números naturales 2015 2_2

Unidad 2. Números Reales 2.1 Números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales

Números Naturales N (Parte 2)

Teorema 1. El núemro 1 es el más pequeño de los números naturales

Demostración. De�nimos el conjunto

A = {x ∈ F | x ≥ 1}

entonces1 ≥ 1 ⇒ 1 ∈ A

Suponemos que k ≥ 1 entonces k + 1 ≥ 1 + 1 > 1 es decir k + 1 ≥ 1 por lo tanto

k ∈ A ⇒ k + 1 ∈ A

∴ A es inductivo y como N ⊂ A entonces ∀ n ∈ N n ≥ 1

Teorema 2. ∀ n ∈ N si n > 1 entonces n− 1 ∈ N

Demostración. De�nimos el conjunto

A = {n ∈ N | n > 1 ⇒ n− 1 ∈ N}

tenenmos entonces que 1 ∈ A pues1− 1 /∈ N n ≤ 1

que es la contrapuesta de la propiedad que de�ne a A, por lo tanto 1 ∈ ASupongamos que x ∈ A entonces x > 1 ⇒ x − 1 ∈ N y consideremos x + 1 como x ∈ N, x ≥ 1 por lotanto x + 1 ≥ 1 + 1 > 1 es decir x + 1 > 1 y (x + 1)− 1 = x ∈ N esto es

x + 1 > 1 ⇒ (x + 1)− 1 ∈ N

∴ x + 1 ∈ A por lo tanto A es un conjunto inductivo y como A ⊂ A entonces ∀ n ∈ N si n > 1, entoncesn− 1 ∈ N

Teorema 3. Principio del Buen Orden Si A es un subconjunto de números naturales, entonces A tieneun elemento mínimo.

Demostración. Supongamos que A no tiene un elemento mínimo. Sea B ⊂ N tal que 1, 2, 3, ..., n /∈ Aentonces 1, 2, ..., n ∈ B(1) Se tiene que 1 ∈ B pues si 1 ∈ A, A tendría un elemento mínimo.(2) Si 1, 2, 3, ..., k /∈ A entonces k + 1 /∈ A pues de otra forma k + 1 sería el elemento mínimo de A.Por lo tanto k + 1 ∈ B y de esta manera B es inductivo y por tanto N ⊂ B y en consecuencia A = ∅

Teorema 4. Principio de Inducción Completa Suponga que n0 ∈ N y ∀ n ∈ N, n ≥ n0, p(n) es unaproposición verdadera acerca de n si:(1) p(n0) es verdadera(2) ∀ k ∈ N tal que k ≥ n0 p(k) ⇒ p(k + 1) entonces ∀ n ≥ n0, p(n) es verdadera

Demostración. Sea A el conjunto de números naturales que contiene a n0, y contiene a k+ 1 siempre quecontiene a k.

Facultad de Ciencias UNAMCálculo Diferencial e Integral I

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz1


Sea B el conjunto de todos números naturales ` tales que n0 − 1 + ` esta en A. Entonces 1 esta en B y` + 1 esta en B si ` esta en B, de modo que B es inductivo, por lo tanto contiene a todos los númerosnaturales, lo cual signi�ca que A contiene todos los números natruales ≥ n0

Ejercicio Demuestre usando el pricipio de inducción completa que

2n > 2n + 1 ∀ n ≥ 3

Solución Dado que 23 = 8 > 7 = 2(3) + 1 entonces p(3) es verdadera.Supongo ahora p(k) esto es 2k > 2k + 1 y tenemos que{

2k > 2k + 12k > 2

}⇒ 2k + 2k > 2k + 1 + 2 ⇒ 2k+1 > 2(k + 1) + 1

esto es p(k) ⇒ p(k + 1) para toda k ≥ 3

Números Enteros Z

De�nición 1. El conjunto de números enteros de un camp ordenado F es el conjunto

Z = {x ∈ F | x ∈ N, o − x ∈ N o x = 0}

Este conjunto consta de los números naturales, e incluimos sus inversos aditivos y el cero.Tenemos que Z satisface las propiedadesA0 Sea a, b ∈ Z de la cerradura en N se sigue que a + b ∈ Z. Se sigue de las propiedades de númerosnaturalesM0 Análogamente para la multiplicación sobre Z si a, b ∈ Z entonces a · b ∈ Z se sigue de las propiedadesde números naturalesA1 Propiedad conmutativa Para la suma se tiene

∀a, b, c ∈ Z a + b = b + a

se sigue de las propiedades de números naturalesM1 Para la multiplicación se tiene

∀a, b, c ∈ Z a · b = b · ase sigue de las propiedades de números naturalesA2 asociatividad para la suma

∀a, b, c ∈ Z a + (b + c) = (a + b) + c




se sigue de las propiedades de números naturalesM2 Asociatividad para la multiplicación

∀a, b, c ∈ Z a · (b · c) = (a · b) · c

se sigue de las propiedades de números naturalesA3 Existencia del neutro aditivo se sigue de las propiedades de FM3 Existencia del neutro multiplicativo se sigue de las propiedades de FA4 Existencia de inversos aditivos, tenemos que ∀ n ∈ Z existe −n ∈ Z tal que n + (−n) = 0La propiedasd m4 no es válida en Z pues no hay inversos aditivos en ZD Propiedad distributiva∀a, b, c ∈ Z se tiene que m(a + b) = ma + mb esta se sigue de las propiedades de los números naturalesEn conclusión se tiene que Z no es campo

Números Racionales Q

De�nición 2. El conjnuto de números racionales de un campo ordenado F es el conjunto

Q = {x ∈ F | ∃ m.n ∈ Z tal que n 6= 0 y x =m

n}

Axiomas que satisfacen los números racionales.

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

A0 a + b ∈ Q (Cerradura)

a =m

n, b =

m′

n′⇒ a + b =

m

n+

m′

n′=

mn′ + m′n

nn′∈ Q

por las propiedades de los enterosA1 a + b = b + a (Conmutatividad) es hereditaria de FA2 a + (b + c) = (a + b) + c ∈ Q (Asociatividad) es hereditaria de FA3 ∃0 ∈ Q tal que a + 0 = 0 + a = a (Neutro Aditivo)

a =m

n, 0 =

0

1⇒ a + 0 =

m

n+

0

1=

m · 1 + n · 0n · 1

=m

n= a

A4 Dado a ∃ − a ∈ Q tal que a + (−a) = 0 (Inverso Aditivo)

a =m

n, b =

−mn

⇒ a + b =m

n+−mn

=mn + (−mn)

nn=

0

nn= 0 ∈ Q

M0 a · b = ab ∈ Q (Cerradura)

a =m

n, b =

m′

n′⇒ ab =

m

n· m′

n′=

mm′

nn′∈ Q

por las propiedades de los enterosM1 ab = ba ∈ Q (Conmutatividad) es hereditaria de F




M2 (ab)c = a(bc) ∈ Q (Asociatividad) es hereditaria de FM3 ∃1 ∈ Q tal que a1 = 1a = 1 (Neutro Multiplicativo)

a =m

n, 1 =

1

1⇒ a · 1 =

m

n· 1

1=

m · 1n · 1

=m

n= a

M4 Dado a 6= 0∃a−1 ∈ Q tal que aa−1 = a−1a = 1 (Inverso Multiplicativo)

∀ x ∈ Q x =m

n, ∃ x−1 ∈ Q, x−1 =

b

atal que x·−1 =

a

b· ba

= 1

Distrbutividad: a(b + c) = ab + ac

Orden.

O1 Sucede una y sólo una de las siguientes a = b, a < b o a > b (Tricotomía)O2 Si a < b y b < c, entonces a < c (Transitividad)O3 Si a < b entonces a + c < b + cO4 Si 0 < c y a < b, entonces ac < bc



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