número Áureo paloma puerto

Software en Matematicas. Curso 2012-13., Vol. xx (xxxx), Num. x, Pags. 126 1

LA VERDAD SOBRE EL NUMERO AUREO

por

Paloma Puerto Moyano

La pasion por algo provoca el deseo de conocerlo en profundidad. En el amoreso significa muchas veces su fin. En la ciencia, el avance.

A veces amar y ciencia pueden coincidir, y el final de algo siempre supone elprincipio de otra cosa...

Eso me paso a m con el Numero Aureo. Divina proporcion, Numero de Dios,Razon Dorada, Numero de Oro,... No faltan los calificativos que lo ensalzan.

Lo conoc de vista en la carrera, que acabe en Granada en el 2000, pero fuedurante la preparacion de las oposiciones para profesora, en el ano 2002 mientrastrabajaba en Madrid, cuando realmente lo descubr y empece a entenderlo mejor ya admirarlo.

La Proporcion Aurea ha sido considerada a lo largo de la historia por musicos,escultores, pintores y arquitectos como proporcion ideal, smbolo de belleza y per-feccion, utilizandose como base de numerosas obras artsticas. Por otro lado muchosinvestigadores rebelan su presencia en la naturaleza: plantas, cuerpo, universo, po-blaciones,... Incluso hay estudios que demuestran su existencia en ndices bursatiles.

La manera mas natural en la que me parece presentarlo y describirlo es la queprimero surge y a la que debe su mayor fama, la geometrica.

1. El Rectangulo y la Proporcion Aurea

Se entiende por proporcion en un rectangulo al resultado de dividir el lado mayorentre el lado menor (el largo entre el ancho).

As la proporcion del rectangulo de la figura A es 1,1 (el largo mide 2,2 cm y elancho 2 cm), y la de la figura B es 3 (el largo mide 6 cm y el ancho 2 cm). En loscuadrados la proporcion es siempre 1 (el largo mide igual que el ancho), como en lafigura C, en la que el lado mide 2 cm:

prop(fig A) =2, 2

2= 1, 1 prop(fig B) =

6

2= 3 prop(fig C) =

2

2= 1

Pues bien, de todos los rectangulos R1 de dimensiones a (largo) y b (ancho) cona mayor que b (si fueran iguales sera un cuadrado) y los dos distintos de cero (si

2 LA VERDAD SOBRE EL NUMERO AUREO

no, no sera ni un rectangulo) se llama Rectangulo Aureo a aquel que al quitarle elcuadrado de lado b, el rectangulo resultante R2, de medidas b (largo) y a - b (ancho),cumple la misma proporcion entre sus lados que el original, es decir, si dividimos aentre b nos da lo mismo que si dividimos b entre a - b (se puede dividir porque comono es un cuadrado a 6= b y por tanto a b 6= 0):

R1 es un Rectangulo Aureo prop(R1) =a

b= prop(R2) =

b

a b

R2 es un Rectangulo Aureo

En estos terminos se dice que un Rectangulo Aureo es aquel ni demasiado acha-tado (fig A) ni alargado (fig B). Esto es que tiene una proporcion perfecta entresus lados (R1 y R2).

Esta proporcion que se mantiene constante en un Rectangulo Aureo es a la que sellama Proporcion Aurea o Numero Aureo, que suele representarse con la letra griegaPhi (fi):

a

b=

b

a b= constante = (Propiedad 1)

Se puede comprobar que con otro tipo de rectangulos no se cumple esto. Porejemplo el rectangulo de la fig A, de lados 6 cm y 2 cm, al quitarle el cuadrado daotro rectangulo de lados 4 cm y 2 cm, de manera que:

3 =6

26= 4

2= 2, no mantiene su proporcionalidad

Por ultimo, si en un Rectangulo Aureo reiteramos el proceso anterior y unimoslos vertices opuestos de los cuadrados (V1, V2, V3, V4, V5, ...), se construye la llamadaEspiral Aurea:

(Propiedad 2)

La Gaceta 3

2. Valor del Numero Aureo

De la formula constante anterior (Propiedad 1 ) podemos obtener el valor delNumero Aureo .

Si en la expresion ab =b

ab dividimos el numerador y denominador del segundomiembro por b, el valor no vara y obtenemos:

a

b=

bb

abb

ab

=bb

ab

bb

ab

=1

ab 1

(ya queb

b= 1 y como a 6= b entonces a

b6= 1)

Dado que = ab sustituyendo en la expresion anterior tenemos que:

=1

1(Propiedad 3)

Si pasamos el denominador del lado derecho de la igualdad multiplicando al ladoizquierdo, multiplicamos por el parentesis y finalmente pasamos el 1 restando, nosqueda:

( 1) = 1 1 = 1 2 = 1 2 1 = 0

Hemos obtenido una ecuacion de segundo grado del tipo:

Ax2 +Bx+ C = 0 donde A = 1 B = 1 C = 1

que se resuelve facilmente aplicando la formula:

x =B

B2 4 A C2 A

As se obtienen dos soluciones, de las cuales geometricamente hablando solo tienesentido la positiva:

x1 = =(1) +

(1)2 4 1 (1)

2 1=

1 +

1 + 4

2=

1 +

5

2= 1, 61803398...

Este numero es un numero irracional: tiene infinitas cifras decimales no pe-riodicas y no se puede obtener dividiendo ningun par de numeros enteros, es decir:

no existen p, q tales quep

q=

Por tanto, es importante resaltar que no se pueden construir este tipo de rectangu-los midiendo exactamente sus lados porque las medidas a y b no pueden ser numerosdecimales exactos, ya que si al dividirlos da es porque a = b y tiene infinitosdecimales.


Se pueden hacer entonces tres cosas. Una es medirlo de forma aproximada: porejemplo, para un rectangulo de ancho b = 2,5 cm el largo tendra que medir aproxi-madamente a = 4,045 cm (R1) para que

ab =

4,0452,5 = 1, 618; la segunda es construirlos

geometricamente (usando regla y compas), pero esta parte no la expondremos; y unatercera sera usar directamente un compas aureo.

3. Presencia del Numero Aureo en la Historia

Como se ha dicho al principio, este numero ha ido cobrando fama a lo largode la historia. Su estudio mas analtico y matematico ha estado frecuentementerelacionado con sus propiedades esteticas y su uso en el arte.

Veamos algunos personajes destacados de cada epoca y la que parece ser, segunla mayora de las resenas y estudios publicados, su relacion con el Numero Aureo.

3.1. Edad Antigua: hasta siglo V

No esta muy claro desde que epoca se conoce y utiliza la Proporcion Aurea,aunque algunos autores afirman que aparece en numerosas obras de arte del antiguoEgipto, como la gran piramide de Keops (2570 a. C.) y en estelas de Babilonia yAsiria (alrededor de 2000 a. C.), e incluso de los Sumerios.

- Pitagoricos (582-500 a.C.): Griegos que trabajando con proporciones descubrie-ron la existencia de los numeros irracionales. Consideraban que los numeros eran laesencia de todas las cosas, que la estructura del universo era aritmetica y geometrica.As la relacion entre la naturaleza humana y divina implicaba para ellos la existen-cia de algun codigo secreto mediante numeros. Hicieron de la estrella pentagonal susmbolo, en la cual aparece el Numero Aureo como proporcion entre sus secciones.

- Fidias (490-430 a.C.): El mas famoso de los escultores de la Antigua Grecia,ademas de pintor y arquitecto. Utilizo la Proporcion Aurea en el Partenon y ennumerosas esculturas. Junto a otros artistas de la epoca, impulsaron un cambiode tendencia en el estilo griego: de la escultura arcaica, mas formalista y rigurosa,pusieron el enfasis en el individuo, realizando representaciones del cuerpo humano ydando origen a un estilo mas cercano a la naturaleza (clasicismo escultorico).

La Gaceta 5

- Platon (428-347 a.C.): No existen datos de que el gran filosofo griego conocierala existencia del Numero Aureo, pero s considero que los numeros irracionales, des-cubiertos por los pitagoricos, eran de particular importancia y la llave de la fsicadel cosmos. Esta opinion tuvo una gran influencia en muchos filosofos y matematicosposteriores.

- Euclides (300-265 a.C.): Matematico y geometra griego, fue el primer en hacerun estudio formal del Numero Aureo, demostrando que es un numero irracional (nopuede escribirse como la division de dos numeros enteros) y definiendolo en su famosolibro Los Elementos (Definicion 3 del Libro Sexto) como proporcion entre segmentos:Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razon cuando la rectaentera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

ACAB =

ABBC

Si construimos un rectangulo de lados: largo a = AC y ancho b = AB, podemosver que se cumple la misma relacion anterior, ya que a - b = AC - AB = BC, yentonces: ab =

bab

- Marco Vitruvio (s. I a.C.): Arquitecto romano de Julio Cesar durante su juven-tud y autor del tratado sobre arquitectura mas antiguo que se conserva y el unico dela antiguedad clasica, De Architectura, formado por diez libros en los cuales tratadistintos aspectos de la planificacion, ingeniera y arquitectura de la ciudad romana,y de las proporciones humanas relacionandolas, entre otras, con la Aurea.

3.2. Edad Media: siglos V a XV

- Mayas (2000 a.C.-1546 d.C.): Para ellos los numeros son el lenguaje del universo,de nuestra naturaleza y de Dios. El Mandala de Hunab Ku contienen en su centro ladoble espiral, lo que parece ser la Rosa Fibonacci, construda a traves de triangulosequilateros que siguen la secuencia de la serie de Fibonacci.


- Asia: Los pueblos que mas contribuyeron a las Matematicas fueron la Chinaclasica (500 a.C.-1300 d.C.), a quien se debe entre otras cosas el calculo del valor de hasta siete lugares decimales, el mas exacto durante casi 1000 anos, y la India clasica(hacia 400-1600 d.C.) que introdujo el uso del 0 y el sistema de numeracion decimal.Aunque el matematico Gupta (1976) relaciona la Proporcion Aurea con el estudiode calculos trigonometricos de Bhaskara II (1114-1185), no se tiene constancia deque conocieran y utilizaran conscientemente .

- Arabes (800-1500 d.C.): Tradujeron textos indios de los que tomaron el sistemade numeracion decimal al que posteriormente incorporaron los numeros arabigos,que exportaron a Europa hasta que finalmente se estandarizaron. Tampoco se sabeque conocieran el Numero Aureo aunque algunos autores afirman que la ProporcionAurea aparece en construcciones arabes como la Mezquita de Cordoba.

En Occidente, el desarrollo de las matematicas durante la Edad Media se limitaen general a la traduccion y transmision de los conocimientos griegos, asiaticos yarabes. Ademas esta frecuentemente motivada por la creencia, heredada de Platon,en un orden natural. Podemos destacar a:

- Leonardo de Pisa (Fibonacci, 1170-1250 d.C.): Matematico italiano. Su publica-cion del Liber Abaci (1202) produce el primer avance significativo en matematicasen Europa con la introduccion del sistema de numeracion indo-arabiga (notaciondecimal, posicional y con uso comun del cero). Se le atribuye la llamada Sucesionde Fibonacci que surge como solucion al problema del crecimiento de una poblacionde conejos. Suponemos que una pareja de conejos, que alcanza su madurez a los dosmeses, produce otra cada mes. Si tenemos una pareja de recien nacidos, al final delprimer mes sigue habiendo una. El segundo mes tambien, pero ya madura. El tercermes, la pareja ha producido una nueva pareja y ahora hay dos parejas. El cuartomes, la primera pareja ha producido otra mientras que la segunda ha madurado, demodo que ahora hay tres parejas. As, sucesivamente se obtiene que el numero deparejas cada mes sera 1, 1, 2, 3, 5, ..., que es la llamada Sucesion de Fibonacci.

3.3. El Renacimiento: siglo XVI

El Renacimiento fue fruto de la difusion de las ideas del humanismo, que deter-minaron una nueva concepcion del hombre y del mundo. El nombre viene de queeste movimiento retomaba ciertos elementos de la cultura clasica, los valores y lacontemplacion libre de la naturaleza, tras siglos de predominio de un tipo de men-talidad mas rgida y dogmatica establecida en la Europa de la Edad Media. Aportanuevos enfoques en las artes, poltica y las ciencias, sustituyendo el teocentrismomedieval por cierto antropocentrismo.

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- Luca Pacioli (1445-1517 d.C.): Matematico y teologo italiano. Es el primeroque relaciona el termino Proporcion Aurea con algo divino, justificandolo con 5de sus propiedades:

1) Su unicidad la compara con la unicidad de Dios.

2) Esta definido por tres elementos (a, b y a-b) como la Trinidad.

3) La inconmensurabilidad (numero irracional) y la de Dios son equivalentes.

4) La autosimilaridad, que se puede enlazar con la idea de fractal, la comparacon la omnipresencia e invariabilidad de Dios.

5) Dios dio ser al Universo a traves de la quinta esencia, representada por el dode-caedro; el Numero Aureo dio ser al dodecaedro (los 12 vertices de los tres RectangulosAureos inscritos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro).

Esto aparece en su obra mas influyente, De Divina Proportione (De la DivinaProporcion), cuyas ilustraciones encargo a Leonardo da Vinci.

- Leonardo Da Vinci (1452-1519 d.C): Este genio universal de origen italiano,entre otras cosas, se dedico a la busqueda de proporciones en el mundo, relacionandola anatoma, la arquitectura, la musica y la naturaleza. Inspirado en los estudios deVitruvio, realizo el famoso dibujo el Hombre de Vitruvio.

Por otro lado fue uno de los primeros ingenieros que se intereso por el trabajomecanico de los metales y en particular del oro. Quiza ambos intereses le hicieron darel nombre de Numero de Oro, o Aureo a la ya tambien llamada Divina Proporcion.

- Alberto Durero (1471-1528 d.C.): Artista mas famoso del Renacimiento aleman.Publico Instruccion sobre la medida con regla y compas de figuras planas y solidasdonde describe como trazar la Espiral Aurea, que se conoce como espiral de Durero.

3.4. La Revolucion Cientfica: siglos XVII y XVIII

Las matematicas se inclinan ahora sobre aspectos fsicos y tecnicos. Se crea elcalculo infinitesimal, la era del Analisis Matematico (derivadas, integrales y ecuacio-nes diferenciales). Mas tarde algunas propiedades de recurrencia indican una posiblerelacion entre el numero y el numero e. Tambien se busca entre y : cos 5 =

2


- Johannes Kepler (1571-1630 d.C.): Astronomo aleman. En Mysterium Cosmo-graphicum enuncia: La geometra tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema dePitagoras; el otro, la division de una lnea entre el extremo y su proporcional.

- Charles Bonnet (1720-1793 d.C.): Biologo y filosofo suizo que descubrio en lafilotaxis (disposicion que presentan las hojas en el tallo) la sucesion de Fibonacci.

3.5. Matematicas Modernas: siglos XIX y XX

El siglo XIX se caracteriza por ser inmensamente rico y fecundo. Las matemati-cas se vuelven mas abstractas. Numerosas teoras nuevas aparecen y se completantrabajos comenzados anteriormente. Se desarrollan dos formas de geometra no eu-clidiana: la elptica y la hiperbolica. Sin embargo con respecto al Numero Aureopracticamente se suponen aceptadas todas las teoras anteriores y los estudios selimitan a su busqueda en la naturaleza y en el arte.

- Martin Ohm (1792-1872 d.C.): Matematico aleman, hermano menor del famosofsico Georg Simon Ohm (Leyes de Ohm), recupera el termino Seccion Aurea.

- Adolf Zeising (1810-1876 d.C.): Psicologo aleman. Para el la Seccion Aureadefine la belleza, desde el punto de vista estetico, no geometrico ni matematico. Labusca en los monumentos clasicos y en la naturaleza: disposicion de las venas, hojas,estructura del nautilo, composicion de cristales,... Recupera su lado mtico y mstico.Algunos de sus estudios fueron muy seguidos por Fechner y Le Corbusier.

- Gustav Fechner (1801-1887 d.C.): Fsico aleman que elaboro una ecuacion de larelacion entre el estmulo fsico (materia) y la sensacion (alma). Estudio tambienlas ideas de belleza e hizo experimentos sobre las preferencias esteticas de gente sinningun aprendizaje previo (Test de Fechner), pidiendo que escogieran de entre dife-rentes rectangulos aquel cuya forma les agradase mas, resultando mayoritariamenteelegidos los Rectangulos Aureos.

- Mark Barr: Matematico americano que establecio en 1900 la conocida denomi-nacion del Numero Aureo, Phi = , en honor a Fidias, por el maximo valor esteticoatribuido a sus esculturas usando esta proporcion, tomando la primera letra de sunombre escrito en griego .

La Gaceta 9

El siglo XX ve a las matematicas convertirse en una profesion mayor. Las salidaslaborales se encuentran tanto en la ensenanza como en la industria. Empiezan aaparecer nuevas consideraciones y teoras relacionadas con la Proporcion Aurea.

- Jay Hambidge (1867-1924 d.C.): Artista estadounidense, estudiante del arteclasico. Tras examinar las medidas de las construcciones clasicas, concibio la idea deque la aritmetica, con el agregado de los disenos geometricos, fueron el fundamen-to de la proporcion y la simetra en la arquitectura, escultura y ceramica griegas,formulando la teora de la simetra dinamica, sistema metodologico de diseno queutiliza recangulos dinamicos (aquellos cuya proporcion es un numero irracional)frente a los estaticos (proporcion racional). Denomino modulo del rectangulo aesa relacion, no en el mismo sentido que Vitruvio. Para el significa proporcion ca-racterstica de un rectangulo, pues ese cociente es suficiente para fijar la semejanzay, por consiguiente, su forma. Utiliza

2,

3, ,

= 1,272..., 2 = 2,618...- Le Corbusier (1887-1965 d.C.): Arquitecto frances que invento el modulor,

sistema de proporciones arquitecturales basado en las relaciones entre y el cuerpo.

- Matila Ghyka (1961-): Conde rumano que escribio sobre Phi. Lo encuentra enmultitud de monumentos y tambien en la naturaleza. Para su discurso toma comopunto de partida los escritos griegos sobre la teora de los numeros, en especial losde Nicomaco de Gerasa, llamado el pitagorico, as como los de Platon.

- Salvador Dal (1904-1989 d.C.): Maximo representante espanol del surrealismo.Siempre estuvo interesado por la pintura renacentista y, poco a poco, fue intro-duciendose en las tecnicas y sistemas utilizados por los artistas de aquella epoca,utilizando el Rectangulo Aureo en algunos de sus cuadros. Mostro tambien especialinteres por la obra de Matila Ghyka, para Dal era el ultimo depositario de la cienciapitagorica, quien le asesoro en el planteamiento compositivo de Leda atomica.


- Roger Penrose (1931-): Fsico y matematico ingles conocido por haber descu-bierto un modelo simetrico que usa la Proporcion Aurea en el campo de embaldosadosno periodicos (teselaciones de Penrose), que condujeron a nuevos descubrimientossobre cuasicristales (solidos que tienen una forma estructural ordenada, que llenatodo el espacio, pero no periodica), frente a los cristales (solidos homogeneos quepresentan un orden interno periodico de sus partculas: atomos, iones o moleculas).

- Derek Haylock: Profesor, escritor e investigador noruego, experto en diactica delas matematicas. En 1978 escribio un artculo en la revista americana MathematicsTeaching (numero 84, paginas 56-57) en el que expone que la famosa apertura de la5a sinfona de Beethoven se distribuye segun la Proporcion Aurea. Sigue abierta lapolemica sobre que parte hay que estudiar para que sea as. Segun algunos expertosel compas la llamada del destino divide la obra en su Seccion Aurea.

- Rafael de la Hoz Arderius (1924-2000 d.C.): Arquitecto madrileno. Estudia lapresencia de la Proporcion Aurea en los edificios y obras artsticas de Cordoba. Lajustificacion de hacerlo, merece reproducirse en las propias palabras de Rafael dela Hoz durante las VII Jornadas Andaluzas de Educacion Matematica THALES(Cordoba, 1995), las cuales bien serviran para inspirar una buena pelcula:

La Gaceta 11

quien en 1120, previamente adiestrado en el idioma, usos y costumbres, haciendosepasar por estudiante hispano-arabe, se introduce en la escuela matematica cordobesa.

Adelhart debio de pensar que regresar a Britania tan solo con el cero en susmanos era, literalmente, llegar con las manos vacas pues, ademas de cumplir consus objetivos se llevo, nada mas y nada menos, que una copia del original arabe deLos Elementos, la cual inmediatamente traduce al latn.

Hasta 1535, ano en que se descubre el texto griego, Europa no cuenta mas quecon esta traduccion del arabe -publicada por Campanus de Novara en 1245- por loque los trabajos sobre la proporcion armonica de Fibonacci, Leonardo da Vinci yLuca Pacioli, decisivos para el renacimiento, se hicieron necesariamente a partir deltexto cordobes y solo, desde 1509, ano en que se publica la Divina Proporcion deeste ultimo, los arquitectos europeos conocieron su existencia.

Con estos antecedentes, resultaba razonable esperar que si en alguna arquitecturapre-renacentista se haba empleado racionalmente la proporcion aurea, ese lugar nopoda ser otro que Cordoba. La consideracin adicional de que dicha ciudad es la unicaespanola donde, pese a las numerosas conquistas sufridas, jamas hubo poblamiento,esto es, sustitucion de la poblacion original por la de los conquistadores, determino sudefinitiva confirmacion como laboratorio de ensayo.>>

3.6. El siglo XXI

Hoy en da la Seccion Aurea se puede ver en multitud de disenos. Parece ser queesta en la medida de las tarjetas de credito, en el carne de identidad, las cajetillasde cigarrillos, en etiquetas de botes, ...

Ademas se sigue buscando y apareciendo en el arte y en la naturaleza.

Por ejemplo en un documental del Programa Redes de Eduard Punset, en 2007,donde se entrevistaba a Mario Livio, director cientfico del proyecto TelescopioEspacia Hubble, se afirma que un agujero negro pasa de calentarse a enfriarsecuando el cuadrado de su masa dividido entre el cuadrado de su velocidad de rotaciones el Numero Aureo Phi.

Tambien, una de las noticias mas llamativas de los ultimos anos ha sido lasdeclaraciones del ginecologo de la Universidad de Leuven en Belgica, Jasper Vergtus(publicadas en el diario britanico The Guardian, edicion online, en Agosto de2012), que asegura que existe una relacion entre ese numero, considerado por algunoscasi mstico, y el sexo femenino. El investigador sugiere que cuando las mujeres sonmas fertiles, entre los 16 y los 20 anos, las dimensiones del utero se acercan a 1,6(una aproximacion cercana al Numero Aureo).


4. Otras propiedades del Numero Aureo

- La llamada sucesion de Fibonacci realmente se construye a partir de dos termi-nos iniciales, un primero F (1) = 1 y un segundo F (2) = 1 de manera que cualquierotro termino n+1 (el siguiente de n) se obtiene sumando los dos anteriores (n y suanterior n-1) F (n + 1) = F (n) + F (n 1): F(1)=1, F(2)=1, F(3)=F(2) + F(1) =1+1=2, F(4)=2+1=3, F(5)=3+2=5, F(6)=5+3=8, F(7)=8+5=13,...

Reiterando esto se obtienen los Numeros de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Si construimos sucesivamente rectangulos utilizando estos numeros como medidasde los lados y calculamos sus proporciones, tenemos que:

1

1= 1

2

1= 2

3

2= 1, 5

5

3= 1, 666...

8

5= 1, 6

13

8= 1, 625 ...

F (n+ 1)

F (n)

Podemos observar que se acercan al Numero Aureo, de hecho su lmite (lo quealcanzara si lo hicieramos infinitas veces n) es exactamente ese numero:

lmn

F (n+ 1)

F (n)= = 1, 61803398... (Propiedad 4)

La demostracion rigurosa de esto se puede encontrar facilmente en Internet o encualquier libro sobre el tema. Se expone solo la obtencion del valor.

Suponemos que existe un lmite = x, entonces:

lmn

F (n+ 1)

F (n)= lm

n

F (n) + F (n 1)F (n)

= 1+ lmn

F (n 1)F (n)

= 1+1

lmnF (n)

F (n1)

Sustituyendo el valor del lmite por x, tenemos que:

x = 1 +1

x x = x+ 1

x x2 = x+ 1 x2 x 1 = 0 x =

La sucesion de Numeros de Fibonacci resulta ser la mejor aproximacion racional(cocientes de numeros naturales) del Numero Aureo, que es irracional.

- Al obtener el valor de , solo se considero la solucion positiva. La otra solucioncumple que:

x2 =1

5

2= 1

(Propiedad 5)

La Gaceta 13

Vamos a comprobarlo:

1

= 11+

52

= 21 +

5= 2 (1

5)

(1 +

5) (1

5)= 2 (1

5)

12 (

5)2=

= 2 (1

5)

1 5= 2 (1

5)

4=

1

5

2= x2

Las dos soluciones son entonces opuestas inversas, considerandose que de ellas es la solucion positiva, como se ha dicho anteriormente. Se cumple que:

x1 = 1

x2, x2 =

1

x1 x1 x2 = 1

- De la Propiedad 3 se saca tambien que:

( 1) = 1 1 = 1 = 1 + 1

(Propiedad 6)

- La sucesion de potencias del Numero Aureo tiene propiedades aditivas (suma)ademas de geometricas (producto). Es decir, para la siguiente serie, que es unaprogresion geometrica de razon :

...1

2,

1

, 1,,2,3, ... de forma que n+1 = n

se cumple tambien que:

n+1 = n + n1 (Propiedad 7)

La comprobacion de esto se hace utilizando la Propiedad 6 :

n+1 = n = n (1 + 1

) = n +n

= n + n1

Se cumplen tambien formulas recurrentes de otros ordenes.- La expresion de mediante fracciones continuas es:

= 1 +1

= 1 + 1

1 + 11+ 1

1+ 11+...

(Propiedad 8)

Esta iteracion es la mas simple de todas las fracciones continuas y la que tienela convergencia mas lenta. Esa propiedad hace que ademas el Numero Aureo sea unmal aproximable mediante racionales (la mejor aproximacion es la de Fibonacci). Dehecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales. Por ellose dice que es el numero mas alejado de lo racional o el numero mas irracional(aparece en el teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser).

- Representacion de mediante races anidadas:

=

1 + =

1 +

1 +

1 +

1 + (Propiedad 9)


(que se puede considerar un caso particular de una identidad general publicada porNathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista AmericanMathematical Monthly en 1917)

- Se puede encontrar el n-esimo Numero de Fibonacci a partir exclusivamentedel Numero Aureo :

F (n) =15[n

(1

)n ](Propiedad 10)

Esta formula fue publicada a mediados del siglo XIX por el matematico francesJacques Philippe Marie Binet, aunque parece ser que ya era conocida por otrosmatematicos como Leonhard Euler y Abraham de Moivre.

5. Un primo de PHI: el Numero Cordobes

Retomando mi relacion personal con el Numero Aureo, ademas del atractivo de suhistoria, caractersticas y propiedades, algunas expuestas anteriormente, un nuevodescubrimiento reforzara mi pasion. Tras conocer en 2006, gracias a mi profesorde la academia para las oposiciones, Santiago Moreno, la existencia del NumeroCordobes, mi interes por el aumento. Seguan apareciendo pistas que indicaban laposible existencia de un orden natural numerico.

5.1. Historia del Numero Cordobes

La busqueda del arquitecto Rafael de la Hoz de la Proporcion Aurea en las obrasartsticas formaba parte de un proyecto de la Facultad de Exactas de la UniversidadCentral (actual Universidad Complutense de Madrid), que consista en comprobarcuando los autores haban utilizado, racional o instintivamente, dicho rectangulo.Para ello, como se ha expuesto ya, y quiza por ciertos motivos sentimentales (Rafaelde la Hoz paso casi toda su infancia en Cordoba), se eligio Cordoba.

Sin embargo, los resultados que obtuvieron no fueron los esperados. Excepto enciertas obras de Ventura Rodrguez, no encontaron constancia significativa de lapresencia de la Divina Proporcion, y el proyecto fue cancelado.

Mas tarde, en 1951, con motivo de la creacion de unas becas a estudiantes dearquitectura, la Diputacion de Cordoba pidio a Rafael de la Hoz participar en elproceso selectivo. Entre otras pruebas decidio realizar el test de Fechner (se pedaque dibujaran cual era para ellos el rectangulo ideal), pensando en dar una mayorpuntuacion a quien lo dibujara parecido al Rectangulo Aureo. Lo curioso fue que, denuevo, la Proporcion Aurea no aparecio por ningun lado. La mayora trazo uno, masachatado que el, pero todos con una misma proporcion aproximada: 1,3.

Decidido a investigar este hecho, por un lado repitio el test con personas nacidaso residentes en Cordoba y por otro estudio las proporciones de monumentos, pinturasy esculturas, ahora buscando esta nueva proporcion.

Los resultados del test fueron concluyentes: la frecuencia de aparicion de la pro-porcion 1,3 fue muy superior a la obtenida por Fechner para el 1,618. Los de los

La Gaceta 15

otros estudios tambien: se encontro la proporcion en piezas existentes en el museoarqueologico, en relieves, esculturas y mosaicos romanos, y en edificios como la por-tada de la ampliacin de la Mezquita de Al-Hakan II (siglo X), del Mih-rab, la fachadainterior de la Sinagoga (siglo XV), la de la Iglesia de la Merced (siglo XVIII), etc.

Mas tarde, descubrieron una parte menos conocida de los estudios de Fechner.Despues de los resultados de su test, decidio comprobar si los pintores tambiencompartan el gusto por la Divina Proporcion. Midio cuadros de las mas importantespinacotecas del mundo y la proporcion media que encontro fue 1,3. No sabemos sino intento buscar explicacion a este hecho, o lo hizo pero no la encontro, el caso esque dicho estudio no produjo conclusiones algunas.

Finalmente tambien se ha descubierto la presencia del Numero Cordobes en otrosedificios: Panteon de Agripa, Arco de LEtoile de Pars, piramide de Kheops, etc.

5.2. Valor y propiedades del Numero Cordobes

Rafael de la Hoz trabajo tambien en la busqueda del valor numerico exacto de laProporcion Cordobesa y en la posibilidad de establecer alguna relacion geometricaque tuviera sentido.

Recordando la presencia de en el decagono, estudio los polgonos regulares conun numero par de lados y observo que:

- Cuadrado (4 lados): RL =12

= 0, 707106... (inversa de

2)

- Hexagono (6 lados): RL = 1 (ya que el lado y el radio coinciden)

- Decagono (10 lados): RL =1+

52 = 1, 618033... = (Numero Aureo)

Probo a hacer lo mismo con un octogono y resulto que:

- Octogono (8 lados): RL =1

2

2= 1, 30656... = (Numero Cordobes)

As la serie de polgonos regulares con un numero par de lados (4, 6, 8 y 10),origen de las proporciones conocidas, quedara completa.

- El Numero Cordobes es tambien un numero irracional algebraico, ya que es unade las soluciones de la ecuacion polinomica de cuarto grado: 2x4 4x2 + 1 = 0


6. La familia crece: Los Numeros Metalicos

El ir conociendo todo lo anterior hizo que la idea de proporcion ideal de lanaturaleza se asentara en mi cabeza durante anos. Supongo que todos necesitamoscreer en algo y el Numero Aureo, reforzado por la aparicion del Numero Cordobes,pareca cubrir esa parcela, mezcla de misticismo y razon que una persona agnosticay matematica agradece.

Aburr a mis amistades hablandoles de esto, busque en libros, Internet,... veacualquier pelcula y documental que hablara del tema, como la conocida El CodigoDa Vinci, pero la razon me traa preguntas como: pero ... y eso por que?. Si esverdad que esta tan presente en la naturaleza debera cumplir alguna propiedadespecial de estabilidad.

No intente realizar ninguna investigacion profunda, pero ah estaba la idea...

Todo cambio en 2008, mientras estudiaba de nuevo para las oposiciones el Tema69: Proporciones Notables. El Numero Aureo, en un pequeno cuarto alquilado enla calurosa Sevilla de mediados de junio.

El afan por conocer y profundizar de nuevo en el tema era superior a la razon queme deca que quedaba muy poco para los examenes y que no le diera mas vueltas yestudiara los contenidos planteados sin mas. Pero no pude...

Tras tontear y coquetear un poco con los numeros y formulas, me fije especial-mente en algo que no haba observado otras veces: las cifras decimales infinitas noperiodicas del y de su inversa 1 coincidan exactamente. As pues, al restar losdos numeros irracionales daba justo 1:

1

= 1, 61803398... 0, 61803398... = 1

No deja de ser curioso, considerando lo grande que es el infinito, que al dividir unnumero entero por otro con infinitas cifras decimales sin ningun orden ni periodo,vayamos obteniendo los mismo decimales.

Esto me hizo pensar: le pasara lo mismo a otros numeros?. De coincidir sus cifrasdecimales al restarlos tendra que dar un numero natural 1, 2, 3, 4, 5,... Entonces lapregunta era: Existiran numeros x tales que x 1x = m para distintos naturales m?

Si x 1x

= m x2 1x

= m x21 = mx x2mx1 = 0 x = m+m2 + 4

2

De esta manera, considerando solo la solucion positiva, tomando valores en laultima formula para cada numero natural m = 1, 2, 3, 4,... se obtena una serieinfinita numerable de numeros irracionales algebraicos m:

m = 1 1 =1 +

5

2= = 1, 61803398... tal que 1

1

1= 1

m = 2 2 =2 +

8

2= = 2, 41421356... tal que 2

1

2= 2

La Gaceta 17

m = 3 3 =3 +

13

2= = 3, 30277563... tal que 3

1

3= 3

...de manera que el Numero Aureo... no era mas que el primero de dicha serie!En este momento algo se rompio dentro de m. Ya no era un numero especial

ante mis ojos, sino uno mas. La desilusion y asombro me hizo mandar un mensaje aun amigo, a modo de telegrama:

Sin embargo me deca que tena que darle otra oportunidad, y entonces la si-guiente pregunta que se me vino a la cabeza fue: a lo mejor los demas numeros nocumplen las otras propiedades que se destacan en el Numero Aureo?

Para ello primero busque en Internet y en algunas bibliotecas, sin exito. Intentan-do desde con: Otros Numeros Aureos hasta Mentiras sobre el Numero Aureo.No encontraba nada... as que decid hacer algunas cosas por mi cuenta...

Para m = 1 la sucesion de numeros de Fibonacci es como se ha visto antes: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... la cual se genera a traves de la formula: F (n + 1) =F (n) + F (n 1), que ahora notaremos como F1(n+ 1) = F1(n) + F1(n 1) (F1(n)quiere decir la primera sucesion de n terminos).

Si para m = 2 hacemos F2(n+ 1) = 2 F2(n) + F2(n 1) obtenemos: 1, 1, 3, 7,17, 41, 99,...

Esto se puede generalizar de manera que la formula:

Fm(n+ 1) = m Fm(n) + Fm(n 1)

genera una sucesion de Fibonacci diferente para cada numero natural m, que cumple,de forma anloga a lo que ocurre para el Numero Aureo, que:

lmn

Fm(n+ 1)

Fm(n)= m

Tambien se cumple la propiedad de mantenerse la proporcion en un RectanguloAureo. Si un rectangulo de lados a > b cumple la proporcion ab = m y le quitamosm cuadrados de lado b, el rectangulo resultante sigue cumpliendo la proporcion m.

a

b=

b

am b= constante = m

De esto se deduce que se pueden construir distintos tipos de espirales concate-nando los rectangulos.

Se podra debatir si resultan espirales mas o menos bonitas, pero la estetica esmuy subjetiva.


En esos momentos estaba segura de que tambien se podran encontrar obras queusaran estas otras proporciones y de que si la buscaramos, tambien hallaramos supresencia en la Naturaleza. E incluso la de otras proporciones generadas de otraforma. Encontraramos todo... si lo buscamos!

Me recordo a cuando se deca que haban descubierto que el texto completo deEl Quijote se encontraba codificado dentro del Numero Pi. La gente se sorprenday maravillaba, hasta que la informacion se completo afirmando, que efectivamenteesta El Quijote, y la Biblia, y Cien Anos de Soledad, y mi telefono, y miDNI, y hasta el suyo, ... Tambien estan en , ya que una serie infinita de numeroscontiene evidentemente cualquier combinacion finita por larga que esta sea. Igualque entonces, este caso tambien pareca desmontarse.

As, el amor pasional de antano, pasado el momento de desilusion y decepcion, setransformo poco a poco en un nuevo interes. Segu buscando pruebas que confirmaranel engano. Finalmente, en 2010, aparecio la tan ansiada referencia a estos numeros:forman parte de los llamados Numeros Metalicos. 1 es el ya conocido Numero deOro, 2 el Numero de Plata, 3 el de Bronce, etc.

Lo encontre todo en el documento La familia de numeros metalicos y el disenode Vera Martha Winitzky de Spinadel (1997). No haba ninguna referencia anteriory cualquier otro documento remita a este artculo, por lo que se puede asegurar quecorresponde el merito de la sistematizacion, estudio y divulgacion de estos numerosa esta matematica, nacida en Buenos Aires (Argentina) en 1929.

Como ya imaginaba no haba sido la primera en darme cuenta y supongo quetampoco a la que el fin de esta relacion idealizada entre divina y humana haba rotoel corazon.

6.1. Otras Propiedades de los Numeros Metalicos

Realmente los Numeros Metalicos son todos los numeros cuadraticos p,q quese obtienen al generalizar la ecuacion de segundo grado para p, q cualesquiera nume-

ros naturales: x2 p x q = 0 es decir p,q =p+

p2+4q2

Algunos de ellos son:

Nombre p q ValorOro 1 1 1,618033989...

Plata 2 1 2,414213562...Bronce 3 1 3,302775638...Cobre 1 2 2Nquel 1 3 2,302775638...Platino 2 2 2,732050808...

- La Sucesion de Fibonacci se puede generalizar igualmente en la forma:

Fp,q(n+ 1) = p Fp,q(n) + q Fp,q(n 1) tal que lmn

Fp,q(n+ 1)

Fp,q(n)= p,q

Esto se cumple para cualesquiera dos valores iniciales Fp,q(1) y Fp,q(2).

- Existe una relacion entre el Numero Cordobes y el Numero de Plata: 2 =1+2,1

2

La Gaceta 19

- Todo numero real puede expresarse como una fraccion continua simple. Si elnumero es racional, se expresa mediante una fraccion continua simple finita; si elnumero es irracional, se representa mediante una fraccion continua simple infinita.Se han utilizado desde la antiguedad para resolver ecuaciones diofanticas y para daraproximaciones precisas de numeros irracionales como e y .

Para q=1, los Numeros Metalicos son todos irracionales cuadraticos. Por tantose pueden obtener partir de fracciones continuas simples infinitas pero periodicas:

p,1 = p+1

p,1 p,1 = p+

1

p+ 1p+ 1

p+ 1p+...

Aunque en general se cumple que:

p,q = p+q

p,q p,q = p+

q

p+ qp+ qp+

qp+...

- Si p = 1 se pueden representar mediante races anidadas:

1,q =

q +

q +

q +q +

- Los Numeros Metalicos aparecen tambien en los polgonos, por ejemplo en unoctogono: DL = 2,1 = Numero de Plata

- Se pueden construir Rectangulos Metalicos como se ha dicho anteriormente,aunque existen otras formas que pueden resultar mas esteticas, como la que generala espiral doble con sucesivos Rectangulos de Plata:

Existen muchas otras propiedas, estudios y aplicaciones que sera demasiado ex-tenso incluir: cuasi-cristales, fractales,... Segun introduce la misma Vera de Spinadel(La familia de Numeros Metalicos, Cuadernos del CIMBAGE No 6, 2003):

>


7. Que fue antes, la gallina o el huevo?

En realidad, la pregunta que me sugio hace tiempo, concretandola en este tema,es: El Numero Aureo esta presente en la Naturaleza y forma parte intrnseca denuestro cuerpo e ideales, y luego lo estudiamos y lo utilizamos en el arte?, o por elcontrario dado que se ha estudiado y utilizado en el arte, se busca en la naturalezay nuestro ideal estetico se ha acostumbrado a el?

La respuesta es clara ahora para m. Habiendole dado tanta importancia al Nume-ro Aureo a lo largo de la historia, se ha ido utilizando en las obras artsticas, lo queha incrementado su fama, que ha hecho a su vez que se siguiera estudiando y utili-zando y que nuestro ideal estetico se acostumbrara a el, entrando en una especie deespiral creciente de misticismo que se acepta hasta en la epoca actual.

Se ha llamado la atencion sobre las obras y los elementos naturales en los quese ha encontrado, habiendo otros muchos ejemplos en los que no se ha encontrado yque se han desechado y olvidado sin mas, y que responderan sin duda a alguna otraproporcion. De hecho siguen apareciendo muchas mas proporciones destacadas.

Existe una conocida como Proporcion de Plastico, que es una generalizacion delideal de armona Aurea a las tres dimensiones. El termino fue acunado y utilizadopor el arquitecto y monje Benedictino Hans Dom van der Laan (1904-1991 d.C.) yes la unica solucion real de la ecuacion: x3 = x+ 1, que da = 1, 324718...

Tambien esta la Proporcion Gallega. En un interesante trabajo coordinado porla profesora Covadonga Rodrguez-Moldes, del IES Mugardos, cuatro estudiantesde 1o y 2o de la ESO buscaban una proporcion que se inscribiera en la fachada dela Catedral de Santiago y la bandera gallega. Definiendola como la relacion entreel segmento que une dos vertices opuestos de un hexagono y el su lado, esto es:

3 = 1, 732050808..., esta proporcion supero en su particular test de Fechner almismsimo Numero Aureo, al Cordobes y al tan reconocido por los folios DIN A-4.

La realidad es que, dibujando un Rectangulo al azar, la probabidad de que su pro-porcion sea irracional es muchsimo mayor de la que sea racional, ya que los numerosracionales son infinitos numerables y los irracionales infinitos no numerables.

Sin embargo parece que el encontrarnos numeros irracionales, que aunque masnumerosos son menos conocidos, nos provoca un cierto miedo y respeto. Este senti-miento esta de alguna forma impregnado en nuestro subconsciente heredado quiza desus descubridores, los Pitagoricos, de los que se cuenta que: .

La Gaceta 21

As, como ocurre con todo lo que desconocemos y nos da miedo, nos resultaentonces facil creernos lo que nos cuentan, sin querer profundizar ni comprobar.

De hecho algunos de los datos historicos recogidos en este documento no estancontrastados, y pueden incluso ser erroneos. Se han querido plasmar tal y como estanreconocidos y aceptados en la actualidad por la mayora de autores.

Casi todas las paginas en Internet hablan en los mismos terminos sobre las pro-piedades casi magicas, sin hacer ninguna comprobacion, dando por hecho muchasafirmaciones que son falsas, o meramente absurdas y carentes de rigurosidad.

Veamos algunos ejemplos:- El problema de los conejos, que fue solo un ejemplo de Fibonacci, aparece

planteado como si fuera real y de multitud de formas diferentes, haciendolos fertilesa los dos meses o al mes, hablando de numero de parejas o numeros de conejos,...En todos los casos no generara la Sucesion de Fibonacci. Y de cualquier manera,ni siquiera plantea un problema real, ya que los conejos no son fertiles hasta los 8meses, no se reproducen cada mes y cuando lo hacen tienen de dos a seis parejas.

- Hay numerosos ejemplos que se dan como Rectangulos Aureos que realmenteno lo son. Si medimos nuestro DNI (8,54 cm de largo por 5,4 cm de ancho) suproporcion da 1,581481..., que no coincide con el Numero Aureo. Se podra decir quees una aproximacion de el, pero es que casi cualquier rectangulo que como hemosdicho no sea ni muy achatado ni muy alargado, tendra sus proporciones entre1 (del cuadrado) y 2 (rectangulo con doble largo que ancho), o ajustando mas,sera probablemente un numero irracional que este en torno a 1,5.

- Vitruvio dice sobre las proporciones del cuerpo humano (libro III): . Pudiendose observar que habla de proporcionesdecimas, octavas, sextas, cuartas, ... pero no de la Aurea.

- Un estudio de Einard Gonzalez Millos y Laura Gonzalez Otero (IES Ramon Ca-banillas, Galicia) sobre las medidas que se dan como Aureas en el dibujo del Hombrede Vitruvio, demuestra que muchas no son ciertas. Por ejemplo, contrariamente a loafirmado en numerosas ocasiones, nos dicen: >.

- Se identifican casi todas las espirales con la Aurea, obviando que existen otrosmuchos tipos de espirales ademas de ellas y de las Metalicas: espiral de Euclides,logartmicas, y por ejemplo la que generara la serie geometrica 1+ 12 +

14 +

18 + ... = 2


En la actualidad, estan aumentando las crticas, no ya al Numero Aureo en s,sino a su atribudo caracter mstico y divino, generador del mundo, y a la falta derigor cientfico en las pruebas que siguen manteniendo esta idea.

Sobre el descubrimiento ginecologico: > (Fernando Blasco, Blog sobre Matematicas Grado-361)

(El Rincon de la Ciencia, Revista de divulgacindel I.E.S. Victoria Kent, Madrid)

(Blog Mitos y Timos)

Yo fui una de esas lunaticas hasta que descubr la verdad.

Pensando en como habra surgido todo, una tarde, indagando en la misteriosahistoria del Numero Aureo, lo entend. En mi opinion, el engano era en parte respon-sabilidad de Luca Pacioli. Por lo menos lo fue en su origen aunque posteriormenteha ido siendo apoyado y respaldado por distintos autores, como por ejemplo, ya enuna epoca mas actual, los estudios de Jay Hambidge.

Cuenta la historia que en Venecia Luca frecuento la Scuola di Rialto en la queensenaba logica y matematica Domenico Bragadin, que le impregno el pensamientotpico de los Humanistas, que ven en la matematica y la geometra un medio perfectopara acercarse a Dios. Esto pudo influir tambien en su deseo de hacerse fraile. Paciolioscila as entre dos concepciones de la matematica: una pragmatica y otra especu-lativa e incluso mstica, que no duda en adherirla a las sugestiones mstico-magicasdel platonismo humanista originado en la Academia de Marsilio Ficino.

Inteligente y estudioso, buen conocedor de los sistemas comerciales y economicosde la epoca, intuyendo el auge del pensamiento cientfico y racional, creo que en-contro la forma de acercar las creencias de la Iglesia a las Matematicas, divinizandola Proporcion Aurea. Fue el primero en hablar de ella en estos terminos, utilizandoa Leonardo como dibujante y difusor de sus ideas. Ya fuera una mera buena estra-tegia de marketing o un simple juego, a los que tambien era muy aficionado, elcaso es que reforzado por ese sentimiento heredado de los pitagoricos y Platon,y mantenida por una falta de interes en investigar sobre el tema, su legado se hamantenido hasta nuestros das.

La Gaceta 23

8. Mirando al futuro

Me decid a escribir este documento, principalmente por tres motivos. El primeroponer en tela de juicio la importancia que se le da al Numero Aureo de forma aislada,que no debera ir mas alla de la historica, tras hacer una necesaria revision de losdatos y fuentes que la avalan. El segundo contribuir a difundir la familia menosconocida de los Numeros Metalicos, que parece estar abriendo campos nuevos deinvestigacion muy interesantes. Por ultimo, reflexionar sobre la cuestion de si tienesentido seguir buscando un orden en las cosas o si simplemente acabamos siempreordenando lo que conocemos.

Como muchas de las historias de amor, es difcil de olvidar. En ocasiones vuelvoa recordar la sensacion de creer en un orden total, logico y matematico, que pudieraser origen y generador de todo.

No se si volvere a tener esos sentimientos por algun otro concepto matematico.Espero que no, porque creo que hay que dar un paso y madurar, no buscar launicidad, sino aprender a valorar la belleza e importancia de la colectividad, lacooperacion y la colaboracion armoniosa entre los elementos y entre las personas,como hace la naturaleza, con plan o sin plan, perfectamente.

De momento me queda seguir disfrutando de mis otras pasiones, las humanas y,como empece diciendo, que cuando acaba algo, empieza otra cosa... seguir apren-diendo. Recordando unas palabras del escritor Terence White en el libro The Onceand Future King que pone en boca del famoso mago:

9. Biblio y Webgrafa

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Paloma Puerto MoyanoProfesora de Matematicas de SecundariaEstudiante de Master en Matematicas de la Universidad de Granada

Correo electronico: [email protected],[email protected]

Pagina web: http://palomatica.wordpress.com

número Áureo paloma puerto

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