numerical optimization of the voith-schneider propeller · numerical optimization of the...

Numerical Optimization of the Voith-SchneiderPropeller

Dirk Jurgens, Michael Palm, Sebastian Singer und Karsten Urban

Preprint Series: 2005-04

Fakultat fur Mathematik und Wirtschaftswissenschaften

UNIVERSITAT ULM

! "#%$&'()"+*-,+."#/!0© 1 23

457698;:=<69>@?BAC ∗ D 5FEHG.I=?BJLKI=J7M ∗ N ?BO.I=CP95QI=A N 57A>@?R6 † S I=6CPT?BAVUW69O.IXA †:=YA?[Z=\)]^ZX\@\`_

aWb)cdeHfhgidjlknmLo.piqsrtkvuxwvyzkhnmq|vm~ 0© ~tpBXmsm~ow q^imyqmRrtkhqh~pi=msm~.rtknrli.qimRrm|~tnr.-mpwvyzkhhmq|hm~x9i=9R qs+B R¡`¢Qrqypi£hm¤n~tpBXmsm~)knTqsn¥mim~iini~i£¦mrtm~|hmrtm~t£qhqh¥rkhm=mknTqpi~^pi§`rtkhmow ¡n¨hmp§`rtknm£©qrtknmª«B|vmwRrmm~tqh¥¦¬h~im®¯ªwn¬ knqyzk|hmy~qs=m¦rkhm#h¥Bsm°pi§±h~pi=msm~hB|vm§pi~[rtq£mqsXxrzRr¡;²±mqsim9xrqs¥RHrmWrkhm#yzkhpiqymp§rkhqWªwn¬³qs;pi~z|vm~rtp3pihrtq£¦q´m°rkhm#myqsmnyµp§rtkhm¶ow ¡²±mntmh£m~qyLpBvrtq£qs´9Hrtqpiin|+¬pB£¦nvrrtqpiniX·)snq|¸n£qyF¬«·¸ ¹ qsX~trtqyh~.rkhmo.pB~rm¤uº2Hrtrtqym»#mrtknp|§pi~^rkhmpBvrtq£qs´9HrqspB¦in|·qhqsrtmo.pBsh£m»mrtkhpv|®§pi~.Hq|hHrqspB-¡²±mpihrqtq¥ihqs¼XyiRrq£h~pHim£mBrpi§)X¡½B¾W¡

¿[ÀÂÁÃÀÂÁ«ÄÆÅÇ-ÈÈ2È.ÉÊ®ËÌÍÏÎvÐ@Ñ2ËÒÓËÐ@ÑËÒÔÕvÐÖ3×nØ.Ù+Ú2ÛRÜ«Ý Ê!Þ'ß`à#áTâ(ãäåRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^Ñ)äHçàè`ß`éåRé(ãçì2åRæ^í-ß`ãîïî@ðXì2åRàãäHñò

ó ô@õ®ö2÷øù+úû^ö)üøõýþ á[ãêàè)çâ(éåRì-äHáÿç'ìXß`à#áTâ(ãäåRæñ(ãêàWß`æ¯åRé(ãçì-ñ°ãêìåRâ(ãçß-ñ2áTæî`ñ°ç¦åRè`è`æêãäåRé(ãçì ãñnð ì-ç!ãî`áTæêð åääHáTè`éáHî.ò ýþ áTð[åRâá®ãêìÿè2åRâ(é(ãäTß`æ¯åRââáTæá åRìXéãêì3äåñáHñ þ áTâáá=èáTâ(ãêà#áTìnéñåRâá®éç=ç+äHçvñ(é(æêðhÑ=éç=ç+î-åRìháTâçß-ñçâá háTì ãêàèçvññ(ã`æá þ áTìïé þ áè`âçXäHáHññéç)áñãêàWß`æ¯åRéáHî ãñì-çéá háTìïç-ñáTâvå`æáãêìïá@è)áTâ(ãêà#áTìXéñò ñ(ß-ä þ å®è`âç=äHáHññlãñ«ãêìåî`î@ãêé(ãçì[ánß`ãêè`èáHî!ãêé þ ñá háTâåRæ@è2åRâåRà#áTéáTâñÑhãêélãñå®ì2åRé(ß`âåRænß-áHñé(ãçìéçåñ

ºçâ®åä þ çãäHáçè2åRâåRà#áTéáTâñ®ñçé þ åRé'é þ áWè`âçXäHáHññ)á þ åháHñ'ãêìµñçà#áñáTì-ñá! #"%$'&(*)ò é'ãñãêàà#áHî@ã¯åRéáTæêðäTæáåRâé þ åRé'ñß-ä þ Xß-áHñ(é(ãçì-ñ'åRâ(ãñáávò -ò-ãêìïáTìvãêì-áHáTâ(ãêì-Ñ2ñäTãáTì-äHávÑ-à#áHî@ãäTãêì-ávÑ2áHäHçì-çàWð åRì-î çé þ áTâ¦åRâáåñò ìWé þ ãñ^è2åRèáTâÑáLî`áHñäTâ(ãáé þ áLçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì°ç@é þ á,+Lçãêé þ .-=ä þ ì-áTãî`áTâ 0© / âçè)áTæêæáTâ10'+- /32 ÑBå!äHçàè`æáåRì-î á4¶äTãáTìXé'è`âçèáTæêæáTâè)çáTâ(ãêìÿåRì-î ñ(éáHáTâ(ãêì¶ñ þ ãêè-ñiò-Xß-ä þ å°äHçàè`æá éáHä þ ì`ãäåRæà¶åä þ ãêì-áWçäHçß`âñá

þ åñà¶åRìnð[è2åRâåRà#áTéáTâñé þ åRéäHçß`æî5á®ñ(ß76(áHäTééçåRì3çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^ò8®ìÿé þ á¦çé þ áTâ þ åRì-î.Ñ=é þ áTâá¦ãñåRæñçå þ çæá9åRâ(ãáTétð[ç«éåRâháTéñãêìÿñß-ä þ åñäHáTì2åRâ(ãç°é þ åRé!çì-áäHçß`æî[èçvññ(ã`æêð:)á¦ãêìnéáTâáHñéáHî3ãêì3çè`é(ãêàãêëHãêì-Ñávò -òhàãêì`ãêàãêëáQß-áTæäHçì-ñ(ß`àè`é(ãçì^Ñ=à¶å;@ãêàãêëá®á4¶äTãáTì-äTðhÑ=à¶å;@ãêàãêëá®ñ(èáHáHî.Ñhàãêì`ãêàãêëá®ì-çãñávÑ@åRì-î[ñççì^ò ìïé þ ãñ¦ñáTì-ñávÑé þ á+çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì;è`âç`æáTà äHçì-ñ(ãî`áTâáHîÏãêìïé þ ãñ¦è2åRèáTâ'ãñå#è`âçéçétðXèá<ºçâ¦å:!ãî`áäTæ¯åññçäHçàè`æáÿéáHä þ ì`ãäåRæè`âç`æáTà#ñò= âçà é þ ãñ®î`áHñäTâ(ãêè`é(ãçìïãêé'ãñ'åRæêâáåî@ð3äTæáåRâ'é þ åRéì-çé®åRæêæè)çvññã`æánß-áHñ(é(ãçì-ñ®äåRì>áãêì?háHñ(é(ãnåRéáHîÏåRé

çì-äHávò ýþ ß-ñÑ@é þ ãñè2åRè)áTâãêìXé(âçXî@ß-äHáHñ'ãêìnéç°é þ ãñ32áTæî5nð±ß-ñ(ãêì°ìnß`à#áTâ(ãäåRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÏåRì-îA@çàè`ß`éå;é(ãçì2åRæ = æêß`ãîÔ¦ðXì2åRàãäHñ0B@ = Ô 2 éçÿçè`é(ãêàãêëáé þ á#á4¶äTãáTì-äTð;çé þ áC+- / ß-ñ(ãêì çì-á°è2åRâåRà#áTéáTâçì`æêðhÑì2åRà#áTæêðÿé þ áñçäåRæêæáHîED )F(HGJIK "LIMIN$PORQTS UJNVIW0QÓX-@ 2 ò∗ YZ[]\B^ _R`aBb*Z c9deaB[gfhjilk3bm n o#Z;prqsitruwvgh.x;defy;hzaB%\|ap~t ! mlh[y;h.f^h.[k9tilh.aBkXd!ft y[]aBHp '`h.aB!hft k[gz^d!hvp devgk!l Z![g\B^?p Zk† wf[g h.aB|[]\P~Z!lvgk9tlh;\pZew`kh.aB[gdevc9de\B^;hkXde\B[gtmwhvgk^Zv]\B%\|apt! !¡wvk9t¢ilh.aBkXd!ft |h.bd!%\B[defJp |[gfhzat !deaB%\Bh.fJp `;aBbd!fHel`f;[g£¤`;vk9p yh

¥

ýþ ãñ¦è2åRè)áTâ¦ãñçânåRì`ãêëáHî;åñºçæêæçñò ì-=áHäTé(ãçì ÎCá+î`áHñäTâ(ãá+é þ á¦+Lçãêé þ .-=ä þ ì-áTãî`áTâ 0© / âçèáTæêæáTâÑ þ áTâá<á9ºçXäTß-ñ®çì é þ çvñáè2åRâ(éñ'é þ åRé'áTìnéáTâ¦é þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÏè`âç`æáTà ò1-=áHäTé(ãçì¨§°ãñ'î`á hçéáHîïéçé þ áî`áHñäTâ(ãêè`é(ãçì;çLé þ áà¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRælà#ç=î`áTæêæêãêì-Ñãêìµè2åRâ(é(ãäTß`æ¯åRâ®éç¶é þ á<ºçâ(àWß`æ¯åRé(ãçì;çLé þ áWçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìè`âç`æáTà åRì-îÃãêéñ¶î@ãñäTâáTé(ãêëiåRé(ãçì^ò ýþ áÿìXß`à#áTâ(ãäåRæ¦ñ(ãêà+ß`æ¯åRé(ãçì çé þ áÿí2ç ãêì-î@ß-äHáHînð é þ áW+- / ãñèáTâQçâ(à#áHînð@ = Ôxà#áTé þ çXî`ñiò ì©-=áHäTé(ãçìª-ÑáÏî`áHñäTâ(ãá é þ áµìnß`à#áTâ(ãäåRæà#áTé þ çXî`ñ±ß-ñáHîQçâ[é þ áìnß`à#áTâ(ãäåRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìè`âç`æáTà ò ýþ á;à¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRæ+è`âçèáTâ(é(ãáHñïç°é þ á çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìè`âç`æáTàî`áHñäTâ(ãáHî ãêì¢-=áHäTé(ãçì¢§æáåî ß-ñ[éç ñ(èáHäTãF2äÏä þ çãäHáHñÿç+çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì©à#áTé þ çXî`ñiÑ!æçXäåRæåRì-îvæç2åRæxÑ þ ãä þ åRâáî`áTéåRãêæáHîÏãêì-=áHäTé(ãçì«ª-ò Î@ò98®ß`â¦ìnß`à#áTâ(ãäåRæâáHñß`æêéñ¦åRâáî`áHñäTâ(ãáHîïãêì¬-=áHäTé(ãçì Ð¶åRì-î«ááTì-îé þ ãñ!è2åRèáTâãêì-=áHäTé(ãçìÏÒ!ãêé þ äHçì-äTæêß-ñ(ãçì-ñ®åRì-îïåRì çß`é(æç=çÿéçFß`â(é þ áTâ'âáHñáåRâä þ åäTé(ãXãêé(ãáHñò

® ¯°±³² øüzö´°<µ¶û·°õ±üù±l÷© ¹ ÷øº5±¼»M»M±l÷ ì ¥½ ÎhË±é þ ãññ þ ãêè¿¾½ñè`âçè`ß`æñãçì ñ(ð@ñ(éáTà Ñ.é þ áçì`æêð;çì-á#çãêéñ<Xãêì-î;ãêìé þ áçâ(æî.Ñ¿åñWî`á háTæçèáHînð+Lçãêé þ 2åñáHî çì é þ áW2åñ(ãä±ãî`áåÏç®é þ áWÀ'ß-ñé(â(ã¯åRì áTìvãêì-áHáTâCÁâ(ì-ñ(éCÂ^áHç¬-=ä þ ì-áTãî`áTâ«0 ¥ Ì ½ ªÃ ¥½ ËÐ 2 ò ì= ãvß`âá ¥ çì é þ á æáQé þ åRì-î ñ(ãî`áïéLç¬+Lçãêé þ .-=ä þ ì-áTãî`áTâ 0© / âçè)áTæêæáTâñ[ãêìnéá vâåRéáHî ãêì&å é(ß¬)çhåRéÿåRâáñ þ ç!ì^Ñ@é þ áâ(ã þ é þ åRì-î ñ(ãî`áñ þ çñ'åñáHäTé(ãçì2åRæ^î@âå!ãêì[çé þ áÄ+- / ò ýþ áè`âçèáTæêæáTâ'åRæêæçñ!é þ â(ß-ñ(éçåRìnð[à¶åvì`ãêé(ß-î`áéç)áháTì-áTâåRéáHîÿãêìÿåRìXð[î@ãêâáHäTé(ãçì>Xß`ãäM=æêðhÑ=è`âáHäTãñáTæêð±åRì-î±ãêì åWäHçìXé(ãêìnß-çß-ñ(æêðWvåRâ(ã¯å`æáà¶åRì`ì-áTâò éäHçà¦`ãêì-áHñ'è`âçè`ß`æñ(ãçìÏåRì-î3ñéáHáTâ(ãêì#ãêìµå°ñ(ãêìvæáß`ì`ãêéò

3 kinematic transmission

1 rotor casing2 blade

4 control rod5 servomotor6 bevel gear7 reduction gear

9 propeller housing10 thrust plate11 roller bearing12 gear pump

8 driving sleeve

= ãvß`âá ¥*Å +Lçãêé þ .-=ä þ ì-áTãî`áTâ 0© / âçè)áTæêæáTâ

8®ì¶é þ á+Lçãêé þ .-=ä þ ì-áTãî`áTâ 0© / âçè)áTæêæáTâÑ@åâçéçâäåñ(ãêì0 ¥ 2 þ ãä þ áTì-î`ñLí-ß-ñ þ !ãêé þ é þ á'ñ þ ãêè¿¾½ñ,çé(éçàãñ-é(éáHî©!ãêé þ å ìnß`à¦áTâ ç°å;@ã¯åRæêæêð è2åRâåRæêæáTæ`æ¯åî`áHñÆ0ºÎ 2 åRì-î âçéåRéáHñïåçß`é åÆháTâ(é(ãäåRæWå;@ãñò ý çháTì-áTâåRéáé þ â(ß-ñ(éÑ.áåä þ çé þ á+è`âçèáTæêæáTâÄ`æ¯åî`áHñèáTâºçâ(à#ñåRì;çvñäTãêæêæ¯åRé(ãêìÿà#çé(ãçì å)çß`éãêéñç!ì å;@ãñ0Qñ(ãêàãêæ¯åRâéçé þ áà#çé(ãçì±çé þ á'éåRãêæ-ì[çåÄ2ñ þ 2 ò ýþ ãñãñLñ(ß`èáTâ(ãêàèçvñáHîCXðåß`ì`ãFQçâ(à âçéåRâ(ð°à#çé(ãçì^òÓæ¯åî`á;á@äTß`âñ(ãçì î`áTéáTâ(àãêì-áHñ3é þ áåRà#çß`ìXéïçWé þ â(ß-ñ(éÑ þ ãêæáÏé þ áµè þ åñá;åRìvæáç)áTézáHáTì

0åRì-î

360î`áTéáTâ(àãêì-áHñãêéñî@ãêâáHäTé(ãçì^ò¦À¦ñå¶âáHñß`æêéÑé þ á°ñåRà#áåRà#çß`ìXéçé þ â(ß-ñ(éäåRì¨)áháTì-áTâåRéáHî;ãêì åRìnð

î@ãêâáHäTé(ãçì^Ñ=à¶åXãêìWé þ ãñé þ á!ãî`áåRæ´åRâ(ã¯å`æáxè`ãêéä þ è`âçèáTæêæáTâòÓçé þ våRâ(ã¯å`æáHñ¼Ãé þ á!à¶åvì`ãêé(ß-î`á¦åRì-î¶é þ áî@ãêâáHäTé(ãçìµçé þ â(ß-ñ(éÃÿåRâáäHçìné(âçæêæáHînð å°äHçìXé(âçæâç=î¬0'ª 2 ÑÇ þ ãä þ ãñ!è`ß`æêæáHîAnðÿéLç¶ñáTâhçà#çéçâñÈ0ºÐ 2åRì-îïåà#áHä þ åRì`ãäåRæw=ãêì-áTà¶åRé(ãäé(âåRì-ñ(àãññãçìE0|§ 2 òÔ¦ß-á¶éçµãêéñå`ãêæêãêé(ãáHñiÑlé þ á:+Lçãêé þ .-=ä þ ì-áTãî`áTâ 0© / âçè)áTæêæáTâ°ãññçTxåRâWß-ñáHî ãêìåRéáTâé(âåäTéçâñÑlºáTâ(â(ãáHñÑàãêì-á þ ß`ìXéáTâñ åRì-î ñ(èáHäTã¯åRæ®ñ þ ãêè-ñ#í2çhåRé(ãêì äTâåRì-áHñ[çâ±çXäHáåRì-çvâåRè þ ãäµâáHñáåRâä þ ñ þ ãêè-ñiò = çâ±åRæêæ®é þ çvñáî@ãFÉ.áTâáTìné!è`ß`â(èçvñáHñé þ áTâáåRâá¦î@ãFÉ.áTâáTìné!è`âçèáTæêæáTâéð=è)áHñiÑXé þ åRé!î@ãFÉ.áTâãêìÿñãêëávÑXìXß`à¦áTâçÊ`æ¯åî`áHñÑ`ñ þ åRèáç,`æ¯åî`áHñÑ#`æ¯åî`á°ñ(éáHáTâ(ãêì3åRì-îµà¶åRìXðïçé þ áTâäHçì-ñ(é(â(ß-äTé(ãçìî`áTéåRãêæñòÄÀ'æêæ«é þ çvñá+è2åRâåRà#áTéáTâñ þ åhávâáåRéãêì@í-ß-áTì-äHáWçì3é þ áWä þ åRâåäTéáTâ(ãñ(é(ãäHñ¦ç«é þ áè`âçè)áTæêæáTâò

Î

−60

−40

−20

0

20

40

60

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360bl

ade

stee

ring

angl

e α

[°]

phase angle φ [°]

= ãvß`âáWÎ Å `æ¯åî`áWñéáHáTâ(ãêì¶äTß`âhá:0QÓX-@ 2 ò

ýþ á¶ñ(éáHáTâ(ãêìÏç!é þ áC`æ¯åî`ávÑãxò½ávòêÑé þ á[çvñäTãêæêæ¯åRé(ãêìïà#çé(ãçì à#áTìné(ãçì-áHîÃå)çhávÑäåRìE)á¶î`áHñäTâ(ã)áHîVåññ(éáHáTâ(ãêìåRìvæá0

αãêì = ãvß`âáÎ 2 ãêì°î`áTè)áTì-î`áTì-äTð°ç2é þ áâçéçâX0 ¥ 2 è)çvñ(ãêé(ãçìT0 Φ ãêì = ãvß`âá!Î 2 òlË áäåRæêæ=é þ ãñé þ áTD)F(?G?IK "LIMIN$POJQS URN!VIAÌ'ÍÎlÏ´Ðò ýþ ãñäTß`âhá+ãñ®ì-çéçì`æêðµî`á-ì`ãêìÿé þ á+à¶åvì`ãêé(ß-î`á#åRì-îµî@ãêâáHäTé(ãçì ç

é þ â(ß-ñ(éÑ@ãêéçJXãçß-ñ(æêð3åRæñç þ åñ!áTì-çâ(à#áHçß-ñ'ãêì@í-ß-áTì-äHáçì3é þ á¦í2ç åRâçß`ì-î3é þ áè`âçèáTæêæáTâ'åRì-îÿé þ áTâáºçâáçì°ãêéñá4¶äTãáTì-äTðhò ésåñlé þ áTâáQçâá!ä þ çvñáTì¶åñçß`âsåRâ(ã¯å`æáè2åRâåRà#áTéáTâsºçâçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^ò8®ß`âlè`âç`æáTàß`ì-î`áTâãêì?háHñé(ãnåRé(ãçì ãñé þ ß-ñWéç-ì-î åRì çè`é(ãêà¶åRæÓX-@ãêìé þ áñáTì-ñáé þ åRéé þ áá4¶äTãáTì-äTðçé þ áÈ+<- /ãñà¶å;@ãêà¶åRæ¼ºçâ¦é þ á¶î`áTéáTâ(àãêì-áHî ÓX-@ åñäHçàè2åRâáHî!ãêé þ åRæêæLçé þ áTâñiò = ãêâñ(éá þ åhá#éç3ñ(èáHäTãFFðµé þ áà¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRæà#ç=î`áTæêæêãêì[çlé þ áè`âç`æáTà ò

Ñ ¯°±¡ÒºWö)üeÓ üMÔlÕöüøõ ¹ ÷øÖ»e±,Ó ì3è`â(ãêì-äTãêè`æávÑ`é þ ánß-áHñé(ãçìïç«î`áTéáTâ(àãêì`ãêìÿåRì çè`é(ãêà¶åRæÓX-@ äHçß`æîïåRæñçÈáãêì?háHñ(é(ãnåRéáHîTXðÿè þ ð@ñ(ãäåRæá@è)áTâ(ãêà#áTìXéñò ì¬xåäTéÑl+Lçãêé þ þ åñ°å èçáTâFß`æ3åRéáTâ°éåRì þ ãä þ åRæêæçñ°ñá háTâåRæá@èáTâ(ãêà#áTìnéñò = çâñ(ß-ä þ åRìVçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^Ñ þ çá háTâÑçì-áCçß`æîVì-áHáHîVå þ ßháÿåRà#çß`ìnéç'á=èáTâ(ãêà#áTìnéñiÑs þ ãä þ ãñ¦çé þá@è)áTì-ñ(ãháåRì-îé(ãêà#áäHçì-ñ(ß`àãêì-òlÍµçâáHçháTâÑé þ áTâá¼çß`æî¦)áLì-çvß2åRâåRìnéáHáé þ åRé^é þ áLî`áTéáTâ(àãêì-áHîäTß`âháãñãêì±ñçà#á®ñáTì-ñá®çè`é(ãêà¶åRæxò = ß`â(é þ áTâ(à#çâávÑ`çì-á¦áTì-äHçß`ìXéáTâññäåRæêãêìè`âç`æáTà#ñ1 þ áTì3äHçàè2åRâ(ãêìâáHñß`æêéñç`éåRãêì-áHî ãêìé þ á#à#çXî`áTæLéç3î-åRéå3à#áåñ(ß`âáHî ãêìâáåRæêãêétðhòÀ¦ñåRì á-åRàè`æávÑ^é þ á#áÉ.áHäTéWçé þ áC×'áTð=ì-çæî`ñìnß`à)áTâ±î`çXáHñ#ì-çé¶ñäåRæá åRè`è`âçè`â(ã¯åRéáTæêðhÑáHäåRß-ñáÿé þ á á@è)áTâ(ãêà#áTìXéñ[åRâá äåRâ(â(ãáHî&çß`é¶åäHäHçâî@ãêìvæêðÃéç= âçß-î`á*¾½ñÂåòýþ áTâáQçâávÑHáß-ñáìnß`à#áTâ(ãäåRæ-ñ(ãêà+ß`æ¯åRé(ãçì-ñåñ«å2åñáéç¦î`áTéáTâ(àãêì-áé þ áâáTæá våRìnélè2åRâåRà#áTéáTâñìXß`à#áTâ

ãäåRæêæêðhò ýþ ß-ñÑHáì-áHáHî#å®à¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRæ-à#ç=î`áTæ7Qçâlé þ áí2çÃãêì-î@ß-äHáHîÈXð+é þ á3+<- / åRì-îå'à¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRæºçâ(àWß`æ¯åRé(ãçìµçlé þ áäHçâ(âáHñ(èçì-î@ãêì¶çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÏè`âç`æáTà òØsÙLÚ Û5Ü,ÝßÞáà#âHÜ,Ýãà#âHäLå7àçæÞrèséêÝæË áñ(éåRâ(éXð ãêìné(âç=î@ß-äTãêìÿé þ áà¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRæà#çXî`áTæl þ ãä þ î`ç=áHñ'ì-çé¦ðháTé®ãêìJhçæháåRìnðµî@ãñäTâáTé(ãêëiåRé(ãçìºçâ!ìnß`à#áTâ(ãäåRæè`ß`â(èçvñáHñò ýþ ãñ!ãñî`çì-áãêìµå°ñáHäHçì-î ñ(éáTè^ò

§

ëçì%í´ì'í îï ×ðñPò`Ü«× Á·ó ×n×XÛô%õwö Ä÷ Ûø)× Å ð ÁÄÉÂ^áTéß-ñ,-âñéî`áHñäTâ(ãá®ãêì¶à¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRæ.éáTâ(à#ñ!åRìÿåRè`è`âçè`â(ã¯åRéáÓX-@¦ò çá¦è2åRâåRà#áTéáTâ(ãêëá¦é þ á®âçéåRé(ãçìç'å3è`âçèáTæêæáTâ¦XðãêéñåRìvæávÑlá[ç`éåRãêì é þ á¶è2åRâåRà#áTéáTâ+ãêìXéáTâåRæ

[0, 2π]ò ýþ ß-ñÑlá±åRâá#æç=çXãêìAQçâ

Qß`ì-äTé(ãçì-ñs : [0, 2π]→ [−π, π],Φ→ s(Φ) = αâáTè`âáHñáTìXé(ãêìÿå°ÓX-@¦Ñ!ãêé þ

ΦåRì-î

αåñ!ãêìné(âç=î@ß-äHáHî ãêì«-=áHäTé(ãçì;Î@ò8?=ãçß-ñ(æêðhÑñ(ß-ä þ åÈFß`ì-äTé(ãçì ì-áHáHî`ñ

éçá IN$%G$%SÑnãxò½ávòêÑs(0) = s(2π)

ò = ãêì2åRæêæêðhÑnî@ß-á!éçéáHä þ ì`ãäåRæ2âáåñçì-ñiÑHá'î`çì-çéåRæêæç&âåRè`ãî#ä þ åRìháHñç.é þ á'çâ(ãáTìXéåRé(ãçìÿç^é þ á`æ¯åî`á®åRì-î¶é þ ãñäHçâ(âáHñ(èçì-î`ñéçWñ(à#ç=çé þ ì-áHññçé þ á®ÓX-@¦Ñnñåð

s ∈ C2[0, 2π]ò

ýþ ß-ñáäåRæêæé þ áñ(è2åäHá

C22π := s : [0, 2π]→ [−π, π] : s ∈ C2[0, 2π], s(0) = s(2π) 0|§@ò ¥ 2

é þ áÈKI "ùV()ú$|GÍ1ÎsÏlò8®ì-áµñ þ çß`æî ì-çéávÑ þ çá háTâÑ®é þ åRé[ì-çé±á háTâ(ð

s ∈ C22π

vãháHñ¶â(ãñá éç åâáåñçì2å`æá;ÓX-@ ãêì é þ áéáHä þ ì`ãäåRæ^ñáTì-ñávò ìºåäTéÑXé þ áå)çhá®à#ç=î`áTæî`çXáHñì-çéá@äTæêß-î`á¦é þ åRéé þ á'èáTâQçâ(à¶åRì-äHáçé þ á¦ñ þ ãêè±à¶åHðì-çé'ñ þ çå°î`áHñ(ãêâáHîTá þ å=ãçâX!ãêé þ åvãháTìµÓ-@¦òÇË á!ãêæêæäHçà#á2åäe[éçé þ ãñè)çãêìXéæ¯åRéáTâò <áAåRìnéÿéç çè`é(ãêàãêëáµé þ áÏá4¶äTãáTì-äTð çé þ á>+<- / åñ±åFß`ì-äTé(ãçì©çé þ áïÓX-@¦Ñçß`â[ç76(áHäTé(ãhá

Qß`ì-äTé(ãçìïç?=ãçß-ñ(æêðÿéåháHñ!é þ á9ºçâ(à

E : C22π → û , E : s 7→ E(s) := η0(s),

0|§@ò Î 2 þ áTâá

η0î`áTì-çéáHñ+é þ á¨I'üýS $BIO´S þvò ì çâî`áTâWéçµî`á-ì-á

E(s)Ñlá¶ì-áHáHî éçïî`áHñäTâ(ã)á¶é þ áí2ç%é þ åRéWãñ

ãêì-î@ß-äHáHîTXð±é þ áâçéåRé(ãçìïç«é þ á<+- / òëçì%í´ì Ç îï ×«ÿTòHøÊôF×XÛ Á·ó Ú×nÝ ÷ ò ó ôFÚ#õÝýþ áÞ¦åXãáTâ.-XéçháHñáXß2åRé(ãçì-ñåRâáLé þ áäHçâááXß2åRé(ãçì-ñlç2äHçìné(ãêìnß`ß`à Ñ?nåñåRì-îí-ß`ãîî@ðXì2åRàãäHñiò¦áTì-äHávÑé þ áTð åRæñçWºçâ(à åRì åRè`è`âçè`â(ã¯åRéá[à#çXî`áTæ þ áTâávòW-Xãêì-äHá#é þ áà#áHî@ãêß`àçé þ áí2çãñ<åRéáTâÑláß-ñáé þ á$'O´SM& ´NMI!KeK$|D )IÞå=ãáTâ.-XéçháHñ'áXß2åRé(ãçì-ñX þ ãä þ âáåîïåñ1ºçæêæçñ

∂

∂t~u+ ~u · ∇~u− ν∆~u+

1

ρ∇p = ~f,

div ~u = ∇ · ~u = 0,

0|§@òg§ 2

þ áTâá~uî`áTì-çéáHñé þ áß`ìXì-ç!ì>háTæç=äTãêéð52áTæî.Ñ

pé þ áß`ì=ì-ç!ì è`âáHññß`âávÑ ~f åvãháTì á=éáTâ(ãçâXQçâäHávÑ ρãñé þ ávãháTì0QäHçì-ñ(éåRìné 2 î`áTì-ñãêéðÏåRì-î ν ãñé þ áXãêì-áTà¶åRé(ãäÈ=ãñäHçvñ(ãêétðhò<À®æêæ«é þ áHñá¦Qß`ì-äTé(ãçì-ñî`áTèáTì-î;çìé(ãêà#á

t ∈ [0, T ]åRì-î;ñ(è2åäHá

x ∈ Ω ⊂ û 3 Ñ· þ áTâá#é þ á¦-ì2åRæé(ãêà#á T äHçâ(âáHñ(èçì-î`ñéçÿçì-áQß`æêæ«âçéåRé(ãçìçé þ áè`âçèáTæêæáTâåRì-î

Ωãñé þ á+î`çà¶åRãêìÏçé þ áWí2çò ìµåî`î@ãêé(ãçì^Ñ.åRè`è`âçè`â(ã¯åRéáWãêì`ãêé(ã¯åRæåRì-î>çß`ì-î-åRâ(ð

äHçì-î@ãêé(ãçì-ñ þ åháéçÈáãêàè)çvñáHî.òýþ áãêì@í-ß-áTì-äHáç«é þ á+ÓX-@

séç#é þ áí2çãñ=ã¯å°é þ á<çß`ì-î-åRâ(ð3äHçì-î@ãêé(ãçì-ñÑ2é þ áWá=éáTâ(ãçâQçâäHá ~f ãñî`áTéáTâ(àãêì-áHî;ávò -ò#nð é þ áåRéáTâñ(èáHáHîµåRì-îÏçé þ áTâá=éáTâ(ãçâ®í2ç äHçì-î@ãêé(ãçì-ñò9À¦ññ(ß`àãêì¶é þ åRé9á þ åhá

å°ñçæêß`é(ãçìïç(3.3)

Ñá+ç`éåRãêì è`âçè)áTâ(é(ãáHñ

~u(s) : [0, T ] × Ω→ û 3, p(s) : [0, T ]× Ω→ ûî`áTèáTì-î@ãêì¶çì é þ áè2åRâ(é(ãäTß`æ¯åRâ¦Ó-@

s ∈ C22π

ò

ª

ëçì%í´ìë Jô7×RõhØÞ¦çåññ(ß`àãêì3é þ åRéá þ åháé þ áXß2åRìné(ãêé(ãáHñ<Fâçà é þ á:@ = Ô äåRæäTß`æ¯åRé(ãçì-ñ+åRé þ åRì-î.Ñ¿á#åRâá#å`æá°éçäåRæäTß`æ¯åRéáé þ áâáTæá våRìné®éáHä þ ì`ãäåRælnß2åRìXé(ãêéðhÑ-ãxò½ávòêÑ-é þ áI'üýS $BIO´S þvò= ãvß`âáX§®ñ þ çññçà#áç2é þ áâáTæá våRìné¼háHçà#áTé(â(ðhòsË áñ(éåRâ(és!ãêé þ é þ áêºçâäHáãêì`ãêé(ã¯åRéáHîÈnð+é þ áè`âáHññ(ß`âá

~Fp(t) :=

∫

A(t)p(t, ~x)~n(t, ~x) dA

Ñ 0|§@ò ª 2 þ áTâá

Aî`áTì-çéáHñ'é þ áñ(ß`âxåäHáçé þ á`æ¯åî`áHñ'åRé!é(ãêà#á

tåRì-î

~n(t, ~x)ãñé þ áçß`ézåRâî ì-çâ(à¶åRæçháHäTéçâ®çì

é þ á`æ¯åî`áñß`âºåäHávòÞ¦á=é!é þ áQçâäHáäTâáåRéáHîAnð±é þ áñ þ áåRâ'ñ(é(âáHññ~τ := µ ∂u∂~n

ãñäåRæäTß`æ¯åRéáHî

~Fr(t) :=

∫

A(t)~τ(t, ~x) dA

ò 0|§@ò Ð 2ýþ áè2åRâ(é'çlé þ áÄºçâäHáHñ!ãêìïî@â(ã=ãêì¶î@ãêâáHäTé(ãçì ~d

çlé þ áñ þ ãêè3ãñé þ áC"?NU?K "ÇùNS!IT (t) :=

(~Fp(t) + ~Fr(t)

)· ~d ò 0|§@ò Ò 2

ýþ áC"BN UÇIM

äHçì-ñ(ãñéñç«ézç¶è2åRâ(éñ ÅMG

ãñ!é þ áéçâMXß-áâáTæ¯åRéáHî éç°é þ ávæç2åRæ^è`âçèáTæêæáTââçéåRé(ãçì

Og

~rg

~x

~n

~rlOl

= ãvß`âá¦§ Å äHç=çâî@ãêì2åRéáHñ®åRì-îTháHçà#áTé(â(ð3çlé þ á+Lçãêé þ .-=ä þ ì-áTãî`áTâ 0© / âçèáTæêæáTâò

MG(t) :=

(∫

A(t)p(t, ~x)~n(t, ~x)× ~rg + ~Fr(t)× ~rg dA

)· ~zD

Ñ 0|§@ò Ë 2 þ áTâá

~rgî`áTì-çéáHñé þ áW) IVI N±çé þ áÈvæç2åRæâçéåRé(ãçì^Ñ^ãxò½ávòêÑ.é þ áÈháHäTéçâ9Qâçà é þ áäHáTìnéáTâWçé þ ávæç2åRæ

âçéåRé(ãçìOg

éç~xåRì-î

~zDî`áTì-çéáHñé þ ávæç2åRæ^å;@ãñçâçéåRé(ãçì^ò

MBãñé þ á¦éçâMXß-á'ì-áHäHáHññåRâ(ð¶éçñ(éáHáTâ

é þ á`æ¯åî`áHñ'åäHäHçâî@ãêìvæêð3éç#é þ áÓ-@sÅ

MB(t) :=

(∫

A(t)p(t, ~x)~n(t, ~x)× ~rl + ~Fr(t)× ~rl dA

)· ~zD

Ñ 0|§@ò Ì 2 þ áTâá

~rlî`áTì-çéáHñé þ á) IVINçlé þ á`æ¯åî`áâçéåRé(ãçì^ò ý çháTé þ áTâá þ åhá

M(t) := MG(t) +MB(t)1

2πn

∂s(t)

∂t

ò 0|§@ò ½ 2Ð

Óð[éå=ãêì#é þ áãêìXéá vâåRæñ!ãêé þ âáHñè)áHäTé!éçé(ãêà#átçháTâ®çì-áäHçàè`æáTéáè`âçèáTæêæáTâ'é(ß`â(ìTá+ç`éåRãêì

T :=

∫ 2π

0T (t) dt

åRì-î 0|§@ò ¥ Õ 2

M :=

∫ 2π

0M(t) dt

ò 0|§@ò ¥*¥ 2ýþ á°è`âçè`ß`æñ(ãçì á4¶äTãáTì-äTð;çé þ áQâáHáâ(ß`ì`ì`ãêì3è`âçè)áTæêæáTâãñî`á-ì-áHî åñé þ á°âåRé(ãç3çé þ á+è`âçè`ß`æñãçìèçáTâÈ0

Tva2 åRì-îÿé þ áî`áTæêãháTâáHîïè)çáTâ0 M2πn 2 Ñ þ áTâá va ãñ!é þ áãêì@í2çñ(è)áHáHî éç°é þ áè`âçè)áTæêæáTâ Å

η0 :=TvaM2πn

ò 0|§@ò ¥ Î 2Þ¦á=éáäåRæäTß`æ¯åRéáé þ áî@ãêà#áTì-ñ(ãçì`æáHññXß2åRìné(ãêé(ãáHñQçâ!é þ â(ß-ñ(é¦åRì-îÿéçâMnß-ávò ýþ çvñáWåRâá

ks :=T

ρ2DL(Dπn)2

åRì-î 0|§@ò ¥ § 2

kd :=2M

ρ2D

2L(Dπn)2

Ñ 0|§@ò ¥ ª 2 þ áTâá

ρãñ'é þ á+î`áTì-ñ(ãêétð ç,åRéáTâÑ

Dãñ'é þ á+î@ã¯åRà#áTéáTâ¦çLé þ áWè`âçè)áTæêæáTâÑ

Lî`áTì-çéáHñ®é þ áWæáTìvé þ çLé þ á

`æ¯åî`áHñ®åRì-înãñ!é þ áìnß`à¦áTâ®çlâá hçæêß`é(ãçì-ñ'çlé þ áè`âçèáTæêæáTâò¦áTì-äHáá þ åhá

η0 =ks

kdλò 0|§@ò ¥ Ð 2

= ãêì2åRæêæêðhÑ`é þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìµè`âç`æáTà ß`ì-î`áTâ'äHçì-ñ(ãî`áTâåRé(ãçìµãñ!é þ áÄºçæêæç!ãêìη0(s)→ max

s∈C22π

!0|§@ò ¥ Ò 2

ýþ ãñ¼ºçâ(àWß`æ¯åRé(ãçìÿäHçâ(âáHñ(èçì-î`ñLéçWåRìAUJOÇNMI!K "%N!$|S"LIG! #"%$'&$(H"%$%O< ´N?D) I&!ãêé þ åÈO´O)ú$'O#I(Nç76(áHäTé(ãháQß`ì-äTé(ãçì^òA8?=ãçß-ñ(æêðhÑsá[äHçß`æî åRæñç>Qçâ(à+ß`æ¯åRéá¶é þ á¶è`âç`æáTà åñå / Ô9Á äHçì-ñ(é(âåRãêì-áHî çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìè`âç`æáTà ò ÍÏáTé þ ç=î`ñÑåî7våRìnéåháHñ¶åRì-îÃî@ãF4¶äTß`æêé(ãáHñ#ç®é þ ãñ#åRè`è`âçhåä þ åRâáÿî`áTéåRãêæáHî ãêì ¥ ò¦çá háTâÑåñ¦ºåRâ°åñ¦á[äHçß`æîVñáHávÑ«é þ ãñ+î`ç=áHñ+ì-çé+çÉ.áTâ°å>)áTé(éáTâä þ çãäHáQçâ+é þ á¶ìXß`à#áTâ(ãäåRæé(âáåRé(à#áTìnéQçâ+é þ áäHçì-ñ(ãî`áTâáHî°è`âç`æáTà ò¼ÁLñè)áHäTã¯åRæêæêð!ãêé þ çß`é¼vãXãêìß`è°é þ á3`æ¯åäM)ç°åRè`è`âçhåä þ åRì-î°âá !â(ãêé(ãêìé þ áX@ = ÔñçQéLåRâávÑÇ þ ãä þ ãñ'åRæêà#çvñ(éãêàèçvññ(ã`æá9ºçâäHçà#áTâäTã¯åRæñçQéLåRâávòØsÙ ¬äå! ?ÝâHä#"à#âHäBè$Þ¦ç áãêìné(âç=î@ß-äHáé þ áî@ãñäTâáTé(ãêëiåRé(ãçìé þ åRésáß-ñáãêì°çâî`áTâ«éçî`áTéáTâ(àãêì-áå®ìnß`à#áTâ(ãäåRæ2åRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçìéç°é þ áç76(áHäTé(ãhá9Qß`ì-äTé(ãçì

η0(s)ò

ëçì Ç ì'í % ò`Ûò'& × ó Ûô(Hò ó ôFÚ´õ Ú) ó ï ×ð Á«Äýþ á¼Qß`ì-äTé(ãçì°ñ(è2åäHá

C22π

ãñãêì7-ì`ãêéáî@ãêà#áTì-ñ(ãçì2åRæxò ýþ ß-ñiÑ;áì-áHáHî°å1-ì`ãêéáî@ãêà#áTì-ñãçì2åRæ`åRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçì þ ãä þ ãññ(ß`ãêéå`æáÄºçâ!é þ áìnß`à#áTâ(ãäåRæé(âáåRé(à#áTìXéò ýþ ãñ!à#áåRì-ñiÑ7áì-áHáHî å¦ 7(*N(&:I "%N$(*"%$|O

p : û n →C2

2π

Ñ û n 3 X 7→ s(X)Ñ2ãxò½ávòêÑ-åÓX-@

sãñâáTè`âáHñáTìnéáHîAnð

nî`á vâáHáHñ®çwQâáHáHî`çà ò

ýþ áì-á@é®ñ(éáTèïãñéçãêìXé(âçXî@ß-äHá°å°è2åRâ(é(ãäTß`æ¯åRâåRè`è`âç@ãêà¶åRé(ãçìÏß-ñãêìnî`á vâáHáHñ®çsQâáHáHî`çà òÔ®ß-áéç

é þ áñ(à#çXçé þ ì-áHññ'è`âçèáTâ(é(ãáHñçå#ÓX-@¦Ñãêé®ãñ®à#áåRì`ãêìFß`æléç±î`ç¶é þ ãñ¦ávò -ònð èáTâ(ãçXî@ãä+Óñ(è`æêãêì-áHñòÄÂ^áTéß-ñî`áTì-çéáXð

Ξn := ξ1 ≤ · · · ≤ ξnÑξi ∈ [0, 2π]

å°ñáTéçsXì-çéñ®åRì-îTnðS(n; Ξn)

Ò

é þ áWñè2åäHá+çêXß2åî@âåRé(ãäWèáTâ(ãç=î@ãäWñ(è`æêãêì-áHñ¦äHçâ(âáHñ(èçì-î@ãêì[éç[é þ á<=ì-çéñΞnò ýþ á+è2åRâ(é(ãäTß`æ¯åRâ¦ä þ çãäHáç

ΞnÑlãxò½ávòêÑlé þ á[è`âáHäTãñávåRæêß-á:Qçâ

nåRì-îVé þ áÿä þ çãäHá3åRì-îVæçXäåRé(ãçìÃçXQâáHá[çâ`áHîÆ=ì-çéñ°î`áTè)áTì-î`ñç

äHçß`âñáçìÿé þ á¦è`âçè)áTâ(é(ãáHñ'çé þ á¦ß`ì-î`áTâ(æêðXãêì¶è`âç`æáTà ò ýþ ãñ1!ãêæêæç)áî`áHñäTâ(ãáHî±ãêì-=áHäTé(ãçìïÐ@ò ¥ )áTæçò®áTì-äHá<áâáTè`æ¯åäHá

(3.16)Xðÿé þ áCG$¤KS NMI "LIçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìïè`âç`æáTà

η0(sn)→ maxsn∈S(n;Ξn)

!0|§@ò ¥ Ë 2

ýþ ãñ!à#áåRì-ñ'é þ åRéXáWåRâáºåäHáHîW!ãêé þ åRìmî@ãêà#áTì-ñãçì2åRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìµè`âç`æáTà ÑÇ þ áTâá

m := n− 1åRì-î 0|§@ò ¥ Ì 2

m := 2n− 30|§@ò ¥½ 2

ºçâ@áHî>Xì-çé¦ñ(è`æêãêì-áHñ®åRì-îWQâáHá<=ì-çé'ñ(è`æêãêì-áHñ'âáHñ(èáHäTé(ãháTæêðhò8LäHçß`âñávÑ2é þ áá4¶äTãáTì-äTð çå°ìnß`à#áTâ(ãäåRæà#áTé þ ç=îµäTâ(ß-äTã¯åRæêæêðÏî`áTè)áTì-î`ñçìÏé þ áî@ãêà#áTì-ñãçì

mò ýþ ß-ñÑãêéÄ!ãêæêæwá°åRìµãêàèçâ(éåRìnééåñ éç±ä þ ç=çvñá

nãêìåRì;åRè`è`âçè`â(ã¯åRéáåðhò ýþ ãñ!ãêæêæláWî`áHñäTâ(ãáHîïæ¯åRéáTâò ýþ á°ä þ åRâåäTéáTâçé þ áçâ(ãvãêì2åRæ«çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìè`âç`æáTà 0Fì-çì`æêãêì-áåRâ'ß`ì`âáHñ(é(â(ãäTéáHî è`âç`æáTà 2 ãñçläHçß`âñáì-çéä þ åRìháHî.òëçì Ç ì Ç Ä Ú*&+ ÷¿ó ò ó ôFÚ#õÊòÇñ-,ñ ÷ ôFÜ/.ÿØÊõÊò'&EônÝ ìÏè`â(ãêì-äTãêè`æávÑwáäHçß`æî;ß-ñá#åRìnð;î@ãñäTâáTé(ãêëiåRé(ãçìºçâé þ á°ãêì-ñ(éåRé(ãçì2åRâ(ðhÑ^ãêì-äHçàè`âáHññã`æá#Þ¦åXãáTâ.-XéçháHñáXß2åRé(ãçì-ñò ýþ ãñ'ãñnð3ì-çè2åRâ(é¦çLåCáTæêæFáHñ(éå`æêãñ þ áHîA2áTæîµäåRæêæáHîÏ¼& ´U7"B(*"%$|O´()10,) UR$%G2<þO´(&È$%S KÌ!Ï3042ÐRòÞ¦çéávÑ þ çá háTâÑné þ åRé¼á þ åhá'åRìãêì-ñ(éåRé(ãçì2åRâ(ðhÑnì-çì`æêãêì-áåRâ§î°è`âç`æáTà åRé þ åRì-îÈ þ ãä þ äåRì`ì-çé6zß-ñ(é1)áñçæháHîWXð65½ìnß`à#áTâ(ãäåRæw`â(ß`éáÄQçâäHá*¾êòÍÏçâáHçháTâÑ-é þ áìnß`à#áTâ(ãäåRæñçæêß`é(ãçì ç«é þ áÞ¦åXãáTâ.-XéçháHñáXß2åRé(ãçì-ñäHçãêì-äTãî`á!ãêé þ é þ áá våRæêß2åRé(ãçì ç«é þ áç76(áHäTé(ãhá9Fß`ì-äTé(ãçì ç«é þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìïè`âç`æáTàáºçâO#Iÿè2åRâ(é(ãäTß`æ¯åRâ°ÓX-@¦ò ýþ ãêìXãêìç¦åRìVãêéáTâåRé(ãháÿçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÃà#áTé þ çXî.Ñçì-á þ åñéçµá@èáHäTé°åïæ¯åRâháìnß`à)áTâ¦ç«é þ áHñáá åRæêß2åRé(ãçì-ñåRì-î þ áTì-äHáá4¶äTãáTì-äTð3ãñ'åà¶å;6(çâéåRâháTé þ áTâávò

RANSE Comet

Euler

Vortex-Lattice MethodLaplace

N-S eqn.

= ãvß`âáª Å ®ãáTâåRâä þ ð çlà#áTé þ ç=î`ñò

ÀÂäHçàà#çìåðµçñçæXãêìWÁ,Xì^ò 0|§@òg§ 2 åRæñçCºçâäHçàè`æáháHçà#áTé(â(ãáHñWåRâá = ãêì`ãêéáÁLæáTà#áTìné:0 = Á 2 çâ= ãêì`ãêéáX+Lçæêß`à#á0 = + 2 à#áTé þ ç=î`ñò = çâé þ á+- / ÑH+Lçãêé þ[þ åñåî-åRè`éáHî±åäHçàà#áTâäTã¯åRæ = +äHçXî`á0B@çà#áTé 0© 2åRì-î é þ ãñ#ãñ°ãêìXéáTì-ñáTæêð ß-ñáHîºçââáHñáåRâä þ åRì-î î`á háTæçè`à#áTìnéò7¦çá háTâÑé þ á ñ(ãêàWß`æ¯åRé(ãçì&ç¦é þ á5Qß`æêæà#ç=î`áTæ®ñ(é(ãêæêæ¦éåháHñ¶ãêì&é þ áµçâî`áTâÿçWî-åHð@ñÑ!ñç é þ åRé¶ãêì é þ áïäTß`â(âáTìXéÿñéåRéá>áÏî`ç ì-çé¶ðháTé±ß-ñáµå = +ñä þ áTà#áQçâé þ á°Þ¦åXãáTâ.-XéçháHñWánß2åRé(ãçì-ñÄºçâé þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^òÓðïãêìXé(âçXî@ß-äTãêì ñ(ãêàè`æêãF2äåRé(ãçì-ñåññ þ ç!ìVãêì = ãvß`âáWªÏé þ á¶í-ß`ãî í2ç äåRìá±î`áHñäTâ(ã)áHîXð é þ áWÁß`æáTâáXß2åRé(ãçì çâQçâ¦ 7*"LIO´"%$%()*8:9nðé þ á5ÂåRè`æ¯åäHááXß2åRé(ãçì^ò = çâ+é þ á[çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìá¶ß-ñá[åWxåñ(é+Lçâ(éáJLÂåRé(é(ãäHá±à#áTé þ ç=î.Ñl þ ãä þ ãñ

Ë

î`áHñäTâ(ãáHîW)áTæçò ýþ á = + à#áTé þ ç=î`ñ'åRì-î á@èáTâ(ãêà#áTìnéñ®åRâáß-ñáHîÿæ¯åRéáTâ1QçâvåRæêãî-åRé(ãçì^ò ì-=áHäTé(ãçì>ª-ò ªé þ ãññ(é(âåRéá vðÿãñá@è`æ¯åRãêì-áHî3ãêìïî`áTéåRãêæxòî¦ï ×<;ÚÛ ó ×>=1@?,ò óó ôh×A& × ó ï Ú.Ü ì ýþ áé þ áHçâ(ð#ç^èçéáTìné(ã¯åRæ2í2çñ!åRì-î#é þ áhçâ(éáRxæ¯åRé(é(ãäHá¦à#áTé þ çXî¶ãñçß`é(æêãêì-áHî ãêìÏî`áTéåRãêæãêìB ½: ò ýþ áWåî-åRè`é(ãçìÏéçé þ á¦+- / åRì-î é þ áWäHç=î`ááß-ñáãñ®á=è`æ¯åRãêì-áHîïãêìB Ì ò ýþ áé þ áHçâ(ðç.è)çéáTìXé(ã¯åRæ-í2ç&ãñ,2åñáHî¶çì#é þ á®åññß`àè`é(ãçì-ñLé þ åRéé þ á!í-ß`ãîãñLãêì-äHçàè`âáHññã`æávÑnãêìJXãñäTãî±åRì-îãêâ(âçéåRé(ãçì2åRæxòË á°åRæêâáåî@ðµæêãêàãêéáHîçß`âäHçì-ñ(ãî`áTâåRé(ãçì éç±é þ áãêì-äHçàè`âáHññ(ã`æáÈháTâñ(ãçìçé þ á°Þå=ãáTâ-XéçháHñ'áXß2åRé(ãçì-ñòLÞ¦çáãêìXé(âçXî@ß-äHáWé þ áWåî`î@ãêé(ãçì2åRæ«åññß`àè`é(ãçì^Ñ`é þ åRéºçâí2çñ®åRé þ ã þ ×'áTð=ì-çæî`ñìnß`à)áTâñ

Re ∼ 1ν

é þ á#áÉ.áHäTéñç1XãñäHçvñãêéð;äåRì)áì-á væáHäTéáHî çß`éñãî`á°é þ ãêì)çß`ì-î-åRâ(ð;æ¯åHðháTâñ+åRâçß`ì-îé þ á<`æ¯åî`áHñåRì-îµé þ áTãêâåháHñò = çâ¦é þ á<vãháTìÏè`âç`æáTà é þ á×®áTðXì-çæî`ñ'ìnß`à¦áTâãñ'ãêìµé þ áWçâî`áTâç

107 òC ãháTì åRìãêâ(âçéåRé(ãçì2åRæãêì@í2çÂéç é þ áî`çà¶åRãêì ß`ì-î`áTâWäHçì-ñ(ãî`áTâåRé(ãçì^Ñé þ á°í-ß`ãîâáTà¶åRãêì-ñãêâ(âçéåRé(ãçì2åRæxò-Xß-ä þ å°í2ç

~uäåRìAáWî`áHñäTâ(ãáHîµåñ'é þ á<vâåî@ãáTìXéçå#è)çéáTìXé(ã¯åRæÊQß`ì-äTé(ãçì

Φ : û 3 → û òED¦ñ(ãêì#é þ ãñiÑé þ áäHçìXé(ãêìnß`ãêéðµánß2åRé(ãçì>áHäHçà#áHñ!é þ á<ÂåRè`æ¯åäHáWáXß2åRé(ãçì Å

∆Φ = ∇ · ~u = 0ò 0|§@ò ÎvÕ 2

-Xãêì-äHá°é þ ãñãñå[æêãêì-áåRâánß2åRé(ãçìé þ á°ñçæêß`é(ãçì äåRìá+ç`éåRãêì-áHî¬nðïæêãêì-áåRâäHçà`ãêì2åRé(ãçì çñçæêß`é(ãçì-ñÑãxò½ávòêÑ.é þ áè`â(ãêì-äTãêè`æá¶çñ(ß`èáTâ(è)çvñãêé(ãçì^òF¦áTâáÈá#ß-ñáhçâ(é(ãäHáHñWçìé þ áÈ`æ¯åî`áñ(ß`âxåäHá>0')çß`ì-î¬hçâ(é(ãäHáHñ 2åRì-îé þ áåhá0PQâáHáhçâ(é(ãäHáHñ 2 òW-=á háTâåRæêçß`ì-î-åRâ(ð;äHçì-î@ãêé(ãçì-ñ þ åhá¶éçT)áñåRé(ãñ2áHî.ò ýþ çvñá[åRâáé þ áé(ãêà#áî`áTèáTì-î`áTì-îT=ãêì-áTà¶åRé(ãä<çß`ì-î-åRâ(ð±äHçì-î@ãêé(ãçì

~u(x) · ~n(x) = ~va(x) · ~n(x), x ∈ ∂B, 0|§@ò Î ¥ 2åRì-î

limr(x)→∞

(∇Φ(x)) = 0,0|§@ò ÎvÎ 2

þ áTâár(x)

î`áTì-çéáHñ!é þ áî@ãñ(éåRì-äHáçxéç°é þ á9`æ¯åî`áåRì-îWåhávò ýþ á9=ãñäHçß-ñ!áÉ.áHäTéñ!ì-áåRâ!é þ á9`æ¯åî`áHñ

åRì-î¨åháHñ+åRâá°ãêìné(âç=î@ß-äHáHînðÏé þ ááTàè`ãêâ(ãäåRæHGß`é(éåÿäHçì-î@ãêé(ãçì^Ñ¿ þ ãä þ ñ(éåRéáHñé þ åRéé þ áTâáãñì-ç[í2çåRâçß`ì-î°é þ áé(âåRãêæêãêìWáHî7háçé þ á1`æ¯åî`áHñiÑvãxò½ávòêÑvé þ áí2çÃãñlè2åRâåRæêæáTæ2éç®é þ áé(âåRãêæêãêìáHî7hávò,-Xãêì-äHáé þ á1åháhçâ(é(ãäHáHñ®àWß-ñ(éÄ)áFâáHá+çlæçhåî.Ñé þ áTãêâ'èçvñ(ãêé(ãçì;åRì-î à#çháTà#áTìXéãñ®î`áTâ(éáTâ(àãêì-áHînð3é þ áWæçXäåRæwháTæçXäTãêétðhòýþ áñ(é(âáTìvé þ ç2é þ áåhá1hçâ(é(ãäHáHñlãñlî`áTéáTâ(àãêì-áHîÈnð ýþ çà#ñçì¿¾½ñlé þ áHçâáTàI ½J ò ýþ á1ÂåRè`æ¯åäHá!áXß2åRé(ãçìî`ç=áHñ®ì-çéäHçìXéåRãêìé(ãêà#áî`áTèáTì-î`áTì-äTðhò ýþ ãñãñ¦ãêìné(âç=î@ß-äHáHî;é þ âçß þ é þ áçß`ì-î-åRâ(ðµäHçì-î@ãêé(ãçì-ñiò8®ì-äHáé þ áÄháTæçXäTãêétð[ãñäåRæäTß`æ¯åRéáHî.Ñ`é þ á¦è`âáHññß`âá

påRì-îÿé þ á¦æçhåî`ñ!äåRìW)á¦äåRæäTß`æ¯åRéáHîTnð[ß-ñ(ãêì°é þ áÓáTâ(ì-çß`æêæêãF

áXß2åRé(ãçìµåRì-î3é þ áKGß`é(éå;MLhçßhç=ñMXãé þ áHçâáTàN ½O ò= çâ¦ìnß`à#áTâ(ãäåRæäåRæäTß`æ¯åRé(ãçì-ñé þ áè`âç`æáTà ãñ®î@ãñäTâáTé(ãêëáHî.òX+Lçâ(é(ãäHáHñåRâáè`æ¯åäHáHîÏçì;å#æ¯åRé(é(ãäHá+çìµé þ á

`æ¯åî`á¦ñ(ß`âºåäHávò = ãvß`âá®ÐWñ þ çññ(ß-ä þ å<hçâ(éá¶ñä þ áTà#á¦ç^çì-á`æ¯åî`á¦åRì-î¶ãêéñêåháå;FéáTâéLç+è`âçèáTæêæáTâé(ß`â(ì-ñò ýþ ááXß2åRé(ãçì-ñî`áHñäTâ(ã)áHî¶åçhá þ åháéç<)áñåRé(ãñ2áHî#çì[åñçäåRæêæáHî[äHçæêæçXäåRé(ãçì[è)çãêìXéLãêì¶áåä þáTæáTà#áTìné¦ç«é þ á@áHîWhçâ(éá3æ¯åRé(é(ãäHávò ýþ ãñvãháHñ!æêãêì-áåRâ'áXß2åRé(ãçì-ñéçáñçæháHî

AΓ = bÑ 0|§@ò Î*§ 2

þ áTâáAî`áTì-çéáHñÿå à¶åRé(â(ãF åäHäHçâî@ãêì éç é þ áAháHçà#áTé(â(ð çé þ áA`æ¯åî`ávÑ

Γãñ[é þ áÏñ(é(âáTìvé þ çé þ á

çß`ì-î>hçâ(é(ãäHáHñåRì-îbãñ®é þ áâ(ã þ é þ åRì-îÏñãî`á<vãháTìÏé þ âçß þ é þ á+ãêì@í-ß-áTì-äHá+çé þ á¦FâáHá¦hçâ(é(ãäHáHñÑé þ á

ãêì@í2çva

åRì-îÏé þ áÈçß`ì-î-åRâ(ðµäHçì-î@ãêé(ãçì-ñò-Xãêì-äHáé þ áÈ`æ¯åî`áháHçà#áTé(â(ðÏî`ç=áHñì-çéä þ åRìhávÑ^é þ áà¶åRé(â(ãFAãñãêì?háTâ(éáHî;åRì-î ñçæ=ãêì#é þ á+ánß2åRé(ãçì-ñ'âáHî@ß-äHáHñ'éç¶åà¶åRé(â(ãFJBháHäTéçâxà+ß`æêé(ãêè`æêãäåRé(ãçì ãêìµñ(ß-ñánß-áTìXé

é(ãêà#áHñ(éáTè-ñò®çá háTâÑé þ áá=èáTì-ñ(ãháWè2åRâ(é®ãñ®éç¶äHçàè`ß`éáé þ á¦FâáHá¦hçâ(éáAåhá°åRì-îïãêéñ®ãêì@í-ß-áTì-äHáéçé þ áâ(ã þ é þ åRì-îïñ(ãî`á

bò

Ì

= ãvß`âáWÐ Å +Lçâ(éá3æêãêì-áHñ'çlé þ á9`æ¯åî`áWåRì-îTåhávòP Q úÈÓ~±l÷)üûlÕX»¨Òº+öüeÓ üMÔlÕöüøõË á þ åháì-ç³î`áHñäTâ(ã)áHî±é þ áî@ãñäTâáTé(ãêëiåRé(ãçì é þ åRé!áTì2å`æáHñ!ß-ñéçèáTâQçâ(à åRì åRè`è`âç@ãêà¶åRéáá våRæêß2åRé(ãçìçé þ áç76záHäTé(ãháXFß`ì-äTé(ãçì^òÞ¦á@é¼áî`áHñäTâ(ãá!é þ áä þ çãäHá'ç.é þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì±à#áTé þ çXîC þ ãä þ ãñ,2åñáHîß`èçìÏé þ ãñá våRæêß2åRé(ãçì^ò8äHçß`âñávÑ.é þ á°î`áHäTãñ(ãçì þ ãä þ à#áTé þ ç=îµãñåRè`è`âçè`â(ã¯åRéá þ áå=ãêæêðÏî`áTèáTì-î`ñçìé þ áè`âçèáTâ(é(ãáHñ'çlé þ áç76záHäTé(ãháFß`ì-äTé(ãçì^Ñ þ ãä þ áî`áHñäTâ(ãá9-âñ(éòR,ÙLÚ ST ?è3UÝ' *âHäBÝVWè3W<âHÜ,Ý7XAY[ZÝåRâHä#\ÊÝ^]H_H$êåRâHäLè$ ì¢-=áHäTé(ãçì§@Ñá þ åháî`áHñäTâ(ã)áHî©é þ áÏà¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRæà#ç=î`áTæêæêãêì ð=ãáTæî@ãêì é þ áç76záHäTé(ãhá«Qß`ì-äTé(ãçìß`ì-î`áTâ!äHçì-ñ(ãî`áTâåRé(ãçì^ò éãñäTæáåRâ3Qâçà%é þ á¦î`áHñäTâ(ãêè`é(ãçì3é þ áTâá¦é þ åRéåRìÿåRì2åRæêð=é(ãäåRæ.ãêì?háHñé(ãnåRé(ãçì çé þ áè`âçèáTâ(é(ãáHñç.é þ á'ç76(áHäTé(ãháQß`ì-äTé(ãçì¶ãñåî`áTæêãäåRéá'éåñ)òlÍÏçâáHçháTâÑ=é þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì åRæhçâ(ãêé þ à%ß-ñáHñé þ á[ìnß`à#áTâ(ãäåRæåRè`è`âç@ãêà¶åRé(ãçìÃçé þ á[ç76(áHäTé(ãháCQß`ì-äTé(ãçì^ò6¦áTì-äHávÑlá:Qç=äTß-ñWçìVé þ á#à¶åRé þ áTà¶åRé(ãäåRæè`âçèáTâ(é(ãáHñçé þ áìnß`à#áTâ(ãäåRæåRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçì çì`æêðhòÍÏçâáHçháTâÑñ(ãêì-äHááß-ñá+é þ áñãêàWß`æ¯åRé(ãçì ñä þ áTà#áà#áTâáTæêð åñWåÆD)(HS`«DMa éçïäHçàè`ß`éá[åRì åRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçì çé þ á¶ç76záHäTé(ãháÈQß`ì-äTé(ãçì

η0(s)á#äåRì`ì-çé

î@ãñ(é(ãêìvß`ãñ þ áTéLáHáTìåRì2åRæêðXé(ãäåRæè`âçèáTâ(é(ãáHñ3ç+é þ áÏéåRâháTé5Qß`ì-äTé(ãçì åRì-î áÉ.áHäTéñ3çWé þ áÏìnß`à#áTâ(ãäåRæñ(ãêà+ß`æ¯åRé(ãçì^ò8LäHçß`âñávÑá þ åháWéç:)áWååRâáçLé þ áxåäTéÑ-é þ åRé¦î`á2äTãáTì-äTãáHñ®é þ åRé®àã þ éçXäHäTß`âÈ0Qávò -òêÑå¶æ¯åäMïçñ(à#ç=çé þ ì-áHññ¦çLé þ á+ç76(áHäTé(ãhá¦Fß`ì-äTé(ãçì 2 àã þ éâáHñ(ß`æêéQâçà ìnß`à#áTâ(ãäåRæLáÉ.áHäTéñåRì-îÏåRâá+ì-çéäåRß-ñáHîTXðÿåRì2åRæêð=é(ãäåRæè`âçèáTâ(é(ãáHñò¼Ë á9!ãêæêæäHçà#á2åäMÿéçé þ ãñ!èçãêìné'æ¯åRéáTâòb¿ì%í´ì'í c ×?ö ÷ ñ'ò`Ûô ó Ø-=á háTâåRæ^ìXß`à#áTâ(ãäåRæñä þ áTà#áHñXQçâ!çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìµè`âç`æáTà#ñ!ß-ñáãêì7ºçâ(à¶åRé(ãçìïçìÿé þ á9vâåî@ãáTìné®ç«é þ áç76(áHäTé(ãháQß`ì-äTé(ãçì^Ñ`áTãêé þ áTânð[ìnß`à#áTâ(ãäåRæêæêðÿñçæ=ãêìé þ á9Áß`æáTâLÂåvâåRìháWáXß2åRé(ãçì-ñ!çâ3!ãêé þ ãêìïå+à#áTé þ ç=îçñ(éáHáTè)áHñé'î`áHñäHáTìnéÑÇvâåî@ãáTìnéçâ'äHçì6ßnåRéá<vâåî@ãáTìné¦éð=è)ávò ýþ ãñ®çläHçß`âñáâánß`ãêâáHñ'é þ åRéé þ áç76(áHäé(ãháQß`ì-äTé(ãçì±ãñåRéæáåñ(éæç=äåRæêæêð#äHçìné(ãêìXß-çß-ñ(æêð[î@ãFÉ.áTâáTìné(ã¯å`æáÄ!ãêé þ âáHñè)áHäTééçé þ á®è2åRâåRà#áTéáTâñò ì±çß`âäåñáWé þ ãñçß`æîïà#áåRìµé þ åRé

η0ãñ®î@ãFÉáTâáTìXé(ã¯å`æá!ãêé þ âáHñ(èáHäTé'éç¶é þ áWÓX-@

sãêìïé þ á+äHçìné(ãêìnß-çß-ñäåñá

åRì-îT!ãêé þ âáHñè)áHäTé!éçé þ áè2åRâåRà#áTéáTâñX ∈ û n ãêìïé þ áî@ãñäTâáTéáäåñávòÁ¼háTìVé þ çß þ çì-á¶àã þ é°á=èáHäTéWé þ åRé

η0(s)ãññ(à#çXçé þ Ñ«çß`âWìXß`à#áTâ(ãäåRæ!á=èáTâ(ãêà#áTìnéñ°ñ þ çÑé þ åRé

é þ á1Qß`ì-äTé(ãçì[ñáHáTà#ñLéç)á!î@ãñé(ß`â)áHî:nð°ì-çãñáOdò ý ç<áè`âáHäTãñávÑ?á'ä þ çvñá'åî@ãñäTâáTé(ãêëiåRé(ãçì±çé þ áÓX-@ß-ñ(ãêì

9áXß`ãî@ãñ(éåRìné9=ì-çéñQçâ®é þ á+ñ(è`æêãêì-áåRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçì^ò9Ë á¦@áHî

8çLé þ á+äHçâ(âáHñ(èçì-î@ãêìWåRæêß-áHñ

åäHäHçâî@ãêì°éç+å<Xì-ç!ì±ÓX-@ þ ãä þ ãñß-ñáHî:nð+Lçãêé þ ò ýþ á®âáTà¶åRãêì`ãêì°è2åRâåRà#áTéáTâåñvåRâ(ãáHî.ò = ãvß`âáÒñ þ çñé þ áâáHñß`æêé(ãêì#ìnß`à#áTâ(ãäåRæåRè`è`âç@ãêà¶åRé(ãçìAºçâé þ áá4¶äTãáTì-äTðhò éñáHáTà#ñ'åñãFlé þ áTâáãñ¦åvæç2åRæñ(à#ç=çé þ Fß`ì-äTé(ãçìïãêì é þ á2åäMRvâçß`ì-î> þ ãä þ ãñ!èçæêæêß`éáHîTnðe5½ìXß`à#áTâ(ãäåRæì-çãñá*¾êòf wZ!\Bhs\B^de\ η0

[g¿Z!ÇZ!`;aB|h¼h!d!vg`dM\BhyÄ[gfd1yh.\Bh.aBk[gf[g%\B[g¼kXd!f;fh.aÊdefyfZ[g|h,[gw`;|hy Z!aHgih@gOjlk#mlhnMoJpqkMmsrsnh.a|aBZeaBwvg[g h\|aB`f;de\B[gZ!f9h.a|aBZ!aB¿[gfÄ\B^;[ç.Zf\Bh.x\Êd!Ê;aBZ!*Z|hyÄ[gfut@v p

½

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

blad

e st

eerin

g an

gle

α [°

]

phase angle φ [°]

y=40y=60y=80

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Effi

cien

cy

y−value at Knot 4 (x=108°)

0.74

0.745

0.75

0.755

0.76

0.765

0.77

0.775

0.78

0.785

0.79

40 45 50 55 60 65 70

Effi

cien

cy

y−value at Knot 4 (x=108°)

= ãvß`âáÒ Å Á¼4¶äTãáTì-äTðïãêì;î`áTè)áTì-î`áTì-äHáçé þ áåRæêß-áåRé®é þ á+é þ ãêâîµñè`æêãêì-á¦=ì-çéò ýþ á+é þ ãêâîÏè`ãäTé(ß`âáWãñåëç=çàÈxãêìïç«é þ áWñáHäHçì-î3çì-ávòý çî`áTà#çì-ñ(é(âåRéá é þ á±áÉ.áHäTéç¦ñ(ß-ä þ ì-çãñáÿçì ìnß`à#áTâ(ãäåRæêæêðÃäåRæäTß`æ¯åRéáHîßvâåî@ãáTìnéñiÑ,á3äHçì-ñãî`áTâáHî

åVÓX-@s ∈ C2

2π

âáTè`âáHñáTìnéáHî¢nð&ñè`æêãêì-áHñ åñ å)çhá¨`ß`é5!ãêé þ ¥*¥ `áHî©Xì-çéñ3åRì-î©!ãêé þ våRâ(ã¯å`æáè2åRâåRà#áTéáTâñ

X ∈ û 10 òWË á±äåRæäTß`æ¯åRéáHî é þ á[î@ãFÉ.áTâáTì-äHáXß-çé(ãáTìnéñ η0(s(X))−η0(s(X)+hei)h

Qçâî@ãFÉáTâáTìXéñ(éáTè-ñ(ãêëáHñ

h ∈ û Ñw þ áTâá ei ∈ û 10, i = 1, . . . , 10î`áTì-çéáHñé þ á¶ãFxé þ ß`ì`ãêé¦háHäTéçâò ì = ãvß`âá[Ëÿáåä þ

æêãêì-áÿäHçâ(âáHñ(èçì-î`ñ°éçÏçì-áei ∈ û 10 òÀ¦ñ°çì-á±äåRìÃñáHávÑLà#çvñ(éç®é þ á[æêãêì-áHñ#åRâáÿñ(é(âåRã þ é!ãêé þ çì`æêð å

ñ(à¶åRæêæ!ñ(æçèávÑãxò½ávòêÑé þ áÿî`áTèáTì-î`áTì-äTðVçìhãñ°ñ(à¶åRæêæxò¦çá háTâÑãêìÃñçà#áÿäåñáHñÑávò -ò

i = 3, 4, 8Ñé þ á

î@ãFÉ.áTâáTì-äHáTnß-çé(ãáTìXéñåRâ(ðVî@âåRà¶åRé(ãäåRæêæêð !ãêé þ âáHñè)áHäTééçhåRì-î ãêìÃñçà#áÿäåñáHñá háTì ä þ åRìhá é þ áTãêâ

ñ(ãvì^òsÀ©vâåî@ãáTìné12åñáHî[çì[é þ ãñî@ãFÉ.áTâáTì-äHáXß-çé(ãáTìnéñ3çß`æî±ä þ åRìhá¦ãêéñî@ãêâáHäTé(ãçì:ºçâî@ãFÉ.áTâáTìné3våRæêß-áHñçhåRì-î¶é þ áTâáºçâáçß`æî:áâåRé þ áTâß`ì`âáTæêã¯å`æáåñî`áHñäHáTìnéî@ãêâáHäTé(ãçìºçâá-åRàè`æávò ýþ ãñäHçâ(âáHñ(è)çì-î`ñ

éçé þ á9áTæêæFB=ì-ç!ìµâáHñ(ß`æêéÑ@é þ åRéìnß`à#áTâ(ãäåRæî@ãFÉ.áTâáTìné(ã¯åRé(ãçìAnðÿî@ãFÉáTâáTì-äHáXß-çé(ãáTìnéñ!âáXß`ãêâáHñ1Qß`ì-äTé(ãçìá våRæêß2åRé(ãçì-ñ,!ãêé þ#þ ã þ è`âáHäTãñãçì^Ñ? þ ãä þ á'äåRì`ì-çé,vß2åRâåRìnéáHá þ áTâávò ýþ ß-ñÑnìnß`à#áTâ(ãäåRæñä þ áTà#áHñß-ñ(ãêìé þ ávâåî@ãáTìXé þ åhá<)áHáTìµåhçãî`áHî.òb¿ì%í´ì Ç Ä Ú#õ#ø×>=Êô ó ØòÇõÜw=Êô7Ý ó ×Jõh×ïÚV)ò^xWñFÚVywòÇñ À ò!=Êôz& ÷ &= çâ3á@ãñ(éáTì-äHá åRì-î ß`ì`ã nß-áTì-áHññ3ç+æçXäåRæåRì-îvæç2åRæà¶å;=ãêà¶åVçì-á;ß-ñ(ß2åRæêæêð âánß`ãêâáHñÿé þ á;ç76(áHäTé(ãháQß`ì-äTé(ãçì&éçÆ)á äHçìJháò é¶ãñ[äTæáåRâ[é þ åRé±äHçìJhá=ãêétð ãñ±åè`âçè)áTâ(étð þ ãä þ ãñ¶ãêàèçvññ(ã`æáïéç ä þ áHäMìnß`à#áTâ(ãäåRæêæêðhò×'áºáTâ(â(ãêì#ånåRãêì±éç = ãvß`âáÒ@ÑXãêé!ñáHáTà#ñé þ åRéé þ áTâá¦ãñ!åWñ(à#ç=çé þ åRì-îÿäHçì?há:Qß`ì-äTé(ãçìÿãêìé þ á2åäMRvâçß`ì-î þ ãä þ ãñ®èçæêæêß`éáHînðïñçà#á=ãêì-îµçLì-çãñávò®çá háTâÑå¶äTæçvñáTâ¦æçXç ñ þ çñ¦é þ åRéÄáäåRì`ì-çé þ çèá9ºçâ'å°ß`ì`ã Xß-á<væç2åRæ^à¶å;@ãêàWß`à `ß`é þ åháWéç#î`áåRæ¿!ãêé þ ñá háTâåRæ^æç=äåRæ^à¶å;=ãêà¶å@ò ýþ ß-ñ'ãêéãñ!ì-çéñ(ß74¶äTãáTìXé®çì`æêð±éçß-ñáåìXß`à#áTâ(ãäåRæñä þ áTà#áé þ åRéãñ'å`æáéç#î`áTéáTâ(àãêì-áåRìïåRè`è`âç@ãêà¶åRé(ãçìµçLåæç=äåRæ.à¶å;=ãêà+ß`à 0' þ ãä þ çé þ áTâ!ãñávÑXðÿäHçìJhá=ãêétðhÑ2äHçß`æîTávß2åRâåRìXéáHáHî éçáåRæñç#åvæç2åRæçì-á 2 ò

¥ Õ

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

diffe

renc

e qu

otie

nt

h

var 1var 2var 3

var 4var 5var 6

var 7var 8var 9

var 10

= ãvß`âá+Ë Å Ô®ãFÉ.áTâáTì-äHá<Xß-çé(ãáTìnéñXQçâ'åÓX-@!ãêé þ ¥*¥ @áHî3ñ(è`æêãêì-á<Xì-çéñò

R,Ù Xè¼å7àçæuXAU,âHäLã©ä#"à#âHäBè$À¦ñåRæêâáåî@ð¶ñåRãî.Ñ=ñ(ãêì-äHá¦çß`âç76(áHäTé(ãháXQß`ì-äTé(ãçìÿñáHáTà#ñéçá!æ¯åäM=ãêìñ(à#çXçé þ ì-áHññÑnñ(éåRì-î-åRâîvâåî@ãáTìné2åñáHî à#áTé þ çXî`ñ°äåRì`ì-çé)á¶ß-ñáHî.òA8®ì-á[äHçß`æîVç'äHçß`âñá¶é(â(ðéçµåRè`è`âç@ãêà¶åRéáÿî`áTâ(ãåRé(ãháHñ°áTãêé þ áTânð-ì`ãêéá°î@ãFÉáTâáTì-äHáHñçâ9XðÏåRß`éçà¶åRé(ãäî@ãFÉ.áTâáTìné(ã¯åRé(ãçì^òu¦çá háTâÑ^ñ(ãêì-äHáá#åRâá¦ºåäTãêìÿèáTâ(é(ß`â2åRé(ãçìnðñçà#áT=ãêì-î çì-çãñávÑé þ ãñ¶äHçß`æî âáHñ(ß`æêé¶ãêì þ áåXðÃçvñäTãêæêæ¯åRé(ãçì-ñÿåRì-îßçß`æî à¶åhá3ìXß`à#áTâ(ãäåRæ®âáHñß`æêéñß`ì`âáTæêã¯å`æávò= çâé þ áHñá!âáåñçì-ñÑ?á'ä þ çvñáX=ì-ç!ì[î@ãêâáHäTéñáåRâä þ à#áTé þ ç=î`ñÑnñ(ãêì-äHáé þ çvñá!à#áTé þ ç=î`ñçì`æêðî`áTèáTì-î#çì

våRæêß-áHñçé þ áç76(áHäTé(ãhá9Qß`ì-äTé(ãçì3ãêéñáTæFzò ýþ áà¶å;6(çâî@âå2åäe çé þ áHñáà#áTé þ ç=î`ñ!ãñé þ áTãêâ'ñçà#áTé(ãêà#áHññ(æç äHçì?háTâháTì-äHá3åRì-î é þ áTãêâ¦xåRãêæêß`âá#ãêì-ì-î@ãêìÏé þ á#àãêì`ãêà+ß`à ãêì ñçà#á¶á-åRàè`æáHñò|¦çá háTâÑlé þ áHñáà#áTé þ ç=î`ñ þ åhá9áHáTì ñ þ ç!ì3éçÈá¦ß-ñáQß`æ.ãêì5háTì-áTâåRæ«åRì-îÿâåRé þ áTâ!âç`ß-ñ(é þ áTì äHçì7FâçìXéáHî>!ãêé þ ì-çãñ(ðî-åRéå@ò = çâ¦å°î`áTéåRãêæáHî âá =ãá ç«é þ ãñ'äTæ¯åññçlà#áTé þ çXî`ñáâáºáTâ!éç| ¥ Õ`Ñ ¥ Ð òýþ áà#áTé þ ç=î`ñáß-ñáHî åRâáé þ áñáåRâä þ à#áTé þ çXî ç<:`IÈ(O´G<~RIMI VI!K Ë åRì-î é þ áK!$'& #)Ia&:I "RG

nð3Þ¦áTæî`áTâ'åRì-î ÍÏáåî ¥ Î òLÓçé þ à#áTé þ çXî`ñ!ãêæêæ¿á9`â(ãá9í-ð±á@è`æ¯åRãêì-áHî ãêì3é þ á9ºçæêæç!ãêì-òb¿ì Ç ì'í îï × À × ó ï Ú.Ü©ÚV)3Ú.Ú×AòÇõÜ.×n×?ø×XÝýþ ãñ!à#áTé þ ç=î äHçì-ñ(ãñ(éñ!çléLç#ñ(éáTè-ñÑ@ì2åRà#áTæêðÿé þ á 7(H"|"LIN!O¨&CVI+åñ'åRì çß`éáTâãêéáTâåRé(ãçìÏåRì-îïåRìEIa! ´):N(*"%$%*OK "LIL åñãêì`ì-áTâ'æç=çè^ò-XéåRâ(é(ãêì!ãêé þ åCvãháTìïèçãêìné

X(0) ∈ û n ãêé®äTâáåRéáHñ®å¶ñáXß-áTì-äHáçè)çãêìXéñ(X(i))i

ñ(ß-ä þ é þ åRéf(X(0)) > f(X(1)) > f(X(2)) > ...Þ¦çéáé þ åRéãêéà¶åHð þ åRè`èáTì3é þ åRéé þ áãêéáTâåRé(ãçìÏñ(éçè-ñ!ãêé þ ñçà#á

X(i) !ãêé þ çß`éãêàè`âç=ãêìCQß`â(é þ áTâò

¥*¥

ýþ á è2åRé(éáTâ(ì à#çháïä þ áHäM@ñCºçâ¶åRæêæ'äHç=çâî@ãêì2åRéáïî@ãêâáHäTé(ãçì-ñ[ãêì çâî`áTâ#éç ñáåRâä þ ºçâ[åî@ãêâáHäTé(ãçì&çèçvññ(ã`æáWî`áHñäHáTìnéò = çâå:vãháTìÏäHç=çâî@ãêì2åRéáî@ãêâáHäTé(ãçì^Ñé þ áá@è`æçâåRé(ãçìµà#çháä þ áHäM@ñ¦ãFLé þ áWç76(áHäTé(ãháQß`ì-äTé(ãçì2åRæäåRìCáàãêì`ãêàãêëáHî¶ãêìé þ åRéî@ãêâáHäTé(ãçì±åRì-îæç=ç@ñsQçâåà¶å;=ãêà¶åRæ2ñéáTè¶ñ(ãêëá!ãêì#é þ åRéî@ãêâáHäTé(ãçì^òË þ áTì-á háTâé þ áá@è`æçâåRé(ãçì à#çháäåRì`ì-çé9-ì-î;å5áTé(éáTâè)çãêìXé

X∗Ñ)é þ áñ(éáTèñ(ãêëáãñ þ åRæháHî åRì-îÏé þ á

è`âç=äHáHññ!ãñ!ãêéáTâåRéáHî3ß`ìXé(ãêæé þ áñéáTè ñ(ãêëáâáåä þ áHñåè`âáHñäTâ(ãáHî3àãêì`ãêà¶åRæ¿våRæêß-áhmin

òýþ áWåRæhçâ(ãêé þ à äåRìA)áî`áHñäTâ(ãáHîïåñ1ºçæêæçñ Å

Â^áTéi = 0

åRì-îei ∈ û n áé þ á#ãFxé þ ß`ì`ãêé¦háHäTéçâòA-XéåRâ(é¦!ãêé þ åRì ãêì`ãêé(ã¯åRæèçãêìné X(0) ∈ û n åRì-îVåRì

ãêì`ãêé(ã¯åRæñ(éáTèµñ(ãêëáh ∈ û n ò

% ò óó ×XÛõ& ÚJø)× ì¥ ò

maxj∈1,···,n hj < hminñ(éçèé þ áåRæhçâ(ãêé þ à Ñ

f(X(i))ãñé þ áåRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçì#ç-é þ áàãêì`ãêàWß`à ò

Î@ò-=áTéX∗ =

á@è`æçâá(X)

ò§@ò

f(X∗) 6< f(X(i))âáTè`æ¯åäHá

hnð h

2

åRì-î3äHçìXé(ãêìnß-á!ãêé þ ñ(éáTè ¥ òª-ò-=áTé

X∗∗ =á@è`æçâá

(2X∗ −X(i))ò

Ð@ò f(X∗∗) < f(X∗)

ñáTéX(i+1) = X∗∗

Ñ-çé þ áTâ!ãñáñáTéX(i+1) = X∗

òÒ@òX×®áTè`æ¯åäHá

inð

i+ 1åRì-î äHçìné(ãêìXß-á<!ãêé þ ñ(éáTè ¥ ò

=3+sñFÚ2Ûò ó ôFÚ´õ7& ÚRø× ì¥ òXÁ,åRæêß2åRéá

f(X + h · ei)ò

Î@ò f(X + h · ei) < f(X)

âáTè`æ¯åäHáXnð

X + h · eiåRì-î äHçìXé(ãêìnß-á!ãêé þ ñ(éáTèïÐ@ò

§@òXÁ,åRæêß2åRéáf(X − h · ei)

òª-ò

f(X − h · ei) < f(X)âáTè`æ¯åäHá

Xnð

X − h · eiò

Ð@ò i < n

ñáTéi = i+ 1

åRì-î3äHçìné(ãêìnß-á!ãêé þ ñ(éáTè ¥ òÒ@òX×®áTé(ß`â(ìA°ò

b¿ì Ç ì Ç îï × Á ôz&B+lñF×= ¿ ñ'ö2Ú2Ûô ó ï & Ú)ÿ3×RñFÜ×XÛòÇõÜ À ×?ò`Üýþ ãñ#åRæhçâ(ãêé þ à ñ(éåRâ(éñÈ!ãêé þ

n + 1è)çãêìXéñ

(Xi)i=1,...,n+1Ñs þ áTâá

Xi ∈ û n ò ýþ áHñá[èçãêìnéñºçâ(à åñ(ãêàè`æá åRì-î3àWß-ñéì-çéæêãáãêìµå þ ðXèáTâè`æ¯åRì-ávò¼Ë áî`á-ì-áé þ á)áHñé'åRì-îÿé þ áçâñ(é'è)çãêìXé®åñ1ºçæêæçñ Å

m := Argmini=1,...,n+1

f(Xi)åRì-î

M := Argmaxi=1,...,n+1

f(Xi).0'ª-ò Îª 2

ýþ áHñá¦åRâá®äåRæäTß`æ¯åRéáHî[ãêì[áåä þ ãêéáTâåRé(ãçì^ò ýþ áTì[é þ á¦åRæhçâ(ãêé þ à%âáTè`æ¯åäHáHñãêéáTâåRé(ãháTæêð¶çì-á'çâåRæêæ´`ß`éçì-áèçãêìnéñãêìé þ áñãêàè`æáò ýþ á°ì-á è)çãêìXéñ+åRâáä þ çvñáTì¬nð¨háHçà#áTé(â(ãä#çèáTâåRé(ãçì-ñ<2åñáHî çìé þ ávãháTìèçãêìnéñãêì3é þ áWñ(ãêàè`æáò ý çé þ ãñáTì-î.ÑÇáî`á-ì-á

Centroid : X :=1

n

∑

1≤i≤n+1i6=max

Xi

Reflection : XR := (1 + α)X − αXM

Expansion : XE := γXR + (1− γ)X

Contraction : XC :=

βXM ± (1− β)X, if f(Xm) < f(XR),

βXR ± (1− β)X, otherwise.

0'ª-ò ÎvÐ 2

ýþ áî`áHäTãñ(ãçìïâ(ß`æá þ ãä þ èçãêìnéñ¦åRâáéçÈáâáTè`æ¯åäHáHî ãññ þ ç!ì ãêì = ãvß`âáWÌ@ò¥ Î

f(XR) < f(Xi) i 6= M

f(XR) < f(Xm) f(xC) < f(XM )

XM = XE XM = XR

yes

yes

yes

no

no

no

XM = XC

yes no

Xi = Xi+Xm2 i = 1, · · · , n+ 1

f(XE) < f(Xm)

= ãvß`âá+Ì Å Ô¦áHäTãñãçì â(ß`æá9ºçâ!é þ áñ(ãêàè`æáÿà#áTé þ çXî.ò

R,ÙPØ ¬æBè3Yà·æuXAU,âHäzãäM"à#â*äLè$À¦ñCá þ åháµñáHáTì ãêì-=áHäTé(ãçì©§ åçhávÑ1á þ åháïéç á@è)áHäTé[ñá háTâåRæ'æç=äåRæ'à¶å;@ãêà¶å@ò¢-Xãêì-äHá>áÏåRâáß`æêé(ãêà¶åRéáTæêðãêìnéáTâáHñ(éáHî°ãêìT"7IÄDMI!K "«ÓX-@¦ÑRé þ áß-ñáççì-áçé þ á!åçháî`áHñäTâ(ãáHîî@ãêâáHäTélñáåRâä þ à#áTé þ ç=î`ñåRæçì-áãñ!ì-çé®ñ(ß74¶äTãáTìnéòêË áì-áHáHîïåvæç2åRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÏñ(é(âåRéá vðÿãêìïåî`î@ãêé(ãçì^òÀ'ìµçháTâ=ãá çî@ãFÉáTâáTìXé®äHçì-äHáTè`éñ'ç¼væç2åRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÏãñvãháTì ãêì ¥ § åRì-î ª ò¦çá háTâÑÇºçâ

é þ ávãháTì è`âç`æáTà¡!ãêé þ è`âçèáTâ(é(ãáHñ®åñ'î`áTéáTâ(àãêì-áHîïãêì«-=áHäTé(ãçì>ª-ò ¥ Ñ`æêãháß`ìXì-ç!ì^Ñ-èçvññ(ã`æêð±ãêì7-ì`ãêéávÑìnß`à)áTâçæç=äåRæLà¶å;@ãêà¶å3åRì-îìnß`à#áTâ(ãäåRæì-çãñá°é þ åRéâáHñ(ß`æêéñãêìèáHá @ñWåñäåRìáñáHáTìãêì = ãvß`âá¶Ò@Ñé þ áTâá±ãñWì-çµà#áTé þ ç=îE=ì-ç!ì é þ åRévß2åRâåRìnéáHáHñéçA-ì-îVé þ á:væç2åRæà¶å;@ãêàWß`à ãêìÃåT-ì`ãêéá3åRà#çß`ìné#çé(ãêà#ávò-Xé(ãêæêæÊáWá=èáHäTé®åÈvâáåRé®ãêàè`âçháTà#áTìné9!ãêé þ væç2åRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìµà#áTé þ ç=î`ñ¦äHçàè2åRâáHî éçæç=äåRæà#áTé þ ç=î`ñãêìné(âç=î@ß-äHáHîµåçhávò-=á háTâåRæäTæ¯åññáHñÿçWà#áTé þ ç=î`ñ þ åhá«áHáTì©äHçì-ñãî`áTâáHî.ò!O"LINV;()(N$'"?&:I "%$|Sµà#áTé þ çXî`ñ3î`áTèáTì-î©çì

Â.ãêè-ñä þ ãêé(ë äHçìné(ãêìXß`ãêéðhÑ¼ þ ãä þ äåRì`ì-çé<)ávß2åRâåRìXéáHáHî ãêìçß`âäåñávò = ãêì-î@ãêìÏåRìåî`áXß2åRéá#ñåRàè`æáºçâÍÏçìnéá.@åRâ(æç 2åñáHî&à#áTé þ çXî`ñ±ãñÿî@ãF4¶äTß`æêéÑ'ñãêì-äHáïãêéÿãñ[ì-çé=ì-ç!ì³å è`â(ãçâ(ãÄ þ áTé þ áTâ å ÓX-@

snãñ

ºáåñ(ã`æáãêì#é þ áñáTì-ñá!ç)ñçà#áñãêàè`æá!éáHñ(éñæêãháèçvñ(ãêé(ãhá!é þ â(ß-ñ(éÑT (sn) > 0

ò ìÈxåäTéLä þ ç=çvñ(ãêìâåRì-î`çàè2åRâåRà#áTéáTâñ

Ξnºçâ®é þ áÓX-@

snæáHîïéç[ãêì7Qáåñã`æáWâáHñ(ß`æêéñ¦çé þ á@ = ÔäåRæäTß`æ¯åRé(ãçì-ñãêìïé þ áà¶å;6(çâ(ãêéð

çäåñáHñòýþ áTâáQçâávÑÊáä þ çvñá¶åRì åRæhçâ(ãêé þ à äåRæêæáHî"%UROÇO#I) $'OJQT&:I "RG;é þ åRéåñãêìXé(âçXî@ß-äHáHî¬nð¨Â^á Xð;åRì-î

ÍÏçìnéåRæhçãêì ¥*¥ åRì-î±é þ åRéãñåRæñçWà#áTìXé(ãçì-áHîÿãêì ¥ § ò ì[é þ áçâ(ãvãêì2åRæ#ºçâ(à ÑXé þ á®à#áTé þ ç=î[ãêìe ¥*¥ åRæñçãêì?hçæháHñêvâåî@ãáTìné32åñáHî°æç=äåRæ2çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì¶à#áTé þ ç=î`ñÑhávò -òhäHçì6zßnåRéávâåî@ãáTìXéçâLÞ¦á !éçì¿¾½ñLà#áTé þ ç=î.ò¦áTì-äHávÑÇá þ åî éç#î`ç[ñçà#áà#ç=î@ãF2äåRé(ãçì-ñXð3âáTè`æ¯åäTãêì[é þ á<vâåî@ãáTìnéB2åñáHîÏà#áTé þ ç=î`ñXnð3é þ áå)çháà#áTìné(ãçì-áHî¦çXçháåRì-îALnáHá háHñ®åRæhçâ(ãêé þ à ò ý ç#á@è`æ¯åRãêì é þ áè`âç=äHáHî@ß`âá<áäHçì-ñ(ãî`áTâé þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìè`âç`æáTà

f(x)→ minx∈ n!

0'ª-ò ÎvÒ 2ýþ á®é(ß`ì`ì-áTæêæêãêì+à#áTé þ ç=î[ñéåRâ(éñê!ãêé þ åæç=äåRæñáåRâä þ 0Fß-ñãêì°åRìXð#æçXäåRæà#áTé þ çXî 2 çì f(x)

QçâåRìnðCvãháTìñ(éåRâ(é(ãêì¦è)çãêìXé

x0 ∈ û n ò ýþ áæçXäåRæ=ñáåRâä þ ñ(éçè-ñw þ áTì°åàãêì`ãêàWß`à x1ãñÊºçß`ì-î.ò ýþ áTì^ÑRé þ áÄ"%UJOÇO·I)P) $'OJQ

¥ §

R(KIQçæêæçñò ýþ áTâáQçâávÑx1ãñlãêì-ñáTâ(éáHî#åñLå®è)çæáéçå¦ì-á Ãç76záHäTé(ãháFß`ì-äTé(ãçì

T1î`á-ì-áHî[åñlQçæêæçñ

T1(x) :=f(x)− f ∗1

((x− x1)T (x− x1))λ1(x)

Ñ 0'ª-ò ÎhË 2 þ áTâá

f∗1î`áTì-çéáHñ'é þ áWæçXäåRæàãêì`ãêàWß`à åRì-î

λ1 : û n → û ãñ¦åÈQß`ì-äTé(ãçìïé þ åRé®äHçìXé(âçæñ¦é þ áWñ(ãêëá50Fãxò½ávòêÑé þ áâåî@ãêß-ñ 2 çé þ á#è)çæá¶åRé x1

ò ýþ áTìVåÿæçXäåRæñáåRâä þ ãñè)áTâºçâ(à#áHî ß-ñãêìT1

ãêì-ñéáåî çfåRì-î é þ á

ñ(éåRâ(éèçãêìnéãñà#çháHî ååHð¨Qâçà é þ á°èçæáÈnðε ∈ û n Ñ |ε| 1

ò ýþ ãñè`âç=äHáHî@ß`âáãñãêéáTâåRéáHî.ò ýþ áäHçâ(âáHñ(èçì-î@ãêìCQß`ì-äTé(ãçì âáåî`ñ

Tk(x) :=f(x)− f ∗k∏k

j=1((x− xj)T (x− xj))λj (x)

Ñ 0'ª-ò ÎvÌ 2 þ áTâá

f∗kãñì-ç é þ á9áHñ(éæçXäåRæàãêì`ãêàWß`à Qçß`ì-îÿñçxåRâòê8?=ãçß-ñ(æêðhÑá þ åhá

Tk(x) ≥ 0ãFåRì-îÿçì`æêð

ãFf(x) ≥ f ∗k

òýþ á#é(ß`ì`ì-áTæêæêãêìµè þ åñá#áTì-î`ñÑÊ þ áTì ñçà#á

x ∈ û n !ãêé þ T (x) < 0ãñâáåä þ áHî.ò ýþ ãñWà#áåRì-ñé þ åRé

åáTé(éáTâÄåRæêß-áWé þ åRìf∗k

ãñ¦ç`éåRãêì-áHî.ò ýþ ãñ®èçãêìné¦ãñ'é þ áTìÏé þ áWñ(éåRâ(é¦èçãêìnéQçâåì-á æçXäåRæ«ñáåRâä þ çì/ âç`æáTà 0'ª-ò ÎvÒ 2 ò ì-çñ(ß-ä þ x äåRì:á3Qçß`ì-î:nð°é þ áé(ß`ì`ì-áTæFñáåRâä þ é þ áTì±áTãêé þ áTâé þ á!âåî@ãêß-ñç.é þ á!èçæáãñ!éç#ñà¶åRæêæçâ®åì-á ³æç=äåRæ^àãêì`ãêàWß`à ì-çéXáTé(éáTâé þ åRì

x∗þ åñ)áHáTì>Qçß`ì-î.ò×'áHñ(èáHäTé(ãháTæêð[é þ áâåî@ãêß-ñ

ãñ!ãêì-äTâáåñáHîµçâ®å°ì-á ³èçæáãñãêì-ñáTâ(éáHî.ò ýþ áî`áHäTãñ(ãçìÏî`áTè)áTì-î`ñ®çì3é þ áWî@ãñ(éåRì-äHá<)áTézáHáTìïé þ á+åäTé(ß2åRæèçvñ(ãêé(ãçì

xåRì-î;é þ áèçvñ(ãêé(ãçì çé þ áæ¯åñ(éãêì-ñáTâ(éáHî è)çæávòÓçé þ ãêì-äTâáåñ(ãêìïé þ áâåî@ãêß-ñ+åRì-î;ãêì-ñáTâ(é(ãêì

ì-á è)çæáHñãñçì`æêð#î`çì-áåWæêãêàãêéáHî¶ìXß`à¦áTâç^é(ãêà#áHñ!åRì-î[é þ áTì[é þ á þ çæáåRæhçâ(ãêé þ à ãñâáHñ(éåRâ(éáHî5!ãêé þåì-á ³âåRì-î`çàæêð3ä þ çvñáTìµñ(éåRâ(é!èçãêìnéò= ãvß`âá ½ ñ þ çñ'åRìïá-åRàè`æá9Fß`ì-äTé(ãçì

f(x1, x2) = −(− cos(x1

5) cos(

x2

5) + 10−6(x4

1 + x42) + 10−4(x2

1 + x22)− 3

10cos(

x1x2

10),

0'ª-ò Î ½ 2é þ åRé þ åññá háTâåRææç=äåRæà¶å;@ãêà¶åRæ)è)çãêìXéñåRì-î þ ãä þ á þ åháåî`î@ãêé(ãçì2åRæêð[î@ãñ(é(ß`âáHî:Xð þ ã þ |Qâánß-áTìXéì-çãñávò,-Xãêì-äHá!çß`âåRæhçâ(ãêé þ àÂî`ç=áHñlàãêì`ãêàãêëiåRé(ãçì^Ñ?áß-ñáHî −f ò ýþ á1væç2åRæ`à¶å;@ãêàWß`àç)é þ ãñsQß`ì-äTé(ãçìãñ!é þ á¦åRæêß-á

1.3åRé

(0, 0)ò1À¦ññ(éåRâ(é(ãêì#èçãêìnéáß-ñáHî

(−30, 20)åRì-î ç`éåRãêì-áHî é þ á:0Fæç=äåRæ 2 à¶å;@ãêà¶åRæ

-4-3-2-1 0 1 2

-40-20

0 20

40 -40-20

0 20

40

-4-3-2-1 0 1 2

x1x2

-4-3-2-1 0 1 2

-40 -20 0 20 40

-40

-20

0

20

40

x1

x2

= ãvß`âá ½7Å ý áHñ(é|Qß`ì-äTé(ãçìAºçâXvæç2åRæ«çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì;åñÄ§îµåRì-îïÎîïè`æçéòÞ¦çéáé þ á þ ã þ |QâáXß-áTìné¦ì-çãñáäåRß-ñáHîTXð[é þ áéáTâ(à − 3

10 cos(x1x210 )

åRì-î3ì-çé'î@ß-áéç°è`ß`âávâåRè þ ãäåRæâáHñçæêß`é(ãçì^ò

èçãêìnéñ#ñ þ ç!ìÃãêì ý å`æáTª-òg§@ò ÀFéáTâÈªãêéáTâåRé(ãçì-ñÑá þ åáÿâáåä þ áHî é þ áWvæç2åRæà¶å;=ãêà+ß`à òý8®é þ áTâéáHñ(é|Qß`ì-äTé(ãçì-ñ¦áTâá¶éåháTìÆFâçà ¥*¥ åRì-î çß`âWà#ç=î@ãF2áHîVåRæhçâ(ãêé þ à åññ(ß-äHäHáHññQß`æêæåRæñç>Qçâ þ ã þ áTâî@ãêà#áTì-ñ(ãçì2åRælè`âç`æáTà#ñòÄÁ¼háTì;é þ áWìXß`à¦áTâç¼Fß`ì-äTé(ãçì;á åRæêß2åRé(ãçì-ñ9åñ¦ãêìïé þ áñåRà#á+çâî`áTâåñÄ!ãêé þvâåî@ãáTìné2åñáHî çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì;åRæhçâ(ãêé þ à#ñ'ãêì ¥*¥ ò

¥ ª

(x1, x2)|

(−19.357, 19.357)tÕ@ò ª ½7¥½

(−17.673, 17.673)tÕ@ò Ì ½ ÕvÌ

(−15.837, 15.837) ¥ ò ¥ Î*§vÕ

(5.464 · 10−8, 5.606 · 10−8) ¥ òg§vÕvÕvÕ

ý å`æá ¥*Å ×'áHñß`æêéñ!ç ý ß`ì`ì-áTæêãêì.8®è`é(ãêàãêëiåRé(ãçì çì é þ áá`åRàè`æá<Fß`ì-äTé(ãçì0%Á,nì^òX0'ª-ò Î ½ 22 ò

R,ÙR wâi Hà#â*Ý'À¦ñá=è`æ¯åRãêì-áHî ãêìE-=áHäTé(ãçìE§@ò Î@ò Î@Ñ¿á#î`áTè)áTì-î çì å5ºåñé¦æç 2î`áTæêãêéð äHç=î`áºçâé þ á@ = Ô%äåRæäTß`æ¯åRé(ãçì-ñiòýþ ãñLà#áåRì-ñá'áTì-äHçß`ìnéáTâ!åæçvññçåäHäTß`âåRâ(ðhÑJ þ ãä þ á þ åháéç+äHçàè)áTì-ñåRéávò ýþ ãñãñLî`çì-áXXð°ß-ñ(ãêìé þ á þ ã þ |2î`áTæêãêétðµäHç=î`áWåRì-îµè þ ð@ñ(ãäåRæá@è)áTâ(ãêà#áTìXéñQçâXvåRæêãî-åRé(ãçì;çlé þ áWâáHñ(ß`æêéñ¦çlì-á ÓX-@ñ þ ãä þáXQçß`ì-î±åñLâáHñ(ß`æêéî@ß`â(ãêìWé þ á®çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì[è`âç=äHáHññÑ=åññ þ ç!ì¶ãêì = ãvß`âá ¥ Õ@ò .é þ á!ãêàè`âçháTà#áTìXé!ãñ

Vortex-LatticeBSC η

Optimization

Finite VolumeRANSE

Experiment

= ãvß`âá ¥ Õ Å -Xé(âåRéá vð

våRæêãî-åRéáHî.Ñ)á háTâ(ð=é þ ãêì±ãñX-ì-ávò®çá háTâÑ)ãêé®ãñ®èçvññ(ã`æáé þ åRéåRìÏçè`é(ãêàãêëáHî;ÓX-@©ãêìÏé þ á þ ã þ |2î`áTæêãêétðäåRæäTß`æ¯åRé(ãçì-ñ®è)áTâºçâ(à#ñçâñáé þ åRì é þ áÓX-@áñ(éåRâ(éáHîT!ãêé þ ò ì3é þ ãñäåñá<á þ åháéçãêàè`âçháWé þ áæç1|2î`áTæêãêétð±äHç=î`áÄ)áºçâá¦ñ(éåRâ(é(ãêì°é þ á®çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìïånåRãêì^òD®è±éçWì-ç é þ ãñãêàè`âçháTà#áTìné'ãñî`çì-áÄnðé(ß`ì`ãêìè2åRâåRà#áTéáTâñáTé(é(ãêìhñ«ãêì+é þ á3hçâ(éáRxæ¯åRé(é(ãäHáäHç=î`áåRì-îXðãêìné(âç=î@ß-äTãêìñçà#ááTàè`ãêâ(ãäåRæ-äHçâ(âáHäTé(ãçìéáTâ(à#ñnð þ åRì-î.ò ì é þ áQß`é(ß`âááãêìXéáTì-îïéç¶ß-ñá+åRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçì;à#ç=î`áTæñ'éç±åRß`éçà¶åRé(ãäåRæêæêðïãêàè`âçháé þ áæç1|2î`áTæêãêéð3âáHñ(ß`æêéñò

±2ú»zöVsÙLÚ SÈà1 HàçãÝÇâ: Jä#"à#âHäBè$è3W<âHÜ,ÝHýþ á!è2åRâåRà#áTé(â(ãêëiåRé(ãçì±ç)é þ á!ÓX-@Xðñ(è`æêãêì-áHñ,åñåRæêâáåî@ð°î`áHñäTâ(ãáHîãêì-=áHäTé(ãçì§@òlÞ¦çßá'î`áåRæÇ!ãêé þé þ á#è`âç`æáTà ç'î`áTéáTâ(àãêì`ãêì;é þ á#ìXß`à¦áTâçX=ì-çéñ

nì-áHäHáHññåRâ(ðéç>vß2åRâåRìXéáHáÿåïñ(èáHäTãF2ä[åäHäTß`âåäTð

åRì-î þ áTé þ áTâéçWß-ñáFâáHá®çâê`áHîC=ì-çéñè`æêãêì-áHñò,8®ì±çì-á þ åRì-î¶é þ á¦ñ(è2åäHá S(n; Ξn)ç¿háTì-áTâåRéáHîÿÓX-@

î`áTèáTì-î`ñ¦çìnãêìå#äTâ(ß-äTã¯åRælåHðhò ýþ áTâáºçâávÑ

nþ åñ'éçáWñ(ß74¶äTãáTìXé(æêðïæ¯åRâhá+éç¶áTì-ñ(ß`âá+é þ åRé®é þ ááHñ(é

ÓX-@s∗ ∈ C2

2π

åRæñç°æêãáHñãêì S(n; Ξn)Ñ=çâäåRìïåRéæáåñ(éáåRè`è`âç@ãêà¶åRéáHî ß`èÿéç#åäHáTâ(éåRãêìµåäHäTß`âåäTð5nð

ñçà#ásn ∈ S(n; Ξn)

òX8®ì é þ áWçé þ áTâ þ åRì-î.ÑnäHçâ(âáHñ(èçì-î`ñ'éç#é þ áî@ãêà#áTì-ñ(ãçì

mÑåñî`á-ì-áHîAXðTÁ,nì^ò

§@ò ¥ Ì@Ñ)çLé þ áWçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìè`âç`æáTà é þ åRé þ åñ®éç:áWñçæháHî.ò ýþ ß-ñÑãêé¦åRæñç¶ãêì@í-ß-áTì-äHáHñé þ áìXß`à¦áTâçì-áHäHáHññåRâ(ðQß`ì-äTé(ãçìïá åRæêß2åRé(ãçì-ñ®î@ß`â(ãêì¶é þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^òÀ®ñåW-âñ(éä þ çãäHá:Qçâ

nÑÊá#ãêì?háHñé(ãnåRéáÿå ñ(è`æêãêì-á±åRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçìÃç'åRìVåäTé(ß2åRæêæêðß-ñáHî ÓX-@ éçÏå

è`âáHñäTâ(ãáHî éçæáTâåRì-äHávòÃÓáQçâáWá ñ þ ç âáHñß`æêéñ#ç¦ñ(ß-ä þ åRè`è`âç@ãêà¶åRé(ãçì&á@èáTâ(ãêà#áTìnéñÑá þ åhá3éçñ(éåRéá¶à#çâá#è`âáHäTãñáTæêð þ åRéá±ä þ ç=çvñá[åñT5 ñ(ß74¶äTãáTìné¾låäHäTß`âåäTðºçâ+åRè`è`âç@ãêà¶åRé(ãçì^òAÀ¦ñ+åïî@ãñ(éåRì-äHá

¥ Ð

à#áåñ(ß`âáçléLç¶äTß`âháHñf, g ∈ C2

2π

áß-ñáé þ áî@ãñäTâáTéáì-çâ(àd(f, g) := ‖f − g‖h,2

Ñ 0ºÐ@òg§vÕ 2

‖z‖2h,2 :=

2π−1h∑

i=0

|z(ih)|2 ò 0ºÐ@òg§ ¥ 2ý å`æáÎñ þ çñ¦é þ áâáHñ(ß`æêéñ¦çåRè`è`âç@ãêà¶åRé(ãçì-ñçLåCvãháTìÏÓX-@!ãêé þ `áHîµåRì-îAFâáHá=ì-çé®ñè`æêãêì-áHñÑ

þ áTâánî`áTì-çéáHñLé þ áìnß`à¦áTâLç´=ì-çéñLåRì-î

mé þ áìnß`à¦áTâLçè2åRâåRà#áTéáTâñiò = âçàå®éáHä þ ì`ãäåRæ-èçãêìnéLç

=ãá ç^é þ á®ß`ì-î`áTâ(æêðXãêìè`âç`æáTàá®éåhávåRæêß-áHñ3)áTæç0.01

åññß74¶äTãáTìnéò ýþ áTâáºçâáÄá¦ñ(éåRâ(éáHî[çß`âçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì«!ãêé þ

10`áHîTXì-çé®ñ(è`æêãêì-áHñ®åRì-î

6QâáHá=ì-çé'ñ(è`æêãêì-áHñÑ þ ãä þ åRà#çß`ìnéñ®éç

9è2åRâåRà#áTéáTâñ

ãêìÃáåä þ äåñávò¬Ë áW!ãêæêææ¯åRéáTâ#äHçàè2åRâá3é þ á±âáHñ(ß`æêéñ#ç¦é þ á±çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìý!ãêé þ î@ãFÉáTâáTìXé#ìnß`à)áTâ¶çè2åRâåRà#áTéáTâò

n mfixed d(f, g)@áHî

mfree d(f, g)FâáHá

ª § Õ@ò ªnÎvÌvÒ*§ Ð Õ@òg§vÕvÒ*§vÒÐ ª Õ@ò Ð*§ ½ ÒvÎ Ë Õ@ò ÕhË§vÌ ¥Ò Ð Õ@ò ÕvÎ*§vÎvÎ ½ Õ@ò ÕvÕhËvËÎË Ò Õ@ò ¥*¥ §ª*ª ¥*¥ Õ@ò ÕvÕvÒvÒvÒÌ Ë Õ@ò ÕvÎ ½ Î*§ ¥ § Õ@ò ÕvÕvÐvÎhË½ Ì Õ@ò Õ ¥*¥ ªnÌ¥ Õ ½ Õ@ò ÕvÕvÒvÎ ½¥*¥ ¥ Õ Õ@ò ÕvÕ ¥½*½

ý å`æáÎ Å À'è`è`âç=ãêà¶åRé(ãçìÏçåÈvãháTìµÓ-@Xð3ñ(è`æêãêì-áHñò

sÙ Xè¼å7àçæuXAU,âHäLã©ä#"à#âHäBè$À&æ¯åRâháìnß`à)áTâççè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì±â(ß`ì-ñ0' þ áTâááäåRæêæ)çì-áäHçàè`æáTéá®åRè`è`æêãäåRé(ãçì±ç)é þ áçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìà#áTé þ ç=îµå|5½â(ß`ì¿¾ 2 þ åñ)áHáTìµß`ì-î`áTâ(éåháTì«!ãêé þ é þ áWî`áHñäTâ(ãáHîµà#áTé þ çXî`ñQçâ®î@ãFÉáTâáTìXéäHçì-ñéáTæêæ¯åRé(ãçì-ñ¦çé þ áÈ+<- / çâî@ãFÉ.áTâáTìné+çß`éñ(ãî`áí2çÂäHçì-î@ãêé(ãçì-ñò ìåRæêà#çvñéWåRæêæläåñáHñåRìÏãêàè`âçháTà#áTìné°äHçàè2åRâáHî;éçé þ á+ãêì`ãêé(ã¯åRælÓX-@¢åñåä þ ãá háHî.ò = çâé þ á+ñåháçñ(ãêàè`æêãäTãêétðAá+äHçì-ñ(ãî`áTâáHîÏé þ á°ñ(ãêàè`æêãF2áHî;äåñá!ãêé þçì`æêð çì-á`æ¯åî`ávò ýþ ãñWãñ+à¶åRãêì`æêð î@ß-á[éçïäHçàè`ß`éåRé(ãçì é(ãêà#áHñòTË á[ñ þ ç ñçà#á¶çé þ çvñá¶á-åRàè`æáHñÑåRæêæ3!ãêé þ é þ áÿåî7åRì-äHá±äHç=á4¶äTãáTìnéä þ çvñáTìÃåñ

λ = 0.6336Ñ¼ þ ãä þ äHçâ(âáHñ(èçì-î`ñéçÏå ì-çâ(à¶åRæî@â(ã=ãêì

ñ(ãêé(ß2åRé(ãçì^ò ý å`æá§ñ þ çñ'é þ áãêì`ãêé(ã¯åRæ«ÓX-@ 0 ¥ 2 åRì-îïâáHñ(ß`æêéñ'çléLç[çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÏâ(ß`ì-ñX!ãêé þ î@ãFÉáTâáTìXéìnß`à)áTâ¦ç¼Xì-çéñò ìTçé þ äåñáHñ¦åRì ãêàè`âçháTà#áTìXé¦ç¼ª-ò Ò åRì-îTª-ò Ìáåñ¦åä þ ãá háHî.ò = ã-ò ¥*¥ ñ þ çñé þ á¦äHçâ(âáHñ(è)çì-î@ãêì°é þ âáHá¦ÓX-@¦ò ý å`æáªäHçìnéåRãêì-ñé þ á¦äHçâ(âáHñ(èçì-î@ãêìháTâ(ãFQð=ãêìäåRæäTß`æ¯åRé(ãçì-ñ1!ãêé þ é þ á

ÓX-@ ì-ç`òLçs=ì-çéñ FâáHá`áHîks kd η0

ãêàè`âçháTà#áTìnéçη0¥ Õ@ò ¥ ÎvÒvÎ Õ@ò ¥ ÕvÐvÕ Õ@ò ËÒ ¥ Õ

¥ ¥ Õ @áHî Õ@ò ÕvÌvÕ ½ Õ@ò ÕvÒª*ª Õ@ò Ë ½ ÐhË ª-ò Ò2Î Î ¥ @áHî Õ@ò ÕvÌvÕvÌ Õ@ò ÕvÒªnÎ Õ@ò Ë ½ ËÒ ª-ò Ì

ý å`æá¦§ Å ×®áHñ(ß`æêéñ!ç«æç=äåRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^ò

äHçà#áTâäTã¯åRæ,@ = Ô è`âçvâåRà @çà#áTéÑ þ ãä þ áWäåRì`ì-çé'ðháTé'ß-ñá9ºçâ'çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÏî@ãêâáHäTé(æêð î@ß-áWéç@ / Dé(ãêà#áHñ®åñ'á=è`æ¯åRãêì-áHîïåçhávò38läHçß`âñáé þ áWå-ñçæêß`éávåRæêß-áHñî@ãFÉ.áTâÑ`ß`é!é(âáTì-î`ñ®åRâávåRæêãî-åRéáHî.ò¥ Ò

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

blad

e an

gle

propeller angle

BSC 1BSC b1BSC b2

= ãvß`âá ¥*¥*Å 8®â(ãvãêì2åRæåRì-îïçè`é(ãêàãêëáHîïÓX-@¦ò

ÓX-@ ì-ç`òLçsXì-çéñ QâáHá@áHîks kd η0

ãêàè`âçháTà#áTìXé¦çη0¥ Õ@ò ¥ ÎvÐvÕ Õ@ò ¥ ÕvÒvÕ Õ@ò Ë;ªXË

¥ ¥ Õ `áHî Õ@ò ÕhËÌ ½ Õ@ò ÕvÒvÐvÕ Õ@ò ËÒ ½ Î@ò ½ 2Î Î ¥ `áHî Õ@ò ÕhË ½ Õ Õ@ò ÕvÒªnÌ Õ@ò ËvËÎ §@òg§ý å`æáª Å +LáTâ(ãFFð=ãêì#äåRæäTß`æ¯åRé(ãçì-ñ®çlæç=äåRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìïâáHñ(ß`æêéñß-ñ(ãêì5@çà#áTéò

À'ì-çé þ áTâç-ñáTâvåRé(ãçì>Qâçà ý å`æá§°ãñ®é þ åRé®î@ãFÉ.áTâáTìné¦âáHñ(ß`æêéñáTâá°åä þ ãá háHîAQçâ¦î@ãFÉáTâáTìXé®ìXß`à¦áTâç=ì-çéñé þ åRéáTâá°ß-ñáHî;éç3î@ãñäTâáTé(ãêëá°é þ áÓX-@¦ò·Ë áî@ãî åRì-çé þ áTâWñ(é(ß-î@ðµéç3ä þ áHäM;é þ á°ãêì@í-ß-áTì-äHá#çé þ á°ìnß`à)áTâ+ç3=ì-çéñåRì-î;è2åRâåRà#áTéáTâñò ý å`æá[Ðÿñ þ çñé þ á°âáHñß`æêéñò ýþ áÈáHñ(éâáHñ(ß`æêé:0

η0 = 0.797 2åñWâáåä þ áHî ãêì é þ á#äåñáHñWç!ñè`æêãêì-áHñ<!ãêé þ9`áHî=ì-çéñ+åRì-î

9QâáHá=ì-çéñò58®ì-á¶äåRì á@è)áHäTéÑé þ åRé

þ ã þ áTâìXß`à¦áTâ+ç1åRâ(ã¯å`æáHñWæáåîéçW)áTé(éáTâWâáHñ(ß`æêéñò ìé þ á#äåñáç3@áHî0QáXß`ãî@ãñ(éåRìné 2 Xì-çéñãêéãññ(é(ãêæêæèçvññ(ã`æáé þ åRés ∈ S(n; Ξn)

åRì-îs 6∈ S(n′; Ξ′n)

ºçâñçà#án < n′

ò ¦çá háTâÑ¿ºçâé þ áÈFâáHá=ì-çéäåñáá þ åhá S(n; Ξn) ⊂ S(n′; Ξ′n)

Qçân < n′

ò1@æáåRâ(æêð3é þ áâáHñ(ß`æêéñãêì ý å`æá+Ð#î`ç#ì-çéXháTâ(ãFQðÿé þ áHñáá@è)áHäTéåRé(ãçì-ñÑR`ß`éñ(ãêì-äHááÄáTâá¦á=èáHäTé(ãêì°æçXäåRæ)à¶å;@ãêà¶åé þ ãñãñì-çééçñ(ß`â(è`â(ãñ(ãêì-òD¦ñ(ãêìî@ãFÉáTâáTìXéñ(éåRâ(éÓX-@ åRæñç°æáHî éç#î@ãFÉáTâáTìXéâáHñ(ß`æêéñÑÇ þ ãä þ ånåRãêì ãñéð=è`ãäåRæ¿ºçâ!æçXäåRæ.à¶å;@ãêà¶å@òýþ áÄ-âñ(é!é(â(ð¶éççháTâäHçà#áé þ ãñè`âç`æáTà ãñéç#åRè`è`âç=ãêà¶åRéáé þ á9)áHñ(é!ÓX-@!ãêé þ î@ãFÉ.áTâáTìnéìXß`à¦áTâ

ç=ì-çéñWåRì-îÏéçÿß-ñá°é þ áHñáåRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçì-ñ°åñì-á Âñ(éåRâ(éÓX-@¦ò ýþ á°âáHñ(ß`æêéñåRâáñ þ ç!ì ãêì;é þ á°æ¯åñ(éäHçæêß`àìç ý å`æáÐ@ò ìïé þ áäåñáHñ¦ç

7, 8åRì-î

10`áHîA=ì-çé®ñè`æêãêì-áHñ®é þ á°åRè`è`âç@ãêà¶åRé(ãçì-ñÄxåRãêæáHîÏåRì-î

é þ á°ì-á ñ(éåRâ(éÓX-@ èáTâºçâ(à#áHî¨çâñáé þ åRìη0 = 0.797

ò ì åRæêæçé þ áTâäåñáHñ`ß`éWçì-ávÑ^é þ á°è`âá =ãçß-ñáHñ(éäTß`âháåñ®âáåä þ áHîÏå;FéáTâ'é þ áñáHäHçì-îïçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìµâ(ß`ì^ò ì3é þ áäåñáç ¥½ `áHîTXì-çéñ®åRìïá háTìáTé(éáTâÓX-@ýåñºçß`ì-î.ò = çâåWà#çâá¦ñð=ñ(éáTà¶åRé(ãäÄåHð¶éç°î`áåRæ·!ãêé þ é þ á'è`âç`æáTà çæçXäåRæà¶å;@ãêàãêëáTâñ

¥ Ë

ì-ç`òçsXì-çéñn

ì-ç`òçsvåRâ(ã¯å`æáHñm

FâáHá`áHîη0 η0

âáHñéåRâ(éáHîË Ò `áHî Õ@ò ËÌ ½ Õ@ò Ë ½7¥Ì Ë `áHî Õ@ò ËÌvÒ Õ@ò ËÌvÒ½ Ì `áHî Õ@ò Ë ½ Ë Õ@ò Ë ½ Ë¥ Õ ½ `áHî Õ@ò Ë ½ ª Õ@ò Ë ½ §¥*¥ ¥ Õ `áHî Õ@ò Ë ½ Õ Õ@ò Ë ½ Ë¥ § ¥ Î `áHî Õ@ò ËÌ ½ Õ@ò Ë ½ Ë¥ Ò ¥ Ð `áHî Õ@ò Ë ½ ª Õ@ò Ë ½ Ë¥½ ¥ Ì `áHî Õ@ò ËÌª Õ@ò Ë ½*½Ò ½ QâáHá Õ@ò ËÌ ½ Õ@ò Ë ½ ËË ¥*¥ QâáHá Õ@ò Ë ½ Ð Õ@ò Ë ½ ËÌ ¥ § QâáHá Õ@ò Ë ½7¥ Õ@ò Ë ½ Ë½ ¥ Ð QâáHá Õ@ò Ë ½ Ë Õ@ò Ë ½ Ë¥ Õ ¥ Ë QâáHá Õ@ò Ë ½ Ð Õ@ò Ë ½ Ë¥*¥ ¥½ QâáHá Õ@ò Ë ½ Ð Õ@ò Ë ½ Ë

ý å`æáWÐ Å Â^ç=äåRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìïß-ñãêì¶î@ãFÉáTâáTìXéìnß`à)áTâ¦çlvåRâ(ã¯å`æáè2åRâåRà#áTéáTâñò

áWäHçì-ñ(ãî`áTâXvæç2åRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçìÏéáHä þ ì`ã Xß-áHñò,×®áHñ(ß`æêéñ'åRâáè`âáHñáTìXéáHî3ãêì é þ á9ºçæêæç!ãêì[ñáHäTé(ãçì^òsÙPØ ¬æBè3Yà·æuXAU,âHäzãäM"à#â*äLè$Ë áè`ãäeháHî éLçïäåñáHñ<Fâçà é þ á#ñ(é(ß-î@ðå)çhávÑçì-á!ãêé þ FâáHáÈ=ì-çéWñ(è`æêãêì-áHñåRì-îé þ á#çé þ áTâçì-á!ãêé þ`áHîWXì-çé'ñè`æêãêì-áHñÑ`áåä þ !ãêé þ ¥*¥ Xì-çéñiò ýþ áç`éåRãêì-áHî3âáHñ(ß`æêéñ'åRâáWñ þ ç!ì ãêì ý å^òÒ@ò ìT)çé þ äåñáHñ

ì-ç¶çl=ì-çéñn

ì-ççlvåRâ(ã¯å`æáHñm

`áHî¦FâáHá ÂçXäåRæÍ;å;@ãêàWß`àη0¥*¥ ¥ Õ `áHî ¥ Õ@ò Ë ½ Î

¥*¥ ¥ Õ Î Õ@ò Ë ½ ª¥*¥ ¥ Õ § Õ@ò Ë ½ Ë¥*¥ ¥½ FâáHá ¥ Õ@ò Ë ½ ª¥*¥ ¥½ Î Õ@ò Ë ½ Ì¥*¥ ¥½ § Õ@ò Ë ½*½

ý å`æá+Ò Å ×®áHñ(ß`æêéñçlé(ß`ì`ì-áTæêãêì[çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^ò

é þ âáHáæçXäåRæ«à¶å;@ãêà¶åRælÓX-@ñÄáTâáºçß`ì-î.ò ìÏé þ áäåñá+ç ¥*¥ `áHî«Xì-çéñ¦é þ á+âáHñ(ß`æêéçη0 = 0.797

ãñé þ áñåRà#á#åñâáHñß`æêé9Fâçà æç=äåRæLçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì¬!ãêé þ âáHñ(éåRâ(éò ìé þ áçé þ áTâäåñáç ¥*¥ FâáHá=ì-çéñé þ á-ì2åRæâáHñ(ß`æêéãñÄ)áTé(éáTâé þ åRì;é þ á°âáHñ(ß`æêé9áç`éåRãêì-áHî¨!ãêé þ æçXäåRæçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì ç ¥*¥ QâáHáXì-çéñiò ýþ áé(ß`ì`ì-áTæêãêì3âáHñ(ß`æêéánß2åRæñ¦é þ ááHñ(é®âáHñß`æêéñ¦çåRæêæläåñáHñ'ãêì ý å^òÐ@Ñ)ì2åRà#áTæêð

η0 = 0.799!ãêé þ ¥½ @áHî

=ì-çéñò= çâé þ á¦è`âç`æáTà%ß`ì-î`áTâ!äHçì-ñ(ãî`áTâåRé(ãçì3é þ á®é(ß`ì`ì-áTæêãêì¶åRæhçâ(ãêé þ à ãñ!å`æá'éç°çháTâäHçà#áñá háTâåRææç=äåRæ

à¶å;@ãêàWß`à èçãêìnéñiòT¦çá háTâÑwºçâáåä þ æçXäåRæLà¶å;@ãêàWß`à å±é(ß`ì`ì-áTæêãêìïè þ åñá[åRì-î åÿæç=äåRæñáåRâä þ þ åñéçÈáè)áTâºçâ(à#áHî.òLÔ¦ß`â(ãêìé þ áé(ß`ì`ì-áTæêãêì¶è þ åñávÑ@étðXè`ãäåRæêæêð3ñá háTâåRæ.æç=äåRæ^ñáåRâä þ áHñX!ãêé þ é þ áç76(áHäTé(ãháQß`ì-äTé(ãçì

T (x)åRâáì-áHäHáHññåRâ(ðéçïåî6zß-ñ(éé þ á¶è2åRâåRà#áTéáTâñ°çé þ á#è)çæáHñÑ«ávò -ò±é þ áâåî@ãêß-ñò ýþ ß-ñiÑé þ á

åRà#çß`ìnéµçì-áHäHáHññåRâ(ðQß`ì-äTé(ãçì á åRæêß2åRé(ãçì-ñ ãêì-äTâáåñáHñ î@âåRà¶åRé(ãäåRæêæêð äHçàè2åRâáHî³éçÃå ñ(ãêàè`æá;æç=äåRæñáåRâä þ ò

¥ Ì

¡ ¢ ø'õ+ûl»úF2üøõFÕ'õ+ù Ò³úWö´»øøE£Ë á þ åháñ þ ç!ìé þ åRéé þ á+ß-ñáçìnß`à#áTâ(ãäåRæLéáHä þ ì`ã nß-áHñvãháHñâ(ãñá+éç3å±ñ(ãvì`ãF2äåRìXéãêàè`âçháTà#áTìné+ãêìé þ á'á4¶äTãáTì-äTð#ç.é þ á+Lçãêé þ .-=ä þ ì-áTãî`áTâ 0© / âçèáTæêæáTâò®çá háTâÑ=ãêéñ þ çß`æîCá!ì-çéáHî#é þ åRéé þ áìnß`à#áTâ(ãäåRæâáHñ(ß`æêéñ þ åhááHáTì;åä þ ãá háHîXðµå#ñãêàè`æêãF2áHîµà#ç=î`áTæ0'+Lçâ(éáÂåRé(é(ãäHá 2 î@ß-áWéç¶é þ á+äHçàè`æá@ãêéðÏçLé þ áç76(áHäTé(ãháÈFß`ì-äTé(ãçì^òÁ,háTìé þ çß þ ãêì çß`âWäåñáé þ áâáHñ(ß`æêéñWäHçß`æî åRæñçW)áÈháTâ(ãF2áHî¬!ãêé þ ãêìé þ áà#çâáâáåRæêãñ(é(ãäAFâåRà#á çâ&çå Þ¦åXãáTâ.-XéçháHñ3ñçæháTâÑ!é þ á¨@ / D é(ãêà#á«vãháHñ±ñçà#á æêãêàãêéåRé(ãçì^ò = çâÿçß`âè2åRâ(é(ãäTß`æ¯åRâäåñávÑ«é þ ãñ+äHçß`æîEá¶çháTâäHçà#áWXðß-ñ(ãêì þ ã þ èáTâQçâ(à¶åRì-äHáÿäHçàè`ß`éáTâñò ýþ ãñ!ãêæêæ)á±åñ(ß76(áHäTéçwQß`é(ß`âáâáHñáåRâä þ òÞ¦çéá þ çá háTâÑ2é þ åRéé þ ãñ'î`çXáHñ!ì-çé®äTãêâäTß`à¦háTìné¦é þ á9háTì-áTâåRæè`âç`æáTà ò ì¬ºåäTéÑ.é þ á¶Ó-@ ãñçì`æêðÏçì-á¶çñá háTâåRæè2åRâåRà#áTéáTâñWé þ åRéWî`áTéáTâ(àãêì-á¶é þ áÈ)á þ åXãçâçé þ áÈ+<- / ò é+ãñåRìÃç?=ãçß-ñnß-áHñé(ãçìVéçµãêì-äTæêß-î`á åRæñçÏçé þ áTâè2åRâåRà#áTéáTâñ°ãêìnéç;é þ áÿçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^ò ýþ ãñÈçß`æî

çäHçß`âñá°ãêì-äTâáåñá+é þ á°î@ãêà#áTì-ñ(ãçì çé þ á°çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì è`âç`æáTà þ ãä þ ãêì;é(ß`â(ì-ñ9çß`æî;ì-çéèáTâ(àãêééçÿß-ñáé þ áÞå=ãáTâ.-XéçháHñWñçæháTâ9ºçâé þ á°ãêì`ì-áTâæçXçè^òF¦áTì-äHávÑ¿á°ì-áHáHî;éç5-ì-î å5hç=ç=îÏäHçàè`âçàãñááTéLáHáTì åäHäTß`âåäTð åRì-î á4¶äTãáTì-äTð çé þ á°í2ç%ñçæháTâò:Àéé þ ãñWè)çãêìXéÑñá háTâåRæLãî`áåñWäHçà#á¶éç3àãêì-î.òÀ®à#çì[é þ çvñáåRâáWà#ç=î`áTæ«âáHî@ß-äTé(ãçìÏéáHä þ ì`ã nß-áHñåRì-îÏñç¶äåRæêæáHîµàWß`æêé(ãF2î`áTæêãêétðÏçè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^ò9À®ì-çé þ áTâè`âçàãñ(ãêìÿäHçì-äHáTè`éÄQçâ®ì-çì-ñ(à#çXçé þ çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì åRâá¦`ß`ì-î@æá+à#áTé þ ç=î`ñò ýþ çvñá!ãêæêæl)áå#ñ(ß76(áHäTé¦çQß`â(é þ áTââáHñáåRâä þ ãêì é þ áì-áåRâ1Qß`é(ß`âávò8®ß`â«ñß-äHäHáHññåRæñç®ñ þ çñé þ åRéé þ ãñ«áTì?=ãêâçì`à#áTìnéäåRì)áß-ñáHîéç'çè`é(ãêàãêëáåRìnðéáHä þ ì`ãäåRæ`ñ(ð=ñéáTà³é þ åRé

ãñä þ åRâåäTéáTâ(ãêëáHîAXð±äHáTâ(éåRãêì ãêì`è`ß`é'è2åRâåRà#áTéáTâñ¦åRì-î5ºçâ þ ãä þ åT0Fìnß`à#áTâ(ãäåRæ 2 ñãêàWß`æ¯åRé(ãçìïãñ®åvåRãêæ¯å`æá þ ãä þ vãháHñ'åRìµåRè`è`âç=ãêà¶åRé(ãçìÏç«é þ áéåRâháTéXFß`ì-äTé(ãçì2åRæxòêË á9!ãêæêæ^è`âç=ãî`áWåÈháTì-áTâåRæçQâåRà#á çâWºçâé þ ãñ!éåñò ìñ(ß`àà¶åRâ(ðhÑé þ ãñè2åRè)áTâñ þ çñé þ åRéìnß`à#áTâ(ãäåRæà#áTé þ çXî`ñÄQâçà çè`é(ãêàãêëiåRé(ãçì åRì-î¬@ = Ô%î`ç þ åhá

åRìïáTì-çâ(à#çß-ñ'è)çéáTìXé(ã¯åRæéç°ãêì-äTâáåñáé þ á¦nß2åRæêãêétðÿá háTìµç þ ã þ ñ(éåRì-î-åRâîïè`âçXî@ß-äTéñiò

±¤±l÷#±õûw± ¥ ÂLò ý ò2Óãá væáTâÑ·8ò C þ åRé(éåñÑ2Í ò¥¦áTãêìháTì-ñä þ æçvññÑ-ÓòvåRì Óæç=áTà#áTì>Ë åvåRì-î`áTâñÄÂåRâhá.-=äåRæá / ÔÄÁ¼@çì-ñ(é(âåRãêì-áHî¨8®è`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^Ñ#-Xè`â(ãêìháTâB+LáTâ(æ¯å-ÑÎvÕvÕ*§ Î ×+ò / ò ÓâáTìXéÑ ×Wò / òêÑ À®æhçâ(ãêé þ à#ñáºçâ Íµãêì`ãêàãêëiåRé(ãçì!ãêé þ çß`é ÔáTâ(ãvåRé(ãháHñÑ / âáTìXé(ãäHáM¦åRæêæxÑÁìvæá çXç=îR.@æêãFÉ.ñÑ2Þò¦L-òÊ0 ¥½ Ë§ 2 òg§ ×+ònÔåRß`é(âåHðÿåRì-î<L-ò]ÂòRÂ^ãçì-ñÑ@ÍÏåRé þ áTà¶åRé(ãäåRæçÀ®ì2åRæêð=ñ(ãñåRì-î±Þ'ß`à#áTâ(ãäåRæ.ÍÏáTé þ çXî`ñºçâ1-=äTãáTì-äHáåRì-î

ý áHä þ ì-çæçvðÑ·-Xè`â(ãêìháTâX+LáTâ(æ¯å-Ñ ¥½*½ §@ò ª ÂLò@¦ò Ë òÔ®ãF`çì åRì-î C ò / ò1-Xëá hç©0QáHî`ñò 2 Ñ ý çåRâî`ñWvæç2åRæçè`é(ãêàãñåRé(ãçì^ÑXÀ®à#ñ(éáTâî-åRà Å Þ¦çâ(é þ

¦çæêæ¯åRì-î.Ñ ¥½ ËÌ@ò Ð ¨§ ò)Ô¦ß2åRì^Ñç-)òç-=çâç=çvñ þ ã¯åRì^Ñ^åRì-îA+°ò C ß`è`éå@Ñ3©*ªIS"%$'VI(O´G>I'üýS $BIO",Q*)F?DM()ê! #"%$'&È$s(*"%$%*OùNSMO'

SeIz #"%U7(*)ÊN($POù ()')«LNUJO´ª&CG?I )KTÑË åRéáTâ×'áHñçß`âäHáHñX×'áHñáåRâä þ Ç'¬Ñ@ì-ç`òªA0 ¥½*½ Î 2 Ñ ¥ Õ ¥ Ð; ¥ Õ*§ ¥ ò Ò +°ò C ãêâåRß`æêéåRì-î / ò LÀò×¦å=ã¯åRâ(éÑ = ãêì`ãêéáêÁLæáTà#áTìnélÍµáTé þ ç=î`ñ·ºçâÞ¦åXãáTâ.-XéçháHñLÁ,nß2åRé(ãçì-ñiÑ?-Xè`â(ãêìháTâ+LáTâ(æ¯å-Ñ2ÎRì-îïáHî@ãêé(ãçì^Ñ ¥½ ÌvÒ@ò Ë ×+ò¥®ç=çháWåRì-î ý ò]Àò'LháHá háHñÑ®2<$PNMIS"3Î·IM(NSV¯XÎ·)úU7"%$|O¬ù°9UR&:IN!$|SM()s(O´GCÎ´"B(*"%$PK"%$|SM()*±1N?D )I&KTÑ

L-òÀ@Í²¬Ñ@ì-ç`ò2ÎT0 ¥½ Ò ¥ 2 ÑÎ ¥ ÎÃ=ÎvÎ ½ ò Ì Ô°òLi³`âháTì-ñiÑT´7INMI "%$PK S7IURO´G Ia! I N!$'&:IO"LI)')I/µwO"LIN!K!US?UROJQ?IO$'OK "B(*"%$%*OV¶NMIN ´N(Q·8¹¸*Q?I) UJ&¨

K "%N·º&ÈUROJQ?IOUJO#G6©3O"z9¼$|S`) UJORQI$'O#I!KCÍI NIS?OÇUROJQK!VINPù(O?NMIOKù@¸RN¼»ÇIN"%$`()(HS?K!&C*"BNMIO2Ñ / þ Ô°òé þ áHñ(ãñiÑ×'çvñ(éç=äM ¥½*½ ª-ò¥½

½J L-òGåRé(ëhÑÇÀ+ò / æçéXãêì^ÑÇÂç1.-XèáHáHîAÀ!áTâç=î@ðXì2åRàãäHñÑ·@åRà¦`â(ãî7há D'ì`ãháTâñ(ãêétð / âáHññ'ÎvÕvÕ ¥ ¥ Õ ý ò C ò½G'çæî-å@Ñ×+ò½Í òRÂ^á !ãñåRì-î+ò ý çâäTëçì^Ñ¾Ê ·"%$P&È$(*"%$|ODþu2<$PNMIS",Î·I(NS!¿E°I9^±XIN!KB ÇIS"%$'VI!K

OÎ#&:IÏl)F(KeK!$|SM()l(O´GÀ«G?INOÀ¨I "RGK9Ñ´- À¦Í ×®á Xãá b1Á Ñ`Þ¦ç`òÇ§>0ºÎvÕvÕ*§ 2 Ñ§vÌvÐÃ?ªnÌvÎ@ò ¥*¥ Àò +ò#Â^á =ðÏåRì-î¨Àò)ÍÏçìnéåRæhç`Ñ´7I"%UROÇO#I) $'OJQ>()]QHN$'"J& ù NÈ"7I¦Q)FJD(),&È$'OÇ$P&È$(*"%$|O¬ù3ù!URO´S

"%$|OKTÑ- À¦ÍNL-ò#-=äTãxò´-XéåRé(ãñ(éò´@çàè`ß`éòÂE0 ¥½ ÌvÐ 2 Ñ-ì-ç`ò ¥ Ñ ¥ ÐÃ=Î ½ ò ¥ Î ÀòÞ¦áTæî`áTâ«åRì-î×WòÍÏáåî.Ñ:Ã©K!$'& ´)IÄaÄ&CI"RG¼ùN´ù!URO´S"%$|O&È$PO$P&È$(*"%$|O2Ñ ýþ á1@çàè`ß`éáTâ[Lnçß`â(ì2åRæ

Å 0 ¥½ ÒvÐ 2 Ñ´§vÕvÌÃR§ ¥ §@ò ¥ § C ò]Âò=Þ¦áTà þ åRß-ñáTâÑÀò¦+ò C òJ×'ãêì`ì-çð<GåRì^Ñ@ÍVò¦L-ò ý ç=î`î.Ñ8®è`é(ãêàãêëiåRé(ãçì^Ñ'åRì-î7)ç=ç=ñãêìA8®èáTâåRé(ãçì-ñ

×®áHñáåRâä þ åRì-îïÍÏåRì2åvà#áTìXé9-=äTãáTì-äHá+Lçæxò ¥ Ñ2Þ®çâ(é þ M¦çæêæ¯åRì-î.Ñ ¥½ Ì ½ ò ¥ ª L-ò / ãêìnéáTâÑÇÆ1)F?DM()P) þSM*OÇVIN|Q?IO"1&:I "7GK,ùNO'.G*$P&:IOK$%*O´()·&ÈUJ)F"%$|IÄa*"%NI &(*)l! #"%$'&È$s(*"%$|O2ÑÇ8®è`é(ãFàãêëiåRé(ãçì í Å Ñ@ì-ç`òÎT0 ¥½ ÌvÒ 2 Ñ ¥ ÌhËÃ=ÎvÕvÎ@ò ¥ Ð Àò § ß2åRâ(éáTâçì`ãxÑ¿×Wòç-@åäHäHç`ÑåRì-î = ò·-@åRæáTâ(ãxÑ^Þ®ß`à#áTâ(ãäåRæLÍ;åRé þ áTà¶åRé(ãäHñÑ ý á@éñãêì¨À'è`è`æêãáHîÍ;åRé þ á

à¶åRé(ãäHñÄ§hË=Ñ´-Xè`â(ãêìháTâX+LáTâ(æ¯å-Ñ2ÎvÕvÕvÕ@ò

ÎvÕ

numerical optimization of the voith-schneider propeller · numerical optimization of the...

Documents