números de bell
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20/06/13 Números de Bell
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Diagramas número de Bell
Los números de Bell (1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, ...) describen el número de maneras en que unconjunto con n elementos se puede dividir en disjuntos, subconjuntos no vacíos.
Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} se puede dividir en las siguientes maneras:
{{1}, {2}, {3}}
{{1, 2}, {3}}{{1, 3}, {2}}{{1}, {2, 3}}
{{1, 2, 3}}.
El n º número de Bell se puede calcular con la fórmula
,
donde
representa los números de Stirling de segunda especie .
Estos son algunos diagramas que representan las diferentes formas en que los grupos se pueden dividir: una línea conecta los elementos en el mismosubconjunto, y un punto representa un subconjunto singleton.
(Ver más abajo para Mathematica código para generar la lista de particiones.)
{1, 2, 3}, 5 particiones:
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{1, 2, 3, 4}, 15 particiones:
{1, 2, 3, 4, 5}, 52 particiones:
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 203 particiones:
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{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 877 particiones: (La imagen GIF es de aproximadamente 125 K, por lo que me haga saber si te mueres por verla.)
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Aquí hay algo de Mathematica Código 3.0 para generar la lista de particiones de Bell. En resumen, el programa calcula las listas de particiones deforma recursiva, con dos casos. Calculamos BellList [ n ] añadiendo el singleton { n } para cada elemento de BellList [ n -1], y añadiendo el númeron a cada subgrupo de cada elemento en BellList [ n -1]; esta técnica corresponde a la suma de la repetición de números de Stirling de segunda
especie:
.
BellList [1] = {{{1}}}; (* el caso básico *)
BellList [n_Integer positiva?]: = BellList [n] = (* qué algunos caching *)
Acoplar [ Únete [ Mapa [ReplaceList [#, {S__} -> {S, {n}}] y, BellList [n-1]],
Mapa [ReplaceList [#, {B___, {} S__, A___} -> {b, {S, n}, un}] y, BellList [n-1]]], 1]
Algunas muestras:
BellList [2] / / ColumnForm
{{1}, {2}}{{1, 2}}
BellList [3] / / ColumnForm
{{1}, {2}, {3}}{{1, 2}, {3}}{{1, 3}, {2}}{{1}, {2, 3}}{{1, 2, 3}}
BellList [4] / / ColumnForm
{{1}, {2}, {3}, {4}}{{1, 2}, {3}, {4}}{{1, 3}, {2}, {4}}{{1}, {2, 3}, {4}}
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{{1, 2, 3}, {4}}{{1, 4}, {2}, {3}}{{1}, {2, 4}, {3}}{{1}, {2}, {3, 4}}{{1, 2, 4}, {3}}{{1, 2}, {3, 4}}{{1, 3, 4}, {2}}{{1, 3}, {2, 4}}{{1, 4}, {2, 3}}{{1}, {2, 3, 4}}{{1, 2, 3, 4}}
Diseñado y rendido usando Mathematica 3.0 para el Apple Macintosh.
Copyright © 1996 Robert M. Dickau
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