number theory.pdf

61

Upload: catrinelmariaaurora

Post on 23-Jan-2016

264 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Number Theory.pdf

����������� ������������������� ��������� �"!$#%�'&(�*)+ ���,�.-/���0$� �1����#2�3�4��506��87����1��9&

:<;9=�;?>$=�@BADC�EF=�G:HJI";LKNMPOQHJ=RMTS9U*VWSBOQI�CXMYHJK$Z�[JEDHJ=�[\H

]^;9AFH`_a=�EDb9HJKNcYEDM2d

efHJ[hgX=�EF[J;9AfiaH\I�SBKjM$kLlRm>�C�@9C�cNMonqpBrBk

s t�u%vjw'xyu%x{z}|�~y��~{��z}��vY��v*��~yz}vY����xy�1w'xyu�z%|�xy�����������'��vN������z}��v��fx{z}|�~y�'xy���q� |�vj�L� v*��~y�'�q���xhz%|�~\�T���'�qvNu��\u%xy�Jz��������9vju������J���y \ \¡h¢\¢�£q¤�¥���vN�}vf��~yz}vY���1vju%v¦~yu%|��y|��'x{�����^w�u%vjw'xyu}vY��xy�w'x{u}z�~{�Bz%��vfw9~\��z}�\u%x\�q�'xhz%v§��vY�2z%��u}vY��|��T¨¦u}z}|�©L� |ªx{�L«��Jz}vj����|��\vj�'�jvfx{�'�a��~\��w��qz}vNu1�q�j|�vN�'� v¬xhzz}��va­f��|�®yvju¯�}|°z±�`~y��²��q|��J�'��u}�\��¤a¥��'xy��³q��z}~`´¬| µ�xP�6¶¦x{��x\�¯�'x{�'��u%xy�`��~yu��j~y��®yvNu�z%|��'�$z%��v��~\��u%�jv�©'��vY�1z}~T·°¸N¥ ²�¹ |��<�`xP�$¡{ \ �º\¤

Page 2: Number Theory.pdf

»�¼1½h¾y¿JÀ�Áq¾

Â9Ã�Ä<ÅÇÆ�ÈqÉ Ê�Ë�Ì Å{É Í�ÎÐÏ ÉÈqÑ�ÒÓÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�ÄoÉaÖFÌ Ã�Ä�Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌ�Ï ÕRÅhÃqÌ ×ØÈ�Ì Å�ÒRÅ{É ËPÌjÊÐÆ�Å{Ò"Ù§Ê�ÑRÚËhÎ�Í�Ò�Ê�Ñ�Ô^Ï ÕRÅ�ÔqÌ Å{È�Ï2Å{É2ϬËPÃ�ÄoÄ<Ã�ÑoÒ�Ê�Û9Ê�É ÃqÌ{ÙqÊ�Ñ'ÛqÅhÌNÉ2Å{ÉhÙ�ÅPÜBÝ�Ã�ÑRÅ{Ñ'Ï ÊÞÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ"Ù�Ï ÕRÅ�Ï ÕRÅhÃqÌ Å{Ä`ÉÃqÖ^ßfÍ�ÎÐÅhÌ�ÈqÑ�ÒØà�ÅhÌjÄ`È�ÏhÙ�Ï ÕRÅQá*Õ�Ê�ÑRÅ{É Å�â�Å{ÄoÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä?Ù¦Ï2Å{É2Ï Ê�ÑRÔäÝ�ÌNÊ�Ä`ÈqÎ�ÊÐÏ}×qÙÏ ÕRÅ�å�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌ ÅÈqÑ�Òäæ�ÈqËPÃqÆ�Ê1É2×BÄaÆ�Ã�Î�É{Ù�ÈqÑ�Òèç�Ñ�Ò�ÊÞÑRÔoÉ é9Í�È�Ì Å$Ì ÃLÃqÏ É�Ä<ÃBÒ�Í�Î�Ã`Ý�ÌjÊ�Ä`Å{ÉÈqÑ�ÒêËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å{Éhë�ã�Õ�Ê�É�Ä`È�Ï2ÅhÌNÊ�ÈqΧÊ�É�Ê�ÑLÏ2Å{Ñ�ÒRÅ{ÒìÏ2Ã�Ý�Ì Ã\Û9Ê�Ò�ÅÈÇÖFÃ�Í�Ñ�Ò�È�Ï ÊÐÃ�ÑìÖDÃqÌ�Ï ÕRÅÉ2Ï Í�ÒR×�ÃqÖ�ËPÌ ×9Ý�Ï2ÃqÔqÌjÈ�Ý�Õ�Ê�Ë�É2×9É Ï2Å{Ä`É�Æ�ÈqÉ2Å{ÒÇÃ�Ñ�Ñ9Í�Ä$Æ�ÅhÌ�Ï Õ�ÅhÃqÌ ÅhÏ Ê�Ë�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä`ÉhëfÂ9Ã�Ä<ÅÖFÈqÄ`ÊÞÎ�Ê�È�ÌjÊÐÏ}×�í^ÊÐÏ Õ?Ï ÕRÅËPÃ�Ñ�ËPÅhÝ�Ï ÉWÃqÖ¦ÈqÑ�ÈqÎ�×9É ÊÞÉ�ÃqÖfÈqÎÐÔqÃqÌNÊÐÏ Õ�Ä`É^ÈqÑ�ÒèËPÃ�Ä`Ý�ÎÐÅPÜRÊÐÏ�×�Ï ÕRÅPÚÃqÌ ×ìÊÞÉ�ÈqÉ É Í�Ä<Å{Ò�ë�ã�Õ�ÅÑ9Í�Ä$Æ�ÅhÌWÏ Õ�ÅhÃqÌ ×èÝ�ÃqÌ Ï Ê�Ã�ÑêÊ�É�Ê�Ñ'Ï2Å{Ñ�ÒRÅ{ÒäÏ2Ã�Æ�ÅÎÞÈ�Ì ÔqÅ{ÎÐ×äÉ2Å{ÎÐÖDÚËPÃ�Ñ'Ï ÈqÊ�Ñ�Å{Ò"ë

î6ïLð ¿�ñFòX¾ ïLóõô�ï9ð ¾ ï9ö ¼ ï ¿�÷�ø�ù¬÷�ú�ú�û

ã�ÕRÅÇËPÃ�Ñ'Ï2Å{ÑLÏ<ÃqÖ�Ï Õ�Ê�É�ÛqÅhÌjÉjÊÐÃ�Ñ/ÃqÖWã�Å{ËNÕ�Ñ�Ê�ËhÈqÎ�â�ÅhÝ�ÃqÌ Ï<üJý'þäÊ�É�ÑRÅ{È�ÌjÎÐ×ÿÊÞÒRÅ{Ñ'Ï ÊÞËhÈqÎfÏ2ÃÏ Õ�È�ϦÃqÖ�Ï ÕRÅ�ÛqÅhÌjÉjÊÐÃ�Ñ<Ý�ÍRÆ�Î�Ê�É ÕRÅ{Ò�Ê�Ñ��WÍRÔ�Í�É2Ï������qü9ÙBÄ<ÃBÒ�Í�ÎÐÃ�È�ÖFÅhí Ï}×LÝ�Ã�Éhë�^Ãyí�ÅhÛqÅhÌ{ÙÏ ÕRÅ�ÖFÃqÌjÄ`È�Ï2Ï Ê�ÑRÔ$Õ�ÈqɦËjÕ�ÈqÑRÔqÅ{ÒoÊ�ÑÏ Õ�Å�ËPÃ�ÍRÌjÉ2Å�ÃqÖ�ËPÃ�ÑLÛqÅhÌjÉ Ê�Ã�Ñ`ÃqÖXÏ ÕRÅ�ÃqÌjÊÐÔ�ÊÞÑ�ÈqÎRÉ2Ã�ÍRÌjËPÅç�ÎÐÅ{É�Ï2ÃoÎÞÈ�Ï2ÅPÜXë

Page 3: Number Theory.pdf

��� ����� ����û �{òX¾y¿�� ó�� Áq¾\ñ��Xò �÷ » ò���¾ ï �Xò�Á�� ö ð� Fï"! ñD¾$#Ó¾&% ï ��¿'# �� ô � ö ïQó1ï)( ò�ñD¾\ñ��Xò�½qù¦ò*��¾yÀ�¾\ñ���ò�½qù+�À�Áq¾\½ ,- . � ö/ð/� ¾JñFò*0ê¾&% ï 0�¿ ï ÀR¾ ï ½h¾oÁ)� öØö �Xò ó ñ21�ñF½���¿3�4+�¾657�/ò ��ö ¼ ï ¿J½ ø, 8 �* ¾\ñ ð/ ñDÁ'ÀR¾\ñ91 ï ñ ò�1 ï ¿\½ ï ½�ñ ò;:�<= >? @ % ï ¾&% ï ��¿ ïBö ½��4+BA �* Fï ¿�À�ò ó�C�ï ¿ ö ÀR¾ ûLúø @ % ï . %�ñ ò ï ½ ïèî6ï9ö À�ñ ò ó�ï ¿ @ % ï ��¿ ïBö û�û

D A !�ð ��ò ï òX¾\ñFÀR¾\ñ���ò;8E� ó/�� �GF û9÷

> :�<H ñF½`Á�#�Á ñFÁèñ�+JIØñF½ ð ¿�ñ ö/ï û"�ûLúLK î ��8MA ôONQP K ûRøû�ûRKT¿�ñ ö ñD¾\ñ91 ï ¿&�S��¾y½`À�ò ó ñFò ó ñDÁ ï ½ ÷�úû9÷UT � À ó ¿JÀR¾\ñFÁ�¿ ï ½yñ ó/��ï ½ ÷"ûû"� @ % ïWV À�Á���¼�ñ*½X# ö ¼J� ÷�÷û - î6ï Á��40�ò1ñ�Y'ñ ò�0 ð ¿Jñ ö ï ½�Z ô � �[1RÀ)#�\ ô ¾y¿JÀ�½{½ ï ò ÷ -û[, . À�¿ ö ñDÁ]%�À ï[ _^ ½ @ % ï ��¿ ï9ö ÷ Dû ? ôS`a� À�¿ ï ¿&�S��¾y½b�c+$û ��úûRø î6ï Á��40�ò1ñ�Y'ñ ò�0 ð ¿Jñ ö ï ½�Zd8 ñ e Fï ¿ ^ ½ ð ¿��"Á ï9ó�� ¿ ï ��ûû D ôS`a� À�¿ ï ¿&�S��¾y½b�c+gf � � ?û > C ñ ò ó ñ ò*0/½ `a� À�¿ ï ¿��S��¾y½ ö � ó/�* �UF§ù��[1 ï ¿&1�ñ ï 5 � D÷�ú C ñ ò ó ñ ò*0/½ `a� À�¿ ï ¿��S��¾y½�Zdh ï ¿ Fï"i À ö ð�^ ½ ð ¿��"Á ïLó/� ¿ ï � >÷"û C ñ ò ó ñ ò*0/½ `a� À�¿ ï ¿��S��¾y½�Z$» ó� FïBö À�òfù8 À�ò ó1ï ¿J½qù§À�ò ó 8 ñ e Fï ¿ - �

Page 4: Number Theory.pdf

÷�÷ C ñ ò ó ñ ò*0 ô�j 8MA ½ `a� À�¿ ï ¿��S��¾�ù§Á�� ö/ð ��½yñD¾ ïäö � ó/�* e� ½ - ø÷k� C ñ ò ó ñ ò*0ÿ¾&% ïWl A�» ô @ ½ `a� À�¿ ï ¿&�S��¾�ù§Á�� ö ð ��½yñD¾ ïìö � ó/�* e� ½ - >÷ - »6Á i ò*�[5 FïLó 0 ïBö ï òX¾`À�ò ó;m À�¿Jò1ñ ò�0 , ?÷c,ä» ð�ðfï ò ó ñ ! ZT¾�%�¿ ïLï ¾yÀ�¼ Fï ½b�4+ ð �[5 ï ¿J½ ,Xø

ü

Page 5: Number Theory.pdf

n o ���pS�rqbs7t���uv�� ã�ÕRÅ{É2Å�ÑRÃqÏ2Å{ɬÒRÅ{É ËPÌjÊ�ÆXÅ�É2Ã�Ä`Å�ËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅPÜRÊÐÏ�×LÚ±Ï ÕRÅhÃqÌ ÅhÏ ÊÞË�Ì Å{É Í�Î�Ï É§ËPÃ�Ñ�ËPÅhÌjÑ�Ê�Ñ�Ô�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{ÄoÉÃqÖ�ËhÎ�ÈqÉ ÉjÊ�ËhÈqÎ�ÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌ*Ï ÕRÅhÃqÌ ×qëJwêÅTÈqÉ ÉjÍ�Ä<ÅWÏ ÕRÅ�É2Ï ÈqÑ�Ò�È�ÌjÒÇÄ`ÈqËNÕ�Ê�ÑRÅhÌj×`ÃqÖ�ËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅPÜLÚÊÐÏ�×èÏ ÕRÅhÃqÌ ×�x�Ò�Åhç�Ñ�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ�É�ÃqÖ¬ÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎªÚ±Ï Ê�Ä<Å�ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Ï Ê�Ã�Ñ"Ù"Ï ÕRÅ<ËhÎ�ÈqÉ Ézy8ÃqÖ*É2ÅhÏ ÉÌ Å{ËPÃqÔ�Ñ�Ê|{{È�Æ�Î�Å^Ê�Ñ<Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`ÊÞÈqÎLÏ ÊÞÄ<ÅqÙ'Ï ÕRÅWËhÎ�ÈqÉ É~}�y ÃqÖ"É2ÅhÏ ÉfÌjÅ{ËPÃqÔ�Ñ�Ê|{{È�Æ�ÎÐÅ^ÑRÃ�Ñ�ÒRÅhÏ2ÅhÌ2ÚÄ`Ê�Ñ�Ê�É Ï Ê�ËhÈqÎ�ÎÐ×�Ê�ÑèÝ�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï ÊÞÄ<ÅqÙS}�y¦Ú�ËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅhÏ2Å{ÑRÅ{ÉjÉhÙ�ÈqÑ�ÒìÌ Å{Î�È�Ï2Å{ÒìÌ Å{ÉjÍ�ÎÐÏ Éhëg��ÑÏ ÕRÅ�ÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌ2Ú±Ï ÕRÅhÃqÌ ×TÉjÊ�ÒRÅqÙ�Ï ÕRÅ*ÈqÊ�Ä Ê�É�Ï2Ã�Ä`È]�qÅ*Ï ÕRÅ{É Å*Ñ�ÃqÏ2Å{ɧÑRÅ{È�ÌjÎÐ×TÉ2Å{Î�ÖÞÚ�ËPÃ�ÑLÏ ÈqÊ�ÑRÅ{Ò"ÙÅPÜBËPÅhÝ�Ï1ÖFÃqÌ�Ä`È�Ï2ÅhÌjÊÞÈqÎ�Ã�ÑTÏ Õ�ÅfߧÜBÏ2Å{Ñ�ÒRÅ{Ò$â�ÊÐÅ{Ä`ÈqÑ�Ñr��×9Ý�ÃqÏ ÕRÅ{É Ê�É{ÙyÃBËhËhÈqÉ ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎ9ÒRÅhÏ ÈqÊ�Î�É{ÙÈqÑ�Ò?É2Ã�Ä<ÅaÅ{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ È�Ì ×ÇÌ Å{É Í�ÎÐÏ É*ÖFÌ Ã�Ä ÔqÌjÃ�ÍRÝ?Ï ÕRÅhÃqÌ ×që

��ÔqÃ9Ã9ÒÇÆ�ÈqÉ Ê�Ë^Ï2Ì Å{È�Ï Ä<Å{ÑLÏ�ÃqÖ�ÈqÑ�ÈqÎÐ×BÉ Ê�É�ÃqÖ1ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�ÄoɬÈqÑ�ÒÇËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅPÜBÊ�Ï�×oÏ Õ�ÅhÃqÌ ×Ä`È{×äÆ�ÅÖDÃ�Í�Ñ�ÒêÊ�ÑäÏ ÕRÅ<Ï2ÅPÜBÏTÃqÖ��WÕRÃRÙ��^ÃqÝ"ËPÌ ÃqÖFÏhÙ�ÈqÑ�Ò��WÎ�Î�Ä`ÈqÑQ� ý]�±ëb�*ÈqÉ ÊÞËÌ Å{É Í�ÎÐÏ ÉÃ�Ñ/Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌTÏ Õ�ÅhÃqÌ ×êÈqÑ�ÒÿÏ ÕRÅ�ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎfÈqÉ2Ý�Å{ËPÏ ÉTÃqÖ�Ï Õ�Å`ÔqÌ Å{È�Ï2Å{É2ÏËPÃ�Ä`Ä<Ã�ÑÒ�ÊÐÛBÊ�É2ÃqÌ{ÙLÏ ÕRÅ�á�Õ�Ê�ÑRÅ{É2Å^Ì Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌfÏ ÕRÅhÃqÌjÅ{Ä�Ù�Ä<ÃBÒ�Í�Î�È�Ì�È�ÌjÊÐÏ Õ�Ä<ÅhÏ ÊÞË�ÙLÖ ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ�ÑRÔRÙRÈqÑ�ÒÝ�ÌjÊ�Ä`ÈqÎÞÊÐÏ�×LÚ±Ï2Å{É2Ï Ê�ÑRÔ^Ä`È{×TÆ�ŦÖFÃ�Í�Ñ�Ò$Ê�ÑTÏ Õ�Å�Ä<Ã�Ñ�ÃqÔqÌjÈ�Ý�Õ�É�ÃqÖc}^Ê�ÛqÅ{Ñ$ÈqÑ�Ò7��Í�Ëv�qÅhÌjÄ`ÈqÑ�Ñ���{ü��±Ù���Ê�ÑRÃqÔqÌjÈqÒ�ÃyÛQ�������±Ù�ÈqÑ�Ò��TÑ9ÍRÏ ÕQ���&�±ëoã�ÕRÅ<ÃqÏ Õ�ÅhÌaÄ`È�Ï2ÅhÌjÊ�ÈqÎfËPÃyÛqÅhÌ Å{ÒØÊ�ÑäÏ ÕRÅ{É2ÅÑRÃqÏ2Å{ÉoÄ`Èy×ÓÆXÅÇÖFÃ�Í�Ñ�Ò Ê�ÑÓÏ Õ�ÅQÈ�Ì Ï Ê�ËhÎÐÅ{ÉÃqÖz�WÒ�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ�Ù��èÈqÑ�ÒRÅhÌjÉhÙ�ÈqÑ�Ò��èÊ�Î�ÎÐÅhÌ�� þ��±Ù�¬ÅhÌNÎÐÅX�JÈqÄ`Ý������±Ù9á*È�ÌNÄ`Ê�ËjÕ�È�Å{Îa�����±Ù"�èÈqÑ�ÒRÅhÌjɧÈqÑ�Ò��^Ò�Î�Å{Ä`ÈqÑ����X�]�±Ù"�èÊ�Î�ÎÐÅhÌ��������±Ù"y¦ÌjÈ�Ï2Ï���{þ��±Ù�ÈqÑ�ÒèÂBÃ�ÎÐÃyÛ�È{×�ÈqÑ�ÒèÂBÏ2ÌjÈqÉ É2Å{ÑU���Pý��±ë

� � 7�������� �t���������/� u¡�[¢£��¤7�J��p�¢ã�ÕRÅ{É2Å<ÑRÃqÏ2Å{ÉTÈ�ÌjÅËPÃ�Ñ�ËPÅhÌjÑRÅ{Òêí�Ê�Ï ÕQÛqÅhÌ ×ìÆ�Ì Ã�ÈqÒäÒ�ÊÞÉ2Ï Ê�Ñ�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�É�ÃqÖ¬í�ÕRÅhÏ ÕRÅhÌTÈÇËPÃ�ÄÚÝ�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎ�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä ÊÞÉ3¥¯Å{ÈqÉ2ק¦6ÃqÌR¥2Õ�È�ÌjÒ"먦�©%ÏWÕ�ÈqÉ^Æ�ÅhÅ{ÑäËhÍ�É2Ï2Ã�Ä`È�Ì ×QÏ2ÃÇÊÞÒRÅ{Ñ'Ï Ê�ÖD×¥¯Å{ÈqÉ2×[¦Wí�Ê�Ï Õ�¥2É2Ã�ÎÐÛ�È�Æ�ÎÐÅfÊÞÑ�Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Åq먦ìã�Õ�ÊÞÉ�Ê�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐç�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�ÑaÄ$Í�É Ï�Æ�Å¦Ï È]�qÅ{Ñí�ÊÐÏ Õ�È^ÔqÌNÈqÊ�ÑaÃqÖ�É ÈqÎÐÏXx�Ï Õ�Å*Ñ�Ã�ÑRÝ�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎqÆ�Ã�Í�Ñ�Ò FSª�«¡¬)ª�«¡¬[= ÒRÃ9Å{É1Ñ�ÃqÏ1Ã\ÛqÅhÌ Ï È]�qÅ�Ï ÕRÅÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎ1ÆXÃ�Í�Ñ�Ò F G®­<Í�Ñ'Ï ÊÞÎ F°¯ üLG®­¡±³²�ë�}^Ã�ÑRÅhÏ ÕRÅ{Î�Å{É ÉhÙ�Ï Õ�ÅoËhÎ�ÈqÉ É�ÃqÖ�Ö Í�Ñ�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�ÉËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Æ�Î�ÅWÊ�Ñ�Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å�Õ�ÈqÉ*ËPÅhÌ Ï ÈqÊ�ÑÇÒRÅ{É ÊÐÌNÈ�Æ�ÎÐÅ�Ý�ÌjÃqÝXÅhÌjÏ ÊÐÅ{Éhë/©}Ï*Ê�É�ËhÎÐÃ�É2Å{ÒÍ�Ñ�ÒRÅhÌ�ËPÃ�Ä`ÝXÃ�ÉjÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ"Ù�ÃqÌyÙ�Ï2Ã�Ý�ÍRÏ�ÊÐÏ^Ê�ÑQËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎ�Ï2ÅhÌjÄ`ÉhÙ�í¬Å�Ä`È{×QÍ�É2ÅTÝ�Ã�ÎÐ×LÚÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å�É ÍRÆ�ÌjÃ�ÍRÏ Ê�ÑRÅ{ɧí^ÊÐÏ Õ�ÊÞÄ<Ý�Í�Ñ�Ê�Ï�×që/�^Î�É ÃRÙ9ÊÐÏ*Ê�É�Ê�ÑLÛJÈ�ÌjÊÞÈqÑ'Ï�Í�Ñ�ÒRÅhÌ�È$Û�È�ÌjÊÐÅhÏ}×ÃqÖ�ËjÕ�ÈqÑRÔqÅ{É�Ï2ÃÏ ÕRÅ�Ä<ÃBÒRÅ{ÎXÃqÖ�ËPÃ�Ä<Ý�Í�Ï È�Ï ÊÐÃ�Ñ"ÙRÉ2Ãí¬Å�ÒRÃ<ÑRÃqÏ�Õ�ÈyÛqÅ�Ï2ÃÆXÃqÏ Õ�ÅhÌ*È�Æ�Ã�ÍRÏÒRÅhÏ ÈqÊ�Î�É^ÃqÖ§Ï ÕRÅÄ<Ã9Ò�Å{Î�Ê�ÑQÃ�ÍRÌWÈqÑ�ÈqÎÐ×9É Å{É�ÃqÖ§ÌjÍ�Ñ�Ñ�Ê�ÑRÔ<Ï ÊÞÄ<Å{Éhëg´�©%Ö§×qÃ�Íìí�ÈqÑLÏWÈ6Ä<ÃqÌ ÅÒRÅhç�Ñ�ÊÐÏ2Å^Ä<Ã9Ò�Å{Î�Ù'ÈqÉ É Í�Ä<Å�ÈaÎ�ÃqÔ�Ú�ËPÃ�É2Ï�â���� ÃqÌ�ÈaÄ�Í�ÎÐÏ ÊªÚ±Ï È�Ý�Å�ã1ÍRÌjÊÞÑRÔ�Ä`ÈqËjÕ�ÊÞÑRÅ � ý]�±ë¶µ

©}ÖBÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎJÏ Ê�Ä`ŦÊ�É�¥¯Å{ÈqÉ2×qÙ¨¦�í�Õ�È�Ï�È�Æ�Ã�ÍRÏ�¥2Õ�È�ÌjÒ4·'¦W�*Ï�ç�ÌjÉ2Ï"Ô�ÎÞÈqÑ�ËPÅqÙqÊÐÏ�É2ÅhÅ{Ä`ÉÏ Õ�È�Ï3¥2ÑRÃqÏ^ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Æ�Î�ÅTÊ�ÑÇÝ�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎXÏ Ê�Ä<Å�¦`ÊÞÉ�È<Ì Å{ÈqÉ2Ã�Ñ�È�Æ�ÎÐÅaÊ�ÑLÏ2ÅhÌ Ý�Ì ÅhÏ È�Ï Ê�Ã�Ñ�ÃqÖ¥2Õ�È�ÌjÒ"먦äã�ÕRÅhÌjÅ�È�Ì Å�É Ã�Ä<Å*Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{ÄoÉ�í^ÊÐÏ Õ�Ï Õ�Ê�É�Ê�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐç�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÙJí^Õ�Ê�ËjÕ�í�Å�ËPÃ�Ñ�É Ê�ÒRÅhÌÆXÅ{Î�ÃyíTë

ã�ÕRÅêç�ÌNÉ2ÏÇÝ�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä ÊÞÉÇÏ ÕRÅÿÄ`È&¸2ÃqÌ?Å{ÄaÆ�È�Ì ÌjÈqÉ É Ä`Å{Ñ'Ï?ÃqÖËPÃ�Ä<Ý�Î�ÅPÜBÊÐÏ}× Ï Õ�ÅhÃqÌ ×4xÏ ÕRÅz}�y¦Ú�ËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅhÏ2Å�Ý�ÌjÃqÆ�ÎÐÅ{Ä`Éhë�w4Õ�Ê�ÎÐÅ�ÈÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌ*ÃqÖ�Ñ�È�Ï ÍRÌNÈqÎ�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä`É�Õ�ÈyÛqÅ�ÆXÅhÅ{Ñ

þ

Page 6: Number Theory.pdf

Ý�Ì ÃyÛqÅ{ÒÏ2Ã�ÌjÅ{éLÍ�Ê�Ì ÅfÅPÜBÝ�Ã�ÑRÅ{Ñ'Ï ÊÞÈqÎ�´FÃq̦Ä`ÃqÌ Å&µ�Ï Ê�Ä<ÅqÙqÏ ÕRŹ}�y§Ú�ËPÃ�Ä<Ý�Î�ÅhÏ2Å�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{ÄoÉ�È�Ì Åº4»�¼ ÈqÄ`Ã�ÑRÔ�Ï Õ�Å{Ä�ë�}^ÃqÌ�ÒRÃoí�Å�Õ�È{ÛqÅÝ�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<ÅÈqÎÐÔqÃqÌjÊ�Ï Õ�Ä`É�ÖFÃqÌWÏ ÕRÅ }�y§ÚËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅhÏ2Å�Ý�Ì ÃqÆ�Î�Å{Ä`Éhë�w4Õ�È�Ï1í¬Å*ÒRÃWÕ�È{ÛqÅ�Ê�É1È^ÎÞÈ�Ì ÔqŬËPÃ�Î�Î�Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�ÃqÖRÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎqÏ Ê�Ä<Ž¡¾v¿]ÀkÁ�¼eÂû]ºÅÄ É ÕRÃ\í�Ê�ÑRÔTÏ Õ�È�Ï�ÊÐÖ�Ý�ÌjÃqÆ�ÎÐÅ{ÄÇÆ8Õ�ÈqɬÈ$Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎBÏ Ê�Ä<ÅWÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä Ï ÕRÅ{ÑÉ2Ã�ÒRÃLÅ{É1Ý�ÌjÃqÆ�ÎÐÅ{ÄMÈ�ë�ã�ÕRÅÉ}�y§Ú�ËPÃ�Ä<Ý�Î�ÅhÏ2Å�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{ÄoÉ�É2Ï ÈqÑ�ÒÃqÌ�Ö ÈqÎ�ÎLÏ2ÃqÔqÅhÏ ÕRÅhÌ�x§ÊÐÖ�ÈqÑL×Ã�ÑRÅ�ÃqÖ�Ï Õ�Å{Ä Õ�ÈqÉ�ÈÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å�ÈqÎÐÔqÃqÌjÊ�Ï Õ�Ä�ÙBÏ ÕRÅ{ÑÇÏ ÕRÅh×ÇÈqÎ�Î�ÒRÃRëfã�Õ�Ê�Éfí�Ã�Í�Î�ÒÑRÃqÏÆXÅ6É2ÃìÆ�ÈqÒ"Ù§Æ�ÍRÏ$Ï ÕRÅhÌ Å�È�Ì ÅÇÎ�ÊÐÏ2ÅhÌjÈqÎÞÎÐ×êÕLÍ�Ñ�ÒRÌ Å{Ò�ÉÊ´ É2ÅhÅWË�È�Ì Åh× ÈqÑ�ÒØæ�Ã�Õ�Ñ�É2Ã�ÑSÌ ÉËPÃ�Î�ÎÐÅ{ËPÏ ÊÐÃ�ÑÍ�¨Î'��µ1ÃqÖ�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{ÄoÉhÙ�É2Ã�Ä<Å�ÃqÖ�Ï ÕRÅ{Ä ÛqÅhÌ ×<Ê�Ä<Ý�ÃqÌ Ï ÈqÑLÏ�Ý�ÌjÈqËPÏ Ê�ËhÈqÎ�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{ÄoÉhÙÏ Õ�È�Ï�Õ�ÈyÛqÅaÆ�ÅhÅ{Ñ�Ý�Ì Ã\ÛqÅ{Ò�Ï2Ã`Æ�År}�y§Ú�ËPÃ�Ä<Ý�Î�ÅhÏ2Åqë

ã�ÕRÅhÌ ÅWÊ�ÉfÈ$É2Å{Ò�Í�ËPÏ Ê�ÛqÅ^È�Ì Ô�Í�Ä`Å{Ñ'ÏhÙ9í�Õ�Ê�ËNÕoÄ`Èy×<Æ�Å�Ï2ÅhÌjÄ<Å{Ò�Ï ÕRÅ Ï ½eÐ�À[Ñ�¾Xºc¼ÅÒ6½³»]ÑÂ�Ð�º4»]½ Ï º4Á$¾ Ù*Ï2ÃÿÏ ÕRÅ�Å�Ó�Å{ËPÏ`Ï Õ�È�Ï`ÊÐÖWÈqÎ�Î*Ï ÕRÅ{É2Å�Æ�ÌNÊÐÔ�Õ'ÏÝ�ÅhÃqÝ�ÎÐÅ�Õ�ÈyÛqÅ?Æ�ÅhÅ{ÑÓí¬ÃqÌv�9Ê�Ñ�ÔÈqÎ�Î§Ï Õ�Ê�ÉTÏ Ê�Ä<Å<Ã�ÑÿÏ Õ�Å{É2Å`ÛqÅhÌ ×êÊ�Ä<Ý�ÃqÌ Ï ÈqÑLÏ�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä`É�í�ÊÐÏ Õ�Ã�ÍRÏTËPÃ�Ä`Ê�ÑRÔ?Í�Ýÿí�ÊÐÏ ÕÿÈÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å�ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä?Ù�Ï ÕRÅ{ÑQÊ�Ï�Ê�É�ÎÞÊ|�qÅ{ÎÐ×6Ï Õ�È�Ï�Ï ÕRÅ$Ì Å{ÈqÉ2Ã�ÑìÊ�É�Ï Õ�È�Ï^ÑRÃoÉjÍ�ËjÕÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä ÅPÜRÊ�É2Ï Éhë¹´Ô�W̧Ä<ÃqÌ Å�É Í�ËhËhÊ�Ñ�ËPÏ ÎÐ×�x�í�Å*Ò�Ã�ÑSÌ Ï/�9ÑRÃ\í ÕRÃyí Ï2Ã�ÒRÃ�ÊÐÏhÙqÏ ÕRÅhÌjÅhÖDÃqÌ ÅÊÐϧÊ�ɧÊ�Ä<Ý�Ã�É É Ê�Æ�ÎÐÅq붵�ã�Õ�Å*È�ÌjÔ�Í�Ä<Å{ÑLϧÖDÌ Ã�Ä Ê�Ô�ÑRÃqÌjÈqÑ�ËPÅ�Ê�É�ÈqÑLÏ ÊÐÏ ÕRÅhÏ Ê�ËhÈqÎ�Ï2Ã�Ï ÕRÅ�Ô�Í�Ê�Ò�ÊÞÑRÔÉ2Ý�ÊÐÌjÊ�Ï�ÃqÖ¦É ËhÊÐÅ{Ñ�ËPÅqÙ�ÈqÑ�ÒèÃ�ÍRÔ�Õ'ÏWÏ2ÃoÆ�Å�Õ�ÈqÑ�Ò�ÎÐÅ{Ò?í�ÊÐÏ Õ?ÔqÌjÅ{È�ÏWËhÈ�Ì Åqë���Ã\í¬ÅhÛqÅhÌyÙ�ÊÐÏ�Õ�ÈqÉÆXÅ{ËPÃ�Ä`Å`ËhÍ�É2Ï2Ã�Ä`È�Ì ×ìÏ2Ã?ÈqËhËPÅhÝ�ÏTÈÇÝ�ÌjÃLÃqÖ¬ÃqÖfÏ ÕRÅb}�y§Ú�ËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅhÏ2Å{ÑRÅ{É É�ÃqÖ*ÈÇÝ�Ì ÃqÆ�Î�Å{ÄÈqÉ�É2Ã�Ä<Åd�9Ê�Ñ�Ò�ÃqÖ�ÅhÛBÊ�ÒRÅ{Ñ�ËPÅ�ÃqÖ�ÊÐÏ É�ËPÃ�Ä`Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎB¥2Õ�È�ÌjÒ�ÑRÅ{ÉjÉh먦

�^Ñ�ÃqÏ ÕRÅh̦Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Äõí^ÊÐÏ Õ�Ï ÕRÅ�Ê�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐç�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÃqÖ�¥2Õ�È�ÌjÒk¦�í�Ê�Ï ÕÍ¥2Ñ�ÃqϦËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Æ�Î�ÅÊ�Ñ<Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ9Ï Ê�Ä<Å�¦�Õ�ÈqɦÏ2ÃaÒRÃ�í^ÊÐÏ Õ<Ï ÕRÅ�Ý�ÍRÌ Ý�Ã�É2Å{É�Ê�ÑLÛqÃ�ÎÐÛqÅ{Ò"ë/©%Ñ`Ï ÕRÅ�ËhÍ�É2Ï2Ã�ÄoÈ�Ì ×Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä É2ÅhÏ2Ï Ê�Ñ�ÔRÙqí¬Å�Ê�Ä`È�Ô�ÊÞÑRÅ¬Ï Õ�È�Ï1Ã�Í�Ìc¸2ÃqÆ<Ê�É�Ï2ÃTËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ2Å�Ï ÕRÅ�ÈqÑ�É2í�ÅhÌ�ÅXÕoËhÊÐÅ{ÑLÏ ÎÐ×ÖDÃqÌ�ÅhÛqÅhÌ ×<Ý�Ã�É É ÊÐÆ�ÎÐÅ�Ê�ÑRÝ�ÍRÏhÙLÈqÑ�ÒoÈqÑ�Ê�ÑRç�Ñ�Ê�Ï2Å�ËPÃ�Î�ÎÐÅ{ËPÏ ÊÐÃ�ÑoÃqÖ�Ê�ÑRÝ�ÍRÏ É{Ù�ÕRÃyí�ÅhÛqÅhÌ�É2Ý�È�ÌjÉ2ÅqÙí�ÕRÅhÌ Å�í¬Å6ËhÈqÑ�ÑRÃqÏÒRÃ?Ï Õ�Ê�É$Ê�ÉaÉ ×9ÑRÃ�ÑL×BÄ<Ã�Í�ÉTí^ÊÐÏ ÕÿÖ ÈqÊ�Î�ÍRÌjÅqëÊ©¯ÑÿÏ Õ�Ê�ÉaËhÈqÉ2ÅqÙr¥¯Å{ÈqÉ ×[¦Ä<Å{ÈqÑ�É�¥¯Å{ÈqÉ2×äÅhÛqÅhÌ ×9í�ÕRÅhÌjÅ�¦BÙ�ÈqÑ�ÒO¥2Õ�È�ÌNÒk¦ÇÄ<Å{ÈqÑ�É�¥2Õ�È�ÌNÒäÃ�ÑÿÊ�ÑRç�Ñ�ÊÐÏ2Å{ÎÐ×�Ä`ÈqÑL×ìÊ�ÑRÚÝ�ÍRÏ Éh먦Ö�^Ãyí�ÅhÛqÅhÌ{ÙWÊ�Ñ Ý�ÌjÃqÝXÃ�ÉjÈqÎ�É<Ï2ÃÓÍ�É2Å;¥2Õ�È�ÌjÒk¦ÿÝ�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä`É`Ï2à Ý�ÌjÃ9Ò�Í�ËPÅQÉ2Å{ËhÍRÌ ÅËPÌ ×LÝ�Ï2Ã�É2×9É Ï2Å{Ä`ÉhÙ�Ï ÕRÅÉ2ÅhÏ2Ï Ê�ÑRÔÇËjÕ�ÈqÑ�ÔqÅ{Éhë�©%ÑèÝ�È�Ì Ï Ê�ËhÍ�Î�È�Ì{Ù�í�Å<Ê�Ä`È�Ô�Ê�Ñ�ÅaÏ Õ�È�ÏWÃ�ÍRÌ�¸¯ÃqÆÊ�ÉWÏ2ÃÇÄoÈ]�qÅ`ÊÐÏWÕ�È�ÌjÒìÖDÃqÌ�Ï ÕRÅ<ÈqÒRÛqÅhÌjÉjÈ�Ì ×QÏ2Ã�ÒRÅ{ËPÌ ×9Ý�Ï�Ï ºk× ÃqÖ¦Ã�ÍRÌ�Å{Ñ�ËPÌ ×9Ý�Ï2Å{ÒäÄ<Å{ɯÚÉ È�ÔqÅ{ÉhÙ'É2Ã^Ï Õ�È�Ï�¥2Õ�È�ÌjÒk¦^ÑRÃyí Ä<Å{ÈqÑ�É�¥2Õ�È�ÌjÒ$ÅhÛqÅhÌ ×9í�ÕRÅhÌ Å�¦WÈqÑ�ÒÍ¥¯Å{ÈqÉ2ק¦WÄ`Å{ÈqÑ�É�¥¯Å{ÈqÉ ×É2Ã�Ä<Åhí�ÕRÅhÌjÅq먦êã�ÕLÍ�ÉhÙ�Ê�ÑRç�Ñ�ÊÐÏ2Å{ÎÐ×�ÃqÖDÏ2Å{Ñ�Õ�È�ÌjÒ<Ê�É�ÑRÃqÏr¥2Õ�È�ÌjÒ<Å{ÑRÃ�ÍRÔ�Õc¦�Ê�Ñ�Ï ÕRÅ�ËPÃ�Ñ'Ï2ÅPÜBÏÃqÖ�ËPÌj×LÝ�Ï2Ã�É ×9É2Ï2Å{ÄoÉhë

��ÑRÅ�Ê�Ä<Ý�ÃqÌ Ï ÈqÑLÏ�ËPÃ�Ñ�ËPÅhÝ�Ï�Ï Õ�È�Ï�Õ�ÈqÉ*ÆXÅhÅ{ÑÇÒRÅhÛqÅ{Î�ÃqÝXÅ{ÒÇÏ2Ã`Õ�Å{ÎÐÝ�ÒRÅ{ÈqÎ�í�ÊÐÏ Õ6Ï ÕRÅ{É2ÅÊ�É É ÍRÅ{ÉaÊ�É�Ï ÕRÅoÑ�ÃqÏ ÊÐÃ�ÑÿÃqÖ�È�ÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä`Ê|{hÅ{ÒÿÈqÎ�ÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä�ë�ã�Õ�Ê�ÉTÊÞÉTÈqÑÿÈqÎÐÔqÃqÌjÊ�Ï Õ�Ä�Ï Õ�È�ÏÄ`È{×ÇËhÈqÎ�Î"È�ÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä Ñ9Í�Ä$Æ�Åh̬ÔqÅ{ÑRÅhÌNÈ�Ï2ÃqÌ^Ê�Ñ6Ï ÕRÅ�ËPÃ�ÍRÌjÉ ÅWÃqÖ�ÊÐÏ É*ËPÃ�Ä<Ý�Í�Ï È�Ï ÊÐÃ�Ñ"ëfã�Õ�ÅÈqÑ�ÈqÎÐ×BÉ Ê�É�ÃqÖaÉ Í�ËNÕ�ÈqÑ4ÈqÎÐÔqÃqÌNÊÐÏ Õ�Ä Õ�ÈqÉ6È Ý�Ì ÃqÆ�È�Æ�Ê�ÎÞÊ�É2Ï Ê�Ë�ÈqÉ2Ý�Å{ËPÏhë ã�ÕRÅhÌjÅìÈ�Ì ÅäÏ}í¬ÃÆ�ÈqÉ Ê�ËQÖDÃqÌjÄoÉoÏ Õ�È�Ï6Ï Õ�Ê�É�Ä`È{× Ï È]�qÅqë ã�Õ�ÅèÈqÎÐÔqÃqÌjÊ�Ï Õ�Ä(Ä`Èy× É2Ã�Ä<ÅhÏ ÊÞÄ<Å{ÉoÔ�Ê�ÛqÅèÏ ÕRÅí�Ì Ã�ÑRÔØÈqÑ�É2í�ÅhÌÍ´ ÒRÅhÝ�Å{Ñ�Ò�ÊÞÑRÔêÃ�Ñ Ï ÕRÅèÛJÈqÎÞÍRÅ{ÉoÉ Í�Ý�Ý�Î�ÊÐÅ{ÒØÆ9× Ï ÕRÅQÌNÈqÑ�ÒRÃ�Ä Ñ9Í�Ä$ÆXÅhÌÔqÅ{ÑRÅhÌjÈ�Ï2ÃqÌ6µ¹Ø�Ï ÕRÅ$ÈqÑ�ÈqÎ�×9É ÊÞÉ�Ï ÕRÅ{ÑèÆ�Ã�Í�Ñ�Ò�É�Ï Õ�Å$Ý�ÌjÃqÆ�È�Æ�Ê�Î�Ê�Ï�×6ÃqÖ§Ï Õ�Ê�É��BÊ�Ñ�ÒQÃqÖ§ÅhÌ Ì ÃqÌ{ë�WÌ{Ù�Ï ÕRÅÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä Ä`Èy×QÆ�ÅaÔ�Í�È�ÌjÈqÑ'Ï2ÅhÅ{ÒÿÏ2Ã6Ô�Ê�ÛqÅÈ6ËPÃqÌ Ì Å{ËPÏTÈqÑ�É2í¬ÅhÌ�ÈqÎÐí*È{×BÉhÙ"Æ�Í�ÏÊÐÏ ÉfÌNÍ�Ñ�Ñ�Ê�Ñ�Ô�Ï Ê�Ä<Å�Ä`È{×`Æ�ÅWÎÐÃ�ÑRÔqÅhÌ*ÃqÌ�ÉjÕRÃqÌ Ï2ÅhÌ�ÒRÅhÝ�Å{Ñ�Ò�Ê�Ñ�Ô�Ã�ÑoÏ ÕRÅWÛ�ÈqÎ�ÍRÅ{ɬÝ�Ì ÃyÛBÊ�ÒRÅ{ÒÆL×ØÏ ÕRÅ?ÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä�ÑLÍ�ÄaÆ�ÅhÌ<ÔqÅ{ÑRÅhÌjÈ�Ï2ÃqÌbØ Ê�ÑÓÏ Õ�Ê�É<ËhÈqÉ ÅqÙ�Ï Õ�Å?ÈqÑ�ÈqÎÐ×BÉ Ê�ÉÆ�Ã�Í�Ñ�Ò�É�Ï ÕRÅ

ý

Page 7: Number Theory.pdf

ÅPÜ9Ý�Å{ËPÏ2Å{Ò ÛJÈqÎ�Í�ÅQÃqÖ�Ï ÕRÅQÌNÍ�Ñ�Ñ�Ê�Ñ�ÔìÏ ÊÞÄ<ÅÙ´FÃqÌ6Ý�Ì Ã\Û9Ê�Ò�Å{É`Ä<ÃqÌ ÅìÊ�ÑRÖFÃqÌjÄ`È�Ï ÊÐÃ�Ñ È�Æ�Ã�ÍRÏÊÐÏ É�Ý�Ì ÃqÆ�È�Æ�Ê�Î�ÊÐÏ}×?Ò�Ê�É2Ï2ÌjÊ�Æ�ÍRÏ ÊÐÃ�Ñ4µNëTã�ÕRÅç�ÌjÉ2Ï�Ï�×9Ý�Å<ÃqÖ¬ÈqÎÐÔqÃqÌNÊÐÏ Õ�Ä�Õ�ÈqÉ�Æ�ÅhÅ{ÑêËhÈqÎ�ÎÐÅ{ÒêÈ¥��?Ã�ÑLÏ2Å<á�È�ÌjÎÐÃ�¦oÈqÎ�ÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�ÄRÚ�ÈqÑ?ÅPÜRÈqÄ<Ý�ÎÐÅaÊÞÉ�Ï ÕRÅTÝ�ÌNÊ�Ä`ÈqÎ�ÊÐÏ}×oÏ2Å{É2Ï ÊÞÑRÔoÝ�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì Å�ÃqÖÂ9Ã�ÎÐÃyÛ�È{×ìÈqÑ�ÒêÂ9Ï2ÌjÈqÉ É2Å{Ñ°���Pý��±ë�ã�ÕRÅ�É2Å{ËPÃ�Ñ�ÒìÏ�×9Ý�Å$ÃqÖ¬ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä Õ�ÈqÉWÆ�ÅhÅ{ÑèËhÈqÎÞÎÐÅ{ÒèÈ¥2å�ÈqÉ��§ÅhÔ�ÈqÉ�¦ÇÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�ÄRÚ�ÅPÜRÈqÄ<Ý�ÎÐÅ{É^È�Ì Å�Ï ÕRÅ$É é9Í�È�Ì ÅaÌ ÃLÃqÏWç�Ñ�Ò�Ê�ÑRÔÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ Å{É�ÃqÖ�¬ÅhÌNÎÐÅX�JÈqÄ`ÝÛ���&��ÃqÌ �WÒ�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ�Ù/�èÈqÑ�ÒRÅhÌjÉ{Ù1ÈqÑ�ÒÙ�QÊÞÎ�ÎÐÅhÌ3� þ��±ë�}^ÃqÏ2Å6Ï Õ�È�Ï�ÊÞÑÿÑRÅ{ÊÐÏ ÕRÅhÌËhÈqÉ2Å`Ê�ÉWÏ ÕRÅhÌ ÅÌjÈqÑ�Ò�Ã�Ä`Ê|{{È�Ï ÊÐÃ�ÑìÃyÛqÅhÌaÏ ÕRÅ Â9º]Ü�À§¼ Ø?Ï ÕRÅÝ�Ì ÃqÆ�È�Æ�Ê�Î�ÊÐÏ ÊÐÅ{É^ÒRÅhÝ�Å{Ñ�ÒèÃ�Ñ�ÎÐ×Ã�Ñ?Ï ÕRÅ�ÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä5Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌ�ÔqÅ{ÑRÅhÌNÈ�Ï2ÃqÌ{ë

©%ÑìÏ ÕRÅËPÃ�ÑLÏ2ÅPÜ9ÏTÃqÖ¬ËPÌ ×LÝ�Ï2Ã�É2×9É Ï2Å{Ä`ÉhÙ�ÈqÑ�ÒìÊ�ÑìÈ�í^Ê�ÒRÅhÌWÝ�ÌjÈqËPÏ Ê�ËhÈqÎ1É2Å{Ñ�É2ÅqÙ�Ê�Ï^Ä`Èy×ÆXÅ6Ì Å{ÈqÉ2Ã�Ñ�È�Æ�ÎÐÅ6Ï2ÃìÏ È]�qÅQ¥¯Å{ÈqÉ ×[¦äÏ2ÃäÆ�ÅÙ¥2ËPÃ�Ä`Ý�ÍRÏ È�Æ�ÎÐÅ�Ê�Ñ Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ§Ï ÊÞÄ<Å�Æ9× ÈÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä`ÊÝ{hÅ{ÒÿÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä�먦Þ�WÑRÖFÃqÌ Ï Í�Ñ�È�Ï2Å{Î�×ìÏ Õ�ÅhÌ ÅoÊ�ÉTÑ�ÃQÉ Ê�ÑRÔ�Î�Å<Ì ÅhÖDÅhÌjÅ{Ñ�ËPÅoÖFÃqÌaÏ ÕRÅÆ�ÈqÉ Ê�ËäËPÃ�Ñ�ËPÅhÝ�Ï É?ÃqÖaÌjÈqÑ�Ò�Ã�Ä`Ê|{hÅ{Ò4ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä`ÉhÙ�Æ�ÍRÏ�Ï Õ�ÅìÝ�È�ÝXÅhÌNÉ�ÃqÖbË�Ê�ÎÞΠ���&�aÈqÑ�Ò�^Ò�Î�Å{Ä`ÈqÑ?ÈqÑ�Ò��èÈqÑ�ÒRÅhÌjÉg���qÙ�ü&��Ä`Èy×ÇÝ�Ì ÃyÛBÊ�ÒRÅ�ÕRÅ{Î�Ý�ÖFÍ�Î�Ý�Ã�Ê�ÑLÏ2ÅhÌjÉhë

�?Ã�É Ï¬ÃqÖ"Ï ÕRÅWÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä`ɦÒRÅ{É ËPÌNÊÐÆ�Å{Ò`Ê�Ñ`Ï Õ�Å{É2Å^ÑRÃqÏ2Å{É�Õ�ÈyÛqÅWÊ�Ñ�Ý�ÍRÏ É§ÈqÑ�Ò�Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ ÉÏ Õ�È�Ï�È�Ì Å�ÊÞÑ'Ï2ÅhÔqÅhÌjÉ{ë�wêÅ`ÈqÉjÉ Í�Ä<Å$Ï Õ�È�Ï�Ï ÕRÅ{É2ÅÊ�Ñ'Ï2ÅhÔqÅhÌNÉ�È�Ì Å$ÌjÅhÝ�Ì Å{É2Å{ÑLÏ2Å{ÒäÊ�ÑQÆ�Ê�Ñ�È�Ì ×ÑRÃqÏ È�Ï ÊÐÃ�ÑO´FÃqÌ<É2Ã�Ä<ÅoÃqÏ Õ�ÅhÌÑ�ÃqÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ/Ï Õ�È�Ï�Ê�É$Ì Å{Î�È�Ï2Å{Ò Ï2ÃäÊÐÏaÆ9×êÝ�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<ÅÏ2ÌjÈqÑ�É Î�È�Ï Ê�Ã�Ñ�ÉhÙ�Åqë ÔRëÐÙ^Ò�Å{ËhÊ�Ä`ÈqÎWÑRÃqÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ4µNë ã�Õ9Í�ÉhÙ�Ï ÕRÅäÎÐÅ{ÑRÔqÏ Õ ÃqÖTÏ ÕRÅäÊ�ÑRÝ�Í�Ï F Ê�ÉÆXÃ�Í�Ñ�ÒRÅ{Ò Æ9×;ßb´ Î�ÃqÔ F µNÙ�ÈqÑ�Ò�È/Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`ÊÞÈqÎ*Ï Ê�Ä<ÅèÈqÎ�ÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä Ê�É`Ã�Ñ�ÅèÏ Õ�È�Ï6ÌjÍ�Ñ�ÉÊ�ÑäÏ Ê�Ä<Å3ß�´ ÎÐÃqÔ)à F µ^Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ È�Ì ×ìËPÃ�Ä`Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�ÑÿÉ Ï2ÅhÝ�ÉhÙ�ÖFÃqÌTÉ2Ã�Ä<Å�ËPÃ�Ñ�É2Ï ÈqÑLÏgáXë��^Î�ÎÎÐÃqÔ�È�ÌjÊÐÏ Õ�ÄoÉ�È�Ì Å�Ï2Ã`Ï ÕRÅaÆ�ÈqÉ2Å$ü9ë

â ã ���ä�åq��æ� �u¡��u��� 7��çÊ 7�¹��è���uv�� 7�/ç3é'è¹t����å�ÅhÏ : Æ�ÅfÈqÎ�ÎqÏ ÕRŬÊ�Ñ'Ï2ÅhÔqÅhÌNÉhÙ[ê'�§ë��]ë f �]ëjü[ë f ü[ëXìXìXì]í�ë�å�ÅhÏ�î Æ�Å§Ï ÕRŬÑ�È�Ï Í�ÌjÈqÎ�Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌjÉ{Ùê)�]ëjü[ëjþ[ë2ýÅëXìXìXì]í�ë¬å�ÅhÏ�ï4ëvð&ë�ñ N : ÈqÑ�Òóò�ë F ë I ë�ô N îõÊ�ÑÇÏ ÕRÅ�ÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�Ê�ÑRÔRë

õ ñ21�ñF½yñF¼�ñ ñD¾6#kö ïS÷ ð�ø Ï ÕRÅhÌ Å�ÅPÜRÊ�É2Ï ÉBñ�É2ÃoÏ Õ�È�Ï�ð ¯ ïgù'ñ�{ò ó ñ91�ñD½\ñD¼�ñ ñÞ¾6#kö ï�úû÷³ð�Ê�É*Ï ÕRÅ$ÑRÅhÔ�È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÃqÖïS÷ ð. ��ò*0�¿ ��ï ò�Á ï ö ïbüOðL´ Ä<ÃBÒ F µ�ø F ÷�´eï f ðXµý6¿ ï ÀR¾ ï ½h¾ . � öØö �Xò õ ñ91�ñF½���¿"ö Ô�ËhÒg´eï4ëvðXµ ¯ ÄoÈJÜ4ê'ñÙx�ñ�÷ ï6ÈqÑ�Ò�ñ�÷ ð'í�ÙJïêÈqÑ�ÒÙð

ÑRÃqÏ�Æ�ÃqÏ Õ��Bël¬ï À�½h¾ . � öØö �XòQ8 �* ¾\ñ ð/ Dï ö Î�ËhÄä´Ãï4ëvðXµ ¯ Ä`ÊÞÑcê�òäx�ï�÷ ò ÈqÑ�Ò�ð]÷ òLí�ÙBÑRÅ{ÊÐÏ Õ�ÅhÌ�ï

ÑRÃqÌBð ¯ �Bë�{òX¾ ï 0 ï ¿J½ ö � ó Föz: = ¯ ê'�§ë��]ëXìXìXì/ë F�f ��í8 �� ¾\ñ ð� ñFÁ�ÀR¾Jñ21 ï �{òX¾ ï 0 ï ¿J½ ö � ó Föz: <= ¯ ê�òþxc�zÿ°ò ÿ F ÈqÑ�Ò8Ô�ËhÒg´�ò�ë F µ ¯

��í

Page 8: Number Theory.pdf

î�ï§ ÀR¾\ñ91 ï§ #QKT¿Jñ ö ï ö ò,ÈqÑ�Ò F È�Ì Å ½�¾ � Ï ¼eÂ���¾ � ×rÜ�½$Â�Ñ�¾ ø Ô�ËhÒg´�ò�ë F µ ¯ �A �� Fï ¿ ^ ½ @ ��¾\ñ ï òX¾ C*� ò�Áq¾\ñ���ò�ö�� ´ F µ ¯ ÷ : <= ÷KT¿Jñ ö À ñD¾$#köÉI Ê�É Ü4½6Â9Ñ�¾ ø I ú¯ �TÈqÑ�Ò�ÖFÃqÌ�ÈqÎ�Î���Qò�� I ÙÅò�úû÷ IT � À ó ¿\À�¾\ñFÁ î�ï ½yñ ó/��ï ö ï<Ê�É�È À Ï ¿]½ Ï ¼eÂeÁd½¡¾�Ä$Âÿ]Àc¾ Ä<ÃBÒ F ø Ï ÕRÅhÌ ÅWÅPÜBÊ�É Ï É�ð�ÉjÍ�ËjÕ

Ï Õ�È�Ï�ï7üOð6±�´ Ä<ÃBÒ F µT � À ó ¿\À�¾\ñFÁ P �Xò�¿ ï ½\ñ ó/��ï ö ïÇÊ�É^È� À Ï ¿�½ Ï ¼eÂÃÁ�º�»]ºk½�¾6Ä$Âÿ]Àc¾ Ä`Ã9Ò F ø ï�Ê�É^ÑRÃqÏ^È

é9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï ÊÞË^ÌjÅ{É Ê�Ò�ÍRÅ�Ä<ÃBÒ Fl¬ï 0 ï ò ó ¿ ïÿô # ö ¼J� ö ���H�� ¯�� �^Ê�Öaï`Ê�É*È$é9Í�ÈqÒRÌNÈ�Ï Ê�Ë�ÌjÅ{É Ê�Ò�ÍRÅ^Ä<Ã9Ò I Ù f ��ÊÐÖ�ÑRÃqÏ

V À�Á���¼�ñ ô # ö ¼�� ö ���� � ¯ ���H���� ���H���� ùXùXù����H���� Ù�í�Õ�ÅhÌ Å! ¯OI G I ± ùXùXù I = Ù�Å{ÈqËjÕI�" Ê�É�ÈqÑ�ÃBÒ�Ò�Ý�ÌjÊ�Ä<ÅqÙRÈqÑ�Ò�Ô�ËhÒg´eïcë# gµ ¯ �

ô�$&% \ î6ï ½yñ ó���ï ö ïèÊ�ÉWÈÊô'$&%JÚ ½�¾6Ä6Âe¿]Àc¾ Ä<ÃBÒ F ø Ï ÕRÅÅ{éLÍ�È�Ï ÊÐÃ�Ñ)(+*zü ïO´ Ä<Ã9Ò F µ�Ê�ÉÉ2Ã�Î�ÛJÈ�Æ�Î�Å

ô�$&% \ P ��ò�¿ ï ½yñ ó/��ï ö ïÊ�ÉfÈrô'$&%JÚ º4»�ºk½¡¾�Ä$Âÿ]Àc¾ Ä<ÃBÒ F ø ïÊ�ɦÑRÃqÏfÈgô'$&%JÚ±Ì Å{É Ê�Ò�Í�Å�Ä<Ã9ÒF

. À�¿ ö ñFÁ]%�À ï§ _^ ½!, C�� ò�Áq¾\ñ���ò�ö-, ´ F µ ¯ Î�ËhÄÛê � ´ I/. �G µ4ëXìXìXì*ë �0�I .21à43 í�Ù�í�Õ�ÅhÌ Å FW¯I+. �G I+. �± ùXùXù I . 1à Ê�É�Ï Õ�ÅTÍ�Ñ�Ê�é9ÍRÅ�Ý�ÌjÊ�Ä`Å^Ö ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�ÑQÃqÖ F

8 ñ e Fï ¿ ^ ½,�5 C�� ò�Áq¾\ñ��XòJö�,�5 ´ F µ ¯ Î�ËhÄÛê I G f �]ëXìXìXì*ë I à f ��í�Ù\í^ÕRÅhÌ Å F�¯GI . �G I . �± ùXùXù I . 1àÊ�É*Ï Õ�ÅaÍ�Ñ�Ê�é9ÍRÅWÝ�ÌjÊ�Ä`ÅWÖ ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï Ê�Ã�Ñ?ÃqÖ FwêÅ$ÑRÃqÏ2Å$É2Ã�Ä<ÅTÖ ÈqËPÏ Éhë��ë � ´�ò F µ ¯6� ´eò�µ � ´ F µ�ÊÐÖ�Ô�ËhÒg´�ò�ë F µ ¯ ��ëü9ë � ´ I . µ ¯GI .87 G ´ Ióf �'µ*ÊÐÖ I Ê�É�Ý�ÌjÊ�Ä<Å�ÈqÑ�Ò:9<; ��ëþ9ë � ´ I µ ¯ÙI3f �rø I ÊÞÉ�Ý�ÌjÊ�Ä`ÅqëýRë^ã�Õ�Å�Í�Ñ�Ê�é9ÍRÅ�ÖFÈqËPÏ2ÃqÌjÊÝ{{È�Ï ÊÐÃ�Ñ?Ï ÕRÅhÃqÌjÅ{Ä�ë�9ë^ã�Õ�Å�Ò�ÊÐÛ9ÊÞÉ ÊÐÃ�Ñ6Ï ÕRÅhÃqÌ Å{ÄRx~ï ¯ ð6ô �<= Ùk�bÿ = ��ð\ë�9ë^ã�Õ�Å�ÃqÌjÒRÅhÌ�ÃqÖ�È$ÉjÍRÆ�ÔqÌ Ã�ÍRÝoÃqÖ�ÈaÔqÌ Ã�Í�Ý6Ò�Ê�Û9Ê�Ò�Å{É�Ï ÕRÅ^ÃqÌNÒRÅhÌfÃqÖ�Ï Õ�Å�ÔqÌ Ã�ÍRÝ�ÚLÏ ÕRÅ

ÃqÌjÒ�ÅhÌfÃqÖ�ÈqÑ`Å{Î�Å{Ä<Å{Ñ'ϬÃqÖ�ÈTÔqÌ Ã�Í�Ý�Ò�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ{ÉfÈqÑ'×<Ý�Ãyí�ÅhÌfÃqÖ"Ï Õ�Å�Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏfí^Õ�Ê�ËjÕÊ�É*Å{é9Í�ÈqÎ"Ï2ÃoÏ ÕRÅaÊ�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐÏ}×qÙ�ÈqÑ�Ò�ÃqÏ ÕRÅhÌ^ÖFÈqËPÏ É�ÃqÖ�Å{ÎÐÅ{Ä`Å{Ñ'Ï È�Ì ×ÇÔqÌ Ã�Í�Ý?Ï ÕRÅhÃqÌ ×që

Page 9: Number Theory.pdf

> ����ä��sg�Suv @?þ�S¤7�A?BpS��è����J�c� t���ä�ä�� �qbuCB u����Bp �Bé��8DÛ� rs��FEÊ�JpS�

àRÃqÌTÏ Õ�Ê�ÉWí�Å<Õ�È{ÛqÅ`È�üqþ]����×qÅ{È�Ì�Ã�Î�ÒäÈqÎÐÔqÃqÌNÊÐÏ Õ�Ä Ò�ÍRÅ�Ï2Ã?ßfÍ�ËhÎÞÊ�ÒG´FÃqÌTÝ�Ã�É ÉjÊÐÆ�ÎÐ×ÇßfÍBÚÒRÃ{ÜRÍ�É$µNëÿå�ÅhÏ7ï/ÈqÑ�Ò°ð<Æ�Å�Ý�Ã�É Ê�Ï ÊÐÛqÅ�Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌjÉhë���×ÿÌjÅhÝXÅ{È�Ï2Å{Ò È�Ý�Ý�Î�Ê�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ/ÃqÖ�Ï ÕRÅÒ�ÊÐÛBÊ�É ÊÐÃ�Ñ6Ï ÕRÅhÃqÌ Å{Ä5í¬ÅaÄoÈ{×Çç�Ñ�Ò�È`É Å{éLÍRÅ{Ñ�ËPÅ�x

ï ¯ ð6ô G �<= G ë �G� = G �Qðð ¯H= G ô ± �<= ± ë �G� = ± � = G= G ¯H= ± ô�I �<= I ë �G� = I�� = ±ëëë= à 7 ± ¯H= à 7 G ô à �<= à ë �G� = à � = à 7 G= à 7 G ¯H= à ô àKJ G

í�Õ�Ê�ËNÕêÏ2ÅhÌjÄ`Ê�Ñ�È�Ï2Å{ÉTí�ÕRÅ{Ñÿí¬Å`ç�Ñ�ÒêÉ2Ã�Ä<Å = àKJ G ¯ �Bë�´�w�Õ�Ê�ËjÕ/í¬ÅoÄ�Í�É2Ï$ÒRÃQÉ Ê�Ñ�ËPÅÏ ÕRÅaÉ2Å{é9ÍRÅ{Ñ�ËPÅTÃqÖ�ÑRÃ�Ñ�Ñ�ÅhÔ�È�Ï ÊÐÛqÅaÊ�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌjÉ�ð&ë = G ë = ± ëXìXìXì�Ê�É�É2Ï2ÌNÊ�ËPÏ ÎÐ×�Ò�Å{ËPÌ Å{ÈqÉ Ê�ÑRÔR붵@ % ï ��¿ ïBö ûL= à ¯ Ô�ËhÒd´Ãï4ëvðXµKM

KT¿��S�c+�Z á�ÎÐÅ{È�ÌjÎÐ× = à ÷ = à 7 G Ù�É Ã = à ÷ = à 7 ± Ù�É2à = à ÷ = à 7 I Ù�ÈqÑ�Ò?É Ã`Ã�ÑQÍ�ÑLÏ Ê�Î�í�Åaç�Ñ�ÒÏ Õ�È�Ï = à ÷ ïQÈqÑ�Ò = à ÷ ð\ë�©}ÖJñQÊ�É^ÈqÑL×?Ý�Ã�É ÊÐÏ Ê�ÛqÅ$Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ�í�Õ�Ê�ËNÕQÒ�Ê�Û9Ê�Ò�Å{É�Æ�ÃqÏ Õ�ïQÈqÑ�Ò�ðyÙÏ ÕRÅ{Ñ�ñ�÷ = G ÆXÅ{ËhÈqÍ�É2Å = G ¯ ï f ð6ô G Ù"É2Ã3ñ�÷ = ± É Ê�Ñ�ËPÅ = ± ¯ ð fN= G ô ± ÙXÈqÑ�ÒèÉ2Ã�Ã�ÑäÍ�Ñ'Ï ÊÞÎí¬ÅTç�Ñ�ÒÇÏ Õ�È�ÏBñ�÷ = à Ù�É2Ãbñ3ÿ = à ëJ�^Å{Ñ�ËPÅ = à ¯ Ô�ËhÒ ´eïcëvðXµYë O. ��¿�� e À�¿&# ÷ Ô�ËhÒ ´eïcëvðXµ Â2Ä Ï Ñ7À � ¼eÂûÜ � ¾7»³Ò ¾P��¾�½6×ÊÁ$»]Ñ7Ñ�»�ºU¿]Â��&Â2ÄX»]½ »¡Ò ï�Ï º4¿ ð�MA ! À ö/ð/ Fï � à1ÊÞÑ�ÒÇÔ�ËhÒd´±üqþJýÅë��X����µ{Ù�Ô�ËhÒd´�üqþqþ[ë��Pýqý"µyë

QSRUTWVYX'Z8[]\UQL^YX�[X'ZS[HVYX'[�\`_a]b`c/d2bWe�d�fhg QSRSTji�X�Z8[+kNVYX'[

QSRSRHVYX�T8T�\�X<^�[SlX�TSTWV�[8l�\]X4^�m8m[SlWVnm8m]\]X4^6RSTmSmHV�RST�\]X4^�Q+XÎ

Page 10: Number Theory.pdf

RUToVnQ+X2\]X4^pX'RQ�X4VYX'R�\]X4^6[X�RWV�[�\�X4^�m[WVnm]\�X4^6RmHV�R�\�X4^�QRWVnQ]\�X4^pXQHVnQ]\�Xa]b`c/d2bWe�d�fhg QSR8Rhi�X�T8T/kNVYX

©}Ï�Ê�É^ÑRÃqÏ�Ò�Ê|ÕoËhÍ�ÎÐÏ�Ï2ÃÇÉ ÕRÃyí Ï Õ�È�Ï�È6ËPÃ�Ñ�É2Å{ËhÍRÏ Ê�ÛqÅ�Ý�ÈqÊÐÌ�ÃqÖ�à1Ê�ÆXÃ�Ñ�ÈqËhËhÊ�Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌjÉ´FÅhÔRÙJ�PýqýÇÈqÑ�Òìüqþqþ�µ^È�Ì Å�Ï ÕRÅ�í¬ÃqÌjÉ ÏWËhÈqÉ2ÅÖFÃqÌW߬Í�ËhÎ�Ê�ÒaÌ É�ÈqÎÐÔqÃqÌjÊ�Ï Õ�Ä Ê�ÑèÏ2ÅhÌjÄ`É^ÃqÖ¦Ï ÕRÅÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌ$ÃqÖWÈ�Ý�Ý�Î�ÊÞËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÉTÃqÖ^Ï ÕRÅÇÒ�ÊÐÛBÊ�É ÊÐÃ�ÑêÏ Õ�ÅhÃqÌ Å{Ä Ì Å{é9Í�ÊÐÌ Å{Ò/ÖDÃqÌ<Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌjÉ$ÃqÖ^ÈÔ�ÊÐÛqÅ{ÑêÄ`È�Ô�Ñ�ÊÐÏ Í�ÒRÅqë$ÂBÊ�Ñ�ËPÅ�Ï ÕRÅbá $&% à�ÊÐÆ�Ã�Ñ�ÈqËhËhÊ�ÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌ�ÅPÜBËPÅhÅ{Ò�É = à 7 ± í^ÕRÅhÌ Å = Ê�ÉÏ ÕRÅTÔqÃ�Î�ÒRÅ{Ñ?ÌjÈ�Ï ÊÐÃRÙRí�ÅTÃqÆ�Ï ÈqÊ�Ñ�Ï Õ�ÅTÖDÃ�ÎÞÎÐÃyí�ÊÞÑRÔ

@ % ï ��¿ ïBö -rq Ò ïcëvðs� F ¼ut§¾Xº�¼ut§¾rºkÀ§Ñ!vv¾X½�»³Òr¿]Âu�'Â9Ä$Âû]ºWÄ6¼ Ï Ð[¾6Ä�Â�ºxw¹ÀkÁ � Âe¿zy Ä Ï � Ð"»�{½$Âe¼ut)ÑF| �u� vv¾ � ¾6Ä$Äd¼ut Ï º �]ìû��ÎÐÃqÔ F}� ßb´³�'µPM

ã�Õ�Ê�É*Æ�Ã�Í�Ñ�Ò�Ê�É�ÈqÑ?ÅPÜBÝ�Ã�ÑRÅ{Ñ'Ï ÊÞÈqÎ"Ê�Ä<Ý�Ì Ã\ÛqÅ{Ä<Å{ÑLÏ�ÃyÛqÅhÌWÏ ÕRÅ�Æ�Ã�Í�Ñ�ÒÇÃqÖJðWÊ�Ä<Ý�ÎÞÊ�ËhÊÐÏÊ�Ñ Ï ÕRÅ?È�Ì Ô�Í�Ä<Å{Ñ'Ï�È�ÆXÃ\ÛqÅQÖFÃqÌ`Ï2ÅhÌjÄ`ÊÞÑ�È�Ï ÊÐÃ�ÑSÚ�ÊÐÏ`Ä`Å{ÈqÑ�É`Ï Õ�È�Ï�ßfÍ�ËhÎ�ÊÞÒSÌ ÉÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�ÄÌjÍ�Ñ�É�Ê�ÑØÏ Ê�Ä<Å6Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎfÊÞÑ/Ï ÕRÅ�ÎÐÅ{Ñ�ÔqÏ Õ�É�ÃqÖ�Ï ÕRÅÇÆ�Ê�Ñ�È�Ì ×êÌ ÅhÝ�Ì Å{É Å{Ñ'Ï È�Ï ÊÐÃ�Ñ�É$ÃqÖ�ïÈqÑ�ÒWð\ë. ��¿�� e À�¿&#;, Î�ËhÄ�´eïcëvðXµ Á Ï ºNv$¾gÁ$»]Ñ�Ü4Àż®¾�¿óÂ�º�ܧ» � ×�º�»]Ñ7Â Ï � ¼eÂ�Ñ�¾ M

KT¿��S�c+�Z �^É ÅTÏ ÕRÅaÊ�Ò�Å{Ñ'Ï ÊÐÏ}×�Î�ËhÄ�´ÃïcëvðXµ ¯ ´eïdù&ðXµC~�Ô�ËhÒ ´eïcëvðXµYëO

å�Ã9Ã��9ÊÞÑRÔ`È�Ô�ÈqÊ�ÑQÈ�Ï�Ï ÕRÅTÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä í¬Å$ÑRÃqÏ2ÅTÏ Õ�È�Ï

= G ¯ ï f ô G ð= ± ¯ ð f ô ± = G ¯ f ô ± ï � ´³� � ô ± ô G µ³ð= I ¯ = G f ô�I = ± ¯ ´³� � ô�I�ô ± µ ï f ´eô G � ô�I � ô�I�ô ± ô G µ³ð©%ÑìÔqÅ{ÑRÅhÌjÈqαÙ"Å{ÈqËjÕ =�" Ê�ÉWÅPÜ9Ý�Ì Å{É É ÊÐÆ�ÎÐÅ$ÈqÉ�ÈqÑäÊ�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌaÎ�Ê�Ñ�Å{È�ÌWËPÃ�Ä$Æ�Ê�Ñ�È�Ï Ê�Ã�ÑèÃqÖ�ïQÈqÑ�ÒðyÙRÊ�Ñ�ËhÎ�Í�Ò�Ê�Ñ�Ô�Ï ÕRÅ^Ô�ËhÒ�Ù = à ëwêÅ�Ä`Èy×��qÅhÅhÝ�Ï2ÌjÈqËv�oÃqÖ�Ï ÕRÅ�ËPÃ9ÅXÕoËhÊÐÅ{ÑLÏ É*È�Ï�Å{ÈqËNÕ?É2Ï È�ÔqÅÈqÉ�ÖDÃ�ÎÞÎÐÃyí�É{ëd©¯Ñ�ÊÐÏ Ê�ÈqÎ�Î�×qÙXÉ2ÅhÏ�( G ¯ ��Ù�� G ¯åf ô G Ù�ÈqÑ�Ò ( ± ¯�f ô ± Ùz� ± ¯ ´³� � ô ± ô G µNëã�ÕRÅ{Ñ?È�Ï�É Ï È�ÔqÅ��fËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ2Å

( "S¯ ( " 7 ± f ô " ( " 7 G�

Page 11: Number Theory.pdf

�`" ¯ �`" 7 ± f ôK"��`" 7 G ì�¬×6Ê�Ñ�Ò�Í�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ<í�Å�É ÅhÅWÏ Õ�È�Ï =�"�¯ ( " ï � � " ð�ÖFÃqÌ�ÈqÎ�Î�� ¯ �]ëjü[ëXìXìXì�ëváXë¦ã�ÕLÍ�Éfí�Å�Õ�È{ÛqÅÝ�Ì ÃyÛqÅ{ÒQÏ ÕRÅTÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�Ê�ÑRÔ�Ï ÕRÅhÃqÌ Å{Ä�ë

@ % ï ��¿ ïBö ?�� t§¾X½¡¾dÂ9Ä Ï Ü§» � ×�º�»]Ñ7Â Ï � ¼eÂ9Ñ�¾ Ï � Ð)»]½6Â�¼ut"Ñ�|�t)ÂÃÁPt�»]ºWÂ�º]Ü4Àż�Ä ï�Ï º4¿ ðÁv»]Ñ�Ü4Àż®¾6Ä ñ]��(��z� Ä$ÀkÁPtR¼ut Ï ¼ ñ ¯ Ô�ËhÒd´Ãï4ëvðXµdÏ º4¿ ñ ¯ (�ï � �§ð�M� � s��³��u$���vuvtè���uCB�� u$ sB���pS�4�J� u$ ��}��ã�ÕRÅäÛqÅhÌjÉ ÊÐÃ�Ñ4ÃqÖ�ßfÍ�ËhÎÞÊ�ÒSÌ É6ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ää¸ Í�É2ÏÇÒRÅhÛqÅ{ÎÐÃqÝ�Å{Ò8Ê�É6ÃqÖ$Í�É2ÅêÊ�Ñ4ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ Ê�Ñ�ÔÄ$Í�Î�Ï ÊÐÝ�Î�Ê�ËhÈ�Ï Ê�ÛqÅ�ÊÞÑ'ÛqÅhÌjÉ Å{Éhë

@ % ï ��¿ ïBö ø � t§¾X½¡¾dÂ9Ä Ï Ü§» � ×]º4»]Ñ7Â Ï � ¼eÂ�Ñ�¾ Ï � Ð"»]½$Âe¼ut)Ñ�|�t)ÂeÁKtW»]º�Â�ºc¼®¾®Ð"¾�½$Ä ï�Ï º4¿ò Ä6ÀÅÁKtó¼ut Ï ¼ Ô�ËhÒg´eï4ë¡ò�µ ¯ � Áv»]Ñ�Ü4Àż®¾6Ä ð Ä$ÀkÁPt�¼ut Ï ¼ ï§ð¹ü �U´ Ä<ÃBÒRò�µPMKT¿��S�c+�Z ��×6Ï Õ�ÅTÝ�Ì Å{ËPÅ{Ò�ÊÞÑRÔÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ Å�ç�Ñ�Ò�ÊÞÑ'Ï2ÅhÔqÅhÌjÉ�(èÈqÑ�Ò��6É Í�ËjÕ�Ï Õ�È�Ï

ïS( � ò�� ¯ Ô�ËhÒ ´eïcë¡ò�µ ¯ �]ìã�ÕRÅ{Ñ3òG÷�´eïU( f �'µNÙRÉ2Ã�ïS(óü �U´ Ä`Ã9ÒRò�µNë¦å�ÅhÏÉð�Æ�Å�(�Ì Å{Ò�Í�ËPÅ{Ò�Ä`Ã9Ò�Í�ÎÐÃròêë¦ã�ÕRÅ{Ñï[ð�ü ��´ Ä<ÃBÒRò�µNëó�^ÎÞÉ2ÃQÈqÑL×äËPÃ�ÄoÄ<Ã�Ñ Ò�ÊÐÛ9ÊÞÉ2ÃqÌ�ÃqÖBðÈqÑ�Ò�ò(Ä�Í�É2ÏaÒ�ÊÐÛ9ÊÞÒRÅR��Ù1É2ÃÔ�ËhÒg´Ãð&ë¡ò�µ ¯ �TÈqÑ�ÒWð N : <� ë

O©%Ñ?Ý�ÌjÈqËPÏ Ê�ËPÅTÃqÖ§ËPÃ�ÍRÌNÉ2Å�(�"�ÈqÑ�Ò��`"§È�Ì ÅaÌ Å{Ò�Í�ËPÅ{Ò?Ä`Ã9Ò�Í�ÎÐÃ7ò,È�Ï�Å{ÈqËjÕìÉ2Ï È�ÔqÅqëÉ�^É

ÈoËPÃ�Ñ�É2Å{é9ÍRÅ{Ñ�ËPÅaÃqÖ1Ï Õ�ÅTÅPÜBÊÞÉ2Ï2Å{Ñ�ËPÅaÃqÖ§Ä�Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�Î�Ê�ËhÈ�Ï ÊÐÛqÅ�Ê�ÑLÛqÅhÌjÉ2Å{É�ÊÞÑ : <� í�Å$Õ�ÈyÛqÅaÏ ÕRÅÖDÃ�Î�Î�Ãyí�Ê�Ñ�ÔRë

@ % ï ��¿ ïBö D�q Ò ò Â2Ä Ï ºk×�ܧ»�Ä6Â�¼eÂu�]¾rÂ9º4¼®¾ÔÐ"¾X½ � :�<� Ò�»]½6Ñ Ä Ï Ð�½¡»]À&ÜÍÀ§º4¿)¾X½�Ñ À � ¼e嬆 � Âu{Á Ï ¼eÂû]º�Ñb»�¿]À � » òNMKT¿��S�c+�Z ©%Ï�Ê�É1ÑRÃqÏ1Ò�Ê|ÕoËhÍ�Î�Ï�Ï2Ã^ÛqÅhÌNÊÐÖD×�Ï Õ�È�Ï :�<� Ê�É1ËhÎÐÃ�É2Å{Ò�Í�Ñ�ÒRÅhÌ1Ä$Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�Î�ÊÞËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ

Ä<Ã9Ò�Í�ÎÐÃÊòêë ©%ÏTËPÃ�ÑLÏ ÈqÊ�Ñ�É�Ï ÕRÅ<Ä�Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�Î�Ê�ËhÈ�Ï ÊÐÛqÅÊ�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐÏ�×Ù��Ù�ÈqÑ�ÒäÆ9×QÏ Õ�Å<Ý�Ì Å{ËPÅ{Ò�Ê�Ñ�ÔÏ ÕRÅhÃqÌ Å{Ä ËPÃ�ÑLÏ ÈqÊ�Ñ�É^È<Ä$Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�Î�ÊÞËhÈ�Ï ÊÐÛqÅ�Ê�Ñ'ÛqÅhÌNÉ2Å�ÖDÃqÌ�Å{ÈqËjÕèÃqÖ1ÊÐÏ É�Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ Éhë

O

Page 12: Number Theory.pdf

A ! À ö/ð/ Fï > ã�ÕRÅTÄ�Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�ÎÞÊ�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ�Ï È�Æ�ÎÐÅ�ÃqÖ : < G�� Ê�É

X Q T � [ X8X X'R X�TX X Q T � [ X8X X'R X�TQ Q T [ X�T X � X8X X�RT T [ X X'R Q X�T � XSX� � X�T X�R T X8X Q X [[ [ X Q X8X T X'R X�T �XSX X8X � X�T Q X'R X [ TX�R X'R XSX � X X�T [ T QX�T X�T X�R XSX [ � T Q X

}�ÃqÏ2Å{É�x��ë^ã�Õ�Å1Å{é9Í�È�Ï ÊÐÃ�Ñ�(4±Bü �U´ Ä`Ã9Ò�����µ"Õ�ÈqÉ�É2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ�É�(óü �]ë f �]ë2ýÅë f ýO´ Ä<Ã9ÒU����µNëü9ë : < G�� Ê�É�Ê�É2Ã�Ä<ÃqÌ Ý�Õ�Ê�Ë^Ï2à : ²�� : ± ´ Í�Ñ�ÒRÅhÌ�ÈqÒ�Ò�ÊÐÏ Ê�Ã�Ñ4µfÛ9Ê�È�´u�vë��"µ���Ö´ f �'µ��\ü " ë

� � ¤7� ��¤7���BpS���ä�E��éN  s����Jp è� 7q¢¡7�Jpa�äè��wêÅ`Õ�È{ÛqÅ�¸ Í�É2Ï�É2ÅhÅ{ÑìÏ Õ�È�Ï : = Ê�É�ÈoÔqÌ Ã�Í�ÝäÍ�Ñ�ÒRÅhÌ^Ä�Í�ÎÐÏ Ê�Ý�Î�Ê�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�ÑQÄ<Ã9Ò�Í�ÎÐà F ë�ã�Õ�ÅÃqÌjÒRÅḩÃqÖ�Ï Õ�Å�ÔqÌ Ã�ÍRÝ : = Ê�É � ´ F µ$ÚLÌ Å{ËhÈqÎ�Î�Ê�Ñ�Ô^È�Î�ÊÐÏ2Ï Î�ŬÔqÌ Ã�Í�Ý<Ï ÕRÅhÃqÌ ×qÙ�í�Å�Õ�È{ÛqÅ�߬Í�ÎÐÅhÌ�Ì Éã�ÕRÅhÃqÌ Å{ÄRx@ % ï ��¿ ïBö û9ú¤£ »]½ Ï ���kF Ï º4¿ Ï �u� ï Ä6ÀÅÁKt�¼ut Ï ¼ Ô�ËhÒg´eï4ë F µ ¯ �'�

ï8¥`¦ =�§ ü � ´ Ä<ÃBÒ F µ$ì�^É^È`É2Ý�Å{ËhÊ�ÈqÎ"ËhÈqÉ2ÅqÙ�ÈqÎ�É2ÃoàRÅhÌNÄ`È�ÏXÌ É�ã�Õ�ÅhÃqÌ Å{ÄRx

@ % ï ��¿ ïBö û�û q Ò I Â9ÄÉÜ4½6Â9Ñ�¾ ¼ut§¾Xº ÒX»]½ Ï ��� ï Ä$ÀkÁPt�¼ut Ï ¼ Ô�ËhÒd´eï4ë I µ ¯ �'�ï H 7 G ü � ´ Ä`Ã9Ò I µ$ì

ã�ÕRÅËPÃ�Ñ'ÛqÅhÌNÉ2ÅÃqÖfàRÅhÌjÄ`È�ÏXÌ É�ã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä í¬Ã�Í�ÎÞÒ?Ô�ÊÐÛqÅ<Í�ÉWÈoÏ2Å{É Ï^ÖFÃqÌ�Ý�ÌjÊ�Ä`ÈqÎÞÊÐÏ�×ÇÊÐÖÊÐÏ�í�ÅhÌ Å�Ï2ÌjÍRÅqëB©%Ï�Ê�É^Ñ�ÃqÏ^Ï2ÌjÍ�Åqë^ã�Õ�ÊÞÉ�í�Ê�Î�Î�ÆXÅ�É2ÅhÅ{ÑäÊ�Ñ?Ï Õ�Å�É2Å{ËPÏ Ê�Ã�ÑQÃ�Ñÿá*È�ÌjÄoÊ�ËjÕ�È�Å{Î}^Í�Ä$Æ�ÅhÌjÉhë

�X�

Page 13: Number Theory.pdf

¨ � ¤7� Û¤�u$ 7�J���A© ��� è�u$ 7q��Jp � ¤7�J��pS���@ % ï ��¿ ïBö ûB÷nª ¾X¼ ò G ë¡ò ± ëXìXìXì�ë¡ò�« v$¾Í½�¾ � Ï ¼eÂ���¾ � ×�Ü4½$Â�Ñ�¾ÍÂ�ºUÜ Ï Â9½$Ä M ª ¾X¼ ò ¬ò G ù�ò ± ùXùXù�ò�«`M ª ¾�¼ ï G ë�ï ± ëXìXìXì*ë�ïU« vv¾ Ï ºc×3Â�ºc¼®¾ÔÐ[¾�½$Ä M � t§¾�º�¼ut§¾X½¡¾7Â2Ä Ï À§ºk Àc¾ �N : � Ä6ÀÅÁKt�¼ut Ï ¼ ��üOï " ´ Ä<ÃBÒRò " µ ÒX»]½ � ¯ �]ëjü[ëXìXìXì*ë = M

KT¿��S�c+�Z àRÃqÌ�Å{ÈqËNÕ�� ÙÅò�~&ò " Ê�É�ÈqÑ�Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ{Ù�ËhÈqÎ�Î"ÊÐÏ F­" Ù�ÈqÑ�ÒÇÔ�ËhÒd´�ò " ë F­" µ ¯ ��ëã�ÕLÍ�É�í¬ÅTÄoÈ{×Çç�Ñ�Ò�ÈqÑèÊ�Ñ'ÛqÅhÌNÉ2Ådð " É Í�ËjÕ�Ï Õ�È�Ï F­" ð " ü �U´ Ä<ÃBÒRò " µNë�}�Ã\í ÎÐÅhÏ

� 5 ¯ «® "°¯ G F­" ð " ï " ëÈqÑ�Ò Î�ÅhÏ��äÆ�Å!� 5 Ì Å{Ò�Í�ËPÅ{Ò Ä<Ã9Ò�Í�ÎÐÃRòêëèá*ÎÐÅ{È�ÌNÎÐ×äÖDÃqÌ$Å{ÈqËjÕ<� ¯ �]ëjü[ëXìXìXì*ë = Ù§É Ê�Ñ�ËPÅò " ÷ F � ÊÐÖ���ú¯ �RÙ�í�ÅaÕ�ÈyÛqÅ ��üW� 5 ü F­" ð " ï " ´ Ä<Ã9Ò�ò " µ$ì©}Öh( N : � Ê�É^ÈqÑ'×�ÃqÏ ÕRÅhÌ�Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ^í^ÊÐÏ Õ�Ï ÕRÅ$Ý�Ì ÃqÝ�ÅhÌ Ï�×ÇÏ Õ�È�Ï�(�ü ï " ´ Ä<Ã9Ò�ò " µ�ÖDÃqÌÅ{ÈqËjÕ±� ¯ �]ëjü[ëXìXìXì*ë = Ï ÕRÅ{ÑÆ�Å{ËhÈqÍ�É2Å*Ï ÕRÅÉò " Ì É1È�ÌjÅ�ÌjÅ{Î�È�Ï ÊÐÛqÅ{ÎÐ×$Ý�ÌjÊ�Ä<Å�Ê�Ñ$Ý�ÈqÊÐÌjÉhÙ�(RüH�´ Ä<Ã9Ò�ò�µNÙ�É2ÃG( ¯ ��ë O

ÂBÊ�Ñ�ËPÅ�Ï ÕRÅ��qÅh× ÃqÝ�ÅhÌjÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ/ÊÞÑ/Ï ÕRÅ6È�Æ�ÃyÛqÅ�Ê�ÉTÏ Õ�Å6ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ ÃqÖ�Ï ÕRÅ�Ä�Í�ÎÐÏ ÊÐÚÝ�Î�Ê�ËhÈ�Ï ÊÐÛqÅTÊÞÑ'ÛqÅhÌjÉ Å{ÉBð#"}Ù�í�ÅaÄ`Èy×�È�Ý�Ý�ÎÐ×�Ý�Ì ÅhÛBÊÐÃ�Í�É*Ì Å{É Í�ÎÐÏ É*Ï2Ã`ÔqÅhÏ�Ï ÕRÅaÖDÃ�Î�Î�Ãyí�Ê�Ñ�ÔRë. ��¿�� e À�¿&#�û"� � t§¾�½�¾ Â9Ä Ï Ü§» � ×]º4»]Ñ7Â Ï � ¼eÂ�Ñ�¾WÜ4½¡»�Á$¾v¿]À§½¡¾�¼Ô»OÁv»�ÑBÜ�À§¼®¾ � Ò6½³»]Ñò G ë¡ò ± ëXìXìXì*ë¡ò�«3Ï º4¿ ï G ë�ï ± ëXìXìXì�ë�ïU« Â�º�¼ut§¾ Ï vv»��]¾ MA ! À ö/ð/ Fï û - Â9Ã�ÎÐÛqÅ�Ï Õ�ÅaÉ Ê�Ä�Í�ÎÐÏ ÈqÑRÅhÃ�Í�É*Å{éLÍ�È�Ï Ê�Ã�Ñ�É(óü �{þ ´ Ä<ÃBÒ�����µ$ë (óüO� ´ Ä`Ã9Ò�����µ$ë (óü4ý ´ Ä<ÃBÒ�Î�µ$ìã�ÕRÅ{ÑRò ¯ �����]�BÙ

F G ¯ ���{üdü Î ´ Ä<Ã9ÒU����µ$ë^ÈqÑ�Ò�ð G ¯ �{þ[ëF ± ¯ �X���düO� ´ Ä<Ã9ÒU����µ$ë^ÈqÑ�Ò�ð ± ¯ �[ëF I ¯ üJý��gü8ü ´ Ä<Ã9ÒÍÎ�µ$ë�ÈqÑ�ÒWð²I ¯ ýÅì

Â9Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�Ñ�ÊÞÉ( ü ���{üzù��{þzù��{þ � �X���zù'��ù'� � üJý��zù{ýzù{ý ´ Ä<Ã9ÒU�����]�)µ$ë( ü �§�{þ ´ Ä<ÃBÒ������]�)µ$ì´ â�Å{Ä`È�Ìv�4xWÉ2ÅhÅ�ÈqÎÞÉ2Ã�Ï Õ�Å�É2Å{ËPÏ Ê�Ã�ÑèÃ�ÑäÄ<ÃBÒ�Í�ÎÞÈ�Ì^È�ÌjÊÐÏ Õ�Ä<ÅhÏ Ê�ËaÊÞÑ��TÑ9ÍRÏ Õ"Ù4�§Ã�Î�ë�©�©

�����±ë¶µ

���

Page 14: Number Theory.pdf

³  U� �Ê�� 7�� ��Su�è��Su��� � �dqbs����µ´A ! À ö/ð/ Fï û[, á*ÈqÎ�ËhÍ�Î�È�Ï2Åaü�¶¸·�´ Ä<ÃBÒQüqü�µNë

ü G ü ü ´ Ä<Ã9Ò?üqü�µü ± ü ý ´ Ä<Ã9Ò?üqü�µü ² ü ��� ´ Ä<Ã9Òèüqü�µü�¹ ü ü���� ü �Pý ´ Ä<ÃBÒ?üqü�µ

ü G ¶ ü �Pýrù"�Pý ü8ü]� ´ Ä`Ã9ÒQüqü�µü I ± ü ü]�zùJü]�gü�ý ´ Ä<ÃBÒQüqü�µü ¶ ² ü ýrùhý7ü ��� ´ Ä<ÃBÒQüqü�µü ¶¸· ü ü ¶ ² ùyü ± ùJü G ü ����ùhýrùyüdü ��� ´ Ä<ÃBÒQüqü�µ$ì

@ % ï ��¿ ïBö û ?F� tž�½�¾�Â9Ä Ï Ü§» � ×]º4»]Ñ7Â Ï � ¼eÂ9Ñ�¾�Ü4½³»'Á$¾�¿�À[½�¾�|�t)ÂÃÁPtÊ»]ºWÂ9º]Ü�À§¼�Ä ïcë¡ò�ë FÁ Ï � ÁXÀ � Ï ¼®¾6Ä Ï ºkÀ§Ñ!vv¾X½ � N : = Ä$ÀkÁPt�¼ut Ï ¼ ��üÛï � ´ Ä<ÃBÒ F µPM

KT¿��S�c+�Z ÂBÍ�Ý�Ý�Ã�É2ÅWò Ê�É�í�ÌjÊÐÏ2Ï2Å{Ñ�Ã�ÍRÏ�Ê�Ñ Æ�Ê�Ñ�È�Ìj× ÑRÃqÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ8ÈqÉ6Ï ÕRÅêÉ2Ï2ÌjÊ�Ñ�Ôð G ð ± ìXìXì6ð à Ù�í�ÕRÅhÌ ÅaÅ{ÈqËjÕ�ð " Ê�É��`ÃqÌg��ë*ÂBÏ È�Ì Ï�í�ÊÐÏ Õ�( ­ ¯ ��ë~©%Ñ�Ò�Í�ËPÏ ÊÐÛqÅ{ÎÐ×ÇËhÈqÎ�ËhÍ�Î�È�Ï2Å( " J G ÖDÌjÃ�ĺ( " ÈqÉ�ÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�Éhë

» ©%Ö/ð "a¯ �<Ï ÕRÅ{Ñ�( " J G Ê�ɼ( ±" Ì Å{Ò�Í�ËPÅ{Ò?Ä<ÃBÒ F ë» ©%Ö/ð "J¯ ��Ï ÕRÅ{Ñ�( " J G Ê�É�ïgù�(4±" Ì Å{Ò�Í�ËPÅ{Ò?Ä<ÃBÒ F ë

à1ÊÞÑ�ÈqÎ�ÎÐ×�Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRϼ( à ëã�Õ�Ê�ÉfÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ ÅWËPÃqÌ Ì Å{ËPÏ ÎÐ×�ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ2Å{ɽ��ÙRÈqÑ�Ò�ËhÈqÎ�ËhÍ�Î�È�Ï2Å{É*È�Ï�Ä<Ã�É2Ï�ü�ùS¾FÎÐÃqÔ ± ò�¿Ý�Ì ÃBÒ�Í�ËPÏ É�Ä`Ã9Ò�Í�ÎÐà F ÃqÖ¦Ñ9Í�Ä$ÆXÅhÌNÉ�ÖFÌ Ã�Ä : = ÙXÉ ÃoÌjÍ�Ñ�É�Ê�ÑQÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å�Ê�Ñ?Ï ÕRÅÎÐÅ{ÑRÔqÏ Õ�É�ÃqÖ/ï4ë¡ò�ë F ë

O´ â�Å{Ä`È�Ìv�4x§ÊÐÖXÔ�ËhÒg´eï4ë F µ ¯ ��ÈqÑ�Ò<í�Å^Õ�È�Ý�Ý�Å{ÑÏ2Ãg�9ÑRÃ\í � ´ F µ1Ï ÕRÅ{Ñoí¬Å^ËhÈqÑoÍ�É2Å

ßfÍ�ÎÐÅhÌ'Ì É�ã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä.Ï2Ã<Ì Å{Ò�Í�ËPÅ�ò�Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà � ´ F µfÆXÅhÖFÃqÌ Å�í�Å�É Ï È�Ì Ï�Ï Õ�Ê�É�Ý�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌjÅq붵ã�Õ�Ê�É�Ï ÕRÅhÃqÌ Å{Ä ÉjÕRÃyí�É�Ï Õ�È�Ï�í�Å$ËhÈqÑQÅPÜ9Ý�Ã�ÑRÅ{ÑLÏ Ê�È�Ï2Å$ÅXÕoËhÊÐÅ{ÑLÏ ÎÐ×�Ä<Ã9Ò�Í�ÎÐà F Ù�Æ�Í�Ï

í�Õ�È�Ï�È�Æ�Ã�ÍRÏoÏ ÕRÅQÊ�ÑLÛqÅhÌjÉ2ÅèÃqÝXÅhÌNÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ�É$· à�Ê�Ñ�Ò�Ê�ÑRÔ ½¡»�»�¼�Ä ÃqÖTÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌjÉ`Ä<ÃBÒ�Í�Î�à FÈ�Ý�Ý�Å{È�ÌjÉ�ÈWÎÞÊÐÏ2Ï ÎÐÅ*ÎÐÅ{É É1Ï2ÌjÈqËPÏ È�Æ�ÎÐÅqÙLÈqÑ�Ò�ç�Ñ�Ò�Ê�Ñ�Ô � »vÐ Ï ½6Â�¼ut"ÑgÄ ´FÃqÌ Â9º4¿�ÂeÁ6¾6Ä µ�ÃqÖ�Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌjÉÄ<Ã9Ò�Í�ÎÐà F É2ÅhÅ{ÄoÉ�É ÍkÕoËhÊÐÅ{ÑLÏ ÎÐ×WÊÞÑ'Ï2ÌjÈqËPÏ È�Æ�ÎÐÅfÏ Õ�È�Ï1ÊÐÏ�Õ�ÈqÉ�Æ�ÅhÅ{ÑTÝ�Ì ÃqÝ�Ã�É2Å{Ò$ÈqÉ�Ï ÕRŬÆ�ÈqÉ Ê�ÉÃqÖ*ËPÅhÌjÏ ÈqÊ�ÑÿÉ ËNÕRÅ{Ä<Å{É$ÖDÃqÌaËPÌj×LÝ�Ï2ÃqÔqÌNÈ�Ý�Õ'×që6ã�ÕRÅ{É2Å<Ï}í¬ÃèÝ�Ì ÃqÆ�Î�Å{Ä`É�È�Ì ÅoÒ�ÊÞÉ ËhÍ�É É2Å{ÒäÊ�ÑÎ�È�Ï2ÅhÌ^É2Å{ËPÏ Ê�Ã�Ñ�Éhë

�{ü

Page 15: Number Theory.pdf

À � �Á uv�Et/¢dtJ�$u�tåuvé uv� �7pauv� �â�Å{ËhÈqÎ�Î§Ï Õ�È�Ï�ÖDÃqÌ�Å{ÈqËNÕÿÝ�Ã�É ÊÐÏ ÊÐÛqÅ<Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ F Ù :�<= Ê�É�ÈÇÔqÌ Ã�ÍRÝÿÍ�Ñ�ÒRÅhÌ�Ä$Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�Î�ÊÞËhÈ�Ï ÊÐÃ�ÑÄ<Ã9Ò�Í�ÎÐà F ë¦ã�ÕRÅ�ÔqÃ�ÈqÎ�ÃqÖ1Ï Õ�Ê�É�É2Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ?ÊÞÉ�Ï2ÃoÉ ÕRÃ\í�Ï ÕRÅTÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�Ê�ÑRÔÏ ÕRÅhÃqÌjÅ{Ä�ë

@ % ï ��¿ ïBö û�ø q Ò I Â9ÄÉÜ4½6Â9Ñ�¾ ¼ut§¾Xº :�<H Â9Ä Ï Á�×�Á � ÂÃÁzÐ�½¡»]À&ÜG»³Òg»]½¡¿)¾X½ I�f �2M´e�*Ï�Ï Õ�Ê�É�Ý�Ã�Ê�ÑLÏ�È6ËPÅhÌ Ï ÈqÊ�ÑìËPÃ�ÑRÖFÍ�É ÊÐÃ�Ñ?Ê�É�Ý�Ã�É É ÊÐÆ�Î�Å�xfÊÐÏ^ÊÞÉ�ÈqÑèÅ{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ È�Ì ×�Ì Å{É Í�Î�Ï

ÃqÖ¬ÔqÌ Ã�Í�ÝêÏ ÕRÅhÃqÌ ×ìÏ Õ�È�Ï�ÅhÛqÅhÌ ×ìÔqÌ Ã�ÍRÝêÃqÖ�Ý�ÌjÊ�Ä<Å�ÃqÌjÒRÅhÌTÊÞÉWËP×BËhÎ�Ê�Ë�Ù�É2Ã�í�ÕL×èÊ�ÉWÏ Õ�Ê�É�È��Ê�Ôoã�ÕRÅhÃqÌ Å{ÄÊ·Qã�ÕRÅ�Ì Å{ÈqÉ2Ã�ÑèÊ�É�Ï Õ�È�Ï�Ï Õ�ÅTÃqÌjÒRÅhÌ�ÃqÖ�Ï ÕRÅaÔqÌ Ã�ÍRÝ : <H ÊÞÉ I3f ��Ù�í^Õ�Ê�ËjÕÊ�É�ÑRÃqÏ È<Ý�ÌjÊ�Ä<Å`öµ

KT¿��S�c+�Z å�ÅhÏ I Æ�ÅTÈ<Ý�ÌjÊ�Ä`Åqë¬á*ÎÐÅ{È�ÌjÎÐ×qÙRÏ Õ�Å�ÃqÌjÒRÅhÌ�ÃqÖ : <H Ê�É � ´ I µ ¯;I3f ��ë�ã�ÃÉ2ÅhÅ`Ï Õ�È�Ï : <H ÊÞÉTËP×9ËhÎÞÊ�Ë�Ù�í�ÅoÉ ÕRÃ\í Ï Õ�È�ÏTÊÐÏTÕ�ÈqÉaÈqÑêÅ{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏTÃqÖ�ÃqÌjÒRÅhÌ I�f ��ëoã�Õ�ÊÞÉÊ�É�ÈqËjÕ�ÊÐÅhÛqÅ{ÒÿÆL×ìËPÃ�Í�Ñ'Ï ÊÞÑRÔ�Å{Î�Å{Ä<Å{Ñ'Ï É�ÃqÖ�Ò�Ê�Ó�ÅhÌ Å{ÑLÏWÃqÌNÒRÅhÌjÉhëTå�ÅhÏrñ�Æ�Å�ÈqÑL×QÝ�Ã�É ÊÐÏ Ê�ÛqÅÊ�Ñ'Ï2ÅhÔqÅhÌWÉ Í�ËNÕ�Ï Õ�È�ÏBñ�÷�´ IÊf �'µNë�ÄWÅhç�Ñ�Å

Å�Æ ¯ ê'ï N : <H x�ïÇÊ�É*ÃqÖ1ÃqÌjÒRÅhÌ�ñÅí�ìã�ÕRÅ{É2ÅTÉ2ÅhÏ É�Ý�È�Ì Ï ÊÐÏ Ê�Ã�Ñ : <H Ù�É2Ã`í�ÅaÕ�ÈyÛqÅ

®Æ�Ç ¦ H 7 G § ÷ÈÅ�Æ)÷ ¯ ÷ : <H ÷ ¯GI3f �]ì ´³�'µ

à�ʪÜóñ6É Í�ËNÕ�Ï Õ�È�ÏBñ�÷�´ IÊf �'µNë~wêÅ$É Õ�Ãyí�Ï Õ�È�Ï�Å{ÊÐÏ ÕRÅhÌ ÷ÈÅ�Æ)÷ ¯ �<ÃqÌ ÷ÈÅ�Æ[÷ ¯Y� ´eñ[µYëÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å-Å­ÆaÊ�ÉWÑRÃ�ÑRÅ{Ä<Ý�Ï�×?ÈqÑ�ÒìËjÕRÃ9Ã�É2ÅÉ2Ã�Ä<Å7ï N Å­Æ�ë^ã�ÕRÅ{Ñ�ïcë�ï[±]ëXì|ì|ì|ë�ï Æ È�ÌjÅ�ÈqÎ�ÎÒ�Ê�É2Ï Ê�Ñ�ËPÏ$Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ÈqÑ�ÒØÅ{ÈqËjÕ Ã�ÑRÅ�Ê�É�ÈäÉ2Ã�Î�ÍRÏ Ê�Ã�Ñ/ÃqÖ�( Æ ü��U´ Ä<ÃBÒ I µNë���×/Ï ÕRÅÎÐÅ{Ä`Ä`ÈoÆXÅ{Î�ÃyíTÙ�Ï Õ�Ê�É�Å{é9Í�È�Ï ÊÐÃ�ÑèÕ�ÈqÉ^È�ÏWÄ<Ã�É2Ï�ñ6É Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�Ñ�É�Ä<Ã9Ò�Í�ÎÐà I ÙXÉ2Ã`Ï ÕRÅ{É Å�È�Ì ÅÈqÎ�Î"ÃqÖ1Ï ÕRÅaÉ2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ�Éhë�^Å{Ñ�ËPÅ

Å�Æ�ÉÛê'ï[à xk�rÿ�áóÿQñkí�ìà�ʪÜRáXÙ*�bÿ áLÿ ñ�ëJ©}Ö1Ô�ËhÒg´Ãá�ë�ñ§µ ¯oÊ�Ë ��Ù�Ï ÕRÅ{Ñ

´eï à µ ÆÍÌÏÎ ¯ ´eï à ÌÏÎ µ Æ ü � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ëÉ2Ã�ï à Õ�ÈqÉ�ÃqÌjÒRÅhÌ�Î�Å{É É�Ï Õ�ÈqÑ�ñ6ÈqÑ�Ò�ï à úN Å�ÆqëJ©%Ö1Ô�ËhÒg´Ãá�ë�ñ[µ ¯ ��Ù�Ï ÕRÅ{ÑQÏ ÕRÅhÌ Å�ÅPÜRÊ�É2Ï ÉÐ É Í�ËjÕÿÏ Õ�È�Ïgá Ð ü �U´ Ä<ÃBÒ�ñ[µNëÊ��Å{Ñ�ËPÅÊï àPÑ ü ïO´ Ä<ÃBÒ I µNëoàRÃqÌÈqÑL× Ê Ù~��ÿ Ê ÿñ f ��Ù

´¡´eï[à�µ Î µÒÑ4üÛï Î úü � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ëÉ2Ã�ï à Ê�É*ÃqÖ�ÃqÌjÒ�ÅhÌBñ�Ù�ʱë ÅqëÐÙkï à N Å�Æqë

�{þ

Page 16: Number Theory.pdf

ã�Õ9Í�É�í�ÅaÕ�È{ÛqÅ$É ÕRÃyí^ÑÅ�Æ ¯ ê'ï à xc�zÿ�á�ÿQñkë2Ô�ËhÒ ´Ãá�ë�ñ[µ ¯ ��í�ëÉ2ÃÍ÷ÈÅ�Æ)÷ ¯Y� ´Ôñ[µNÙ�ÈqÉ�ÌjÅ{éLÍ�Ê�Ì Å{Ò"ë

}�Ã\í ÉjÍRÝ�Ý�Ã�É2ÅWÏ Õ�È�Ï�ÖFÃqÌ^É2Ã�Ä<Årñ6É Í�ËNÕ�Ï Õ�È�ÏBñ�÷�´ IÊf �'µNÙ/÷ÈÅ�Æ"÷ ¯ �Bëfã�ÕRÅ{Ñ®Æ�Ç H 7 G ÷ÈÅ�Æ)÷Ó� ®Æ�Ç H 7 G � ´eñ[µ�ì�¬×ÇÏ ÕRÅ$É2Å{ËPÃ�Ñ�Ò?ÎÐÅ{ÄoÄ`ÈÆ�Å{ÎÐÃyíTÙ ®Æ�Ç H 7 G � ´Ôñ[µ ¯GIÊf �]ëí�Õ�Ê�ËNÕÓÔ�ÊÐÛqÅ{ÉoÈÿËPÃ�ÑLÏ2ÌjÈqÒ�ÊÞËPÏ ÊÐÃ�Ñ í�ÊÐÏ Õ ´³�'µ`È�Æ�ÃyÛqÅqë��^Å{Ñ�ËPÅqÙ*ÖDÃqÌoÅ{ÈqËjÕ�ñ/É Í�ËNÕ Ï Õ�È�Ïñ�÷�´ IRf �'µNÙ�í¬Å�Õ�È{ÛqÅ�÷ÈÅ�Æ"÷ ¯Ô� ´eñ§µYÙXÉ Ã�Ê�ÑQÝ�È�Ì Ï Ê�ËhÍ�ÎÞÈ�Ì{ÙRÏ ÕRÅÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌ�ÃqÖ¦Å{ÎÐÅ{Ä`Å{Ñ'Ï É^ÃqÖÃqÌjÒRÅhÌ I3f �TÊ�É � ´ I3f �'µPë Ol¬ïBö ö ÀÓû D�q Ò I Â2ÄÉÜ4½6Â�Ñb¾ Ï º4¿@Õ ´u(�µ ¯ ï ­ ( =s� ï G ( = 7 G � ì|ì|ì � ï = Â2ÄzÄ6ÀkÁPt�¼ut Ï ¼Õ ´Ãð�µzúüÛ�Q´ Ä<ÃBÒ I µ ÒX»]½�Ä�»]Ñ�¾ ð�� ¼ut§¾XºÕ ´u(�µüO��´ Ä<ÃBÒ I µ t Ï Ä Ï ¼Ñb»�Ä�¼ F ¿]Â9Ä6¼eÂ�º4Á�¼Ä�» � ÀżeÂe»]ºkÄdÑb»�¿]À � » I M

KT¿��S�c+�Z ��×ÇÊÞÑ�Ò�Í�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�ëÊ9µ�àRÃqÌ F ¯ �BÙ Õ ´u(Sµ ¯ ï ­ Ù�É2Ã6Ê�Ö Õ ´ÃðXµgúüM�Q´ Ä<ÃBÒ I µ�ÖDÃqÌ�É2Ã�Ä<Å�ð�Ï Õ�Å{Ñ�ï ­ úüM�

´ Ä<Ã9Ò I µ*É2Ãbï ­ üÛ��´ Ä<ÃBÒ I µ�Õ�ÈqÉ�ÑRÃ`É2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÉhëÊ�Ê9µd�^ÉjÉ Í�Ä<Å�Ï ÕRÅÇÌ Å{É Í�ÎÐÏ$ÖDÃqÌ FUf ��ëÿå�ÅhÏ Õ ´u(�µ ¯ ï ­ ( = � ï G ( = 7 G½� ì|ì|ì � ï =ÈqÑ�Ò/ÎÐÅhÏ ðÆ�ÅoÉ Í�ËNÕÿÏ Õ�È�Ï Õ ´Ãð�µÊúü ��´ Ä<ÃBÒ I µNë?ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å Õ ´u� " µrü ��´ Ä<ÃBÒ I µ�ÖDÃqÌ� G ëC� ± ëXìXìXì*ëC� = J G Ù�ÈqÎ�Î1Ò�Ê�É2Ï Ê�Ñ�ËPÏ�Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ë�©%ÖJï ­ üM��´ Ä`Ã9Ò I µ�Ï ÕRÅ{ÑèÏ ÕRÅ�Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ú

Ä`Ê�ÈqÎ�Ö�´u(�µ ¯ ï G ( = 7 G � ì|ì|ì � ï = Õ�ÈqɬÄ`ÃqÌ Å^Ï Õ�ÈqÑ Fbf �^Ò�Ê�É2Ï ÊÞÑ�ËPÏfÉ2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÉfÄ`Ã9Ò�Í�ÎÐÃI Ù�ËPÃ�ÑLÏ2ÌjÈqÒ�Ê�ËPÏ Ê�Ñ�Ô�Ï ÕRÅ`Ê�Ñ�Ò�Í�ËPÏ ÊÐÃ�ÑèÕL×9ÝXÃqÏ Õ�Å{É Ê�Éhë<Â9Ã�í¬Å`ÄoÈ{×êÈqÉ É Í�Ä`Å�Ï Õ�È�Ïrï ­ úüÇ�´ Ä<Ã9Ò I µNë

àRÃqÌjÄ Ö�´u(Sµ ¯ ï ­ ´u( f � G µ�´u( f � ± µ4ùXùXù�´u( f � = µÈqÑ�Ò?ÎÐÅhÏ�×*´u(�µ ¯ Õ ´u(�µ f Ö�´u(SµNë¬ã�Õ�Å{Ñ×�´u(Sµ ¯ ð ­ ( = 7 G � ð G ( = 7 ± � ì|ì|ì � ð = 7 GÖDÃqÌ�É2Ã�Ä<ÅÊ�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌjÉzð G ëvð ± ëXìXìXì�ëvð = 7 G ÈqÑ�Ò ×�´u� = J G µgúü �;´ Ä<Ã9Ò I µNë ´ ã�Õ�Ê�É�ÒRÅhÝ�Å{Ñ�Ò�ÉÃ�ÑêÏ ÕRÅ`Ö ÈqËPÏTÏ Õ�È�ÏTÏ Õ�Å<Ý�Ì ÃBÒ�Í�ËPÏ�ÃqÖ�ÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌjÉWÏ Õ�È�ÏaÈ�Ì Å�ÑRÃqÏTËPÃ�ÑRÔqÌjÍRÅ{ÑLÏTÏ2ÃW�QÄ<Ã9Ò

�Pý

Page 17: Number Theory.pdf

I ËhÈqÑ�ÑRÃqÏäÆXÅØËPÃ�ÑRÔqÌjÍRÅ{ÑLÏäÏ2ÃO� Ä<ÃBÒ I 붵 ��Ã\í¬ÅhÛqÅhÌ{Ù!×*´u�`"®µ°ü ��´ Ä<ÃBÒ I µ?ÖDÃqÌ� G ëC� ± ëXìXìXì*ëC� = í�Õ�Ê�ËNÕ/È�Ì Å6ÈqÎ�ÎfÒ�ÊÞÉ2Ï Ê�Ñ�ËPÏaÄ`Ã9Ò�Í�ÎÐà I Ù§ËPÃ�ÑLÏ2ÌjÈqÒ�Ê�ËPÏ Ê�Ñ�ÔQÏ ÕRÅ6Ê�Ñ�Ò�Í�ËPÏ Ê�Ã�ÑÕ'×9Ý�ÃqÏ ÕRÅ{É Ê�Éhë

��Å{Ñ�ËPÅqÙ Õ ´u(�µüO��´ Ä<ÃBÒ I µ�ËhÈqÑQÕ�È{ÛqÅaÈ�ÏWÄ<Ã�É2Ï F É2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ�É�Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ë O}�ÃqÏ2Å$Ï Õ�È�Ï��ë�(�±¹ü �U´ Ä<ÃBÒ�����µ�Õ�ÈqÉ"ÖFÃ�ÍRÌ�Ò�Ê�É2Ï Ê�Ñ�ËPÏ"É2Ã�ÎÞÍRÏ ÊÐÃ�Ñ�ÉXx�(Rü �]ë f �]ë2ýÅë f ýO´ Ä<ÃBÒ�����µNëü9ë�( ± üO��´ Ä<ÃBÒW��µ*Õ�ÈqÉ�Ï Õ�Ì ÅhÅaÒ�Ê�É Ï Ê�Ñ�ËPÏ�É2Ã�Î�ÍRÏ Ê�Ã�Ñ�ÉXx�(óüÛ�§ëjþ[ëv�;´ Ä<ÃBÒW��µNë

l¬ïBö ö ÀÓû > £ »]½ Ï �u� ܧ»�Ä6Â�¼eÂu�]¾gÂ�ºc¼®¾ÔÐ[¾�½$Ä F �ÙØ Æ�Ç = � ´Ôñ[µ ¯�F MKT¿��S�c+�Z å�ÅhÏ F Æ�ÅWÉ2Ã�Ä`Å^Ý�Ã�É ÊÐÏ Ê�ÛqÅ^Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ{ë¦àRÃqÌ�Å{ÈqËNÕRñ<É Í�ËjÕ�Ï Õ�È�Ϲñ�÷ F ÒRÅhç�Ñ�Å

Ú Æ ¯ ê�òåùK��x�ò ¯ÛF ~�ñ�ÈqÑ�Ò�� N : <Æ í�ìá*ÎÐÅ{È�ÌjÎÐ× Ú Æ�ÉÛê)�]ëjü[ëXìXìXì/ë F í�ÈqÑ�Ò�÷ Ú Æ"÷ ¯6� ´Ãñ§µYëfá�Ã�Ñ�É ÊÞÒRÅḩÈqÑ'×@( N ê)�]ëjü[ëXìXìXì*ë F í'ëå�ÅhÏBò ¯ Ô�ËhÒd´�(*ë F µNÙcñ ¯ F ~&òêÙ�ÈqÑ�Ò�� ¯ (­~&òêë¬ã�ÕRÅ{ÑQÉ Ê�Ñ�ËPÅ�( ¯ òåù���ÈqÑ�Ò FG¯òÞù�ñ�ÙRÔ�ËhÒ ´u��ë�ñ[µ ¯ ��Ù�É2ñ( NÛÚ Æ�ë©%Ö�ÖFÃqÌ�É2Ã�Ä<Å Ê É Í�ËjÕÇÏ Õ�È�Ï Ê ÷ F í¬ÅTÕ�È{ÛqÅ�( NÛÚ Î ÙÏ ÕRÅ{Ñ:( ¯ ò�5Ü��5�í�ÕRÅhÌ Å FÙ¯ ò�5 Ê ÈqÑ�ÒQÔ�ËhÒg´ Ê ëC�Ý52µ ¯ ��ëB�^Å{Ñ�ËPÅgò�5 ¯ Ô�ËhÒg´u(*ë F µ ¯ò ÈqÑ�Ò Ê3¯ ñ�ë`ã�Õ9Í�É�ÖFÃqÌTÅ{ÈqËjÕN( N ê)�]ëjü[ëXìXìXì�ë F í'Ùz( ÆXÅ{Î�Ã�ÑRÔ�É�Ï2Ã?Ã�ÑRÅ`ÈqÑ�ÒÿÃ�Ñ�ÎÐ×Ã�ÑRÅTÃqÖ�Ï ÕRÅTÉ2ÅhÏ É Ú Æ�ë~��Å{Ñ�ËPÅ

F�¯ ® Æ�Ç = ÷ Ú Æ"÷ ¯ ® Æ�Ç = � ´eñ[µ�ì OA ! À ö/ð/ Fï ÷�ú å�ÅhÏ FG¯ ���9Ù�í�Õ�ÊÞËjÕ�Õ�ÈqÉ�Ò�ÊÐÛ9ÊÞÉ2ÃqÌjɹñ ¯ ��Ù�ü9Ù�þ9Ù4�9Ù4�9Ù*���9ë

f Þ ß fX X'[ X'[Q l lR _ _ X�Q_ R R X�ml Q Q T [ X�Z X�T X�_X'[ X X m � X8X X�R X'����

Page 18: Number Theory.pdf

� É2Ï2Ì Ã�ÑRÔqÅhÌ�Ï Õ�ÅhÃqÌ Å{Ä Ä`Èy×ÇÆXÅ�Ý�Ì ÃyÛqÅ{ÒSx@ % ï ��¿ ïBö ÷�ûÔà�á Âu�]¾Xº Ï º4¿�âaÀkÁPã�¾�½6Ñ Ï º)äÒå�æÍç � Ü Mè æKé : <= Â9Ä�Á�×�Á � ÂÃÁ�Â Ò Ï º4¿W»�º � ×Â Ò F Â9Ä �]ëjü[ë2ýÅë I à � »]½ ü I à ÒX»]½ÊÄ�»]Ñ�¾�»�¿�¿�Ü4½6Â9Ñ�¾�ºkÀ§Ñ!vv¾�½ I Ï º4¿�ÄX»]Ñ�¾ ÜÅ»�Ä$Âe¼eÂ���¾Â9ºc¼®¾®Ð"¾X½ á­M

ã�ÕRÅ^Ý�Ì Ã9ÃqÖ"ÃqÖ"Ï Õ�Ê�É¦Ï Õ�ÅhÃqÌ Å{Ä.Ê�ɦÃ�Ä`Ê�Ï2Ï2Å{Ò"ÙLÏ Õ�Ã�ÍRÔ�Õoí�Å�Í�É2Å�Ï Õ�Å^ËP×BËhÎ�Ê�ËhÊÐÏ}×<ÃqÖ : <H�êÊ�ÑÇí�Õ�È�Ï�ÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�Éhë

���

Page 19: Number Theory.pdf

n�ë ì © o]�   ãîí�ïºìð�ñ�ò�óõô�ö í^Ê�Î�Î�ÒRÅ{ÑRÃqÏ2ÅTÏ Õ�ÅaÉ2ÅhÏ�ÃqÖ�Æ�Ê�Ñ�È�Ì ×oÌ ÅhÝ�Ì Å{É2Å{ÑLÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�É�ÃqÖ�Ï ÕRÅTÝ�ÌjÊ�Ä<Å�Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌjÉ{ÙÈqÑ�Ò-÷�ø ó�ð ø öKòuù�ô�ö í�Ê�ÎÞÎqÒRÅ{ÑRÃqÏ2Å¦Ï ÕRÅ�É2ÅhÏ�ÃqÖBÆ�ÊÞÑ�È�Ì ×WÌ ÅhÝ�Ì Å{É2Å{ÑLÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�É�ÃqÖBÏ ÕRÅfÑ9Í�ÄaÆ�ÅhÌjÉÏ Õ�È�Ï�È�Ì ÅaÑ�ÃqÏ�Ý�ÌjÊ�Ä`Åqë

©}Ï�Ê�ÉWÅ{ÈqÉ2×èÏ2Ã�É2ÅhÅÏ Õ�È�Ï�÷/ø óõð ø ö�ò�ù�ô�ö N }�yBxXÊ�Ö¦Ï ÕRÅÊ�ÑRÝ�ÍRÏWÊ�É FúË �$Ï ÕRÅ{Ñäí¬ÅÔ�ÍRÅ{É É�Ï}í¬Ã`Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌjɹò�ÈqÑ�ÒRñ�É Í�ËNÕÇÏ Õ�È�Ïr���°ò�ë�ñ� F ÈqÑ�ÒÇÏ ÕRÅ{Ñ�ËjÕ�Å{Ë��Çí�ÕRÅhÏ ÕRÅhÌF�¯ ò ù'ñ�ë�©}Ö1É2ÃRÙ�í�ÅaÈqËhËPÅhÝ�Ï F ë

©}Ï�Ê�É�ÑRÃqÏ�ÈqÉ�Å{ÈqÉ2×oÏ2Ã<É Õ�Ãyí4Ï Õ�È�Ï*Ï ÕRÅ�ËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅ{Ä`Å{Ñ'Ï*É2ÅhÏhÙ ð�ñ�òuó�ô�ö Ù9ÊÞɬÊ�ÑÊ}�y�ë§wêÅÖDÃ�Î�Î�Ãyí yfÌjÈ�Ï2ÏXÌ É�Ý�ÌjÃLÃqÖ1ÃqÖ�Ï Õ�Ê�É*Ì Å{É Í�Î�Ïd���{þ��±ëfà�ÊÐÌjÉ2Ï�í�ÅTÕ�ÈyÛqÅ�x@ % ï ��¿ ïBö ÷�÷OF Â9Ä�Ü4½6Â�Ñb¾bÂ Ò Ï º4¿�»]º � ×óÂ Ò F ú¯ ��Ï º4¿ : <= Áv»]ºc¼ Ï Â9ºÅÄ Ï º ¾ � ¾�Ñ�¾�ºc¼»³Òg»]½¡¿)¾�½ F�f �2M

KT¿��S�c+�Z ÂBÍ�Ý�Ý�Ã�É2Å F ÊÞÉ�Ý�ÌNÊ�Ä<Åqë�ã�Õ�Å{Ñ F ú¯ ��ÈqÑ�Ò : <= Ê�É1ËP×9ËhÎ�ÊÞË�Ù�É Ã : <= ËPÃ�ÑLÏ ÈqÊ�Ñ�ÉÈqÑ?Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ�ÃqÖ1ÃqÌjÒRÅhÌ � ´ F µ ¯ FRf ��ë*á�Ã�ÑLÛqÅhÌjÉ2Å{Î�×qÙ�ÊÐÖ F ú¯ �TÈqÑ�Ò :�<= ËPÃ�Ñ'Ï ÈqÊÞÑ�É�ÈqÑÅ{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ�ÃqÖ�ÃqÌjÒRÅhÌ Fbf ��ÙLÏ Õ�Å{Ñ�Ï Õ�Å^ÃqÌjÒ�Åh̬ÃqÖ : <= Ê�ɬÈ�Ï*ÎÐÅ{ÈqÉ2Ï Fbf ��ë¦ã�Õ�Å{Ñoí�ÅWÄ�Í�É2ÏÕ�È{ÛqÅ � ´ F µ ¯MF�f ��Ù�É2à F ÊÞÉ*Ý�ÌjÊ�Ä<Åqë O

�§ÅhÌjÊÐÖF×9ÊÞÑRÔÇÏ Õ�È�ÏsÖ N : <= Ê�ÉWÃqÖ¬ÃqÌNÒRÅhÌ FLf �<Å{ÑLÏ ÈqÊ�Î�É�ÛqÅhÌNÊÐÖD×BÊ�ÑRÔ6Ï Õ�È�Ï�Ö = 7 Grü��´ Ä<Ã9Ò F µNÙd´Fí�Õ�Ê�ËNÕ ËhÈqÑ ÆXÅèÒRÃ�ÑRÅèÊÞÑ Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎ*Ï Ê�Ä<Å&µNÙ�Æ�ÍRÏoÈqÎ�É2Ã Ï Õ�È�Ï}Ö " úü �´ Ä<Ã9Ò F µ^ÖDÃqÌTÈqÎ�ÎÙ� ¯ ��Ù°ü9ÙÐëÐëÐëÐÙ F�f ü9ëã�ÕRÅÖFÃ�Î�ÎÐÃyí^Ê�ÑRÔ6Ï ÕRÅhÃqÌ Å{Ä�Ì Å{Ò�Í�ËPÅ{É�Ï ÕRÅ`Î�È�Ï2Ï2ÅhÌí¬ÃqÌ���x@ % ï ��¿ ïBö ÷c�¤ª ¾X¼ FûË �2M � t§¾7¾ � ¾�Ñ�¾�ºc¼ Ö Â9Äz»¡Òz»�½³¿)¾X½ F3f � Â�º : <= Â Ò Ï º4¿3»�º � ×Â Ò Ö = 7 G ü �U´ Ä`Ã9Ò F µBÏ º4¿ Ö ¦ = 7 G § Ì H úü �U´ Ä`Ã9Ò F µ Ò�»�½ Ï �u� Ü4½$Â�Ñ�¾6Ä I |�t)ÂÃÁPt�¿]Âu�'Âÿ)¾F�f �2M

KT¿��S�c+�Z ã�ÕRÅ�ÑRÅ{ËPÅ{É ÉjÊÐÏ�×ÃqÖXÏ ÕRÅ�ËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ Ê�Ã�Ñ<Ê�ɧËhÎÐÅ{È�Ì{ëfÂBÍRÝ�ÝXÃ�É Å�Ö N : <= Ù`Ö = 7 G�ü�U´ Ä<ÃBÒ F µ¦ÈqÑ�ÒGÖ ¦ = 7 G § Ì H úü �G´ Ä<Ã9Ò F µ�ÖFÃqÌ*ÈqÎÞÎ�Ý�ÌNÊ�Ä<Å{É I Ò�ÊÐÛBÊ�Ò�ÊÞÑRÔ Fbf ��ë©%ÖSò Ê�ÉÏ ÕRÅ�ÃqÌjÒRÅh̬ÃqÖ/Ö�Ê�Ñ : <= Ù'Ï ÕRÅ{Ñ`í¬ÅWÄ$Í�É Ï¦Õ�È{ÛqÅ�òG÷�´ Fdf �'µNë©%Ö4ò��E´ Fdf �'µ1Ï Õ�Å{Ñ`Ï ÕRÅhÌ ÅÅPÜBÊ�ÉjÊÐÏ ÉfÈaÝ�ÌjÊ�Ä<Å I Ò�ÊÐÛBÊ�Ò�ÊÞÑRÔ F7f ��É Í�ËNÕ`Ï Õ�È�Ï�òG÷�´ F7f �'µC~ I Ù9É Èy×W´ F f �'µC~ I�¯ òEù³ñ�ëã�ÕLÍ�É

Ö ¦ = 7 G § Ì H ü ´�Ö � µ Æ ü � ´ Ä<ÃBÒ F µËPÃ�Ñ'Ï2ÌjÈqÒ�Ê�ËPÏ Ê�ÑRÔÏ ÕRÅ�ÕL×LÝ�ÃqÏ ÕRÅ{É2Å{É�Ã�ÑÖ�ëJ�^Å{Ñ�ËPÅzò ¯�F3f ��ÈqÑ�Ò}ÖoÊ�É�ÃqÖ�ÃqÌNÒRÅhÌ F�f �Ê�Ñ :�<= ë O

�'Î

Page 20: Number Theory.pdf

ã�Õ9Í�ÉhÙ Â Ò í�Å��BÑRÅhí ÈqÎ�ÎBÏ Õ�Å�Ý�ÌjÊ�Ä`Å*Ò�ÊÐÛ9ÊÞÉ2ÃqÌjÉ1ÃqÖ Fdf ��Ù�í�Å�ËPÃ�Í�ÎÞÒ<ÛqÅhÌjÊÐÖF×$Ï Õ�È�ÏhÖ�Ê�ÉÃqÖ�ÃqÌjÒRÅhÌ F�f �¬Ê�ÑaÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`ÊÞÈqÎqÏ Ê�Ä<ÅqÙqÉ Ê�Ñ�ËPŬÈ�ϧÄ<Ã�É2Ï�¾ ÎÐÃqÔ F ¿*Ò�Ê�É Ï Ê�Ñ�ËPÏ�Ý�ÌNÊ�Ä<Å{É�Ò�ÊÐÛ9ÊÞÒRÅFWf ��ë�ã�Õ�Ê�É�Ä`Èy×QÑRÃqÏWÉ2ÅhÅ{Ä Î�Ê|�qÅaÄ�Í�ËjÕèÝ�Ì ÃqÔqÌjÅ{É ÉXÚXí¬Å�Ì ÛqÅ�Ì Å{Ò�Í�ËPÅ{ÒQÝ�ÌjÊ�Ä`ÅTÏ2Å{É2Ï Ê�ÑRÔÏ2ÃTç�Ñ�Ò�ÊÞÑRÔ^Ý�ÌjÊ�Ä<Å*Ö ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�Ñ�É{ëJ��Ã\í¬ÅhÛqÅhÌ{Ù9Ï ÕRÅ�ÈyÛJÈqÊÞÎ�È�Æ�Ê�Î�Ê�Ï�×TÃqÖ"ÑRÃ�Ñ�Ò�ÅhÏ2ÅhÌjÄ`Ê�Ñ�ÊÞÉ ÄÑRÃyí ËPÃ�Ä<Å{É�Ï2Ã`Ï Õ�ÅTÌ Å{É ËhÍRÅqë

wêÅ�ËPÃ�Ñ�É2Ï2ÌjÍ�ËPÏ�ÈoÑRÃ�Ñ�ÒRÅhÏ2ÅhÌjÄ`Ê�Ñ�Ê�É2Ï Ê�ËWÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌjÅTÏ2ÃoÏ2Å{É2ÏWÝ�ÌjÊÞÄ`ÈqÎ�ÊÐÏ}×6ÈqÉ^ÖDÃ�ÎÞÎÐÃyí�É{ëË�ÊÐÛqÅ{Ñ F Ù�Ô�ÍRÅ{ÉjÉ^ÈG¥¯ÔqÅ{ÑRÅhÌjÈ�Ï2ÃqÌv¦Ö�ÈqÑ�ÒìÈU¥¯Ý�ÌjÊÞÄ<ÅTÖ ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�Ñk¦6ÃqÖ FWf ��ëg´ ã�ÕRÅéLÍRÃqÏ2Å{ÉaÉ ÊÐÔ�Ñ�ÊÐÖF×ÇÏ Õ�È�Ï�Ï Õ�Ê�É�Ê�É^í�Õ�È�Ï�í�Åí¬Ã�Í�ÎÞÒìÎÞÊ|�qÅ$Ï Õ�Å{É2ÅÏ Õ�Ê�ÑRÔ�ÉWÏ2ÃÇÆ�ÅqÙ"Æ�ÍRÏWÏ ÕRÅh×Ä$Í�É ÏfÉ2Ï Ê�Î�Î9Æ�Å�ËjÕ�Å{Ë��qÅ{Ò"붵â�Å{ËhÍRÌjÉ Ê�ÛqÅ{ÎÐ×�ËNÕRÅ{Ë��<Å{ÈqËNÕG¥¯Ý�ÌjÊ�Ä<Å�¦�Ê�Ñ<Ï Õ�Åb¥¯Ý�ÌjÊ�Ä<Å�Ö ÈqËPÏ2ÃqÌ2ÚÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�Ñk¦aÖDÃqÌ�Ý�ÌjÊ�ÄoÈqÎ�ÊÐÏ�×qÙLÈqÑ�Ò`Ï ÕRÅ{Ñ�Í�É2Å^Ï ÕRÅ�Ý�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì Å�ÒRÅhÌjÊÐÛqÅ{ÒoÖDÌjÃ�Ä Ï ÕRÅ^Ï ÕRÅhÃqÌ Å{ÄÈ�ÆXÃ\ÛqÅaÏ2Ã`ÛqÅhÌNÊÐÖD×6Ï Õ�È�ϼÖÇÊ�É*ÃqÖ1ÃqÌjÒRÅhÌ F�f �aÊ�Ñ :�<= ëJ©%Ö�ÈqÎ�Î�ÃqÖ�Ï Õ�Ê�É�É Í�ËhËPÅhÅ{Ò�ÉhÙ�ÈqËhËPÅhÝ�ÏF ÈqÉ�Ý�ÌjÊÞÄ<Å�ØoÃqÏ ÕRÅhÌ í�Ê�É Å�Ì Å ¸¯Å{ËPÏ F ëA ! À ö/ð/ Fï ÷ - å�ÅhÏ FG¯ Î]�9ë

àRÃqÌrÎ]�Ô�ÍRÅ{É ÉüÖ ¯ þ<ÈqÑ�Ò?Ï ÕRÅ�ÖFÈqËPÏ2ÃqÌNÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�ÑÍÎ]� ¯ ü�ùyþ�ù��{þ��ë�á*Õ�Å{Ë��6Ý�ÌjÊ�Ä`ÈqÎÞÊÐÏ�×�ÃqÖ�ü9Ù�þ9Ù�ÈqÑ�Ò��{þ[x

´ È)µ�â�Å{ËPÃqÔ�Ñ�Ê|{hÅ$ü<ÈqÉ�Ý�ÌjÊ�Ä<Å´FÆ�µÇàRÃqÌ�þ�Ô�ÍRÅ{É É�Ö ¯ üÈqÑ�Ò?Ï ÕRÅTÖ ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�Ñìü ¯ ü

Ê�ë^á*Õ�Å{Ë��6Ý�ÌjÊ�Ä`ÈqÎÞÊÐÏ�×�ÃqÖ�ü[x�$ë�â�Å{ËPÃqÔ�Ñ�Ê|{hÅ�üÈqÉ�Ý�ÌjÊ�Ä<Å

Ê�Ê�ë^á*Õ�Å{Ë��ÇËPÃqÌ Ì Å{ËPÏ ÑRÅ{É É�ÃqÖ�Ï ÕRÅTÃqÌjÒRÅhÌ�ÃqÖ¦ü�Ä`Ã9Ò`þ[xü]±Bü �G´ Ä<Ã9Ò?þ�µ

Ê�Ê�Ê�ë�á�Ã�Ñ�ËhÎ�Í�ÒRÅ�Ï Õ�È�Ï^þÊÞÉ�ÈÝ�ÌjÊ�Ä`Å´ Ë'µ�àRÃqÌ �{þÔ�ÍRÅ{É É¼Ö ¯ ü<ÈqÑ�Ò�Ï ÕRÅ�Ö ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�ÑG�{ü ¯ ü ± ù\þ

Ê�ë^á*Õ�Å{Ë��6Ý�ÌjÊ�Ä`ÈqÎÞÊÐÏ�×�ÃqÖ�ü9Ù�þ[x�$ë�â�Å{ËPÃqÔ�Ñ�Ê|{hÅ�üÈqÉ�Ý�ÌjÊ�Ä<Å�Wë�â�Å{ËPÃqÔ�Ñ�Ê|{hÅ�þÈqÉ�Ý�ÌjÊ�Ä<Åb´FÖFÌ Ã�Ä5È�Æ�ÃyÛqÅ&µ

Ê�Ê�ë^á*Õ�Å{Ë��ÇËPÃqÌ Ì Å{ËPÏ ÑRÅ{É É�ÃqÖ�Ï ÕRÅTÃqÌjÒRÅhÌ�ÃqÖ¦ü�Ä`Ã9ÒR�{þ[xüLG®±Bü �G´ Ä<Ã9ÒU�{þ�µü�¶�úü �G´ Ä<Ã9Ò��{þ�µü�²búü �G´ Ä<Ã9Ò��{þ�µ

Ê�Ê�Ê�ë�á�Ã�Ñ�ËhÎ�Í�ÒRÅ�Ï Õ�È�Ïd�{þ`Ê�É�È<Ý�ÌjÊÞÄ<Åü9ë�á*Õ�Å{Ë��ÇËPÃqÌ Ì Å{ËPÏ ÑRÅ{É É�ÃqÖ�Ï ÕRÅTÃqÌjÒRÅhÌ�ÃqÖ¦þ�Ä`Ã9Ò�Î]�[x

þ · ¹ ü �G´ Ä<Ã9ÒÍÎ]��µþ ICý úü �G´ Ä<Ã9ÒÍÎ]��µþ]± ¶ úü �G´ Ä<Ã9ÒÍÎ]��µþ�¶�úü �G´ Ä<Ã9ÒWÎ]��µ

���

Page 21: Number Theory.pdf

þ9ë�á�Ã�Ñ�ËhÎ�Í�ÒRÅ�Ï Õ�È�Ï�Î]�`Ê�É�È<Ý�ÌjÊÞÄ<Åqë´ â�Å{Ä`È�Ìv�4xb�TÑ9ÍRÏ ÕSÌ ÉaÅPÜBÈqÄ`Ý�ÎÐÅ�������ÃqÖ�Ï ÕRÅ6ÖFÈqËPÏ2ÃqÌjÊÝ{{È�Ï ÊÐÃ�Ñ/ÃqÖ�ü]±YGÔ² � �oÄ`Èy×ÿÆ�Å

Ê�Ñ'Ï2ÅhÌjÅ{É2Ï Ê�ÑRÔ`Ê�ÑÇÏ Õ�Ê�É�ËPÃ�Ñ�ÑRÅ{ËPÏ ÊÐÃ�ÑÙ´��§Ã�Î�ëJ©�©YÙRÝ�ëfþJý)��µN붵ã�Ã6ÛqÅhÌjÊÐÖF×�Ï Õ�È�ÏWÏ Õ�Ê�É�Ý�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ ÅTÌNÍ�Ñ�É�Ê�ÑèÑRÃ�Ñ�ÒRÅhÏ2ÅhÌNÄ`Ê�Ñ�Ê�É Ï Ê�Ë�Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å

í¬Å�ÑRÃqÏ2ÅfÏ Õ�È�Ï�Ï ÕRÅfÑ9Í�Ä$ÆXÅhÌ�ÃqÖBÈqÑ�ÒTÏ2ÃqÏ ÈqÎ9É2Ý�ÈqËPÅfÌjÅ{éLÍ�Ê�Ì Å{Ò�ÆL×�ÈqÎ�Î�Ï ÕRŦÔ�ÍRÅ{É É Å{É�È�Ï�Å{ÈqËjÕÎÐÅhÛqÅ{ΦÃqÖ�Ì Å{ËhÍRÌjÉjÊÐÃ�ÑêÈ�Ì Å`Æ�ÃqÏ ÕGß�´ ÎÐÃqÔ F µNÙ�ÈqÑ�ÒêÏ ÕRÅoÑ9Í�Ä$ÆXÅhÌ�ÃqÖ�ÎÐÅhÛqÅ{ÎÞÉ�ÃqÖ*Ì Å{ËhÍRÌjÉ Ê�Ã�ÑÊ�É<È�ÏoÄ<Ã�É2Ïþ¾FÎ�ÃqÔ F ¿që ã�ÕRÅÇÛ�È�ÌjÊÐÃ�Í�É<ËNÕRÅ{Ë��BÊ�ÑRÔÿÃqÝ�ÅhÌjÈ�Ï Ê�Ã�Ñ�É<ËhÈqÑ Æ�Å�ÒRÃ�ÑRÅ?Ê�ÑØÏ Ê�Ä<ÅÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎ�Ê�Ñÿ¾FÎÐÃqÔ F ¿qÙ�É2Ã<í¬Å$Õ�È{ÛqÅ�x@ % ï ��¿ ïBö ÷4, ð�ñ�ò�óõô�ö N á�� M

´ â�Å{Ä`È�Ìv�4x�Ï ÕRÅ�Ý�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌjÅ{É�ÃqÖ��èÊ�Î�ÎÐÅhÌ�ÈqÑ�ÒäÂ9Ã�Î�ÃyÛ�È{×QÈqÑ�ÒêÂ9Ï2ÌjÈqÉjÉ2Å{Ñ"Ù�Ò�Ê�É ËhÍ�É É Å{ÒÊ�Ñ8Î�È�Ï2ÅhÌQÉ2Å{ËPÏ Ê�Ã�Ñ�ÉhÙ�ÒRà ÑRÃqÏ?Ò�Ê�Ì Å{ËPÏ ÎÐ× ÈqÒ�È�Ý�Ï�Ï2à Ô�ÊÐÛqÅÿÏ Õ�Ê�ÉÇÌ Å{É Í�Î�Ï6Æ�Å{ËhÈqÍ�É ÅêÆXÃqÏ ÕÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ Å{É6È�Ì ÅäÆ�ÈqÉ2Å{Ò�Ã�Ñ�ç�Ñ�Ò�ÊÞÑRÔ/í�Ê�Ï ÑRÅ{É É2Å{É�ÖDÃqÌ�ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É Ê�Ï2Å{ÑRÅ{É É6ÌjÈ�Ï ÕRÅhÌÇÏ Õ�ÈqÑÝ�ÌjÊ�Ä`ÈqÎÞÊÐÏ�×q붵

���

Page 22: Number Theory.pdf

nBn ì pauv��u³��u¸B�� pS�r�¹���Eè� 7qÖu$ 7qbu�t�J�å�ÅhÏ I Æ�Å$ÈoÝ�ÌjÊ�Ä<ÅqëÉwêÅÕ�È{ÛqÅÉ2ÅhÅ{ÑèÏ Õ�È�Ï :�<H Ê�É^ÈoËP×BËhÎ�Ê�Ë�ÔqÌ Ã�Í�Ý�Ù�ÈqÑ�ÒèÏ Õ�È�Ï :�<H Õ�ÈqÉ� ´ I3f �'µ^Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ É�ÃqÖfÃqÌNÒRÅhÌ Ióf ��ëg�WÑL×QÅ{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏsÖ N : <H ÃqÖfÃqÌjÒ�ÅhÌ�ÃqÖ IRf �Ê�ÉËhÈqÎ�ÎÐÅ{ÒQÈ Ð"¾Xº�¾�½ Ï ¼Ô»]½ ÃqÌ Ü4½6Â9Ñ7Âe¼eÂ���¾ ½¡»�»�¼ ÃqÖ I ë*å�ÅhÏ�Ö�Æ�ÅaÈ`ç�Ü9Å{ÒQÝ�ÌjÊ�Ä`Ê�Ï ÊÐÛqÅ�Ì ÃLÃqÏ^ÃqÖI ë<ßfÈqËjÕGï N : <H Õ�ÈqÉ�ÈqÉ É2ÃBËhÊ�È�Ï2Å{Òÿí^ÊÐÏ ÕêÊÐÏ�È�Í�Ñ�Ê�é9ÍRÅÊ�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ á N ê'�BÙÝ��ÙÐëÐëÐëÐÙ IÍf ��íÉ Í�ËjÕÿÏ Õ�È�Ïrï�ürÖ à ´ Ä<Ã9Ò I µNë�ã�Õ�Ê�ÉzáäÊ�É�ÒRÅ{ÑRÃqÏ2Å{ÒÿÆL× Â9º�¿�� ´e淋WÈqÑ�ÒêÊ�É�ËhÈqÎ�ÎÐÅ{ÒäÏ ÕRÅÂ9º4¿"¾�� ÃqÖïoí�Ê�Ï ÕÇÌ Å{É2Ý�Å{ËPÏ�Ï2ñÖ�ë

y¦ÌjÊÞÄ`ÊÐÏ ÊÐÛqÅ�Ì Ã9ÃqÏ É�ÈqÑ�ÒäÏ ÕRÅ{ÊÐÌTÈqÉ É Ã9ËhÊ�È�Ï2Å{ÒäÏ È�Æ�ÎÐÅ{É�ÃqÖ¬ÊÞÑ�Ò�Ê�ËPÅ{É�È�Ì Å<Í�É2ÅhÖ Í�Î�ÈqÊ�Ò�ÉWÏ2ÃÕ�ÈqÑ�Ò ËhÈqÎÞËhÍ�Î�È�Ï ÊÐÃ�Ñ Ä`Ã9Ò�Í�ÎÐÃêÝ�ÌjÊ�Ä`Å{É<ÃqÖ�Ä<Ã9Ò�ÅhÌjÈ�Ï2ÅèÉ ÊÝ{hÅqÙ*ÈqÑ�ÈqÎÐÃqÔqÃ�Í�É�Ï2Ã/Ï È�Æ�ÎÐÅ{ÉoÃqÖÎÐÃqÔ�È�ÌjÊÐÏ Õ�ÄoÉhÙ�Ì Å{Ò�Í�ËhÊ�Ñ�Ô�Ä�Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�ÎÞÊ�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�ÑQÈqÑ�ÒìÒ�ÊÐÛ9ÊÞÉ ÊÐÃ�Ñ?Ä<ÃBÒ�Í�Î�à I Ï2Ã?ÈqÒ�Ò�ÊÐÏ Ê�Ã�ÑèÈqÑ�ÒÉ ÍRÆ�Ï2ÌjÈqËPÏ Ê�Ã�Ñ?Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I3f ��ë�´±Â9ÅhÅd�^Ý�Ý�Å{Ñ�Ò�ʪÜb©Y붵

©}ÏWÈ�Ý�Ý�Å{È�ÌjÉ�Ï2Ã�ÆXÅTÈqÑQÃqÝ�Å{Ñ?Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä.í�ÕRÅhÏ ÕRÅhÌ^ÃqÌ^ÑRÃqÏ Â9º4¿�� ´e淋�ËhÈqÑ?Æ�ÅaËhÈqÎ�ËhÍBÚÎ�È�Ï2Å{ÒÓÊ�Ñ Ò�ÅhÏ2ÅhÌjÄ`Ê�Ñ�ÊÞÉ2Ï Ê�ËÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎfÏ Ê�Ä<ÅoÔ�Ê�ÛqÅ{ÑÙï4ë I ëÏÖÿí�Õ�ÅhÌ Å!ÖÿÊ�É$Ô�Í�È�ÌjÈqÑLÏ2ÅhÅ{ÒÏ2ÃoÆ�ÅaÈ`Ý�ÌjÊ�Ä`ÊÐÏ Ê�ÛqÅWÌjÃLÃqÏ�ÃqÖ I ÈqÑ�Ò I Ê�É�Ô�Í�È�ÌjÈqÑLÏ2ÅhÅ{ÒìÏ2ÃoÆ�Å�Ý�ÌjÊÞÄ<ÅqÙ�ÅhÛqÅ{ÑQÈqÉjÉ Í�Ä`Ê�Ñ�ÔÏ ÕRÅaߧÜBÏ2Å{Ñ�ÒRÅ{ÒQâ�ÊÐÅ{Ä`ÈqÑ�ÑR��×9Ý�ÃqÏ ÕRÅ{É Ê�É*ÃqÌ�ÈqÑ?ÃqÌjÈqËhÎÐÅTÖFÃqÌ�Ö ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ�ÑRÔRë���ÑÇÏ ÕRÅTÃqÏ ÕRÅhÌÕ�ÈqÑ�Ò"Ù�Ï ÕRÅ*È�Æ�Ê�Î�Ê�Ï�×�Ï2ÃWËhÈqÎÞËhÍ�Î�È�Ï2Å*Ê�Ñ�Ò�Ê�ËPÅ{É�Ê�ÑTÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`ÊÞÈqÎqÏ Ê�Ä<Å*ÒRÃ9Å{É ÑSÌ Ï�É ÅhÅ{Ä Ï2Ã�ÕRÅ{ÎÐÝÄ$Í�ËNÕêí�ÊÐÏ ÕìÃqÏ ÕRÅhÌ�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä`É�´FÖ ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ�ÑRÔRÙ�Ì ÃLÃqϯڱç�Ñ�Ò�Ê�ÑRÔ"µNë$ã�ÕRÅ<È�Ý�Ý�È�Ì Å{ÑLÏ�ËPÃ�Ä<Ý�ÍBÚÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎ�ÊÞÑ'Ï2ÌjÈqËPÏ È�Æ�Ê�Î�ÊÐÏ}×oÃqÖ�Ê�Ñ�ÒRÅPÜ9Ú±ç�Ñ�Ò�ÊÞÑRÔ$Õ�ÈqÉ�ÆXÅhÅ{Ñ�Í�É2Å{Ò?ÈqÉ�Ï ÕRÅaÆ�ÈqÉ Ê�É*ÃqÖ�ËPÅhÌ Ï ÈqÊ�ÑËPÌ ×LÝ�Ï2ÃqÔqÌjÈ�Ý�Õ�Ê�Ë�É ËNÕRÅ{Ä<Å{ÉhÙ�ÖFÃqÌ�ÅPÜBÈqÄ`Ý�ÎÐÅqÙqÏ ÕRÅ*Ý�Ì ÃqÝ�Ã�É ÈqÎLÃqÖ4�èÊ�ËhÈqÎ�Ê9ÈqÑ�Ò7�*Î�Í�Ä ÖDÃqÌ�Ï ÕRÅÔqÅ{ÑRÅhÌjÈ�Ï ÊÐÃ�ÑäÃqÖ�ËPÌ ×LÝ�Ï2ÃqÔqÌjÈ�Ý�Õ�Ê�ËhÈqÎÞÎÐ×?É2Å{ËhÍRÌ ÅÝ�É Å{Í�ÒRÃ�Ú±ÌjÈqÑ�Ò�Ã�Ä Ñ9Í�Ä$Æ�ÅhÌjÉ ´FÏ2Ã?È�Ý�ÝXÅ{È�ÌÊ�Ñ�à*�Tá�Â��qü�µNë

©%Ñ�Ò�Ê�ËPÅ{É�È�Ì Å�ÃqÖFÏ2Å{ÑQé9Í�ÊÐÏ2ÅTÍ�É2ÅhÖFÍ�ÎXÊÞÑ�Ý�Ì Ã9ÃqÖFÉ{Ù9ÖFÃqÌ�ÅPÜRÈqÄ<Ý�ÎÐÅ�x@ % ï ��¿ ïBö ÷ ?¤q Ò I Â9Ä Ï ºG»�¿)¿ Ü4½6Â9Ñ�¾ Ï º4¿ Ö Â2Ä Ï ºk× Ü4½6Â9Ñ7Âe¼eÂ���¾7½¡»�»�¼B»³Ò I ¼ut§¾Xº ïN :�<H t Ï Ä Ï Ä À Ï ½�¾g½³»�»�¼ÉÑ�»'¿]À � » I Â Ò Ï º4¿R»]º � ×� ÒzÂ�º4¿�� ´eïŵ Â9Äg¾P��¾�º M

KT¿��S�c+�Z ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å7ïÍürÖ"± � ´ Ä<ÃBÒ I µ^ÖFÃqÌaÉ2Ã�Ä<Å`Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌdòêë<ã�Õ�Å{Ñ"Ù�ÎÐÅhÏ2Ï Ê�Ñ�ÔðLü Ö � ´ Ä<ÃBÒ I µNÙ�í�ÅìÕ�È{ÛqÅLï�ü ð ± ´ Ä<ÃBÒ I µNë á�Ã�ÑLÛqÅhÌjÉ2Å{ÎÐ×qÙ^É ÍRÝ�Ý�Ã�É2Å�ïOü ð ±´ Ä<Ã9Ò I µNëfå�ÅhÏÉò ¯ Â9º�¿�� ´ÃðXµNÙ�É2Ã�ð¹üLÖ � ´ Ä<Ã9Ò I µfÈqÑ�ÒRï7üLÖ[± � ´ Ä<ÃBÒ I µNë¦ã�ÕLÍ�É

Â�º4¿�� ´eïŵJü8ü�ò ´ Ä`Ã9Ò IÊf �'µ$ìÂBÊ�Ñ�ËPÅ I3f ��Ê�É�È<Ä�Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�Î�ÅWÃqÖ§ü9Ù�Ï Õ�ÊÞÉ�Ê�Ä<Ý�Î�Ê�Å{É¬Ï Õ�È�Ï Â9º�¿ � ´e淋�Ê�É*ÅhÛqÅ{Ñ"ë O. ��¿�� e À�¿&# ÷Xø q Ò I Â2Ä Ï º�»�¿)¿óÜ4½6Â�Ñb¾ � ¾�� Ï Á�¼ � × t Ï � Ò�¼ut§¾�¾ � ¾�Ñ�¾�ºc¼�Ä�»³Ò : <H t Ï �]¾Ä À Ï ½�¾ ½¡»�»�¼�Ä M

´ â�Å{Ä`È�Ìv�4x�ã�Õ�Ê�É*È�Ý�Ý�ÎÞÊÐÅ{ÉhÙ Ñ7À§¼ Ï ¼eÂ2ÄdÑ7Àż Ï º4¿�Â2Ä Ù�Ï2Ã�ô��Ì Ã9ÃqÏ ÉhÙRÖFÃqÌ�ôk÷�´ I3f �'µN붵

ü]�

Page 23: Number Theory.pdf

nÉ� � s7è¹q�pSè���u�t�pS�J��uvqbs7�J�â�Å{ËhÈqÎ�Î§Ï Õ�È�Ï$ÊÐÖ I Ê�ÉTÈqÑêÃBÒ�ÒêÝ�ÌjÊ�Ä<Å<ÈqÑ�Ò�ïìÊ�É�ÌjÅ{Î�È�Ï ÊÐÛqÅ{ÎÐ×ìÝ�ÌjÊ�Ä`Å�Ï2à I Ï ÕRÅ{ÑUïìÊ�ÉTÈ À Ï ¿]½ Ï ¼eÂÃÁr½�¾6Ä6Âe¿]Àc¾ Ä<ÃBÒ�Í�Î�à I ÊÐÖ�ÈqÑ�Ò`Ã�Ñ�ÎÐ×<ÊÐÖ�ïÕ�ÈqɬÈaÉ é9Í�È�Ì Å�Ì ÃLÃqÏ�Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ë¦ã�Õ�Åå�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌjÅaÉ2×BÄaÆ�Ã�Î"Ê�É�ÒRÅhç�ÑRÅ{ÒÇÏ ÕLÍ�ÉXx ï

I�� ¯�� � �]ë�ÊÐÖ*ï6Õ�ÈqÉ�ÈoÉ éLÍ�È�Ì Å�Ì Ã9ÃqÏ�Ä<ÃBÒ If �]ë�ÊÐÖ*ï6Õ�ÈqÉ�Ñ�ÃoÉ é9Í�È�Ì Å�Ì Ã9ÃqÏ�Ä<ÃBÒ I ë

å�ÅhÏõÖ?Æ�Å$ÈqÑL×?Ý�ÌjÊ�ÄoÊÐÏ ÊÐÛqÅTÌ Ã9ÃqÏ�ÃqÖ I ë�wêÅ<Õ�È{ÛqÅ<É Õ�Ãyí�ÑìÏ Õ�È�Ï�ïQÕ�ÈqÉWÈÇÉ é9Í�È�Ì Å�Ì ÃLÃqÏÄ<Ã9Ò�Í�ÎÐà I ÊÐÖ1ÈqÑ�Ò�Ã�Ñ�ÎÐ×ÇÊÐÖ Â9º4¿�� ´e淋*ÊÞÉ*ÅhÛqÅ{Ñ"ë¬àRÌjÃ�Ä5Ï Õ�Ê�É*í�ÅTÃqÆ�Ï ÈqÊÞÑSx@ % ï ��¿ ïBö ÷ D £ »]½ Ï ��� Ü�½$Â�Ñ�¾6Ä I Ï º4¿ Ï �u� ï4ëvð N :�<H � ï§ð

I � ¯ ïI � ðI � ì

wêÅ$ÈqÎ�É Ã`ÑRÃqÏ2Å�x@ % ï ��¿ ïBö ÷ > q Ò I Â9Ä Ï º�»�¿�¿dÜ4½6Â�Ñb¾ Ï º4¿ Ö Â2Ä Ï Ü4½6Â9Ñ7Âe¼eÂ���¾g½³»'»�¼¹»³Ò I ¼ut§¾�ºÖ ¦ H 7 G § Ì ± ü f � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ì

KT¿��S�c+�Z ´�Ö ¦ H 7 G § Ì ±&µ ±bü ��´±Ä<ÃBÒ I µNë$ã�ÕRÅhÌjÅÈ�ÌjÅ<Ï�í�ÃQÒ�Ê�É2Ï ÊÞÑ�ËPÏWÉjéLÍ�È�ÌjÅ�ÌjÃLÃqÏ ÉÃqÖ���Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ÙS��ÈqÑ�Ò f ��ë¬ÂBÊÞÑ�ËPÅ�Ö6Ê�É�ÃqÖ�ÃqÌjÒ�ÅhÌ Ibf ��ÙÓÖ ¦ H 7 G § Ì ± úü �G´ Ä<Ã9Ò I µNë

O©%Ñ?Ï ÍRÌjÑÇí�ÅTÔqÅhÏ^Èí*È{×�ÃqÖ�ËhÈqÎ�ËhÍ�Î�È�Ï ÊÞÑRÔ<Ï ÕRÅaå�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌ ÅTÉ2×BÄ$ÆXÃ�ÎÔx

@ % ï ��¿ ïBö ��ú q Ò I Â9Ä Ï º�»�¿�¿dÜ4½6Â�Ñb¾ Ï º4¿ ï Â2Är½�¾ � Ï ¼eÂu�]¾ � ×dÜ4½6Â9Ñ�¾ ¼Ô» I ¼ut§¾�ºï ¦ H 7 G § Ì ± ü ï

I � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ì

KT¿��S�c+�Z ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å ���H � ¯ ��ë�ã�ÕRÅ{ÑQÏ ÕRÅhÌ Å�ÅPÜBÊ�É Ï É�ð N :�<H É Í�ËNÕQÏ Õ�È�Ï�ïRü ð ±´ Ä<Ã9Ò I µNë��^Å{Ñ�ËPÅ

ï ¦ H 7 G § Ì ± üOð H 7 G ü �Bü ïI � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ì

©}Ö@���H � ¯�f �aÈqÑ�Ò:Ö?Ê�É�ÈqÑL×?Ý�ÌNÊ�Ä`ÊÐÏ ÊÐÛqÅ�ÌjÃLÃqÏWÃqÖ I Ù�í¬ÅÕ�È{ÛqÅ�ïóüoÖ ± � J G ´ Ä<ÃBÒ I µÖDÃqÌ�É Ã�Ä<ÅaÊ�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌBòêëJ�^Å{Ñ�ËPÅ

ï ¦ H 7 G § Ì ± üLÖ � ¦ H 7 G § J ¦ H 7 G § Ì ± üLÖ ¦ H 7 G § Ì ± ü f � ´ Ä`Ã9Ò I µ$ì Oã�Õ�Ê�ÉTÏ ÕRÅhÃqÌ Å{Ä Ô�ÊÐÛqÅ{ÉaÍ�ÉaÃ�ÑRÅoÄ<ÅhÏ Õ�Ã9Ò/ÃqÖ*ËhÈqÎÞËhÍ�Î�È�Ï Ê�ÑRÔQÏ ÕRÅoå�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌ ÅoÉ2×BÄ$ÆXÃ�Î

ÃqÖ�ïoí�ÊÐÏ Õ6Ì Å{É2Ý�Å{ËPÏ*Ï2à I Ê�Ñ6Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å�ÚRÏ ÕRÅ�É2Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ?Ã�ÑÇÏ ÕRÅTæ�ÈqËPÃqÆ�Ê"É2×BÄ$ÆXÃ�ÎÔ�ÊÐÛqÅ{É�ÈqÑRÃqÏ Õ�ÅhÌ{ë

ü§�

Page 24: Number Theory.pdf

n�â � ¤7���zè¹t�õE�uW�4¢g�FE3���ã�ÕRÅaæ�ÈqËPÃqÆ�Ê�É2×BÄaÆ�Ã�ÎXÔqÅ{ÑRÅhÌjÈqÎ�ÊÝ{hÅ{É�Ï ÕRÅTå�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌ ÅaÉ2×BÄ$ÆXÃ�αÙ9Æ�ÍRÏ�ÑRÃqÏ�Ê�ÑÇÏ ÕRÅ�Ì Å{É ÝXÅ{ËPÏÃqÖ�ÊÞÑ�Ò�Ê�ËhÈ�Ï Ê�Ñ�Ô$Ï ÕRÅaÅPÜBÊ�É Ï2Å{Ñ�ËPÅTÃqÖ�É éLÍ�È�Ì Å�Ì Ã9ÃqÏ Éhë

©}Öj ÊÞÉ�ÈqÑ�Ã9Ò�Ò?ÑLÍ�ÄaÆ�ÅhÌ*ÔqÌ Å{È�Ï2ÅhÌWÏ Õ�ÈqÑ���Ù�ÈqÑ�Ò: ¯;I G ù I ± ùXùXù I à í�ÕRÅhÌjÅ�Å{ÈqËjÕI�" Ê�ɬÝ�ÌjÊ�Ä`ÅqÙLÈqÑ�ÒÊï`Ê�É¬Ì Å{Î�È�Ï ÊÐÛqÅ{Î�×<Ý�ÌjÊ�Ä<Å�Ï2ÃG Ï Õ�Å{ÑoÏ ÕRÅ�æ�ÈqËPÃqÆ�ÊXÉ ×9Ä$Æ�Ã�Î�Ê�É�ÒRÅhç�ÑRÅ{ÒÊ�ÑÇÏ2ÅhÌjÄ`É�ÃqÖ�Ï ÕRÅ$å�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌjÅTÉ2×9Ä$Æ�Ã�Î"ÈqÉ�ÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�ÉXx ï � ¯ ï

I G � ïI ± � ùXùXù ïI à � ìA ! À ö/ð/ Fï ��û 0 ± ý 3 ¯ 0 ±I 3 0 ± I 3 ¯ ��ëó�^Ãyí�ÅhÛqÅhÌ{Ù§Ï ÕRÅ`Å{é9Í�È�Ï ÊÐÃ�Ñþ(4±bü ü°´ Ä<ÃBÒW��µÕ�ÈqÉ º4» É2Ã�Î�ÍRÏ Ê�Ã�Ñ�Éhë

©}Ï`É ÅhÅ{Ä`É<Ï Õ�È�Ï<Ï ÕRÅÇÝ�ÌNÊ�Ä`È�Ì ×/ÊÞÄ<Ý�ÃqÌ Ï ÈqÑ�ËPÅ6ÃqÖ^Ï ÕRÅQæ'ÈqËPÃqÆ�Ê�É2×BÄaÆ�Ã�Î*Ê�É�Ï Õ�È�ÏoÊ�ÏÉ È�Ï Ê�É2ç�Å{ÉaËPÅhÌ Ï ÈqÊ�ÑÿÊ�Ò�Å{Ñ'Ï ÊÐÏ Ê�Å{Éb´ Ê�Ñ�ËhÎ�Í�Ò�Ê�ÑRÔoÏ Õ�ÅoÎ�È{í ÃqÖ�é9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï ÊÞËÌ Å{ËhÊÐÝ�Ì ÃBËhÊÐÏ}×ŵ�Ï Õ�È�ÏÈqÎ�ÎÐÃyí8ÊÐÏz´ ÈqÑ�ÒÇËPÃ�Ñ�É2Å{é9ÍRÅ{ÑLÏ ÎÐ×`Ï ÕRÅ�å�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌ Å�É2×9Ä$Æ�Ã�Î9µ�Ï2ÃÆ�Å�ËhÈqÎ�ËhÍ�Î�È�Ï2Å{Ò6Æ9×oÈ�ÛJÈ�ÌjÊÐÚÈqÑ'Ï�ÃqÖ�ßfÍ�ËhÎÞÊ�ÒSÌ É¦ÈqÎÐÔqÃqÌNÊÐÏ Õ�Ä ÖFÃqÌfÏ Õ�Å�Ô�ËhÒ"ë¦ã�Õ�Å�ÖFÃ�Î�ÎÐÃyí^Ê�ÑRÔTÊ�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐÏ ÊÐÅ{ɬÄ`È{×<Æ�Å�ÖFÃ�Í�Ñ�ÒÊ�ÑÇÏ ÕRÅTÏ2ÅPÜBÏ É�ÃqÖ}WÊÐÛqÅ{Ñ?ÈqÑ�Ò��"Í�Ë��qÅhÌjÄoÈqÑU���{ü���ÈqÑ�Ò��WÊ�Ñ�ÃqÔqÌjÈqÒRÃyÛ��������Ôx��ëB©%Ö�ï�üOðL´ Ä<ÃBÒ� dµ*Ï ÕRÅ{ÑW�h�� � ¯ ���� � ëü9ë � G� � ¯ ��ë

þ9ë�� 7 G� � ¯ ´ f �'µ ¦ � 7 G § Ì ±'ëýRë������� � ¯ ���� � ���� � ë�9ë � ±� � ¯ ´ f �'µ ¦ � � 7 G § Ì ¹ ë�9ëB©%Öh ÈqÑ�Ò�� È�ÌjÅTÌ Å{Î�È�Ï ÊÐÛqÅ{Î�×oÝ�ÌjÊÞÄ<Å�Ã9Ò�Ò�Ñ9Í�Ä$Æ�ÅhÌjÉ*Ï ÕRÅ{Ñ � � ¯ ´ f �'µ ¦�� 7 G § ¦ � 7 G § Ì ² � � ì´���Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï Ê�ËWÌ Å{ËhÊÐÝ�Ì Ã9ËhÊ�Ï�×kµ

üqü

Page 25: Number Theory.pdf

A ! À ö/ð/ Fï ��÷ �WÉ�ÈqÑ?ÅPÜRÈqÄ<Ý�ÎÐÅ�ÃqÖ1Ï ÕRÅ{É2Å$Ê�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐÏ ÊÐÅ{ÉhÙBí�ÅaËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ2Å)0 G2G ·± · G 3 ë0 G2G ·± · G 3 ¯ �o0 ± · GG2G · 3 ´FÆ9×R��µ¯ � 0 I ·G2G · 3 ´FÆ9×L�'µ¯ �o0 G2G ·I · 3 ´FÆ9×R��µ¯ �o0 ¶I · 3 ´FÆ9×L�'µ¯ � 0 ±I · 3 0 II · 3 ´FÆ9×6ý"µ¯ f 0 II · 3 ´FÆ9×R��µ¯ f 0 I ·I 3 ´FÆ9×R��µ¯ f 0 GI 3 ´FÆ9×L�'µ¯ f � ´FÆ9×�ü�µ

ÂBÊ�Ñ�ËPÅaü�Î[��Ê�É�È<Ý�ÌjÊ�Ä<ÅqÙRí�Å$Õ�ÈyÛqÅ$Ê�Ñ?ÖFÈqËPÏWËhÈqÎ�ËhÍ�Î�È�Ï2Å{ÒQÏ ÕRÅaå�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌ ÅaÉ2×BÄ$ÆXÃ�Î�0 G2G ·± · G 3ÈqÑ�Òìí¬Å<Ä`Èy×èËPÃ�Ñ�ËhÎ�Í�ÒRÅ$Ï Õ�È�Ï ���'Î6Õ�ÈqÉ�ÑRÃÇÉ é9Í�È�Ì ÅÌ Ã9ÃqÏWÄ`Ã9Ò�Í�ÎÐÃ6ü�Î[��ë ��ÖfËPÃ�ÍRÌjÉ2ÅqÙÈqÑRÃqÏ ÕRÅhÌTí*È{×ìÏ2Ã?È�Ì ÌjÊÐÛqÅ<È�Ï�Ï ÕRÅ`ÉjÈqÄ<Å`ËPÃ�Ñ�ËhÎ�Í�ÉjÊÐÃ�ÑäÊ�ÉWÏ2Ã?ÑRÃqÏ2Å<Ï Õ�È�Ïb���'Î'G I ��ü ü�Î��´ Ä<Ã9Òèü�Î[�'µNë@ % ï ��¿ ïBö �4� � tž�½�¾�Â9Ä Ï ÜÅ» � ×]º4»�Ñ Â Ï � ¼eÂ�Ñ�¾ Ï � Ð)»]½6Âe¼ut)Ñä¼Ô»WÁ$»]Ñ�Ü4Àż®¾�¼ut§¾�� Ï Áv»UvXÂÄ$×]Ñ!v�» �ü�h�� � |�t§¾�º�¾P�]¾X½ Â9Ä Ï ºÍ»'¿�¿�ºkÀ§Ñ!vv¾X½�Ð�½�¾ Ï ¼®¾X½�¼ut Ï º �bÏ º�¿ ï Â2Ä�½¡¾ � Ï ¼eÂu�]¾ � ×Ü4½$Â�Ñ�¾7¼Ô» GM

KT¿��S�c+�Z ÄWÅhÛBÊ�É2ÅQÈqÑ È�Ý�Ý�Ì ÃqÝ�ÌNÊ�È�Ï2Å?ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä�Í�É Ê�ÑRÔäÏ ÕRÅèÊ�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐÏ ÊÐÅ{ÉgØ ÑRÃqÏ2ÅÏ Õ�È�Ï^ÊÐÏ^Ê�É�Æ�ÈqÉ ÊÞËhÈqÎ�ÎÐ×oÏ Õ�Å$É ÈqÄ<Å$ÈqÉ^߬Í�ËhÎ�Ê�ÒSÌ É*ÈqÎÐÔqÃqÌNÊÐÏ Õ�Ä5ÖFÃqÌ�Ï Õ�ÅTÔqÌ Å{È�Ï2Å{É2Ï�ËPÃ�Ä`Ä<Ã�ÑÒ�ÊÐÛBÊ�É2ÃqÌ{ÙBí�ÊÐÏ Õ�É Ã�Ä<ÅTÅPÜBÏ2ÌjÈ<Æ�ÃLÃ��[�qÅhÅhÝ�Ê�Ñ�ÔÈqÑ�Ò?É2Ý�Å{ËhÊ�ÈqÎ�ÌjÍ�Î�Å{É*Ï2ÃoËhÈqÉ2Ï�Ã�Í�Ï�ü[Ì Éhë

O

üqþ

Page 26: Number Theory.pdf

n > © ��t��?� �u��Juv @? �7pauv�ä�J�! ã �����½B¹è¢ è� 7q ã ��pSè¹�4���� �"Ô� pSè� 7q����äu����qÖ�7pS�rt�Jqbs7pS�

ã�Õ�Ê�É�É2Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ4ÒRÅ{É ËPÌjÊ�ÆXÅ{ÉÇÂ9Ã�ÎÐÃ\ÛJÈy× ÈqÑ�Ò8Â9Ï2ÌjÈqÉ É2Å{ÑaÌ Éó�QÃ�ÑLÏ2Åÿá�È�ÌjÎÐà ÈqÎ�ÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä(ÖDÃqÌÏ2Å{É2Ï Ê�ÑRÔ`Ý�ÌjÊ�Ä`ÈqÎ�Ê�Ï�×����Pý��±ë

ô � �[1RÀ"# À�ò ó�ô ¾y¿JÀ�½{½ ï ò ^ ½`À 04��¿�ñD¾&% ö ã�Õ�ÅTÊ�ÑRÝ�ÍRÏ*Ê�É�ÈqÑQÃ9Ò�Ò�ÊÞÑ'Ï2ÅhÔqÅhÌ FûË ��ë��ë�á*Õ�ÃLÃ�É2ÅTÈ�Ï�ÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä ï N ê)�]ëjü[ëXìXìXì�ë F�f ��í'ëü9ëB©%Ö�Ô�ËhÒg´eïcë F µ Ë ��Ï ÕRÅ{Ñ�Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRÏb¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦`ÈqÑ�Ò?Õ�ÈqÎÐÏhëþ9ë�á*ÈqÎÞËhÍ�Î�È�Ï2Å�Ï ÕRÅTé9Í�ÈqÑLÏ ÊÐÏ ÊÐÅ{ÉXx# ¯ ï ¦ = 7 G § Ì ± ´ Ä`Ã9Ò F µ$ë$ ¯ � ïF � ´ ã�Õ�Åaæ�ÈqËPÃqÆ�Ê�É ×9Ä$Æ�Ã�Î9µNë

´ È)µó©%Ö # úü $ ´¯Ä<ÃBÒÿÑ4µ¬Ï ÕRÅ{Ñ�Ã�Í�Ï2Ý�ÍRÏb¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦oÈqÑ�Ò?Õ�ÈqÎÐÏhë´FÆ�µÊ©%Ö # ü $ ´¯Ä<ÃBÒÿÑ4µ¬Ï ÕRÅ{Ñ�Ã�Í�Ï2Ý�ÍRÏb¥¯Ý�Ã�É É ÊÐÆ�ÎÐ×`Ý�ÌjÊÞÄ<Å�¦ÈqÑ�Ò?Õ�ÈqÎÐÏhë

@ % ï ��¿ ïBö � - å M � t)Â9Är½ Ï º4¿�»]Ñ7Â&%'¾�¿ Ü4½³»'Á$¾�¿�À[½�¾b½$À§ºÅÄrÂ�ºbÜÅ» � ×]º4»�Ñ Â Ï � ¼eÂ�Ñb¾ Mæ M q Ò F Â2ÄÉÜ4½6Â�Ñb¾ ¼utž�º�¼ut)Â9ÄÉÜ4½³»'Á$¾�¿�À[½�¾bÑ À[Ä�¼�»]Àż¶Ü4Àż('�ܧ»]ÄvÄ$ÂÝv � ×dÜ4½$Â�Ñ�¾�)* M q Ò F Â9Ä7Á$»]Ñ�ܧ»�Ä6Â�¼®¾�¼ut§¾�ºG¼ut)Â2Ä�Ü4½¡»�Á$¾v¿]À§½¡¾Ê»]Àż¶Ü4Àż�Ä+'_Á$»]Ñ�ܧ»�Ä$Âe¼®¾�)@|Âe¼ut�Ü4½¡»Uv Ï {vX � Â�¼e× Ï ¼ � ¾ Ï Ä6¼¼å-,�æ MKT¿��S�c+�Z àRÃqÌ�´³�'µNÙ�í�ÅÕ�È{ÛqÅ`É2ÅhÅ{ÑêÊ�ÑèÝ�Ì ÅhÛBÊÐÃ�Í�ÉWÉ2Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�É^Ï Õ�È�Ï�Ô�ËhÒ"Ù"ÅPÜ9Ý�Ã�ÑRÅ{ÑRÚ

Ï Ê�È�Ï ÊÐÃ�ÑØÄ<Ã9Ò�Í�ÎÐà F Ù�ÈqÑ�Ò Ï ÕRÅ6æ'ÈqËPÃqÆ�Ê¬É ×9Ä$Æ�Ã�ÎfËhÈqÑ ÆXÅ6ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ2Å{ÒØÊ�Ñ/ÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎÏ Ê�Ä<Åqë

àRÃqÌ�´�ü�µNÙ�É ÍRÝ�ÝXÃ�É Å�Ï Õ�È�Ï F Ê�É�Ý�ÌjÊ�Ä<Åqëfã�ÕRÅ{Ñ�Ô�ËhÒd´Ãï4ë F µ ¯ �aÈqÑ�Ò?í�ÅaÕ�ÈyÛqÅ$É2ÅhÅ{ÑÏ Õ�È�Ï

ï ¦ = 7 G § Ì ± ü � ïF � ´¯Ä<ÃBÒ F µ$ëÉ2Ã�ÑRÅ{ÊÐÏ ÕRÅhÌ�É2Ï2ÅhÝ�´�ü�µ^ÑRÃqÌ�É2Ï2ÅhÝQ´�þ�È)µWËhÈqÑäÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏó¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦6ÖFÃqÌ F ër��Å{Ñ�ËPÅÏ ÕRÅÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ�Ä�Í�É2Ï�Æ�ÅR¥¯Ý�Ã�É É ÊÐÆ�ÎÐ×`Ý�ÌjÊÞÄ<Å�¦9ë

àRÃqÌR´�þ�µNÙ1É Í�Ý�Ý�Ã�É2Å$Ï Õ�È�Ï F Ê�ÉTËPÃ�Ä<Ý�Ã�É Ê�Ï2Åqë�wêÅ�Ä�Í�É2ÏTÈ�Ì Ô�ÍRÅoÏ Õ�È�ÏTÖFÃqÌaÈ�ÏaÎÐÅ{ÈqÉ2ÏÕ�ÈqÎÐÖ1Ï ÕRÅ�Ý�Ã�É É ÊÐÆ�Î�ÅWËNÕRÃ�Ê�ËPÅ{É�ÃqÖï�ÙRÏ ÕRÅTÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ�í�Ê�Î�ÎXÆ�ÅR¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦Rë½Ä^Åhç�ÑRÅ

Å ¯ ê'ï N : <= x"ï ¦ = 7 G § Ì ± ü�� ïF � ´¯Ä<Ã9Ò F µví�ì

üJý

Page 27: Number Theory.pdf

ã�ÕRÅêÅ{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ É�ÃqÖGÅ.È�Ì ÅêÏ ÕRÅêÃ�Ñ�ÎÐ× ËNÕRÃ�Ê�ËPÅ{É�ÃqÖ7ï í^Õ�Ê�ËjÕ4í^Ê�Î�ÎWÎÐÅ{ÈqÒ4Ï2à ÈqÑ4Ã�ÍRϯÚÝ�ÍRÏìÃqÖG¥¯Ý�Ã�É É ÊÐÆ�ÎÐ×`Ý�ÌjÊÞÄ<Å�¦9ë wêÅÓÉjÕRÃyí�Ï Õ�È�ÏäÏ ÕRÅh× ËPÃ�Ä<Ý�ÌjÊÞÉ2Å È�ÏÿÄ<Ã�É ÏìÕ�ÈqÎ�Ö`ÃqÖê"�]ëjü[ëXìXìXì*ë F�f ��í'ëÅ Ê�É6ÈØÉjÍRÆ�ÔqÌ Ã�ÍRÝ ÃqÖ :�<= Æ�Å{ËhÈqÍ�É2ÅêÊÐÏÇÊ�É6ËhÎÐÃ�É2Å{Ò4Í�Ñ�Ò�ÅhÌ�Ý�ÌjÃ9Ò�Í�ËPÏÍ´ Í�É ÊÞÑRÔ/Ï ÕRÅÊ�ÒRÅ{ÑLÏ ÊÐÏ�× 0��.�= 3 ¯�0'�= 3 0/�= 3 ÖDÃqÌWÏ ÕRÅ$æ'ÈqËPÃqÆ�Ê�É ×9Ä$Æ�Ã�Î9µNë�ã�ÕLÍ�É ÷ÈÅ�÷RÄ�Í�É2Ï�Ò�ÊÐÛ9ÊÞÒRÅ3÷ :�<= ÷�ÙÉ2Ã`Å{ÊÐÏ ÕRÅhÌ

Å ¯Û: <= ëÃqÌ

÷ÈÅ�÷Åÿ �ü ÷ : <= ÷[ÿ

F�f �ü ì

wêÅ$ÑRÃ\íõÉ ÕRÃ\íõÏ Õ�È�Ï�Ï Õ�Å�ç�ÌjÉ2Ï�ÈqÎÐÏ2ÅhÌNÑ�È�Ï ÊÐÛqÅTÊ�É�ÊÞÄ<Ý�Ã�É É ÊÐÆ�Î�Åqë�^ÉjÉ Í�Ä<Å�Ï Õ�È�Ï

ï ¦ = 7 G § Ì ± ü�� ïF � ´ Ä<ÃBÒ F µ�ÖFÃqÌ�ÈqÎ�ÎSï N : <= ìã�ÕRÅ{Ñ?ÈqÎ�É Ã

ï = 7 G ü � ´ Ä<ÃBÒ F µ¬ÖFÃqÌ^ÈqÎ�ÎSï N : <= ìå�ÅhÏ FM¯ I+. �G I+. �± ùXùXù I . 1à ÆXÅ�Ï Õ�Å�Ý�ÌjÊ�Ä<Å6Ö ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�Ñ ÃqÖ F ë wêÅèËPÃ�Ñ�É Ê�ÒRÅhÌ<Ï}í¬ÃËhÈqÉ2Å{ÉXxfÅ{Ê�Ï ÕRÅhÌ�9 " ;õü<ÖDÃqÌ�É Ã�Ä<Å�� Ù�ÃqÌõ9 "�¯ ��ÖFÃqÌ�ÈqÎ�Î�� ¯ ��Ù°ü9ÙÐëÐëÐëÐÙûáXë

ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å!�WÊ�É$É Í�ËNÕ/Ï Õ�È�Ï@9 " ; ü9ëQå�ÅhÏdò ¯ I .10" ë :�<� ÊÞÉaÈìËP×9ËhÎ�ÊÞË<ÔqÌ Ã�ÍRÝØÃqÖÃqÌjÒRÅhÌ � ´ I .10" µ ¯ ´ I�"Sf �'µ I .10 7 G" ì�á�ÕRÃLÃ�É ÅaÈ<ÔqÅ{ÑRÅhÌjÈ�Ï2ÃqÌõÖ6ÃqÖ : <� ëÉ�¬×ÇÏ ÕRÅ<á*Õ�Ê�Ñ�Å{É2Åâ�Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌ�ã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä�ÙBí�ÅTÄ`È{×6ËjÕRÃ9Ã�É2ÅrïoÏ2Ã<ÆXÅWÏ ÕRÅ�Í�Ñ�ÊÞéLÍRÅ^Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ�ÃqÖ : = ÉjÍ�ËjÕÏ Õ�È�Ï

ï�üLÖ ´ Ä`Ã9ÒRò�µ�ÈqÑ�Òäï�ü � ´ Ä<ÃBÒ F ~&ò�µ$ìã�ÕRÅ{ÑbïÄ�Í�É2ϦÆ�Å�Ì Å{Î�È�Ï Ê�ÛqÅ{ÎÐ×$Ý�ÌjÊ�Ä<Å*Ï2à F ÙLÊ�ë ÅqëÐÙ"ï N : <= ë�¬×Ã�ÍR̬ÈqÉ É Í�Ä<Ý�Ï ÊÐÃ�Ñ�É�Ï ÕRÅ{Ñ

ï = 7 G ü � ´ Ä<ÃBÒ F µ$ë�ÈqÑ�Ò

Ö = 7 G ü � ´ Ä<Ã9Ò�ò�µ$ìÂBÊ�Ñ�ËPÅ�Ï ÕRÅ�ÃqÌNÒRÅhÌ�ÃqÖÙÖ6Ê�É I .10�7 G" ´ I�"�f �'µNÙ�í�ÅaÄ$Í�É2Ï�Õ�ÈyÛqÅ

I .10�7 G" ´ I+"�f �'µX÷�´ F�f �'µ$ìÂBÊ�Ñ�ËPÅ�9 "ÙË ��Ù�Ï Õ�Ê�É*Ê�Ä<Ý�ÎÞÊÐÅ{ÉfÏ Õ�È�Ï I�" ÷�´ Fóf �'µNë~�*ÍRÏ I�" ÷ F Ù�É2à I�" ÷ ��Ù�È<ËPÃ�Ñ'Ï2ÌNÈqÒ�Ê�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ"ë

ü��

Page 28: Number Theory.pdf

àRÃqÌWÏ ÕRÅTÉ2Å{ËPÃ�Ñ�ÒèËhÈqÉ2ÅqÙ�ÈqÉ É Í�Ä<Å�Ï Õ�È�Ï�9�" ¯ ��ÖFÃqÌ�ÈqÎ�Î�� ¯ �]ëjü[ëXìXìXì*ëváXëfã�ÕLÍ�É{ÙF�¯ÙI G ù I ± ùXùXù I à ì

ÂBÊ�Ñ�ËPÅ F Ê�É�ËPÃ�Ä`ÝXÃ�ÉjÊÐÏ2ÅqÙRí¬Å$Ä$Í�É Ï�Õ�È{ÛqÅ7á ;õü9ëJ©¯Ñ�Ï Õ�Ê�É�ËhÈqÉ2Åaí¬ÅaËNÕRÃ9Ã�É2Å�Ö�Ï2ÃoÆXÅTÈÔqÅ{ÑRÅhÌjÈ�Ï2ÃqÌWÃqÖ : <H`� Ù�ÈqÑ�Ò"Ù�Í�É ÊÞÑRÔÏ ÕRÅ�á*Õ�ÊÞÑRÅ{É2Å�â�Å{Ä`ÈqÊÞÑ�ÒRÅhÌ�ã�ÕRÅhÃqÌjÅ{Ä�Ùcï N : <= ÉjÍ�ËjÕÏ Õ�È�Ï

ï�üLÖ ´ Ä<ÃBÒ I G µ4ÈqÑ�Òäï�ü � ´ Ä<ÃBÒ F ~ I G µ$ìã�ÕRÅ{Ñ�ï6Ê�É*Ì Å{Î�È�Ï Ê�ÛqÅ{ÎÐ×�Ý�ÌjÊ�Ä<Å�Ï2à F Ù�É2ÃoÆL×6Ã�ÍRÌ�ÈqÉ ÉjÍ�Ä<Ý�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÉhÙ

ï�¦ = 7 G § Ì ± ü � ïF � ´ Ä<ÃBÒ F µ$ì

��Í�Ï�ÆL×6Ï ÕRÅaÒ�Åhç�Ñ�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ6ÃqÖ1Ï ÕRÅ$æ'ÈqËPÃqÆ�Ê�É2×BÄaÆ�Ã�Î�Ù

� ïF � ¯ ïI G � ïI ± � ùXùXù ïI à � ì

��Ã\í¬ÅhÛqÅhÌ{Ùaï�üoÖÛ´ Ä`Ã9Ò I G µNÙ�É2Ãÿ���H`� � ¯ � �H�� � ë��^ÎÞÉ2ÃRÙ�É ÊÞÑ�ËPÅ I � Ò�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ{É F ~ I G ÖDÃqÌ�Uú¯ �aÈqÑ�Ò�ï�ü �U´ Ä<ÃBÒ F ~ I G µNÙ�í�ÅTÔqÅhÏBïbü ��´ Ä<ÃBÒ I � µ¬ÖDÃqÌ �Uú¯ ��ë~��Å{Ñ�ËPÅqÙ

� ïF � ¯ ÖI G � �I ± � ùXùXù �I à � ì

ã�ÕLÍ�ÉhÙ 0 �= 3 ¯ � �H � � ¯Þf �^Æ�Å{ËhÈqÍ�É2Å I G Ê�ɬÝ�ÌjÊÞÄ<Å�ÈqÑ�Ò}Ö`Ê�É�È$Ý�ÌjÊ�Ä`ÊÐÏ Ê�ÛqÅ�Ì ÃLÃqÏ*ÃqÖ I G ëã�ÕLÍ�ÉhÙ

ï�¦ = 7 G § Ì ± ü f � ´ Ä<ÃBÒ F µ$ìã�ÕLÍ�ÉhÙ

ï ¦ = 7 G § Ì ± ü f � ´ Ä<ÃBÒ F ~ I G µ$ëí�Õ�Ê�ËNÕ�ËPÃ�Ñ'Ï2ÌjÈqÒ�Ê�ËPÏ É�Ï ÕRÅaÖFÈqËPÏ�Ï Õ�È�Ï

ï�ü � ´ Ä<ÃBÒ F ~ I G µÆXÅ{ËhÈqÍ�É2Ågá ;õü<ÈqÑ�Ò F Ã9Ò�Ò�Ê�Ä<Ý�Î�Ê�Å{É

�búü f � ´ Ä`Ã9Ò F ~ I G µ$ìü��

Page 29: Number Theory.pdf

ã�Õ9Í�ÉhÙ�Ê�ÑÇÆ�ÃqÏ Õ?ËhÈqÉ2Å{É�Ï ÕRÅaÈqÉ ÉjÍ�Ä<Ý�Ï ÊÐÃ�Ñ6Ï Õ�È�Ï

ï ¦ = 7 G § Ì ± üF� ïF � ´ Ä`Ã9Ò F µ¬ÖFÃqÌ�ÈqÎ�Î�ï N : <=ÎÐÅ{ÈqÒ�É1Ï2Ã�È^ËPÃ�ÑLÏ2ÌjÈqÒ�Ê�ËPÏ Ê�Ã�Ñ"Ù�É2ÃWí¬Å�ËPÃ�Ñ�ËhÎ�Í�ÒRÅ¬Ï Õ�È�ÏhÅ;ú¯;: <= ë/�^Å{Ñ�ËPÅqÙ�÷ÈÅ�÷)ÿO´ FBf �'µC~�ü9ÙÉ2ÃäÖDÅhí�ÅhÌ<Ï Õ�ÈqÑÓÕ�ÈqÎÐÖ�Ï ÕRÅ�ËNÕRÃ�Ê�ËPÅ{ÉÃqÖBï N ê)�]ëjü[ëXìXìXì�ë FWf ��íQÎÐÅ{ÈqÒØÏ2ÃäÏ ÕRÅ6Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ¥¯ÝXÃ�ÉjÉ ÊÐÆ�ÎÐ×oÝ�ÌjÊ�Ä<Å�¦9ë

O´ ã�ÕRŦÝ�Ì ÃLÃqÖ9È�Æ�ÃyÛqŬÊÞÉ"Ä<ÃqÌ Å¦ËPÃ�Ä<Ý�Î�ÅPÜWÏ Õ�ÈqÑTÏ Õ�È�Ï�Ô�ÊÐÛqÅ{ÑTÊÞÑaÂ9Ã�ÎÐÃyÛ�È{×TÈqÑ�ÒaÂ9Ï2ÌjÈqÉ É2Å{ÑaÌ É

Ý�È�Ý�ÅhÌg���Pý��ÔÚ�Ï ÕRÅTÎÞÈ�Ï2Ï2ÅhÌ^Ê�É�É2Ã�Ä`Åhí�Õ�È�Ï�Ê�Ñ�ËPÃqÌ Ì Å{ËPÏh붵}�ÃqÏ2Å$Ï Õ�È�Ï^Ê�Ö�Ï ÕRÅTÌNÈqÑ�ÒRÃ�Ä5ËNÕRÃ�Ê�ËPÅ{É�ÃqÖïÇÈ�Ì ÅaÊÞÑ�ÒRÅhÝ�Å{Ñ�ÒRÅ{ÑLÏ�ÊÞÑ?É Í�ËhËPÅ{É ÉjÊÐÛqÅTÌjÍ�Ñ�É

ÃqÖ¦Ï ÕRÅÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä?Ù�í�Å�ÊÞÄ<Ý�Ì Ã\ÛqÅ$Ï ÕRÅ�Ý�Ì ÃqÆ�È�Æ�Ê�Î�ÊÐÏ}×�ÃqÖfÅhÌ Ì ÃqÌ{ë�©%ÑèÝ�È�Ì Ï ÊÞËhÍ�Î�È�Ì{ÙXÊÐÖ F Ê�ÉËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2ÅTÏ ÕRÅ{Ñ

y¦Ì ÃqÆ�´Ãá�ÉjÍ�ËhËPÅ{É É ÊÐÛqÅaÌjÍ�Ñ�É�Ã�ÍRÏ2Ý�Í�Ïb¥¯ÝXÃ�ÉjÉ ÊÐÆ�ÎÐ×oÝ�ÌjÊ�Ä<Å�¦�µÉÿE´³��~�ü�µ à ì

ü�Î

Page 30: Number Theory.pdf

nü� Ûè¹pa�äuvt�¤7è¹���2"®� � ¤7�J�BpS���@ % ï ��¿ ïBö ��,nª ¾X¼ F v$¾ Ï ºÙ»�¿�¿WºkÀ§Ñ!vv¾X½zÐ�½¡¾ Ï ¼®¾�½b¼ut Ï º4å M � tž�º , ´ F µS÷�´ FÍf �'µÂ Ò Ï º4¿ó»]º � ×3 ÒÒ�»�½ Ï �u� ï N : <= |~¾�t Ï �]¾ ï = 7 G�ü �U´ Ä<ÃBÒ F µPM

KT¿��S�c+�Z ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å FE¯ I+. �G I/. �± ùXùXù I . ê� Ê�É<Ï ÕRÅ?Ý�ÌjÊ�Ä<ÅÇÖ ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�Ñ ÃqÖ F ëâ�Å{ËhÈqÎ�Î�ÊÞÑRÔ<Ï ÕRÅTÒRÅhç�Ñ�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ6ÃqÖfá*È�ÌjÄ`Ê�ËNÕ�È�Å{ÎÃÌ É�Î�ÈqÄ$Æ"Ò�ÈÖ Í�Ñ�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ"Ù, ´ F µ ¯ Î�ËhÄ�ê � ´ I/. �G µ�ëXìXìXìaë � ´ I . ê� µ$í�ì

ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å , ´ F µS÷�´ FGf �'µNÙ�ÈqÑ�Ò Ô�ËhÒ ´eïcë F µ ¯ ��ë à�ʪÜ4� Ùz��ÿA��ÿ�òêë ã�ÕRÅ{ÑÔ�ËhÒg´eï4ë I .10" µ ¯ ��Ù�É2Ã`Æ9×6߬Í�ÎÐÅhÌ�Ì É�ã�Õ�ÅhÃqÌ Å{Ä�Ù

ï ¥ ´ H43 00 µ ü � ´ Ä<ÃBÒ I .10" µ$ìÂBÊ�Ñ�ËPÅ � ´ I .10" µS÷ , ´ F µ�ÈqÑ�Ò , ´ F µS÷�´ F�f �'µNÙ�í¬Å$Õ�È{ÛqÅ

ï = 7 G ü � ´ Ä<Ã9Ò I .10" µ$ìã�Õ�Ê�É*Ê�É�Ï2ÌjÍRÅ�ÖFÃqÌ�Å{ÈqËjÕ?ÃqÖ�Ï ÕRÅ�Ý�ÈqÊ�Ì í�Ê�É2ÅWÌ Å{Î�È�Ï Ê�ÛqÅ{ÎÐ×`Ý�ÌjÊÞÄ<ÅWÄ`Ã9Ò�Í�Î�Ê I . �G Ù I . �± ÙÐëÐëÐëÐÙ I . ê� ÙÉ2Ã`í�ÅaÕ�È{ÛqÅaÆL×ÇÏ ÕRÅ$á*Õ�Ê�ÑRÅ{É2Å�â�Å{ÄoÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌ�ã�Õ�ÅhÃqÌ Å{Ä�Ù

ï = 7 G ü � ´ Ä`Ã9Ò F µ$ìá�Ã�ÑLÛqÅhÌjÉ2Å{ÎÐ×qÙRÉ ÍRÝ�ÝXÃ�É Å�Ï Õ�È�Ï~ï = 7 G~ü �G´ Ä<Ã9Ò F µ�ÖFÃq̬ÈqÎ�Î4ï�ÉjÍ�ËjÕ�Ï Õ�È�ÏfÔ�ËhÒg´Ãïcë F µ

¯ ��ë à�ʪÜÿ�jÙg�Ùÿ��Rÿ òêë : <H43 00 ÊÞÉ6È ÁX×�Á � ÂÃÁ ÔqÌ Ã�ÍRÝ�ÃqÖaÃqÌjÒ�ÅhÌ � ´ I .10" µPÙ�É2ÃÓí¬ÅÄ`È{×�ËjÕ�ÃLÃ�É2ÅsÖ6Ï2Ã<Æ�Å�ÈqÑ?Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ�ÃqÖ�ÃqÌjÒ�ÅhÌ � ´ I .10" µYëJ��×�Ï Õ�Å$á*Õ�Ê�ÑRÅ{É ÅWâ�Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä�Ù�í¬Å`Ä`Èy×èç�Ñ�ÒäÈqÑêÅ{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏrï N : = É Í�ËNÕäÏ Õ�È�ÏrïWü�ÖO´ Ä<ÃBÒ I .10" µWÈqÑ�ÒïÊüÞ�U´ Ä<ÃBÒ I .65� µ�ÖFÃqÌWÈqÎ�Î/� ¯ �]ëjü[ëXìXìXì*ë¡ò É Í�ËNÕQÏ Õ�È�ϼ� ú¯ �jë^ã�ÕRÅ{ÑQÔ�ËhÒg´eï4ë F µ ¯�TÈqÑ�Ò�Æ9×�Ã�Í�Ì�Õ'×9Ý�ÃqÏ ÕRÅ{É Ê�É{Ù§ï = 7 G�ü ��´ Ä<ÃBÒ F µNëfã�ÕRÅ{Ñ

ï = 7 G ü � ´ Ä<Ã9Ò I .10" µ$ëÉ2Ã Ö = 7 G ü � ´ Ä`Ã9Ò I .10" µ$ì��Í�Ï�Ï ÕRÅ�ÃqÌjÒRÅhÌ�ÃqÖ ÖÇÊ�É � ´ I .10" µYÙ�É Ã`í¬Å$Ä$Í�É Ï�Õ�È{ÛqÅ� ´ I .10" µa÷�´ F�f �'µ$ìã�Õ�Ê�ɬÊ�ÉfÏ2ÌNÍRÅ^ÖFÃqÌ�Å{ÈqËjÕx� ¯ ��Ù°ü9ÙÐëÐëÐëÐÙ�òêÙ�É2ÃR´ Fbf �'µfÊ�É�È$ËPÃ�Ä`Ä`Ã�Ñ6Ä�Í�ÎÐÏ Ê�Ý�ÎÐÅ�ÃqÖ�Å{ÈqËNÕÇÃqÖ� ´ I . �G µNÙÐëÐëÐëÐÙ � ´ I . ê� µNë/�*ÍRÏ , ´ F µ1Ê�É�Ï Õ�Å�ÎÐÅ{ÈqÉ2ϦËPÃ�Ä`Ä<Ã�Ñ�Ä$Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�ÎÐÅ�ÃqÖXÏ ÕRÅ{É2Å�Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌjÉ{ÙÉ2Ã`í�ÅaËPÃ�Ñ�ËhÎ�Í�Ò�Å�Ï Õ�È�Ï , ´ F µS÷�´ F�f �'µNë O

ü��

Page 31: Number Theory.pdf

A ! À ö/ð/ Fï � ? ©¯Ñ�Ý�È�Ì Ï Ê�ËhÍ�Î�È�Ì{ÙBÖDÃqÌ�Ï ÕRÅTËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2ÅaÑ9Í�Ä$Æ�ÅhÌB���§��Ùï � ¶ ­ ü � ´ Ä<ÃBÒW���§�'µ

ÖDÃqÌ�ÈqÎÞÎaï�ÉjÍ�ËjÕ�Ï Õ�È�Ï�Ô�ËhÒg´eï4ëv���§�'µ ¯ ��ëKT¿��S�c+�Z ���§� ¯ þ[ù¹���]ù��'ÎLÙfÉ Ã , ´Ô���§�'µ ¯ Î�ËhÄ ê\ü9ÙB�X�BÙ����"í ¯ �]�Bë/ã�ÕLÍ�É{Ù, ´Ô���§�'µg÷§���]�Bë O´ â�Å{Ä`È�Ìv�4xfÑ9Í�Ä$Æ�ÅhÌjÉ F É Í�ËNÕ�Ï Õ�È�Ï , ´ F µ�÷ Fbf �^È�ÌjÅ�ËhÈqÎÞÎÐÅ{ÒÇá�È�ÌjÄ`Ê�ËNÕ�È�Å{Î�ÑLÍ�Ä<Ú

ÆXÅhÌNÉhë�©%ÏaÊ�É$ÑRÃqÏr�BÑRÃyí�Ñ/í�ÕRÅhÏ ÕRÅhÌaÏ ÕRÅhÌ ÅoÈ�Ì Å6Ê�ÑRç�Ñ�ÊÐÏ2Å{ÎÐ×QÄ`ÈqÑL×/á*È�ÌjÄ`ÊÞËjÕ�È�Å{άÑLÍ�Ä<ÚÆXÅhÌNÉh붵

ü��

Page 32: Number Theory.pdf

n � ã87 s7è¹pS�åpS�r�¹��� �Bé nwêÅ$Õ�ÈyÛqÅ$É ÕRÃ\í�Ñ?Ï Õ�È�Ï�ÊÐÖ I Ê�É�Ý�ÌNÊ�Ä<Å�Ï ÕRÅ{Ñ�Ï Õ�ÅTÃ�Ñ�ÎÐ×ÇÉ é9Í�È�Ì ÅTÌ Ã9ÃqÏ É�ÃqÖ¹�TÈ�ÌjÅ��aÈqÑ�Òf ��ëJ��Ã\í¬ÅhÛqÅhÌyÙ��^Õ�ÈqÉ ÒX»]À§½ É é9Í�È�Ì Å�Ì Ã9ÃqÏ É�Ä<Ã9Ò�Í�ÎÐÃ����9ÙRÑ�ÈqÄ<Å{ÎÐ×�x���ÙLýRÙ f ��Ù f ýRëwêÅÉ ÕRÃyí Ï Õ�È�Ï�Ï Õ�ÊÞÉ�Ê�É�È<ÔqÅ{ÑRÅhÌjÈqÎ�Ý�ÕRÅ{ÑRÃ�Ä<Å{Ñ�Ã�Ñ"ë

@ % ï ��¿ ïBö �"ø6ª ¾X¼ F vv¾3¿]Âu�'Â9Ä$ÂÝv � ¾vX×�¼�|�»�¿�Â2Ä�¼eÂ9º4Á'¼�»�¿)¿�Ü4½$Â�Ñ�¾�ºkÀ§ÑGv$¾�½$Ä M � t§¾�º� t Ï Ä Ï ¼ � ¾ Ï Ä6¼�ÒX»]À§½g¿]Â9Ä6¼eÂ�º4Á�¼�Ä À Ï ½¡¾g½¡»�»�¼�Ä Ñ�»'¿]À � » F MKT¿��S�c+�Z å�ÅhÏ I Æ�Å�ÈqÑäÃBÒ�ÒìÝ�ÌjÊÞÄ<Å$Ñ9Í�Ä$ÆXÅhÌ�Ò�Ê�Û9Ê�Ò�Ê�ÑRÔ F ëaå�ÅhÏ�96; �Æ�Å$Ï ÕRÅ

Î�È�Ì ÔqÅ{É2Ï�Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ�É Í�ËNÕÇÏ Õ�È�Ï I . ÷ F ë¦ã�ÕRÅ{Ñ F�¯GI . ùvòêÙBí�Õ�ÅhÌ Å^Ô�ËhÒg´eò�ë I . µ ¯ ��ÈqÑ�Òò Ë ü9ë

��×êÏ ÕRÅ6á*Õ�ÊÞÑRÅ{É2Å<â�Å{Ä`ÈqÊÞÑ�ÒRÅhÌTã�ÕRÅhÃqÌjÅ{Ä,Ï ÕRÅhÌ ÅoÅPÜBÊ�É ÏaÍ�Ñ�Ê�é9ÍRÅ7ïcëvð N : = ÉjÍ�ËjÕÏ Õ�È�Ï

ïbü � ´ Ä<ÃBÒ I . µ4ÈqÑ�Òäï�ü f � ´ Ä<ÃBÒRò�µ$ë

ð�ü f � ´ Ä`Ã9Ò I . µ4ÈqÑ�Òäð¹ü � ´ Ä<ÃBÒRò�µ$ìÂBÊ�Ñ�ËPÅ ��úü f �WÄ<Ã9Ò�Í�ÎÐÃ�Å{ÊÐÏ ÕRÅhÌ�ò ÃqÌ I . Ù9í¬Å�Õ�È{ÛqÅ�Ï Õ�È�Ï��]ë f �]ë�ï4ëvð^È�ÌjÅ^ÈqÎ�ÎXÒ�Ê�É2Ï ÊÞÑ�ËPÏÄ<Ã9Ò�Í�ÎÐà F ëwêÅ$Õ�ÈyÛqÅ�x

ï ± ü � ´ Ä<ÃBÒ I . µ4ÈqÑ�Ò ï ± ü � ´ Ä<ÃBÒRò�µ$ë

ð ± ü � ´ Ä<ÃBÒ I . µ4ÈqÑ�Òäð ± ü � ´ Ä<ÃBÒRò�µ$ìÂ9ÃRÙ�Æ9×6ÈqÑRÃqÏ Õ�ÅhÌ^È�Ý�Ý�ÎÞÊ�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ6ÃqÖ�Ï ÕRÅ$á*Õ�Ê�Ñ�Å{É2Å�â�Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌ�ã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä?Ù

ï ± üOð ± ü � ´ Ä<Ã9Ò F µ$ì��Å{Ñ�ËPÅÊ�]ë f �]ë�ï4ëvð�È�Ì ÅTÒ�Ê�É Ï Ê�Ñ�ËPÏ�É é9Í�È�Ì Å�Ì Ã9ÃqÏ É�ÃqÖÉ�TÄ<ÃBÒ�Í�ÎÐà F ë

O�QÊÞÎ�ÎÐÅhÌ�Ì É�Ý�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì Å�ÖDÃqÌfÏ2Å{É2Ï Ê�ÑRÔTÝ�ÌjÊ�Ä`ÈqÎ�Ê�Ï�×aÍ�É Å{É§Ï ÕRÅ�ÒRÅhÏ2Å{ËPÏ Ê�Ã�Ñ`ÃqÖ�Ã�ÑRÅ�ÃqÖ�Ï ÕRÅ{É2Å

¥¯ÝXÅ{ËhÍ�Î�Ê�È�Ìv¦�É é9Í�È�Ì ÅWÌ ÃLÃqÏ É*ÃqÖ��b´ Ê�ë ÅqëÐÙ�ÑRÃqÏz�WÃqÌ f �'µ¬ÈqÉ*Ã�ÑRÅ�ÃqÖ�Ï ÕRÅ��qÅh×ÇÄ<ÅhÏ ÕRÃBÒ�É�ÃqÖÒ�Ê�É ËPÃ\ÛqÅhÌjÊ�ÑRÔ<Ï ÕRÅ$ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å{ÑRÅ{É É�ÃqÖ F ë

þ]�

Page 33: Number Theory.pdf

n ¨ © ��t��?� �u��Juv @? �7pauv�ä�J�! � uv�v�v�Jp9"Ô� �7pS�rt��qbs7pS�ã�ÕRÅÿÝ�ÌNÊ�Ä`ÈqÎ�ÊÐÏ}× Ï2Å{É2Ï ÊÞÑRÔ Ý�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì ÅêÃqÖb�QÊ�ÎÞÎÐÅhÌG�������±ÙTÎ�ÊÝ�qÅÿÏ Õ�È�ÏQÃqÖoÂ9Ã�Î�ÃyÛ�È{×õÈqÑ�ÒÂ9Ï2ÌjÈqÉ É2Å{Ñ�Ù¦Ê�ÉaÆ�ÈqÉ2Å{ÒØÃ�ÑØÉ Å{È�ÌjËjÕ�ÊÞÑRÔèÖFÃqÌ<ÈQÛ�ÈqÎ�ÍRÅóï N ê"�]ëjü[ëXìXìXì�ë F�f ��í�Ï Õ�È�Ï<Ê�É$È¥¯í�ÊÐÏ ÑRÅ{É Év¦èÏ2ÃäÏ ÕRÅ�ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É Ê�Ï2Å{ÑRÅ{É É�ÃqÖ F ëÿã�Õ�Å6Ò�Ê|ÓXÅhÌ Å{Ñ�ËPÅ6Ê�É�Ï Õ�È�Ï<ÒRÅhÏ2ÅhÌNÄ`Ê�Ñ�Ê�É Ï Ê�ËÉ2Å{È�ÌjËjÕQÌ ÅhÝ�Î�ÈqËPÅ{É�ÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä É2Å{Î�Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ"ëJ�¦ÈqÎ�Í�Å{É�ï ¯ ü[ëjþ[ëv�[ë$Î"ëXìXìXìTÈ�Ì ÅTÏ2ÌjÊÐÅ{Ò�Í�Ñ'Ï Ê�ÎXÅ{ʪÚÏ ÕRÅhÌfÃ�ÑRÅWÊ�ɧÖFÃ�Í�Ñ�Ò<Ï Õ�È�ϬÊ�ɬÈ�í�ÊÐÏ ÑRÅ{ÉjɧÏ2ÃaÏ ÕRÅWËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å{ÑRÅ{ÉjɦÃqÖ F Ù'ÃqÌ�É2Ã�Ä<Å�Æ�Ã�Í�Ñ�ÒÊ�ÉfÌjÅ{ÈqËjÕRÅ{ÒL´ Ê�Ñ�í�Õ�Ê�ËNÕoËhÈqÉ2Å F Ê�ɬÒRÅ{ËhÎ�È�Ì Å{ÒoÏ2Ã$Æ�Å^Ý�ÌjÊ�Ä<Å&µNë�ã�ÕRÅ^Ý�Ì ÃqÆ�Î�Å{Ä ÃqÖ"Ï ÕRÅ^ÅPÜLÚÊ�É2Ï2Å{Ñ�ËPÅ�ÃqÖ�¥2ÉjÄ`ÈqÎ�Îݦ�í�ÊÐÏ Ñ�Å{É É2Å{ÉÉï<ÖFÃqÌ�È�ËPÃ�Ä`ÝXÃ�ÉjÊÐÏ2Å F ÊÞÉfÅXÕoËhÊ�Å{Ñ'Ï ÎÐ×�Ì Å{Ò�Í�ËPÅ{Ò6Ï2Ã<Ï ÕRÅÅPÜBÊ�É Ï2Å{Ñ�ËPÅ�ÃqÖ�ËPÅhÌ Ï ÈqÊÞÑE¥2É ÄoÈqÎ�Îݦ?ÑRÃ�Ñ�Ì Å{É Ê�Ò�Í�Å{Éhë3wêÃqÌv�êÃqÖ��^ÑÅ�qÅ{ÑL×ÿÉ ÕRÃ\í�É$Ï Õ�È�ÏaÏ ÕRÅߧÜBÏ2Å{Ñ�ÒRÅ{Òäâ�ÊÐÅ{ÄoÈqÑ�Ñ��^×9ÝXÃqÏ Õ�Å{É Ê�É7´ È�Æ�Æ�Ì ÅhÛBÊ�È�Ï2Å{ÒìßfâB� Ê�ÑQí^Õ�È�Ï^ÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�É$µ�Ê�Ä<Ý�ÎÞÊÐÅ{ÉÈÆXÃ�Í�Ñ�Ò6ÃqÖß�´ ÎÐÃqÔ ± F µfÃ�Ñ�Ï ÕRÅTÎÐÅ{ÈqÉ Ï�É Í�ËjÕ�Ñ�Ã�ÑRÌ Å{É Ê�Ò�ÍRÅ{ÉhÙ9í�Õ�Ê�ËNÕ6ÊÞÑ�Ï Í�ÌjÑ�Ê�Ä<Ý�ÎÞÊÐÅ{ɬÈÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎ1Ï Ê�Ä<Å<ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä Ï2Ã?Ì Å{ËPÃqÔ�Ñ�Ê|{hÅ<Ý�ÌjÊ�Ä<Å{ÉhëR´ ã�ÕRÅ<ÌjÅ{ÈqÒRÅhÌTÊ�É�Ì ÅhÖFÅhÌ Ì Å{ÒäÏ2Ã�QÊ�ÎÞÎÐÅhÌ�Ì É�Ý�È�Ý�ÅhÌ�ÖFÃqÌ�Ö ÍRÌ Ï ÕRÅhÌ^ÒRÅhÏ ÈqÊ�Î�É�ÃqÖ�Ï ÕRÅ$í¬ÃqÌv�6ÃqÖ�WÑÅ�qÅ{ÑL×?ÈqÑ�Ò�Ï ÕRÅa߬âB�$붵ÉwêÅÑRÃyí ÒRÅ{É ËPÌjÊÐÆ�Åz�QÊÞÎ�ÎÐÅhÌ�Ì É*Ý�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì Åqë

8 ñ e Fï ¿ ^ ½ ð ¿&�"Á ïLó/� ¿ ï +®��¿6¾ ï ½h¾\ñ ò*0 ð ¿Jñ ö À ñÞ¾6#ã�ÕRÅTÊ�ÑRÝ�ÍRÏ�Ê�É�ÈqÑ�ÃBÒ�Ò?Ñ9Í�ÄaÆ�ÅhÌ FÛË ��ëå�ÅhÏ;:aÆ�Å�Ï ÕRÅTÎ�È�Ì ÔqÅ{É2Ï^Ê�Ñ'Ï2ÅhÔqÅhÌWÉ Í�ËNÕ�Ï Õ�È�Ï^ü1< ÷ F�f ��Ù�ÈqÑ�Ò�Î�ÅhÏõ ¯ ´ F�f �'µC~�ü1<{ëå�ÅhÏ>= Æ�ÅTÈ<çRÜBÅ{Ò�ËPÃ�Ñ�É2Ï ÈqÑLÏ^ÈqÑ�ÒQÎÐÅhÏ Õ ´ F µ ¯ Ä`Ê�Ñ4ê@?A=°´ ÎÐÃqÔ F µ ±CB�ë F í�ë��ëB©%Ö F Ê�É�È<Ý�ÅhÌ ÖDÅ{ËPÏ�Ý�Ã\í¬ÅhÌg´ ʱë ÅqëÐÙ F�¯ ò à ÖDÃqÌ�É Ã�Ä<Ågá ;õü�µ�Ï Õ�Å{Ñ�Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É Ê�Ï2Å�¦`ÈqÑ�Ò?Õ�ÈqÎ�Ïhë

ü9ë^å�ÅhÏ�ï�ÌNÍ�ÑÇÏ ÕRÌ Ã�ÍRÔ�Õ�ÈqÎÞÎ"Ý�ÌjÊ�Ä`Å{É�Î�Å{É É�Ï Õ�ÈqÑ Õ ´ F µ�ÊÞÑSx´ È)µó©%Ö�ïS÷ F Ï ÕRÅ{Ñ�Ã�Í�Ï2Ý�ÍRÏb¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦oÈqÑ�Ò?Õ�ÈqÎÐÏhë´FÆ�µÊ©%Ö�ï = 7 G úü �U´ Ä<ÃBÒ F µ¬Ï ÕRÅ{Ñ�Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRÏb¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦`ÈqÑ�Ò?Õ�ÈqÎÐÏhë´ Ë'µó©%Ö*ï � úü �U´ Ä<ÃBÒ F µ¬Ï ÕRÅ{ÑQÉ2ÅhÏED ¯ Ä`ÈJÜ�ê#�bx"ï ± 5 � úüM�U´ Ä<ÃBÒ F µví$ÈqÑ�Ò

ÊÐÖ�ï"±�F � úü f �G´ Ä<Ã9Ò F µ*Ï ÕRÅ{Ñ�Ã�ÍRÏ2Ý�Í�Ïb¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦`ÈqÑ�ÒQÕ�ÈqÎÐÏhë

þ9ëB©%Ö1ÈqÎÞÎ�Ý�ÌjÊ�Ä<Å{ÉÉïx� Õ ´ F µ�Õ�ÈyÛqÅTÆ�ÅhÅ{Ñ�Ï2Å{É2Ï2Å{ÒèÊ�Ñ�É2Ï2ÅhÝG´�ü�µ�í�ÊÐÏ ÕRÃ�ÍRÏ�Õ�ÈqÎ�Ï Ê�ÑRÔÏ ÕRÅ{Ñ?Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRÏb¥¯Ý�ÌNÊ�Ä<Å�¦ÈqÑ�Ò?Õ�ÈqÎ�Ïhë

@ % ï ��¿ ïBö � D £ »]½ Ï ºk×bÁv»]ºkÄ6¼ Ï ºc¼ =þ�HG  ��� ¾�½]y ÄJÜ4½³»'Á$¾�¿�À[½�¾r½$À§ºÅÄ�Â9º�¿)¾�¼®¾�½6Ñ Â�ºkÂ9Ä6¼eÂÃÁܧ» � ×�º�»]Ñ7Â Ï � ¼eÂ�Ñ�¾ M

þ§�

Page 34: Number Theory.pdf

KT¿��S�c+�Z ã�Å{É2Ï Ê�ÑRÔ�í^ÕRÅhÏ ÕRÅhÌ F Ê�É�È�Ý�ÅhÌ ÖFÅ{ËPÏ�Ý�Ãyí�ÅhÌ$ËhÈqÑêÆ�Å`ÒRÃ�Ñ�Å`Ê�ÑäÝ�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�ÚÄ`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<ÅW´FÏ Õ�Å<Ã�Ñ�ÎÐ×QÝ�Ã�É ÉjÊÐÆ�ÎÐÅ�ÛJÈqÎÞÍRÅ{É�ÃqÖÉá§ï =2Ê ü[ëjþ[ëXìXìXì�ë/I ÎÐÃqÔ FKJ µNë�ÂRÊ�Ñ�ËPÅ Õ ´ F µ ¯ßb´ ÎÐÃqÔ ± F µ�ÈqÎÞÎBÝ�ÌjÊ�Ä<Å{Éï� Õ ´ F µ1Ä`Èy×$Æ�Å�ÖFÃ�Í�Ñ�ÒÊ�ÑÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ9Ï Ê�Ä`Å�í^ÊÐÏ Õ<È�É ÊÐÅhÛqÅqëá*ÕRÅ{Ë��BÊ�ÑRÔ�í^ÕRÅhÏ ÕRÅhÌrïìÒ�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ{É F ÈqÑ�ÒÿËPÃ�Ä<Ý�Í�Ï Ê�ÑRÔÇÏ ÕRÅ`È�Ý�Ý�ÌjÃqÝ�ÌjÊ�È�Ï2ÅÝ�Ãyí�ÅhÌjÉ�ÃqÖÉïËhÈqÑ?Æ�ÅTÒRÃ�ÑRÅTÊ�ÑÇÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`ÊÞÈqÎ�Ï ÊÞÄ<Åqë

Oã�ÕRÅÇÖFÃ�Î�ÎÐÃyí^Ê�ÑRÔäÈ�Ì Å�Ï ÕRÅ�Ì Å{é9Í�ÊÐÌ Å{ÒØÒRÅhç�Ñ�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ�É�ÈqÑ�ÒÓÏ ÕRÅhÃqÌ Å{ÄoÉÃ�Ñ ÎÐÅ{ÈqÉ2Ï<ÑRÃ�ÑBÚ

Ì Å{É Ê�Ò�Í�Å{Éhëõ�ï)( ò�ñD¾\ñ��Xò�� > q Ò I Â9Ä Ï Ü�½$Â�Ñ�¾ Ï º4¿ ô Â9Ä Ï Ü4½$Â�Ñ�¾7¿]Âu�'Âÿ]Â9º[Ð I3f � ¼ut§¾�º � ¾X¼L ´ I ë�ô�µ ¯ Ï ÕRÅTÎ�Å{ÈqÉ2ÏBô �� ÑRÃ�ÑRÌjÅ{É Ê�Ò�ÍRÅ�Ä<ÃBÒ I ë� t Ï ¼JÂ9Ä � L ´ I ë�ô�µ Â9Ä�¼ut§¾ � ¾ Ï Ä6¼�º4»]ºkº�¾ÔÐ Ï ¼eÂ���¾zÂ�ºc¼®¾ÔÐ[¾�½ ï Ä$ÀkÁPtó¼ut Ï ¼ (/*¹üOï�´ Ä<ÃBÒ I µt Ï Ädº4»�ÄX» � ÀżeÂû]º M@ % ï ��¿ ïBö - ú�àAM º]ã�¾�ºkײé � t§¾�wON>PÞÂ9Ñ�Ü � Âþ�Äg¼ut Ï ¼ L ´ I ë�ô�µ ¯ ßb´ Î�ÃqÔ ± I µ$ìõ�ï)( ò�ñD¾\ñ��Xò - û q Ò I Ï º4¿ ô�Ï ½¡¾3¿]Â9Ä6¼eÂ�º4Á�¼/Ü4½$Â�Ñ�¾6Ä � ¿)¾AQJº�¾ L ´ I ô�µ ¼Ô»:vv¾b¼ut§¾ � ¾ Ï Ä6¼Ü§»�Ä$Âe¼eÂu�]¾ Â�ºc¼®¾ÔÐ[¾�½ ï Ä6ÀkÁPt�¼ut Ï ¼ ���H *�� ¯ f �2M@ % ï ��¿ ïBö - ÷AàAM º]ã�¾�ºkײé � t§¾�wON>PÞÂ9Ñ�Ü � Âþ�Äg¼ut Ï ¼ L ´ I ô�µ ¯ ßb´ Î�ÃqÔ ± I ô�µ$ì

´ â�Å{Ä`È�Ìv�4x¬ÆL×ÇÊ�Ñ�ÒRÅPÜÇÈ�Ì Ô�Í�Ä<Å{ÑLÏ É�Ä<ÃBÒ I ÈqÑ�Ò�ôÊÐÏ�Ä`È{×ÇÆ�ÅTÉ2ÅhÅ{Ñ?Ï Õ�È�Ï L ´ I ë�ô�µÈqÑ�Ò L ´ I ô�µ*È�Ì Å�Æ�ÃqÏ Õ?ÑRÅ{ËPÅ{É ÉjÈ�ÌjÊ�ÎÐ×�Ý�ÌjÊ�Ä<Åq붵@ % ï ��¿ ïBö - � � tžwRNSPäÂ9Ñ�Ü � ÂÔ¾6ÄW¼ut Ï ¼ ¼ut§¾X½¡¾L¾���Â2Ä�¼�Ä Ï Á$»]ºÅÄ6¼ Ï ºc¼ = Ä$ÀkÁPt°¼ut Ï ¼G  ��� ¾�½]y ÄÉÜ�½³»�Á6¾�¿]À§½�¾bÁ$»]½$½�¾�Á'¼ � ×ó½�¾�Á$»�Ð�ºkÂ&%'¾�Äg¼ut§¾�Ü4½6Â�Ñb¾7ºkÀ§ÑGv$¾�½$Ä M

KT¿��S�c+�Z wêÅ$ËPÃ�Ñ�ÉjÊ�ÒRÅhÌ�Ï ÕRÅTÏ}í¬Ã�ËhÈqÉ2Å{ÉXx F ÊÞÉ*Ý�ÌjÊ�Ä<ÅqÙRÈqÑ�Ò F Ê�É�ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2ÅqëÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å F Ê�É�Ý�ÌjÊ�Ä<Åqë�ã�ÕRÅ{Ñ F Ê�É�ÑRÃqÏ1È�Ý�ÅhÌ ÖFÅ{ËPÏ�Ý�Ãyí�ÅhÌ�ÈqÑ�ÒaÖFÃqÌ1Å{ÈqËjÕ�Ý�ÌjÊ�Ä`ÅJï}�Õ ´ F µNÙ�ï*ú|÷ F ë��WÎ�É2Ã3ï = 7 G üÞ�U´ Ä`Ã9Ò F µ�Æ9×?àRÅhÌjÄ`È�ÏXÌ É�ã�Õ�ÅhÃqÌ Å{Ä�Ù"ÈqÑ�ÒìÉ Ê�Ñ�ËPÅÊ�$ËhÈqÑ

Ã�Ñ�ÎÐ×aÕ�ÈyÛqÅ*Ï ÕRÅ�É éLÍ�È�Ì Å¬ÌjÃLÃqÏ ÉÉ�*ÈqÑ�Ò f �*Ä<Ã9Ò�Í�ÎÐÃ�ÈWÝ�ÌjÊÞÄ<ÅqÙ\í�Å�Ä$Í�É2Ï1Õ�È{ÛqÅ�ï[±�F � úü �´ Ä<Ã9Ò F µ�ÈqÑ�Ò�ï ±�FCT � � ü ��´ Ä<ÃBÒ F µ�Ê�Ä<Ý�Î�Ê�Å{É*Ï Õ�È�Ï�ï ±�F � ü f ��´ Ä<Ã9Ò F µNëÉ�^Å{Ñ�ËPÅÖDÃqÌ^Å{ÈqËjÕÍï�Ï2Å{É Ï2Å{Ò"ÙXÑ�Ã�ÑRÅ�ÃqÖ¦É2Ï2ÅhÝ�Éd´�ü�È)µNÙ´�üJÆ�µNÙXÃqÌ ´�ü�Ë'µ�ËhÈqÑ?Ã�ÍRÏ2Ý�Í�Ï�¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦Rëã�ÕLÍ�É�Ï ÕRÅ�Ý�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌjÅ�ËPÃqÌjÌ Å{ËPÏ ÎÐ×ÇÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ É�¥¯Ý�ÌjÊ�Ä<Å�¦9Ù�ÊÞÑ�ÒRÅhÝ�Å{Ñ�ÒRÅ{ÑLϬÃqÖU=Øë

ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2ÅÇÏ Õ�È�Ï F Ê�É<ËPÃ�Ä`ÝXÃ�ÉjÊÐÏ2Åqë°©}Ö F Ê�É<ÈêÝ�Ãyí�ÅhÌ<ÃqÖ�ÈêÉ Ê�ÑRÔ�ÎÐÅ6Ý�ÌjÊÞÄ<ÅqÙ¦Ï ÕRÅ{ÑF Ê�É�ÈQÝ�ÅhÌ ÖFÅ{ËPÏ�ÝXÃ\í¬ÅhÌyÙ¦É2ÃèÉ2Ï2ÅhÝ ´³�'µaí�Ê�ÎÞΧÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏÍ¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦Rëäã�Õ9Í�ÉhÙ1í¬ÅÇÄ`Èy×ÈqÉ É Í�Ä<ÅoÏ Õ�È�Ï F Ê�ÉaÑRÃqÏaÈ?Ý�ÌjÊ�Ä<ÅÝ�Ãyí�ÅhÌ{ë�å�ÅhÏ F;¯ I . �G I . �± ùXùXù I . 1à ÆXÅ<Ï Õ�ÅoÝ�ÌjÊÞÄ<ÅÖFÈqËPÏ2ÃqÌjÊÝ{{È�Ï ÊÐÃ�ÑÃqÖ F ë1â�Å{ËhÈqÎ�ÎLÏ ÕRÅ�Ò�Åhç�Ñ�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ�É�ÃqÖ�á*È�ÌjÄoÊ�ËjÕ�È�Å{ÎÔÌ É�ÈqÑ�Ò7�èÊ�Î�ÎÐÅhÌ�Ì É�Î�ÈqÄ$Æ�Ò�ÈÖFÍ�Ñ�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�ÉXx , ´ F µ ¯ Î�ËhÄ�ê � ´ I+. �G µ�ëXìXìXì�ë � 0 I . 1à 3 í�ë

þqü

Page 35: Number Theory.pdf

, 5 ´ F µ ¯ Î�ËhÄÛê I G f �]ëXìXìXì*ë I à f ��í�ì}�ÃqÏ2ÅìÏ Õ�È�Ï , 5�´ F µ�÷ , ´ F µNëÛwêÅìËPÃ�Ñ�É Ê�ÒRÅhÌ`Ï}í¬ÃÓËhÈqÉ2Å{É�Æ�ÈqÉ2Å{Ò Ã�Ñ í�Õ�ÅhÏ ÕRÅhÌ , 5�´ F µÒ�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ{É F�f ��ÃqÌ�Ñ�ÃqÏhë

ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å , 5�´ F µÊú®÷ F�f ��ëÇã�ÕRÅ{Ñ/ËhÎÐÅ{È�ÌNÎÐ× , ´ F µÊú®÷ F�f ��Ù§É2ÃQÆ9×/á*È�ÌjÄ`ÊÞËjÕ�È�Å{ÎÃÌ Éã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä�Ù�Ï ÕRÅhÌ Å�ÅPÜBÊ�É Ï Érï N :�<= É Í�ËNÕêÏ Õ�È�Ï ï = 7 G úü �G´ Ä<Ã9Ò F µNë�à�ÍRÌjÏ ÕRÅhÌjÄ<ÃqÌ ÅqÙí¬ÅaÕ�È{ÛqÅ�xKT¿&� ð ��½\ñÞ¾Jñ9�Xò -c-µ� t§¾�½�¾�¾���Â2Ä�¼SÜ�½$Â�Ñ�¾6Ä I Ï º4¿ ôWÏ º�¿ Ï ºLÂ9ºc¼®¾®Ð"¾X½ ò Ä6ÀÅÁKt�¼ut Ï ¼å M I ÷ F �~´ IÊf �'µ�úû÷�´ F�f �'µÍ�¹Ï º4¿ ô � ÷�´ I3f �'µÍ��ô � úû÷�´ F�f �'µPMæ M q Ò ï Â9Ä Ï ºk× ô fWV × º4»�ºk½¡¾�Ä$Âÿ]Àc¾ Ñb»�¿]À � » I ¼utž�º ï = 7 Grúü �U´ Ä<ÃBÒ F µPM

ã�Õ9Í�ÉhÙfÊÐÖ�ï ¯ L ´ I ë�ô�µ$Ï ÕRÅ{Ñ ï ¯ ß�´¡´ ÎÐÃqÔ I µ ± µ ¯ ß�´¡´ ÎÐÃqÔ F µ ± µ$Æ9×U�WÑÅ�qÅ{Ñ'×�Ì Éã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä�Ù�ÈqÑ�ÒRï6í¬Ã�Í�ÎÞÒ�ÎÐÅ{ÈqÒ�Ï2ÃoÈqÑ�Ã�Í�Ï2Ý�ÍRÏ�ÃqÖz¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦`ÊÞÑ�É2Ï2ÅhÝG´�üJÆ�µNë

àRÃqÌWÏ ÕRÅ�ÃqÏ ÕRÅhÌ^ËhÈqÉ ÅqÙ�ÈqÉ É Í�Ä<Å�Ï Õ�È�Ï , 5]´ F µS÷�´ F�f �'µNë�wêÅaÒ�Ê�É2Ï Ê�ÑRÔ�Í�Ê�É Õ�Ï�í�Ã�É ÍRÆ�ÚËhÈqÉ2Å{É�í�ÊÐÏ Õ�Ê�ÑoÏ Õ�Ê�É�Ã�ÑRÅqëfå�ÅhÏ ,�5 ´ F µ ¯ ü Ñ G ÙRí^ÕRÅhÌ Å� G Ê�É*ÃBÒ�Ò"ë�´e}�ÃqÏ2ÅaÏ Õ�È�Ï� G ÷È ÆXÅ{ËhÈqÍ�É2Å , 5�´ F µS÷�´ F�f �'µ$ÈqÑ�ÒÛ´ F�f �'µ ¯ ü < ëLµõã�ÕRÅhÌjÅ6Ä�Í�É2Ï$ÆXÅ6É2Ã�Ä<ÅÇÝ�ÌjÊÞÄ<ÅÒ�ÊÐÛBÊ�É2ÃqÌ�ÃqÖ F ÙRÉ Èy× I ÙRÉ Í�ËjÕÇÏ Õ�È�Ï�ü Ñ ÷�´ Ibf �'µNë�á*ÎÐÅ{È�ÌNÎÐ×qÙa´ I�f �'µ ¯ ü Ñ ± í�ÕRÅhÌ Å� ± Ê�ÉÃ9Ò�Ò�ë�ã�ÕRÅ$Ï�í�ÃÇËhÈqÉ Å{É�í¬ÅËPÃ�Ñ�É Ê�Ò�ÅhÌ^È�Ì Å�Æ�ÈqÉ2Å{ÒèÃ�Ñìí�ÕRÅhÏ ÕRÅhÌWÏ ÕRÅhÌ Å$ÅPÜBÊ�É Ï ÉWÈ�Ý�ÌjÊÞÄ<Åô�Ò�ÊÐÛ9ÊÞÒ�Ê�ÑRÔ F É Í�ËjÕ?Ï Õ�È�Ï^ü Ñ Ò�ÃLÅ{É�Ñ�ÃqÏ�Ò�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ�´eô f �'µNë

ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å�Ï ÕRÅhÌ Å�ÅPÜBÊ�É Ï É§È�Ý�ÌjÊ�Ä<ÅÉô�É Í�ËNÕ<Ï Õ�È�Ïfü Ñ ú¶÷�´eô f �'µN멯ÑÏ Õ�Ê�ɧËhÈqÉ2Å�í�Å�í�ÌjÊ�Ï2Åô f � ¯ ü � I Ù"í�ÕRÅhÌ Å! I Ê�ÉWÃBÒ�ÒìÈqÑ�ÒLò � Ð ë�á*Õ�ÃLÃ�É2Å�ï ¯ L ´ I ëjü�µNëgwêÅ`ÑRÃyíÉ ÕRÃyí Ï Õ�È�Ïdï?í�Ã�Í�Î�ÒêÎ�Å{ÈqÒäÏ2ÃQÈqÑêÃ�ÍRÏ2Ý�Í�ÏWÃqÖ7¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦QÊ�ÑêÉ2Ï2ÅhÝ;´�ü�µNë�ÂBÍ�Ý�Ý�Ã�É2Åï�ú�÷ F ÈqÑ�Ò�ï = 7 GÉü ��´ Ä<ÃBÒ F µNë*ã�ÕRÅ{Ñ?ÉjÊ�Ñ�ËPÅrïÇÊ�É�È�éLÍ�ÈqÒ�ÌjÈ�Ï Ê�Ë�ÑRÃ�ÑRÌjÅ{É Ê�Ò�ÍRÅ�Ä<ÃBÒ I´FÏ Õ�Ê�É�Ê�É�Õ�Ãyí Ê�Ï�í�ÈqÉ�ËNÕRÃ�É2Å{Ñ4µNÙ

ï�¦ H 7 G § Ì ± ü ïI�� ü f � ´ Ä`Ã9Ò I µ$ì

ÂBÊ�Ñ�ËPÅ� Ê�É*Ã9Ò�Ò"Ù´eï � µ ¦ H 7 G § Ì ± ü ´ f �'µ � ü f � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ì

ã�ÕLÍ�ÉhÙkï � úü �U´ Ä<ÃBÒ F µ�ÈqÑ�Ò�Ï ÕRÅ�Æ�ÃBÒR×oÃqÖ�É2Ï2ÅhÝ ´�ü�Ë'µ�Ä�Í�É2Ï�Æ�Å�ÅPÜ9Å{ËhÍ�Ï2Å{Ò"ëå�ÅhÏ =d¯WÐÅf ��ë~}�ÃqÏ2Å�Ï Õ�È�Ï�ü « Ê�É�È�Ä�Í�ÎÐÏ Ê�Ý�ÎÐÅ�ÃqÖ�ô f �WÆXÅ{ËhÈqÍ�É2Å�ò ÿ = ë/�WÎ�É2ÃRÙ

ü « Ê�É�ÈqÑ?ÃBÒ�Ò�Ä�Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�ÎÐÅ^ÃqÖ¹´ IÊf �'µC~�ü9ë¬ã�Õ9Í�Éï ±YX � ü ´eï * 7 G µ[Zgü � ´ Ä<ÃBÒ�ô�µ$ë

ï ± X � ü ´eï�¦ H 7 G § Ì ± µ ±Ï$ J G ü ´ f �'µ ±Ï$ J G ü f � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ì

þqþ

Page 36: Number Theory.pdf

ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å�ï"± F � ü f �U´ Ä`Ã9Ò F µNë�ã�ÕRÅ{Ñ7ï[± F � ü f ��´ Ä<ÃBÒ�ô�µNÙ'É2Ã\Dû� = ë��*ÍRϧÈqÎ�É2Ãï"± F � ü f �U´ Ä<ÃBÒ I µNÙ�É2Ã]D ¯n= Ù�È�ËPÃ�ÑLÏ2ÌjÈqÒ�ÊÞËPÏ ÊÐÃ�Ñ"ë�ã�ÕLÍ�ÉBï[± F � úü f �U´ Ä`Ã9Ò F µNÙÈqÑ�Ò�ï6ÎÐÅ{ÈqÒ�É�Ï2ÃoÈqÑQÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ�ÃqÖ�¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦oÊ�Ñ�É2Ï2ÅhÝÙ´�ü�Ë'µNë

àRÃqÌ�Ï ÕRÅ¬É Å{ËPÃ�Ñ�Ò$ÉjÍRÆ"ËhÈqÉ2ÅqÙqÈqÉ É Í�Ä<Å¬Ï Õ�È�Ï�ÖFÃqÌ�ÈqÎ�Î�Ý�ÌNÊ�Ä<Å{Éaô�Ò�ÊÐÛ9ÊÞÒ�Ê�ÑRÔ F Ùqü Ñ Ò�Ê�Û9Ê�Ò�Å{É´eô f �'µNë�©%Ñ Ï Õ�Ê�É$ËhÈqÉ2ÅqÙ¦ÎÐÅhÏ ô�Æ�ÅoÈqÑ'×/Ý�ÌjÊ�Ä<Å�Ò�Ê�É2Ï Ê�Ñ�ËPÏ�ÖDÌ Ã�Ä I í�Õ�Ê�ËNÕÿÒ�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ{É F ëã�ÕRÅ{ÑÊô f � ¯ ü Ñ �I�Ù9í�ÕRÅhÌ Å� �I�ÊÞÉfÃBÒ�Ò"ëfá*ÕRÃ9Ã�É2Å�ï ¯ L ´ I ô�µNëwêÅ�É ÕRÃ\í Ï Õ�È�Ï�Ï Õ�Ê�Éï�í�Ã�Í�Î�Ò�Î�Å{ÈqÒ�Ï2ÃoÈqÑ�Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ�ÃqÖz¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦`Ê�Ñ�É Ï2ÅhÝG´�ü�µNë

ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å�Ï Õ�È�Ï�ï4úû÷ F ÈqÑ�ÒRï = 7 G ü �U´ Ä<ÃBÒ F µNë�ÂBÊÞÑ�ËPÅ

f � ¯ ïI ô � ¯ ï

I � ï ô � ëí¬Å?Ä`Èy×ØÈqÉjÉ Í�Ä<ÅÇí�ÊÐÏ Õ�Ã�ÍRÏ�Î�Ã�É ÉÃqÖ�ÔqÅ{ÑRÅhÌNÈqÎ�ÊÐÏ�× Ï Õ�È�Ï4���H�� ¯ f ��ÈqÑ�ÒÔ���* � ¯ ��ëã�ÕRÅ{Ñ

´eï � µ ¦ H 7 G § Ì ± ü ´ f �'µ � ü f ��´¯Ä`Ã9Ò I µÉ2Ã�ï � úü �U´ Ä<ÃBÒ F µNÙ�ÈqÑ�Ò�Ï ÕRÅTÆ�ÃBÒR×oÃqÖ§É2Ï2ÅhÝ ´�ü�Ë'µ�Ä�Í�É2Ï�Æ�Å�ÅPÜ9Å{ËhÍ�Ï2Å{ÒèÊÐÖ1Ï Õ�Ê�ɹïÇÊ�ÉÏ2Å{É2Ï2Å{ÒèÊÞÑ�É2Ï2ÅhÝÙ´�ü�µNë*å�ÅhÏ =�¯pÐ�f ��ë�ã�Õ�Å{Ñ?ü « Ê�É�ÈqÑQÃ9Ò�Ò�Ä�Í�ÎÐÏ Ê�Ý�ÎÐÅ�ÃqÖ�´ I3f �'µC~�üÈqÑ�Ò�ÃqÖ�´eô f �'µC~�ü9ë¬ã�Õ9Í�É

ï ± X � ü ´eï ¦ H 7 G § Ì ± µ ± Z J G ü ´ f �'µ ± Z J G ü f � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ë

ï ± X � ü ´eï ¦ * 7 G § Ì ± µ ±Ï$ J G ü ´³�'µ ±Ï$ J G ü � ´ Ä<ÃBÒ�ô�µ$ìå�ÅhÏÇÍ�ÉoÈqÉ ÉjÍ�Ä<Å?Ï Õ�È�ÏÊï ± F � ü f �U´ Ä<ÃBÒ F µNë8ã�ÕRÅ{Ñ;ï ± F � ü f ��´ Ä<ÃBÒ I µNÙ�É2ÃD ¯�= Ù"ÈqÑ�ÒÍï[±�F � ü f �U´ Ä<ÃBÒRô�µNÙ�É Ã^Dú� = Ù�í�Õ�Ê�ËNÕèÊÞÉ^ÈÇËPÃ�ÑLÏ2ÌjÈqÒ�Ê�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�ë�ã�ÕLÍ�É{Ùï"±�F � úü f ��´ Ä`Ã9Ò F µNÙ"ÈqÑ�ÒLïèÎÐÅ{ÈqÒ�É^Ï2Ã?ÈqÑèÃ�Í�Ï2Ý�ÍRÏWÃqÖg¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦ÇÊ�ÑìÉ2Ï2ÅhÝ�´�ü�Ë'µÊÐÖ�ï6Ê�É*Ï2Å{É2Ï2Å{ÒìÊ�Ñ�É2Ï2ÅhÝÙ´�ü�µNë

ã�Õ9Í�É�Ê�Ñ�Å{ÊÐÏ Õ�ÅhÌ"ÃqÖ9Ï Õ�Å{É2ŦÏ�í�Ã�É Í�Æ�ËhÈqÉ Å{ÉhÙyÏ ÕRÅhÌjŧÅPÜBÊ�É Ï É�ÈqÑTÅ{ÎÐÅ{Ä`Å{Ñ'Ïaï ¯ ß�´ ÎÐÃqÔ ± F µí�Õ�Ê�ËNÕ�Ä$Í�É Ï�ÎÐÅ{ÈqÒ�Ï2ÃoÈqÑ?Ã�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ�ÃqÖ�¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�¦�ÊÐÖ�ÊÐÏ�ÊÞÉ*Ï2Å{É2Ï2Å{Ò"ë

ã�Õ9Í�É�ÊÐÖU=�Ê�É^ËjÕRÃ�É Å{ÑQÏ2Ã6ÅPÜBËPÅhÅ{ÒèÏ ÕRÅ�ËPÃ�Ñ�É2Ï ÈqÑLÏ ÉWÊÞÄ<Ý�Î�ÊÐÅ{Ò�ÊÞÑ�Ï ÕRÅ$È�Ý�Ý�Î�Ê�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÉÃqÖ��^ÑÅ�qÅ{ÑL×�Ì É$ã�Õ�ÅhÃqÌ Å{Ä`ÉhÙ�Ï ÕRÅ{Ñ/Ï Õ�Åoßfâ�� ÊÞÄ<Ý�Î�ÊÐÅ{É�Ï Õ�È�Ï �èÊ�Î�ÎÐÅhÌ�Ì É�Ý�Ì Ã9ËPÅ{Ò�ÍRÌ Å`í�ÊÞÎ�ÎÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏb¥2ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É Ê�Ï2Å�¦<ÖDÃqÌWÈqÎ�Î"ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2ÅTÊÞÑRÝ�ÍRÏ É F ë

Oã�Ã�ËPÃ�Ñ�ËhÎ�Í�ÒRÅ�Ï Õ�Ê�É�É2Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ"Ù�í¬ÅTÔ�Ê�ÛqÅaÈ<Ý�Ì Ã9ÃqÖ�ÃqÖyfÌ ÃqÝ�Ã�É ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ6ýqýRëKT¿��S�c+�Z ©}Ö , 5�´ F µ�úû÷�´ Frf �'µ�Ï ÕRÅ{Ñ<ÖFÃqÌ¬É Ã�Ä<Å I É Í�ËjÕ<Ï Õ�È�Ï I ÷ F Ù4´ I�f �'µrúû÷�´ Frf �'µNë

©}ÖXÅhÛqÅhÌ ×Ý�ÌjÊ�Ä`ŬÝ�Ãyí�ÅhÌ¦Ï Õ�È�ϬÒ�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ{É1È�ÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌJï$ÈqÎÞÉ2ÃTÒ�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ{É1Ï ÕRÅ�Ñ9Í�Ä$ÆXÅhÌJð¬Ï ÕRÅ{Ñï�÷ ð\Ù�É2Ã<Ï ÕRÅhÌjÅ�ÅPÜBÊ�É Ï É�ÈÝ�ÌjÊ�Ä<Å�ô�É Í�ËjÕÇÏ Õ�È�Ï�ô � ÷�´ I�f �'µ�ÈqÑ�ÒRô � ú¶÷�´ FÊf �'µ¬ÖFÃqÌ�É2Ã�Ä<Åò�; ��ë

þJý

Page 37: Number Theory.pdf

å�ÅhÏBï6Æ�Å�ÈqÑ'×Rô��<ÑRÃ�Ñ�Ì Å{É Ê�Ò�Í�ÅWÄ<ÃBÒ I ë¦å�ÅhϼÖ�Æ�ÅTÈ<Ý�ÌjÊ�Ä`ÊÐÏ Ê�ÛqÅ^Ì Ã9ÃqÏ�Ä<ÃBÒ�Í�Î�à IÈqÑ�Ò?É ÍRÝ�ÝXÃ�É Å�ï�üLÖ « ´ Ä<ÃBÒ I µNë~�^É ÉjÍ�Ä<Årï = 7 G ü �U´ Ä`Ã9Ò F µNë¬ã�ÕRÅ{Ñ

´�Ö « µ = 7 G ü � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ìÂBÊ�Ñ�ËPÅ¦Ï Õ�ÅfÃqÌjÒRÅhÌ�ÃqÖÓÖ�ÊÞÉ IJf ��Ù\Ï Õ�ÊÞÉ�Ê�Ä<Ý�ÎÞÊÐÅ{É�Ï Õ�È�Ϲ´ If �'µX÷ = ´ FÉf �'µNë1ã�Õ9Í�É�ô � ÷ = ´ FÉf �'µí�Õ�Ê�ÎÐÅzô � úû÷�´ FWf �'µNë���Å{Ñ�ËPÅdôk÷ = Ù�É È{× =r¯_V ù&ôLë¦ã�ÕRÅ{Ñ

ï7üHÖ « ü ´�Ö $ µ * ´ Ä<ÃBÒ I µ$ëÉ2ÃdïÊ�ɦÈrô �` Ì Å{É Ê�Ò�Í�Å*Ä`Ã9Ò�Í�ÎÐà I ÙLËPÃ�ÑLÏ2ÌjÈqÒ�Ê�ËPÏ ÊÞÑRÔ�Ã�ÍR̬ËNÕRÃ�Ê�ËPÅ�ÃqÖSï�ë§ã�ÕLÍ�ÉhÙ)ï = 7 G úü �´ Ä<Ã9Ò F µNë

Oâ�Å{É2Ï È�Ï ÊÞÑRÔ`Ï ÕRÅaÄoÈqÊ�ÑÇÌ Å{É Í�Î�Ï�ÃqÖ�Ï Õ�ÊÞÉ�É2Å{ËPÏ ÊÐÃ�ÑSx¬ÊÐÖ�Ï ÕRÅ$ߧÜBÏ2Å{Ñ�ÒRÅ{Ò�â�Ê�Å{Ä`ÈqÑ�Ñ��^×'Ú

ÝXÃqÏ Õ�Å{É Ê�É�Ê�É*Ï2ÌNÍRÅqÙ�Ï ÕRÅ{Ñ�Ï Õ�ÅhÌ ÅaÊ�É�ÈoÒRÅhÏ2ÅhÌjÄ`Ê�Ñ�Ê�É2Ï Ê�Ë^Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎXÏ Ê�Ä<ÅaÈqÎ�ÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä.Ï2ÃÏ2Å{É2Ï�Ý�ÌNÊ�Ä`ÈqÎ�ÊÐÏ}×që

þ��

Page 38: Number Theory.pdf

n ³ ã87 s7è¹pS�åpS�r�¹��� �Bébadcå�ÅhÏ I Æ�ÅTÈqÑ�ÃBÒ�Ò�Ý�ÌjÊ�Ä<Å�ÑLÍ�ÄaÆ�ÅhÌ{ëjÄWÃ9Å{É f ��Õ�ÈyÛqÅ$È`ÉjéLÍ�È�ÌjÅ�Ì ÃLÃqÏ$·Qâ�Å{ËhÈqÎÞÎ"Ï Õ�È�Ï f �

I � ü ´ f �'µ ¦ H 7 G § Ì ± ´ Ä`Ã9Ò I µ$ëÉ2à f �

I � ¯ � � ��ÊÐÖ I ü � ´ Ä<ÃBÒ�ý"µ$ëf ��ÊÐÖ I ü8þ ´ Ä<ÃBÒ�ý"µ$ì

ã�Õ�È�ϧÊ�ÉhÙ f �*Õ�ÈqÉ�È�É é9Í�È�Ì Å*Ì Ã9ÃqϧÄ<Ã9Ò I ÊÐÖ�ÈqÑ�Ò�Ã�Ñ�ÎÐ×aÊÐÖ I ÊÞÉ1ËPÃ�Ñ�ÔqÌjÍRÅ{ÑLϧÏ2Ã7��Ä`Ã9Ò�Í�ÎÐÃýRëfã�Õ9Í�ÉXx@ % ï ��¿ ïBö - , q Ò I Â9Ä Ï º�»�¿�¿dÜ4½6Â�Ñb¾ Ï º4¿ ï N : <H ¼ut§¾Xºå M q Ò I ü þQ´ Ä<ÃBÒ�ý"µ ¼utž�ºO»]º�¾Í»³Ò ïOÏ º4¿ f ï Â9Ä Ïþ À Ï ¿]½ Ï ¼eÂÃÁͽ¡¾�Ä$Âÿ]Àc¾ � ¼ut§¾

»�¼utž�½rÂ9Ä Ïx À Ï ¿]½ Ï ¼eÂÃÁ7º4»]ºk½�¾6Ä6Âe¿�Àk¾ Mæ M q Ò I ü �U´ Ä<ÃBÒÇý"µ ¼ut§¾�º!vv»�¼ut ï�Ï º�¿ f ï�Ï ½�¾ À Ï ¿]½ Ï ¼eÂeÁɽ�¾6Ä6Âe¿�Àk¾�Ä�»]½ À Ï ¿]½ Ï ¼eÂÃÁº4»�ºk½¡¾�Ä$Âÿ]Àc¾6Ä M

KT¿��S�c+�Z � 7 �H � ¯ � 7 GH � � �H � ì Oã�Õ9Í�ÉhÙ�Ê�Ñ6Ï ÕRÅTËhÈqÉ2Å I ü8þQ´ Ä<ÃBÒ�ý"µ¬í�ÅaËhÈqÑ�Å{ÈqÉ ÊÞÎÐ×�Î�Èy×6Õ�ÈqÑ�Ò�É*Ã�Ñ�È`é9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï ÊÞË

ÑRÃ�ÑRÌ Å{É ÊÞÒ�ÍRÅ�ÚBÖDÃqÌ I ü �U´ Ä<ÃBÒ�ý"µ*Ê�Ï�È�Ý�Ý�Å{È�ÌjÉ*Ï2Ã`Æ�ÅTÑRÃqÏ�É2Ã<Å{ÈqÉ ×që©%ÑèÏ ÕRÅ�ËhÈqÉ2Å I üÞ�U´ Ä<ÃBÒÇý"µNÙ�í¬Å�Ä`È{×QÈqÉ���í�ÕRÅhÏ ÕRÅhÌ^Ï ÕRÅ$É é9Í�È�Ì Å$Ì Ã9ÃqÏ É�ÃqÖ f �

Ï ÕRÅ{Ä`É2Å{ÎÐÛqÅ{É^Õ�È{ÛqÅ$É éLÍ�È�Ì ÅTÌ Ã9ÃqÏ Éhë©%Ö�ï ± ü f �U´ Ä`Ã9Ò I µ¬Ï ÕRÅ{Ñ�í�ÅaÕ�È{ÛqÅ ïI�� üÛï ¦ H 7 G § Ì ± ´ Ä<ÃBÒ I µü�� � �TÊÐÖ I ü � ´ Ä<ÃBÒW��µ$ë

f �TÊÐÖ I üO� ´ Ä<ÃBÒW��µ$ìá�Ã�Ñ'Ï ÊÞÑLÍ�ÊÞÑRÔêÊ�ÑØÏ Õ�Ê�Éí*È{×qÙ�ÊÐÖ I�f � ¯ ü1<² Ù�í�ÕRÅhÌ Å: �ÊÞÉÃ9Ò�Ò�Ùfí�Å?ËhÈqÑ Æ�Í�ÊÞÎ�Ò ÈÆ�Ê�Ñ�È�Ì ×/Ï2Ì ÅhÅ�ÃqÖ^ÕRÅ{Ê�Ô�Õ'Ïe: f �Çí�Õ�Ã�É2ÅÇÌ ÃLÃqÏ`ÊÞÉ f ��ÈqÑ�ÒÓÉ Í�ËjÕÓÏ Õ�È�Ï<Ï ÕRÅ�Ï�í�ÃÿÉ2Ã�Ñ�ÉÃqÖ^Å{ÈqËNÕ ÑRÃBÒRÅ6È�ÌjÅ?ÊÐÏ É<É é9Í�È�Ì ÅÇÌ Ã9ÃqÏ É<Ä<Ã9Ò�Í�ÎÐà I Ù¬ÈqÑ�ÒØÏ ÕRÅ?ÎÐÅ{ÈyÛqÅ{É`È�Ì Å?é9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï ÊÞËÑRÃ�ÑRÌ Å{É ÊÞÒ�ÍRÅ{Éhë§ã�í�Ã<ÅPÜBÈqÄ`Ý�ÎÐÅ{É�È�Ì Å$É ÕRÃyí^Ñ?Ê�ÑÇÏ ÕRÅ�ÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�Ê�ÑRÔRë

þ��

Page 39: Number Theory.pdf

A ! À ö/ð/ Fï -4? f�g b8bdh/ikjmlonqp g b g h�horsjbhtivu X i�h g_w V6T�XT8Zx yl RÓQxdy xdyR R8[rX�T QU�

f�g b8bdh/ikjmlonqp g b g h�horsjbhtivu X i�h g_w VYX'�X�_x yT X'Rx y x yQ X�m [ lxdy xdy xdy xdy_ X8X � X'Z m X'Q R X�T

ã�ÕRÅ$Ï2Ì ÅhÅ{É�Ê�Î�Î�Í�É2Ï2ÌjÈ�Ï2Å{Ò?Ê�ÑèÈ�Æ�ÃyÛqÅ<Õ�È{ÛqÅÏ ÕRÅ�Ê�ÑLÏ2ÅhÌ Å{É2Ï Ê�ÑRÔ�Ý�Ì ÃqÝ�ÅhÌ Ï}×�Ï Õ�È�ÏWÄ�Í�ÎÐÏ ÊÐÚÝ�ÎÐ×BÊ�ÑRÔ`È6ÎÐÅ{È�Ö§ÆL×?É Ã�Ä<Å�ÈqÑ�ËPÅ{É2Ï2ÃqÌ�ÃqÖ¦Ï ÕRÅ$Î�Å{È�Ö§Ý�Ì ÃBÒ�Í�ËPÅ{É�ÈqÑ�ÃqÏ ÕRÅhÌ�ÎÐÅ{È�Ö¦Ê�Ñ?Ï Õ�ÅaÏ2Ì ÅhÅí�ÕRÃ�É2ÅaÎ�Ã9ËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÊÞÉ�Ý�Ì Å{Ò�ÊÞËPÏ È�Æ�ÎÐÅ�ÖDÌjÃ�Ä Ï ÕRÅTÎÐÅhÛqÅ{Î"ÃqÖ�Ï ÕRÅTÈqÑ�ËPÅ{É2Ï2ÃqÌ{Ù�Ñ�ÈqÄ<Å{ÎÐ×�xÎÐÅ{È�Ö � Ê�Ä`Ä`Å{Ò�Ê�È�Ï2Å�ÈqÑ�ËPÅ{É2Ï2ÃqÌ{z É2Ã�Ä<Å$ÎÐÅ{È�Ö1ÊÞÑÇÃqÏ ÕRÅhÌ^Õ�ÈqÎ�Ö�ÃqÖ�Ï2Ì ÅhÅ

ÎÐÅ{È�Ö � ÔqÌjÈqÑ�ÒRÖFÈ�Ï Õ�ÅhÌ|z É2Ã�Ä<Å$ÎÐÅ{È�Ö1ÊÞÑÇÃqÏ ÕRÅhÌ^Õ�ÈqÎ�Ö�ÃqÖ�Ï Õ�Ê�É�Õ�ÈqÎ�Ö�ÃqÖ�Ï2Ì ÅhÅëëë

ÎÐÅ{È�Ö � Ì Ã9ÃqÏ|z ÎÐÅ{È�Ö�Ê�Ñ�ÃqÏ ÕRÅhÌ^Õ�ÈqÎÐÖ�ÃqÖ�Ï Õ�ÊÞÉ*Ý�ÈqÊÐÌàRÃqÌaÅPÜRÈqÄ<Ý�ÎÐÅqÙ�Ê�ÑìÏ ÕRÅ`É2Å{ËPÃ�Ñ�ÒêÏ2ÌjÅhÅqÙ��ÇÊ�É�Ê�ÑìÏ ÕRÅ<ç�ÌjÉ2Ï�Å{ÊÐÔ�ÕLÏ ÕêÃqÖ¬Ï Õ�Å<Ï2Ì ÅhÅ`ÈqÑ�ÒÿÊÐÏ ÉÈqÑ�ËPÅ{É2Ï2ÃqÌjÉTÈ�ÌjÅoü9Ù"ýRÙ����9ë7�QÃBÒ°�'ÎLÙ�Ä$Í�ÎÐÏ ÊÐÝ�ÎÐ×BÊ�ÑRÔ��6Æ9×ìü�Ô�ÊÐÛqÅ{É��{ü9Ù�Ê�ÑìÏ ÕRÅ<É2Å{ËPÃ�Ñ�ÒÕ�ÈqÎÐÖ�ÃqÖ�Ï ÕRÅ*Ï2Ì ÅhÅqÙ�Æ9×aý�Ô�ÊÐÛqÅ{É�ÎLÙ'Ê�Ñ$Ï ÕRÅ�É2Å{ËPÃ�Ñ�Ò<é9Í�È�Ì Ï2ÅḩÃqÖ�Ï ÕRÅ�Ï2Ì ÅhÅqÙ'Æ9×����WÔ�ÊÐÛqÅ{ɹ����ÙÊ�Ñ`Ï ÕRÅ�É2Å{ËPÃ�Ñ�Ò�Å{ÊÐÔ�ÕLÏ Õ6ÃqÖ"Ï ÕRÅ^Ï2ÌjÅhÅqë¦ã�Õ�Ê�ÉfÝ�Ì ÃqÝ�ÅhÌ Ï�×`ÊÞɦÅPÜBÝ�ÎÐÃ�ÊÐÏ2Å{Ò6Ê�Ñ`Ï Õ�Å�Ý�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌjÅÃqÖ/�WÒ�ÎÐÅ{ÄoÈqÑ"Ùk�QÈqÑ�Ò�ÅhÌjÉhÙ�ÈqÑ�Ò��èÊ�Î�Î�ÅhÌd� þ���Ï2Ã`ç�Ñ�Ò�ÉjéLÍ�È�ÌjÅ�Ì ÃLÃqÏ É^Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ë

þ�Î

Page 40: Number Theory.pdf

n À ¡�u$ 7qbuv @?�� 7 s7è¹pS��pS�r�¹���M�ä�rqbs���� ´�çb�½B��Jp�Bguv�hD©%Ñ�Ï ÕRÅ^Ñ�ÅPÜ9Ï�ÖDÅhí4É2Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�ÉhÙLÏ Õ�Å^Ý�ÌjÃqÆ�ÎÐÅ{Ä ËPÃ�Ñ�ÉjÊ�ÒRÅhÌ Å{Ò�Ê�ÉfÏ Õ�È�ϬÃqÖ�É2Ã�Î�Û9Ê�Ñ�ÔTÏ ÕRÅ�Å{é9Í�ÈJÚÏ ÊÐÃ�ÑÛ(4±7ü ïO´ Ä<ÃBÒ F µ�Ô�ÊÐÛqÅ{Ñ�ïìÈqÑ�Ò F ë7wêÅ`ç�ÌNÉ2Ï�É Í�Ä`Ä`È�ÌNÊ|{hÅÏ ÕRÅ<Ì Å{É Í�Î�Ï É�Ï2Ã?Æ�ÅÒRÅ{É ËPÌjÊÐÆ�Å{Ò"ë

��ë�ÄWÅhÏ2ÅhÌjÄ`ÊÞÑ�Ê�ÑRÔí�ÕRÅhÏ Õ�ÅhÌ�(4±�üÛïO´ Ä<ÃBÒ F µ�Ê�É�É2Ã�Î�ÛJÈ�Æ�Î�Åqë

´ È)µó©%Ö F Ê�É6Ý�ÌjÊ�Ä`ÅìÈqÑ�Ò F úe÷ ï�ÙWÏ ÕRÅ{Ñ8ËhÈqÎ�ËhÍ�Î�È�Ï ÊÞÑRÔ 0 �= 3 ÄoÈ{×�ÆXÅäÒRÃ�ÑRÅêÊ�ÑÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<ÅTÈqÑ�Ò�Ï2Å{Î�Î�É�Í�É*í�ÕRÅhÏ ÕRÅhÌ�Ï Õ�ÅTÅ{éLÍ�È�Ï ÊÐÃ�Ñ?Ê�É�É2Ã�Î�ÛJÈ�Æ�Î�Åqë

´FÆ�µÊ©%Ö F Ê�É*ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2Å�Ï º4¿ í�Å��BÑRÃ\í8Ï ÕRÅ�Ý�ÌjÊ�Ä<Å^ÖFÈqËPÏ2ÃqÌNÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�ÑÇÃqÖ F Ù9Ï ÕRÅ{Ñ��Ê�ÑRÃqÔqÌjÈqÒ�ÃyÛ<Ô�ÊÐÛqÅ{É�Å{ÈqÉ Ê�Î�×ËPÃ�Ä`Ý�ÍRÏ2Å{Ò6ÑRÅ{ËPÅ{É É È�Ì ×`ÈqÑ�Ò�É ÍkÕoËhÊÐÅ{ÑLϬËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÚÏ ÊÐÃ�Ñ�É^ÖFÃqÌ�Ï ÕRÅ<É2Ã�ÎÐÛ�È�Æ�Ê�ÎÞÊÐÏ�×�ÃqÖ ( ± ü ï�´ Ä`Ã9Ò F µ�í�Õ�Å{ÑèÔ�ËhÒ ´eïcë F µ ¯ ��ë´±Â9ÅhÅÊ�������±ÙXá*Õ�È�Ý�Ï2Åh̹�$ÙXÂBÅ{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�ýR붵

ü9ë^à�Ê�Ñ�Ò�Ê�ÑRÔÉ2Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�Ñ�É*ÃqÖ ( ± üÛï�´ Ä`Ã9Ò F µNë´ È)µó©%Ö F ÊÞÉ<Ý�ÌjÊ�Ä`Å6Ï Õ�Å{Ñ Ï ÕRÅhÌ ÅèÈ�Ì Å?ÌjÈqÑ�Ò�Ã�Ä`Ê|{hÅ{Ò Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä`ÅG´ å�ÈqÉ

�§ÅhÔ�ÈqÉ$µaÝ�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì Å{É�Ï2Ãìç�Ñ�ÒÿÉ2Ã�ÎÞÍRÏ ÊÐÃ�Ñ�ÉaÃqÖ¼( ± ü ïÛ´ Ä<ÃBÒ F µNëWyfÌ Ã9ËPÅPÚÒ�Í�Ì Å{É�ÃqÖ���ÅhÌjÎÐÅX��ÈqÄ<Ý�ÙfÈqÑ�ÒÓÃqÖ��WÒ�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ"Ù��QÈqÑ�Ò�ÅhÌjÉhÙfÈqÑ�Ò°�èÊ�Î�ÎÐÅhÌ<È�Ì ÅÒRÅ{ÉjËPÌjÊÐÆ�Å{Ò"ë<ã�ÕRÅ`Î�È�Ï2Ï2ÅhÌ$Ý�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ Å<ËhÈqÑ/ÆXÅ`Ä`Ã9Ò�Ê�ç�Å{ÒìÏ2ÃQÆ�Å`È?ÒRÅhÏ2ÅhÌ2ÚÄ`ÊÞÑ�Ê�É2Ï Ê�Ë^Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å�Ý�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì ÅTÊÐÖ�Ï Õ�ÅTßfâB� Ê�É*Ï2ÌNÍRÅqë

´FÆ�µÊ©%Ö F Ê�É*ËPÃ�Ä<Ý�Ã�É ÊÐÏ2ÅbÏ º4¿ í�Å�Õ�È{ÛqÅ�Ï ÕRÅ�Ý�ÌNÊ�Ä<ÅWÖFÈqËPÏ2ÃqÌjÊÝ{{È�Ï ÊÐÃ�ÑÇÃqÖ F ÙBÏ ÕRÅ{ÑSxÊ�ë�ã�Õ�Å�ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä ÃqÖa�^Ò�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ"Ù§�QÈqÑ�Ò�ÅhÌjÉhÙLÈqÑ�Ò3�èÊ�Î�ÎÐÅhÌfËhÈqÑ�Æ�Å�Í�É2Å{Ò

Ï2Ã`ç�Ñ�Ò Ä�»]Ñ�¾ É2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�ÑÇÃqÖ�( ± üÛïÛ´ Ä<ÃBÒ F µNëÊ�Ê�ë�à�Ê�Ñ�Ò�Ê�ÑRÔ<Ï ÕRÅ � ¾ Ï Ä6¼ É2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ?ÃqÖj( ± üMï�´ Ä<ÃBÒ F µ�Ê�Ñ?Ý�Ã�É Ê�Ï ÊÐÛqÅ$Ê�ÑRÚ

Ï2ÅhÔqÅhÌjÉ^Ê�É�ÈqÑW}�y§Ú�Õ�È�ÌjÒÇÝ�Ì ÃqÆ�Î�Å{Ä�ë

þ��

Page 41: Number Theory.pdf

�üë ¡�u$ 7qbuv @?�� 7 s7è¹pS��pS�r�¹���! ~} �Jpa�v�9�Éè��ä��"Ô� �7pS�rt�Jqbs7pS�Â9Ã�ÎÐÛqÅ�xj( ± üÛï�´ Ä`Ã9Ò I µNÙ�í�ÕRÅhÌ Å I Ê�É�ÈqÑ�ÃBÒ�Ò�Ý�ÌjÊÞÄ<ÅWÈqÑ�Ò�Ô�ËhÒg´eï4ë I µ ¯ ��ë

h ï ¿ Dï[i À ö ð�^ ½ ð ¿&�"Á ïLó/� ¿ ï +®��¿ ( ò ó ñ ò�0 ½ `a� À�¿ ï ¿��S��¾y½��ë�á*Õ�Å{Ë��6Ï Õ�È�Ï�� �H � ¯ ��ÙXÊ�ë ÅqëÐÙRÏ Õ�È�Ï�Ï Õ�ÅTÅ{éLÍ�È�Ï ÊÐÃ�Ñ?Ê�É�É2Ã�Î�ÛJÈ�Æ�Î�Åqë

ü9ë^à�Ê�Ñ�ÒØÈäÑLÍ�ÄaÆ�ÅhÌ\� É Í�ËNÕØÏ Õ�È�ÏW´���± f 淋$Ê�ÉÈäéLÍ�ÈqÒRÌjÈ�Ï Ê�ËÇÑRÃ�ÑRÌjÅ{É Ê�Ò�ÍRÅqÙ§Ê�ë ÅqëÐÙ��� � 7 �H � ¯ f ��ëþ9ë�á�Ã�Ä`Ý�ÍRÏ2Å ´u( ¦ H 7 G § Ì ± f �'µ�Ä`Ã9Ò�´¡´u( f �Sµ ± f 淋Në¦ã�Õ�Å�Ì Å{É Í�ÎÐÏfí�ÊÞÎ�ÎRÆ�Å^ÈÎ�Ê�Ñ�Å{È�Ì

Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ # ´u( fW� µNë���Í�Ï2Ý�ÍRÏr´ �gf �aµ*ÈqÉ�È<ÉjéLÍ�È�ÌjÅTÌ Ã9ÃqÏ�ÃqÖ/ï�ë@ % ï ��¿ ïBö - ø q Ò ï Â2Ä Ïx À Ï ¿]½ Ï ¼eÂeÁb½¡¾�Ä$Âÿ]Àc¾gÑ�»'¿ I Ï º4¿���¾�½ � ¾Pã Ï Ñ�Üüy ĹÜ4½¡»�Á$¾v¿]À§½¡¾¼®¾�½6Ñ Â�º Ï ¼®¾�Ä � ¼ut§¾�ºLÂe¼�Äg»]Àż¶Ü4Àż�Â9Ä Ï Ä À Ï ½�¾g½¡»�»�¼�»³Ò ï�M

KT¿��S�c+�Z ÂBÍ�Ý�Ý�Ã�É2Å�ï<Ê�ÉfÈ�é9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï Ê�Ë�Ì Å{É Ê�Ò�ÍRÅ�ÈqÑ�Ò�Ï ÕRÅ�Ý�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì Å�É Í�ËhËPÅhÅ{Ò�ɬÊ�Ñç�Ñ�Ò�Ê�Ñ�Ô$ÈÉ Í�ÊÐÏ È�Æ�ÎÐÅS�/ë¬ÂRÊ�Ñ�ËPÅõ(4± f ï7üO��´ Ä<ÃBÒ I µ¬Ê�É�É2Ã�ÎÐÛ�È�Æ�ÎÐÅqÙa´u( f �aµ ± f ïbüÛ�´ Ä<Ã9Ò I µ$Ê�ÉÈqÎ�É2ÃäÉ2Ã�ÎÐÛ�È�Æ�ÎÐÅqë ÂBÍRÝ�ÝXÃ�É Å � ÈqÑ�Ò��4È�Ì ÅÇÏ ÕRÅ�É2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ�É$ÃqÖ�Ï ÕRÅ�Î�È�Ï2Ï2ÅhÌÅ{éLÍ�È�Ï Ê�Ã�Ñ"ëfã�ÕRÅ{Ñ � �Wü ´�� ± f 淋 ´ Ä`Ã9Ò I µ$ëÉ2ÃRÙ�É Ê�Ñ�ËPÅ ���.�H�� ¯ ���H�� � �H�� ÈqÑ�ÒW� � � 7 �H � ¯ f ��ÙRí¬ÅaÄ�Í�É2Ï�Õ�È{ÛqÅ �

I � ¯ f �I � ìw�ÊÐÏ Õ�Ã�ÍRϬÎÐÃ�ÉjɦÃqÖ�ÔqÅ{ÑRÅhÌNÈqÎ�ÊÐÏ�×qÙBÈqÉ É Í�Ä<Å�Ï Õ�È�Ï!���H � ¯ ��ë¦ã�ÕRÅ{Ñ�´u( f(� µfÊÞÉfÈTÖ ÈqËPÏ2ÃqÌ*ÃqÖ( ¦ H 7 G § Ì ±�f �^Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ÙLÆ�ÍRÏ�´u( f ��µ¦Ê�ÉfÑRÃqÏhë§ã�Õ9Í�ÉfÏ ÕRÅ�ÔqÌ Å{È�Ï2Å{É Ï�ËPÃ�Ä`Ä`Ã�Ñ�Ò�Ê�Û9Ê�É ÃqÌÃqÖ¹´u( f �Sµ ± f ï6ÈqÑ�Òx( ¦ H 7 G § Ì ± f �aÊ�Ér´u( f�� µNë��^Å{Ñ�ËPÅ$ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ Ê�ÑRÔ

´u( ¦ H 7 G § Ì ± f �'µ ´ Ä<ÃBÒ�´u( f �Sµ ± f ïŵí�Ê�Î�ÎXÝ�Ì ÃBÒ�Í�ËPÅ # ´u( f�� µ�ÈqÑ�Ò?Ï ÕRÅTÛ�ÈqÎ�ÍRÅb´ � f �Sµ*Ê�É�ÈoÉ éLÍ�È�Ì Å�Ì Ã9ÃqÏ�ÃqÖ�ï�ë

OàRÃqÌ�Ï ÕRÅfé9ÍRÅ{É2Ï ÊÐÃ�ÑaÃqÖ¥¯ç�Ñ�Ò�Ê�Ñ�Ô�¦��ÇÙ�ÑRÃqÏ2Å¬Ï Õ�È�Ï�ÊÐÖ I ü8þ�´ Ä<Ã9Ò?ý"µNÙJÏ Õ�Å{ÑÛ� 7 �H� ¯

f ���H�� ¯ f ��Ù§É2ÃQÏ Õ�Å�ËjÕ�Ã�Ê�ËPÅe� ¯ �ìÉ ÍÅÕ�ËPÅ{É$Ê�ÑÿÏ Õ�Ê�ÉaËhÈqÉ ÅqëW©¯ÑÿÏ ÕRÅ6ËhÈqÉ2Å I üþ�´ Ä<Ã9Ò?ý"µNÙ*ËNÕRÃ9Ã�É2Å�� Ì ÉoÈ�Ï`ÌNÈqÑ�ÒRÃ�Ä�ÖFÌ Ã�Ä :�<H Í�Ñ'Ï Ê�Î*Ã�Ñ�ÅQÊ�É<ÖFÃ�Í�Ñ�ÒÓÏ Õ�È�Ï�Õ�ÈqÉ`Ï ÕRÅ

þ��

Page 42: Number Theory.pdf

ÒRÅ{É ÊÐÌ Å{Ò�Ý�ÌjÃqÝXÅhÌjÏ�×që àRÃqÌQÏ Õ�Ê�ÉÇËhÈqÉ2ÅqÙ�í¬ÅÿÉjÕRÃyí Ï Õ�È�Ï?È�Ï?ÎÐÅ{ÈqÉ ÏÇÕ�ÈqÎÐÖTÏ ÕRÅäÝ�Ã�É É ÊÐÆ�ÎÐÅËjÕRÃ�Ê�ËPÅ{É`ÃqÖS� Õ�ÈyÛqÅ�Ï ÕRÅ�ÒRÅ{É ÊÐÌ Å{ÒØÝ�ÌjÃqÝXÅhÌjÏ�×qëÿã�Õ9Í�ÉhÙ§Ï Õ�ÊÞÉ�ÊÞÉ�ÈqÑÓÈqÎÐÔqÃqÌNÊÐÏ Õ�Ä í�ÕRÃ�É2ÅÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ�Ê�É�ËPÃqÌjÌ Å{ËPÏhÙ�Æ�ÍRÏ*í�Õ�Ã�É2Å�ÌjÍ�Ñ�Ñ�Ê�ÑRÔaÏ ÊÞÄ<Å�ÒRÅhÝ�Å{Ñ�Ò�É�Ã�Ñ�ÌjÈqÑ�Ò�Ã�Ä ËjÕRÃ�Ê�ËPÅ{ÉÉØ�í¬ÅÉ ÕRÃyí Ï Õ�È�Ï§Ï ÕRÅ*ÅPÜ9Ý�Å{ËPÏ2Å{Ò<Û�ÈqÎ�ÍRÅ*ÃqÖ�Ï Õ�Å�ÌNÍ�Ñ�Ñ�Ê�Ñ�Ô�Ï Ê�Ä<Å�Ê�É1Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎLÊ�Ñ�Ï ÕRÅ�ÎÐÅ{ÑRÔqÏ ÕÃqÖ1Ï Õ�ÅTÊ�ÑRÝ�ÍRÏhë

ô ñ ö ð� ñ (1ï9ó . #�Á ��¾'� ö # @ % ï ��¿'#l¬ïBö ö À -4D ª ¾�¼ I vv¾ Ï Ü�½$Â�Ñ�¾WÄ$ÀkÁPt°¼ut Ï ¼ I ü£�U´ Ä<ÃBÒÇý"µ�Ï º4¿ � ¾�¼ Ö vv¾ Ï ºk×Ü4½$Â�Ñ7Â�¼eÂu�]¾g½¡»�»�¼�»¡Ò I M�� ¾AQJº�¾�ÒX»]½7¾ Ï ÁPt �rÏ º4¿ � N ê'�§ë���í/�Å " � ¯ ê"´u(*ëC�ŵ N : H 7 G�� : H 7 G xÔ(RüH� ´ Ä<Ã9Ò?ü�µ$ëC�3üú� ´ Ä<ÃBÒQü�µ$ëbÏ º4¿Ö/� � ��üÿÖt� ´ Ä<ÃBÒ I µví�ì� t§¾�º ÷ÈÅ ­¡­ ÷ ¯Mf � � ´ I3f �'µC~\ý�M

KT¿��S�c+�Z }^ÃqÏ2Å`Ï Õ�È�Ï�Ï ÕRÅ`É2ÅhÏ É�Å ­¡­ ë#Å ­YG ë#Å G®­ ë#Å G2G È�Ì ÅÝ�ÈqÊÐÌjí�Ê�É2ÅÒ�Ê�É�¸2Ã�Ê�ÑLÏhëTàRÃqÌÅ{ÈqËjÕG(�ÅPÜBËPÅhÝ�Ïj( ¯ ´ IBf �'µC~�ü9ÙBí�Å�Õ�ÈyÛqÅ¼Ö � � ��úüÛ��´ Ä<ÃBÒ I µ1É Ã�Ï ÕRÅhÌ Å�Ê�ɧÈ�Í�Ñ�Ê�é9ÍRÅ� N : H 7 G É Í�ËjÕ?Ï Õ�È�Ï¼Ö � � �BüHÖ � ´ Ä`Ã9Ò I µNë¦ã�ÕLÍ�ÉXx��ë7÷ÈÅ ­¡­ ÷ � ÷ÈÅ ­YG ÷ � ÷ÈÅ G®­ ÷ � ÷ÈÅ G2G ÷ ¯GI3f ü9ëü9ë7÷ÈÅ G2G ÷ ¯ ÷ÈÅ G®­ ÷�ëfã�Õ�Ê�É�ÊÞÉ*Ï2ÌjÍRÅTÆ�Å{ËhÈqÍ�É2ÅÖ ± � J G � ��üLÖ ± = J G ´ Ä<ÃBÒ I µ

Ê�Ä`Ý�Î�ÊÐÅ{É Ö 7 ¦ ± � J G § � �BüLÖ ± ¦ = 7 �ü§ ´ Ä`Ã9Ò I µ$ìã�Õ9Í�ÉhÙ�´u(�ëC�kµj�� ´ f (*ëC� f (�µ�Ê�ɬÈTÃ�ÑRÅ�Ï2Ã$Ã�ÑRÅ^ËPÃqÌ Ì Å{É2Ý�Ã�Ñ�ÒRÅ{Ñ�ËPÅ�Æ�ÅhÏ�í�ÅhÅ{Ñ�Å G2GÈqÑ�Ò:Å G®­ ë

þ9ë7÷ÈÅ G®­ ÷ ¯ ÷ÈÅ ­YG ÷�ëfã�Õ�Ê�É�ÊÞÉ*Ï2ÌjÍRÅTÆ�Å{ËhÈqÍ�É2ÅÖ ± � J G � �BüLÖ ± = ´ Ä<ÃBÒ I µÊ�Ä`Ý�Î�ÊÐÅ{É

f Ö ± = � ��ü f Ö ± � J G ´ Ä`Ã9Ò I µ$ëí�Õ�Ê�ËjÕ�Ê�ÑÇÏ Í�ÌjÑ�Ê�Ä<Ý�ÎÞÊÐÅ{ÉÖ ± = J ¦ H 7 G § Ì ± � ��üLÖ ± � J G J ¦ H 7 G § Ì ± ´ Ä`Ã9Ò I µ$ëÈqÑ�Ò�´ IÊf �'µC~�ü`Ê�É*ÅhÛqÅ{Ñ�ëfã�Õ9Í�ÉhÙ�´u(�ëC�kµj�� ´u� � ´ I3f �'µC~�ü[ëC( � ´ IÊf �'µC~�ü�µ�Ê�ÉÈÃ�ÑRÅaÏ2Ã`Ã�ÑRÅaËPÃqÌ ÌjÅ{É2Ý�Ã�Ñ�ÒRÅ{Ñ�ËPÅ�Æ�ÅhÏ�í�ÅhÅ{Ñ)Å G®­ ÈqÑ�Ò�Å ­YG ë

ý��

Page 43: Number Theory.pdf

ýRë7÷ÈÅ G2G ÷ � ÷ÈÅ G®­ ÷ ¯ ´ I3f �'µC~�ü9ë�ã�Õ�Ê�É�ÊÞÉ*Ï2ÌjÍRÅTÆ�Å{ËhÈqÍ�É2ÅÅ G2G!� Å G®­ ¯ ê"´u(�ëC�kµÉx`(Rü � ´ Ä<ÃBÒQü�µ%ÈqÑ�Ò]Öt� � ��üLÖt� ´ Ä<ÃBÒ I µví�ì

ã�Õ9Í�ÉhÙ÷ÈÅ G2G ÷ � ÷ÈÅ G®­ ÷ ¯ ÷ÈÅ G2G!� Å G®­ ÷ ¯ ´ I3f �'µC~�ü[ì

Â9ÃRÙ�ËPÃ�Ä$Æ�Ê�Ñ�ÊÞÑRÔ�´�ü�µNÙ�´�þ�µNÙ�ÈqÑ�ÒG´Fý"µNÙ�í�ÅaÕ�È{ÛqÅ÷ÈÅ G2G ÷ ¯ ÷ÈÅ G®­ ÷ ¯ ÷ÈÅ ­YG ÷ ¯ ´ Ióf �'µC~\ýÅë

ÈqÑ�Ò?É ÍRÆ�É2Ï ÊÐÏ ÍRÏ Ê�Ñ�Ô$Ï Õ�ÊÞÉ�Ê�Ñ'Ï2ÃÍ´³�'µNÙ�í¬ÅaÃqÆ�Ï ÈqÊ�Ñ÷ÈÅ ­¡­ ÷ ¯ f � � ´ I3f �'µC~\ýÅì O

l¬ïBö ö À - > ª ¾�¼ I v$¾dÜ4½6Â9Ñ�¾ M�� À&Ü�ܧ»�Ä�¾ I üþ�U´ Ä`Ã9Ò�ý"µPM ª ¾X¼ ï N : <H v$¾ Ï ºk×¾ � ¾�Ñ�¾�ºc¼JÄ$ÀkÁPtó¼ut Ï ¼ ���H � ¯ �2M � t§¾Xº Ï ¼�Ñb»�Ä6¼jt Ï � Òd»³Òz¼ut§¾7¾ � ¾�Ñ�¾�ºc¼�Ä � »³Ò : <H t Ï �]¾� � � 7 �H � ¯ �2M

KT¿��S�c+�Z å�ÅhÏüÖ`Æ�Å�ÈqÑ'×�Ý�ÌjÊ�Ä`Ê�Ï ÊÐÛqÅ�Ì Ã9ÃqÏ�Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ë¦å�ÅhÏ�Å ­¡­ Æ�Å�ÒRÅhç�ÑRÅ{Ò6í�ÊÐÏ ÕÌ Å{É2Ý�Å{ËPÏ�Ï2ñÖÇÈqÉ�Ê�ÑÇÏ ÕRÅTÝ�Ì Å{ËPÅ{Ò�Ê�ÑRÔ<ÎÐÅ{ÄoÄ`ÈBë�ÄWÅhç�ÑRÅ

Ú ¯ �!� N : <H x ��± f ïI � ¯ ���óëÅ ¯ �ð N : <H x ð f ïI � ¯ �TÈqÑ�Ò ð

I � ¯ ���Rìã�ÕRÅ{Ñ�Å{ÈqËNÕ?Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ�ÃqÖ�ÅØÔ�ÊÐÛqÅ{É�ÌjÊ�É2Å�Ï2Ã`Ï}í¬Ã�Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ É�ÃqÖ Ú Ù�É2ÃÍ÷ Ú ÷ ¯ ük÷ÈÅB÷�ë

ÂBÊ�Ñ�ËPÅ)� �H � ¯ ��ÈqÑ�Ò I ü �G´ Ä<Ã9Ò?ý"µNÙ¼� 7 �H � ¯ ��Ù�É Ã Â9º4¿�� ´ f 淋�ÊÞÉ�É2Ã�Ä<Å�ÅhÛqÅ{ÑÊ�Ñ'Ï2ÅhÔqÅhÌyÙ1É Èy×ÿü�òêÙ1É2à f ïÍüpÖ"± � ´ Ä<ÃBÒ I µNë�å�ÅhÏgð N Å�ëoã�ÕRÅ{Ñ Â9º4¿�� ´Ãð�µ�Ê�É�ÅhÛqÅ{Ñ"ÙÉ È{×?ü F Ù�ÈqÑ�Ò Â9º4¿�� ´Ãð f 淋*ÊÞÉ*ÅhÛqÅ{Ñ"Ù�É Èy×?ü = ë¬ÂBÃ`í¬ÅTÕ�È{ÛqÅ

Ö ± = � Ö ± � üLÖ ± « ´ Ä<ÃBÒ I µ$ëÉ2Ã

Ö ± ¦ = 7 � § � ��üHÖ ± ¦ « 7 � § ´ Ä<ÃBÒ I µ$ì

ýk�

Page 44: Number Theory.pdf

ã�ÕLÍ�ÉhÙ¦ÊÐÖS�/ÊÞÉüÅ´ FGf ò�µaÌ Å{Ò�Í�ËPÅ{ÒÓÄ<ÃBÒ�Í�Î�à I�f �6ÈqÑ�Ò�� Ê�É<üÅ´ =bf ò�µaÌ Å{Ò�Í�ËPÅ{ÒÄ<Ã9Ò�Í�ÎÐà I3f ��Ù�Ï Õ�Å{ÑU´`�cëY�zµ N Å ­¡­ ëá*ÎÐÅ{È�ÌjÎ�×qÙcðü��Ö´`�cëY��µ�Ê�É�È<Ã�Ñ�ÅTÏ2Ã`Ã�ÑRÅTÄ`È�ÝQÃqÖjÅ Ê�Ñ'Ï2ÃxÅ ­¡­ Ù�É2Ã

÷ÈÅB÷§ÿE÷ÈÅ ­¡­ ÷ ¯ f � � ´ IÊf �'µC~\ýÅë´FÆL×ÇÏ ÕRÅTÝ�Ì Å{ËPÅ{Ò�Ê�ÑRÔ<ÎÐÅ{ÄoÄ`È)µNÙ�ÈqÑ�Ò

÷ Ú ÷ ¯ ük÷ÈÅ�÷Åÿ f ü � ´ IÊf �'µC~�ü[ì O´ â�Å{Ä`È�Ìv�4x Ï ÕRÅêÊ�Ñ'Ï2ÅhÌjÅ{É2Ï2Å{Ò�Ì Å{ÈqÒRÅhÌ�Ä`È{× ç�Ñ�Ò Ï Õ�Ê�É�Ï2Ì Å{È�Ï2Å{Ò8Ä<ÃqÌ ÅäÔqÅ{ÑRÅhÌNÈqÎ�ÎÐ×

Í�Ñ�ÒRÅhÌb¥2ËP×BËhÎÐÃqÏ2Ã�Ä$×[¦6Ê�ÑR�WÈqÎ�ÎÃÌ É�� »]Ñ!v�Â�º Ï ¼Ô»�½$Â Ï � � t§¾�»�½$× Ù�Ý�ë��Pý"ÎL붵@ % ï ��¿ ïBö ,�ú�� Â�¼utW½ Ï º4¿)»]ÑþÄX¾ � ¾vÁ�¼eÂû]ºÙ»¡Ò � Ò6½¡»]Ñ : <H À§ºc¼e � Ï\� Â2Ä�Ò�»]À§º4¿óÄ$ÀkÁPt¼ut Ï ¼ � � � 7 �H � ¯ f �'� ¼ut§¾R¾��6ÜžvÁ�¼®¾�¿�½$À§ºkºkÂ�º"ÐL¼eÂ�Ñ�¾ó»³Ò���¾�½ � ¾²ã Ï ÑBܼy ÄzÜ�½³»�Á6¾�¿]À§½�¾RÂ9Äܧ» � ×�º�»]Ñ7Â Ï � Â�º�¼ut§¾ � ¾Xº"Ð�¼ut)Äg»³Ò ï�Ï º4¿ I M

KT¿��S�c+�Z Â9Ï2ÅhÝL´³�'µ¦ÊÞÉ¦Ï ÕRÅWËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÃqÖ"Ï ÕRÅWå�ÅhÔqÅ{Ñ�ÒRÌjÅ^É2×BÄaÆ�Ã�Î�ÙLí�Õ�Ê�ËNÕoËhÈqÑÆXÅ�ÒRÃ�Ñ�Å�Ê�Ñ�Ï Ê�Ä`ŬÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎLÊ�Ñ�Ï ÕRÅ�ÎÐÅ{ÑRÔqÏ Õ�É1ÃqÖ�ïaÈqÑ�Ò I ë/�^É�Å{ÈqËNÕ<ÌjÈqÑ�Ò�Ã�Ä ËNÕRÃ�Ê�ËPÅÊ�Ñ<É2Ï2ÅhÝ�´�ü�µ¦Õ�ÈqɦÈ�Ý�Ì ÃqÆ�È�Æ�Ê�Î�ÊÐÏ}×TÃqÖ�È�ÏfÎÐÅ{ÈqÉ2ÏB��~�ü�ÃqÖXÉ Í�ËhËPÅhÅ{Ò�Ê�ÑRÔRÙLÏ ÕRÅ�ÅPÜ9Ý�Å{ËPÏ2Å{Ò�ÑLÍ�Ä<ÚÆXÅhÌWÃqÖ¦ËjÕ�Ã�Ê�ËPÅ{ÉWÌ Å{éLÍ�ÊÐÌ Å{ÒQÊÞÉ�Æ�Ã�Í�Ñ�ÒRÅ{ÒQÆL×Qü9ëWàRÃqÌ�Å{ÈqËjÕêËNÕRÃ�Ê�ËPÅqÙ�í¬ÅÄ`Èy×QËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ2Å� � � 7 �H � Ê�ÑÇÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎXÏ Ê�Ä<Åqë�©%Ñ�É2Ï2ÅhÝ ´�þ�µ�Ï ÕRÅaËPÃ�Ä`Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÃqÖ

´u(z¦ H 7 G § Ì ± f �'µ�Ä<ÃBÒW´¡´u( f �Sµ ± f ïŵËhÈqÑÆXÅ*ÒRÃ�ÑRÅ�Æ9×$É Í�ËhËPÅ{ÉjÉ ÊÐÛqÅ{ÎÐ×aÉjéLÍ�È�ÌNÊ�ÑRÔ�(`ÈqÑ�Ò$ÌjÅ{Ò�Í�ËhÊ�ÑRÔWÊÐÏ�Ä<Ã9Ò�Í�ÎÐà´¡´u( f �aµ ± f 淋NÙÈqÉ�Ê�ÑÇÏ ÕRÅ$ËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ?ÃqÖ�ï � ´ Ä<ÃBÒ F µNë

O´ â�Å{Ä`È�Ìv�4x�ã�ÕRŬÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ ÅfÒ�Å{É ËPÌjÊÐÆ�Å{ÒaÈ�Æ�Ã\ÛqÅ*ÊÞÉ�ÈWÉ2Ý�Å{ËhÊ�ÈqÎ'ËhÈqÉ Å�ÃqÖ�È^Ý�È�Ì Ï1ÃqÖ�Ï ÕRÅ

ÔqÅ{ÑRÅhÌjÈqÎ1Ý�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ Å$Ê�ÑW��ÅhÌjÎÐÅX��ÈqÄ<ÝaÌ ÉWÝ�È�Ý�ÅhÌ7�����±Ù�Ï2ÃÇí�Õ�Ê�ËjÕQÏ ÕRÅ$ÌjÅ{ÈqÒRÅhÌWÊÞÉ�Ì ÅhÖFÅhÌ Ì Å{ÒÖDÃqÌ�Ä`ÃqÌ ÅaÒRÅhÏ ÈqÊ�ÎÞÉh붵

ý'ü

Page 45: Number Theory.pdf

��n ¡�u$ 7qbuv @?�� 7 s7è¹pS��pS�r�¹���! �S¤7�;�7pS�rt��qbs7pS�°�Bé � qb�����äè� Rç � è� 7q���pS��çÉè� 7q � uv�v�v�Jp

Â9Ã�ÎÐÛqÅ�xj(�±BüÛï�´ Ä`Ã9Ò I µNÙ�í�ÕRÅhÌ Å I Ê�É�ÈqÑ�ÃBÒ�Ò�Ý�ÌjÊÞÄ<ÅWÈqÑ�Ò�Ô�ËhÒg´eï4ë I µ ¯ ��ë

»Ê8 8 ^ ½ ð ¿&�"Á ïLó/� ¿ ï +®��¿ ( ò ó ñ ò�0 ½ `a� À�¿ ï ¿��S��¾y½��ë�á*Õ�Å{Ë��6Ï Õ�È�Ï�(4±BüOï�´ Ä<ÃBÒ I µ�Ê�É�É2Ã�ÎÐÛ�È�Æ�ÎÐÅqÙ�Ê�ë ÅqëÐÙRÏ Õ�È�Ï����H�� ¯ ��ëü9ë^à�Ê�Ñ�ÒäÏ Õ�Å�Î�È�Ì ÔqÅ{É ÏaÝ�Ã�É ÊÐÏ ÊÐÛqÅ`ÊÞÑ'Ï2ÅhÔqÅhÌ�áêÉ Í�ËNÕÿÏ Õ�È�Ïü à ÷�´ IÍf �'µTÈqÑ�Ò/Î�ÅhÏ- ¯´ I3f �'µC~�ü à ë

þ9ëB©%Ö�ï � ü �U´ Ä<ÃBÒ I µ*Ï ÕRÅ{Ñ�Ã�ÍRÏ2Ý�Í�Ï�ï ¦ � J G § Ì ± Ì Å{Ò�Í�ËPÅ{Ò?Ä<ÃBÒ�Í�ÎÐà I ÈqÑ�Ò�Õ�ÈqÎÐÏhëýRë^à�Ê�Ñ�Ò�ÊÞÑ'Ï2ÅhÔqÅhÌjÉ;:aÈqÑ�Ò V É Í�ËjÕ�Ï Õ�È�Ï�:�ùyü à ��V ù' ¯ ��ë�9ë�á*Õ�ÃLÃ�É2ÅTÈ�Ï�ÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä�� N : <H Í�ÑLÏ Ê�Î � �H � ¯ f ��ë�9ë�Â9ÅhÏ Ð Ï2Ã�� � ´¯Ä<ÃBÒ I µNëÎLë^à�Ê�Ñ�Ò�Ï ÕRÅ�Î�Å{ÈqÉ2ϦÊ�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ�D?É Í�ËjÕ`Ï Õ�È�ÏJï"± F � ü Ð ±YX�´ Ä<ÃBÒ I µ�ÖFÃq̦É2Ã�Ä<Å�ÊÞÑ'Ï2ÅhÔqÅhÌ= N ��D � �]ëvá f �6�±Ù�ÈqÑ�Ò?ÎÐÅhϹò�Æ�Å�Ï ÕRÅ$ÎÐÅ{ÈqÉ2Ï�É Í�ËNÕ = ÖDÃqÌ�Ï Õ�Ê�ÉED§ë

´ È)µó©%ÖOD ¯ �BÙ�Ï ÕRÅ{Ñ�Ã�ÍRÏ2Ý�Í�Ï�ï"± 1�� � < ù Ð ± ê � � $�´ Ä`Ã9Ò I µ�ÈqÑ�Ò?Õ�ÈqÎÐÏhë´FÆ�µÊ©%ÖSD Ë �BÙ�Ï ÕRÅ{Ñ/É2ÅhÏ Ð Ï2à РG J ± 1�� ê ´ Ä<ÃBÒ I µ�ÈqÑ�ÒäÔqÃèÆ�ÈqË��äÏ2Ã?Ï Õ�Å<ÆXÅPÚ

Ô�Ê�Ñ�Ñ�Ê�ÑRÔ�ÃqÖ1É Ï2ÅhÝÙ´ÔÎ�µNë@ % ï ��¿ ïBö ,�û q Ò ï Â9Ä Ï� À Ï ¿�½ Ï ¼eÂÃÁ�½¡¾�Ä$Âÿ]Àc¾7Ñb»�¿ I Ï º�¿R¼ut§¾BÜ4½¡»�Á6¾�¿]À§½�¾3»¡Ò M ¿ � ¾K{Ñ Ï º �9GUÏ º4¿)¾X½vÄ �ÉÏ º�¿ G  ��� ¾�½g¼®¾�½6Ñ Â�º Ï ¼®¾�Ä � ¼ut§¾�º�Âe¼�Ä »]Àż¶Ü4Àż�Â2Ä Ï Ä À Ï ½�¾ ½¡»�»�¼�»³Ò ïÑ�»'¿ I M

KT¿��S�c+�Z ©}Ö1Ï ÕRÅTÃ�Í�Ï2Ý�ÍRÏ�Ê�Éð¹üÛï ¦ � J G § Ì ±

ÖDÌ Ã�Ä É2Ï2ÅhÝÙ´�þ�µ�Ï Õ�Å{Ñ�ï � ü �U´ Ä<ÃBÒ I µNÙ�É2Ãð ± üÛï � J G ü�ï ´ Ä<Ã9Ò I µ$ì

©}Ö1Ï ÕRÅTÃ�ÍRÏ2Ý�ÍRÏ�Ê�É

ð¹üÛï ± 1�� � < ù Ð ± ê � � $ ´ Ä<ÃBÒ I µ

ý'þ

Page 46: Number Theory.pdf

ÖDÌ Ã�Ä É2Ï2ÅhÝÙ´ÔÎJÈ)µNÙ�Ï ÕRÅ{Ñð ± üÛï ± 1 < ´ Ð ± ê µ $ üÛï ± 1 < ù'ï � $ üÛï ´ Ä<ÃBÒ I µ

ÆXÅ{ËhÈqÍ�É2Å Ðe± ê üOï � ´ Ä<ÃBÒ I µ�ÈqÑ�Ò^:�ùyü à ��V ù� ¯ ��ëO

@ % ï ��¿ ïBö ,�÷ � tž¹½6À§ºkºkÂ�º"Ðr¼eÂ�Ñ�¾�»³Ò¹¼ut§¾/Ü4½¡»�Á$¾v¿]À§½¡¾�»³Ò M ¿ � ¾XÑ Ï º ��GUÏ º4¿)¾X½vÄ �*Ï º4¿G  ��� ¾�½�Â9Ä}v�»]À§º4¿)¾v¿Ûv�× Ï Ü§» � ×]º4»]Ñ7Â Ï � Â�ºÙ¼utž � ¾Xº"Ð�¼ut�Ä�»³Ò I Ï º4¿ ï�� Ü � À[Ä�¼ut§¾3¼eÂ9Ñ�¾½¡¾ À§Â9½�¾�¿�¼Ô»>Q�º4¿ � Â9º�Ä6¼®¾ Ü à è é M

KT¿��S�c+�Z ÂBÊ�Ñ�ËPÅoÔ�ËhÒ}0 7ëjü à 3 ¯ ��ÙR:?ÈqÑ�Ò V ÊÞÑ É2Ï2ÅhÝ ´Fý"µ$ËhÈqÑÓÆ�ÅÇËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ2Å{ÒÍ�É Ê�ÑRÔ�Ï Õ�Å�Ô�ËhÒ6ÈqÎÐÔqÃqÌjÊÐÏ Õ�Ä?ë���×<Ý�Ì ÅhÛBÊÐÃ�Í�É¦Ì Å{É Í�ÎÐÏ É{Ù�Ï ÕRÅ^ËPÃ�Ä`Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ɬÊ�Ñ`É2Ï2ÅhÝ�É�´³�'µNÙ´�ü�µNÙ*´�þ�µNÙ�´Fý"µNÙ�ÈqÑ�Ò�´Ã��µ�ËhÈqÑÇÆ�ÅWÒ�Ã�ÑRÅ�Ê�ÑoÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`ÊÞÈqÎ�Ï Ê�Ä<ÅqëJ}^Ãyí ÈqÉ É Í�Ä<ÅWÏ Õ�È�Ï�Ï ÕRÅÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ Å�Ì Å{ÈqËNÕRÅ{É�É2Ï2ÅhÝÍ´ÔÎ�µNÙRÉ2ÃTÏ Õ�È�Ï~ï � úü �U´ Ä<ÃBÒ I µNÙLÈqÑ�ÒoÈE��Õ�ÈqɦÆ�ÅhÅ{Ñ<ÖFÃ�Í�Ñ�ÒÉ Í�ËjÕ?Ï Õ�È�Ï�� �H � ¯ f ��ë

©%Ñ�Ò�Í�ËPÏ ÊÐÛqÅ{ÎÐ×ÇÈqÉ É Í�Ä<Å�Ï Õ�È�Ï�Ï Õ�Å�ÛJÈqÎ�Í�ÅTÃqÖ Ð ÊÞÉ�É Í�ËNÕ?Ï Õ�È�Ï Ð ± 1�� � ü f �U´ Ä<ÃBÒ I µNëã�Õ�Ê�É?ÊÞÉQËPÅhÌ Ï ÈqÊ�Ñ�ÎÐ×4Ï2ÌjÍRÅÿÏ ÕRÅ ç�ÌjÉ2ÏQÏ Ê�Ä<Å/É2Ï2ÅhÝ ´ÔÎ�µQÊ�É�ÅPÜBÅ{ËhÍRÏ2Å{Ò"Ù$ÉjÊ�Ñ�ËPÅ Ð ü|� �´ Ä<Ã9Ò I µNÙ�É2Ã<Ï Õ�È�Ï

Ð ± 1�� � ü~� ± 1�� � � ü~��¦ H 7 G § Ì ± ü �I � ü f � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ì

ã�ÕRÅ�ç�ÌNÉ2Ï�Ï Ê�Ä<ÅTÉ2Ï2ÅhÝÙ´ÔÎ�µ�Ê�É*ÅPÜBÅ{ËhÍRÏ2Å{Ò"ÙXÉ Ê�Ñ�ËPÅrï � úüM�U´ Ä<ÃBÒ I µ*ÈqÑ�Ò

ï ± 1�� � � üOï ¦ H 7 G § Ì ± ü ïI�� ü � ´ Ä`Ã9Ò I µ$ë

í¬ÅaÄ�Í�É2Ï�Õ�È{ÛqÅ á Ë ��Ù�ÈqÑ�Ò�Ï ÕRÅhÌjÅTÅPÜBÊÞÉ2Ï É�È���Ùc��ÿN�}��á f ��É Í�ËjÕ�Ï Õ�È�Ïï ± 5 � ü f ��ü Ð ± 1�� � ´ Ä<ÃBÒ I µ$ì

��Å{Ñ�ËPÅ6É2Ã�Ä<Å��èí�Ê�Ï ÕäÏ ÕRÅ`Ì Å{é9Í�ÊÐÌ Å{ÒäÝ�Ì ÃqÝ�ÅhÌ Ï�×ìÅPÜBÊÞÉ2Ï ÉaÈqÑ�Òÿí¬ÅoÄoÈ{×êÏ È]�qÅ�D Ï2ÃèÆ�ÅÏ ÕRÅ$ÎÐÅ{ÈqÉ Ï�Ã�ÑRÅqër´[D ËhÈqÑèÆ�ÅTÖDÃ�Í�Ñ�Ò?Ê�ÑQÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Åq붵�ã�ÕRÅ{Ñ�D<�Ûá f ��ë¹}^ÃyíÉ ÍRÝ�Ý�Ã�É2Å�Ï Õ�È�Ï>D Ë ��ÈqÑ�Ò3ò Ê�ÉfÏ ÕRÅ�ÈqÉ É2ÃBËhÊ�È�Ï2Å{Ò6ÛJÈqÎ�Í�Å^Ê�ÑoÏ ÕRÅ^ÌNÈqÑRÔqÅ7��D � �]ëvá f �6�±ëã�ÕRÅTÑRÅhí�Û�ÈqÎ�ÍRÅ�ÃqÖ Ð í�Ê�ÎÞÎ�Æ�Å Ð 5 ¯WÐ G J ± 1�� ê ë

àRÃqÌWÏ Õ�Ê�É*Û�ÈqÎ�ÍRÅ�ÃqÖ Ð 5�í�ÅaÕ�ÈyÛqÅ´ Ð 5 µ ± 1�� � ü Ð ± 1�� � Ð ± � 1�� ê � � ë

É2ô Ð 5 µ ± 1�� � ü f � ´ Ä<Ã9Ò I µ$ë

ýqý

Page 47: Number Theory.pdf

ÆXÅ{ËhÈqÍ�É2Årò ÿ�á f ��ë~�^Î�É ÃRÙ

´ Ð 5 µ ± ê � � ü Ð ± ê � � Ð ± 1�� � ëÉ2Ã

´ Ð 5 µ ± ê � � ü f�Ð ± ê � � ëÈqÑ�Ò�ç�Ñ�ÈqÎÞÎÐ×

´ Ð 5 µ ± ê � � üOï ±�F � � � ëÆXÅ{ËhÈqÍ�É2Å ï[± F � ü Ð ± ê Æ�Í�Ï�ï[± F � � � úü Ð ± ê � � Ù É2Ã�í�ÅÄ$Í�É ÏWÕ�ÈyÛqÅ�ï"± F � � � ü f�Ð ± ê � � ë��Å{Ñ�ËPÅ�Ï Õ�Å�Ê�Ñ�Ò�Í�ËPÏ Ê�ÛqŬÕL×LÝ�ÃqÏ ÕRÅ{É ÊÞÉ1ÊÞÉ�ÛqÅhÌNÊÐç�Å{Ò�Ì ÅhÔ�È�ÌjÒ�ÊÞÑRÔ Ð Ù�ÈqÑ�ÒÏ ÕRÅ�ÑRÅhí ÛJÈqÎÞÍRŬÃqÖÓ�ËhÈqÑ�ÑRÃqÏ*ÅPÜBËPÅhÅ{Ò�D f ��ë��^Å{Ñ�ËPÅqÙ�É2Ï2ÅhÝ�´ÔÎ�µ�Ê�É¬Ì ÅhÝ�Å{È�Ï2Å{Ò�È�Ï�Ä<Ã�É2Ï�á f �WÏ Ê�Ä<Å{É�Æ�ÅhÖDÃqÌ ÅD8ÊÞÉÌ Å{Ò�Í�ËPÅ{ÒØÏ2ÃU�êÈqÑ�ÒÓÏ Õ�Å6Ý�Ì Ã9ËPÅ{Ò�ÍRÌ ÅÇÏ2ÅhÌjÄ`Ê�Ñ�È�Ï2Å{Éhë ÂRÊ�Ñ�ËPÅ�á ¯ ß�´ ÎÐÃqÔ I µNÙ�í¬ÅËPÃ�Ñ�ËhÎ�Í�ÒRÅ�Ï Õ�È�Ï�É2Ï2ÅhÝW´ÔÎ�µ�ËPÃ�Ñ'Ï2ÌNÊÐÆ�ÍRÏ2Å{É�Ã�Ñ�ÎÐ×aÈ^Ý�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎ�ÈqÄ`Ã�Í�Ñ'Ï�ÃqÖ�ËPÃ�Ä`Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�ÑÏ2Ã`Ï ÕRÅTÌjÍ�Ñ�Ñ�Ê�ÑRÔ�Ï Ê�Ä<Å�ÃqÖ1Ï Õ�Ê�É�Ý�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌ Åqë

O@ % ï ��¿ ïBö ,c� q Ò � Â9Ä�Ä�¾ � ¾�Á'¼®¾�¿ Ï ¼a½ Ï º4¿�»�ÑÞÂ�ºbÄ�¼®¾_Ü à è ég»³Ò¹¼ut§¾Ü4½¡»�Á6¾�¿]À§½�¾r»³Ò M ¿ � ¾K{Ñ Ï º ��G�Ï º�¿)¾�½$Ä �BÏ º4¿ G  ��� ¾�½ � ¼ut§¾�ºG¼ut§¾�Ü�½³»�Á6¾�¿]À§½�¾3½$À§ºÅÄ Â9º ¾��6Ük¾�Á�¼®¾v¿7ÜÅ» � ×]º4»�Ñ Â Ï �¼eÂ9Ñ�¾gÂ�ºL¼utž � ¾Xº"Ð�¼ut�Äg»¡Ò I Ï º4¿ ï/M

KT¿��S�c+�Z �^Æ�ÃyÛqÅ*í¬Å*É ÈyíØÏ Õ�È�Ï1ÅPÜRÈqËPÏ ÎÐ×aÕ�ÈqÎÐÖRÏ ÕRÅ�Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ É�ÃqÖ :�<H È�Ì Å�é9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï ÊÞËÑRÃ�ÑRÌ Å{É ÊÞÒ�ÍRÅ{Éhë¦ã�Õ9Í�É�Ï Õ�ÅaËjÕ�ÈqÑ�ËPÅaÃqÖ§É Í�ËhËPÅ{É ÉWÈ�Ï�Å{ÈqËNÕèËNÕRÃ�Ê�ËPÅaÃqÖ!�êÊ�Ér��~�ü9Ù�ÈqÑ�Ò�Ï ÕRÅÅPÜ9Ý�Å{ËPÏ2Å{ÒìÑLÍ�Ä$Æ�ÅhÌ�ÃqÖ§ËjÕRÃ�ÊÞËPÅ{É�Ì Å{é9Í�ÊÐÌjÅ{Ò�Ê�É�ü9ë*ã�ÕRÅaËPÃ�Ä<Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ?ÖFÃqÌ�Å{ÈqËNÕèËNÕRÃ�Ê�ËPÅÊ�É�ÒRÃ�ÑRÅTÊÞÑÇÝXÃ�Î�×9ÑRÃ�ÄoÊ�ÈqÎXÏ Ê�Ä<Åqë

OwêÅ6ÄoÈ{×êÌ ÅhÝ�ÎÞÈqËPÅ`Ï ÕRÅ`ÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä ËNÕRÃ�Ê�ËPÅoÃqÖ�� Ê�ÑÿÉ Ï2ÅhÝ�´Ã��µ�Æ9×ÿÈ?ÒRÅhÏ2ÅhÌNÄ`Ê�Ñ�Ê�É Ï Ê�Ë

É2Å{È�ÌjËjÕÇÖFÃqÌ�Ï ÕRÅWÎ�Å{ÈqÉ2ϬÅ{Î�Å{Ä<Å{Ñ'ÏR�QÉ Í�ËNÕoÏ Õ�È�Ï!� �H � ¯Mf ��ë¦ã�Õ�Ê�ÉfÒ�ÃLÅ{É*ÑRÃqÏ*È�ÓXÅ{ËPÏ*Ï ÕRÅËPÃqÌ Ì Å{ËPÏ ÑRÅ{É É�ÃqÖ�Ï ÕRÅTÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌjÅqÙBÈqÑ�Ò�í¬ÅaÃqÆ�Ï ÈqÊ�ÑÇÏ ÕRÅTÖFÃ�Î�ÎÐÃ\í�Ê�ÑRÔÏ ÕRÅhÃqÌjÅ{Ä�ë

@ % ï ��¿ ïBö , -�q Ò�¼ut§¾�wRNSP Â9Ä�¼e½6Àk¾ � ¼ut§¾XºW¼ut§¾õ��¾�½$Ä$Âû]º�»³Ò�¼ut§¾�Ü4½¡»�Á6¾�¿]À§½�¾g»¡Ò M ¿ � ¾K{Ñ Ï º �EG�Ï º4¿)¾�½$Ä ��Ï º4¿ G  ��� ¾�½ó¼ut Ï ¼rÄX¾ Ï ½³ÁKt§¾6ÄRÂ�º;»]½¡¿)¾�½ � ¯ ü[ëjþ[ë2ýÅëXìXìXì�� ½6À§ºÅÄóÂ9º¿)¾X¼®¾X½$Ñ7Â�ºkÂ2Ä�¼eÂeÁ�ܧ» � ×�º�»]Ñ7Â Ï � ¼eÂ�Ñb¾ M

KT¿��S�c+�Z �¬× ã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä ý��BÙ�Ï Õ�Åì߬âB�,Ê�Ä`Ý�Î�ÊÐÅ{É<Ï Õ�È�Ï�Ï ÕRÅäÎÐÅ{ÈqÉ2Ï�é9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï ÊÞËÑRÃ�ÑRÌ Å{É ÊÞÒ�ÍRÅ�ÃqÖ I Ê�É�ÃqÖ�Ä`È�Ô�Ñ�ÊÐÏ Í�Ò�Ågßb´ ÎÐÃqÔ ± I µNë

Oâ�Å{Ä`È�Ìv�9ÉXx

ý)�

Page 48: Number Theory.pdf

��ëB©%Ö I ü�þQ´ Ä<ÃBÒ�ý"µNÙ�É2Ï2ÅhÝìþ<È�Ý�Ý�Î�Ê�Å{Éhëü9ëBw4ÊÐÏ Õ�Ì Å{É ÝXÅ{ËPÏ�Ï2ÃoÏ ÕRÅTÏ2Ì ÅhÅTÃqÖ§É é9Í�È�Ì Å�ÌjÃLÃqÏ É�ÃqÖ f ��Ù4ï � Ê�É�É2Ã�Ä<Å�Å{ÎÐÅ{Ä<Å{ÑLÏ�Ê�Ñ

Ï ÕRÅoÏ2Ì ÅhÅoÊÐÖÉï � úü ��´ Ä<ÃBÒ I µNÙ1Å{ÈqËjÕ Û�ÈqÎ�ÍRÅ<ÃqÖ Ð Ê�ÉTÈ?ÎÐÅ{È�Ö*ÃqÖ*Ï ÕRÅ`Ï2ÌjÅhÅqÙ1ÈqÑ�ÒÌ ÅhÝ�Î�ÈqËhÊ�ÑRÔ Ð ÆL× Ð ù Ð ± 1�� ê ËPÃqÌ Ì Å{É2Ý�Ã�Ñ�Ò�ɦÏ2ÃÄ$Í�Î�Ï ÊÐÝ�ÎÐ×BÊ�ÑRÔ Ð Æ9×`Ï ÕRÅ^È�Ý�Ý�Ì ÃqÝ�ÌjÊÞÈ�Ï2ÅÈqÑ�ËPÅ{É Ï2ÃqÌ1Ï2Ã^ÃqÆ�Ï ÈqÊ�Ñ�È�ÎÐÅ{È�Ö�ÊÞÑTÏ ÕRÅ ¥¯ÃqÏ ÕRÅhÌv¦�É ÍRÆ�Ï2ÌjÅhŦÃqÖRÏ ÕRÅ*ËPÃ�Ä`Ä<Ã�Ñ�ÈqÑ�ËPÅ{É2Ï2ÃqÌÃqÖ�ï � ÈqÑ�Ò Ð Ê�ÑÏ ÕRÅ�Ï2ÌjÅhÅqëwêÅ�Ï ÕLÍ�ÉfÑ�È�Ì ÌjÃyí ÒRÃ\í�Ñ<Ï2ÃaÈaÎÐÅ{È�Ö"ÒRÅ{É ËPÅ{Ñ�ÒRÅ{Ò`ÖDÌ Ã�Äï � ë

þ9ë^àRÃqÌ^ÔqÅ{ÑRÅhÌjÈqÎ�ÊÝ{{È�Ï ÊÐÃ�Ñ�É*Ï2Ã`Ì Ã9ÃqÏ É�ÃqÏ Õ�ÅhÌ�Ï Õ�ÈqÑ�Ï ÕRÅ$É éLÍ�È�Ì Å�Ì Ã9ÃqÏhÙ�É2ÅhÅTÏ ÕRÅ�Ý�È�ÝXÅhÌÃqÖ/�^Ò�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ"Ùc�èÈqÑ�ÒRÅhÌjÉ{Ù�ÈqÑ�ÒW�èÊ�Î�ÎÐÅhÌr� þ��±ë

A ! À ö/ð/ Fï ,c, Â9Ã�ÎÐÛqÅ�(�±Bü8ü§�U´ Ä<ÃBÒ�ýk�'µNëã�ÕRÅ�Ï2Ì ÅhÅaÃqÖ�ÉjéLÍ�È�ÌjÅ�Ì ÃLÃqÏ É�ÃqÖ f ��ÖDÃqÌ Ió¯ ýk�]xTÓZx yl RÓQx y x yR RS[ X�T QS�ã�ÕRÅ{Ñ�í�ÅTí�ÌNÊÐÏ2Å I3f � ¯ ý�� ¯ ü]±Éù'�9Ù�É2Ã3á ¯ ü<ÈqÑ�Ò� ¯ �9ëá�Ã�Ä<Ý�Í�Ï2Å

ü§� � ü �ü§� G®­ ü ý��ü§� ±¡­ ü �]ë

É2Ã�ü§�TÕ�ÈqÉ�È`É é9Í�È�Ì Å�Ì Ã9ÃqÏ�Ä<ÃBÒÇýk��ëÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2Å�í�ÅTÔ�ÍRÅ{É É�Ï ÕRÅaé9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï Ê�Ë�Ñ�Ã�ÑRÌ Å{É Ê�Ò�ÍRÅ��[x

� � ü ü�Î� G®­ ü þqü� ±¡­ ü ý��

��Å{Ñ�ËPÅaí�ÅTÕ�È{ÛqÅü�Î�±búü8ü§�K��ÈqÑ�ÒQü�Î&²�ü8ü§�JG®­�ëá�Ã�Ä<Ý�Í�Ï2Åaü�Î G J ± ü8þ9Ù�Ô�ÊÐÛBÊ�ÑRÔ<È`Î�Å{È�Ö1Ê�ÑÇÏ Õ�ÅTÃqÏ ÕRÅhÌ^Õ�ÈqÎÐÖ�ÃqÖ1Ï ÕRÅTÏ2Ì ÅhÅaÖDÌ Ã�Ä ü�ÎLëwêÅaç�Ñ�Ò?þ]±Bü8ü§�K��ëã�È]�BÊ�ÑRÔ�� ¯ ü�ùyü I f þ�ù'�9Ù�í¬ÅaÕ�È{ÛqÅ

ü§� ü ü§� G ¶ ´�ü§� � µ 7 Iü ü§� G ¶ ´�þ ± µ 7 Iü ´�ü§�K¹\þ 7 I µ ±ü ´³�{ü�µ ± ´ Ä<ÃBÒ�ýk�'µ

ý)�

Page 49: Number Theory.pdf

�B� ¡�u$ 7qbuv @? ã� n�   � 7 s7è¹pS�åpS�r�¹�çt���ä�Ê�B��u³��� �ä�rqbs��vs7�

Â9Ã�ÎÐÛqÅ�x±(4±Êü ïO´ Ä<ÃBÒRò�µ�Ô�ÊÐÛqÅ{Ñ Ï ÕRÅ6Ý�ÌjÊ�Ä`Å`ÖFÈqËPÏ2ÃqÌNÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�ÑÙò ¯ I+. �G I/. �± ùXùXù I .21à ÙÈqÑ�Ò�ï6É Í�ËjÕ?Ï Õ�È�Ï�Ô�ËhÒg´eï4ë¡ò�µ ¯ ��ë

©}Ï^É ÍÅÕoËPÅ{É�Ï2Ãoç�Ñ�Òx( G ëC( ± ëXìXìXì�ëC( à É Í�ËNÕ�Ï Õ�È�Ï( ±" üOï ´ Ä`Ã9Ò I .10" µ¬ÖDÃqÌ�� ¯ �]ëjü[ëXìXìXì�ëvá�ëÉ Ê�Ñ�ËPÅ�Æ9×�Ï Õ�Å�á*Õ�Ê�Ñ�Å{É2Å�â�Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌ�ã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä?ÙRí¬ÅaÄoÈ{×Çç�Ñ�Òx� N : � ÉjÍ�ËjÕ�Ï Õ�È�Ï�büH( " ´ Ä<ÃBÒ I .10" µ�ÖDÃqÌ�� ¯ �]ëjü[ëXìXìXì�ëvá�ìã�ÕRÅ{Ñ � ± üH( ±" üOï ´ Ä`Ã9Ò I .10" µ}ÖDÃq̸� ¯ �]ëjü[ëXìXìXì�ëvá�ëÉ2Ã`Æ9×6ÈqÑRÃqÏ Õ�ÅhÌ^È�Ý�Ý�ÎÞÊ�ËhÈ�Ï ÊÐÃ�Ñ6ÃqÖ�Ï ÕRÅ�á*Õ�ÊÞÑRÅ{É2Å�â�Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌ�ã�ÕRÅhÃqÌjÅ{Ä�Ù� ± üÛï ´ Ä<ÃBÒRò�µ$ì

©}Ö I ÊÞÉ�ÈqÑ?ÃBÒ�ÒÇÝ�ÌjÊ�Ä`ÅqÙBÊ�Ï�É ÍÅÕoËPÅ{É�Ï2Ã`ç�Ñ�Òx( ­ É Í�ËjÕ?Ï Õ�È�Ï�( ±­ üOïÛ´ Ä`Ã9Ò I µ$Ú�í¬ÅÉ ÕRÃyí ÕRÃyíõÏ Õ�Ê�É�ËhÈqÑ?Æ�Å�Æ�Í�Ê�ÎÐÏ*ÍRÝ�Ï2ÃoÈ`É2Ã�ÎÞÍRÏ ÊÐÃ�ÑÇÃqÖÙ(4±BüÛïO´ Ä<ÃBÒ I . µ¬ÖDÃqÌs9 Ë ��ë

©}Ö ( ­ ÊÞÉ�È?É2Ã�Î�ÍRÏ Ê�Ã�ÑäÃqÖ½(�±7ü ïÛ´ Ä<ÃBÒ I µNÙ�Ï Õ�Å{Ñ I Ò�ÊÐÛBÊ�ÒRÅ{É�´eï f (�±­ µNÙ�É2ÃQÎ�ÅhÏrôÆXÅ�Ï Õ�ÅTéLÍRÃqÏ Ê�Å{Ñ'Ï�ÃqÖ¹´eï f ( ±­ µ�ÈqÑ�Ò I ëfü'( ­ Ê�É�Ì Å{Î�È�Ï ÊÐÛqÅ{ÎÐ×�Ý�ÌjÊ�Ä`ÅWÏ2à I4± Ù�É2Ã`ËjÕ�ÃLÃ�É2Å =É Í�ËjÕ?Ï Õ�È�Ï^ü'( ­ = ü �G´ Ä<Ã9Ò I ±�µNëfã�ÕRÅ{Ñ

ü'( ­ I ô =z¯ ü'( ­ = ´eï f ( ±­ µJü ´eï f ( ±­ µ ´ Ä<Ã9Ò I ± µ$ìã�ÕLÍ�É

´u( ­ ��I ô = µ ± üH( ±­ � ´eï f ( ±­ µ ��I ± ô ± = ± ´ Ä`Ã9Ò I ± µ$ëÈqÑ�Ò?É2Ã

´u( ­ ��I ô = µ ± üÛï ´ Ä<Ã9Ò I ± µ$ì��Å{Ñ�ËPÅ<( G ü ´u( ­ �ÛI ô = µó´ Ä`Ã9Ò I�± µ?Ê�ÉQÈ�É2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ8ÃqÖ<Ï ÕRÅ Å{éLÍ�È�Ï Ê�Ã�Ñ�( ± ü ï´ Ä<Ã9Ò I ±�µNëäã�Õ�Ê�ÉaÉ Ï2ÅhÝÓÄoÈ{×/Æ�Å�Ì ÅhÝ�Å{È�Ï2Å{Ò í^ÊÐÏ Õ I ±`ÖFÃqÌ I Ú I I ÖFÃqÌ I ±JÙh( G ÖDÃqÌ-( ­ ÙÈqÑ�ÒÛ( ± ÖFÃqÌ�( G Ï2ÃQÃqÆ�Ï ÈqÊ�ÑÿÈ?É Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�ÑäÏ2Ã�( ± ü ïÛ´ Ä<ÃBÒ I I µNÙ�ÈqÑ�Ò/É2Ã�Ã�Ñ"Ù�Í�Ñ'Ï Ê�ΧÈÉ2Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�Ñ�ÊÞÉ�ÃqÆ�Ï ÈqÊ�ÑRÅ{ÒÇÏ2Ã}(4±�üÛïO´ Ä<ÃBÒ I . µNë

ã�Õ�Ê�ɬÝ�Ì ÃBËPÅ{Ò�ÍRÌjÅ�ËhÈqÑÇÆ�Å^ËhÈ�Ì ÌjÊ�Å{ÒoÃ�ÍRÏ*Ê�Ñ�Ý�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎRÏ Ê�Ä`ÅqÙ9É2ÃÏ ÕRÅWÝ�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä Ê�ÉÌ Å{Ò�Í�ËPÅ{Ò<Ï2ÃaÃ�ÑRÅ�ÃqÖ�ç�Ñ�Ò�Ê�Ñ�ÔWÉ é9Í�È�Ì Å�ÌjÃLÃqÏ É¦Ä`Ã9Ò�Í�ÎÐà I Ù�ÖFÃq̦í�Õ�Ê�ËNÕÏ ÕRÅ�Ý�ÌjÃ9ËPÅ{Ò�Í�Ì Å{É�ÃqÖ�¬ÅhÌNÎÐÅX�JÈqÄ`Ý6ÃqÌÉ�WÒ�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ"ÙÅ�èÈqÑ�ÒRÅhÌjÉhÙBÈqÑ�Òó�QÊÞÎ�ÎÐÅh̬ËhÈqÑ6Æ�Å^Í�É2Å{Ò"ë�´ àRÃqÌ�Ï ÕRÅWÉ2Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�ÑÃqÖÙ( ± üÛïO´ Ä<Ã9Òèü � µ�É2ÅhÅr��Ê�ÑRÃqÔqÌNÈqÒRÃyÛS�����]�±ë¶µ

ý"Î

Page 50: Number Theory.pdf

A ! À ö/ð/ Fï , ? Â9Ã�ÎÐÛqÅ�(�±Bü ΰ´ Ä<ÃBÒQü�Î�µNë��ë�(�±¹ü Îrü �U´ Ä<ÃBÒQþ�µ*Õ�ÈqÉ�É2Ã�Î�ÍRÏ Ê�Ã�Ñx( ­ ¯ �ô ¯ ´ÔÎ f �'µC~�þ ¯ üü'( ­ ¯ ü9Ù�É2à =d¯ �<ÉjÊ�Ñ�ËPÅaü�ù&�rü �G´ Ä<Ã9Ò���µ

ü9ë^ã�Õ9Í�Éü( G ¯ ý ü � � þ�ùJü�ù&�Q´ Ä<ÃBÒW��µ*Ê�É�ÈoÉ2Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�ÑÇÃqÖÙ(4±Bü ΰ´ Ä<ÃBÒW��µNëô ¯ ´ÔÎ f ����µC~]� ¯ f �Tü'( G ¯ �9Ù�É2à =r¯ �'ÎÉ Ê�Ñ�ËPÅd��ù"�'Îrü �U´ Ä<ÃBÒQü�Î�µ

þ9ë^ã�Õ9Í�É-( ± ¯ �{þUü ý � �bù4´ f �'µ�ùc�'ÎQ´ Ä<ÃBÒ?ü�Î�µÊ�É<ÈêÉ Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�ÑØÃqÖõ(4±Wüäδ Ä<ÃBÒ?ü�Î�µNë

�^Ñ�Ò"Ù�Ê�Ñ�ÒRÅhÅ{Ò�Ù��{þ]± ¯ �����güOΰ´ Ä`Ã9ÒQü�Î�µNë

ý)�

Page 51: Number Theory.pdf

��â ¡�u$ 7qbuv @? ��¤7�¢¡�  � ã�� � 7 s7è¹pS�åpS�r���/çt���ä�Ê�B��u³��� �ä�rqbs��vs7�

ã�Õ�Ê�É`É Å{ËPÏ ÊÐÃ�Ñ ÒRÅ{ÉjËPÌjÊÐÆ�Å{É`ÈêÌ Å{ÉjÍ�ÎÐÏ<ÃqÖd�èÈqÑ�ÒRÅhÌjÉ`ÈqÑ�Ò��WÒ�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ����X����É ÕRÃ\í�Ê�ÑRÔêÏ ÕRÅÖDÃ�Î�Î�Ãyí�Ê�Ñ�ÔÒ�Å{ËhÊ�É ÊÐÃ�ÑÇÝ�ÌjÃqÆ�ÎÐÅ{Ä Ê�ɹ}�y§Ú�ËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅhÏ2Åqë

Ë�Ê�ÛqÅ{ÑoÊ�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌjÉ�ïcë�£�ë�¤ ÙBÏ2ÃÒRÅhÏ2ÅhÌjÄ`ÊÞÑRÅ�í�ÕRÅhÏ Õ�ÅhÌfÏ ÕRÅhÌ ÅWÊ�ÉfÈqÑ�Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ(ìÉ È�Ï Ê�É2ÖF×9ÊÞÑRÔÅx

. �Xò ó ñD¾\ñ���ò�½b���ë���ÿ (Íÿ¥£ Ù�ÈqÑ�Òü9ë�(�±¹üOïÛ´ Ä`Ã9Ò^¤ µNë

@ % ï ��¿ ïBö ,�ø � t"Â2Ä�Ü4½³»Sv � ¾�ÑåÂ9Ä á�� {¡Áv»]Ñ�Ü � ¾X¼®¾ � ¾K�]¾�ºR Ò�¼ut§¾�Ü4½6Â9Ñ�¾JÒ Ï Á�¼Ô»]½6¦% Ï ¼eÂû]º»³Ò ¤ Â9ÄBÐ�Âu�]¾�º M

KT¿��S�c+�Z ã�ÕRÅfÝ�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{ÄõÊ�É�ËhÎÐÅ{È�ÌjÎ�×�ÊÞÑr}�yBxyí�ŬÄ`Èy×�Ô�ÍRÅ{É É1È�ÑRÃ�Ñ�ÅhÔ�È�Ï ÊÐÛqÅ�ÊÞÑ'Ï2ÅhÔqÅhÌ(Ùÿ§£ ÈqÑ�Ò?ËNÕRÅ{Ë���Ï Õ�È�Ï�Ï ÕRÅTÉ2Å{ËPÃ�Ñ�ÒèËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ Ê�Ã�ÑÇÃqÖÉ´�©�µ*Ê�É�É È�Ï ÊÞÉ2ç�Å{Ò"ëã�ÃØÉ2ÅhÅQÏ Õ�È�ÏoÊÐÏoÊ�ÉoËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅhÏ2ÅìÊ�Ñ°}�y1Ù¬í¬ÅèÌ Å{Ò�Í�ËPÅ�Ï2ÃØÊÐÏ`Ï ÕRÅ?Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä�ÃqÖ�ÒRÅPÚ

ËhÊ�Ò�Ê�ÑRÔØí�ÕRÅhÏ Õ�ÅhÌ?È Ý�Ì ÃqÝ�Ã�É ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎ^ÖFÃqÌjÄ$Í�Î�ÈÓÊ�Ñ4ËPÃ�Ñ�¸2Í�Ñ�ËPÏ ÊÐÛqÅêÑRÃqÌjÄ`ÈqÎWÖFÃqÌjÄ í�ÊÐÏ ÕÏ ÕRÌ ÅhÅÎ�ÊÐÏ2ÅhÌjÈqÎ�É�Ý�ÅhÌ^ËhÎ�ÈqÍ�É Å�Ê�É^É È�Ï Ê�É2ç�È�Æ�ÎÐÅqëg´ ã�Õ�Å$Î�È�Ï2Ï2ÅhÌ�Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä Ê�ÉWËhÈqÎ�ÎÐÅ{Òìþ�§�§ã�붵å�ÅhÏ � Æ�ÅäÈ/Ý�ÌjÃqÝXÃ�ÉjÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎ�ÖDÃqÌjÄ�Í�Î�È/ÃqÖTÏ ÕRÅêÈ�Ý�Ý�ÌjÃqÝ�ÌjÊ�È�Ï2ÅèÖDÃqÌjÄ í�Ê�Ï Õ Û�È�ÌjÊ�È�Æ�ÎÐÅ{ɨ ­ ë ¨ G ëXìXìXì�ë ¨ Ñ 7 G ÈqÑ�ÒQËhÎ�ÈqÍ�É2Å{É�© ­ ë.© G ëXìXìXì�ë.© � 7 G ë¼Ä^Åhç�ÑRÅaÖFÃqÌ^ÈqÎ�Îz��ÈqÑ�Ò}��ÉjÍ�ËjÕÏ Õ�È�Ï�� N � �BÙ ÐSf �6��ÈqÑ�Ò!� N � �BÙ�ò f �6�Ôx

$ " � ¯ ª«­¬ � ��ÊÐÖ ¨ " ÃBËhËhÍRÌjÉ�Ê�Ñ®© �f ��ÊÐÖU¯ ¨ "�ÃBËhËhÍRÌjÉ�ÊÞÑ^© ��oÊÐÖ�ÑRÅ{Ê�Ï ÕRÅhÌ�Ã9ËhËhÍ�ÌjÉ�Ê�Ñ^© � ì´�wêÅ`ÈqÉ É Í�Ä<Å$Ï Õ�È�Ï�ÈqÑ'×QËhÎÞÈqÍ�É2Å{ÉWËPÃ�Ñ'Ï ÈqÊ�Ñ�Ê�ÑRÔ6ÆXÃqÏ Õ ¨ " ÈqÑ�Ò�¯ ¨ " Õ�ÈyÛqÅÆXÅhÅ{ÑèÅ{Î�Ê�Ä<ÚÊ�Ñ�È�Ï2Å{Ò"붵?å�ÅhÏ F�¯nÐ+� ü�ò ÈqÑ�ÒèÎÐÅhÏ I ­ ë I G ëXìXìXìaë I = 7 G Æ�ÅaÏ Õ�Åaç�ÌjÉ Ï F ¥2ÉjÍÅÕoËhÊÐÅ{ÑLÏ ÎÐ×Î�È�Ì ÔqÅ�¦�Ý�ÌjÊ�Ä<Å{É ´FÏ Õ�È�Ï�Ê�ÉhÙ�ÔqÌ Å{È�Ï2ÅhÌ�Ï Õ�ÈqÑìÏ Õ F �``Ì Ã9ÃqÏ^ÃqÖfý F ��� � µNësÄ^Åhç�ÑRÅ$ÖFÃqÌWÅ{ÈqËjÕ� ¯ �§ë��]ëXìXìXì�ë F�f �]x

ò "S¯ÙI =" ìå�ÅhÏõ ¯ ò ­ ùXò G ùXùXù�ò = 7 G Ù�ÈqÑ�Ò?ÒRÅhç�ÑRÅ�ÖFÃqÌ�Å{ÈqËNÕ�� ¯ �§ë��]ëXìXìXì*ë F�f �]x

F­"a¯ �~&ò " ìý)�

Page 52: Number Theory.pdf

àRÃqÌ�� ¯ �§ë��]ëXìXìXì*ë ÐSf �aÎÐÅhÏ , "�Æ�Å�Ï ÕRÅTÎÐÅ{ÈqÉ Ï�Ý�Ã�É ÊÐÏ ÊÐÛqÅ�Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ^É Í�ËjÕ�Ï Õ�È�Ï

, " F "Sü � 7 G®� ¯ ­ $ " � ��� � ´ Ä<ÃBÒ���� � µÈqÑ�Ò ,�"9F­" úüÛ� ´ Ä<ÃBÒ I�" µ$ìàRÃqÌü� ¯WÐ ë Ð`� �]ëXìXìXì�ë Ð2� ü�ò f �^ËNÕRÃLÃ�É Å ,�" Ï2Ã$Æ�Å^Ï ÕRÅWÎ�Å{ÈqÉ2ÏfÝ�Ã�É ÊÐÏ Ê�ÛqÅ^Ê�ÑLÏ2ÅhÔqÅhÌ�ÉjÍ�ËjÕÏ Õ�È�Ï ,]"�F­" ü ���s° ¦ " 7 Ñ § Ì ±²± ´ Ä<ÃBÒ���� � µ$ëÈqÑ�Ò ,�"9F­" úüÛ� ´ Ä<ÃBÒ I�" µ$ìà1ÊÞÑ�ÈqÎ�ÎÐ×qÙRÎÐÅhÏ ³ ü � 7 G®� ¯ ­ ��� �£ ¯ = 7 G® "°¯ ­ ,�"�F­"¤ ¯ ü�ù���� � ù'

ï ¯ ´�üzù���� � � gµ 7 G ´Ý Où ³ ± � ü�ù"��� � ù2£ ± µ ´ Ä<ÃBÒ�¤Mµ$ì´ ã�ÕRÅaÊ�ÑLÛqÅhÌjÉ2ÅTÊÞÑÇÏ ÕRÅTÎ�ÈqÉ2Ï�ÅPÜBÝ�Ì Å{ÉjÉ ÊÐÃ�Ñ�Ê�É�Ä<ÃBÒ�Í�Î�Ã�¤ ë�}^ÃqÏ2ÅTÏ Õ�È�Ï ³ Ê�É*Ã9Ò�Ò"붵l¬ïBö ö À�, D�� t§¾7Áv»�º4¿]Âe¼eÂe»]ºkÄ à q é Ï ½�¾b¾ À§Â�� Ï � ¾�ºc¼�¼Ô». ��ò ó ñD¾\ñ��Xò�½b���å M���ÿ (Íÿ¥£N�æ M�( ± ü ³ ± ´ Ä<Ã9Òèü�ù���� � µ$ë* M�(�±¹üd£�±�´ Ä<ÃBÒ� gµ$ì

KT¿��S�c+�Z ��×6Ï Õ�Å�á*Õ�Ê�Ñ�Å{É2ÅWâ�Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�Ò�ÅhÌ�ã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä?ëO

l¬ïBö ö À�, > � t§¾7Áv»�º4¿]Âe¼eÂe»]ºkÄ à qCq é Ï ½�¾b¾ À§Â�� Ï � ¾�ºc¼�¼Ô»�]�

Page 53: Number Theory.pdf

. ��ò ó ñD¾\ñ��Xò�½b�����å M���ÿE÷ (÷§ÿ¥£N�æ M�(Rü ³ ´ Ä<ÃBÒ���� � µÍ�* M�( ± üd£ ± ´ Ä<ÃBÒ� gµPMKT¿��S�c+�Z �§ÅhÌjÊÐÖF×�Ï Õ�È�Ï�ÖDÃqÌ ³ Ã9Ò�ÒÇí¬ÅaÕ�È{ÛqÅ

´u( f ³ µ�´u( � ³ µüÛ� ´ Ä<ÃBÒ?ü]àPJ G µÊÐÖ1ÈqÑ�ÒÇÃ�Ñ�ÎÐ×ÇÊÐÖ

´u( f ³ µJüÛ� ´ Ä<ÃBÒQü à µ�ÃqÌg´u( � ³ µJüÛ� ´ Ä`Ã9ÒQü à µ$ì Ol¬ïBö ö À ? ú � t§¾dÄ�» � ÀżeÂû]ºÅÄ »³Ò. ��ò ó ñD¾\ñ��Xò�½b�C´å M���ÿE÷ (÷§ÿ¥£N�æ M�( ± üd£ ± ´ Ä<ÃBÒ� gµPM

Ï ½¡¾�Ü4½¡¾vÁXÂ9ÄX¾ � × ( ¯6Ø = 7 G"°¯ ­ 9 " ,�"eF­" � |�t§¾X½¡¾�¾ Ï ÁKt 9 " N ê)�]ë f ��íSMKT¿��S�c+�Z ��Å{ËhÈqÍ�É2Å F­"�F � üÛ�;´ Ä<Ã9Ò) dµ�ÊÐÖÙ�Bú¯ �oí¬Å$Õ�È{ÛqÅ£ ± ü = 7 G® "&¯ ­ , ±" F ±" ´ Ä<ÃBÒ� gµ$ë

ÈqÑ�Ò

( ± ü = 7 G® "&¯ ­ 9 ±" , ±" F ±" ´ Ä<ÃBÒ: dµ$ìÂBÊ�Ñ�ËPÅ�Å{ÈqËNÕ�9 " N ê)�]ë f ��í�Ù�Å{ÈqËNÕ)9*±" ¯ ��Ù�É2Ã

( ± f £ ± üÛ� ´ Ä<Ã9Ò) dµ$ì�^Î�É ÃRÙa÷ (÷§ÿ¥£ Ù�ÈqÑ�ÒÇÉ2Ã<ÈqÎ�ÎXÏ ÕRÅs(�Ì É*ÃqÖ�Ï ÕRÅ�Ê�Ñ�Ò�Ê�ËhÈ�Ï2Å{Ò6ÖFÃqÌjÄ.È�Ì ÅTÉ2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�Ñ�ɬÃqÖ�´�© �zµNë

�§�

Page 54: Number Theory.pdf

á�Ã�ÑLÛqÅhÌjÉ2Å{ÎÐ×qÙ�ÊÐÖ­��Ê�É*ÈqÑ'×oÉ Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�Ñ�ÃqÖ�´�© �zµfÏ ÕRÅ{Ñ� 3÷�´u� f £Lµ�´u� � £LµNëfà�ÃqÌ�Å{ÈqËjÕÝ�ÌjÊ�Ä<Å I�" ÊÐÏ*ËhÈqÑ�ÑRÃqÏ�Æ�Å^Ï ÕRÅ�ËhÈqÉ2Å�Ï Õ�È�Ï I�" Ò�Ê�Û9Ê�Ò�Å{ɦÆ�ÃqÏ ÕÍ´u� f £�µ¬ÈqÑ�ÒÍ´u� � £�µNÙBÖDÃqÌÏ ÕRÅ{Ñ I�" ÷ üµ£ Ù9É2à I�" ÷ £/ëfÂBÊ�Ñ�ËPÅ I�" ÷ F � ÖFÃqÌ��Bú¯ ��ÙLÏ Õ�Ê�ÉfÊ�Ä`Ý�Î�ÊÐÅ{É1Ï Õ�È�Ï I�" ÷ ,�"�F­" Ù9ËPÃ�Ñ'Ï2ÌjÈ�Ìj×Ï2Ã`Ã�ÍRÌ�ËNÕRÃ�Ê�ËPÅaÃqÖ ,�" ëJwêÅ$ÑRÃyí ÒRÅhç�ÑRÅ

9z" ¯ � � �TÊ�Ö�ò " ÷�´u� f £�µf �TÊ�Ö�ò " ÷�´u� � £�µ$ë

ÈqÑ�Ò

( ¯ = 7 G® "&¯ ­ 9 " ,�"�F­" ì©}Ö�ò " ÷�´u� f £�µ¬Ï ÕRÅ{Ñ

�bü¶£þü ,�"�F­" üW9 "Ý,�"�F­" üH( ´ Ä<ÃBÒRò " µ$ì©}Ö�ò " ÷�´u� � £�µ¬Ï ÕRÅ{Ñ

�bü f £þü f�,�"9F­" üo9 "�,]"�F­" üW( ´ Ä<ÃBÒóò " µ$ëÆL×ÇÃ�ÍRÌ�ËNÕRÃ�Ê�ËPÅaÃqÖh9 " ëJ�^Å{Ñ�ËPÅTÖFÃqÌ^ÈqÎÞÎ�� ¯ �§ë��]ëXìXìXì�ë FWf ��Ù

(óüH� ´ Ä<ÃBÒRò " µ$ëÉ2Ã`Æ9×�Ï ÕRÅá*Õ�Ê�ÑRÅ{É Å�â�Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�Ò�ÅhÌ�ã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä�Ù

(RüH� ´ Ä`Ã9Ò� gµ$ìwêÅ$ÑRÃqÏ2ÅTÏ Õ�È�Ï ÷ (/÷§ÿb£ Æ9×6ËPÃ�Ñ�É2Ï2ÌjÍ�ËPÏ ÊÐÃ�Ñ�ë

��× Ã�ÍRÌ`ËNÕRÃ�Ê�ËPÅ?ÃqÖ^Ï ÕRÅ I�" Ì É<ÈqÑ�ÒÓÏ ÕRÅ�Ö ÈqËPÏ<Ï Õ�È�Ï ,�"8· übùc��� � Ù¬Å{ÈqËjÕ Ï2ÅhÌNÄ�ÃqÖ£ Ê�É�Æ�Ã�Í�Ñ�ÒRÅ{Ò ÆL×H �~�ü F Ù�:¸qüµ£ � <ë �*ÍRÏU÷ �a÷zÿ¹£ ÈqÑ�Ò ÷ (/÷dÿ�£ ÊÞÄ<Ý�ÎÐ×÷ ( f �a÷cÿ8üµ£ �6 ÈqÑ�ÒèÉjÊ�Ñ�ËPÅ�(�ün�O´ Ä<ÃBÒ� dµNÙ�í�Å�Ä�Í�É2ÏWÕ�È{ÛqÅ@( ¯ �Xë^ã�ÕLÍ�É��Ê�É�ÃqÖ1Ï ÕRÅaÊ�Ñ�Ò�Ê�ËhÈ�Ï2Å{ÒÇÖDÃqÌNÄ�ë

Oã�Õ9Í�ÉËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ�ÉÊ´³�'µ�ÈqÑ�ÒO´�þ�µ$ÃqÖWÉ2ÅhÏW´�©�©�µ�Ô�Í�È�ÌNÈqÑ'Ï2ÅhÅQÈäËPÃ�Î�Î�Å{ËPÏ ÊÐÃ�ÑØÃqÖ^Ê�Ñ�Ò�ÅPÚ

ÝXÅ{Ñ�ÒRÅ{Ñ'Ï�Æ�ÊÞÑ�È�Ì ×QËNÕRÃ�Ê�ËPÅ{É3´Fí^ÕRÅhÏ ÕRÅhÌ�9�" ¯ �ÃqÌ f �'µWÊ�ÑäÏ ÕRÅ`É2Ã�ÎÞÍRÏ ÊÐÃ�ÑäÉ2Ý�ÈqËPÅqë�wêÅÑRÃyí ÔqÃQÃ�ÑêÏ2Ã?É ÕRÃ\í Ï Õ�È�ÏaËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ°´�ü�µNÙ (Gü ³ ´ Ä<ÃBÒ���� � µNÙ�ËPÃ�Ñ�É2Ï2ÌjÈqÊÞÑ�É�Ï ÕRÅ{É2ÅÆ�Ê�Ñ�È�Ì ×èËjÕRÃ�Ê�ËPÅ{ÉTÏ2Ã?ËPÃqÌ Ì Å{É2Ý�Ã�Ñ�ÒìÏ2Ã�È�É È�Ï Ê�É2ÖF×BÊ�ÑRÔÇÈqÉ É ÊÐÔ�Ñ�Ä`Å{Ñ'Ï�ÃqÖfÏ2ÌNÍRÏ ÕäÛJÈqÎÞÍRÅ{ÉWÖDÃqÌ� ÈqËhËPÃqÌjÒ�Ê�ÑRÔ<Ï2ÃoÏ ÕRÅTÖFÃ�Î�ÎÐÃyí^Ê�ÑRÔ<É ËjÕ�Å{Ä<Å�xº ´ ¨ " µ ¯�� ãõÊÐÖÙ9 "�¯6� �]ë

à Ê�ÖÙ9�" ¯ f �]ì

�qü

Page 55: Number Theory.pdf

ã�ÕRÅQç�ÌjÉ2Ï Ð 9�"³Ì É�ËPÃqÌjÌ Å{É2Ý�Ã�Ñ�Ò Ï2ÃÓÈqÑ�ÈqÉ É ÊÐÔ�Ñ�Ä`Å{Ñ'ÏXÚWÏ ÕRÅQÌjÅ{Ä`ÈqÊ�Ñ�Ê�Ñ�Ô ü�ò 9�"_Ì ÉÇÈ�Ì ÅÈ{Û�ÈqÊ�Î�È�Æ�ÎÐÅÈqÉR¥¯Ý�ÈqÒ�Ò�Ê�ÑRÔ�¦bØ�Ï}í¬Ã:9 " Ì É�ÖDÃqÌ�Å{ÈqËNÕÿËhÎ�ÈqÍ�É2ÅÏ2ÃÇÆ�ÌjÊÞÑRÔ�ÊÐÏ Éó¥¯Û�ÈqÎ�ÍRÅ�¦�Í�ÝèÏ2ÃÈ<É2Ï ÈqÑ�Ò�È�ÌjÒ�ç�Ô�ÍRÌjÅ�Ê�Ö"Ï ÕRÅ�ËjÕRÃ�É2Å{ÑQÈqÉ É ÊÐÔ�Ñ�Ä`Å{Ñ'Ï*É È�Ï Ê�É2ç�Å{É�ÊÐÏhë§ã�ÕRÅ�ËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ Ê�Ã�ÑoÃ�ÑÇÏ ÕRÅ� f¥V × Õ�ÅPÜBÈqÒRÅ{ËhÊÞÄ`ÈqÎ�Ò�ÊÐÔ�ÊÐÏ$ÃqÖ�( ËPÃqÌjÌ Å{É2Ý�Ã�Ñ�Ò�É�Ï2ÃäÏ ÕRÅ�ËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ Ê�Ã�Ñ Ã�ÑÓÏ Õ�ű� f¥V ×ËhÎ�ÈqÍ�É2ÅTÃqÖ � ë

l¬ïBö ö À ? ûo� Â9Ä�Ä Ï ¼eÂ9Ä�Q Ï v � ¾ Â Ò Ï º4¿R»]º � ×� Òd¼ut§¾X½¡¾�¾���Â9Ä6¼�Ä Ï Ä�» � ÀżeÂe»�ºU»³Ò à qCqCq é MKT¿��S�c+�Z ÂBÍRÝ�Ý�Ã�É2ÅÇÏ ÕRÅhÌ Å?ÊÞÉ`ÈÿÉ2Ã�Î�Í�Ï ÊÐÃ�ÑÓÃqÖb´�©�©�©�µNë�ã�ÕRÅ{Ñ Æ9× Ï ÕRÅQÝ�Ì Å{ËPÅ{Ò�Ê�Ñ�Ô

ÎÐÅ{Ä`Ä`ÈBÙ�Ê�Ï*Ä�Í�É2Ï�ÆXÅ�ÃqÖ�Ï ÕRÅTÖFÃqÌjÄ

( ¯ = 7 G® "&¯ ­ 9 " ,�"�F­" ëí�ÕRÅhÌ Å�Å{ÈqËNÕ)9 " N ê)�]ë f ��í�ë ÄWÅhç�Ñ�ÅTÈ<Ï2ÌjÍRÏ Õ�Û�ÈqÎ�ÍRÅTÈqÉjÉ ÊÐÔ�Ñ�Ä<Å{ÑLÏ�Æ9׺ ´ ¨ " µ ¯ � ãõÊÐÖÙ9�" ¯6� �]ë

à Ê�ÖÙ9 "a¯ f �]ìwêÅ6É Õ�Ãyí ÑRÃ\í Ï Õ�È�Ï º É È�Ï Ê�É2ç�Å{ÉaÏ ÕRÅ`ÖFÃqÌjÄ�Í�Î�È � ë6à�Ì Ã�Ä ËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ ÊÐÃ�ÑQ´�ü�µ�ÃqÖd´�©�©�©�µNÙ(Rü ³ ´ Ä`Ã9Ò���� � µNÙ�É2Ã

= 7 G® "&¯ ­ 9�" , " F " f� 7 G®� ¯ ­ ��� � üÛ� ´ Ä<ÃBÒ���� � µ$ë

Ï ÕRÅhÌ ÅhÖFÃqÌ Å

Ñ 7 G® "&¯ ­ 9z"�»¼ � 7 G®� ¯ ­ $ " � ��� �2½¾ � � 7 G®� ¯ ­ ´Ý9 ÑÜJ ±Ý� � 9 Ñ J ±Ý� J G f �'µ���� � üÛ� ´ Ä`Ã9Ò�����µ$ë

Ï ÕLÍ�É � 7 G®� ¯ ­^¿À¿ Ñ 7 G® "&¯ ­ 9 " $ " �4Á � 9 ÑÜJ ±Ý� � 9 ÑÜJ ±Ý� J G f � Á ��� � üÛ� ´ Ä<Ã9ÒU��� � µ$ìå�ÅhÏ2Ï Ê�ÑRÔ

Ú � ¯ ¿ Ñ 7 G® "&¯ ­ 9 " $ " �4Á � 9 ÑÜJ ±Ý� � 9 Ñ J ±Ý� J G f �]ë�qþ

Page 56: Number Theory.pdf

í¬Å�ÑRÃqÏ2ÅaÏ Õ�È�Ï�÷ $ " � ÷ ¯ �aÖDÃqÌ^ÅPÜBÈqËPÏ ÎÐ×�Ï Õ�Ì ÅhÅaÛ�ÈqÎ�ÍRÅ{É�ÃqÖÙ��ÖFÃqÌ�Å{ÈqËjÕ��L´FÆ�Å{ËhÈqÍ�É2Å$Å{ÈqËjÕËhÎ�ÈqÍ�É2ÅËPÃ�Ñ'Ï ÈqÊÞÑ�ÉWÅPÜBÈqËPÏ ÎÐ×QÏ ÕRÌ ÅhÅÎ�ÊÐÏ2ÅhÌjÈqÎ�É6µNÙ�ÈqÑ�ÒèÅ{ÈqËjÕû9 " Ê�É�Å{ÊÐÏ ÕRÅhÌ7�aÃqÌ f ��Ù�É2Ã6ÖDÃqÌÅ{ÈqËjÕx�RÙ Ú � N � f �[ë2ý]�±ë~�^Å{Ñ�ËPÅ

� 7 G®� ¯ ­ Ú � ��� � üÛ� ´ Ä<ÃBÒ���� � µÊÐÖ1ÈqÑ�ÒÇÃ�Ñ�ÎÐ×ÇÊÐÖ

Ú � ¯ �ÖFÃqÌ � ¯ �§ë��]ëXìXìXì�ë¡ò f �]ìã�ÕRÅ�Ý�Ã�É É ÊÐÆ�ÎÐÅ^Û�ÈqÎ�ÍRÅ{É�ÃqÖ

Ñ 7 G® "&¯ ­ 9 " $ "È�Ì Åèþ[ë��]ë f �]ë f þ ËPÃqÌ Ì Å{É ÝXÃ�Ñ�Ò�Ê�ÑRÔìÌ Å{É2Ý�Å{ËPÏ ÊÐÛqÅ{ÎÐ×ØÏ2à þ9Ù�ü9Ùz��Ù¬ÃqÌoÑ�ÃÿÎ�ÊÐÏ2ÅhÌjÈqÎ�ÉÃqÖ8© �É È�Ï Ê�É2ç�Å{Ò?ÆL×6Ï ÕRÅaÈqÉ ÉjÊÐÔ�Ñ�Ä<Å{ÑLÏ º ë¬ã�ÕRÅ�Ã�Ñ�ÎÐ×�Ý�Ã�É É ÊÐÆ�Î�Å^Û�ÈqÎ�ÍRÅ{É�ÃqÖ

9 ÑÜJ ±Ý� � 9 ÑÜJ ±Ý� J G f �È�Ì Å��]ë f �]ë f þ9ÙfÉ2ÃäÊ�Ñ ÃqÌjÒRÅhÌ�Ï Õ�È�Ï Ú � ¯ �BÙ¦Ï ÕRÅÇÈqÉ É Ê�Ô�Ñ�Ä<Å{ÑLÏ�Ä�Í�É2Ï�É È�Ï Ê�É2ÖF×/É2Ã�Ä<ÅÎ�ÊÐÏ2ÅhÌjÈqÎ�Ê�Ñ�© � ÙRÉ2à º ÉjÈ�Ï Ê�É2ç�Å{ÉS© � ë¬ÂRÊ�Ñ�ËPÅ© � í�ÈqÉ�ÈqÑ�È�Ì Æ�ÊÐÏ2ÌjÈ�ÌjÊ�Î�×ËNÕRÃ�É2Å{Ñ?ËhÎÞÈqÍ�É2ÅqÙ ºÉ È�Ï Ê�É2ç�Å{É�Ï ÕRÅTÖFÃqÌjÄ$Í�Î�È � ë

á�Ã�ÑLÛqÅhÌjÉ2Å{ÎÐ×qÙ�É Í�Ý�Ý�Ã�É2Å�Ï Õ�È�Ï � Ê�ÉoÉ È�Ï ÊÞÉ2ç�È�Æ�ÎÐÅqÙ*ÈqÑ�Ò ÎÐÅhÏ º Æ�ÅQÈqÑL×ÓÉjÈ�Ï Ê�É2ÖF×9Ê�Ñ�ÔÈqÉ É ÊÐÔ�Ñ�Ä`Å{Ñ'Ïhëfà�ÃqÌ�� ¯ �§ë��]ëXìXìXì*ë Ð�f �TÒ�Åhç�ÑRÅ

9�" ¯ � � �TÊÐÖ º ´ ¨ " µ ¯ ãf �TÊÐÖ º ´ ¨ " µ ¯ à~ì

ã�ÕRÅ{Ñ�ÖFÃqÌ�Å{ÈqËjÕ� ¯ �§ë��]ëXìXìXì*ë¡ò f ��í¬ÅTÅhÛ�ÈqÎ�Í�È�Ï2Å

Ñ 7 G® "&¯ ­ 9 " $ " � ìã�Õ�Ê�É�Ä$Í�É Ï�Æ�Å�þ[ë��]ë2ÃqÌ f �¦Æ�Å{ËhÈqÍ�É Å º É È�Ï ÊÞÉ2ç�Å{É1É2Ã�Ä<Å*Î�ÊÐÏ2ÅhÌjÈqÎLÊ�Ñ\© � Ù�É Ãs9�" $ " � ¯ �¬ÖDÃqÌÉ2Ã�Ä<Å!�jë6ã�Õ�Å{ÑÿÌ Å{É2Ý�Å{ËPÏ ÊÐÛqÅ{Î�×ìËNÕRÃLÃ�É ÅÍ´ 9 ÑÜJ ±Ý� ëÍ9 Ñ J ±Ý� J G µWÏ2ÃèÆXÅÍ´ f �]ë f �'µNÙ�´³�]ë f �'µNÙÃqÌ ´³�]ë��'µ�ÊÞÑÇÃqÌjÒRÅhÌ�Ï Õ�È�Ï

Ú � ¯ ¿ Ñ 7 G® "&¯ ­ 9 " $ " Á � 9 ÑÜJ ±Ý� � 9 Ñ J ±Ý� J G f � ¯ �§ì�Jý

Page 57: Number Theory.pdf

ã�ÕRÅ{Ñ�í�ÅaÕ�ÈyÛqÅ

( ¯ = 7 G® "&¯ ­ 9z" , " F "É È�Ï Ê�É2ç�Å{É�ËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ�Ér´³�'µ*ÈqÑ�ÒU´�þ�µ�ÃqÖÉ´�©�©v©¡µ¬Æ9×�Ï Õ�ÅTÝ�Ì Å{ËPÅ{Ò�ÊÞÑRÔ<ÎÐÅ{Ä`Ä`ÈBÙ�ÈqÑ�Ò

( f ³ ü � 7 G®� ¯ ­ Ú � ��� � ´ Ä`Ã9Ò���� � µ$ëÖDÌ Ã�Ä È�ÆXÃ\ÛqÅqÙ

( f ³ üO� ´ Ä<ÃBÒ���� � µ$ìã�ÕLÍ�ɼ(èÉ È�Ï ÊÞÉ2ç�Å{É�ËPÃ�Ñ�Ò�ÊÐÏ ÊÐÃ�Ñ�´�ü�µ*ÈqÑ�Ò?Ï ÕRÅhÌ ÅhÖFÃqÌ ÅaÊ�É�È`É Ã�Î�ÍRÏ ÊÐÃ�ÑÇÃqÖ¹´�©�©�©�µNë

Oã�ÃêËPÃ�Ñ�ËhÎÞÍ�ÒRÅoÏ Õ�Å�Ý�ÌjÃLÃqÖ�ÃqÖ�Ï Õ�Å�Ï ÕRÅhÃqÌjÅ{Ä�Ù¦ÊÐÏÊ�É$Ñ�ÃqÏ�Ò�ÊÝÕoËhÍ�ÎÐÏTÏ2ÃìÛqÅhÌjÊÐÖF×êÏ Õ�È�Ï

ïcë�£�ë�¤ Ä`È{×êÆ�Å`ËPÃ�Ñ�É Ï2ÌjÍ�ËPÏ2Å{Ò/ÊÞÑêÝ�Ã�ÎÐ×9Ñ�Ã�Ä`Ê�ÈqÎ�Ï Ê�Ä<Å<ÖFÌ Ã�Ä Ï ÕRÅ`ÖFÃqÌjÄ$Í�Î�È � ØìÏ ÕRÅÝ�ÌjÊ�Ä<Å{É�È�Ì Å�É Ä`ÈqÎÞÎ/´FÏ Õ�Åh×�Ä`Èy×oÆ�Å^Ï È]�qÅ{Ñ?Ï2Ã<ÆXÅWÏ ÕRÅWç�ÌjÉ2Ï F Ý�ÌjÊ�Ä`Å{ÉfÅPÜRËPÅhÅ{Ò�Ê�ÑRÔR����µNÙÈqÑ�Ò�Ï ÕRŦÌjÅ{É2Ï�ÒRÅhÝ�Å{Ñ�Ò�ÉXÃ�ÑaËPÃ�Ä`Ý�ÍRÏ Ê�ÑRÔ*Ô�ËhÒ"Ù�Ê�ÑLÛqÅhÌjÉ2Å{ÉhÙJÈqÑ�Ò�Ï ÕRŬá�Õ�Ê�ÑRÅ{É2ŧâ�Å{Ä`ÈqÊ�Ñ�ÒRÅhÌã�ÕRÅhÃqÌ Å{Ä�ë©%Ï�Ê�É*ÈqÎ�É2Ã<ËhÎÐÅ{È�Ì*Ï Õ�È�Ï>¤ ÊÞÉ�ÉjÍ�ËjÕÇÏ Õ�È�Ï�ÊÐÏ É�Ö ÈqËPÏ2ÃqÌjÊ|{{È�Ï ÊÐÃ�ÑQÄ`È{×�ÆXÅWÔ�ÊÐÛqÅ{Ñ´FÃqÌ�ÖFÃ�Í�Ñ�Ò�Ê�ÑÇÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎXÏ Ê�Ä`Å&µ¬í�ÊÐÏ ÕRÃ�ÍRÏ�È�Ó�Å{ËPÏ Ê�ÑRÔoÏ ÕRÅ�Ì Å{É Í�Î�Ïhë O

���

Page 58: Number Theory.pdf

� > � tH�d 7�½DM�v�Jq±?B���ä�� �� è� 7qÄà è¹pa �uv @?©fÈqÄ.Õ�È�Ý�Ý9×<Ï2Ã�ÈqËv�9ÑRÃ\í�ÎÐÅ{ÒRÔqÅ�Ä$×oÊ�Ñ�Ò�ÅhÆ�Ï2Å{Ò�ÑRÅ{É ÉfÏ2Ã�Ë�È�Ì ×3�èÊ�Î�ÎÐÅh̬ÖDÃqÌ*Ä`ÈqÑL×oÕRÃ�ÍRÌjÉÃqÖ�Å{Ñ�Î�Ê�Ô�Õ'Ï2Å{Ñ�ÊÞÑRÔèËPÃ�ÑLÛqÅhÌjÉ È�Ï ÊÐÃ�Ñ Ã�Ñ Ï Õ�Å{É2ÅÇÏ2ÃqÝ�Ê�ËhÉí�ÕRÅ{Ñ í�Å6Æ�ÃqÏ ÕØí�ÅhÌ ÅÇÔqÌjÈqÒ�Í�È�Ï2ÅÉ2Ï Í�ÒRÅ{ÑLÏ ÉTÈ�Ïg��ÅhÌ��qÅ{Î�Åh×qÙ1ÈqÑ�ÒêÈ�ÖFÏ2ÅhÌ{ëó�QÈqÑ9ÍRÅ{ÎJ�*Î�Í�Ä�Ì É�Å{Ñ'Ï Õ9Í�É Ê�ÈqÉ Ï Ê�Ë<ÈqÑ�ÒêÌ ÅhÝ�Å{È�Ï2Å{ÒÊ�Ñ�É Ê�É Ï2Å{Ñ�ËPÅ�Ê�É§Ï ÕRÅ�Ì Å{ÈqÉ2Ã�Ñ3©�Õ�È{ÛqÅ^Í�Ñ�ÒRÅhÌ Ï È]�qÅ{ÑoÏ2ÃaÄ`È]�qÅ�Ï Õ�Å{É2Å^ÑRÃqÏ2Å{É�ÈTÄ<ÃqÌjÅ�ÈqËhËPÅ{ɯÚÉ ÊÐÆ�ÎÐÅ�Ï Õ�ÈqÑäÏ ÕRÅh×ìí�ÅhÌ Å<Ý�Ì ÅhÛBÊÐÃ�Í�É Î�×qëaâ�Å{É2Ý�Ã�Ñ�ÉjÊÐÆ�Ê�Î�Ê�Ï�×ÇÖDÃqÌaÏ ÕRÅ�´ Ê�ÑRÅhÛBÊÐÏ È�Æ�ÎÐÅ`öµÿÅhÌ Ì ÃqÌjÉÊ�É�Ä`Ê�Ñ�Å�ÈqÎ�Ã�ÑRÅqÙ�ÕRÃ\í¬ÅhÛqÅhÌ{ë

ã�ÕRÅ{É2ÅTÑ�ÃqÏ2Å{É*í¬ÅhÌ Å�ÃqÌNÊÐÔ�Ê�Ñ�ÈqÎ�Î�×<Ý�Ì ÅhÝ�È�Ì Å{ÒÇÈqÉ�Ý�È�Ì Ï*ÃqÖ�Ï ÕRÅ�Ý�Ã�É2Ï2ÔqÌjÈqÒ�Í�È�Ï2ÅTËPÃ�ÍRÌjÉ2ÅÊ�Ñ��^Ì Ï ÊÐç�ËhÊ�ÈqÎa©¯Ñ'Ï2Å{ÎÞÎ�ÊÐÔqÅ{Ñ�ËPÅÈqÑ�Òêá�Ã�Ä<Ý�ÍRÏ2ÅhÌTÂBËhÊÐÅ{Ñ�ËPÅ�È�Ï�ßfÒ�Ê�Ñ'Æ�ÍRÌ Ô�Õ��WÑ�ÊÐÛqÅhÌjÉjÊÐÏ�×?Ê�Ñ����Î�ÎyÚ Î]�9Ù�ÈqÑ�ÒoÈ�ÌjÅ^ËhÍRÌ ÌjÅ{Ñ'Ï ÎÐ×ÌjÈ�Ï Õ�Åh̬Ã�ÍRϬÃqÖ"Ò�È�Ï2Åqëfã�ÕRÅh×<ËPÃ�ÑLÏ ÈqÊ�Ñ6ÑRÃaÏ2Ì Å{È�Ï Ä`Å{Ñ'Ï�ÃqÖÖFÈqËPÏ2ÃqÌjÊÝ{{È�Ï ÊÐÃ�Ñ"Ù�ÈqÑ�ÒÇÑRÃÈqËhËPÃ�Í�ÑLÏ�ÃqÖ�Ï ÕRÅ�í�ÃqÌ��`ÃqÖ*�WÒ�ÎÐÅ{ÄoÈqÑ"Ù9â^Í�Ä<Å{ÎÐ×qÙBÈqÑ�Òóy1Ã�Ä<ÅhÌ2ÚÈqÑ�ËPÅaÃ�ÑQÏ2Å{É2Ï Ê�ÑRÔ`Ý�ÌjÊ�Ä`ÈqÎ�Ê�Ï�×qÙ�ÑRÃqÌ^ÃqÖ/�WÒ�ÎÐÅ{ÄoÈqÑSÌ É�í�ÃqÌ��ÇÃ�Ñ?Ï ÕRÅ$Ò�Ê�É ËPÌ ÅhÏ2Å$ÎÐÃqÔ�È�ÌjÊÐÏ Õ�ÄÝ�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{Ä?ëìã�Õ�ÅhÌ Å6È�ÌjÅ6ÒRÃ�Í�Æ�Ï ÎÐÅ{É É�Ä`ÈqÑL×/ÃqÏ ÕRÅhÌÏ2ÃqÝ�Ê�ËhÉ�Ï Õ�È�Ï<É Õ�Ã�Í�Î�ÒÿÆ�ÅÇÊ�Ñ�ËhÎ�Í�ÒRÅ{ÒÖDÃqÌ�ÈÇËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅhÏ2ÅÏ2Ì Å{È�Ï Ä`Å{Ñ'ÏhÙ�ÈqÑ�ÒäÄ`ÈqÑL×?Ý�ÎÞÈqËPÅ{É^í^ÕRÅhÌ Å�Ï ÕRÅ�ËhÍ�Ì Ì Å{ÑLÏ^Ï2Ì Å{È�Ï Ä`Å{Ñ'ÏTÊ�ÉÊ�Ñ�ÈqÒRÅ{é9Í�È�Ï2ÅqëÊ©Wí�Ã�Í�Î�ÒÿÆXÅ`Õ�È�Ý�ÝL×äÏ2ÃèÌ Å{ËPÅ{ÊÐÛqÅ�ÈqÑL×êÉ ÍRÔqÔqÅ{É2Ï Ê�Ã�Ñ�ÉTÃqÌ�ËPÃ�Ä`Ä<Å{ÑLÏ ÉaÃ�ÑÏ ÕRÅaÑRÃqÏ2Å{Éhë

���

Page 59: Number Theory.pdf

��� � ���Ê�� 7qbu³�( ��¤7pS�J�å��è�E������M��éU�Ê��DÛ�JpS�Å�Æ1Ç X8X X Q R T m _ � [ l X�Z

X X X X X X X X X X XQ Q T [ m X�Z l � R _ XR R l m T X R l m T XT T m l R X T m l R Xm m R T l X m R T l X_ _ R � l X�Z m [ T Q X� � m Q R X�Z T _ l [ X[ [ l _ T X�Z R Q m � Xl l T R m X l T R m XX�Z X'Z X X'Z X X�Z X X'Z X X'Z XÅ�Æ1Ç X�m X Q R T m _ � [ l X'Z X8X X�Q X�R X�TX X X X X X X X X X X X X X XQ Q T [ X Q T [ X Q T [ X Q TT T X T X T X T X T X T X T X� � T X�R X � T X�R X � T X'R X � T[ [ T Q X [ T Q X [ T Q X [ TX8X X8X X XSX X X8X X XSX X X8X X X8X X XSX XX'R X'R T � X X'R T � X X'R T � X X�R TX�T X�T X X�T X X�T X X�T X X�T X X�T X X�T X

Å�Æ1Ç l X Q R T m _ � [X X X X X X X X XQ Q T [ � m X Q TT T � X T � X T �m m � [ T Q X m �� � T X � T X � T[ [ X [ X [ X [ X

��Î

Page 60: Number Theory.pdf

© �Jé��JpS�� 7t������6�$å¦ë&�^Ò�Î�Å{Ä`ÈqÑTÈqÑ�Òg�<ë&�èÈqÑ�ÒRÅhÌjÉhë�â�Å{Ò�Í�ËhÊÐÆ�Ê�Î�ÊÐÏ}×qÙhÌjÈqÑ�ÒRÃ�Ä`Ñ�Å{É ÉhÙ\ÈqÑ�ÒaÊ�ÑLÏ2ÌjÈqËPÏ È�Æ�Ê�ÎÐÚ

ÊÐÏ}×që�©%Ñ�È ¼ut M �HGÉ� ×]ÑBÜÅ»�Ä$Â�À§Ñä»]º � t§¾�»�½$×W»³Ò � »]Ñ�Ü4ÀżeÂ9º[Ð Ù�Ý�È�ÔqÅ{É7���§�$Ø4���qþ9ë��á¹�/Ù�����Î�ÎLë

� ü&�$å¦ëk�WÒ�ÎÐÅ{ÄoÈqÑ?ÈqÑ�ÒR�<ëc�èÈqÑ�ÒRÅhÌjÉ{ë¦â�Å{Ò�Í�ËPÏ Ê�Ã�Ñ�É*Ï Õ�È�Ï�Î�Ê�Åqë�©¯Ñ æ�Ê�¼ut q w�w�w � ×]Ñ@{ܧ»�Ä6Â9À§Ñ »]º £ »]À§º4¿ Ï ¼eÂe»]ºkÄ�»¡Ò � »]Ñ�Ü4Àż®¾X½ � Á�ÂþXº4Á$¾ Ù�Ý�È�ÔqÅ{É?þ���Î�Ø'ýk�X�BëB©%߬ßfß�Ù����Î]�9ë

� þ&�$å¦ë��WÒ�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ�Ù��<ë]�èÈqÑ�ÒRÅhÌNÉhÙ'ÈqÑ�ÒbË�ë��èÊ�Î�ÎÐÅhÌ{ëc��Ñ�Ï È]�BÊ�ÑRÔ�Ì Ã9ÃqÏ É§Ê�Ñ$ç�Ñ�ÊÐÏ2Å�ç�Å{Î�Ò�É{ë©¯Ñ å1Ë�¼ut q w�w�w � ×�Ñ�ܧ»]Ä$Â�À[Ñä»�º £ »]À§º4¿ Ï ¼eÂe»]ºkÄ�»³Ò � »]Ñ�Ü4Àż®¾�½ � Á�ÂþXº4Á$¾ Ù�Ý�È�ÔqÅ{É�'Î]�'Ø4�'Î�ÎLë�©%߬ßfß�Ùa����Î�ÎLë

� ý]�g�$ë&��ë��^ÕRÃRÙ�æ�ëJß�ë��^ÃqÝ"ËPÌ ÃqÝ�ÖFÏhÙ�ÈqÑ�Ò�æ�ë'Ä�ë]�^Î�ÎÞÄ`ÈqÑ"ë � tž � ¾6Ä6Â�Ð�º Ï º4¿ M º Ï � ×�Ä$Â9Ä»³Ò � »�ÑBÜ�À§¼®¾X½ Mõ� Ð)»�½$Âe¼ut)Ñ Ä ë��^Ò�Ò�Ê�É2Ã�ÑBÚÔwêÅ{É Î�Åh×qÙ�â�Å{ÈqÒ�Ê�Ñ�ÔRÙc�QÈqÉ É{ëÐÙ�����Î\ýRë

���&�$ß�ë�âTë4��ÅhÌjÎ�ÅX�JÈqÄ<Ý�ë¬à�ÈqËPÏ2ÃqÌjÊÞÑRÔoÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎÞÉ*ÃyÛqÅhÌ�Î�È�Ì ÔqÅTç�Ñ�ÊÐÏ2ÅTç�Å{Î�Ò�Éhë�G�Ï ¼utU{¾�Ñ Ï ¼eÂÃÁ�Äg»¡Ò � »]Ñ�Ü4Àż Ï ¼eÂû]º Ù"üJýÅx¶Î[�{þ'اÎ�þ��9ÙJ����Î��Bë

���&�$âTë½Ä$ë*á*È�ÌjÄ`Ê�ËNÕ�È�Å{Î�ë;��Ñ ËPÃ�Ä`ÝXÃ�ÉjÊÐÏ2ÅQÑ9Í�ÄaÆ�ÅhÌjÉí^Õ�Ê�ËjÕ ÉjÈ�Ï Ê�É2ÖF× Ï ÕRÅèàRÅhÌjÄ`È�ÏËPÃ�ÑRÔqÌjÍ�Å{Ñ�ËPÅqë M Ñ�¾�½6ÂÃÁ Ï º G�Ï ¼ut§¾�Ñ Ï ¼eÂÃÁ Ï � G »�ºc¼ut � × Ù����[x°üqü'Ø9ü�ÎLÙ���§�{ü9ë

�¨Î'� �/ë�âTë"Ë�È�Ì Åh×<ÈqÑ�Ò±Ä�ëLÂXë'æ�Ã�Õ�Ñ�É2Ã�Ñ�ëO� »]Ñ�Ü4Àż®¾�½$Ä Ï º4¿ q ºc¼e½ Ï Á'¼ Ï v� � Âe¼e× ��Ï(Ì À§Âÿ)¾¼Ô»Ê¼ut§¾ � t§¾v»]½$×�»³Ò á�� { � »]Ñ�Ü � ¾X¼®¾Xº�¾6Ä$Ä ëfàRÌjÅhÅ{Ä`ÈqÑ"Ù*����Î]�9ë

���&��æRëÉË�Ê�Î�Î�ë á�Ã�Ä`Ý�ÍRÏ È�Ï ÊÐÃ�Ñ�ÈqÎ�ËPÃ�Ä`Ý�ÎÐÅPÜRÊÐÏ�×ØÃqÖ�Ý�Ì ÃqÆ�È�Æ�ÊÞÎ�Ê�É2Ï Ê�Ë�ã�Í�ÌjÊ�ÑRÔêÄ`ÈqËNÕ�Ê�ÑRÅ{Éhë� q M G � M�� »]Ñ�Ü4Àż MÞÙ��[xû��Î]�'Ø[�����9Ù����Î�ÎLë���&��Ä�ë9ß�ë)�TÑ9ÍRÏ Õ"ë � t§¾ M ½6¼»³Ò � »]Ñ�Ü4Àż®¾�½ � ½¡»�Ð�½ Ï Ñ7Ñ7Â9º[Ð �\Í » � M qCq �K� ¾XÑ Â�ºkÀ§Ñ�¾�½²{

ÂÃÁ Ï �sMs� Ð"»]½$Âe¼ut)Ñ Ä ë��^Ò�Ò�Ê�É2Ã�ÑBÚÔwêÅ{ÉjÎÐÅh×qÙ�â�Å{ÈqÒ�ÊÞÑRÔRÙ4�èÈqÉ ÉhëÐÙ��������9ë���X��� �<ëg�èÈqÑ�ÒRÅhÌNÉ/ÈqÑ�Ò åfëd�WÒ�ÎÐÅ{Ä`ÈqÑ"ë }�y¦Ú�ËPÃ�Ä<Ý�ÎÐÅhÏ2Å�ÒRÅ{ËhÊ�É ÊÐÃ�Ñ Ý�Ì ÃqÆ�ÎÐÅ{ÄoÉäÖDÃqÌ

é9Í�ÈqÒRÌjÈ�Ï Ê�ËìÝ�Ã�ÎÐ×BÑRÃ�Ä`Ê�ÈqÎÞÉhë ©%Ñ Ë)¼ut M ºcºkÀ Ï ��M �HG � ×]Ñ�ܧ»�Ä6Â9À§Ñ »]º � t§¾�»�½$×»³Ò � »�ÑBÜ�À§¼eÂ�º"Ð Ù�Ý�È�ÔqÅ{ÉWüqþ'Ø9ü��9ë���á¹�/Ù�����Î]�9ë

�����6��Ë�ëÅ�QÊÞÎ�ÎÐÅhÌ{ë"â�Ê�Å{Ä`ÈqÑ�ÑSÌ É�Õ'×9Ý�ÃqÏ ÕRÅ{É Ê�ɬÈqÑ�Ò�Ï2Å{É2Ï É�ÖDÃqÌ�Ý�ÌjÊ�ÄoÈqÎ�ÊÐÏ�×që � MR� »�ÑBÜ M@� ×&Ä M� Á� MÞÙa�{þ[x°þ]���&Ø9þ§�'ÎLÙJ����Î]�9ë���{ü&�g©Yë§}WÊÐÛqÅ{ÑÇÈqÑ�Òó�$ë�Â�ëÅ��Í�Ë��qÅhÌjÄ`ÈqÑ�ë M º q ºc¼e½³»'¿]ÀkÁ�¼eÂû]º�¼Ô»�¼ut§¾ � t§¾v»]½$×ó»³Ò á À§Ñ@{vv¾X½vÄ ë¬æqÃ�Õ�ÑRw�ÊÞÎÐÅh×�ÈqÑ�ÒìÂ9Ã�Ñ�ÉhÙk}$ë�ÎëÐÙ������]�Bë���{þ&�g��ë�yfÌjÈ�Ï2ÏhëèßfÛqÅhÌ ×ÿÝ�ÌjÊÞÄ<ÅoÕ�ÈqÉ�ÈèÉjÍ�ËhËhÊ�Ñ�ËPÏ�ËPÅhÌ Ï ÊÐç�ËhÈ�Ï2Åqë�� q M G � MÀ� »]Ñ�Ü4Àż M�Ù

ýÅx°ü§�Pý�Ø9üqü]�BÙJ����Î]�9ë

���

Page 61: Number Theory.pdf

���Pý]��âTë�Â9Ã�Î�ÃyÛ�È{× ÈqÑ�Ò���ë�Â9Ï2ÌjÈqÉ É2Å{Ñ�ëM��Ö ÈqÉ2Ï��QÃ�Ñ'Ï2ÅPÚ%á*È�ÌNÎÐÃÓÏ2Å{É2Ï�ÖDÃqÌÇÝ�ÌNÊ�Ä`ÈqÎ�ÊÐÏ}×që� q M G � M�� »]Ñ�Ü4Àż MÞÙ��[xû�Jý�Ø[���9Ù/����Î�ÎLë�����&�g©Yë4�ÿëÅ��Ê�ÑRÃqÔqÌNÈqÒRÃyÛXë w � ¾�Ñ�¾Xºc¼�Äg»³Ò á À§ÑGv$¾�½ � tž�»]½6× ë½ÄWÃyÛqÅhÌ{Ù�}aë�Î�ëÐÙ������JýRë

���