Nükleer ve Parçacık Fiziği’nde Monte Carlo Nükleer ve Parçacık Fiziği’nde Monte Carlo Uygulamaları Bahar OkuluUygulamaları Bahar Okulu

Kaynak TanımlamalarıKaynak Tanımlamaları

•Temel Monte Carlo İlkesi•Reddetme Yöntemi•Beta Parçacığı Enerjisinin Örneklenmesi•Nokta Kaynak•Yüzey Dağılımlı Kaynak•Hacim Dağılımlı Kaynak

Doç.Dr.Sezai YALÇIN

Monte Carlo YöntemiMonte Carlo Yöntemi Monte Carlo yöntemi, rastgele ard arda gelen sayıları ve Monte Carlo yöntemi, rastgele ard arda gelen sayıları ve

istatistiksel teknikleri kullanarak bir deneyi veya olayı istatistiksel teknikleri kullanarak bir deneyi veya olayı sayısal olarak taklit etmektir.sayısal olarak taklit etmektir.

Benzetişim olarak ta adlandırılan bu yöntemle bir deney Benzetişim olarak ta adlandırılan bu yöntemle bir deney veya olay bilgisayar ortamında idealize edilir ve istenilen veya olay bilgisayar ortamında idealize edilir ve istenilen değerler hesaplanır.değerler hesaplanır.

Fizikte kuramsal araştırmaların pek çoğu Monte Carlo Fizikte kuramsal araştırmaların pek çoğu Monte Carlo yöntemi kullanılarak yapılmıştır. yöntemi kullanılarak yapılmıştır.

Yapılan araştırmalar, klasik yaklaşım uygulandığında çok Yapılan araştırmalar, klasik yaklaşım uygulandığında çok karmaşık olan problemlerin çözümü için Monte Carlo karmaşık olan problemlerin çözümü için Monte Carlo yönteminin çok güçlü bir teknik olduğunu göstermiştir. yönteminin çok güçlü bir teknik olduğunu göstermiştir.

Problem analitik olarak hesaplanamayacak kadar karmaşık Problem analitik olarak hesaplanamayacak kadar karmaşık sistemler içeriyorsa, sistemdeki rastgelelik ve olaya art arda sistemler içeriyorsa, sistemdeki rastgelelik ve olaya art arda birçok farklı fiziksel olgunun karışması söz konusu ise, bu birçok farklı fiziksel olgunun karışması söz konusu ise, bu durumda probleme kuramsal yaklaşım yalnızca Monte Carlo durumda probleme kuramsal yaklaşım yalnızca Monte Carlo yöntemi ile mümkündür. yöntemi ile mümkündür.

Bir problemin çözümünde, probleme katılan her fiziksel Bir problemin çözümünde, probleme katılan her fiziksel olguya ilişkin olasılık yasaları biliniyorsa, her olayın katkısı olguya ilişkin olasılık yasaları biliniyorsa, her olayın katkısı Monte Carlo örnekleme teknikleri kullanılarak hesaplanıp Monte Carlo örnekleme teknikleri kullanılarak hesaplanıp istenen sonuçlar elde edilir.istenen sonuçlar elde edilir.

Tarihsel olarak Monte Carlo yöntemi kullanılarak yapılan ilk Tarihsel olarak Monte Carlo yöntemi kullanılarak yapılan ilk büyük ölçekli hesaplamalar nötron saçılma ve soğurma büyük ölçekli hesaplamalar nötron saçılma ve soğurma çalışmalarıdır. çalışmalarıdır.

Günümüzde modern bilgisayarların gelişimi ile Monte Carlo Günümüzde modern bilgisayarların gelişimi ile Monte Carlo yöntemi fiziğin hemen hemen tüm dallarında geniş yöntemi fiziğin hemen hemen tüm dallarında geniş uygulamauygulama alanı bulmuştur alanı bulmuştur

Temel Monte Carlo İlkesiTemel Monte Carlo İlkesi Bir deney veya ölçme bir olay olarak tanımlanabilir.Bir deney veya ölçme bir olay olarak tanımlanabilir.

Bir olayın belli olasılıklarla ortaya çıkan çeşitli sonuçları Bir olayın belli olasılıklarla ortaya çıkan çeşitli sonuçları vardır. vardır.

Bu sonuçların her biri de bir olay olarak görülebilir.Bu sonuçların her biri de bir olay olarak görülebilir.

Örneğin, elektronun bir ortamla etkileşmesi bir olay, bu Örneğin, elektronun bir ortamla etkileşmesi bir olay, bu olayın sonuçlarından olan elastik saçılma, inelastik saçılma, olayın sonuçlarından olan elastik saçılma, inelastik saçılma, bremsstrahlung da birer olaydır.bremsstrahlung da birer olaydır.

Örnek olarak, elastik saçılmada elektronun belli bir Örnek olarak, elastik saçılmada elektronun belli bir açısına saçılması elastik saçılma olayının bir sonucudur.açısına saçılması elastik saçılma olayının bir sonucudur.

Bir olayda n tane sonuç ortaya çıkmış olsun. Bir olayda n tane sonuç ortaya çıkmış olsun.

Sonuçların ortaya çıkma olasılıkları p1, p2, ......, pn olsun.Sonuçların ortaya çıkma olasılıkları p1, p2, ......, pn olsun.

Gelişigüzel sayılar kullanarak bu olayı taklit etmek Gelişigüzel sayılar kullanarak bu olayı taklit etmek isteyelim. isteyelim.

0 ile 1 arasında değer alan gelişigüzel sayı(q) ekseni Şekil 1 0 ile 1 arasında değer alan gelişigüzel sayı(q) ekseni Şekil 1 de görüldüğü gibi n tane bölgeye ayrılabilir.de görüldüğü gibi n tane bölgeye ayrılabilir.

Her bir bölgenin genişliği, o sonucun ortaya çıkma olasılığı Her bir bölgenin genişliği, o sonucun ortaya çıkma olasılığı kadar olsun. kadar olsun.

0 p1 p1+p2 p1+p2+p3 p1+p2+..+pn 1

1. Sonuç Bölgesi

2. Sonuç Bölgesi

3. Sonuç Bölgesi

………………

n. Sonuç Bölgesi

Şekil 1. Gelişigüzel sayı ekseninin n tane sonuç bölgesine ayrılması

Şekil 1 de sonuç bölgelerine ayrılmış gelişigüzel sayı ekseni Şekil 1 de sonuç bölgelerine ayrılmış gelişigüzel sayı ekseni üzerindeüzerinde

p1 olasılıkla belirlenen miktarı 1. sonuç,p1 olasılıkla belirlenen miktarı 1. sonuç,

p2 olasılıkla belirlenen miktarı 2. sonuç,p2 olasılıkla belirlenen miktarı 2. sonuç,

pn ile belirlenen miktarı n. sonuç olarak pn ile belirlenen miktarı n. sonuç olarak ayrılmış olur.ayrılmış olur.

Türetilen gelişigüzel bir sayı(q) hangi sonuç bölgesine Türetilen gelişigüzel bir sayı(q) hangi sonuç bölgesine düşmüşse o sonucun meydana geldiği kabul edilir. Bir düşmüşse o sonucun meydana geldiği kabul edilir. Bir başka deyişle,başka deyişle,

0 < q < p1 ise 1. sonuç,0 < q < p1 ise 1. sonuç,

p1 < q < p1+p2 ise 2. sonuç,p1 < q < p1+p2 ise 2. sonuç,

p1+p2+ ...+pn-1 < q < pn ise n. Sonuçp1+p2+ ...+pn-1 < q < pn ise n. Sonuç

meydana geldiği kabul edilir.meydana geldiği kabul edilir.

Belirli bir deneyde(olayda) x sonucunun a Belirli bir deneyde(olayda) x sonucunun a x x b aralığında b aralığında sürekli değerler aldığını ve ard arda ölçümlerde çeşitli x sürekli değerler aldığını ve ard arda ölçümlerde çeşitli x değerlerinin ölçülme sıklık fonksiyonunun F(x) olduğunu değerlerinin ölçülme sıklık fonksiyonunun F(x) olduğunu kabul edelim.kabul edelim.

Monte Carlo yönteminin temel ilkesi 0-1 aralığında eşit Monte Carlo yönteminin temel ilkesi 0-1 aralığında eşit olasılıklarla sürekli değerler alan q sayılarını kullanarak eşit olasılıklarla sürekli değerler alan q sayılarını kullanarak eşit olmayan olasılıklarla a-b arasında değerler alan x sayılarını olmayan olasılıklarla a-b arasında değerler alan x sayılarını türetmektir. türetmektir.

Olayda sonucun x ile x+dx arasında olma olasılığı,Olayda sonucun x ile x+dx arasında olma olasılığı,

b

a

dx)x(F

dx)x(Fdx)x(p

olur. Burada p(x) fonksiyonuna “Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu” olur. Burada p(x) fonksiyonuna “Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu” denir.denir.

(1)

şeklinde tanımlanır.şeklinde tanımlanır.

Bu “toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu” monoton artan Bu “toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu” monoton artan bir fonksiyondur ve P(x) fonksiyonu 0-1 aralığında bir fonksiyondur ve P(x) fonksiyonu 0-1 aralığında gelişigüzel değerler alır gelişigüzel değerler alır

P(a)=0 , P(b)=1 ’dir.P(a)=0 , P(b)=1 ’dir.

Olasılık yoğunluk fonksiyonuOlasılık yoğunluk fonksiyonu

b

a

1dx)x(p (2)

özelliğine sahiptir ve olasılıkların toplamının bire eşit olması koşulunu özelliğine sahiptir ve olasılıkların toplamının bire eşit olması koşulunu sağlar.sağlar.

“ “Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu” veya “olasılık dağılım Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu” veya “olasılık dağılım fonksiyonu”,fonksiyonu”,

x

a

xd)x(p)x(P (3)

q, 0-1 arasında düzgün dağılımlı gelişigüzel sayı q, 0-1 arasında düzgün dağılımlı gelişigüzel sayı olarak tanımlandığına göre P(x)’in değerleri q olarak tanımlandığına göre P(x)’in değerleri q değişkenine eşitlenebilir.değişkenine eşitlenebilir.

P(x) = qP(x) = q (4) (4)

ifadesinin tersine çözümü ifadesinin tersine çözümü

x=Px=P-1-1(q)(q) (5) (5)

ifadesini verir. ifadesini verir.

Böylece 0-1 arasında düzgün dağılımlı q değerleri Böylece 0-1 arasında düzgün dağılımlı q değerleri kullanılarak a-b arasında F(x) dağılımlı x değerleri kullanılarak a-b arasında F(x) dağılımlı x değerleri elde edilir.elde edilir.

Reddetme YöntemiReddetme Yöntemi Temel Monte Carlo İlkesi Eşitlik (3) ün integralinin analitik Temel Monte Carlo İlkesi Eşitlik (3) ün integralinin analitik

olarak alınabildiği ve bulunan ifadenin tersine çözümünün olarak alınabildiği ve bulunan ifadenin tersine çözümünün analitik olarak yapılabildiği durumlarda kullanılabilir.analitik olarak yapılabildiği durumlarda kullanılabilir.

Bu koşullar sağlanamadığı zaman “reddetme yöntemi” Bu koşullar sağlanamadığı zaman “reddetme yöntemi” kullanılır.kullanılır.

Reddetme yöntemi, Temel Monte Carlo İlkesi uygulanabilen Reddetme yöntemi, Temel Monte Carlo İlkesi uygulanabilen bir fonksiyon yardımıyla Temel Monte Carlo İlkesi bir fonksiyon yardımıyla Temel Monte Carlo İlkesi uygulanamayan bir fonksiyonun dağılımının uygulanamayan bir fonksiyonun dağılımının örneklenmesidir. örneklenmesidir.

0 0 x x a aralığında N(x) sıklık fonksiyonu ile belirlenen bir a aralığında N(x) sıklık fonksiyonu ile belirlenen bir olay reddetme yöntemi kullanılarak örneklenirse c bir sabit olay reddetme yöntemi kullanılarak örneklenirse c bir sabit olmak üzere olmak üzere

M(x)=c (6)M(x)=c (6)

dağılımından yararlanılır. Temsili N(x) ve M(x) = c dağılımından yararlanılır. Temsili N(x) ve M(x) = c dağılımları Şekil 2 görüldüğü gibi olsun. dağılımları Şekil 2 görüldüğü gibi olsun.

M(x) = c

N(x)

a 0

sıklık

x x

M(x)

N(x)

c

0

Şekil 2. Reddetme yöntemi ile örneklenecek N(x) dağılımı ve M(x) düzgün dağılımı.

a

dx

ca

cdx

dxc

cdx

dxxM

dxxMdxxp aa

00

)(

)()(

M(x)=c dağılımına Temel Monte Carlo İlkesi uygulanırsa, olasılık M(x)=c dağılımına Temel Monte Carlo İlkesi uygulanırsa, olasılık

yoğunluk fonksiyonuyoğunluk fonksiyonu

(6)

qa

x

a

xdxdxpxP

xx

00

)()(

q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere;

x = a q

ifadesi bulunur. Böylece 0 ile a arasında x türetilmiş olur.

Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu

(7)

(8)

Örneklenen x değerinin sıklığı M(x)=c ‘dir.Örneklenen x değerinin sıklığı M(x)=c ‘dir.

Bu sıklığın N(x) olma olasılığıBu sıklığın N(x) olma olasılığı

N(x)/M(x) dir.N(x)/M(x) dir.

Elde edilen x değerinin kabul edilmesi için ikinci bir q sayısı Elde edilen x değerinin kabul edilmesi için ikinci bir q sayısı türetilerektüretilerek

)x(M

)x(Nq

koşuluna bakılır. Koşul sağlanıyorsa x değeri kabul edilir, koşul sağlanmıyorsa yeni bir x değeri türetilerek işlem tekrarlanır.

Böylece Şekil 2 de görüldüğü gibi M(x)=c dağılımının örneklenmesiyle elde edilen düzgün dağılımlı x değerlerinden, x ekseni ile N(x) arasında kalanları kabul edilip, diğerleri reddedilerek N(x) dağılımlı x değerleri elde edilmiş olur.

(8)

Örnek:Beta(Örnek:Beta(--) parçacıklarının ) parçacıklarının enerji dağılımlarının örneklenmesienerji dağılımlarının örneklenmesi

Beta parçalanmasında nükleer parçalanma Beta parçalanmasında nükleer parçalanma enerjisi, beta parçacığı, geri tepen ürün çekirdek enerjisi, beta parçacığı, geri tepen ürün çekirdek ve nötrino veya antinötrino arasında paylaşılır.ve nötrino veya antinötrino arasında paylaşılır.

Bu durumda beta parçacıkları enerjileriBu durumda beta parçacıkları enerjileri E = 0 dan bir maksimum enerji değeriE = 0 dan bir maksimum enerji değeri E = Em ye kadar sürekli bir enerji spektrumuna E = Em ye kadar sürekli bir enerji spektrumuna

sahiptirler. sahiptirler.

Bu nedenle bir radyoaktif kaynaktan beta Bu nedenle bir radyoaktif kaynaktan beta parçacığı yayınlanırsa enerjisinin örneklenmesi parçacığı yayınlanırsa enerjisinin örneklenmesi gerekir.gerekir.

Bu spektrumun kuantum mekaniksel teorisi Fermi tarafından Bu spektrumun kuantum mekaniksel teorisi Fermi tarafından geliştirilmiştirgeliştirilmiştir..

WdWWWWWZFPdWWN 20

2/120

2)()1(),()/()( (9)

Burada Burada

W = (E/mW = (E/m00 c c22) +1 (10)) +1 (10)

E enerjili beta parçacığının, elektronun durgun kütle enerjisi E enerjili beta parçacığının, elektronun durgun kütle enerjisi biriminde toplam enerjisi,biriminde toplam enerjisi,

WW00 = (E = (Emm/m/m00 c c22) +1 (11)) +1 (11)

elektronun durgun kütle enerjisi biriminde maksimum toplam elektronun durgun kütle enerjisi biriminde maksimum toplam enerjisi,enerjisi,

PP22 geçiş için matris elemanının karesi geçiş için matris elemanının karesi

00 zaman sabiti zaman sabiti

F(Z,W) F(Z,W) -- veya veya ++ ya bağlı ve nükleer yarıçap, nükleer yük, ya bağlı ve nükleer yarıçap, nükleer yük, enerjisini içeren karmaşık, boyutsuz bir fonksiyondur.enerjisini içeren karmaşık, boyutsuz bir fonksiyondur.

N(W) dW ise W ile W+dW enerji aralığındaki beta N(W) dW ise W ile W+dW enerji aralığındaki beta parçacıklarının sayısıdır.parçacıklarının sayısıdır.

Fermi fonksiyonu F(Z,W) için yaklaşık bir ifade - için Konopinski (1966) tarafından verilmiştir:

( P2 / 0 ) F(Z,W) = f Z c / v (12)

Burada f bir sabit, Z ürün çekirdeğin atom numarası, v, - nin hızıdır. Işık hızı biriminde elektronun hızı(=v/c) W ya bağlı olarak

= (W2-1)1/2 / W (13)

şeklinde yazılabilir. Eşitlik (9),(12),(13) birlikte değerlendirildiğinde,

N(W) = f Z (W0-W)2 W2 (14)

ifadesi elde edilir. Eşitlik (14) ile verilen ifade W=W0/2 de maksimum değer alır.Eşitlik (14) Dağılımın maksimum değeri Nm=N(W0/2) bölünerek 1’ e normalize

edilmiş enerji dağılımı ifadesi,

2

0

2

0 W

W1

W

W16)W(N

(15)

elde edilir.

Nm =1

N(E)

Em 0

N(E)

E E

Nm

N(E)

1

0

Normalize edilmiş dağılımın maksimum değeri Nm=1 dir Beta parçacığının kinetik enerjisi. 0 ile Em arasında q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere

E=q Em (16)

eşitliğiyle örneklenir. Örneklenen E değeri Eşitlik (10) da yerine konularak W değeri hesaplanır ve Eşitlik (15) ten N(W) bulunur. Yeni bir q sayısı çekilerek

q N(E) /Nm (17)

koşuluna bakılır.Koşul sağlanırsa örneklenen E enerjisi kabul edilir koşul sağlanmazsa reddedilir ve işlem yinelenir.

Şekil 3. Reddetme yöntemi ile beta parçacığının enerji dağılımının örneklenmesi

Tl-204 den yayınlanan Em=766 keV enerjili beta parçacıklarının enerji dağılımı

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Aralık No

N(b

eta

parç

acığ

ı say

ısı)

Şekil 4. Beta parçacıklarının Monte Carlo Yöntemi ile elde edilen enerji dağılımı.

Şekil 5. Nokta kaynak-detektör düzeneği

İzotropik bir nokta kaynaktan İzotropik bir nokta kaynaktan yayınlanan bir radyasyon yayınlanan bir radyasyon ışınlarının yayınlanma doğrultusu ışınlarının yayınlanma doğrultusu kutup açısı kutup açısı ve azimut açısı ve azimut açısı ile ile belirlenir.belirlenir.

Bir X,Y,Z koordinat sisteminin başlangıç noktasında bulunan bir nokta kaynak için ve ve açısının

örneklenmesi gerekir.

Nokta kaynakNokta kaynak

Detektör

Z

X

YNokta kaynak

D

Rd (x2+y2)1/2

(x,y,z)

L0

Nokta kaynaktan detektöre yada incelenecek ortama 2 katı açısı içine yönelen radyasyonun yayınlanma doğrultusu örneklenecekse simetri özelliği gözönüne alındığında açısı 00 ile 900 arasında değişir. Böylece , 00 ile 900 arasında örneklenmelidir.

’nın 00 ile 900 arasında örneklenmesi

d

x

y açısına Temel Monte Carlo ilkesi uygulanırsa;

90)( 90

0

d

d

ddp

qddpP

9090

1)()(

00

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Olasılık dağılım fonksiyonu

90.q

Aynı yöntemle 00 ile 1800 arasında =180.q 00 ile 3600 arasında =360.q olarak örneklenebilir.

Gelişigüzel Sayı Dağılımı

0,85

0,9

0,95

1

0,0-0,1 0,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8 0,8-0,9 0,9-1,0

q (0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı)

1' e

nor

mal

ize

edilm

iş s

ıklık

n=10000

n=100000

n=1000000

Şekil 6. 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı(q) dağılımı

0-900 arasında örneklenen açısı dağılımı

0,85

0,9

0,95

1

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

(0-900)

1' e

nor

mal

ize

edilm

iş s

ıklık

n=10000

n=100000

n=1000000

Şekil 7. 0 ile 900 arasında açısı dağılımı

Azimut açısı ’nin 0 ile 2 arasında örneklenmesi

İzotropik nokta kaynak için yayınlanan radyasyonun açısına göre dağılımları

düzgündür ve açısı 00 ile 3600 arasında eşit olasılığa sahiptir. Bu nedenle açısı

= q.360

eşitliği ile örneklenir.

Radyasyon ışınının ortama girme noktasının belirlenmesi

Yukarıdaki örnekte ortamın yada detektörün bulunduğu kısma yönelen radyasyonun doğrultman kosinüsleri =sin cos

=sin sin =cos D kaynak-ortam arasındaki uzaklık olmak üzere kaynakla ortama girme noktası arasındaki uzaklık L0=D/ Radyasyonun ortama varış noktasının koordinatları x=L0 , y=L0 , z=L0 ile hesaplanır.Eğer ortam Rd yarıçaplı bir detektör ise

(x2+y2)1/2<Rd koşuluna bakılır.

Koşul sağlanmışsa radyasyonun ortama girdiği kabul edilir ve ortamda takip edilir, sağlanmamışsa yeni bir ışın doğrultusu örneklenir.

Yukarıdaki örnekte ortamın yada detektörün bulunduğu kısma yönelen radyasyonun doğrultman kosinüsleri =sin cos

=sin sin =cos D kaynak-ortam arasındaki uzaklık olmak üzere kaynakla ortama girme noktası arasındaki uzaklık L0=D/ Radyasyonun ortama varış noktasının koordinatları x=L0 , y=L0 , z=L0 ile hesaplanır.Eğer ortam Rd yarıçaplı bir detektör ise

(x2+y2)1/2<Rd koşuluna bakılır.

Koşul sağlanmışsa radyasyonun ortama girdiği kabul edilir ve ortamda takip edilir, sağlanmamışsa yeni bir ışın doğrultusu örneklenir.

Detektör

Z

X

YNokta kaynak

D

Rd

(x2+y2)1/2

(x,y,z)

L0

Şekil 8. Disk kaynak-detektör düzeneği

Radyasyonun düz bir yüzey üzerinde homojen olarak dağılmış noktalardan yayınlandığı kabul edilen kaynak yüzey dağılımlı kaynak olarak tanımlanabilir.

Uygulamada en yaygın olarak kullanılan yüzey dağılımlı kaynaklar disk şeklindeki kaynaklardır.

Radyasyonun düz bir yüzey üzerinde homojen olarak dağılmış noktalardan yayınlandığı kabul edilen kaynak yüzey dağılımlı kaynak olarak tanımlanabilir.

Uygulamada en yaygın olarak kullanılan yüzey dağılımlı kaynaklar disk şeklindeki kaynaklardır.

Yüzey Dağılımlı KaynakYüzey Dağılımlı Kaynak

Detektör

Z

X

YDisk kaynak

Rd

D

ra

(Xa, Ya, Za)

Rk

(x, y, z)

Disk şeklinde yüzeysel kaynaktan radyasyon ışınlarının Disk şeklinde yüzeysel kaynaktan radyasyon ışınlarının yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu iki farklı yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu iki farklı yaklaşımla belirlenebilir.yaklaşımla belirlenebilir.

1. Yaklaşım1. Yaklaşım

Radyal olarak simetrik disk kaynakta kaynağın tüm alanını göz önüne almaya gerek yoktur. Çünkü simetri ekseninden yayınlanma noktasına çizilen herhangi bir doğru parçası, simetri ekseninden aynı uzaklıktaki tüm doğru parçaları ile aynı geometriye sahip olduğundan bir tanesini göz önüne almak yeterli olacaktır. Böylece iki boyutlu kaynak tek boyuta indirgenmiş olur.Bu doğru parçası üzerindeki aktivite düzgün olarak(eşit) dağılmıştır. Herhangi bir yayınlanma noktası simetri ekseninden ra uzaklığı ile tanımlanabilir.

ra

Rk

Şekil 9. Disk kaynak

Rk kaynak yarıçapı,

q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere

ra nın değeri 0 ile Rk arasında

Temel Monte Carlo ilkesi uygulandığında,

kR R

dr

dr

drdrrp

k

0

)(q

R

rdr

RdrrpP

k

a

r

k

r a

00

1)()(

ka Rqr . Eşitliği ile örneklenir.

Şekil 10. Disk kaynaktan radyasyonun yayınlanma doğrultusunun örneklenmesi

ra

D

ra

rrp

Detektör

KaynakkR

Rd

X

Y

Z

ra

D

ra

rrp

kR

X

Y

ZKaynaktan yayınlanan ışınların detektörün bulunduğu yöne yönelenleri(yani 2 katı açısına yönelenler) örneklenecekse açısı 00 ile 900 arasında olacaktır. Böylece açısı

090.q eşitliği ile örneklenir.

Verilen bir D değeri için (kaynak-detektör uzaklığı) yayınlanan ışınların tüm mümkün doğrultuları 2 tepe açılı koninin tabanının çevresiyle belirlenir. Işının doğrultusu koninin simetri ekseni çevresinde açısıyla belirlenir. açısı 00 ile 3600 arasında eşit olasılığa sahiptir. Böylece açısı

0360.q eşitliği ile örneklenir.

2 tepe açılı koninin tabanının yarıçapı

tan.Dr eşitliği ile hesaplanır.

ra

D

ra

rrp

kR

X

Y

ZIşının doğrultusunun detektörün ön yüzeyinden geçen düzlemle kesiştiği noktanın kaynak-detektör simetri ekseninden (Z ekseni) uzaklığı rp ,

cos...222 rrrrr aap

Rd

Eğer dp Rr ise

Işın detektöre ön yüzeyinden girecektir ve ışın detektör içinde izlenecektir.Koşul sağlanmazsa yeni bir ışın belirlemek için işlem tekrar edilir.

eşitliği ile hesaplanır.

Rk

ra

dr x

y

Şekil 11. Disk kaynak

2. Yaklaşım2. YaklaşımDisk kaynak, radyal olarak simetrik, radyasyon ışınlarının homojen olarak dağılmış noktalardan yayınlanabildiği Rk

yarıçaplı kalınlıksız düz yüzey olarak kabul edilir.

Disk kaynaktan yayınlanan ışınların yayınlanma noktası, simetri noktasından olan ra uzaklığı ve açısı ile tanımlanabilir.

Bu yaklaşımda kaynak yüzey alanı göz önüne alınır.

2

2

kR

drr

Belli bir r değeri gelme olasılığı= Rk

ra

dr x

y

Olasılık yoğunluk fonksiyonu= 2

kR

drr2dr)r(p

Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu= 2k

2a

2k

r

0

R

r

R

rdr2q

a

qRr ka

olur.

Buradan ra yarıçapı eşitliği ile örneklenir.

Disk kaynak yüzeyi üzerinde ışının yayınlanma noktasının koordinatlarının belirlenmesi için açısının da örneklenmesi gerekir. açısı 00 ile 3600 arasında eşit olasılığa sahiptir ve düzgün dağılımlıdır. Böylece ,

0360.q eşitliği ile örneklenir.

Disk kaynaktan yayınlanan ışının yayınlanma noktasının koordinatları,

Xa= ra cos

Ya= ra sin

Za=0

olur. 1-Eğer 2 katı açısı içinde detektöre yönelen ışınlar göz önüne alınırsa (Xa, Ya, Za) noktasından yayınlananIşınların doğrultusu nokta kaynakta olduğu gibi örneklenir.

090.q 0360.q

Doğrultman kosinüsleri =sin cos =sin sin =cos belirlenir.

Detektör

Z

X

YDisk kaynak

Rd

D

ra

(Xa, Ya, Za)

Rk

(x, y, z)

Detektörün ön yüzeyinden geçen düzlemle kaynak arasındaki uzaklık

cos0

DL eşitliği ile belirlenir.

Işının detektör ön yüzeyinden geçen düzlem üzerine varış noktasının koordinatları

x=Xa+ L0 , y=Ya+ L0 , z=Za+ L0

eşitlikleriyle hesaplanır. Varış noktasının simetri eksenine(z ekseni) uzaklığı rp =(x2+y2)1/2 ile hesaplanır.

Eğer rp < Rd ise ışın detektöre girecektir. Koşul sağlanmıyorsa yeni bir ışının doğrultusunu örneklemek için işlem tekrarlanacaktır.

Detektör

Z

X

YDisk kaynak

Rd

D

ra

(Xa, Ya, Za)

Rk

(x, y, z)

L0

rp

2-Eğer tüm uzaya 4 katı açısı içine yönelen ışınlar göz önüne alınırsa açısı 00 ile 1800 arasında açısı 00 ile 3600 arasında örneklenmesi gerekir. Hesaplamalarda cos değeri kullanıldığından doğrudan cos değeri örneklenebilir.

00 ile 1800 arasında cos nın örneklenmesi

d=sin d d birim katı açı ifadesine Temel Monte Carlo İlkesi uygulanırsa

4

sin2

sin

sin0

2

0 0

2

0 0

d

dd

dd

d

d

q

uzaytüm

0

dsin2

1q

0

)cos(2

1q

)cos1(2

1q q.21cos

açısı 00 ile 900 arasında ise ışın detektörün bulunduğu 2 katı açısı içine yönelmiş demektir, aksi halde detektörün bulunmadığı 2 katı açısı içine yönelmiş olur.

İki yaklaşımın karşılaştırılmasıİki yaklaşımın karşılaştırılması

Disk kaynakta örneklenen yarıçap dağılımı

0100002000030000400005000060000700008000090000

100000

r (yarıçap aralığı)

N1.yöntem

2.yöntem

Şekil 12. Disk kaynakta örneklenen yarıçap dağılımı

Hacim Dağılımlı Kaynak

Uygulamada kullanılan hacim dağılımlı kaynaklar genellikle silindir biçimli kaynaklardır.

A-Silindirik Kaynak

Silindirik kaynak h yüksekliğinde Rk yarıçaplı ve koordinat sisteminin başlangıç noktası şekildeki gibi seçilmiş olsun

X

Y

Z

h

Rk

Silindirik kaynaktan radyasyonun yayınlanma noktasının koordinatları ve yayınlanma doğrultusunun örneklenmesi için sırasıyla aşağıdaki adımlar izlenmelidir.

1- Önce 0 ile h arasında yayınlanma noktasının za koordinatı belirlenir.

qhza .

2- 0 ile Rk arasında ra yarıçapı örneklenir

qRr ka .

(x, y, z)

3- 00 ile 3600 arasında açısı örneklenir.

0360.q

X

Y

Z

h

Rk

za ra

1. Bölgede gammanın yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu silindik kaynakta olduğu gibi aşağıdaki değişkenler örneklenerek belirlenir

X

Y

Z

h

Rk

D

za ra

4- Radyasyonun yayınlanma noktasının x,y koordinatları hesaplanır.

cos.aa rx

sin.aa ry

5- Yayınlanan radyasyonun 4 katı açısı içine tüm yönelişleri örneklenecekse (xa,ya,za) noktasından yayınlanan radyasyonun kutup açısı

q.21cos

eşitliği ile örneklenir.

6- Azimut açısı 00 ile 3600 arasında örneklenir.

0360.q

(xa,ya,za)

Yayınlanan radyasyonun doğrultman kosinüsleri;

cossin

sinsin

cos

eşitlikleriyle hesaplanır.

B- Marinelli Beaker

Genellikle gamma ışınlarının deteksiyonunda kullanılan bu tür hacimsel kaynakların simülasyonunda kaynağı iki bölge halinde düşünmek yararlı olur.

Birinci bölge h2 ve h1 arasında kalan silindirik bölgedir.

İkinci bölge iç yarıçapı r1 dış yarıçapı r2 olan h1 yüksekliğindeki bölgedir.

He iki bölgede gamma ışınının yayınlanma noktasının koordinatları ve yayınlanma doğrultusu ayrı ayrı örneklenmelidir.

Y

h2

h1

r2

r1

X

Z

1

2

qhhza .21

1. Bölgede gammanın yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu silindik kaynakta olduğu gibi aşağıdaki değişkenler örneklenerek belirlenir

za koordinatı h1 ve h2 arasında örneklenir

qrra .2

0360.q

cos.aa rx

sin.aa ry

qhhza .21

Yayınlanma noktasının koordinatları hesaplanır

4 katı açı içine yayınlanma için gammanın kutup açısı örneklenir.

q.21cos Azimut açısı 00 ile 3600 arasında örneklenir.

0360.q

Yayınlanan gammanın doğrultman kosinüsleri;

cossin

sinsin

cos

eşitlikleriyle hesaplanır.

2. Bölgede gammanın yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu aşağıdaki adımlar izlenerek örneklenebilir.

qhza .1Z koordinatının örneklenmesi

r1 ve r2 arasında ra yarıçapının örneklenmesi

)(

22

12

2 rr

drr

Belli bir r değeri gelme olasılığı=

Olasılık yoğunluk fonksiyonu=)(

2)( 2

12

2 rr

drrdrrp

Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu=2

12

2

21

2

21

22 )(

21

rr

rr

rr

rdr

q a

r

r

a

21

21

22 )( rrrqra

olur.

Buradan ra yarıçapı eşitliği ile örneklenir.

r1 r2

r

dr

0360.q

cos.aa rx

sin.aa ry

qhza .1

Yayınlanma noktasının koordinatları hesaplanır.

00 ile 3600 arasında açısı örneklenir.

q.21cos

0360.q

Yayınlanan gammanın doğrultman kosinüsleri;

cossin

sinsin

cos

eşitlikleriyle hesaplanır.

4 katı açı içine yayınlanma için gammanın kutup açısı örneklenir.

Y

h2

h1

r2

r1

X

Z

1

2ra

h2

(xa,ya,za)

KAYNAKLARKAYNAKLARS. YALCIN, O. GURLER, G. KAYNAK, O. GUNDOGDUCalculation of Total Counting Efficiency of a NaI(Tl) Detector by Hybrid Monte Carlo Method for Point and Disk Sources.APPLIED RADIATION AND ISOTOPES, Vol.65, No.10, pp.1179-1186, 2007

S. YALCIN, O. GURLER, O. GUNDOGDU, G. KAYNAKMonte Carlo Simulation of Gamma-ray Total Counting Efficiency for a Phoswich detectorRADIATION MEASUREMENTS, Vol.44, No.1, pp.80-85, 2009

U. AKAR TARIM, E. N. OZMUTLU, O. GURLER, S. YALCINThe Effect of the Housing Material on the NaI(Tl) Detector Response Function JOURNAL OF RADIOANALYTICAL AND NUCLEAR CHEMISTRY, In Press, 2012

U. AKAR TARIM, O. GURLER, E. N. OZMUTLU, S. YALCIN, O. GUNDOGDU, D.A. BRADLEY, J.M. SHARAFThe Energy Spectrum of 662 keV Photons in a Water Equivalent Phantom RADIATION PHYSICS AND CHEMISTRY, In Press, 2012

ÖZMUTLU, E.N. MONTE CARLO DERS NOTLARI

ÖZMUTLU, C., ORTAOVALI, A.Z. 1976. Calculation of Total and Full Energy Peak Efficiencies of Ge(Li) and NaI(Tl) Detectors By Introducing The Mean Chord Length. Nuclear Instruments and Methods 133 149-155   SHIMIZU, R., DING ZE-JUN. 1992. Monte Carlo Modelling of Electron-Solid Interactions. Rep. Prog. Phys., Printed in the UK. 487- 531. STRACHAN C. 1969. The Theory of Beta Decay. Pergamon Press, London   ZIKOVSKY, L., CHAH, B. 1988. A Computer Program for Calculating Ge(Li) Detector Counting Efficiencies With Large Volume Samples. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A263. p.483-486

AYDIN A., 1989. Hacimli Gamma Kaynağı İçin Detektör Duyarlılığı ve Cevap Fonksiyonunun İncelenmesi. Yüksek Lisans Tezi, Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü ,(Yayınlanmamış), BURSA. 71 s.  CENGİZ, A.1991. Elektron ve - Parçacıklarının Menzil, Enerji ve Açısal Dağılımlarının Monte Carlo Yöntemiyle İncelenmesi. Doktora Tezi. Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. BURSA. 76 s.  GEMİCİ, Ö. 1991. Sonlu Ortamlarda Bir veya Daha Çok Saçılma Yapmış Gammaların Monte Carlo Yöntemiyle İzlenmesi, Doktora Tezi. Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. (Yayınlanmamış), BURSA. 116 s. HAASE, G., TAIT, D. AND WIECHEN, A. 1993. Monte Carlo Simulation of Several Gamma-emitting Source and Detector Arrangements for Determining Corrections of Self-attenuation and Coincidence Summation in Gamma-spectrometry. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A329. p.483-492  KONOPİNSKİ E.J. 1966.The Theory of Beta Radioactivity, Oxford University Press,13.