número aureo. 3.12
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Escuela Secundaria Técnica No. 118
Alumna: Vianey Vignaud Buendía.
Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías
Materia: Matemáticas 3
“El Número Áureo o Proporción Áurea y La serie de Fibonacci”
Grado y Grupo: 3 “C”
Fecha de entrega: 25/10/2012
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Í N D I C E .
Introducción. _____________________________________________________ 3
El número Áureo o Proporción Áurea. _________________________________ 4
La Serie de Fibonacci. _____________________________________________ 5
Relación del Número Áureo o Proporción Áurea con la Serie de Fibonacci.____ 6
Relación del número Áureo con la naturaleza y otras aplicaciones. ___________ 7
Actividad. _______________________________________________________ 11
Actividad: Hacer el trazo de el rectángulo o triángulo y dentro de este la espiral áurea._ 12
Conclusión. _____________________________________________________ 13
Bibliografía. _____________________________________________________ 13
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Introducción.
Los griegos pensaban que el Número Áureo Proporción Áurea era la proporción ideal en la debían estar los lados de un rectángulo para que fuese más bello al ojo humano.
El valor numérico de la razón dorada o proporción Áurea es:
Este resultado es un número irracional.
La Proporción Áurea aparece en muchas formas de la naturaleza, por ejemplo en varios tipos de conchas, en el acomodo de semillas de girasol o de los pinos.
La Serie de Fibonacci fue descubierta por Leonardo de Pisa, italiano del siglo XlI, conocido como Fibonacci, la creo pensando en la reproducción de los conejos.
La serie empieza con dos unos, y cualquier término de la serie se obtiene de sumar los dos anteriores.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….
Esta serie aparece a menudo en la naturaleza, en el crecimiento y la ramificación de muchas plantas.
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El número Áureo o Proporción Áurea.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:
Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
Igualamos a cero:
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La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
Que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
Euclides demostró que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional.
La Serie de Fibonacci.
En matemática, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los dos anteriores (0,1,1,2,3,5,8...)
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.
Algunas aplicaciones de la Serie de Fibonacci.
En el álbum Lateralus de la banda estadounidenseTool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
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En el videojuego de Assassin's Creed II, en uno de los acertijos de los glifos, se debe usar la sucesión de Fibonacci para poder resolverlo.
En la miniserie Taken, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la híbrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
Relación del Número Áureo o Proporción Áurea con la Serie de Fibonacci.
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción.
Por ejemplo: ; ; y , lo que se acerca
considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:
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Relación del número Áureo con la naturaleza y otras aplicaciones.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig)
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La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.
Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo.
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En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
Otras aplicaciones.
Ángulo de oro
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El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo y
la sección áurea es su inversa, « ». En esta extensión el
«Emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:
.
En 1994 se obtuvieron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia :
Lo que puede combinarse en la expresión:
Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.
El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
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El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento intersecta a otro segmento en una razón áurea.
Actividad.
Relaciona las columnas.
1. Sucesión en la cual cada término es la suma de los dos términos anteriores.
Liber Abaci
2. Nombre real de Fibonacci Conejo
3. Libro más importante de Fibonacci, fundamental en la formación de mercaderes y comerciantes.
Mercadotecnia
4. ¿La serie de Fibonacci es infinita?
No
5. Animal que ejemplifica la serie de Fibonacci
Conchas, en el acomodo de semillas de flores como el girasol, el pino, etc.
6. ¿Qué sucede en la sucesión de Fibonacci?
Arte, arquitectura y en la naturaleza
7. El rectángulo dorado es usado hoy en día con fines de…
Positiva
8. Los patrones matemáticos coinciden muchas veces, con patrones que existen en el…
Sucesión de Fibonacci
9. Es la proporción ideal en la que deben estar los lados de un rectángulo para ser mas bello al ojo humano
Si
10. ¿El valor numérico de la razón dorada es aproximadamente 1.6180339 y es un número racional?
Suma de los 10 primeros términos de la sucesión será 11 veces el séptimo término
11. En la ecuación para el cálculo de la proporción áurea la solución _____ es la correcta.
Leonardo de Pisa
12. La proporción áurea, el rectángulo dorado y la espiral logarítmica aparecen en las formas de la naturaleza como en…
Proporción áurea ó razón dorada
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Actividad: Hacer el trazo de el rectángulo o triángulo y dentro de este la espiral áurea.
Conclusión.
En mi opinión El Número Áureo o Proporción Áurea es muy interesante ya que en ella se basaron nuestros antepasados y tambien nuestros arquitectos de hoy en dia para hacer edificios artísticos que llaman la atención por su magnífica estructura como por ejemplo el Frontón del Partenón y es más interesante saber que este número también lo observamos en las cocnchas de mar en los caracoles, en las frutas como la piña y en las semillas de girasol.Tiene mucha relación con la naturaleza y es demasiado importante.
En cuanto a la serie de Fibonacci sus términos consecutivos se van aproximando al valor del número áureo. Osea que ambos estan relacionados entre si.
Bibliografia.
Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON
EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9.
Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON
EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE
HALL. ISBN 84-89660-00-X.
Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw
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Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and
combinatorial mathematics. CRC. ISBN 0-8493-0149-1.
N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección
Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega,
catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-
matemáticas.
A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú,
Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos
Vega.
Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.
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