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NUMERATION au cycle IINUMERATION au cycle IINOMBRES, CALCULS et PROBLEMES NOMBRES, CALCULS et PROBLEMES
Etude de quelques questions d’enseignementEtude de quelques questions d’enseignement
Patrick WIERUSZEWSKIPatrick WIERUSZEWSKIPatrick WIERUSZEWSKIPatrick WIERUSZEWSKI
Université Orléans, IUFM-ESPE CVL, BLOIS
Département Disciplinaire de Formation en Département Disciplinaire de Formation en
MATHEMATIQUESMATHEMATIQUES
BLOIS II et BLOIS IV, IUFM CVLIUFM CVL, site de BLOISsite de BLOIS. Décembre 2011
CONTRES, Mars 2014
Une friandisefriandise pour commencer ! ANATOLEANATOLE et sa vieille guimbardevieille guimbarde.
Anatole et sa vieille guimbardeguimbarde (âgée de plus de huit ans :
finie la prime à la casse !) « PIM, PAM, POUM ».
La voiture d'Anatole possède un (très) vieux compteur
kilométrique qui marque uniquement des nombres à trois
chiffres. Ce compteur fait des bruits « zarrbis » à chaque
kilomètre parcouru, c'est à dire, chaque fois qu'un chiffre
apparaît sur le compteur.
● Il fait PIM à chaque changement du chiffre de droite.
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● Il fait PIM à chaque changement du chiffre de droite.● Il fait PAM à chaque changement de chiffre du milieu.● Il fait POUM à chaque changement du chiffre de gauche.
Anatole va faire une promenade en guimbardeguimbarde et met
son compteur à zéro au départ. A son retour, son compteur
indique 247km.
Question : combien de bruits Anatole a-t-il entendupendant sa promenade ? Proposer un prolongement (328, 742)
Parti pris « théorique » pour cette animationParti pris « théorique » pour cette animation--interventionintervention
1) Approche de type « constructiviste » :� Apprentissage par adaptation ;
� Apprentissage dans le cadre de l'école : rôles des « pairs »
et rôle du PE, ...
2) Entrée (résolument) « didactique » :
� Analyse des contenus à enseigner ;
� Analyse des relations entre enseignementenseignement et
apprentissageapprentissage ;
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apprentissageapprentissage ;
� Analyse de manuels et fichiers, analyse de productions
des élèves, des « préparations » du PE, ...
� Utilisation de modélisations de phénomènes
d'enseignement : TSD, TAD, ... (Cf. conférence MERMER).
PLANPLAN et SOMMAIRESOMMAIRE : donné à l’oral…
Une petite incursion du côté des PROGRAMMESPROGRAMMES
RupturesRuptures et ContinuitésContinuités, sur le thème d’aujourd’hui !
En 2002. 1) « FaireFaire desdes mathématiquesmathématiques », c'est
résoudre des problèmes. (...)
2) Qui dit « CALCULCALCUL » dit : « Calcul Posé, CalculInstrumenté, Calcul Mental ». (...)
En 2007. Premier « infléchissement » des programmes
2002, le « point-fort » : le quart d’heure quotidien consacré au
Calcul Mental. (…)
En 2008. Certes , l’accent mis sur la « résolution de
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En 2008. Certes , l’accent mis sur la « résolution de
problèmes » est réaffirmé (un commentairecommentaire dans le bandeau
présentant chacun des quatre domaines) ; cependant ce qui prime,
ce sont les « fondamentaux », et ce, dès lele cyclecycle IIII.Il convient alors de les préciser.
1) Des « automat(h)ismes » à faire pratiquer plus tôt.
2) Des apprentissages avancés (dans le domaine numérique) :
Addition et Soustraction posées ; Tables de multiplication
de 2, 3, 4 et 5 ; du partage à la division au CE1. (…)
Remarque PW : ce qui relève de la NUMERATIONNUMERATION semble donc
minoré minoré voire «« cachécaché »».
Pas aussi simple de s'y retrouver !Pas aussi simple de s'y retrouver !
Justement, « ya-ti » pas un « bug » ou alors la conférence est
terminée ? Quand même !
Au cycle II. (…) ≪ Les élèves apprennent la numérationnumération
décimaledécimale inferieure à 1000. Ils dénombrentdénombrent des collections,
connaissentconnaissent la suite des nombres, comparentcomparent et rangentrangent ≫.
(…)
≪
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≫
(…)
Au cycle III. (…) ≪ Principes de la numérationnumération
décimaledécimale dede positionposition : valeurvaleur des chiffres en fonction de leur
position dans l’écriture des nombres ; désignationdésignation oraleorale etet
écritureécriture en chiffres et en lettres ; comparaisoncomparaison et rangementrangement
(…) ; relationsrelations arithmétiquesarithmétiques entre les nombres d’usage
courant ≫. (…)
N’a-t-on pas besoin des compétences du cycle III pour développer, puis acquérir celles du cycle II ?
Annexe 1Annexe 1
La nécessité de la maîtrise du calculcalcul (« savoirsavoir comptercompter »)
est aussi inscrite dans le troisième pilier du SCCCSCCC. Les
programmes de 2008 lui reconnaissent une place centrale, au
cycle II, au cycle III, et tout autant au collège.
D’où les questions professionnelles suivantes :
� Comment construire « l’idée » ou la « notion » de
NOMBRENOMBRE du cycle I au cycle II ?
� Que doit-on enseigner dans le domaine de la numérationnumération
au cycle II et quelles articulations avec le cycle III ?
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au cycle II et quelles articulations avec le cycle III ?
� Qu’est ce calculercalculer, à notre niveau ?
� Quelles « entrées » pour «« fairefaire »» du calculcalcul : quelles
modalités ? Pourquoi « faire faire » ou plutôt enseignerenseigner les
modalités de calcul usuelles ou pas ?
� Avec quels objectifsobjectifs, tant du côté dit « pratiquepratique » que de
celui dit de « théoriquethéorique » ?
� Quid des évaluationsévaluations institutionnelles (CE1 et CM2) ? Et
des évaluationsévaluations départementales ? (…)
COMPLEMENTS THEORIQUES sur la NUMERATNUMERATIONION :
l’essentiel et l’incontournable ! Première partie.
DONNER du SENS au CONCEPT de NOMBRENOMBRE : les
dimensions ordinales et cardinales.
� L’aspect cardinalcardinal permet de répondre à la question :
COMBIENCOMBIEN ? On cherche à quantifier une collection par un
C’est parti. L’essentiel de ce qui va être présenté concerne
donc plutôt les classes de CPCP et de CECE1, sans négliger l’apport de la
MaternelleMaternelle, bien évidemment !
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COMBIENCOMBIEN ? On cherche à quantifier une collection par un
nombre.
� L’aspect ordinalordinal permet de répondre à la question : quelquel
RANGRANG ? On cherche à repérer un « objet » dans une file. On va
alors s’intéresser à la COMPARAISONCOMPARAISON, puis au RANGEMENTRANGEMENT,
…
� Comment interagissent ces deux aspects ? Question
cruciale pour le PE ! Ce n’est pas aussi facile !
Des QUESTIONS encore OUVERTESDes QUESTIONS encore OUVERTES
1. Le NOMBRENOMBRE est-il INNEINNE ou ACQUISACQUIS ? EXPERIENCEEXPERIENCE vs
SENSIBILITESENSIBILITE ! Débat : PW ne se prononce pas, zut…
2. Le NOMBRENOMBRE est-il d’abord CARDINALCARDINAL ou ORDINALORDINAL ?
« ClasseClasse dede classesclasses » = cardinalcardinal ou « ClassesClasses dede
relationsrelations » = ordinalordinal.
Exemple absolument nécessaire. Bon d’accord !On compte les pattes d’un chien. Admettons. CombienCombien ? « Quatre »,
ce nombre désigne la quantité de pattes. Oui, mais why ? C’est
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ce nombre désigne la quantité de pattes. Oui, mais why ? C’est
aussi le nombre de pattes d’un chat, d’un cheval, … et on
considère alors cette « quantité » comme une collectioncollection « d’objets »
équivalents : un paquetpaquet, même si une patte est plus courte ou mal
foutue ! On s’intéresse donc à tous les paquets « identiques » : on
associe, une à une, une patte de chien avec une patte de chat. On
« arrive » alors à quatre.
EnEn fait,fait, lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un chienchien etet lele nombrenombre dede pattespattes
d’und’un chat,chat, lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un chevalcheval sontsont d’abordd’abord
égauxégaux entreentre eux,eux, avantavant d’êtred’être égauxégaux àà quatrequatre !!
Deuxième entrée.Pour arriver à dire qu’un chien possède quatre pattes, on ordonne
les pattes comme sont ordonnés les nombres de la comptine : il y
a la première, la deuxième, ... Autrement dit, on crée une relationrelation
entre les pattes du chien, indépendamment du choix de la
première patte et des autres et la suite ordonnée des nombres. En
conséquence, toutes les relationsrelations sont équivalentes, il y aura
toujours une quatrième patte, même mal foutue !, sans une
cinquième !
DansDans cettecette deuxièmedeuxième approche,approche, lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un
chienchien etet lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un chatchat etet lele nombrenombre dede
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chienchien etet lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un chatchat etet lele nombrenombre dede
pattespattes d’und’un chevalcheval sontsont d’abordd’abord chacunchacun égauxégaux àà «« quatrequatre »»
avantavant d’êtred’être égauxégaux entreentre euxeux..
3. Enfin, le développement de la TechnologieTechnologie et des SciencesSciences
CognitivesCognitives ont ouvert de nouvelles perspectives de
recherche et posent de nouvelles questions, sans répondre
aux deux précédentes : il y a encore du boulot ! Se
documenter… Item non ouvert aujourd’hui.
TACHETACHE 11 : on veut comparer deux collections du point
de vue de leur quantité.
ANALYSEANALYSE etet RESOLUTIONRESOLUTION dede lala TACHETACHE.
� Les deux aspects sont mobilisés en même temps. En effet,
l’aspect cardinal intervient par définition, mais l’aspect ordinal
intervient aussi, puisqu’il s’agit de « situer » les deux quantités
l’une par rapport à l’autre.
TACHETACHE 22 : on veut repérer la position d’un « objet » dans
une liste numérique ou une file numérique. Prolongement : la
problématique du repéragerepérage (dans le plan ou sur un axe) ! (Elle
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problématique du repéragerepérage (dans le plan ou sur un axe) ! (Elle
est DOUBLE : problème du codage et du décodage d’une position et
d’un chemin…)
ANALYSEANALYSE etet RESOLUTIONRESOLUTION dede lala TACHETACHE.
� La question : l’aspect ordinalordinal est-il le seul aspect convoqué
dans cette tâche ? Pas nécessairement ! Exemple : celui des
stylos du fichier de la Maternelle. Si « sept » est le nombre qui
permet de repérer le stylo qui est au septième rang, c’est que
dans la file, on a comptécompté, puis dénombrédénombré (explicitement ou
pas), qu’il y avait six stylos avant le septième ! (Cf. Brissiaud).
Une « situationsituation » dite de référence permettant aux élèves
de construire le NOMBRENOMBRE en tant qu’idée de la QUANTITEQUANTITE
(dimension cardinale). ERMEL.
TACHETACHE : construire une collection ayant autant
d’éléments qu’une collection de référence donnée.
«« EMBLEMEEMBLEME »» : la situation dite des « gommettesgommettes ». « Tu
dois aller chercher juste ce qu’il faut de … pour …, pas plus,
pas moins, en un seul voyage ». (ERMEL et INRP…).
Quelques VARIABLESVARIABLES, important !
DECEMBRE 2011 11P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL
Quelques VARIABLESVARIABLES, important !
� le nombre d’éléments de la collection de référence et le
nombre d’objets à manipuler.
� la nature des objets de la collection de référence et de celle
à constituer : objets déplaçables ou non, objets dessinés ou
non, les lieux de dépôt des collections, le nombre de
déplacements autorisés, …
Le choix des variables conditionne alors les procéduresprocédures
mises en œuvre.
Parmi ces « procéduresprocédures » (je préfère « techniquetechnique », au sens de
Chevallard) on peut :
� DENOMBRERDENOMBRER. Il va donc falloir se mettre d’accord sur ce
que ça veut dire !
� PERCEVOIRPERCEVOIR globalementglobalement le cardinal d’une collection
(« subitizing »). (Pour de très petites à petites collections).
� OPEREROPERER ; c’est à dire commencer à mettre en évidence des
quantitésquantités et des relationsrelations, indépendamment de toute
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quantitésquantités et des relationsrelations, indépendamment de toute
procédure de comptage.
� ETABLIRETABLIR uneune BIJECTIONBIJECTION entre objets et « mots-nombres »
(« correspondance terme à terme »). Remarque : cette
technique n’est pas une procédure numérique.
Une première maxime (GLP et PW et d’autres !) :
« Trop de comptage(Trop de comptage(ss) tue() tue(ntnt) le calcul !) le calcul ! »
Evaluation CE1, (2007 ou 2008 ?), Exercice 6, item 69
ConsigneConsigne : « Trouve le nombre total de triangles »
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Taux de réussite ≈ 6363 %%. Avec une
remarque non anodine : le recours
systématique aux « paquets » de 10
n’est pas « automatique ».
HypothèsesHypothèses ?
Que doit savoir un
élève E sur le nombre
49 ?
RECITERRECITER la file des nombres au moins jusqu’à 4949, à partir
de n’importe quel nombre inférieur ou égal à 4848.
SITUERSITUER 49 par rapport aux autres nombres déjà connus.
PASSERPASSER de l’écriture chiffrée « 4949 » à l’écriture littérale et
inversement.
DENOMBRERDENOMBRER des collections de 4949 objets manipulés ou
dessinés ; ces objets pouvant être pré-regroupés ou pas par
dix.
CONSTRUIRECONSTRUIRE ou REALISERREALISER une collection de cardinal 4949.
REPRESENTERREPRESENTER le nombre 4949 à l’aide de toutes sortes de
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REPRESENTERREPRESENTER le nombre 4949 à l’aide de toutes sortes de
matériels de numération (bûchettes – élastiques, cubes
emboîtables, bouliers, boîtes à dix, jetons, cartes, compteurs,
abaques, …).
(…) A suivre, diapositive suivante !
(…)
REPRESENTERREPRESENTER 4949 euroseuros ou 4949 centimescentimes avec de la
monnaie (fausse quand même !).
ASSOCIERASSOCIER 4949 à sa décomposition canonique. ASSOCIERASSOCIER
4949 à d’autres décompositions (fondamental !).
« OPEREROPERER » avec 4949, c’est-à-dire : investir le territoire du
CALCULCALCUL avec ce nombre et ses congénères.
S’INTERESSERS’INTERESSER à 4949 comme porteur de propriétés
intrinsèques : est-ce un DOUBLE, de quel(s) autre(s)
NOMBRE(S) « sympathique(s) » est-il proche, (Est-il dans une
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NOMBRE(S) « sympathique(s) » est-il proche, (Est-il dans une
table de multiplication « sympathique »), comment le retrouver
à l’aide d’autres nombres toujours aussi « sympathiques », …
(…)
Vaste programme pour qui veut s’en donner la peine !
Voir les exemples, diapositives suivantes.
Fichier Euro Math, CP, chez Hatier, 2011. Période 4, Séquence 62
Cache !
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Cache !
Fichier Euro Math, CP, chez Hatier, 2011. Période 4, Séquence 62
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On a presque tout dit ! Travail du PE.
Reprendre chacun des verbes d’action qui
caractérisent 4949 et les passer au crible des aspects
incontournables pour donner progressivement, tout au
long de la scolarité, du sens à la construction du
nombre en tant qu’OBJETOBJET dans les situations
d’enseignement-apprentissage, à tous les niveaux de
classe :
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classe :
1. Aspect dit « algorithmiquealgorithmique ».
2. Aspect lié aux « groupementsgroupements » ou aux
« paquetspaquets ».
3. Aspect lié aux « échangeséchanges ».
4. Aspect dit « opératoireopératoire » : numérationnumération et calculcalcul,
une liaison forte.
AspectAspect «« algorithmiquealgorithmique »»
Quelques principesprincipes ou axiomesaxiomes : référence aux programmesprogrammes 20022002.
« Rien ne justifie une étude des nombres un par un ».
« Les premières situations doivent d’emblée se situer dans un
domaine relativement étendu ».
« On acceptera donc de travailler avec des nombres que
l’enfant ne sait pas encore lire ».
TypeType dede tâchestâches à explorer et compétencescompétences à construire :
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 19
1.1. ProduireProduire et fairefaire produireproduire des suites orales ou écrites.
2.2. ComparerComparer des nombres, rangerranger des nombres.
3.3. EcrireEcrire des encadrements.
4.4. SituerSituer des nombres sur un axe gradué (précisément ou
approximativement).
Travail du PEPE : produire quelques activités emblématiques dans le
cadre d’un stage spécifique ou …
Activité emblématique : « lele ChâteauChâteau desdes NombresNombres », ERMEL.
AspectAspect «« groupementsgroupements » » ouou «« paquetspaquets »»
TypeType dede tâchestâches et compétencescompétences à développer :
1.1. StructurerStructurer des collections où l’idée de « mettre en
paquets », où regrouper est nécessaire, voire essentiel
pour dénombrerdénombrer.
2.2. DonnerDonner du sens aux notions de « chiffre de » et « nombre
de ». Très délicat au cycle II !
3.3. FaciliterFaciliter l’accès aux décompositions variées par rapport
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 20
à la base 10.
4.4. DonnerDonner diverses décompositions d’un nombre en
utilisant 10, 100, 1000.
5.5. RetrouverRetrouver rapidement l’écriture chiffrée d’un nombre à
partir de sa décomposition canonique, mais aussi à
partir de toute autre décomposition (indépendamment du
« mode » ou des « formats » d’écriture).
Activité emblématique : « les Fourmillionsles Fourmillions », ERMEL.
AspectAspect «« échangeséchanges »»
Type de tâches Type de tâches et compétencescompétences à développer.
1. (Redoutable !) Etablir, voire « démontrer », qu’une unité
de rang nn vaut dix unités de rang (nn −−−−−−−− 11).
2. Donner du sens au rôle de chaque chiffre dans le
nombre (écrit).
3. Dissocier « valeurvaleur » et « quantitéquantité ».
4. Réinvestir la règle de l’échange du « dixdix contrecontre unun » et du
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« unun contrecontre dixdix » dans les techniques opératoires et dans
la conceptualisation de nouveaux nombres. (Nombres
décimaux, en particulier).
Activité emblématique : (tout) « Jeu de la MarchandeJeu de la Marchande ».
Les diapositives suivantes proposent quelques
exemples, soit des extraits de fichiers, soit provenant
d’autres sources.
EXEMPLE 1 : que faire lorsqu’on demande à un élève Ed’écrire en chiffres le nombre « trentetrente deuxdeux », énoncé à voix
haute et que cet élève E écrit « 302302 » ? Idem avec un nombre
à trois chiffres.
Une piste de « remédiation » : l’épellationl’épellation (D. BARATAUD,
CNEFEI, Suresnes).
Qu’appelle-t-on « épellationépellation » ?
On est dans une situationsituation dede communicationcommunication entre P
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 22
On est dans une situationsituation dede communicationcommunication entre Pet E ou mieux, entre E1 et E2. Il s’agit de mémoriser les
écritures des nombres et de « gérer » les interactions entre le
codage écrit et le codage oral.
Principe : E1 dit « trois-deux », E2 répond « trente
deux » et inversement . Avec utilisation d’étiquettes-chiffres.
Prolongement avec la calculatrice, oui, oui, oui, en fin de diaporama !
3 et 2 « trois-deux » 32 « trente-deux »
On a les deux
« étiquettes-
chiffres »,
écritesécrites sur
des cartes
On les épelleépelle,
donc on
oraliseoralise
On écritécrit le
nombre
On litlit le « mot-
nombre » ainsi
formé
Idem ci-dessus avec trois « étiquettes-chiffres ».
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 23
EXEMPLE 2 : Dissocier et distinguer valeurvaleur et
quantitéquantité, à partir du cycle II, mais surtout au cycle III.
Support usuel au cycle II : des activités avec la monnaiemonnaie.
Une activité tirée des manuels de la collection CapCap
MathMath. C’est l’activité CE2-CM1 qui est proposée.
Idem ci-dessus avec trois « étiquettes-chiffres ».
EXEMPLE 3 : un travail sur les échangeséchanges. La clé des Maths,
CE1, Belin, Période 2, séquence 44.
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 27
Activité délicate ! Il y a beaucoup d’implicites dans cette
tâche. Lesquels ?
COMPLEMENTS THEORIQUES. Deuxième partie.
NUMERATION et OPERATIONSNUMERATION et OPERATIONS
Une maxime GLP et PW, encore une !
« TOUT CALCULCALCUL s’appuie (nécessairement) sur la NUMERATIONNUMERATION »»
Annexe 2Annexe 2. Evaluation CE1 (2010). Exercices 9 et 10.
(Les multiplications ne sont pas recensées dans cet exposé).
ConsigneConsigne.
Pose et effectue les trois opérations : 127 + 323127 + 323, 364 + 364 +
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 30
Pose et effectue les trois opérations : 127 + 323127 + 323, 364 + 364 +
7878 et 362 362 −− 126126.
Ajout de PW : 2012 2012 –– 1789. 1789. Combien pour aller de 1789 à pour aller de 1789 à
2012 ?2012 ?
Analyse de la tâche, quelle(s) technique(s) mobiliser ?,
quelle est la « portée » de cette technique ?, où se « cachent »
les « principes » de la numération ? (…).
Débat ? Réponses à l’oral : techniques mobilisées,
connaissances mathématiques, justifications, ….
On continue dans les maximes !
« Pour POSERPOSER une OPERATIONOPERATION, il faut que celle-ci vaille la
peine d’être posée ! » Ben oui !
Il est tout aussi inutile de poserposer (2424 ++ 33) que de poserposer
(2424 ++ 88) ou de poserposer (231231 ++ 88) que de poserposer (426426 ++ 99).
Idem pour la soustractionsoustraction. (Cf. diapositives suivantes).
D’où : parmi toutes les techniques opératoires
proposées, en institutionnaliserinstitutionnaliser une du côté du CalculCalcul
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 31
proposées, en institutionnaliserinstitutionnaliser une du côté du CalculCalcul
AutomatiséAutomatisé et une autre du côté du CalculCalcul RéfléchiRéfléchi ou du
CalculCalcul RaisonnéRaisonné.
Calcul AutomatiséCalcul Automatisé VS Calcul RéfléchiCalcul Réfléchi ou Calcul RaisonnéCalcul Raisonné(ML PeltierPeltier et COPIRELEMCOPIRELEM)
Le propre du « calculcalcul automatiséautomatisé » est de délaisser
« l’intuitionl’intuition » des nombres, de ne pas nécessairement
s’occuper des ordresordres dede grandeurgrandeur. On travaille plutôt avec les
CHIFFRESCHIFFRES, voire avec quelques nombres sympathiques, en
mettant en œuvre un algorithme enseigné, officiel et standard.
On se laisse guider par la technique : on peut perdre le
contrôle de ce qu’on veut faire, mais on est certain d’y arriver,
tout simplement, en appliquant correctement l’algorithme !
(Exemple(s) : « le complément à … »).
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 32
Par « calculcalcul réfléchiréfléchi », synonyme de « calculcalculraisonnéraisonné » ou de calculcalcul rapiderapide (qualificatif plutôt mal choisi), on
entend choixchoix d’une stratégiestratégie dede calculcalcul, non nécessairement
uniforme, on entend élaborationélaboration dede procéduresprocédures (privées), avec
un contrôle du déroulement du calcul ; par opposition à la
rapidité d’exécution.
Par définition, le calculcalcul réfléchiréfléchi est le calcul qui fait
appel aux propriétés des opérations et des nombresnombres.
On veut effectuer le calcul suivant : 51 51 –– 3838. Quelle classe ?
Des techniques qui ont beaucoup d’avenir ! (Des techniques qui ont beaucoup d’avenir ! (F. BOULEF. BOULE).).
Voici quelques exemples, répondant au calcul 51 – 38 = ?
a. Jalonnement : « Pour aller de 38 à 51, on passe par 40 puis
par 50. De 38 à 40, on compte deux ; de 40 à 50, dix ; de 50à 51, un ». Donc : 51 – 38 = 2 + 10 + 1 = 13.
b. Décomposition : « Pour soustraire 38, je soustrais 30, puis 8 ».
Développement du calcul : 51 – 30 = 21 ; 21 – 8 = 21 – 1 – 7 =
20 – 7 = 13.
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 33
c. Pivotement : « Pour soustraire 38, on peut d’abord soustraire40, puis ajouter 2 ». Développement du calcul : 51 – 40 = 11 ; 11 +
2 = 13.
d1. Décalage 1 : « 51 – 38, c’est comme 50 – 37, c’est-à-dire 13 ».
d2. Décalage 2 : « 51 – 38, c’est comme 52 – 39, c’est comme 53 –40, c’est à dire 13 ».
e. Les doubles. (Peut être peu pertinent pour 51 – 38 ?).
En revanche, technique intéressante pour 47 – 23 ? 1 + (46 – 23) = 1
+ (double de 23) – 23 = 1 + 23 = 24. (…)
FRIANDISESFRIANDISES pour terminer !
NUMERATIONNUMERATION et CALCUL INSTRUMENTECALCUL INSTRUMENTE : on est encore et
toujours dans le thème du jour, contrairement à ce qu’on
peut penser !
Une première série d'exercices et d'activités. Ermel et suite…
(1) Demander de faire afficher un nombre entier A = ((dudu)),sans avoir le droit de taper sur le « chiffre » dd, ni sur le« chiffre » uu.
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 34
Pour aller plus loin, cycle III. Même consigne avec unnombre entier B = (cdu)(cdu).
Idem avec un nombre décimal C = (cdu,dxct)(cdu,dxct).
Exemple 1: faire afficher le nombre 27, sans avoir le droit detaper sur la touche [2], ni sur la touche [7], en un minimum detouches.
Variables de situation : afficher toujours 27, avec les mêmescontraintes, « plus » une contrainte sur l'opération à utiliser.
(2) Faire afficher un nombre entier à deux chiffres, noté(dudu), demander de faire afficher un autre nombre entier (huhu),avec un minimum de touches et sans effacer (dudu).
Pour aller plus loin. Idem avec un nombre entier à troischiffres noté (cducdu). Idem avec des nombres décimaux.
Exemple 1 : faire afficher 27, puis demander d'afficher 57,sans avoir le droit d'effacer 27. Idem dans l'autre « sens ».
Exemple 2 : faire afficher 327, puis demander d'afficher357, sans avoir le droit d'effacer 327. Idem dans l'autre« sens ».
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 35
« sens ».Exemple 3 : faire afficher 327, puis demander d'afficher
657, sans avoir le droit d'effacer 327. Idem dans l'autre« sens ».
(3) On veut taper un nombre entier M = (cdu)(cdu) à la
calculatrice, mais on a tapé le nombre entier N = (cd'u)(cd'u). Zut !
Comment « corriger » pour obtenir M à l'affichage, en
partant de l’affichage initial N ? Pour aller plus loin…
Utiliser la calculette ou la calculatrice pour mettre en Utiliser la calculette ou la calculatrice pour mettre en
évidence l’équivalence : «évidence l’équivalence : « A «A « pour aller àpour aller à » B» B » et «» et « B B −−−−−−−− AA ».».
Exemple 1. Résoudre à la calculatrice les problèmes
suivants : 7 + ? = 10 ; 27 + ? = 60 ; (…) ; 3647 + ? = 9052, …
Pour aller plus loin. Idem avec un nombre entier et un
nombre décimal, puis, avec deux nombres décimaux. (Travail
personnel …).
Exemple 2. On peut aussi proposer à la classe une liste de
calculs à effectuer : elle contient des calculs du type « AA ++ ?? ==
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 36
calculs à effectuer : elle contient des calculs du type « AA ++ ?? ==
BB »» et d’autres du type « BB –– AA == ?? »» ; la classe est partagée en
deux groupes : le premier doit faire ses calculs avec une
calculatrice et l’autre doit faire ses calculs par écrit (non
nécessairement posé). Ensuite on compare pour chaque
calcul les procédures utilisées pour le calcul écrit et pour le
calcul machine (Travail personnel …).
ACTIVITE : le « CALCULATEURCALCULATEUR » et le « DICTEURDICTEUR ».
D’après « La NUMERATIONLa NUMERATION », Boilleaut et Fénichel, Bordas,
ouvrage épuisé, dommage !
� Dispositif : travail en binôme avec changement de rôle.
� Matériel spécifique : une calculette par binôme, une fiche
de calculs.
� Consigne (rédigée pour le PE).
Le « dicteurdicteur » dicte au « calculateurcalculateur » un calcul donné
sur la fiche, sans donner le résultat. Le « calculateurcalculateur » doit
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 37
sur la fiche, sans donner le résultat. Le « calculateurcalculateur » doit
taper en même temps le calcul « jusqu’au bout ». Les deux
éléments du binôme contrôlent ensuite l’affichage, au fur et à
mesure.
Changement de rôle avec une deuxième fiche de
calculs.
Voir un exemple de fiche diapositive suivante.
Le « calculateur » : TOTOLe « dicteur » et le « vérificateur » : TITI
Le « calculateur » : TITILe « dicteur » et le « vérificateur » :
TOTO
(1) 7 + 3 + 11 = 21 (1) 5 + 6 + 8 = 19
(2) 37 – 5 = 32 (2) 23 – 5 = 18
(3) 23 + 5 + 10 = 38 (3) 13 + 5 + 10 = 28
(4) 47 – 6 = 41 (4) 27 – 15 = 12
(5) 57 + 22 = 79 (5) 17 + 12 = 29
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 38
(6) 47 + 15 = 62 (6) 27 + 35 = 62
(7) 89 – 43 = 46 (7) 87 – 35 = 52
(8) 53 – 28 = 25 (8) 43 – 18 = 25
(9) 215 + 18 = 233 (9) 125 + 28 = 153
(10) 62 – 46 = 16 (10) 162 – 146 = 16
(11) And so on ! (11) And so on !
Voilà pour aujourd’hui !
Il reste encore beaucoup d’autres questions sur le
thème à traiter. Ce sera pour une autre fois !
Merci et à bientôt, PW.
[email protected]@univ--orleans.frorleans.fr
Il y a encore quelques diapositives, ah bon !
Oui, les friandises de PW.
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 39
POURQUOI la base 10 ? POURQUOI écrire des NOMBRES :
spécificités des numération oralenumération orale et numération écritenumération écrite ?
Quelques mots sur des systèmes de numération anciens,
voire antiques et liens avec le système actuel. Perspectives ?
Système EGYPTIEN : base 10, sept symboles, système additif.
Système SINO-JAPONAIS : base 10, treize symboles, système
additif « évolué ».
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 40
Système BABYLONNIEN : deux bases 10 et 60, deux
symboles, système mixte : additif et positionnel.
Système MAYA : base « presque » 20, avec « sous-base » 5,
vingt symboles, système additif « amélioré ».
Pourquoi 60 ? Quelles évolutions ? …
ORALORAL versus ECRITECRIT.
Commentaires à l’oral, à l’écrit, c’est trop long !
Deux situations « voisines » relatives à l'addition. (ML PELTIER).
Situation 1Situation 1
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 41
COMBIEN ki nen a « en tout » de cubes ?
Situation 2Situation 2
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Remarque. On travaille avec le mêmemême cube, ouf !
Articulation cycle II – cycle III : le jeu des ZETIKETTSZETIKETTS
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 43
Pour préparer la prochaine animation :
un « petitpetit » problèmeproblème et une solution originalesolution originale !
PIM possède un billet de cinq euros et quatre pièces de
un euro.
PAM possède deux billets de cinq euros et quatre
pièces de un euro.
POUM possède neuf pièces de un euro et quatre pièces
de deux euros.
Pour aller plus loin : l’expérience BEDNARZ, JANVIER, 1984…
DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 44
de deux euros.
A eux trois, ils décident de réunir leurs économies et
d’acheter un nouveau compteur à Anatole d’une valeur de
trente euros. Combien d’argent reste-t-il ?
Donner la solution « standard » attendue.
Un élève propose la solution suivante : àà ANALYSERANALYSER !!!
(SOLUTION VRAIE : effectivement produite par un élève en route vers
la SEGPA !)
« Il reste en tout dix euros, plus rien à PAM, huit euros à PIM et Il reste en tout dix euros, plus rien à PAM, huit euros à PIM et
deux euros à POUMdeux euros à POUM ». Voilà, merci à DB.