nto monotonico ou ciclico
TRANSCRIPT
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DIAGRAMAS MOMENTO CURVATURA
PARA
ELEMENTOS
ESTRUTURAIS
DE CONCRETO
ARMADO
SUBMETIDOS
CARREGAMENTO
MQNOTBMfCO OU
CCLICQ
FERNANDO RICARDO GAMBETTA SCHIRMBECK
Dissertao
apresentada
ao
corpo
docente
do
Curso
de
Ps Graduao em Engenharia Civil da
Escola
de
Engenharia
da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul como parte
dos
requisitos
para a obteno
do titulo
de
Mestre em Engenharia
C k v i 1
o r t o
Alegre
Julho d e 988
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E s t a d l s s e r t a 8 o f o l j u l g a d a a d e q u a d a p a r a a o b t e n 8 0
t l t u l o
d e
MESTRE
EM
E N G E N H A R I A C I V I L a p r o v a d a em s u f o r m
d e P d s G r a d u a a o .
C u r s o d e P bs G r o em E n g Clvll
B BG EXAHL~APQBB~
1 . P a b l o G a s t o n H l g n o n
D Sc
p e l
C O P P E / U F R J
2 F r e n c l s c o d e P a u l a ~ l r n e s
L o p e s
G a s t a 1
Ph D p e l a M C S U / U S n
3 D a r l o
a u r o K l e l n
M . S C .
p e l a
G P G E G I U F R G S
4
A m d r l c o C a m p o s
F I l h o
D . S c . p e l a
U S P S g o
P a u l o
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minha familia
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A G R A D E C I M E N T O S
P r o f e s s o r
P a b l
G a s t o n
B
g n o n
p e l a d e d l
c a d a
o r t e n t a a o , p e l a
p a c i b n c l a e
p e l a a m i z a d e r e c e b i d a a o
l o n g a
d e s t e
t r a b a i
h o .
o P r o f e s s o r
J a r b a s
f l l l l t t t s k y , c o o r d e n a d o r d e s t e
c u r s o , e
n a
s u a p e s s o a a t o d o s
os
p r o f e s s o r e s ,
p e l a
a j u d a
d l s p e n s a d a .
o C o n s e t h o N a c i o n a l d e E n e r g l a N u c l e a r C N E N ) , ao
G O n 9 e l h O
N a c l o n a l de D a s e n v o l v l m e n t o
G l e n t t f l c o
e
f e c n o l b g t c o
C N P q )
e
b
C o o r d e n a o d o P e s s o a l d e
N f v e l
S u p e r l o r C A P E S ) , p e l o
a u x l l a f l n e n c e l r o .
h
u i i a n a Z a r t B o n l l h a ,
b l b l
l o g r a f i a .
o
c o l a b o r a 6 o .
o s
c o l e g a s f u n c l n 8 r l o s d e s t e
c u r s o p e l a
a m l z a d e
a p o i o
a t o d o s h q u e l e s q u e
d e
a l g u m a m a n e i r a a j u d a r a m
n a
r e a l l z a 8 o
d e s t e
t r a b a l h o .
p e l a e l a b o r a 8 0 d a
R o b e r t o B l s o t t o p e l o
I n c e n t i v o
e c o n s t a n t e
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RESUMO
Este trabalho
tem por
objetivo desenvolver e
imglementar, computacionalmente, procedimentos numdricos
eficientes, aplicados determinaco do diagrama
momento-curvatura, correspondentes :
uma
seo
tipica,
em
vigas
de
concreto
armado,
submetida
2
carga monot8nica ou ciclica de curta durao;
um
ponto generico
da
superficie mdia
em placas de
concreto armado,
submetidas
h carga monotdnica de curta dura o.
Ainda. h
luz dos
resultados obtidos, v i s a tambdm
prog r
um modelo
simplificado
em
termos de resultantes de tensQes
e
deformaes
general i zadas .
Inicialmente,
descrito
um modelo l rnin r p r vigas,
no qual a carga aplicada
de forma
incremental
sendo
que para
cada
etapa,
as
equaes
de
equilibrio
no-lineares
so
resolvidas
de maneira
iterativa.
Como consequ?ncia
proposta uma relao
momento-curvatura em termos de
resultantes.
fim de verificar a validade e aplicabilidade dos
mdtodos
e
os
algoritmos estudados e comparar-se
os
resultados
com dados
experimentais
e respostas
obtidas por
outros
pesqui-
sadores. apresentada
um sdrie da exemplos
num ricos.
continuao, aplicado o procedimento anterior para
modelos
de
laje,
livres
de
solicitaes
de membrana.
Finalmente
atravds de
um estudo garam6trico os diversos
fatores
que afetam
diagrama
momento-curvatura,
propbe-se uma relao
simplificada.
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SUMMARY
The
objective
of
the
present
study is to develop an
efficient
numerical
procedure for
obtaining t he moment-curvature
rslationship
corresgondents:
a typical section
in
reinforced concrete
beams
under
cyclic or
monotonically short
term
loading;
a genewic
point
on the
average
reinforced
concrete
p l a t e s under monotonik short duratkon
loading.
On the baais
o
the
results indicated above simplified
model
s proposed
in
terms
o
seneralized stresses
and
deformations.
At first a
laminar
model agplicable
to
bearns
s described.
The
loads are incrementaly pplied and
at
each s l a g e
the
nonlinear
equilibrium equations a r e solved iterative manner. In
consesuence
it is
proposed moment-curvature relationshig
in
term o resultants.
Severa1 numerical examples
a r e
presented
in
orde r
to
verifu t he validity and asplicability
o the develoged
models. he
results obtained are
compared
t o
experimental
an
analytical
da t a obtained by o ther s investigators.
Next t h e grocedure prevously described is applied to
slabs
free of membrane s t r e s s e s .
Finally
through a
parametric
studu
o
the different
factows that affect
a moment-curvature
relationshhip a simplified diagram
s
progosed.
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L INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
eneralidades
..............
1.2
bjetivos
e metodologia
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.1
Consideraes
gerais 4
2 2 R e l a ~ e s enso deformaco p r o concreto ..........
2.2.1
Compresso ........................
. . . . . . . .
............................
2 2 Trao
..I1
2.3
R e l a ~ o
enso deformao
p r o
ao
... 2
2 3 1 Modelo elasto pldstico 2
2 3 2 Modelo d e Agrawal . . . . . . 3
3
.
MODELOS
HISTERTICOS
PARA
S E E
DE
VIGA
EM
CONCRETO
ARMADO
.................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......1 Generalidades ......................
3.2 Modelos l rnin res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Procedimento p r obteno dos
diagramas momento curvatura
3 3
Modelo histertico
proposto .................
3 . 4 Comparaes entre
resultados
tebricos
experimentais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
MODELOS MOMENTO CURVATURA
M LAJES
E
CONCRETO ARMADO
1
Considera~es
niciais
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Modelo
l rnin r
IV 3 2
. . . . . .
.2.1
Relaes de
geometria eguilibrio
34
4 2 2
Resultante d e tenses 3 8
4 . 2 . 3 Procedimento
numrico
4
-
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4 3
omparaes
entre resultados tedricos
experimentais ....................................
4 3
4 . 4
Modelo proposto para laje
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
.
COMCLUSES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 eneralidades
78
5 2
Concluses ........................................
7 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 1
onto
de
vista
tebrico
78
.2.2
Ponto de vista
computaciona1
80
5 2 3 Consideraes finais
REFERENCIAS BIBLTOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
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LISTA DE SIMBOLOS
1. Letras romanas maisculas
drea da camada
d e
concreto
ci
drea
da seso
transversal
da
camada
da armadura
sj
E m6dulo
de deformaco
longitudinal do concreto, tangente
t
na origem
mbdulo
de deformao
longitudinal
do aco
tangente
na
origem
resultantes
normais na armadura
no plano u
v.
forca normal
N N esforo normal
por
unidade
de comprimento
na
seso
d
laje perpendicular as direes u e v respectivamente
momento
fletor
momento
fletor por
unidade
de
comprimento
na seo da
v
laje perpendicular
aos
eixos
u
e
v.
M momento fletor de plastificao de uma seca de
concreto
armado
T-D
tenso def
ormao
2.
letra
romanas
mindsculas
largura da seo transversal
do
elemento
b
- largura da
eamada
i
f res i s tenc ia h compresso no concreto
c
resist@ncia caracteristica do
concreto
resistencia cilindrica
a
compresso do concreto
f
tenso
de
fissuraso
do
concreto
t
f
tenso de escoamento do ao
altura da s e ~ o
ransversal
do elemento
-
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altura da
camada
coordenada referida
ao
baricentro da s e ~ o ransversal
- coordenada
central
da camada de
concreto
coordenada
c e n t r l da
camada de ao j
3 Letras gregas minasculas
ngulo
que
define
a posiao do
sistema
u v
frente
ao
sistema x y coincidente com as armaduras
E deformao especifica
u n i d l
E
deformaso
do
concreto
C
E deformaes especificas
componentes
do t e n s o r
i
cartesiano de deformaes infinitesimais (simtrico)
valores de E
'
j
no
baricentro
d
seo transversal
ij
E
C
deformao
de
compresso
igual
a
28.
associada
a
tenso
mxima
E
deformao
normal
na
direo do
eixo x e
na
g
p o s i ~ o
o baricentro
d a seo
transversal
V
deformaes
n s direes
u
e v
no baricentro
93
da
seo
transversal
deformao
do
ao
si
deformao normal na camada
EX
deformao normal na direo do
eixo
x
E
Y
deformao
d e
escoamento
do ao
D
tensao
normal
J
C
tenao
normal
de
compresso no concreto
tenso normal do concreta
n
camada
ci
tenso normal no
ao
tenso
normal da
armadura na camada
j
curvatura
x,,,?;
curvaturas nas direes dos
eixos
principais
u
e v.
i
taxa de armadura.
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1. INTRODUAO
1.1 - Generalidades
As
estruturas em
concreto armado
devem
ser projetadas
para
t en d e r as
condices
de
segurana
se j a
em
relao
os
est dos
limites
tlltimos ou seja
r e f e ren tes aos estados limites
d e
utilizao. Em
qualquer
dos
casos
conveniente
fazer
uma
previso
acurada de
deslocamentos foras internas e
deformaes
d a
estrutura submetida 3s cargas de servio que
lhe
so
impostas.
Tais
cargas incluem
t n t o a
hislbria
de
c r g
ativa
qual a
estrutura es ta
submetida
incluindo
o
processo construtivo
quanto
aa cargas impostas pelas condies d o ambiente
no
qual e l a es t a
inserida.
Para descrever respos ta
em forma realfstica
a carga
Ultima
deve
ser
estimada
o
melhor
poasivel
sendo
desejdvel
a inda
ter um
p r e v i s o
do
comportamento cinemdtico e mecanico
da estrutura
durante
uma srie de carregamentos
atingindo
as
f a s e s
elstica e Ineldstica inclusive nas vizinhanas
do
colapso.
determinao
analtica
de deslocamentos foras
internas tenses
e deformaes em
estruturas de c o n c r e t o
armado
durante
t oda
sua histria de carga apresenta um
elevado g r a u
d e complexidade
em
Eun~ode vdrios fatores:
-
no-homegenidade do material;
-
mudana
continua d a topologia mecnica geomdtrica
do sistema
devida
as variaes
no
endurecimento e fissuraao
do concreto;
- relaes tenso-deformao no-lineares e
histergticas
dos materiais
componentes;
- variao das
propriedades
do concreto
com
o tempo;
deformaes d e v i d a s fluncia
retraco
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m u d a n ~ a a
e temperatura;
efeitos da no-linearidade geomdtrica.
Decorrente d e s t a s dificuldaes resulta natural atacar
e s t e s problemas impondo algumas restries quan to
as cargas
geometria
e
propriedades
mecnicas
e
reol6gicas
dos
materiais
dos
materiais.
Dentro desta
dptica sero
abordados nos
cdpituloa a
seguir alguns casos particulares.
1.2 OBJETIVOS
E
METODOLOGIA
LI 1__ __
O presente estudo
tem
por objetivo desenvolver e imple-
mentar
computacionalmente. procedimentos num4ricos
eficientes
aplicados h determinao do diagrama
momento-curvatura
correspondentes
h:
uma
seo
tlpica
em
vigas
de
c o n c r e t o
armado,
submetida ca rga monot8nica ou ciclica
de
curta
durao;
um ponto
gen4rico
da
superficie d i a
em placas de
concreto
armado submetidas a
ca rga monotbnica de curta duraso.
Ainda
l u z
dos resultados obtidos visa tambem propor modelos
simplificados
em lermos de
resultantes de tenses e deformacoes
generalizadas.
O principal motivo que impulsionou o estudo
a
proposio
d e um relao momento-curvatura simplificada
foi a
possibilidade
concreta
de se agilizar
os
cdlculos dos momentos
a
partir de
curvaturas
calculadas previamente
por mtodos
numricos tais
como
o
de Elementos Finitos nos
casos de
vigas placas de
concreto
armado.
Inicialmente t descrito
um
modelo
iaminar
para vigas
no
qual
a
carga aplicada
de
forma incrernental sendo que
para
cada
etapa as
equaes
de
eguilibrio
no-lineares
sao
resolvidas
de maneira iterativa. A seo transversal do
elemento
d i v i d i d a
em
faixas simktricas
em relao o
plano de atuao
das cargas
exteriores permitindo
acompanhar
as
variaes da
largura
das
caracteristicas mecanicae levando
em
conta e q u a ~ e sconstiluti-
vas uniaxiais
de
cada material. As solicitaes
i n t e r n a s
s
avaliadas por uma
integraco nurngrica na espessura
empregando
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para compatibilizar as deformaes hipdtese d s
sees
planas-
Dando seguimento
3
dissertao, proposto um modelo em
termos de resultantes, definindo-se uma
relao
momento-curvatura
segundo um esquema
trilinear
histergtico
onde aparecem
bem
definidos, os e s t d d i o s
I, I1
I13 s inclui a possibilidade
de
efetuar laos
histereticos
para descargas parciais.
i m e
verificar a
validade
aplicabilidade dos
mtodos e dos
algoritmos
estudados
comparar-se
os
resultados
com d dos experimentais e
respostas obtidas
por
outros pesqui-
sadores
apresentada uma
sgwie de exemplos num&ricos.
continuao.
aglicado
este
procedimento para
modelos de
laje, livres
de solicitaes
de
membrana, em que se
considera
influencia
d
orientaco
d
armadura
em
relato
s
curvaturas
principais o est do
d s
curvaturas principais
aplicadas, mas agora
para
cargas monot8nicas de curta durao.
Finalmente
com este tltimo modelo e atravs de um
estudo paramtrico
d
influencia dos diversos fatores sue afetam
a resposta como por
exemplo,
a orientao da
armadura
m
relaq o
s curvaturas principais. o est do d e aplicao das
curvaturas
principais
e
a
t x de
armadura,
prope-se
uma
relao
simplificada momento-curvatura para lajes, onforme
estabelecido
acf na.
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2. PROPRIEDADES
OS
MATERIAIS
2.1 C o n a i d e r a ~ e ~erais
-------------
s
estruturas
em conc r e to armado submetidas a carresa-
mento cfclico so constitudas p r sees com armadura
,geralmente dupla
e
simdtrica,
e
se caracterizam
por
um
coagortarnento mecanico sumamente complexo.
O o pode
ser
considerado
um
material
homogneo
com propriedades, em
gera l
bem definidas. Pordm o concreto
um material
heterogneo e suas
propriedades dependem de muitos fatores
e
so de dificil defini-
o. Entretanto, num sentido macroscb~ico, ode-se consider-la
um material homogeneo se suas propriedades
s
definidas com
bases estatisticas.
Essa
h ipd t e s e 6 em geral, aceita para s
estruturas de Engenharia Civil
permite
e s t u d a r comportamento
d s peas como se fossem constitudas de
dois
materiais
homoqg-
neQS
As curvas tenso-deformao destes materiais,
adquirem
importncia primordial
na
obteno
d e resultados
analiticos
para
interpretar
o comportamento
d s
estruturas sob carga estdtica ou
dinamita
As
relaes
tenso-deformao gara concre to
e
ao quando submetidos carregamento alternado, apresentam
um
comportamento histergtico
e extremamente
no-linear.
curva
tensao-deformao do primeiro 6 diferente para t r a ~ o e
compresso. fissurao
do
concreto e perda
progressiva da
adergncia
entre o
o
e
o
concreto
so
alguns
dos
mais importantes f a t o r e s que contribuem gara
a no-linearidade
fisica do conjunto. Al m disso,
as
propriedades
do
concreto
dependem de sua idade
e das
condices
do ambiente, tais
como
temperatura
e
umidade, bem
como d h i s t d r i a de c a r g a .
O o para armadura ordindria, geralmente, assumido
como tendo uma relao tenso-deformaao
(relao
T-0)
aimdtrica
para trao
compresso,
sendo
que suas
propriedades
-
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podem
ser consideradas independentes do tempo do
ambiente
para a
maioria
das aplicaes
em
Engenharia Civil.
Apresenta-se, a seguir, vdrios modelos matemticos
i d e a f i z a d o ~ para representar
a a
r e l a ~ G e a
tenso-deforma~o
histerdticas destes
materiais,
sendo posteriormente utilizados
na
analise d e
vigas
e
lajes de
concreto
armado submetidas
a
carregamento cfclico monot6nic0, respectivamente.
2 2
Relaes
tenso-deformao para
o concre to
- - - - - - - -
- - - - - -
s modelos matemdticos idealizadas
para representar
a
re lao
tenso-deformao
hister&tica
e
no-linear
do concreto
so diferentes
gara
compresso
para trao.
Nesta
descrio,
adota se sinal positivo para
compres-
so
negativo
para
trao nos modelos
do concreto.
s cu rva s idealizadas pa r a
compresso
gara
t r a o
sZo descritas separadamente.
Como
exemplo da
evoluo
das
idealizaes
para
representar
a
curva
tenso-deformao
o concreto,
nas
figuras
2 . l . a 2.l.b
2.l.c mostram-se
tres diferentes
modelas
analiticos,
o
de v i a m i 5
o
de Park Kent
o
de
Blakeley p a r k 3
respectivamente.
Es t a s relaces
a p r e ~ e n t a m ma
curva tenso-deformao ABCD,
que caracteriza o
camgortamento
Para uma
sequencia monotbnica
d e
incrementos
de
deformao
denominada de curva esqueleto , a
qual
definida
or regies,
e
acrescida
d e
laos histerticos pa ra
representar
os decrescimos posteriores
incrementos
de
deformaco.
-
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FIGURA 2.1. ~ e l d ~ e s-D
para o
concreto na c o m p r e ~ ~ o
Modelo
1:
Vlana;
b
Modelo
:
Park
e
Kent;
Modelo
: Blakeley
e
Park
-
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seguir,
s e r o
descritas
conjuntamente as
r e g r s
g e r i s
que
regem
es t e s
modelos,
as
r e g r a s
particulares
de
cada
modelo, sendo
que
cada
um
foi dividido
em
t r s regies I. I1
e 111
Regra I carga na
Regio I
definida pela equa3o
da
gardbo-
la seguinte:
onde E
-
deformao
do
concreto; tenso
na
con-
-
c r e t o ; f
resistgncia
cilndrica
h
compresso
em
2
N/mm 0 0 0 2
deformao
do concreto
associa-
t
da
a tensao mdxirn d e compresso-
Regra 2 relao tenso-deformao,
p a r a
incrementos
de
d e f o r -
mao
n
regio
11,
define-se
para modelo 1
como
um
reta com
tenso
c o n s t a n t e e
igual a
f . Para o modelo
2
toma-se
a
equao d a reta
-
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Regra
3 .
onde
que
6
o termo
do
confinamento e
serd desprezado, por conter
informaes
no sempre
disgoniveis.
Os incrementos de
deformao
na
Regio
111,
para
os
modelos 2 e
3
se produzem aob tenso constante
e
igual
a
I
Regra 4 A
descarga
e posterior recarqa de
pontos
pertencentes
Regi30
1, e
tambdm
3 Regio
11
do
modelo
1, s
efe-
tuam
com
um
rigidez
definida
pelo mddulo de deformao
longitudinal do
concreto
tangente na
origem,
que
C
segundo
2.13
resulta
Regra
5
ara decrescimos de deformao nas Regies
11
e 111,
no modelo 2
a tenso diminui 3 4 d a
tenso atingida
na
curva esqueleto
e
depois
varia
linearmente
com
inclinaao
igual
a 0 2 5 No modelo
3 a
tenso diminui
metade
C
e
depois
seque
com inclinao igual
a
0 , 5 E F sendo
f t o r d e
correo,
F
definido par
C
cm
c0
F = ,
8 -
------ --------
. para E c E c E
C
E E C 0
2 0 ~
20c
C
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
19/93
F = 0 1
para > E
C C 2 c
onde
deformao na
Regio
111
constante
e
igual
dada por
2 . 9 )
.
20c
Regra 6. A recarga a partir do nivel atingido na regra 5 se
produz com um incremento de tenso, sem variar a
defor-
mao,
at
o valor
igual
a
3 4
da t en so mdxima atingida
no ciclo. Continuando, segue com inclinao igual
a
0,25E
c
para
o
modelo
2
e
no
modelo
segue
sem'
variar
td
o
valor
correspondente na r e t a
superior,
definida
por uma
inclinao igual a E F Prosseguindo, atrav4s de
C
incrementos
sucessivos de
deformao, atinge-se a rndxirna
t enso o c i c l o pon to G).
FIGURA
2 2
Relaes
T D p a r a
concreto
submetido a
carga ciclica
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
20/93
L
A figura
2 2 mostra
curva determinada analitica-
mente pelo modelo
3 e a
reposta experimental obtidas para
ensaios sobre corpos
cilindricos de
concreto,
com
f igual
2 . C
a
2 5 8 5
N/mm submetido
d
carga
e
descarga. Comparando
ambas
curvas,
se verifica que ocorre uma pequena diferena nos laos
d e hi s teres e
devido principalmente. a
maior r i g i d e z
no incio
d descarga. Para os fins propostos
e a
luz dos resultados
posteriores,
considerou-se
satisfatdria a
representa~o
os
l a ~ o s
ara
o concreto, porque a influencia
no comportamento
do
conjunto
4 pequena frente
ao
dominante efeito histeretico
do
ao
FIGURA
2.3
- Relaes T D para o concreto-na trao:
a Modelo 4 :
usual, fis sur a~a o
rusca
b) Modelo
: Vebo e
Galhi
modificada
c Modelo
:
Vebo e
Galhi modificado.
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
21/93
2.2.2
Trao
s
relaces tenso-deformao, idealizadas para
repre-
s en tar
a trasa na
flexo do
concreto,
so mostrados
n s
figuras
2.3.a
(Relaao
usual ,
2 . 3 . b
e
2 . 3 . c
(Relaces
14
modificadas de Vebo Galhi , denominadas
respectivamente
como modelos
4
e 6 Eates
diagramas
dependem
apenas
o
conhecimento
da resistsncia
cilindrica h
compresso,
f'
, sendo
C
a
pa r t i r delea,
calculados mbdulo
de
deformao longitudinal
tenso de fissurao,
que definem o s parametros dos
modelos.
ponto
de
origem das relaes T-D
de t r a o K ,
corresponde
nas
curvas d e compresso ao ponto no qual a tenso
igual
a
zero.
seguir, sero
descritas
em
forma
con jun t a as regras
referentes estes
modelos,
citando
s
excesses para
cada modelo.
Regra
I. descarga
se
verifica
com
inclinao igual
ao
mddulo
de d e f o r m a ~ o ongitudinal,
E ,
at atingir
a tenso
de
.
L
fissuraco,
f'
,
dada po r :
t
1/2 2
f'
=
0,625
Ef 1
N/mm
-
partir
d a i ocorre
a
fissurao, e
a
tenso:
Vale
zero, para o
modelo 4
Segue com inclinao
negativa
igual a
0,SE
at
C
atingir
a t e n s o
zero,
para o modelo
5 .
Igual
ao modelo
a t d
atingir a t en so
0 , 5 f Y . Apds,
t
segue
com declividade negativa igual a O,O5E at
C
alcanar
a
tenso nula,
para o
modelo
6
Para
es t es
3
modelos,
as
t e n s e s aps atingirem
o
valor zero, permanecem
nulas para
decrscimos
da
Resra
2. Se a concreto
no
fissurou,
a
recarga
se
f z
com
in-
clinazo
igual a
E
a t e
chegar
h zona d e compresso. Se
fissurou,
a recarga 6 definida pel reta
que
passa gelos
pontas de
inicio
de recarga,
J, d e incio de descarga,
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
22/93
K ate cheg r h zona de
compresso.
Deve-se
salientar
que o s modelos s e
no
pretendem
representar
relaso T-D em um ensaio de trao uniaxial
mas
sim introduzir numa formulaco continua para Elexo d e
concreto
armado
colaborao
da
trao
no
concreto entre
fissuras
qu um
enbmeno discreto.
2 . 3 Relao
tenso-deformao p r
o ao
I f I I
2.3.1.
-Modelo clasto-gldstico
As regras d r e l a ~ o mostrada na figura 2 . 4 so
as seguintes
Regra 1.
A
carga e descarga na
Regio
I eldstica
linear
com
inclinao igual o
mddulo tangente
inicial .
s
Regra 2 : A
carga
na
Regio
I1 se verifica com inclinao
igual
FIGURA
2 4 Relao T-D elastopldstica
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
23/93
Regra
3 descarga, a
partir
da Regio 11, s produz com incli-
nao igual da regra 1
at
o pon to L
interseco
des ta
com a reta da
Regio 11, de
sinal oposto h
tenso
mdxirna
atingida
no incio
do c i c l o . Depois segue com
inclinao
igual a
O,OOSES.
Regra 4
recarga desde a tensao atingida na regra
6
com in
clinao de f in ida
pelo
mddulo tangente inicial.
2.3.2. Modelo de Agrawal
Esta
relao tenso deforma301
descreve o
compor-
mento d a s armaduras submetidas a
carregamentos
ciclicos possui
o
c i c l o
tpico
mostrado
n
ieura
2 5 s
regras sSa s
seguintes:
FIGURA 2 5 Relao
T D
para ao .
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
24/93
Regra
1.
Ma Regio
I
a carga e
de s c a r g a
elstica e linear om
rigidez definida pelo mddulo tangente inicial, E
.
s
Regra
2
carga
na
Regio
11
se verifica com inclinaco
igual
S
egra 3 A descarga a
partir
da tenso
mdxima
atingida
na regra
2
ponto
J,
se e f e tua com inclinao
igual a
da Regio
I
a t
atingir
tenso de sinal oposto.
tenso
3.
f definida pelo ponto de interseco
d r e t a
anterior
1
com a
curva correspondente
equao
2.11),
conforme a
figura 2 6 O
trecho
curvo, que se segue
a
partir
da
ten-
so
f
tem
a equao
1
onde o sinal
positivo corresponde
h
tenses de trao e
FIGURA 2 6
-
Ponto d e i n t e r s e o
correspondente a
tenso f
tenso
f
calculada com a
deformao
igual
1
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
25/93
0 00065. Para os aos com tenso de escoamento
diferentes multiplica-se o
coeficiente
6 895 d
L
equao 12-11] par f 363 N/mm 1
Y
Regra
4 .
A
recarga
partir
d
t e n s o
atingida
na
regra
3
se
tenso
f no foi atingida origina uma reta com inclina-
1
o correspondente
o
mddula
de
deformao
longitudinal
a t
h tenso mdxima neste c i c l o retomando
curva
sm
de
carga
anterior. e for
atingida tenso
f .
a
recarga passa
a ser controlada de
forma
semelhante a
regra 3
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
26/93
3 .
MODELOS HISTERgTTCOS P R
SECOES DE VIGA
EM
CONCRETO
ARMADO
3 - 1 -
Generalidades
-------------
predio do comportamento d e vigas
d e
concreto
armado, submetidas
a
carregamento cfclic muito importante
coma
ponto
e
partida
para
estudo da
resposta
dinamita
d e
estruturas d e concreto
armado
solicitadas por
aes de
vento
sismo
ou
impacto.
Este
problema
extremamente
complicado
por
diversos
fatores
que o influenciam tais
como abertura e
fechamento e fissuras
variaes na aderncia
entre o
concreto e
o
ao flu?ncia do concreto efeito
de
Bauschinger
no
ao
h i s t d r i a
d e carga,
laos de h i s t e r e s e
e
plastificao local.
s
cargas
consideradas ne s te
capitulo
variam apenas
quase-estaticamente
e s e r o
descritos modelos
hlstergticos
para
elementos d e
viga de
concreto
armado obtendo-se as
r e s p o s t a s
em
termos d e
resultantes d e
tenses
e
deformaes generalizadas
So
apresentados
modelos larninares
com as diferentes
relaes
tenso-deformao para o
a o e o concreto
descritos
o
capitulo
anterior
sendo
tambgrn
proposto
um
diagrama momento-curvatura
simplificada.
Posteriormente compara-se
os
resu l tados analiticos des t es
modelos
com as respostas experimentais
de ensaios
em
visas
de
conc r e t o
armado submetida a carga e descarga.
3 . 2 - Modelos Larninares
---- ------------
3.2.1 - Procedimento para
obteno
dos diagramas
-------- ----I-----------------------
momento-curvatura.
Considerando como
exemplo tipico
uma
viga em flexo
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
27/93
carregada no
seu
plano de simetria, cuja
seso
transversal
simtrica
mostra-se
na figura 3 1 e onde por
simplicidade,
adotou-se seo
retangular.
Assumem-se
as seguintes
hipdteses:
1) A formula30
estd
inserida no marco da MecBnlca
do
continuo.
Desta
forma
os
efeitos
da
fissurao,
escorregamento
d
armadura e d e toda
qualquer
f on t e
localizada
de descontinuidade do campo de deslocamentos
consideram-se dispersas
em orma continua
nas vizinhanas
d a zona afetada, de
modo
que as deformaes generalizadas
dias
so
comgatfveis e continuas.
Deste
modo o eixo
mdio, originalmente
reto, se
deforma
segundo um curva
que
verifica
as
condies de
i n t regab i
dade .
11
As
sees
transversais planas
permanecem planas e normais
o eixo deformado apds a deformao;
TII)
A uma distacia do baricentro
da
seo
transversal,
as deformacies lonuidutinais
das
armaduras so iguais
s
deforma~es ongitudinais m6dias do concreto circundante.
IV) A formulao fica restrita aes de curta durao, no
sendo
levados em considera30 fluencia, retrao
e
fontes
de auto-defornaso;
V
Ae
deformaes transversais
foram desprezadas.
FIGURA
3.1
Discretizao d
seo
transversal
d
visa
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
28/93
A Elexo ocorre no
plano de simetria
x-z sendo
que o
eixo x s
situa na
direo
longitudinal
a
s o transversal
subdividida
na
direo z conforme a
figura
3 . 1 em camadas
l i 1,2, ..... n de r e a A coorden d s
centrais,
z
si
ci
referidas ao baricentro d a seao de concreto. Os niveis das
camadas de armadura longitudinal so deno t ado s por
z
sj
j = 1,2, . . . . .
n: .
A drea da seco transversal da
rm dur
6 definida por A
sj
De acordo com
a higdtese I, as deformaes normais
longitudinais, E em
cada
c m d podem
s r
calculadas
a
partir
X
do conhecimento da deformao E
no
baricentro d a s o trans-
g
versal
da
viga
-ponto
G da
figura
3 . 1
da curvatura m d i a
gela expresso
onde = coordenada baricentrica do nivel considerado.
As tenses n s camadas d e concreto de
rm dur
so
calculadas atraves das deformases normais, obti das anteriormen-
te, e das relaes tenso-deformao assumidas.
A distribui~o de
tenses
longitudinais, na seo
normal, pode s e r reduzida h um sistema estaticamente equivalente
de soliciiaes internas, N -M que depende do centro d e reduo .
Tomando
como centro
o
Ponto G em
termos
as eforma6es
generalizadas
E
x
resultam
os valores
da resultante N
aplicada em 1 momento do bindrio associado
M
dados
por
N = Z A a E , x + ~ b .. o E , x
sj
s j i i c i
g
j l
i l
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
29/93
onde
u tenso normal
nas
camadas
de
armadura;
s
b =
largura
da camada
de
concreto; h =
espessura
ra
da
camada
de
concreto;
= tenso normal
na camada de
C
concreto; drea
d a armadura
na camada
j; z
= coordenada
~j
sj
central da armadura; z = coordenada central das
camadas
de
c1
concreto
Devido ao
acoplamento
funcional das varidveis cinemdti-
cas
E
X
com as
ffsicas M-N. decorrente da no-linearidade das
euuasoes
constitutivas os diagramas
momento-curvatura alm de
dependerem
do
centro de
reduo se apresentam na
forma de uma
familia
de curvas onde cada
componente
corresponde
a
um nvel
constante
de esforo normal. Em
particular
no caso de peas
submetidas
a
flexo simples
e
N - O
Para
a obteno
dos
diagramas momento-curvatura aplica-
s
um
processo
comgutacional
do tipo
incremental-iterativo
conforme
as figuras
3 2
3 . 3 partindo
do
estado
natural
onde
as deformaaes
generalizadas
e resultantes de t en se s so nulas.
Nos modelos
larninares
o se
adota
nenhuma
limitao para as deformaes
dltimas
do concreto
e
do
ao
ruptura
determinada gela instabilidade
numgrica
que
acorre
no
processo iterativo.
-
7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico
30/93
Entrado e
D o d o s
mcreioento
nu
Curvatura
Arb i t ra se u Valor paro
a
Defor rnacdo
Colculo ia uma novo
\
FIGURA 3 2
ia
rama e bloco
do modelo
laminar para o
emento d e v i g a
Gdlculo
doa Qeformaes
e fmnies
Normais