numerick e metodyhlavicka/vyuka/bma3_predn/2009/... · 2009. 11. 9. · slou z k minimalizaci...

Numericke metody

Uvod

Co je obsahem numerickych metod?

Numericke metody slouzı k pribliznemu vypoctu vecı, ktere sepresne vypocıtat bud’ nedajı vubec, nebo by byl vypocet neumernepracny.

Obsahem naseho kurzu bude:

I Resenı soustav linearnıch rovnic

I Resenı nelinearnıch rovnic: x + ex = 2 ⇒ x = ?

I Aproximace funkcı:f (1) = 1,234, f (1,1) = 1,345 ⇒ f (1,07) = ?

I Vypocet derivace a integralu:∫ π

0 sin(x2)dx = ?

I Resenı diferencialnıch rovnic:y ′ = x2 + y 2, y(0) = 1 ⇒ y(0,1) = ?

Chyby

Zdroje a typy chyb

I Chyby matematickeho modelu

I Chyby vstupnıch dat

I Chyby numericke metody

I Zaokrouhlovacı chyby

Chyby

Absolutnı a relativnı chyba

Je-li x presne cıslo a x jeho priblizna hodnota, pak

I absolutnı chyba je

E (x) = x − x ,

tj. presna hodnota = priblizna hodnota + chyba,

I relativnı chyba je

RE (x) =E (x)

x.

Resenı soustav linearnıch rovnic


Pripomenutı – co je to soustava linearnıch rovnic

Prıklad

2x − 3y + z = 5−3x + 5y + 2z = −4

x + 2y − z = 1

Soustava linearnıch rovnic obecne

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2...

...an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn

Maticovy tvar:Ax = b.


V praxi se vyskytujı velmi velke soustavy rovnic, casto s tzv. rıdkoumaticı (v kazdem radku je jen nekolik nenulovych prvku).

Metody resenı soustav linearnıch rovnic

I Prıme– po konecnem poctu matematickych operacı dojdeme prımok

”presnemu“ resenı. (Resenı ve skutecnosti kvuli

zaokrouhlovacım chybam presne byt nemusı.)

I Iteracnı– zvolıme pocatecnı aproximaci resenı a postupne jizlepsujeme. K presnemu resenı bychom se obecne dostali azv limite (tj. nekonecnym poctem kroku).


Prıme metody

I Cramerovo pravidlo

I Gaussova eliminacnı metoda

I . . . (existujı i dalsı metody)


Cramerovo pravidlo

Je-li matice soustavy A regularnı, tj. jejı determinant je nenulovy,pak resenı soustavy lze vypocıtat jako

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D

kde D je determinant matice soustavy A a Dk , k = 1, . . . , n, jsoudeterminanty matic, ktere vzniknou tak, ze v A nahradıme k-tysloupec vektorem pravych stran b.

Cramerovo pravidlo je vhodne jen pro velmi male soustavy.


Gaussova eliminacnı metodaSoustavu pomocı elementarnıch uprav prevedeme na trojuhelnıkovytvar, ze ktereho se resenı snadno spocıta pomocı tzv. zpetnehochodu.Puvodnı soustava:

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2...

...an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn

Upravena soustava:

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

a22 x2 + · · · + a2n xn = b2...

ann xn = bn


PrıkladGaussovou eliminacnı metodou najdete resenı soustavy

2x − 3y + z = 5−3x + 5y + 2z = −4

x + 2y − z = 1


2 −3 1 5−3 5 2 −4

1 2 −1 1

/· 32 /·(−1

2

)∼

2 −3 1 50 0,5 3,5 3,50 3,5 −1,5 −1,5

�

�

2 −3 1 50 0,5 3,5 3,50 3,5 −1,5 −1,5

/·(−3,5

0,5

)∼

2 −3 1 50 0,5 3,5 3,50 0 −26 −26

�

2x − 3y + z = 50,5y + 3,5z = 3,5

− 26z = −26

⇒ x = 2⇒ y = 0

⇒ z = 1


Nevyhody Gaussovy eliminacnı metody

I Vypocet je casove narocny, potrebnych aritmetickych operacıje radove n3/3.

I Pri vypoctu se mohou hromadit zaokrouhlovacı chyby.


PrıkladGaussovou eliminacnı metodou najdete resenı soustavy

0,0001x + y = 1x + y = 2.

Pri vypoctu zaokrouhlujte na 3 platne cıslice.


Eliminace s castecnym vyberem hlavnıho prvku

Slouzı k minimalizaci zaokrouhlovacıch chyb.

Pro eliminaci prvku v k-tem sloupci pouzıvame nasobky toho radku(vybırame z k-teho az n-teho radku), ve kterem ma cıslo v k-temsloupci nejvetsı absolutnı hodnotu. Toto cıslo s nejvetsı absolutnıhodnotou nazyvame hlavnı prvek nebo tez pivot.


PrıkladPomocı eliminace s castecnym vyberem hlavnıho prvku najdeteresenı soustavy

−x + 7,5y = 162x − 2y + 2z = −4

−10x − 5y − 8z = −8


−1 7,5 0 162 −2 2 −4

−10 −5 −8 −8

∼

−10 −5 −8 −82 −2 2 −4−1 7,5 0 16

/· 210 /·

(− 1

10

)∼

�

�

�

�

−10 −5 −8 −80 −3 0,4 −5,60 8 0,8 16,8

∼

−10 −5 −8 −80 8 0,8 16,80 −3 0,4 −5,6

/· 38 ∼�

� �

−10 −5 −8 −80 8 0,8 16,80 0 0,7 0,7

−10x − 5y − 8z = −8

8y + 0,8z = 16,80,7z = 0,7

⇒ x = −1⇒ y = 2

⇒ z = 1


Iteracnı metody

I Jacobiho metoda

I Gauss-Seidelova metoda

I . . . (existujı i dalsı metody)


Jacobiho metodaZ 1. rovnice vyjadrıme 1. neznamou, z 2. rovnice 2. neznamou atd.

Zvolıme pocatecnı aproximaci resenı x(0) = (x(0)1 , x

(0)2 , . . . , x

(0)n )T ,

dosadıme – vypocteme x(1), opet dosadıme atd.:

x(k+1)1 =

1

a11

(b1 − a12 x

(k)2 − a13 x

(k)3 − · · · − a1n x

(k)n

)x

(k+1)2 =

1

a22

(b2 − a21 x

(k)1 − a23 x

(k)3 − · · · − a2n x

(k)n

)...

x(k+1)n =

1

ann

(bn − an1 x

(k)1 − an2 x

(k)2 − · · · − an n−1 x

(k)n−1

),

Pokracujeme, dokud se vsechny slozky resenı neustalı, tj. dokudneplatı

|x (k+1)i − x

(k)i | < ε pro vsechna i = 1, . . . , n.


Konvergence a divergence metody

Resenı pomocı Jacobiho metody nemusıme najıt vzdy.

Jestlize se postupne aproximace k resenı blızı, rekneme, ze metodakonverguje.

Jestlize resenı nenajdeme, rekneme, ze metoda diverguje.


Podmınky konvergence pro Jacobiho metodu

Diagonalne dominantnı matice

Matice A se nazyva radkove ostre diagonalne dominantnı,jestlize je v kazdem radku absolutnı hodnota prvku na diagonalevetsı nez soucet absolutnıch hodnot vsech ostatnıch prvku v onomradku neboli jestlize

| aii | >n∑

j=1,j 6=i

| aij | pro i = 1, . . . , n

Podobne definujeme sloupcove ostre diagonalne dominantnımatici:

| ajj | >n∑

i=1,i 6=j

| aij | pro j = 1, . . . , n.


Podmınky konvergence pro Jacobiho metodu

Je-li matice A ostre radkove nebo sloupcove diagonalnedominantnı, pak Jacobiho metoda konverguje pro libovolnoupocatecnı aproximaci x(0).

Jestlize matice nenı diagonalne dominantnı, Jacobiho metodakonvergovat muze a nemusı.


Gauss-Seidelova metodaPocıtame podobne jako u Jacobiho metody, ale v kazdem krokupouzijeme nejnovejsı hodnoty neznamych:

x(k+1)1 =

1

a11

(b1 − a12 x

(k)2 − a13 x

(k)3 − · · · − a1n x

(k)n

)x

(k+1)2 =

1

a22

(b2 − a21 x

(k+1)1 − a23 x

(k)3 − · · · − a2n x

(k)n

)x

(k+1)3 =

1

a33

(b3 − a31 x

(k+1)1 − a32 x

(k+1)2 − · · · − a3n x

(k)n

)...

x(k+1)n =

1

ann

(bn − an1 x

(k+1)1 − an2 x

(k+1)2 − · · · − an n−1 x

(k+1)n−1

)


Podmınky konvergence pro Gauss-Seidelovu metodu

Pozitivne definitnı maticeSymetricka matice A se nazyva pozitivne definitnı, jestlize prokazdy nenulovy sloupcovy vektor x = (x1, . . . , xn)T platı

xTA x > 0

Jestlize libovolnou regularnı matici A vynasobıme maticı k nıtransponovanou, dostaneme matici, ktera je symetricka a pozitivnedefinitnı.


Podmınky konvergence pro Gauss-Seidelovu metodu

Je-li matice A ostre radkove nebo sloupcove diagonalnedominantnı, pak Gauss-Seidelova metoda konverguje prolibovolnou pocatecnı aproximaci x(0).

Je-li matice A symetricka pozitivne definitnı, pak Gauss-Seidelovametoda konverguje pro libovolnou pocatecnı aproximaci x(0).

Jestlize matice nema zadnou z uvedenych vlastnostı,Gauss-Seidelova metoda konvergovat muze a nemusı.


Jak zarucit konvergenci Gauss-Seidelovy metody

Vynasobıme-li puvodnı soustavu

Ax = b

maticı k A transponovanou:

ATAx = ATb,

dostaneme soustavu s pozitivne definitnı maticı, pro kterou jekonvergence zarucena (muze byt ovsem dosti pomala).


Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda se nejlepe hodı pro velkesoustavy rovnic s rıdkou maticı.


Dalsı pouzıvane metody

I Metoda LU rozkladu

I Choleskeho rozklad

I Metoda sdruzenych gradientu

I . . .

numerick e metodyhlavicka/vyuka/bma3_predn/2009/... · 2009. 11. 9. · slou z k minimalizaci...

Documents