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7/25/2019 NUMERO_REAL_1_2012.pdf

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NMERO REAL

IntroduccinA lo largo de nuestra vida nos hemos ido encontrando con algunas estructuras

numricas. Seguramente el lector conoce desde hace mucho tiempo a los naturales a los enteros y a

los racionales; as como tambin las diferencias entre ellas y las necesidades no cubiertas por unaestructura que hacen necesario la creacin de la siguiente.Cules son las insuficiencias de los racionales que hacen necesario presentar una nueva estructuraalgebraica? Intentemos plantear una de ellas.

Consideramos un cuadrado de lado 1 (una unidad cualquiera) y pretendemosmedir una de sus diagonales tomando al lado como unidad. Si existiese tal

medida en Q ( a la cual llamaremos L) por Pitgoras cumplira:

2 2 2 21 1 2L L

p

qS L L conpy qenteros primos entre si. ( en otras palabras siLes un

racional se puede escribir como una fraccin irreducible)

2

2

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 es par es par 2 ; 4

como 2 sustituyendo nos queda : 2 4 2 es par es par

p p

q qL p q p p p t t p t

p q q t q t q q

Por lo tanto si existiese un racional

p

qL que midiera exactamente la diagonal de un cuadrado delado 1 tendramos que: pes par, q es par, p y q enteros primos entre si.Lo cual es contradictorio.

En consecuencia no existe ningn racional que elevado al cuadrado sea 2 y por lo tanto losracionales no nos permiten medir la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno. Esinecesario resaltar la importancia que tiene disponer de una estructura con la cual poder medircualquier longitud u otra magnitud escalar.

Hemos presentado una de las incapacidades de los racionales; no la nica. Elegimos esta por ser lade mayores consecuencias desde el punto de vista histrico.

Construimos un cuadrado de lado 1

sobre el segmento cuyos vrtices sonel origen y el punto de abscisa 1.Trazamos la diagonal y la trasladamosal eje. Qu abscisa le asignamos a P?

1

0 1 P


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2

Los Pitagricos enamorados de los nmeros enteros creyeron que todas las cosas podan

derivarse de ellos, empezando por todos los demas nmeros. Se produjo una crisis en esta doctrina

cuando descubrieron que la raz cuadrada de 2 (La razn entre la diagonal y el lado de un

cuadrado) era irracional, es decir que 2 no puede expresarse de modo preciso como la razn dedos enteros determinados por grandes que fueran estos nmeros.

Este descubrimiento se llevo a cabo utilizando irnicamente como herramienta el teorema dePitgoras. Irracional significaba en principio que un nmero no poda expresarse como una razn

(cociente) Pero para los Pitagricos lleg a suponer algo amerazador, un indicio de que suconcepcin del mundo poda carecer de sentido, lo cual es la otra acepcin que tiene hoy la

palabra irracional (COSMOS de Carl Sagan)

Para cubrir esta como otras carencias de los racionales presentemos a los nmeros reales. Para elloexisten fundamentalmente dos caminos: El constructivo; crear a los naturales, a partir de ellos a losenteros, luego a los racionales y a partir de estos ltimos generar a los nmeros reales. El otrocamino consiste en crear directamente a los reales siendo los naturales, los enteros y los racionalessubestructuras de los reales.Esta ltima opcin es la que trabajaremos en primer lugar. Posteriormente trataremos, o al menos

bosquejaremos el camino constructivo.Cualquiera de los dos caminos implican la utilizacin del mtodo axiomtico. No desarrollaremosaqu las caractersticas de este mtodo por exceder la longitud de este trabajo. Corriendo el riesgode caer en una simplificacin excesiva diremos que: El mtodo axiomtico consiste en laaceptacin de algunas proposiciones como vlidas (que llamaremos axiomas), sin necesidad dedemostracin, y la deduccin del resto de las proposiciones de la teora a partir de estos.La caracterstica imprescindible que debe cumplir un sistema axiomtico es la consistencia; la nocontradiccin de las proposiciones tomadas como axiomas.(tngase en cuenta que en todademostracin por absurdo se esta utilizando la consistencia del sistema). Otras propiedades como laindependencia o la categoricidad no tienen porqu ser cumplidas por todos los sistemasaxiomticos.Le sugerimos ample esta informacin por los medios que considere pertinentes.


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Axioma 1 (Axioma de cuerpo )En un conjunto que llamaremos de los nmeros reales(al que

anotamos ) en el cual estn definidas dos operaciones que denominamos adicin ymultiplicacin ( las cuales las anotamos con + y respectivamente que cumplen:

1S ) Asociativa ( ) ( ) , ,a b c a b c a b c )S2 Conmutativa ,a b b a a b

)S3 Neutro 0 ; 0 0a a a a

)S4 Opuesto ( ) ; ( ) ( ) 0a op a a op a op a a

)P1 Asociativa .( . ) ( . ). , ,a b c a b c a b c

)P2 Conmutativa . .a b b a ,a b

)P3 Neutro 1 1 0 ; .1 1.a a a a

)P4

Inverso 0 ( ) ; . ( ) ( ). 1a a inv a a inv a inv a a

SP) Distributiva .( ) . . , ,a b c a b a c a b c

( ). . , ,b c a b a ca a b c

Nota 1En el axioma recin enunciado aparece el trmino operacin. Qu entendemos por tal

trmino? Antes de ir a una definicin concreta de operacin analicemos un caso ms quefamiliar; la suma en los naturales. En el cual aparecen expresiones como:

2 + 4 = 63 + 5 = 8a b c

Cuando anotamos por ejemplo 2 + 4 = 6 aparecen en juego tres nmeros naturales cumpliendodistintos roles (2 y 4 como sumandos y el 6 como resultado). Podemos pensar a la suma denaturales como una correspondencia que al par (2,4) le hace corresponder el 6, al par (3,5) el 8 ....

al par de naturales ,a b el natural c.

Y no cualquier tipo de correspondencia ya que a cada par ordenado de naturales la suma le hacecorresponder un y solo un natural (el resultado de sumar ambas componentes del par). En definitiva;

podemos considerar a la suma de naturales como unfuncin de en .Obsrvese que una interpretacin idntica puede hacerse con el producto de naturales; que el

producto de enteros puede considerarse como una funcin que a pares ordenados de enteros hacecorresponder un entero ( o sea una funcin de ) ; la suma de vectores como una funcinque a pares ordenados de vectores hace corresponder un vector;.....Concretamente: SiendoAun conjunto no vaco llamamos operacin en A(o ley de composicininterna ) a una funcin de A A A

Con esta definicin podemos determinar una operacin en cualquier conjunto no vaco por modesto

que este sea. Definamos una operacin (llammosla *) en el conjunto ,A a b


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( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )A A a a a b b a b b

Solemos anotar a a a a b b b a b y b b b o tambin presentar una tabla de

doble entrada en lugar de un diagrama de flechas.

* a b

a a bb b b

Ejercicio Definir una operacin en , ,B m n p

Nota Tengamos presente entonces que una operacin o una ley de composicin interna en unconjunto no vacoA no es otra cosa que una funcin de A A A y por lo tanto si tenemos una

correspondencia entre pares de elementos de un conjunto A y elementos del propio A para poderafirmar que dicha correspondencia es una operacin debe cumplirse:1) La imagen de cada par (el resultado de la operacin) debe pertenecer al conjunto A. 2) Y debeser nica.

As con esta definicin de operacin la resta en no es una operacin pues falla la primeracondicin. Y tampoco es una operacin el producto de un vector por un escalar pues no estamosoperando elementos del mismo conjunto.Cabe sealar que no es la nica definicin de operacin que puede tomarse. Sino que es la ms

restrictiva pues nos obliga a operar con elementos del mismo conjunto ( lo cual deja afuera elproducto de un escalar por un vector) y tambin nos obliga a que el resultado sea del mismoconjunto del cual son los operandos (con lo cual el producto interno de vectores no sera unaoperacin) Otras definiciones mas amplias permiten operar elementos de distinto conjunto y

tambin que el resultado no pertenezca al mismo conjunto que los elementos operados. Lo que seexige en casi todas las definiciones de operacin que se puede encontrar en diferente bibliografa esla unicidad del resultado. Nosotros adoptamos esta definicin pues ha sido la elegida durantemuchsimo tiempo en los cursos de primer ao.

(a,a)

(a,b)

(b,a)

(b,b)

a

b

A A

*


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Nota Si leemos con atencin el axioma 1 percibimos que entre las muchas cosas que este nos diceesta que el conjunto de los nmeros reales es un conjunto no vaco que tiene al menos doselementos: el 0 y el 1 neutros de la suma y el producto.

Nada en este axioma implica que tenga mas que estos dos elementos; pues si tomamos

0,1 y la suma y el producto definidos por

+ 0 1 0 10 0 1 0 0 01 1 0 1 0 1

El lector podr comprobar que este modelo verifica el axioma 1 Lo cual no solamente sirve comoargumento para lo dicho sino que tambin para corroborar la consistencia del mismo.

Nota Como recin dijimos el axioma de cuerpo no lleva a que tenga infinitos elementos como

todos esperamos. Esto ser necesariamente cierto recin cuando entre en juego el segundo axioma.El lector atento tambin habr notado que se indica explcitamente en el primer axioma que 0 1 .

Esto se debe a que si tal proposicin no es necesariamente cierta tomando 0 y 0+0 = 0 ,

0.0 = 0 tal modelo verifica toda la axiomtica que veremos sobre nmero real; creando un modelotrivial que no es el que andamos buscando generar.

Veamos ahora algunas proposiciones que se desprenden de manera mas o menos inmediata delaxioma de cuerpo.

Teorema Unicidad de los neutros

1) 0 es el nico neutro de la suma. 2) 1 es el nico neutro del producto

Dem2)Supongamos que 1' ; .1' 1'.a a a a

Entonces

3

1.1' 1 por la suposici 1 1'1.1' 1' por P

n

Y por lo tanto 1 es el nico neutro del producto de reales.

Obsrvese que en la ltima implicacin se utiliz que el producto es una operacin en y por lotanto el resultado de un mismo producto es nico.


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Teorema Cancelativas

1) a b a c b c 2) . .

0

a b a cb c

a

Dem 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a c op a a b op a a c op a a b op a a c

0 0b c b c

Ejercicio 1) Justifique el lector los pasos dados en la demostracin anterior 2) Demuestrejustificando detalladamente el punto 2) 3) Por qu en la segunda proposicin se exige que elfactor cancelado sea distinto de cero?

Teorema Absorcin

.0 0a a

Dem: 0 .1 (1 0) .1 .0 .0 0 .0 0 .0a a a a a a a a a a a a

Justifique el lector todos y cada uno de los pasos dados .

Teorema Ausencia de divisores de 0 (Hankeliana)

0

. 0

0

a

a b

b

Dem: Si a= 0 la proposicin es verdadera

Si 0a cancelativapor hiptesis . 0

. .0 como adems 0 0por el teorema anterior .0 0

a ba b a a b

a

Teorema Existencia y unicidad de la diferencia

H) ,a b T)1) ;

2) es nico

c a c b

c

Dem: 1) ( ) ( ) ( ) ( )a c b a op b c b op b a op b c b op b

( ) 0 ( )a op b c c a op b


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7

Para terminar la demostracin de la existencia basta tomar ( )c a op b y realizar c b

aplicando las propiedades ya vistas el lector seguramente llegar a que c b a

Dem 2) Supongamos que ' ; 'c a c b Como por lo demostrado en 1) ;c a c b

entoncescanc

'c b c b c c

DefinicinConsideramos ,a b . Llamamos diferencia a b al real c tal que b c a

La relacin de en la que a cada par de reales ,x y le corresponde la diferencia x y ,

teniendo en cuenta el teorema inmediato anterior, es una funcin. Y por lo tanto queda definida unanueva operacin en a la cual denominaremos sustraccin.

Nota1) En el teorema inmediato anterior no solamente se demostr que existe ctal que b c a

sino que tambin se calcul cuanto vale; llegando a que ( )c a op b

Por lo tanto: ( )a b a op b

2) Teniendo en cuenta el resultado anterior0 0 ( ) ( ) ( ) 0x op x op x op x x x

Lo cual justifica la notacin habitual de opuesto ( )op x x

Teorema Existencia y unicidad del cociente.

H),

0

a b

b

T)

1) ; .

2) es nico

c a c b

c

Demostracin a cargo del lector.

Definicin

Consideramos , ; 0a b b . Llamamos cociente ab al real c tal que .b c a

La relacin de * * en la que a cada par de reales ,x y le corresponde el cocientex

y,

teniendo en cuenta el teorema inmediato anterior, es una funcin. Y por lo tanto queda definida una

nueva operacin en * a la cual denominaremos divisin.

(anotamos * al conjunto 0 )


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Nota1) Cuando demostr el teorema inmediato anterior seguramente lleg a que . ( )c a inv b ;

entonces:

. ( )a

ainv bb

2) Por lo tanto1 1

1. ( ) ( ) ( )inv x inv x inv xx x

Ejercicios

I) Demostrar las siguientes proposiciones en ( , ,) donde a,b,c,dson nmeros reales.

i) ( )op op a a ii) ( )inv inv a a iii) 0a b a b

iv) 1 ( 0 0)a

a b a bb

v) (0) 0op vi) (1) 1inv

vii) 0 0a a viii) ( )a b a b ix) ( )a b a b

x) ( 1).a a xi) ( . ) ( ). .( )a b a b a b xii) ( ).( ) .a b a b

xiii) .( )a b c ab ac xiv) ( . ) ( ). ( )inv a b inv a inv b xv)1

aa

xvi)a a a

b b b

xvii) ( 0 0)

a binv a b

b a

xviii)

.( 0 0)

bc

a a cb c

b

xix) ( 0 0)a c ad cb

b db d bd

xx) . ( 0 0)

a c acb d

b d bd

Notas 1) En la propuesta anterior utilizamos indistintamente ( ) oop a a e ( )inv a 1a

segn

consideramos conveniente. A partir de este momento utilizaremos exclusivamente la notacin

habitual (-a y 1a

).

2)Una vez culminado este ejercicio habr demostrado muchas de las propiedades usuales dellgebra elemental de manera relativamente sencilla y transparente utilizando exclusivamente elaxioma de cuerpo y sus primeras consecuencias.


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II) Hallar, justificando el procedimiento, el conjunto de los nmeros reales x que cumplen:

i) 1 1x ii) 0 x x iii) x x x iv) .0 0x v) .0 1x vi) 1 0x x

Qu otro ttulo pondra ud. al ejercicio anterior? Cmo denominara al conjunto hallado? Y a

cada uno de sus elementos?

III) Resolver y discutir segn ayb en ( , ,) la ecuacin 0ax b

ORDEN

A continuacin intentaremos introducir en ( , ,) una relacin de orden estricto total (


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Teorema1

Dem

Probmoslo por absurdo. Suponemos 1

ya que por intermedio del Ax 1 sabemos que1 0 aplicando la primera proposicin del axioma 2 tenemos que:

2 2)1 ( 1).( 1)

Ax

Como demostramos anteriormente a b ab ( 1).( 1) 1.1 1 1 pero

habamos supuesto que 1 lo cual es contradictorio.

DefinicinConsideramos ,a b decimos que:

1) a b b a

2) a b b a

3)

a b

a b

a b

4) a b b a

ObservacinNotemos que definimos menor a travs de los reales positivos cuya existencia estasegurada por el axioma de orden. Como ocurre habitualmente al definir la relacin menor (mayor)queda definida su relacin inversa mayor (menor).

Probemos ahora para nuestra tranquilidad que ser positivo es ser mayor que 0.

Teorema0x x

Dem0 0 0x x x x

DefinicinLlamamos conjunto de los reales negativos (anotamos ) al conjunto formado por los

opuestos de los reales positivos. Sintticamente:

/x x

Con esta definicin podemos enunciar de manera mas familiar la primera proposicin del axioma deorden diciendo que: todo real cumple una y una sola de las siguientes proposiciones i) es positivoii) es cero iii) es negativo.


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Teorema0x x


Probemos que las relaciones que acabamos de definir merecen el nombre que les dimos.

Teorema < es una relacin de orden estricto total en . O sea cumple:

1) a a a (Indentica)

2) a b b a (Asimtrica)

3)a b

a cb c

(Transitiva)

4) Todo par de reales ay bverifica una y solo uno de las siguientes proposiciones:i) a b ii) a b iii) b a (Tricotoma)

Dem 3)

2 ( ) ( )

Ax

a b b ab a c b

b c c b

como ( ) ( )b a c b c a entonces c a a c

Las dems demostraciones quedan a cargo del lector.

Teorema Monotonas de la suma y el producto (compatibilidad con las operaciones)

1) a b a c b c (Monotona de la suma)

2)a b

a c b d c d

(Monotona generalizada de la suma)

3) . .a b

a c b cc

(Monotona del producto)

4) . .a b

a c b cc


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Dem 3) Debemos probar que: ac bc bc ac

Ax2

Por hiptesis( ).

a b b ab a c

c

Como ( ).b a c bc ac Entonces . . . .b c a c a c b c

Proposiciones (Regla de los signos del producto)

1) .a b a b

2) .a b a b

3) .a b a b

Dem 2)

Ax2 .( )

como

b ba b

a

Por lo visto en uno de los ejercicios anteriores ( )a b ab

En consecuencia . .a b a b

( Tengamos presente la definicin adoptada de reales negativos )

Teorema Densidad

Dados dos nmeros reales cualesquiera ay bsiendo a b se cumple que: /c a c b

Dem

monot. de (+)

monot. de (+)

monot.del produc.

2 2

2

a b a a a b a a a b b b a a b ba b a b b b

a ba b

Efectivamente 2a bc c tal que a c b

Nota En la demostracin anterior se utiliz que 2a a a Qu nos justifica tal afirmacin?

1. 1. (1 1). 2.a a a a a a

Por otra parte vimos que 1 1 0 1 1 0 1 1


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Entonces 1+1 > 1 > 0 En consecuencia 1+1 es un real distinto del 0 y del 1, por lo tanto tenemosderecho a bautizarlo con un nombre diferente; lo denominamos 2.Un razonamiento similar nos lleva a 0 , 1 , 2 , 2+1 (que denominamos 3) , 3+1 (4) , 4+1 (5),...

son nmeros reales necesariamente diferentes. Entonces la aceptacin del axioma 1 y del axioma 2nos lleva a que tiene infinitos elementos; lo cual, como vimos, no es as solamente con el primer

axioma.

Ejercicios

I)Demostrar que en el cuerpo ordenado de los nmeros reales se cumple:

i)a

a bb

ii) 1

aa iii) 1

aa

iv) Si 0 0x x v) a a a (Idntica)

vi)a b

a bb a

(antisimtrica) vii)

a ba c

b c

(Transitiva)

viii) ,a b a b b a (Dicotoma) ix) a b a c b c

x)a b

a c b d

c d

xi)a b

ac bc

c

xii)a b

ac bcc

xiii)

0

0

a bac bd

c d

xiv)

a ba c

b c

( Las proposiciones v) vi) y vii) nos permiten afirmar que es una relacin de

orden amplio; el cumplimiento adems de la proposicin viii) nos asegura quees una relacin de orden amplio total.)

II) i) Demostrar 2 0x x (Entendemos por 2x al producto .x x )

ii) 2 2 0 0a b a b

iii)Si , 0a b demostrar que 2 2a b a b

iv) Sin la exigencia de que a y b no sean negativos La proposicin anterior es vlida?

III) i) Probar que 2 2 4 ,x y xy x y

ii) Sabiendo que , ,a b c y adems 1a b c ; probar:

1) 2(1 ) 4a bc 2) (1 ).(1 ), (1 ) 8a b c abc


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Signo de una funcin de primer grado

Queremos hallar el conjunto de los x tales que:1) i) 3 2 0x ii) 3 2 0x iii)3 2 0x

2) i) 3 1 0x ii) 3 1 0x iv) 3 1 0x

i) 1 1. ( ) () 3 33 2 0 (3 2) ( 2) 0 ( 2) 3 2 .3 .( 2)monot monot x x x x 23

x Por lo tanto 23/iS x x

ii) 23

3 2 0x x Entonces 23iiS

iii) 1 1 23 3 33 2 0 (3 2) ( 2) 0 ( 2) 3 2 .3 .( 2)x x x x x

En consecuencia 23/iiiS x x

Si denominamos : ; ( ) 3 2f f x x , hallamos los conjuntos de los reales cuya imagen es

negativa, cero o positiva.

Resultados que podemos esquematizar: (3 2)Sig x

Le encargamos al lector la segunda parte.

Signo de : ; ( ) ( 0)f f x ax b a

Entendemos por estudiar el signo def en a encontrar el conjunto de losxreales cuyas imgenesson positivas, el conjunto de los reales cuya imagen es 0 y el conjunto de los reales cuya imagen esnegativa.

monot.(+)0 ( ) ( ) 0 ( )ax b ax b b b ax b

Como seguramente el lector prev debemos ahora utilizar la monotona del producto; para lo cual

nos es necesario discutir si el factor por el cual pretendemos multiplicar la desigualdad 1a es

positivo o negativo.

Si a > 0 1 1. . ( ) ba a aax b ax b x

Si a < 0 1 1 .( ) ba a aax b ax b x

3

2

+0

_


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15

0 ba

ax b x (Justificacin ya vista)

0 ( ) ( ) 0 ( )ax b ax b b b ax b

Si a > 0 1 1. .( ) ba a aax b ax b x

Si a < 0 1 1. .( ) ba a aax b ax b x

En resumen: Si a> 0 0 ba

ax b x Si a< 0 0 ba

ax b x

0 ba

ax b x 0 ba

ax b x

0 ba

ax b x 0 ba

ax b x

Resultados que esquematizamos:

Pasemos ahora a estudiar el signo de la funcin de segundo grado. Antes algunas proposicionesprevias.

LemaSiendo a llamamos 2 .a a a Se cumple que: 1) 2 2( ).( )a b a b a b

2) 2 2a b

a b

a b


2Resolucin en , ,, de 0 0ax bx c a

2 2 2 2 2 2 2 2

(*)0 4 4 4 4 4 4ax bx c ax bx c a x abx ac a x abx b b ac

Llamando 2al nmero real 4b ac como adems 2 2 2 24 4 (2 )a x abx b ax b tenemos que:

2 20 (2 )ax bx c ax b

Si > 0 2

22 2

2

2(2 ) (3 )

2

b

a

b

a

ax b xax b ax b

ax b x

ba

0sig a- sig a

Sig ax b


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16

Por lo tanto en este caso2 24 4

,2 2

b b ac b b acS

a a

Si = 0 2(2 ` ) 0 2 0

2

bax b ax b x

a

Entonces si 02

bS

a

Si < 0 Como 2 2(2 ) 0 / (2 )x ax b x ax b S

Nota (*) Multiplicamos ambos miembros por 4a (tengamos presente que 0a ) con el objetivo

de completar el cuadrado de un binomio. Tambin fue el motivo por el cual sumamos 2b en el paso

siguiente.

Nota Somos conscientes que hemos utilizado raz cuadrada sin haberla definido y menosdemostrado que todo positivo tiene una raz cuadrada. El desarrollo terico hecho hasta el momento

no nos lo permite (Precisamos para ello eltercer axioma). A pesar de lo dicho utilizamos para

no postergar el estudio del trinomio de segundo grado, lo cual consideramos conveniente desde elpunto de vista didctico. Preferimos aqu hacer una disgrecin desde el punto de vista formal con elfin de un mejor desarrollo del curso prctico.

Ejercicio Consideramos 2: ; ( ) ( , , , 0)f f x ax bx c a b c a vimos que s2 4 0b ac la funcinftiene dos races reales distintas; a saber

y2 2

b b

a a

Probar que:

1) .b c

a a

2) ( ) .( ).( )f x a x x x

Signo del trinomio de segundo grado

Consideramos 2: ; ( ) con , , 0.f f x ax bx c a b c a

Si 0 Vimos quef acepta dos races reales que llamamos y ( ) Adems

( ) .( ).( )f x a x x x


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17

1 1 1 1/ 0 y 0x x x x

Entonces si 0a 1 1 1

( ) .( ).( ) 0f x a x x (producto de un positivo por dos negativos)

Si 0a 1 1 1( ) .( ).( ) 0f x a x x (producto de tres negativos)

Anlogamente se prueba que:2 2

/x x si 20 ( ) 0a f x

si2

0 ( ) 0a f x

Y que:3 3

/x x 3si 0 ( ) 0a f x

3si 0 ( ) 0a f x

2

2 2 2 2 2 2 2 2

(2 )

( ) 4 ( ) 4 4 4 4 4 4 4 ( ) (2 )

ax b

f x ax bx c af x a x abx ac a x abx b b ac af x ax b

Si 0 24 ( ) (2 ) 4 ( ) 0af x ax b af x x

Es ms 2 24 ( ) 0 ; y 0b ba a

af x x x f

Por lo tanto: Si2

0 4 0 ( ) 0 ; ba

a a f x x x

Si2

0 4 0 ( ) 0 ; ba

a a f x x x

Si 0

2 20 como adem (2 ) 0 4 ( ) (2 ) 0s ax b x af x ax b x

Por lo tanto: si 0 ( ) 0a f x x

si 0 ( ) 0a f x x

VALOR ABSOLUTO

DefinicinConsideramos un nmero real a .

Denominamos valor absolu tode a(Anotamos a )

si 0a a a y si 0a a a

Ejemplos: 00,3)3(3,44

Teorema1) 0x x

2) 0 0x x


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18

18

3)22 2x x x x

4)

x y

x y

x y

5) . . ,x y x y x y

6) , 0xx

x y yy y

7) x x x x

8) Siendo r se cumple que: i) x r r x r

ii)

x r

x r

x r

(Las proposiciones anteriores son tambin vlidas si intercambiamos por < y por > )

9) ,x y x y x y (Desigualdad triangular)

10) ,x y x y x y

Dem 7) Six 0 x x Por otra parte 0 0x x

como 0x x x

Entonces x x x x x x

Si x < 0 x x x x x x

Por otra parte como 0x x y en este casox< 0 x x

Entonces tambin en este caso x x x

Por lo tanto x x x x

Dem 9) Por 7) x x x y y y Sumando nos queda:

8)ix y x y x y x y x y x y x y x y


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NMERO NATURAL

La idea en crudo de la generacin de los nmeros naturales ya fue presentada; recordmosla:Como 0111011101 Por lo tanto el nmero real 1+1 es necesariamente

distinto del 0 y del 1; mereciendo entonces un nombre diferente. Al real 11 lo denominamos 2.Al ser 01212111212 Entonces el real 2+1 es un nmero distinto del 0 del

1 y del 2.Lo denominamos 3. Un razonamiento idntico nos lleva a que 3+1 es un real distinto(mayor) que el 0, que el 1, que el 2 y que el 3. Denominamos 4 a 3+1. Y as sucesivamente.Formalicemos esta idea.

DefinicinConsideramos: A Decimos queAes un conjunto inductivosi y solo si se

cumple:1) 0 A

2) Si 1x A x A

Ejemplos es inductivo. no lo es pues falla la primera condicin. S es inductivo 0

El conjunto 1B no es inductivo pues: 1 pero 1 1 0B B fallando

entonces la segunda condicin.

Nota Anotamos a la familia de todos los conjuntos inductivos. As ,

Observacin

0 0 1 1 1 1 2 2 1 3A A A A A A A A

Entonces 0,1,2,3,..... AA Los nmeros reales que identificamos como naturales

pertenecen a todos los conjuntos inductivos.

DefinicinLlamamos conjunto de los nmeros natu rales(anotamos ) a la interseccin de

todos los conjuntos inductivos. Sintticamente:

A

A

Observaciones:1) A A Ya que la interseccin de varios conjuntos est incluido en

cada uno de ellos2)Como 0,1,2,3,... y 0,1,2,3,....A A A A

(Los nmeros que desde siempre reconocimos como naturales; con la definicinque acabamos de adoptar; son efectiva y tranquilizadoramente nmeros naturales)


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20

3) pues yA A Un razonamiento similar nos lleva a:

4) 0 En otras palabras 0n n

Teorema


Teoremade induccin completa

1)

H) 2) 0

3) Si 1

H

H

x H x H

T) H

Dem

De 2) y 3) H H como H H

Observacin Al cumplirse que: A A y adems y ser conjuntos inductivos

podemos afirmar que es el mnimo y es el mximo de los conjuntos inductivos. (Parahablar de mximo y mnimo necesitamos previamente una relacin de orden que en este caso es lainclusin amplia de conjuntos)

Nota Segn la teora que venimos desarrollando los naturales son tambin nmeros reales. Y por lotanto se pueden operar como tales.

Las operaciones que manejamos en (suma, producto, resta y divisin) siguen siendo operacionesen ? Y en caso afirmativo que propiedades cumplen. Las mismas que en ?Antes de contestar estas preguntas analicemos la situacin desde un punto de vista mas general.

Consideramos:( , )A una estructura algebraica; o sea un conjunto no vaco (A) con una operacin

definida en el (*) y ;B A B

Para que sea una operacin enBdebe cumplirse que la restriccin de sobre B B siga siendo

una funcin. En otras palabras:

es una operacin enB es una funcin de1)

2) es nico

x y BB B B

x y

ComoBes un subconjunto deAy la condicin 2) se cumple para todos los elementos deAtenemosentonces que: es una operacin en B ,x y B x y B ya que la condicin 1) se verifica

automticamente.

Si es una operacin enBdecimos que ( , )B es una subestructurade ( , )A .


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Analicemos ahora siendo ( , )B una subestructura de ( , )A .la transmisin de propiedades de la

estructura madre a la subestructura.

Si ( ; )A es conmutativa ,x y y x x y A

Como , , , ( , )x y B x y A x y y x x y B B es conmutativa.

Tenemos entonces que si una estructura es conmutativa todas sus subestructuras tambin.Anlogamente se prueba:

Si ( , )A es asociativa ( , )B es asociativa

Si ( , )A tiene neutron entonces: ( , )B tiene neutro n B

Si ( , )A tiene la propiedad de inverso entonces:

( , )B cumple inverso 1x B x B

Consideraciones similares pueden realizarse sobre estructuras mas complejas (que tengan porejemplo mas de una operacin)

Teorema,a b a b

Dem Consideramos ;H x N a x 1) H por definicin deH

2) 0 H ya que 0a a por hiptesis

3) Si 1x H x H

Pues six H a x 1a x ya que es inductivo

1x H

De 1) 2) y 3) aplicando el teorema de induccin completa tenemos que: H Por hiptesis b b H a b

Nota Aplicando el teorema y la nota inmediata anterior podemos afirmar que + es una operacin en que cumple asociativa, conmutativa, neutro (tngase en cuenta que 0 )

Tambin podemos afirmar que no cumple opuesto ya que: si, 0 0n n n n

Un razonamiento similar al realizado recin nos lleva a que la diferencia no es una operacin en .Sin embargo la condicin para que la resta de dos naturales sea un natural es muy sencilla y todosla conocemos (minuendo mayor o igual que el sustraendo). Verifiquemos una vez ms que la teoraque venimos desarrollando coincide con lo que ya conocemos.


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Lema

10

aa

a

Dem Consideramos ; 0 1H x x x

1) H por definicin deH

2) 0 H

3) Si 1x H x H

Ya que

0 1 1 1 1 0 1

si

1 1 1 1 1 1

x x x x H

x H

x N x x x H

De 1) 2) y 3) aplicando el teorema de induccin completa tenemos que H . En consecuenciatodos los naturales son elementos deH; y por lo tanto todo naturalx es 0 1x Por lo tanto si

y 0 1a a a

Teorema,a b

a ba b

Dem Sea ;H x x a a x

1) H por definicin deH

2) 0 H ya que 0a a

3) Si 1x H x H

1 1

pues : si

0 1 1

0 1 ( 1) 1Lema

x a x a x H

x H

a x a x x a x H

a x N

a x a x a x N x H

Estamos pues en condiciones de aplicar el teorema de induccin completa sobre el conjuntoHllegando a que H . Por lo tanto como b b H al cumplir adems que

b a a b


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NotaAntes de encarar las dos operaciones restantes por necesidades tcnicas debemos analizar el

orden en . Un razonamiento similar al realizado en la nota anterior nos lleva a que


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DefinicinConsideramos ;A A decimos que:

1)Aest acotado superiormente ;k k a a A

kse denomina cota superiordeA

2)Aest acotado inferi ormente ;h h a a A

hse dice cota inferi ordeA

3)A est acotado Aest acotado superior e inferiormente.

Ejemplos Investiguemos si los siguientes conjuntos estn o no acotados superior y/ inferiormente yen caso afirmativo determinemos sus cotas.

1) / 1 7B x x -1 es cota inferior deBpues 1 x x B tambin lo es2 porel mismo motivo; es ms ; 1h h h es cota inferior deB

; 7 esk k k cota superior deB.

Por lo tanto el conjunto B est acotado tanto superior como inferiormente. En pocas palabras B estacotado

2) est acotado inferiormente por el cero y por todos los reales negativos no est acotado superiormente.

El motivo por el cual no est acotado superiormente es que es un conjunto infinito (que tieneinfinitos elementos)?

DefinicinConsideramos: , yA M m Decimos que:

1)Mes mximodeAM a a A

M A

2) mes mnimodeAm a a A

m A

-1 7

cotas inferioresB

cotas superiores


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25

Ejercicio1) Demostrar que el mximo (mnimo) de un conjunto si existe es nico.

SiMes mximo de A anotamosM= mxAy si m es mnimo lo hacemos:m= mnA.

2) Probar: i)1 es el mnimo deB ii)B no tiene mximo (sug. hacer una dem porabsurdo) iii) no tiene ni mximo ni mnimo.

ObservacinLos ejercicios anteriores nos llevan a que un conjunto est acotado superior(inferiormente) no es condicin suficiente para que exista mximo (mnimo).

Teorema Principio de buena ordenacin

Todo conjunto de naturales no vaco tiene mnimo.

/ mnK

m N m AK

DemSi 0K Como y 0 0K n N n k k K

Adems teniendo en cuenta que en este caso 0 0 mnK K

Si 0K Consideramos /H x x k k K

La idea consiste en probar queHtiene un ltimo elemento0

x y su siguiente0

1x es el

mnimo deK.

Es inmediato que 0 H

Suponiendo que 1x H x H El teorema de induccin completa nos llevara a H

Ahora por def de lo cual contradice la hiptesis

Por hiptesis

K H K

H K H K

K K K

H

.. .10

K


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26

En consecuencia la proposicin 1x H x H es falsa 0 0; 1x H x H

Probemos ahora que0

1 mnx K

Como 0 0 0 1x H x k k K x k k K

Por otra parte:0 0

1 1x H x k k K tomando en cuenta la proposicin subrayada

anteriormente tenemos que:0 0 0 0

; 1 1k K x k x K

De ambas proposiciones subrayadas concluimos que0

1x es el mnimo deK.

TeoremaTodo conjunto de naturales no vaco y acotado superiormente tiene mximo.

Demostracin a cargo del lector. Le sugerimos tomar el conjunto de las cotas superiores naturales;demostrar que este conjunto tiene mnimo y que este mnimo es el mximo que buscamos.

METODO DE INDUCCIN COMPLETA

Entendemos por induccin al proceso que nos conduce de una proposicin particular a una general.Proceso inverso de la deduccin que nos lleva de lo general a lo particular. Veamos algunosejemplos:

Ejemplo 1Observemos que:

2

2

2

2

1 3 4 2

1 3 5 9 3

1 3 5 7 16 4

1 3 5 7 9 25 5

Parece que:21 3 5 7 ......... (2 1)n n n

Hemos hecho una induccin. De algunos casos particulares (cuatro) hemos llegado auna proposicin gral.

Ejemplo 2Consideramos 2: ; ( ) 41f f x x x

Observemos que (0) 41, (1) 43, (2) 47 , (3) 53f f f f ,

y 41, 43, 47 y 53 son primos.

Parece que ( )f n es primo n


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Calculemos ahora 2(41) (41) 41 41 1763f Pero 1763 no es primo ya que es divisible entre

41 y entre 43.Por lo tanto la conclusin a la cual llegamos en el ejemplo 2 es falsa.Queda claro entonces que el que una proposicin sea vlida para algunos casos particulares; ello noimplica necesariamente que lo sea en general; pero tampoco necesariamente falsa. Veremos mas

adelante que la conclusin del ejemplo 1 es vlida.Es innecesario resaltar la importancia que tendra el disponer de un procedimiento de induccin quenos lleve a conclusiones siempre verdaderas.

Ejemplo 3Disponemos de 10.000 fichas de domin con las cuales formar una fila. Cmo debemos

proceder para tener la certeza de que se caern todas.

Observemos que saber que se cayeron las primeras cuatro fichas no implica que necesariamente secayeron todas. Es razonable afirmar que si:

1) Se cae la ficha 1

2) Las fichas estn dispuestas de tal manera que si se

cae una cualquiera h necesariamente se cae lasiguiente 1h

Entonces se caern todas las fichas.

Tngase en cuenta que si falla cualquiera de las dos condiciones no necesariamente se caern todaslas fichas.Por otra parte observemos que si sustituimos la condicin 1) por 1) Se cae la ficha 5 llegaramos a

la conclusin de que se caen todas a partir de la 5.En este ltimo ejemplo entr en juego una condicin (la 2)) que no lo haba hecho en los ejemplos

anteriores. Intentaremos a continuacin formalizar esta idea.

Teorema Principio de Induccin Completa.

una proposicin referida a los naturales

H) 1) ( ) (La prop. P es verdadera para un natural en particular )

2) ( ) ( 1) ;

P

P k V k

Si P h V P h V h h k

T) ( ) ;P n V n N n k

1 2 3 4 ............................................h h+1.......................................


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Dem Consideramos / ( )H x P x k V

1) 0 pues (0 ) ( )H P k P k V

2) Si 1x H x H

Ya que si)2)

( ) ( 1) 1H

x H P x k V P x k V x H

De 1) y 2) aplicando el teorema de I.C. tenemos H Ahora ; ( ) ( ) ;n n k n k n k H P n k k P n V n n k

EjemploDemostrar que: 21 3 5 ..... 2 1 ; 1n n n n

1) La proposicin es verdadera para n= 1 Efectivamente pues: 21 1

El primer miembro al ser una suma y coincidir el primer y el ltimo termino asumimos que tiene unsolo sumando; el 1.

2) H) La proposicin es verdadera para n = h 21 3 5 ....... 2 1h h

T) La proposicin es verdadera para 1n h 21 3 5 ........ 2 1 2 1 ( 1)h h h

2

2 21 3 5 ..... 2 1 2 1 2 1 ( 1)

h

h h h h h

De 1) y 2) por el principio de induccin completa tenemos que la proposicin es verdadera paratodo natural mayor o igual que 1.

En otras palabras: 21 3 5 ..... 2 1 ; 1n n n n

NMERO ENTERO

DefinicinDenominamos conjunto de los nmeros enteros(anotamos ) al conjunto formado porlos naturales y sus opuestos.

/x x x

Observacin

Teorema1)

,2) .

a ba b

a b


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29

Dem:

Si a b . .

a b a b

a b a b

Si a b Si comob b b

Llamemos n b b n con n .

Entonces a b a n

Cuando a n a b a n a b

Cuando ( )a n n a a b a n n a

Por otra parte: . .( ) .a b a n a n como . . .a n a b a n

Si a b Anlogo.

Si a b Denominamos ym a n b En este caso ,m n

( ) como

. . .

a b m n m n m n a b

a b m n N a b

Nota El teorema anterior junto con alguna de las observaciones realizadas en nmero natural nospermiten afirmar:

1) La suma es una operacin en que cumple:i) Asociativaii) Conmutativaiii) Neutro ( 0 0 )

iv) Opuesto

Si

a a

a

a a

En consecuencia la diferencia tambin es una operacin en .

2) El producto es una operacin en que verifica:i) Asociativaii) Conmutativaiii) Distributiva respecto a +

iv) Neutro. 1 1

No cumple la propiedad de inverso. Si 1/ 2 0 1a

a a 1a

pues entre

0 y 1 no hay naturales ni opuestos de naturales. Un razonamiento similar nos lleva a que ladivisin no es una operacin en Z.


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3) El orden en verifica todas las propiedades vistas en a excepcin de la densidad.

NMERO RACIONAL

DefinicinLlamamos conjunto de los nmeros racionales(anotamos )

; con , 0pqx x p q q

En otras palabras llamamos racionales al conjunto de las fracciones; entendiendo por fraccin elresultado obtenido de realizar el cociente entre dos enteros.

Observacin

Teorema1)

,2) .

a ba b

a b

Dem

*

*

' ' '

' '

*

' *

'

' . '

' . '

;

; ' '. . .

p p pq qp

q q qq

p

q

p

q

p p p p

q q q q

a b a b

a Q a p y q

b Q b p y qa b a b

EjercicioEl teorema recin demostrado nos permite afirmar que + y . son operaciones en .

Analizar las propiedades que estas cumplen; as como tambin el comportamiento de


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COMPLETITUD

Ejercicio Completar la siguiente tabla indicando si las propiedades mencionadas secumplen o n en cada una de las estructuras mencionadas.

Propiedades , ,, , ,, , ,, , ,,

Suma ///////////////////// ///////////////////// /////////////////////// ///////////////////////

ConmutativaAsociativa

NeutroOpuestoProducto ///////////////////// //////////////////// ///////////////////// ///////////////////////ConmutativaAsociativa

NeutroInversoDistributiva resp. a +< y //////////////////// //////////////////// ////////////////////// ///////////////////////

Monotona de la +Monotona del

Densidad

En el ejercicio inmediato anterior seguramente el lector no encontr diferencias en cuanto a losaspectos ya estudiados entre ( , ,, ) y ( , ,, ). Sin embargo, al comenzar el tema,

planteamos un problema no resoluble en los racionales medir la diagonal de un cuadrado de lado 1)como motivo para introducir a los nmeros reales. Lo cual nos conduce a la conclusin de que lateora est sin terminar. En otras palabras; exclusivamente de los dos primeros axiomas no sedesprende ninguna diferencia entre. ( , ,, ) y ( , ,, ). Nos falta un tercer axioma que

marcar la diferencia entre ambas estructuras. Antes de llegar a l necesitamos algunas definiciones.

DefinicinConsideramos , ,A L . Diremos que:

1)Les extremo superior de A mn /L k k a a A

2) es extremo inferiorde A mx /h h a a A

Dicho de otra forma el extremo superior es la menor de las cotas superiores, as como el extremo

inferior es la mayor de las cotas inferiores.


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Por ser el extremo superior (inf) el mnimo (mx) de un conjunto este es nico y en consecuenciaestamos autorizados a hablar de la menor (mayor) de las cotas superiores (inf). Anotamos:

L ext A y ext A

Ejercicios

I) Analizar si los siguientes conjuntos estn o no acotados, si tienen mximo, mnimo,extremo superior e inferior. En caso afirmativo, indicar cules son.

1 2 3 1 4 2

* *1 15 6

( 1) * *

7 8 9

/ 3 8 / 3

/ 2 , / 3 ,

/ , 7, 1,6 / 1 ( 1) ,n

n n

n

n

A x x A x x A A A A

A x x n A x x n

A x x n A A x x n n

II) Sabiendo que 3A extA Indicar si las siguientes proposiciones son

verdaderas, falsas o los datos son insuficientes para contestar. Justifique sus respuestas.

1) Todo nmero mayor que 3 es cota superior deA.2) 2,98 A

3)0 0

/ 2,98x A x

4) Todo elemento deAes menor o igual a 3.5) 3 A

6) A

7) Si max max 3A A

III) Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1) Todo conjunto de reales no vaci y acotado superiormente tiene mximo.2) Todo conjunto de naturales no vaci y acotado superiormente tiene mximo.3) Todo conjunto de naturales no vaci tiene extremo inferior.

4) Si maxM A necesariamente M extA .

5) Si M extA necesariamente maxM A .

V) Sabiendo que , , cota superior de y cota inferior deA A L A A . Probar:

1) 0 00 /L extA x A x L

2)1 1

0 /ext A x A x

Enunciaremos ahora el tercer y ltimo axioma; el cual marcar la diferencia entre

, ,, y , ,,

que como vimos hasta el momento son estructuras aparentemente


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idnticas. Este axioma nos permitir entre muchas otras cosas resolver el problema de la medida

de la diagonal de un cuadrado de lado 1.

Axioma 3 (Axioma de completitud)

Todo conjun to de reales no vaco y acotado super iormente tiene extr emo superi or.

acotado superiormente

A

A extA

A

Nota:Volvamos ahora a intentar encontrar un nmero cuyo cuadrado sea 2.

Para ello consideramos 2/ 2A x x probaremos:

I) ext A al cual llamaremosL

II) 2 2L

I) Para este objetivo parcial utilizaremos el axioma de completitud, por lo cual debemoscomprobar que:

i) A lo cual es cierto por la propia definicin del conjunto A

ii)2

1pues 1

1 2A A A

iii) A acotado superiormente.

2 2 22 4 4 0x A x x x

( 2)( 2) 02 0

como 2

2 2 es cota superior de

x xx

x A x x

x x A A

De i) ii) iii) por el axioma de completitud podemos afirmar que extA al que llamamosL.

II) Intentaremos aqu una demostracin por absurdo; suponemos que: 2 2L .

Tenemos pues dos posibles situaciones:

2Caso 1 2L

Buscamos un nmero mayor queL L que pertenezca al conjuntoA

para as producir la contradiccin.

Ahora 2 2 2

2 2 2L A L L L


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Recordemos que nuestra intencin es encontrar un 0 tal que L A o lo que es equivalente:

hallar un 0 tal que 2 2 22 2L L L . Con la intencin de "despejar" nos conviene

que no aparezca un trmino de segundo grado en .

Ahora si nos limitamos a elegir 0 1 tenemos que

2 2 2 2 22 2 2 1L L L L L L

Y 2

2 22 1 2 (Justifique que 2 1 0)2 1

LL L L

L

Como supusimos que2

2 22 02 1

LL

L

Por densidad de los reales podemos afirmar que2

0 02/ 0 min ,12 1

LL

2

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

22 2 2 1 2 1 2

2 1

LL L L L L L L L L

L

0

0

Absurdopero

L A

L L extA

As que 2 2L

2Caso 2 2L

En este caso para generar la contradiccin buscamos un nmero menor

queL L que sea cota superior deA .

Teniendo en cuenta que todo real positivo cuyo cuadrado sea mayor que 2 es cota superior de .

buscamos 2

0 / 2L

2 2 2 2 2 2Si 2 como 2 ( ) ( ) 0k x x A x k x k x k x k x k x A

Ahora 2 2 2

2 2 2L L L

Nuevamente con la intencin de "despejar" es conveniente que no aparezcan trminos desegundo grado en .

Como2

2 2 2 2 22 2 y 2 22

LL L L L L L

L

Ya que en este caso supusimos que

2 22

1 1

2 2

2 0 / 02 2

L L

L L L


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35

Entonces 2 2 2

1 1 1 1 12 2 2L L L L L L es cota superior deA.

Pero1

L L extA lo cual es contradictorio.

Por lo tanto2

2L ya que antes probamos que2

2L podemos afirmar que2

2L .Considerando que 2/ 2r r L

Hemos probado la existencia de un real no racional. A los reales no racionales losdenominaremos irracionales.

Nota 1Considerando 2/ 2A x x de manera similar a lo realizado con A es posibledemostrar: i)A ii)A iii)A acotado superiormente.

Pero extA en pues si existiese, su cuadrado sera 2 y como vimos anteriormente no existe

ningn racional cuyo cuadrado sea 2.

Tenemos pues un conjunto de racionales no vaco y acotado superiormente que no tiene extremosuperior ( en ). Podemos afi rmar entonces que la dif erencia entre las estructur as de los reales

y de los racionales es que la pr imera es un cuerpo ordenado y completo, y la segunda es tambin

un cuerpo ordenado pero no completo .

, ,, es completo? Y , ,, ?

Nota 2Es posible demostrar que el sistema axiomtico presentado es consistente y categr ico; enotras palabras existe efectivamente un modelo que cumple con los 3 axiomas presentados, lo cualasegura la consistencia, y cualquier cuerpo ordenado y completo es el de los nmeros reales (salvoisomorfismos).Lo primero lo discutiremos posteriormente, la categoricidad creemos escapa en este momento anuestras posibilidades.

Veamos ahora algunas otras consecuencias de la completitud de los nmeros reales.

Teorema Todo conjunto de reales no vaco y acotado inferiormente tiene extremo inferior.

acotado inferiormente

A

A extA

A

Dem.

Consideramos C x / x a ;a A . Intentaremos demostrar:


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36

36

I) extC al que llamaremos .

II) ext A

I) Para este primer objetivo utilizaremos el axioma de completitud; para lo cual necesitamos probar:

i) C Lo cual es cierto por la propia definicin de C

ii) 0 0 por hipotesisC A a A a C C

iii) Cacotado superiormente

A est acotado inferiormente por hip. k ; k a a A

k a a C k es cota superior de C.

De i) ii) iii) por el axioma de completitud se desprende que extC al cual denominamos

II) Queremos probar ahora que - es el extremo inferior deA; o sea que

= cota inferior demx h / h A para lo cual hay que

demostrar:1) cota inferior deA. 2) h h cota inferior deA.

1) extC es cota superior de C a a C a a A

Entonces es cota inferior deA.

2) Intentaremos aqu una demostracin por absurdo. Suponemos que h cota inferior de Atal que h

Si h es cota inferior de A h a a A h a a C h es cota superior

de C. Pero si h h .Tendramos una cota superior de C h menor que el ext C ,

lo cual es absurdo.

De 1) y 2) tenemos que ext A

TeoremaEl conjun to de los nmeros naturales no est acotado superi ormente.

Dem: (por abs) Suponemos que est acotado superiormente como adems sabemos que

y ext

Ahora 1 que es menor que no es cota superior de 0 0 1n / n

0 1n Pero 0 1n y ext lo cual es absurdo.


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37

Observacin:Como consecuencia de este resultado no est acotado ni superior ni inferiormente.Teniendo en cuenta que resulta que tampoco est acotado superior ni inferiormente.

Teorema(de Arquimedes)

H) a,b T) 0 0n / n a b

Dem Como no est acotado superiormente

0 0 0 0

bn / n n / n a b

a

b

a

Discutiremos a continuacin la "distribucin" de naturales, enteros, racionales e irracionales dentrode los reales. Lo primero que demostraremos es que todo real se encuentra comprendido entre dos

enteros consecutivos. Ms concretamente:

Teorema y es nico 1a z / z a z

Dem. Si 0a Consideramos H x / x a Teniendo en cuenta que

0 y que est acotado superiormente enH , H H H

(por cualquier natural mayor que a) buena ordenacin mediante podemosafirmar que mx H al que llamaremos n.

Si mx1 1

n H n an Hn H n a

Por lo tanto si 0a n / n a n Siendo entonces nel entero

buscado.

Si 0a y adems a el entero buscado es el propio a.En caso de que a

podemos afirmar que a . Adems 0a y por lo demostradoanteriormente 1n / n a n como a

1 1n / n a n n a n

Por lo tanto en este caso tambin 1 1z z n / z a z

La demostracin de la unicidad la dejamos a cargo del lector.

Definicin

Sea x ; llamamos parte enteradex(anotamos x ) al entero z

tal que 1z x z


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38

38

Ej 22,12,32

7

El teorema demostrado anteriormente me asegura que todo real tiene parte entera.

Teorema Densidad de en

H) a,b ; a b T) r / a r b

Dem 1 1a b b a n N / n( b a ) n N / nb na

Llamando z na tenemos que 1z na z De donde resaltamos 1na z

Por otra parte 1 1z na z na z z z na

1 1 1como 1

z na nb na z nanb na

1nb z

De ambas desigualdades subrayadas tenemos1

1 z

na z nb a bn

Por lo tanto1z

r / a r bn

Ejercicios 1-Probar:

1)

2)

3) Si adems 0

x yx

x yy

xx x.y

y

2- En el ejercicio anterior nos piden demostrar que el resultado de operar un racional y unirracional es irracional. Qu ocurre si operamos dos irracionales?

Teorema Densidad de en

H) a,b a b T) c / a c b

Dem 2 2 2 2 2a b a b r / a r b a r b

Como res racional y 2 es irracional 2c r tal que: a c b


39/39

39

Observacin: Utilizando reiteradamente la densidad de en y de en podemos

afirmar que en un intervalo cualesquiera de reales hay infinitos racionales e irracionales. Lo cualimplica que entre dos racionales hay infinitos irracionales y entre dos irracionales hay infinitosracionales.

En otro captulo veremos otras consecuencias de la completitud de los reales vinculadas a lasfunciones exponenciales y sus inversas las logartmicas.

Bibliografa consultada para la elaboracin de este material:

Clculus volumen 1 - Tom M. Apostol - Reverte.

Nmero Real, Rodolfo LouroC.E.I.

lgebra I - Armando Rojo - El Ateneo.

Notas de lgebra I - Daniel Siberio - C.E.I.PA.

I.P.A. - Abril del 2010 - Responsable: Daniel Siberio.

numero_real_1_2012.pdf

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