentando o valor de x , também se
aumenta o valor de xalog ; e diminuindo o valor de x ,
também se diminui o valor de xalog .
“Se 1a , conservamos o sinal da desigualdade na
inequação logarítmica.”
2º caso) A base a em questão é tal que 10 a .
Assim teremos que:
2121
2121
loglog
loglog
xxxx
xxxx
aa
aa
Isso se deve ao fato de que, se 10 a a função é
decrescente, logo, aumentando o valor de x , o valor de
xalog diminuirá; e diminuindo o valor de x , o valor de
xalog aumentará.
“Se 10 a , invertemos o sinal da desigualdade na
inequação logarítmica.”
Exercício de Aula
24) Resolva as seguintes inequações logarítmicas:
a) 6log12log 22 x
b) 5log4log 31
2
31 xx
9. Função logarítmica
Existem dois tipos para o gráfico de xy alog :
1a Função crescente
*RD f
RIm f
10 a Função decrescente
ATIVIDADES
01-Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após t meses, o montante relativo ao capital aplicado é dado por M(t) = C 2
0,04 t, onde C > 0. O menor tempo possível para
quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é
a) 5 meses.
b) 2 anos e 6 meses.
c) 4 anos e 2 meses.
d) 6 anos e 4 meses.
e) 8 anos e 5 meses.
02-Uma substância que se desintegra ao longo do tempo tem sua quantidade existente, após “t”
anos, dada por 1000
t
0 )4,1(M)t(M
, onde M0
representa a quantidade inicial. A porcentagem da quantidade existente após 1000 anos em relação à quantidade inicial M0 é, aproximadamente,
a) 14%
b) 28%
c) 40%
d) 56%
e) 71%
03-A posição de um objeto A num eixo numerado
é descrita pela lei t5,028
7
8
1 onde t é o tempo
em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei 2
–t.
Os objetos A e B se encontrarão num certo instante tAB. O valor de tAB, em segundos, é um divisor de:
a) 28.
b) 26.
c) 24.
d) 22.
e) 20.
04-Um programa computacional, cada vez que é executado, reduz à metade o número de linhas verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024 linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa redução ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
05-A função kt3200)t(c , com 1/12 k , dá o
crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas.O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 1.800 bactérias, está no intervalo:
a) [0, 4].
b) [4, 12].
c) [12, 36].
d) [36, 72].
e) [72, 108].
06-No final da década de 1830, o fisiologista francês Jean Poiseuille descobriu que o volume V de sangue que corre em uma artéria por unidade de tempo, sob pressão constante, é igual à quarta potência do raio r da artéria multiplicado por uma
constante, 4k(r) V . Para um aumento percentual
de 10% no raio da artéria, o aumento percentual no volume de sangue é de
a) 46,41%
b) 10,50%
c) 20,21%
d) 140%
e) 44%
07-Após beber um tanto de cachaça um motorista passa a ter 4 gramas de álcool por litro de sangue. Se isso ocorrer na hora zero, após t horas o
motorista terá 4 . (0,5)t gramas de álcool por litro de sangue. Nessas condições, a quantidade de álcool em seu sangue será
a) inferior a 0,5 g/L se t 3.
b) superior a 0,5 g/L se t 5.
c) igual a 0,25 g/L se t 8.
d) inferior a 0,25 g/L se t 2.
e) superior a 0,25 g/L se t 8.
08-Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, respectivamente, às funçôes y = a
x, y = b
x e y = c
x.
Então, está correto afirmar que:
Iy
IIIII
0 x
a) 0 < a < b < c.
b) 0 < b < c < a.
c) a < 0 < b < c.
d) 0 < a < c < b.
e) a < 0 < c < b.
09-Suponha que, após t dias de observação, a população de uma cultura de bactérias é dada
pela expressão P t Po
t( ) .
, 2
0 05, na qual Po
é a população inicial da cultura (instante t = 0). Quantos dias serão necessários para que a população dessa cultura seja o quádruplo da inicial?
a) 20 b) 30
c) 40 d) 50
e) 60
10-Uma rampa para manobras de “skate” é
representada pelo esquema:
1,0
m
1,0m 1,0m 1,0m
0,5
m0,5
m
x
h(x)
Se a parte curva pudesse ser associada a uma função, esta função seria:
a) 32
1h(x)
x
.
b) 2
5
2
1h(x)
1x
.
c)
2x
2
1)x(h
d) 22
1h(x)
1x–
.
e) 12
1h(x)
1x–
.
11-Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(D). , cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (D) , a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = e
x.
x
y
-2 -10,130,37
2,72y=e
x
Utilizando f(D) = 100 -100.e-0,2d
e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a :
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
12-Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do
tempo t, em anos, do seguinte modo: R = Ro e-kt ,
em que Ro é o risco de infecção no início da
contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio.
O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%.
Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:
ex 8,2 9,0 10,0 11,0 12,2
x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2% , é de:
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
13-Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo “t”, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação P(t) = P(0).2
-0,25t. Sendo P(o) uma constante que
representa a população inicial dessa região e P(t) a população “t” anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da que era inicialmente.
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 15
14-O número de indivíduos de um certo grupo é
dado por
x10
110)x(f , sendo x o tempo
medido em dias. Desse modo, entre o 2º e o 3º dia, o número de indivíduos do grupo
a) aumentará em exatamente 10 unidades.
b) aumentará em exatamente 90 unidades.
c) diminuirá em exatamente 9 unidades.
d) aumentará em exatamente 9 unidades.
e) diminuirá em exatamente 90 unidades.
15-O valor de certo tipo de automóvel decresce com o passar do tempo de acordo com a função
3
t2
2.AtV
, sendo t o tempo medido em
anos, V o valor do carro no instante t e A o preço inicial do veículo. O tempo necessário para que
esse automóvel passe a custar 8
1 de seu valor
inicial, em anos, é:
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
16-A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi descrita por um observador através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t –
t.20,2.t
, com t em segundos, h(t) em metros e 0 t
T . O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da água durante este salto foi
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 10.
17-O esboço ao lado representa a fachada de uma capela projetada por um arquiteto, na qual, as duas curvas principais são gráficos de funções exponenciais. Considerando, ainda, os dados rabiscados no esboço, pode-se concluir que a altura “h“ da capela deve valer, aproximadamente:
a) 8m. b) 11m.
c) 19m. d) 21m.
e) 27m.
18-O número N de bactérias de uma cultura é dado, em função do tempo t, em horas, por N(t) =
1052
4t. Supondo log2 = 0,3 , o tempo necessário
para que o número inicial de bactérias fique multiplicado por 100 é:
a) 2 horas e 2 minutos
b) 2 horas e 12 minutos
c) 1 hora e 40 minutos
d) 1 hora e 15 minutos
e) 2 horas e 20 minutos
19-Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo
que seu valor y, daqui a x anos, será xkAy ,
em que A e k são constantes positivas. Se hoje o computador vale R$5 000,00 e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será:
a) R$ 625,00
b) R$ 550,00
c) R$ 575,00
d) R$ 600,00
e) R$ 650,00
20-Um médico, ao tratar uma infecção grave de um paciente, necessita administrar doses de um antibiótico. A eliminação da droga pelo organismo ocorre segundo uma função exponencial. Sabe-se que, após 12 horas, a concentração do medicamento no organismo do paciente é de 20% da dose administrada, entretanto é necessário manter uma concentração mínima de 40% da dose administrada inicialmente. Considerando a tabela de logaritmos fornecida abaixo, o máximo intervalo de horas, após o qual deve ser administrada uma nova dose do antibiótico, de modo a manter a concentração da droga em um nível sempre superior ou igual a 40% da dose administrada, é de aproximadamente
a) 5 horas e 38 minutos.
b) 6 horas.
c) 6 horas e 12 minutos.
d) 6 horas e 51 minutos.
e) 7 horas e 25 minutos.
21-Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determinada cidade, com idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a
fórmula h = log (100,7 . i ), onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). pela fórmula, uma criança de 10 anos desta cidade terá de altura:
a) 170 cm
b) 123 cm
c) 125 cm
d) 128 cm
e) 130 cm
22-Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica:
log10
E = 1,44 + 1,5 M
Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente
a) 10 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
b) 15 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
c) 21 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
d) 31 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
23-A intensidade dos terremotos é medida por sismógrafos que utilizam a Escala Richter. A magnitude M de um terremoto é dada pela
equação
referênciaPPlogM , onde P é a potência
do terremoto e Preferência é uma potência de referência (constante para todos os casos estudados).
Recentemente, no Oceano Índico, ocorreram maremotos que geraram ondas gigantes, afetando vários países da região. O mais forte atingiu, aproximadamente, a magnitude de 9,0 graus na Escala Richter; um outro, posterior, atingiu 6,0 na mesma escala.
Em função do exposto acima, pode-se afirmar que:
a) A potência atingida pelo primeiro terremoto é 100 vezes menor que a potência do segundo terremoto.
b) A potência atingida pelo segundo terremoto é 10 vezes maior que a potência do primeiro terremoto.
c) A potência atingida pelo primeiro terremoto é 1000 vezes maior que a potência do segundo terremoto.
d) A potência atingida pelo segundo terremoto é 1000 vezes maior que a potência do primeiro terremoto.
24-O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão: pH = -log[H
+], em que [H
+] indica a
concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10.
Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio era [H
+] = 5,4 . 10
-8mol/l.
Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30 para log 2, e de 0,48, para log 3.
Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi
a) 7,26 b) 7,32
c) 7,58 d) 7,74
25-De acordo com pesquisa feita na última década do século XX, a expectativa de vida em certa região é dada, em anos, pela função
491tlog15012tE , sendo t o ano de
nascimento da pessoa. Considerando-se
32,32000log , uma pessoa dessa região, que
tenha nascido no ano 2000, tem expectativa de viver:
a) 68 anos
b) 76 anos
c) 84 anos
d) 92 anos
26-Uma população de insetos diminui em conseqüência da aplicação de um inseticida
segundo a função t(10) 300 P(t) , em que P(t) é o
número de insetos no tempo t, medido em semanas, sendo 0 t o tempo em que o inseticida
foi aplicado.
O tempo para que a população atinja 20% do tamanho inicial é de, aproximadamente,
(Dado: log105 0,7)
a) 15 dias
b) 1 mês
c) 5 dias
d) 1 dia
e) 20 dias
27-Suponha que, numa colônia de fungos, a massa biológica de sua população, no instante t (horas), denotada por m(t), seja dada pela
expressão 11
t
10
2)t(m gramas. [Considere
que 3,0)2(log10 ]
De acordo com o ritmo de crescimento populacional estabelecido por essa expressão, a massa da população de fungos, em 50 horas, é da ordem de
a) 100g.
b) 10g.
c) 10000g.
d) 1000g.
28-A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log3(t+1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de:
a) 9. b) 8.
c) 5. d) 4.
e) 2.
29-O valor de um automóvel (em unidades monetárias) sofre um depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de 40.000 unidades monetátiras, depois de quantos anos o valor desse carro será de 16.000 unidades monetárias? Use o valor 0,3 para log 2 e o valor 0,48 para log 3.
a) 3 b) 6
c) 10 d) 15
e) 23
30-Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas
após é dado por:
ktCe1
B)t(f
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente 3 horas após então o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de:
a) 4 horas
b) 5 horas
c) 6 horas
d) 5 horas e 24 min
e) 5 horas e 30 min
GABARITO
01-C 07-A 13-B 19-A 25-C
02-E 08-D 14-D 20-D 26-C
03-C 09-C 15-D 21-A 27-C
04-A 10-C 16-E 22-D 28-B
05-C 11-B 17-C 23-C 29-E
06-A 12-C 18-C 24-A 30-A
TRIGONOMETRIA
1. Medidas de Arcos e Ângulos Sistema Grau
Grau (°) 360
1 da circunferência
Minuto (‘)60
1 do grau
Segundo (“)60
1 do minuto ou
3600
1 do grau
Sistema Radiano
0 rA
B
2. Funções Trigonométricas no Triângulo Retângulo
C
ab
A Bc
Ângulos complementares têm co-funções iguais
EXERCÍCIOS 01. (FUVEST-SP) Um móvel parte de A e
segue numa direção que forma com a reta AB um ângulo de 30°. Sabendo-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h. após 3 horas de percurso, a distância a que o móvel se encontra de AB é de:
a) 75 km
b) 75 3 km
c) 50 3 km
d) 75 2 km
e) 50 km 02. (PUC-RS) De um ponto A, no solo,
visando a base B e o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30° e 45°, respectivamente. Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina, em metros, é igual a:
seno hipot.
oposto cat.
co-seno hipot.
adjac. cat.
tangente
adjac. cat.
oposto cat.
sen B a
b cos C
cos B a
c sen C
tg B c
b cotg C
cotg B b
c tg C
sec B c
a cossec C
cossec B b
a sec C
r
ABcomp )(
A45°
30°
C
B
a) 3
b) 2
c) 2 3
d) 2( 3 +1)
e) 2( 3 +3)
03. (UNIFOR-CE) Um coqueiro tem 6 m de
altura e seu topo é visto dos pontos A e B, sob ângulo de 45° e 30°, como representa a figura a seguir.
A
30°
6
45°
B Se esses pontos estão alinhados com base do coqueiro, quantos metros, aproximadamente, A dista de B? (para seus
cálculos, suponha que 2 = 1,4 e 3 = 1,7)
a) 9,5 b) 9,6 c) 12 d) 16,4 e) 18,9
04. (VUNESP) A figura representa o perfil de
uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão e a mesma altura. Se AB = 2m e BĈA mede 30°, então a medida da extensão de cada degrau é:
A
CB
a) m3
32
b) m3
2
c) m6
3
d) m2
3
e) m3
3
01 A
02 D
03 D
04 E
Relações num Triângulo Qualquer I. Lei dos Senos As medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro da circunferência circunscrita.
A
a
R
C
c
O
B
b
II. Lei dos Cossenos O quadrado de um lado, é a soma dos quadrados dos lados restantes, menos o
2RCsen
c
Bsen
b
Asen
a
duplo produto desses dois lados pelo co-seno do ângulo que eles formam. EXERCÍCIOS 01- (UNIFOR-CE) Na figura abaixo os ângulos têm as medidas indicadas em graus e os segmentos têm as medidas indicadas em centímetros.
30°
2
45°
1105°
valor de x é:
a) 2
)13.(2 b) 2
23
c) 2
5 d) 23
e) 5
02-(CENTEC-BA) Considere-se um triângulo ABC, de lados a, b e c, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Se a = 3 cm, b = 1 cm e C = 120°, então o perímetro desse triângulo mede:
a) (4- 13 ) cm
b) 4 cm
c) (4 + 7 ) cm
d) (4 + 13 ) cm
e) 17 cm 03-(UNIP-SP) Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 20x cm e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual a x, então a área do círculo, em cm2, será igual a:
a) 50 b) 75 c) 100
d) 125 e) 150
04-(FATEC-SP) Dada a figura:
onde o ângulo AĈD = e o comprimento de AC = 3:
a) BC = 3 sen
b) BC = -3 cos
c) BC = 3
1tg
d) BC = -3 sen
e) BC = 3 cos
05. (VUNESP-SP) O quadrilátero abaixo representa a planta de um terreno plano. Seus ângulos internos B e C medem, respectivamente, 90° e 135° e os lados AB, BC, CD têm o mesmo comprimento, igual a 30 m. Nestas condições, a área do terreno vale, em m2:
D
BA
C135°
30
30
a) 450 . ( 3 + 1) b) 450 . ( 2 + 1)
c) 450 . ( 3 - 1) d) 450 . ( 2 -1)
e) 450
06. (MACK-SP) A área do triângulo OPQ assinalada na figura é:
4__
x
Q
O
a) 4
15
b) 8
15
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c cos A
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c cos B
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C
1
c) 2 d) 3 e) 4
07. (CESGRANRIO) Um dos ângulos internos
de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120°. A maior diagonal desse paralelogramo mede:
a) 5 b) 6 c) 40
d) 37
e) 6,5 08. (FGV-SP) Qual é a área do triângulo da
figura abaixo:
8
45°30°
24105°
a) 4
b) ( 2 +1)
c) 8 ( 3 +1)
d) 2 ( 2 +1)
e) ( 3 +1)
GABARITO
01 A
02 D
03 C
04 B
05 B
06 B
07 D
08 C
Gráficos
y = sen x
y = cos x-1
-1
1
1
x
x
2
2
3 /2
3 /2
/2
/2
0
0
y = tg x
x
0
3 /2/2/2
Função Domínio Imagem I II III IV Par ou Ímpar Período Sinais
sen x IR [-1;1] Ímpar
sen(-x) = -sen x
2 π __+ +
cos x IR [-1;1] Par
cos x = cos (-x)
2 π __
++
tg x x nπ2
π IR Ímpar
tg(-x) = -tg x
π _
_+
+
3. Relações Fundamentais e Auxiliares
4. Adição e Subtração de Arcos 5. Arco Duplo
ATIVIDADES
01-O dispositivo de segurança (segredo) de um cofre tem o formato da figura ao lado, onde as posições A, B, …, L estão igualmente espaçadas e a posição inicial da seta, quando está fechada, é a indicada.
A
L
KJ
I
H
G
F
ED
C
B
Para abrir esse cofre são necessárias cinco operações, girando o dispositivo de modo que a seta seja colocada dos seguintes ângulos:
I. 3
2 no sentido anti-horário;
II. 2
3 no sentido horário;
III. 2
5 no sentido anti-horário;
IV. 4
3 no sentido horário;
V. 3 no sentido anti-horário.
Pode-se, então, afirmar que o cofre será aberto quando a seta estiver indicando:
a) o ponto médio entre G e H.
b) algum ponto entre J e K.
c) o ponto médio entre C e D.
d) a posição I.
e) a posição A.
02-Na figura abaixo, temos duas circunferências concêntricas. O raio da circunferência maior mede 24m e o da menor 12m. Com relação ao comprimento, em metros, dos arcos A, B e C, é correto afirmar que
a) A = 2B – C
F.I.) sen2x + cos2x = 1
F.II.) tgx xcos
sen x
F.III.) cotg x sen x
xcos
tgx
1
F.IV.) cossec x sen x
1
A.I.) sec2 x = 1 + tg2 x
A.II.) cossec2 x = 1 + cotg2 x
cos (a b) = cos a . cos b sen a . sen b
sen (a b) = sen a . cos b cos a . sen b
tg (a b) b tg . a tg 1
b tg a tg
cos (2 . a) = cos2 a – sen2 a =
= 2 cos2 a – 1 = 1–2 sen2 a
sen (2 . a) = 2 sen a . cos a
tg (2 . a) a tg- 1
a 2.tg 2
a) A = 2B – 3C
c) A = 2B – 3C/2
d) A = 2B – C/4
e) A = 2B – 2C
03-No momento em que sai de casa, André, que tem m80,1 de altura AB , enxerga o topo de uma
velha mangueira do sítio onde reside sob um ângulo de 30º com a horizontal. Após caminhar
m8 em direção a essa árvore, ele vê o topo da
mesma sob um ângulo de 60º.
Se necessário, use 73,13 .
Com base nessas informações, pode-se estimar que a altura, MP , dessa mangueira, em metros, é aproximadamente igual a:
a) 6,45
b) 7,38
c) 7,94
d) 8,72
04-Responda aos testes a seguir de acordo com
os códigos:
a) se todas estão incorretas
b) somente I e III estão corretas
c) somente II e IV estão corretas
d) somente I e III estão corretas
e) se todas estão corretas
I. O ângulo que o ponteiro das horas descreve, em graus, é a metade do numero que marca os minutos;
II. Das 18 horas às 18 horas e 12 minutos, o ponteiro das horas anda 6
o;
III. Às 18 horas e 12 minutos, os ponteiros formam um ângulo convexo que mede 114
o.
IV O ponteiro dos minutos mede 10cm . Em 12 minutos a sua extremidade descreve um arco de comprimento 12, 56cm.
05-O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das idades entre os
eleitores de uma cidade. O diâmetro AB mede 10
cm e o comprimento do menor arco AC é 3
5 cm.
AB
C
yx
z
o
O setor x representa todos os 8 000 eleitores com menos de 18 anos, e o setor y representa os eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo número é
a) 12 000
b) 14 800
c) 16 000
d) 18 000
e) 20 800
06-Na figura abaixo está sombreada a região compreendida entre o segmento OP, a circunferência de raio 1, centrada na origem, e o quadrado circunscrito a essa circunferência. Os lados do quadrado são paralelos aos eixos OX e OU. Considere que o segmento OP forma um
ângulo com o eixo OX. Quando 4
0
a área
A() está representada na figura a seguir.
A área A() da região sombreada em função
do ângulo é dada por
a) 22
tg)(A
b) 2
1)(A
c)
2
tg)(A
d)
21
2)(A
e) )4()(A
07-Nos últimos 50 anos, o registro de fenômenos destrutivos cresceu quase 20 vezes, graças à tecnologia e ao aumento populacional. Os abalos sísmicos e suas conseqüências – como os tsunamis – matam, em média, tantas pessoas quanto as inundações e ressacas oceânicas. No entanto, em termos relativos, os terremotos são muitíssimo mais mortais, já que atingem cerca de 26 vezes menos gente no mundo do que as enchentes.
O gráfico mostra a freqüência relativa (porcentagem) de cada catástrofe e, para uma delas, o ângulo do setor.
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que
a) o ângulo do setor correspondente a avalanches e deslizamentos é 10° 8’.
b) o ângulo do setor correspondente a terremotos e tsunamis é 120°.
c) a soma dos ângulos dos setores correspondentes às tempestades e furacões e secas é de 133° 2’.
d) a diferença entre os ângulos dos setores correspondentes às inundações e ressacas e avalanches e deslizamentos é 107° 52’.
e) a porcentagem de tempestades e furacões é de 18%.
f) I.R.
08-Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo N de fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia N + 1.
Considerando = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, é
a) 0,74.
b) 0,72.
c) 0,68.
d) 0,56.
e) 0,34.
09-Em uma cidade freqüentada por viajantes em férias, estima-se que o número de pessoas empregadas dependa da época do ano, e pode ser aproximada pela função:
)x2(sen210N
em que, N é o número de pessoas empregadas (em milhares) e x = 0 representa o início do ano 2 005, x = 1 o início do ano 2 006 e assim por
diante. O número de empregados atinge o menor valor:
a) No início do 1º trimestre de cada ano.
b) No início do 2° trimestre de cada ano.
c) No início do 3º trimestre de cada ano.
d) No início e no meio de cada ano.
e) No início do 4º trimestre de cada ano.
10-O igarapé Tucunduba separa geograficamente o Campus Universitário do Guamá – UFPA em Belém, em duas partes. Unindo essas partes, existe uma ponte de pouca altura, em ferro para pedestres. Para chegar ao mercado, o barco São Benedito deve passar por debaixo da ponte. Duas dificuldades em geral acontecem: a maré está muita baixa e o barco não pode navegar; ou a maré está muito alta e a ponte impede o barco de entrar. O São Benedito tem um calado (parte do barco abaixo da linha d’água) de 1,3 metro e a sua altura acima da linha d’água é de 1,9 metro. O fundo do igarapé está a 0,1 metro acima do nível do mar e a ponte, a 4,5 metros acima do nível do mar. Às dez horas da manhã de hoje, a maré estará em preamar (nível mais alto da maré) de 3,2 metros acima do nível do mar e às dezesseis horas estará em baixa-mar (nível mais baixo da maré) de 0,8 metro acima do nível do mar. Modelando a oscilação da maré como uma função do tipo f(t) = A + B sen(Ct+D), onde t é o tempo e A, B, C e D são constantes, o primeiro horário, após as dez horas, e o último horário, antes das dezesseis horas, em que o barco São Benedito poderá passar por
debaixo da ponte são, respectivamente,
a) 10h30min e 15h30min.
b) 11h e 15h.
c) 11h30min e 14h30min.
d) 12h e 14h.
e) 12h30min e 13h30min.
11-Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da
função f, de IR em IR, definida por 2
xcos)x(f , no
qual estão destacados os pontos A e B. Os pontos A e B pertencem à reta de equação:
y
x
.
.
B
A
a) x - 3y - = 0
b) x + 3y - = 0
c) x - 3y + = 0
d) 2x + 3y - = 0
e) 2x - 3y - = 0
12-Na figura abaixo tem-se parte do gráfico da função f, de IR em IR, dada por f(x) = k.cós tx.
x
y
2
-2
0
Nessas condições, calculando-se k – t obtém-se:
a) 23
b) –1
c) 0
d) 23
e) 25
13-Considere uma circunferência de centro na origem (0, 0) e raio igual a 1. Um ponto P percorre esta circunferência, duas vezes em um segundo,
no sentido anti-horário, a partir do ponto (1, 0). Supondo sua velocidade constante, a função que representa a variação da sua ordenada y em função do tempo t, em segundos, é:
a) f(x) = sen (4t)
b) f(x) = cos (4t)
c) f(x) = sen (2t)
d) f(x) = cos (2t)
e) f(x) = sen (2t)
14-Medindo-se t em horas e 0 t < 24, a sirene de uma usina está programada para soar em cada
instante t, em que
6
tsen é um número inteiro.
De quantas em quantas horas a sirene da fábrica soa?
a) De seis em seis horas.
b) De quatro em quatro horas.
c) De três em três horas.
d) De oito em oito horas.
15-O gráfico abaixo corresponde à função:
-2
-2
-1
-1
x2
y
a) y = 2 sen x
b) y = sen (2x)
c) y = sen x + 2
d) y = sen2x
e) y = sen (4x)
16-O aluno que estudar Cálculo poderá provar com facilidade que a área da superfície plana limitada pelos gráficos de f(x) = sen x e f(x) = 0, no
intervalo 2
x0
, como ilustra o gráfico
abaixo, é igual a 1.
y
x
Área=1
A partir dessa informação, pode-se concluir que a área limitada pelos gráficos de f(x) = cos x e f(x) = 0, no intervalo é:
a) 0
b) 2
c) 1
d)
e) 1/2
17-Sabe-se que h é o menor número positivo para
o qual o gráfico de )hxsen(y é:
y
x
2
2
2-
2
--
-
Então, 3
h2cos é igual a
a) 2
3
b) 2
2
c) 2
1
d) 2
1
e) 2
3
18-A figura a seguir mostra parte de uma onda senoidal que foi isolada para uma pesquisa:
Qual das alternativas melhor representa a equação da onda para o período apresentado?
a)
62
xsen21y
b)
2
xsen21y
c)
32
xsen21y
d)
3
xsen21y
e)
6
xsen21y
19-Sabe-se que h é o menor número positivo para o qual o gráfico de y = sen(x – h) é
-2
2
x
-3 /2
3 /2- - /2
/2
Então 3h2cos é igual a
a) .2
3
b) .2
2
c) .21
d) .21
e) .2
3
20-Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica
12
xsen800900)x(f em que f(x) é o número de
clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro
tal que 0 x 24). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a:
a) 600.
b) 800.
c) 900.
d) 1 500.
e) 1 600.
21-A figura abaixo é composta por dois eixos perpendiculares entre si, X e Y, que se intersectam no centro O de um círculo de raio 1, e outro eixo Z, paralelo a Y e tangente ao círculo no ponto P. A semi-reta OQ, com Q pertencente a Z, forma um ângulo a com o eixo Y.
Podemos afirmar que o valor da medida do segmento PQ é
a) sec
b) tg
c) cotg
d) cos
22-Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados,
aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = 2 –
6
xcos e
12
xsen23)x(V , 0 x 6. O lucro,
em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:
a) 500.
b) 750.
c) 1 000.
d) 2 000.
e) 3 000.
23-Na figura abaixo tem-se o gráfico de uma função f, de IR em IR, definida por
mxk.sen f(x) , em que k e m são constantes
reais, e cujo período é 3
8.
O valor de
3
29f é
a) 3
b) 2
c) 1
d) 2
e) 3
24-Na figura abaixo têm-se os triângulos
retângulos ABC, BCD e BDE.
2 cm
1 cm
1 cm
1 cm
A B
C
E
D
Se os lados têm as medidas indicadas, então
a medida do lado BE , em centímetros, é
a) 7
b) 6
c) 5
d) 2
e) 3
25-Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 30º e 60º com a horizontal, como mostra a figura abaixo:
60º
T
A X Y
30º
Se a distância entre os observadores é de 40m, qual é aproximadamente a altura da torre? (Se
necessário, utilize 4,12 e 7,13 ).
a) 30m
b) 32m
c) 34m
d) 36m
e) 38m
26-Na figura abaixo tem-se um observador O, que vê o topo de um prédio sob um ângulo de 45°. A partir desse ponto, afastando-se do prédio 8 metros, ele atinge o ponto A, de onde passa a ver
o topo do mesmo prédio sob um ângulo tal que
6
7gcot .
45°
AO
A altura do prédio, em metros, é
a) 330
b) 48
c) 320
d) 24
e) 320
27-Na figura abaixo, as retas r e s representam duas estradas que se cruzam em C, segundo um ângulo de 30°. Um automóvel estacionado em A dista 80 m de um outro estacionado em B. Sabendo que o ângulo BÂC é 90°, a distância mínima que o automóvel em A deve percorrer até atingir o ponto B seguindo por s e r é:
A
BC
s
r
a) 80 m
b) 160 m
c) 3180 m.
d) 3280 m.
e) 3240 m.
28-Um topógrafo que necessitava medir a largura de um rio, sem atravessá-lo, procedeu da seguinte
forma: de um ponto X, situado na beira do rio, avistou o topo de uma árvore na beira da margem oposta, sob um ângulo de 45° com a horizontal. Recuando 30 m, até o ponto Y, visou novamente o topo da mesma árvore, registrando 30° com a horizontal. Desconsiderando a altura do topógrafo e sabendo que a árvore e os pontos X e Y estão alinhados perpendicularmente ao rio, é correto afirmar que a largura aproximada do rio, em metros, é:
a) 36
b) 1215
c) 215
d) 3630
e) 1230
29-Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
ângulo(graus)
cossenoseno tangente
1011121314
0,1710,1910,2080,2250,212
0,9850,9820,9780,9710,970
0,1760,1940,2130,2310,249
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm. De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:
a) 10º
b) 12º
c) 13º
d) 14º
30-Em um parque de diversões há um brinquedo que tem como modelo um avião. Esse brinquedo está ligado, por um braço AC, a um eixo central giratório CD, como ilustra a figura abaixo:
A
B
C
D
Enquanto o eixo gira com uma velocidade angular de módulo constante, o piloto dispõe de um comando que pode expandir ou contrair o cilindro
hidráulico BD, fazendo o ângulo variar, para que
o avião suba ou desça. Dados: m6AC ;
m2CDBC ; m32BDm2 ; 3; 3 1,7.
A medida do raio r da trajetória descrita pelo ponto
A, em função do ângulo , equivale a:
a) 6 sen
b) 4 sen
c) 3 sen
d) 2 sen
31-Considere o cubo da figura e as linhas nele
traçadas.
E
F
H
G
A
B
C
D
É incorreto afirmar que:
a) o triângulo GAH é retângulo.
b) as medidas das áreas dos triângulos GAH e CAH são iguais.
c) os ângulos GÂH e CÂH são coplanares.
d) o seno do ângulo BÂC é 2
2.
e) a tangente do ângulo GÂH é 2
2.
32-Um disco voador é avistado, numa região plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo
instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura.
A que altitude se encontra esse disco voador?
d
Considere as afirmativas:
I- A distância d é conhecida;
II- A medida de a tg são conhecidas.
Então, tem-se que:
a) a I sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a II, sozinha, não.
b) a II sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a I sozinha, não.
c) I e II, juntas, são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas, sozinha,não é.
d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta.
e) a pergunta não pode ser respondida por falta de dados.
33-Uma esteira rolante de um supermercado com dois andares faz um ângulo de 30º com o plano determinado pelo piso inferior. Assinale o que for correto, considerando o comprimento da esteira
12 metros.
a) Uma pessoa que sai do piso inferior e vai ao piso superior se eleva 6 (seis) metros.
b) Faltam dados para se calcular a altura total que uma pessoa se eleva ao ir do piso inferior ao piso superior utilizando a esteira.
c) Se uma pessoa caminha 2 metros na esteira durante o percurso entre o piso inferior e o piso superior, então a pessoa se eleva, no total, 5 (cinco) metros.
d) Uma pessoa que sai do piso inferior e vai
ao piso superior se eleva 36 metros.
e) Se uma pessoa caminha 2 metros na esteira durante o percurso entre o piso inferior e o piso superior, então a pessoa
se eleva, no total, 35 metros.
34-Uma estação E, de produção de energia elétrica, e uma fábrica F estão situadas nas
margens opostas de um rio de largura 3
1 km.
Para fornecer energia a F, dois fios elétricos a ligam a E, um por terra e outro por água, conforme a figura. Supondo-se que o preço do metro do fio de ligação por terra é R$ 12,00 e que o metro do fio de ligação pela água é R$ 30,00, o custo total, em reais, dos fios utilizados é:
a) 28 000
b) 24 000
c) 15 800
d) 18 600
e) 25 000
35-Observe atentamente a simetria da figura
abaixo.
Sabendo-se que 2
1
6sen
, então os valores
de
6
19sen e
6
11sen são,
respectivamente,
a) 2
1 e
2
1
b) 2
1 e
2
1
c) 2
1 e
2
1
d) 2
1 e
2
1
36-O topo de uma torre e dois observadores, X e Y, estão em um mesmo plano. X e Y estão alinhados com a base da torre. O observador X vê o topo da torre segundo um ângulo de 45º, enquanto Y, que está mais próximo da torre, vê o topo da torre segundo um ângulo de 60º. Se a distância entre X e Y é 30,4m, qual o inteiro mais próximo da altura da torre, em metros?
(Dados: use as aproximações tg(45º) = 1 e
tg(60º) 1,73).
a) 72m
b) 74m
c) 76m
d) 78m
e) 80m
37-Um observador, situado no ponto P de um prédio, vê três pontos, Q, R e S, numa mesma vertical, em um prédio vizinho, conforme esquematizado na figura abaixo. P e Q estão num mesmo plano horizontal, R está 6 metros acima de Q, e S está 24 metros acima de Q. Verifica-se que
o ângulo do triângulo QPR é igual ao ângulo do triângulo RPS. O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre P e Q é:
S
P
R
Q
a) 8,5
b) 8,8
c) 9,4
d) 10,2
38-Ao ser indagado sobre o valor de sen 45º, um
estudante pensou assim:
2
º60º30º45
2
º60senº30senº45sen
Continuando nesse raciocínio, o estudante encontrou como resposta:
a) um valor menor que o correto, diferente da metade do correto.
b) o valor correto.
c) a metade do valor correto.
d) o dobro do valor correto.
e) um valor maior que o correto, diferente do dobro do correto.
GABARITO
01-B 09-E 17-C 25-C 33-A
02-E 10-D 18-A 26-B 34-A
03-D 11-A 19-C 27-D 35-D
04-E 12-D 20-E 28-C 36-A
05-C 13-A 21-C 29-C 37-A
06-A 14-C 22-C 30-A 38-A
07-E 15-A 23-B 31-C
08-C 16-C 24-A 32-C