E.S.T. 118

Investigación de…

El Numero Áureo Y La Serie De Fibonacci

Alumna: Mendoza Calixto Lucero Aline

Prof.: Luis Miguel Villareal Matías

Grupo: 3° C

MATEMATICAS

Ciclo Escolar: 2012-2013

Índice

Introducción 3

Número Áureo 4

Serie de Fibonacci 12

Relación entre el Número Áureo 15

Y la Serie de Fibonacci

Actividad 16

Conclusión 17

Fuente 17

Introducción

A lo largo de los años se han descubierto diferentes números misteriosos, ya que coinciden con diferentes cálculos; muchos artistas se han basado en estos números y cálculos para hacer sus obras de arte de una forma estupenda poniéndole más detalles aun de los que su obra ya tiene. Tambien algunos de estos números tienen relación entre sí, ya que al hacer su serie o procedimiento nos encontramos con otros números misteriosos tal y como es el caos del numero áureo y la serie de Fibonacci.

Número Áureo

También conocido como proporción aurea el número áureo es

El número áureo es un numero con muchas propiedades la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas, así como entre dos cuerpos. Fue descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza. En diversas ocasiones se le atribuye un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura u el arte. Este número y/o proporción se utilizó mucho en el arte del Renacimiento, pues se consideraba una proporción perfecta entre los lados de un rectángulo

Leonardo Da Vinci dio por primera vez el nombre de sectio áurea.Así pues Leonardo, en su cuadro de la Gioconda utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo

Pitagoras

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la

tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban

que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían

cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo

se encontrara un número raro: el número de oro. 

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y

su lado es el número de oro.

 

También podemos comprobar que los segmentos

QN, NP y QP están en proporción áurea.

El rectángulo áureo

También existe rectángulo áureo para el cual primero se dibuja un cuadrado

y se marca el punto medio de uno de sus lados, se unen con uno de los

vértices del lado opuesto y se lleva esa instancia sobre el lado inicial y así se

obtiene el lado mayor del.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, se ve que lado mayor del

rectángulo vale   por lo que la proporción entre los dos lados es   

(nuestro número de oro).

Obtenemos así un rectángulo en que los lados están en proporción áurea. A

partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, se han

utilizando en arquitectura y diseño. Una propiedad importante de los

triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura,

la diagonal AB pasa por el vértice C.

El número de áureo en el arte, el diseño y la naturaleza

El número áureo aparece, en edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro

cuerpo, ...

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

 En la figura se puede comprobar que AB/CD= . Hay más cocientes entre

sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=  y CD/CA= .

Hay un precedente a la cultura

griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de

Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la

pirámide y el lado es 2 .

 

 

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos

encontrar en las tarjetas de crédito.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los

griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para

ilustrar el libro La Divina Proporción  de Luca Pacioli editado en 1509.

Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las

distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y

pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado

tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con

la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos

están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el

cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del

ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo. 

 

 

Leonardo Da Vinci dio por primera vez el nombre de sectio áurea.Así pues Leonardo, en su cuadro de la Gioconda utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo

La proporción áurea está muy presente en el mundo vegetal. La filotaxis

estudia la disposición de las hojas de una planta sobre el tallo. Esta disposición

nunca es arbitraria, sigue siempre un orden y unos patrones determinados

para que la planta aproveche al máximo el oxígeno, la luz y las sales

minerales. 

 

La espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD

cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF

es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo

resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir

indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados

que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Se le llama también espiral geométrica el radio vector crece en progresión

geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética.

Serie de Fibonacci

Fibonacci , explicó el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento a través de su conocida secuencia numérica.

Esta secuencia es una ley que explica el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento, y se genera sumando dos números consecutivos para obtener el siguiente. 

f1 = f2 = 1 fn = fn - 1 + fn - 2   para n >= 3

La serie Fibonacci resultante es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, etc.…

Fibonacci demostró que esa secuencia puede manifestarse en la evolución de un fenómeno de la Naturaleza, puesto que la solución a un problema matemático basado en el proceso de reproducción de una pareja de conejos así lo confirmaba. 

El problema consistía en determinar cuántos conejos se pueden obtener a partir de una pareja durante un año, sabiendo que: 

a) La pareja inicial puede procrear desde el primer mes, pero las parejas siguientes sólo podrán hacerlo a partir del segundo mes. b) Cada parto es de dos conejos. 

Si se supone que ninguno de los conejos muere, el proceso sería el siguiente: 

1. El mes nacerían un par de conejos, con lo cual ya habría un par de parejas. 2. Durante el segundo mes, el par de conejos inicial, produciría otra pareja, con lo que ya sumarían tres pares. 3. A lo largo del tercer mes, la pareja original y la primera pareja nacida producirían nuevas parejas, es decir ya existirían cinco parejas 

Sin embargo, la utilidad que proporciona esta serie radica en sus propiedades fundamentales, descubiertas en el siglo XVIII: 

1. Si se dividen los números que son consecutivos de la serie, es decir, 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, etc. Se verá que el resultado obtenido tiende al número 0.618. 

2. Si se dividen los números no consecutivos de la serie, es decir, ½, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, etc. Se observará que el resultado obtenido tiende al número 0.382. 

3. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número más bajo, es decir, 21/13, 13/8, 8/5... el resultado tiende a 1.618, que es el inverso de 0.618. 

4. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número más bajo no consecutivo, es decir, 21/8, 13/5, 8/3... el resultado tiende a 2.618, que es el inverso de 0.382. 

Por ej.; 144 / 233 = 0,618 144/89= 1.6179

La divergencia entre el resultado de estos cocientes y 0,618 ó 1,618, es mayor cuanto más pequeño son los números de la serie utilizados. 

Relación entre la serie de Fibonacci y el Numero Áureo

En la serie de Fibonacci La proporción 1,618, ó su inversa 0,618, fueron denominadas por los antiguos griegos “razón áurea” o “media áurea”, y se

representa con la letra griega phi, que hace referencia al autor griego Phidias. Chirstopher Carolan, menciona que Phidias, autor de las estatuas de Atenas en el Partenón y de Zeus en Olimpia, considero determinante el papel del número phi en el Arte y la Naturaleza. 

Este ratio cuyo inverso es él mismo más la unidad, caracteriza a todas las progresiones de este tipo, sea cual sea el número inicial. 

Actividad

Rectángulo de la espiral aurea

Conclusión

La serie de fibonacci como el número áureo tiene una relación extraordinariamente exacta, lo cual es increíble tanto como usar el numero áureo en las obras de arte y construcciones antiguas de artistas sumamente dedicados, pero también es un gran misterio como los egipcios ya utilizaban dicho numero.

Fuente

http://www.abc.es/20100415/ciencia-tecnologia-matematicas/numero-aureo-

belleza-matematica-201004151848.html

http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm

http://www.google.com.mx/search?

hl=es&q=numero+aureo+en+la+naturaleza+y+en+la+mona+lisa&bav=on.2,

or.r_gc.r_pw.r_qf.&bpcl=35466521&biw=1366&bih=667&um=1&ie=UTF-

8&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=8_yFUJrmFpPo2gXb24H4Bw

http://www.muchapasta.com/forex/forex,Indicadores%20marketiva%202.php

http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza