7/21/2019 Números Complejos con sus gráficas

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Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpoalgebraicamente cerrado que los contiene. Todo número complejo puede representarsecomo la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad

imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar  y lo denotamos con la letra

Su xpresión de la forma ! " a # b.i donde a y b son números reales $ i es la unidad llamada imaginaria,

definida por las ecuaciones% i " &' o i " '$ a es la parte real  y b es la parte imaginaria del númerocomple*o.

Si a " +, el número comple*o + # b.i " b.i, es un número imaginario puro$ si b " +, se obtiene el númeroreala # +.i " a

os números comple*os son iguales si% (a # b.i) " (c # d.i) ⇔ a " c$ b " d es decir, si son iguales suspartes reales e imaginarias por separado.

-n número comple*o es igual a cero si% a # b.i " + ⇔ a " +$ b " +

1.2 Representación gráfica

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En el número complejo llamaremos a la parte real   y ala parte imaginaria.

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar unarepresentación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En estarepresentación se le dice eje real  ( Re) al eje de las y eje imaginario ( Im) aleje de las . 

Gráfica 1: Representación del número complejo .

 

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Operaciones

efiniremos cada comple*o z  como un par ordenado de números reales (a, b) ó (e(z ), /m(z )),

en el que se definen las siguientes operaciones%

• Suma

• 0roducto por escalar 

• 1ultiplicación

• /gualdad

 2 partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes%

• esta

• i3isión

 2l primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al

segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se

denomina número imaginario puro a aquel que est4 compuesto

sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que .

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Conjugado de un número complejo

Si es un número complejo llamaremos conjugado

del número z , al número , es decir, al número

complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria de signoopuesto. 

 Ejemplo. Si , entonces ysi , entonces .

ódulo y argumento de un número complejo

Sea un número complejocualquiera. !lamaremos módulo del número complejo , al número real dado

 por y lo denotaremos por . El módulo seinterpreta como la distancia al origen del número (Gráfica 2). "or otra parte, llamaremos argumento del número complejo

, al #ngulo comprendido entre el eje y el radio $ector que determina

a . El argumento de se denota por y se calculamediante la e%presión: 

. 

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 Gráfica 2: ódulo y argumento de un número complejo.

 

"ropiedad:

 Demostración: 

&orma trigonom'trica o polar de un número complejo

!a forma trigonom'trica de un número complejo se estalece oser$ando eltri#ngulo amarillo de la Figura 3: 

Gráfica 3: &orma trigonom'trica de un número complejo. 

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 En este caso se tiene que y que 

Luego:

Por lo tanto:

Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar  del número complejo, la cualestá en términos del módulo y el argumento !e denota comúnmentepor 

"*E+C-C+ /E !- 0+/-/ -1+-R-

i"#$%• "

• i

• &"

• &i

La propiedad m4s importante de la unidad imaginaria i es%

i'$&"

0or lo tanto% i($ )i'*'$)&"*'$"

ntonces, podemos simplificar la expresión al reescribirla en t5rminos de i( .

0orque "#+($# residuo ",

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i13= (i4)3i1 

(1)3i1

i1

6ualquier número a la primera potencia es el mismo número.

i  "$i

i "#

$i

"

$i