numerical calculation and ode solving

“МТМС” хичээлийн бие даалт Тооцон бодох үйл ажиллагаа. Дифференциал тэгшитгэл бодох тухай.

1

Тооцон бодох үйл ажиллагаа Компьютер бол мэдээлэл боловсруулах хэрэгсэл билээ. Тэрээр өгсөн

мэдээллийг боловсруулж, тодорхой үр дүн гаргадаг. Хэрэв боловсруулахаар оруулж буй мэдээллийг өгөгдөл, үр дүнг хариу гэж нэрлэх аваас бид мэдээлэл боловсруулах процессыг “бодлого бодох” хэмээн товчлон нэрлэх боломжтой.

Тооцон бодох үйл ажиллагаа нь бодлогыг компьютерээр хэрхэн яаж бодуулах вэ гэдгийг үе шаттайгаар авч үзнэ:

1. Бодлогоо ерөнхийлөн тоймлож, зорилгоо тодорхойлох Ямар бодлогыг тавих вэ, ямар үр дүн гаргаж авах ёстой юм бэ, бодлогын мөн чанар, зорилго нь юу юм бэ г.м. асуудлууд энэ шатанд шийдэгдсэн байх ёстой.

2. Математик загварыг байгуулах Энэ шатанд, тавих гэж буй бодлогоо математикийн хэлээр илэрхийлэх ёстой. Ө.х. үр дүнг гаргаж авахад ашиглагдах илэрхийлэл, тэгшитгэл, функц г.м.-ийг томъёолно гэсэн үг.

Санамж: МТМС хичээлийн бие даалтын харгалзах сэдвүүдийн хувьд ихэнх тохиолдолд математик загварууд бэлнээр өгөгдсөн байгаа.

3. Тоон арга ашиглах Математик загвараа байгуулсны дараагаар мэдээж түүнийгээ компьютерт оруулах ёстой. Гэвч загвар бүхэн тийм хялбараар компьютерт орохгүй. Учир нь, хэдийгээр орчин үеийн компьютерын програм хангамж маш боловсронгуй болсон ч гэсэн, үнэн хэрэгтээ микропроцессорын гүйцэтгэж чаддаг үйлдлүүд бол зөвхөн арифметикийн 4 үйлдэл (нэмэх, хасах, үржих, хуваах) юм. Тиймээс математикийн чухал ойлголтууд болох тригонометрын функц, дифференциал тэгшитгэл, уламжлал, интеграл, квадрат язгуур, логарифм г.м.-ийг дээрх 4 элементар л үйлдлээр илэрхийлэх шаардлагатай болдог. Ингэж илэрхийлэх аргыг тоон арга (numerical method, численный метод) гэдэг. Энэ нь ойролцоолон бодох арга бөгөөд 4 үндсэн үйлдлийг ашиглан тодорхой математик хувиргалтыг хэрхэн хийх вэ гэдгийг заасан алгоритм юм. Маш олон тоон аргууд бий. Үүрэг зориулалтаар нь ангилах юм бол:

• Өгөгдлийг боловсруулах аргууд буюу интерполяци, экстраполяци, регрессийн аргууд

• Тэгшитгэл бодох аргууд • Тэгшитгэлийн систем бодох аргууд • Оптимизацийн аргууд • Уламжлал бодох аргууд • Интеграл бодох аргууд • Бүтэн уламжлалт буюу Энгийн дифференциал тэгшитгэл бодох аргууд • Тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл бодох аргууд • Стохастик аргууд (Санамсаргүй процессыг судлах)

г.м. Санамж: МТМС хичээлийн бие даалтын сэдвүүдийн хувьд ихэвчлэн

уламжлал, дифференциал тэгшитгэл бодох тоон аргууд ашиглагдана. 4. Програм хангамж ашиглан бодлогыг бодох

Хамгийн эцсийн энэ шатанд ямар нэгэн програм хангамж ашиглан бодлогоо компьютерт оруулж, бодуулна. Тэгээд үр дүнгээ гаргаж авна.

Санамж: МТМС хичээлийн бие даалтын сэдвүүдийн хувьд тооцоонд ашиглагдах програм хангамжууд нь Excel, Mathcad/Mathematica г.м. програмууд болно.


2

Дифференциал тэгшитгэл бодох тухай

1. Оршил

Ямар нэг функцын уламжлалын хувьд бичигдсэн тэгшитгэл практикт олонтаа таардаг байна. Ийм тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл (differential equation) гэдэг. Ер нь бол аливаа физик процесс (ямар нэг хэмжигдхүүн өөр нэг хэмжигдхүүнээс хамаарч өөрчлөгдөх гэх мэт) тухайлбал динамик процесс бол ийм тэгшитгэлээр илэрхийлэгддэг байна.

Хэрэв тэгшитгэлд орсон уламжлалууд зөвхөн нэг хувьсагчийнх байвал ийм тэгшитгэлийг Бүтэн Уламжлалт Дифференциал Тэгшитгэл буюу Энгийн Дифференциал Тэгшитгэл (Ordinary Differential Equation - ODE) гэнэ. Эсрэг тохиолдолд Тухайн Уламжлалт Дифференциал Тэгшитгэл (Partial Differential Equation - PDE) хэмээн нэрийддэг.

ЭДТ-ийг томъёолбол:

0),...,'',',,( )( =kyyyyxf

гэсэн хэлбэртэй байна. Энд байгаа уламжлалын дээд эрэмбэ болох k -г тэгшитгэлийн эрэмбэ (order) гэдэг. Ийм дифференциал тэгшитгэлийг бодно гэдэг нь (заримдаа интегралчлана гэж ярьдаг) уламжлалын эх функцыг тодорхойлж гаргана гэсэн үг. Ө.х. дифференциал тэгшитгэлийн шийд нь ямар нэг )(xy гэсэн функц байх болно :

),...,,,( 21 kCCCxy ϕ=

Үүнийг ерөнхий шийд гэдэг. Харин kCCC ,...,, 21 тогтмолуудад тус бүрт нь утга өгч бэхлэх замаар гарган авч буй завсрын шийдүүдийг тухайн шийдүүд гэнэ. Ерөнхий тохиолдолд тухайн шийдийн тоо хязгааргүй олон байна. Гэтэл тооцон бодох үйл ажиллагаанд хязгааргүй олон бус харин тодорхой нэг шийд чухал. Ийм тодорхой шийд олохын тулд тэгшитгэлийг бодох нэмэлт нөхцлүүд хэрэгтэй болдог ( iC , ki ,1= тогтмолуудыг тодорхойлохын тулд).

Хэрэв нэмэлт нөхцлүүд нь тэгшитгэлийн бодох интервалын зөвхөн нэг захын цэг дээр функц, түүний уламжлалуудын утга маягаар өгөгдсөн байвал диф-л тэгшитгэл бодох бодлогыг анхны нөхцөлт бодлого (initial-value problem) буюу Кошийн бодлого гэдэг. Энэ тохиолдолд нэмэлт нөхцлүүдийг анхны нөхцлүүд гэж нэрийднэ.

Хэрэв нэмэлт нөхцлүүд нь тэгшитгэлийн бодох интервалын хоёр зах болон завсрын цэгүүд дээр функц, түүний уламжлалуудын утга маягаар өгөгдсөн байвал диф-л тэгшитгэл бодох бодлогыг захын нөхцөлт бодлого (boundary-value problem) гэдэг. Энэ тохиолдолд нэмэлт нөхцлүүдийг захын нөхцлүүд гэж нэрийднэ. Хамгийн хялбартаа захын нөхцлүүд нь бодох интервалын зүүн, баруун хязгаар дээр өгөгдсөн байх болно.

Диф-л тэгшитгэлийг бодох аналитик аргууд (элементар юм уу тусгай функцуудээр илэрхийлэгдэх) байдаг хэдий ч практикт эдгээрийг хэрэглэн аналитик хариу гаргах ямар ч боломжгүй, эсвэл маш төвөгтэй, хүндрэлтэй, ойлгомжгүй шийдэнд хүргэх тохиолдол олонтаа гарна. Заримдаа диф-л тэгшитгэлийн коэффициентууд болон функцууд хэмжилтийн үр дүнгийн таблиц маягаар өгөгдсөн байж болно. Ийм тохиолдолд классик аргуудыг хэрэглэх ямар ч боломж байхгүй.


3

Энэ мэт шалтгааны улмаас диф-л тэгшитгэлийг бодох тоон аргуудыг хэрэглэдэг байна.

Кошийн бодлогыг бодох хялбар тоон аргууд гэвэл: • Тейлорын цувааны арга (Taylor series method) • Рунге-Куттын аргууд (Runge-Kutta methods) г.м.

Захын нөхцөлт бодлогыг бодох тоон аргууд: • “Буудах арга” (Shooting method) • Төгсгөлөг ялгаврын арга (Finite difference method) г.м.

2. Кошийн бодлого бодох

Тейлорын цувааны арга

Энэ арга нь онолын хувьд бараг дурын диф-л тэгшитгэлийг бодоход бүрэн тохирох ч практик хэрэглээний хувьд ач холбогдол багатай. UГэхдээ Тейлорын цувааны аргыг, бусад тоон аргуудыг үнэлж дүгнэх “эталон” болгон ашиглаж болдгоороо чухал юмU.

Хялбар тохиолдолд, Кошийн бодлогыг: ),(' yxfy =

буюу:

),( yxfdxdy

=

гэсэн I эрэмбийн диф-л тэгшитгэлийн хувьд авч үзье. Өгөгдсөн анхны нөхцөл нь:

)( 00 xyy =

байг. Тэгшитгэлийн чөлөөт хувьсагч x нь:

hxx ii +=+1 , Ni ,1=

гэж илэрхийлэгдэх дискрет хэлбэрт өгөгдсөн байг. Энд h бол x -ийн өөрчлөгдөх алхам, тогтмол утгатай байна. Ө.х. бид диф-л тэгшитгэлийг x -ийн ],[ 0 Nxx гэсэн утгын завсарт бодно. Энэ завсрыг бодох интервал гэж нэрлэнэ.

Тэгээд, хэрэв ix цэг дээрх утга )( ii xyy = мэдэгдэж байгаа гэж үзвэл )( 11 ++ = ii xyy -ийг ix цэгийн орчимд Тейлорын цуваанд:

...!

...62

)(3

'''2

'''

1 +++++⋅+=+k

kiii

iii hk

yh

yh

yhyyy

гэж задлана. Задаргааг k -р эрэмбийн гишүүнээр хязгаарлавал үүсэх бодолтын алдаа:

1~ +ki hε

байна. Хэрэвзээ ),(' yxfy = гэдгийг тооцвол:

),('' yxfffy yx ⋅+=


4

),()],([),(2''' 22 yxffffyxffyxfffy yyxyyxyxx ⋅+⋅+⋅+⋅⋅+=

гэх мэтээр 2, 3 ба түүнээс илүү өндөр эрэмбийн уламжлалуудыг тодорхойлж болно. Энд xf , yf - ),( yxf функцээс харгалзан x ба y -ээр авсан уламжлалууд; xxf , yyf , xyf -

xf ба yf -ээс харгалзан x , y , x -ээр авсан уламжлалууд. Эндээс харахад гол хүндрэлтэй асуудал бол xf , yf , xxf , yyf , xyf , ... гэх мэт уламжлалуудыг олох шаардлагатай болж байгаа явдал байна.

Рунге-Куттын аргууд

UА) Рунге-Куттын I эрэмбийн арга (Эйлерийн арга) Өмнөхийн адилаар:

),(' yxfy =

тэгшитгэлийг:

)( 00 xyy =

анхны нөхцөлтэй гээд Кошийн бодлогыг авч үзье.

0x цэг дээрх уламжлал нь:

),( 00'0 yxfy =

болно. Тэгвэл ( 00 , yx ) цэгт шүргэгч татъя. Шүргэгчийн хэвтээ тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийн тангенс нь '

0y байна. Энэ шүргэгч шулууны тэгшитгэл:

)( 0'00 xxyyy −⋅+=

1xx = гэж орлуулбал: '00 yhyy ⋅+=

Гэтэл нөгөө талаас 0x цэг дээрх уламжлалыг:

hyy

y 01'0

−=

гэж илэрхийлж бас болно. Тиймээс:

y(x)

бодит шийд

xB0 xB1

yB0

yB1

y

x

h

ε


5

101001

0 yyyyh

yyhyy =/−+/=

/−

⋅/+=

болно. Эндээс: '001 yhyy ⋅+=

болж байна. Уг томъёог дурын i -р индексийн хувьд бичвэл: '

1 iii yhyy ⋅+=+

болно. Үүнийг Эйлерийн арга (Euler method) гэдэг. Өмнө нь гаргасан Тейлорын цувааны задаргаатай харьцуулан үзэхэд

Эйлерийн арга 1h эрэмбийн гишүүнээр тохирч, 2h эрэмбийн гишүүнээс эхлэн зөрж байна. Иймээс энэ аргыг бас I эрэмбийн Рунге-Куттын арга (RK1) гэдэг байна.

Тухайн нэг бодолтын үүсгэх алдаа: 2~ hiε

болж байна. Нийт h

abN −= (энд a , b -бодох интервалын доод, дээд хязгаарууд)

удаа бодолт хийсний дараа: hE ~

эрэмбийн алдаа өгөх юм. UБ) Рунге-Куттын II эрэмбийн арга (Эйлерийн өргөтгөл арга) Эйлерийн арга нь нарийвчлалын хувьд хангалтгүй учир нарийн тооцоо

шаардсан үйл ажиллагаанд бараг хэрэглэгдэхгүй. Практикт илүү нарийвчлал сайтай аргуудыг хэрэглэнэ.

Ж.нь Эйлерийн томъёо ёсоор:

'

21 2 iii

yhyy ⋅+=+

байдаг. Энд )2

()(21

21

hxyxyy iii+==

++. Тэгвэл:

)2

,2

(),( '

21

21

'

21 iiiiii

yhyhxfyxfy ⋅++==+++

болно. Энд:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅++==

==

+)

2,

2(

),(

1'

212

'1

khyhxfyk

yxfyk

iii

iii

гэсэн орлуулга хэрэглэе. Тэгвэл:

21 khyy ii ⋅+=+

буюу:

)2

,2

( '1 iiiii yhyhxfhyy ++⋅+=+


6

гэсэн хэлбэртэй болно. Энэ томъёог Эйлерийн өргөтгөл арга (Modified Euler method) гэдэг.

Тейлорын цувааны задаргаатай харьцуулан үзэхэд энэ арга 2h эрэмбийн гишүүнээр тохирч, 3h эрэмбийн гишүүнээс эхлэн зөрж байгаа тул II эрэмбийн Рунге-Куттын арга (RK2) ч гэж бас нэрлэдэг. '

21

+iy -ийг ix -ийн орчимд цуваанд задлаад,

дээрх томъёонд орлуулан үүнийг харж болно. Ийм учраас тухайн нэг бодолтоос үүсэх алдаа:

3~ hiε

бөгөөд N удаа бодолт хийсний дараах алдаа: 2~ hE

байна. RK2 аргыг бас Дундаж Цэгийн арга (Midpoint method) гэж нэрийднэ. Учир нь

ix , 1+ix цэгүүдийн дундах 21

+ix цэг дээр олсон уламжлалыг ашиглан 1+iy -ийг олж

байгаа билээ. Үүнийг зургаар дүрслэн харуулваас:

Иймэрхүү байдлаар, ix ба 1+ix цэгүүдийн хооронд нэмэлт цэгүүд авч

уламжлалууд бодох замаар илүү өндөр эрэмбийн, тэр чинээгээрээ нарийвчлал сайтай томъёонуудыг гарган авдаг байна.

UВ) Рунге-Куттын IV эрэмбийн арга Тухайлбал IV эрэмбийн Рунге-Куттын (RK4) томъёо бол хамгийн өргөн

хэрэглэгддэг, сонгодог арга юм. Маш түгээмэл хэрэглэгддэг учраас ном зохиолд “IV эрэмбийн” гэхийн оронд зүгээр л Рунге-Куттын арга хэмээн нэрлэдэг тал бий. Энэ аргын томъёо нь:

yBi

y

xBi xBi+1 x

h/2

ε

h/2

xBi+1/2

KB1

KB2

yBi+1

yBi+1/2


7

( )43211 226

kkkkhyy ii ++++=+

Энд:

),(

)2

,2

(

)2

,2

(

),(

34

23

12

1

hkyhxfk

khyhxfk

khyhxfk

yxfk

ii

ii

ii

ii

++=

++=

++=

=

RK4 аргын ажиллах зарчим гэвэл, ix цэг дээр нэг удаа, завсрын 21

+ix цэг дээр 2

удаа, 1+ix цэг дээр нэг удаа, нийт дөрвөн удаа уламжлал бодож, эдгээр бүх утгаа ашиглан функцын утгаа олно.

Тейлорын задаргаатай харьцуулан үзэхэд RK4 нь 4h эрэмбийн гишүүнээр тохирч, 5h -аас эхлэн зөрдөг тул:

4

5

~

~

hE

hiε

байдаг. Рунге-Куттын аргуудыг дан алхамт аргууд хэмээн нэрлэдэг. Учир нь )1( +i -р

цэг дээрх бодолтыг хийхийн тулд зөвхөн i -р цэг дээрх бодолтын үр дүнг ашиглах бөгөөд түүнээс өмнөх бүх цэгүүд дээрх мэдээлэл хэрэглэгдэхгүй орхигдоно. Өөрөөр хэлбэл ээлжит бодолтыг хийхийн тулд ганц алхмын өмнөх мэдээллээ л ашиглаж байна.

3. Захын нөхцөлт бодлого бодох

Буудах арга

Энэ арга нь захын нөхцлийн бодлогыг Кошийн бодлого мэтээр дараалан боддог арга юм.

Жишээ болгож:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

b

a

ybyyay

yyxfy

)()(

)',,(''

гэсэн захын нөхцөлт бодлогыг авч үзье. Энд бодох интервал нь: ],[ bax∈ . Бид дифференциал тэгшитгэлийг ax = цэгээс эхлэн Кошийн бодлого мэтээр бодохын тулд хоёр анхны нөхцөл хэрэгтэй болно. Нэг нөхцөл нь мэдэгдэж байгаа:

ayay =)(

Харин хоёр дахь анхны нөхцөл болох )(' ay мэдэгдэхгүй байгаа. Тийм учраас бид )(' ay -ийн утгыг таамгаар сонгон авна. Ингээд a цэгээс эхлээд b цэг хүртэлх


8

интервалд Кошийн бодлого бодно. Үр дүнд нь бид bx = цэг дээр ямар нэгэн )(~ by гэсэн утгыг олж авна. Одоо энэ )(~ by утга маань нөгөө byby =)( гэсэн захын нөхцлийг биелүүлж байна уу гэдгийг шалгана. Хэрэв byby =)(~ байх юм бол бид бодлогыг бодсон гэсэн үг. Харин byby ≠)(~ байвал бид )(' ay -ын утгыг дахиж шинээр таамаглаад дахиж шинээр Кошийн бодлого бодно. Мөн дахиж ямар нэг )(~ by утгыг олно. Хэрэв byby ≠)(~ байвал )(' ay -д өөр утга өгч шинэ бодолт хийх юм. Иймэрхүү маягаар бид )(' ay -аас хамаарсан Кошийн бодлогын bx = цэг дээрх үр дүн нь захын нөхцлийг хангах хүртэл бодолтыг давтан хийх болно.

Ийм процессыг, тодорхой нэг “байг” онохын тулд “овоо хараалан буудаж” байгаатай зүйрлэж болох бөгөөд “байг” яг онох эсвэл хангалттай нарийвчлалтайгаар “байны” гол цэгт дөхөж очсон үед “буудалт” зогсоно. Тиймээс энэ аргыг Буудах арга хэмээдэг байна. Буудах аргыг схемчлэн дүрсэлвээс:

Одоо томъёолон үзье. Үүний тулд:

kay =)('

гэсэн орлуулга хийе. Мэдээж k бол үл мэдэгдэгч байгаа. Тэгвэл тухайн нэг Кошийн бодлогын шийд маань:

),( kxyy =

буюу k гэсэн параметраас хамаарсан байна. Бид захын нөхцөлт бодлогыг шийдэхийн тулд:

bykby =),(

гэсэн нөхцлийг хангах тийм k -ийн утгыг олох ёстой. Өөрөөр хэлбэл:

byky =)(

гэсэн тэгшитгэл бодох хэрэгтэй болж байна. Хэрэв:

bykykF −= )()(

гэсэн орлуулга хийвэл: 0)( =kF


9

гэсэн трансцендент тэгшитгэл гарч ирэх юм. Ийм тэгшитгэлийг бодож энгийн шийд олох аргууд байдаг. Тухайлбал: • хагаслан хуваах арга • ердийн итерацийн арга • Ньютон-Рафсоны арга (НРА) г.м. Эдгээрээс ж.нь НРА-г авч хэрэглэе.

)(kF функцыг ямар нэг 0k цэгийн орчимд цуваанд задалъя.

...)()(')()( 000 +−⋅+= kkkFkFkF

II эрэмбээс эхлээд үлдсэн хэсгийг хаяж бичвэл:

)()(')()( 000 kkkFkFkF −⋅+=

Тэгшитгэл ёсоор 0)( =kF . Эндээс:

)(')(

0

00 kF

kFkk −=

болно. Хэрэвзээ k нь:

ikkkk ,...,,, 210

г.м. тогтмол алхамтай дискрет хэлбэрээр өгөгдсөн гэвэл:

)(')(

1i

iii kF

kFkk −=+

гэсэн томъёо гарч ирнэ. Энэ томъёог хэрэглэхийн тулд бид 0=i үеийн 0k гэсэн утгыг хамгийн эхлээд таамгаар өгөх юм. Ө.х. өөрсдөө өгнө гэсэн үг. Тэгмэгц “буудалт” хийгдэж эхлэх болно.

Бид энд II эрэмбийн ЭДТ авч үзсэн байгаа. Хэрэв N эрэмбийн тэгшитгэл авч үзэж буй бол ямар байх вэ? Ийм үед мөн N тооны захын нөхцөл өгөгдсөн байх болно. Эдгээрээс Nn <1 тооны нөхцөл нь ax = цэг дээр, үлдсэн 12 nNn −= нөхцөл нь bx = цэг дээр өгөгдсөн байг. Тэгвэл бид Кошийн бодолт хийхийн тулд 2n тооны анхны нөхцлийг өөрсдөө таамаглан нэмж өгөх юм.

4. Анхаарах зүйлс

Компьютер нь ямар ч мэдээллийг боловсруулахдаа санах ойдоо агуулж байдаг. Гэтэл компьютерын санах ой бол төгсгөлөг хэмжээтэй. Тиймээс: • Бодох интервал төгсгөлөг байх ёстой. Учир нь компьютер хязгааргүй олон

утгатай ажиллах боломжгүй. • Бодох интервал дотор x -ийн утгууд дискрет байх ёстой. Ө.х. x -ийн өөрчлөгдөх

алхам 0≠h байх ёстой. Тэгж байж компьютер x -ийн нэг утгаас дараагийн утга руу шилжиж чадна.

• h -ийн утга 1-ээс бага байх ёстой. Тэгж байж ойролцоолсон бодолтын алдаа харьцангуй бага гарна. Учир нь:

)3(2~ hiε


10

• h -ийн утга хэтэрхий бага байж болохгүй. Учир нь компьютер ямар ч олон оронтой тоон утгыг төгсгөлөг тооны цифрүүдээр дүрсэлдэг. Хэрэв орны тоо нь компьютерын дүрслэж чадах цифрийн тооноос олон буюу дүйсэн байвал хүчээр нарийвчилж орхино. Ж.нь хязгааргүй бага зөрөөтэй хоёр тоог бол шууд тэнцүү гэж үзнэ.

• N -р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл бодохын тулд түүнийг N ширхэг I эрэмбийн тэгшитгэлийн систем болгож бодно.

• N -р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл бодохын тулд N ширхэг анхны нөхцөл хэрэгтэй

г.м.

numerical calculation and ode solving

Documents