numeros irracionales
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Números IrracionalesTRANSCRIPT
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES (I)
MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA
CONJUNTO NUMÉRICOS: N, Z, Q
Recordando a los números naturales (N)
N = 0; 1; 2; 3; 4; ......
Recordando a los números enteros (Z)
Z = ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...
Recordando a los números racionales (Q)
Citemos algunos elementos del conjunto Q:
Q = 7; -8;
23 ;
−65 ; 54 ;
16 ;
− 711 ; 0,63;
1,68; 1,3; 2,16; 0; ....
En diagramas
Los números racionales tienen 2 formas de representarse:
División indicada de 2 números enteros (divisor diferente de cero)
Ejemplos:
a)
71 = 7 es natural, entero y
racional
b)−81 = - 8 es entero y racional
c)
23 es racional
d)−54 es racional
Expresión decimal de los números racionales:
Ejemplos:
a) 7 = 7,00
b) – 8 = - 8,00
c)
54 = 1,25
d)
23 = 0, 666... = 0, 6 Número decimal
con período puro
e)−65 = -1,2 Número decimal
terminante
f)− 711 = - 0, 6363... = - 0,63
Número decimal con período
puro
g)
16= 0,1666... = 0,16 Número decimal
con período mixto
NOTAS:
I. Dado el siguiente número decimal:
12 , 316
Presenta: * 2 cifras en la parte entera* 3 cifras en la parte decimal
II. Si a la derecha de la parte decimal de un número se agregan “ceros” dicho número no se altera. Así:
i) 3,4 = 3,40 = 3,400 = 3,4000
III. Si a la izquierda de la parte entera de un número se agregan “ceros” dicho número no se altera. Así:
i) 0, 58 = 00,58 = 000, 58
IV. Si a un número decimal lo multiplicamos por una potencia de 10, la coma decimal se desplazará a la derecha tantos lugares como ceros exista (en la potencia de 10).
Ejemplos:
i) 2 , 73 . 10 = 27,3
CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA
N Z Q
Q
Z
N
parte entera Coma
decimal
parte decimal
CICLO AVANZADO SEMANA Nº SEGUNDO AÑO
MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA
ii) 13, 612 . 100 = 1361,2
iii) 0,75123 . 1000 = 751,23
V. Si a un número decimal lo dividimos por una potencia de 10, la coma decimal se desplazará a la izquierda tantos lugares como ceros exista (en la potencia de 10)
Ejemplos:
i) 11, 7 : 10 = 1,17
ii) 1256,25 : 100 = 12,5625
iii) 110,23: 1000 = 0,11023
Expresión decimal terminante
Aquella que genera un número finito de cifras en la parte decimal, cuando se divide el numerador y el denominador. (Resto igual a cero)
Ejemplos:
i) 35 = 0,6 30 5
0
ii) 516 = 0,3125 50 16
40 80 0
Expresión decimal con período puro
Aquella que genera un conjunto de cifras repetitivas (período), inmediatamente después de la coma decimal cuando se divide el numerador y el denominador.
Ejemplos:
i) 23 = 0,666.... = 0,6 20 3
2 0,6 . .
ii)
311 = 0,2727.... = 0, 27 30 11
30 . . .
Expresión decimal con período mixto
Aquella que genera un conjunto de una o más cifras que nunca se repite (parte no periódica), luego de la coma decimal. Después de la parte no periódica hay un conjunto de cifras que se repite periódicamente.
Ejemplos:
i)
512 = 0,41666... = 0,4 1 6
50 12 20 0,4166... 80 8 . .
.
ii) 718 = 0,3888... = 0, 3 8
70 18 54 0,388... 160 144 16 . .
.
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0,6
20 0,3125
Período 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666...
Período 0,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,2727
PeríodoParteno
periódica
Parteno
periódica
Período
MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA
A. Completar los espacios en blanco con las palabras: natural entero, racional según sea el caso:
1) 7 es ....................................................................
2) – 4 es .................................................................
3)25 es .................................................................
4)17 es ..............................................................
5) 0,36 es ...............................................................
6) 2,75 es .................................................................
7) 0 es ..................................................................
8)74 es ..................................................................
9) – 8 es ..................................................................
10) 1,3 es ..................................................................
11) 0,1333... es ........................................................
12)
3100 es ................................................................
13) 3,001 es ..............................................................
14) 1,27 es .................................................................
B. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
1) 6 = 06,00 ( )
2) –2 = -2,000 ( )
3)15 = 0,205 ( )
4)−23= -0,666... ( )
5)
225 = 0,08 ( )
6) 02,4 = 2,40 ( )
7)−34 =
−2432 ( )
8) 334 =
64
( )
9) 14,15 = 1,415 . 10 ( )
10) 0,25 : 100 = 0,0250 ( )
11) 0,1717... = 0,17( )
12) 215 =
115
( )
13) 5,182 : 1000 = 0,05182( )
14) 2,23 = 2,2333... ( )
15)27 =
1657 ( )
16) 0,7272... 0,7222... ( )
17) –1,41 -1,414( )
18) 1,421 . 10 = 0,1421 ( )
19) 2,15 : 10 = 0,215 ( )
20) 42,132 = 42,13200 ( )
21) 2,11411 2,11414 ( )
22) 005,3 = 05,30( )
C. Divide las siguientes fracciones y clasifícalas en: Decimales terminantes, Decimales con período puro o Decimales con período mixto.
1)35 = 0,6 Decimal terminante
30 5 0,6
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº3 A
MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA
2)
13 = 0,333... = 0,3 Decimal con período puro
10 3 10 0,33... 1
3)56 = 0,8333... = 0,83 Decimal con período mixto
50 6 20 0,833... 2
4)211 =
5)74 =
6)
19 =
7)1727 =
8)
815 =
9)
730 =
También sabemos que expresiones decimales como:
0,25; 0,63; 0,16 pueden ser expresadas como
números racionales de la forma ab así:
0,25 = 25100 =
14
0,63 = 6399 =
711
0,16 = 16−190 =
1590 =
16
NOTAS:
I. Fracción generatriz de un decimal terminante:
Ejemplos: Hallar la fracción generatriz de:
i) 0,125 = 1251000 =
18
Descripción: En el numerador se coloca el entero, que
resulta de suprimir la coma decimal.
En el denominador se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el numerador dado.
Luego se simplifica.
ii) 2,25 = 2 + 0,25 = 2 + 25100 = 2 +
14 =
94
Fracción
generatriz
II. Fracción generatriz de un decimal con período puro:
Ejemplos:
Hallar la fracción generatriz de:
i) 0,234234... = 0,234 = 234999 =
78333 =
26111
Fracción generatriz
Descripción:
En el numerador se coloca el período
En el denominador está formado por tantos nueves como cifras tiene el período.
Luego se simplifica.
ii) 2,36 = 2 + 0,36 = 2 + 3699 = 2 +
411 =
2611
Fracción generatriz
III. Fracción generatriz de un decimal con período mixto:
Ejemplos:
Hallar la fracción generatriz de:
i) 0,83 = 83−890 =
7590 =
56
Fracción generatriz
Descripción:
En el numerador se coloca la parte no periódica
seguida del período menos la parte no periódica.
En el denominador escribimos tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.
CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA
MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA
ii) 2, 1590 = 2 + 0,1590 = 2 + 1590−159900 = 2 +
15759900
= 2 + 744 =
9544 Fracción generatriz
A. Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,012 5) 0,175
2) 2,05 6) 6,12
3) 0,35 7) 10,1
4) 0,105 8) 12,25
B) Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,63 6) 0,72
2) 0,711 7) 2,2
3) 5,6 8) 9,333...
4) 2,54 9) 1,1818...
5) 0,018 10) 0,756756....
C) Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,17 6) 2,7666...
2) 0,56 7) 0,6343434...
3) 0,125 8) 2,15666...
4) 1,23 9) 0,0532
5) 3,165 10) 1,22363636...
OBSERVACIÓN:
Existen números con infinitas cifras en su parte
decimal y que no presentan período alguno.
Tales números forman parte de un nuevo conjunto
de números , “Los Números Irracionales”.
¿QUÉ ES UN NÚMERO IRRACIONAL?
Es todo aquel número que en su parte decimal
tiene infinitas cifras decimales sin presentar
período alguno.
Estos números constituyen un conjunto numérico
denominado CONJUNTO DE NÚMEROS
IRRACIONALES y se le representa por I
Ejemplos:
i) 2,2360679...
ii) 3,14159265... no presentan
iii) 1,4142135... Período
iv) 2,71828128...
v) 1,73231...
NOTAS:
I. Los números irracionales no pueden ser representados por fracción alguna.
II. Algunos de estos números irracionales son el resultado de efectuar ciertas operaciones de radicación, por ejemplo:
√2 = 1,4142135...
√3 = 1,73231...
√5 = 2,2360679...
III. Otros números irracionales son llamados trascendentes como el (se lee número “PI”) y e (se lee número de Neper).
= 3,14159265...
e = 2,71828128...
IV. El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos entre sí
Q I =
V. Al conjunto I también se le simboliza por Q ’
A. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 3C
EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº3 B
Pero, no todo número decimal puede ser
expresado como número racional.
MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA
1) 3 N ( )
2) 7/5 Z ( )
3) –7 I ( )
4) √4 I ( )
5) 0,3 I ( )
6) 0 Q ( )
7) 2,2360679... I ( )
8) 1,414141... Q ( )
9) 2,71828128... I ( )
10) √5 N ( )
11)−63 Z ( )
12) 1,4142135... I ( )
13) 2,333... Q ( )
14) – 8 N ( )
15) 0 I ( )
16) 1 I ( )
17) √3 Q ( )
18) I ( )
19) 1,7320508 I ( )
20) √81 Z ( )
21)3√−8 Z ( )
22)5√32 Q ( )
1. Calcular la fracción generatriz del número
decimal:
1,405 dando como respuesta la suma de los
términos de dicha fracción.
2. Luego de obtener la fracción generatriz del
número decimal: 0,363636...
Indicar la diferencia de los términos de la
fracción generatriz.
3. Calcule Ud. la fracción generatriz del decimal
que resulta al efectuar: 1,245 + 2,534 – 3
Dar como respuesta el numerador.
4. Al calcular Ud. la fracción generatriz del
número decimal: 0,4484848... se observa
que el denominador excede al numerador en:
5. Luego de obtener la fracción generatriz del
número decimal:1,5625 se nota que el
numerador excede al denominador en:
6. Después de efectuar las operaciones indicadas
a continuación:
0,2121... – 0,1212... + 0,5666.....
Indicar el numerador de la fracción generatriz.
7. Luego de efectuar : (6,21 – 2,43 + 5,82) : 2Calcular el cuadrado de la suma de los
términos de la fracción generatriz.
8. Después de efectuar operaciones en la
expresión:
(2,12 + 3,13 + 4,14) : 3 – 2,33
Calcule la suma de cuadrados de los términos
de la fracción generatriz.
9. Indicar el decimal que origina el resultado de
efectuar: (23+ 16+ 34 )
10. ¿Qué decimal se obtiene luego de efectuar
operaciones en: (14+ 13+12 ):(3+ 14 )?
CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA
TAREA DOMICILIARIA N° 3