TEORIA NUMÉROS COMPLEJOS

1 Introducción. El cuerpo (C,+,·).1.1 Introducción.1.2 El cuerpo (C,+,·)1.3 Notaciones1.4 Potencia de un número complejo.

1.1 Introducción.Los números reales, a pesar de sus excelentes propiedades, presentan una gran deficiencia: no es un cuerpo algebraicamente cerrado, es dedir, no existe ningin número real que verifique la relación x2 + 1 = 0. Por tanto, los matemáticos han sentido la necesidad de "inventarse" un número, que notaremos por "i", y que tenga la propiedad de que i2 + 1 = 0.Buscamos un cuerpo que sea algebraicamente cerrado, que contenga a R y tal que i sea un elemento suyo. Como hemos visto, i no pertenece a R, y ha de pertenecer a dicho cuerpo, con lo cual definimos:

C = {z = a + b·i / a,b reales}

Evidentemente, si a + b·i = c + d·i entonces a = c y b = d.En C se clefinen las operaciones heredadas de R:Suma:

(a + b·i) + (c + d·i) = a + b·i + c + d·i = (a + c) + (b + d)·iProducto:

(a + b·i)·(c + d·i) = ac + ad·i + bc·i + bd·i2 = (ya que i2 = -1) = (ac - bd) + (ad + bc)·ies decir, (a + b·i)·(c + d·i) = (ac - bd) + (ad + bc)·i, que es otro número complejo.Análogamente podemos considerar el conjunto R2, y en él definir las operaciones:Suma:

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)Producto:

(a,b)·(c,d) = (ac-bd,ad+bc)El desarrollo del tema lo realizaremos en el conjunto C, aunque se puede trasladar fácilmente en todo momento a R2 con las operaciones definidas anteriormente.

1.2 El cuerpo (C,+,·)Veamos en primer lugar que (C,+) tiene estructura de grupo abeliano:Asociativa:

Es evidente que si z1, z2 y z3 son elementos de C, se verifica que zl + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

Elemento neutro:Es el elemento 0 + 0·i, que lo notaremos por 0 = 0 + 0·i.

Elemento opuesto:Dado z = a + b·i, a su elemento opuesto lo notaremos por -z, y será -z = (-a) + (-b)·i = -a - b·i.

Conmutativa:Es obvio que si z1 y z2 son elementos de C, se verifica que z1 + z2 = z2 + z1

Veamos ahora que (C,·) tiene también estructura de grupo abeliano.Las propiedades asociativa y conmutativa se verifican evidentemente.Elemento neutro:

Es el elemento de C, que notamos por 1, y que viene dado por 1 = 1 + 0iElemento inverso:

Dado el elemento de C: z = a + b·i, con z no nulo, existe otro elemento de C que es su inverso, que lo notamos por z-1=1/z, y que viene dado porz-1 = 1/z = 1/(a+b·i) = (a-b·i)/(a+b·i)(a-b·i) = (a-b·i)/(a2-b2·i2) = a/(a2+b2)-[b/(a2+b2)]·i

Por último es fácil comprobar que se verifica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

z1·(z2 + z3) = z1·z2 + z1·z3

Por lo tanto, (C,+,·) tiene estructura de cuerpo abeliano. 

1.3 NotacionesDe manera análoga a la anterior se demuestra que (R2,+,·) tiene estructura de cuerpo con las operaciones definidas en la introducción. A ambos cuerpos, que son "esencialmente" iguales, se les denominacuerpo de los números complejos, se les nota por C. Si el número complejo z lo notamos de la forma z = a + b·i, diremos que está en forma binómica; si lo representamos por z =

(a,b), diremos que está enforma cartesiana.Al número real a lo llamaremos parte real de z, y al número b parte imaginaria.Existe un subcuerpo de C, el formado por los elementos de la forma {a + 0·i / a real}, que lo identificamos con el conjunto de los números reales; así escribiremos a + 0·i = a, y mediante dicha identificación diremos que todo número real es a la vez un número complejo, que no tiene parte imaginaria.Un número complejo que no tenga parte real diremos que es imaginario puro, y será de la forma 0 + b·i = b·i. 

1.4 Potencia de un número complejo.Veamos cómo son las potencias del número complejo i:

i1 = i i2 = -1 i3 = i2·i = -i i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1 i5 = i4·i = 1·i = i ................................. in = 1 si n es múltiplo de 4 in = i si al dividir n entre 4 da de resto 1 in = -1 si al dividir n entre 4 da de resto 2 in = -i si al dividir n entre 4 da de resto 3

Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Para calcular su potencia n-ésima basta con efectuar el binomio de Newton:

(a + b·i) = (n0)·an + (n

1)·an-1·b1·i1 + (n2)·an-2·b2·i2 + (n

3)·an-3·b3·i3 + ... + (nn)·bn·in == (n

0)·an + (n1)·an-

1·b·i - (n2)·an-2·b2 - (n

3)·an-3·b3·i + ... + (nn)·bn·in

2 Conjugación de los números complejos.

2.1 Definición.2.2 Propiedades de la conjugacíon.

2.1 Definición.Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Llamaremos conjugado de z, y lo notaremos por z´, al número complejo z´ = a - b·i.

En forma cartesiana el conjugado de (a,b) es (a,-b). 

2.2 Propiedades de la conjugacíon.1. El conjugado del conjugado de un número complejo es el propio número complejo: (z´)´ = z.

En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> (z´)´ = a - (- b·i) = a + b·i = z2. El conjugado de la suma es la suma de los conjugados: (z1 + z2)´ = z1´ + z2´.

En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i; es z1´ = a - b·i y z2´ = c - d·i, por tanto z1´ + z2´ = a - b·i + c - d·i = (a+c) - (b+d)·i = (z1 + z2)´.

3. El conjugado del opuesto es el opuesto del conjugado: (- z)´ = - z´.

En efecto, sea z = a + b·i ==> - z = - a - b·i ==> (- z)´ = - a + b·i = - (a - b·i) = - z´.4. El conjugado del producto es el producto de los conjugados: (z1 · z2)´ = z1´ · z2´.

En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i. Es z1 · z2 = (ac - bd) + (ad + bc)·i, de donde (z1 · z2)´ = (ac - bd) - (ad + bc)·i. Por otra parte, z1´ · z2´ = (a - b·i) · (c - d·i) = [ac - (-b)(-d)] + [a(-d) + c(-b)]·i = (ac - bd) + (-ad - bc)·i = (ac - bd) - (ad + bc)·i = (z1 · z2)´.

5. El conjugado del inverso es el inverso del conjugado: 1/z´ = (1/z)´.En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> 1/z´ = [a - (- b)·i]/(a2 + b2) = (a + b·i)/(a2 + b2). Por otra parte, 1/z = (a - b·i)/(a2 + b2) ==> (1/z)´ = (a + b·i)/(a2 + b2) = 1/z´.

6. El conjugado del cociente es el cociente de los conjugados: (z1/z2)´ = z1´/z2´.7. z es un número real <==> z = z´.8. z es imaginario puro <==> z = -z´.

Estas tres últimas propiedades son de inmediata demostración.

3 Módulo de un número complejo.

3.1 Definición.3.2 Propiedades.

3.1 Definición.Sea z un número complejo, se define el módulo de z, y lo notarnos por |z|, como la raíz cuadrada positiva del producto de z por su conjugado, es decir:

|z| = +(z · z´)1/2

Si el número complejo en forma binómica viene dado por z = a + b·i, se tiene que |z|2 = (a + b·i)·(a - b·i)

= a2 - b2 i2 = a2 + b2, de la que se obtiene la llamada expresión analítica del módulo de un número complejo:

|z| = (a2 + b2)1/2

3.2 Propiedades.1. |z| = 0 ==> z = 02. |-z| = |z|3. |z´| = |z|4. |z1 + z2| < |z1| + |z2| (Llamada propiedad triangular).5. |z1| - |z2| < |z1 - z2|6. |z1 · z2| = |z1| · |z2|7. Si c C R, |c·z| = |c| · |z|, donde |c| es el valor absoluto de c.

4 Formas polar y trigonométrica de un número complejo.

4.1 Representación geométrica de un número complejo.4.2 Forma trigonométrica y forma polar.4.3 Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.4.4 Paso de la forma binómica a la forma polar

4.1 Representación geométrica de un número complejo.Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma cartesiana es z = (a,b). Consideremos el plano euclídeo real R2, y en él un sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z = a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); y recíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una biyección entre el plano euclídeo real R2 y el cuerpo de los núneros complejos C.

El punto del plano P(a,b) correspondiente al complejo z

= a + b·i recibe el nombre de afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abcisas recibe el nombre de argumento de z. Además, el módulo del vector OP es:

|OP| = (a2 + b2)1/2 = |z|Que coincide con la distancia del punto P al origen de

coordenadas. Sea r = |z|. Si x es su argumento, se tiene que:

sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos x

Luego podernos escribir z = a + b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x)

4.2 Forma trigonométrica y forma polar.Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y x su

argumento. Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como rx.

4.3 Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.Veamos cuando dos complejos en forma trigonométrica, o en forma polar, son iguales: Sean z1 = r·(cos x + i·sen x) y z2 = r´·(cos y + i·sen y). Si z1 = z2, entonces r·(cos x + i·sen x) = r´·(cos y + i·sen y). Como dos números complejos iguales tienen el mismo módulo, entonces r = r´, y por tanto, (cos x + i·sen x) = (cos y + i·sen y), de donde:

cos x = cos y ==> y = x + 2·k·pi, con k C Z

sen x = sen y

Por tanto, r·(cos x + i·sen x) = r·[cos (x + 2·k·pi) + i·sen(x + 2·k·pi)], y en forma polar resulta:rx = rx + 2·k·pi

4.4 Paso de la forma binómica a la forma polarHemos visto que z = a + b·i = r·(cos x + i·sen x) = r·cos x + i·r·senx, de donde:

a = r·cos x b = r·sen x

Por otra parte, sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Por definición tenemos que:|z| = (a2 + b2)1/2

Además es:b/a = (r·sen x)/(r·cos x) = (sen x)/(cos x) = tg x

Por tantox = arc tg (b/a)

estudiando el cuadrante de x según los signos de la parte real y de la parte imaginaria le z.

5 Operaciones con números complejos en forma polar.

ÍNDICE5.1 Producto.5.2 Cociente.5.3 Potencia.

5.1 Producto.Sean z1 = r1·(cos x + i·sen x) y z2 = r2·(cos y + i·sen y) dos números complejos en forma trigonométrica. Es:z1·z2 = [r1·(cos x + i·sen x)]·[r2·(cos y + i·sen y)] = r1·r2·(cos x + i·sen x)·(cos y + i·sen y) = r1·r2·(cos x cos y + i·cos x sen y + i·sen x cos y + i2·sen x sen y) =r1·r2·[(cos x cos y - sen x sen y) + i·(cos x sen y + sen

x cos y)] = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]Es decir;

z1·z2 = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]

En forma polar sería:rx·r´y = (r·r´)x + y

5.2 Cociente.Veamos en primer lugar cómo se calcula el inverso de un número complejo en forma polar. Sea z = r·(cos x + i·sen x) = a + b·:i , donde a = r·cos x y b = r·sen x Tenemos:

1/z = a/(a2 + b2) - [b/(a2 + b2)]·i = (r·cos x)/(r2cos2x + r2sen2x) - [(r·sen x)/(r2cos2x + r2sen2x)]·i = (cos x)/[r·(cos2x + sen2x)] - i·(sen x)/[r·(cos2x + sen2x)] = (1/r)·cos x - (1/r)·i·sen x = (1/r)·(cos x - i·sen x) =

(1/r)[cos(-x) + i·sen(-x)]Es decir,

1/rx = (1/r)-x

Por lo tanto, la expresión del cociente de números complejos vendrá dada por:rx /r´y = (r/r´)x - y

5.3 Potencia.Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x

Es decir,

(rx)n = (rn)n·x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·sen n·x)De donde:

cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)n

expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre. Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.Ejemplo:Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :

cos 4x + i·sen 4x = (cos x + i·sen x)4 = (40)·cos4x + (4

1)·cos3x·i·sen x + (42)·cos2x·i2·sen2x + (4

3)·cos x·i3·sen3x + (4

4)i4·sen4x = cos4x + 4·i·cos3x·sen x - 6·cos2x·sen2x - 4·i·cos x·sen3x + sen4x = (cos4x - 6·cos2·sen2x + sen4x) + (4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x)·i

Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:

cos 4x = cos4x - 6·cos2x·sen2x + sen4x sen 4x = 4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x

6 Raíz n-ésima de un núnero complejo.

6.1 Raíz n-ésima.6.2 Teorema.

6.1 Raíz n-ésima.Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número complejo w =

sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir:

(sn)n·y = rx ==>sn = r

==>s = r1/n

n·y = x + 2·k·pi , con k C Z y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z

Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz n-ésima de z.

Teorema.Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.Demostración.Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s = r1/n e y = (x +

2·k·pi)/n , con k C Z. Si llamamos wk = sy , cuando k C {0,1,2,...,n-1}, obtenemos exactamente n raíces n-ésimas de z distintas. Veamos que

cualquier otra raíz coincide con una de estas xk. Sea t C Z, t distinto de 0,1,2,...,n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea es:

t = p·n + r, con 0 <= r < n , y r número entero.Si notamos por xt = sy, siendo y = (x + 2·t·pi)/n, tenemos que:

y = (x + 2·t·pi)/n = (x + 2·r·pi +2·n·p·pi)/n = (x + 2·r·pi)/n + 2·p·piDe donde xt y xr tienen el mismo argumento, y por tanto xt = xr. Además, xr es uno de los xk que dijimos antes, ya que r C {0,1,2,...,n-1}.

c.q.d.En resumen, para calcular la raíz n-ésima del número complejo z = rx , se procede de la siguiente manera:

El módulo será la raíz n-ésima del módulo de z. El argumento viene dado por la fórmula:

y = (x + 2·k·pi)/n dándole a k los valores 0,1,2,...,n-1

7.1 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejos

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por

z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z

= rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que

zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ

Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en

(eiθ)n = eiθn           (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de De Moivre