NOTAS - GUÍA DEL CURSO DE

CÁLCULO COMPLEJO

Incluyendo Álgebra de Quaternios y Problemas Resueltos con Mathematica

Mario César Suárez Arriaga

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas

Semestre Febrero - Agosto 2011 Cd. Universitaria, Morelia, Mich.

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CONTENIDO Parte I: INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS 2 1.1 PROPIEDADES FUNDAMENTALES 3 Interpretación geométrica de la suma 6 El Teorema Fundamental del Algebra 7 La representación Exponencial 7 Trigonometría en � 7 Forma Polar 8 Representación Geométrica de la Multiplicación 9 Breve Nota Histórica (C. Wessel) 10 Relación entre rotaciones y números complejos 13 Geometría Diferencial en 2� y en 3� 13 Parte II: INTRODUCCION AL ALGEBRA DE QUATERNIOS 16 2.1.- Propiedades Básicas 16 2.2.- Relaciones Entre , 4 3 y� � 19 2.3.-El Triple Producto de Quaternios 20 2.4.- Quaternios y Geometría de la Rotación en 3� 23 2.5.- Complemento al Algebra de Quaternios 25 Rotaciones en �� y quaternios en �� 26 Forma Polar Hipercompleja 26 Definición Matricial Compleja de un Quaternio 27 Parte III: CÁLCULO DIFERENCIAL EN � 29 Nociones de Topología en � 29 Funciones Holomorfas 31 La derivada compleja en coordenadas polares 32 Breve Nota Biográfica (A. Louis Cauchy) 35 Parte IV: CÁLCULO INTEGRAL EN � 36 Parte V: APÉNDICES 37 Bibliografía mínima 37 Trabajos, Tareas, Exámenes Programas en Mathematica

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Parte I: INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Este texto constituye las notas-guía desarrolladas durante el curso de Cálculo Complejo que impartí a un grupo de 28 estudiantes de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas durante el semestre Febrero - Agosto de 2011. La mayor parte del material es elemental y cubre 100% el temario del curso oficial de esta materia. La parte original la constituye el uso sistemático del software Mathematica para resolver problemas prácticos, ilustrar y visualizar la forma de las funciones de variable compleja. Otra innovación es la introducción temprana a los quaternios, que son una generalización simple de los números complejos. Los números hipercomplejos llamados quaternios � � � se construyen definiéndolos como cuaternas de números reales en ��, los cuales satisfacen dos operaciones básicas que cumplen todas las reglas de los Anillos no-Conmutativos: q = q0 + q1 i + q2 j + q3 k. Los términos i, j, k son las tres unidades imaginarias correspondientes al hipercomplejo q; mientras que q0 es su parte real. Es decir, � � � si y sólo si, � � �� con las definiciones de suma y multiplicación (+,) de quaternios. La suma es la misma operación que para vectores de ��. El producto de quaternios se define con una tabla de multiplicar, análoga al producto vectorial de los vectores base de �� i, j, k. Los quaternios están estrechamente relacionados a rotaciones de vectores en ��. Sea � ��,

� � � � � = � � � � �� es un vector rotado por la multiplicación de quaternios unitarios. El producto de quaternios puede modelar cualquier transformación conforme (rotación, reflexión, escalamiento) en ��, de ahí su utilidad en graficación. Una rotación propia en ��es una transformación lineal, ortogonal que preserva longitudes con determinante 1. El conjunto de rotaciones ortogonales forma el subgrupo no conmutativo SO(3) del grupo ortogonal O(3). Las rotaciones con quaternios posicionan y orientan objetos en el espacio; por tanto son útiles en la dinámica del vuelo aeroespacial y atmosférico. Las ecuaciones diferenciales del vuelo, son resueltas eficientemente usando quaternios y Runge-Kutta. Los quaternios tienen otras aplicaciones interesantes que apenas empiezan a descubrirse. Por ejemplo, pueden representar procesos en medios poroelásticos, cuyo esqueleto tridimensional soporta una parte de la tensión. La otra parte la soporta el fluido; esta es la cuarta dimensión de la deformación del medio. Los quaternios se usan en la graficación de alta definición en computadora, no distorsionan ni angulos ni dimensiones y tienen la ventaja adicional de interpolar suavemente entre cuadros de imágenes, simulando animaciones que parecen naturales en la pantalla. En este texto presento los aspectos teóricos del Algebra de complejos, de quaternios y de las rotaciones. Así como el Cálculo Diferencia e Integral de Variable Compleja tradicional. En una segunda parte ilustro la teoría con aplicaciones de los quaternios a tópicos señalados usando programas desarrollados en el ambiente simbólico, numérico y gráfico del software Mathematica. “Que el tiempo que los mármoles empaña, salve estos firmes nombres: Cauchy, Euler, DeMoivre, Buée, Argand, Hamilton, Gauss, Riemann, Caspar, Wessel”.

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1.1 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEFINICIÓN. El conjunto � denota al conjunto de números complejos que consiste en

� �� �, :x y x y� � � �� � � equipado con dos operaciones básicas: Adición: ( , ) ,z x y� �� ( , )w u v� �� entonces ( , )x w x u y v � �� . Multiplicación: ( , ).z w xu yv xv yu � � Estas dos operaciones son fundamentales en � y, en espacial la multiplicación, le dan características especiales que no tiene 2� . PROPOSICIÓN. El conjunto {( , ) : }x y x y� � � �� � � es un campo. Demostración. Sean 1 1 1( , ),z x y� 2 2 2( , )z x y� y 3 3 3( , )z x y� números complejos.

1. La suma de complejos es asociativa, es decir, para cualesquiera 1,z 2z y 3z en � se tiene que 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z � .

Demostración. 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ) ( , ) [( , ) ( , )]z z z x y x y x y �

1 1 2 3 2 3( , ) [( , )]x y x x y y�

1 2 3 1 2 3( , )x x x y y y�

1 2 3 1 2 3[( ) , ( ) ]x x x y y y�

1 2 1 2 3 3[( , )] ,x x y y x y�

1 2 3( )z z z�

2. La suma de complejos es conmutativa, es decir, para cualesquiera 1z y 2z en � se tiene que 1 2 2 1z z z z � .

Demostración. 1 2z z

1 1 2 2( , ) ( , )x y x y�

1 2 1 2( , )x x y y�

2 1 2 1( , )x x y y�

2 2 1 1( , ) ( )x y x y�

2 1z z�

3. La suma de complejos tiene un elemento neutro, es decir, existe 0�� único tal que para todo z �� se tiene que 0z z � .

Demostración. 0 ( , ) (0,0) ( 0, 0) ( , )z x y x y x y z � � � �

4

4. La suma tiene inversos, es decir, para todo z �� existe un único elemento w�� tal que

0z w � . A w se le llama el inverso aditivo de z , y se le denota z� . Demostración. ( ) ( , ) ( , ) ( , ) (0,0) 0z w z z x y x y x x y y � � � � � � � � � �

5. El producto de complejos es asociativo, es decir, para cualesquiera 1,z 2z y 3z en � se tiene que 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z �

Demostración. 1 2 3( )z z z

1 1 2 2 3 3( , ) [( , ) ( , )]x y x y x y�

1 1 2 3 2 3 2 3 2 3( , ) ( , )x y x x y y x y y x� �

1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3( ( ) ( ), ( ) ( ))x x x y y y x y y x x x y y x y x x y y� � � �

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , )x x x x y y y x y y y x x x y x y x y x x y y y� � � � �

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , )x x x y y x x y y y x y x x y y y y x y x y x x� � � �

1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3[( ) ( ) , ( ) ( ) ]x x y y x x y y x y x x y y y x y y x x� � � �

1 2 1 2 1 2 1 2 3 3( , ) ( , )x x y y x y y x x y� �

1 1 2 2 3 3[( , ) ( , )] ( , )x y x y x y�

1 2 3( )z z z�

6. El producto de complejos es conmutativo, es decir, para cualesquiera 1z y 2z en � se tiene que 1 2 2 1z z z z �

Demostración. 1 2z z

1 1 2 2( , ) ( , )x y x y�

1 2 1 2 1 2 1 2( , )x x y y x y y x� �

2 1 2 1 2 1 2 1( , )x x y y x y y x� �

2 2 1 1( , ) ( , )x y x y�

2 1z z�

7. El producto tiene un elemento neutro (neutro multiplicativo), es decir, existe � �1 1,0� �� tal que para todo z �� se tiene que 1z z � .

Demostración. 1 ( , ) (1,0) ( 1 0, 0 1) ( 0,0 ) ( , )z x y x y x y x y x y z � � � � � � � � � � � Además, � cumple que para todo ( , )z x y� �� se tiene que ( , ) ( , )x y i y x� � , con (0,1)i � pues

( , ) (0,1) ( 0 1, 1 0) (0 , 0) ( , )z i x y x y x y y x y x� � � � � � � � � � � � COROLARIOS.

� 21 1� . Demostración.

2 21 (1,0) (1,0) (1,0) (1 1 0 0,1 0 0 1) (1 0,0 0) (1,0) 1.� � � � � � � � � � � �

5

� 2 1i � �

Demostración. 2 2(0,1) (0,1) (0,1) (0 1 1 1,0 1 1 0) (0 1,0 0) ( 1,0) 1.i � � � � � � � � � � � � � �

DEFINICIÓN. Dado ( , )z x y� �� , decimos que el conjugado de z es ( , ).z x y� � LEMA. Para cualquier ( , )z x y� �� se cumple 2z z z� . Demostración.

2 2( , )z x y� 2 2x y� ��

2 2( ,0)x y� �� ( , )xx yy xy yx� � ( , ) ( , )x y x y� � z z�

8. Los elementos diferentes de (0,0) tienen inversos multiplicativos, es decir, para todo z ��

con 0z , existe un único elemento w�� tal que 1z w � . A w se le llama el inverso multiplicativo de z , y se le denota 1z� o 1/ z .

Demostración. 2

2 2 2 1zz z zz

z z z

� � �

COROLARIO. Existe la división en � .

Demostración. Sean ,z w�� , con � �0,0w , entonces 12 .z wz w z

w w�� �

9. El producto distribuye a la suma, es decir, para cualesquiera 1,z 2z y 3z en � se tiene que

1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) ( )z z z z z z z � Demostración.

1 2 3( )z z z

1 1 2 2 3 3( , ) [( , ) ( , )]x y x y x y�

1 1 2 3 2 3( , ) [( , )]x y x x y y�

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3[ ( ) ( ), ( ) ( )]x x x y y y x y y y x x� �

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3[ , ]x x x x y y y y x y x y y x y x� � �

1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3[ , ]x x y y x x y y x y y x x y y x� � �

1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3[( , ) ( , )]x x y y x y y x x x y y x y y x� � �

1 1 2 2 1 1 3 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x y�

1 2 1 3( ) ( )z z z z�

6

Ejemplo numérico. Sean � �11, 6z � � y � �1,4w � . Calcular a) z w , b) z w� y c) z w� .

a) � � � � � � � �11, 6 1,4 11 1, 6 4 12, 2 .z w � � � � � �

b) � � � � � � � �11, 6 1,4 11 1, 6 4 10, 10 .z w� � � � � � � � � �

c) � � � � � � � � � �11, 6 1,4 11 1 6 4,11 4 6 1 11 24,44 6 35,38 .z w� � � � � � � � � � � � � Ejemplo.

2 2 2 1(1 ) 1 2 2 ( 1 ) 2

1i

i i i i i ii

� � � � � � � � �� ��

Interpretación geométrica de la suma.

La adición de números complejos corresponde exactamente a la suma de vectores en el plano 2� .

Figura 1.

DEFINICIÓN. El “Módulo de z �� ” se define como

2 2 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( ,0)z z z x y x y x y xy yx x y� � � � � � . Por tanto es el real positivo:

2 2 2z x y z z z z� � � � � , y 2 2z x y z z� � � .

� Teorema 1. Para cualesquiera ,z w�� se tiene que:

,z w z w � ,z w z w� � � ,z z z� � �� z i z z� � � �� 2z z x � 2z z iy� � .

El conjunto � también puede representarse como: i� �� � �

7

Ejemplo numérico. Sean 7 6z i� � y 4 9w i� � .

a) 3 3 .z w i z w � � � b) 26 87z w i z w� � � � �

Sean 7 4z i� � y 2w i�

c) 7 4 65z i z� � � �

d) 2 5w i w� � � Luego: 9 3 90 65 5.z w i z w � � � � � En general: z w z w � (Desigualdad del triángulo).

e) � � � � � �

12 2 2 2

1 7 4 7 4

6565 65

z iz iz z

� � � � � . En efecto 1z� tiene la forma de un complejo.

f) Así entonces,

� �� �

12

7 4 49 167 4 16565

iz z i� � � � � � �

El Teorema Fundamental del Algebra.

“Todo polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz compleja”.

La representación Exponencial.

Sea z x iy� . Sabemos que 0

,!

nx

n

xen

�

�

� � supongamos que:

� � 2 3 4 5 6 7

01

! 2! 3! 4! 5! 6! 7!

ni y

n

i y y y y y y ye i y i i in

�

�

� � � � � � � �

2 4 6 3 5 7

12! 4! 6! 3! 5! 7!y y y y y yi y Cos y i Sen y

� � � �� � � � � � � � � �� � � �

� �

� �z x i y x i y xe e e e e Cos y i Sen y� � � � � La fórmula anterior fue descubierta por Euler hace unos 300 años y relacionada de manera notable los números complejos con la exponencial y las funciones trigonométricas clásicas.

8

Trigonometría en �

Deducimos que: cos sin ,ize z i z z� � �� de donde surgen las funciones trigonométricas complejas.

cos sin cos sincos , sin

2 2cos sin cos sin

iz iz iz iz iz iz

iz iz

e e z i z z i z e e e ez zie e z i z z i z

� � �

�

� � � ��� � � � � � �!

Calculo numérico.

cos2

ix y ix ye ezi

� � �� cos sin

2 2

y y y ye e e ex i x� � �

� �

cos cosh sin sinhx y i x y� �

sin cosh cos sinh2

ix y ix ye ez x y i x yi

� � �� �

FÓRMULA NOTABLE.

En particular si 21iy e i""� � � � � � 1 0ie " �

Forma Polar. Sea # �� unitario, 1,# � de la figura deducimos que � �cos ,sin# $ $� , es decir:

cos sin ii e $# $ $� � con % &0,2$ "� .

Figura 2.

Sea cualquier otro z �� , no forzosamente unitario, entonces z z zz

# #� � � .

Sea 0r ' , entonces iz re $� es la forma polar de z �� . Ejemplo numérico.

9

1 31 3 2 22 2 3

z i z z i "$( )

� � � � � � �* +* +, -

pues

1cos3 2"

� y 3sin3 2"

� .

La forma polar de 31 3 2i

z i e"

� � . Nótese que si se aceptan ángulos 2$ "' , entonces la forma polar de z no es única:

� � � � � �2cos sin cos 2 sin 2 i kie i k i k e $ "$ $ $ $ " $ " � � � .

Representación Geométrica de la Multiplicación en � Esto resulta sencillo usando la forma polar. Sean iz re $� y itw se� entonces: � � .i tz w rse $ �� La multiplicación z w� es otro número complejo de módulo rs y rotado un ángulo � �t$ con respecto a OX . Por tanto la multiplicación de complejos engendra una rotación.

Figura 3.

La interpretación de z w en forma polar, no evidencia la suma de vectores:

� � � �cos sin cos sini itz w re se r i s t i t$ $ $ � � El caso particular para complejos unitarios, por ejemplo.

1 1 1cos sinz i$ $�

2 2 2cos sinz i$ $�

10

Figura 4.

El producto � �1 2

1 2iz z z e $ $� � representa claramente la rotación del vector � �,x y z� un ángulo

� �1 2$ $ $ � sobre el círculo unitario.

Breve Nota Histórica. Fue el cartógrafo Noruego Caspar Wessel (1745 - 1818) la primera persona que descubrió que la multiplicación de números complejos representa a una rotación. Su descubrimiento fue motivado por los problemas prácticos que Wessel enfrentaba a diario al confeccionar sus mapas, trabajo que inició siendo adolescente (1764). En Marzo de 1797 a los casi 52 años de edad, presentó un artículo ante la Real Academia de Ciencias, titulado: “Sobre la Representación Analítica de la Dirección: Un Intento”. El documento fue revisado y considerado de tal y tan alta calidad que fue publicado en las Memorias de esa Academia en 1799. Sin embargo, debido a que el artículo fue publicado en danés, casi nadie se entero de su existencia ni pudo leerlo fuera de Dinamarca, permaneciendo en el olvido durante casi un siglo. No fue sino hasta 1895 que ese documento fue redescubierto y traducido a otras lenguas europeas. Hasta entonces se reconoció el papel pionero de Wessel en la interpretación geométrica y uso cartográfico de los números complejos. En síntesis podemos decir que la representación geométrica de z �� , � �,z a ib a b� � en el plano

complejo y su forma polar: ,iz re $� donde 2 2 ,r a b� arctan .ba

$ �

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Figura 5.

Resumen:

� Forma cartesiana del complejo z �� . � �, ;z a b a ib� � ,a b�� e 1i � � .

� Forma polar de z �� .

,iz re $� 0,r ' 0 2$ "� � .

� Fórmula de Euler. � �cos siniz re r i$ $ $� �

� Relación entre ambas:

2 2 2 ;r a b� arctan tanb ba a

$ $� � � .

� En la notación de Wessel:

2 2 1tan bz a ib a ba

� ( )� � . * +, -

Nótese en la forma polar, al calcular el ángulo $ debe de tomarse en cuenta que la función tangente

es de periodo 2 90 2 180 rad2" "� /� � / � .

12

Figura 6.

Es decir, tan$ se corre todo su rango de valores tan$�� . . � para 2 2" "$� . . .

Si 0a ' entonces arctan ba

$ � y z está en el 1er cuadrante o en el 4to cuadrante.

Si 0a . entonces arctan ba

$ "� y z en el 2do o en el 3er cuadrante.

En la figura 4 observamos del producto

� �1 21 21 2

ii iz z e e e $ $$ $ � � � � � � �1 2 1 2cos sini$ $ $ $ Pero: � �� �1 2

1 1 2 2cos sin cos sini ie e i i$ $ $ $ $ $� � � �

� � � �1 2 1 2 1 2 1 2cos cos sin sin cos sin sin cosi$ $ $ $ $ $ $ $� � Es decir:

� �1 2 1 2 1 2cos cos cos sin sin$ $ $ $ $ $ � �

� �1 2 1 2 1 2sin cos sin sin cos$ $ $ $ $ $ � Dos identidades trigonométricas clásicas cuya deducción verifica la condición interna de la multiplicación de complejos.

13

Ejemplo Numérico. El siguiente ejemplo ilustra de qué manera la forma polar permite resolver problemas sumamente difíciles. Sea el complejo 0 0.3 2.6z i� y queremos calcular 17

0z .

En forma polar 17 17 170 0

i iz re z r e$ $� � � .

Cálculo de r y de $ . � � � �2 20.3 2.6 2.6173r � � y 2.6arctan 83.4180.3

$ ( )� � /* +, -

.

Por tanto, 17 12,687,322r � y 17 1418.1061 21.8939$ � / � � . Finalmente

� �17 170 cos17 sin17 11,772,300 4,730,800z r i$ $� � � �

Relación entre rotaciones y números complejos.

Observamos primero que z x iy� � al multiplicarlo por i iz0 obtenemos � �� � � �0,1 , ,iz x y y x y ix� � � � �

Figura 7.

Nótese que � �� �, , 0x y y x xy yx� � � � (Producto escalar de ambos vectores). Por tanto iz es

ortogonal a z y z iz� . Es decir, la operación de multiplicar z por 1i � � equivale a una rotación en el plano complejo. Sea u�

un vector unitario, z x iy� �� zu xu iyu xu yu1� � � ���� � � �

Si � �cos sin cos sin

cos ,sinsin cos sin cos

x y xu xu yu

x y y$ $ $ $

$ $$ $ $ $

1 � �( ) ( )( )� � � �* + * +* +, - , -, -

���� �, es decir, zu $�

��

donde $� es una matriz de rotación.

Además, cos sinsin cos

xz u xu iyu xu yu

y$ $$ $

1 ( )( )� � � � � * +* +�, -, -

���� � � � �� es una reflexión en 2� .

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Geometría Diferencial en 2� y en 3� . A la unión del Calculo Diferencial e Integral con la Geometría Analítica en el plano y en el espacio, se le llama Geometría Diferencial. Ella es dinámica y se encuentra estrechamente relacionada al movimiento de cuerpos, sus trayectorias, velocidades y aceleraciones. De hecho tuvo sus orígenes en la mecánica de Galileo, Kepler y Newton; sus conceptos principales se encontraban ya en las mentes de todos los pensadores que en cualquier parte del mundo, reflexionaron sobre el movimiento de los astros.

Estructura compleja de 2� . Principiamos este estudio considerando que el espacio vectorial 2� tiene una estructura compleja. Vamos a ir más allá estableciendo que 2� y � son idénticos y que se identifican funcionalmente a través del llamado isomorfismo canónico 2: 0S � � el cual a cada � � 2,p x y� �

��� le asocia un

número complejo z �� :

� � � � 2, , 1,p x y x iy i z x iy� � � � � �S S��

�

O también

� � � � � �Re Imp p i p z� � �S�� �� ��

� .

DEFINICIÓN. El tensor estructural complejo es el operador lineal 2 2:J 0

��� � que se construye con la matriz de

rotación positiva o levógira de ángulo 2" : � �

cos sinsin cos

J R$

$ $$

$ $�( )

� � * +, -

���

Con � � � �2

0 1, ,

1 02J J J x y y x"

"$�( )

� � � � � � �* +, -

��� �� �� pues

0 11 0

x yy x

� �( )( ) ( )�* +* + * +

, -, - , -.

Significado geométrico de J:

Figura 8.

Algunas de sus propiedades son:

1) � �J p�� ��

es una rotación levógira (transformación rígida).

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2) � �� � � � � �2 , ,J J J J J p J y x x y p� � � � � � � � ��� �� �� �� �� �� ��

2J I� � ���� �

. Con I�

el mapeo vectorial identidad � �I p p�� �� ��

.

3) � � � �J p J q p q� � ��� �� �� � �� �

se conserva el producto escalar. En efecto,

� � � � � � � �, ,J p J q y x v u yv xu p q� � � � � � � ��� �� �� � ����

donde � �,p x y���

y � �,q u v��

.

4) � � � �� � � �, , 0J p p y x x y J p p� � � � � 1�� �� �� �� �� ��

5) � � � � � �2,J p y x y ix i y ix i x iy i p� � � � � � ��� �� ��

esta propiedad justifica el nombre y

cualidad de J��

. 6) Sea � � � �* Re ImQ Q i Q� �

�� �� �� llamado complejo conjugado de Q

��, entonces el producto de dos

complejos P��

y *Q��

es:

� �� � � � � �*P Q x iy u iv xu yv i xv yu P Q iP J Q� � � � � � � � ��� �� �� �� �� �� ��

.

7) Definición compleja de las funciones trigonométricas circulares: Sea % &0,2$ "� y 2,P Q�

�� ��� distintos de 0

� y � �,P Q$ � 2

�� ��, entonces:

� � � �� �

sin , cos , tan0

P J Q P J QP QP QP Q P Q

$ $ $� ��

� � ��

�� �� �� �� �� ���� ���� ���� �� �� ��

Su demostración se estudio en el curso de geometría analítica.

También sabemos que cos sinie i$ $ $� , sea 0r P Q� � '

�� ��

� �cos sinr i r P Q iP J Q$ $� � � ��� �� �� �� ��

.

Es decir, � �ire P Q iP J Q x iy z$ � � � � � �

�� �� ����� ��� de donde

� �Rex z P Q� � ��� ��

Y � � � �Imy z P J Q� � ��� �� ��

Identidades que relacionan el producto escalar en 2� con las partes real e imaginaria de un número complejo z x iy� .